03 - veliki ekscentricitet - cisto savijanje pravougaonik.pdf
TRANSCRIPT
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
1/68
1
Prora unsk i model - pravougaoni presek
Dbu
Zau
Mu
z
y b 2
h d
εa1 ≤ 10‰
a 1
y b 1
b
Aa1
εb ≤ 3.5‰
x
Gb
σb ≤ f B
η x
"1"
"2"
BbBbbu f hbsf x bD ⋅⋅⋅⋅α=⋅⋅⋅α=
b
1a1ab
b
1
1
h
x s
εε
+=
ε+εε==
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
2/68
2
a a' d c e
g
f
h
ZATEZANJE
b
PRITISAK
3 7
d
4 7
d
C
ε b2 εa2
εa1 ε b1
2 3.5
3.5 2 3 εv 0 b
h
- a 2
a 1
d
Aa2
Aa1
γ u,i
a 2
10‰
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
3/68
3
Koef ic i jen t puno # e naponskog d i jagrama betona αb
f B
PARABOLA PRAVA
ε b3.5
σ b
2.0
f B
PARABOLA PRAVA
ε b3.52.0ε b
ε b
σ b
( ) ‰)2 0 ( 6 12
bbb
b ≤ε≤ε−×ε
=α ‰)5 .3‰2 ( 3
2 3b
b
bb ≤ε≤ε
−ε=α
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
4/68
4
Polo aj si le pr i t iska u betonu
( )‰)2 0 (
6 48
b
b
b ≤ε≤ε−×
ε−=η
( )( ) ‰)5 .3‰2 ( 2 32
2 43b
bb
bb
≤ε≤−ε×ε+−ε×ε
=η
( ) hs1h x hz ×ζ=×η−×=×η−=
Krak unu trašn jih s ila
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
5/68
5
Ra unska vrsto # a betona
10.5
15
33 30 25.5 20.5 14 f B
60 50 40 30 20 MB
Definisano lanom 82. PBAB 87.
Vrednost i iz tabele se UMANJUJU ZA 10% za elemen te
kons truk ci ja koj ima je VISINA PRESEKA MANJA OD 12 CM.
Me % uvredno st i - l inearna interpolac i ja
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
6/68
6
Sila zatezan ja u armatur i
εa [‰]
σa [MPa]
10εv=σv /E a
εq=σq /E a
σv=400
240
500 MA 500/560
RA 400/500
GA 240/360
ZATEZANJE PRITISAK
σq=|σv| v 1a1a1aau A AZ σ×=σ×=
v a1a1a E σ≤×ε=σ
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
7/68
7
Koef ic i jen t i arm iran ja
B
v 1
B
v 1aM 11f f hb As σ×µ=σ××=×α=µ=µ
.MIN 1a
1hb
Aµ≥
×=µ
GEOMETRIJSKI KOEFICIJENT ARMIRANJA :
MEHANI & KI KOEFICIJENT ARMIRANJA :
=µ )RA( %20 .0
)GA( %25 .0 .MIN
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
8/68
8
ζ××α=
s1k
bu
B
hk M
b f
=
×
Uslov ravnote e MOMENATA
Uslov ravnote e NORMALNIH SILA
11 B
a
v
f A b hµ
σ
= × × ×
1u u
a
v v
M M A
z hσ ζ σ= =
× × ×
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
9/68
9
1. Sra unavaju se grani ni ra unski stati ki uticaji
2. Usvajaju se εb
i εa, pri emu bar jedna mora
dosti # i grani nu vrednost.
Za usvojene vrednosti dilatacija iz tabela se
o itavaju koeficijenti k i µ1M, odnosno ζ.
), p,g i ( M M i
i i ,uu ∆=×γ = ∑
& i s to sav i jan je –SLOBODNO dimenzion isan je
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
10/68
10
& i s to sav i jan je –SLOBODNO dimenzion isan je
3. Sra unava se stati
ka visina h:
i potrebna površina armature iz izraza:
ili
B
u.TABLab
f b
M k hk /
×=⇒ → εε
)( / .TABLab ζµ → εε
v
Ba
f
100
hb A σ×
××µ=
v
u
v
ua
h
M
z
M A σ××ζ=σ×=
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
11/68
11
4. Usvaja se b ro j i pre nik šipk i armature . Usvojena armatura se raspore % u je u preseku (a 0 , is to
ras to jan je izme % u šipki )
5. Sra unava se polo aj te išta a 1 usvo jene armature iusvaja vis ina preseka d :
d = h + a 1 6. Kona no se kons truiše popre n i p resek i pr ikazu je u
odgovaraju # o j razmer i (1:10) sa svim po trebn im kotama i oznakama.
