diszkret matematika definiciok kidolgozva

8/11/2019 Diszkret Matematika Definiciok Kidolgozva

1/29

DHARMA Initiative Diszkrt Matematika 1.

Bels terjesztsre! DI 90M1654-21644 1

DHARMA INITIATIVE

Diszkrt Matematika 1. Defincik (kzpszint)

E dokumentum az ELTE IK Diszkrt Matematika 1. 2010/2011-es vizsgjra kszlt. Azelksztshez a korbbi vek kidolgozott listit hasznltuk.Amennyiben hibt tallt a defincik kztt, azt krjk, hogy jelezzea kurzusfrumon.

Sikeres felkszlst kvnunk!

DHARMA Initiative

1. Mondjon legalbb hrom pldt prediktumra.

E(x):xegyenesP(x):xpontI(x, y):xilleszkedik y-ra.

2. Sorolja fel a logikai jeleket.

: negci (tagads)

: konjukci(s): diszjunkci(vagy): implikci (ha akkor): ekvivalencia (akkor s csak akkor): antivalencia (kizr vagy): konnegci (sem sem[A | B = (AB)])||:exklzi (sszefrhetetlen vagy: [A || B = (A B)])


2/29



3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelk?

: univerzlis kvantor (minden).: egzisztencilis kvantor (ltezik).

4. Hogyan kapjuk a logikai formulkat?

A logikai formulk az adott elmlet prediktumaibl plnek fel a logikai jelek valamint a

kvantorok segtsgvel.

5. Mikor van egy vltoz egy kvantor hatskrben?

Egy formula egy (xA) vagy (xA) tpus rszformulja esetn azxvltoz minden, a ktzrjel kztti elfordulsra (a kvantor utn vagyA-ban) a kvantor hatskrben van.

6. Mik a nyitott s mik a zrt formulk?

Ha egy formulban egy vltoz egy adott elfordulsa egy kvantor hatskrben van,

akkor azt mondjuk, hogy az adott elforduls kttt elforduls, egybknt az adott

elforduls szabad elforduls. Ha egy vltoznak egy formulban van szabad

elfordulsa, akkor azt mondjuk, hogy a vltoz szabad vltoz. Ha egy formulnak nincs

szabad vltozja, akkor a formult zrt formulnak, egybknt nyitott formulnak

mondjuk.

7. Mondjon kt pldt nyitott formulra.

A(x,y) = ((P(x) P(y))x = y);B(x) = ((E(x)P(y))I(x,y))

8. Mondjon egy pldt zrt formulra.

x(E(x)y(P(x)I(x,y)))

9. Definilja a rszhalmaz s a valdi rszhalmaz fogalmt s adja meg jellseiket.

Akkor mondjuk, hogy azAhalmaz rszhalmaza a Bhalmaznak, haAminden eleme a Bhalmaznak is eleme. Jele:ABvagy BA.Ha A rszhalmaza B-nek, de nem egyenl vele, akkor azt mondjuk, hogyAvaldi

rszhalmaza B-nek. Jele:ABvagy BA.10. Milyen tulajdonsgokkal rendelkezik a ,,rszhalmaz fogalom?

Reflexivits:A ATrantitivits: A BBC A CAntiszimmetria:A BBA A = B(a meghatrozottsgi axima szerint).

11. Milyen tulajdonsgokkal rendelkezik a halmazok egyenlsge?

Reflexivits:A=A

Tranzitivits:A = BB= CA=C


3/29



Antiszimmetria:A=BB =A A= BSzimmetria:A= BB=A

12. rja le a rszhalmaz fogalmt. Milyen jellst hasznlunk rszhalmazok megadsra?

Az A halmaz rszhalmaza B halmaznak, ha A minden eleme a B halmaznak is eleme.(jele:AB)

13. rja le az res halmaz fogalmt.

Az res halmaz az a halmaz, amelynek nincsen eleme (jele: ).14. Igaz-e, hogy csak egy res halmaz van?

Igen. A meghatrozottsg aximja miatt csak egy res halmaz van.

15. rja le kt halmaz unijt s a megfeleljellseket.

Az A s B halmaz unija az a halmaz, amelynek pontosan azokat a dolgokat tartalmazza,melyek elemei A-nak vagy B-nek ( vagy mindkettnek). Jele: A B

16. rja le halmazrendszer unijt s a megfeleljellseket.

Egy halmazrendszer unija az a halmaz, amely pontosan azokat a dolgokat tartalmazza,amelyek a halmazrendszer legalbb egy elemnek elemei.Jellsei: A, {A:AA}AA A.

17. Fogalmazza meg a halmazok unijnak alaptulajdonsgait.

A=AKommutativits:AB = BAAsszociativits:A(B C)=(AB)CIdempotencia:AA =A

ABAB = B.18. Definilja halmazrendszer s kt halmaz metszett, s adja meg a jellseket.

Egy halmazrendszer metszete az a halmaz, amely pontosan azokat a dolgokat tartalmazza,amely a halmazrendszer minden elemnek elemei. Jellsei:

A, {A:AA}AA A.AzAs Bhalmaz metszete az a halmaz, amelynek pontosan azok a dolgok az elemei,melyek elemeiA-nak s B-nek is. Jele:A B

19. Definilja a diszjunktsg s pronknt diszjunktsg fogalmt.

Ha A B =, akkor A s B halmazok diszjunktak. Ha egy halmazrendszer brmely kthalmaza diszjunkt, akkor a halmazrendszer elemei pronknt diszjunktak.

20. Fogalmazza meg a halmazok metszetnek alaptulajdonsgait.

A =;Kommutativits: AB=BA


4/29



Asszociativits: A(BC)=(AB)CIdempotencia: AA=A (idempotencia)AB AB=A.

21. Fogalmazza meg az uni s a metszet disztributivitst.

Az uni s a metszet mveletek klcsnsen disztributvak egymsra nzve.A metszet disztributivitsa az unira nzve: A(BC)=(AB)(AC)Az uni disztributivitsa a metszetre nzve: A(BC)=(AB)(AC)

22. Definilja halmazok klnbsgt, szimmetrikus differencijt s komplementert.

Klnbsg: A\B:={xA:xB}Szimmetrikus differencia: A B:=(A\B)(B\A)Komplementer: CxA := X \ A (A-val is jelljk).

23. Fogalmazza meg a halmazok komplementernek alaptulajdonsgait.

(A')'=A

'=X X'= AA'= AA'=X ABB'A' (AB)'=A'B' (AB)'=A'B'

24. rja le a hatvnyhalmaz fogalmt. Milyen jellsek kapcsoldnak hozz?

MindenAhalmazhoz ltezik egy olyan halmazrendszer, amelynek elemei pontosanArszhalmazai(Hatvnyhalmaz-axima). Jele: (A) vagy 2A .

25. Definilja a rendezett pr fogalmt s koordintit.

Rendezett pr alatt az (a,b) szimblumot rtjk, ahol (a,b) = (c,d) a = c b = d. Arendezett pr fogalmt ennek megfelelen halmazknt definiljuk: (a,b) = {{a},{a,b}}. Az

(a,b) rendezett pr els koordintja a, msodik b.

