CAPITULO 3

DERIVADA

121

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3.1 VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTNEA Siendo el concepto de funcin fundamental para lo que vamos a tratar en el resto del curso, lo visto hasta ahora debe tomarse como una preparacin para lo que viene y de ello depende el entendimiento de los nuevos conceptos. Un problema importante a resolver a travs de los tiempos fue, poder medir con qu rapidez se mueve algo. No es complicado medir cmo cambia una cantidad en un lapso de tiempo y estimar la rapidez en ese lapso pero la velocidad de un objeto en un instante de tiempo dado, es un concepto que presenta cierta dificultad para definirlo con precisin. Consideremos la afirmacin: en el instante que cruzaba la lnea final el caballo viajaba a 42 millas por hora. Cmo puede ser confirmada tal afirmacin? Una fotografa tomada en ese instante mostrar al caballo sin movimiento. Hay una cierta paradoja en tratar de cuantificar la propiedad del movimiento en un instante particular de tiempo ya que al querer enfocar en un solo instante el movimiento se detiene. Una dificultad similar surge cuando tratamos de medir la razn de cambio, por ejemplo, aceite saliendo de un tanque daado (con alguna rotura). La afirmacin: una hora despus de la ruptura (del tanque) el aceite sala a razn de 2000 cm3 por segundo, parece no tener sentido. Podra argumentarse que en un instante sale nada de aceite. El problema del movimiento fue un tema de preocupacin de filsofos ya en los aos 500 A.C. y una de las principales razones para la invencin del clculo. En la poca moderna el aporte principal fue hecho por Newton quien da un enfoque distinto al problema: en lugar de enfocar la rapidez en un instante de tiempo, sugiere mirar el problema en pequeos intervalos de tiempo que contienen a ese instante. Cambio y rapidez de cambio Analicemos la siguiente situacin. Ana est creciendo. En la tabla 3.1 aparece su estatura de cada ao. Vemos que el cambio de estatura durante los primeros cuatro aos es

C1 = 39 pulg -19 pulg = 20 pulg y entre los cuatro y 14 aos

C2 = 63 pulg -39 pulg = 24 pulg

Edad (aos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Estatura (pulgadas) 19 28 33 36 39 42 44 47 49 51 54 56 59 61 63

La pregunta que podramos hacernos es, creci ms rpidamente durante los primeros cuatro aos o en los siguientes diez? Ella creci 20 pulg. durante los primeros 4 aos y 24 pulg. en los diez siguientes. Sin embargo esos nmeros no nos dicen cuando estuvo creciendo ms rpido. Para contestar esta pregunta utilizamos la razn de cambio.

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Como su nombre lo indica, es una razn o cociente o divisin entre dos cantidades. Calculamos Cambio de estatura 39 19 20 = = = 5 pulgadas por ao Cambio en edad 4-0 4 La rapidez promedio de crecimiento en los primeros 4 aos fue 5 pulgadas por ao. Cambio de estatura 6339 24 = = = 2.4 pulgadas por ao (10 siguientes) Cambio en edad 14 - 4 10 La rapidez promedio de crecimiento en los diez aos siguientes fue 2.4 pulgadas por ao. Por lo tanto su crecimiento fue ms rpido durante los primeros 4 aos. En promedio fue 5 pulgadas por ao. Cul fue la rapidez de crecimiento, el cuarto ao? En lo que sigue tratamos de responder esa pregunta. Velocidad promedio y velocidad instantnea Supongamos por simplicidad que un objeto est en movimiento sobre una lnea, para definir la velocidad promedio v, durante un intervalo de tiempo, de manera fcil (decimos en ese caso que el movimiento es rectilneo). Usamos la frmula

v = td

donde t denota la longitud del intervalo de tiempo y d la distancia entre la posicin inicial y la posicin despus de t unidades de tiempo. Tenemos nuevamente una razn de cambio. A modo de ilustracin supongamos que un automvil deja la ciudad A a la 1:00 p.m. y viaja a lo largo de un camino recto, arribando a la ciudad B, a 150 Km de la ciudad A, a las 4:00 p.m. La velocidad promedio o velocidad media en el intervalo de tiempo especificado es

v = 3

150 = 50 Km / h

Esta es la velocidad que, si se mantuviera a lo largo de 3 horas, permitira al automvil recorrer los 150 km desde A hasta B en ese tiempo. La velocidad promedio no da informacin acerca de la velocidad en un instante. Su velocidad en un instante dado del viaje es la que marca el velocmetro y esa es la que deseamos investigar ahora. Por ejemplo a las 2:30 p.m. el velocmetro pudo haber registrado 40 o 30 o pudo haber estado en reposo. Si deseamos determinar la velocidad a la cual el automvil est viajando a las 2:30, es necesario tener informacin acerca de su movimiento o posicin cerca de ese tiempo. Por ejemplo, supongamos que a las 2:30 el automvil est a 80 km. de A y a las 2:35 a 84 km de A. Para el intervalo de 2:30 a 2:35 el tiempo transcurrido es de 5 minutos, o sea 1/12 horas y la distancia d es de 4 Km., por lo tanto la velocidad media es

v = 12/14 = 48 Km / h

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Sin embargo, este an no es el valor exacto de la velocidad a las 2:30 p.m. puesto que, por ejemplo, el automvil pudo haber estado viajando muy lentamente a las 2:30 y luego subir la velocidad considerablemente de manera de arribar al punto de los 84 km. desde A, a las 2:35. Evidentemente, una mejor aproximacin del movimiento se obtendra si considerramos la velocidad promedio durante un pequeo intervalo de tiempo, digamos desde las 2:30 a las 2:31. Por cierto, el mejor procedimiento parece ser tomar intervalos de tiempo cada vez ms y ms pequeos, cercanos a las 2:30 y estudiar la velocidad promedio en cada intervalo. Cuando procedemos de esta manera, decimos que estamos buscando un valor lmite. Para basar nuestra discusin en conceptos matemticos, supondremos que la posicin de un objeto en movimiento rectilneo puede ser representado por un punto P sobre una recta coordenada l. A veces nos referimos al movimiento del punto P sobre l o al movimiento de un objeto sobre l, cuya posicin est especificada por P. Adems supondremos que la posicin de P es conocida en cada instante de un intervalo de tiempo dado y est dada por una funcin. Si s(t) denota la coordenada de P en el tiempo t, entonces la funcin s es llamada la funcin de posicin para P, de manera que, para cada t, el punto P est a s(t) unidades desde el origen, como ilustra la figura 3.1.

PO

0 s(t) FIGURA 3.1 : Posicin del punto P en el tiempo t Para definir la velocidad de P en el tiempo t = a, comenzamos investigando la velocidad promedio en un intervalo pequeo de tiempo alrededor de a. Consideramos tiempos a y a + h donde h es un nmero que puede ser positivo o negativo pero no cero. Las correspondientes posiciones de P son s(a) y s(a + h) (figura 3.2). El desplazamiento de P en el intervalo de tiempo [a, a+h] es s(a + h) - s(a). Este nmero puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo si la posicin de P est a la derecha, a la izquierda o es la misma, que su posicin en el instante t = a.

FIGURA 3.2

l

s(a+h)0

O P

s(a)

As, la velocidad media de P entre los tiempos a y a+ h es

v med = h

ashas )()( +

DEFINICIN 1: La velocidad promedio o velocidad media de un objeto sobre

el intervalo de tiempo a t b es el cambio neto en la posicin durante el intervalo, dividido por el cambio en el tiempo

v med = tiempoelencambioentodesplazami =

abasbs

)()(

donde s es la funcin de posicin del objeto y b = a+ h para algn valor h.

125

Aplicacin 1 La posicin de una partcula P sobre una recta coordenada l est dada por

f(t) = t 2- 3t, donde f(t) est medida en pies y t en segundos. Calculamos la velocidad promedio de la partcula, en los dos primeros segundos.

Solucin tiempo inicial t = a = 0; tiempo final t = b = 2

v med = tiempoelencambioentodesplazami =

02)0()2(

ff =

264 = -1

Como en la discusin anterior, cuanto mas pequeo sea h, ms prxima estar la velocidad media de la velocidad en el instante a. Cuando estamos interesados en mirar la velocidad instantnea en t = a , buscamos intervalos de la forma a t a +h , con h cada vez ms pequeo y calculamos sobre cada uno de ellos la velocidad promedio, siendo h la medida del intervalo.

La velocidad instantnea es el nmero al cual se aproximan las velocidades medias cuando h se hace ms y ms pequeo. De otra manera, podemos decirlo:

Es el nmero lmite del cociente h

ashas )()( + , cuando h se aproxima a cero.

