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2 Ecuaciones Atmosféricas 59

CAPÍTULO

DOS

ECUACIONES ATMOSFÉRICAS

2.1 INTRODUCCIÓN

Las condiciones de contorno en la interfase suelo-atmósfera, dependen del equilibrio

entre los flujos de energía que tienen lugar en la superficie, como ilustra la Figura 2.1.

Este equilibrio puede expresarse matemáticamente como:

N fgR G H h E− = + (2.1)

donde NR es el flujo radiativo neto en la superficie, G el flujo de calor en el suelo, y la

suma del flujo de calor sensible H y latente fgh E , ( fgh es el calor latente de

vaporización), es la energía disponible, debida al transporte turbulento de calor y

humedad entre la superficie del suelo y la atmósfera. Todo los flujos tienen dimensiones

de W/m2, y el cociente entre el flujo de calor sensible y latente se suele definir como la

relación de Bowen (1926) fgH h Eβ = . Esta relación puede determinarse, si se suponen

condiciones estacionarias, homogeneidad horizontal, y considerando que las resistencias

aerodinámicas turbulentas del calor latente y sensible son iguales (Oke, 1987). En este


caso, la relación de Bowen, puede calcularse a partir de los gradientes de temperatura y

presión de vapor de agua en la atmósfera, cerca de la superficie:

atm p

fg v

p C Th p

βε

∂=∂

(2.2)

donde pC (0.24 cal g-1 ºC-1, 1.01 KJ Kg-1 K-1) es el calor específico del aire a presión

constante, atmp la presión atmosférica, 0.622ε= la relación entre los pesos

moleculares del vapor de agua y aire seco, fgh el calor latente de vaporización, T la

temperatura absoluta y vp la presión de vapor.

Tanto el flujo en el suelo como la radiación, son cantidades que dependen de

magnitudes que varían lentamente, por lo que serán más fáciles de caracterizar que la

energía disponible, ya que ésta es de naturaleza turbulenta, pues es en la capa superficial

atmosférica donde tienen lugar los transportes de humedad y temperatura.

Figura 2.1 Balance de energía en la superficie.

solarR

solaraR

4sup supTε σ

fgh E H

G

Temperatura Humedad

4atm atmTε σ

( ) 41 sup atm atmTε ε σ−


En la Figura 2.1, todos los flujos de energía están en W/m2, considerando positivos los

que inciden sobre la superficie, y negativos si salen de ésta. El flujo radiativo neto NR

es ( )atm atm supsup1N solar solar L L LR R aR R R Rε= − + − − + , donde 4atm

L atm atmR T= ε σ es el

flujo de radiación de onda larga, debido principalmente a la emisión térmica del agua

atmosférica, y sup supsup 4LR Tε σ= la radiación térmica perdida por la superficie. En el

apartado 2.6 se da una explicación acerca de los flujos de radiación. El flujo de calor en

el suelo G, es proporcional a la tangente del perfil térmico en la superficie, H depende

de la diferencia de temperatura entre la atmósfera y la superficie, y la evaporación E es

función de la diferencia entre las presiones de vapor entre la superficie y la atmósfera.

2.2 ENERGÍA CINÉTICA TURBULENTA: TRANSPORTE SUPERFICIAL DE

MASA Y ENERGÍA

El flujo interfacial entre el suelo y la atmósfera se puede parametrizar mediante modelos

de la capa límite atmosférica, que tienen en cuenta el transporte de energía cinética

turbulenta cerca de la superficie. Los métodos utilizados para obtener los perfiles de

humedad, temperatura y velocidad, se resumen en representaciones globales, que

utilizan los números adimensionales apropiados (Garrat, 1994).

La estructura de la capa superficial puede dividirse en tres regiones principales. La

primera es la región exterior, cuyas propiedades no se ven afectadas por la naturaleza y

el carácter del fondo, siendo este la interfase entre el fluido y el medio sólido o líquido.

El flujo de aire se va modificando, cuando se desplaza sobre una superficie rugosa, de

forma que se crea una nueva capa en la parte inferior de la capa superficial, la segunda

región, denominada capa límite interna, capa interior o de pared, dominada por la


geometría de la superficie. La tercera región, llamada subcapa interfacial o viscosa, se

desarrolla en la parte más baja de la capa límite interna, y en ésta el flujo de momento es

prácticamente constante. El espesor δ de esta zona, no suele superar el 15% de la altura

de la capa límite interna. Aquí se distinguen dos partes: la subcapa rugosa, próxima a la

superficie del suelo, cuya estructura está influenciada por la geometría de los elementos

rugosos y su disposición, siendo la difusión molecular el principal mecanismo de

transporte, y sobre ésta, la subcapa inercial, donde el flujo de momento es constante

con la altura, y el perfil de velocidad es logarítmico. En ésta es donde se recomienda

realizar las medidas micrometeorológicas, pues en esta zona, la turbulencia es la

responsable del transporte de masa y energía entre la superficie y la atmósfera. En la

Figura 2.2 se representan esquemáticamente estas regiones.

Figura 2.2 Representación esquemática del desarrollo de la capa

límite interna debido a la rugosidad en la superficie.

En la Figura 2.2, la línea superior señala la transición entre el flujo no modificado

(parte superior) y el modificado por el fondo. Bajo la línea inferior, en la subcapa

viscosa, el transporte de momento calor y humedad, permanecen prácticamente

constantes.

Z

Xmulch de grava

δ

capa límite interna

subcapa viscosa

( ),U z x


El desarrollo de las expresiones para los flujos de temperatura, humedad y velocidad del

viento, parten de la ecuación de la energía cinética turbulenta, y de hipótesis acerca de

la dependencia de éstos flujos con algunos parámetros turbulentos, mediante teorías de

similitud. A continuación haremos un breve repaso de los conceptos fundamentales, que

nos llevarán a las expresiones utilizadas en los modelos numéricos, para parametrizar la

energía disponible (flujos de calor latente y sensible) entre la superficie del suelo y la

atmósfera.

El transporte de calor, humedad y momento cerca de la superficie, se deduce a partir de

las ecuaciones para el flujo medio, de Navier-Stokes, de la conservación de la entalpía

(o calor sensible) y del vapor de agua:

2

3 2

1 2i i ij i j i ijk j k

j j i j

u u upu u u g ut x x x x

δ ε η υρ

∂ ∂ ∂∂ ∂′ ′+ = − − − − Ω +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.3)

2

2

1 jj j T

j j j p j

Ru u k

t x x x C xθ θ θθ

ρ∂∂ ∂ ∂ ∂′ ′+ = − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.4)

2

2j j Vj j j

q q qu q u kt x x x

∂ ∂ ∂ ∂′ ′+ = − +∂ ∂ ∂ ∂

(2.5)

donde los campos se definen como suma de un término medio y una fluctuación

c c c′= + (2.6)

Las covarianzas, i ju u′ ′ , juθ ′ ′ , jq u′ ′ derivadas de los términos no lineales

( )j i ju u x∂ ∂ , ( )j ju xθ∂ ∂ , ( )j ju q x∂ ∂ se definen como flujos, debido a la analogía con

el transporte molecular, y representan el transporte turbulento de momento, calor y

humedad, debido a las fluctuaciones de los campos.