26. Definilja kt halmaz Descartes-szorzatt.Az X,Y halmazok Descartes-szorzatn az XY:={(x,y):xX,yY} halmazt rtjk.

27. Definilja a binr relci fogalmt s adja meg a kapcsold jellseket.

Az R halmaz binr relci, ha minden eleme rendezett pr. Ha (x,y) R, akkor xRy-knt isjellhetjk, melynek jelentse: x s y kztt fenll R relci.

28. Adjon hrom pldt binr relcira.

kisebb relci (a < b,)

nagyobb relci (a > b)egyenlsg(a = b)


5/29



29. Mit jelent az, hogy R relci X s Y kztt? Mit jelent az, hogy R egy X-beli relci?

Ha X s Y halmazokra RXY, akkor azt mondjuk, hogy R relci X s Y kztt.Ha X=Y, akkor azt mondjuk, hogy R egy X-beli binr relci (homogn binr relci).

30. Definilja binr relci rtelmezsi tartomnyt s rtkkszlett, s adja meg akapcsold jellseket.

Az R binr relci rtelmezsi tartomnya az elemeinek els koordintibl ll halmaz.

Jele: dmn(R). dmn(R):={x:(x,y)R}Az R binr relci rtkkszlete az elemeinek msodik koordintibl ll halmaz. Jele:rng(R). rng(R):={y:(x,y)R}

31. Definilja binr relci kiterjesztst, leszktst s leszktst egy halmazra s adja

meg a kapcsold jellseket.Az R binr relcit az S binr relci kiterjesztsnek, illetve S-et az R leszktsnek (vagymegszortsnak) nevezzk, ha SR. Ha X egy halmaz, az R relci X-re val leszktsn(vagy megszortsn) az R|X:={(x,y)R:xX} relcit rtjk.

32. Definilja egy binr relci inverzt s sorolja fel az inverz hrom egyszertulajdonsgt.

Egy binr relci inverzt elemeinek kt koordintjnak megcserlsvel kapjuk (jele:

R-1).

Formlisan: R-1:= b(b,a)(a,b) R}Az inverz hrom egyszer tulajdonsga:

(R-1)-1=R;

ha R relciXs Ykztt, akkor R-1relci YsXkztt;

dmn(R-1) = rng(R) s rng(R-1) = dmn(R).

33. Definilja halmaz kpt s inverz kpt binr relcinl s adja meg a kapcsoldjellseket.

Legyen R egy binr relci s A egy halmaz. Az A halmaz kepe az R(A):={y:xA:(x,y)R}

halmaz. rng(A) pontosan akkor res, ha As dmn(R) diszjunktak. Az A halmaz inverz kepeaz R relcinl R-1(A). Ha A={a}, akkor rng({a}) helyett rng(a)-t runk.

34. Definilja binr relcik kompozcijt. Lehet-e a kompozci res?

Az R s S binr relcik sszetteln (kompozcijn, szorzatn) az RS:={(x,y):z:(x,z)S (z,y)R} relcit rtjk. Kt relci kompozcija lehet res: ez a helyzet, harng(S) s dmn(R) diszjunktak.

35. Fogalmazzon meg hrom, binr relcik kompozcijra vonatkoz lltst.

Legyenek R,S,T binr relcik. Ekkor(1) ha rng(S) dmn(R), akkor rng(RS) = rng(R);


6/29



(2) R(ST)=(RS)T (asszociativits);(3) (RS)-1=S-1R-1.

36. Mit jelent az, hogy egy relci tranzitv, szimmetrikus, illetve dichotm? Ezek kzl miaz, ami csak a relcin mlik?

Az R legyen egy X halmazbeli relci. Ekkor R:

Tranzitv,ha minden x,y,z-re (x,y)R s (y,z)R eseten (x,z)R;Szimmetrikus, ha minden x,y-ra (x,y)R eseten (y,x)R;Dichotom, ha minden x,y X eseten (x,y) R vagy (y,x) REzek kzl a tranzitivitss a szimmetrikussg fgg csak a relcitl.

37. Mit jelent az, hogy egy relci antiszimmetrikus, illetve trichotm? Ezek kzl mi az,ami csak a relcin mlik?

Az Rlegyen egyXhalmazbeli relci. Ekkor R:

Intranzitv,ha minden x,y,z-re(x,y) R s (y,z) R eseten (x,z) R;Antiszimmetrikus, ha minden x,y-ra (x,y)R s (y,x)R eseten x=y;

Trichotm, ha minden x,y X eseten x=y, (x,y) R s (y,x) R kzl pontosan egy teljesl.Ezek kzl az intranzitivitss az antiszimmetrikussg fgg csak a relcitl.

38. Mit jelent az, hogy egy relci szigoran antiszimmetrikus, refexv illetve irreflexv?Ezek kzl mi az, ami csak a relcin mlik?

Az Rlegyen egyXhalmazbeli relci. Ekkor R:reflexv, ha mindenxXeseten (x,x) Rirreflexv, ha mindenxXeseten (x,x) Rszigoran antiszimmetrikus, ha mindenx,y-ra (x,y) R eseten (y,x) REzek kzl a szigoran antiszimmetrikussg fgg csak a relcitl.

39. Definilja az ekvivalenciarelci, illetve az osztlyozs fogalmt.

Egy X halmazbeli binr relci ekvivalenciarelci, ha reflexv, szimmetrikus s tranzitv.Az X rszhalmazainak egy Orendszert X osztalyozasanak nevezzuk, ha Opronknt

diszjunkt nem res halmazokbl ll halmazrendszer, amelyre O=X.

40. Mi a kapcsolat az ekvivalenciarelcik s az osztlyozsok kztt?

Egy X halmazon rtelmezett ekvivalenciarelci X-nek egy osztlyfelbontst adja.Megfordtva, X minden osztlyfelbontsa egy ekvivalenciarelcit hoz ltre.

41. Definilja a rszbenrendezs s a rszbenrendezett halmaz fogalmt. Mit mondhatunkegy rszbenrendezett halmaz egy rszhalmazrl?

Egy X halmazbeli binr relci rszbenrendezs, ha reflexv, antiszimmetrikus s tranzitv.Ekkor X halmaz rszbenrendezett. Ha x,y X: xy yx, akkor x s y elemek


7/29



sszehasonlthatak. Egy rszbenrendezett halmaz minden rszhalmaza isrszbenrendezett, ha a relcit csak ennek elemei kztt tekintjk.

42. Definilja a rendezs, a rendezett halmaz s a lnc fogalmt.

A rendezett X halmaz olyan rszbenrendezett halmaz, amely dichotm, azaz brmely kteleme sszehasonlthat. Teht egy X halmazbeli binr relci rendezs, ha reflexv,antiszimmetrikus, tranzitv s dichotm. Lncnak nevezzk egy rszbenrendezett halmaz

rszhalmazt, amely rendezett, ha a relcit csak ennek elemei kztt tekintjk.

43. Mondjon pldt rszbenrendezett de nem rendezett halmazra.

A termszetes szmok krben az n|m relci rszbenrendezs, de nem rendezs.

44. Definilja egy relcinak megfelelszigor illetve gyenge relci fogalmt.

Egy X-beli relci R relcihoz definilhatunk egy X-beli S relcit gy, hogy xSy akkorlljon fenn, ha xRy de xy, ez az R-nek megfelel szigor relci. Megfordtva, egy X-beli Rrelcihoz a megfelel T gyenge relcit gy definiljuk, hogy legyen xTy, ha xRy vagy x=y.

