Selektionsabschliige bei Kiindigung oder Beitragsfreistellung von Lebensversicherungen

Axel Holzwarth, Bernhard Schmidt und Werner Timmerscheidt (K61n)

Bei Kiindigung oder Beitragsfreistellung einer Lebensversicherung wird dem Kunden das Deckungskapital seiner Versicherung, vermindert um einen angemessenen Abschlag aus- gezahlt, beziehungsweise der Berechnung der neuen beitragsfreien Summe zugrundege- legt. Dieser Selektionsabzug beriicksichtigt die Tatsache, dab mit der Stornierung oder Beitragsfreistellung eines Vertrages eine Verschlechterung der Risikosituation fiir den verbleibenden Versichertenbestand einhergeht, die darauf beruht, dab vermehrt gute Risiken mit unterdurchschnittlichen Sterblichkeiten den Bestand verlassen. So wurde beispielsweise f/Jr beitragsfreie Versicherungen eine um ca. 15% reduzierte Sterblichkeit gegeniiber laufenden Vertr~igen beobachtet. Im folgenden wird zun~ichst allgemein ein Verfahren beschrieben, das es erlaubt, fiir durch Todesfalleistungen charakterisierte Lebensversicherungen die H6he des erforderlichen Selektionsabschlags bei Kiindigung oder Beitragsfreistellung durch den Versicherungs- nehmer zu quantifizieren. Als Spezialfall ergibt sich das in [1] von E. Schneider vorge- schlagene Modell zur Berechnung von Stomoabschl~igen. In einem zweiten Teil wird dann dieses Verfahren beispielhaft angewendet auf eine ge- mischte Versicherung. Dafiir werden ausgehend von einem praxisnahen Modellbestand und den darin beobachteten spezifischen Sterblichkeitswerten, Stomoh/iufigkeiten etc. die erforderlichen Selektionsabschl/ige bei Beitragsfreistellung und Storno berechnet und tabellarisch dargesteUt. Nicht beriicksichtigt werden bei der Berechnung der Selektionsabschl/ige die durch die verschiedenen Gesch~iftsvorf/ille bedingten Ertragswertbelastungen fiir das Versiche- rungsunternehmen, beispielsweise durch zus~itzlichen Bearbeitungsaufwand, EDV-Ko- sten, entgangene Amortisationskosten etc. oder die Erh6hung des versicherungstechni- schen Risikos aufgrund reduzierter Vertragszahlen im Versichertenbestand.

1. Das T e i l k o l l e k t i v - M o d e l l

Um den Einflul3 von Stornierungen und Beitragsfreistellungen auf die Sterblichkeit im Versichertenkollektiv zu analysieren, wird die Gesamtheit aller der Personen betrachtet, die einen Lebensversicherungsvertrag abgeschlossen haben (Gesamtkollektiv (1)). Der Eintritt in dieses Kollektiv erfolgt also mit dem VertragsabschluB des Versicherungsneh- mers und die Zugeh6rigkeit besteht bis zum Zeitpunkt des vereinbarten Vertragsablaufs. W/ihrend dieser Zeit werden jedoch einige Vertr/ige beitragsfrei gestellt oder gekiindigt. Dementsprechend zerfiillt zu jedem Zeitpunkt das Gesamtkollektiv in vier Teilkollektive:

Teilkollektiv (2): (Noch) beitragspflichtige Versicherungsvertriige. Teilkollektiv (3): Beitragsfrei gestellte Versicherungen. (Die Kollektive (2) und (3) bilden zusammen das Versichertenkollektiv.) Teilkollektiv (4): Stornierte beitragspflichtige Vertr/ige. Teilkollektiv (5): Stornierte beitragsfreie Vertr/ige.

Personen aus Teilkollektiv (2) k6nnen also durch Ablauf, Tod, Beitragsfreistellung (Obergang in Teilkollektiv (3)) oder Kiindigung (()bergang in Teilkollektiv (4)) aus der

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Personengesamtheit (2) ausscheiden; Angeh6rige von Teilkollektiv (3), die aufgrund der Beitragsfreistellung nur noch einen Teil ihres urspriinglichen Versicherungsschutzes auf- recht erhalten haben, k6nnen das Teilkollektiv durch Ablauf, Tod, oder Kiindigung (Obergang in Teilkollektiv (5)) verlassen. Abbildung 1 veranschaulicht dieses Modell graphisch.

Ablaufl IT~ Oes'mtko"ekt'v "' ] , d

,,Stomo I ~ 7 ~ ~ i W"Tell - Tel: " ~

[ kollektiv (4) kollektiv (5) \

abschluR t v Teilk~ (2) l T )

Abb. 1. Das Teilkollektivmodell

2. De f in i t i on der Se lek t ionsabschl / ige

Die mit vorzeitiger Kiindigung oder Beitragsfreistellung einhergehende Antiselektion bei durch Todesfalleistungen charakterisierten Lebensversicherungen entsteht dadurch, dab in hohem MaBe Personen mit gutem Risiko, d. h. mit im Vergleich zum Gesamtkollektiv niedrigeren individuellen Sterblichkeiten ganz (durch Storno) oder teilweise (durch Bei- tragsfreistellung) ihren Versicherungsschutz aufl6sen. Konsequenterweise sind fiir Personen in den Teilkollektiven (3- 5) geringere Sterblichkei- ten als im Gesamtkollektiv anzunehmen. Bezeichnet nun f'tir eine Person in Teilkollektiv j (j = 1, 3, 4, 5), die im Alter x eine Versicherung abgeschlossen hat, mV~ j) das prospektive Deckungskapital nach m Jahren Vertragslaufzeit auf der Basis von Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung fiir Zins, Kosten und Sterblichkeit sowie der OberschuBbeteiligung, so gilt:

my,o) < my,(" 0=3 ,4 ,5 ) .