Al promediar las ecuaciones nos encontramos con nuevas incógnitas. Estas son las

covarianzas o momentos de segundo orden a las que nos hemos referido anteriormente.

Si utilizamos las mismas técnicas de promediado para resolver estos momentos,

volveríamos a encontrarnos con nuevas incógnitas en forma de momentos de tercer

orden. La única manera de conseguir un conjunto de ecuaciones cerrado, es

parametrizar los momentos de alto orden en función de cantidades conocidas. Un

esquema de primer orden utiliza, en analogía con la ley de Newton para la fricción,

coeficientes de transferencia turbulentos o difusividades K, para relacionar los flujos

turbulentos con gradientes medios locales de las cantidades que están siendo

transportadas. Así, para una cantidad s, el flujo turbulento o covarianza se puede

expresar en términos del gradiente medio local js x∂ ∂ como s ju s K s x′ ′ = − ∂ ∂ , donde

sK es positiva. Los flujos turbulentos verticales de momento, calor y humedad en un

esquema de primer orden se escriben de la siguiente manera:

x Mu w K u zτ ρ ρ′ ′= − = ∂ ∂ (2.7)

y Mv w K v zτ ρ ρ′ ′= − = ∂ ∂ (2.8)

v p v p H vH C w C K zρ θ ρ θ′ ′= = − ∂ ∂ (2.9)

WE q w K q zρ ρ′ ′= = − ∂ ∂ (2.10)

donde vθ es la temperatura potencial virtual ( ) d pR Cv v RT p pθ −= , que tiene en cuenta el

vapor de agua a través de la temperatura virtual ( )1 0.61vT T q= + , donde q es la

humedad específica, d v wp R T R Tρ ρ= = , /d dR R M= , siendo R la constante de los

gases perfectos y dM el peso molecular del aire seco.


En contraste con el caso molecular, la difusividad turbulenta MK , no solo depende del

fluido, sino también de otras cantidades como la posición y la velocidad del flujo. La

dependencia de este coeficiente con la estructura de flujo es su mayor inconveniente,

además, este esquema sólo es válido para escalas más pequeñas que el gradiente medio.

Estas desventajas pueden superarse en parte, si tenemos en cuenta una ecuación para la

evolución de la energía cinética turbulenta. Ésta se define como:

( )2 2 2 22 2ie u u v w′ ′ ′ ′= = + + (2.11)

Se puede demostrar que su evolución temporal es:

( ) 1i j i j i j v i i j i ive t u e x u u u x g u eu x p u xθ θ ρ ε−′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ + ∂ ∂ = − ∂ ∂ + − ∂ ∂ − ∂ ∂ −

(2.12)

Si despreciamos los flujos horizontales tendremos homogeneidad horizontal, y la

ecuación anterior queda de la siguiente manera:

( ) ( )v ve t u w u z v w v z g w ew p w zθ θ ρ ε′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ = − ∂ ∂ − ∂ ∂ + − ∂ + ∂ − (2.13)

donde ( )22 2i i j i ju u x u xε υ υ′ ′ ′= − ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ es la velocidad de disipación molecular viscosa,

que está relacionada con la disipación térmica de los vórtices más pequeños en los

movimientos atmosféricos.


2.3 PARÁMETROS DE ESTABILIDAD ATMOSFÉRICA

2.3.1 Número de Richardson

En la ecuación anterior, y suponiendo que nos encontramos cerca de la superficie, el

termino de corte u w u z v w v z′ ′ ′ ′− ∂ ∂ − ∂ ∂ es positivo, por lo que representa producción

de energía turbulenta, mientras que la flotabilidad ( )v vw gθ θ′ ′ , puede ser una fuente o

un sumidero de energía, dependiendo de las condiciones de estabilidad. En el caso de

inestabilidad térmica, es decir cuando 0v zθ∂ ∂ < , contribuirá al aumento de energía

cinética turbulenta (ECT). El cociente entre estos dos términos se define como el

número de Richardson de flujo Rf, y puede utilizarse para definir la estructura local y la

evolución de la turbulencia, además de caracterizar la estabilidad térmica del flujo:

( ) ( )/ /v vRf g w u w u z v w v zθ θ′ ′ ′ ′ ′ ′= ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.14)

Alternativamente, podemos definir el número de Richardson del gradiente Ri, utilizando

los esquemas de cierre de primer orden citados anteriormente:

( )H MRf K K Ri= (2.15)

donde

( ) ( ) ( )2 2vRi g z u z v zθ θ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ (2.16)

Este número ha sido muy utilizado como parámetro de estabilidad térmica en la capa

atmosférica superficial. En el caso de inestabilidad térmica, éste es negativo, y positivo

en caso contrario.

2.3.2 Longitud de Monin-Obukhov

Es conveniente introducir un nuevo parámetro de estabilidad, deducido por Monin y

Obukhov (1954) a partir de la ECT. Podemos comprobar, que conforme la altura z


aumenta desde la superficie, el término de corte tiende a decrecer con mayor celeridad

que la flotabilidad. La altura a la cual la flotabilidad se iguala con el corte, es una

longitud relevante en condiciones no neutrales. En el caso de inestabilidad, estos

términos se igualan cuando 1Rf = − . Si elegimos los ejes a lo largo del flujo medio

( )0v = , entonces para 1Rf = − tendremos, cerca de la superficie:

( ) ( ) vvou w u z g wθ θ′ ′ ′ ′− ∂ ∂ = (2.17)

de manera que si aceptamos que el gradiente de flujo medio ( )*ou z u kz∂ ∂ = Φ es una

función conocida, los términos serán iguales a la altura z L= −Φ , donde L es la longitud

de estabilidad definida por Obukhov como:

( ) ( )3 2* * *vo v o v v oL u k g w u k gθ θ θ θ ′ ′= − = (2.18)

donde el número adimensional /z Lζ ≡ se usa muy a menudo como parámetro de

estabilidad térmico.

