bab 5. distribusi normal dan distribusi sampling
TRANSCRIPT
Distribusi Normal
danDistribusi Sampling
BAB 5
Topik Pembahasan• Distribusi normal • Standar distribusi
normal• Mengevaluasi asumsi
normalitas • Eksponensial distribusi
• Pengantar distribusi sampling
• Distribusi sampling dari mean
• Distribusi sampling dari proporsi
• Sampling dari populasi terbatas
Distribusi Probabilitas Kontinu
• Variabel acak kontinu
– Nilai dari nomor interval– Tidak adanya jarak
• Distribusi probabilitas kontinu
– Distribusi variabel acak kontinu• Kebanyakan distribusi probabilitas
kontinu penting – Distribusi normal
Mean Median Modus
X
f(X)
• “Bell berbentuk”• Simetris• Mean, median dan modus yang sama• kisaran interkuartil sama 1,33 s• variabel acak memiliki jangkauan tak
terbatas
Distribusi NormalDistribusi Normal merupakan distribusi probabilitas kontinu yang paling penting dalam segala bidang Statistika. Distribusi ini memiliki karakteristik dari fungsi kepadatan-nya yang berbentuk kurva simetris menyerupai suatu lonceng, sehingga kurva Normal ini disebut sebagai kurva berbentuk lonceng (bell-shaped curve).Distribusi Normal memiliki kurva yang simetris membentuk suatu lonceng. Hal ini terjadi ketika nilai mean, median, dan modus dari data bernilai sama, namun ketika kondisi ini tidak terpenuhi, distribusi data yang terbentuk akan miring kanan atau miring kiri.
Kurva Distribusi Normal
Grafik distribusi normal tergantung pada dua faktor mean dan standart deviasi. Mean dari distribusi menentukan lokasi pusat grafik, dan standard deviasi menentukan tinggi dan lebar grafik. Ketika standard deviasi besar, kurva pendek dan lebar, ketika standard deviasi kecil, maka kurva kecil dan sempit.
Model Kurva Distribusi Normal• 𝑓(X)= 1 √2πσ²• 𝑓(X) : kepadatan variabel acak X• π : nilai konstan yang ditulis hingga empat desimal (3.14159).• 𝑒 : bilangan konstan, bila ditulis hingga empat desimal
(2.71828).• µ : parameter, merupakan rata –rata untuk
distribusi (Mean populasi)• σ : parameter, merupakan simpangan baku
untuk distribusi (standar deviasi populasi)X : nilai variabel random ( – ∞ < X < ∞ )
��
_ 1 (x- µ) ² 2σ²
Distribusi Normal Tak Terbatas
Ada jumlah tak terbatas distribusi normal
Dengan memvariasikan parameter s dan , kita memperoleh distribusi normal yang berbeda
Temuan Probabilitas
Probabilitas adalah area di bawah kurva!
c dX
f(X)
?P c X d
Solusi: Kumulatif Standar Distribusi Normal
Tabel Kumulatif Standar Distribusi Normal (Bagian)
0 1Z Z s
.5478
Probabilitas
Berbayang di Area berlebihan
Hanya Satu Tabel Dibutuhkan
0 1Z Z s
Z = 0.120
Z .00 .01 .020.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .54780.2 .5793 .5832 .58710.3 .6179 .6217 .6255
Contoh Standarisasi
6.2 5 0.1210
XZ s
6.2 5 0.12
10XZ s
Distribusi normal Standar Distribusi normal
Berbayang di Area berlebihan
10s 1Zs
5 6.2 X Z0Z
0.12
Contoh:
Distribusi normal Standar Distribusi normal
Berbayang di Area berlebihan
10s 1Zs
5 7.1 X Z0Z
0.21
2.9 5 7.1 5.21 .2110 10
X XZ Z s s
2.9 0.21
.0832
2.9 7.1 .1664P X
.0832
.5832
.02
Tabel Kumulatif Standar Distribusi Normal (Bagian)
Berbayang di Area berlebihan
0 1Z Z s
Z = 0.21
2.9 7.1 .1664P X (lanjutan)
0
Z .00 .01 .02
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
Cont
oh:
.4168
Tabel Kumulatif Standar Distribusi Normal (Bagian)
Berbayang di Area berlebihan
0 1Z Z s
Z = -0.21
2.9 7.1 .1664P X
(Lanjutan)
0
Z .00 .01 .02
-03 .3821 .3783 .3745
-02 .4207 .4168 .4129
-0.1 .4602 .4562 .4522
0.0 .5000 .4960 .4920
Contoh:
Distribusi Normal
pada PHStat
• PHStat | probabilitas & prob. distribusi | biasa ...