,,V~ ~ (j = 3, 4, 5) stellt damit dasjenige Deckungskapital dar, das fiir eine Fortfiihrung der Versicherung auf Basis tier Sterblichkeiten bei Personen, die ihre laufende Versiche- rung gekiindigt bzw. beitragsfreigestellt haben, unter Beibehaltung der bisherigen Bei- tr/ige und Leistungen efforderlich w~ire.

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Im Falle der Kiindigung einer laufenden Versicherung kann die (positive) Differenz =V (1) - =V (*) demnach als der Erwartungswert ffir den Gewinn interpretiert werden, der aus einer Weiterversicherung des Risikos gem~iB der urspriinglichen vertraglichen Verein- barungen bis zum Vertragsende resultiert. Dieser Gewinn wird im Rahrnen des Risiko- ausgleichs im Gesamtkollektiv ffir die Vertr~ige ben6tigt, die von Personen mit individuel- len Sterblichkeiten fiber der Durchschnittssterblichkeit im Gesamtkollektiv (1) abge- schlossen wurden. ~,hnlich, wenn auch etwas komplizierter, ist die Interpretation im Fall der Beitragsfrei- stellung. Bezeichnet (analog zu mV~ jJ) b~w~0) (j = 1, 3) das mit Sterblichkeiten in Teilkol- lektiv (1) bzw. (3) berechnete prospektive Deckungskapital ffir die auf Basis des vorhan- denen rechnungsm~iBigen Deckungskapitals berechneten beitragsfreien Versicberungslei- stungen, so kann der entgangene Gewinn ausgedrfickt werden durch die Differenz

( m V x ( I ) - - m V x ( 3 ) ) - (bfmrVx(1) - - bfmrVx(3)) ,

Der zweite Klammerterm berficksichtigt, dab im Gegensatz zur Stornierung bei Beitrags- freistellungen nicht das gesamte Risiko aus dem Versichertenbestand herausgelfst wird (Teilstorno), mithin auch weiterhin ein (Rest-)Gewinn ffir das Gesamtkollektiv zur Ver- ffigung steht. Demzufolge k6nnen die durch Antiselektion bervorgerufenen Nachteile fiir die Versi- chertengemeinchaft aufgefangen werden, wenn man folgende Selektionsabschl~ige deft- niert:

- Abschlag ffir Storno einer laufenden Versicherung nach m Jahren

A (4) : = V(1) _ V(a) m x m ' x m ' x �9

- Abschlag bei Beitragsfreistellung einer laufenden Versicherung nach rn Jahren

A ( 3 ) . = ~ v ( 1 ) V ( 3 ) ~ - - ( b f r v ( 1 ) b f r v ( 3 ) ' ~ (A) m x �9 g m ' x - - m ' x / ~ m ' x - - m ' x / "

- Abschlag bei Storno eincr nach m Jahren beitragsfrci gestdlten Versicherung zum Zcitpunkt m + r

A ( 3 ) . _ b f r ~ / ( l ) _ b f r ~ j ( 5 ) r + [ m ] x " - - r + [ m ] - - x r + [ r a ] ' x �9

Dabei bezeichnet bfwm das ffir eine Forfffihrung der (beitragsfreien) Versicherung r + [ m ] x

erforderliche Deckungskapital auf Basis der Sterblichkeiten yon Personen, die nach r Jahren ihre beitragsfreie Versicherung rfickkaufen.

3. B e r e c h n u n g der S t e r b l i c h k e i t im G e s a m t k o l l e k t i v

Zur Berechnung der erforderlichen Selektionsabschl~ige mfissen daher insbesondere die Sterblichkeiten im Gesamtkollektiv (1) ermittelt werden. Die Sterblichkeit bei Eintritt in das Gesamtkollektiv (1), d.h. von Personen, die einen Lebensversicherungsvertrag abschlieBen, ist grunds~itzlich niedriger als die allgemeine Bev61kerungssterblichkeit und wird zus~itzlich durch die bei VertragsabschluB erfolgende Gesundheitspriifung reduziert. Dies ffihrt zu Sterbewahrscheinlichkeiten, die sowohl vom Eintrittsalter, als auch vonder zurfickgelegten Vertragsdauer abh~ingen, also zwei- fach abgestuft sind. Letzteres resultiert aus den mit der Zeit nachlassenden Effekten der (nur) bei Vertragsbeginn durchgeffihrten Gesundheitspriifung. Auf der anderen Seite beziehen sich die verffigbaren versicherungsspezifischen Statistiken jeweils auf beobachtbare Versichertenbest~inde und nicht auf das Gesamtkollektiv. Insbe- sondere lassen sie keine Aussagen fiber die Sterblichkeit bei stornierten Vertr~igen zu.