& i s to sav i jan je –SLOBODNO dimenzion isan je
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
12/68
12
Primer 3b - SLOBODNO dimenzion isanje
Odrediti visinu i potrebnu površinu armature za presek pravougaonog oblika, optere# enmomentima savijanja usled stalnog ( Mg ) i
povremenog ( Mp ) optere# enja. Podaci za prora un:
M g = 60 kNm b = 25 cm MB 30
M p = 80 kNm GA 240/360
MB 30 ⇒ f B = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm 2
GA 240/360 ⇒ V = 240 MPa = 24 kN/cm
2
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
13/68
13
M u = 1.6×60 + 1.8×80 = 240 kNm
N u = 0 ⇒ M au = M u = 240 kNm
usv. εb/εa1 = 3.5/10‰
k = 2.311 ; µ1M = 20.988% ; ζ = 0.892
cm0 .50 05 .2 25
10 240 311.2 f b
M k h2
B
u =×
××=×
=
Primer 3b - SLOBODNO dimenzion isanje
2.31120.9880.8920.4160.8100.2593.510
kµ1M %ζηαsεbεa
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
14/68
14
ili:
2
v
Ba cm41.22
2405 .2
100 0 .50 25 988 .20 f
100 hb A =×××=σ×××µ=
Primer 3b - SLOBODNO dimenzion isanje
2 2
v
u
v
ua cm42 .22
240 .50 892 .0
10 240
h
M
z
M A =
×××
=σ××ζ
=σ×
=
usvojeno: 6Ø22 (22.80 cm2 )
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
15/68
15
Primer 3b - SLOBODNO dimenzion isanje
a I = 2.5 + 0.8 + 2.2/2 = 4.4 cm
a II = 4.5 + 3.0 + 2×2.2/2=9.7 cm
a 1 = (3×4.4 + 3×9.7)/6=7.05 cm
d = 50 + 7.05 = 57.05 cm
usv. d = 60 cm 2 0
2 5 . 5
4 . 5
4
. 5
4.5
25
6 0
2x8 4.5
5 . 5
3Ø22
3Ø22
2Ø12
UØ8/30
2Ø22
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
16/68
16
Primer 3b - SLOBODNO dimenzion isanje
2 0
2 5 . 5
4 . 5
4 . 5
4.5
25
6 0
2x8 4.5
5
. 5
4 . 5
4
. 5
2 0 . 5
5
. 5
1 5
5 0
25
4.5 2x8 4.5
3Ø25
3Ø25
UØ8/30
2Ø12
2Ø25
4 . 5
4 . 5
2 2
5
1 7
7 5
25
4.5 2x8 4.5
3Ø22
3Ø22
2Ø12
UØ8/30
2Ø22
2Ø20
3Ø20
3Ø20
2Ø12
UØ8/30
2Ø12 2 2
LOM PO BETONU SIMULTANI LOM LOM PO ARMATURI
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
17/68
17
Ø Poznato: Ø stati ki uticaji za (Mi) – sra unato
Ø kvalitet materijala (f B , σv) – usvojeno
Ød imenzi je popre
nog p reseka
(b, d)
Ø Nepoznato:
Ø površina armatu re ( Aa)
Ø stanje dilatacija preseka (s)
& is to savi janje - VEZANO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
18/68
18
& is to savi janje - VEZANO dimenzionisanje
1. Sra unavaju se grani ni ra unski stati ki uticaji
Pri tome se usvajaju MINIMALNE vrednosti γ ui
2. Pretpostavlja se položaj težišta zategnute armature a1 ina osnovu toga sra unava stati ka visina
Veli ina a1 se pretpostavlja u granicama (0.05-0.15)×d
), p,g i ( M M i
i i ,uu ∆=×γ = ∑
1ad h −=
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
19/68
19
3. Sra
unava se koeficijent k :
i pro itaju dilatacije εb, εa1.
