BETONSKE KONSTRUKCIJE 1MTI HVE PŽA Vežba br.2Jelena DragašNikola Tošić
Kabinet br. [email protected]@imk.grf.bg.ac.rs
Semestar: V
1
ETONSKE KONSTRUKCIJE 1
imk.grf.bg.ac.rs
ESPB: 6
1. Teorija graničnih stanja
2. Centrični pritisak
3. Centrično zatezanje
4. Mali ekscentricitet – sila zatezanja
5. Rezime
Teorija graničnih stanja
sila zatezanja
2
1. Granično stanje nosivosti (GSN) njenog elementa pri kome se gubi sposobnost daljeg nošenja spoljnog opterećenja (stanje u kome su ugroženi životi!)
2. Granično stanje upotrebljivosti (GSU) ili njenog elementa pri kome ona prestaje da zadovoljava određene eksploatacione zahteve (stanje u kome nisu ugroženi životi)
1. Teorija graničnih stanjaGranično stanje nosivosti (GSN) – stanje konstrukcije ili njenog elementa pri kome se gubi sposobnost daljeg
nog opterećenja – lom(stanje u kome su ugroženi životi!)
Granično stanje upotrebljivosti (GSU) – stanje konstrukcije ili njenog elementa pri kome ona prestaje da zadovoljava određene eksploatacione zahteve – trajnost, ugib, prsline...(stanje u kome nisu ugroženi životi)
Teorija graničnih stanja3
• Pretpostavke o ponašanju preseka u graničnom stanju loma:1. Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecima
1. Teorija graničnih stanjaPretpostavke o ponašanju preseka u graničnom stanju loma:
Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecima
4
Teorija graničnih stanja
• Pretpostavke o ponašanju preseka u graničnom stanju loma:1. Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecima2. Celokupne napone zatezanja prihvata armatura
1. Teorija graničnih stanja
b
Pretpostavke o ponašanju preseka u graničnom stanju loma:Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecimaCelokupne napone zatezanja prihvata armatura
5
Teorija graničnih stanja
b
• Pretpostavke o ponašanju preseka u graničnom stanju loma:1. Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecima2. Celokupne napone zatezanja prihvata armatura3. Nije narušena veza između čelika i betona odn.
1. Teorija graničnih stanjaPretpostavke o ponašanju preseka u graničnom stanju loma:
Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecimaCelokupne napone zatezanja prihvata armaturaNije narušena veza između čelika i betona odn. εb = εa
6
Teorija graničnih stanja
• Pretpostavke o ponašanju preseka u graničnom stanju loma:1. Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecima2. Celokupne napone zatezanja prihvata armatura3. Nije narušena veza između čelika i betona odn. 4. Veza napon-dilatacija betona se aproksimira radnim
dijagramom betona (RDB)
σb
2.0
fB
1. Teorija graničnih stanjaPretpostavke o ponašanju preseka u graničnom stanju loma:
Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecimaCelokupne napone zatezanja prihvata armaturaNije narušena veza između čelika i betona odn. εb = εa
dilatacija betona se aproksimira radnim
7
εb [‰]
3.5
Teorija graničnih stanja
• Pretpostavke o ponašanju preseka u graničnom stanju loma:1. Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecima2. Celokupne napone zatezanja prihvata armatura3. Nije narušena veza između čelika i betona odn. 4. Veza napon-dilatacija betona se aproksimira radnim
dijagramom betona (RDB)5. Veza napon-dilatacija čelika se aproksimira radnim dijagramom
