Instituto Universitario de Desarrollo Regional, Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, Universidad de La Laguna, Camino de la Hornera s/n - 38071 La Laguna, Santa Cruz de Tenerife, Spain

Documento de Trabajo/Working Paper Serie Economía

Corrección por sesgo en la estimación MCO de la magnitud de outliers en volatilidad con modelos GARCH

Julio A. Afonso Rodríguez

March 2010

DT-E-2010-09

ISSN: 1989-9440

Corrección por sesgo en la estimación MCO de la magnitud de outliers en volatilidad en modelos GARCH

Afonso Rodríguez, Julio Angel UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA

Departamento de Economía de las Instituciones, Estadística Económica y Econometría

Instituto Universitario de Desarrollo Regional (IUDR)

Facultad de CC. Económicas y Empresariales

Camino La Hornera, s/n. Campus de Guajara. 38202 LA LAGUNA

Tenerife. Islas Canarias

Tfno.: 922.317041, Fax: 922.317042. email: jafonsor@ull.es

RESUMEN En este trabajo se propone una generalización de las propuestas de Franses y Ghijsels (1999) y Charles y

Darné (2005) para la estimación de la magnitud y localización de outliers de tipo aditivo e innovacional,

respectivamente, en la ecuación de volatilidad tipo GARCH(1,1), introduciendo ouliers en volatilidad de

cambio de nivel y cambio temporal. A partir de esta generalización del procedimiento de identificación y

estimación de dichas observaciones anómalas empleando una ecuación estimable por MCO o MCG, se

generaliza el análisis de Battaglia (2006) en el caso de modelos ARIMA, sobre la corrección por sesgo de

estas estimaciones. En el caso de un modelo GARCH(1,1) se identifican los sesgos en la estimación de la

magnitud de cada uno de los cuatro tipos de outliers considerados en los siguientes casos: (a) bajo el

supuesto de parámetros GARCH conocidos cuando el outlier en volatilidad presente es realmente del tipo

considerado, (b) con parámetros conocidos, cuando el outlier en volatilidad difiere del tipo considerado, y

(c) evaluación del sesgo en el caso de parámetros GARCH estimados.

Palabras clave: Modelos GARCH, outliers en volatilidad, corrección por sesgo Clasificación JEL: C22, G12.

ABSTRACT In this paper we propose a generalization of the proposals by Franses and Ghijsels (1999) and Charles and

Darné (2005) to estimate the magnitude and location of additive and innovational outliers in a

GARCH(1,1)-type volatility equation, by introducing level shifts and temporary changes. Using this

generalized version of the procedure for identification and estimation of abnormal observations through

an estimable equation by OLS or GLS, we apply the analysis by Battaglia (2006) in ARIMA models to

derive the expressions for the bias induced by several sources and the way to correct the resulting

estimates for this bias. In the case of a GARCH(1,1)-type model, we get the expression for the bias in the

estimation of the magnitude for the four types of outliers considered in the following cases: (a) under the

assumption of known GARCH parameters and the true outlier contamination, (b) with known GARCH

parameters and wrong outlier mechanism, and (c) bias due to the estimation of GARCH parameters.

Key words: GARCH models, volatility outliers, bias correction JEL Classification: C22, G12.

1

1. INTRODUCCIÓN

En este trabajo analizamos parcialmente las propiedades de la estimación de la

magnitud de un outlier que perturba la estructura de dinámica de la volatilidad de un

proceso GARCH(1,1). Recientemente, ha surgido un gran interés por determinar las

propiedades de los estimadores de los parámetros de un modelo GARCH basados en

máxima verosimilitud (MV), especialmente utilizando como distribución condicional

distribuciones de colas pesadas para las innovaciones, con el objetivo de explicar el

aparentemente gran número de outliers u observaciones anómalas presentes en las series

estudiadas. De entre la literatura existente, cabe destacar la aportación de Berkes y

Horváth (2003) que establecen la consistencia de los estimadores QMV bajo normalidad

condicional en el caso de varianza finita de las innovaciones y si, además, existe al

menos el momento de cuarto orden la normalidad asintótica. Hall y Yao (2003) estudian

estas propiedades en el contexto de distribuciones de colas pesadas y recientemente,

Mikosch y Straumann (2006) establecen resultados similares en el contexto de

distribuciones asintóticas estables cuando las innovaciones tienen varianza infinita. Si la

verosimilitud condicional se asume no gaussiana, que es una práctica común en muchas

aplicaciones recientes, poco se sabe sobre la consistencia de las estimaciones QMV y no

se han establecido resultados generales que permitan su verificación en la práctica. Así,

en presencia de series temporales caracterizadas posiblemente por un gran número de

outliers, como alternativa a la estimación MV, distintos autores han propuesto la

estimación robusta de modelos GARCH que, en general, presentan ciertas dificultades

computacionales (ver, por ejemplo, Muler, N., V.J. Yohai (2002), Muler, N., V.J. Yohai

(2008), Jiang, J., Q. Zhao, Y.V. Hui (2001), Peng, L., Q. Yao (2003) y Carnero, M.A.,

D. Peña, E. Ruiz (2007) para algunas de las propuestas más recientes). Una alternativa a

esta práctica puede consistir en tratar de corregir las series observadas por la posible

influencia de outliers en volatilidad previamente a la estimación definitiva de los

parámetros GARCH mediante QMV gaussiana. Los trabajos de Hotta y Tsay (1998) y

Doornik y Ooms (2005) desarrollan procedimientos secuenciales basados en RV y ML,

respectivamente, para la detección de outliers en volatilidad de tipo aditivo, mientras

que Franses y Ghijsels (1999) adaptan la metodología de Chang, Tiao y Chen (1988) y

Chen y Liu (1993) para la detección y corrección de outliers en modelos ARMA al caso

GARCH(1,1) basada en una regresión mínimo cuadrática. Charles y Darné (2005)

extienden el procedimiento al caso de outliers de tipo innovacional y en base al estudio

2

de simulación en el caso AR(1)-GARCH(1,1) de Verhoeven y McAleer (2000)

proponen utilizar una regla empírica simple para identificar un outlier en volatilidad,

identificando el tipo según la estructura de la regresión considerada. En este trabajo

estudiamos distintos aspectos de esta metodología. En primer lugar, planteamos que la

extensión al caso de outliers de tipo cambio de nivel (o cambio permante) y de cambio

transitorio (o temporal) no plantea ninguna dificultad adicional. En segundo lugar,

motivado por el reciente trabajo de Battaglia (2006), estudiamos el posible sesgo del

estimador MCO de la magnitud del outlier en volatilidad para cada uno de los cuatro

modelos de contaminación considerados, base del procedimiento secuencial de

detección y corrección de outliers en volatilidad propuesto por Franses y Ghijsels

(1999). Encontramos que por la particular estructura de un proceso GARCH

contaminado por un outlier en volatilidad, estas estimaciones son sesgadas incluso en el

caso de suponer que los parámetros GARCH sean conocidos. En esta situación

obtenemos las expresiones del sesgo en muestras finitas y del sesgo asintótico, tanto en

el caso de suponer que el outlier presente es del tipo particular considerado como en el

caso de suponer que el outlier en volatilidad presente es de tipo diferente al tipo

considerado al implementar el procedimiento. Los resultados indican la posible

inconsistencia de este mecanismo de detección de outliers en volatilidad y se señala

posibles remedios como la corrección por el sesgo de naturaleza multiplicativo en la

estimación de la magnitud del outlier. En tercer lugar tratamos de obtener estos mismos

resultados en el caso general de parámetros GARCH estimados por QMV bajo

normalidad condicional, puesto que para implementar el procedimiento del estimación

de la magnitud del outlier se requiere disponer de valores para dichos parámetros para

construir la estructura del regresor previa a la estimación MCO del parámetro de

magnitud del proceso de contaminación. Encontramos que los resultados son, en

general, comparables al caso de parámetros conocidos. Es decir, bajo ciertas

restricciones muy débiles, la estimación QMV bajo normalidad condicional de un

modelo GARCH para observaciones contaminadas por un outlier en volatilidad no

aporta un sesgo adicional al procedimiento posterior de detección, si bien dichas

estimaciones son no robustas, como ha probado, entre otros Sakata y White (1998) y de

Melo Mendes (2000) que obtiene la curva de sensibilidad y función de influencia del

estimador QMV. En este trabajo se aporta también un resultado en este sentido, el sesgo

aproximado del estimador QMV de los parámetros de un modelo GARCH(1,1) bajo

contaminación por un outlier en volatilidad de alguno de los cuatro tipos considerados.

3

2. MODELOS GARCH Y OUTLIERS EN VOLATILIDAD

En este epígrafe vamos a introducir la formulación general de un modelo GARCH y sus

principales propiedades que serán utilizadas en el resto del trabajo.

2.1 MODELOS GARCH

El modelo GARCH(p,q) fuerte de Bollerslev (1986), viene dado por

( )t t thε = ζ θθθθ (2.1)

donde ζt es el proceso de innovación, que se asume i.i.d. con media nula y varianza

unitaria, con distribución independiente de εt−i i ≥ 1 y, por tanto, independiente de la

varianza condicional ht(θθθθ), dada por

2

0

1 1

( ) ( )p q

t i t i j t j

i j

h h− −= =

= α + α ε + β∑ ∑θ θθ θθ θθ θ (2.2)

donde θθθθ = (α0, α1,…,αp, β1,…,βq) es el vector de parámetros de la ecuación de

volatilidad. Estableciendo las restricciones habituales de positividad de los coeficientes

αi, βj (i=0,1,…,p, j=1,..,q) y bajo el supuesto de estacionariedad estricta, Berkes et.al.

