PENERAPAN MODEL AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY

INTEGRATED MOVING AVERAGE (ARFIMA) DALAM PERAMALAN

SUKU BUNGA SERTIFIKAT BANK INDONESIA (SBI)

Oleh

LIANA KUSUMA NINGRUM

M0105047

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2009

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Menurut Box, et. al. (1994), time series merupakan serangkaian data

pengamatan berdasarkan urutan waktu. Observasi yang diamati merupakan

barisan bernilai diskrit yang diperoleh pada interval waktu yang sama. Metode

pemodelan time series yang telah dikembangkan adalah Exponential Smoothing,

Autoregressive (AR), Moving Average (MA), Autoregressive Moving Average

(ARMA), dan Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Metode

yang paling umum digunakan adalah ARIMA. ARIMA sangat efektif digunakan

untuk memodelkan data yang tidak stasioner, yang ditunjukkan oleh plot ACF

yang turun secara eksponensial atau membentuk gelombang sinus. Ada beberapa

data yang tidak stasioner dan plot ACF-nya tidak turun secara eksponensial

melainkan secara lambat atau hiperbolik. Data seperti inilah yang dikategorikan

sebagai time series memori jangka panjang (long memory). Untuk memodelkan

time series jangka panjang, Hosking (1981) telah memperkenalkan model

Autoregressive Fractionally Integreted Moving Average (ARFIMA) yang dapat

mengatasi kelemahan model ARIMA. ARIMA hanya dapat menjelaskan time

series jangka pendek (short memory), sedangkan ARFIMA dapat menjelaskan

baik jangka pendek maupun jangka panjang.

Analisis time series jangka panjang telah banyak diterapkan di berbagai

bidang ilmu. Dalam bidang ekonomi, Doornik dan Ooms (1999) melakukan

penelitian terhadap indeks harga konsumen di Amerika Serikat dan Inggris

menggunakan ARFIMA dengan estimasi parameter metode Exact Maximum

Likelihood (EML). Menurut Ishida dan Watanabe (2008), Watanabe dan

Yamaguchi melakukan perbandingan beberapa metode pemodelan dan peramalan

terhadap Indeks Bursa Nikkei Jepang dengan menggunakan model ARFIMA, AR,

Generalized Autoregressive Conditional Heterokedasticity (GARCH), dan

Heterogen Interval Autoregressive (HAR). Hasil penelitian tersebut menyatakan

bahwa model ARFIMA merupakan model yang paling akurat untuk pemodelan

dan peramalan Indeks Bursa Nikkei Jepang.

Dalam penelitian ini dilakukan pemodelan data suku bunga Sertifikat Bank

Indonesia (SBI) dengan menggunakan pendekatan time series memori jangka

panjang ARFIMA. Selanjutnya dari pemodelan ini dapat dilakukan peramalan

dengan menggunakan model tersebut. Peneliti memilih data suku bunga SBI

karena tingkat suku bunga merupakan salah satu faktor yang mempengaruhi

kegiatan investasi, dan datanya mengandung memori jangka panjang, yang

ditunjukkan oleh plot ACF yang turun secara lambat.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, rumusan masalah yang akan

dikemukakan adalah sebagai berikut.

1. Bagaimana pemodelan ARFIMA pada data suku bunga SBI.

2. Bagaimana hasil peramalan model ARFIMA pada data suku bunga SBI

untuk 4 periode ke depan.

1.3 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini dilakukan pembatasan masalah yaitu estimasi

parameter model ARFIMA menggunakan metode Exact Maximum Likelihood

(EML), dan peramalan suku bunga SBI dilakukan dari periode 430 sampai

dengan periode 433, yaitu dari tanggal 19 Agustus 2009 sampai dengan 9

September 2009.

1.4 Tujuan Penulisan

Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Dapat menentukan model ARFIMA untuk data suku bunga SBI.

2. Meramalkan suku bunga SBI untuk 4 periode ke depan dengan

menggunakan model ARFIMA.

1.5 Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah model peramalan data

dapat diketahui, sehingga dapat digunakan sebagai acuan para pelaku pasar dalam

melakukan investasi.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Analisis Time Series

Time Series merupakan pengamatan terurut waktu atau barisan yang

tergantung pada waktu dari observasi suatu variabel yang diamati. Pemodelan

time series memerlukan asumsi bahwa data dalam keadaan stasioner. Time series

dikatakan stasioner jika tidak ada perubahan dalam mean dan perubahan variansi.

Misal {푌 } merupakan suatu variabel random. Menurut Wei (1990), {푌 }

dikatakan strictly stasioner jika

1. 휇 = 퐸{푌 } = 휇 (mean konstan)

2. Jika 퐸(푍 ) < ∞, maka 휎 = {푌 − 휇} = 휎 (variansi konstan)

3. {푍 ,푍 } = 퐸{[푍 − 휇][푍 − 휇]} = 훾 untuk setiap t dan k bilangan

bulat.

Dalam pemodelan time series sering ditemukan kondisi dengan mean tidak

stasioner, sehingga diperlukan suatu cara untuk menstasionerkan data yaitu

dengan cara pembedaan atau biasa ditulis (1 − 퐿) . Pembedaan ini dilakukan agar

dapat mengatasi korelasi antara 푌 dengan푌 , dengan k yang cukup besar. Pada

memori jangka pendek, pembedaan dilakukan dengan d bernilai bilangan bulat,

sedangkan pada memori jangka panjang, pembedaan dilakukan dengan d bernilai

bilangan riil.

Dalam pemodelan time series juga sering ditemukan kondisi dengan

variansi tidak stasioner atau tidak konstan. Untuk menstasionerkan data dalam

variansi dapat dilakukan dengan transformasi data sehingga didapatkan data yang

stasioner dalam variansi. Salah satu transformasi yang biasa digunakan adalah

transformasi Box-Cox (power transformation). Transformasi Box-Cox (Wei,

1990) untuk beberapa nilai yang sering digunakan ditampilkan pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1. Transformasi Box-Cox

Nilai estimasi 휆 Transformasi

-1 1푌

-0.5 1푌

0 ln푌

0.5 푌

1 푌 (tidak ada transformasi)

휆 푌

2.2. Autokorelasi dan Autokorelasi Parsial

2.2.1. Fungsi Autokorelasi (ACF)

Menurut Wei (1990), {푌 } yang stasioner akan mempunyai nilai mean

퐸[푌 ] = 휇, dan variansi 푉푎푟(푌 ) = 퐸(푌 − 휇) = 휎 yang mempunyai nilai-nilai

yang konstan, serta kovariansi 퐶표푣(푌 ,푌 ) merupakan fungsi dari perbedaan

waktu (푡 − 푠). Kovariansi antara 푌 dan 푌 dapat ditulis sebagai

훾 = 퐶표푣(푌 ,푌 ) = 퐸[(푌 − 휇)(푌 − 휇)]

sedangkan autokorelasi antara 푌 dan 푌 dapat ditulis sebagai

휌 =퐶표푣(푌 ,푌 )

푉푎푟(푌 ) 푉푎푟(푌 ) ,

dengan 푉푎푟(푌 ) = 푉푎푟(푌 ) = 훾 , sehingga didapatkan

휌 =훾훾 .