čelika (RDČ) σa [MPa]
εv
240
500MA 500/560
RA 400/500
GA 240/360
1. Teorija graničnih stanjaPretpostavke o ponašanju preseka u graničnom stanju loma:
Važi Bernulijeva hipoteza o ravnim presecimaCelokupne napone zatezanja prihvata armaturaNije narušena veza između čelika i betona odn. εb = εa
dilatacija betona se aproksimira radnim
dilatacija čelika se aproksimira radnim dijagramom
8
MA 500/560
RA 400/500
GA 240/360
10
εa [‰]
Teorija graničnih stanja
• U oblasti dilatacija betona 0 ≤
a u oblasti 2 ‰≤ εb ≤ 3.5 ‰:
• Gde je fb računska čvrstoća betona pri pritisku
Radni dijagram betona
MB 10 15 20 30 40
fb 7 10.5 14 20.5 25.5
PBAB87 čl. 82
U oblasti dilatacija betona 0 ≤ εb ≤ 2 ‰ važi relacija:
računska čvrstoća betona pri pritisku
εb [‰]
3.5
σb
2.0
fB
Radni dijagram betona9
50 60
30 33
Radni dijagram čelika• Prema Pravilniku BAB 87 - bilinearni RDČ uz ograničenje
maksimalne dilatacije u armaturi na 10 ‰!• Lom nosača po armaturi => napon dostiže granicu
razvlačenja σv
PBAB87 čl. 83
bilinearni RDČ uz ograničenje maksimalne dilatacije u armaturi na 10 ‰!Lom nosača po armaturi => napon dostiže granicu
10
σa [MPa]
εv
σv=400
240
500MA 500/560
RA 400/500
GA 240/360
10
εa [‰]
PBAB87 čl. 83
Principi proračuna. Koeficijenti sigurnosti• Suština proračuna sastoji se u dokazu da je granična
nosivost preseka Nu veća ili jednaka od dejstva koje u preseku izazivaju granični uticaji
• Proračun konstrukcija se vrši uz brojne pretpostavke, pojednostavljenja i nepoznanice:• Veličine opterećenja?• Tačnost određivanja mehanički osobina materijala?• Usvajanje proračunskog sistema?• Odstupanja u toku građenja?
• Nosivost mora biti veća od uticaja za
Nu ≥ S
Principi proračuna. Koeficijenti sigurnostiSuština proračuna sastoji se u dokazu da je granična
veća ili jednaka od dejstva koje u preseku izazivaju granični uticaji Su
Proračun konstrukcija se vrši uz brojne pretpostavke, pojednostavljenja i nepoznanice:
Tačnost određivanja mehanički osobina materijala?Usvajanje proračunskog sistema?Odstupanja u toku građenja?
Nosivost mora biti veća od uticaja za koeficijent sigurnosti
11
Su
Moguća stanja deformacije preseka• Granično stanje loma – moguća stanja dilatacija u preseku:
Moguća stanja deformacije presekamoguća stanja dilatacija u preseku:
12
a a' c
ZATEZANJE
b
εb2 εa2
εa1 εb1 3
b
h - a
2a 1
d
Aa2
Aa1
a 2
10‰
Moguća stanja deformacije preseka• Linija h:
centrični pritisak - εb = εa = 2‰
PBAB87 čl. 84
d e
g
f
h
ZATEZANJE PRITISAK
37
d4
7 d
C
2 3.5
3.52εv 0
γu,i
Moguća stanja deformacije preseka
= 2‰
13
Moguća stanja deformacije preseka• Područje između linija a i b:
čisto zatezanje ili ekscentrično zatezanje u fazi malog ekscentriciteta - εa = -10‰; ε
a a' c
ZATEZANJE
b
εb2 εa2
εa1 εb1 3
b
h - a
2a 1
d
Aa2
Aa1
a 2
10‰
PBAB87 čl. 84
Moguća stanja deformacije preseka
čisto zatezanje ili ekscentrično zatezanje u fazi malog εb ≤ 0‰
14
d e
g
f
h
ZATEZANJE PRITISAK
37
d4
7 d
C
2 3.5
3.52εv 0
γu,i
Određivanje graničnih uticaja za dimenzionisanje• Određivanje statičkih uticaja u merodavnim presecima od:
Sg – dejstva sopstvene težine i stalnog opterećenjaSp – dejstva promenljivih opterećenja (korisno, pokretno, sneg, vetar)SΔ – dejstva od promene temperature, sleganja i razmicanja oslonaca, skupljanja i sl.