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Daher soil im folgenden ein allgemeines Verfahren angegeben werden, dab aus den beobachteten Sterblichkeitswerten in und den Obergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Teilkollektiven die Ermittlung der Gesamtsterblichkeit in Kollektiv (1) erm6glicht. Dazu werden folgende Bezeichnungen verwendet:

q0) = Sterbewahrscheinlichkeit einer Person im Alter x + t in KoUektiv (j) [xl + t

(j = 1, 2), die im Alter x einen Versicherungsvertrag abgeschlossen hat, (3) + q[x+m] t = Sterbewahrscheinlichkeit einer Person im Alter x + m + t in Kollektiv 3,

die im Alter x einen Vertrag abgeschlossen und nach m Jahren beitragsfrei gestellt hat,

qt4) = Sterbewahrscheinlichkeit einer Person im Alter x + m + t in Kollektiv 4, [ x + m ] + t

die im Alter x einen Vertrag abgeschlossen und nach m Jahren gekiindigt hat,

( 5 ) qt[~ + ml +r] +t = Sterbewahrscheinlichkeit einer Person im Alter x + m + r + t in Kollektiv (5), die im Alter x einen Vertrag abgeschlossen, nach m Jahren beitragsfrei gestellt und nach weiteren r Jahren diesen Vertrag storniert hat.

Die Sterbewahrscheinlichkeiten in den Teilkollektiven (2) und (3) sind unter Beriicksich- tigung von Selektionseffekten exogen ermittelbar. Dazu wird in Obereinstimmung mit dem vom DAV in Rahmen der Ableitung der neuen DAV-Sterbetafel 1994 vorgeschlage- nen Verfahren wie folgt vorgegangen (j = 2, 3):

qO) " - s ( j ) ( t ) " ftJ)- ~(J) (B) [ x ] + t * - - ~'lx + t ~

wobei:

~1 tj) = Beobachtete Sterblichkeit 2. Ordnung im Versicherungsbestand bei beitrags- x + t

pflichtigen (j = 2) bzw. beitragsfreien (j = 3) Versicherungen, s ~ (t) = Selektionsfaktor, f(J) = 1/(n ~ + (1 - n(J)) �9 v~

mit:

n ~ = Anteil der beitragspflichtigen (j = 2) bzw. beitragsfreien (j = 3) Versiche- rungsvertr/ige auBerhalb der Selektionsphase,

v o) = Verh/iltnis der Sterblichkeiten in- und aul3erhalb der Selektionsphase.

Die hier unterstellte Selektion beruht in Teilkollektiv (2) auf der bei Vertragsabschlu6 durchgefiihrten Gesundheitspriifung. Bei den Sterblichkeiten in den Kollektiven (3-5) muB grunds/itzlich davon ausgegangen werden, dab seitens des Versicherungsnehmers vor Beitragsfreistellung oder Stornierung seines Vertrages eine zumindest subjektive Gesundheitspriifung vorgenommen wird. Zwar wird der aktuelle (gute) Gesundheitsstand nicht direkt und automatisch einen (Teil-) Riickkauf des Vertrages hervorrufen, allerdings wird eine Vertragskiindigung bei sehlech- ten Gesundheitsverh/iltnissen eher unterbleiben. Insgesamt fiihrt dies in diesen Kollekti- ven zu vergleichsweise niedrigeren Sterblichkeiten, als sie in Kollektiv (2) auftreten. Fiir die Sterbewahrscheinlichkeiten in Kollektiv (4), d. h. bei Stomierung beitragspflichti- ger Vertr/ige ist folgender Ansatz plausibel (x = Beitrittsalter; Kiindigung nach m Jahren Vertragslaufzeit):

(4) + (1) + qtx+m] t := qtx+m] t" (C)

Dies bedeutet, dab bei Kiindigung erneut eine Selektionsphase eintritt und die subjektive Risikoeinsch~tzung des Versicherungsnehmers eine/ihnliche Selektionswirkung hat, wie die GesundheitspriJfung bei AbschluB des Vertrages.

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Ffir die Sterbewahrscheinlichkeiten in Kollektiv (5), d.h. bei Stornierung zuvor schon beitragsfreigestellter Versicherungenlichkeiten wird ein gemischter Ansatz der Form:

q(5) . _ .(3) (1 ~). (1) + + [ [ x + m l + r ] + t ' - - s " " t [ x + m ] + r + t + - - q [ x + m r] t (D)

gewiihlt (0 _< e < 1). Dadurch wird auf der einen Seite eine analoge Ankopplung der Sterblichkeiten an die des Gesamtkollektivs wie in (C) erm6glicht (~ = 0), andererseits kann aber auch dem Grund- gedanken Rechnung getragen werden, dab aufgrund des bereits vorher reduzierten Versi- cherungsschutzes eher ein konkreter Geldbedarf als Kiindigungsgrund unterstellt werden kann, die subjektive Risikoeinsch/itzung in diesem Zusammenhang also eine untergeord- nete RoUe spielt und daher keine neue Ver/inderung in der Sterblichkeit angenommen werden sollte (E = 1). Natiirlich ist auch ein Mischansatz mit (0 < e < 1) m6glich. Die Obergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Teilkollektiven werden wie folgt deft- niert und bezeichnet:

s(~l+ t = Wahrscheinlichkeit genau nach t Jahren eine laufende Versicherung zu stor- nieren (x = Beitrittsalter),

btxj +t = Wahrscheinlichkeit genau nach t Jahren eine laufende Versicherung beitrags- frei zu stellen (x = Beitrittsalter)

b st~ § m~ +~ = Wahrscheinlichkeit genau nach t Jahren eine beitragsfreie Versicherung zu stornieren, die im Alter x + rn beitragsfrei gestellt wurde (x = Beitrittsalter),

