distribusi diskrit khusus -...
TRANSCRIPT
DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS
•U N I F O R M ( S E R A G A M )
•B E R N O U L L I
•B I N O M I A L
•P O I S S O N
•M U L T I N O M I A L
•H I P E R G E O M E T R I K
•G E O M E T R I K
•B I N O M I A L N E G A T I F
MA 4085 Pengantar Statistika 26 Februari 2013 Utriweni Mukhaiyar
DISTRIBUSI UNIFORM (SERAGAM)
Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x1, x2, …, xk) memiliki peluang yang
sama.
Distribusi peluang X :
Rataan :
Variansi :
2
1 2
1( ) , , ,..., kP X x x x x x
k
1
1 k
i
i
xk
22
1
1 k
i
i
xk
BUKTI :
MEAN DAN VARIANSI UNTUK P.A DISTRIBUSI
SERAGAM.
3
1 1 1
1[ ] ( ) ,
k k k
ii i i
i i i
xE X x P X x x
k k
Berdasarkan definisi ekspektasi,
2 2 22
1 1
1( )
k k
i i i
i i
E X x P X x xk
CONTOH 1
Pelantunan sebuah dadu.
4
1( ) , 1,2,3,4,5,6
6P X x x
1 2 3 4 5 63,5
6
2 2 2 2 2 22 21 2 3 4 5 6
3.56
15.17 12.25 2.92
0.16
0.165
0.17
0.175
0.18
1 2 3 4 5 6P
(X=
x)
x
PERCOBAAN BERNOULLI
Percobaan terdiri dari 1 usaha
Peluang sukses p
Peluang gagal 1-p
Misalkan
1, jika terjadi sukses
0, jika terjadi tidak sukses (gagal)X
5
Usaha Gagal
Sukses
DISTRIBUSI BERNOULLI
X berdistribusi Bernoulli,
Rataan : E[X] = µx = p
Variansi : Var(X)= x2 = p(1-p)
1(1 ) , 0,1( ) ( ; )
0 ,
x xp p xP X x ber x p
x lainnya
6
PERCOBAAN BINOMIAL
n usaha yang berulang.
Tiap usaha memberi hasil yang dapat
dikelompokkan menjadi sukses atau gagal.
Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu
ke yang berikutnya.
Tiap usaha saling bebas.
7
DISTRIBUSI BINOMIAL
Distribusi binomial, parameter n dan p
Notasi X ~ B(n,p)
8
o Rataan : E[X] = µx = np
o Variansi : var(X)= X2 = np(1-p)
!
!( )!
n n
x x n xuntuk x = 0,1, … , n
F.m.p:
Koefisien binomial : n! = n.(n-1).(n-2) … 1
( ) ( ; , ) (1 )x n xn
P X x b x n p p px
CONTOH 2
Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya’. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu?
9
JAWAB
Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya
penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya’.
Maka X~B(5, 0.7)
E D I T E D 2 0 1 1 B Y U M 10
Yang ingin dicari adalah P(X 3).
P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
3 2 4 1 5 05 5 5
0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.33 4 5
5! 5! 5!(0,343)(0,09) (0,240)(0,30) (0,168)(1)
2!3! 1!4! 0!5!
0,309 0,360 0,168 0,837
PERCOBAAN POISSON
Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.
Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan
Binomial)
Panjang selang waktu
Luas daerah/area
Contoh :
- Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di
US
- Banyak batu “Apung” ditemukan di setiap 2 meter
panjang sungai “A”
11
PROSES POISSON
Selang waktu atau daerahnya saling bebas.
Peluang pada Proses Poisson tergantung pada
selang waktu dan besarnya daerah.
Peluang untuk selang yang pendek atau daerah
yang sempit dapat diabaikan.
12
DISTRIBUSI POISSON
o Rataan : E[X] = X = t
o Variansi : var(X)= X2 = t
13
( ) , 0,1,2,...
!
xte tP X x x
x
Peubah acak X berdistribusi Poisson
X~P(t)
F.m.p :
e = tetapan Euler (2.71828…)
CONTOH 3
Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7.
a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu.
b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 bulan.
14
JAWAB
15
Jenis kasus
•Kasus Diskrit
•Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah
•Distribusi Poisson
Satuan
•Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya
•Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1
•Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4
Parameter distribusi
•Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4
•Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata = t = 7
•Jika t = 4 (dalam minggu) maka X ~ P (7) , dengan rata-rata = t = (7/4)(4) = 7
Pertanyaan
a.