• Misalnya di excel spreadsheetMicrosoft Excel
Worksheet
Contoh: 8 .3821P X
Distribusi normal Standar Distribusi normal
Berbayang di Area berlebihan
10s 1Zs
5 8 X Z0Z
0.30
8 5 .3010
XZ s
.3821
8 .3821P X (La
njutan)
.6179
Tabel Kumulatif Standar Distribusi Normal (Bagian)
Berbayang di Area berlebihan
0 1Z Z s
Z = 0.300
Z .00 .01 .02
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
Contoh:
.6217
Menemukan Nilai Z untuk Probabilitas
Z .00 0.2
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
.6179 .6255
.01
0.3
Tabel Kumulatif Standar Distribusi Normal (Bagian)
Apa terdapat nilai Z pada Probabilitas = 0,1217?
Berbayang di Area berlebihan
.6217
0 1Z Z s
.31Z 0
Memulihkan Nilai X untuk Probabilitas
5 .30 10 8X Z s
Distribusi normal Standar Distribusi normal
10s 1Zs
5 ? X Z0Z 0.30
.3821.1179
Menilai Normalitas• Tidak semua variabel acak kontinu
yang terdistribusi normal• Hal ini penting untuk mengevaluasi
seberapa baik data set tampaknya cukup didekati dengan distribusi normal
• Membangun grafik
– Untuk set data yang berukuran kecil atau sedang, apakah batang dan tampilan daun dan kotak serta kumis yang petak terlihat simetris?
– Untuk set data yang besar, apakah histogram atau poligon muncul berbentuk lonceng?
• Menghitung langkah-langkah Ringkasan deskriptif
– Apakah mean, median dan modus memiliki nilai yang sama?
– Adalah rentang interkuartil sekitar 1,33
σ?
– Apakah rentang sekitar 6 σ?
• Mengamati distribusi kumpulan data – Apakah kira-kira 2/3 dari pengamatan
terletak di antara rata-rata ± 1 standar deviasi?
– Apakah kira-kira 4/5 dari pengamatan terletak di antara rata-rata ± 1,28 standar deviasi?
– Apakah kira-kira 19/20 pengamatan terletak di antara rata-rata ± 2 standar deviasi?
• Mengevaluasi plot probabilitas yang normal
– Apakah poin berbaring di atau dekat dengan garis lurus dengan kemiringan positif?• Plot probabilitas normal
– Mengatur data ke dalam array memerintahkan
– Cari yang sesuai nilai-nilai kuantil yang normal standar
– Plot pasang poin dengan nilai data yang diamati pada sumbu vertikal dan nilai-nilai kuantil yang normal standar pada sumbu horisontal
– Mengevaluasi plot untuk bukti linearitas
Plot Probabilitas normal untuk Distribusi Normal
Carilah Garis Lurus!
30
60
90
-2 -1 0 1 2
ZX
Plot Probabilitas Normal
Plot Probabilitas Normal
kanan-miring
berbentuk persegi panjang Berbentuk-U
30
60
90
-2 -1 0 1 2Z
X30
60
90
-2 -1 0 1 2Z
X
30
60
90
-2 -1 0 1 2Z
X30
60
90
-2 -1 0 1 2Z
X
Kiri-miring
Distribusi Eksponensial
P ( jam kedatangan < X ) = 1 – 𝑒X : setiap nilai variabel acak kontinu𝜆 : populasi rata-rata jumlah kedatangan per unit waktu
1/𝜆 : Rata-rata waktu antara kedatangan
Misalnya: Driver Tiba di Jembatan Tol; Pelanggan Tiba di sebuah mesin ATM
-𝜆X • Menjelaskan waktu atau jarak antara peristiwa– Digunakan untuk antrian
• fungsi kepadatan–
• Parameter
f(X)
X
= 0.5
= 2.0
1 x
f x e
s
Contoh• Misalnya : Pelanggan tiba di
kasir supermarket dengan laju 30 per jam. Berapa probabilitas perkiraan waktu kedatangan antara pelanggan berturut-turut lebih besar dari lima menit?