45. Definilja a szigor rszbenrendezst s fogalmazza meg kapcsolatt arszbenrendezssel.

Szigor rszbenrendezs az a rszbenrendezs, amelyet szigoran rendeznk. Ez tranzitv,irreflexv s szigoran antiszimmetrikus (jele:


8/29



50. Definilja a legkisebb s a legnagyobb elem fogalmt.

Az X rszbenrendezett halmaz legkisebb elemn egy olyan xX elemet rtnk,amelyrexy minden yX-re. Nem biztos, hogy van ilyen elem, de ha van, akkor egyrtelm.Hasonlan, X legnagyobb elemn egy olyan x elemet rtnk, amelyre yx minden yX -re.Nem biztos, hogy van ilyen elem, de ha van, akkor egyrtelm.

51. Definilja a minimlis s a maximlis elem fogalmt s adja meg a kapcsoldjellseket.

Legyen xX. Az x-et minimlisnak nevezzk, ha nincs nla kisebb elem, maximlisnakpedig akkor, ha nincs nla nagyobb elem. Maximlis s minimlis elem lehet tbb is.Jellsek: min X, max X.

52. Adjon meg olyan rszbenrendezett halmazt, amelyben tbb minimlis elem van.

Az N:= \{0,1} halmazon n, m N re az nm : n|m relci rszbenrendezs, melybenminden prmszm minimlis elem.Formlisan :={(n,m) NN: n|m}

53. Adjon meg olyan rszbenrendezett halmazt, amelyben nincs maximlis elem.

A termszetes szmok halmaza ilyen a szoksos rendezssel.

54. Igaz-e, hogy rendezett halmazban a legkisebb s a minimlis elem fogalma egybeesik?

Igen. Minimlis s maximlis elem tbb is lehet, s hogy ha X rendezett, akkor a legkisebb

s a minimlis elem fogalma egybeesik, de egybknt nem felttlenl.

55. Definilja az als s a felskorlt fogalmt.

Egy X rszbenrendezett halmaz egy x elemet az Y rszhalmaz als korltjnak nevezzk,

ha minden yY-ra xy. Ha minden yY-ra yx akkor x az Y fels korltja. Ha letzik alsilletve fels korlt, akkor azt mondjuk, hogy Y alulrl illetve fellrl korltos.

56. Igaz-e, hogy ha egy rszbenrendezett halmaz egy rszhalmaza tartalmaz a rszhalmazals korltjai kzl elemeket, akkor csak egyet?

Igen, ha az als korltok kztt van olyan, mely eleme a rszhalmaznak, gy csak egy ilyenvan.

57. Definilja az als s a felshatr tulajdonsgot.

Ha az X rszbenrendezett halmaz brmely nem res, fellrl korltos rszhalmaznak van

fels hatra, akkor fels hatr tulajdonsgnak nevezzk.

58. Igaz-e, hogy ha egy rszbenrendezett halmaz egy rszhalmaza tartalmazza a rszhalmazegy als korltjt, akkor az a rszhalmaznak minimlis eleme?

Igen, ha az als korltok kztt van olyan, mely eleme a rszhalmaznak, gy csak egy ilyenvan.


9/29



59. Definilja az infimum s a szuprmum fogalmt.

Amennyiben X halmaz Y rszhalmaza alulrl korltos, akkor az als korltok halmazban alegnagyobb elem az infimum (jele: infY). Hasonlan, ha Y fellrl korltos, akkor a fels

korltok halmazban a legkisebb elem a szuprmum (jele: supY).

60. Definilja a jlrendezs s a jlrendezett halmaz fogalmt.

Az X rszbenrendezett halmazt jlrendezett, rszbenrendezse pedig jlrendezs, ha Xbrmely nem res rszhalmaznak van legkisebb eleme.

61. Adjon meg olyan rendezett halmazt, amely nem jlrendezett.

Az egsz szmok halmaza a szoksos rendezssel.

62. Adjon pldt jlrendezett halmazra.

A termszetes szmok halmazajlrendezett a szoksos rendezssel.

63. Adjon meg kt rszbenrendezett halmaz Descartes-szorzatn a halmazokrszbenrendezsei segtsgvel kt rszbenrendezst.

Az X s Y rszbenrendezett halmazok Descartes-szorzatn rtelmezzk az albbirszbenrendezseket:

R1:= {((x,y) X Y, (x,y) X Y): x x y y}R2:= {((x,y) XY, (x y) X Y): x x (x=x y y)}

64. Kt jlrendezett halmaz Descartes-szorzatn a lexikografikus rszbenrendezsttekintjk. Mit llthatunk errl?

Ha X s Y rendezettek, illetve jlrendezettek, akkor XY is rendezett, illetve jlrendezett alexikografikus rszbenrendezssel.

65. Definilja a fggvny fogalmt. Ismertesse a kapcsold jellseket.

A fggvny egy olyan f relci, amelynl minden x-hez legfeljebb egy olyan y ltezik,amelyre (x,y) f. Az f fggvny x helyen felvett y rtkt szoks f(x) = y-knt illetve fx-szelis jellni. A fggvny hozzrendelsi szablyt az f:xy formulval szoks felrni, ahol a

fggvny jellst olykor elhagyjk s egyszeren x y-t rnak.

66. Mi a klnbsg a kztt, hogy f XY s hogy f : X Y ?

AzfX Yesetn dmn(f) X, mg af:XYesetben dmn(f) =X

67. Mikor neveznk egy fggvnyt klcsnsen egyrtelmnek?

Azffggvnyt klcsnsen egyrtelmnek nevezzk, ha f(x)=ys f(x')=y eseten x=x'. Ezazzal ekvivalens, hogy az f-1relci fggvny. Ms nven injektvnek nevezzk a

klcsnsen egyrtelm fggvnyeket.


10/29



68. Igaz-e, hogy az identikus lekpezs mindig szrjektv?

Igen, az identikus lekpzs defincijbl kvetkezik, hogy dmn(x) = X s rng(x) = X, gy afggvny szrjektv.

69. Definilja a permutci fogalmt.

Egy halmaz permutcijn a halmaznak nmagra val klcsnsen egyrtelm

lekpezst rtjk.

70. Igaz-e, hogy kt fggvny sszettele fggvny?

Igen. Haf s gfggvnyek, akkorfgis az.

71. Mikor llthatjuk, hogy kt fggvny sszettele injektv, szrjektv illetve bijektv?

Ha a kt fggvny injektv, szrjektv illetve bijektv, akkor s csak akkor lesz a kt

fggvny sszettele is injektv, szrjektv valamint bijektv.

72. Mi a kapcsolat fggvnyek s ekvivalenciarelcik kztt?

Ha azXhalmazon adott egy ekvivalenciarelci, akkor azxelemhez azekvivalenciaosztlyt rendel lekpezst kanonikus lekpezsnek nevezzk. Megfordtva,

haf: XY egy fggvny, akkor az x x', haf(x)=f(x') relci egy ekvivalenciarelci.

73. Mikor neveznk egy fggvnyt monoton nvekednek illetve monoton cskkennek?

Azf: XY fggvny monoton nveked, ha

x X(y X, xy):f(x)f(y) teljesl. Monotoncskken, ha x X(y X, xy):f(x) f(y) teljesl.