DEFINICIN 2: La velocidad instantnea en t = a es

v(a) = h

ashaslimh

)()(0

+

La expresin dada en la ltima definicin forma el fundamento del clculo y es, simplemente, una manera breve de escribir la idea descripta anteriormente: el nmero al que las velocidades medias se aproximan cuando el intervalo de tiempo tiende a cero (siendo la longitud del intervalo siempre distinta de cero). Comentario

Podemos establecer una diferencia entre velocidad y rapidez. Supongamos que un objeto se mueve sobre una recta. Si fijamos una direccin como positiva, la velocidad es positiva si el objeto va esa misma direccin, y negativa si va en la direccin opuesta. Por ejemplo si lanzamos una pelota, hacia arriba es positiva y hacia abajo negativa.

La rapidez es la magnitud de la velocidad y es siempre positiva o cero. rapidez =| velocidad |

126

Qu es un lmite, cmo procedemos para hallarlo? Miremos con ms detalle qu significa tomar el lmite de la definicin 2. Supongamos, por ejemplo, que a = 5; s(t) = t2, y que deseamos calcular el lmite L:

L = h

shslimh

)5()5(0

+

L es el nmero que se obtiene evaluando la expresin hshs (5 ++

hh25))5()5( 2

= en valores de h ms y ms cercanos, por derecha y por izquierda, a 0, observando a qu valor esos valores convergen. Nota

Decimos que una sucesin de valores convergen a un valor L, si hay una tendencia a ese nico valor L.

Consideremos los valores de h dados en la tabla siguiente y miremos el valor del cociente correspondiente

h 0.1 0.01 0.001 0.0001 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001

hs(5) -h)s(5 +

10.1 10.01 10.001 10.0001 9.9 9.99 9.999 9.9999

Los valores de en la tabla parecen tender al nmero 10 cuando h 0.

hshs )5()5( +

Tomamos como valor del lmite L = 10, sin embargo no podemos asegurar que realmente el lmite sea 10, podra ser 10.00001. Cuando procedemos de este modo estamos calculando una estimacin numrica del lmite. Demostrar que el lmite es exactamente 10 requiere del lgebra y de una definicin rigurosa de lmite de funciones. Eso est fuera de tratamiento en este curso. En este contexto calcularemos lmites usando propiedades de los lmites o estimando su valor mediante una aproximacin. Notemos que cuanto ms pequeo tomemos h mejor ser la aproximacin a L, pero no ser el valor exacto.

Resumiendo. Podemos estimar el valor del lmite h

ashaslimh

)()(0

+

tomando un

valor pequeo de h y calculando el cociente

hashas )()( + .

Cuando s es la funcin posicin del objeto que se mueve, se obtiene as una aproximacin de la velocidad instantnea en a:

hashasav )()()( +

127

En forma ms general se da la siguiente definicin de lmite de una funcin y = f(x) cuando x tiende al valor a DEFINICIN 3: Sea a perteneciente a un intervalo abierto I, y sea f una funcin

definida en todo punto de I, excepto posiblemente en a, y L un nmero real. Entonces

)(xflimax

= L

significa que f(x) puede acercarse arbitrariamente a L si x se elige suficientemente cercano a a pero distinto de a ( x a).

Observacin

Cuando decimos si x se elige suficientemente cercano a a significa acercarse a a por derecha y por izquierda. Si slo lo hacemos por derecha por izquierda el lmite se denomina lateral y se denota por o segn x tienda a )(lim xf

ax +)(lim xf

ax a por

derecha o por izquierda respectivamente.

Un concepto ligado al de lmite es el de continuidad. Grficamente una funcin continua no tiene huecos ni saltos. Numricamente significa que pequeas variaciones en la variable independiente llevan a pequeas variaciones en los valores de la funcin. De all su importancia.

DEFINICIN 4: Cuando f(a) est definido y = f(a) decimos que la

funcin f es continua en x = a.

)(xflimax

Ejemplos de funciones continuas son los polinomios, la exponencial, el logaritmo, las trigonomtricas, en sus respectivos dominios; las racionales en los puntos en los que no se anula el denominador. Como hemos visto en la unidad 2, la mayora de las funciones se obtienen como suma, producto o composicin de funciones ms simples, por este motivo se enuncian ( sin demostracin) teoremas y reglas de clculo de lmites para esas funciones. Esas reglas y las propiedades de los lmites (que tampoco demostraremos) permitirn el clculo del lmite de funciones ms complicadas. Reglas para el clculo de lmites. 1. Si f es la funcin constante y = f(x) = c para todo x

axlim

c = c

128

Ejemplo 1 = 8 8

3xlim

2. Si f(x) = x para todo x

axlim

x = a

Ejemplo 2 xlim

x 3 = 3

3. Si el = L y = M , entonces )(xflim

ax)(xglim

ax

i) = L M [ ])()( xgxflimax

ii) = L M [ ])()( xgxflimax

iii))()(lim

xgxf

ax = L / M si M no es cero

iv = c L )(xfclimax

Ejemplo 3

a ) xlimx

+

53

= 5 + 3 b) 23

xlimx

= 3 3 = 3

c) 74

1253

2

3 +

xxxlim

x=

7)3(41)3(2)3(5

3

2

+ = 40 / 101

4. Un teorema muy importante es el siguiente: TEOREMA 1 Si f y g son funciones tales que = b y si f es continua en b,

entonces

)(xglimax

))(( xgflimax

= f(b) = f ( ) (xglimax

)

Ejemplo 4

a) 3 20

83 +

hhlimh

= -2

b) = e )4(161

tt

elim +

-80

Se dan a continuacin aplicaciones del clculo de lmites. Aplicacin 2

La posicin de un punto P sobre una recta coordenada l est dada por f(t) = t 2- 3 t,

donde f(t) est medida en pies y t en segundos.

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(a) Encontrar la velocidad en t = a (b) Cul es la velocidad en t = 0? (c) Determinar intervalos de tiempo en los cuales: P se mueve en direccin positiva; P se mueve en direccin negativa En que instante la velocidad es cero?

Solucin

a) vmed = h

afhaf )()( + = [ ] [ ]h

aahaha 3)(3)( 22 ++ =

h

aahahaha 3332 222 +++ = h

hhah 32 2 + = 2a+ h 3

Cuando h tiende a cero, vmed se aproxima a 2a -3 En consecuencia

-2 -1 0 1 2 3 41.5-4

-2

0

2

4

6

8

10f ( t ) = t2 - 3t

v = 0

v > 0

v < 0v(a) = hafhaflim

h

)()(0

+

=

)32(0

+

halimh

= 2a -3

(b) En particular, la velocidad en t = 0 es v(0) = 2*(0) - 3 = -3 pies / seg

(c) P se mueve en direccin positiva si a medida que el tiempo avanza v(a) es positiva, es decir, cuando a > 3/2.

FIGURA 3.3 P se mueve en direccin negativa si a medida que el tiempo avanza v(a) es negativa es decir, cuando a < 3/2. La velocidad es cero cuando a = 3/2.

Aplicacin 3 Desde un globo de aire caliente que se halla a una altura de 512 pies, se deja caer un saco de arena del lastre. Si se desprecia la friccin del aire, la distancia s(t) del suelo al saco a los t segundos est dada por

s(t) = -16 t 2 + 512. Calcular la velocidad del lastre en (a) t = 2 segundos; (b) en el momento en que llega al suelo

Solucin (a) Como muestra la figura 3.4 podemos considerar que el saco se mueve sobre una recta coordenada t vertical cuyo origen se encuentra a nivel del suelo.

Tomamos primero la velocidad media y simplificamos

vmed = h

shs )2()2( + =

FIGURA 3.4

= [ ] [ ]h

h 512)2(16512)2(16 22 +++ = h

hh )4(16 + = )4(16 h+

0s(t) 512'

130

Luego, aplicamos las reglas para el clculo de lmites. v(2) = )4(16

0hlim

h+

= -64 pies / seg

La velocidad en el instante t =2, es -64 pies / seg

(b) Ntese que en el momento en que el saco se suelta, t = 0 y la distancia al suelo es

s(0) =-16(0) + 512 = 512 pies, y en un instante cualquiera t la distancia al suelo es

s(t) = -16 t 2 + 512 La pregunta es: cul es el tiempo t para el cual s = 0?