Određivanje graničnih uticaja za dimenzionisanjeOdređivanje statičkih uticaja u merodavnim presecima od:
dejstva sopstvene težine i stalnog opterećenjadejstva promenljivih opterećenja (korisno, pokretno,
dejstva od promene temperature, sleganja i razmicanja
15
• Određivanje graničnih uticaja pri dejstvu SSu = 1.6 Sg + 1.8 Sp zaSu = 1.9 Sg + 2.1 Sp za
• Određivanje graničnih uticaja pri dejstvu SSu = 1.3 Sg + 1.5 Sp + 1.3 SΔ
Su = 1.5 Sg + 1.8Sp + 1.5 SΔ
• Kada su dilatacije u armaturi sigurnosti se određuju interpolacijom
Određivanje graničnih uticaja za dimenzionisanjePBAB87 čl. 80Određivanje graničnih uticaja pri dejstvu Sg i Sp:
-10 ≤ εa ≤ -3‰ εa ≥ 0‰
Određivanje graničnih uticaja pri dejstvu Sg, Sp i SΔ:
Δ za -10 ≤ εa ≤ -3‰ za εa ≥ 0‰
Kada su dilatacije u armaturi -3 ≤ εa ≤ 0‰ koeficijenti sigurnosti se određuju interpolacijom
16
Određivanje graničnih uticaja za dimenzionisanje
• Ukoliko opterećenja Sp i SΔ deluju “povoljno” ne treba ih uzeti u obzir
• Ako stalno opterećenje Sg deluje povoljno:• Određivanje graničnih uticaja pri dejstvu S
Su = 1.0 Sg + 1.8 Sp zaSu = 1.2 Sg + 2.1 Sp za
• Određivanje graničnih uticaja pri dejstvu SSu = 1.0 Sg + 1.5 Sp + 1.3 SΔ
Su = 1.2 Sg + 1.8Sp + 1.5 SΔ
Određivanje graničnih uticaja za dimenzionisanjePBAB87 čl. 80
deluju “povoljno” ne treba ih
deluje povoljno:Određivanje graničnih uticaja pri dejstvu Sg i Sp:
-10 ≤ εa ≤ -3‰ εa ≥ 0‰
Određivanje graničnih uticaja pri dejstvu Sg, Sp i SΔ:
Δ za -10 ≤ εa ≤ -3‰ za εa ≥ 0‰
17
Određivanje graničnih uticaja za dimenzionisanje
2. Centrični pritisak18
Centrični pritisak
2. Centrični pritisak19
Centrični pritisak
2. Centrični pritisak
N u
d
b
A a 1
G b
A a 2
Centrični pritisak20
ε a = 2 ‰
ε b = 2 ‰ σ b = f B
σ a = σ v
2. Centrični pritisak
a a'
εε
εε
b
h - a
2a 1
d
Aa2
Aa1
a 2
10‰
Centrični pritisak21
a' dc e
g
f
h
ZATEZANJE
b
PRITISAK
37
d4 7
d
C
εb2 εa2
εa1 εb1
2 3.5
3.523 εv 0
γu,i
γg=1,9; γp=2,1
2. Centrični pritisak
- λ ≤25 proračun se radi bez uticaja izvijanja
- 25 < λ ≤ 75 primenjuje se približan proračun koji uzima u obzir uticaje izvijanja
- 75 < λ ≤ 140 primenjuje se tačan proračun koji uzima u obzir uticaje izvijanja
iλ =li
Centrični pritisak22
proračun se radi bez uticaja izvijanja
primenjuje se približan proračun koji uzima u obzir uticaje izvijanja
primenjuje se tačan proračun koji uzima u obzir uticaje izvijanja
2. Centrični pritisak
d
b
h - a
a 1a 2
d2
d2
0
Nu
Aa1
Aa2
Gb
Centrični pritisak23
2‰
0 2
d2
d2
Da2u
σb=fB
εa1
εa2
Da1u
Dbu
σa2