Menurut Wei (1990), untuk suatu proses yang stasioner, fungsi

autokovariansi 훾 dan fungsi autokorelasi 휌 memenuhi sifat

1. 훾 = 푉푎푟(푌 ), 휌 = 1

2. |훾 | ≤ 훾 , |휌 | ≤ 1

3. 훾 = 훾 , 휌 = 휌 , untuk semua nilai k.

2.2.2. Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)

Fungsi autokorelasi parsial berguna untuk mengukur tingkat keeratan

hubungan antara 푌 dan 푌 setelah dependensi linear dalam variabel

푌 ,푌 , … ,푌 telah dihilangkan. Menurut Wei (1990), fungsi autokorelasi

parsial (PACF) dapat dinyatakan sebagai

휙 = 퐶표푟푟(푌 ,푌 |푌 , … ,푌 )

=휌 − ∑ 휙 , 휌

1 − ∑ 휙 , 휌

dengan 휙 = 휙 , −휙 휙 , , untuk j=1,2,…,k-1.

2.3. Model Time Series Stasioner

2.3.1. Model Autoregressive (AR)

Model runtun waktu autoregressive merupakan suatu observasi pada waktu

t yang dinyatakan sebagai persamaan linear terhadap p waktu sebelumnya

ditambah dengan sebuah variabel random 푎 . Dalam bentuk persamaan, model ini

dapat dinyatakan dengan

푌 = 휙 푌 + 휙 푌 + ⋯+ 휙 푌 + 푎 .

Diasumsikan {푎 } variabel random yang berdistribusi identik dan

independen, dengan mean nol untuk setiap t, akibatnya 퐸[푌 ] = 0 dan 푉푎푟(푌 )

konstan (Cryer, 1986).

Fungsi autokorelasi pada model AR dicari dengan mengalikan 푌 pada

kedua sisi persamaan AR(p) dan dicari ekspektasinya

퐸(푌 푌 ) = 퐸(휙 푌 푌 ) + ⋯+ 퐸 휙 푌 푌 + 퐸(푌 푎 )

훾 = 휙 훾 + ⋯+ 휙 훾 ,푘 > 0

dengan nilai 퐸(푌 푎 ) = 0 untuk 푘 > 0. Dengan membagi persamaan di atas

dengan 훾 diperoleh fungsi autokorelasinya

ρ = ϕ ρ + ⋯+ ϕ ρ , untuk k = 1,2, …

Pada proses ini kurva fungsi autokorelasinya akan turun secara

eksponensial atau menyerupai gelombang sinus. Fungsi autokorelasi parsial untuk

model AR adalah

휙 = 0, 푘 > 푝

Pada proses ini autokorelasi parsial bernilai nol setelah lag p atau kurva

akan terputus setelah suku ke-p. untuk setiap proses, kurva estimasi akan

dipandang sebagai himpunan parameter-parameter terakhir yang diperoleh jika

berturut-turut model AR(p), p=1,2,… digunakan pada data.

2.3.2. Model Moving Average (MA)

Pada model moving average, observasi pada waktu t dinyatakan sebagai

kombinasi linear dari sejumlah variabel random 푎 . Menurut Cryer (1986), model

dari moving average dapat ditulis

푌 = 푎 − 휃 푎 − 휃 푎 −⋯− 휃 푎 .

Diasumsikan {푎 } variabel random yang berdistribusi identik dan

independen, dengan mean nol untuk setiap t. akibatnya 퐸[푌 ] = 0 dan 푉푎푟(푌 )

konstan.

Untuk proses MA(q) variansinya adalah 푉푎푟(푌 ) = 휎 ∑ 휃 , dengan

nilai 휃 = 1 dan autokovariansinya adalah

훾 = 휎 −휃 + 휃 휃 + ⋯+ 휃 휃 ,푘 = 1,2, … ,푞0 , 푘 > 푞

sehingga diperoleh fungsi autokorelasinya

휌 =−휃 + 휃 휃 + 휃 휃 + ⋯+ 휃 휃

1 + 휃 + 휃 + ⋯+ 휃 , 푘 = 1,2, … , 푞

0 ,푘 ≥ 푞 + 1

Pada grafik fungsi autokorelasi akan bernilai nol setelah lag q, dan grafik

fungsi autokorelasi parsial akan turun secara eksponensial atau membentuk

gelombang sinus untuk k yang semakin besar.

2.3.3. Model Autoregressive Moving Average (ARMA)

Untuk mendapatkan parameter parsimony (model mempunyai parameter

yang sedikit), terkadang kedua bentuk autoregressive dan moving average perlu

dimasukkan dalam model. Dengan demikian, model dapat ditulis dalam bentuk

푌 = 휙 푌 + ⋯+ 휙 푌 + 푎 − 휃 푎 −⋯− 휃 푎

atau bisa ditulis sebagai

휙(퐿)푌 = θ(L)푎

dengan 휙 (퐿) = 1 − 휙 퐿 − ⋯−휙 퐿 dan 휃 (퐿) = 1 − 휃 퐿 −⋯− 휃 퐿 .

Model ini disebut sebagai model Autoregressive Moving Average orde (p,q), atau

biasa disebut sebagai model ARMA(p,q), dimana p dan q masing-masing

menunjukkan orde dari proses autoregressive dan moving average (Cryer, 1986).

2.4. Model Time Series Tidak Stasioner

2.4.1. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Apabila pola data stasioner terhadap mean tidak dipenuhi maka perlu

dilakukan suatu cara untuk membuat menjadi stasioner. Runtun waktu yang tak

stasioner dapat diubah menjadi stasioner dengan melakukan pembedaan.

Secara umum proses pembedaan pada suatu data runtun waktu dengan orde

d dapat ditulis

푊 = (1− 퐿) 푌 ,

dengan nilai d=1,2,…,n. Proses pembedaan orde pertama dapat ditulis

푊 = (1− 퐿) 푌 = 푌 − 푌 ,

dengan 푌 adalah observasi pada waktu ke-t, t=1,2,…,n

푌 adalah observasi pada satu periode sebelumnya (t-1)

푊 adalah data setelah pembedaan.

