Download - 10 atomi in 3 nm circa 1 atomo ogni 3 Å
Le dimensioni atomiche oggi si possono misurare con strumenti come il Microscopio a Forza Atomica (AFM)
10 atomi in3 nm circa 1 atomo ogni 3 Å
http://www.almaden.ibm.com/almaden/media/mirage5.html
"This STM image shows the direct observation of standing-wave patterns in the local density of states of the Cu(111) surface. These spatial oscillations are quantum-mechanical interference patterns caused by scattering of the two-dimensional electron gas off the Fe atoms and point defects. "
Un “miraggio” quantistico
Sito web: http://www.iapht.unito.it/struttura
e-mail: [email protected]
orario lezioni: mercoledì ore 11-13giovedì e venerdì ore 9-11
ricevimento: venerdì ore 11-13
prossimo esame scritto: 14 marzo 05, ore 9
Struttura della Materia I°- 2004/05
Esami propedeutici
- meccanica
- onde, fluidi, termodinamica
- elettromagnetismo e ottica
- complementi di elettromagnetismo
- meccanica analitica e statistica
- meccanica quantistica
Programma
0. Richiami di concetti e argomenti propedeutici
1. Fisica atomica e transizioni radiative
2. Fisica molecolare
3. Statistiche quantistiche
4. Introduzione alla fisica dello stato solido
•Analisi dimensionale, unità di misura e
costanti naturali
•Atomi idrogenoidi
•Meccanica statistica classica
Richiami di concetti e argomenti propedeutici
- energia : eV (l eV = 1.610-19 joule)
- lunghezza: m, nm, Å (1 ångstrom = 10-10 m)
- tempo: s
- campo magnetico: T, G (tesla, gauss, 1G=10-4 T)
- temperatura : K (gradi kelvin)
Unità di misura
- la quantità di moto p: va moltiplicata per c ed espressa in eV
come esprimere le grandezze principali:
- la massa m: va moltiplicata per c2 (c è la velocità della
luce) ed espressa in eV
- la carica elettrica q: si usa il sistema di unità di
misura di Gauss, in cui kel = 1/4o=1 e l’energia
potenziale elettrica Ep = q Q/r (q e Q= cariche,
r=distanza)
Costanti naturali- velocità della luce c = 3108 m s-l
- costante di Planck c = 210-7eV m = 2103 eV Å
- costante di struttura fine e2/ ( c) = 1/137
- carica dell’elettrone al quadrato e2 = c/137 = 14,4 eV Å
- raggio dell’atomo di Bohr
- energia di Rydberg ER = e2/ 2ao =13,6 eV
- numero di Avogadro NA = 61023mole-1
- costante di Boltzmann kB = 8.610-5 eV K-1
- massa dell’elettrone me c2=0.51106 eV
- massa del protone mp c2 = 0.94109 eV
- unità di massa atomica muma c2 = 0.93109 eV
- magnetone di Bohr B =610-5 eV T-1= 0,610-8 eV gauss-
1
m1053,0/)( 10222 cmeca eo
Atomi idrogenoidi: descrizione classica
sono permessi tutti i valori di E e, a parità di E, sono permessi tutti i valori di L, in modulo e direzione
Potenziale: r
ZeEp
2
Costanti del moto:
- energia totale E=Ecin+Ep
- momento angolare (modulo)
- direzione del momento angolare
rpL
L
Atomo di idrogeno: descrizione classica del moto di un elettrone
con semiasse maggiore dell’ellisse pari al raggio di Bohr (0,53 Å)
orbita elettrone
-0,60
-0,40
-0,20
0,00
0,20
0,40
0,60
-1,20 -1,00 -0,80 -0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80x (angstrom)
y (
an
gs
tro
m)
nucleo
orbita con L inferiore al massimo
orbita con L massimo
afelio perielio
pper
p
paf
Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel moto classico di un
elettrone con orbita circolare di raggio pari al raggio di Bohr (0,53 Å)
atomo H: momento angolare massimo
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
distanza dal nucleo (angstrom)
en
erg
ia (
eV
)
energia totale E
energia coulombiana Ep
potenziale centrifugo EL
potenziale effettivo Ep+EL
ao
r
ZeEp
2
2
2
2mr
LEL
Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel moto classico di un elettrone
con orbita ellittica di semiasse maggiore pari al raggio di Bohr (0,53 Å)
atomo H: momento angolare qualunque
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
distanza dal nucleo (angstrom)
en
erg
ia (
eV
)
energia totale Eafelio
energia coulombiana Ep
potenziale centrifugo EL
potenziale effettivo Ep+EL
perielio
Atomi idrogenoidi: descrizione quantistica
Numeri quantici:
sono permessi solo i valori di E, L2, Lz corrispondenti ai valori interi dei numeri quantici
n1 ; 0 l < n ; -l ml l
- n energia totale En= - ERZ2/n2
