なぜ縞が?
1
𝑟𝑒−𝑖𝑘𝑟
x
L
x0
𝑟 = 𝐿2 + (𝑥 − 𝑥0 )2
𝐸 𝑥0 = 0
∞
𝑑𝑥exp[−𝑖𝑘 𝐿2 + (𝑥 − 𝑥0 )
2]
𝐿2 + (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑘 =
2𝜋
𝜆
𝑟 = 𝐿2 + (𝑥 − 𝑥0 )2= 𝐿 1 +
𝑥 − 𝑥02
𝐿2≈ 𝐿 1 +
𝑥 − 𝑥0𝐿
2
𝐸 𝑥0 = 0
∞
𝑑𝑥exp[−𝑖𝑘 𝐿2 + (𝑥 − 𝑥0 )
2]
𝐿2 + (𝑥 − 𝑥0 )2
= 𝑒−𝑖𝑘𝐿/𝐿 𝜉0
∞
𝑑𝜉𝑒−𝑖𝑘𝐿𝜉
2
1 + 𝜉2
ここで振動
𝜉 =𝑥 − 𝑥0𝐿
0
Fraunhofer diffraction
ds
RO
xz
y
P(X, Y, Z)
(x, y, z)
𝑑𝐸 =𝐸𝐴𝑟𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟)𝑑𝑠
𝑟 = 𝑋2 + (𝑌 − 𝑦)2+(𝑍 − 𝑧)2
𝑅 = 𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2
𝑟 = 𝑅 1 + (𝑦2 + 𝑧2)/𝑅2−2(𝑌𝑦 + 𝑍𝑧)/𝑅2
𝑟 ≈ 𝑅 1 − (𝑌𝑦 + 𝑍𝑧)/𝑅2𝑦, 𝑧 ≪ 𝑅
𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)
𝑅 𝑒𝑖𝑘(𝑌𝑦+𝑍𝑧)/𝑅𝑑𝑠
𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)
𝑅 𝑒𝑖𝑘(𝑌𝑦+𝑍𝑧)/𝑅𝑑𝑠
𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)
𝑅 −𝑏/2
𝑏/2
𝑒𝑖𝑘𝑌𝑦/𝑅𝑑𝑦 −𝑎/2
𝑎/2
𝑒𝑖𝑘𝑍𝑧/𝑅 𝑑𝑧
ここで、𝛽 =𝑘𝑏𝑌
2𝑅, 𝛼 = 𝑘𝑎𝑍/2𝑅とすると
−𝑏/2
𝑏/2
𝑒𝑖𝑘𝑌𝑦/𝑅𝑑 𝑦 = 𝑏𝑒𝑖𝛽 − 𝑒−𝑖𝛽
2𝑖𝛽= 𝑏sin𝛽
𝛽
E =𝐴𝐸𝐴𝑒
𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)
𝑅
sin𝛼
𝛼
sin𝛽
𝛽
𝐼(𝑌, 𝑍) = 𝐼(0)sin𝛼
𝛼
2 sin𝛽
𝛽
2
a
b
I(Y, Z)
Y
Z
z
yRectangular Aperture
𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)
𝑅 𝑒𝑖𝑘(𝑌𝑦+𝑍𝑧)/𝑅𝑑𝑠
I(Y, Z)
Y
Z
z
yCircular Aperture
𝑧 = 𝜌cos𝜙, 𝑦 = 𝜌sin𝜙𝑍 = 𝑞cosΦ, 𝑌 = 𝑞sinΦ
𝑑𝑠 = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙
𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)
𝑅 𝜌=0
𝑎
