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1 1 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS PARTE 3: LÓGICA DE 1A. ORDEM
Prof. Cesar Augusto Tacla UTFPR/Campus Curitiba
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
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2 2 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
TÓPICOS
▪ Compromissos ontológicos e epistemológicos LPO
▪ Linguagem da LPO
▪ sintaxe
▪ semântica
▪ interpretação/denotação/substituição
▪ modelo lógico
▪ pragmática
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3 3 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
COMPROMISSOS LPO
REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS: PARTE 3
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4 4 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
▪ Compromisso ontológico é o que cada linguagem
pressupõe sobre a natureza da realidade (Russel e Norvig,
2004, pg. 235)
▪ Compromissos ontológicos da LPO ▪ O mundo é composto por
▪ objetos,
▪ de funções sobre eles e
▪ de relações entre eles;
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5 5 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
▪ Compromissos Epistemológicos
▪ Uma lógica pode ser caracterizada pelos seus compromissos
epistemológicos.
Quais os estados possíveis para as
crenças de um agente?
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6 6 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
Representação Compromissos
Ontológico
Compromissos
Epistemológico
Lógica proposicional Fatos V, F, ?
Lógica de primeira
ordem
Objetos, relações e
funções
V, F, ?
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7 7 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LINGUAGEM DA LPO
REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS: PARTE 3
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8 8 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
Elementos da linguagem
Sintaxe:
alfabeto: símbolos válidos
gramática: regras de formação de fórmulas-bem-formadas (FBF) Em inglês: WFF - well-formed formulas
Semântica: define o significado das fórmulas lógicas em termos de modelo, contexto e avaliação de fórmulas
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9 9 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Limite de expressividade da LÓGICA PROPOSICIONAL: proposições são atômicas, embora seja possível representar sentenças como a que está abaixo, falta refinamento para definir os quantificadores: Todo estudante é mais novo que pelo menos um professor. A frase diz respeito à: ser estudante; ser professor; ser mais jovem do que alguém
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10 10 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Predicados são utilizados para representar as categorias dos objetos (estudante, professor) e também a relação de ser mais jovem que. Exemplos de predicados E(paulo) Paulo é estudante P(josé) José é professor J(paulo, josé) Paulo é mais jovem que José
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11 11 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Objetos e constantes: paulo e josé são objetos (indivíduos ou particulares) do domínio. Constantes representam objetos do domínio. E(paulo) // paulo designa o objeto Paulo P(josé) // josé também é um objeto J(paulo, josé) Importante – em LPO: toda constante nomeia um objeto nenhuma constante pode nomear mais de um objeto um objeto pode ter mais de um nome ou não ter nome
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12 12 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Podemos falar dos objetos utilizando constantes, mas podemos tratá-los de forma geral com variáveis. Caso contrário, ficaríamos muito perto da LP. Variáveis: ocupam os lugares dos objetos para que possamos construir fórmulas genéricas. Exemplos de predicados com variáveis: E(X) X é estudante P(Y) Y é professor J (X, Y) X é mais jovem que Y Esta formulação genérica, pode ter diferentes instanciações: X=joão, Y=pedro, …
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13 13 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Quantificadores: ainda não conseguimos representar com o grau de refinamento nosso exemplo inicial. Para tanto, gostaríamos de representar a quais particulares uma sentença diz respeito: se a todos os particulares ou se um ou mais. Os quantificadores permitem expressar, ainda que de maneira grosseira, algo sobre a quantidade dos particulares que satisfazem alguma condição.
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14 14 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Universal: quando queremos expressar algo sobre todos os particulares/objetos. Em linguagem natural utilizamos: todos, cada um, todas as coisas ou qualquer um(a).
Exemplo: Todos objetos são quadrados.
∀𝑥(𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑥 ) Exemplo: Todo aluno da UTFPR é inteligente.
∀𝑥(𝐴𝑙𝑢𝑛𝑜 𝑥 → 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑙𝑖𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 )
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15 15 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Existencial: quando queremos expressar algo sobre alguns dos particulares/objetos. Em linguagem natural utilizamos: existe, pelo menos um, ao menos um, algum.
