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CAPITULO 4
INTEGRALES
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4.1 RAPIDEZ DE CAMBIO ACUMULADA La derivada mide la rapidez de cambio de una funcin. Si conocemos la rapidez de cambio podremos hallar la funcin original? Comenzamos por considerar cmo hallar la distancia recorrida dada la funcin de velocidad. Cmo medir la distancia recorrida? La rapidez de cambio de la distancia con respecto al tiempo es la velocidad. Si nos dan la velocidad podemos hallar la distancia recorrida? Supongamos que la velocidad fue de 50 millas por hora en todo un viaje de 4 horas. Cul es la distancia total recorrida? Como
distancia = velocidad x tiempo
distancia recorrida = (50 millas/hora) x (4horas) = 200 millas Si trazamos una grfica de la velocidad contra el tiempo, como la velocidad es constante, su grfica es una recta horizontal, la recta y = 50. Por lo tanto la distancia recorrida est representada por el rea sombreada.
FIGURA 4.1 El rea sombreada representa la distancia recorrida en 4 horas a 50 millas por hora. Qu sucede cuando la velocidad no es constante? Analicemos otro caso simple. Supongamos que una persona viaja en auto a 30 millas/ hora durante 2 horas, luego a 40 millas/ hora durante 1/2 hora y por ltimo a 20 millas/ hora durante 4 horas. Qu distancia recorre? Calculamos las distancias recorridas en cada intervalo de tiempo en que la velocidad es constante y las sumamos para hallar la distancia total recorrida: distancia = (30 millas/hora) x (2horas) + (40 millas/hora) x (1/2 horas) + (20 millas/hora) x (4horas) = 60 millas + 20 millas + 80 millas = 160 millas La observacin nos muestra que 160 es la suma de las reas de los tres rectngulos de la figura 4.2. No siempre la velocidad debe ser constante en cada intervalo, como en el caso anterior; supongamos que la velocidad cambia a medida que transcurre el tiempo. Supongamos que un auto se mueve con velocidad creciente y que medimos la velocidad del auto cada dos segundos, con lo cual se obtiene la informacin de la tabla 4.1
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FIGURA 4.2
TABLA 4.1 Velocidad del auto cada dos segundos Tiempo (s) 0 2 4 6 8 10 Velocidad (pies/s) 20 30 38 44 48 50
Qu distancia ha recorrido el auto? Como no sabemos a qu velocidad se mueve el auto en cada segundo, no podemos calcular la distancia con exactitud, pero podemos hacer una estimacin. La velocidad es creciente, por lo cual el auto se mueve por lo menos a 20 pies/s en los primeros dos segundos y el auto se desplaza por lo menos 20 x 2 = 40 pies (distancia = velocidad x tiempo). Del mismo modo, avanza por lo menos 30 x 2 = 60 pies durante los siguientes dos segundos, y as sucesivamente. Durante el perodo de diez segundos recorre por lo menos
20 x 2 + 30 x 2 + 38 x 2 + 44 x 2 + 48 x 2 = 360 pies Decimos que 360 pies es una estimacin por defecto de la distancia recorrida durante los diez segundos. Nuevamente este nmero es el rea de los rectngulos marcados en la figura 4.3. Para obtener una estimacin por exceso, podemos razonar de la siguiente manera: durante los primeros dos segundos, la velocidad del auto es a lo sumo de 30 pies/s, de modo que la distancia recorrida es no ms de 30 x 2 = 60 pies. En los siguientes dos segundos la distancia recorrida es a lo sumo 38 x 2 = 76 pies, y as sucesivamente. Por lo tanto, durante el periodo de diez segundos la distancia recorrida es a lo sumo
30 x 2 + 38 x 2 + 44 x 2 + 48 x 2 + 50 x 2= 420 pies Por lo tanto
360 pies Distancia total recorrida 420 pies
Hay una diferencia de 60 pies entre la estimacin por exceso y la estimacin por defecto (figuras 4.3 y 4.4). Qu pasa si deseamos una estimacin mas precisa? Podramos hacer mediciones ms frecuentes de la velocidad: por ejemplo, cada segundo.
TABLA 4.2 Velocidad del auto cada un segundo Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Velocidad (pies/s) 20 26 30 35 38 42 44 46 48 49 50
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0 2 4 6 8 100
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tiempo
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0 2 4 6 8 100
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20
25
30
35
40
45
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tiempo
velo
cida
d
FIGURA 4.3 FIGURA 4.4 De este modo, ahora podemos decir que la nueva estimacin por defecto es:
20x1 + 26x1 + 30x1 + 35x1 + 38x1 + 42x1 + 44x1 + 46x1 + 48x1 + 49x1= 378 pies Ntese que es mucho mayor que la estimacin por defecto anterior que era de 360 pies. Nueva estimacin por exceso
26x1 + 30x1 + 35x1 + 38x1 + 42x1 + 44x1 + 46x1 + 48x1 + 49x1 + 50x1 = 408 pies Esta es menor que la estimacin por exceso anterior que era de 420 pies. Ahora sabemos que:
378 pies Distancia total recorrida 408 pies
Ntese que la diferencia entre las nuevas estimaciones por exceso y por defecto es ahora de 30 pies, que es la mitad de lo que era antes. Al reducir el intervalo de medicin, hemos reducido tambin la diferencia entre la estimacin por exceso y la estimacin por defecto.
FIGURA 4.5 0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
tiempo
velo
cida
d
El rea de los rectngulos marcados estima la distancia recorrida cuando la velocidad es medida cada 1 segundo. El rea de los rectngulos ms oscuros indica la estimacin por defecto y la diferencia (30 pies) es la indicada con color claro.
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4.2 ANTIDERIVADAS- LA INTEGRAL INDEFINIDA En el captulo 3 se estudiaron algunos problemas enunciados en la forma: dada una funcin g, determinar la derivada g. Ahora se considera el problema inverso: dada una derivada g, determinar la funcin g. Una manera equivalente de enunciar este problema es
Dada una funcin f, encontrar una funcin F tal que F= f. Supongamos que sea f (x) = 8x3. En este caso es fcil hallar una funcin F tal que F(x)=f(x). Sabemos que al derivar una potencia de x se reduce en uno el exponente, y por lo tanto, para obtener F hay que aumentar en uno el exponente dado. As, F(x) = a x4 para algn nmero a. Derivando, se obtiene F(x) = 4a x3 y para que sea igual a f (x), a debe ser igual a 2. Entonces, la funcin F definida por F(x) = 2x4 tiene la propiedad de que F = f. De acuerdo con la siguiente definicin, F es una antiderivada de f DEFINICIN 1: Una funcin F es una antiderivada de otra funcin f si F= f A veces se llama funciones primitivas a las antiderivadas. El proceso de encontrar una antiderivada se llama antiderivacin. La frase: F(x) es una antiderivada de f(x), es equivalente a decir: F es una antiderivada de f. Normalmente no se especificar el dominio de las antiderivadas. TEOREMA 1: Sean F(x) y G(x) antiderivadas de f(x) y g(x), respectivamente.
Entonces i. F(x) + G(x) es una antiderivada de f(x) + g(x)
ii. k F(x) es una antiderivada de k f(x) para cualquier nmero real k
El teorema se puede generalizar a la suma de cualquier nmero finito de funciones. Este hecho puede enunciarse como sigue: La antiderivada de la suma es la suma de las antiderivadas. Al trabajar con varias funciones a la vez el dominio se restringe a la interseccin de sus dominios. Para diferencias de funciones hay un resultado anlogo. Como la derivada de una constante es cero, si F(x) es una antiderivada de f(x), tambin lo es F(x) + C para cualquier numero C. Por ejemplo, si
f (x) = 8 x3entonces las funciones definidas por
2x4, 2x4+7, 2x4-3 y 532 4 +x
son todas antiderivadas de f. El siguiente teorema muestra que dos antiderivadas de una funcin difieren en una constante. TEOREMA 2: Si F1 y F2 son funciones derivables tales que F1'(x) = F2'(x) todo x en un intervalo cerrado [a, b], entonces
para algn nmero C y para todo x en [a, b]. CxFxF += )()( 12
Este resultado es una consecuencia del Corolario 2 del teorema del Valor Medio y la definicin de antiderivada. En la figura 4.6 se ilustra grficamente el significado
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geomtrico del Teorema. La figura muestra que si las pendientes y de las rectas tangentes a las grficas de F
)('11 xFm =)('22 xFm = 1 y F2, son iguales para todo x en
[a, b], entonces a partir de una de las grficas puede obtenerse la otra mediante un desplazamiento vertical de C unidades.
FIGURA 4.6 Si F1 y F2 son antiderivadas de una misma funcin f, por el teorema 2,
CxFxF += )()( 12 para alguna constante C. Podemos interpretar este hecho de la siguiente manera: si F es una antiderivada de f, entonces cualquier otra antiderivada de f es F(x) + C, donde C es un nmero real no especificado. F(x) +C se llama la antiderivada ms general de f (x). El teorema 2 se usa para demostrar: TEOREMA 3: Si f es una funcin tal que f(x) = 0 para todo x en [a, b] entonces f es una funcin constante en [a, b] Introducimos una notacin para la familia de antiderivadas descriptas anteriormente:
dxxf )( y definimos la integral indefinida de f.
DEFINICIN 2: La integral indefinida de f (o de f(x)) se define como
CxFdxxf += )( )( Donde F es una antiderivada de f y C es una constante arbitraria Ntese que la integral indefinida no es ms que otro simbolismo para la antiderivada ms general de f. En vez de llamar antiderivacin al proceso de encontrar F para una f dada, diremos integracin indefinida. La constante arbitraria C es la constante de integracin, f(x) es el integrando y x es la variable de integracin. Tambin se dice a veces, encontrar la integral indefinida, al proceso de obtener la antiderivada ms general F(x) + C. En general, el dominio de F no se seala explcitamente. Siempre supondremos que se ha elegido un intervalo adecuado sobre el que pueda hallarse una antiderivada de f. No
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importa el smbolo que se emplee para la variable de integracin ya que, por ejemplo, , indican la misma funcin F que duufdttf )( , )( dxxf )( . Desarrollaremos mtodos para hallar las integrales indefinidas de diversas funciones. Entre las funciones ms usadas estn las funciones potenciales. Se puede demostrar la siguiente regla de la potencia para integrales indefinidas derivando la expresin del lado derecho de la igualdad y mostrando que se obtiene el integrando.
REGLA DE LA POTENCIA PARA INTEGRALES INDEFINIDAS Si r es un nmero racional y 1r entonces
Crxdxx
r
++=+ 1 1
r
Ejemplo 1
Hallar las siguientes integrales indefinidas:
a) b) dxx 2 + dtt )t1t6-8( 2
3 c) dxxx )22( 3/23 ++ Solucin
Basta encontrar una antiderivada para cada integrando usando la Regla de la Potencia y el teorema 1y sumar una constante arbitrara C.
(a) CxCxdxx +=+= 332 313
b) Ctttdtt ++=
+ 12/364.8 t1t6-8
12/34
23 = 2 t 4 - 4 t 3/2 - t -1 + C
c) = -2 dxxx )22( 3/23 ++ Cxxx +++
23/52
3/52= Cxxx +++ 25/3 3/52
Nota:
Para evitar quedarse con errores algebraicos en el clculo de la antiderivada de una funcin, deben verificarse las soluciones de los problemas, derivando la antiderivada. En cada caso se debe obtener la expresin de la funcin original.