•t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....
•t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....
Pertanyaan
b.
•t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka = ....
•t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka = ....
...
( ) , 0,1,2,...
!
xte tP X x x
x
16
Ingat definisi:
sehingga
0 1 23,5 3,5 3,50,5
( 2) 1 2
1 0 1 2
3,5 3,5 3,51
0! 1! 2!
1 0.030 0,106 0,370 0,494
t
P X P X
P X P X P X
e e e
a.
b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta
badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata-rata
banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14.
HUBUNGAN DISTRIBUSI BERNOULLI,
BINOMIAL, POISSON DAN NORMAL
17
Distribusi Bernoulli
X ~ Ber (1, p)
Distribusi Poisson
X ~ POI (t)
= np = np(1- p)
Distribusi Binomial
X ~ Bin (n, p)
n >1
n >>>, p <<<
Distribusi Normal
X ~ N(μ, σ2)
μ = np, σ2 = np(1- p)
Misalkan p.a X
n >>>
n >>> DLP
μ = , σ2 =
BEBERAPA DISTRIBUSI DISKRIT LAINNYA
Distribusi Multinomial
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Binomial Negatif
Distribusi Geometri
18
DISTRIBUSI MULTINOMIAL
Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil
E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka distribusi
peluang peubah acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan
banyak terjadinya E1, E2, …, Ek dalam n usaha bebas ialah,
19
1 2
1 1 2 2 1 2
1 2
( , ,..., ) p p p, ,...,
kxx x
k k k
k
nP X x X x X x
x x x
dengan,
1 1
dan 1k k
i i
i i
x n p
Percobaan Binomial menjadi
Multinomial jika setiap
percobaan memiliki lebih dari
dua kemungkinan hasil.
CONTOH 4
Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota
menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-
turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9
perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3
orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang
dengan kereta.
Jawab:
Misalkan Xi : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan
transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil
pribadi, dan kereta.
20
3 3 1 2
1 2 3 4
5
9( 3, 3, 1, 2) 0.4 0.2 0.3 0.1
3,3,1,2
9!0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 10 0,038702
3!3!1!2!
P X X X X
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
X ~ h(N, n, k)
X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang
diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses
dan N-k bernama gagal.
21
( ) ( ; , , ) , 0,1,2,...,
k N k
x n xP X x h x N n k x n
N
n
Rataan :
nk
N
Variansi :
2 11
N n k kn
N N N
CONTOH 5
Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung
mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara
acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10
gedung mempunyai kode pelanggaran!
Jawab :
Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode
pelanggaran.
X ~ h(50, 10, 12)
22
12 38
220 126202563 7( 3) (3;50,10,12) 0.2703
50 10272278170
10
P X h
KAITANNYA DENGAN DISTRIBUSI BINOMIAL
Percobaan binomial maupun hipergeometrik sama-sama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.
Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan dilakukan dengan pengembalian sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian.
Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/N .
23
DISTRIBUSI GEOMETRIK
X ~ g(p) atau X ~ Geom(p)
X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama
dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang
sukses p dan gagal (1-p).
24
Rataan :
1
p
Variansi :
2
2
1 p
p
1( ) ( ; ) (1 ) , 1,2,...xP X x g x p p p x
CONTOH 6
Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan
sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan
tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu
sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa
hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang
dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil
pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan
patahan pertama!
Jawab :
X ~ Geom(0.2)
25
2( 3) (3;0.2) 0.2(0.8) 0.128P X g
DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF
Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak-
peubah acak Geometrik.
X = Y1 + Y2 + ... + Yk
dimana Y1, Y2, ..., Yk adalah peubah acak saling bebas, masing-
masing berdistribusi Geom(p).
26
1( ) *( ; , ) (1 ) , , 1, 2...
1
k x kx
P X x b x k p p p x k k kk
X ~ b*(k, p)
X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari
usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).
k
p 2
2
(1 )k p
p
Rataan : Variansi :
CONTOH 7
Perhatikan Contoh 6.
Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung
peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan pertama!
Jawab :
27
3 57
( 8) *(8;3,0.2) (0.2) (0.8) 0.055052
P X b
REFERENSI
Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill.
Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.
Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.
Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
28