σa1
ΣNu=0: Nu = Dbu + Dau1 + Dau2
Dbu = σb · b · d
εb= 2‰ ⇒ σb= f b
Dbu = fB · b · d
Nu= Ab · fB + Aa · σv
Nu= fB · Ab · (1+µ)
σv
εb [‰ ]3.5
σb
2.0
f B
Dau= σau‧
εa= 2‰ ⇒
Dau= σv‧A
2. Centrični pritisak24
B
V
fσ
µµ ⋅=b
a
AA
=µ
εa
σa
10‰
v
ε v
2‰
GA
RA
MAG ili MAR
‧Aa
⇒ σa1= σa2=σv
Aa
Centrični pritisak
d
b
h - a
a 1a 2
2‰
d2
d2
0 2
d2
d2
Da2u
Nu
Aa1
Aa2
Gb
σb=fB
εa1
εa2
Da1u
Dbu
σa2
σa1
ΣNu=0: Nu = Dbu + Dau1 + Dau2
Dbu = σb · b · d
εb= 2‰ ⇒ σb= f b
Dbu = fB · b · d
Nu= Ab · fB + Aa · σv
Nu= fB · Ab · (1+µ)
Dau= σau‧
εa= 2‰ ⇒
Dau= σv‧A
2. Centrični pritisak25
B
V
fσ
µµ ⋅=b
a
AA
=µ
‧Aa
⇒ σa1= σa2=σv
Aa
Centrični pritisak
d
b
h - a
a 1a 2
2‰
d2
d2
0 2
d2
d2
Da2u
Nu
Aa1
Aa2
Gb
σb=fB
εa1
εa2
Da1u
Dbu
σa2
σa1
= ⋅σ
µ µ V
Bf
=µ a
b
AA -geometrijski koeficijent
-mehanički koeficijent
Nu= fB · Ab · (1+µ)
=⋅ + µ(1 )
ub
b
NA
f
= ×µ, . , .a potr b potrA A
2. Centrični pritisak26
koeficijent armiranja
koeficijent armiranja
Nu=1,9·Ng + 2,1·Np
Centrični pritisak
MINIMALNI PROCENTI ARMIRANJA
Ø CENTRIČNI PRITISAK: µ
,max .
15min . min ( , )
30
=
u
Øe b d
cm
= Φ Φ
,
,
0,6%
max 0,3%4 12 , .6 12
b potr
a b stv
A
A Aza pravougaone tj za kružne preseke
za σb= fb → µmin= 0.6 % podužna armatura Aa
poprečna armatura (uzengije)
PBAB87 čl.
27MINIMALNI PROCENTI ARMIRANJA
= ⋅ = ⋅ +
σµmin 100 0.3 1 (%)a b
b B
AA f
Φ Φ4 12 , .6 12za pravougaone tj za kružne preseke
= 0.6 %
µµmmaxax= 6 %= 6 %
PBAB87 čl. 188PBAB87 čl. 189
PBAB87 čl. 190
2. Centrični pritisak
Ø Usvojena podužna armaturaPO OBIMU PRESEKA;
Ø Uzengije se raspoređuju takopodužne armature bude obuhvaćenauzengije.
Ø Maksimalni razmak šipkipreseku je 40 cm;
Ø Minimalni prečnik šipkestubovima iznosi 12 mm, a
PBAB87 čl.
PBAB87 čl. 188
PBAB87 čl. 189
28
armatura Aa raspoređuje se jednako
tako da svaka šipkaobuhvaćena ćoškom
šipki podužne armature Aa u
podužne armature Aa uu zidovima 8 mm;
PBAB87 čl. 191
PBAB87 čl. 189
PRIMER 1
Dimenzionisati centrično pritisnuti stubukoliko je presek opterećen silama Na) pravougaoni, zadate širine b = 30cmb) kružnog oblika.
Ng = 630 kN Np = 398 kN
MB 25 ⇒ fB = 17.25 MPa = 1.725 kN/cmGA 240/360 ⇒ σv = 240 MPa = 24 kN/cm
29
centrično pritisnuti stub (ne uvodeći u proračun izvijanje), opterećen silama Ng i Np:
b = 30cm,
MB 25 GA 240/360
= 17.25 MPa = 1.725 kN/cm2
= 240 MPa = 24 kN/cm2
PRIMER 1Ø RAČUNSKI STATIČKI UTICAJI:
Nu= 1.9‧Ng + 2.1‧Np = 1.9‧630 +
Ø usv. µ = µmin = 0.6% µ = µ × = × =
30
RAČUNSKI STATIČKI UTICAJI:
630 + 2.1‧398 = 2032.8 kN
v
b
2400 6 8 35f 17 25
. . %.