𝜆 =30 X=5/60 jamP(jam kedatangan > X)= 1 – P(jam kedatangan ≤ X)= 1 – 〔 1 - 𝑒 〕= .0821
-30(5/60)
Distribusi Eksponensial Pada Phstat
• PHStat | probabilitas & prob. distribusi | eksponensial
• Misalnya di excel spreadsheet
Microsoft Excel Worksheet
Mengapa Mempelajari Distribusi Sampling
• Statistik sampel yang digunakan untuk memperkirakan parameter populasi
– misalnya: X = 50 Perkiraan rata-rata populasi µ• Masalah: sampel yang berbeda memberikan
perkiraan yang berbeda
– Sampel besar memberikan perkiraan yang lebih baik; Sampel besar biaya lebih
– Seberapa baik estimasi? • Pendekatan untuk solusi: secara teoritis adalah
distribusi sampling
Distribusi Sampling• Teoritis distribusi probabilitas dari
sampel statistik• Sampel Statistik adalah variabel
random – Distribusi sampling biasanya diberi nama tergantung pada nama statistik yang digunakan. *Misalnya distribusi sampling rata-rata, distribusi sampling proporsi, distribusi simpangan baku dan sebagainya.
• Hasil dari mengambil semua sampel yang mungkin dari ukuran yang sama
Distribusi Sampling adalah distribusi probabilita dengan statistik sampel sebagai variabel acaknya.
• Populasi
• Populasi dan sampel
Contoh:DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA
DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI
Contoh:
DISTRIBUSI SAMPLING BEDA 2 PROPORSI
• Menganggap ada populasi …• Ukuran populasi N = 4• Variabel acak, X, adalah usia individu• Nilai-nilai X: 18, 20, 22, 24 diukur dalam
tahun.
Mengembangkan Distribusi Sampling
Mengembangkan Distribusi Sampling
(Lanjutan)
1
2
1
18 20 22 24 214
2.236
N
ii
N
ii
X
N
X
N
s
.3
.2
.1
0 A B C D (18) (20) (22) (24)
Distribusi Merata
P(X)
X
Mengukur Ringkasan untuk Distribusi Populasi
Ukuran Semua Sampel Kemungkinan, n = 2
16 Sampel diambil dengan Penggantian
16 Sampel Mean
Mengembangkan Distribusi Sampling(Lanjutan)
1st 2nd Observation
Obs 18 20 22 2418 18 19 20 2120 19 20 21 2222 20 21 22 2324 21 22 23 24
1st 2nd ObservationObs 18 20 22 24
18 18,18 18,20 18,22 18,24
20 20,18 20,20 20,22 20,24
22 22,18 22,20 22,22 22,24
24 24,18 24,20 24,22 24,24
Pengambilan sampel Distribusi Semua sampel Mean
18 19 20 21 22 23 240
.1
.2
.3
P(X)
X
Sampel Distribution Mean
16 Sampel Mean
_
Mengembangkan Distribusi Sampling(Lanjutan)
1st 2nd ObservationObs 18 20 22 2418 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24
Mengembangkan Distribusi Sampling
• Mengukur Ringkasan Pengambilan sampel Distribusi
1
2
1
2 2 2
18 19 19 24 2116
18 21 19 21 24 211.58
16
N
ii
X
N
i Xi
X
X
N
X
N
s
(Lanjutan)
Membandingkan Populasi dengan Distribusi Pengambilan Sampelnya
21 2.236 s
18 19 20 21 22 23 240
.1
.2
.3 P(X)
X
Sampel Distribusi Meann = 2
A B C D (18) (20) (22) (24)
0
.1
.2
.3
PopulasiN = 4
P(X)
X_
21 1.58X X s