Para tener en cuenta el vapor de agua en la atmósfera, podemos utilizar la expresión

propuesta por Paulson (1970):

( ) ( )( )3* 0.61a pa atmL u kg H c T Eρ = − + (2.19)

i. Si 0Ri ζ= = ⇒ Condiciones neutrales o de convección forzada.

ii. Si Ri y ζ → −∞ ⇒ Condiciones de convección libre.

iii. Si 0 critico

critico

Ri Ri Flujo Laminar Ri y

Ri Ri Flujo Turbulentoζ

> ⇒> < ⇒

donde cRi es el número critico de Richardson. Para la capa limite atmosférica,

0.2 0.25cRi ≈ − ; valor que fue deducido formalmente por Miles (1961).


2.4 TEORÍA DE SIMILITUD DE MONIN-OBUKHOV

Partiendo de la hipótesis de Prandtl, y en condiciones de homogeneidad horizontal, para

una capa superficial en condiciones neutrales ( 0v zθ∂ ∂ = ) se deduce que

*ou z u kz∂ ∂ = , donde k es la constante de von Karman, *ou la velocidad de fricción,

relacionada con el estrés superficial oτ mediante la relación:

( ) ( )1/ 22 22

*o o o ou u w v wτ ρ ′ ′ ′ ′= = +

(2.20)

Si elegimos el eje x de tal manera que 0v u v′ ′= = entonces, teniendo en cuenta que

x Mu w K u zτ ρ ρ′ ′= − = ∂ ∂ , obtenemos para el gradiente medio de la velocidad, la

expresión:

*ou z u kz∂ ∂ = (2.21)

De manera similar, podemos obtener las expresiones para los gradientes de humedad y

temperatura potencial virtual:

*oq z q kz∂ ∂ = (2.22)

*v v oz kzθ θ∂ ∂ = (2.23)

Si queremos calcular los flujos en condiciones no neutrales, podemos utilizar la teoría

de similitud de Monin-Obukhov, para calcular los flujos de calor sensible y latente entre

la superficie terrestre y la atmósfera.

Para incluir los efectos de la estratificación, en la descripción del transporte turbulento y

perfiles medios, Monin y Obukhov (1954), plantean la hipótesis de que algunas

características adimensionales de la turbulencia dependen de * , ,o vu z g θ y ( )v owθ′ ′ , a

través de z Lζ = .


Por tanto, en condiciones no neutrales, la forma de los gradientes medios, serán

funciones del parámetro ζ :

( ) ( )*o Mkz u u z ζ∂ ∂ = Φ (2.24)

( ) ( )*v o v Hkz zθ θ ζ∂ ∂ = Φ (2.25)

( ) ( )*o Wkz q q z ζ∂ ∂ = Φ (2.26)

De estas relaciones, se deduce que:

( )21H MRi fζ ζ= Φ Φ = (2.27)

( )2t H M M HP K K f ζ= = Φ Φ = (2.28)

*M o MK ku z= Φ (2.29)

*H o HK ku z= Φ (2.30)

donde el cociente M HK K se define como el número turbulento de Prandtl tP . De las

funciones Φ solo puede predecirse su comportamiento asintótico, y para evaluarlas, hay

que recurrir a medidas experimentales.

2.4.1 Límites asintóticos

2.4.1.1 Límite neutral: en este caso el parámetro ζ tenderá a cero, de manera que la

función Φ puede ser expresada como una serie de Taylor en torno a 0ζ = :

( ) 21 2 11 ... 1ζ β ζ β ζ β ζΦ = + + + ≈ + (2.31)

esta expresión es utilizada en la práctica, para el rango comprendido entre 0 1ζ< <

mientras que para valores negativos 5 0ζ− < < , suelen utilizarse las siguientes:

( ) ( ) 1 411M ζ γ ζ −Φ = − (2.32)

( ) ( ) ( ) 1 221H Wζ ζ γ ζ −Φ = Φ = − (2.33)


con 1 2 16γ γ≈ ≈ y 1 5β ≈ .

2.4.1.2 Límite estable: en condiciones de alta estabilidad ( )ζ → ∞ , los movimientos

turbulentos verticales están fuertemente limitados por la estratificación térmica positiva,

estando el tamaño de los remolinos limitado exclusivamente por la estabilidad, y no por

la distancia hasta la superficie. Cabe esperar que los gradientes dependan sólo de la

longitud de Monin-Obukhov L.

2.4.1.3 Límite inestable: en altas condiciones de inestabilidad ( )ζ → −∞ , estaremos en

condiciones de convección libre. En este caso, el corte del viento es despreciable con

respecto a las fuerzas de flotabilidad, y los parámetros escalares para la velocidad y

temperatura de la teoría de similitud de Monin-Obukhov, se reemplazan por los

parámetros definidos por Wyngaard et al. (1971):

( )( )1 3

f v v ou z g wθ θ ′ ′= (2.34)

( ) ( )1 32

of v vw z gθ θ θ ′ ′= (2.35)

En este caso, los gradientes dependen de tres variables ( ) ( )( ), , v v oz g wθ θ′ ′ , a través

de una constante, como puede deducirse a partir del teorema de Buckingham:

( ) 1f vz zθ θ α∂ = − (2.36)

donde 1 0α > , como predijo Priestley (1954) a partir de argumentos dimensionales. Por

desgracia, las medidas en condiciones de convección libre son muy dificultosas, y las

observaciones tienden analizarse a partir de valores finitos de ζ y Ri. Bajo tales


condiciones el parámetro *ou puede ser importante. La combinación de la ecuación

anterior, teniendo en cuenta la función ( ) ( )*M okz u u zζΦ = ∂ ∂ , nos lleva a:

( ) ( )1 34 31H kζ α ζΦ = − (2.37)

Los observaciones sugieren un valor 1 0.7α ≈ , e indican que la convección libre ocurre

a partir de valores comprendidos entre 1ζ ≈ − a -2 (Kader y Yaglom, 1990).

2.5 FLUJOS DE MOMENTO, CALOR Y HUMEDAD

2.5.1 Coeficientes de transferencia

Los flujos de calor latente y sensible en la superficie, pueden expresarse en función de

la diferencia de los valores de la temperatura y humedad en la superficie y en un nivel

de referencia z, además de características propias de la superficie, a través de las

rugosidades superficiales. Para obtener la proporcionalidad entre los flujos y las

diferencias entre los valores de los campos, denominados coeficientes de transferencia,

integraremos las funciones MΦ , HΦ y WΦ .