Exemplo: Ao menos um estudante da UTFPR é inteligente.
∃𝒙(𝐴𝑙𝑢𝑛𝑜 𝑥 ∧ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑙𝑖𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 )
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16 16 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Universal e existencial Exemplo: Todo estudante é mais jovem de que algum professor.
∀𝑥(𝐸𝑠𝑡 𝑥 → ∃𝒚(𝑃𝑟𝑜𝑓 𝑦 ∧ 𝑀𝑎𝑖𝑠𝐽𝑜𝑣𝑒𝑚 𝑥, 𝑦 )
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17 17 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Universal e existencial
Exemplo2: frases em linguagem natural que expressam proposições equivalentes. Todos são vegetarianos. Ninguém é não-vegetariano. Não há nenhum não-vegetariano.
∀𝑥 𝑉𝑒𝑔𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑥 (S1)
∃𝒙(𝑉𝑒𝑔𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑥 ) (S2 S1)
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18 18 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Universal e existencial
Exemplo2: frases em linguagem natural que expressam proposições equivalentes. Nem todas as aves podem voar. É falso que todas as aves podem voar. Há ao menos uma ave que não voa.
(∀𝑥 𝐴𝑣𝑒 𝑥 → 𝑽ô𝑎 𝑥 ) (S1)
∃𝒙(𝐴𝑣𝑒 𝑥 ∧ 𝑉ô𝑎 𝑥 ) (S2 S1)
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19 19 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
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20 20 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE
A sintaxe de uma linguagem é definida por:
Gramática: regras para
geração de fórmulas bem-
formadas
Alfabeto: São os símbolos
lógicos e não lógicos
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21 21 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE - ALFABETO
Alfabeto: composto pelos símbolos lógicos e não lógicos
Símbolos lógicos independem do domínio da aplicação
Símbolos não-lógicos dependem do domínio modelado e são escolhidos pelo
modelador.
alfabeto
Símbolos
lógicos
Símbolos
não-lógicos
pontuação
conectivos
variáveis
predicados
funções Constantes
(caso especial = aridade zero)
proposição
(caso especial = aridade zero)
( ) , . [ ]
=
x, y, z
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22 22 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: EXEMPLO
A
1
C
3
B
2
D
4
exemplo retirado do curso on-line AIMA – Norvig e Thun
Mundo composto por peças.
Quais são os objetos?
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23 23 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: EXEMPLO
OBJETOS DO DOMÍNIO
A
1
2
B
2
C
3
D
4
São objetos: as próprias peças, mas também podem ser objetos os números e as
letras. Desta forma, as peças são objetos complexos formados por objetos menores.
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24 24 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: ALFABETO
Símbolos de função (não-lógicos)
▪ Funções mapeiam objetos para objetos
▪ Constantes são funções de aridade-zero;
Duas constantes diferentes podem corresponder ao mesmo objeto
▪ Uma função representa UM OBJETO.
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25 25 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: ALFABETO
Símbolos de função (não-lógicos)
A
1
C
3
B
2
D
4
Constantes
a
b
a1
dois
função
numDaPeça(X)
a 1
a1 1
b 2
1
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26 26 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: ALFABETO
Símbolos de predicados (não lógicos)
Um predicado representa uma CATEGORIZAÇÃO
ou uma RELAÇÃO entre objetos.
Proposições
HáConsoante = {( )}
cjto com uma tupla com zero elementos – V
cjto sem tupla – F (não tem consoante)
Predicados unários (monádicos)
Vogal(X) = {A}
Predicados binários (diádicos)
Acima(X, Y) = {(a,b), (a,d), (c, b), (c, d)}
Aqui a, b, c e d representam os objetos em si
A
1
2
B
2
C
3
D
4
peça vogal
acima
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27 27 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
GRAMÁTICA
São as regras para construção de sentenças válidas
utilizando-se o alfabeto da linguagem
Termos
Fórmulas atômicas bem-formadas (FABFs)
Fórmulas bem-formadas (FBFs)
Sentenças
Gramática
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28 28 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
GRAMÁTICA: TERMOS
TERMOS
▪ Toda variável é um termo
▪ Toda constante é um termo
▪ Se t1, ..., tn são termos e f é um símbolo de função de aridade n>0,
então f(t1, ..., tn) é um termo
▪ Nada mais é um termo.
