電磁波工学 XII

米田仁紀

フーリエ変換、フーリエ限界、Time Domain Spectroscopy

異なる周波数の波の重ね合わせ

短いパルスが作られる

さらに多数の波の重ね合わせ

短いパルス光を作る

𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑡 =

𝑙=−𝑁

𝑁

𝐸0𝑙exp[𝑖 𝜔 + 𝑙Δ𝜔 𝑡 + 𝛼𝑙]

𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑡 = 𝐸0sin[(2𝑁 + 1)(∆𝜔𝑡 + 𝛼)/2]

si𝑛[(∆𝜔𝑡 + 𝛼)/2]exp(𝑖𝜔𝑡)

時間方向のモードの重ね合わせ

初期位相がそろっていることに注意

おなじ平均出力なら、短パルス化＝＞高出力化

パルスが短縮される

=＞ピークが上がる。

平均1W ピーク強度は10kW

n

E(n)

t

E(t)phase

0

∞

𝐸(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔 = 𝐸(𝑡)

f(n)

𝐹 𝜔 =1

2𝜋 −∞

∞

𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 =1

2𝜋 −𝜏

𝜏

𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

=1

2𝜋

1

−𝑖𝜔𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝜏

−𝜏=

𝜏

𝜋

sin𝜔𝜏

𝜔𝜏

例：2t幅の矩形波形

フーリエ変換

𝑓 𝑡 = 0 𝑡 < −𝜏, 𝑡 > 𝜏1 − 𝜏 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏

𝐹 𝜔 ~sinc(𝜔𝜏)

𝐸 =𝐸𝐴𝑒

𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)

𝑅 𝑒𝑖𝑘(𝑌𝑦+𝑍𝑧)/𝑅𝑑𝑠

𝐸 =𝐸𝐴𝑒

𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)

𝑅 −𝑏/2

𝑏/2

𝑒𝑖𝑘𝑌𝑦/𝑅𝑑𝑦 −𝑎/2

𝑎/2

𝑒𝑖𝑘𝑍𝑧/𝑅 𝑑𝑧

ここで、𝛽 =𝑘𝑏𝑌

2𝑅, 𝛼 = 𝑘𝑎𝑍/2𝑅とすると

−𝑏/2

𝑏/2

𝑒𝑖𝑘𝑌𝑦/𝑅𝑑 𝑦 = 𝑏𝑒𝑖𝛽 − 𝑒−𝑖𝛽

2𝑖𝛽= 𝑏

sin𝛽

𝛽

E =𝐴𝐸𝐴𝑒

𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)

𝑅

sin𝛼

𝛼

sin𝛽

𝛽

𝐼(𝑌, 𝑍) = 𝐼(0)sin𝛼

𝛼

2 sin𝛽

𝛽

2

a

b

I(Y, Z)

Y

Z

z

yRectangular Aperture

先週Fraunhofer diffraction

sinc関数！

sinc(x)

x~2 y=0.5 dt=2tのパルス幅

dwdt ~ 4dw ~2/dt

フーリエ限界パルス

n t 1

𝐸 𝜔 = −∞

∞

𝐸(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

E(t)

t w

𝐸 𝜔

Time bandwidth product

Gaussianはフーリエ変換をしてもGaussianになる。

n

E(n)

t

E(t)phase

0

∞

𝐸(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡+𝜙(𝜔)𝑑𝜔 = 𝐸′(𝑡)

f(n)

実際にはE(n)は複素数 （振幅と位相）

Fourier型の積分の解法例

−∞

∞ 1

𝑥2 + 𝑎2𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥

(t >0)

𝐶𝑅+(−𝑅~𝑅)

𝑒−𝑖𝜔𝑧

𝑧2 + 𝑎2 𝑑𝑧 = 𝐶𝑅+(−𝑅~𝑅)