Apabila pola data stasioner dalam variansi tidak dipenuhi, maka dapat

dilakukan transformasi data untuk menstasionerkan datanya.

Model ARIMA pertama kali diperkenalkan oleh Box-Jenkins pada tahun

1970 (Cryer, 1986). Bentuk umum ARIMA (p,d,q) adalah

휙(퐿)(1− 퐿) 푌 = θ + θ(퐿)푎

dengan

1. 휙(퐿) dinamakan operator autoregressive.

2. 휙(퐿)(1− 퐿) dinamakan operator generalized autoregressive non

stasioner.

3. θ(퐿) dinamakan operator moving average yang diasumsikan invertible.

2.4.2. Model ARFIMA (p,d,q)

Proses ARMA sering dinyatakan sebagai proses memori jangka pendek

(short memory) karena autokorelasi antara 푌 dan 푌 turun sangat cepat untuk

푘 → ∞. Dalam kasus-kasus tertentu, autokorelasi turun lambat secara hiperbolik

untuk lag yang semakin besar. Hal ini menunjukkan masih ada hubungan antara

pengamatan yang jauh terpisah atau memiliki ketergantungan jangka panjang

(long memory).

Suatu proses stasioner dengan fungsi autokorelasi 휌 dikatakan sebagai

proses memori jangka panjang jika lim →∞∑ |휌 | tidak konvergen (Hosking,

1981).

Penyelidikan terhadap proses memori dapat diamati pada fungsi

autokorelasi. Deret berkala 푍 dikatakan mengikuti proses memori jangka pendek

jika

lim→∞

|휌 | < ∞

dan akan mengikuti proses memori jangka panjang jika

lim →∞ ∑ |휌 | = ∞.

Model ARFIMA merupakan pengembangan dari model ARIMA. Suatu

proses dikatakan mengikuti model ARFIMA jika nilai d adalah riil. ARFIMA

disebut juga ARIMA yang nilai d tidak hanya berupa nilai integer, melainkan

termasuk juga nilai-nilai riil yang disebabkan oleh adanya memori jangka

panjang. Menurut Doornik dan Ooms (1999), model ARFIMA(p, d, q) dapat

ditulis

휙(퐿)훻 푌 = θ(L)푎 , 푡 = 1, 2, … ,푇

dengan level integrasi d merupakan bilangan riil dan 푎 ~퐼퐼퐷(0,휎 ). Filter

pembeda 훻 pada rumus di atas disebut Long Memory Filter (LMF) yang

menggambarkan adanya ketergantungan jangka panjang dalam deret. Filter ini

diekspansikan sebagai deret Binomial

∇ = (1 − 퐿) = 푑푗 (−1) 퐿

∞

, 푑 > 푗

dengan 푑푗 = !

!( )!= ( )

( ) ( ) dan Γ(푥) merupakan fungsi gamma,

sehingga

∇ = 푑0

(−1) 퐿 + 푑1

(−1) 퐿 + 푑2

(−1) 퐿 + ⋯

=푑!

0! (푑 − 0)!퐿 −푑!

1! (푑 − 1)!퐿 +푑!

2! (푑 − 2)!퐿 + ⋯

= 1− 푑퐿 −12

(1 − 푑)푑퐿 −16

(2− 푑)(1− 푑)푑퐿 + ⋯

Asumsi-asumsi pada deret yang terintegrasi fraksional yang harus dipenuhi

menurut Sowell (1992) adalah

1. 휙(퐿) mempunyai orde kurang dari atau sama dengan p, 휃(퐿) mempunyai

orde kurang dari atau sama dengan q, akar-akar 휙(퐿) dan 휃(퐿) di luar unit

circle dan 푎 ~퐼퐼퐷푁(0,휎 ).

2. |푑| <

3. akar-akar dari 휙(퐿) sederhana, atau dengan kata lain akar-akar polynomial

autoregressive tidak berulang.

Suatu proses dikatakan mengikuti model ARFIMA jika level integrasi

yang ada dalam model adalah riil. Menurut Hosking (1981), karakteristik deret

yang fractionally integrated untuk berbagai nilai d adalah

1. |푑| ≥ menyatakan proses panjang dan tidak stasioner.

2. 0 < 푑 < menyatakan proses berkorelasi panjang stasioner dengan

adanya ketergantungan positif antar pengamatan yang terpisah jauh yang

ditunjukkan dengan autokorelasi positif dan turun lambat dan mempunyai

representasi moving average orde tak hingga.

3. − < 푑 < 0 menyatakan proses berkorelasi panjang stasioner dengan

memiliki ketergantungan negatif yang ditandai dengan autokorelasi negatif

dan turun lambat serta mempunyai representasi autoregressive orde tak

hingga.

4. 푑 = 0 menyatakan proses berkorelasi pendek.

Untuk fungsi autokovariansi dan autokorelasi dapat dicari sebagai berikut.

Fungsi autokovariansi dari {푌 } adalah

훾 = 퐸(푌 ,푌 ) =(−1) (−2푑)!

(푘 − 푑)! (−푘 − 푑)!.

sehingga fungsi autokorelasi dari {푍 } adalah

휌 =훾훾 =

(−푑)! (푘 + 푑 − 1)!(푑 − 1)! (푘 − 푑)! , 푘 = 0, ±1, …

dengan 훾 = ( )!{( )!}

serta 휌 = .

Ketika memodelkan time series memori jangka panjang, model ARFIMA

memberikan hasil yang tidak dapat diperoleh dengan model tak fraksional

ARIMA. Parameter pembedaan fraksional menangkap adanya fenomena jangka

panjang tanpa menimbulkan masalah-masalah yang berkaitan dengan model

ARMA. Menurut Sowell (1992), masalah yang mungkin muncul dalam

memodelkan time series jangka panjang dengan ARMA antara lain

1. dengan menggunakan model ARMA untuk menangkap fenomena jangka

panjang, apabila parameter AR atau MA mampu menangkap fenomena

jangka panjang maka pendekatan untuk jangka pendek akan terabaikan.

Sebagai contoh, dengan parameter AR(1) tidak mungkin dapat

memodelkan korelasi yang tinggi pada siklus sepuluh tahunan. Masalah

yang sama muncul dalam memodelkan ketergantungan jangka panjang

yang negatif.

2. sebaliknya, jika dugaan akan adanya fenomena jangka panjang pada deret

diabaikan untuk mendapatkan model yang lebih baik untuk fenomena

jangka pendek, maka tidak ada cara yang tepat dalam menggambarkan

parameter AR dan MA untuk menggambarkan karakteristik jangka

panjang pada deret, walaupun sebenarnya peneliti menemukan fenomena

jangka panjang pada deret.