Si tenemos en cuenta cada uno de los casos descritos anteriormente, podemos llegar a

las siguientes expresiones:

Condiciones inestables:

( ) ( )( )

( )

2

1 41

( ) 2 ln 1 2 ln 1 2 2 ( ) 2

( ) 2 ln 1 2 0

( ) ( )

1

m

h

v h

x x x arctag x

x xSi

x x

x

π

ζ

γ ζ

Ω = + + + − + Ω = + <

Ω = Ω

= −

(2.38)


Condiciones estables:

[ ]1

1

1 0

1 ln >1 m h v

m h v

siSi

siβ ζ ζ

ζβ ζ ζ

Ω = Ω = Ω = − ≤> Ω = Ω = Ω = − + (2.39)

De esta forma, los campos pueden expresarse como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1*/ ln 1 ln lno M o M o mku u d z z d z z xζ ζ ζ ζ ζ−′ ′ ′ ′ ′= Φ = − − Φ ≈ − Ω ∫ ∫

(2.40)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1*/ lnv o v o H T hk d z z xθ θ θ ζ ζ ζ−′ ′ ′− = Φ ≈ − Ω∫ (2.41)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1*/ lno v o W q vk q q q d z z xζ ζ ζ−′ ′ ′− = Φ ≈ − Ω∫ (2.42)

donde las rugosidades superficiales oz , Tz y qz se definen de manera que

( ) 0ou z = , ( )s o v Tzθ θ θ= = y ( )s o qq q q z= = , es decir, que los flujos superficiales, a los

que nos referimos con el subíndice s, se anulen a esas alturas. Estas rugosidades se

tratan con más detalle en el apartado 2.5.3.

Los coeficientes de transferencia para el momento, calor y humedad, se definen como

sigue:

( )2*D oC u u≡ (2.43)

( ) ( )H v o voC w uθ θ θ′ ′= − (2.44)

( ) ( )E v ooC w q u q q′ ′= − (2.45)

que pueden expresarse en función de las formas integrales:

( ) ( ) 22 lnD o mC k z z ζ= − Ω (2.46)

( ) ( ) ( ) ( )2 ln lnH o m T hC k z z z zζ ζ= − Ω − Ω (2.47)

( ) ( ) ( ) ( )2 ln lnE o m q wC k z z z zζ ζ = − Ω − Ω (2.48)


2.5.2 Resistencias aerodinámicas

Para algunas aplicaciones en micrometeorología, y sobre superficies vegetales o suelos,

se reemplazan los coeficientes de transferencia por parámetros resistivos. Se utiliza la

analogía con la ley de Ohm en electricidad, de manera que la resistencia aerodinámica

se define como ( )a s a sr Fψ ψ= − , donde ( )s aψ ψ− es la diferencia de concentración y

sF es el flujo:

( ) 12*( ) ( )aM o o Dr u z u z u C uρ τ −= = = (2.49)

( ) ( ) ( ) 1* *aH p o v vo v o o v o Hr C H u C uρ θ θ θ θ θ −= − = − = (2.50)

( ) ( ) ( ) 1* *aV o o o o v o Er q q E q q u q C uρ −= − = − = (2.51)

Para condiciones de convección libre, el flujo de calor sensible hφ puede ser estimado a

partir de la formulación de Priestley (1959), con * 1.27h = , y el flujo de vapor vφ , puede

ser expresado como función de hφ , a través de la relación de Bowen, calculada entre la

superficie del suelo y el nivel de referencia z. En la Figura 2.3 podemos ver la variación

de las resistencias aerodinámicas con /z Lζ = .

Región de estabilidad

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

500

1000

1500

2000

2500

3000

z/L

Resi

sten

cia

aero

diná

mic

a (s

/m) raV

raM

raH

Variación de las resistencias aerodinámicas con z/L

Límite de neutralidad

Convección libre

Convección forzada

Flujo laminar

Flujo turbulento

Ric r it ico = 0.2

Región de inestabilidad Región de estabilidad

Figura 2.3 Variación de las resistencias aerodinámicas con /z Lζ = .


En la Figura 2.3 se resumen las condiciones de estabilidad atmosférica discutidas en la

sección 2.3.2. Las condiciones inestables se han calculado con la ecuación 2.38 cuando

0 2ζ> >− , la ecuación 2.39 para 0ζ > , y la integración de la ecuación 2.37, para el

caso de convección libre 2ζ <− .

2.5.3 Rugosidades superficiales

Cuando la subcapa viscosa es mayor que las protuberancias existentes en superficies

rugosas (flujos laminares), los experimentos muestran que *0.11o oz uυ= (Hinze 1975,

Capítulo 7), de manera que zo es independiente de la geometría del elemento rugoso. Un

valor típico de zo para flujos laminares es de 0.01 mm para valores de u*o=0.165 m/s.

Para el caso de flujos dinámicamente rugosos sobre elementos inmóviles, zo es una

función complicada de la geometría de la superficie, y en el caso de elementos móviles,

puede depender de la velocidad del viento. Para el caso particular de superficies

arenosas, la variación de zo con la velocidad del viento fue descrita por Charnock (1955)

2*o c oz u gα= , donde cα se conoce como la constante de Charnock, y su valor,

obtenido a partir de datos experimentales, es 0.016cα = .

En los perfiles de humedad y temperatura de la capa superficial, vimos que aparecían

dos longitudes escalares definidas como zT y zq. Los valores de la temperatura y

humedad en la superficie eran considerados en estos puntos. La diferencia entre zo, zT y

zq es debida a los diferentes mecanismos de transporte para el momento, calor y

humedad, en el caso de flujos turbulentos cerca de la superficie. La transferencia de

momento se ve alterada por las fluctuaciones de presión, introducidas por los elementos

rugosos de la superficie, que no afecta a la transferencia de vapor de agua y calor. En el

caso de superficies rugosas, la analogía de Reynolds deja de ser válida, y la resistencia a


la transferencia de momento entre la superficie y algún nivel de referencia sobre la

misma, debe ser menor que la resistencia a la transferencia de calor y vapor de agua.

La relación entre estas tres rugosidades escalares se puede establecer considerando la

estructura de subcapa interfacial, que es la capa de aire adyacente a la superficie, en la

que la forma de los perfiles de la capa superficial y la analogía de Reynolds dejan de

tener validez, debido a fluctuaciones de presión inducidas por los elementos rugosos, o

a diferencias en la distribución de fuentes y sumideros de momento, calor y vapor de

agua en la superficie.

Para flujos laminares esta capa es equivalente a la subcapa viscosa, donde la

transferencia molecular es importante. En flujos completamente turbulentos, el perfil de

velocidad en la subcapa interfacial, también denominada subcapa rugosa, depende de la

naturaleza y distribución de los elementos rugosos en la superficie.

Por analogía con la forma de los perfiles adimensionales en la subcapa inercial, en la

subcapa rugosa, los perfiles pueden ser representados en término de algunas variables

adimensionales; dz z , donde dz es la profundidad de la subcapa viscosa, * *Re o du h ν=

es el número de Reynolds rugoso, r TP kν= es el número de Prandtl y c VS kν= el

número de Schmidt. También se ha de considerar el tipo de superficie, pero como éste

es muy variado, se consideran tres tipos principales, constituidos por elementos suaves,

permeables, y periódicos equidistribuidos. En la práctica, las superficies naturales serán

casos intermedios o tránsitos entre estos tres.