74. Mikor neveznk egy fggvnyt szigoran monoton nvekednek illetve szigoranmonoton cskkennek?

Azf: XY fggvny szigoran monoton nveked, ha x X(y X, x


11/29



77. Mit rtnk indexhalmaz, indexelt halmaz s indexelt csald alatt?

Egy x fggvny i helyen felvett rtkt nha xi-vel jelljk. Ilyenkor gyakran a fggvny Irtelmezsi tartomnyt indexhalmaznak, az elemeit indexeknek, rtkkszlett indexelthalmaznak, az x fggvnyt magt pedig csaldnak nevezzk.

78. Definilja indexelt halmazcsaldok unijt s metszett.

Ha az rtkkszlet elemei halmazok, akkor halmazcsaldrl beszlnk. Egy Xi, iIhalmazcsald unijt a iIXi:= {Xi:iI} sszefggssel rtelmezzk. Rvidebb jellse:iXi. Ha I, akkor a halmazcsald metszett is definiljuk a iIXi:= {Xi:iI}.

79. Fogalmazza meg az indexelt halmazcsaldokra vonatkoz De Morgan szablyokat.

Ha Xi, iI az X halmaz rszhalmazainak egy nem res csaldja (azaz I), akkor az X-revonatkoz komplementert vesszvel jellve:(iIXi)'=iIXi';(iIXi)'=iIXi'.

80. Definilja vges sok halmaz Descartes-szorzatt s ismertesse a kapcsold jellseket.

Vges sok, n darab halmaz Descartes szorzatt formlisan gy definiljuk:X1 X2 Xn:={(x1,x2,...,xn):x1X1, x2X2, xnXn}Ha X1= X2= = Xn:= X1 X2 Xnhelyett egyszeren X

n-t szoks rni.

81. Definilja a (nem felttlenl binr) relci fogalmt s a kapcsold jellseket.

Az Rhalmaz n-vltozs relci, ha minden eleme rendezett n-es elemekbl pl fel.

82. Definilja tetszleges indexelt halmazcsald Descartes-szorzatt s ismertesse akapcsold jellseket.

Az Xi, iI halmazcsald iIXiDescartes-szorzata a halmazcsaldhoz tartoz sszeskivlasztsi fggvnynek halmaza. Jellse: iXi.

83. Definilja a binr, unr s nullr mvelet fogalmt s ismertesse a kapcsoldjellseket.

Legyen X egy halmaz. Egy X-beli binr mveleten egy :XXX lekpezst rtnk. Hax,yX, akkor (x,y) a mvelet eredmnye, x s y pedig az operandusai. Rendszerint abinr mvelet

jelt az operandusok kz rjuk: xy. Egy X-beli unr mvelet egy :XX lekpezs. MivelX={}, egy nullr mvelet egy :{}X lekpezs, ami tulajdonkppen X egy elemneka kijellst jelenti,operandusa nincs, csak eredmnye.


12/29



84. Adjon meg egy binr s egy unr mveletet tblzattal.

85. Hogyan definilunk mveleteket fggvnyek kztt?

Ha X s Y halmazok.

binr mveletet pedig Y halmaz elemei kztt rtelmezzk, akkor f,

g: X Y fggvnyek kztt is rtelmezhetjk pontonknt binr mveletet az albbimdn formlisan:

x X: (f g)(x) = f(x) g(x)A kt mveletet ltalban ugyanazzal a jellel szoks jellni. Analg mdon definilhatk

unr illetve nullr mveletek is fggvnyek kztt.

86. Adjon pldt mveletekre fggvnyek kztt.

Egy n-bites szmtgpen rendszerint rendelkezsre llnak a logikai mveletek n-bitesszavakon, azaz a {0,1,...,n-1} halmazt a {,} halmazba kpez fggvnyek halmazn.

87. Definilja a mvelettart lekpezs fogalmt.

Legyenek s binr mveletek rendre X s X halmazokon. Egy : X X lekpezsmvelettart, ha x,y X :(f g)(x) = f(x) g(x)A kt mveletet ltalban ugyanazzal a jellel szoks jellni. Analg mdon definilhatk

unr illetve nullr mveletek is fggvnytereken.

88. Adjon pldt mvelettart lekpezsre.

Ha a>1, az x|axlekpzs mvelettart s klcsnsen egyrtelm lekpzse azsszeadssal tekintett vals szmoknak a szorzssal tekintett pozitv vals szmokra.

89. Fogalmazza meg a rekurzittelt.

Legyen X egy halmaz, aX s f:XX egy fggvny. Ha a Peano-aximk teljeslnek, akkoregy s csak egy olyan -et X-be kpezg fggvny ltezik, amelyre g(0)=0 s g(n+)=f(g(n))minden n-re.


13/29



90. Definilja a karakterisztikus fggvny fogalmt s ismertesse a kapcsold jellseket.

Az X s Y halmazokra, ha Y X, akkor legyen (x):=1, ha x Y s (x):=0, ha x X\Y. A fggvny az Y halmaz X-en rtelmezett karakterisztikus fggvnye.

Formalizlva

(x) : =

1, Y

0, X\Y91. Definilja a baloldali semleges elem, a jobboldali semleges elem s a semleges elemfogalmt.

A (G,) grupoid esetn G halmaz egy s elemt bal, illetve jobb oldali semleges elemneknevezzk, ha s g = g, illetve g s = g minden g G-re. Ha s bal s jobb oldali semlegeselem is, akkor semleges elemnek nevezzk.

92. Definilja a flcsoport, a balinverz, a jobbinverz s az inverz fogalmt s ismertesse a

kapcsold jellseket.

Ha a binr mvelet Ghalmazon asszociatv (azaz x, y, zG: (xy)z=x(yz)), akkor(G,) grupoid flcsoport.Ha (G,) flcsoportban s semleges elem, akkor g, gG-re gg= s esetn ga gbalinverze, gpedig a gjobbinverze. Ha ga g-nek bal- s jobbinverze is, akkor ga ginverze.

93. Igaz-e, hogy egy egysgelemes multiplikatv flcsoportban ha h-nak s g-nek van

inverze, akkor hg-nek is, s ha igen, mi?Igen. Ha g-nek gaz inverze, s h-nak haz inverze, akkor a gh inverze hg.

94. Definilja a csoport s az Abel-csoport fogalmt.Ha egy semleges elemes flcsoport minden elemnek van inverze, akkor csoport. Ha a binr mveletet a Ghalmazon s g,hG: gh= hgteljesl, akkor gs hfelcserlhetek. Ha Gbrmely kt eleme felcserlhet, akkor a mvelet kommutatv.A kommutatv csoportok az Abel-csoportok.

95. Igaz-e, hogy ha X tetszleges halmaz, akkor(X), egy egysgelemes flcsoport?Igen, ((X), ) kommutatv egysgelemes flcsoport.

96. Igaz-e, hogy ha X tetszleges halmaz, akkor((X),egy csoport?Nem igaz, ((X), ) kommutatv egysgelemes flcsoport.

97. Igaz-e, hogy ha X tetszleges halmaz, akkor ((X), ) egy flcsoport?

Igaz, mivel ((X), ) Abel-csoprt.