Model ARFIMA (p,d,q) lebih dapat diterima bahkan untuk permasalahan

tidak fraksional ARMA (p,q). Model ARFIMA akan tak stasioner jika 푑 ≥ .

Bagaimanapun juga ketergantungan jangka panjang ini berhubungan dengan

seluruh 푑 > 0 yang menangkap fenomena jangka panjang tanpa berpengaruh

terhadap jangka pendeknya.

Keuntungan yang didapat jika menggunakan model ARFIMA (p, d, q)

menurut Sowell (1992) adalah

1. mampu memodelkan perubahan yang tinggi dalam jangka panjang (long

term persistence).

2. mampu menjelaskan struktur korelasi jangka panjang dan jangka pendek

sekaligus.

3. mampu memberikan model dengan parameter yang lebih sederhana

(parsimony) baik untuk data dengan memori jangka panjang maupun

jangka pendek.

Langkah-langkah yang ditempuh dalam pemodelan ARFIMA adalah

estimasi parameter, pengujian parameter, pengujian diagnostik model, pemilihan

model terbaik, serta peramalan model ARFIMA.

1. Estimasi Parameter

Menurut Doornik dan Ooms (1999), ada beberapa metode estimasi

parameter model ARFIMA antara lain Geweke dan Porter Hudak (GPH), Non-

Linear Least Square (NLS), Exact Maximum Likelihood (EML) dan Modified

Profile Likelihood (MPL). Pada penelitian ini, akan digunakan metode EML.

Fungsi autokovariansi dari model ARMA stasioner dengan mean 휇 adalah

훾 = 퐸[(푦 − 휇)(푦 − 휇)].

Didefinisikan matriks kovariansi dari distribusi bersama

푦 = [푦 , 푦 , … ,푦 ]′ adalah

푉[푦] =

⎣⎢⎢⎢⎡

훾 훾훾 훾

… 훾 훾훾

⋮훾훾 훾

⋮

…훾

훾 훾 ⎦⎥⎥⎥⎤

= ∑

dengan 푉[푦] merupakan suatu matriks Toeplitz simetris, dinyatakan dengan

푇[훾 ,훾 , … ,훾 ] dan diasumsikan berdistribusi normal 푦~푁 (휇,∑).

Berdasarkan persamaan pada model ARFIMA dengan 푦~푁 (휇,∑), fungsi

densitas probabilitasnya adalah

푓(푦,∑) = (2휋) / |∑|푒푥푝 − 푦′∑ 푦

dengan adalah matriks kovariansi.

Penaksiran parameter model dengan metode EML dilakukan dengan

membentuk fungsi log-likelihood dari parameter model. Dengan 푧 = 푦 − 휇,

fungsi tersebut dinyatakan sebagai

log퐿 (푑,휙, 휃,휎 ) = −푇2 log(2휋)−

12 log|∑| −

12 푧

′∑ 푧.

dengan ∑ = 퐑휎 , maka persamaan menjadi

log퐿 (푑,휙, 휃,휎 ) = −푇2 log(2휋)−

12 log|퐑휎 |−

12휎 푧 ′퐑 푧

= −푇2 log(2휋)−

12 log(휎 ) −

12 log|퐑|−

12휎 푧 ′퐑 푧

= −푇2 log(2휋)−

푇2 log(휎 ) −

12 log|퐑| −

12휎 푧 ′퐑 푧.

Nilai maksimum didapatkan dengan melakukan diferensiasi pada fungsi

log-likelihood di atas terhadap 휎 .

휕(log퐿(푑,휙, 휃,휎 ))휕휎 = − + 푧 ′퐑 푧.

Jika turunan pertama tersebut disamadengankan nol, maka persamaan di

atas menjadi

− = − 푧 ′퐑 푧

sehingga didapat

휎 = 푇 푧 ′퐑 푧.

2. Pengujian parameter

Uji signifikansi parameter model dilakukan untuk membuktikan bahwa

model yang didapatkan cukup memadai. Bila estimasi parameter pada model

ARFIMA adalah , sedangkan estimasi standar error dari estimasi parameter

adalah , maka hipotesis yang digunakan dalam pengujian parameter adalah

i. H0: 휃 = 0 (parameter tidak berpengaruh terhadap model)

H1: 휃 ≠ 0 (parameter berpengaruh terhadap model)

ii. statistik uji

푡 =휃

푆퐸 휃

iii. kaidah pengambilan keputusan. Tolak H0 jika 푡 > 푡 ( ), dengan n

adalah banyaknya observasi, dan p adalah jumlah parameter yang ditaksir.

3. Pengujian Diagnostik Model

Suatu model dibangun dengan batasan-batasan (asumsi), sehingga

kesesuaian model juga dipengaruhi oleh pemenuhan asumsi-asumsi yang telah

ditetapkan. Hal ini bertujuan untuk mengetahui apakah model yang telah

diestimasi cukup cocok dengan data runtun waktu yang diramalkan.

Pada pengujian diagnostik ini dilakukan analisis nilai sisa. Model dikatakan

memadai jika nilai sisa adalah white noise, yaitu nilai sisa mempunyai mean

nol dan variansi konstan, serta nilai sisa tidak berkorelasi. Selain itu nilai sisa

juga harus memenuhi asumsi distribusi normal. Apabila ternyata model tidak

memenuhi asumsi tersebut, maka harus dirumuskan kembali model yang baru,

yang selanjutnya diestimasi dan parameternya diuji kembali.

1) Asumsi non autokorelasi pada nilai sisa

Untuk mengetahui apakah autokorelasi dari nilai nilai sisa berbeda dengan

nol atau tidak, bisa dilakukan uji Ljung-Box dengan hipotesis

i. H0: 휌 = 휌 = ⋯ = 휌 = 0 (tidak ada korelasi antar nilai sisa)

H1: Minimal ada satu nilai 휌 ≠ 0; 푖 = 1,2, … , 푘

ii. statistik uji

푄 = 푛(푛 + 2) (푛 − 푘) 휌

dengan 휌 merupakan ACF dari nilai sisa pada lag k.

iii. kaidah pengambilan keputusan. Tolak H0 jika 푄 > χ( ; ), atau 푝 −

푣푎푙푢푒 < 훼 dimana k adalah maksimum lag (Wei, 1990).