(2003) obtienen una representación recursiva única de la varianza condicional en

términos del cuadrado de las observaciones de la forma

2

0

1

( ) ( ) ( ) ,t i t i

i

h c c∞

−=

= + ε∑θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ

donde la estructura de estos coeficientes ( )ic θθθθ en función de θθθθ pueden encontrarse en la

referencia citada. Por otro lado, si se emplea la siguiente descomposición para el

cuadrado de la serie εt, 2 2( ) ( 1) ( ) ( ) ( )t t t t t th h h vε = + ζ − = +θ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ (2.3)

donde ( )tv θθθθ puede interpretarse como en el error en la aproximación del cuadrado de

los valores observados del proceso por la varianza condicional GARCH, se obtiene

entonces la representación ARMA(m,q) equivalente como

2 2

0

1 1

( ) ( ) ( )qm

t i t i t j t j

i j

v v− −= =

ε = α + δ ε + − β∑ ∑θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ (2.4)

con ( ) 1i i i i nδ = α + β ≤ ≤θθθθ , ( ) , , ,i i in q i p n p i qδ = α = < ≤ = β = < ≤θθθθ con n = min(p,q),

4

y m = máx(p,q). Empleando la notación del operador de retardos se tiene que

1,

2( )(1 )i

i

i m

tL=

δ− ε∑ θθθθ = 1,

0 (1 ) ( )j

j

j q

tL v=

βα + −∑ θθθθ , de forma que bajo la condición de

estacionariedad débil, 1, 1,

0 1i j

i p j q= =

α β< + <∑ ∑ o bien 1,

( )0 1i

i m=

δ< <∑ θθθθ , entonces se tiene la

siguiente representación AR(∞) para el proceso de error ( )tv θθθθ ,

1, 2 200

01, 1,

1 ( )( ) ( ) ( )

1 1

i

ii m

t t i t ijij jj q j q

Lv

L

∞=

−== =

− δα= − + ε = α + π ε− β − β

∑∑

∑ ∑θθθθ

θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ (2.5.1)

donde π0(θθθθ) = 1, o bien, de forma más compacta,

2

0( ) ( ) ( )t tv L= α + π εθ θθ θθ θθ θ (2.5.2)

con π(L) = 1 − π1(θθθθ)L − π2(θθθθ)L2 − ... Alternativamente a (2.4) se puede obtener también

una representación MA(∞) de la forma

12 *00

1 1

1( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )

q j

jj

t t tm m i

i ii i

Lv L v

L

=

= =

− βαε = + = α + ψ− δ − δ

∑∑ ∑

θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θθ θθ θθ θθ θ

Por definición, a partir de (2.3) se tiene que el término de error vt(θθθθ) tiene media nula,

varianza 2 4 2[ ( )] ( [ ] 1)· [ ( )]t t tE v E E h= ζ −θ θθ θθ θθ θ < ∞ si 4[ ]tE ζ < ∞ y está serialmente

incorrelacionado. Dado el conjunto de información pasado disponible en t, It−1 = {εt−i, i

≥ 1}, la distribución condicional se caracteriza por media condicional nula,

1[ ( )] 0t tE v− =θθθθ y es condicionalmente heterocedástico,

2 4 2

1[ ( )] ( [ ] 1)· ( )t t t tE v E h− θ = ζ − θ

con covarianzas condicionales nulas.

2.2 MODELOS GARCH CONTAMINADO POR UN OUTLIER EN

VOLATILIDAD

A partir del trabajo de Hotta y Tsay (1998), la formulación de un modelo GARCH con

un outlier en volatilidad viene dado por

2 2( ) ( , ) ( , )t t t th kε ω = ζ ω + η ωɶθθθθ (2.6)

donde 2 ( )tε ω son las observaciones al cuadrado del proceso GARCH, ( , )th ωθθθθ es la

ecuación de varianza condicional para el proceso contaminado, dada por

5

2

0

1 1

( , ) ( ) ( , )p q

t i t i j t j

i j

h h− −= =

ω = α + α ε ω + β ω∑ ∑θ θθ θθ θθ θ (2.7)

y ( , )t kη ωɶ representa el proceso determinista de contaminación por un outlier en

volatilidad, donde ω es la magnitud del outlier y k la localización.

Hotta y Tsay (1998) tratan la estimación quasi-máximo verosimil (QMV) de la

magnitud de un outlier en volatilidad de tipo aditivo bajo el supuesto de normalidad

condicional y derivan así un procedimiento secuencial de contrastación de la existencia

de este tipo de outlier basado en el estadístico de multiplicadores de Lagrange.

Posteriormente Franses y Ghijsels (1999) proponen emplear el método de detección de

outlier de Chen y Liu (1993) para detectar y corregir por la preencia de este mismo tipo

de outliers aditivos en modelos GARCH, que resulta ser mucho más fácil de

implementar y que está basado en la estimación por MCO de una regresión lineal

simple. Recientemente, Charles y Darné (2005) han propuesto extender esta

metodología al caso de outliers en volatilidad de tipo innovacional. El aspecto clave de

esta metodología es la analogía entre los modelos GARCH y los modelos ARMA a

través de la representación ARMA para el cuadrado de la serie observada dada por

(2.4). En lo que sigue planteamos la extensión de este procedimiento al caso de outliers

en volatilidad de cualquiera de los tipos habitualmente considerados en los modelos

ARMA de series temporales. Para ello, el proceso de contaminación en (2.6) viene dado

por

( )( , ) ( ) k

t tk L Iη ω = ωξɶ (2.8)

donde ω es la magnitud del outlier y ξ(L) = 1 + ξ1L + ξ2L + ... determina la dinámica del

efecto del outlier e ( )k

tI es la función impulso dada por ( )k

tI = 1, t = k, ( )k

tI = 0 t ≠ k. Los

cuatro modelos habituales de outliers a considerar son los siguientes:

: ( ) 1AVO Lξ =

1: ( ) ( )IVO L L−ξ = π

: ( ) 1/(1 )LSVO L Lξ = −

: ( ) 1/(1 ) (0 1)TCVO L Lξ = − δ < δ < (2.9)

donde AVO identifica un outlier aditivo en volatilidad (additive volatility outlier), IVO

un outlier de tipo innovacional (innovational volatility outlier), con π(L) dado por (2.5),

LSVO un outlier con efecto de cambio de nivel permanente en volatilidad (level shift

volatility outlier) y TCVO un outlier con efecto de cambio transitorio en volatilidad

6

(temporary change volatility outlier). En el caso AVO, se tiene simplemente que

( )( , ) · k

t tk Iη ω = ωɶ (2.10)

mientras que en el caso IVO resulta que

1 ( ) ( ) ( )

0

( , ) · ( ) · ( ) · ( )k k k

t t t i t i

i

k L I L I I∞

−−

=η ω = ω π = ω ψ = ω ψ∑ɶ θθθθ

con ψ0(θθθθ) = 1, de forma que ( ) ( 1)( , ) ( ( ) )k k

t t t k tk I S +−η ω = ω + ψɶ θθθθ , donde ( 1)k

tS+ es la

función escalón ( 1)k

tS+ = 1, t>k, ( 1)k

tS+ =0, t≤k. Los coeficientes ( )jψ θθθθ resultan de la

representación MA(∞) del cuadrado del proceso GARCH(1,1) para εt(ω) y se obtienen a

partir de la ecuación 1 1

1

( ) ( )1 (1 )(1 )q mj i j

j i jj i

j

L L L∞

= ==

β δ ψ− = − +∑ ∑ ∑θ θθ θθ θθ θ .

En el caso de un modelo GARCH(1,1) se tiene que los coeficientes ψi(θθθθ) vienen dados

por 0 ( ) 1ψ =θθθθ y 1

1 1 1( ) ( )ii

−ψ = α α + βθθθθ i = 1, 2, ...., de forma que

( ) 1 ( 1)

1 1 1( , ) ( ( ) )k t k k

t t tk I S− − +η ω = ω + α α + βɶ (2.11)

En el caso de un cambio estructural permanente en volatilidad (LSVO), resulta que

( )

0

( , ) · 0 1,..., 1k

t t i

i

k I t k∞

−=

η ω = ω = = −∑ɶ , y ( , ) , , 1,...,t k t k k Tη ω = ω = +ɶ , es decir

( )( , ) · k

t tk Sη ω = ωɶ (2.12)

Finalmente, en el caso de un cambio temporal en volatilidad (TCVO), se tiene que

( )

0

( , ) · 0, 1,..., 1i k

t t i

i

k I t k∞

−=

η ω = ω δ = = −∑ɶ , y ( , ) , , 1,...,t k

t k t k k T−η ω = ωδ = +ɶ , de forma que

( )( , ) .t k k

t tk S−η ω = ωδɶ (2.13)

Teniendo en cuenta (2.6), en el caso GARCH(1,1) se tiene que la ecuación de varianza

condicional

2

0 1 1 1 1( , ) ( ) ( , )t t th h− −ω = α + α ε ω + β ωθ θθ θθ θθ θ (2.14)

puede expresarse en términos del proceso de contaminación como

1

0 0

2 1 1

1

1 1 1

1 1

( , ) 1 ( ) ( , ) ( )

( , ) ( , ) ( )

i tt

t t j t j

i j j

it

t t i t j

i j

h A h A

k k A

−

− −= = =

−

− − − −= =

ω = α + + ω

+ α η ω + η ω

∑∏ ∏

∑ ∏ɶ ɶ

θ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ

θθθθ

mediante sustituciones recursivas, y donde 2

1 1( ) ( )t j t jA − −= α ζ + βθ θθ θθ θθ θ es, por construcción

en el caso de un proceso GARCH fuerte, una secuencia de variables i.i.d. con valor

7

esperado 1 1[ ( )]t jE A − = α + βθθθθ . Asumiendo que 0 0( , ) ( )h hω =θ θθ θθ θθ θ no depende del proceso

de contaminación por outlier, entonces se tiene que se puede escribir la ecuación

GARCH(1,1) como

( , ) ( ) ( , )t t th h Fω = + ωθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ (2.15)

donde ( )th θθθθ es la ecuación de varianza condicional especificada para el proceso libre de

contaminación y la función ( , )tF ωθθθθ recoge la influencia y dinámica del proceso de

outlier en volatilidad,

1

1 1 1

1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( )it

t t t i t j

i j

F k k A−

− − − −= =

ω = α η ω + η ω

∑ ∏ɶ ɶθ θθ θθ θθ θ (2.16)

con valor esperado,

1

1 1 1 1 1

1

[ ( , )] ( , ) ( ) ( , )t

i

t t t i

i

E F k k−

− − −=

ω = α η ω + α + β η ω

∑ɶ ɶθθθθ (2.17)

Para cualquiera de los modelo de outlier en volatilidad de los considerados con

localización en el instante k, esta función de influencia toma valor no nulo para t = k+1,

…, T, perturbando entonces la dinámica de la volatilidad de distinta forma según la

naturaleza del outlier. Así, en el caso AVO, se tiene que

1 0

1

1 1

( , ) ( ) 1,..., ( ) 1t k

t j j

j j

F A t k T A− −

= =

ω = α ω = + =

∏ ∏θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ

de forma que la influencia del outlier, medida en términos esperados, viene dada por

1 ( 1)

1 1 1[ ( , )] ( )t k k

t tE F S− − +ω = ωα α + βθθθθ .