14/29



98. Igaz-e, hogy ha X tetszleges halmaz, akkor az X-beli binr relcik a kompozcivalegysgelemes flcsoportot alkotnak?

Igen, mert a kompozci mvelet asszociatv, hiszen R, Q, S relcikra (R Q) S = R (Q S), az x= {(x,x) X X : x X} pedig egysgelem, mivel R X X-re R x = xR = R.

99. Igaz-e, hogy ha X tetszleges halmaz, akkor az X-et X-re kpezbijektv lekpezsek akompozcival, mint mvelettel csoportot alkotnak?

Igaz. Ha csak az sszes injektv, illetve az sszes szrjektv lekpezseket tekintjk, akkor

is egysgelemes flcsoportot kapunk. Az sszes bijektv lekpezsek csoportot alkotnak.

100. Fogalmazza meg a termszetes szmokra a relci s a mveletek kapcsolatt lerttelt.

Ha k,m,n

, akkor:

(1) n+kzvetlenl kveti n-et;(2) mn m+k n+k;(3) k0 : mn mk nk;(4) m


15/29



105. Fogalmazza meg a hatvnyozs kt tulajdonsgt flcsoportban s egysgelemesflcsoportban.

Egy tetszleges G multiplikatv flcsoportra minden g G-re teljeslnek az albbiakminden m, n

+-ra (egysgelemes G flcsoport esetn minden m,n

-re):

gm+n = gm gn (gm)n = gmn

106. Fogalmazza meg a hatvnyozsnak azt a tulajdonsgt, amely csak felcserlhetelemekre rvnyes.

Ha g,h a G flcsoport felcserlhet elemei, akkor indukcival (gh)n=gnhn minden n+-ra,

ha G egysgelemes flcsoport, akkor minden n-re.

107. Hogyan rtelmeztk () ajellst?Ha G egy kommutatv flcsoport, x:A G egy tetszleges fggvny s van olyan :{k :1 k n} A klcsnsen egyrtelm lekpezs (n +-ra, illetve nullelemes Gflcsoport esetn n -re}, amely A-ra kpez, akkor minden ilyen lekpezsre ()=1 ugyanaz ez az ltalnos kommutativits ttele. Ezt a kzs rtket (A) a val is

jellhetjk.

108. Mikor mondjuk, hogy egy binr mvelet kompatibilis egy osztlyozssal? Adjonekvivalens megfogalmazst, s Definilja a mveletet az osztlyok kztt.

109. Definilja a nullgyrs a zrgyrfogalmt.A nullgyrolyan gyr, amelynek csak egyetlen eleme van, ez pedig szksgszeren a 0nullelem. (Klnben a gyr R alaphalmaza nem alkotna az sszeadssal Abel-csoportot,

de mg csoportot se.) A zrgyrben brmely kt elem szorzata 0 nullelem.

110. Definilja a bal s jobb oldali nulloszt s a nullosztpr fogalmt.Ha x s y egy gyr nulltl klnbz elemei s x y = 0, akkor x s y egy nullosztpr,ahol x a bal oldali, y pedig a jobb oldali nulloszt.

111. Definilja az integritsi tartomny fogalmt.Egy legalbb ktelem gyr nullosztmentes, ha nincsenek benne nullosztprok. A

kommutatv nullosztmentes gyr az integritsi tartomny.


16/29



112. Definilja a rendezett integritsi tartomny fogalmt.R-et rendezett integritsi tartomnynak nevezzk, ha rendezett halmaz, integritsitartomny, s(1) ha x,y,zR s xy, akkor x+zy+z (az sszeads monoton);(2) ha x,y

R s x,y0, akkor xy0 (a szorzs monoton).

113. Fogalmazzon meg szksges s elgsges felttelt arra vonatkozan, hogy egyintegritsi tartomny rendezett integritsi tartomny legyen.

Egy R rendezett halmaz, amely integritsi tartomny akkor s csak akkor rendezettintegritsi tartomny, ha az sszeads s szorzs is szigoran monoton.

Formlisan:x,y,z (x0 (a szorzs szigoran monoton)

114. Fogalmazza meg a rendezett integritsi tartomnyban az egyenltlensgekkel valszmols szablyait ler ttelt.

Legyen R rendezett halmaz, amely integritsi tartomny. Ekkor teljesl az albbi 5 szablyx,y,z -re:(1) ha x>0, akkor x


17/29



120. Fogalmazza meg a vals szmok egyrtelmsgt ler ttelt.

Legyen s kt fels hatr tulajdonsg test. Ekkor ltezik egy klcsnsenegyrtelm lekpezse -nek -re, amely monoton nveked, sszeads- sszorzstart. Egy fels hatr tulajdonsg testet a vals szmok testnek nevezzk, az

elbbiek rtelmben legfeljebb egy ilyen van.

121. Definilja a bvtett vals szmokat.

A bvtettvals szmok halmaza: := ( = feslsvonal){+,-}.122. Fogalmazza meg a vals szmok ltezst ler ttelt.

Ltezik fels hatr tulajdonsg test. Egy fels hatr tulajdonsg testet a vals szmok

testnek nevezzk.

123. Fogalmazza meg a vals szmok krben a gykvonsra vonatkoz ttelt.

Minden x0 vals szmhoz s n+termszetes szmhoz pontosan egy olyan y0 valsszm tallhat, amelyre yn=x. Az y szmot az x n-edik gyknek nevezzk s -el

jelljk (n=2 esetn -el is) vagy -el jelljk.124. Fogalmazza meg a vals szmok krben a szorzat gykre vonatkoz lltst.

Ha a s b nemnegatv szmok s n+, akkor = .125. Definilja a komplex szmok halmazt a mveletekkel.

A komplex szmok halmaza

=

, a vals szmprok halmaza az

(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') sszeadssal s az (x,y) (x',y')=(xx'-y'y,y'x+yx') szorzssal, mintmveletekkel. A test a fenti mveletekkel: a nullelem a (0,0) pr, az (x,y) pr additvinverze a (-x,-y) pr, egysgelem az (1,0) pr, s a nullelemtl klnbz (x,y) pr

multiplikatv inverze az +

+ pr.

126. Adja megbegyazst -be.Ha x,x , akkor (x,0) + (x,0) = (x+x,0) s (x,0) (x,0) = (x x,0), gy az x (x,0) lekpezsinjektv, sszeads- s szorzstart lekpezse -nek -be, ezrt az sszes (x,0) , xalak komplex szmok halmazt azonosthatjuk -rel.

127. Definilja i-t, komplex szm vals s kpzetes rszt, konjugltjt s a kpzetesszmok fogalmt.


18/29



128. Fogalmazza meg a komplex konjugls tulajdonsgait.

129. Definilja komplex szm abszolt rtkt. Milyen ttelt hasznlt?A komplex szmokat a sk origbl kiindul vektorainak tekintve a komplex szmokabszolt rtke ennek a vektornak a hossza. Azaz az (x,y) szm abszolt rtke :|(x,y)| = 2 + 2. Ehhez felhasznltuk azt az analzisbeli ttelt, mely szerint x , x0,n +: ! y 0+(yn= x). Ekkor az y szm n. gyke, jele: y = .