2) Asumsi nilai sisa berdistribusi normal

Uji Kolmogorof-Smirnov dapat digunakan untuk melihat apakah nilai sisa

berdistribusi normal. Jika 푆( ) menyatakan distribusi empirik sampel acak yang

nilainya merupakan fungsi peluang kumulatif dan 퐹( )∗ menyatakan distribusi

normal dengan mean dan variansi tertentu, 푥 ∼ 푁(휇,휎 ), maka hipotesis yang

digunakan adalah

i. H0: 퐹( ) = 퐹( )∗

H1:퐹( ) ≠ 퐹( )∗

ii. statistik uji

퐷 = 푠푢푝 퐹( )∗ − 푆( )

dengan D merupakan supremum pada setiap x dari absolut selisih 퐹( )∗ − 푆( ).

iii. kaidah pengambilan keputusan. Tolak H0 jika 퐷 ≥ 퐾 , atau 푝 − 푣푎푙푢푒 < 훼,

dimana 퐾 adalah nilai tabel Kolmogorof-Smirnov pada kuantil (1− 훼).

4. Pemilihan Model Terbaik

Suatu model setelah diidentifikasi memungkinkan terbentuknya lebih dari

satu model yang sesuai. Untuk memilih model terbaik pada analisis time series,

kriteria pemilihan model biasanya didasarkan pada statistik yang diperoleh dari

nilai sisa. Pada penelitian ini kriteria pemilihan model didasarkan pada nilai sisa

yaitu Mean Square Error (MSE), Mean Absolute Percentage Error (MAPE), serta

Akaike Info Criterion (AIC).

1) MSE

푀푆퐸 =∑ 푒푛 − 푝

dengan 푒 adalah nilai sisa.

푝 adalah banyak parameter.

푛 adalah banyaknya nilai sisa.

Nilai MSE juga merupakan nilai estimasi dari variansi nilai sisa 휎 . Sehingga

model yang baik adalah model yang memiliki nilai MSE kecil, karena dengan

nilai MSE kecil berarti nilai estimasi hampir sama dengan nilai sesungguhnya

(Makridakis dan Wheelwright, 1995).

2) MAPE

MAPE adalah rata-rata persentase absolut dari kesalahan peramalan, oleh

karena itu, semakin kecil nilai MAPE maka nilai ramalan akan semakin

akurat. Untuk menghitung MAPE digunakan persamaan

푀퐴푃퐸 =1푛

푌 − 푌푌 × 100%

dengan adalah nilai aktual dan adalah nilai ramalan (Makridakis dan

Wheelwright, 1995).

3) AIC

Akaike pada tahun 1973 memperkenalkan suatu pemilihan model terbaik

selain MSE. AIC digunakan untuk menemukan model yang dapat

menjelaskan data dengan parameter bebas yang minimum. Model yang dipilih

adalah model dengan nilai AIC terendah. Wei (1990) menjelaskan untuk

menghitung AIC digunakan persamaan

퐴퐼퐶 = 푛 ln휎 + 2푝

dengan n : banyaknya observasi.

5. Peramalan Model ARFIMA

Menurut Doornik dan Ooms (1999), 푦 = (푦 ,푦 , … 푦 )′ adalah nilai-nilai

pengamatan setelah estimasi. Diasumsikan y adalah stasioner dan d > -1, maka

prediksi linear terbaik dari y adalah

푦 = [푟(푇 − 1 + ℎ) … 푟(ℎ)]{풯[푟(0), … , 푟(푇 − 1)]} 푦 = 푞′푦

yang terdiri dari kebalikan fungsi autokovarian dikalikan dengan data

aslinya yang diboboti oleh korelasinya. MSE peramalannya adalah

푀푆퐸[푦 ] = 휎 [푟(0) − 풓′풒].

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1. Bahan Penelitian

Sesuai dengan permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini, maka

bahan yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Jurnal dan buku referensi yang terkait dengan permasalahan.

2. Data sekunder Suku Bunga SBI yang diterbitkan oleh Bank Indonesia melalui

http://www.bi.go.id, yang berupa data mingguan dari periode 21 Juni 2000

sampai 12 Agustus 2009.

3. Software yang digunakan adalah Ox Metrics, dan Minitab 13.

3.2. Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi kasus. Studi

kasus adalah menerapkan teori yang telah dipelajari untuk menganalisis data.

Untuk mencapai tujuan penulisan skripsi ini, ditempuh langkah-langkah

sebagai berikut.

1. Analisis pola data

Pada tahap ini, dilakukan identifikasi awal model ARFIMA dengan cara

a. Membuat plot time series data Suku Bunga SBI untuk mengetahui apakah

data tersebut sudah stasioner atau belum.

b. Melakukan transformasi jika ada data yang tidak stasioner dalam variansi.

c. Membuat plot ACF dan PACF data yang telah ditransformasi untuk

mengetahui adanya ketergantungan jangka panjang.

2. Pemodelan ARFIMA

Tahapan-tahapan dalam pemodelan ARFIMA adalah sebagai berikut.

a. Estimasi parameter

Estimasi parameter model ARFIMA menggunakan metode Exact

Maximum Likelihood (EML).

b. Uji diagnostik

Pada tahap ini diuji apakah residual memenuhi asumsi white noise dan

berdistribusi normal.

c. Pemilihan model terbaik

Model yang telah memenuhi syarat (parameter signifikan, residual

memenuhi asumsi white noise dan berdistribusi normal) akan

dibandingkan berdasarkan kriteria MSE, MAPE, dan AIC.

3. Peramalan

Membuat ramalan Suku Bunga SBI untuk 4 periode ke depan dengan

menggunakan model ARFIMA yang diperoleh.

Langkah-langkah di atas dapat ditunjukkan dalam Gambar 3.1.

Gambar 3.1. Diagram alur penelitian

BAB IV

PEMBAHASAN

4.1. Deskripsi Data

Suku bunga adalah persentase dari pokok utang yang dibayarkan sebagai

imbal jasa (bunga) dalam suatu periode tertentu. Sertifikat Bank Indonesia (SBI)

adalah surat berharga yang dikeluarkan oleh Bank Indonesia sebagai pengakuan

Transformasi

Identifikasi ARFIMA (p,d,q)

ACF

Tidak Stasioner Stasioner

Estimasi Parameter

Pemilihan Model Terbaik

Uji Diagnostik

Peramalan

Tidak memenuhi

Memenuhi

Data

Plot Data

utang berjangka waktu pendek (1-3 bulan) dengan sistem diskonto atau bunga.

SBI merupakan salah satu mekanisme yang digunakan Bank Indonesia (BI) untuk

mengontrol kestabilan nilai Rupiah. Ketika suku bunga dinaikkan, maka orang

akan tertarik untuk menyimpan uang di bank, sehingga akan mengurangi jumlah

uang beredar (http://www.wikipedia.org).

