Download - Мои геометрические страдания
Слайд-роман
Прямоугольный треугольник,
илиМои геометрические страдания
• Цель:Цель: Изучить прямоугольный треугольник
• Проблема:Проблема: Недостаточный объем информации о прямоугольном треугольнике
в учебнике А.В.Погорелова «Геометрия»
• Задачи:Задачи:- обобщить знания о прямоугольном
треугольнике на основе изученного материала;
- найти дополнительный материал о прямоугольном треугольнике.
Автор: Ковалева Екатерина,
ученица 8Г класса гимназии № 1
им.А.А.Иноземцева
ВопросыВопросы•Определение прямоугольного треугольника, его элементов
•Свойства прямоугольного треугольника
•Признаки равенства прямоугольных треугольников
•Свойства катета, лежащего против угла в 30°
•Прямоугольный треугольникПрямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол прямой (90°).
•ГипотенузаГипотенуза – сторона прямо-угольного треугольника, противолежащая прямому углу.
•Катеты Катеты – стороны прямоугольного треугольника, прилежащие к прямому углу.
Свойства прямоугольного
треугольника
1. Сумма острых углов 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна прямоугольного треугольника равна 9090°°
Дано: Треугольник АВС,
∟С = 90°Доказать:
∟А + ∟ В = 90°Доказательство:
Сумма углов треугольника равна 180°∟С = 90°
Треугольник АВС –∟С = ∟А + ∟ В180° - 90° = 90°
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, что и требовалось
доказать
С
А
В
22. Если катет прямоугольного . Если катет прямоугольного треугольника равен половине треугольника равен половине гипотенузы, то угол против гипотенузы, то угол против этого катета равен 30этого катета равен 30°°
А С
В
Д
Дано: ∆ АВС – прямоугольный, АС = 1/2 АВ
Доказать: ∟АВС = 30°
Доказательство: ∆ АВС- прямоугольный, катет АС = ½ гипотенузы ВС. Построим ∆ ДВС. Получим равносторонний ∆ АВД, углы которого равны друг другу и каждый = 60°. Но ∟ АВД = 2АВС. Следовательно, ∟АВС = 30°, что и требовалось доказать.
3. Катет прямоугольного треугольника, 3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30лежащий против угла в 30°°, равен , равен половине гипотенузы.половине гипотенузы.
А
В
С Д
Дано: Треугольник АВС –
прямоугольный∟С = 90°∟В = 30°
Доказать:АС = 1/2 АВ
Доказательство:Построим треугольник ДВС =
треугольнику АВС, как показано на рисунке.
У треугольника АВД все углы равны (60°), поэтому он
равносторонний. Т.к АС = 1/2 АД, а АД = АВ, то АС = 1/2 АВ, что и требовалось доказать.
44. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику (рис.а)
А Д В
С 5. Высота СД, 5. Высота СД,
опущенная из опущенная из вершины вершины прямоугольного прямоугольного равнобедренного равнобедренного треугольника, треугольника, является медианой и является медианой и биссектрисой и биссектрисой и делит этот делит этот треугольник на два треугольник на два прямоугольных прямоугольных равных равных равнобедренных равнобедренных треугольника (док-треугольника (док-во – по 2 признаку во – по 2 признаку равенства равенства треугольников) треугольников) (рис.б)(рис.б)
Рис.а
Рис.бА Д В
С
6. 6. Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около этого треугольника окружности, центр этой окружности лежит на середине гипотенузы.
Треугольник АВС – прямоугольный, О – центр описанной около треугольника АВС окружности
7. Теорема Пифагора. 7. Теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы а² + в² = с² (рис.1) , или Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен по площади сумме квадратов, построенных на катетах («Пифагоровы штаны во все стороны равны», рис.2).
Рис.2
А
С В
в
c
a Рис.1
Дано: ∆ АВС – прямоугольный; а, в – катеты; с – гипотенуза.Доказать: с²= а² + в²Док-во:если достроить ∆ АВС до квадрата со сторонами а + в, то S этого квадрата = (а +в)².
