distribusi normal, binomial & poisson · 2017. 1. 8. · distribusi normal •sebaran peluang...
TRANSCRIPT
Distribusi Normal, Binomial & Poisson
Hikmah Agustin,SP.,MM
2015
Distribusi Normal
• Sebaran peluang kontinu yg digunakan di gugusan data alam, industri, dan penelitian
Definisi:
• Jika X merupakan suatu peubah acak normal dengan nilai tengah μ dan ragam σ2, maka persamaan kurva normalnya
Rumus sebaran Normal
Kurva Normal
Sifat-sifat kurva normal:
• 1.Modusnya, jika titik pada sumbu mendatar yang membuat
fungsi mencapai maksimum, terjadi pada x = μ
• 2.Kurvanya setangkup terhadap suatu garis tegak yang
melalui nilai tengah
3.Kurva ini mendekati sumbu mendatar secara asimtotik da
lam kedua arah bila kita semakin menjauhi nilai tengah
• 4.Luas daerah yang terletak di bawah kurva tetapi di atas
sumbu mendatar = 1
Gambaran Kurva Normal
• Transformasi dari peubah acak X ~ Normal (μ,σ2) ke peubah acak Z ~ Normal Baku (0,1), dengan menggunakan :
Gambaran kurva>>
Menghitung Probabilitas dengan Kurva Normal: P(0 < Z < 1.56)
Pola Distribusi Normal
CONTOH !!!
• Untuk sebaran normal dengan μ=50; σ=10 hitunglah bahwa X mengambil sebuah nilai antara 45 dan 62!
Z1=(45-50)/10 = -0.5
Z2=(62-50)/10=1.2
• Maka P(45<X<62) = P(-0.5<Z<1.2)
P(45<X<62)= P(-0.5<Z<1.2)
=P(Z<1.2) – P(Z<-0.5)
= 0.3849 – 0.3085
= 0,0764
Maka :
Luas daerah untuk kurva normal adalah luas daerah di bawah kurva (sebelah kanan dari nilai peubah z)
Contoh !!
Pergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk menghitung luas daerah :
Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi normal kumulatif adalah luas dari z=-∞ s/d z0 tertentu: P(z<z0).
Contoh :
• a)P(z>1.84) = 1 – P(z≤1.84)
=1 -0.4671
= 0.5329
• a)P(-1.96 <z<0.86) = P(z<0.86) – P(z<-1.96)
= 0.3051 – 0.0250 = 0.2801
Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan
• Diketahui luas dibawah distribusi normal yg diinginkan yang terkait dengan besar probabilitas, ingin dicari nilai variabel random X yg terkait.
• Rumus :
• Zo = (Xo-μ)/σ
• Xo = μ + σ.Zo
Contoh
Misalkan distribusi normal memiliki μ=40 σ=6, carilah nilai Xo sehingga:
• a)P(X<Xo) = 45%
Jawab.
a)Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.
• P(Z<Zo) = 45% = 0.45, lihat dari tabel Zo = 0.1736
Zo = (Xo-μ)/σ
Xo = μ + σ. Zo
= 40 +6*(0.1736)
= 41,0416
Contoh
• b)P(X>Xo)=14%
• Jawab :
• Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.
P(Z>Zo) = 14% , jika P(Z<Zo) = 1- P(Z>Zo)
= 1-0.14
= 0.86
• P(Z<Zo) = 0.86, lihat dari tabel Zo = 0,3051
Zo= (Xo-μ)/σ atau Xo = μ + σ. Zo
= 40 +6*(0,3051)
= 41,8306
Latihan !!
Diketahui peubah acak normal dengan µ = 3 dan σ = 5,
tentukanlah :
a. P(x<8)
b. P ( -10< x < 20)
c. P (35 < x < 25 )
d. P (-0,40 Z 1,21)
Contoh Penerapan Distribusi Normal
• Sebuah perusahaan lampu celup bawah air mengetahui bahwa umur lampunya (sebelum putus) terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya 800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah bolam produksinya:
• a.Berumur antara 778 jam dan 834 jam
• b.Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam
Jawab.
• μ= 800 σ=40.