σµ = µ × = × =
Ø POTREBNA POVRŠINA BETONA:
Nu= fB · Ab · (1+µ)
= = =× + ×× + µ
, .2032.8
1.725 (1 8.35 10 )(1 )u
b potrB
NA cm
f
= = =, ..
1087.6 36.330
b potrpotr
Ad cm
b
usvojeno
PRIMER 1a) 31
POTREBNA POVRŠINA BETONA:
−= = =
× + ×2
2
2032.8 1087.61.725 (1 8.35 10 )
A cm
36.3d cm
usvojeno: b/d = 30/40 cm
⇒ usvojeno: 4Ø16 (8.04 cm= × =
= = =
,max.
15 15 1.6 24min. min( , ) 30 24
30u
Ø cme b d cm cm
cm
⇒⇒ usvojeno: UØ8/20
-2 2,
-2 2,
2
0,6% 0.6 10 1087.6 6.53 cm
max 0,3% 0.3 10 30 40 3.6cm4 12 4.52cm
b potr
a b stv
A
A AØ
= ⋅ ⋅ == = ⋅ ⋅ ⋅ = =
PRIMER 1a) 32
(8.04 cm2) = = =
15 15 1.6 24min. min( , ) 30 24
Ø cme b d cm cm
-2 2
-2 2
0,6% 0.6 10 1087.6 6.53 cm
max 0,3% 0.3 10 30 40 3.6cm
= ⋅ ⋅ =
= = ⋅ ⋅ ⋅ =
30
224
UØ8/20 32
2Ø16
4
4
4
2Ø16
40
= × = = = =
,max.
15 15 1.2 18min. 40 18
30u
Ø cme D cm cm
cm
⇒⇒ usvojeno:UØ8/15
= × = × =π πpotr. b,potr.4 4D A 1087.6 37.2cm
⇒ usvojeno:6Ø12(6.78 cm2)
PRIMER 1b)
=⋅⋅=
=⋅⋅=
= −
−
φ
π
6
cm77.34
40103.0%3.0
cm53.66.1087106.0%6.0
max2
2,
2,
stvb
potrb
a A
A
A
33
⇒ usvojeno:
D=40cm
= = =
15 15 1.2 18min. 40 18
Ø cme D cm cm
= × = × =D A 1087.6 37.2cm
6Ø12
40
324
UØ8/15
4
cm
cm2
2
PRIMER 2
Dimenzionisati centrično pritisnuti stubukoliko je presek, opterećen silama Na) pravougaoni, zadatih dimenzija b/d = 40/80 cmb) pravougaoni, zadatih dimenzija b/d = 30/50 cm
Ng = 1000 kN Np = 950 kN
MB 30 ⇒ fB = RA 400/500 ⇒ σv
34
centrično pritisnuti stub (ne uvodeći u proračun izvijanje), opterećen silama Ng i Np:
zadatih dimenzija b/d = 40/80 cmzadatih dimenzija b/d = 30/50 cm
MB 30 RA 400/500
= 20.50 MPa = 2.05 kN/cm2
= 400 MPa = 40 kN/cm2
PRIMER 2a)
ØGranična normalna sila:Nu= 1.9‧Ng + 2.1‧Np = 1.9‧1000
Ø Uslov ravnoteže normalnih silaNu= fB·Ab+ σv·Aa
⇒Nije potrebna računska armatura!
Ø Aa = 0.0048‧40 ‧80 =15.36 cm
NAa =
= ⋅ = ⋅ +
σµmin 100 0.3 1 (%)a b
b B
AA f
2389513.013.0min
+⋅=
+⋅=
B
bu
fAN
µ
35
1000 + 2.1‧950 = 3895 kNže normalnih sila:
čunska armatura!
cm2
26.6640
05.280403895 cmfANv
bu −=××−
=×−
σB
?
σ100 0.3 1 (%)a b
A f
%48.005.222.113.0
05.232003895
=
+⋅=
PRIMER 2b)
ØGranična normalna sila:Nu= 1.9‧Ng + 2.1‧Np = 1.9‧1000
Ø Uslov ravnoteže normalnih silaNu= fB·Ab+ σv·Aa
⇒Potrebna je računska armatura!usv.6RØ22(22.8 cm2)
Ø Kontrola procenta armiranja
Aa =
%6.0%52.10152.01500
8.22>====
b
a
AA
µ
36
1000 + 2.1‧950 = 3895 kNže normalnih sila:
čunska armatura!
armiranja:
25.2040
05.250303895 cmfANv
bu =××−
=×−
σB
%
= × = = = =
,max .