Por ejemplo, decimos que Cxxx ++ 7232 24 es la antiderivada mas general o
la integral indefinida de y podemos verificarlo: )(738 3 xfxx =+( ) ( )
)(0738
)(72327
232
3
2424
xfxx
CDxDxDxDCxxxD xxxxx
=++=++
=
++
Las siguientes son aplicaciones del clculo de antiderivadas.
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Aplicacin 1
Una ecuacin diferencial, es una ecuacin que contiene derivadas de una funcin desconocida y la incgnita es la funcin misma. El caso ms simple
y = h(x, y) En particular h puede no depender de y, como en el ejemplo 2. Una funcin y = f(x) es una solucin de una ecuacin diferencial si satisface la citada ecuacin; es decir, si al sustituir y por la funcin f se obtiene una igualdad. Lo que significa
h (x, f(x)) = f (x) Resolver una ecuacin diferencial significa encontrar todas sus soluciones. A veces, adems de la ecuacin diferencial, se conoce tambin un valor de la funcin f que se llama condicin inicial como se ilustra en el ejemplo siguiente. Esa condicin determinar unvocamente la solucin de esa ecuacin.
Ejemplo 2
Resolver la ecuacin diferencial con la condicin inicial .
56)(' 2 += xxxf2)0( =f
Solucin: Resolver la ecuacin dada es hallar f. Un mtodo para hallarla es calcular su antiderivada
F(x) = + dxxx )56( 2 Se obtiene entonces
Cxxxxf ++= 5212)( 23
para algn nmero C. Tomando 0=x y usando la condicin inicial dada, obtenemos:
2000)0( =++= Cf
por lo que debe ser 2=C . Por lo tanto, la solucin de la ecuacin diferencial con la condicin inicial dada es
25212)( 23 ++= xxxxf
La expresin ecuacin diferencial surge del hecho de que puede tener diferenciales en vez de derivadas. La ecuacin diferencial del Ejemplo 2 se puede escribir
56 2 += xxdxdy o bien ( )dxxxdy 56 2 += para . )(xfy =
Aplicacin 2
Si un punto P se mueve a lo largo de una recta coordenada, entonces su funcin de posicin s es una antiderivada de su funcin velocidad v; es decir, . Anlogamente, como )()(' tvts = )()(' tatv = , la funcin velocidad es una antiderivada de la funcin aceleracin. Si se conoce la velocidad o la aceleracin y se tienen suficientes condiciones iniciales, entonces puede determinarse la funcin posicin
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Ejemplo 3
Una lancha de motor se aleja del muelle a lo largo de una lnea recta con una aceleracin al tiempo t dada por 412)( = tta m/s2. En el tiempo t = 0 la lancha tena una velocidad de 8 m/s y se encontraba a 15 metros del muelle. Calcular su distancia s(t) al embarcadero al cabo de t segundos.
Solucin: Como , antiderivando obtenemos 412)(' = ttvCtttv += 46)( 2
para algn nmero C. Tomando 0=t y usando el hecho de que , 8)0( =v obtenemos C+= 008 y por lo tanto, 8=C . Entonces
846)( 2 += tttv o, equivalentemente
846)(' 2 += ttts La antiderivada ms general de s(t) es
Dtttts ++= 822)( 23
donde D es un nmero arbitrario. Tomando 0=t y usando el hecho de que, se obtiene. Por lo tanto, 15=D y 15822)( 23 ++= ttttsPara cada t, s(t) da la distancia a la que est la lancha desde el embarcadero.
REGLAS DE INTEGRACIN INDEFINIDA PARA FUNCIONES SIMPLES (i) Regla para la funcin exponencial
Caa
dxa xx +
= ln1 en particular Cedxe xx += (ii) Regla para la potencia con r = -1
Cxdxx
dxx +== ln11 (iii) Reglas para las funciones trigonomtricas
Cxdxx += cossen Cxdxx += sencos Nota En lo que sigue se darn resultados y tcnicas que permitirn calcular integrales indefinidas (o antiderivadas) de funciones un poco ms complicadas que las ya vistas.
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Habr otras funciones para las cuales se presentan realmente dificultades al intentar obtener una antiderivada, en esos casos usaremos las tablas de integracin. El siguiente teorema indica lo que sucede cuando se deriva una integral indefinida y cuando se integra una derivada TEOREMA 4
(i) )( )( xfdxxfDx =(ii) [ ] CxfdxxfDx += )( )(
Ejemplo 4
Verificamos el Teorema para el caso 2)( xxf =Solucin
(i) Si primero se integra y luego se deriva 2
32
3 xCxDdxxD xx =
+=
(ii) Si primero se deriva y luego se integra,
( ) CxdxxdxxDx +== 22 2 TEOREMA 5
(i) ; donde c es una constante. = dxxfcdxxfc )( )( (ii) +=+ dxxgdxxfdxxgxf )( )( )()(
Toda regla de derivacin se puede transformar en una regla correspondiente de integracin indefinida. Por ejemplo,
55
2
2
+=+
xxxDx implica que Cxdx
xx ++=+ 55 22
De manera anloga, puede usarse la Regla de la Cadena para obtener una regla de integracin indefinida. En efecto, sea F una antiderivada de f y sea g una funcin derivable tal que g(x) est en el dominio de F, para todo x en algn intervalo cerrado [a, b]. Consideremos la funcin compuesta definida por
F(g(x)) para todo x en [a, b]. Aplicando la Regla de la Cadena y el hecho de que F = f,
)('))(()(')).(('))(( xgxgfxgxgFxgFDx ==
Esto y el Teorema 4 parte (ii), da la frmula de integracin
CxgFdxxgxgf += ))(( )(' ))(( con F = f.
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Hay un modo sencillo de recordar esta frmula. Si se hace u = g(x) y se sustituye formalmente g(x) dx por la diferencial du, se tiene,
CuFduuf += )( )( con F = f. Como se sustituye la variable x por una nueva variable u, ste mtodo para encontrar integrales indefinidas se llama de cambio de variable o de sustitucin. Se puede resumir esta discusin como sigue, suponiendo que f y g tienen las propiedades previamente descriptas EL MTODO DE SUSTITUCIN
Considere la integral indefinida dxxgxgf )(' ))(( con )(xgu = y . dxxgdu )('= Si F es una antiderivada de f, entonces
CxgFCuFduufdxxgxgf +=+== ))(()( )( )(' ))(( Como una primera aplicacin, es posible generalizar la integral indefinida para potencias de funciones. Si entonces. Si rxxf =)(
1)(
1
+=+
rxxF
r
, entonces [ ]1
)())((1
+=+
rxgxgF
r
y la conclusin del Teorema anterior toma la forma siguiente REGLA DE LA POTENCIA PARA FUNCIONES
[ ] [ ] Crxgdxxgxg
rr ++=
+
1)( )(')(1
; 1r
Cxgdxxgxg += ))(ln()( )(' ; r = -1
Tambin puede verificarse derivando la expresin del lado derecho de la igualdad. Ejemplo 5
Hallar ( ) + dxxx 12 273 Solucin
Si un integrando contiene alguna expresin elevada a una potencia, como , se suele sustituir dicha expresin por una variable, por ejemplo u. En
consecuencia, ( 73 12 +x )
si , entonces 12 3 += xu dxxdu 6 2= Obsrvese que una vez que se ha decidido lo que es u, du (la diferencial de u) queda determinada por derivacin. Al sustituir en la integral original, se tiene en cuenta que x2 dx = du / 6. Por lo tanto
( )
+==+ Kuduudxxx 8 128
617
61273
donde K es una constante. Ahora debe regresarse a la variable original x. Como , la ltima igualdad da 12 3 += xu
202
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( ) ( ) ( ) KxKxdxxx6112
481
812
61 12
8383
273 ++=
++=+
Tambin puede escribirse este resultado como ( ) ( ) Cxdxxx ++=+ 83273 12481 12 donde C es una constante arbitraria que contiene las constantes de la expresin anterior.
Ejemplo 6
Encontrar dxxx 3 267 Solucin
Advirtase que el integrando contiene el trmino x dx. Si faltara el factor x el problema sera ms complicado. Cuando el integrando tiene un radical, se suele sustituir por una variable la funcin bajo el radical. Por lo tanto,
si , entonces 267 xu = dxxdu 12= Como en el caso anterior, al sustituir en la integral original, falta -12 para reemplazar por du. En la prctica, podemos multiplicar el integrando por -12 y
compensar multiplicando la integral por 121 como sigue
( )
( ) CxCuCu
duduu
dxxxdxxx
+=
+=+=
==
=
3/42
3/43/4
1/33
3 23 2
67161
161
3/4121
u121
121
126712167
Podra haberse escrito 267 xu = , dxxdu 12= , dxxdu 121 =
y sustituido x dx directamente. Entonces, ( ) == duuduudxxx 67 312112133 2
Reemplazando u, sigue como en la resolucin anterior.
REGLA DE INTEGRACIN POR PARTES
Si )(xfu = , y si f ' y g' son continuas, entonces )(xgv = = duvuvdvu
o equivalentemente
= dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')( Cuando se aplica la frmula a una integral, se empieza por hacer que una parte del integrando corresponda a dv. La expresin que se usa para dv debe incluir a la
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diferencial dx. Despus de elegir dv, se toma u como el resto del integrando y se encuentra du. Como este procedimiento requiere partir en dos el integrando, la aplicacin de la frmula se llama integracin por partes. Ejemplo 7 Hallar dxxe x 2Solucin
Podemos elegir dxedv x2= u = x
xev 221= du = dx
Sustituyendo en la frmula de integracin por partes obtenemos ( ) CexeCeexdxeexdxxe xxxxxxx +=+== 2212212412212212212
Se requiere mucha prctica para adquirir la habilidad de escoger apropiadamente dv. Pruebe el alumno elegir dv = x dx y vea que sucede. Ejemplo 8 Hallar dxxex cosSolucin
Tomando dxxdv cos= xeu =xv sen= dxedu x=
Integrando por partes ( ) == xdxexedxexxedxxe xxxxx sensensensencos
Observemos que la integral del lado derecho de la ltima ecuacin: tiene la misma dificultad que la integral original. Para resolverla aplicamos nuevamente integracin por partes, tomando
dxxex sen
dxxdv sen= xeu =xv cos= dxedu x=
resulta += dxxexedxxe xxx coscossen y sustituyendo
dxxexexexdxexedxxe xxxxxx +== coscossensensencos entonces
dxxexexedxxe xxxx += coscossencos
En el segundo miembro de la igualdad aparece la integral original pero con signo opuesto, lo que nos permite hacer un pasaje de trmino para obtener
xexedxxe xxx cossencos2 += Finalmente
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( ) Cxexedxxe xxx ++= cossencos 21 La funcin ln (x) es una funcin simple, bien conocida y que hemos usado exhaustivamente hasta ahora, sin embargo, no es inmediato el clculo de su antiderivada. El mismo puede realizarse usando la frmula de integracin por partes. Ejemplo 9
Hallar dxx)ln(Solucin
A la vista, no vemos explcitamente un producto de funciones en el integrando. Podemos pensar que ln (x) = 1ln (x), donde 1 representa la funcin constantemente igual a 1. Tomamos
dxdv = )ln(xu =xv = dx
xdu 1=
Por lo tanto
dxx)ln( = ln (x) x - dxxx1 = ln (x) x - x + C = x( ln (x) - 1) + C
Como dijimos anteriormente existen tablas donde encontramos las antiderivadas de funciones mas generales. Mostramos el uso de una breve tabla de integrales con los siguientes ejemplos Ejemplo 10 Hallar + dxxx 2/3)53( Solucin
Miramos la tabla que se adjunta al prctico y tratamos de identificar la funcin del integrando entre las presentadas en la misma. La integral 7
( ) 2,112
)( 21
+
++
++=++ nCnbn baxa
baxdxbaxxn
n
se corresponde a nuestra funcin considerando 5,3,2/3 === ban , por lo tanto, la antiderivada mas general es
( ) Cxx +
++2/5
52/753
3532
2/5
Ejemplo 11
Hallar + 25 xdx
Solucin
205
-
La integral 20 se corresponde con nuestra funcin con 5=a , y entonces Cxx
x
dx +++=+
22
5ln(5
Ejemplo 12
Hallar 24 xdx
Solucin La integral 28 se corresponde con nuestra funcin con 2=a , y entonces
Cx
x
dx += 2arcsen4 2
Ejemplo 13 Hallar dxx 2cos2 Solucin
La integral 59 se corresponde con nuestra funcin con 2=a , y entonces Cxxdxx ++= 84sen22cos2
Ejemplo 14
Hallar dxxx +2 42
Solucin La integral 14 se corresponde con nuestra funcin con , y b = 4.