Zur Formulierung der bestimmenden Gleichung fiir die Sterblichkeiten im Gesamt- kollektiv werden unter Verwendung obiger Obergangswahrscheinlichkeiten noch fol- gende Gr6Ben definiert:

P~x~), = (t + 1)-jiihrige Oberlebenswahrscheinlichkeit in Teilkollektiv (1),

= ( 1 - u = O

D(2) = t-j/ihrige Verbleibewahrscheinlichkeit in Teilkollektiv (2), Ix], t t - 1

= FI ( l - ( s t x l + u + b t ~ j + u ) ) . ( 1 - ~ ( 2 ) ) , q t x l + u

u = O

D(3) = t-jiihrige Verbleibewahrscheinlichkeit in Teilkollektiv (3) (bei Beitragsfrei- [ x + m ] , t

stellung nach m Jahren), t - 1

= FI (1 -bstx+m]+u).(1 --qtx+m~+u(3), ), u = O

P~)+m].t = (t + 1)-jiihrige Oberlebenswahrscheinlichkeit in Teilkollektiv (4) (bei Stor- nierung nach m Jahren),

t t = I - [ (1 - ' 1 ( 4 ) ~(c) (1) + , "ttx + mS + u /= I-I (1 - qt~ + ml u)

u = O u = O

P~t~)m~,q.u = ( u + 1)-j~ihrige Oberlebenswahrscheinlichkeit in Teilkollektiv 5 (bei Bei- tragsfreistellung nach m und Kiindigung nach m + t Jahren),

f l (1 .,s) ~(_D) f l (1 e (3) ++ - ( 1 - ~ ' ,1.) , = - - " l [ [ x + m l + t ] + w / - - - - " qtx+m] t w y " ~ l [ x + m + t ] + w . L

w = O w = O

Mit diesen Bezeichnungen ergibt sich folgende Zerlegung der n-jiihrigen Oberlebens- wahrscheinlichkeit im Gesamtkollektiv (1):

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p [ ( 1 ) _ !-~(2) ~ 1"~(2) . . p ( 4 ) x ) . n - ~[xl.n+l + "[x].t S[xl+t [x+tl, n - t (E)

t = O

"Jl- ~ l"~t(2) ~ [x+t],n-t+l "J#" n-tz "bst,+q+. ) ~'t.l,t" bt.l+t" fD~3] r'~i3] " P~(~)+ q.,1., +t-, x.,,(x + t ] . u t ~ O u = O

Unterstellt wurde dabei, dal3 Kiindigungen und Beitragsfreistellungen jeweils zu Beginn eines Jahres erfolgen. Eine entsprechende Verfeinerung yon (E) auf kiirzere Zeitintervalle ist, soweit die dafiir erforderlichen Werte fiir Sterblichkeiten und Clbergangswahrschein- lichkeiten vorliegen, leicht m6glich. Es lassen sich nun die ,,(1] rekursiv berechnen, indem man mit (C) und (D) Formel (E) ~l(xl + t wie folgt umschreibt:

\

X'J[x], t " S[x] + t ) ,1, ~, t.>..-, - st.]" p(x]._ 1 ) - ~a"'[x),n+ 1 "3L " P ( x + t ] , n - t qt.l+. )',p,1] {n,2] ~ ,-,{2> u> t = l /

( - )) (2] . b . (3> D[x+q,u. b s(,+t]+, �9 Pl[x+tl, ul, n - t - u - - Dtxl, t (x]+t D(x+tl.n_t+l + ~ (3) {5) t = l u = O

u = 1 O t x ] ' u - [ [ x ] , u], n - u ] ) btx] D[xl, n+l + bstx]+ u"

o.~.,(3] ~.t}o> 1) t -(btxj'bs(.3"(1 - ~ n(.]+.* %1,.- . /

+

{a(l]. , - 1 - s in ' P ( # . . - i - bin" b sin" - , ) . a ( # . . _ 1}-

�9 �9 u> o> < n) und ,,(o (1 _<j < n - 1), wobei die D a n n e r g l b t m e h a . . + a u s q . + .+t(1 m < " t xJ n tx mj - - - - + ' l [x]+j - - Berechnung mit ql~i t = q12~ gestartet wird.

4. P r a k t i s c h e D u r c h f f i h r u n g des V e r f a h r e n s

Fiir die konkrete Berechnung yon Selektionsabschlfigen bei einer durch die Todesfallei- stung charakterisierten Lebensversicherung miissen grunds~itzlich folgende Werte ermit- telt werden:

- Obergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Teilkollektiven bt,], s(xl, b six l, - Sterbliehkeiten 2. Ordnung '~JJ (j = 2, 3), M-x+t - Selektionsparameter n ~ v ~ s ~ (j = 2, 3).