Ako je εa1( 3‰ , sra unava se potrebna
površina armature iz izraza:
( )TABLICE u
u
B
h M k
M
b f
µ ζ⇒ = →
×
& is to savi janje - VEZANO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
20/68
20
ili:
Ako je εa1 < 3‰ , presek se DVOSTRUKO armira
v
Ba
f 100
hb Aσ
×××µ=
v
u
v
ua
hM
z M A
σ××ζ=
σ×=
& is to savi janje - VEZANO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
21/68
21
& is to savi janje - VEZANO dimenzionisanje
4. Usvaja se b ro j i pre nik šipk i armature .Usvojena armatura se raspore% uje u preseku (a0 , isto rastojanje izme% u šipki)
5. Sra unava se po lo aj te išta a 1 usvojenearmature i stat i ka v is ina h i upore% uje sa
pretpostavljenom.Ø U slu aju znatnijih odstupanja, prora un se
ponavlja sa korigovanom vrednoš# u a1.
6. Kona no se kons truiše popre n i p resek i
prikazuje u odgovaraju# oj razmeri (1:10) sa svim potrebnim kotama i oznakama.
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
22/68
22
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
Ø Odredit i pot rebnu površinu armature za presek poznat ih d imenzi ja, pravougaonog obl ika,optere # en g ran i n im momen tom sav ijan ja M u .Podac i za prora un:
M u = 300 kNm b = 40 cm MB 30 d = 60 cm RA 400/500
MB 30 ⇒ f B = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm 2
RA 400/500 ⇒
V = 400 MPa = 40 kN/cm 2
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
23/68
23
pretp. a1 = 7 cm
h = d – a1 = 60 – 7 = 53 cm
771.2
05 .2 40
10 300
53
f b
M
hk
2
B
u
=
××
=
×
=
2.78113.9780.9250.3880.7220.1942.40010
2.76514.1520.9240.3890.7250.1952.42510
2.75014.3240.9230.3890.7280.1972.45010
kµ1M %ζηαsεbεa
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
24/68
24
v
Ba
f
100
hb A
σ×
××µ=
2.76514.1520.9240.3890.7250.1952.42510
kµ1M %ζηαsεbεa
ili:
2 a cm38 .15
40
05 .2
100
5340 152 .14 A =×
××=
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
25/68
25
v
u
v
ua
h
M
z
M A
σ××ζ=
σ×=
2.76514.1520.9240.3890.7250.1952.42510
kµ1M %ζηαsεbεa
usvojeno: 6RØ19 (17.01 cm2 )
2 2
a cm31.15 40 53924.0
10 300 A =
×××
=
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
26/68
26
40
2 5 . 5
6 0
4.5 4
. 5
5
4 . 5
4.5
4RØ19
2RØ19
UØ8/25
10
2RØ12
2 0 . 5
11 10
2RØ19 a I = a 0 + Ø u + Ø/2
a I = 2.5 + 0.8 + 1.9/2 = 4.25 cm
usv. a I = 4.5 cm
a II = a I + e V + 2×Ø/2
a II = 4.5 + 3.0 + 2×1.9/2
usv. a II = 9.5 cm
a 1 = (4×4.5 + 2×9.5)/6
a 1 = 6.17 cm
h = 60 - 6.17 = 53.83 cm > 53 cm
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
27/68
27
2.76514.1520.9240.3890.7250.1952.42510
kµ1M %ζηαsεbεa
D bu = αb × s × b × h × f B
D bu = 0.725×0.195×40×53×2.05 = 612.3 kN
Z au = A a1 × σa1 = A a1 × σv
Z au = 15.31×40 = 612.3 kN = D bu
x = s × h = 0.195×53 = 10.31 cm
z = ζ × h = 0.924×53 = 49.0 cm
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
28
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
28/68
28
εa1 = 10‰b=40
Aa1
ε b = 2.425‰
x = 1 0 . 3
1
h = 5 3
a
1 = 7
d = 6 0
M u=300
z = 4 9
4
Dbu=612.3
Z au=612.3
Primer 1 - VEZANO dimenzionisanje
29
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
29/68
29
Ø Odredit i pot rebnu površinu armature za presek
poznat ih d imenzi ja, pravougaonog obl ika,optere # en g ran i n im momen tom sav ijan ja M u .Podac i za prora un:
M u
= 600 kNm b = 40 cm MB 30
d = 60 cm RA 400/500
MB 30 ⇒ f B = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm 2
RA 400/500 ⇒ V = 400 MPa = 40 kN/cm 2
Primer 2 - VEZANO dimenzionisanje
30
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
30/68
30
959.1
05 .2 40
10 600
53
f b
M
hk
2
B
u
=
×
×=
×
=
1.95531.1360.8400.3855.6
1.96030.9650.8410.3835.65
1.96430.7970.8420.3805.7
kµ1M %ζsεa
Primer 2 - VEZANO dimenzionisanje
pretp. a1 = 7 cm
h = d – a1 = 60 – 7 = 53 cm
31
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
31/68
31
0.416
η
0.810
αb3.5
εb1.96030.9650.8410.3835.65
kµ1M %ζsεa
ili:2
a cm64.3340
05 .2
100
5340 965 .30 A =×
××=
2 2
a cm66 .3340 53841.0
10 600 A =
×××
=
usvojeno: 7RØ25 (34.36 cm2 )
Primer 2 - VEZANO dimenzionisanje
32
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
32/68
32
Primer 2 - VEZANO dimenzionisanje
a I = a 0 + Ø u + Ø/2
a I = 2.5 + 0.8 + 2.5/2 = 4.55 cm
usv. a I = 4.5 cm
a II = a I + e V + 2×Ø/2
a II = 4.5 + 3.0 + 2×2.5/2
usv. a II = 10 cm
a 1 = (5×4.5 + 2×10)/7
a 1 = 6.07 cm
h = 60 - 6.07 = 53.93 cm > 53 cm
40
2 5 . 5
6 0
4.5
4 . 5
5 . 5
4 . 5
4.5
5RØ25
2RØ25
UØ8/25
8
2RØ12
2 0
2x7.5 8
2RØ25
33
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
33/68
33
D bu = αb × s × b × h × f B
D bu = 0.810×0.383×40×53×2.05 = 1346.4 kN
Z au = A a1 × σa1 = A a1 × σv
Z au = 33.66×40 = 1346.4 kN = D bu
x = s × h = 0.383×53 = 20.28 cm
z = ζ × h = 0.841×53 = 44.56 cm
0.416
η
0.810
αb3.5
εb1.96030.9650.8410.3835.65
kµ1M %ζsεa
Primer 2 - VEZANO dimenzionisanje
34
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
34/68
34
Primer 2 - VEZANO dimenzionisanje
M u=600
εa1 = 5.65‰b=40
Aa1
ε b = 3.5‰
x = 2 0 . 2
8
Z au=1346.4
Dbu=1346.4
z = 4 4 . 5
6
8 . 4
4
h = 5 3
a
1 = 7
d = 6 0
35
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
35/68
35
Zavisnost A a od promene M
0
10
20
30
40
50
100 200 300 400 500 600 700
Mu [kNm]
A a [ c m
2 ]
36
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
36/68
Primer 3 - VEZANO dimenzionisanje
Ø Odredit i pot rebnu površinu armature za presek
poznat ih d imenzi ja, pravougaonog obl ika,optere # en g ran i n im momen tom sav ijan ja M u .Podac i za prora un:
M u = 300 kNm b = 20 cm MB 30 d = 60 cm RA 400/500
MB 30 ⇒ f B = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm 2
RA 400/500 ⇒
V = 400 MPa = 40 kN/cm 2
37
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
37/68
Primer 3 - VEZANO dimenzionisanje
pretp. a1 = 7 cm
h = d – a1 = 60 – 7 = 53 cm
959.1
05 .2 20
10 300
53
f b
M
hk
2
B
u
=
×
×=
×
=
1.95531.1360.8400.3855.6
1.96030.9650.8410.3835.65
1.96430.7970.8420.3805.7
kµ1M %ζsεa
38
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
38/68
Primer 3 - VEZANO dimenzionisanje
0.416
η
0.810
αb
3.5
εb
1.96030.9650.8410.3835.65
kµ1M %ζsεa
ili:2
a cm82 .16 40
05 .2
100
5320 965 .30 A =×
××=
2 2
a cm83.16 40 53841.0
10 300 A =
×××
=
usvojeno: 6RØ19 (17.01 cm2 )
39
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
39/68
Primer 3 - VEZANO dimenzionisanje
a I = a 0 + Ø u + Ø/2
a I = 2.5 + 0.8 + 1.9/2 = 4.25 cm usv. a I = 4.5 cm
a II = a I + e V + 2×Ø/2
a II = 4.5 + 3.0 + 2×1.9/2
usv. a II = 9.5 cm
a 1 = (3×4.5 + 3×9.5)/6
a 1 = 7.0 cm
h = 60 - 7.0 = 53.0 cm = h pretp.