Termos designam objetos do domínio.
Termos não tem valor-verdade
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29 29 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: GRAMÁTICA
X é uma variável Ex. no domíno dos inteiros, X pode denotar qualquer número inteiro
a é uma constante Ex. no domíno das vogais, o símbolo ‘a’ pode denotar a vogal a
éPaiBioDe(X) é uma função é uma função de aridade 1 Ex. denota o pai de X que pode ser qualquer objeto no domínio família
éPaiBioDe(éMãeBiologicaDe(X)) “avô materno de x” termos aninhados éMãeDe(X) denota o objeto mãe de X, vamos chamar de o1 éPaiDe(o1) denota o objeto que é pai de o1
Exemplos de termos
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30 30 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
GRAMÁTICA: FÓRMULAS ATÔMICAS
Fórmulas atômicas bem-formadas (FABF)
Se t1, t2, ..., tn são termos e P é um predicado de aridade n
então P(t1, t2, ..., tn) é uma fórmula atômica bem-formada.
Se t1 e t2 são termos, então (t1=t2) é uma fórmula atômica
bem formada.
Exemplos:
Acima(a1, X)
numDaPeça(a1)=numDaPeça(Y)
Contra-Exemplo: numDaPeca(a1) é um termo
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31 31 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
GRAMÁTICA: FÓRMULAS BEM-FORMADAS
1. Toda FABF é uma FBF.
2. Se A e B são FBFs e v é uma variável então A (A B) (A B) v.A ∀v.A são FBFs
FÓRMULA BEM-FORMADA (FBF)
Subjconjunto proposicional: não há termos nem funções FABFs: somente predicados de aridade zero.
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32 32 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: GRAMÁTICA
EXEMPLOS DE FBFs
Inteligente(paiDe(x))
x.Inteligente(paiDe(x))
(Jovem(y) x.Inteligente(paiDe(x))
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33 33 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: NOTAÇÃO
Ocasionalmente parênteses podem ser omitidos É possível utilizar [ ], { } Abreviações (a b) for (a b)
Símbolos não-lógicos: Predicados: iniciam por maiúsculas Pessoa, Feliz, MaisVelhoQue Funções e constantes: iniciam por minúsculas paiDe, sucessor, joaoDaSilva
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34 34 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: SENTENÇA
ESCOPO DOS QUANTIFICADORES
Variáveis livres: estão fora do escopo dos quantificadores
Variáveis aparentes (bounded): estão no escopo dos quantificadores
(P(x) (y (x(P(y) Q(x)))))
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35 35 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
GRAMÁTICA: SENTENÇA
IMPORTANTE: embora uma variável possa ser livre e presa ao mesmo tempo, suas
ocorrências ou são livres ou são presas (exclusivamente).
(x (P(x) Q(x)) (P(x) Q(y))
x
P Q
x x
y
P
x
Q
Em azul, ocorrências livres das variáveis x e y
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36 36 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
GRAMÁTICA: SENTENÇA
SENTENÇA OU FÓRMULA FECHADA
É uma FBF sem variáveis QUE OCORREM livres.
Possui valor-verdade.
Variáveis livres representam qualquer objeto do domínio (de forma arbitrária). Deste modo, o valor-
verdade de uma fórmula com variável livre varia de acordo com o objeto que a variável livre designar.
Notação
a[v/t] significa que todas as ocorrências livres de v são substituídas pelo termo t
avt também é utilizada
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37 37 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
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38 38 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
Semântica
▪ Define o significado no mundo das fórmulas bem-formadas para, no final das contas, atribuirmos valores-verdade (F ou V).
▪ O significados de uma fórmula deriva da INTERPRETAÇÃO dos símbolos não-lógicos presentes na mesma (os símbolos lógicos tem significado fixo)
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39 39 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
Ex. vamos supor que
▪ Feliz(joao) é uma fórmula bem formada;
▪ O símbolo joao denota um indivíduo;
▪ O símbolo feliz é um predicado.