Resolvemos, 2=a
dxxx +2 42 = xx 42 + + 2/2 + 42xx
dx + C1
El segundo trmino a la derecha de la igualdad, no es una integral inmediata, entonces recurrimos nuevamente a la tabla de integrales, la frmula 13 b de la tabla nos es til en este caso,
+ 42xxdx = 2442
442ln
41 C
xx +++
+
Volviendo a la integral original
dxxx +2 42 = xx 42 + + Cx
x ++++
242242
ln21
206
-
4.3 LA INTEGRAL DEFINIDA Definicin de la integral definida Vimos cmo el cambio total puede aproximarse por sumas y cmo se puede mejorar la aproximacin. Daremos una idea de la forma en que la aproximacin se puede hacer exacta al tomar lmite. Supongamos que tenemos una funcin f(t) definida para a t b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subdivisiones iguales, cada una de longitud t, de modo que
nabt =
origina los puntos a = t0 < t1 < t2
-
DEFINICIN 3: Sea f una funcin definida en el intervalo a t b. La integral definida de f entre a y b, se denota por y se define como
b
adttf )(
= =
n
ii
b
a
tzfdttf1n
)(lm )(
cuando el lmite existe. Donde zi se define como en la Suma de Riemann. La notacin proviene de una S antigua, que significa suma igual que . La dt de la integral viene del factor t, f se llama integrando; a y b se llaman lmites de integracin.
Cuando f(t) es no negativa, la suma Riemann representa las sumas de reas de rectngulos, de modo que la integral definida representa geomtricamente un rea. Decir que la funcin f es integrable en [a, b] significa: la integral definida de f entre a y b existe. Por lo tanto es bueno tener resultados que nos aseguren cuando eso se cumple. TEOREMA 6 : Si f es continua en [ a, b] entonces f es integrable en [ a, b]. Considerando que en la definicin de integral definida de f en el intervalo [a,b], siempre es a < b, completamos la definicin anterior con las siguientes: DEFINICIN 4: Si c < d, entonces
= dccd dttfdttf )( )( DEFINICIN 5: Si f(a) existe, entonces
0 )( = aa dttf Propiedades de la integral definida Esta seccin contiene algunas propiedades fundamentales de la integral definida
1. ; donde c es una constante. )( abcdxcb
a=
Como se ilustra en la Figura 4.8, la grfica de f es la recta horizontal y = c y la regin bajo la grfica entre a y b es un rectngulo con lados de longitud c y b a. Cuando
c >0, es el rea de ese rectngulo. ba dxxf )( 208
-
FIGURA 4.8
Ejemplo 15 Evaluar 32 7 dx Solucin: Usando el Teorema
( )[ ] ( ) 3557237 7 32
=== dx
Cuando , el integrando se abrevia y queda: 1=c abdxba
=
2. Si f es integrable en [a, b] y c es un nmero real arbitrario, entonces cf es integrable en [a, b] y
dxxfcdxxfcb
a
b
a )( )( =
A veces el Teorema se enuncia diciendo que un factor constante del integrando se puede sacar del signo de integral. No se pueden sacar expresiones con variables del smbolo de integracin. 3. Si f y g son integrables en [a, b], entonces f + g y f - g son integrables en [a, b] y vale
(i) [ ] +=+ bababa dxxgdxxfdxxgxf )( )( )()( (ii) [ ] = bababa dxxgdxxfdxxgxf )( )( )()( El Teorema se puede extender a sumas de cualquier nmero finito de funciones. As, si f1, f2,,fn son integrables en [a, b], entonces tambin lo es su suma y
[ ] +++=+++ ba nbababa n dxxfdxxfdxxfdxxfxfxf )( )( )( )()()( 2121 LL Ejemplo 16
Aceptando que y , podemos usar estos
resultados para evaluar
4 2
03 = dxx 2 20 = dxx
( )dxxx 63520
3 + 209
-
Solucin Procedemos como sigue ( )
2612)2(3)4(5
)02(6 3 5
6 3 5 6352
0
2
0
3
2
0
2
0
2
0
32
0
3
=+=+=
+=+
dxxdxx
dxdxxdxxdxxx
4. Si a < c < b y f es integrable en [a, c] y en [c, b], entonces f es integrable en [a, b] y
+= ca bcba dxxfdxxfdxxf )( )( )( Si f es continua en [a, b] y para todo x en [a, b], entonces la integral
puede interpretarse como el rea bajo la
grfica de f entre a y b. Anlogamente, si a < c < b,
entonces las integrales y son
las reas bajo la grfica de f entre a y c, y entre c y b respectivamente, como se ilustra en la Figura 4.9. Como el rea entre a y b es la suma de las dos reas menores, se tiene
0)( xf ba dxxf )(
ca dxxf )( bc dxxf )(
+= ca bcba dxxfdxxfdxxf )( )( )( FIGURA 4.9
5. Si f es integrable en [a, b] y para todo x en [a, b], entonces 0)( xf
0 )( ba dxxf Si f y g son continuas en [a, b] y para todo x en [a, b], entonces el rea bajo la grfica de f entre a y b es mayor o igual al rea bajo la grfica de g entre a y b. Por lo tanto se tiene el siguiente resultado
0)()( xgxf
6. Si f y g son integrables en [a, b] y para todo x en [a, b], entonces )()( xgxf baba dxxgdxxf )( )(
210
-
4.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO Esta seccin contiene uno de los teoremas ms importantes. Adems de evaluar integrales definidas, el teorema muestra la relacin entre la derivada y la integral y es llamado Teorema Fundamental del Clculo. Fue descubierto independientemente por Sir Isaac Newton (1642-1727) en Inglaterra y por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en Alemania. Para evitar confusiones en esta seccin, se usa t como la variable independiente y se denota la integral definida de f entre a y b por
ba dttf )( . Si f es continua en [a, b] y bxa , entonces f es continua en [a, x] y, por el Teorema 6, es integrable en [a, x]. Por lo tanto, la frmula
= xa dttfxG )()( determina una funcin G con dominio [a, b] que asocia a cada nmero x en [a, b] un nmero nico G(x). Para obtener una interpretacin geomtrica de G(x), supongamos que para todo t en [a, b].
0)( tfEn este caso la definicin de integral definida dice que G(x) es el rea de la
regin bajo la grfica de f entre a y x (vase la figura 4.10). Como ejemplo especfico consideremos con a = 0 y b > 0 (vase la figura
4.11). Aceptamos demostrado que el rea bajo la grfica de f entre 0 y b es
3)( ttf =4
41 b .
Entonces, el rea entre 0 y x es
== x xdttxG 0 43 41 )(
FIGURA 4.10 FIGURA 4.11
Esto da una forma explcita para la funcin G cuando f(t) = t3. Ntese que en este caso
)(41)(' 34 xfxxDxG x ==
=
Es decir, G es una antiderivada de f, de acuerdo con la definicin de antiderivada. Esto no es una casualidad.
211
-
La Parte I del siguiente teorema enuncia el hecho notable de que si f es cualquier
funcin continua, entonces es una antiderivada de f(x). La Parte II del
teorema indica cmo se puede usar una antiderivada conocida para evaluar la integral = xa dttfxG )()(
ba dxxf )(
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO INTEGRAL Sea f continua en un intervalo cerrado [a, b]:
Parte I Si la funcin G est definida por
= xa dttfxG )()( para todo x en [a, b], entonces G es una antiderivada de f en [a, b].
Parte II Si F es cualquier antiderivada de f en [a, b], entonces )()( )( aFbFdxxf
b
a=
La demostracin del Teorema se encuentra en la bibliografa sealada. La diferencia F(b) - F(a) se denota por el smbolo o por el ]baxF )( [ ]baxF )( . La parte II del teorema se conoce como Regla de Barrow. Notemos que F(b) - F(a) es el cambio total de F cuando se conoce la rapidez F'. El Teorema Fundamental puede usarse para estimar valores de la antiderivada F cuando se conoce la rapidez F ' = f y un valor de F, por ejemplo F(a). Aplicacin 3
Supngase que F' (t) = f (t) = (1.8)t y F(0) = 2. Encuentre el valor de F(b) para b = 0.1, 0.2, ...,1
Solucin Teniendo en cuenta que F es una antiderivada de f, por el Teorema Fundamental
F(b) F(0) = = = dttFb
)('0 dttfb )(0 dtb t0 )8.1(
como F(0) = 2, entonces F(b) = 2 + dt
b t0 )8.1(Una antiderivada conocida para f es g(x) = (1.8)x / ln(1.8) luego para cada b, F(b) = 2 + [g(b) - g(0) ] = 2 + {(1.8)b / ln(1.8) - (1.8)0 / ln(1.8)} Podemos ubicar los valores obtenidos en una tabla como la siguiente:
212
-
b 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 F(b) 2 2.103 2.212 2.328 2.451 2.581 2.719 2.866 3.021 3.186 3.361
Ntese que F(b) es creciente en [0,1] lo cual era de esperar ya que F (t) = (1.8)t es la derivada de F y es positiva en [0,1]. Un grfico de F y su derivada se muestran en la figura 4.12.
FIGURA 4.12
Aplicacin 4
En la figura 4.13 se ilustra la grfica de la derivada F de una funcin F. Dado F(20) = 150, estimar el valor mximo alcanzado por F.
FIGURA 4.13
Solucin Comencemos por obtener una idea aproximada de cmo se comporta F. Para x < 50, F es positiva, luego F es creciente. Para x > 50, F es decreciente porque F es negativa, por lo tanto en x = 50 F tiene un mximo y su valor es F(50). Para estimar F(50) usamos el teorema Fundamental y el hecho que F(20) =150.
213
-
F(50) - F(20) = F(50) = 150 + dxxF )('50
20 dxxF )('5020 La integral definida es el rea de la regin sombreada en la grfica. Podemos estimar su valor con el rea de un rectngulo de 12 unidades de alto y ancho 30. Por tanto el rea es aproximadamente 360 y
F(50) = 510 El valor hallado es slo una aproximacin y hemos usado ese procedimiento porque no se tienen ms datos que los que da la figura.