3. ESTIMACIÓN MCO DE LA MAGNITUD DE OUTLIERS EN

VOLATILIDAD EN UN MODELO GARCH(1,1): CASO DE PARÁMETROS

CONOCIDOS

En esta sección planteamos la formulación de la regresión auxiliar para la estimación

por MCO (mínimos cuadrados ordinarios) del parámetro de magnitud de un outlier en

volatilidad en el caso de contaminación de un modelo GARCH(1,1) y derivamos

posteriorme las expresiones del sesgo para cada uno de los cuatro tipos de outliers

considerados en el caso de parámetros GARCH conocidos.

8

3.1 SESGO EN LA ESTIMACIÓN MCO DE LA MAGNITUD DE UN OUTLIER

EN VOLATILIDAD

A partir de la representación dada en (2.6) para el proceso contaminado, se tiene que el

término de error en la aproximación del cuadrado del proceso observado por la ecuación

de varianza condicional tipo GARCH,

2( , ) ( ) ( , )t t tv hω = ε ω − ωɶ θ θθ θθ θθ θ (3.1)

viene dado por

2( , ) ( 1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )t t t t t tv h k v kω = ζ − ω + η ω = ω + η ωɶ ɶɶ θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ (3.2)

donde ( , )tv ωθθθθ tiene las mismas propiedades que vt(θθθθ) en (2.3) en el caso de no

contaminación. En el caso GARCH(1,1), empleando (3.1) la representación

ARMA(1,1) equivalente viene dada por

2 2

0 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )t t t tv v− −ε ω = α + α + β ε ω + ω −β ωɶ ɶθ θθ θθ θθ θ

que puede resolverse para el término de error de la misma forma que en (2.5),

2

0( , ) ( ) ( ) ( )t tv Lω = α + π ε ωɶ θ θθ θθ θθ θ

y utilizando ahora (2.6) y (2.15) puede escribirse como

( , ) ( ) ( , ) ( )t t tv L k vω = π η ω +ɶɶ ɶθ θθ θθ θθ θ (3.3)

donde

2( ) ( ) ( ) ( , )t t t tv v L F= + π ζ ωɶ θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ (3.4)

empleando la descomposición general de la varianza condicional GARCH bajo

contaminación dada en (2.15). La ecuación (3.3) puede escribirse alternativamente en

forma de regresión teniendo en cuenta la representación (2.8) para el proceso general de

contaminación como

( , ) · ( , ) ( )t t tv x k vω = ω +ɶ ɶθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ (3.5)

donde

( )( , ) ( ) ( ) k

t tx k L L I= π ξθθθθ (3.6)

Teniendo en cuenta las distintas formulaciones de modelos de outliers en (2.9), se tiene

que ( , )tx kθθθθ viene dado en cada caso por

AVO: ( ) ( 1) 1

1 1( , ) ( )· , ( )k k t k

t t t k t t kx k I S + − −− −= + π π = −α βθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ (3.7-1)

IVO: ( )( , ) k

t tx k I=θθθθ (3.7-2)

9

LSVO: ( ) ( 1)

1

( , ) ( )· , ( ) 1 ( )t k

k k

t t t k t t k j

j

x k I S−

+− −

=

= + γ γ = − π∑θ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ

( ) ( 1)11

1

1( , ) 1 ·

1

t kk k

t t tx k I S−

+ −β = + + α −β θθθθ (3.7-3)

TCVO: ( ) ( 1)

1

( , ) ( , )· , ( , ) ( )t k

k k t k t k j

t t t k t t k j

j

x k I S−

+ − − −− −

=

= + γ δ γ δ = δ − δ π∑θ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ

( ) ( 1)11

1

( , ) ·t k t k

k t k k

t t tx k I S− −

− + δ − β = + δ + α δ −β θθθθ (3.7-4)

Así, la ecuación (3.5) puede emplearse como una regresión auxiliar base para

implementar un procedimiento de estimación de la magnitud del outlier y de

contrastación de su significación. Con parámetros GARCH conocidos, el estimador

MCO de la magnitud del outlier en volatilidad vendría dado por

1

2

1

( , ) ( , )ˆ ( , )

( , )

T

t ttT T

tt

x k vk

x k

=

=

ωω = ∑

∑

ɶθ θθ θθ θθ θθθθθ

θθθθ (3.8)

Teniendo en cuenta que [ ( , )]tE v ωθθθθ = 2[( 1) ( , )]t tE hζ − ωθθθθ =0, y que a partir de (2.8) y

(3.2), ( )[ ( , )] ( ) k

t tE v L Iω = ωξɶ θθθθ , la expresión general del sesgo del estimador de ω es

( )

1

2

1

( , )[ ( , ) ( ) ]ˆ[ ( , ) ]

( , )

T k

t t ttT T

tt

x k x k L IE k

x k

=

=

− ξω − ω = −ω∑

∑

θ θθ θθ θθ θθθθθ

θθθθ

Así, salvo en el caso del modelo IVO, donde el estimador toma la forma simple

ˆ ( , ) ( , )T kk vω = ωɶθ θθ θθ θθ θ (3.9-1)

en el resto de casos, el estimador tiene la siguiente estructura

11

2 2

1 1

( , ) ( )· ( , )( , ) ( )· ( , )

1 ( ) 1 ( )ˆ ( , )

T kT

k j k jk t k t jt k

T T k

t k jt k j

T

v vv vk

−

+− == +−

−= + =

ω − φ ωω − φ ω=

+ φ + φω =

∑∑∑ ∑

ɶ ɶɶ ɶ θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ

θ θθ θθ θθ θθθθθ (3.9-2)

donde −φj(θθθθ) tiene la forma particular dada para el regresor xt(θθθθ,k) en (3.7-1), (3.7-3) y

(3.7-4). Por tanto, salvo en el caso IVO, donde el estimador de ω es insesgado,

ˆ[ ( , )] [ ( , )]T kE k E vω = ω = ωɶθ θθ θθ θθ θ (3.10-1)

en el resto de casos, AVO, LSVO y TCVO, se tiene que

21

1

1ˆ[ ( , )] ( , ) ( )· ( , )

1 ( )

T k

T k j k jT kjjj

E k−

+−=

=

ω = η ω − φ η ω

+ φ ∑

∑ɶ ɶθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ

θθθθ (3.10-2)

Empleando las expresiones en (2.10),(2.12) y (2.13) para ( , )tη ωɶ θθθθ y de (3.7-1), (3.7-3) y

10

(3.7-4) para los coeficientes φj(θθθθ), a continuación presentamos las expresiones del sesgo

en muestras finitas y asintótico para la estimación de la magnitud de un outlier en

volatilidad de cada uno de los cuatro tipos analizados.

3.1.1 CASO AVO

12( ) 2( )

2 2 1 11 1 2 2

1 1

1 1ˆ[ ( , ) ] 1 0

1 1

T k T k

TE k

−− − − β − βω − ω = −ωα + α < −β −β θθθθ (3.11-1)

La magnitud del sesgo depende básicamente de la magnitud del parámetro AR, α1, y de

la localización del outlier, k, a través de 2( )

1

T k−β . Se observa también que el sesgo no

desaparece asintóticamente y viene dado por:

2 2

1 1

2 2

1 1

/(1 )ˆlim [ ( , ) ]

1 /(1 )T

TE k

→∞

α −βω − ω = −ω+ α −β

θθθθ (3.11-2)

3.1.2 CASO LSVO

12

11 1

12 2

1 1

1( )

( ( ) ( )) 1ˆ[ ( , ) ]

1 ( ) 1 ( )

jT k

T kj

j j jj

T T k T k

j jj j

E k

−

−

==− −

= =

−βγ γ − γ −β ω − ω = −ω = −ωα+ γ + γ

∑∑∑ ∑

θθθθθ θθ θθ θθ θθθθθ

θ θθ θθ θθ θ (3.12-1)

donde

2 22( )1 1 1 1 112 2

1 1 1 1 1 1

1 1 112

1 1

1 ( )( ) 1 (1 )

1 1 1 (1 ) (1 )

21 (1 )

(1 ) 1

jT kT k

j

j

T k

T k−−

=

−

−β α − α α βγ = + + − β −β −β −β −β −β

α β α− + −β −β −β

∑ θθθθ (3.12-2)

y

22 2

2( )1 1 1 1 1 1

1 12 2 2

1 1 1 1 1

2

1

2( ) 1 (1 ) 1 (1 )

1 (1 ) (1 ) (1 ) 1( ) T k T k

T k

j

j

T k− −

−

=

α α β α β α− + + − β − + − β

− β − β − β − β − β

γ =

∑ θθθθ (3.12-3)