130. Fogalmazza meg komplex szmok abszolt rtknek tulajdonsgait.

131. Definilja komplex szmokra a sgn fggvnyt s fogalmazza meg tulajdonsgait.

132. Definilja komplex szmok trigonometrikus alakjt s argumentumt.Ha 0z , akkor van olyan t vals szm, amelyre sgn(z) = cos t + i sin t. Ha ez azsszefggs fennll t-re, akkor a t + 2k, k szmokra is, s csak ezekre.Ekkor z =|z| (cos t + i sin t), ez a komplex szm trigonometrikus alakja.Ha z = 0, akkor akrmilyen t szm vlaszthat. Ha z0 , akkor z argumentuma(jele: arg(z)) az az egyetlen t vals szm, amelyre


19/29



133. rja fel kt komplex szm szorzatt s hnyadost trigonometrikus alakjuksegtsgvel.

Legyen z,w trigonometrikus alakjukban z:=|z| (cos t + i sin t) s w :=|w| (cos s + isin s), ahol t,s . Ekkor z s w szorzata valamint hnyadosa a trigonometrikus alakjuksegtsgvel:

z w = |z| (cos t + i sin t) |w| (cos s + i sin s)= |zw| (cos t cos s sin t sin s + i(cos t sin s + cos s sin t))= |zw| (cos(t s) i sin(t s))

134. Ha n s w , rja fel a z = w egyenlet sszes megoldst.

zk= || +2

+ +2

k = 0,1, ,n 1

135. rja fel az n-edik komplex egysggykket. Mit rtnk primitv n-edik egysggykalatt?

A n= 1 egyenlet megoldsai az n. komplex egysggykk. Ekkor || = 1 s t =0, gy:k= cos2 + i sin

2 , k = 0,1,, n -1

Azok az n. egysggykk, amelyek hatvnyaknt az sszes tbbi elll, az gynevezett

primitv n. komplex egysggykk. (Pldul n2 esetn 1 s n-1 mindig primitvegysggykk.)

136. Ha n

s w , rja fel a zn= w egyenlet sszes megoldst az n-edikegysggykk segtsgvel.

zk = z k, k = 0,1,,n 1137. Fogalmazza meg az algebra alapttelt.

Ha n+, valamint c0,c1,...,cnkomplex szmok, cn0, akkor van olyan z komplex szm,amelyre c=0 kzk= 0 .Msknt fogalmazva, minden legalbb elsfok komplexegytthatsalgebrai egyenletnek van komplex gyke.

138. Definilja halmazok ekvivalencijt s sorolja fel tulajdonsgait.Az X s Y halmazok ekvivalensek, ha ltezik X-et Y-ra lekpez injektv lekpezs. Jellse:X Y. Amennyiben X, Y, s Z halmazok, akkor teljeslnek az albbi tulajdonsgok:

Reflexivits: X X Szimmetria: X Y Y X Tranzitivits: X Y Y Z X Z

139. Ha az X s Xilletve Y s Y

halmazok ekvivalensek, milyen ms halmazok

ekvivalencijra kvetkeztethetnk mg ebbl?

Ha X X s Y Y, akkor XY X Y az (x,y) (f(x),g(y)) lekpzssel.


20/29



140. Definilja a vges s a vgtelen halmazok fogalmt.

Egy X halmaz vges, ha valamely n szmra ekvivalens {1,2,,n} a halmazzal, egybkntvgtelen.

141. Definilja egy vges halmaz elemeinek szmt. Hogyan jelljk? Mit hasznlt fel adefincihoz?

Az az egyrtelmen meghatrozott termszetes szm, mely egy adott X vges halmazekvivalens {1,2,,n}-nel, az X halmaz elemeinek szma, ms nven szmossga.

Jellse: #(X) vagy card(X).

A defincihoz felhasznltuk, hogy minden halmaz legfeljebb egy n-re ekvivalens {1,2,,n}halmazzal.

142. Fogalmazza meg a vges halmazok s elemszmuk tulajdonsgait ler ttelt.

Legyenek X s Y halmazok. Ekkor teljeslnek rjuk a kvetkez tulajdonsgok:

(1)Ha X vges s YX, akkor Y is vges, s #(Y) #(X);(2)Ha X vges s Y X, akkor #(Y) < #(X);(3)Ha X s Y vgesek s diszjunktak, akkor X Y is vges, s #(X Y) = #(X) + #(Y);(4)Ha X s Y vgesek, akkor #(X Y) + (X Y) = #(X) + #(Y);(5)Ha X s Y vgesek, akkor X Y is vges, s #(X Y) = #(X) #(Y);(6)Ha X s Y vgesek, akkor XYis vges, s #(XY) = #(X)#(Y);

(7)Ha X vges halmaz, akkor (X) is vges, s #((X)) = 2#(X);(8)Ha X vges s f fggvny X-et Y-ra kpezi, akkor Y is vges, #(Y) #(X), s ha f nem

injektv, akkor #(Y) < #(X).

143. Fogalmazza meg a skatulyaelvet.

Ha X s Y vges halmazok, s #(X) > #(Y), akkor f: X Y lekpezs nem lehet injektv.144. Mit mondhatunk vges halmazban minimlis s maximlis elem ltezsrl?

Rszbenrendezett halmaz brmely nem res vges rszhalmaznak van maximlis s

minimlis eleme.

145. Mit mondhatunk egy vges halmaz sszes permutciinak szmrl?

Ha egy A halmaz ekvivalens {1,2,...,n}-nel, akkor permutciinak halmaza ekvivalens{1,2,...,n} permutciinak halmazval. Ha A={a1,a2,...,an} s p1,p2,...,pnaz {1,2,...,n} egypermutcija, akkor az A megfelel permutcija az ai|apilekpzs. gy Apermutciinak szma csak n = #(A)-tl fgg. Jellje ezt a szmot Pn. Pn=n!.


21/29



146. Mit rtnk egy vges halmaz variciin s mit mondhatunk az sszes varicikszmrl?

Az A halmaz elemeibl kszthet, klnbz tagokbl ll a1,a2,,an sorozatokat, azaz{1,2,,n}-t A-ba kpez klcsnsen egyrtelm lekpzseket az A halmaz k-ad osztly

variciinak nevezzk. Ha A vges halmaz, #(A)=n, akkor ezek

szma megegyezik az{1,2,..,k}-t {1,2,,n}-be kpez klcsnsen egyrtelm lekpezsek szmval.

= !()! = n (n 1) (n k + 1), hak n, egybknt 0.

147. Definilja az ismtlses varicik fogalmt. Mit mondhatunk egy vges halmaz sszesismtlses variciinak szmrl?

Az A halmaz elemeibl kszthet a1,a2,,aksorozatokat, azaz {1,2,,k}-t A-ba kpezlekpezseket az A halmaz k-ad osztly ismtlses variciinak nevezzk. Ha A vges

halmaz, #(A) = n, akkor ezeki

szmrl (a ,

jells is szoksos) mr tudjuk, hogy nk

.

148. Mit rtnk egy vges halmaz kombinciin s mit mondhatunk az sszes kombincikszmrl?

Ha k , akkor A halmaz k elem rszhalmazait az A halmaz k-ad osztly kombinciinaknevezzk. Ha Avges halmaz, akkor #(A)=n, akkor ezek szma megegyezik a {1,2,,n}halmaz k elem rszhalmazainak szmval. = !!()! = , ha kn, egybknt 0.