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data mingguan suku

bunga SBI dalam kurun waktu 21 Juni 2000 – 12 Agustus 2009, yang sebagian

terlampir dalam Lampiran 1, dengan 423 data untuk membangun model dan 6

data untuk pengujian model. Plot time series data suku bunga SBI disajikan dalam

Gambar 4.1.

Gambar 4.1. Plot time series data suku bunga SBI

4.2. Analisis Pola Data

Berdasarkan Gambar 4.1, pergerakan data suku bunga SBI berubah tiap

waktu serta mengindikasikan bahwa data suku bunga SBI mingguan tidak

stasioner dalam variansi.

02468

101214161820

Gambar 4.2. Plot ACF data suku bunga SBI

Berdasarkan Gambar 4.2 terlihat bahwa plot ACF mengindikasikan data

mengalami trend, sehingga data tidak stasioner dalam mean. Plot time series pada

Gambar 4.1 mengindikasikan data suku bunga SBI mingguan tidak stasioner

dalam variansi. Oleh karena itu, dilakukan transformasi data karena syarat

pemodelan time series adalah stasioner dalam variansi. Transformasi data yang

digunakan adalah transformasi Box-Cox. Plot Box-Cox data suku bunga SBI

disajikan dalam Gambar 4.3.

Gambar 4.3. Plot Box-Cox untuk data suku bunga SBI

Berdasarkan Gambar 4.3 terlihat bahwa lambda estimasi sebesar 0,337,

maka dalam penelitian ini, transformasi yang digunakan adalah transformasi

푌 . , sehingga untuk analisis selanjutnya digunakan data hasil transformasi.

Plot time series data suku bunga SBI setelah transformasi dapat dilihat pada

Gambar 4.4.

Gambar 4.4. Plot time series data suku bunga SBI setelah transformasi

Berdasarkan Gambar 4.4 terlihat meskipun data hasil transformasi tersebut

tidak stasioner dalam variansi, namun transformasi 푌 . merupakan transformasi

yang dianggap cukup untuk menstabilkan variansi dalam data.

Plot ACF dan PACF data suku bunga setelah transformasi disajikan pada

Gambar 4.5 dan Gambar 4.6.

Gambar 4.5. ACF data suku bunga SBI setelah transformasi

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Gambar 4.6. PACF data suku bunga SBI setelah transformasi

Berdasarkan plot ACF (Gambar 4.5) yang turun menuju nol dan plot

PACF (Gambar 4.6) yang signifikan pada lag kecil, dapat diamati bahwa data

tersebut relatif baik untuk dimodelkan menurut prinsip parsimony. Berdasarkan

Gambar 4.5 juga terlihat bahwa autokorelasi turun lambat, sehingga dapat

disimpulkan bahwa data memiliki ketergantungan jangka panjang.

4.3. Pemodelan ARFIMA

4.3.1. Estimasi Parameter

Estimasi parameter ARFIMA dengan metode Exact Maximum Likelihood

dilakukan secara serentak untuk semua parameter dan diperbaiki secara iteratif.

Hal ini menyebabkan nilai estimasi parameter d bisa berbeda-beda. Berbagai

model telah dicoba berdasarkan plot ACF dan PACF. Estimasi parameter

beberapa model yang telah dicoba menggunakan software OxMetrics ditampilkan

dalam Tabel 4.1, dan sebagian outputnya terlampir dalam Lampiran 2.

Berdasarkan Tabel 4.1 terlihat bahwa semua model yang dicoba menghasilkan

estimasi parameter model yang signifikan karena p-value semua estimasi

parameter model lebih kecil dari tingkat kesalahan 훼 = 0.05.

Tabel 4.1. Estimasi parameter beberapa model ARFIMA

No. Model Arfima d MA-1 MA-2 MA-3 MA-4 MA-5

휃 휃 휃 휃 휃

1 (0,d,0) 0.499

0.000

2 (0,d,1) 0.499 0.727

0.000 0.000

3 (0,d,2) 0.499 1.034 0.651

0.000 0.000 0.000

4 (0,d,3) 0.498 1.126 0.941 0.363

0.000 0.000 0.000 0.000

5 (0,d,4) 0.498 1.013 0.875 0.530 0.358

0.000 0.000 0.000 0.000 0.001

6 (0,d,5) 0.498 0.809 0.706 0.653 0.758 0.456

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

7 (0,d,[3]) 0.499 0.767 0.000 0.000

8 (0,d,[4]) 0.499 0.746 0.000 0.000

9 (0,d,[1,3]) 0.499 0.321 0.440 0.000 0.001 0.000

10 (0,d,[2,3]) 0.499 0.260 0.590 0.000 0.001 0.000

11 (0,d,[2,4]) 0.499 0.776 0.716 0.000 0.000 0.000

12 (0,d,[1,3,4]) 0.499 0.523 0.546 0.686 0.000 0.000 0.000 0.000

13 (0,d,[5]) 0.499 0.746 0.000 0.000

14 (0,d,[1,5]) 0.499 0.419 0.403 0.000 0.000 0.000

15 (0,d,[2,5]) 0.499 0.417 0.488 0.000 0.000 0.000

16 (0,d,[3,5]) 0.499 0.255 0.488 0.000 0.003 0.000

17 (0,d,[4,5]) 0.499 0.478 0.492 0.000 0.000 0.000

18 (0,d,[1,4,5]) 0.499 0.697 0.649 0.522 0.000 0.000 0.000 0.000

19 (0,d,[1,2,4,5]) 0.499 0.616 0.274 0.624 0.365 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Berdasarkan Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa nilai parameter d berbeda-beda

untuk beberapa model, tetapi semuanya menghasilkan nilai yang positif dan

interval kepercayaan tidak melewati nilai nol. Hal ini menunjukkan parameter

pembedaan fraksional signifikan untuk digunakan. Interval kepercayaan

parameter d ditunjukkan Tabel 4.2.