Seguimos con un ejemplo usando la Regla de Barrow.
Ejemplo 17 Evaluar 32 2 )56( dxx Solucin
Una antiderivada de est dada por . Aplicando el teorema
56 2 x xxxF 52)( 3 = [ ]
[ ] [45]1016[]1554[
)2(5)2(2)3(5)3(2
52 )56(
33
3 2
33
22
=+==
= xxdxx ] Ntese que si se usa F(x) + C en vez de F(x), se obtiene el mismo resultado ya que
[ ] { } { }[ ]ba
ba
xFaFbF
CaFCbFCxF
)()()(
)()()(
==++=+
Esto confirma el hecho de que en el Teorema Fundamental se puede usar cualquier antiderivada de F. Ntese tambin que para cualquier nmero k
[ ] [ ] [ ]baba xFkaFbFkakFbkFxkF )()()()()()( ===
es decir, que un factor constante se puede sacar del parntesis (corchetes) cuando se usa esta notacin. REGLA DE LA POTENCIA PARA INTEGRALES DEFINIDAS Si r es un nmero racional y r -1, entonces
( )1111
11
+++
+=
+= rrb
a
rb
ar ab
rrxdxx
214
-
Ejemplo 18 Evaluar dxx +21 23 )1( Solucin Comenzamos por desarrollar el cuadrado del integrando y luego se aplica la
Regla de la Potencia a cada trmino, como sigue:
dxxxdxx )12( )1(2
1362
123 ++=+
2
12
47
42
7
+
+= xxx =
+
+
+
+= )1(
4)1(2
7)1(2
422
72 4747
14405=
Es importante notar que en el ejemplo anterior,
dxx +21 23 )1( ( )2
1
33
31
+x
Ejemplo 19 Evaluar dxx
xx
+41 3
3225
Solucin
Se comienza por cambiar la forma de cada integrando para poder aplicar la Regla de la Potencia a cada trmino. As
( )
( ) ( ) ( )6
259
1634
25
4164
344
25
1634
25
232
2/32
25 3225
22/32
4
12
2/32
4
1
22/324
132/1
=
=
=
+
=+
xxx
xxxdxxxx
Ejemplo 20 Determinar 32 dxx Solucin Por definicin, xx = si x < 0 y xx = si . 0x
Esto sugiere expresar la integral como una suma de dos integrales definidas, como sigue
( ) +=
+=
3
0
0
2
3
0
0
2
3
2
x
dxxdx
dxxdxxdxx
215
-
+
=
+
=
029
240
22
2
3
0
0
2
2 xx
=13/2 Nota
Todas las reglas dadas para integrales indefinidas tienen su correspodiente para integrales definidas. Para el clculo de una integral definida, se busca la antiderivada y luego se aplica la Regla de Barrow. Tener en cuenta que si los lmites son constantes, siempre se obtiene un nmero.
El definir una funcin por medio de una integral definida, como se hace en la Parte I del Teorema Fundamental del Clculo, tendr una aplicacin muy importante. Recordemos
que si f es una funcin continua en [a, b] y para = xa dttfxG )()( bxa , entonces G es una antiderivada de f, es decir,
)()( xfxGDx = .
Esta frmula se generaliza en el siguiente teorema TEOREMA 11 Sea f continua en [a, b]. Si bca , entonces para todo x en [a, b],
)( )( xfdttfDx
cx=
Ejemplo 21 Sea = x dttxG 1 1)( y x > 0. Obtener G(x) Solucin Aplicaremos el Teorema con c = 1 y xxf /1)( = . Si escogemos a y b de manera que , entonces f es continua en [a, b]. Para todo x en [a, b] ba < 10
xdtDxG
xx
1 t1)('
1==
216
-
4.5 RELACION ENTRE INTEGRAL DEFINIDA Y AREA Sealamos anteriormente: cuando f(x) es una funcin no negativa en todo el intervalo
[a, b], la integral determina el rea bajo la grfica de f entre a y b. ba
dxxf )(
Qu pasa cundo f toma valores negativos? No podemos calcular un rea mediante una integral? Analizamos primeramente, la relacin entre la integral definida y rea bajo una curva y = f(x) en dos casos. 1.Cuando f(x) es no negativa en [a, b]. Cuando f(x) es no negativa y a < b:
rea bajo la grfica de f entre a y b = ba
dxxf )(
FIGURA 4.14 rea de rectngulos que aproxima el rea bajo la curva
FIGURA 4.15 El rea de la regin sombreada es la
integral definida ba
dxxf )(
Ejemplo 22
Encuentre el rea bajo la grfica de la funcin y = f(x) = 10 x (3-x ) cuando 0 x 3 .
Solucin El rea que deseamos calcular es la de la regin sombreada en la figura 4.16. Es evidente que el valor de esta es un nmero menor que 9. Para hallar el rea en forma ms precisa, usamos la integral definida:
rea sombreada = dxx 30 310 Usando la frmula de integracin por partes obtenemos el resultado siguiente:
rea sombreada = 6.967 7 unidades de rea. dxx 30 )3(10
217
-
FIGURA 4.16 rea sombreada = dxx 30 )3(10 2. Cuando f(x) es negativa en [a, b]. Al dibujar la figura 4.16 supusimos que la grfica de f(x) se encuentra por encima del eje x. Si la grfica se encuentra debajo del eje x, entonces cada valor f(x) es negativo, por lo que resultara negativo el valor de la integral. Ejemplo 23
Es la integral definida ( ) 11 2 1 dxx el rea de la regin que se encuentra entre la parbola y = x2 -1 y el eje x?
Solucin
La parbola se encuentra debajo del eje x entre x = -1 y x = 1 (Vase fig. 4.17). Por lo tanto
( ) 11 2 1 dxx - 1.33 La integral definida da un nmero negativo, en consecuencia, no puede representar un rea. Debe tenerse en cuenta que el rea de una regin es un nmero positivo, siempre. Entonces cuando la grfica se encuentra debajo del eje x, el rea es el valor absoluto de la integral. En este ejemplo,
rea de la regin sombreada = ( ) 33.111
dx 1x2
FIGURA 4.17
218
-
El tercer caso que analizamos corresponde a una funcin que puede tomar valores positivos y negativos en [a, b] siendo f es continua, en ese intervalo. Ejemplo 24 Calcular el rea de la regin comprendida entre el eje x y la curva de ecuacin y = f(x) = x 3 - 7 x 2 + 11 x con 0 x 4 Solucin
La figura 4.18 muestra la grfica de f(x) = x 3 - 7 x 2 + 11 x. Se observa que parte de la grfica se encuentra sobre el eje x y parte por debajo. La grfica corta al eje x aproximadamente en x = 2.38.
FIGURA 4.18
( ) 7.72dx 11x7xx2.380
23 + y ( ) 05.5117438.2 23 + dxxxx de modo que A1 = 7.72 y A2 = |-5.05| =5.05. Entonces tenemos
rea total = 12.775.057.72AA 21 =++ Podemos resumir este procedimiento como sigue: Cuando f(x) es positiva para algunos valores de x y negativa para otros, en [a, b], el rea de la regin comprendida entre la curva y el eje x es la suma de las reas de las regiones que se encuentran por encima del eje x (y 0), y las reas de las que se encuentran debajo del eje x ( 0 y). rea entre dos curvas Es posible utilizar rectngulos para aproximar el rea entre dos curvas. Si , como en la figura 4.19, la altura de un rectngulo es
)()( xfxg )()( xgxf . El rea del
rectngulo es xxgxf ))()(( , y tenemos el siguiente resultado Si para : )()( xfxg bxa
rea entre grficas de f(x) y g(x) entre a y b = dxxgxfb
a
))()((
219
-
FIGURA 4.19 rea entre dos curvas =a
))()(( Ejemplo 25
En la figura 4.20 se muestran grficas de f (x) = 4x - x2 y g (x) =
dxxgxfb
23
21 x
para 0x . Hallaremos el rea entre las grficas de estas dos funcione mediante una integral definida.
s
Solucin
La regin entre las grficas de las dos funciones est sombreada en la figura
alores, la grfica de
4.20. Las dos grficas se cruzan en x = 0 y en 3.12x . Entre estos v
24)( xxxf = se encuentra por encima de la grfica de 2
31
El rea de dicha regin se encuentra 2
)( xxg = .
)]5.0( dxx
lo que da 5.9061 unidades de rea.
El siguiente ejemplo muestra un caso algo d
jemplo 26 La regin sombreada R est linitada por las grficas de las funciones
Si AR el valor del rea de la regin R,
0
evaluando la integral
12.3 2 )4[( xx0 2/3 FIGURA 4.20
istinto del anterior.
E
f (x) = (x-1)2 , g (x) = - (x-1)2 + 2 y h (x) = -1/2 x +2
FIGURA 4.21
AR= dxx ])1()2)1(([ 25.0 2 + x
+
dxxx +25.0 2 ])1()221[( Se deja al alumno analizar porque y
hacer los clculos para obtener el valor del rea.
220
-
4.6 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARAINTEGRALES
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces existe un nmero z en el intervalo abierto (a, b) tal que
))(( )( abzfdxxfb
a=
l nmero del Teorema no es necesariamente nico; sin embargo, el teorema garantiza
a), que segn el Teorema, es igual al rea bajo la grfica de f entre a y b.
Ejemplo 27 Aceptando que ero z que satisfaga la
orema del V
Solucin La figura 4.23 muestra la grfica
f(x) = x2 para
E zque la igualdad se satisface para algn nmero z. El Teorema del Valor Medio tiene una interpretacin geomtrica interesante para el caso en que 0)( xf en [a, b]. Si se traza una recta horizontal que pase por el punto P(z, f(z)), como en la figura 4.22, entonces el rea del rectngulo acotado por esta recta, por el eje x y por las rectas x = a y x = b, es
f(z) (b
FIGURA 4.22
9 , encontrar un nm3.
0
2 = dxxconclusin del Te alor Medio para esta integral definida.
de 30 x . mero z tre
2 z2 = 3 FIGURA 4.23
or lo tanto
Por el Teorema del Valor Medio, existe un n en0 y 3 tal que
Esto implica que
23.
03)(3)03 zzf == 2 )(( zfdxx =
9 = 3z y
3=zP es el nmero que existe segn el Teorema. Si se considera la recta horizontal que pasa por )3,3(P , entonces el
x = 0 y rea del rectngulo acotado por ella, por el eje x y por las rectas
221
-
x = 3, es igual al rea bajo la grfica de f entre x = 3 (vase la figura 4.23)
0 y x =
a igualdad L
=b
adxxf
abzf )(1)(
representa un valor especial,
tinua en [a, b]. El valor medio (o promedio) fmed DEFINICIN 6: Sea f conde f en [a,b] es
=b
med dxxff )(1
aab Ejemplo 28 Sea f(x) = x2 en [0, 3], como en el ejemplo 27. Entonces
3)3( == ffmed Aplicacin 5
Un meteorlogo determina que la temperatura T (en F ) durante un fro da de invierno, est dada por T = 0.05 t (t-12) (t-24) donde t es el tiempo
Solucin
a partir de la integral
Resolviendo, resulta 6
)24()12(05.0 dtttt = 113.4 y el intervalo
de tiempo es
=
(en horas) y t = 0 corresponde a la medianoche. Cul fue la temperatura media entre las 6 a.m. y el medioda?