149. Mit rtnk egy vges halmaz ismtlses kombinciin s mit mondhatunk az sszesismtlses kombincik szmrl?

Ha k , akkor A halmazbl k elemet kivlasztva, de ismtlseket is megengedve, nemtekintve a sorrendre, az A halmaz k-ad osztlyismtlses kombinciit kapjuk.Pontosabban, tekintsk mindazokat az f:Afggvnyeket, amelyek csak vges sokhelyen vesznek fel nem nulla rtket, s ezen rtkek sszege k; ezek az A halmazismtlses kombincii. Ha A vges halmaz, akkor #(A)=n, gy feltehetjk, hogyA={1,2,..,n}. Minden g:{1,2,..,k}{1,2,...,n} monoton nvekedhozzrendelve az f(j)= #(g-1(j)) fggvnyt, klcsnsen egyrtelmmegfeleltetst kapunk.Aismtlses

kombincii s az {1,2,...,k}-t {1,2,...,n}-be kpezmonoton nveked fggvnyek kztt,gy ezek szma az A ismtlses kombinciinak i szma. i = +1

150. Mit rtnk egy vges halmaz ismtlses permutciin s mit mondhatunk az sszesismtlses permutcik szmrl?

Ha r,i1,i2,...,ir , akkor az a1,a2,...,ar(klnbz) elemek i1,i2,...,irismtldsismtlsespermutcii az olyan n=i1+i2+...+ir-tagsorozatok, amelyekben az ajelem ij-szer fordul el.Az A={a1,a2,...,ar} jellssel ezek olyan {1,2,...,n}-et A-ba kpezlekpzsek, amelyeknl ajteljes inverz kepe ijelem.


22/29



151. Fogalmazza meg a binomilis ttelt.

Legyenek x,y egy R kommutatv egysgelemes gyr elemei, nEkkor:

( + ) =

=0

152. rja fel a Pascal-hromszg els8 sort.1

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1

153. Mennyi a binomilis egytthatk sszege, illetve vltakoz eljellel vett sszege?

nkn

k=0=2n

=0(1) = 0

154. Fogalmazza meg a polinomilis ttelt.

155. Fogalmazza meg a logikai szita formult.


23/29



156. Definilja a termszetes szmok krben az oszthatsgot s adja meg a jellst.

Az m termszetes szmot az n termszetes szm osztjnak, az n-et pedig mtbbszrsnek nevezzk, illetve azt mondjuk, hogy n oszthat m-el, ha van olyan ktermszetes szm, hogy n=mk.

jellse: m|n.

157. Sorolja fel a termszetes szmok krben az oszthatsg alaptulajdonsgait.

A termszetes szmok krben(1) ha m|n s m'|n', akkor mm'|nn';(2) a nullnak minden termszetes szm osztja;(3) a nulla csak sajt magnak osztja;(4) az 1 minden termszetes szmnak az osztja;(5) ha m|n, akkor mk|nk minden k -re;(6) ha k

+s mk|nk, akkor m|n;

(7) ha m|nis ki, (i=1,2,...,j), akkor m| =1 ;(8) brmely nem 0 termszetes szm brmely osztjakisebb vagy egyenl, mint a szm;(9) az | relci reflexv, tranzitv s antiszimmetrikus, azaz rszbenrendezs.

158. Definilja a termszetes szmok krben a prmszm s a trzsszm fogalmt. Mi akapcsolat a kt fogalom kztt?

Az n>1 termszetes szm trzsszm, ha az 1-en s sajt magn kvl nincs ms osztja,azaz csak trivilis mdon, 1n = n 1 alakban rhat fel termszetes szmok szorzataknt.

A p>1 termszetes szmot prmszmnak nevezzk, ha p|km (k,m) eseten p|k vagyp|m.A trzsszmok s prmszmok halmaza egyenl.

159. Definilja egysgelemes integritsi tartomnyban az oszthatsgot s adja meg ajellst.

Egy R egysgelemes integritsi tartomnyban, ha a,bR, akkor b az a osztja,vagy aa btbbszrse, azaz a oszthat b-vel, ha van olyan cR, hogy a=bc.

jellse b|a.

160. Sorolja fel egysgelemes integritsi tartomnyban az oszthatsg alaptulajdonsgait.

Egy egysgelemes integritsi tartomny elemei krben(1) ha a|b s a'|b', akkor aa'|bb';(2) a 0-nak minden termszetes szm osztja;(3) a 0 csak sajtmagnak osztja;(4) az 1 minden elemnek az osztja;(5) ha b|a, akkor bc|ac minden c R-re;(6) ha bc|ac s c0, akkor b|a;

(7) ha b|ais ciR, (i=1,2,...,j), akkor b| =1 (8) az | relci reflexv s tranzitv.


24/29



161. Definilja az asszociltak fogalmt s sorolja fel ennek a kapcsolatnak atulajdonsgait.

Ha egy R egysgelemes integritsi tartomny a s b elemre igaz, hogy a|b b|a, akkor as b asszociltak. Ez a relci ekvivalenciarelci, tovbb kompatibilis a szorzssal. A

nullnak (nullelem) mindig csak sajt maga az asszociltja. A | relci kompatibilis ezzel azekvivalenciarelcival, s az ekvivalenciaosztlyokon tekintve rszbenrendezst kapunk.

162. Definilja az egysgek fogalmt s sorolja fel az egysgek halmaznak tulajdonsgait.

Az egysgek az 1 (egysgelem) asszociltjai. Egy elem asszociltjait lerhatjuk az egysgek

segtsgvel, amelyek nem msok, mint 1 oszti, hiszen 1 brminek osztja.

Mskppen: az egysgek R egysgelemes integritsi tartomny azon elemei, amelyeknekvan a szorzsra nzve inverzk. Az egysgek a szorzsra nzve Abel-csoportot alkotnak, agyr egysgcsoportjt. Az egysgek brmely a R-nak oszti, mert 1a-nak oszti.

163. Mi a kapcsolat az egysgek s az asszociltak kztt?

Az a R asszociltjai az a alak elemek, ahol egysg, R pedig egysgelemes integritsitartomny.

164. Mi a kapcsolat a termszetes szmok s az egsz szmok krben vett oszthatsgkztt?

Mivel ha k,m

, akkor |km| = |k| |m|, az egsz szmok krben m|n pontosan akkor

teljesl, ha |m|||n| az -ben.

165. Definilja a Gauss-egszek gyrjt. Igaz-e, hogy kt egysg van?

A Gauss-egszek egysgelemes gyrje: G = {n + im: n,m } . Ngy egysg van 1 si.

166. Definilja egysgelemes integritsi tartomnyban a prmelem s az irreducibilis elemfogalmt. Mi a kapcsolat a kt fogalom kztt?

Az R egysgelemes integritsi tartomny egy a 0 eleme felbonthatatlan (ms nven:

irreducibilis), ha nem egysg, s csak trivilis mdon rhat fel szorzatknt, teht a =bc(b,c R) esetn b vagy c egysg.A 0p R elem prmelem, ha nem egysg, s p|ab (a,b R) esetn p|a vagy p|b.A felbonthatatlan elemek s prmelemek halmaza egyenl.