Aplicando L’Hopital, se tiene que el sesgo asintótico viene dado por

2 2

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2

1 1 1 1 1 1

22 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2

1 1 1 1 1

1

21 1

1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1

21 1 1

1 (1 ) (1 ) (1 ) 1

ˆlim [ ( , ) ]TT

E k→∞

α α α β α β α+ + − +

− β − β − β − β − β − β

α α β α β α+ + + − +

− β − β − β − β − β

ω − ω = −ωα

θθθθ (3.12-4)

11

3.1.3 CASO TCVO

2

1

2

1

( ( , ) ( , ))ˆ[ ( , ) ]

1 ( , )

T k j

j jj

T T k

jj

E k

−

=−

=

γ δ − δ γ δω − ω = −ω

+ γ δ

∑∑

θ θθ θθ θθ θθθθθ

θθθθ (3.13-1)

donde

22( )

2 1

21 1

2( )

1 1 1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

1( , )

1 1 ( / )

1 1 ( )2

1 ( / ) 1 ( / ) (1 ) 1

T kT k

j

j

T k T k

−−

=

− −

α− δγ δ = δ + − δ − β δ

α β α β −β − δβ− + − β δ − β δ δ −β − δβ

∑ θθθθ (3.13-2)

y

2( )

1 1 1 1

21 1 1 1

1 ( )1( , )

1 1 ( / ) 1 ( / ) 1

T kT kT kj

j

j

−−−

=

α α β − δβ− δδ γ δ = δ δ + − − δ − β δ − β δ − δβ ∑ θθθθ (3.13-3)

de forma que

2( )2 1 1

21 1 1 1

2( )

1 1 1 11 2 2

1 1 1

1( , ) ( , )

1 ( / ) 1 ( / ) 1

1 ( ) 1

1 1 ( / ) (1 )

T kT k T kj

j j

j j

T k T k

−− −

= =

− −

α α − δγ δ − δ γ δ = δ + − β δ − β δ − δ

− δβ α β −β−β + − δβ − β δ δ −β

∑ ∑θ θθ θθ θθ θ

(3.13-4)

El sesgo asintótico viene dado, en este caso, por:

1 1 1 1

12 2 2

1 1 1 1

2

1 1 1 1 1 1

2 2 2

1 1 1 1 1

1

1

1 1 1

1 ( / ) 1 1 1 ( / ) (1 )

1 1 21

1 1 ( / ) 1 ( / ) 1 ( / ) (1 ) 1

ˆlim [ ( , ) ]1 ( / )

TT

E k→∞

δ + α β α β− β +

− β δ − δ − δβ − β δ δ − β

δ + α β α β α β+ − +

− δ − β δ − β δ − β δ δ − β − δβ

−

−

ωαω − ω = −− β δ

×

θθθθ

(3.13-5)

De la misma forma, estudiamos el posible sesgo en la estimación de ω derivado de

asumir un tipo de outlier en volatilidad distinto del que realmente pudiese existir en la

serie observada. En particular, presentamos los resultados de la estimación de ω basado

en el supuesto de un AVO, existiendo realmente un outlier en volatilidad de tipo

innovacional, y el caso contrario, búsqueda de un outlier innovacional cuando el outlier

existente es de tipo aditivo.

12

3.1.4 CASO AVO vs. IVO

Suponiendo que se busca un outlier en volatilidad de tipo aditivo (AVO), de forma que

( , )tx kθθθθ viene dado por la ecuación (3.7-1), y que realmente existe un outlier en

volatilidad de tipo innovacional (IVO), de forma que el efecto ( , )t kη ωɶ viene dado por

la ecuación (2.11), se tiene entonces que, bajo el supuesto de parámetros GARCH

conocidos, el valor esperado del estimador MCO de la magnitud viene dado por

2 1 1 11

1 1 1

2( )2 11 2

1

1 ( ( ))1

1 ( )ˆ[ ( , )]

11

1

T k

T T kE

−

−

− β α + β+ α −β α + β ω ω = ω −β+ α −β

θθθθ (3.14-1)

con sesgo,

2( )

1 1 1 1

2

1 1 1 12

1 2( )2 11 2

1

1 1 ( )

1 1 ( )ˆ[ ( , ) ]

11

1

T k T k T k

T T kE

− − −

−

−β − β α + β− −β −β α + β ω ω − ω = −ωα −β+ α −β

θθθθ (3.14-2)

El sesgo asintótico viene dado en este caso por

1 1

2

1

2

1 1 1

2 2

1 1

2

1

2

1

1

1 11 1

ˆlim [ ( , ) ]1

TT

E→∞

α β

− β

α α β+ −

− β − β

αω ω − ω = ω−β

θθθθ (3.14-3)

que será siempre positivo, de forma que en este caso el resultado es una sobreestimación

de la magnitud del outlier en volatilidad.

3.1.5 CASO IVO vs AVO

Por último, consideramos el caso contrario al anterior, es decir, cuando se parte del

supuesto de existencia de un outlier en volatilidad de tipo innovacional, de forma que

( , )tx kθθθθ viene dado por la ecuación (3.7-2) y realmente existe un outlier de tipo aditivo,

cuando ( , )t kη ωɶ se ajusta al efecto descrito por la ecuación (2.10). Entonces, se tiene

que ˆ[ ( , )]TE ω ω = ωθθθθ , de forma que en este caso la estimación puntual no se ve afectada

por la incorrecta especificación del tipo de outlier en volatilidad. Obviamente, el error

de especificación si que tiene consecuencias sobre el procedimiento estándar de

13

contrastación de la significación de la magnitud del outlier a través de la varianza

incorrecta del estimador MCO.

El resultado más relevante común a todos los casos analizados es que el sesgo es

proporcional a la magnitud del outlier en volatilidad y al parámetro AR α1 de la

especificación del modelo GARCH(1,1). Así, siempre que la magnitud del outlier en

volatilidad sea positivo, el empleo del estimador (3.8) resultará en una infraestimación

de ω lo que afectará al procedimiento de corrección de las observaciones en base a

dicha estimación. Por esa razón, en la sección 6, en el estudio numérico de simulación

se utilizan valores relativamente pequeños para ω, para comprobar que incluso en estos

casos la inferencia puede verse afectada.

3.2 CORRECCIÓN POR SESGO EN LA ESTIMACIÓN MCO DE ωωωω

Puesto que en todos estos casos se tiene que, en general, el valor esperado del estimador

MCO de la magnitud de un outlier en volatilidad viene dado por

ˆ[ ( , )] · ( , )T TE k b kω = ωθ θθ θθ θθ θ (3.15)

con ˆ( , ) 1 ( [ ( , ) ]) /T Tb k E k= + ω − ω ωθ θθ θθ θθ θ , entonces teniendo en cuenta la expresiones

resultantes para el sesgo obtenidas anteriormente, el estimador insesgado de la magnitud

de un outlier en volatilidad en el caso de parámetros GARCH conocidos viene dado por

1 ˆ( , ) ( , )· ( , )T T Tk b k k−ω = ωɶ θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ (3.16)

Así, por ejemplo, en el caso AVO, se tendría que el estimador insesgado de ω es 2( )

2 11 2

1

1ˆ( , ) 1 · ( , )

1

T k

T Tk k− −βω = + α ω −β

ɶ θ θθ θθ θθ θ (3.17)

En el resto de caso, el procedimiento es idéntico aunque con expresiones más

complicadas como resulta de las ecuaciones (3.12) y (3.13) anteriores. La relevancia de

esta corrección resulta inmediata observando que el sesgo en todos los casos no

desaparece asintóticamente y que es tanto mayor cuánto mayor es el valor del parámetro

AR de la ecuación GARCH(1,1), α1.

14

4. ESTIMACIÓN MCO DE LA MAGNITUD DE OUTLIERS EN

VOLATILIDAD EN UN MODELO GARCH(1,1): CASO DE PARÁMETROS

DESCONOCIDOS

En esta sección presentamos resultados aproximados relativos al sesgo en la estimación

QMV de los parámetros de un modelo GARCH(1,1) cuando se ignora la existencia de

un outlier en volatilidad y como este error se traslada a la estimación de la magnitud de

dicho outlier en el procedimiento descrito en la sección anterior.

4.1 SESGO APROXIMADO DEL ESTIMADOR QMV DE θθθθ BAJO

NORMALIDAD CONDICIONAL EN EL CASO DE CONTAMINACIÓN POR

UN OUTLIER EN VOLATILIDAD

Si se considera la estimación de los parámetros GARCH(1,1), θθθθ = (α0, α1, β1) a partir de

las observaciones del proceso GARCH contaminado por un outlier en volatilidad dado

por (2.6) bajo el supuesto de normalidad condicional en la distribución de las

innovaciones, la función de log-verosimilitud condicional para la observación t-ésima

viene dada por

( )21( ) ln ( , ) ( ) 1,...,

2t t th t T= − ω + ζ =ℓ θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ (4.1)

donde el término de innovación viene dado por ( ) ( ) / ( , )t t thζ = ε ω ωθ θθ θθ θθ θ , y, por tanto,

bajo omisión de la perturbación por un outlier en volatilidad se tiene que recoge el

efecto de la omisión a través de la siguiente relación con el término de innovación i.i.d.