20
2 5 . 5
6 0
4.5 4 . 5
5
4 . 5
3RØ19
3RØ19
UØ8/25
2RØ12
2 0 . 5
2x5.5
2RØ19
4.5
40
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
40/68
Primer 3 - VEZANO dimenzionisanje
D bu = αb × s × b × h × f B
D bu = 0.810×0.383×20×53×2.05 = 673.2 kN
Z au = A a1 × σa1 = A a1 × σv
Z au = 16.83×40 = 673.2 kN = D bu
x = s × h = 0.383×53 = 20.28 cm
z = ζ × h = 0.841×53 = 44.56 cm
0.416
η
0.810
αb
3.5
εb
1.96030.9650.8410.3835.65
kµ1M %ζsεa
41
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
41/68
Primer 3 - VEZANO dimenzionisanje
εa1 = 5.65‰b=20
Aa1
h = 5 3
a 1 = 7
d = 6 0
M u=300 Dbu=673.2
Z au=673.2
ε b = 3.5‰
x = 2 0 . 2
8
z = 4 4 . 5
6
8 . 4
4
42
Z i t A d b
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
42/68
Zavisnost A a od promene b
10
12
14
16
18
20
15 20 25 30 35 40
b [cm]
A a [ c m
2 ]
43
P i 4 VEZANO di i i j
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
43/68
Primer 4 - VEZANO dimenzionisanje
Ø Odredit i pot rebnu površinu armature za presek
poznat ih d imenzi ja, pravougaonog obl ika,optere # en g ran i n im momen tom sav ijan ja M u .Podac i za prora un:
M u = 300 kNm b = 40 cm MB 50 d = 60 cm RA 400/500
MB 50 ⇒ f B = 30 MPa = 3.0 kN/cm 2
RA 400/500 ⇒
V = 400 MPa = 40 kN/cm
2
44
P i 4 VEZANO di i i j
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
44/68
pretp. a1 = 7 cm
h = d – a1 = 60 – 7 = 53 cm
352 .3
0 .340
10 300
53
f b
M
hk
2
B
u
=
×
×=
×
=
3.3859.2310.9450.3680.6200.1491.7510
3.3529.4210.9440.3680.6250.1511.77510
3.3219.6100.9440.3690.6300.1531.810
kµ1M %ζηαsεbεa
Primer 4 - VEZANO dimenzionisanje
45
P i 4 VEZANO di i i j
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
45/68
3.3529.4210.9440.3680.6250.1511.77510
kµ1M %ζηαsεbεa
ili:2
a cm98 .1440
0 .3
100
5340 421.9 A =×
××=
2 2
a cm98 .1440 53944.0
10 300 A =
×××
=
usvojeno: 6RØ19 (17.01 cm2 )
Primer 4 - VEZANO dimenzionisanje
46
Primer 4 VEZANO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
46/68
Primer 4 - VEZANO dimenzionisanje
40
2 5 . 5
6 0
4.5 4 . 5
5
4 . 5
4.5
4RØ19
2RØ19
UØ8/25
10
2RØ12
2 0 . 5
11 10
2RØ19 a I = a 0 + Ø u + Ø/2
a I = 2.5 + 0.8 + 1.9/2 = 4.25 cm usv. a I = 4.5 cm
a II = a I + e V + 2×Ø/2
a II = 4.5 + 3.0 + 2×1.9/2
usv. a II = 9.5 cm
a 1 = (4×4.5 + 2×9.5)/6
a 1 = 6.17 cm
h = 60 - 6.17 = 53.83 cm > 53 cm
47
Primer 4 VEZANO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
47/68
D bu = αb × s × b × h × f B
D bu = 0.625×0.151×40×53×3.0 = 599.2 kN
Z au = A a1 × σa1 = A a1 × σv
Z au = 14.98×40 = 599.2 kN = D bu
x = s × h = 0.151×53 = 7.99 cm