𝑒−𝑖𝜔𝑧

(𝑧 − 𝑖𝑎)(𝑧 + 𝑖𝑎)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖Res

𝑒−𝑖𝜔𝑧

𝑧 − 𝑖𝑎 𝑧 + 𝑖𝑎, 𝑧 = 𝑖𝑎 = 2𝜋𝑖

𝑒𝑎𝜔

2𝑖𝑎=

𝜋

𝑎𝑒𝑎𝜔

CR

z=ia

𝑧 = 𝑅𝑒𝑖𝜃

𝑅 → ∞

𝐶𝑅

𝑒−𝑖𝜔𝑧

𝑧2 + 𝑎2 𝑑𝑧

−∞

∞ 𝑒−𝑖𝜔𝑥

𝑥2 + 𝑎2 𝑑𝑥 =𝜋

𝑎𝑒𝑎𝜔

−∞

∞ cos 𝑥

𝑥2 + 𝑎2 𝑑𝑥 =𝜋

𝑎𝑒−𝑎

𝐶𝑅+(−𝑅~𝑅)

𝑒−𝑖𝜔𝑧

𝑧2 + 𝑎2 𝑑𝑧 = −∞

∞ 1

𝑥2 + 𝑎2 𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥 +

𝐶𝑅

𝑒−𝑖𝜔𝑧

𝑧2 + 𝑎2

1/𝑎2

x

𝑧 = ±𝑖𝑎で特異点

𝑑𝑧 = 𝑅𝑖𝑒𝑖𝜃𝑑𝜃,

𝐶𝑅

𝑒−𝑖𝜔𝑧

𝑧2 + 𝑎2 𝑑𝑧 = 𝐶𝑅

𝑅

𝑅2 + 𝑎2 𝑑𝜃~2𝜋

𝑅= 0 𝑅 → ∞

𝜔~1

𝑎

x=a

1

2𝜋𝑖 𝐶

𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = Res(𝑓, 𝑧0)z = z0 がf(z)とその積分範囲で唯一の特異点の時、積分の値は2πi Res(f(z), z0)となる。

複数の１次特異点がある場合、その積分値は

𝐶

𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 Res(𝑓 𝑧 , 𝑧𝑖)

複素関数の積分：特異点と留数

Matthias C. Hoffmann et al., Journal of Physics D: Applied Physics 44, 8 (2011) 83001

短電流パルス＝＞パルス幅の逆数の周波数電磁波

光伝導スイッチ

E r, 𝑡 = −1

4𝜋𝜀0 𝑉′

−∞

𝑡 3 J ∙ R R

𝑅5−

J

𝑅3𝑑𝑡′𝑑𝑣′

+1

4𝜋𝜀0 𝑉′

3 J ∙ R R

𝑅4−

J

𝑐𝑅2𝑑𝑣′

+1

4𝜋𝜀0

1

𝑐2 𝑉′

𝜕𝜕𝑡

J × R × R

𝑅3𝑑𝑣′

Auston switch

𝐸 𝜔 = −∞

∞

𝐸 𝑡 𝑑𝑡

THｚ time domain spectroscopy

透過電場a(t)E(t)の観測 ＝＞ 𝑆 𝜔 = 𝛼 𝑡 𝐸 𝑡 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

𝐸(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

回折格子を使った分光器

Temporal domain spectroscopy

T 観測時間範囲

Δt 観測時間分解能

ωmax - ωminスペクトル範囲

Δω スペクトル分解能

Ltotal/c = T

フーリエ変換

ΔL/c = Δt

例:干渉計の長さL=1m, 観測ステップ0.01mm

Δω ～ 300MHzωmax - ωmin ～ 30THz

Temporal domain spectroscopy

if wcenter= 100THz(λ = ３μm), 85 ~ 115 THz

FTIR:Fourier Transform Spectrophotometry

テラヘルツ波

周波数 [Hz]101810151012109

電子励起 内殻電子励起

回転振動励起

量子超格子サブレベル

室温遠赤外線ストーブ

太陽表面太陽表面

核融合プラズマ温度

対応する過程