Von diesen Parametem sind in jedem Fall die Obergangswahrscheinlichkeiten und die Sterblichkeiten 2. Ordnung spezifisch fiir den zugrundeliegenden Versicherungsbestand zu ermitteln, oder, falls aufgrund einer zu geringen Bestandsgr6~ die Signifikanz der Werte nicht ausreichend gew/ihrleistet ist, aus vergleichbaren Bestfinden abzuleiten. Auch die Werte n {j] miissen bestandsindividuell berechnet werden, da sich in Ihnen beispiels- weise die Wachstumsgeschwindigkeit einer Gesellschaft widerspiegelt. Dagegen erseheint fiir die Selektionsparameter s ~ ein genereller Ansatz, unabhfingig vom einzelnen Versicherungsbestand, m6glich. Die die Selektion beeinflussenden Ursachen, wie die in allen Gesellschaften durehgefiihrte medizinische Gesundheitspriifung bei Ver- tragsabschlul3 bzw. die dutch den Versicherungsnehmer eventuell vorgenommene subjek- tive Gesundheitsschfitzung bei (Teil-)-Riickkauf des Vertrages, k6nnen als ausreichend unabhfingig vom Einzelbestand angenommen werden.

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Im folgenden wird fiir die Selektion bei beitragsptlichtigen Versicherungen, in t3berein- stimmung mit bestandsiibergreifendem Datenmaterial aus dem Bereich der Riickversi- cherung, der Ansatz:

s ~2) (t) = 0,5 + rain (5, t). 0,1

verwendet. Dies bedeutet, dab die Gesundheitspriifung bei VertragsabschluB zun/ichst zu einer Halbierung der Sterblichkeit ffihrt und die Selektionsdauer t o = 5 Jahre betr/igt. Auf dieser Basis wird ffir die mit Beitragsfreistellung einhergehende Selektion angesetzt:

s C3) (t) = 0,6 + min (5, t). 0,08.

Damit wird sichergestellt, dab w/ihrend der Selektionsphase die selektionsbedingte Ab- senkung der Sterblichkeiten in Kollektiv (3) geringer ist, als in KoUektiv (2), d.h. die subjektive Risikoeinsch/itzung wirkt sich weniger aus, als die Gesundheitsprfifung bei AbschluB eines Lebensversicherungsvertrages. Die Werte v ~ k6nnen dann aus den s ~ durch den Ansatz:

C o - 1 \

,~o s~ v ~ = ( j=2,3)

to

ermittelt werden. Ffir obige s ~ (t) ergibt sich dann v ~2) = 0,70 und v ~3~ = 0,76.

5. I n p u t p a r a m e t e r ffir die M o d e l l r e c h n u n g e n

Das dargestellte allgemeine Verfahren soil nun speziell auf Gemischte Versicherungen angewendet werden. Ffir die Quantifizierung der daffir erforderlichen exogenen Variablen wird ein modellhafter, realit/itsnaher Bestand an gemischten Versicherungen zugrundege- legt. Das sich in der Praxis die verschiedenen unternehmensspezifischen Best/inde an Gemischten Versicherungen hinsichtlich dieser Variablen in nicht unerheblichen MaBe unterscheiden, sei nochmals darauf hingewiesen, dab die hier aufgeffihrten Inputdaten und damit natfirlich auch die berechneten Selektionsabschl/ige nicht reflektionslos auf andere Best/inde fibertragen werden k6nnen. Gleichwohl geben die Berechnungen Auf- schluB fiber H6he und Abh/ingigkeit der Selektionsabschl/ige von einzelnen Parametern wie Eintrittsalter, Kfindigungszeitpunkt etc.

Stornowahrscheinlichkeiten J~r beitragspflichtige VertNige

Den folgenden Berechnungen liegen zweifach, nach vertraglich vereinbarter Versiche- rungsdauer und nach der zurfickgelegten Bestandszeit abgestufte Stornoh/iufigkeiten zugrunde. Die Stornowahrscheinlichkeiten in Abh/ingigkeit von der Bestandszugeh6rigkeit ist in folgender Tabelle fiir eine vereinbarte Versicherungsdauer von 25 Jahren auszugsweise angegeben:

Vers.jahr 1 2 3 4 5 . . . 25

Stornoh/iufigkeit in % 10,3 11,7 6,9 6,7 4,4 . . . 0

119

Beitragsfreistellungswahrscheinlichkeit

Die Beitragsfreistellungswahrscheinlichkeiten in Abh~ingigkeit vonder Dauer der Be- standszugeh6rigkeit sind in folgender Tabelle fiir eine vereinbarte Versicherungsdauer von 25 Jahren exemplarisch ausgewiesen:

Vers.jahr 1 2 3 4 5 . . . 25

Wahrscheinlichkeit fiir 3,2 3,8 2,8 2,4 2,0 . . . 0,1 Beitragsfreistellung in %

In den nachstehenden Berechnungen werden diese Wahrscheinlichkeiten als 0 angenom- men, solange das gezillmerte Deckungskaptial der Versicherung negativ ist.

Stornowahrscheinlichkeit bei beitragsfrei gestellten VertNigen

Fiir die Stornowahrscheinlichkeiten bereits beitragsfreigestellten Versicherungen werden im folgenden vonder Dauer der beitragsfreien Zeit unabh/ingige Werte, nur abh~ingig vonder vereinbarten Versicherungsdauer angenommen. Fiir eine Vertragslaufzeit von 25 Jahren sind diese Werte exemplarisch in nachstehender Tabelle aufgefiihrt:

Vers.jahr 1 2 3 4 5 . . . 25

Wahrscheinlichkeit fiir 0 9,3 26,1 26,5 20,1 . . . 3,8 Beitragsfreistellung in %

Sterblichkeiten in Teilkollektiven (2) und (3)

Gem/il3 Abschnitt 4 werden den Modellrechnungen als Verh/iltnis der Versicherungsver- tr~ige, die sich in- bzw. aul3erhalb der Selektionsphase befinden, folgende Werte bei beitragspflichtigen bzw. beitragsfreien Versicherungen zugrundegelegt:

n t2 ) = 50% und n ta~= 35%.