𝜙=0
2𝜋
𝑒𝑖𝑘𝜌𝑞𝑅 cos(𝜙−Φ)𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙
𝐽0 𝑢 =1
2𝜋 0
2𝜋
𝑒𝑖𝑢cos𝑢𝑑𝑢 𝑢 =𝑘𝜌𝑞
𝑅
F = 0 として計算
fF
Bessel function
𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)
𝑅2𝜋
0
𝑎
𝐽0𝑘𝜌𝑞
𝑅𝜌𝑑𝜌
s
Bessel Function
𝑑
𝑑𝑢𝑢𝑚𝐽𝑚(𝑢) = 𝑢
𝑚𝐽𝑚−1(𝑢)
𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)
𝑅2𝜋
0
𝑎
𝐽0𝑘𝜌𝑞
𝑅𝜌𝑑𝜌
𝑑
𝑑𝑢𝑢1𝐽1(𝑢) = 𝑢
1𝐽0(𝑢)
0
𝑢
𝑢′𝐽0 𝑢′ 𝑑𝑢′ = 𝑢𝐽1(𝑢)
𝐸 𝑡 =𝐸𝐴𝑒𝑖 𝜔𝑡−𝑘𝑅
𝑅2𝜋𝑎2 𝑅 𝑘𝑎𝑞 𝐽1(
𝑘𝑎𝑞 𝑅)
𝐼 =2𝐸𝐴2𝐴2
𝑅2
𝐽1(𝑘𝑎𝑞𝑅)
𝑘𝑎𝑞/𝑅
2
𝑒−𝑖𝑘𝜌1/𝜌1
𝑒−𝑖𝑘𝜌2/𝜌2
r1
r2
r1
r2
𝑒−𝑖𝑘𝑟1/𝑟1
𝑒−𝑖𝑘𝑟2/𝑟2
Pr0 r0
(y, z)
𝜌= 𝜌02 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑟= 𝑟0
2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜌 + 𝑟 ≈ 𝜌0 + 𝑟0 + (𝑦2 + 𝑧2)
𝜌0 + 𝑟02𝜌0𝑟0
全部の光学距離は
𝐸𝑝 =𝐸0𝑒−𝑖𝜔𝑡
𝜌0𝑟0𝜆 𝑦1
𝑦2
𝑧1
𝑧2
𝑒𝑖𝑘(𝜌+𝑟) 𝑑𝑦𝑑𝑧
ここで 𝑢 ≡ 𝑦2(𝜌0 + 𝑟0)
𝜆𝜌0𝑟0
1/2
𝑣 ≡ 𝑧2(𝜌0 + 𝑟0)
𝜆𝜌0𝑟0
1/2
とすると
𝐸𝑝 =𝐸0𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑒𝑖𝑘(𝜌0+𝑟0)
2(𝜌0 + 𝑟0) 𝑢1
𝑢2
𝑒𝑖𝜋𝑢2/2𝑑𝑢
𝑣1
𝑣2
𝑒𝑖𝜋𝑣2/2 𝑑𝑣
ここで
𝐹 𝑥 = 0
𝑥
cos𝜋𝑡2
2𝑑𝑡 𝐺 𝑥 =
0
𝑥
sin𝜋𝑡2
2𝑑𝑡
0
𝑥
𝑒𝑖𝜋𝑡2/2𝑑𝑡 = 𝐹 𝑥 + 𝑖𝐺(𝑥)
𝐸𝑝 =𝐸𝑢2𝐹 𝑢 + 𝑖𝐺(𝑢)
𝑢2𝑢1𝐹 𝑣 + 𝑖𝐺(𝑣)
𝑣2𝑣1
𝐼𝑝 =𝐼0
4𝐹 𝑢2 − 𝐹(𝑢1)
2 + 𝐺 𝑢2 − 𝐺(𝑢1)2 × 𝐹 𝑣2 − 𝐹(𝑣1)
2 + 𝐺 𝑣2 − 𝐺(𝑣1)2 c
𝐼𝑝 =𝐼04𝐹 𝑢2 − 𝐹(𝑢1)
2 + 𝐺 𝑢2 − 𝐺(𝑢1)2 × 𝐹 𝑣2 − 𝐹(𝑣1)
2 + 𝐺 𝑣2 − 𝐺(𝑣1)2
Fresnel integral は odd function F(x)= - F(-x) G(x)= - G(-x)
したがって、u1=-u2=D, v1=-v2=D とすると 𝐼𝑝 =𝐼042𝐹(∆) 2 + 2𝐺(∆) 2 2
F(∞)=G(∞)=1/2
0
𝑥
cos𝜋𝑥2
2𝑑𝑥
0
𝑥
sin𝜋𝑥2
2𝑑𝑥