ζt, 2 2( ) ( , ) / ( , )t t t tk hζ = ζ + η ω ωɶθ θθ θθ θθ θ . El estimador de θθθθ se denomina quasi (o pseudos) MV

(QMV) puesto que la verdadera distribución de las innovaciones no tiene que coincidir

con la asumida. Bajo correcta especificación del modelo, diversos autores han probado

que aún bajo una distribución incorrecta, el estimador QMV es consistente y

asintóticamente normal, siempre que sea simétrica y bajo una serie de condiciones de

regularidad relativas a la distribución de las innovaciones (ver, por ejemplo, Newey y

Steigerwald (1997), Berkes et.al. (2003), Hall y Yao (2003), y Mikosch y Straumann

(2006)). El estimador QMV viene dado por la solución de la ecuación estimable

15

2

ˆ1 1

ˆ( , ) ( , )1 1ˆ ˆ ˆ( ) (1 ( )), ( , )ˆ2 ( , )

T

T Tt T t

t T t T t T

t t t T

h

T T h= = =

ω ∂ ω= = − − ζ ω =∂ω∑ ∑0

us u

θ θθ θθ θθ θ

θ θθ θθ θθ θθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θθθθθθθθθ

donde ( ) ( ) /t t= ∂ ∂ℓs θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ es el score de la log-verosimilitud condicional normal. Un

desarrollo en serie de Taylor de primer orden en torno a θθθθ, permite obtener la siguiente

forma linealizada aproximada para el estimador QMV,

1

1

1ˆ( ) ( ) ( )T

T T t

t

TT

−

=− = − ∑Q sθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ (4.2)

donde ( )TQ θθθθ es una matriz definida positiva no singular. Considerando que esta matriz

tiene la estructura del producto exterior del score de la log-verosimilitud (como en el

caso de emplear el algoritmo BHHH, Berndt et.al. (1974)), 1,

( ) ( ) ( ) /T t t

t T

T=

′= −∑Q s sθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ ,

y teniendo en cuenta que, de forma general, el proceso de contaminación en (2.6) puede

escribirse como ( , ) ( , )t tk kη ω = ωηɶ γγγγ , con ( ) ( 1)( , ) ( )k k

t t t k tk I q S +−η = +γ γγ γγ γγ γ , donde 0 ( ) 1q =γγγγ

y ( ) 0t kq − =γγγγ si el outlier es de tipo aditivo (AVO) y ( ) 0t kq − ≠γγγγ para t−k = 1, …, T−k, y

vienen dados por las ecuaciones (2.12)-(2.14) en el resto de casos, entonces se puede

obtener la siguiente representación aproximada para el sesgo del estimador QMV de θθθθ

bajo contaminación por un outlier en volatilidad1,

1

2

( , )ˆ ˆ[ ] [ ] ( ) ( , ) ,2 ( , )

Tt

T T t k

t k t

B E q ET h

−−

=

ωω= − = − ω ω ∑ Q

Σ θΣ θΣ θΣ θθ θ θ γ θθ θ θ γ θθ θ θ γ θθ θ θ γ θθθθθ

(4.3)

con ( , ) ( , ) ( , )t t t′ω = ω ωu uΣ θ θ θΣ θ θ θΣ θ θ θΣ θ θ θ y ( , )ωQ θθθθ el límite en probabilidad de la matriz ( )TQ θθθθ ,

dada por

4 21 10 2 4

1 1

( ) ( )1( , ) ( 1)

4 ( ) ( )E E E

h h

ω = − ζ − + ω

Q

Σ θ Σ θΣ θ Σ θΣ θ Σ θΣ θ Σ θθθθθθ θθ θθ θθ θ

Puesto que 2( , ) ( )t pOω = ωΣ θΣ θΣ θΣ θ , ( , ) ( )t ph Oω = ωθθθθ y 2( , ) ( )Oω = ωQ θθθθ , el sesgo

aproximado es 1ˆ[ ] (( ) )TE O T −− = ωθ θθ θθ θθ θ , de forma que aumenta tanto con la magnitud del

outlier como con el tamaño muestral. Si ω = o(T), entonces aún bajo contaminación el

estimador QMV resultará ser consistente. En cualquier caso, incluso un outlier de

magnitud moderada puede causar un sesgo importante para un tamaño muestral

moderado o incluso relativamente grande.

1 Los detalles se pueden consultar en: Afonso Rodríguez, J.A. (2008). Sesgo aproximado del estimador QMV en GARCH(1,1) con

outliers en volatilidad. Manuscrito y Afonso Rodríguez, J.A. (2008). Estimación MCO de la magnitud de outliers en volatilidad en

un modelo GARCH(1,1): caso de parámetros desconocidos. Manuscrito.

16

4.2 SESGO EN LA ESTIMACIÓN DE LA MAGNITUD DEL OUTLIER EN

VOLATILIDAD

En el caso de que los parámetros GARCH sean desconocidos, para implementar el

procedimiento de detección de outliers se requiere la estimación de θθθθ. Así, en lugar de

(3.5), se tiene ahora que la regresión para estimar ω viene dada por

ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) ( )t T t T t Tv x k vω = ω +θ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ (4.4)

donde 2ˆ ˆ( , ) ( ) ( , )t T t t Tv hω = ε ω − ωθ θθ θθ θθ θ . Entonces, para evaluar el sesgo de ω se tiene que a

partir de un desarrollo en serie de Taylor en torno a θθθθ para la ecuación GARCH(1,1)

estimada, de la forma ˆ ˆ( , ) ( , ) ( ) ( , )t T t T th h ′ω = ω + − ωuθ θ θ θ θθ θ θ θ θθ θ θ θ θθ θ θ θ θ , se pueden obtener

expresiones apropiadas para ˆ( , )t Tv ωθθθθ y ˆ( , )t Tx kθθθθ como sigue

ˆ ˆ( , ) ( , ) ( ) ( , )t T t T tv v ′ω = ω − − ωɶθ θ θ θ θθ θ θ θ θθ θ θ θ θθ θ θ θ θu (4.5)

( , )ˆ ˆ( , ) ( , ) ( ) tt T t T

x kx k x k

∂′= + −∂θθθθθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθθθθ

(4.6)

empleando un desarrollo similar. Así, se tiene que, de forma aproximada

( )ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) [ ] ( ( ) [ ]· [ ]) [ ( , )]

ˆ ˆ ˆ[ ( , ) ( , )] ( , )( ( , ) [ ] [ ( , )])

( , )t T T T T t

t T t T t t T t

tk B Var B B E

E v x k x k k B E

x k ′ωη − + ω

′ω = ωη − ω∂+

′∂u

u

γ θ θ θ θ θγ θ θ θ θ θγ θ θ θ θ θγ θ θ θ θ θ

θ θ θ γ θ θθ θ θ γ θ θθ θ θ γ θ θθ θ θ γ θ θθθθθθθθθ

(4.7)

y

2 2 ( , ) ( , )ˆ ˆ ˆ( ( ) [ ]· [ ])ˆ[ ( , )] ( , )

( , ) ˆ2 ( , ) [ ]

t t

T T Tt T t

tt T

x k x kVar B BE x k x k Tr

x kx k B

∂ ∂′+′∂ ∂

= +

∂+′∂

θ θθ θθ θθ θθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ

θ θθ θθ θθ θθ θθ θθ θθ θ

θθθθθ θθ θθ θθ θθθθθ

(4.8)

pudiendo evaluar el sesgo aproximado en la estimación de ω, empleando el estimador

1

2

1

ˆ ˆ( , ) ( , )ˆ ( , )

ˆ( , )

T

t T t TtT T

t Tt

v x kk

x k

=

=

ωω = ∑

∑

θ θθ θθ θθ θθθθθ

θθθθ

a partir de (4.7) y (4.8). Puesto que del análisis de estas expresiones resulta que

ˆ ˆ[ ( , ) ( , )] ( )t T t TE v x k Oω = ωθ θθ θθ θθ θ y 2 ˆ[ ( , )] (1/( ))t TE x k O T= ωθθθθ , se puede concluir que en el

caso donde la magnitud del outlier sea moderada, ω = o(T), el sesgo en la estimación de

ω es aproximadamente de la misma magnitud que en el caso de parámetros GARCH

conocidos. Particularizando estas expresiones al caso IVO, se tiene que

17

1

ˆ ˆ ˆ[ ( , ) ( , )] [ ] [ ( , )] (1/ )T

t T t T T k

t

E v x k B E O T=

′ω = ω − ω = ω −∑ uθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ

mientras que 2

1,

ˆ[ ( , )] 1t T

t T

E x k=

=∑ θθθθ , de forma que como ocurre en el caso de parámetros

GARCH conocidos, el estimador de ω es (casi) insesgado. En los resultados de

simulación del siguiente epígrafe podrá comprobarse numéricamente este resultado.

6. RESULTADOS DE SIMULACIÓN

En este epígrafe estudiamos los resultados numéricos de un experimento de simulación,

cuantificando la magnitud estimada de un outlier en volatilidad en un proceso

GARCH(1,1) contaminado, bajo distintos supuestos sobre la distribución de las

innovaciones y valores de los parámetros GARCH. Con el objeto de medir también la

posible influencia del sesgo adicional debido a la estimación de los parámetros

GARCH, consideramos las dos situaciones posibles tratadas en los epígrafes 4 y 5. En

el caso de parámetros GARCH desconocidos, empleamos la estimación QMV bajo el

supuesto de normalidad condicional puesto que en este caso, bajo no contaminación, la

estimación resultante es consistente.

En todos los casos analizados, se ha tratado de medir directamente la magnitud del

sesgo considerando que la localización del sesgo es conocida aunque se genera en una

posición aleatoria dentro de la muestra. El proceso de contaminación viene dado por

( , ) ( ) ( )t tk L bη ω = ωξ πɶ

donde ( )tb π es un proceso i.i.d. de Bernoulli, con π = P( ( )tb π =1). Tomando π = 1/T, se

consigue un único outlier en volatilidad en la serie de T observaciones. En cada caso se

ha considerado también que la magnitud de ω es fija y toma valores relativamente

pequeños, ω = 1.5, 2.5 y 5.0. Los tamaños muestrales considerados son T = 100, 250,

500, 1000 y 2000 y la distribución de las innovaciones consideradas son: N(0,1), ST(d)

(T de Student estandarizada) con d = 6, 9 y 12 y SGED(υ) (distribución generalizada del

error estandarizada) con υ = 0.5, 1.0, 1.5 y 3.0. Con estas dos últimas distribuciones se

pretende evaluar si existe algún tipo de efecto adicional relevante sobre el sesgo del

estimador MCO de ω al considerar distribuciones de colas pesadas para las

innovaciones del proceso GARCH(1,1), pero sin incumplir el requerimiento mínimo

18

para la consistencia de existencia de la varianza de ζt. También se presentan algunos

resultados para distintas combinaciones de valores de los parámetros GARCH,

manteniendo aproximadamente el mismo grado de persistencia, medido por α1+β1.