La ecuacin a resolver es: 0 = -16 t 2 + 512 La solucin es t = 32 = 4 2 seg. 5.66 seg

En el punto a), podramos haber calculado la velocidad en un instante cualquiera t = a y usar ese resultado para hallar la velocidad en tiempos particulares. Eso haremos ahora.

vmed (a) = h

ashas )()( + =

[ ] [ ]h

aha 512)(16512)(16 22 +++ =h

hah )2(16 + = )2(16 ha +

v (a) = )2(160

halimh

+

= -16*2*a

Entonces cuando a = t = 5.66seg , v = -16*(2*5.66) = -181 pies / seg Visualizando la velocidad: pendiente de una curva Hemos visto como estimar la velocidad numricamente. Ahora veremos cmo visualizar la velocidad usando una grfica de altura. Supongamos nuevamente que lanzamos una pelota hacia arriba. La figura 3.5 muestra la grfica de la altura (espacio) contra el tiempo. Podemos visualizar la velocidad media sobre esta grfica ? Supongamos y = s(t). Consideremos el intervalo 1 t 2 y la expresin

vmed = dotranscurritiempo

recorridadistancia =12

)1()2( ss

=1

58 = 3m/seg

El cambio en la altura en el intervalo [1, 2] es s (2) - s (1) y est marcado verticalmente. El 1 en el denominador es el tiempo transcurrido y est marcado horizontalmente en la figura 3.5.

FIGURA 3.5

131

Por lo tanto,

vmed = dotranscurritiempo

recorridadistancia = pendiente de la recta que pasa por A y B .

La velocidad promedio sobre un intervalo es la pendiente de la recta que une los puntos sobre la grfica de s(t) correspondiente a los puntos finales del intervalo.

Podemos visualizar la velocidad instantnea? Fijemos un instante, por ejemplo, t = 1 y tomemos intervalos cada vez ms pequeos con un punto extremo en t = 1. Cada velocidad promedio representa la pendiente de la recta correspondiente, como en la figura 3.6. Como la longitud del intervalo se va estrechando las pendientes se acercan a una pendiente lmite. Esa pendiente lmite es la pendiente de la recta tangente en t = 1 o pendiente de la curva, en ese punto.

IGURA 3.6

a idea est en el hecho yora de las funciones

(c) zoom 2

FIGURA 3.7 (a); (b); (c)

F L que en una escala muy pequea, la mapueden mirarse como una lnea recta. Imaginemos tomar la grfica de una funcin y hacer un zoom in acercndonos tanto como sea posible centrndonos en el punto de inters. Entonces, la seccin de la curva eventualmente se ver como una lnea recta (figuras 3.7)

(b) zoom 1

(a)

132

lamaremos a esa recta, recta tangente. y a su pendiente, pendiente de la curva en el

lizamos la velocidad instantnea mediante la

Lpunto. Cuando hablamos de velocidad, visuapendiente de la recta tangente. Podemos definir recta tangente para una funcin genrica f , de la siguiente manera: DEFINICIN 5: Sea f una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a x = a. La pendiente m de la recta tangente a la grfica de f en el punto (a, f (a)) es

m = ax

lim xf afax

)( siempre que este limite exista.

Nota : , el lmite de la d

)(

Sustituyendo x por a + h efinicin 5 se escribe:

0limh

h

afh )()af ( +

La ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto (a, f (a)) es

donde est dada por y = f (a) + m ( x - a ) la definicin 5.

ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto x = 1.

ecuacin. Por ser recta tangente debe pasar por un

m

Ejemplo 5 a) Sea f (x) = 3x2 + 5. Hallar la

Solucin a) Como en toda situacin en la que se pide determinar la ecuacin de una

recta, antes que nada, analizamos si la informacin que tenemos basta para determinar su punto (a,f(a)), en este caso (1, f (1)) = (1, 8); si calculamos la pendiente, el problema est resuelto. La pendiente se calcula usando la definicin 5. f(a) = 8; a = 1;

m = lim ax ax

afxf )()( =

lim1x 1

8)53( 2 +x

= x

1limx 1

33 2

xx =

1limx 1

)1(3 2 xx

=

1limx 1

)1)(1(3

+x

xx =

Ahora escribimos la ecuacin de la recta:

y = m ( x- a ) = 8 + 6 ( x 1)

1limx

)1(3 +x = 6

f (a) + FIGURA 3.8

133

3.2 RAZN DE CAMBIO INSTANTNEA: LA DERIVADA EN UN PUNTO

C

ra o la in definir la razn de cambio stantnea de una funcin cualquiera f en un punto x = a. Simplemente se repite lo

ue dijimos para la velocidad. Miramos la razn de cambio promedio sobre intervalos

uando calculamos la velocidad media y la instantnea, la funcin considerada fu ladistancia. Podemos tambfuncin posicin o la altu

inqms y ms pequeos y tomamos el lmite.

razn de cambio de f en a = 0

limh

h

afhaf )()( +

Este nmer y se denota por

f a

o, es tan importante que tiene nombre propio, la derivada de f en af '(a).

DEFINICIN 6: Sea una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a . La derivada de f en a es

134

f '(a) = 0h

limh

afhaf )()( +

de f(x) cuando la variable x cambia, f '(a) es un nmero cuando el lmite existe y lo llamamos la derivada de f con respecto a x en x = a.

tario

A veces escribimos f '(a) = lim a

Remarcamos que f '(a) es la razn de cambio

Comen

ax

afxf )()(

x haciendo x = a + h

Las grfica so lmite me nte.

FIGURA 3.9 a)

s muestran grficamente el proce ncionado anteriorme

FIGURA 3.9 b)

Notaciones para la derivada

dxdy = [ ])(xf

dxd f '(x) = Dx [f(x)] = Dx y = y' =

plicacin 4 La funcin r para el radio de una esfera en trminos de su volumen V, est dada por la frmula

r(V) =

135

A

3/13 V4

Eligiendo valores pequeo , estim mos la razn de cambio instantnea del radio de una esfera con respecto al cambio en el volumen

in

n h = 0.01 se tiene

s de h a

V cuando V = 1.

Soluc

Coh

rhr )1()1( + = 2061.001.0

)1()01.1(

rr

hrhr )1()1( + = 2075.0

01.0)1()99.0(

rr y h = -0.01,

Con h = 0.001 y h = -0.001,

2069.0001.0

)1()999.0(

rr 2067.0

001.0)1()001.1( rr y

es de estos cocientes de diferencias sugieren que el lmite est entre

con respecto al cambio

Una pregunta qu directamente el

mite

los valor0.2067 y 0.2069, redondeando a tres cifras, la sugerencia cae en 0.207; tomando h ms pequeos se confirma este valor. De modo que

la razn de cambio instantnea del radio en el volumen cuando V = 1 es r' (1) 0.207

e podramos hacernos es: Por qu no calculamos l

+ 3)1(31 h0

limh

)1()1( + rhr =h

330 44lim

hh ?

Una de las razones es que no estamos en condiciones de efectuar los clculos

Ahora podemos rescribir la ecuacin de la recta tangente del siguiente

acin de la recta tangente a la grfica de f en el punto (a , f(a)) es

y = f

algebraicos necesarios. Otra, es que en las aplicaciones se da cierto margen de error como para aceptar un valor aproximado razonable. Observacin

modo

La ecu(a) + f '(a) (x-a)

EjemHallar la derivada de la funcin y = x en el punto x = 1. Dar la ecuacin de

ente a esa curva en x = 1. Solucin

f '(1) =

plo 6 2

la recta tang

Necesitamos calcular

0hlim

hfhf )1()1( +

Calculamos el lmite

0hlim

hh 22 )1()1( + =

0hlim

hhh 1)21( 2 ++ =

0hlim

hhh 22 + = ) = 2,

de modo que f '(1) = 2, por lo tanto la razn de cambio de x en x

tricamente, eso significa que la recta tangente a la curva de f (x) = x2

jemplo 7 Sea f (x) = 3x2 + 5

n el ejemplo 5, encontramos la ecuacin de la recta tangente a f en x = 1 y = 8 + 6 ( x 1)

a perpendicular a la recta

Solucin

Es obvio que la pendiente de la recta tangente debe ser m = 3; supongamos que = a es la ordenada del punto buscado.

0hlim ( h+2

2 = 1, es 2. Geomtiene pendiente igual a 2. La ecuacin de la recta tangente es

y = f (1) + f '(1) (x-1) = 1 +2 (x-1) = 2x 1

E E

Ahora buscaremos el punto de la grfica de f en el cual la recta tangente se y = -1/3 x.

x

Por definicin m = ax

lim ax

afxf )()( =

xlim

a axax ++ )53()53( 22 =

(x+a) = 6a

punto buscado es: (1/2, 23/4)

Podramos agregar que, y f (1) = 6 (calculada n ejemplo5), es claro que el valor de x para el cual f (x) = 3 deba ser algn x < 1.