Para tratar de describir la subcapa interfacial (Brutsaert 1982 ,Capítulo 4) es necesario

definir un coeficiente de arrastre interfacial 2 20 *D o dC u u= , un coeficiente de calor

interfacial ( )0 *v o vd voSt θ θ θ= − (número de Staton), y un coeficiente de transferencia de


masa interfacial (número de Dalton), ( )0 *o d oDa q q q= − . Para vincular la forma de los

perfiles entre la interfase y la subcapa inercial se toma una región próxima a hd. De esta

manera los coeficientes de transporte DC , HC y EC vistos anteriormente, pueden ser

descompuestos en ambas regiones. Así, si elegimos el nivel dz h= , las variables du ,

vdθ y dq pueden ser eliminadas, obteniendo las siguientes relaciones:

( ) ( )1 1* lnv o v o H oB k z zθ θ θ − −− = + (2.52)

( ) ( )1 1* lno o V oq q q B k z z− −− = + (2.53)

donde

( )1 1 1 2 10 0 lnH D o TB St C k z z− − − −= − = (2.54)

( )1 1 1 2 10 0 lnV D o qB Da C k z z− − − −= − = (2.55)

Las siguientes expresiones se desarrollaron para el caso de flujos turbulentos, donde

**Re o ou z ν= es el número de Reynolds rugoso. Además, se tiene en cuenta que para el

aire Pr 0.71= y 0.60Sc = .

2.5.3.1 Superficies suaves

Para este tipo de elementos, Brutsaert (1982, Capítulo 4) encuentra que:

1 2 313.6Pr 12HB− ≈ − (2.56)

1 2 313.6 12VB Sc− ≈ − (2.57)

de manera que

0.5o Tz z ≈ (2.58)

0.3o qz z ≈ (2.59)


2.5.3.2 Superficies con elementos periódicos

Según Brutsaert (1982, Capítulo 4):

1 1 4 1 2 1 4* *7.3Re Pr 5 6.2Re 5HB− ≈ − = − (2.60)

1 1 4 1 2 1 4* *7.3Re 5 5.7 Re 5VB Sc− ≈ − = − (2.61)

obteniendo las siguientes expresiones para las rugosidades:

( ) 1 4*ln 2.48Re 2o Tz z = − (2.62)

( ) 1 4*ln 2.28Re 2o qz z = − (2.63)

Para tener en cuenta flujos laminares y turbulentos, Brutsaert (1975) calcula las

rugosidades superficiales para el momento, vapor y calor en función del número de

Reynold rugoso:

*, ,*

*, ,

= 0.624 Re Re 0.13

= 0.395 Re o h o m

o v o m

z zSi

z z

<

(2.64)

( )( )

*1/4, ,*

*1/4, ,

=7.4 exp -2.46 Re Re 2

=7.4 exp -2.25 Re

o h o m

o v o m

z zSi

z z

>

(2.65)

Para valores de Re* comprendidos entre 0.13 y 2, en la zona de transición entre flujo

laminar y turbulento, aplicamos una interpolación lineal para determinar los valores de

,o hz y ,o vz .

2.5.3.3 Superficies con elementos permeables

Según Garratt y Francey (1978):

( ) ( )1 1 ln ln 2H V o T o qkB kB z z z z− −= = = ≈ (2.66)

En estos dos últimos casos, se puede comprobar que ,o T qz z z>> sobre la superficie del

suelo. Esto se corresponde con una transferencia más eficiente del momento, comparado


con el flujo de vapor de agua y calor. En contraste, sobre la superficie del mar, oz es

comparable, o incluso menor, a las rugosidades escalares Tz y qz .

En nuestro caso, las rugosidades para las gravas fina y media, tomando como referencia

el trabajo de Chambers y Sabatier (2002), son:

2 5 mm_ _ .o grava finaz = , 5 6 mm_ _ .o grava mediaz = (2.67)

y para las rugosidades térmica y de humedad, se suponen válidas las expresiones para

superficies periódicas, ecuaciones 2.62, 2.63. Tomando estos valores, en la Figura 2.4

hemos representado los flujos de calor sensible y latente en función del parámetro de

estabilidad atmosférica /z Lζ = , el número de Reynold rugoso, y la temperatura en el

suelo. La velocidad, temperatura atmosférica y humedad relativa de la atmósfera y del

suelo, son las que aparecen en las Figuras 2.4a y 2.4b.

-4 -2 0 2

-50

0

50

100

150

-4 -2 0 2

6

8

10

12

14

16

18

Num

ero

de R

eyno

ld

6 8 10 12 14 16 18-100

-50

0

50

100

150

20 25 30 35 40 45 50

-50

0

50

100

150

H

E

Fluj

o de

ene

rgía

(W/m

2 )

R*e

H

E

Fluj

o de

ene

rgía

(W/m

2 )

z/L z/L

Tsoil (ºC)

Tatm= 20ºC

U = 1m/s

hra = 70%hsoil =10%

hfg

hfg

Variación del calor latente y sensible con Tsoil

Variación del calor latente y sensible con z/L Variación del número de Reynold con z/L

Variación del calor latente y sensible con R*e

R*e

Fluj

o de

ene

rgía

(W/m

2 )

H

hfg E

a b

c d

Figura 2.4 Para esta Figura, suponemos que la superficie del mulch de grava volcánica está constituida

por elementos periódicos, como vimos en la sección 2.5.3.2. Para calcular el número de Reynolds,

utilizamos las ecuaciones 2.62 y 2.63, los coeficientes de transferencia, con las ecuaciones 2.40, 2.41 y

2.42, las resistencias aerodinámicas con las ecuaciones 2.49, 2.50, 2.51 del apartado 2.5.2, y para la

estabilidad, se han integrado las ecuaciones 2.37 para la convección libre, 2.38 para el caso inestable y la

2.39 para la estabilidad atmosférica.


Podemos observar en la Figura 2.4, que los flujos para pequeños números de Reynolds

son despreciables respecto a grandes números de Reynold. En este caso, la convección

libre es el mecanismo eficaz que transporta calor y humedad desde la superficie del

suelo hacia la atmósfera.