Sifat Mengukur Ringkasan
• - I.E. Apakah objektif
• Standard error (standar deviasi) dari distribusi sampling untuk kurang dari standard error objektif penduga lainnya
• Untuk sampling dengan penggantinya:
- Seperti n meningkat, menurun
X X
Xs
X ns
s
Xs
Berat sebelahObjektif
P(X)
X X
PERKIRAAN BIAS
Kekurangan Variabilitas
Sampling Distribusi Median Sampling
Distribusi Mean
P(X)
X
Pengaruh Luasnya Sampel
Ukuran sampel yang lebih besar
Ukuran sampel yang lebih kecil
P(X)
X
Ketika Populasi Normal
Tendensi sentral
Variasi
Sampling dengan
Penggantian
Distribusi Populasi
Distribusi Sampling
X
X nss
X50X
45X
ns
162.5X
ns
50
10s
Ketika Populasi Tidak Normal
Tendensi sentral
Variasi
Sampling dengan Penggantian
Distribusi Populasi
Distribusi Sampling
X
X nss
X
45X
ns
301.8X
ns
50
10s
Sebagai contoh mendapat ukuran cukup besar ...
Distribusi sampling menjadi hampir normal tanpa melihat bentuk populasi
X
Teorema Limit Central (CLT)
Bagaimana cara yang besar sudah cukup
besar?
• Untuk sebagian besar distribusi, n> 30
• Untuk distribusi yang cukup simetris, n> 15
• Untuk distribusi normal, distribusi sampling dari mean selalu terdistribusi secara normal
Contoh:
8 =2 25
7.8 8.2 ?
n
P X
s
Distribusi Sampling Standar Distribusi normal2 .4
25Xs 1Zs
8X 8.2 Z
0Z 0.5
7.8 8 8.2 87.8 8.22 / 25 2 / 25
.5 .5 .3830
X
X
XP X P
P Z
s
7.8 0.5
.1915
X
Proporsi Populasi (P)• Variabel kategori
– misalnya: Jenis kelamin, sebagai untuk Bush, gelar sarjana
• Proporsi penduduk yang memiliki karakteristik (P)• Proporsi sampel memberikan perkiraan
– P𝑠 = = jumlah keberhasilanukuran sampel
• Jika dua hasil, X memiliki distribusi binomial
• Memiliki atau tidak memiliki karakteristik
Xn
Distribusi Sampling Proporsi Sampel
• Didekati dengan distribusi normal
–
– Mean:
•
– Standard error: •
p = proporsi populasi
Distribusi Sampling P(ps)
.3
.2
.1 0
0 . 2 .4 .6 8 1ps
5np 1 5n p
Spp
1Sp
p pn
s
Standardisasi Sampling Distribusi Proporsi
1S
S
S p S
p
p p pZp pn
s
Distribusi Sampling
Standar Distribusi
normal
Sps 1Zs
Sp Sp Z0Z
Cont
oh:
200 .4 .43 ?Sn p P p
.43 .4.43 .87 .8078.4 1 .4
200
S
S
S pS
p
pP p P P Z
s
Distribusi Sampling Standar Distribusi normal
Sps 1Zs
Sp
Sp Z0.43 .87
Sampling dari Sampel Terbatas• Memodifikasi standard error jika ukuran
sampel (n) relatif besar untuk ukuran populasi (N)– n > .05N atau n/N > .05– Gunakan faktor koreksi populasi terbatas
(fpc)
• Standard error dengan FPC–
–
1X
N nNn
ss
11SP
p p N nn N
s
RANGKUMAN PEMBAHASAN• Dibahas distribusi normal• Menggambarkan distribusi standar normal• Dievaluasi asumsi normalitas• Ditetapkan distribusi eksponensial• Distribusi sampling diperkenalkan • Distribusi sampling dibahas mean sampel • Distribusi sampling dijelaskan dari proporsi
sampel• Dibahas pengambilan sampel dari populasi
terbatas