3 ax

lim

Si m = 6a = 3 entonces a = 1/2. El

La recta tangente es y = 23/4 + 3(x-1/2)

por ser f una funcin creciente para x > 0e(Analice el alumno este comentario)

136

Resumiendo

a de una funcin en x = a es la razn de cambio de f(x) cuando la bia .

a

La derivad variable x cam Geomtricamente es la pendiente de la recta tangente a la grfica de f en el punto (a, f (a) ). Algebraicamente se calcula mediante un lmite

f '( ) = limh 0

afhaf )()( +h

Numricamente se la ap or el cociente h

afhaf )()( + y escribimos roxima p

f '(a) h

afhaf )()( + cuando h es pequeo suficientemente

a interpretacin geomtrica de la derivada en un punto, es decir, como pendiente de la cta tangente, muchas veces es til para obtener informacin sobre la derivada.

recta tangente en x = en ese punto es

URA 3.10

o en intervalos muy pequeos

curva y = f (x) est muy prxima a la curva en los que para un pequeo intervalo centrado en

Lre Ejemplo 8

La derivada de sen x en x = , es positiva o negativa? Solucin

Mirando la grfica de sen x, vemos que un dibujo de la tiene pendiente negativa, de modo que la derivada negativa

FIG Recuerde que si se mira la grfica de la funcin senlrededor de , la funcin se ver casi como una recta. a

Linealizacin de una funcin El hecho de que la recta tangente a la

untos cercanos al punto de tangencia, hace pese punto, los valores de y a lo largo de la tangente den una buena aproximacin a los valores de y en la curva.

137

DEFINICIN 7: Si f es derivable en x = a, entonces la funcin de aproximacin

L(x) = f (a) + f '(a) ( x - a )

L es una aproximacin de f, para puntos cercanos a a

es la linealizacin de f en a.

Importante: , eso se escribe

f (x) L(x) para

x~ DEFINICIN 8 Diremos que una aproximacin de x, aproxima a x con k dgitos significativos si

xx ~< 5*10 k| E | =

x

bservacin la aproximacin hallada funciona mal si el punto de clculo

no est cerca del centro de la linealizacin. Por ejemplo, en x = 1.5 se

E indica el error relativo. O

Obviamente

tiene 5.2 = 1.5811 y 1 + 1.5/2 = 1.7500

los resultados difieren en ms del 10%. El centro es x = 0.

asta aqu, hemos usado para estimar la derivada en un punto x = a (es decir, la pendiente de la recta tangente en ese punto), la inform x

a + h

Hacin del punto de la derecha,

=

f '(a) h

afhaf )()( + (1)

Podramos haber usado el punto de la izquierda,

hhafaf )()( (2) f '(a)

Y, cuando es posible, para un resultado con ms precisin, podramos promediar estas pendientes y decir

f '(a) afhaf ()( + h)h2

(3)

Las frmulas (1), (2), y (3) pueden usarse, dependiendo de la situacin, para estimar '(a).

Use la recta tangente en x = 0 para estimar el valor de sen x cerca de x = 0. olucin

mando el intervalo -0.1 < x < 0.1 se obtiene

f

Ejemplo 10

STo

0.2sen(-0.1) - sen(0.1) = 0.9983

lo cual dice que la pendiente de la recta tangente en x = 0 es casi 1,

si -0.01 < x < 0.01 se tiene que 0.02

=1.0000 sin(-0.01)-sin(0.01)

cual significa que la recta tangente es y = x (recordar como se encuentra pendiente dada y que pasa por el punto

El hecho es que podemos usar esta recta y = x para estimar los valores de la funcin sen(x) cuando x est cerca de 0.

lola ecuacin de una recta con (0,sen(0)) ).

139

Por ejemplo, el punto sobre la recta y = x con coordenada x = 0.32 es (0.32,0.32). Puesto que la recta est muy prxima a la grfica de la funcin seno, estimamos que sen(0.32) 0.32.

Verificando con la calculadora se encuentra que sen(0.32) = 0.3146 de modo que la estimacin hecha ha sido buena. La figura 3.13 induce a pensar que sen (0.32) es ligeram menor que 0.32 como efectivamente lo es.

Porqu usamVimos en el Esta es la ra

vea qu oc

para estimar f (2).

x 1.998 1.999 2.000 2.001 2.002

FIGURA 3.13

ente

os radianes y no grados? ejemplo anterior que la derivada de sen(x) en x = 0 es 1, cuando x est en radianes.

zn por la usamos radianes. Como ejercicio, estime en grados, la derivada de sen(x) urre. y

Ejemplo 11

La tabla siguiente muestra valores de f(x) = x3 cerca de x = 2. Use estos datos

x3 7.976 7.988 8.000 8.012 8.024 Solucin

a derivada, f (2), es la razn de cambio de x3 en x = 2. Notemos que para cada cam n a l de bia en 0.012. Por lo tanto,

razn de cambio de f en x = 2 es f (2)

Lbio e x en 0.001 (en l tabla), e valor x3 cam

001.0Es importante observar lo siguiente. Los valores de la funcin que aparecen en la tabla se ven como lineales a causa del

012.0 = 12

redondeo. Por ejemplo, 12.

De manera que la tabla no slo dice que mente 12 el clculo exacto requiere de ms

conocimientos de lgebra.

f (2.001) = 8.012006001 y no 8.0 la derivada es aproximada

sino que tambin muestra que

140

3.3 LA F Hasta aqu derivada tox.

DEFINICIN 9 Para cada funcin f denotamos la funcin derivada por f (x) y la

UNCIN DERIVADA

miramos la derivada en un punto fijo. Si variamos ese punto, en general, la ma valores diferentes sobre puntos distintos, es en s misma una funcin de

definimos como

f '(x) = lim0h h

xfhxf )()( + para cada x para el cual este lmite exista.

a valor de x para e cin es

funcin es diferenciable en todo lugar. Nosotros trataremos con funciones diferenciables en todo su dominio, excepto, quizs en algunos puntos aislados.

Deriva Para un

erivada.

i tenemos una funcin dada por una tabla de valores podemos estimar los valores de s y obtener una funcin derivada aproximada.

Supongamos que la siguiente tabla da los valores de c(t), la concentracin (mg/cc) de un medicamento en el torrente sanguneo, en el tiempo t. Para

Concentracin como funcin del tiempo

t (m

OTA NPara cad l cual el lmite existe, se dice que la fundiferenciable o derivable. Si existe para todo x del dominio, se dice que la

da numrica

a funcin dada por una tabla, hallamos numricamente la funcin d Ssu derivada en esos punto Ejemplo 12

estimar los valores de c(t), calculamos la razn de cambio de c(t) con respecto al tiempo.

in) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00 c(t)(mg/cc) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 0.41

Solucin

s valores de la tabla. Para hacer esto debemos suponer que los puntos datos estn suficientemente

ano om a la ce i c ie c t rer s

oncentracin va creciendo desde t = 0 hasta t = 0.4, de modo que nosotros esperamos all una derivada (razn de cambio) positiva. Como

Deseamos estimar la derivada de c(t) usando lo

cerc s c o par que con ntrac n no amb brus amen e ent ellos (esto es impo tante!). De la tabla se ob erva que : La c

141

el crecimiento es muy lento, debiramos esperar valores pequea para la derivada en esos puntos.

La concentracin no cambia entre 0.4 y 0.5, esperamos que la derivada sea 0.

A partir de 0.5 la concentracin comienza a decrecer y la razn de cambio es cada vez mayor por lo cual debiramos esperar que la derivada sea negativa y su magnitud cada vez mayor. imamos la derivada por la Est frmula

tchtc )()( +c(t)

h con h = 0.1

onces Ent

142

c(0) h

= ( 0.89 - 0.84 ) / 0cc )0()1.0( .1 = 0.5 mg/cc/min

scribimos: c (0) 0.5. De la misma manera E

hcc )1.0()2.0( c(0.1) = (0.94 - 0.89 ) / 0.1 = 0.5 mg/cc/min

)c(0.2 h

cc ()3.0( in

(0.3)

)2.0 = ( 0.98 - 0.94 ) / 0.1 = 0.4 mg/cc/m

c h

cc )3.0()4.0( = ( 1.00 - 0.98 ) / 0.1 = 0.2 mg/cc/min

hcc )4.0()5.0( c(0.4) = ( 1.00 - 1.00 ) / 0.1 = 0. mg/cc/min

h

cc )5.0()6.0( c(0.5) = ( 0.97 - 1.00 ) / 0.1 = -0.3 mg/cc/min

h

cc in )6.0()7.0( = (0.90 0.97 ) / 0.1 = -0. 7 mg/cc/mc(0.6)

hcc )7.0()8.0( c(0.7) = ( 0.79 - 0.90 ) / 0.1 = -1.1 mg/cc/min

y as siguiendo.