z = ζ × h = 0.944×53 = 50.06 cm
3.3529.4210.9440.3680.6250.1511.77510
kµ1M %ζηαsεbεa
Primer 4 - VEZANO dimenzionisanje
48
Primer 4 VEZANO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
48/68
Primer 4 - VEZANO dimenzionisanje
εa1 = 10‰b=40
Aa1
ε b = 1.775‰
x = 7 . 9
9
h = 5
3
a 1 = 7
d = 6 0
M u=300
z = 5 0 . 0
6
2 . 9
4
Dbu=599.2
Z au=599.2
49
Zavisnost A od promene MB
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
49/68
Zavisnost A a od promene MB
10
12
14
16
18
20
20 25 30 35 40 45 50
MARKA BETONA
A a [ c m
2 ]
50
Slo eno sav ijan je SLOBODNO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
50/68
Slo eno sav ijan je - SLOBODNO dimenzionisanje
1. Sra unavaju se grani ni ra unski stati ki uticaji
2. Usvajaju se εb i εa, pri emu bar jedna mora dosti # i grani nu vrednost.
Za usvojene vrednosti dilatacija iz tabela se
o itavaju koeficijenti k i µ1M, odnosno ζ.
∑∑
×γ =
∆=×γ =
i i i ,uu
i i i ,uu
N N
), p,g i ( M M
51
Slo eno sav ijan je SLOBODNO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
51/68
3. Sra unava se stati ka visina h. Me% utim, ovde je
postupak iterativan, jer u izrazu za stati ku visinufiguriše zasad nepoznata visina d :
B
au1uuau
f b
M k ha
2
d N M M
×=⇒
−×+=
U prvom koraku se pretpostavi M au = M u pa sledi:
B
u
B
I auI
u
I
au f b
M
k f b
M
k hM M ×=×=⇒=
Slo eno sav ijan je - SLOBODNO dimenzionisanje
52
Slo eno sav ijan je - SLOBODNO dimenzionisanje
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
52/68
Sa tako odre% enom visinom se ponavlja prora un sve do
postizanja željene ta nosti (razlika d
i-1
i di
). Zatim sesra unava potrebna površina armature:
v
u
v
Bi
a
N f
100
hb A
σ−
σ×
××µ=
4. Usvaja se broj i pre nik šipki armature
5. Sra unava se položaj težišta a1 i usvaja visina preseka
d = h + a 1
6. Kona no se konstruiše popre ni presek i prikazuje urazmeri
Primer b r. 8 - složeno savijanje sa silom PRITISKA
Slo eno sav ijan je - SLOBODNO dimenzionisanje
53
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
53/68
Odrediti visinu i potrebnu površinu armature za presek pravougaonog oblika, optere# en momentimasavijanja i silama pritiska. Podaci za prora un:
Mg = 60 kNm Ng = 125 kN
Mp = 80 kNm Np = 100 kN
b = 25 cm
Ø MB 30 ⇒ f B = 2.05 kN/cm2
Ø GA 240/360 ⇒ v = 24 kN/cm2
541) Mu = 1.6 ×60 + 1.8 ×80 = 240.0 kNm
N 1 6 125 1 8 100 380 0 kN
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
54/68
Nu = 1.6 ×125+ 1.8 ×100 = 380.0 kN 2) usvojeno: εb / εa = 3.5/7‰ ⇒
k = 2.074 != 26.984%3) Pretpostavka:
4)
5) d I
= 52 cm
2I 240 10
h 2 074 44 9cm25 2 05. ..