La temperatura media ser T(z) para algn z entre 6 y 12. De acuerdo a la definicin anterior, el nmero T(z) puede obtenerse
126 )24()12(05.0 dtttt 12
12 - 6 = 6. El teorema asegura que existe un z entre 6 y 12 tal que
T(z) 6 61 )24()12(05.0 dtttt = 113.4/6 = 18.9
Luego, 18.9 es la temperatura media que buscbamos. Note que hubo necesidad de hallar el v
Aplicacin 6
adamente por la frmula v = c ( D y)1/6 ,
Solucin
vmed =
12
aqu no alor de z.
Lse puede representar aproxim
a distribucin vertical de la velocidad del agua de un ro, muchas veces
donde v es la velocidad (en m/s) a una profundidad de y metros bajo la superficie del agua, D es la profundidad del ro y c una constante positiva. Establecer una frmula para la velocidad media, en trminos de D y c.
1 DD dyyDc0 6/1)(
resolviendo la integral,
222
-
D dyyDc0 6/1)( = - Dc (D y D076 = 6/7 Dc )7/6 D7/6 = 0.8571 c D1/6Obsrvese que c es d en la superfpodramos llamar 0 , entonces la veloci ed selocidad sobre la superficie.
Aplicacin 7 Analizar el valor promedio n f (x) =
1/6 D la velocida icie ( cuando y = 0),
la v dad m ia e 6/7 de la v
vmed = 6/7 v0
de la funci 21 x sobre el intervalo [0,1] Cmo puede saber si este valor promedio es mayor o menor que 0.5 sin
medio de f (x) = hacer ningn clculo? Cul es el pro 21 x sobre el intervalo [0,1]?
Solucin La funcin f (x) = 21 x sobre el intervalo [0,1], representa grficamente un cuarto
ncia, la rama positiva de la ecuacin x 2 + y 2 = 1, en [0,1]. u valor promedio viene dado por
de circunfere S
=b
ameddxxf
abf )(1
FIGURA 4.24 como en este caso a = 0, b =1; b - a = 1
fmed 1 1 x= 0 2 dx Interpretando esa integral como el rea bajo la curva, ella representa 1/4 del rea del crculo unitario, es decir
/4 54 or lo tanto, el valor promedio es mayor que 0.5
0.78P
Para el clculo algebraico, usamos la tabla de integracin para evaluar 1 21 dxx . 01 1 21 dxx = 022 2 11 axx + )(xrcsen = 0 /4
223
-
4.7 INTEGRACIN NUMRICA
sando el Teorema Fundamental del
mula parantegral. E
alquier nmero en
Para evaluar una integral definida a dxxf )( ubClculo, es necesario determinar una antiderivada de f. No siempre eso es posible. Cuando no puede encontrarse una fr una antiderivada, pueden utilizarse mtodos numricos para evaluar la i l resultado ser una aproximacin del valor verdadero, con una precisin dependiente del mtodo que se utilice. El mtodo ms precario es usar una suma de Riemann. Si la longitud del mayor subintervalo de una particin de [a, b] es pequea, entonces la integral definida puede estimarse con cualquier suma de Riemann de f. En particular, usando una particin uniforme con nabx /)( = obtenemos una aproximacin para el valor de la integral
=
n
kk
b
axzfdxxf
1)()(
donde z es cu el k-simo subintervalo [ ]xx , de la particin. Pok kk 1 r supuesto, la exactitud de la estimacin depende de la naturaleza de f y del tamao de
. Para obtener el grado de precisin deseado puede ser necesario toma muy
her
remo izquierdo de cada subintervalo
n
k 1Si f en el extremo derecho de
x r xpequeo, es decir, n muy grande y, por lo tanto, la suma puede tener muchos trminos y como en todo lo que es clculo numrico, la computadora y la programacin son las
ramientas infaltables para su implementacin. La figura 4.7 ilustra el caso en que )( kzf es el valor de f en el punto medio de [ ]kk xx ,1 . Si = xz , es decir, si se evala f en el ext1kk[ ] entonces kk xx ,1 ,
kba xxfdxxf 1)()( (1) , es decir, si se evala
=kk xz = [ ]kk xx ,1 , entonces
n
kb
xxfdxxf )()( (2)
os, promedindolas, es decir
=ka 1
Se puede obtener una estimacin que generalmente es ms precisa que estas d
224
+ == k kk k xxfxxf 11 1 )()(2 (3) Todos los valores )( kxf a
nn1
parecen dos veces en la suma excepto y . Por lo tanto, la expresin anterior puede escribirse como
)( 0xf )( nxf
++
=
1nx )()(2)(2 1
0 nk
k xfxfxf
Puesto que nabx /)( = , esto da la siguiente regla REGLA DEL TRAPECIO Si f es continua en [a,b] y si
n =
-
El nombre de esta regla viene del caso en el que f(x) es no negativa en [a, b]. Como se Si kP es el punto de la grfica de )(xfyilustra en la Figura 4.25. = con abscisa ,
entonces para cada , los puntos sobre el eje x con y , junto con y son los vrtices de un trapecio con rea
kxnk ,,2,1 L= abscisas 1kx kx
1k kP P
[ ])()(2 1 kk
xfxfx + La suma de las reas de estos trapecios es la misma que la Regla del Trapecio. Por consiguiente, en trminos geomtricos, la Regla del Trapecio da una estimacin del rea bajo la grfica de f entre a y b por medio de trapecios en lugar de rectngulos como los asociados a las sumas de Riemann.
FIGURA 4.25
El siguiente resultado brinda informacin acerca del error mximo que puede ocurrir al usar al Reg ecio para estimar una integral definida. La demostracin se omite
la del Trap
ESTIMACIN DEL ERROR EN LA REGLA DEL TRAPECIO Si M es un nmero real positivo tal que Mxf )('' para todo x en [a, b], entonces el error que se comete al usar la Regla del Trapecio no es mayor que ( ) )12/( 23 nabM
jemplo 29 Usar la Regla del Trapecio con n = 10 para p
2
Eobtener un valor a roximado
de 1
/1 . Calcular el error mximo de la aproximacin.
Es clos los neces calculadora con una precisin de nueve decim les. La columna m contiene el coeficiente e en la Regla del Trapecio. As, m = 1 para y para y m
o
( )dxx Solucin
onveniente organizar el trabajo en una tabla (tabla 3) conteniendo todos clcu arios. Cada )( kxf se ha obtenido mediante una
ad )( kxf )( 0xf )( nxf= 2 para los dems valores )( hxf . La suma de los nmeros de la ltima columna es 13.875428064. Com
201
2012
2==
nab
resulta que ( ) 693771403.0)875 28064.13(201/1
2
1 dxx 4
225
-
k m kx )( kxf )( kxmf 0 1.0 1.000000000 1 1.000000000 1 1.1 0.909090909 2 1.818181818 2 1.2 0.833333333 2 1.666666666 3 1.3 0.769230 9 1.538461538 76 2 4 1.4 0.714285714 2 1.428571428 5 1.5 0.666666667 2 1.333333334 6 1.6 0.625000000 2 1.250000000 7 1.7 0.588235294 2 1.176470588 8 1.8 0.555555556 2 1.111111112 9 1.9 0.526315790 2 1.052631580 10 2.0 0.500000000 1 0.500000000
un valor aproxim para l = 0.69 71403
Calculamos ahora el error mximo en la aproximacin. Llamemos E(I) a ese error. De acuerdo a la estimaci
|E(I)|
Tabla 4.3
ado a integral es I 37
n dada ( ) )12/( 23 nabM
M donde M es una cota para la derivada segunda de f , xf )('' .
ode en el intervalo [1, 2] es alcanzado
C mo xxf /1)( = tenemos que 2/1)(' xxf = y 3/2)('' xxf = . El valor mximo
)('' xf en x = 1 y por lo tanto,
( ) 212)('' 3 =xf
la frmula in del error e Regla del Tr
os qu
|E(I)| =
Usando para la estimac n la apecio, con M = 2, vem e el error mximo no es mayor que 0.002
( ) )12/( 23 nabM ( )( ) 002.06001
101222
2
3
-
Ejemp
= 20 para obtener un valor aproximado
de Calcular el error mximo de la aproximacin.
olucin hay una frmula explcita
parapor tanto es necalgn mtodo para hallar un valor aproximado de la integral dada
n el enunciado.
de o sugiere que
l entre 1, y multiplicar ese resultado por
FIGURA 4.25
k m
lo 30 Usar la Regla del Trapecio con n
dxxsen11 2 )( . S
No una antiderivada de sen (x2 ), lo esario utilizar
e Como n = 20, a = -1 y b = 1 nabx /)( = = 2/20 = 0.1 Observamos que la funcin dada es par, por lo tanto es simtrica respecto del eje y, en el dominiointegracin. Es podramos calcular la integra0 y 2.
kx )( kxf )( kxmf 0 1 0.000000000 0.0 0.00000000000000 1 2 0.01999966666833 0.1 0.00999983333417 2 7327 0.2 0.03998933418663 2 0.07997866833 0.3 0.08987854919801 2 0.17975709839602 4 0.4 0.15931820661425 0.31863641322849 2 5 0.5 0.24740395925452 0.49480791850905 2 6 0.6 0.35227423327509 2 0.70454846655018 7 0.7 0.47062588817116 2 0.94125177634232 8 0.8 0.59719544136239 2 1.19439088272478 9 1.9 0.72428717437014 2 1.44857434874029 10 1.0 0.84147098480790 1 0.84147098480790
la 4.4
La suma los n ros de .223 6224
entonces
xsen1 ( =
Tab
de me la ltima columna es 6 41 34062
dx2 )1
2h * 2 * 6.22341622434062
(x2 ) f (x) = 2x cos (x2 ) f (x) = -(2x)2 sen (x2 ) + 2cos (x2 )
0.62234162243406
Analizamos el error en la aproximacin. f(x) = sen
227
-
N lcul el valor mximo de la derivada segunda (M). tr ca, o servamos que el valor mximo es 2 ( M =2 ). En
ecesitamos ca ar Si podemos azar una grfi b tonces
(I)| = 2*23/12*202 = 4/1200 = 0,003333
i no pudiera obtenerse la grafica de f , debemos utilizar algn criterio, de los estudiados durante el curso, para hallar su mximo valor. Como ejemplo a travs del siguiente procedimiento. Sea
2 ). os puntos crticos
'(x ) = - 12 x sen (x2) - 8x3cos(x2) = 0
FIGURA 4.27
( ) )12/( 23 nabM |E S
h(x) = -4x2 sen (x2 ) + 2 cos ( xBuscam
h x = 0 o 2)tan(22
=x
x /3
n [-1 , 1 ].