Los siguientes cuadros 1 a 4 recogen una selección de los principales resultados

obtenidos en el caso de estimación MCO, mientras que los cuadros 5 a 7 presentan los

resultados de la estimación MCO corregida por el sesgo multiplicativo.

Cuadro 1. ESTIMADOR MCO. Caso de parámetros GARCH conocidos (AVO) θθθθ = (α0, α1, β1) = (0.05, 0.15, 0.65)

1.A Distribución de las innovaciones

ω = 1.5 ST(d) SGED(υ)

N(0,1) d= 6 d= 9 d= 12 υ = 0.5 υ = 1.0 υ = 3.0 T = 100 1.4428 1.4392 1.4525 1.4142 1.4016 1.4041 1.4123

0.3492 0.4675 0.4699 0.4007 1.1241 0.5426 0.1825

0.3544 0.4876 0.4314 0.4049 1.2941 0.5422 0.1726

T = 250 1.4595 1.4268 1.4413 1.4277 1.3869 1.4329 1.4245

0.4009 0.5843 0.5976 0.4532 0.9000 0.5412 0.3385

0.3639 0.5434 0.4616 0.4246 1.9259 0.5341 0.1703

T = 500 1.4501 1.4345 1.4451 1.4192 1.4267 1.4206 1.4447

0.4029 0.7407 0.4643 0.5393 3.1679 0.5537 0.2096

0.3669 0.5738 0.4695 0.4359 2.4752 0.6149 0.1699

T = 1000 1.4393 1.4258 1.4435 1.4159 1.3994 1.4349 1.4353

0.3631 0.5313 0.4562 0.9656 2.0606 0.8785 0.3038

0.3684 0.5976 0.4759 0.4382 3.2679 0.6314 0.1692

T = 2000 1.4480 1.4323 1.4436 1.4444 1.4328 1.4645 1.4094

0.3996 0.5830 0.4387 0.4627 3.6475 0.7177 0.6826

0.3699 0.6195 0.4799 0.4442 4.1198 0.6429 0.1693

1.B Distribución de las innovaciones

ω = 2.5 ST(d) SGED(υ)

N(0,1) d= 6 d= 9 d= 12 υ = 0.5 υ = 1.0 υ = 3.0 T = 100 2.4024 2.3375 2.3339 2.3396 2.3085 2.3329 2.3592

0.3599 0.4869 0.3944 0.4142 1.3827 0.5080 0.1963

0.3545 0.4900 0.4322 0.4086 1.2882 0.5451 0.1726

T = 250 2.4069 2.3703 2.3882 2.3768 2.3676 2.3619 2.3863

0.3785 0.5405 0.5048 0.4214 1.6578 0.6657 0.1869

0.3635 0.5445 0.4577 0.4252 1.9307 0.5923 0.1704

T = 500 2.4141 2.3929 2.3854 2.3939 2.2578 2.3706 2.3986

0.4191 0.6240 0.6679 0.4969 2.4125 0.6019 0.1824

0.3665 0.5733 0.4724 0.4354 2.5788 0.6149 0.1698

T = 1000 2.3994 2.3411 2.4014 2.3999 2.3404 2.3774 2.3934

0.3627 3.1429 0.4968 0.5855 1.2409 0.7133 0.6433

0.3679 0.5943 0.4789 0.4383 3.1235 0.6333 0.1694

T = 2000 2.3864 2.3049 2.3819 2.3687 2.2809 2.3500 2.4023

0.4608 2.3802 1.1187 1.7578 1.2737 0.8569 0.1829

0.3701 0.6177 0.4847 0.4433 3.8729 0.6433 0.1691

19

Cuadro 1. ESTIMADOR MCO. Caso de parámetros GARCH conocidos (AVO) θθθθ = (α0, α1, β1) = (0.05, 0.15, 0.65)

(continuación) 1.C Distribución de las innovaciones

ω = 5.0 ST(d) SGED(υ)

N(0,1) d= 6 d= 9 d= 12 υ = 0.5 υ = 1.0 υ = 3.0 T = 100 4.7087 4.6662 4.6899 4.7028 4.6559 4.6688 4.6874

0.4265 0.8022 0.5339 0.4771 1.1976 0.5613 0.2435

0.3529 0.4903 0.4297 0.4073 1.3030 0.5429 0.1728

T = 250 4.7559 4.7398 4.7496 4.7267 4.6652 4.7188 4.7616

0.4079 0.5512 0.4971 0.9278 1.6779 1.3124 0.2119

0.3628 0.5447 0.4559 0.4278 1.8964 0.5967 0.1705

T = 500 4.7832 4.7795 4.7830 4.7817 4.7006 4.7575 4.7541

0.4444 0.5748 0.5041 0.4755 1.5785 0.6726 0.7773

0.3669 0.5803 0.4728 0.4353 2.5709 0.6159 0.1698

T = 1000 4.7791 4.8008 4.7505 4.7865 4.8053 4.8033 4.7908

0.6868 0.9754 1.7612 0.4809 2.5337 0.7018 0.2034

0.3687 0.6065 0.4797 0.4421 3.3526 0.6291 0.1693

T = 2000 4.7772 4.7531 4.7847 4.7835 4.7528 4.7643 4.8007

1.1431 1.7425 0.6473 0.6390 2.5943 1.3347 0.2689

0.3699 0.6137 0.4851 0.4435 3.8379 0.6438 0.1692

Cuadro 2. ESTIMADOR MCO. Caso de parámetros GARCH desconocidos (QMV-G) (AVO)

θθθθ = (α0, α1, β1) = (0.05, 0.15, 0.65) 2.A Distribución de las innovaciones

ω = 1.5 ST(d) SGED(υ)

N(0,1) d= 6 d= 9 d= 12 υ = 0.5 υ = 1.0 υ = 3.0 T = 100 1.4006 1.3900 1.3936 1.4130 1.3561 1.4058 1.4090

0.3734 0.6215 0.4508 0.4170 1.0569 0.5844 0.1983

0.3674 0.4689 0.4139 0.3973 0.9715 0.5129 0.1817

T = 250 1.4334 1.4057 1.4052 1.4226 1.3957 1.4242 1.4258

0.4461 0.4919 0.4159 0.4354 1.4999 0.5665 0.2743

. 0.3616 0.5019 0.4341 0.4169 1.2778 0.5576 0.1826

T = 500 1.4383 1.3973 1.4073 1.4150 1.3797 1.4123 1.4435

0.5964 0.5435 0.4695 0.5269 1.7974 0.5688 0.2079

0.3782 0.5445 0.4678 0.4314 1.6066 0.5803 0.1732

T = 1000 1.4205 1.4258 1.3884 1.4179 1.3105 1.4358 1.4359

1.0101 0.5237 1.4341 0.9059 4.4090 0.8348 0.2837

0.4036 0.5722 0.4944 0.4436 1.8127 0.6109 0.1758

T = 2000 1.4304 1.3879 1.4058 1.4427 1.3812 1.4602 1.4195

0.5609 1.5355 1.3244 0.4642 2.1992 0.7200 0.2205

0.3882 0.6154 0.5364 0.4394 2.1928 0.6200 0.2169

2.B Distribución de las innovaciones

ω = 2.5 ST(d) SGED(υ)

N(0,1) d= 6 d= 9 d= 12 υ = 0.5 υ = 1.0 υ = 3.0 T = 100 2.3342 2.3289 2.3207 2.3204 2.2933 2.3015 2.3358

0.4340 0.5443 0.4845 0.5080 1.3803 0.6379 0.2591

0.3734 0.4797 0.4378 0.4219 1.0025 0.5376 0.1986

T = 250 2.3817 2.3429 2.3815 2.3636 2.3321 2.3396 2.3765

0.4335 0.5229 0.5409 0.4529 1.8707 0.6974 0.2079

0.3725 0.5146 0.4535 0.4228 1.3169 0.5651 0.1790

T = 500 2.3799 2.3654 2.3799 2.3852 2.1864 2.3589 2.3953

0.4686 0.7437 0.6231 0.5039 2.1487 0.6303 0.1887

0.3827 0.5389 0.4765 0.4293 1.6113 0.5835 0.1739

T = 1000 2.3759 2.3528 2.3965 2.3976 2.2900 2.3710 2.3975

0.5114 0.5738 0.5133 0.5461 1.5939 0.7210 0.4656

0.3783 0.5762 0.4686 0.4495 1.8601 0.6088 0.2455

T = 2000 2.4037 2.3921 2.3848 2.3715 2.2402 2.3465 2.4020

0.3847 0.7663 0.9358 1.5775 1.7088 0.8023 0.1851

0.3705 0.6209 0.4898 0.4615 2.1713 0.6419 0.1702

20

Cuadro 2. ESTIMADOR MCO. Caso de parámetros GARCH desconocidos (QMV-G) (AVO) θθθθ = (α0, α1, β1) = (0.05, 0.15, 0.65)

(continuación) 2.C Distribución de las innovaciones

ω = 5.0 ST(d) SGED(υ)

N(0,1) d= 6 d= 9 d= 12 υ = 0.5 υ = 1.0 υ = 3.0 T = 100 4.6047 4.5565 4.5548 4.5803 4.6307 4.5493 4.5023

0.7265 1.0869 0.9149 0.8413 1.7354 0.9993 0.6341

0.4291 0.5640 0.4977 0.4831 1.0813 0.5884 0.2635

T = 250 4.7133 4.6707 4.6977 4.6737 4.5634 4.6682 4.6859

0.5073 0.7531 0.6499 0.8595 2.0269 1.2491 0.3511

0.3963 0.5440 0.4788 0.4685 1.3214 0.6206 0.2020

T = 500 4.7682 4.7279 4.7541 4.7644 4.5468 4.7159 4.7288

0.4826 0.6514 0.5601 0.5259 1.7847 0.7587 0.6696

0.3815 0.5528 0.4752 0.4461 1.7184 0.6083 0.2015

T = 1000 4.7744 4.7805 4.7464 4.7762 4.6437 4.7963 4.7812

0.6564 0.9554 1.3258 0.5033 2.9004 0.7391 0.2235

0.3825 0.5897 0.5165 0.4453 1.9663 0.6490 0.1762

T = 2000 4.7819 4.7544 4.7831 4.7824 4.6503 4.7643 4.7985

0.8763 1.4849 0.6252 0.6231 2.8447 1.1954 0.2699

0.3934 0.6385 0.4963 0.4503 2.2014 0.6454 0.1746

Notas a los cuadros 1 y 2: Los resultados están basados en 2000 replicaciones. En la primera fila para cada tamaño

muestral se muestra el promedio de las estimaciones MCO de la magnitud del outlier, ˆ ( , )T

kω θ . En la segunda y

tercera filas se presentan, respectivamente, la desviación estándar de las replicaciones y el promedio de la desviación

estándar teórica del estimador MCO de ω basado en la distribución asumida para las innovaciones.