15 15 2.2 33min. min( , ) 30 30
30u
Ø cme b d cm cm
cm
PRIMER 2b) 37
= × = = = =
15 15 2.2 33min. min( , ) 30 30
Ø cme b d cm cm
Odrediti koliku silu pritiskamože prihvatiti stub napravljenkao na slici. Sila od stalnog opterećenja
PRIMER 3 38
od povremenog opterećenjanapravljen od betona MB30 i armiran
opterećenja Ng= 1000 kN.
Ø Nu= Ab · fB + Aa · σv
Ø Nu= 1,9‧Ng + 2,1‧Np
( ) (= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + =40 60 2,05 10 2,84 40 4920 1136 6056uN kN
− ⋅ − ⋅= = =
1,9 6056 1,9 10002,1 2,1
u gp
N NN kN
PRIMER 3 39
)= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + =40 60 2,05 10 2,84 40 4920 1136 6056N kN
− ⋅= = =
6056 1,9 1000 1979,12,1 2,1
N kN
3. Centrično zatezanje40
čno zatezanje
3. Centrično zatezanje
Ø UKUPNU SILU ZATEZANJA
ØDimenzije preseka se određujupravilnog raspoređivanja armature!
uZa
v
Aσ
=
41
čno zatezanje
ZATEZANJA PRIHVATA ARMATURA!
određuju isključivo iz uslovaarmature!
10
eH ≥ 5 cm
e V ≥
3 c
m
b ≥ 2×2.5 + 2×0.8 + 5×2.0 + (5-d ≥ 2×2.5 + 2×0.8 + 3×2.0 + (3-
b ≥ 2a0 + 2Øu + m×Ø + (md ≥ 2a0 + 2Øu + n×Ø + (n
3. Centrično zatezanje 42
Na primer za:
m = 5
n = 3
-1)×5.0 = 36.6 cm ⇒ b = 40 cm-1)×3.0 = 18.6 cm ⇒ d = 20 cm
(m-1)×eH(n-1)×eV
čno zatezanje
Ø Odrediti potrebnu površinu armaturepresek pravougaonog oblikaelementa.
Ø Granična sila zatezanja:Zu= 1.6 ·Zg + 1.8 ·Zp = 1.6 ·305
Zg = 305 kN Zp = 337
GA 240/360 ⇒ σ
PRIMER 4
= = =σ
21094.6 45.624.0
ua
v
ZA cm
b ≥ 2×2.5 + 2×0.8 + 5×2.0 + (5-d ≥ 2×2.5 + 2×0.8 + 3×2.0 + (3-
43
armature i oblikovati poprečnioblika centrično zategnutog
305 + 1.8 ·337=1094.6 kN
337 kN GA 240/360
σv = 240 MPa = 24 kN/cm2
2A cm usvojeno: 15Ø20 (47.12 cm2)
-1)×5.0 = 36.6 cm b = 40 cm-1)×3.0 = 18.6 cm d = 20 cm
2x8=16
5.5
40
4.5
4.5
5.5
4.5
20
7.5
aI = a0 + Øu + Ø/2 = 2.5 + 0.8 + 2.0/2 =
PRIMER 4 44
7.52x8=16 4.5
UØ8/305Ø20
5Ø20
5Ø20
+ Ø/2 = 2.5 + 0.8 + 2.0/2 = 4.3 cm ⇒ usv. aI = 4.5 cm
MuZu
y b2
y b1
b
Aa1
Gb
"1"
"2"
Aa2
e4. Mali ekscentricitet
45
Zau1
εa1 = 10‰
a1
εa2
b
a2Zau2
y a1
y a2
a 2a 1
d
Mali ekscentricitet – sila zatezanja
e < d/2-a1e = M/ ZZa1=Aa1·σa1=Aa1·σvZa2=Aa2·σa2=Aa2·σv
