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ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO 3

PRESENTADO POR:DIANA CAROLINA ACERO

53133314ANGEL MARIN GARCIA

4375696OSCAR RANGELCOD

JHON FREDY ROBERTOCOD

PRESENTADO A:FRANCISCO FERNANDEZ

141!"44

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD

NOVIEMBRE DE !15

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INTRODUCCI#N

Una ecuacin diferencial es una ecuacin que involucra derivadas (o diferenciales) de

una funcin desconocida de una o ms variables. Si la funcin desconocida depende

slo de una variable, la ecuacin se llama una ecuacin diferencial ordinaria. Sinembargo, si la funcin desconocida depende de ms de una variable la ecuacin se

llama una ecuacin diferencial parcial

El siguiente trabajo rene una recopilacin de elementos, organiacin !

representacin de conceptos relacionados sobre la primera unidad del curso

Ecuaciones "iferenciales. Se busca por medio de la solucin de los siguientes

ejercicios, se reconocan los conocimientos m#nimos trabajados en las unidades

temticas ecuaciones diferenciales de primer orden.

DESARROLLO DE ACTIVIDAD

$. %esolver el problema de valor inicial a trav&s del m&todo de series de 'a!lor

S$%&'()*:

dx

dy=

1

x+y+1, y (0)=0

1

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y'=x+y+1

y'(0 )=C+1

y ' '(0)=C+2

y' ' '(0 )=C+2 ..

y(x )=C+(C+1 )x+(C+2 )x2

2! +

(C+2 )x3

3! + O '

y (x )=C+(C+1 )x+(C+2)(x

2

2 !+

x3

3 !+)

y (x )=C+(C+1 )x+(c+2 )( ex+x )

y(x )= (C+2 ) exx2

dx

dy=

1

x+y+1

y'(x+y+1 )=1

y'x

'+y 'y+y '=0

y=n=0

an Xn

2

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y '=n=1

an Xn1

y ' '=n=1

n (n1 ) an Xn2

y'x+y 'y+y '=0

n=1

nan Xn1X+n=1

nan Xn1n=1

an Xn+n=0

nan Xn1

n=1

nan Xn+n=1

(nan Xn1)(an Xn)+n=0

nan Xn1

n=1

nan Xn+n=1

n2(an)+n=0

nan Xn1

b

n=0

(n+1 ) an+1Xn+1+n=1

n2 (an )x2n1+n=0

nan Xn1

n=0

(n+1 ) an+1Xn+1+n=1

n2 (an )x2n1+n=0

nan Xn1

1aX '+n=1

nan Xn+n=1

n2 (an )x2n1+n=0

nan Xn1

3

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. "eterminar por el criterio del cociente el conjunto de convergencia de

n=0

(2)n

(n+1)(x3)n

S$%&'()*:

Comoan=(2)n

(n+1),tenemos :

limn |

an+1

an|= limn |(2)n+1

(n+2)

(2)n

(n+1)|

limn |(2)

n+1(n+1)

(2)n(n+2)|

limn

2|n+1n+2|

2 limn

|n+1

n+2|n+1n+2

es positivo cuando n . Por lotanto|n+1n+2|=n+1n+2

2 limn

( n+1n+2 )

n+1n+2

=n

(1+

1

n )n(1+ 2n )

=(1

n +1)( 2n +1)

4

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2 limn

( 1n +1)( 2n +1)

limn

2(0+1 )(0+1 )

=2=L

*or el criterio del cociente, el radio de convergencia es

=1

L=

1

2

*or tanto, la serie converge absolutamente para

|x3|< 12

+ diverge cuando

|x3|> 12

l -acer

|x3|=12

Solucionamos

x3=12

y x3=1

2

x3=12 :5

2

5

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x3=1

2:7

2

Al acer x=52

, la serie se convierte enla serie armnica :

n=0

a(n+1)1=diver"e

l -acer x= 7

2 , la serie se convierte en una serie armnica alternante que

converge.

s#, la serie de potencias converge para cada xen el intervalo semi abierto ( 52 , 72 ] fuera de este intervalo diverge.

/. 0alcule el radio ! el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencia

S$%&'()*:

n=0

(100)n

n ! (x+7)n

6

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x+7

n+1

(n+1)!

100

x+7n

(100)n+1

limn

x+7

n+1n !

x+7

(100 )n+1

limn

x+7

n n !

x+7

(100 )n(100)

limn

7

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limn [ (100)(x+7)(n+1) ]

limn [ (100)(x+7)(n+1) ]=0

#= ,

1. 2allar las solucin general de la siguiente ecuacin como una serie de potencial

alrededor del punto 345

S$%&'()*:

2y' '+x y '+y=0 x=0

y=n=0

Cnxn

y '=n=1

nCnxn1

y ' '=n=2

n(n1)xn2

8

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%eemplaamos

Cn n (n1 )xn2+x

n=1

n Cnxn1+

n=0

Cnxn=0

2

n=2

Cn n (n1 )xn2+

n=1

n Cnxn+

n=0

Cnxn=0

2n=2

n (n1 )Cnxn2+

n=1

n Cnxn+C

0+

n=1

Cnxn=0

4C2+

n=3

$=n2n=$+2

$=n $=n

($+2)($+1)C$+2x$+

$=1

$ C$x$+C

0+

$=1

C$x$=0

4C2+$=1

($+2)($+1)C$+2x$+$ C$x

$+C$x$=0

4C2+C

0+

$=1

C2=0C

0=0

$=1

[( $+2 ) ( $+1 )C$+2+$ C$+C$]x$=0

9

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y=n=0

CnXn=C

0+C

1X+C

2X

2+C3X

3+

"erivamos la anterior ecuacin

y' '=

n=2

n(n1)CnXn2

%eemplaamos

n=2

n (n1)CnXn2+

n=0

CnXn+2=0

0omparamos ! -allamos el valor de 0

2C2 3 +6C3X+

n=4

n(n1)CnXn2

n=0

CnXn+2=0

*or ultimo

$=n2n=$+2

$=n+2n=$2

2C2 X

+6C3X+

$=2

$+2($+21)C$+2X$

$=2

C$2X$=0

6. %esolver por series la ecuacin diferencial.

10

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y' '+x2y=0

y=n=0

CnXn

=C0+C1X+C2X2

+C3X3

+

"erivamos la anterior ecuacin

y' '=

n=2

n(n1)CnXn2

%eemplaamos

n=2

n (n1)CnXn2+

n=0

CnXn+2=0

0omparamos ! -allamos el valor de 0

2C2 3 +6C3X+

n=4

n(n1)CnXn2

n=0

CnXn+2=0

*or ultimo

$=n2n=$+2

$=n+2n=$2

2C2 X

+6C3X+

$=2

$+2($+21)C$+2X$

$=2

C$2X$=0

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ACTIVIDAD COLABORATIVA

*lantear con el grupo colaborativo una situacin problema que pueda ser desarrollado

a trav&s de los m&todos vistos, realiando la caracteriacin de la ecuacin diferencial,

m&todo de solucin ! solucin de la situacin.

Supongamos un condensador que tiene una diferencia de potencial 7o entre sus placas

cuando se tiene una l#nea conductora %, la carga acumulada viaja a trav&s de un

condensador desde una placa -asta la otra, estableci&ndose una corriente de

intensidad i intensidad. s# la tensin v en el condensador va disminu!endo

gradualmente -asta llegar a ser cero tambi&n la corriente en el mismo tiempo en el

circuito %0.

#i=v

i=cdv

dt

v'+

1

#Cv=0

8e! de 9irc--off

12

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0=%#+%C%

8e! de :-m

0=ir+ vc

%

0=dv

dt r+

v

c

%

0=dv

dtr+

v

c

( 1r)%%

0

r=

dv

dt+

1

rcv

dv

dt+

1

rcv

%0

r=0

%0

r +v '+

1

rcv=0

Solucionar por serie de potencias la siguiente ecuacin diferencial.

0uando %4 $;< ! 04 $=>

*or lo cual se toma arbitrariamente,

v=m=1

vmxm=v

0+v

1t+v

2t2+v

3t3

Entonces,

13

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v &=m=1

mvmxm1=v

1+2 v

2t+3v

3t2+4 v

4t3

%emplaando en la ecuacin original

(v1+2v2t+3v3t2+4 v

4t3 )+(v0+v1 t+v2t

2+v3

t3 )=0

v0+v1+t(2v2+v1 )+t2 (3 v3+v2 )+t

3 (4 v4+v3 )=0

Se igualan t&rminos

v1+v

0=0v

1=v

0

2v2=v

1v2=v1

2 v

2=(

v0

2)v2=v0

2

3v3=v

2v3=( v23)v3=(

v0

2

3)v3=v0

6

4 v4=v3 v4=(v3

4)v4=

(

v0

2

3

)v 4=

v0

24

%espuesta

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v0+t

v0

2+ t2

v0

6+t3

v0

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CONCLUSIONES

Se identificaron formulas ! procedimientos para la resolucin de ejercicios de

sucesiones ! progresiones de acuerdo con el contenido estudiado en la unidad $ del

curso 0alculo "iferencial aclarando dudas mediante el trabajo en equipo ! la tutor#a.

8a solucin de ejercicios nos a!uda a mejorar la comprensin, aprendiendo a

desarrollar los procedimientos de manera adecuada de la teor#a estudiada, con

-erramientas de ecuaciones.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

-ttp??campus5/.unad.edu.co?ecbti5?mod?page?vie@.p-pAid41B/$-ttps??@@@.!outube.com?@atc-Av4@@l2vCD!ajo

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http://campus03.unad.edu.co/ecbti02/mod/page/view.php?id=4631https://www.youtube.com/watch?v=wwlHv_9yajohttps://www.youtube.com/watch?v=wwlHv_9yajohttp://campus03.unad.edu.co/ecbti02/mod/page/view.php?id=4631