Cuadro 3. ESTIMADOR MCO (Caso TCVO) (δ = 0.50). θθθθ = (α0, α1, β1) = (0.05, 0.15, 0.65) Distribución de las innovaciones: N(0,1)

Caso parámetros GARCH conocidos Caso parámetros GARCH estimados

ω = 1.5 ω = 2.5 ω = 5.0 ω = 1.5 ω = 2.5 ω = 5.0 T = 100 1.2739 2.1401 3.7209 1.1387 1.8127 3.3746

0.3920 0.9738 0.7711 0.3861 0.5339 0.9992

0.2758 0.2766 0.2767 0.2848 0.3109 0.3994

T = 250 1.2511 2.1538 4.0115 1.1754 1.9929 3.8314

0.4528 0.5149 0.7411 1.4221 0.4945 0.8533

0.2821 0.2801 0.2820 0.3086 0.3009 0.3349

T = 500 1.2862 2.1236 4.1408 1.2455 2.0608 4.0464

0.4073 0.5036 0.7598 0.4012 0.5206 0.8129

0.2849 0.2851 0.2848 0.2865 0.2902 0.3099

T = 1000 1.2872 2.1322 4.2077 1.2785 2.0894 4.1646

0.4196 0.6949 0.7973 0.4094 0.4894 0.8143

0.2852 0.2857 0.2855 0.2859 0.2882 0.3024

T = 2000 1.2833 2.1398 4.2355 1.2738 2.0765 4.2125

0.4170 0.5162 0.7741 0.4219 1.7882 0.7837

0.2867 0.2868 0.2866 0.2869 0.3153 0.2937

Nota: Los resultados están basados en 2000 replicaciones. En la primera fila para cada tamaño muestral se muestra el

promedio de las estimaciones MCO de la magnitud del outlier, ˆ ( , )T

kω θ . En la segunda y tercera filas se presentan,

respectivamente, la desviación estándar de las replicaciones y el promedio de la desviación estándar teórica del

estimador MCO de ω basado en la distribución asumida para las innovaciones.

21

Cuadro 4. ESTIMADOR MCO: Efecto de los valores de θθθθ (Caso AVO) 4.A Distribución de las innovaciones: N(0,1) Caso parámetros GARCH estimados

θθθθ = (α0, α1, β1) = (0.05, 0.25, 0.45) θθθθ = (α0, α1, β1) = (0.05, 0.45, 0.25)

ω = 1.5 ω = 2.5 ω = 5.0 ω = 1.5 ω = 2.5 ω = 5.0 T = 100 1.3469 2.2257 4.2691 1.2730 2.0513 3.8151

0.3587 0.5112 1.1539 0.5569 0.8184 1.7974

0.2577 0.2910 0.3912 0.3065 0.3474 0.5357

T = 250 1.3685 2.2856 4.4980 1.2351 2.0589 3.9807

0.3743 0.4099 0.7990 0.6028 0.7655 1.4799

0.2604 0.2647 0.3203 0.3045 0.3235 0.4257

T = 500 1.3861 2.2933 4.5539 1.2178 2.0399 4.0427

0.4838 0.7222 0.6166 0.6898 1.0864 1.5217

0.2627 0.2871 0.2847 0.3304 0.3440 0.3913

T = 1000 1.3729 2.2919 4.5737 1.1796 2.0543 4.0573

0.4226 0.6530 1.1021 1.2324 0.7706 1.3057

0.2742 0.2749 0.3117 0.3523 0.3366 0.3675

T = 2000 1.3960 2.3173 4.6389 1.2179 2.0207 4.1161

0.3148 0.3525 0.6115 0.8157 1.3065 1.6889

0.2586 0.2692 0.2724 0.3514 0.3609 0.3959

4.B Distribución de las innovaciones: ST(d = 6) Caso parámetros GARCH estimados

θθθθ = (α0, α1, β1) = (0.05, 0.25, 0.45) θθθθ = (α0, α1, β1) = (0.05, 0.45, 0.25)

ω = 1.5 ω = 2.5 ω = 5.0 ω = 1.5 ω = 2.5 ω = 5.0 T = 100 1.3472 2.2051 4.2864 1.2692 2.0249 3.9668

0.4422 0.6240 1.3700 0.6771 1.0543 2.2021

0.3256 0.3557 0.4665 0.3696 0.4313 0.6179

T = 250 1.3420 2.2387 4.4389 1.2538 2.0621 3.9921

0.3677 0.6338 1.1574 0.8737 0.9673 1.9587

0.3603 0.3735 0.4298 0.4309 0.4438 0.5085

T = 500 1.3578 2.2998 4.5639 1.2211 2.0315 4.0883

0.4051 0.9782 0.9868 0.9325 1.2856 3.0781

0.3775 0.3927 0.4183 0.4834 0.4840 0.5272

T = 1000 1.3634 2.3249 4.5701 1.2109 2.0675 4.1092

0.9359 1.7681 0.7955 0.8952 1.2921 2.4596

0.4369 0.4089 0.4202 0.5176 0.5242 0.5419

T = 2000 1.4048 2.3346 4.5757 1.2051 2.0188 4.0297

0.7619 1.8591 0.7821 0.8244 0.9411 1.5774

0.4363 0.4469 0.4289 0.6052 0.5623 0.5794

Nota: Los resultados están basados en 2000 replicaciones. En la primera fila para cada tamaño muestral se muestra el

promedio de las estimaciones MCO de la magnitud del outlier, ˆ ( , )T

kω θ . En la segunda y tercera filas se presentan,

respectivamente, la desviación estándar de las replicaciones y el promedio de la desviación estándar teórica del

estimador MCO de ω basado en la distribución asumida para las innovaciones.

Cuadro 5. ESTIMADOR MCO CORREGIDO POR SESGO (Caso AVO) Parámetros GARCH conocidos θθθθ = (α0, α1, β1) = (0.05, 0.15, 0.65)

Distribución de las innovaciones

ST(d) SGED(υ)

N(0,1) d= 6 d= 9 υ = 0.5 υ = 1.0 υ = 3.0 T = 100 ω = 1.5 1.4948 1.4824 1.4579 1.3983 1.4578 1.4664

2.5 2.4984 2.4908 2.4383 2.3968 2.4221 2.4495

5.0 4.9962 4.9791 4.8765 4.8336 4.8479 4.8671

T = 250 ω = 1.5 1.4937 1.5039 1.4828 1.4699 1.4884 1.4797

2.5 2.4989 2.5078 2.4716 2.4593 2.4532 2.4786

5.0 4.9835 4.9975 4.9249 4.8461 4.9014 4.9455

T = 500 ω = 1.5 1.4838 1.5055 1.4777 1.4723 1.4758 1.5008

2.5 2.4852 2.4834 2.4645 2.3454 2.4626 2.4917

5.0 4.9897 4.9919 4.9590 4.8831 4.9423 4.9683

T = 1000 ω = 1.5 1.5027 1.4924 1.4739 1.5474 1.4907 1.4912

2.5 2.4875 2.4934 2.5103 2.4314 2.4698 2.4864

5.0 4.9803 5.0102 4.9859 4.9922 4.9901 4.9771

T = 2000 ω = 1.5 1.5098 1.4903 1.4854 1.4566 1.5215 1.4643

2.5 2.4853 2.4870 2.4939 2.3696 2.4413 2.4958

5.0 4.9947 4.9814 4.9722 4.9379 4.9498 4.9875

22

Cuadro 6. ESTIMADOR MCO CORREGIDO POR SESGO (Caso AVO) Parámetros GARCH desconocidos (QMV-G) θθθθ = (α0, α1, β1) = (0.05, 0.15, 0.65)

Distribución de las innovaciones

ST(d) SGED(υ)

N(0,1) d= 6 d= 9 υ = 0.5 υ = 1.0 υ = 3.0 T = 100 ω = 1.5 1.4703 1.4720 1.4685 1.4357 1.4904 1.4694

2.5 2.4595 2.4625 2.4577 2.4518 2.4339 2.4459

5.0 4.8991 4.9344 4.8694 4.9729 4.8303 4.8262

T = 250 ω = 1.5 1.4874 1.4934 1.4888 1.4802 1.4898 1.4826

2.5 2.4789 2.4755 2.4699 2.4999 2.4562 2.4746

5.0 4.9382 4.946 4.9189 4.8248 4.9066 4.9176

T = 500 ω = 1.5 1.4974 1.4943 1.4782 1.4739 1.4741 1.5008

2.5 2.4807 2.4627 2.4689 2.2846 2.4591 2.4908

5.0 4.9635 4.9513 4.9523 4.8182 4.9277 4.9286

T = 1000 ω = 1.5 1.4959 1.4720 1.4768 1.4999 1.4961 1.4915

2.5 2.4798 2.4975 2.5072 2.4342 2.4699 2.4905

5.0 4.9832 4.9577 4.9818 4.9413 4.9925 4.9722

T = 2000 ω = 1.5 1.4939 1.4891 1.4910 1.4616 1.5185 1.4752

2.5 2.4656 2.4808 2.4932 2.3696 2.4405 2.4953

5.0 4.9822 4.9853 4.9742 4.8945 4.9559 4.9865

En general se observa que el efecto del sesgo en la estimación puntual de ω se traslada

también al cálculo de la estimación de la desviación estándar del estimador, provocando

una infraestimación de dicha magnitud, excepto en los casos de distribuciones con colas

muy anchas para las innovaciones GARCH, donde opera al contrario. Esto afectará, por

tanto, también a la inferencia estándar para la detección de outlier en este

procedimiento. En los cuadros 5 a 7 se presentan los resultados de la estimación MCO

de ω corregida por el sesgo en el caso aditivo bajo distintos supuestos distribucionales.