FIGURA 3.14 La figura 3.14, muestra un grfico de la concemtracin en funcin del tiempo.

Podemo de la funcin derivada c(t) con las aproximaciones obtenidas y trazar un grfico de ella . Queda al alumno completar la tabla.

1.00

s construir una tabla

t (min) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 c'(t)(mg/cc) 0.5 0.4 0.4 0.2 0.0 -0.3 -0.7 -1.1

a figura 3.15, muestra un grfico de la derivada de la concentracin en funcin del empo.

ota 1.- En el ejemplo previo hemos estimar la derivada en un punto, la

a un resultado con ms precisin, podramos promediar estas pendientes (ver pag 139) . Por ejemplo, hacer

FIGURA 3.15 Lti N

usado parainformacin del punto de la derecha, podramos haber usado el punto de la izquierda. Par

c(0.2) 1/2*( pendiente por izquierda de 0.2 + pendiente por derecha de 0.2 ) =

= 2.05.0 +2

Cada uno de estos mtodos d valores razonables al estimar la derivada. Por onveniencia, a menos que ha

= 0.45

ya una razn determinada, estimamos la derivada

2.- Observe el crecimiento de la funcin y compare con el signo de la derivada.

Reglas para hallar la derivada de una funcin dada por una frmula La de de ambio. En el punto anterior vimos como hallar la derivada de una funcin dada por una bla. Ahora aprenderemos cmo hallar una frmula para la derivada de una funcin

dada por una frmula.

cpor la derecha. Aunque en los extremos del intervalo debe usarse la frmula que contenga valores dados.

rivada de una funcin en un punto representa una pendiente y una rapidezcta

143

1. Si f(x) = k (para todo x) entonces f ' (x) = 0.

Ejemplo 13

0)5( =dxd

2. Si f(x) = mx + b entonces f ' (x) = m

jemplo 14

E

3)35( = xdxd

3. S

i c es una constante entonces

)]([ xcfdxd = c f ' (x)

Ejemplo 15

51*5)(5)5( === xdd dx

x

rpretamos en una grfica lo que dice la regla 3: La pendiente de la recta

gente a c f(x) es la pendiente de la recta tangente a f en el mismo punto, multiplicada por c. Considere f(x) = 1 x2 y g(x) = 1/2 f(x) = 1/2 (1 - x2).

bservar las figuras 3.15.

pendiente de la recta tangente = 2

dx

Ejemplo 16Intetan

O

FIGURA 3.16 a) f (x) FIGURA 3.16 b) g (x)

pendiente de la recta tangente = 1

144

4. Derivada de la suma y diferencia de funciones

)]()([ xgxfdx

= f ' (x) g(x) d

constante

5. Regla de la potencia: Para cualquier nmero real n

)( nxdxd = n x n-1

Ejemplo 17

a) )35( 72 xxd = 10 x 21 xdx

b)

6

)2( 5.4tdtd = 9 t

)

3. 5

)( pdpd c = p 1/2

gente a una curva est dada por la derivada, podemos

utilizar las reglas dadas para su clculo.

Encuentre una ecuacin para la recta tangente a la curva y = f(x) = x 3 + 2x 2 5x + 7 en x = 1.

uncin

y=

Como la pendiente de la recta tan

Aplicacin 5

Solucin

La derivada de la funcin da la f

dx debem

dy = 3 x 2 + 4x 5

os evaluarla en Como es una funcin, para hallar la pendiente en x = 1,ese punto. Escribimos

145

1=xdx= 3(1) + 4(1) 5 = 2 dy 2

La pendiente es 2. En el punto (1, f(1)) = (1, 5)

y

FIGURA 3.17

una ecuacin para la recta tangente es:

5 = 2 (x 1) y = 2x +3

6. La derivada de una composicin de funciones. Regla de la cadena

Si y = f(u) con u = g(t), son derivables, entonces

dtdu

dudy

dtdy

= ; otra notacin: )())(()( tgtgfgf =o

E plo 18 jem

Si y = (4t2 + 1)7 podemos descomponer esta funcin en y = f(u) = u7 y t) = 4t2 + 1. u = g(

dudy = 7 u6 ;

dtdu = 8t

onces Ent

dtdudt= = 7u 8t = 56 (4t + 1) t dudydy 6 2 6

Unidades para la derivada.

oblema de la velocidad planteado al comienzo de la unidad. Supongamos que s = f(t) da la posici os) desde un punto fijo, como funcin del tiempo t (en segund la afirmacin

Pensemos en el prn de un cuerpo (en metros). Cmo interpretamos

)2('fdt

sa igualdad nos dice que cuando

ds= = 10 m/seg ?

t = 2 seg, el cuerpo se est moviendo a una velocidad

Las unidades de la derivada de una f dependiente divididas entre la variable independiente.

Ejeel

La expresin f(10) = 6 significa que una dosis de 10 mg. permanece 6 horas. Y si decimos que f (10) = 0.5, significa que a una dosis de 10 mg. la

pidez de cambio de duracin es 0.5 horas por miligramo. Es decir, si

Ede 10 m/seg. Si el cuerpo contina movindose a esta velocidad todo un segundo (desde t = 2 a t = 3), se movera otros 10 metros.

uncin son la unidades de la variable s unidades de la

La derivada en un punto, de una funcin, nos dice con qu rapidez est cambiando la funcin en ese punto.

mplo 19 El lapso de tiempo L(en horas), que un medicamento permanece en

q, en sistema de una persona es una funcin de la cantidad administrada mg., por lo tanto L = f(q).

raaumentamos la dosis en 1 mg. el medicamento permanece en el cuerpo aproximadamente 30 minutos ms.

146

Ejemplo 2

sta cantidad como la derivada de alguna funcin.

olucin En principio podramos pensar que el enunciado tiene algo que ver con la

locidad del agua, pero de hecho una razn de 10 pies cbicos por segundo pograunidades, pies cbicos por segundo, nos dan la rapidez de cambio de una cantidad medida en pies3 . Un pie3 es una medida de volumen, de modo que nos indican un cambio de volumen. Si imaginamos que toda el agua que

0 Nos indican que circula agua por un tubo a razn de 10 pies cbicos por segundo. Deseamos interpretar e

S

vedra alcanzarse ya sea con agua que se mueve a gran lentitud en un tubo nde o con agua que se mueve con gran rapidez en un tubo estrecho. Las

esta circulando termina en un tanque y que el volumen de ese tanque en el tiempo t es V(t), entonces nos indican que la rapidez de cambio de V(t) es 10, o sea,

V(t) = dtdV = 10

n de la regla de la cadena: Variaciones relacionadas

6. Problemas sobre variacin relacionada

Aplicaci Aplicacin Problema I

Supngase que se introduce gas en un globo esfrico a razn de 50 cm3 por segundo. Supngase que la presin del gas permanece constante y

ez con que aumenta el radio del globo cuando su longitud es 5 cm?

olucin io y V el volumen del globo en el instante t. Se conoce dV/dt, es

decir determel insincg

que el globo tiene siempre forma esfrica. Cul es la rapid

S

Sea r el radla razn de cambio del volumen respecto del tiempo, y se quiere inar dr/dt, es decir la razn de cambio del radio respecto del tiempo, en

tante en que r = 5. La regla de la cadena da la conexin entre el dato y la nita mediante la frmula:

dtdr

drdV

dtdV

= de donde dr/dt = drdVdtdV

// (*)

Pd

C

d 1/2

ara calcular dV/dr se utiliza la frmula V = 4/3 r 3 que expresa el volumen e la esfera en funcin del radio. Derivando se obtiene

dV/dr = 4 r2 entonces dV/dr |r=5 = 100 omo dV/dt |r=5 =50, sustituyendo en (*) se tiene

r/dt |r=5 = 50/ (100 ) =

Es decir, el radio aumenta, aproximadamente, a razn de 0,159 cm por segundo en el instante en que r = 5.

147

Problema II Un tanque de agua tiene la form un cono circular recto de 12 pies de

por minutos (gal / min), cul ser la rapidez de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es de 3 pies ( 1 gal 0.1337 pie3 ) ?

Solucin Sequpoes to se tiene el cambio del volumen respecto del tiempo, es decir dV/dt =10 gal/min..

El volumen V del agua en el tanque que corresponde a

r/h = 6/12 o bien r = h/2 La regla de la cadena relaciona las cantidades

a dealto y 6 de pies de radio en la base. Si se suministra agua al tanque a razn de 10 galones

a r el radio de la superficie del agua cuando la profundidad es h. Observe e r y h son funciones del tiempo t. El cambio del nivel del agua est dado r el cambio de la funcin h con respecto al tiempo por lo tanto, la rapidez dh/dt. Como da

una profundidad h es V = 1/3 r2 h.