▪ Joao tem a propriedade de estar feliz.
▪ O problema é que a interpretação dada aos símbolos não lógicos (joao
e Feliz) pode variar de uma pessoa a outra
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40 40 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
▪ O exemplo anterior provavelmente não suscita diferenças
de interpretação ainda que a noção de feliz seja diferente
de pessoa para pessoa
▪ Há outros símbolos não-lógicos bem mais problemáticos
pela dificuldade de precisar seus significados ou pela
simples dificuldade de entender o ponto de vista do
modelador
▪ PaísDemocrático
▪ MelhorComidaDoMundo
▪ éBoaPessoa
▪ txN27
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41 41 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
▪ Na lógica de 1ª. Ordem não é preciso dar definições
precisas (como a de um dicionário) para os símbolos não-
lógicos, por exemplo, que um país democrático é um pais
que possui eleições, liberdade de expressão, etc.
▪ É preciso somente declarar quais objetos são países
democráticos e quais não são.
▪ Se há divergências na definição de quais são democráticos,
fala-se em diferentes interpretações
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42 42 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
A LPO assume que
Tudo que necessitamos saber são as extensões dos
predicados P e os mapeamentos das funções F para atribuir
valores-verdade às fórmulas
Em outras palavras, necessitamos
» definir quais são os objetos do domínio
» quais deles satisfazem P
» que mapeamentos definem f
Assim, é possível determinar quais sentenças em LPO são
verdadeiras e quais são falsas.
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43 43 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
INTERPRETAÇÃO
SEMÂNTICA
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44 44 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
INTERPRETAÇÃO
Em lógica de primeira-ordem, a interpretação é definida
por: ▪ Há objetos no mundo
▪ Para qqer predicado de aridade 1, alguns objetos satisfazem P outros não
▪ Predicados de aridade superior são tratados similarmente (ex. aridade 3, define
triplas de objetos que satisfazem o predicado)
▪ Funções de aridade 3 são interpretadas como mapeamentos de triplas de
objetos para objetos.
▪ Nenhum outro aspecto do mundo interessa!
Ex. mundo populado por
indivíduos onde alguns
são felizes e outros não
Feliz(x) é verdadeiro para
os indivíduos pintados.
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45 45 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
INTERPRETAÇÃO
Interpretação é um par (D, I) ▪ D = Domínio da interpretação: conjunto não vazio de objetos
▪ I = função que mapeia símbolos não lógicos para funções em D ou para
relações em D.
I[função(t1, …, tn)] [Dn → D]
I[constante] D
I[Predicado(t1, ..., tn)] Dn Dn é D1 x … x Dn
Para símbolos proposicionais
I[p] = {} ou I[p] = {<>}
Convém assumir que = I {proposições {true, false}}
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46 46 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
INTERPRETAÇÃO: EXEMPLO
▪ Interpretação é um par (D, I)
▪ Exemplo: D = {1, 2, 3, …}
▪ Interpretação de constantes ▪ I[1] = 1
▪ I[2] = 2
▪ …
▪ Interpretação de predicados ▪ I[Par] = {2, 4, 6, …}
▪ Interpretação de funções ▪ I[suc] = {(1 2), (2 3), …}
▪ ⊯ Par(3)
▪ ⊫ Par(suc(3))
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47 47 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
INTERPRETAÇÃO: EXEMPLO
Interpretação é um par (D, I)
Exemplo: considere o domínio de pessoas e
cachorros
PREDICADOS
▪ Pessoa(x) é um predicado unário
▪ Cao(x) é um predicado unário
▪ Dono(x, y) é um predicado binário que
relaciona um objeto x a um objeto y
indicando que x é dono de y
FUNÇÃO
▪ melhorAmigo(x) é uma função que mapeia
uma pessoa para seu melhor amigo
totó
catita scooby
joão
maria
Domínio
MelhorAmigo
Dono
Dono I[Pessoa] D
I[Cao] D
I[melhorAmigo] [D → D]
I[Dono] D x D
é um conjunto de pares de objetos,
onde o primeiro é uma pessoa dona
do segundo que é um cão.