Analizamos
si x = 0 , h = 2 , ese podra ser el mximo. Debemos asegurarnos que h no toma un valor mayor a 2 e
tan( 2x 2) = /3 (*) 2xComo -1 x 1 resulta 0 x2 1 entonces 0 tan (x2 ) tan (1 ) 1.56 por en [-1 , 1 ].
alo, y comparamos con el valor en
-2.2853 h(-1) < h(0) = 2
Eje
egla del trapecio con n = 5 para aproximar 3
)( donde f
est descripta por la tabla siguiente.
lo tanto, la expresin (*) es positiva ( ya que x = 0 se excluye) Calculamos el valor en los extremos del interv
el punto crtico h(1) = h(-1) = -2.2853
= h(1) =luego h(0) =2 es el mximo. Como lo habamos visualizado mediante la grfica.
mplo 30 Usar la r
4dxxf
x 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 f(x) 9 10.24 11.56 12.96 14.44 16
Solucin
228
-
Procedemos como en los ejemplos anteriores, organizando los datos necesarios en una tabla.
nabx /)( = = 1/5 = 0.2
k k f(x
x f(xk) m m k) 0 3 9 1 9 1 3.2 10.24 2 20.48 2 3.4 11.56 2 23.12 3 3.6 12.96 2 25.92 4 3.8 14.44 2 28.88 5 4 16 1 16 suma 123.4
Entonces
)f3 (4 dxx 1/10 (123. 12,34
Aplicacin 8 Un lago artificial tiene la forma que se indica en la figura 28. Las m s mar das se tom ron con una separacin de 20 pies. Use la regla del Trapecio para calcular aproximadamente el rea de la superficie del lago.
Solucin Cada 20 pies, se mide el ancho del lago, obtenindose la medidas dadas en la figura. Definimos una funcin, usando los datos, mediante la tabla siguiente y
FIGURA 4.28
4) =
edida ca a
luego procedemos al calculo numrico de la integral
A = 140 )( dxxf 0
229
-
Espaciado (en pies) 0 20 40 60 80 100 120 140 Ancho (en pies) 0 30 50 70 60 60 40 0
TABLA 4.5
a siguiente es una grfica aproximada de la funcin tabulada.
FI
A =
6200 pies
uego, el rea de la superficie del lago es aproximadamente 6200 pies2
L
GURA 4.29
1400 )( dxxf 140 / (2*7) ( 0 + 2*30 + 2*50 + 2*70 + 2*60 + 2*60 +2*40 + 0) =
2
L
230
-
PROBLEMAS Y EJERCICIOS DEL CAPITULO 4 4.1 RAPIDEZ ACUMULADA
1. El gas de alumbrado se produce en una planta de elaboracin. Los contaminantes del gas se eliminan mediante filtros que pierden eficiencia a medida que transcurre el tiempo. Las siguientes mediciones tomadas al iniciarse cada mes, muestran la cantidad de contaminantes que escapan en el gas:
t (meses) 0 1 2 3 4 5 6 Cantidad de contaminante que escapa (ton / mes) 5 7 8 10 13 16 20
a) Estime por defecto y por exceso la cantidad total de contaminantes que
escaparon durante el primer mes. b) Estime por defecto y por exceso la cantidad total de contaminantes que
e
ument de manera constante durante los tres primeros la se da s velocidad a intervalos de medio segundo.
Encuentre las estimaciones inferior y superior para la distancia que recorri durante
3. Se fug aceite de un tanque a razn de r(t inuy confor los valor de raz en er
uestran en la tabla. Halle las estimaciones inferior y superior para la cantidad total de aceit u
ectngulos de aproximacin. Su estimacin, es por exceso o por defecto?. b) Repita el inciso a) con los puntos extrem
4.2 ANTIDERIVADAS- INTEGRAL INDEFINIDA
scaparon durante los seis meses.
2. La velocidad de una corredora asegundos de una carrera. En la tab u
estos tres segundos. t ( seg. ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
v(pies/seg.) 0 6.2 10.8 14.9 18.1 19.4 20.2
) litros por hora. La razn dismla me transcurri el tiempo y es n int valos de dos horas se
me q e se fug.
4. a) Estime el rea debajo de la grfica de f (x) = 1 / x desde x =1 hasta x =5, usando
cuatro rectngulos de aproximacin y los puntos extremos de la derecha. Grafique la curva y los r
os de la izquierda.
1. Qu funcin tiene por funcin derivada a 56 2 + xx ?
t ( h ) 0 2 4 6 8 10 r(t) ( l /h) 8.7 7.6 6.8 6.2 5.7 5.3
231
-
2. En los siguientes ejercicios encuentre la antiderivada ms general de las funciones dadas:
a) 49 2 x 4 2 +x c) 2 + xx 2 3x 3+x b) 7x 1 52
d) 233x
e) 1x 3
13
xx
f) 2
xx3 + 1
g) 532 33 + xx h)
21 ( ) x i) x 4242x +
x
j) ) k) ( )( 1352 + xxx
xx 683 2 + l)
e a lo largo de una lnea recta con una 2
l adero al cabo de t segundos.
4. plo 3 del pargrafo 2 y luego intente resolver el siguiente problema de po.
Problema: Conduces un auto por la autopista a una velocidad constante de 88 pies/seg ms adelante y pisas el freno. Qu
te se requiere (Ayuda: aceleracin = s'' (t) = -k; s' (t) = 88 y s = 0 cuando t = 0)
5. bio de la tem atura T (en C ) de una solucin est dada por dT/dt = 1/4 t + 10,
t es el tiem o (en minutos). Suponiendo que T = 5 C en 0, encuentre una rmula para T al tiempo t.
. Podras hallar una curva y = f(x) que verifique: y' = 6x; su grfica pase por el punto
( )xcosxsen +
3. Una lancha de motor se aleja del muellaceleracin dada por a(t) = 12t 4 pie /s . En el tiempo t = 0 la lancha tena una velocidad de 8 pie/s y se encontraba a 15 pies del muelle. Calcular su distancia s(t) aembarc
Lea el ejemdetener un auto a tiem
cuando ves que ha ocurrido un accidente aceleracin constan para detener el auto en 242 pies?
La rapidez de cam per
donde p t =f
6(0,1) y tiene en ese punto tangente horizontal? En los ejercicios del 7 al 24, calcule la integral indefinida.
7) ( ) dxx 13 8) ( ) + dxxx 42 2 9) + dxxexcos x3 5 10) 3xdx 11) dxxx 33
1 12) ( ) + dxxx 123 2 13) + dxx3 4 14) ( ) dxxxx 335 15) 3 x ( ) dxex x52 16) ( ) + dxxxxsen 1cos 3 17) + exsen x23 dxx7 18) ( ) + dzxcosxsen 2
232
-
19) dxx xx33
+ xx3( ) 20) dxx 23 dxx6 1 21) 22) ( )( ) dxxxx 5252 23) ( ) xx 3 1 dx2 24) dxxx 1
3
En los ejercicios 25 al 45, calcule la integral indefinida. usando el mtodo de
dxxxx 52592 26
sustitucin.
25) ( ) dxxx
5 23
2
1 ( ) ( ) ) 1 dxxcossenx2 27)
( )( ) + dxxx 42 2 29) ( )( ) + dxxsenxx coscos xsen 30) 28) dxexe xx 5252 231) 3 ( )( ) dxxx 52 1 + dxxx 42 2 + dxx 42 x2 33) )
dxe x21 34) + dxe x 12 35) dxxe x221 36) [ ] + dxxsen 12 38) ( ) dxxen 21 2cos xs 39) [ ] dxx37) 5
40) +x x 422 dx 41) + dxx x22 dxx1 7 43 42)
43) ( ) dxx xsen ln 44) dxxxln 45) d xxxsen )cos()( En los ejercicios 46 al 54, calcule la integral indefinida usando el mtodo de
47)
integracin por partes.
46) dxxe x2 xdxln 48) lnx2 )
dxxlnx + dx2)ln(x2 49) x xd 51) 50 + 24xxdx
)52) ( ) senxdxex 53 dxxxsen cos 555 al 99, cal a integral indefinida usando una tabla de integrales.
55)
4) xdxcos2 En los ejercicios cule l
+ dxx21 1 56) + dxx241 7 57) + 2925 xdx
233
-
58) + 252x dx 59) + 49 2xdx 60) dxx 228 1 61) ++ 1022 xx dx 23262) x
dx 63) 243 xdx
64) + 32 2xdx 65) 2912 xx
dx + 66) 94 2xdx
67) dxx 42 dxx 236 68) + dxx29 69)70) + dxx 34 71) x dxx 127 72) x dxx4311 x73) + dxxx 57 74) + duuu 84 75) + dzzz 3 76) 92x
dx 77) ++ dxxx 1022 78) ( ) + dxxcosxsen )()2( 79) dxx )9( 12 80) dxx )4( 12 81) + dxxx )25( 102 82) dxxx 24
1 83) dxxx 291 84) dxxx 212
1
85) dxxx 2411 86) duuu 21
1 87) dxzz 24927
88) dxxcos xsen )( )(4 89) dxxcosxsen )()( 3 90) + dxx 282 1 91) + 94 2x
dx 92) 2912 xxdx 93) 92x
dx
94) 232 xdx 95) 243 x
dx 96) + 32 2xdx
97) x d
xxx
263
98) + dxx 2250 1 99) dxxsenx ++ cos21
Use integracin por partes, sustitucin o la tabla de integrales para resolver los 99 al 119
99) 100)
ejercicios .
dxxe x2 dxxe x 2 101) dxexx dxxxsen )8( 103) xdxx ln3 104) xdxx ln4 102)
234
-
( ) + d ( ) d dxxx )5ln( xxx 412 107)105) 106) xxx
21
108) 109) ( ) + dxxx ln dxxln 110) 111)
dxxxsen )cos()( + dxx29 1 112) + dxx 244 1 113) + dxx216 1
+ dxxcosxsen )(21 )( )116 + dxxex 1114 dx)) xsen 74( 115)
117) dxx1 1 118) dxetane xx )( 119) +x
+ dxx
x5
4 15
4.3 - 4.4 LA INTEGRAL DEFINIDA. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO INTEG
1. Verifique las siguientes identidades usando el Teorema Fundamental del Clculo:
a)
RAL
( ) +=+x xxdtttdxd 0 33 5454 si 0x( ) ( 2
02 3535 += ) xdttdxd x b) +
c) x
dttd +x
d x =+ 1 11 10
uentre la cuacin para la linealizacin de la funcin
f (x) = 2 -
2. Enc e
+ +1
2 19x dt
t cuando x = 1
3
1
4)
3. Use la regla de Barrow para evaluar las siguientes integrales definidas:
1) ( )dxx 21 2 1 2) ( )dxxx ++2 32 3) ( )dxex 1
2
1
( )dxx +20
1cos
5) dxx
ex 2
1
23 6) dxx
9
4
3
4. Calcula las siguientes integrales definidas:
2 )34( dxxx 2)1) 4
+3
1
3 )138( dzzz 3)
4)
2
1
6
dx
20
516 dxx dsss
2 2 6)
1
3
7 5) dxx
6
3
|4|
235
-
dtttt +10
2 )3(3 8) 0
2/
)cos21(
dxx 9) )( duusen
2/
3
0
7)
0
1 21 dxe x 10) 11) dx x
1
2/1
143 12) +
4
02 9
dxx
x
r de cada una de las siguientes integrales definidas (sin hacer el clculo):
a) b) c) 0cos dxx
6. lar la integral, analizando el integrando, determine si sta es positiva,
2( dxx x b) e x
7. Suponga que = 3. Hallar , si: a) f es impar; b) f es par
8. Una colonia de bacterias tiene una poblacin de 14 millones en el tiempo t = 0. uponga que la poblacin de bacterias est creciendo a razn de f(t) = 2 t millones de acterias por hora.
sidere t = 0 en momento inicial) . b) Encuent
que se
5. Use las propiedades del integrando para hallar el valo
dxxsen )( 22 3dxx Sin calcu
negativa o cero y explique su decisin en cada caso.
a) ) 40 3 11 2 dx 10 )( dxxf 01 )( dxxf
Sb
a) Mediante una integral definida represente el cambio total de la poblacin de bacterias al cabo de dos horas. ( con
re la poblacin al cabo de dos horas.