Para todas las combinaciones de valor nominal de ω, tamaños muestrales, distribuciones

y combinaciones de valores de los parámetros GARCH, se consigue una corrección

total del sesgo. En estos cuadros no se presenta la estimación de la desviación estándar

de los estimadores en la simulación puesto que es (casi) proporcional, en la magnitud

del factor de corrección multiplicativo, a la desviación estándar del estimador sin

corregir.

En general se aprecia, en el caso de parámetros desconocidos, como el sesgo positivo

que induce la estimación MV de los parámetros del modelo GARCH(1,1) contaminado

por un outlier en volatilidad es también compensado por la corrección del sesgo

calculada con esas mismas estimaciones, de forma que la corrección opera incluso

mejor en esta situación que en el caso de parámetros conocidos.

23

Cuadro 7. ESTIMADOR MCO CORREGIDO POR SESGO (Caso AVO) θθθθ = (α0, α1, β1) = (0.05, 0.25, 0.45)

Caso parámetros GARCH conocidos Caso parámetros GARCH estimados Distribución de las innovaciones Distribución de las innovaciones

ST(d) ST(d)

N(0,1) d= 6 d= 9 N(0,1) d= 6 d= 9

T = 100 ω = 1.5 1.4522 1.4537 1.4505 ω = 1.5 1.4678 1.4757 1.4724

2.5 2.4208 2.3937 2.4255 2.5 2.4536 2.4339 2.4618

5.0 4.8308 4.8199 4.8196 5.0 4.8295 4.8199 4.8292

T = 250 ω = 1.5 1.4729 1.4555 1.4806 ω = 1.5 1.4793 1.4611 1.4898

2.5 2.4773 2.4387 2.4578 2.5 2.4799 2.4382 2.4744

5.0 4.9303 4.8938 4.9169 5.0 4.9208 4.8908 4.9050

T = 500 ω = 1.5 1.4625 1.4731 1.5008 ω = 1.5 1.4681 1.4702 1.4973

2.5 2.4717 2.4898 2.4767 2.5 2.4681 2.5087 2.4801

5.0 4.9498 4.9696 4.9381 5.0 4.9387 4.9592 4.9119

T = 1000 ω = 1.5 1.4777 1.4688 1.4820 ω = 1.5 1.4789 1.4779 1.4819

2.5 2.4453 2.4929 2.4998 2.5 2.4558 2.5269 2.5002

5.0 4.9056 4.9824 4.9958 5.0 4.9245 4.9504 4.9905

T = 2000 ω = 1.5 1.4590 1.5122 1.5041 ω = 1.5 1.4699 1.5186 1.5094

2.5 2.5012 2.5192 2.4843 2.5 2.5043 2.5215 2.4869

5.0 4.9966 4.9537 4.9914 5.0 4.9957 4.9457 4.9861

8. CONCLUSIONES Y EXTENSIONES FUTURAS

En este trabajo hemos estudiados distintos aspectos del tratamiento del modelo

GARCH(1,1) bajo contaminación por un outlier en volatilidad. Los principales

resultados se refieren a la evaluación del sesgo en la estimación de la magnitud de un

outlier en volatilidad siguiendo la propuesta de Franses y Ghijsels (1999) y Charles y

Darné (2005) y el posible perjuicio para la consistencia de este procedimiento de

detección y corrección de outliers y la obtención de una expresión aproximada para el

sesgo del estimador QMV bajo normalidad condicional de los parámetros de un modelo

GARCH(1,1).

La situación analizada, tanto teórica como numéricamente en el ejercicio de simulación,

se refieren al caso más restrictivo posible bajo el supuesto de conocimiento de la

localización del outlier en volatilidad, k = k0. El propósito es extender este estudio al

caso más general de estimación de la magnitud de un outlier en volatilidad en el caso de

localización desconocida, que se obtiene como resultado de un procedimiento

secuencial de estimación de ω que recorre toda la muestra, k = 1, 2, …, T, y posterior

estimación de la localización mediante la regla

1

ˆ ˆˆ ˆ( ) : ( , ) max | ( , ) |T T T Tk T

k k k k≤ ≤

= ω τ = τθ, θ θθ, θ θθ, θ θθ, θ θ , donde ˆ ( , )

ˆ ( , ) 1, 2,...,ˆ ( , )

TT

T

kk k T

s k

ωτ = =θθθθθθθθθθθθ

siendo

24

22 2 2

21

1

ˆ ( ) 1ˆˆ ˆ( , ) , ( ) ( )

( , )

TT

T T tTttt

s kTx k =

=

σ ω= σ ω = υ ω∑∑

θθθθθθθθ

la habitual estimación MCO de la varianza del estimador de ω. La evidencia de

simulación preliminar indica que en este caso el efecto puede ser más severo y se

manifiesta además con un sesgo en la estimación de la magnitud, pero de signo positivo,

es decir, una sobreestimación de la magnitud del outlier en volatilidad.

Bibliografía

Afonso Rodríguez, J.A. (2007), “Estimación QMV de modelos GARCH versus estimación no

paramétrica de la volatilidad local en series temporales financieras con outliers”. XXI Reunión

ASEPELT-España, Valladolid.

Battaglia, F. (2006), “Bias Correction for Outlier Estimation in Time Series”. Journal of Statistical

Planning and Inference, 136, pp.3904-3930.

Berkes, I., L. Horváth, P. Kokoszka (2003), “GARCH Processes: Structure and Estimation”. Bernoulli,

9(2), pp.201-227.

Berndt,E.K., B.H. Hall, R.E. Hall, J.A. Hausman (1974), “Estimation and Inference in Nonlinear

Structural Models”. Annals of Economic and Social Measurement, 3/4, pp.653-665.

Carnero, M.A., D. Peña, E. Ruiz (2006), “Effects of Outliers on the Identificatiion and Estimation of

GARCH Models”. Journal of Time Series Analysis, 28(4), pp.471-497.

Carnero, M.A., D. Peña, E. Ruiz (2007), “Estimating GARCH Volatility in the Presence of Outliers”.

Manuscrito.

Chang, I., G.C. Tiao, C. Chen (1988), “Estimation of Time Series Parameters in the Presence of Outliers”.

Technometrics, 30(2), pp.193-204.

Charles, A., O. Darné (2005), “Outliers and GARCH Models in Financial Data”. Economics Letters, 86,

pp.347-352.

Chen, C., L.M.Liu (1993), “Joint Estimation of Model Parameters and Outlier Effects in Time Series”.

Journal of the American Statistical Association, 88(421), pp.284-297.

de Melo Mendes, B.V. (2000), “Assessing the Bias of Maximum Likelihood Estimates of Contaminated

GARCH Models”. Journal of Statistical Computation and Simulation, 67, pp.359-376.

Doornik, J.A., M. Ooms (2005), “Outlier Detection in GARCH Models”. Tinbergen Institute Discussion

Paper No.05-092/4. Tinbergen Institute.

Franses, P.H., H. Ghijsels (1999), “Additive Outliers, GARCH and Forecasting Volatility”. International

Journal of Forecasting, 15, pp.1-9.

Hall, P., Q. Yao (2003), “Inference in ARCH and GARCH Models with Heavy-Tailed Errors”.

Econometrica, 71(1), pp.285-317.

Hotta, L.K., R.S. Tsay (1998), “Outliers in GARCH Processes”. Manuscript, Graduate School of

Business. University of Chicago.

25

Jiang, J., Q. Zhao, Y.V. Hui (2001), “Robust Modelling of ARCH Models”. Journal of Forecasting, 20,

pp.111-133.

Mikosch, T., D. Straumann (2006), “Stable Limits of Martingale Transforms with Application to the

Estimation of GARCH Parameters”. The Annals of Statistics, 34(1), pp.493-522.

Muler, N., V.J. Yohai (2002), “Robust Estimates for ARCH Models”. Journal of Time Series Analysis,

23(3), pp.341-375.

Muler, N., V.J. Yohai (2008), “Robust Estimates for GARCH Models”. Journal of Statistics, Planning

and Inference, 138(19), pp.2918-2940.

Newey, W.K., D.G. Steigerwald (1997), “Asymptotic Bias for Quasi-Maximum-Likelihood Estimators in

Conditional Heteroskedasticity Models”. Econometrica, 65(3), pp.587-599.

Peng, L., Q. Yao (2003), “Least Absolute Deviations Estimation for ARCH and GARCH Models”.

Biometrika, 90(4), pp.967-975.

Sakata, S., H. White (1998), “High Breakdown Point Conditional Dispersion Estimation with Application

to S&P 500 Daily Returns Volatility”. Econometrica, 66(3), pp.529-567.

Verhoeven, P., M. McAleer (2000), “Modelling outliers and extreme observations for ARMA-GARCH

processes”. Working paper, University of Western Australia.