Mirando la figura, por semejanza de tringulos obtenemos

involucradas en el problema de la siguiente manera

dtdhdt

= dhdVdV

12 pies h

FIGURA 3.18

dh/dt = Por lo tanto dhdV /

(*) dtdV /

De e dV/dh = 1

Como dV/dt | h=3 =10 gal/min =1.337 pie3 in, sustituyendo en (*) y

| = 0.189 pie/min

Obserados problemas de

rapidez d variacin ligados. e t, para

determinar dr/dt. Este hecho es el que hace que la regla de la cadena sea as .

la funcin exponencial y de la funcin logaritmo

la rmula men r sulta /4 h

f del volu2 entonces dV/dh |h=3 = 9/4

/m

se tiene dh/dt h=3

vacin Los ejemplos precedente cos rresponden a los llam

e variacin relacionadas o coeficientes de Obsrvese que no ha sido necesario expresar r o h en funcin d

especialmente til en este tipo de problem 7. Derivada de

)( xedxd = ex )(ln x

dxd =

x1

1

6 pies

r

Ejemplo 2

i) )4( xedx

= 4 d )( xedx

= 4ed x

148

ii) )( 3/2 xedxd = )( 3/2 xe )3/2( x

dxd

aciendo uso de estas reglas y del hecho que ax = e (ln a)x , se obtiene la regla para la

funcin exponencial general

= )( 3/2 xe (2/3)

Hderivada de la

)( xadxd = )( )(ln xae

dxd = e (ln a)x ln a = ax ln a

)( xadxd = ax ln a

Si y = 5 ln t +7 2t 4 t2 +12 ln 2) 8t Observacin

La derivada de ax y la constante de proporcionali .

Considerando lo til que on las funciones ekt donde k es constante, calculemos su derivada:

Ejemplo 22

entonces y= 5/t + 2t (7

ax es una funcin proporcional a dad es justamente ln a

s

f(t) = ekt f(t) = ekt )(ktd = edx

kt k

)( ktedxd = k ekt

= log (x) f(x) a xaadxdx ln

xdxa1

ln1)ln()(log ==

d

xaln)x

dxd

a11(log =

8. Regla del producto y cociente Si f y g son funciones derivables, entonces i)

ii) (f /g) =

(fg) = f g + f g '' fggf

2g en los puntos donde g0

on otra notacin, si u = f(x) y v = g(x), entonces

C

dxdvuvi)

dxuv

dx=)( dud +

ii) 2)( vvdx= dx

uvdxud

dvdu

149

Ejemplo 23

Derivar : a) h t3 ln(3t+1) b) g(tt

Ce t2(t) = ) =

olucin

2 t+1) +

S

a) h(t) = 3t ln(3 .3

g(t)= C 2222

tete tt

=)/( 2 tedxd t C[ b) ]= Ce2t [2t-1]/t2

9. Derivada de las funciones trigonomtricas.

xxsendx

cos)( = d xsenxdxd

=)(cos

7 Aplicacin

xxxsenxsenxx

xdxx

dx)

cos()(tan xsendd 22 cos

1cos

)(coscos=

==

NOTA

rigurosamente, sin embargo en este cu s. Su demostracin encontrarse en los libros de clculo .

erivadas sucesivas

Como lafuncin Si y = f( rse

Cada una de las reglas dadas para la derivacin puede ser demostrada rso no lo haremo

puede

D

derivada en s misma es una funcin, podemos calcular su derivada. Para una f la derivada de su derivada se denomina derivada segunda y se escribe f . x) la derivada segunda tambin puede escribi

2

2

dxyd lo cual significa )(

dxdyd

dx.

s calcular derivada de rdenes mayores: Del mismo modo podemo

3dx, ...

3 ydndx

o en otra notacin f , f n yd

Ejemplo 24 Calcular f (2) para

Solucin Primer paso: D mos os f y luego

f(x) = x3 f (x) = 3x2 f (x) = 6x

Se x = 2 , f (2) = 6(2) = 12

(iv), f (n),

para las derivadas tercera, cuarta, ensima.

f(x) = x3.

ebe calcular la derivada f , para ello calculamsu derivada.

gundo paso: Evaluamos f en

150

Ejemplo(0) para f(x) = e .

Solucin

f(x) = e 2x f (x) = 2e f(x) = 4e f(x) = 8e 2x

Ejemplo 2Calcular f () para f(x) = cos(2x).

Solucin f ( ) = 1

f ( ) = -2 sen (2x) f() = 0

f(x) = -4 cos (2x) f (2)() = -4 (3)

f(I 6

Ejemplo19.

Soluci + 5 f(x) = -6 f(x) = 0

do que que f y g son funciones

(2) = -3; g ( 2) = 2; g (2) = 1

tiene

g +g f + f g entonces (f g ) (2) = f (2) g(2) + f (2) g(2) +g (2) f (2) + f (2) g (2) =21

25 Calcular f 2x

2x 2x

Entonces f (0) = 8e 2*0 = 8

6

(IV)

x) = cos (2x) f (x

f(x) = 8 sen (2x) f ( ) = 0V)(x)= 16 cos (2x) f(IV)() = 1

27 Calcular f (x) para f(x) = -3 x2 +5 x +

n f(x) = -3 x2 +5 x +19 f (x) = -6 xEntonces f (x) = 0 para todo x

Ejemplo 28

Calcular el valor de (f g ) en x = 2 sabientales que :

f (2) = -1; f ( 2) = 4; f (2) = -2 g

Solucin

(f g ) = ((f g ) )

Aplicando la regla del producto se ((f g ) ) = (f g + f g ) = f g + f

151

3.4 USO DE LA DERIVADA PARA ESTIMAR VALORES DE UNA FUNCIN

Recordemos la definicin de derivada en un punto.

f '(a) = 0h

lim afhaf )()( +h

erador de la expresin del miembro derecho representa el cambio o incremento cuando x cambia de

El numa a a + h.en los valores de la funcin f

Una notacin para el cambio es f = )()( afhaf +

Igualmente podemos usar cambio de la variable independiente.

x , para el

NOTA es la letra griega delta. f se lee: delta f

Diferenciales

ICIN 10 Sea y = f(x) una funcin derivable. endiente x es

DEFIN x la diferencial de la variable indep = dx

diente y es dy = f (x) dx

5x4 + 37) dx b) Si =

NOTA

A veces escribimos df = f (x) dx.

Ejemplo 3

Si calculamos la diferencial en un punto determinado, por ejemplo en x = 3 para un incremento de la variable independiente dx = 0.1, escribimos

la diferencial de la variable depen

Ejemplo 29

a) Si y = x5 + 37x entonces dy = ( y sen(3x) entonces dy = 3 cos(3x) dx

0 Si f (x) = 3x2 6 entonces df = 6x dx.

1.0,3 == dxxdf = 6x dx 1.0,3 == dxx = 18*0.1 = 1.8.

bsrvese que el resultado es un nmero.

Estimaci Supongamos que se conoce el valor de f(x) en un se quiere predecir

os hasta un punto a +

O

n del cambio con diferenciales

punto x = a y cuanto cambiar este valor si nos desplazam x.

152

Si = dx es pequea, f y su linealizacin L en a cambiarn casi la misma cantidad. a que los valores de L son fciles de obtener, calcular el cambio en L ofrece una forma x

Yprctica de estimar el cambio en f.

a figura 3.19 muestra el cambio de f, L f = f(a+ h) f(a) donde h = x . Recordando que la linealizacin de f en a es L (x) = f (a) + f (a) (x-a), el cambi correspondiente eo n L es L = L ( a+ h ) L(a) = f (a) + f (a) [ (a +h) a] f (a) = f (a) h FIGURA 3.19

s decir, E L = f (a) dx

a en x = a, df = Esto dice que cuando df se eval . En otras palabras, el cambio en la L

linealizacin de f, es la diferencial de f.

ea f derivable en x = a. SEl cambio en el valor de L cua

df = f ndo x cambia de a a a +dx es (a) dx

os el concepto de diferencial para

os un error en la m

2. Aplicacin 9, tenemos que calcular un rea con cierta precisin. Qu error se admite en la medicin?

ostraremos dos situaciones en las que aplicamMaproximar un valor.

1. Aplicacin 8, tenemos un crculo, medimos el radio y cometemedicin. Eso produce u lculo del rea. n error en el c

Aplicacin 8

El radio de un crculo se incrementa de r0 = 10 m a 10.1 m. Estimar el incremento en el rea A, del crculo, calculando dA. Comparar el resultado con el cambio real A .