Tabel 4.2. Interval kepercayaan parameter d

No. Model

ARFIMA d SE(d)

Interval Kepercayaan Batas Bawah Batas Atas

1 (0,d,0) 0.499628 0.0004844 0.4986592 0.5005968 2 (0,d,1) 0.499505 0.0006698 0.4981654 0.5008446 3 (0,d,2) 0.499294 0.0009775 0.4973390 0.5012490 4 (0,d,3) 0.498938 0.0014860 0.4959660 0.5019100 5 (0,d,4) 0.498849 0.0016200 0.4956090 0.5020890 6 (0,d,5) 0.498802 0.0016790 0.4954440 0.5021600 7 (0,d,[3]) 0.499489 0.0006934 0.4981022 0.5008758 8 (0,d,[4]) 0.499525 0.0006400 0.4982450 0.5008050 9 (0,d,[1,3]) 0.499496 0.0006835 0.4981290 0.5008630 10 (0,d,[2,3]) 0.499482 0.0007036 0.4980748 0.5008892 11 (0,d,[2,4]) 0.499370 0.0008673 0.4979628 0.5007772 12 (0,d,[1,3,4]) 0.499324 0.0009331 0.4975894 0.5010586 13 (0,d,[5]) 0.499505 0.0006702 0.4976388 0.5013712 14 (0,d,[1,5]) 0.499506 0.0006685 0.4981656 0.5008464 15 (0,d,[2,5]) 0.499475 0.0007145 0.4981380 0.5008120 16 (0,d,[3,5]) 0.499475 0.0007145 0.4980460 0.5009040 17 (0,d,[4,5]) 0.499466 0.0007277 0.4980370 0.5008950 18 (0,d,[1,4,5]) 0.499283 0.0009927 0.4972976 0.5012684 19 (0,d,[1,2,4,5]) 0.499323 0.0009344 0.4974542 0.5011918

4.3.2. Pemeriksaan Diagnostik

Pemodelan ARFIMA seperti halnya ARIMA, dibangun dengan batasan-

batasan, sehingga setelah didapatkan model dengan estimasi parameter yang

signifikan perlu dilakukan uji kesesuaian model. Pemeriksaan diagnostik yang

dilakukan meliputi uji asumsi nilai sisa white noise dan berdistribusi normal. Plot

normalitas nilai sisa model ARFIMA terlampir dalam Lampiran 3. Pengujian nilai

sisa model ARFIMA sebagian ditampilkan dalam Tabel 4.3.

Tabel 4.3. Pengujian nilai sisa model ARFIMA

No. Model ARFIMA

Non Autokorelasi

Distribusi Normal

p-value p-value 1 (0,d,0) 0.0000 0.0015

2 (0,d,1) 0.0000 0.0000

3 (0,d,2) 0.0000 0.0000

4 (0,d,3) 0.0000 0.0000

5 (0,d,4) 0.0000 0.0000

6 (0,d,5) 0.0000 0.0000

7 (0,d,[3]) 0.0582 0.0660

8 (0,d,[4]) 0.0001 0.0250

9 (0,d,[1,3]) 0.0000 0.0360

10 (0,d,[2,3]) 0.0554 0.0840

11 (0,d,[2,4]) 0.0000 0.1020

12 (0,d,[1,3,4]) 0.0000 0.1160

13 (0,d,[5]) 0.0004 > 0.1500

14 (0,d,[1,5]) 0.0000 > 0.1500

15 (0,d,[2,5]) 0.0000 > 0.1500

16 (0,d,[3,5]) 0.0000 > 0.1500

17 (0,d,[4,5]) 0.0000 0.0210

18 (0,d,[1,4,5]) 0.0000 0.0290

19 (0,d,[1,2,4,5]) 0.0000 0.1430

Hasil pengujian asumsi nilai sisa menunjukkan bahwa tidak semua model

yang didapat memenuhi asumsi white noise dan distribusi normal. Tabel 4.3

menunjukkan bahwa pemodelan ARFIMA menghasilkan 2 model yang layak

yaitu ARFIMA (0,d,[3]) dan ARFIMA (0,d,[2,3]). Program Ox model ARFIMA

(0,d,[3]) dan ARFIMA (0,d,[2,3]) terlampir dalam Lampiran 4.

4.3.3. Pemilihan Model Terbaik

Pemilihan model terbaik untuk metode ARFIMA dilakukan dengan

membandingkan MSE, MAPE, dan AIC. Model yang akan dibandingkan adalah

model yang telah memenuhi uji diagnostik nilai sisa, yaitu model ARFIMA

(0,d,[3]) dan ARFIMA(0,d,[2,3]). Ukuran kebaikan model ARFIMA pada data

suku bunga SBI ditampilkan pada Tabel 4.4.

Tabel 4.4. Ukuran kebaikan model ARFIMA pada data suku bunga SBI

Model

ARFIMA

Ukuran Kebaikan Model

MSE MAPE AIC

(0,d,[3]) 0.00052 0.12186 -4.75373

(0,d,[2,3]) 0.00048 0.12233 -4.68247

Berdasarkan nilai AIC dan MAPE, maka didapatkan model terbaik adalah

model ARFIMA (0,d,[3]) karena mempunyai nilai terkecil. Sedangkan

berdasarkan MSE, model terbaik adalah ARFIMA (0,d,[2,3]) karena memiliki

nilai terkecil.

4.3.4. Penjabaran Model Terbaik

a. Model ARFIMA (0;0.499,[3])

Model ARFIMA (0;0.499;[3]) secara matematis dituliskan sebagai

(1 − 0)(1− 퐿) . 푌∗ = (1 − 0.767퐿 )푎

dengan 푌∗ = 푌 . .

Nilai (1 − 퐿) . menggambarkan ketergantungan jangka panjang dalam

deret. Jika (1 − 퐿) . 푌∗ dianggap sebagai 푊 yang menunjukkan

ketergantungan jangka panjang, maka

푊 = 푎 − 0.767푎

dengan (1− 퐿) . dijabarkan sebagai

(1 − 퐿) . = 1 − 0.499퐿 −12

(0.499)(1− 0.499)퐿

−16

(0.499)(1− 0.499)(2− 0.499)퐿 −⋯

(1 − 퐿) . = 1 − 0.499퐿 − 0.125퐿 − 0.062퐿 −⋯.

Model ARFIMA (0;0.499;[3]) untuk data transformasi dapat dijabarkan sebagai

푊 = 푎 − 0.767푎

(1 − 퐿) . 푌∗ = 푎 − 0.767푎

(1 − 0.499퐿 − 0.125퐿 − 0.062퐿 − ⋯ )푌∗ = 푎 − 0.767푎

푌∗ − 0.499푌∗ − 0.125푌∗ − 0.062푌∗ −⋯ = 푎 − 0.767푎

푌∗ = 0.499푌∗ + 0.1259푌∗ + 0.062푌∗ + ⋯+ 푎 − 0.767푎

dengan 푌∗ = 푌 . ⟺ 푌 = 푌∗( / . ), dengan 푌∗ adalah data suku bunga SBI

setelah transformasi, dan 푌 adalah data suku bunga SBI.

b. Model ARFIMA (0;0.499;[2,3])

Model ARFIMA (0;0.499;[2,3]) secara matematis dituliskan sebagai

(1− 0)(1− 퐿) . 푌∗ = (1− 0.261퐿 − 0.591퐿 )푎

dengan 푌∗ = 푌 . .