с с
с с
а
а
а
а
в в
в в
С другой стороны, этот квадрат составлен из 4 равных прямоугольных треугольников с S каждого из них = ½ ав и квадрата со стороной с, поэтому
S = 4 * 1/2ав + с² = 2ав +с²
Таким образом, (а + в)² = 2ав + с², откуда с² = а² + в²,
что и требовалось доказать
Признаки равенства
прямоугольных треугольников
1. Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует, что: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
2. Из второго признака равенства треугольников следует, что: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равныДано:
∆ АВС и ∆ А¹В¹С¹, СВ = С¹В¹∟ С = ∟С¹ = 90°, ∟ А = ∟ А¹
Доказать: Треугольник АВС = треугольник
А¹В¹С¹Доказательство:
∟А + ∟В + ∟С = ∟А¹+∟В¹ +∟С¹ = 180° (из теоремы о сумме углов)
Следовательно, 180° - ∟А - ∟С = ∟В = 180° - ∟С¹ - ∟А¹ = ∟В¹
Следовательно , треугольник АВС = треугольник А¹В¹С¹ по 2 признаку
равных треугольников.
4. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство аналогично предыдущему: из теоремы о сумме углов треугольника следует, что в этих треугольниках два других острых угла тоже равны, поэтому они равны по 2 признаку равенства треугольников, т.е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам.
5. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ∟С и ∟С1 – прямые, АВ = А¹В¹Доказать: ∆ АВС = ∆А¹В¹С¹Доказательство:Пусть АВС и А¹ В¹С – данные треугольники. Построим ∆ СВД, равный ∆ СВА. И ∆С¹В¹ Д¹ равный ∆ С1В1А1 ∆АВД и ∆А¹В¹Д¹ равны по третьему признаку. У них АВ = А¹В¹ по условию задачи, АД = А¹Д¹, т.к. АС = А¹С¹, ВД = В¹Д¹, т.к. ВД = АВ, В¹Д¹ = А¹В¹. Из равенства ∆АВД и ∆ А¹В¹Д¹ следует : ∟А = ∟А¹. Т.к. по условию АВ = А¹В¹, АС = А¹С¹, а ∟ А = ∟ А¹ по доказанному, то ∆ АВС = ∆ А¹В¹С ¹ равны по первому признаку.
А
В
С Д
А¹
В¹
С¹ Д¹
ЗаключениеЗаключениеПервые геометрические сведения о треугольниках мы
получили еще в младших классах. Задачей данной работы было расширить и углубить знания об одной из разновидностей этой геометрической фигуры – прямоугольном треугольнике , его свойствах, особенностях. В связи с недостаточностью в учебнике материала по данной теме использовались различные источники информации: дополнительная литература и Интернет. В процессе работы выяснилось, что все известные нам сведения о треугольнике применимы и к прямоугольному треугольнику, но при этом он обладает своими «личными» свойствами и признаками равенства прямоугольных треугольников. Некоторые из особенностей прямоугольного треугольника не были рассмотрены в данной работе в связи с тем, что их изучение требует дополнительных знаний и будет изучаться в старших классах.
Используемые источники:Используемые источники:1. Геометрия, 7-9: учеб.для общеобразоват.учреждений /
Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.-15-е изд.- М.: Просвещение, 2005.-384 с.: ил.
2. Геометрия: учеб.для 7-9 кл.общеобразоват.учреждений / А.В.Погорелов.- 6-е изд.- М.: Просвещение, 2005.-224 с.:ил.
3. Математика. Новейший справочник школьника / Г.М.Якушева.- М.: Филол.о-во «Слово», Изд-во Эксмо, 2005. – 479 с.:ил.
4. Новый справочник школьника.5-11 класс. Универсальное пособие. Т.2. – СПб.: ИД «ВЕСЬ», 2002.-704 с.:ил.
5. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю.Котова: Под общ.ред. О.Г.Хинн.- М.: АСТ, 1996.-480 с.
6. www.lex.ru
7. www.examens.ru
8. www.alexlarin.narod.ru
9. www.vladimirv.ru
10. www.edustrong.ru
11. www.neive.by.ru