×
= × =×b u
f b
M k h
⋅=
I
au uM M 240kNm= =
I
1a 7cm d 44 9 7 51 9cm. .= → = + =
II
au
052M 240 380 0 07 312 2kNm
2
.. .
= + ⋅ − =
2II 312 2 10
h 2 074 51 2c25 2 05
.. .
.
×= × =
×
55
IIa 7cm d 51 2 7 58 2cm= → = + =
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
55/68
6) d II = 60 cm
7) Usvojeno: 6Ø18 (15.27 cm2 )
8)
9) d = 50 + 7.25 = 57.25 cm ⇒ usvojeno: d=60 cm
1a 7cm d 51 2 7 58 2cm. .= → = + =
III
au
0 6M 240 380 0 07 327 4kNm
2
.. .
= + ⋅ − =
2II 327 4 10
h 2 074 52 3cm25 2 05
.. .
.
×= × =
×
III II
1a 7cm d 52 3 7 59 3cm d. .= → = + = ≈
2
a
25 52 3 2 05 380A 26 984 14 38cm
100 24 24
. .. .×= ⋅ ⋅ − =
1 3 4.5 + 9 5 = = 7cma6
( . )⋅
56
Dvos truko arm iran i p resec i
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
56/68
Dvos truko arm iran i p resec i
1. Sra unavaju se stati ki uticaji:
Mu = Σγ ui×Mi
2. Pretpostavlja se a 1 i sra unava stati ka visina
h = d - a 1
3. Sra unava se koeficijent k :
i pro itaju dilatacije εb, εa1.
Ako je εa1 < 3‰ , presek se DVOSTRUKO ARMIRA .
)(
f b
M
hk M M TABLICE
B
u
uau ζµ →
×
=⇒=
57
Dvos truko arm iran i p resec i
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
57/68
os u o a a p esec3a.Odre% uje se MOMENT NOSIVOSTI JEDNOSTRUKO
ARMIRANOG PRESEKA , sa procentom armiranja µ1M
*
i koeficijentom k* koji odgovaraju dilataciji armaturekoja se želi zadržati (po pravilu ε
a1* = 3‰ )
B
2
bu f b* k
hM ××
=
Preostali deo spoljašnjeg momenta savijanja:
se prihvata dodatnom zategnutom i pritisnutom armaturom.
Pretpostavlja se položaj težišta pritisnute armature a 2 iodre% uju se površine zategnute i pritisnute armature u
preseku, iz izraza:
buuu M M M −=∆
58
Dvos truko arm iran i p resec i
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
58/68
ili:
( ) v 2 u
2 aahM A
σ×−∆=
2 a
v
B1a A
f 100
hb* A +σ
×××µ=
2 a
v
bu1a A
h* M A +
σ××ζ=
p
M bu
ε*a1 = 3‰b
A* a1
ε b = 3.5‰
x = s *
× h
Z * au
Dbu
z = ζ * × h
η x
h
a 1
d
∆M u=M u-M bu
b
∆ Aa1 ∆Z au
Dau
h - a 2
a 1
d
Aa2
ε*a1 = 3‰
ε b = 3.5‰
a 2
+εa2
59
Dvos truko arm iran i p resec i
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
59/68
4. Usvaja se b ro j i pre nik šipk i armature . Usvojena
armatura se raspore % u je u p reseku (a 0 , i st o ras to jan je i zme % u šipk i)
5. Sra unava se polo aj te išta a 1 usvojene armature i s tat i ka vis ina h i upore % u je sa p retpostav lj enom.
Ø U slu aju znatn i ji h ods tupan ja, prora un se ponav lja sa kor igovanom vrednoš # u a 1 .