Σ M(Aa1) = 0 Σ
= ×+σ1
21 2
-u aa
v a a
Z y eAy y
u a a a a vZ Z Z A A
mali ekscentricitet
MuZu
y b2
εa1 = 10‰
y b1
b
Aa1
εa2
Gb
"1"
"2"
Aa2
e
4. Mali ekscentricitet 46
Σ M(Aa2) = 0
( )= + = + ⋅σ1 2 1 2u a a a a vZ Z Z A A
mali ekscentricitet
Zau1
= 10‰
a2
Zau2
y a1
y a2
a 2a 1
d
Mali ekscentricitet – sila zatezanja
e < d/2-a1e = M/ ZZa1=Aa1·σa1=Aa1·σvZa2=Aa2·σa2=Aa2·σv
Σ M(Aa1) = 0 Σ
= ×+σ1
21 2
-u aa
v a a
Z y eAy y
u a a a a vZ Z Z A A
mali ekscentricitet
4. Mali ekscentricitet 47
Σ M(Aa2) = 0
+= ⋅
+σ2
11 2
u aa
v a a
Z y eAy y
( )= + = + ⋅σ1 2 1 2u a a a a vZ Z Z A A
+ = =σ1 2
ua a a
v
ZA A A
mali ekscentricitet
Mali ekscentricitet – sila zatezanja
Ø Odrediti potrebnu površinupoprečni presek zadatihzatezanja i momentom savijanja
PRIMER 5
Zg = 305 kN Zp = 337
Mg= 6.6 kNm
b=30cmd=25cm
GA 240/360 ⇒ σv = 240 MPa = 24 kN/cm
48
površinu armature za pravougaonidimenzija, opterećen silom
savijanja.
337 kN
= 240 MPa = 24 kN/cm2
Zu = γu,g×Zg + γu,p ×Zp
Mu= γu,g×Mg
γu,g=? γu,p=?
PRIMER 5Ista vrednost!
49
Ista vrednost!
96.01094.6
1010.56ZMe
2
u
u =×
==
pretp. a1 = a2 = 4.5 cmya1 = ya2 = d/2 – a1 = 25/2 –
v
u2a1a 45
24.01094.6ZAA ==
σ=+
Zu = 1.6 × Zg + 1.8 ×Zp = 1.6 ×
Mu = 1.6 × Mg = 1.6 × 6.6 = 10.
PRIMER 5 50
cm
– 4.5 = 8.0 cm
2cm61.45
305+1.8 × 337 = 1094.6 kN.56 kNm
≈ 6Ø25 ; a1ya1 = 25/2 – 6.33 = 6.17 cm
≈ 4Ø25 ; a2ya2 = 25/2 – 4.5 = 8.0 cm
2a1a
2a
v
u1a 0.8
0.861.45yyeyZA ×=
++
×σ
=
2a1a
1a
v
u2a 0.8
0.861.54yyeyZA ×=
+−
×σ
=
PRIMER 5 51
= 6.33 cm6.33 = 6.17 cm
2 = 4.5 cm4.5 = 8.0 cm
2cm55.250.8096.0
=+
+
2cm05.200.8096.0
=+
−
2a1a
2a
v
u1a 17.6
0.861.45yyeyZA +
×=++
×σ
=
2a1a
1a
v
u2a 17.6
17.661.54yyeyZA ×=
+−
×σ
=
usv. 6Ø25 (29.45 cm2) ; a
usv. 4Ø25 (19.63 cm2) ; a
PRIMER 5 52
2cm85.280.817
96.0=
++
2cm75.160.81796.017
=+
−
) ; a1 = 6.33 cm
) ; a2 = 4.5 cm
30
3x7=21
25
4.5
5.5
4.5
4.5
4.5
10.5
UØ8/30
4Ø25
4Ø25
2Ø25
PRIMER 5 53
UØ8/30
4Ø25
4Ø25
2Ø25
aI = a0 + Øu + Ø/2aI = 2.5 + 0.8 + 2.5/2 = 4.55 cmusv. aI = 4.5 cm
aII = aI + eV + 2×Ø/2aII = 4.5 + 3.0 + 2×2.5/2usv. aII = 10 cm
a1 = (4×4.5 + 2×10)/6a1 = 6.33 cm