Der niedrigere Ansatz fiir den Anteil der beitragsfreien Vertr~ige auBerhalb der 5-j/ihrigen Selektionsdauer beriicksichtigt die deutlich h6here Stornowahrscheinlichkeit bei bei- tragsfrei gestellten Versicherung und den damit verbundenen, im Vergleich zu TeilkoUek- tiv (2), durchschnittlich schnelleren Austritt des Risikos in Teilkollektiv (3). Auf diese Weise ergeben sich fiir 1 aj~ (j = 2, 3) die Werte: f(2j = 1,18 und fta) __ 1,19. Die die Selektionseffekte beinhaltenden Sterblichkeiten in den Teilkollektiven (2) und (3) erh/ilt man dann aus den jeweiligen beobachteten Sterblichkeiten 2. Ordnung atJ~ ~ x + 1 (j = 2, 3) anhand von Formel (B).

120

6. M o d e l l r e c h n u n g : Der S e l e k t i o n s a b s c h l a g bei der G e m i s c h t e n V e r s i c h e r u n g

6.1. Die Deckungskapitale in den Teilkollektiven

Zur Berechnung des erforderlichen Selektionsabschlags bei der gemischten Versicherung unter den oben dargestellten Annahmen an 0bergangswahrscheinlichkeiten, Sterblich- keiten und Selektion seien:

X

Bx~q n

i Km Sm s b f r

m , r

V S bfr m,n

Eintrittsalter, Bruttobeitrag, zu Beginn vertraglich vereinbarte Laufzeit der Versicherung, Zinssatz zweiter Ordnung, Kosten zweiter Ordnung im m-ten Versicherungsjahr, 0berschuBbeteiligung (inkl. SchluBiiberschuBanteil) im m-ten Versicherungsjahr, 0berschuBbeteiligung einer im m-ten Jahr beitragsfrei gestellten Versicherung im r-ten Jahr nach Beitragsfreistellung, Beitragsfreie Versicherungssumme einer nach m Jahren beitragsfrei gestellten Versicherung.

Die zur Berechnung der Selektionsabschlfige gem~iB (A) ben6tigten Deckungskapitale k6nnen wie folgt ermittelt werden:

Fiir eine beitragspflichtige Versicherung

Das Deckungskapital fiir eine beitragspflichtige gemischte Versicherung wird zweck- mfiBigerweise in Form einer Riickwfirtsrekursion wie folgt errechnet:

.V~ ") = 1 + S.,

.) (qtxj+m.(1 +Sm+l)+(1_,~(1) ~ v(1)-~ ~ [ x ] + m / m + l vx ] mV~ 1) = Km+l -- Bx~ +

(1 + i)

Fiir die Fort~Fuhrung eines als beitragspflichtige Versicherung stornierten Vertrags

Das Deckungskapital eines Vertrages, der als beitragspflichtige Versicherung gekfindigt wurde, hfingt von Eintrittsalter, Laufzeit bis zur Stornierung und der danach noch verstrichenen Zeit ab. Unter Zugrundelegung der Sterblichkeiten ,(4) und der An- "-l[x] + t nahme einer neuen Selektionsphase gemfiB (C) kann das Deckungskapital aus der Rekur- sion

tin] + n - m w(4) = 1 + S n ,

[ml+t V(4)= Km+t+l -- Bxn~ + (1) + �9 (1 Sm+t+1) + (1 - "1(1) ~ V(4)~ (q[x+m] t + "l [x+m]+t / [m]+t+ l "x :

(1 + i)

berechnet werden. Der Selektionsabzug ergibt sich gemfiB (A) mit mV~ (4) = [mjV~ (4), d. h. das Deckungskapital am Ende der beitragspflichtigen Zeit ist gleich dem Deckungskapital zum Beginn der beitragsfreien Zeit.

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Fiir die beitragspflichtige Fortf~.hrung statt der Beitragsfreistellung eines Vertrages

Das Deckungskapital eines Vertrages, der als beitragspflichtige Versicherung beitragsfrei gestellt wurde, h/ingt von Eintrittsalter, Laufzeit bis zur Beitragsfreistellung und der danach noch verstrichenen Zeit ab. Unter Zugrundelegung der Sterblichkeiten ,,(3) ~l[x+m] +t kann das Deckungskapital aus der Rekursion

[ m l + n _ m V x (3) --- 1 + S n ,

(3) �9 1 S i n + t + 1 ) -I- (1 - - ~(3) ~ V(3)~ ( q [ x + m ] + t ( q- " l I x + m l + t J t m l + t + Z " x J [m]+t v ( 3 ) ~ K i n + t + 1 - - Bxn-'] --F (1 + i)

berechnet werden.