Nilai (1 − 퐿) . menggambarkan ketergantungan jangka panjang dalam

deret. Jika (1 − 퐿) . 푌∗ dianggap sebagai 푊 yang menunjukkan

ketergantungan jangka panjang, maka

푊 = 푎 − 0.261푎 − 0.591푎

dengan (1− 퐿) . dijabarkan sebagai

(1 − 퐿) . = 1 − 0.499퐿 −12

(0.499)(1− 0.499)퐿

−16

(0.499)(1− 0.499)(2− 0.499)퐿 −⋯

(1 − 퐿) . = 1 − 0.499퐿 − 0.125퐿 − 0.062퐿 −⋯

Model ARFIMA (0;0.499;[2,3]) untuk data transformasi dapat dijabarkan sebagai

푊 = 푎 − 0.261푎 − 0.591푎

(1 − 퐿) . 푌∗ = 푎 − 0.261푎 − 0.591푎

(1 − 0.499퐿 − 0.125퐿 − 0.062퐿 − ⋯ )푌∗ = 푎 − 0.261푎 − 0.591푎

푌∗ − 0.499푌∗ − 0.125푌∗ − 0.062푌∗ −⋯ = 푎 − 0.261푎 −

0.591푎

푌∗ = 0.499푌∗ + 0.125푌∗ + 0.062푌∗ + ⋯+ 푎 − 0.261푎 −

0.591푎

dengan 푌∗ = 푌 . ⟺ 푌 = 푌∗( / . ), dengan 푌∗ adalah data suku bunga SBI

setelah transformasi, dan 푌 adalah data suku bunga SBI.

4.4. Peramalan

Setelah didapatkan model yang terbaik, langkah selanjutnya adalah

membuat ramalan. Plot nilai ramalan dan nilai aktual data suku bunga SBI

disajikan pada Gambar 4.7.

Gambar 4.7. Plot nilai ramalan dan nilai aktual data suku bunga SBI

Berdasarkan nilai ramalan yang diperoleh, selanjutnya dapat dicari nilai

MSE dan MAPE yang disajikan dalam Tabel 4.5.

Tabel 4.5. MSE dan MAPE model ARFIMA pada data uji

Model ARFIMA MSE MAPE

(0;0.499;[3]) 0.772240 0.121865

(0;0.499;[2,3]) 0.794663 0.122338

Berdasarkan Tabel 4.5 dapat dilihat bahwa nilai MSE dan MAPE data uji

untuk ARFIMA (0;0.499;[3]) lebih kecil daripada ARFIMA (0;0.499;[2,3]), maka

model yang selanjutnya digunakan untuk melakukan peramalan adalah model

0

5

10

15

20

1 43 85 127 169 211 253 295 337 379 421

data aslimodel 1model 2

ARFIMA (0;0.499;[3]). Nilai ramalan model ARFIMA (0;0.499;[3]) untuk empat

periode ke depan disajikan dalam Tabel 4.6.

Tabel 4.6. Peramalan 4 periode ke depan data suku bunga SBI

Periode Tanggal Nilai

Ramalan

Interval Kepercayaan 95% Data

Aktual Batas bawah Batas atas

430 19/8/2009 7.97% 7.63% 8.31% 7.58%

431 26/8/2009 8.06% 7.72% 8.40% 7.78%

432 2/9/2009 8.13% 7.78% 8.48% 7.83%

433 8/9/2009 8.19% 7.84% 8.54% 8.00%

Berdasarkan Tabel 4.6, peramalan menggunakan model ARFIMA

(0;0.499;[3]) menghasilkan nilai yang baik karena hampir semua nilai aktual

berada diantara batas bawah dan atas interval kepercayaan 95%.

BAB V

PENUTUP

5.1. Simpulan

Dari hasil pembahasan berdasarkan analisis data pada bab sebelumnya,

dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

1. Pemodelan dengan metode ARFIMA menghasilkan dua model yang

memenuhi uji dignostik nilai sisa yaitu ARFIMA (0,d,[3]) dan ARFIMA

(0,d,[2,3]). Dari perbandingan kedua metode, berdasarkan prinsip

parsimony serta nilai AIC dan MAPE didapatkan model yang terbaik yaitu

model ARFIMA (0;0.499;[3]) atau bisa ditulis

푌∗ = 0.499푌∗ + 0.125푌∗ + 0.062푌∗ + ⋯+ 푎 − 0.767푎

2. Dari model ARFIMA (0;0.499;[3]), diperoleh nilai ramalan suku bunga

SBI untuk periode 19 Agustus 2009, 26 Agustus 2009, 2 September 2009,

dan 9 September 2009 berturut-turut adalah 7.97%; 8.06%; 8.13%; dan

8.19%.

3. Peramalan menggunakan model ARFIMA (0;0.499;[3]) menghasilkan

nilai yang baik karena hampir semua nilai aktual berada diantara batas

bawah dan atas interval kepercayaan 95% untuk ramalan.

5.2. Saran

Saran yang dapat peneliti berikan untuk penelitian selanjutnya dapat

dilakukan

1. Peramalan data Suku Bunga SBI dengan menggunakan model ARFIMA-

GARCH dengan memperhitungkan adanya heteroskedastistas dalam data.

2. Peramalan data Suku Bunga SBI dengan menggunakan model

INARFIMA.

DAFTAR PUSTAKA

Box, G., Jenkins, G. M., and Reinsel, G. 1994. Time Series Analysis: Forecasting and Control, 3rd Edition. Prentice Hall.

Cryer, D. J. 1986. Time Series Analysis. University of Iowa, Duxbury Press, Boston.

Doornik, J. A., and Ooms, M. 1999. A Package for estimating, forecasting and Simulating ARFIMA Models: Arfima Package 1.0 for Ox. Nuffield College, Rotterdam.

Hosking, J. R. M. 1981. Fractional Differencing. Biometrika 68: 165-176.

Ishida, Ishao and Watanabe, Toshiaki. 2008. Modeling and Forecasting the Volatility of the Nikkei 225 Realized Volatility Using the ARFIMA-GARCH Model. Institute of Economic Research Hitotsubashi University, Kunitatchi Tokyo, Japan.

33

Makridakis S., dan Wheelwright, Mc Gee. 1995. Metode dan Aplikasi Peramalan. Bina Rupa Aksara, Jakarta.

Sowell, F. B. 1992. Maximum Likelihood Estimation of Stationery Univariate Fractionally Integrated Time Series Models. Journal of Econometrics 53: 165-188.

Wei, W. W. S. 1990. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. Addison Wesley Publishing Company, Inc.

http://www.wikipedia.org

http://www.bi.go.id