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Distribuciones derivadas del muestreo
Distribuciones importantes
Ileana Castillo, Ph.D. 04/03/2013 2
• χ-cuadrada
• T-student
• F
04/03/2013
Ileana Castillo, Ph.D.
3
0
1)( dyey ySi α es un número
entero,
entonces
Γ(α)=(α-1)!
k grados de libertad (GL=k)
Distribución χ-cuadrada
Si X ~
E(X)=k y = 2k.
Esta distribución es importante para hacer inferencias acerca de la desviación estándar de una población con distribución normal, ya que si se obtiene una muestra de tamaño n, entonces el estadístico:
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2
k
2
Distribución χ -cuadrada
…tiene una distribución χ-cuadrada con n-1 grados de libertad
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Distribución T-student
Sea Z ~ N(0,1) y V ~ .
Si Z y V son independientes, entonces la variable aleatoria
tiene una distribución T con k grados de libertad, cuya función de densidad de probabilidad está dada por
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2
k
kV
ZT
Distribución T-student
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.con
1)2
()(
2
1
)(2
)1(2
21
x
k
xkk
k
xfk
Si X ~ T-student, E(X)=0 y = k/(k-2) para k >2. 2
Distribución T-student
Esta distribución es importante para hacer inferencias acerca de la media μ de una población, ya que si se obtiene una muestra de tamaño n, entonces el estadístico:
sigue una distribución T-student con n-1 grados de libertad
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nS
XT
/
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Distribución F
Sean W y Y variables aleatorias χ -cuadrada independientes con u y v grados de libertad, respectivamente,
entonces la variable aleatoria tiene una distribución F con u grados de libertad en el
numerador y v en el denominador, cuya función de densidad de probabilidad está dada por
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vY
uW
F
Distribución F
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.0con
1)2
()2
(
2)(
2)(
1)2
(2/
x
xv
uvu
xv
uvu
xfvu
uu
Si X ~ F, E(X)=v/(v-2) para v >2 y
.4,)4()2(
)2(22
22
v
vvu
vuv
Distribución F
Esta distribución es importante para inferir cuando se comparan varianzas, ya que si se tienen dos poblaciones con distribución normal y varianzas
y si se obtienen muestras de tamaño n1 y n2, entonces el estadístico:
sigue una distribución F con n1 y n2 grados de libertad en el numerador y denominador, respectivamente.
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2
2
2
2
2
1
2
1
/
/
S
SF
2
2
2
1 y
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Referencias
Gutiérrez-Pulido, H. y de la Vara-Salazar, R. (2009). Control Estadístico de Calidad y Seis Sigma. México: McGraw Hill.
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