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48 48 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
INTERPRETAÇÃO
▪ As funções em LPO são totais
▪
▪ Então a função MelhorAmigo, que retorna o melhor
amigo de uma pessoa, deve fazer algo razoável com
objetos que não são pessoas!
▪ I[melhorAmigo] [D D]
▪ Interpretação envolve denotação
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49 49 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
DENOTAÇÃO
SEMÂNTICA
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50 50 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
DENOTAÇÃO DE UMA VAR LIVRE
totó
catita scooby
joão
maria
Domínio
MelhorAmigo
Dono
Dono
ana
interpretação
Denotação: atribuição de valores às variáveis de uma fórmula para
podermos atribuir-lhe um valor-verdade.
Cao(x) y.Dono(y, z) x, = [x] = totó z, = [z] = totó I[Cao] = {totó, catita, scooby} I[Dono] = {(maria, catita), (maria, scooby)} A fórmula é FALSA para a e [x] = totó A fórmula é TRUE para a e [x] = catita
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51 51 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
DENOTAÇÃO
Na denotação de termos que apresentam variáveis, é preciso atribuir valores do domínio D às variáveis
▪ Se x é uma variável então a atribuição [x] é um elemento qualquer do domínio
Formalmente, a denotação de um termo t, na interpretação com a atribuição de valores representada por t, é definida por
1. Se x é uma variável então x, = [x]
2. Se t1, …, tn são termos e f é um símbolo de função de aridade n então f(t1, …, tn), = F(d1, …, dn) onde F=I(f) e di = ti,
▪ Observar que:
I(f) é a interpretação de f definida por [D x … x D D]
As regras são recursivas (um termo pode ser uma função)
t, é sempre UM ÚNICO elemento de D
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52 52 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFAÇÃO
SEMÂNTICA
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53 53 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFAÇÃO
Dada uma interpretação = (D, I) e a denotação .,,
pode-se determinar quais FBFs são verdadeiras e quais
são falsas na interpretação com a denotação .
Uma FBF verdadeira na interpretação é dita satisfeita.
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54 54 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFAÇÃO
Não satisfazível (insatisfazível): se não é satisfazível para
nenhum par (, )
Falseável: se existe algum par (, ) que não satisfaz
Válida (i.e., uma tautologia): se toda (, ) satisfaz
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55 55 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFAÇÃO
Uma FBF é satisfazível em com a atribuição . Escreve-se:
, ╞ se é uma FBF com variáveis livres ╞ quando se trata de sentenças (pode-se omitir a denotação)
Para um conjunto de sentenças S, escreve-se
╞ S
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56 56 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFABILIDADE
x.Cão(melhorAmigo(x))
A função MelhorAmigo é total.
Neste caso considera-se que na
ausência de um melhorArmigo o
próprio objeto é melhor amigo dele
mesmo (não foi representada na
figura)
Encontre um par (,) que satisfaça à fórmula.
O par (,) abaixo satisfaz a fórmula: I[Pessoa]={ana, joão, maria} I[Cão]={totó, catita, scooby} I[melhorAmigo]={ana→maria, joão→totó, maria→joão, totó→totó catita→catita, scooby→scooby] [x]=totó
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57 57 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
MODELO LÓGICO
▪ Uma interpretação é um modelo lógico de um conjunto
de sentenças S se todas as sentenças de S são verdadeiras
na interpretação com a atribuição
▪ Notação: ╞ S
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58 58 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
MODELO LÓGICO
Conjunto de sentenças S
x.Cão(melhorAmigo(x))
y.(Pessoa(y) → Pessoa(melhorAmigo(y))
Há um par (, ) que saisfaz o conjunto S?
O par (,) abaixo satisfaz a fórmula: D={joão, ana, totó, catita, scooby, maria} I[Pessoa]={ana, joão, maria} I[Cão]={totó, catita, scooby} I[melhorAmigo]={(ana→maria), (joão→maria), (maria→joão), (totó→totó) (catita→catita), (scooby→scooby)} [x]={totó} [y]={maria, joão, ana, totó, catita, scooby}
totó
catita scooby
joão
maria
Domínio
MelhorAmigo
Dono
Dono
ana
A função MelhorAmigo é total.