Fiir eine beitragsfreie Versicherung

Man erh~ilt das Deekungskapital fiir eine beitragsfrei gestellte Versicherung unter Beach- tung der abweichenden Sterblichkeitsannahmen in den Kollektiven (1) und (3) wie folgt O = l , 3):

bfrvo'(j) ~ v ~ b f r ..~ ~bf r [ m l + n - m ' x ~ - - ~ m , n ~ m , n - m ,

bfr~tJ(J) Km+ r + X + [m]+r" x

(o ( j ) . (3 /Kbfr ~bf r "~ ' q [ x + m ] + r I, �9 ~ m , n "]- ~ m , r + l / "]- (1 - - ~( j ) ~ bf rv(J)~ ~ [ x + m J + r / [ m ] + r + 1 "x J

(1 + i)

Fiir die beitragsfreie Fortfiihrung einer nach Beitragsfreistellung stornierten Versicherung

Das Deckungskapital einer nach m Jahren beitragsfrei gestellten Versicherung, die nach m + r Jahren storniert wird, kann unter Beachtung yon (D) aus folgender Rekursion bestimmt werden:

b f r v ( 5 ) v . ~ b f r .~_ ~bf r [ [ m ] + r ] + n - m - r ' x ~ - - - - m ,n --re, n - - m ,

bfrx]'(5) i 7 / ~ m + r + t + 1 [[ml + r] + t " �9

( V S m , n ~t_ g[bfr ~ "Jp (1 - - " ( 5 ) X bf rv (5)~ q- ( q [ ? x ) + m l + r l + t . bfr Om, r + t + l Y ~ [ [ x + m ] + r ] + t / [ [ m ] + r ] + t + l V x )

(1 + i)

6.2. Der Selektionsabschlag bei der gemischten Versicherung: Beispiele

Fiir x = 35 und n = 25 sowie x = 45 und n = 15 wird die Priimie auf Basis der neuen DAV-Sterbetafel fiir Kapital- und Risikoversicherungen berechnet. Dabei wird ange- nommen, daft rechnungsm/iBige laufenden Kosten (Verwaltung, Inkasso) und die ent- sprechenden Kosten zweiter Ordnung identisch sind, d.h. K m - B�9 ist gleich der gezill- merten Netto-Pr/imie. Der Zillmersatz betr/igt 40 Promille der Beitragssumme, der Zins zweiter Ordnung wird mit 7,5% angesetzt und in (D) e = 1 gew~ihlt. Die folgende Tabelle zeigt den erforderlichen Selektionsabschlag im Fall der Beitragsfrei- stellung gem/iB (A):

122

Tabelle 1. Selektionsabzug bei Beitragsfreistellung

Verflossene Selektionsabzug Dauer

in Promille des riskierten Kapitals

in Promil~der Versicherungssumme

x = 35 x =45 x = 35 x =45 n = 25 n = 15 n = 25 n = 15

in Prozent des rechnungsm~iBigen Decktmgskapitals

x = 35 x = 45 n = 2 5 n = 1 5

1 0,00 3,54 0,00 3,48 0,00 2 1,47 4,34 1,44 4,04 6,64 3 1,93 4,99 1,84 4,37 3,75 4 2,36 5,47 2,18 4,47 2,82 5 2,73 5,71 2,44 4,33 2,29 6 2,99 5,70 2,58 3,97 1,88 7 3,21 5,64 2,67 3,56 1,58 8 3,38 5,51 2,70 3,11 1,34 9 3,52 5,28 2,69 2,61 1,14

10 3,62 4,93 2,64 2,08 0,98 11 3,69 4,14 2,56 1,43 0,84 12 3,75 3,05 2,46 0,81 0,71 13 3,81 1,65 2,35 0,30 0,61 14 3,89 0,00 2,24 0,00 0,53 15 3,95 - 2,11 - 0,45 16 4,04 -- 1,98 - 0,39 17 4,11 - 1,83 - 0,33 18 4,00 - 1,59 - 0,26 19 3,79 - 1,32 -- 0,20 20 3,43 - 1,02 - 0,15 21 2,92 - 0,71 - 0,09 22 2,14 - 0,40 - 0,05 23 1,09 - 0,14 - 0,02 24 0,00 - 0,00 - 0,00

21,73 5,82 3,50 2,45 1,79 1,31 0,97 0,71 0,52 0,36 0,22 0,11 0,04 0,00

Mit zunehmender Dauer m w~ichst der Unterschied zwischen den Sterblichkeitswerten und ,1(1) (s) �9 -ltzl + m +t und qtz + m]+t nut der Folge, dab das Verh~iltnis des Selektionsabschlags zum riskierten Kapi ta l zun~ichst w/ichst und erst zum Ende der Laufzeit aufgrund der abneh- menden restlichen Vertragsdauer wieder absinkt. Ein ~ihnliches Verhalten ergibt sich, wenn man als Referenzgr6Be die (beitragspflichtige) Versicherungssumme w/ihlt. Offenbar sinkt der Selektionsabschlag im Verh/iltnis zum rechnungsm~iBigen Deckungs- kapi ta l mit steigender Bestandzugeh6rigkeit . Dies entspricht auch der Erwartung, da mit fortschrei tender Zeit das Deckungskapi ta l zunimmt und die Restdauer des Vertrages sich verringert. In TabeUe 2 sind die Selektionsabschl~ige fiir den Fal l der Stornierung einer laufenden Versicherung angegeben. Es ergibt sich quali tat iv dasselbe Bild wie bei den Abschl~igen im Rahrnen von Beitragsfreistellungen, mit analogen Begriindungen.