2.6 FLUJO RADIATIVO

La radiación neta NR que aparece en la ecuación 2.1, es el resultado de la combinación

de radiaciones de onda larga LR y de onda corta solarR . Las primeras son debidas a la

emisión térmica desde la atmósfera y la superficie del suelo, mientras que en la solarR

interviene el sol, la atenuación atmosférica y la orientación relativa entre la superficie y

la radiación incidente:

( )ε= − + − − +atm atm supsup1N solar solar L L LR R aR R R R (2.68)

donde a es el albedo de la superficie para onda larga, atm 4L atm atmR Tε σ= es la radiación

de onda larga que llega a la superficie desde la atmósfera, εsup es la emisividad de onda

larga de la superficie debido principalmente al contenido de vapor de agua,

( )ε− atmsup1 LR es la radiación atmosférica reflejada en la superficie, y sup 4

sup supLR Tε σ=

es la radiación térmica desde la superficie hacia el cielo.

El flujo de radiación emitida por un cuerpo negro ( )1ε= , viene dado por la ley de

Stefan-Boltzmann:

4R Tσ= (2.69)

donde 8 2 45.67 10 Wm Kσ − − −= es la constante de Stefan-Boltzmann.


La emisión térmica de las superficies reales, es corregida respecto al comportamiento

ideal del cuerpo negro mediante la emisividad, que siempre es menor que la unidad.

2.6.1 Modelo matemático para la radiación solar

Para determinar la radiación solar neta que incide sobre una superficie orientada

arbitrariamente, necesitamos conocer la hora local H, la longitud λ , la latitud ϕ y el

ángulo α que forma la superficie con respecto al plano del horizonte. Si definimos

como _solar oR la radiación solar que llega a la superficie terrestre, e i el ángulo que

forma con la normal a la superficie sobre la que incide, el flujo normal será:

_ cossolar solar oR R i= (2.70)

El ángulo i coincide con el ángulo cenital cuando 0ºα= . La radiación solar _solar oR

tiene componentes de radiación directa y difusa, debido al scattering de Rayleigh por

las moléculas de la atmósfera, a partículas suspendidas y a condiciones de nubosidad.

Estos factores se tienen en cuenta en la siguiente expresión (Hoffert y Storch, 1979,

Kaufmann y Weatherred, 1982):

( ) ( )( )_2

solar o solar aR S r 1-0.65CN 1+τ µ= (2.71)

donde 2870solarS Wm−= es la constante solar, aτ es la transmisividad atmosférica, que

varia entre 0.8 para cielos despejados, y 0.1 para cielos completamente cubiertos.

µ es la proporción de radiación difusa respecto a la radiación solar directa:

( )cos0.05+0.10 1- iµ= (2.72)

CN es el grado de nubosidad en el cielo, y 2r es un factor de corrección que tiene en

cuenta la excentricidad de la órbita de la tierra alrededor del sol:

( )2r =0.9998+0.0014 180/π δ (2.73)


cos i se define como el factor geométrico, y su valor viene dado por la expresión:

cos cos sin sin cosh cos= +i hα α ψ (2.74)

siendo h la elevación solar y ψ el acimut. Estos ángulos están representados en la

Figura 2.5, y en la Figura 2.6 se refleja la trayectoria del sol sobre la esfera celeste.

La elevación solar, a su vez, puede formularse en términos de la declinación solar δ , la

latitud ϕ , y el ángulo horario del sol Ω :

sin sin sin cos cos cos= + Ωh ϕ δ ϕ δ (2.75)

donde el ángulo horario del sol, es:

( )( ) ( )( )12H ET AO /12 /15 /12 π λ πΩ= − + − − (2.76)

ET es tiempo universal en horas, y viene dado por:

= [ 0.000075 + 0.001868cos( ) 0.032077sin( )ET ζ ζ− − −

( )0.014615cos(2 ) - 0.04089sin(2 )] 229.18 / 60 ζ ζ (2.77)

donde Jζ η= , 30 / 24J M D H= + + es el día juliano, 180=η π , 30( 1)= − +d M D ,

=M número del mes (de 1 a 12) , =D número del dia (de 1 a 31)

y H hora local (de 1 a 24)= .

Para la declinación δ (rad) en el ecuador, utilizamos la relación:

[0.006918- 0.399912cos( ) 0.070257sin( ) 0.006758cos(2 )=δ ζ ζ ζ+ −

0.000907sin(2 ) 0.002697cos(3 ) 0.00148sin(3 )]ζ ζ ζ+ − + (2.78)

El ángulo de declinación es el que forma el plano de rotación y traslación (eclíptica) de

la tierra. Para tener en cuenta el cambio horario, definimos CH de manera que vale 1

desde el uno de abril hasta el uno de noviembre, y cero el resto del año.


Con las ecuaciones anteriores, podemos calcular las horas civiles de salida y puesta del

sol: 12torto= / +12-ET+CH+ /15ω π λ (2.79)

12 /tocaso=2 +tortoω π (2.80)

Figura 2.5 Representación esquemática de las direcciones y ángulos que

intervienen en el cálculo de la radiación solar incidente, sobre una superficie

inclinada.

Para la longitud y latitud geográficas de la isla de Lanzarote, tomamos los valores:

18º28º

WN

λϕ==

(2.81)

En la Figura 2.7, vemos las horas de salida y puesta del sol en función del tiempo

universal, calculadas a partir de las fórmulas 2.74 y 2.75.

Figura 2.6 Representación esquemática del acimut terrestre y la elevación solar.

_o solarR n

i

hψ α

Sur

Sur

Este

Acimut

Elevación Solar

Horizonte

h

oψ

Esfera celeste

Cenit


0 2 4 6 8 10 1217.5

18

18.5

19

19.5

20

Tiem

po U

nive

rsal

(hor

as)

Evolución anual de la hora del ocaso del sol

0 2 4 6 8 10 125.5

6

6.5

7

7.5

8

Meses

Tiem

po U

nive

rsal

(hor

as)

Evolución anual de la hora de la salida del sol

λ = 18 ϕ = 28

ºW ºN

ϕ = 28 λ = 18 ºW

ºN

Figura 2.7 Horas de salida y puesta del sol, para la isla de Lanzarote,

18ºWλ= 28º Nϕ = .

0 50 100 150 200 250 300 350450

500

550

600

650

700

750

Dia del año

Fluj

o so

lar e

n su

perf

icie

W/m2

0 2 4 6 8 10 12-30º

-20º

-10º

0º

10º

20º

30º

Mes

solsticio de verano

solsticio de invierno

equinocio de primaveraequinocio de otoño

τa = 0.8 Ssolar = 870 W/m2

Ang

ulo

de d

eclin

ació

n so

lar

λ = 18

ϕ = 28

ºW

ºN

Figura 2.8 Angulo de declinación solar y flujo de radiación solar en la superficie.

Ambas Figuras están calculadas para las coordenadas geográficas de la isla de

Lanzarote.