6. Kona no se kons truiše popre n i p resek i p ri kazu je uodgovaraju # o j razmeri (1: 10) sa sv im po t rebn im ko tama i oznakama.
p
60
Pr imer 5 –dvojno armiran je
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
60/68
j j
Ø Odredit i pot rebnu površinu armature za presek
poznat ih d imenzi ja, pravougaonog obl ika,optere # en g ran i n im momen tom sav ijan ja M u .Podac i za prora un:
M u = 1000 kNm b = 40 cm MB 30 d = 60 cm RA 400/500
MB 30 ⇒ f B = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm 2
RA 400/500 ⇒
V = 400 MPa = 40 kN/cm 2
61
Pr imer 5 –dvojno armiran je
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
61/68
pretp. a1 = 8 cm
h = d – a1 = 60 – 8 = 52 cm
‰5 .0 / 5 .3 / 489.1
05 .2 40
10 1000
52 k 1ab2
=εε⇒=
××
=
Kako je εa1
< 3‰ , presek se DVOSTRUKO ARMIRA
j j
62
Pr imer 5 –dvojno armiran je
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
62/68
0.416
η
0.810
αb
3.5
εb
1.71943.5900.7760.5383
kµ1M %ζsεa
kNm750 kNcm75000 05 .2 40 719.1
52 M
2
bu ==××
=
kNm250 750 1000 M u =−=∆
usvojeno εa1* = 3‰ ⇒ k* = 1.719, µ1M* = 43.590%
63
Pr imer 5 –dvojno armiran je
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
63/68
( )
2 2
2 a2 cm30 .1340 5 52
10 250 Acm5 a =
×−
×=⇒=
2
1acm76 .5930 .13
40
05 .2
100
52 40 590 .43 A
=+×
×
×=usvojeno: 10RØ28 (61.58 cm2 )
usvojeno: 3RØ28 (18.47 cm2 )
0.416
η
0.810
αb
3.5
εb
1.71943.5900.7760.5383
kµ1M %ζsεa
64
Pr imer 5 –dvojno armiran je
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
64/68
a I = a 0 + Ø u + Ø/2
a I = 2.8 + 0.8 + 2.8/2 = 5.0 cm
usv. a I = 5.0 cm
a II = a I + e V + 2×Ø/2
a II = 5.0 + 3.0 + 2×2.8/2 = 10.8 cm
usv. a II = 11.0 cm
a 1 = (5×5.0 + 5×11.0)/10
a 1 = 8.0 cm
h = 60 - 8.0 = 52.0 cm = h pretp.40
2 5
6 0
5
5
6
5
5
5RØ28
5RØ28
UØ8/25
2RØ12
1 9
4x7.5=30
3RØ28
65
Pr imer 5 –dvojno armiranje, var . 2
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
65/68
0.416
η
0.810
αb
3.5
εb
1.99029.8250.8470.3686
kµ1M %ζsεa
kNm560 kNcm56000 05 .2 40 99.1
52 M
2
bu ==××
=
kNm440 560 1000 M u =−=∆
usvojeno εa1* = 6‰ ⇒ k* = 1.990, µ1M* = 29.825%
66
Pr imer 5 –dvojno armiranje, var . 2
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
66/68
( )2
2
2 a2 cm41.2340 5 52
10 440 Acm5 a =×−
×=⇒=
usvojeno: 9RØ28 (55.42 cm2 )
usvojeno: 4RØ28 (24.63 cm2 )
2 1a cm20 .55 41.23
40
05 .2
100
52 40 825 .29 A =+×
××=
67
Pr imer 5 –dvojno armiranje, var . 2
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
67/68
a I = a 0 + Ø u + Ø/2
a I = 2.8 + 0.8 + 2.8/2 = 5.0 cm
usv. a I = 5.0 cm
a II = a I + e V + 2×Ø/2
a II = 5.0 + 3.0 + 2×2.8/2 = 10.8 cm
usv. a II = 11.0 cm
a 1 = (5×5.0 + 4×11.0)/9
a 1 = 7.67 cm
h = 60 - 7.67 = 52.33 cm > h pretp.40
2 5
6 0
5
5
6
5
5
5RØ28
4RØ28
UØ8/25
2RØ12
1 9
4x7.5=30
4RØ28
68
Pr imer 5 –dvojno armiran je
-
8/20/2019 03 - VELIKI EKSCENTRICITET - CISTO SAVIJANJE PRAVOUGAONIK.pdf
68/68
Aa1
Aa2
Aa1+Aa2
0
10
20
3040
50
60
70
80
90
3 4 5 6 7 8 9 10
εa1* [‰]
A a [ c m
2 ]