- l momento angolare L2 = l(l+1) 2
- ml componente di L lungo Lz= ml
l’asse di quantizzazione
Potenziale: r
ZeEp
2
Atomo di idrogeno: livelli energetici ed energia potenziale l=0
Potenziale e livelli energetici
-30,0
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
r (angstrom)
En
erg
ia (
eV
)
n=1
n=3n=2
punti di inversione del moto
Atomo di idrogeno: equazione di Schrödinger
),,(),,(22
),,(2
2
22 rEr
r
Ze
mr
L
m
prH r
),()(
),()(),,( ll ml
ml Y
r
ruYrRr
),()1(),( 22 ll ml
ml YllYL
interpretazione fisica della “funzione d’onda”
dΩdrrr 22),,(
probabilità di trovare
l’elettrone nell’elemento di
volume intorno al
punto (x,y,z)
dΩdrr2
r
z
y
x
oggi si misura direttamente con il Microscopio a Forza Atomica (AFM)
2),,( r
)(2)(
22
2ruEE
m
dr
rudeff
Eeff = EL + Ep
curvatura della funzione d’onda funzione d’onda
coefficiente di proporzionalità
)(2
)1()(
2
2
2
2
2
22ruE
r
Ze
mr
ll
dr
rud
m
termine cinetico termini di energia “di posizione”
Atomo di idrogeno: l=0
Eeff =Ep
- i punti di inversione del moto classico sono punti di flesso della funzione d’onda perché E-Eeff=0
- il numero di “nodi” della funzione d’onda aumenta con n
Funzioni d'onda l = 0
-10,0
-8,0
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
0 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
Potenziale e livelli energetici
-30,0
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
r (angstrom)
En
erg
ia (e
V)
punti di flesso
punti di inversione
n=1
n=3n=2
n=1 n=3
n=2
Atomo di idrogeno: livelli energetici ed energia potenziale l=1 e 2
-30.0
-20.0
-10.0
0.0
10.0
20.0
30.0
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00
r (angstrom)
En
erg
ia (
eV
)
n=1
n=3n=2
Eeff per l=2
EL per l=2EL per l=1
Eeff per l=1
punti di inversione per n=2 n=2, l=0 n=2, l=1
n=2, l=2
Atomo di idrogeno: n=1
Eeff =EL+ Ep
- i punti di inversione del moto classico sono punti di flesso della funzione d’onda perché E-Eeff=0
- il numero di “nodi” della funzione d’onda diminuisce con l
-35.0
-30.0
-25.0
-20.0
-15.0
-10.0
-5.0
0.0
5.0
10.0
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00
r (angstrom)
En
erg
ia (
eV
)Funzioni d'onda n=2; l = 0,1
-10.0
-5.0
0.0
5.0
10.00 2 4 6 8 10 12
r (angstrom)
punti di inversione
n=1
n=3n=2
l=1
l=0
punti di flesso
Le dimensioni atomiche
Il “raggio di Bohr” ao=0,53 ·10-10m
222
2
4 cm
c
me
ha
eeo
dipende solo dalle costanti naturali (h, c, e, me) che compaiono nell’equazione di Schrödinger
….. oggi si possono misurare con strumenti come il Microscopio a Forza Atomica (AFM)
10 atomi in3 nm circa 1 atomo ogni 3 Å
ao determina la rapidità della
caduta esponenziale della funzione d’onda dopo l’ultimo flesso
conviene introdurre la “distanza ridotta ”, tale che:
Z
nar o
2
il flesso • si “allontana” al crescere di n•si “avvicina” al crescere di Z
2/10 e2)(01 rCruln
2/20 e)2(
22
1)(02 rCruln
2/21 e
62
1)(12 rCruln
“orbitale” 1s1s
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4z (angstrom)
fun
zio
ne
d'o
nd
a
Z
“orbitale” atomico 2pz2pz
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x (angstrom)
funz
ione
d'o
nda
Z
X
andamento in funzione di x a z>0
andamento in funzione di x a z<0
2pz
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8z (angstrom)
fun
zio
ne
d'o
nd
a
andamento in funzione di z a x,y=0
Livelli energetici: diagramma di GrotrianE (eV)
-13.6
-1.5-3.4
-0.85
n
1
234
lml
0s
1p
2d
0 -1 0 +1 -2 -1 0 +1 +2
rappresentazione n,l,ml ,ms>
(2)
(6)(2)
(6)(2) (10)
(6)(2) (10)
Livelli energeticiE (eV)
-13.6
-1.5-3.4
-0.85
n
1
234
rappresentazione n, l, j ,mj>
lj
mj
0s
1p
2d
1/2 1/2 3/2 3/2 5/2
-1/2 +1/2 -1/2 +1/2 -3/2 -1/2 +1/2 +3/2 -3/2 -1/2 +1/2 +3/2 -5/2 -3/2 -1/2 +1/2 +3/2 +5/2
(2)
(4)(2) (2)
(6)(4)(4)(2) (2)
trasformazione da una base all’altra
n, l, j ,mj> 2,1, 3/2 ,+1/2>=
mj = 1/2 si può ottenere con
ml=1, ms= -1/2
ml=0, ms= +1/2
2,1, 1 ,-1/2>=2,1, 3/2 ,+1/2> a 2,1, 0 ,+1/2>+ b
coefficienti di Clebsch Gordon
a = 2/3 b = 1/3
tabella dei coefficienti di Clebsch - Gordan
ml ms 3/2 j +3/2 mj
+1 +1/2 1 3/2 1/ 2 j +1/ 2 +1/2 mj
+1 -1/2 1/3 2/3 3/2 1/ 2 j 0 +1/2 2/3 -1/3 -1/ 2 -1/2 mj
0 -1/2 2/3 1/3 3/2 j-1 +1/2 1/3 -2/3 -3/2 mj
-1 -1/2 1
2
11