Neste caso considera-se que na
ausência de um melhorArmigo o
próprio objeto é melhor amigo dele
mesmo (ver cães)
Ver itens 6 e 7 do slide seguinte
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59 59 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFAÇÃO
Copyright Brachman e Levesque, pg. 22
Atribui d a v
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60 60 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
PRAGMÁTICA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
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61 61 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CONSEQUÊNCIA LÓGICA: CONCEITO
▪ Embora as regras semânticas da interpretação dependam da
interpretação dos símbolos não-lógicos, há conexões entre sentenças
em LPO que não dependem da interpretação dos símbolos não lógicos
Caso contrário, como poderíamos obter todas as interpretações?)
▪ Por exemplo, sendo γ definido por ( ), uma interpretação onde
é verdadeiro, pode-se concluir que γ é verdadeira independente de
como entendemos os símbolos e
▪ Sempre que for verdadeiro, γ também será!!!
▪ Logo, γ é uma consequência lógica de ou a verdade de γ está
implícita na verdade de
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62 62 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CONSEQUÊNCIA LÓGICA
Formalmente: é uma consequência lógica de S se e somente se é
verdadeira em todos os modelos de S
S╞ sse para toda interpretação , se ╞ S então ╞ S╞ sse para toda interpretação , se ╞ S então ╞
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63 63 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CONSEQUÊNCIA LÓGICA
De outra forma,
não há interpretação onde ╞ S { }
(i.e. S { } é insatisfazível)
Quando uma sentença é válida (em qualquer interpretação), escreve-se: ╞ Quando o conjunto S é finito, consequência lógica se reduz à validade da implicação lógica: S={1, ..., n}, então S╞ se e somente se (1 ... n) for válida
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64 64 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CONSEQUÊNCIA LÓGICA
Um KBS pode tirar conclusões interessantes?
Se Cachorro(fido) então pode concluir Mamífero(fido)???
Depende... Há interpretações onde I[Cachorro] I[Mamífero]
Não temos acesso a todas as interpretações possíveis para os símbolos lógicos...
Conjuntos infinitos de objetos!!!
Pode-se utilizar consequência lógica , se S é true na interpretação pretendida,
então também será! Se o usuário/agente enxerga um mundo que satisfaz S,
então este mundo também satisfaz
Temos que incluir relações EXPLICITAMENTE em S:
x[Cachorro(x) Mamífero(x)]
S U {Cachorro(fido)} |= Mamífero(fido)
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65 65 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CONSEQUÊNCIA LÓGICA
KB é um conjunto de sentenças:
Declaração explícita de sententeças que são acreditadas (incluindo
conexões/relações entre símbolos não-lógicos)
KB |= ,
é uma consequência adicional ao que já é acreditado, então tem-se que:
KB = conhecimento explícito
= conhecimento implícito
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66 66 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CRENÇA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA
C
B
A
c não é verde
= Dados os blocos a, b e c, há um cubo verde sobre um não verde?
cor desconhecida
verde
B
B
Dois casos possíveis
B é verde
B não é
verde
b está sobre c,
portanto há um cubo
verde sobre um não verde
a está sobre b,
portanto há um cubo
verde sobre um não verde
Ou seja, qualquer que seja a interpretação, a sentença proposta será satisfeita!
Portanto, a sentença é uma crença implícita.
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67 67 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
c
b
CRENÇA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA
Suponha que uma dada interpretação ╞ S
i.e. O conjunto de sentenças S é válido na interpretação
Caso 1
1. ╞ G(b).
2. ╞ G(b) O(b,c) G(c) daí segue que é V
Caso 2
1. ╞ G(b)
2. ╞ G(a) O(a,b) G(b) daí segue que é V
Portanto, para qualquer interpretação , se ╞ S e ╞ então a verdade
de alfa está implícita na verdade de S: S╞
a
c
b
a
S = {O(a,b), O(b,c), G(a), G (c)}
= xy[G(x) G (y) O(x,y)]
S |= ??