167. Mit rtnk egysgelemes integritsi tartomnyban legnagyobb kzs oszt alatt?

Az R egysgelemes integritsi tartomnyban az a1,a2,,an R elemeknek a b R elemlegnagyobb kzs osztja, ha i = 1,2,,n esetn b|ais b|ai, akkor b|b.


25/29



168. Mikor mondjuk egysgelemes integritsi tartomny elemeire, hogy relatv prmek?

Az R egysgelemes integritsi tartomnyban az a1,a2,,an R elemek legnagyobb kzsoszti egysgek, akkor a1,a2,,an relatv prmek.

169. Mit rtnk egysgelemes integritsi tartomnyban legkisebb kzs tbbszrs alatt?

Az R egysgelemes integritsi tartomnyban az a1,a2,,an R elemeknek a b R elemlegkisebb kzs tbbszrse, ha i = 1,2,,n esetn b|ai, akkor b|b.

170. Egyrtelm-e az egsz szmok krben a legnagyobb kzs oszt? Ismertesse akapcsold jellst.

Nem. Az a1,a2,,an szmok legnagyobb kzs oszti kzl az egyik nemnegatv, eztlnko(a1,a2,,an)-nel jelljk. (Hasznlt jells mg az gcd(a1,a2,,an) s az (a1,a2,,an) is.)

171. Egyrtelm-e az egsz szmok krben a legkisebb kzs tbbszrs? Ismertesse akapcsold jellst.

Nem. A a1,a2,,an szmok legkisebb kzs tbbszrsei kzl az egyik nemnegatv, eztlkkt(a1,a2,,an)-nel jelljk. (Hasznlt jells mg az lcm(a1,a2,,an) s az [a1,a2,,an] is.)

172. Ismertesse a bvtett euklideszi algoritmust.

173. Mely ttel alapjn szmolhatjuk ki vges sok egsz szm legnagyobb kzs osztjtprmfelbonts nlkl?

Brmely a1,a2,,anszmoknak ltezik legnagyobb kzs osztja, s:lnko(a1,a2,,an) = lnko(lnko(a1,a2),a3,a4,,an).

174. Fogalmazza meg a szmelmlet alapttelt.

Minden pozitv termszetes szm a sorrendtl eltekintve egyrtelmen felbonthatprmszmok szorzataknt.

175. Definilja prmtnyezs felbontsnl a kanonikus alakot.


26/29



A szmelmlet alapttelben szerepl prmtnyezs felbontst gyakran

= 123 alakban rjuk, ahol p1,p2,...,pkklnbzprmek, a kitevk pedig +elemei. Ezt nevezzk a szm kanonikus alakjnak.

176. Hogyan hatrozhatk meg termszetes szmok esetn az osztk, a legnagyobb kzs

oszt s a legkisebb kzs tbbszrs a prmtnyezs felbonts segtsgvel?

Ha adott a szm kanonikus alakban, akkor azok a termszetes szmok osztjk a-t, amelyekkanonikus alakjban csak a prmtnyezi szerepelnek s egyik prmtnyez sem szerepel

nagyobb hatvnyon, mint a kanonikus alakjban. Formlisan: a kanonikus alakja legyen

123 , ekkor:b (b|a) b = 123 : i i, (i = 1,2,k).Brmely a1,a2,...,an szmok legnagyobb kzs osztjt s legkisebb kzstbbszrst gy kapjuk meg, hogy ha felrjuk mindegyik szm kanonikus alakjt gy

kiegsztve, hogy mindegyikben ugyanazok a prmtnyezk szerepeljenek (a feleslegesek

a 0. hatvnyon), akkor:

ai= 123 , (i = 1,2,,k),

177. Mi a kapcsolat kt egsz szm legnagyobb kzs osztja s legkisebb kzs

tbbszrse kztt?lnko(a,b) lkkt(a,b) = |ab|

178. Hogyan szmolhatjuk ki vges sok egsz szm legkisebb kzs tbbszrstprmfelbonts nlkl?

Tetszleges a1,a2,...,an szmoknak ltezik legkisebb kzs tbbszrse, slkkt(a1,a2,...,an)=lkkt(lkkt(a1,a2),...,an).

179. Ismertesse Eratoszthensz szitjt.

Ha egy adott n-ig az sszes prmet meg akarjuk tlalni, a kvetkez egyszer eljrshatkony mdszert ad: rjuk fel a szmokat 2-tl n-ig. Az els szm, a 2 prm, sszes(valdi) tbbszrse sszetett, ezeket hzzuk ki. A megmarad szmok kzl az els a 3,

ez prm, ennek minden (valdi) tbbszrse sszetett, ezeket hzzuk ki stb. Az eljrsvgn az n-nl nem nagyobb prmek maradnak meg.

180. Definilja egsz szmok kongruencijt s adja meg a kapcsold jellseket.

Ha a,b,m s m osztja a - b-nek, akkor azt mondjuk, hogy a s b kongruensek modulom.

Ezt gy jelljk, hogy a b(mod m).181. Fogalmazza meg az egsz szmok kongruencijnak egyszertulajdonsgait.


27/29



Ha a b(mod m) s d|m, akkor a b(mod m) is teljesl. Ha 0d , akkor ab(mod m)ekivalens azzal, hogy adbd(mod md). Az oszthatsg tulajdonsgaiblkvetkezik, hogybrmely adott m-re a kongruencia ekvivalenciarelci -ben. Az m s a -m szerintikongruencia ugyanazt jelenti.

182. Definilja a maradkosztly, reduklt maradkosztly, teljes s redukltmaradkrendszer fogalmt.

Egy mmodulus szerinti kongruencia ekvivalenciaosztlyait maradkosztlyoknaknevezzk. Ha egy maradkosztly valamelyik eleme relatv prm a modulushoz, akkormindegyik, s ekkor a maradkosztly reduklt maradkosztlynak nevezzk. Pronkntinkongruens egszek egy rendszert maradkrendszernek nevezzk. Ha egymaradkrendszer minden maradkosztlybl tartalmaz elemet, akkor teljesmaradkrendszernek nevezzk. Ha egy maradkrendszer pontosan aredukltmaradkosztlyokbl tartalmaz elemet, akkor reduklt maradkrendszernek nevezzk.

183. Definilja m-et. Milyen algebrai struktra m?

Egy m modulus szerinti kongruencia ekvivalenciaosztlyait maradkosztlyoknaknevezzk. A kongruencia kompatibilis az sszeadssal s a szorzssal. Azekvivalenciaosztlyok kommutatv egysgelemes gyrt alkotnak az sszeadssal s aszorzssal. Ezt a gyrt m-el jelljk.

184. Ismertesse a komplemens brzolsokat.

Negatv szmok szmtgpes brzolsra elterjedt a komplemens brzols. Csak

binris gpek esetvel foglalkozunk.

Egy n-bites szmtgpen hasznlt lehetsgek 0k1 egsz. Ha 1


28/29



187. Ismertesse a DiffieHellmannMerkle kulcscsert.

A felhasznlk megllapodnak egy nagy Sophie Germain prmben, azaz olyan p prmben,amelyre q=2p+1 is prm valamint egy 1


29/29


c1,c2,...,cn. Az xcj(mod mj), j=1,2,...,n kongruenciarendszer megoldhat, s brmelykt megoldsa kongruens modulo m1,m2,...mn.

diszkret matematika definiciok kidolgozva

Documents