Como el cielo en Lanzarote es bastante despejado, tomamos un factor de

transmisividad atmosférica.

0.8aτ = (2.82)

En la Figura 2.8 se representa la evolución del ángulo de declinación del sol, ecuación

2.73, a lo largo del año, y la radiación solar incidente, ecuación 2.70, en la superficie,

para el caso de un superficie horizontal ( 0ºα= ).

2.6.2 Modelo matemático para la radiación térmica

Para calcular la radiación térmica, necesitamos conocer las emisividades de la superficie

y de la atmósfera. La emisividad superficial de la grava volcánica se calculó

experimentalmente, como se muestra en el capítulo 5, mientras que para la atmósfera, se

ha utilizado la expresión propuesta por Buchan (1982):

( ) ( ) ( )41 1 1 1c c c cctatm c atm c atm atm c atm c

k

Tf f f fT

ε ε ε ε ε ∆ = + − + − − ≈ + −

(2.83)

donde cf es la fracción de cielo despejado, ctT∆ es el promedio de la diferencia de

temperatura entre la altura de pantalla y la base de la nube, que se ha considerado

despreciable 0∆ ≈ctT , kT es el promedio de temperatura en el rango esperado, y catmε

es la emisividad de la atmósfera sin nubes, que según Idso (1980) se calcula como:

0 _ _0.0000595 exp 1500 /catm v atm k atmn p Tε = + (2.84)

donde 0n es un factor que varía entre 0.7 para zona continental, y 0.6 para zonas

oceánicas. _v atmp y _k atmT son la presión media de vapor (en mb) y la temperatura media

de la atmósfera, tomadas en la altura de pantalla. cf puede determinarse como:

( )1 1max

1cSf n n

S= + − (2.85)


donde S es el valor medio de la radiación solar, maxS es el máximo valor de S , y 1n

tiene en cuenta el hecho de que bajo cielo cubierto, 0S ≠ .

2.7 MÉTODO COMBINADO DEL BALANCE DE ENERGÍA Y

AERODINÁMICO

La variedad de los modelos utilizados para calcular el calor latente y sensible, se debe a

la diferencia significativa de diferentes situaciones climatológicas, al estado del suelo

(humedo, seco), y a sus características físicas. Lo ideal sería medir los calores latente y

sensible, pues los modelos teóricos no abarcan de forma general todas las situaciones

posibles. Sin embargo, cuando esto no es posible, pueden utilizarse métodos

combinados.

Los dos factores principales que influyen en la evaporación desde una superficie abierta

de agua son; el suministro de energía para proveer el calor latente de vaporización,

siendo la radiación solar la principal fuente de energía calórica, y la habilidad para

transportar el vapor fuera de la superficie de evaporación. Este último mecanismo lo

hemos estudiado con algún detalle en las secciones anteriores, y hemos visto que la

habilidad de transporte del vapor fuera de la superficie de evaporación depende de la

velocidad del viento sobre la superficie y del gradiente de la humedad específica en el

aire por encima de ella.

La evaporación del agua en la superficie terrestre, comprende la evaporación directa

desde la superficie del suelo y el suministro de humedad desde el suelo hacia la

superficie de evaporación.


Cuando el suministro de vapor de agua no es limitante (superficie saturada), se suele

aplicar el método de balance de energía para calcular la tasa de evaporación desde una

superficie hacia la atmósfera. En este caso, no es fácil calcular el campo de flujo de

calor sensible. Pero como el calor se transfiere por convección a través del aire que se

localiza encima de la superficie, y el vapor de agua se transfiere por convección, de

forma similar puede suponerse que el campo de flujos de calor sensible y latente son

proporcionales. La constante de proporcionalidad es la relación de Bowen (ecuación

2.2).

La ecuación del balance de energía para la evaporación, se puede expresar como:

( )N fg lE R H G h ρ= − − (2.86)

Si el campo del flujo de calor sensible H y el campo de flujo de calor de suelo G son

despreciables respecto a la radiación solar neta, entonces la tasa de evaporación E puede

calcularse como la tasa a la cual toda la radiación neta de entrada se absorbe por la

evaporación:

N fg lE R h ρ= (2.87)

En el método aerodinámico, teniendo en cuenta las condiciones atmosféricas, las

diferencias de temperatura y humedad entre la superficie del suelo y la atmósfera a una

determinada altura de referencia rz , la rugosidad del terreno oz , y considerando que las

rugosidades para la temperatura y humedad son iguales a zo, la evaporación se puede

expresar mediante la siguiente relación:

( )( ) ( )aa s o rE B q z q z= − (2.88)

donde

( )

2

2

0.622 ( )ln

a r

w r o

k u zBp z z

ρ

ρ=

(2.89)


Cuando los dos niveles se toman en la superficie de evaporación oz y en la corriente de

aire por encima de ésta rz respectivamente, puede demostrarse que la tasa de

evaporación calculada a partir de la radiación neta y de la tasa de evaporación, que se

calcula utilizando el método del balance de energía en combinación con el

aerodinámico, es (Penman,1948):

r aE E Eγγ γ

∆= +

∆ + ∆ + (2.90)

donde γ es la constante psicrométrica, y ∆ es el gradiente de la curva de presión de

saturación del vapor, a la temperatura del aire aT .

Si disponemos de la información meteorológica, y todas las suposiciones se satisfacen,

el método de combinación es el más preciso para el cálculo de la evaporación. Las

principales hipótesis para aplicar adecuadamente el método del balance de energía son:

que prevalezca un flujo de energía de estado permanente, y que el cambio de

almacenamiento de calor en el volumen considerado no sea significativo. Estas

suposiciones limitan la aplicación del método a intervalos de tiempo diarios o mayores,

y situaciones que no involucren grandes capacidades de almacenamiento de calor, como

las que posee un lago grande. La principal suposición del método aerodinámico está

asociada con la forma del coeficiente de transferencia de vapor B. Se han propuesto

muchas formas empíricas para este coeficiente, que se ajusta localmente con

información del viento y otros parámetros meteorológicos.

El método de combinación es apropiado para aplicarse a áreas pequeñas, con

información climatológica detallada. La información requerida incluye la radiación

neta, la temperatura del aire, la humedad relativa, la velocidad del viento y la presión


del aire. Cuando parte de esta información no está disponible, deben utilizarse las

ecuaciones de evaporación más simples que requieran menos variables. En el caso de

evaporación en grandes áreas, las consideraciones de balance de energía se utilizan para

calcular la tasa de evaporación. Para tales casos, Priestley y Taylor (1972) encontraron

que el segundo término de la ecuación de combinación es aproximadamente el 30% del

primero, rescribiendo la ecuación de evaporación de Priestley-Taylor:

rE Eαγ

∆=

∆ + (2.91)

donde 1.3α = .