Solucin mo A = r2 , el incremento estimado es

dA = A(r0) dr = 2r0 dr = 2 (10) (0.1) = 2 m2

Co

El cambio real es

A = A(r d0 + r) A(r0) = (10.1)2 - (10)2 = {

dA2 + 321

error01.0

FIGURA 3.20

153

Cambio absoluto, relativo y porcentual Mientras nos desplazamos de a a a + dx, podemos describir el cambio de tres maneras

istintas.

df = f (a) dx

d Real Estimado Cambio absoluto f = f(x + a) f(a)

Cambio relativo )(af

f)(af

df

Cambio porcentual )(af

f *100 )(af

df *100

al es culo ejemplo 30 es

Ejemplo 31

El cambio porcentu timado en el rea del cr del

)10(AdA *100 =

1002 *100 = 2%

Aplicacin 9 Con qu precisin tendramos que medir el radio r para calcular el rea del

culo con un margen de variacin del 1% de su valor real? Solucin

Buscamos que cualquie n nue ones sea lo suficientemente pequeo para hacer que el ento A en el rea

sfaga la desigualdad

cr

r error e stras medicicorrespondiente increm

sati

AA100

1 =

100

2r

Usamos la diferencial como una aproximacin del incremento

|2r dr|

A dA = A(r) dr = 2r dr Esto da

100

2r r2

1100

2r = 200

r | dr | = 0.005 r

lor real.

Error en la aproximacin De acuerdo a lo visto anteriorm e f cuando x c

Esto dice que el error admitido en r es a lo ms del 0.5% del va

ente, si f es una funcin derivable, el cambio real dambia de a a a+x es el incremento f , y una aproximacin del

incremento es la diferencial df. Cul es el error en la aproximacin?

rror en la aproximacin = f df =

E = f f (a) x = f(a + x) f(a) - f (a) x =

= xafafxaf

x+ ))(')()((

4444 32

= (x) * x

44441

cuando x 0 tambin 0.

154

Por lo tanto

{realcambio

f = 43421estimadocambio

xaf )(' + 1ror

x32er

or es pequeo.

Frmula de Taylor

asta ahora hemos usado una funcin lineal para aproximar valores de una funcin. aproximaciones polinomiales de

ualquier grado? a respuesta es si, si la funcin tiene suficientes derivadas. Se puede demostrar que

f llamada Frmula de TAYLOR.

(n+1)

dice que cuando x est cerca de a, el err

HExistir una frmula general que nos permita construir cLbajo esta condicin existe una representacin de

Sea f una funcin y n un nmero entero tal que la derivada hasta f existen para cada x en un intervalo I que contiene a a. Si x es cualquier nmero en I, entonces

f(x) = f(a) +

1)1()( +nn

2+ )()!1(

)(!

...)(!2

)(!1

+

++++ axn

axn

axax

donde z es un nmero entre a y x.

)()()('')(' +nn zfafafaf

DEFINICIN 11:

i) El Polinomio de Taylor de grado n es n

n

axn

afaxafaxaf ()(' )(!

)(...)(!2

)('')!1

)(2 +++ Pn(x) = f(a) +

ii) El resto de Taylor es

Rn(x) = 1)()!1(

++

naxn

donde z)1( )(+n zf es un nmero entre a y x.

Podemos enunciar el siguiente Teorema TEORE adas en un intervalo I que contiene a a. Si x es

Rn(x) ii) f(x) Pn(x) si xa, donde el error al usar esta aproximacin es menor que |

mediante la frmula de Taylor con el resto para n = el polinomio de Taylor de grado 3.

MA Sea f con n+1 derivcualquier nmero en I, entonces

i) f(x) = Pn(x) +

Rn(x)| Ejemplo 32

) ln x Representar f(x = 3, a =1. Especificar

155

Sol

f(x) = ln x f '(x) = x -1 f ''(x) = - x -2 f '''(x) = 2 x -3 f (4)(x) = -6x -4

ucin

f(1) = 0 f '(1) = 1 f ''(1) = -1 f '''(1) = 23 f (4)(z) = -6z -4

a funcin or como sigue

= (x -1 ) - 0.5 (1 - x 1)3 El e T o 3 e

sando e

130875

plicacin 10 Usamos el aproximar el valor cos 61, y estimamos el error en la aproximacin.

Deseamos aproximar f(x) = cos x en x = 61. Observamos que 61est cerca de 60

L

logaritmo natural es representada por la frmula de Tayl

)2 + (1/3) (x - -1/4z -4 (x-1)4

polinomio d aylor de grad s:

4432 )1(!4

6)1(!3

2)1(!2

1)1(!1

10) ++= xzxxxxln(

P3(x) = (x-1) (x-1)2 + 1/3 (x-1)3

U ste polinomio podemos hallar el valor aproximado de ln(1.15).

ln(1.15) P3(1.15) = 0.15 * 0.152 + 1/3* 0.153 = 0.

A

Polinomio de Taylor de grado 2 para

Solucin

o /3 radianes. Esto sugiere elegir a = /3.

fxsenxf

fxxf====

2/3)3/(')('2/1)3/(cos)(

fxxf == 2/1)3/(''cos)(''

zsenzfxsenxf == )(''')('''

Por definicin el polinomio de Taylor de grado de f en /3 es

P (x) = - 2 !12/3 (x /3)

!22/1 ( - x-/3)2

Como x es un nmero real debemos convertir 61 a radianes. 61 = 60 + 1 = /3 + /180

P2(/3 + /180 ) = -

!12/3 (/180)

!22/1 ( /180)2 0.48480885

El error o y obtenido. Aqu

.76930* 10 -7

Entonces cos 61 0.48480885

real es la diferencia entre el valor verdader el valor consideraremos como valor verdadero el que da la calculadora.

Ereal = | 0.48480962 - 0.48480885 | = 0

156

Para estimar el error, debemos dar una cota para el trmino de error de la frmula de Taylor que es una funcin de x:

n

R (x) = 1)1( )( ++ n

naxzf donde z es un nmero entre a y )(

+x.

n este ejemplo

| R (x) | =

)!1(n

E3

2 )3/!3

( xzsen

NOTA Hallar una cota para una funcin g(x) definida en un intervalo I, es hallar un nm , de modo que los e intervalo

| g(x) | M para todo x I

Siguiendo con la solucin del ejemplo,

R2(/3 + /180) | =

ero real M valores que toma la funcin en esno superen a M. En smbolos

3)180/(|!3

zsen 3)180/(!3

Lo cual significa que el error real no puede superar el valor M = 0.8861*10

1 0.8860961557012*10-6

COMENTARIO xto de ' acotar iones' pode

-6 , lo cual efectivamente sucede.

Dentro el conte func mos decir algunas cosas. Cuando las funciones poseen buenas propiedades, como ser crecientes o decrecientes en un intervalo cerrado, es simple hallar una cota. Ser el

cho en el caso creciente. (Analice el alumno lo dicho). Cuando se debe acotar una funcin seno o coseno, tambin es simple. El conocimiento de la grfica y propiedades de la funcin que debe

tarse es de gran ayuda en estos casos.

valor de la funcin en el extremo izquierdo en el caso decreciente o el valor en el extremo dere

aco

157

3.5 USO DE LA DERIVADA EN EL ESTUDIO DE CURVAS. Qu informacin sobre la funcin f nos da la derivada de f ? Por ejemplo, el signo de la derivada f ' nos informa sobre algn aspecto de la funcin f ? La respuesta es, si. La derivada es una herramienta poderosa para el conocimiento de

Si f ' > 0 en un intervalo, entonces f es creciente sobre ese intervalo. Si f ' < 0 en un intervalo, entonces f es decreciente sobre ese intervalo.

ese intervalo.

ande (positiva o negativa) entonces la grfica cambia rpidamente; por

nte? l caso en que f ' es creciente, la rapidez de cambio de la funcin va en aumento por lo

. Un ejemplo se muestra en la figuras 3.20. pasa de negativa a positiva (primera

jo. Un jemplo se muestra en la figuras 3.21 donde la derivada es decreciente y pasa de

nte en la segunda.