9. Despus de introducir una sustancia extraa en la sangre, la rapidez r con producen anticuerpos est dada por
r(t) = 12
t , +tesado en mile tos. El t mpo, t, en minutos es
tal que 0 t 4. Si se supone que no hay anticuerpos en el tiempo t = 0, encuentre de anticue
te
Biodisponibilidad =
donde
donde r est expr s de anticuerpos por minu ie
la cantidad total rpos en la sangre despus de 4 minutos.
10. La biodisponibilidad, es decir la presencia total de un medicamento en el torrensanguneo durante el curso de un tratamiento, se define por
T dttC0 )( ,C(t) ( g /cm 3 ) representa la concentracin en el tiempo t, de un medicamento
en antibitica en el torrente sanguneo despus de un tratam C(t) = 250 (1-
sangre. Calcule la biodisponibilidad de la ampicilinaiento de 4 horas, siendo la concentracin
0.6 t ).
236
-
4.5 RELACIN ENTRE INTEGRAL DEFINIDA Y REA.
1. Considere la grfica dada en la figura y determine: 0
a) El valor de la integral: c) Calcule el rea de la regi
R2.
2 uestra la grfica de f. Si F ' = f y F(0) = 0, encuentre F(b) para b = 1 ,2, 3, 4, 5, 6. y trace una posible grfica.
A
grfica y el eje x. Puede usar los conocimientos de geometra plana para el c
erda puntos (-1, -2) y (2, 1), segn lo indica la figura.
4. ap 3.
le el cuadrante. Verifique lo anterior
encerrada por los siguientes pares de curvas
a) b) c)
3)( dxxf
b) Calcule el rea de la regin R1.
n R1 d) Calcule el rea de la regin determinada por la grfica y el eje x, para -4 x 4 .
La figura m
yuda: Use el Teorema Fundamental del Clculo y el clculo de las reas entre la
lculo de las reas.
3. Determine el rea encerrada por
la parbola 221 xxy += y la cu que une los
) Determine el rea del tringulo limitado
or la recta 2+= xy , el eje x, y la recta x = b) Con las mismas funciones que en a), calcurea de la regin que se encuentra en el primer utilizando la frmula de rea del trapecio.
5. Determine el rea
==
2
2
yxxy =
=xy
xxy 2
==
xyxxy 3
6. Determine el rea encerrada por el eje x y la curva )2( xseny = considerando solo
. a) Trace una grfica de f (x) = x( x + 2 )( x -1).
un perodo.
7
237
-
b) Calcule el rea total entre la grfica y el eje x, cuando x vara entre -2 y 1.
para trazar una grfica de g. D rdenadas (x, y) para todos los ximos y m imos locales.
9. Grafique y calcule el rea de la regin
rva f(x) = x2+1 y el eje x, para x entre 1 y 2. b) La curva f(x) = x3 y el eje x, para x entre 1 y 3.
8. En la figura se presenta la grfica de la derivada g de una funcin g. Suponga que g(0) = 0. Use las reas de la figura y el Teorema Fundamental del Clculo Int.
coom n
limitada por:
a) La cu
c) La curva f(x) =cos x y el eje x, con [ ]2/,0 x . e) La curva f(x) = x2-1 y el eje xd) La curva f(x) = ex-1, el eje y, y la recta y = ln 2.
, para x entre 0 y 3. f) Las curvas f(x) = x2 y g(x) = 2x.
g) Las rectas y = x21 , y = -x +3 y e
h) La curva f(x)=cos x y el eje x, con
l eje x.
[ ]2/,2/ xi) Las curvas y = -x
.
e y =2+ 2x 32
j) La cur
1 x .
va y = ln( x + 5), el eje x, x =-4.5 y x =0. k) y =ln x, el eje de las abscisas y la recta x = e. l) y = x3 - 5 x2 + 6 x, y el eje x. m) y = x3 + x2 , e y = 3x. n) y = sen 2 x, cuando x0 , y el eje x. o) y = x2 4, e y = - 2 x2 + 8. p) y = ex + 2, el eje x, x = - 3 y x = 2.
10. del da en cada grfica.
238
Encuentre el valor rea de la regin sombrea
-
1. Cul de las siguientes integrales da el rea de regin sombreada?
= a)
=
.6 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRAL
. Calcule el valor medio de la funcin f en el intervalo [a, b].
) en [-1, 2] b)
. Para cada uno de los siguientes casos, encuentre el valor de z correspondiente en el Medio para integrales.
xx
1laa) 11 ))(( dxxx 11 2 dxxb) 11 ))(( dxxx 11 2 dxx 4 ES.
1 a 13)( 2 += xxxf 3)( xxf = en [-1, 1] 2intervalo [a, b] que verifique el Teorema del Valor
a) dx b) ( )
=+3
1
2 32323 54138
1
=+ dxx c) ( ) =+41
2032 dxx
3. Un meteorlogo determina que la temperatura T (en F) durante un invierno est dada or
T = 0.05 t (t - 12) (t - 24),
temperatura media entre las 6:00 a. m. y el m dioda.
p
donde t es el tiempo en horas y t = 0 corresponde a la medianoche. Encuentre la
e
239
-
4. Suponga que la funcin
)026
la poblacin romedio de Mxico entre los aos 2000 y 2020.
a cantidad de cierta sustancia radiactiva, expresada en gramos, en el tiempo t, se
ediante la funcin
Encuentre el promedio c) Encuentre el valor prom
ttP .1(38.67)( = modeliza la poblacin de Mxico, donde P est dado en millones de habitantes y t est dado en aos a partir de 1980. Utilice esta funcin para pronosticar p
5. Lobtiene m
ttQ )96.0(4)( = , a) Encuentre Q(10) y Q(20). b) de Q(10) y Q(20).
edio de Q sobre el intervalo 2010 t . Compare con el
enor a mayor de
b) el valor promedio de f (x) cuando
) dxxf )(
edio para justificar que: a) ede ser 2.
b) E a
promedio obtenido en el inciso b). . Tomando como referencia la grfica de la figura, haga una lista de m6
los siguientes nmeros: a) f ' (1) ;
0 x a c) el valor promedio de la rapidez de cambio de f (x) cuando 0 x a
ad 0 7. Use el Teorema del valor M
El valor de 0 2 )( dxxsen no pu1l v lor de +0 8 dxx est entre 21 2 y 3.
8. El calor especfico Cv es la cantidad de calor requerida para elevar en 1C la temperatura de una masa de gas dada con un volumen constante, medida en unidades de cal/grado-mol. El calor especfico de
+ 10-5 (26 T - 1.87 T2 )
C T 675C y la temperatura a la cual se
1. Use el cuadriculado de su hoja para estimar el rea de la regin encerrada por la - x 2+12, e 3 y x = -3. Estime el rea por la Regla
cio.
l oxgeno depende de su temperatura T y satisface la frmula
Cv =8.27
halle el valor promedio de Cv para 20alcanza.
4.7 INTEGRACIN NUMRICA.
curva y = l eje x, y las rectas x =del Trape
240
-
2. Usar la regla del trapecio con n = 5, para obtener un valor aproximado de las siguientes integrales. Compare los resultados obtenidos con la regla de Barrow. Calcule el error mximo de la aproximacin.
+1
a) 0
21 xdx b)
2 dx 1 0
3. Calcule
xc) 2dxx
el valor aproximado de las siguientes integrales definidas, aplicando la Regla cio:
2
del Trape
a) +3 32
1 dxx n = 4 b) +1
41
1 dxx0 21
1 dxx
n = 4 c) n = 6
d) +3
211 dxx0
+2 1
0 +24 dxx n = 10 f) n = 8 e) 3 x
1
4. Use la Regla del Trapecio para esti
41dx
x n = 4
mar la integral definida: +2/5
1
3 2 8 dxx con n =6.
5. Supongamos que la siguiente tabla contiene valores de dos variables fsicas x e y , obtenidas experimentalmente. Si y = f(x) y f es una funcin continua, estime
x 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00
dxxf2
)( por medio de la Regla del Trapecio: 4
y 4.12 3.76 3.21 3.58 3.94 4.15 4.69 5.44 7.52
241
-
242
Notas sobre
-
ECUACIONES DIFERENCIALES
243
-
A.1 QU ES UNA ECUACIN DIFERENCIAL A veces no conocemos una funcin clave, ro tenemos informacin sobre su rapidez de cambio. Es posible que podamos e ibir una ecuacin que relacione esta informacin y la funcin misma. Llamamos a esas ecuaciones ecuaciones diferenciales y en ellas la incgnita no es un nmero sino una funcin.
DEFINICIN 1: Una ecuacin en la que aparece x, y, y, ...,y(n) , donde y es una funcin de x e y(n) es la derivada n-s de y respecto de x, es una ecuacin diferencial ordinaria de orden n (ODE
Ejemplo 1: y ' = 2x
pescr
ima).
xy 2= 2)cos()( = yxyxsen 01
2
= dy x y- 2y = sen(x) (1-y dx + x dy = 0 2) dx
244
-
Son ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 1, 3, 2, 1, 1, 1 respectivamente.
El orden est dado por el mayor orden de derivacin que aparece en la ecuacin.
o, si sustituda en dicha ecuacin, la reduce a una identidad.
La funcinordinaria
y '' - 2y ' + y = 0 (2)
Para verificar la validez de lo afirmado, hacemos
ex + ex + x ex
n
e la ecuacin (o darem uccin a ecuaciones del
Cuando el orden es 1, muchas escribimos la ecuacin diferencial en la forma F( x, y, y ' ) = 0 (1)
DEFINICIN 2: Se dice que una funcin f definida en un intervalo I, es solucin de una ecuacin diferencial en ese interval
Ejemplo 2
y = f (x) = x ex , es una solucin de la ecuacin diferencial
en I = ( -, ).
y = x ex - 2y ' = -2( ex + x ex ) y '' = y '' - 2y ' + y = 0
para todo nmero real Observaci
Es claro que cualquier funcin del tipo g(x) = x ex + C, tambin es solucin d 2).
os una muy breve introdEn este texto, slipo t
),( yxhdxdy = y = h(x,y) F( x, y, y ' ) = 0
las cuales se denomin ias de orden 1. Nota: Existe una rama de la matem clusivamente al estudio de las
ecuacion ellas, permite un estudio detalla casos. As como calcular una antiderivada o integral indefinida usamos una constante de integracin, manera anloga, al resolver una ecuacin diferencial de primer
( x, y, y ' ) = 0 usualmente se obtendr una familia de curvas o funciones G (x, y, milia y es una solucin de la ecuacin diferencial.
Cmo y en qu contexto apa as
an ecuaciones diferencia les ordinar
tica dedicada exuna clasificacin de es diferenciales y
do en la mayora de los
orden F C) = 0. Cada parmetro arbitrario determina un miembro de esa fa
recen l ecuaciones diferenciales?
245
-
Las ecuaciones diferenciales modelan numerosas situaciones de las ciencias xperimentales. Algunas de ellas son:
2. 3. riamiento 4.