2.8 RELACIONES TERMODINÁMICAS PARA EL AIRE HÚMEDO

El agua atmosférica existe principalmente como gas o vapor, pero breve y localmente

puede convertirse en líquido en la lluvia, o en las pequeñas gotas de agua de las nubes, o

puede convertirse en sólido en la nieve, o en el granizo y en los cristales de hielo en las

nubes. La cantidad de vapor de agua en la atmósfera es menor que una parte en 100.000

de toda el agua de la Tierra, pero cumple una función vital en el ciclo hidrológico.

La ley de presiones parciales de Dalton, establece que la presión que ejerce un gas es

independiente de la presencia de otros gases. La presión de vapor de agua está dada por

la ley del gas ideal:

v v vp R Tρ= (2.92)


donde T es la temperatura absoluta en Kelvin, y Rv es la constante de los gases para el

vapor de agua. Si la presión total que ejerce el aire húmedo es p, entonces la presión

parcial debida al aire seco será:

v d dp p R Tρ− = (2.93)

donde dρ es la densidad de aire seco y Rd es la constante de los gases para el aire seco

(287J/KgK). La densidad del aire húmedo aρ es la suma de las densidades del aire seco

y del vapor de agua, es decir, a d vρ ρ ρ= + , y / 0.622v dR R= , donde 0.622 es la

relación entre el peso molecular del vapor de agua y el peso molecular promedio del

aire seco. Estos valores son 287.1 /dR J Kg K= y 461.5 /vR J Kg K= .

Si se combinan las expresiones anteriores, la presión total es:

0.622v

d dp R Tρρ = + (2.94)

La humedad específica, definida como la relación entre las densidades de vapor de agua

y aire húmedo se puede expresar como:

0.622v vv

a

pqp

ρρ

= = (2.95)

Igualmente, se puede expresar en términos de la constante de los gases para el aire

húmedo, Ra, como:

a ap R Tρ= (2.96)

La relación entre las constantes de los gases para aire húmedo y aire seco está dada por:

( ) [ ]1 0.608 /a d vR R q J Kg K= + ⋅ (2.97)


Este valor se incrementa con la humedad específica, pero aún para una humedad

específica grande (por ejemplo, qv-= 0.03 kg de agua/ kg de aire húmedo), la diferencia

entre las aR y dR es sólo alrededor del 2%.

Para una temperatura de aire dada, existe un máximo contenido de humedad que el aire

puede tener, y la presión de vapor correspondiente se denomina presión de vapor de

saturación ps. A esta presión de vapor, las tasas de evaporación y condensación son

iguales. Sobre una superficie de agua la presión de vapor de saturación puede

relacionarse con la temperatura del aire, mediante expresiones aproximadas, como por

ejemplo las desarrolladas por Raudkivi (1979):

( ) .exp.s

Tp TT

= + 17 27611

237 3 (2.98)

donde ps está en pascales (Pa=N/m2) y T en grados Celsius °C. El gradiente de la curva

de presión de vapor de saturación se encuentra diferenciando la expresión anterior:

( )2

4098237.3

spT

∆ =+ (2.99)

La humedad relativa rh es la relación entre la presión de vapor real y su valor de

saturación a una temperatura de aire dada:

vh

s

prp

= (2.100)

La temperatura a la cual el aire se satura para una humedad específica dada, es la

temperatura del punto de rocío Td.


2.9 CONDICIONES DE CONTORNO ATMOSFÉRICAS

La definición de flujos de calor sensible y latente, la encontramos en las ecuaciones 2.9

y 2.10. Para calcularlos en función de los parámetros atmosféricos, utilizamos la teoría

de similitud de Monin-Obukhov de la sección 2.4, con las resistencias aerodinámicas de

la sección 2.5.2, obtenidas a partir de parámetros integrados de estabilidad atmosférica

de la sección 2.5.1.

La longitud de Monin-Obukhov utilizada fue la propuesta por Paulson (1970):

( ) ( )( )3* 0.61a pa atmL u kg H c T Eρ = − + (2.19)

donde

( ) ( )* ,lna a o m m au u k z z z L = −Ω (2.49)


Tabla 2.1 Condiciones de contorno atmosféricas

Ecuaciones de continuidad en la superficie, z = 0

( ) ( )4 4sup sup1h solar atm atm fgq R a T T H h Eε ε σ σ= − − − − − +

mq E=

Expresión para los flujos

( )vs va aVE rρ ρ= −

( )a pa s a aHH c T T rρ= −

Resistencias aerodinámicas

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, ,ln lnaH a o h h a a o m m a ar z z z L z z z L k u = −Ω −Ω

(2.50)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, ,ln lnaV a o v v a a o m m a ar z z z L z z z L k u = −Ω −Ω

(2.51)

Condiciones inestables:

( ) ( )( )

( )

2

1 41

( ) 2 ln 1 2 ln 1 2 2 ( ) 2

( ) 2 ln 1 2 0

( ) ( )

1

m

h

v h

x x x arctag x

x xSi

x x

x

π

ζ

γ ζ

Ω = + + + − + Ω = + <

Ω = Ω

= − (2.38)

1 16γ = , /az Lζ =

Condiciones estables:

[ ]1

1

1 0

1 ln >1 m h v

m h v

siSi

siβ ζ ζ

ζβ ζ ζ

Ω = Ω = Ω = − ≤> Ω = Ω = Ω = − + (2.39)

Donde az es la altura, en metros, a la que se miden la velocidad del aire au y la

temperatura de aire aT , fgh E y H son los calores latente y sensible, vsρ y vaρ las


densidades de vapor de agua en la superficie del mulch y en la atmósfera, k = 0.4, la

constante de von Karman, y o mz , , o vz , y o hz , las rugosidades superficiales para el

momento, vapor y calor respectivamente:

*, ,*

*, ,

= 0.624 Re Re 0.13

= 0.395 Re o h o m

o v o m

z zSi

z z

<

(2.64)

( )( )

*1/4, ,*

*1/4, ,

=7.4 exp -2.46 Re Re 2

=7.4 exp -2.25 Re

o h o m

o v o m

z zSi

z z

>

(2.65)

Para valores de Re* comprendidos entre 0.13 y 2, en la zona de transición entre flujo

laminar y turbulento, se aplica una interpolación lineal, para determinar el valor de ,o hz

y ,o vz . Los valores para ,o mz (Chambers y Sabatier, 2002) son:

2 5 mmo m grava finaz =, _ _ . , 5 6 mmo m grava mediaz =, _ _ . (2.67)

dos ecuaciones atmosfÉricas - ajmoreno.webs.ull.es · las condiciones de contorno en la interfase...

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