AS 3.21 a); b)

una funcin. Se pueden demostrar las siguientes afirmaciones: Si f ' = 0 en un intervalo, entonces f es constante sobre Por otro lado, la magnitud de la derivada nos da la magnitud de la rapidez de cambio de f. Si f ' es grotra parte si es pequea, la grfica de f tiene pendiente suave. Qu informacin da la derivada segunda ? Teniendo en cuenta lo enunciado anteriormente: Si f '' > 0 en un intervalo, entonces f ' es creciente sobre ese intervalo. Si f '' < 0 en un intervalo, entonces f ' es decreciente sobre ese intervalo. Entonces, qu significa para f que f ' sea creciente o decrecieEtanto la grfica de f se dobla hacia arribaEn el primer caso, la derivada es creciente y grfica); en el segundo, es siempre negativa pero creciente. Resulta entonces que f es cncava hacia arriba. Anlogamente, cuando f ' es decreciente, resulta que f es cncava hacia abaepositiva a negativa, primera grfica, y siempre positiva pero decrecie

FIGUR

FIGURAS 3.22a); b)

158

Estudio de curvas

omencemos analizando la grfica de una funcin.

jemplo 33

os que su grfica x 10 ,

ura 3.22 abemos que ocurre ms que eso, pero

donde buscar? tilizamos la derivada para determinar dnde la funcin es creciente y dnde es

f (x) =3 x2 - 18 x 48 f = 0. Es decir, resolvemos

C E f (x) = x3 - 9 x2 - 48 x + 52. Como f es un polinomio cbico esperam

nga forma de S. Al trazar una grfica para -10 te -10 y 10 puede que obtengamos algo como la figS FIGURA 3.23 cmo sabemosUdecreciente.

Para hallar dnde f > 0 o f < 0 primero buscamos dndela ecuacin

23 x - 18 x 48 = 0

-2 y x = Al factorizar resulta 3(x - 8)(x + 2) = 0 por lo tanto las soluciones son x = 8. Como f = 0 solamente en 2 y 8 y f es continua (porque es un polinomio), f no puede cambiar de signo en el int , 8) ni en (8, ).

f es positiva en todo el intervalo ( f es creciente en ese intervalo. el mismo modo, f (0) = - 48 < 0 y f (10) = 72 > 0 dice que f es decreciente en ( -2, 8)

(-2,8) la

ndo la

FIGURA 3.24

ervalo (- , -2) ni en (-2 Cmo averiguamos el signo en cada intervalo? La forma ms fcil es elegir un punto y sustituir en f . Por ejemplo f (-3) = 33 > 0 dice

- , -2) de modo queDy crece para x >8. En resumen x = -2 x = 8 f creciente f decreciente f creciente f > 0 f < 0 f > 0 Seguimos buscando informacin. Hallamos f (-2) = 104 y f (8) = -396. En consecuencia, en el intervalofuncin decrece de una altura de 104 a 396 ( porqu no aparecieron esos puntos en la rfica anterior?). g

Un punto sobre la grfica fcil de obtener s f(0) = 52. e

Con los datos obtenidos y ajustaventana en 400 < y < 400 podemos tener una mejor grfica (Fig.3.24) que la mostrada en la figura 3.23.

159

Por supuesto que si miramos la grfica en el infinito, positivo o negativo, la funcin

ngente es horizontal, tiene

efinicin siguiente se refiere a esos puntos,

en el dominio de f:

etectamos un mximo o un mnimo local?

DEFINICIN 13 Un punto p en el dominio de

bin se denomina punto crtico. Un valor crtico de f es el valor f(p) de la funcin en el punto crtico p.

no hay recta ngente o hay recta tangente vertical. l ejemplo clsico para el caso en que no hay

0.

rtices o quebradas, muestran puntos

le. Sin embargo las funciones con las que eral, tendrn f ' (p) = 0.

Criterio

Sea p Si f ' cambia de negativa a positiva en p

en p.

crece indefinidamente, negativa o positivamente respectivamente. Observemos que en los puntos (-2,104) y (8,-396), la tapendiente cero. Mximos y mnimos locales Frecuentemente nos interesan puntos como los marcados (-2,104) y (8,-396) en la rfica 3.24. La dg

DEFINICIN 12 Sea p un punto

f tiene un mnimo local en p si f(p) f(x) para los x cercanos a p. f tiene un mximo local en p si f(p) f(x) para los x cercanos a p.

NOTA

Empleamos el adjetivo local porque describimos slo lo que pasa cerca de p. Cmo d

f donde f '(p) = 0 o f '(p) no est definida, se llama punto crtico de la funcin.

Adems, el punto (p, f(p)) sobre la grfica de f tam

uando la derivada de f en p existe y p es el punC to crtico, f ' (p) = 0. La interpretacigeomtrica de este hecho es que la recta tangente a la grfica en p, es horizontal.

n

En un punto crtico p en el cual f ' (p) no est definida sucede que otaErecta tangente lo da la funcin f(x) = |x| en x = 0. Su grfica presenta all una punta por lo cual no puede definirse una recta tangente en x =

FIGURA 3.25 NOTA

Comportamientos de ese tipo, donde hay ven los que la funcin no es derivabtrabajaremos en gen

de la derivada primera para determinar mximos y mnimos locales.

un punto crtico de una funcin continua f. , entonces f tiene un mnimo local

f(x) = |x|

160

Si f ' cambia de positiva a negativa en p, entonces f tiene un mximo lo

0 1 2 3 4 5 6 70

10

20

30

40

50

60

70

80

cal en p

Observ

) Trazar una grfica de una funcin f con las siguientes propiedades: f (x) tiene puntos crticos en x = 2 y x = 5;

s positiva a la izquierda de 2 y a la derecha de 5; f (x) es negativa entre 2 y 5.

o ningun d

Solucin a) Las d

ntre 2 y 5 Una grfica posible se muestra en

b)

ner un

local. FIGURA 3.26

Obsrvese n es cncava hacia arriba, luego f (p) es positi bajo si en p hay un mximo local, por lo tanto la La derivada segunda da un criterio alternativo para

en p. Si f (p) < 0, entonces f tiene un mximo local en p

COME T

derivada segunda para determinar si hay mximo o mnimo en un punto crtico. La funcin

f (x) = x4 local en x = 0, sin embargo f (0) = 0

ar las figuras 3.21-3.22 Aplicacin 11

a

f (x) e

b) Determinar si hay mximo o mnimo local en los puntos crticos

o e ellos.

os ltimas propiedades dicen que la funcin es creciente a la izquierda de 2 y a la derecha de 5 y es decreciente e

la figura 3.26.

Por las caractersticas requeridas a la derivada, en x = 2 debe temximo y en x = 5 un mnimo

que si en p hay un mnimo local, la funciva, por otro lado f es cncava hacia aderivada segunda es negativa en p. determinar mximos y mnimos locales.

Criterio de la derivada segunda para determinar mximos y mnimos locales.

Sea p un punto crtico de una funcin f que tiene derivada segunda en p. Si f (p) > 0, entonces f tiene un mnimo local

N ARIO No siempre puede usarse el criterio de la

tiene un mnimo

161

ATENCIN!

o todo punto crtico de una grfica s un mximo o un mnimo local.

de f(x) x pero f no tiene mximo ni un nimo local x = 0 .

n

i observamos una vez ms la grfica de x3, vemos que, exactamente en x = 0 cambia la ad de la curva. Eso tiene que ver con la derivada segunda.

unto en el cual la grfica de una funcin cambia concavidad se llama punto de inflexin.

fica cambia en un punto de inflexin, el signo de f '' ambia all. Por lo tanto si p es un punto de inflexin, debe ser f (p) = 0 o no estar efinida.

jemplo 34 Hallar los puntos de inflexin de la curva f (x) = x3 - 9 x2 - 48 x + 52 (eje lo 33)

olucin

la figura 3.24 parte de la grfica es cncava hacia arriba y parte es

culamos la derivada segunda y miramos los x que la anulan. f (x) = x3 - 9 x2 - 48 x + 52 f' (x) =3 x2 - 18 x 48 f''(x) =6x -18

Ve os adems que para x > 3 , f (x) > 0 y para x < 3, f (x) < 0, luego

NePor ejemplo, x = 0 es un punto crtico

3=m

Puntos de inflexi FIGURA 3.27

Sconcavid

DEFINICIN 14 Un p

Cmo se localiza un punto de inflexin? Como la concavidad de la grcd

f (p) = 0

f < 0

f (p) = 0f > 0 f > 0

p p FIGURA 3.28

E

mp

SEncncava hacia abajo, de modo que debe haber un punto de inflexin. Para localizarlo cal

cncava hacia abajocncava hacia arribacncava hacia arriba

f (x) = 6x 18 = 0 da x = 3

mx = 3 es un punto de inflexin.

162

Observacin Para asegurar qu inflexin, es necesario verificar el cambio de signo de la derivada segunda a travs de ese punto.

f tiene puntos crticos en x =

e el punto p es un punto de

Aplicacin 12 Trazar la grfica de una funcin f con las siguientes propiedades: f es una funcin continua e impar.

21 y en x = -

21

f > 0 en [-2

1 ,2

1 ]

f < 0 para x = 2

. 1

Solucin la grfica es simtrica respecto del origen

o f > 0 para 0 < x