• P(778<x<834)
• X1=778 Z1 = (X1-μ)/σ = (778-800)/40 = -0.55
• X2=834 Z2 = (X2-μ)/σ = (834-800)/40 = 0.85
• P(778<X<834) = P(-0.55<X<0.85)
• = P(z<0.85)-P(z<-0.55) = 0.3023 – 0.2912
= 0.0111
Jawab poin b
b) Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam
• μ= 800 σ=40.
• P(x< 750 atau x>900)
• X1=750 Z1 = (X1-μ)/σ
= (750-800)/40 = -1.25
• X2=900 Z2 = (X2-μ)/σ
= (900-800)/40 = 2.5
• P(x< 750 atau x>900) = P(z<-1.25) + P(z>2.5)
= P(z<-1.25) + 1- P(z<2.5)
= 1 + P(z<-1.25) - P(z<2.5)
= 1 + 0.1056-0.9938
= 0.1118
Distribusi Binomial
Hikmah Agustin,SP.,MM
Distribusi Binomial
Rumus Distribusi Binomial :
b (x / n , p) = n C x px . qn-x ; x = 0,1,…nq = 1 – p
Dimana : - b ( x / n , p ) 0- b ( x/n , p ) = ( q + p )n = 1
Rata – rata ( Mean ) = x = n . pVarians ( x ) = x
2 = n . p . qDistribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusi binomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal.
Distribusi Binomial
Distribusi Binomial
• Suatu usaha yang dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n ialah
Syarat Binomial
Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi 4 syarat yi :
1. Jumlah percobaan harus tetap
2. Setiap percobaan harus menghasilkan dua alternatif yaitusukses atau tidak sukses merupakan percobaan Binomial
3. Semua percobaan mempunyai nilai probabilitas yang samauntuk sukses.
4. Percobaan – percobaan tersebut harus bebas satu samalain.
Lanjutan>>
• Karena distribusi peluang setiap peubah acak binomial hanya tergantung pada nilai anggapan parameter n, p, dan q maka cukup beralasan bila dianggap bahwa rataan dan variansi peubah acak binomial juga tergantung pada nilai anggapan parameter ini, sehingga rumus untuk mencari rataan dan variansi dari distribusi binomial adalah;
Distribusi binomial b(X; n, p) mempunyai rataan dan variansiµ = np dan σ2 = npq
Contoh
• Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.
Jawab:
• Misalkan tiap pengujian bebas, jadi pengujian yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi yang berikutnya. Jadi p = ¾ untuk tiap keempat pengujian, sehingga
Contoh lain !!
• Peluang seorang sembuh dari penyakit kanker adalah 0,7berapakah orang yang sehat dan selamat dari kanker jika ada 10 orang dari 17 orang yang sakit kanker ini?
Jawab :
Boleh gunakan cara praktis ini
P (X=10) P (10 l 17, 0,7)
P = 17! (0,70)10(0,3)7
10!7!
Distribusi Poisson
Hikmah Agustin,SP.,MM
Distribusi Poisson
Ciri-ciri Distribusi PoissonDigunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya kejadian menurut satuan waktu atau ruang.Distribusi Poisson digunakan sebagaipendekatan dari distribusi binomial.
Rumus:f ( x ) = x . e- = p ( x/n , p )
x!
Dimana : x = 0 , 1, 2 … n dan e = 2,71828
Rata – rata = x = n . pVarians (x) = x
2 = n . PDalam distribusi Poisson Rata – rata dengan Variansnya adalah
sama
Atau>>>
• Distribusi Poisson Distribusi peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dngn t, diberikan oleh
• λt menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah tertentu dan e = 2,71828……
Contoh soal !
• Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?
Jawab:
• Dengan menggunakan distribusi Poisson untuk x = 6 dan λt = 4, maka
Contoh lain !!Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali , berapa probabilitas timb
ulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1, 2 , 3 ,4 , 5 kali ?
Jawab:probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logamsebanyak satu kali adalah :
p = 1.( ½ )5 = 1/32
Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak 64 kalimenjadi :
f( x ) = ( 64 ) (1 / 32 ) x (31 / 32 ) 64-x
( x )
Lanjut ...
Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial, maka di-ambil :
=n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh :
f ( x ) = x . e- = 2x . e-2 ; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
x ! x ! e-2 = 0 ,1353
x 0 1 2 3 4 5
f ( x ) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036