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Tabelle 2. Selektionsabzug bei Stornierung einer beitragspflichtigen Versicherung

Verflossene Selektionsabzug Dauer

in Promille des riskierten Kapitals

in PromiUe der Versicherungssumme

in Prozent des rechnungsm/iBigen Deckungskapitals

x = 35 x = 45 x = 35 x = 45 x = 35 x = 45 n = 25 n = 15 n = 25 n = 15 n = 25 n = 15

1 0,00 1,02 0,00 1,00 0,00 6,24 2 0,88 1,97 0,86 1,83 3,97 2,64 3 1,27 2,83 1,21 2,48 2,47 1,99 4 1,61 3,56 1,49 2,91 1,93 1,60 5 1,88 4,05 1,68 3,07 1,57 1,27 6 2,05 4,27 1,77 2,97 1,29 0,98 7 2,21 4,45 1,84 2,81 1,09 0,76 8 2,38 4,59 1,90 2,59 0,94 0,59 9 2,55 4,71 1,95 2,33 0,83 0,46

10 2,73 4,77 1,99 2,01 0,74 0,35 11 2,91 4,20 2,02 1,45 0,66 0,22 12 3,08 3,24 2,02 0,86 0,59 0,12 13 3,26 1,82 2,01 0,33 0,52 0,04 14 3,44 0,00 1,98 0,00 0,47 0,00 15 3,65 - 1,95 - 0,42 - 16 3,89 - 1,91 - 0,37 - 17 4,22 - 1,88 - 0,34 - 18 4,27 - 1,70 - 0,28 - 19 4,19 - 1,46 - 0,22 - 20 3,90 - 1,16 - 0,17 - 21 3,41 - 0,83 - 0,11 - 22 2,56 - 0,48 - 0,06 - 23 1,41 - 0,18 - 0,02 - 24 0,00 - 0,00 - 0,00 -

Tabelle 3. Selektionsabzug bei Stomierung eines beitragsfreien Vertrages (x = 35; n = 25)

Beitragsfreistellung Selektionsabschlag in %0 der beitragsfreien Versicherungssumme nach m-Jahren

Stornierung r Jahre nach Beitragsfreistellung r = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 1,37 1,25 1,14 1,04 0,96 0,87 0,83 0,78 0,74 0,69 10 1,64 1,38 1,14 0,94 0,79 0,69 0,65 0,61 0,53 0,44 15 1,34 1,09 0,90 0,67 0,48 0,34 0,23 0,13 0,05 0,00

Tabel le 3 beschreibt die e r forder l ichen Selekt ionsabschl / ige fiir den Fall , dab der Versi- c h e r u n g s n e h m e r seine bereits bei tragsfreigestel l te Vers icherung r i ickkauft . Dabe i ist senkrech t der Ze i tpunk t der Bei t ragsfreis te l lung und waagerech t der (sp/itere) K~indi- gungsze i tpunk t abget ragen.

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L I T E R A T U R V E R Z E I C H N I S

[1] Schneider, Erich: Gegenauslese bei Kiindigung von Lebensversichernngen. BDGVM Bd. XVII, 1985, S. 51-57.

Zusammenfassung

Selektionsabschlfige bei Kfindigung oder Beitragsfreistellung von Lebensversicherungen

Das vorgestellte Verfahren erlaubt die Berechnung von Selektionsabschl/igen ffir alle durch die Todesfalleistung charakterisierten Lebensversicherungsarten. Erforderlich ffir die praktische Um- setzung des Verfahrens ist die Quantifizierung yon Parametern, die die zugrundeliegende Bestands- struktur abbilden. Dabei k6nnen grunds~itzlich zwei Parametertypen unterschieden werden:

- bestandsunabh~ingige Parameter, - bestandsspezifische Parameter.

Als nicht vom einzelnen Bestand abhiingig k6nnen die Selektionsvariablen angenommen werden, die die Effekte der Gesundheitsprfifung bei VertragsabschluB bzw die subjektive Gesundheits- priifung dutch den Versicherungsnehmer vor Beitragsfreistellung oder Rfickkauf widerspiegeln. Ein konkreter Ansatz ffir die quantitativen Effekte in der Selektionsphase wird angegeben. Insbesondere ffir kleinere Best/inde kann damit auf die bestandsindividuelle Bestimmung dieser Parameter ver- zichtet und Signifikanzprobleme vermieden werden. Bestandsspezifisch zu ermitteln sind die Obergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Teilkollekti- ven (Storno- und Beitragsfreistellungswahrscheinlichkeit), die beobachteten Sterblichkeiten 2. Ord- nung sowie der Anteil der sich noch in der Selektionsphase befindlichen Risiken. Ffir einen Modellbestand von gemischten Versicherungen wurden dann abh~ingig vom Eintrittsalter und der Laufzeit des Vertrages unter Berficksichtigung von Sicherheitszuschl~igen fiber die Dauer der Bestandszugeh6rigkeit die Selektionsabschl~ige in ~ des riskierten Kapitals, der Versicherungs- summe und des Deckungskapitals ermittelt.

Summary

Selection installments with cancellation or premium freezing of life assurance policies

Within the framework of cancellations and premium freezes with life assurance policies character- ised by death benefits, a counter selection effect arises through increased good risks with a below average mortality expectancy that leave the collective of insured persons or reduce their insurance cover and in this manner no longer, or only in a reduced form, contribute to risk balancing within the collective. A model is being developed which enables the quantifying of these effects. For the example of mixed insurance, the necessary selection installments for an all-policies-in-force model are supplied, which in the case of surrender, or alternatively, premium freeze, must be retained, in order not to accrue any disadvantages for the remainder of the collective of insured persons.

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