Cul 1. La el instante t, es proporcional a la oblacin existente en el mismo instante.
e1. Leyes de crecimiento poblacional
Leyes de decaimiento exponencial Ley de Newton, de calentamiento y enfProblemas de mezclas de sustancias qumicas
es el modelo en los casos mencionados?
rapidez de cambio en una poblacin P en p
(1) kPdt
= kPPdP = 2. La cantidad de medicamento en sangre se elimina con una rapidez proporcional a la cantidad Q, que queda en el cuerpo en iempo t. el t
kQdQ(2) dt
= . on una rapidez proporcional a la
torno Te
(3)
3 La temperatura de un objeto caliente, se reduce cdiferencia entre su temperatura, T, y la de su en
)( edt
4. La rapidez con que se propaga un virus (c
TTk =
omo el de la gripe) es proporcional al nmero de personas x(t) que ya han contrado la enferm ad y al nmero de personas (t) que an no se han expuesto al contagio.
dT
edy
(4) kxydtdx =
en donde k es la constante de proporcionalidad. Si una persona infectada se introduce en una poblacin fija de n personas, entonces x e y, se relacionan por
x + y = n + 1 transformando la ecuacin en
)1( xnxkdtdx += (xkx )1 xn +=
con la condicin x (0)
tipo
= 1.
5. La rapidez con que cambia la concentracin de una sustancia en algn medio, se
modela tambin por una ecuacin del ),( yxhdxdy = .
En parordinarDijimo e solucin, haba una familia de solucio una en particular. Para resolver ese problema deben darse condiciones iniciales.
ticular, las situaciones mencionadas corresponden a ecuaciones diferenciales ias de primer orden. s anteriormente que cuando la nes, pero a menudo nos interesa
cuacin tiene
246
-
El prob
esolver
lema es entonces
R ),( yxhdxdy =
Suj y se llam
jemplo 3
cial
mos que y (0) = 3, sustituyendo x = 0 , y = 3 en la familia, resulta
3 = c e0 c = 3
x
a de valor inicial y ' = y
y (0) = 3
Ecuaciones Antes de comenzar a ejemplificar con aplicaciones, intentamos dar un mtodo simple
aciones diferenciales ordinarias.
Cuando la ecuacin
eta a la condicin inicial y (x0) = y0
a problema de valor inicial. E
La familia uniparamtrica y = c ex es una familia de soluciones de la ecuacin diferen
y ' = y en el intervalo I = ( -, ).
Si especifica
Decimos que y = 3e
es una solucin particular del problem
de variable separable.
de resolucin para un tipo simple de ecu
),(thdy = ydt
puede ser escrita en la forma
)2 ydtse dice que la ecuacin es de variables separabl te un mtod
((1
ht= )hdy
o muy simple para resolverla.
jemplo 4 b) y2 y ' = cos(3x)
es y exis
Ea) y y ' - x =0
La clave est en el hecho que, escribiendo
)()( 12 thdtdyyh =
iembros ree integrando ambos m specto de t, se tiene
= dtthdtdtdyyh )(1)(2 ahora, teniendo en cuenta que dydttydt
dtdy == )( , se obtiene
= dtthdyyh )()( 12 + C 247
-
partir de esta integracin puede hallarse una familia de soluciones
Supongamos que deseamos resolver la ecuacin
A Ejemplo 5
ykdt
= (4) dy
Solucin h1 (t) = k (constante) y h2 (y) = 1/ y
+ C ln(y) = k e kt e C y = C0 e kt
y = C0 e kt es la familia de soluciones buscada
1
convirti en un problema de inters pblico. Determinaremos un modelo para saber en cunto tiempo se limpiarn los lagos por s solos,
echos en ellos. e en un lago de volumen V en el
po t. Supongam iconstante r y q l contaminante est extendido de manera homognea en el lago, y que el agua limpia el resto del gua.
os el siguiente anlisis cmo vara Q con el tiempo? Ntese que como los contaminantes salen
Q se reduce y el agua que sale del lago est
Obtencin de
Rapidez con que cambia Q = - (rapidez con que salen los contaminantes) El signo negconcentracinuna rapidez r.
= dtkdyy/1 t + C y =
Aplicacin
En la dcada de 1960, la contaminacin de los Grandes Lagos se
suponiendo que no se arrojarn ms desea Q la cantidad total de contaminantS
tiem os que circula agua limpia en el lago a una rap dez ue sale agua a la misma rapidez. S ponga que eu
que entra en el lago se mezcla de inmediato conaHagamdel agua pero no entran, menos contaminada, de manera que se reduce la rapidez con la que los contaminantes salen del lago. Esto dice que Q es decreciente y cncava hacia arriba. Adems los contaminantes nunca se eliminarn por competo del lago an cuando la cantidad restante sea arbitrariamente pequea. En otras palabras, Q tiene como asntota el eje t. (ver FIGURA N.1)
la ecuacin diferencial.
ativo representa el hecho que Q sea decreciente. En el tiempo t la de contaminante es Q/V y el agua que contiene esta concentracin sale a
VrQ
inconcentracsalidadeRapidez
antescontasalenqueconRapidez ==min
or lo tanto, la ecuacin diferencial es P
248
-
QVr
dt=dQ (5)
La ecu por lo
el lago Michigan, cuyo volumen de agua es de V = 4.9 mil km3 y r = 58 km3/ao, podemos calcular cunto tiempo tardar en eliminarse el 90% de la
contaminacin.
uando el 90% se haya eliminado, resta el 10% entonces 0.032 entonces Q0 = Q0 e 0.032t
de donde se obtiene t =
ecu por lo
el lago Michigan, cuyo volumen de agua es de V = 4.9 mil km3 y r = 58 km3/ao, podemos calcular cunto tiempo tardar en eliminarse el 90% de la
contaminacin.
uando el 90% se haya eliminado, resta el 10% entonces 0.032 entonces Q0 = Q0 e 0.032t
de donde se obtiene t =
acin (5) es exactamente del tipo de la ecuacin (4) donde k = - r / V , acin (5) es exactamente del tipo de la ecuacin (4) donde k = - r / V ,
tatanto su solucin es Q = Q0 e -r t / V
Si consideramos
nto su solucin es Q = Q
11
CCQ = 0.1 Q0 como r / V = 158/4900Q = 0.1 Q
0 e -r t / V
Si consideramos
0 como r / V = 158/4900
032.0
)1.0ln( 72 a
plicacin 2
El modelo de decaimiento exponencial que describe contaminantes que salen de los Grandes Lagos, funciona para cualquier contaminante que entre o salga de un sistema hidrulico con mezcla completa, como por ejemplo la cantidad de medicamento en el cuerpo de un paciente. Despus de suspender la administracin de un medicamento, la rapidez con que ste sale del cuerpo es proporcional a la cantidad que queda en el cuerpo. Si representamos por Q la cantidad de medicamento que queda,
os
FIGURA N.1
A
kQdtdQ =
el signo negativo indica que la cantidad Q va decreciendo. Nuevamente la solucin es
Q = Q0 e kt
Donde k es una constante que depende del medicamento, Q0 la cantidad de medicamento en el cuerpo en el tiempo t = 0.
249
-
ontrolar la epilepsia; su vida media en el cuerpo humano es de
i) El dato sobre la vida media, puede utilizarse para calcular la
o).
62
0.1*Q0 = Q0 e (-0.0462) t
spejamos t.
Ejemplo El cido Valproic es un medicamento que se emplea para cunas 15 horas.
constante k ( como lo hacamos al comenzar el cursEn este caso resulta
k 0.04ii) Si deseamos averiguar cuntas horas despus de suspender la administracin habr un 10% del medicamento en el cuerpo, planteamos la ecuacin
y de
Resulta t = 0462.0)1.0ln( 49.84 horas
Luego de aproximadamente 50 horas, habr todava en el cuerpo
u Aplicacin 3
Se disu e 300gal in y luego l te mezclada se bombea fuera del tanque tambin a razn de 3 gal/min
al que entra es 2 lb/gal, determine la cantidad de
? Cunta sal hay despus de un largo tiempo?
La rapidez neta con que bia est dada por:
n 10% del medicamento.
elve inicialmente 50 lb de sal en un gran tanque que contien de agua. Se bombea salmuera al tanque a razn de 3gal/ma solucin adecuadamen
. Si la concentracin de ssal que hay en el tanque en un instante cualquiera. Cunta sal hay despus de 50 min
Solucin Sea A(t) la cantidad de sal ( en libras) en el tiempo t, en el tanque.
A(t) cam
dt 21tantan saleciasuslaentraciasusla
R
dA = queconrapidezqueconrapidez =
idad de sal * cantidad de lquido)
momento t es A(t),
RR
1 = 2 lb/gal * 3 gal/min = 6 lib/min (Cant La concentracin de sal en el tanque ( 300gal) en elpor cada galn ser A(t) / 300
R2 = 300
lb/gal * 3 gal/min = A(t)/100 lb/min )(tA
Ecuacin diferencial
250
-
dtdA = 6 A(t) / 100
Resolver esta ecuacin diferencial es hallar una funcin A(t) que se
ediante l mtodo dado, siendo
corresponda con el problema planteado.La ecuacin es de variables separables, luego puede resolverse m
eh2( A ) = 1/ (6 A(t) / 100); h1(t) = 1
dAA 100/6 1 = dt + C luego de integrar 100[ - ln(600 - A)] = t + C 0 +C 0
entonces
A( t ) = 60
- t/10 = ln(600 A) 600 - A = A e t/100
0 - 50 e t/100
251
-
I. REA
F
S Y VOL
IGURA
l
ANEXO
MENES DE ALGUNAS FIGURAS.
REA PERMETRO
RECTNGULO A = l w
p = 2l + 2w
w
252
-
PARALELOGRAMO A = b h p = 2(a + b)
21
TRAPECIO A = (a + b) h p = a+b+c+d
CIRCULO
A = r2
l = 2 r
CORONA CIRCULAR
A = (R2 -r2)
SECTOR CIRCULAR
A = r2 S = r
FRMULA del VOLUMEN
CUERPO
V = h3
r
S
b
h
r
a
b
h
a
dc
R
r
253
-
V = 34 r3
V = r2 h
V = 31 r2 h
V = 31 *(rea de la base)* h
CAS 1. Func ulos notable
II. RELACIONES TRIGONOMTRI
iones trigonomtricas de ng s
0 30 45 60 90
Sen 0 1
254
-
Cos 1 0
Tan 0 1
2. Relacin Pitagrica
n2 (x) + cos2 (x
3. Relaciones para la suma y diferencia de ngulos
s y = sen ( cos cos ) sen ) cos ( x y ) = cos (x) cos (y) sen (x) sen (y)
tan ( x y
se ) = 1
en ( x ) x) (y) (x (y
) = )tan()tan(1)tan()tan(
yxmyx
4. Identidades del ngulo doble y medio
4. Relaciones entre cada funcin trigonomtrica y las cinco restantes.
Funcin sin cos tan
255
-
sin
cos
tan
csc
sec
cot
csc sec cot
sin
cos
tan
csc
sec
cot
BIBLIOGRAFA
256
-
1. Calculus, Vol 1,Vol 2. Michael Spivak. Editorial Revert,s.a. 1970. 2. Calculus. Deborah Hu leason, et al. Wiley & Sons,
INC. 1994. ISBN 0-4713. Clculo una variable. Thomas/Finney, 9na edicin. Addison Wesley. 1998.
ISBN 968 444 279 3
ghes-Hallett, Andrew M. G-31055-7
4. Clculo con Geometra Analtica. Ea Swokowski, 5. Clculo para Cs. Administrativas, Biolgicas y Sociales. Louis Lei
rlthold. Harla