distribución muestral de proporciones borrador

8/19/2019 Distribución Muestral de Proporciones Borrador

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Distribución muestral de Proporciones

Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de una muestra, sino que queremos investigar la

proporción de personas con cierta preferencia en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para

dar respuesta a estas situaciones.

Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las

muestras de la población se calcula el estadístico proporción ( p=x/n en donde “ x ” es el número de xitos u observaciones

de inters ! “n” el tama"o de la muestra# en lugar de la media de cada muestra que era lo que calculamos antes.

El siguiente diagrama sirve para explicar el concepto de distribución muestral de proporciones.


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La distribución muestral de proporciones est$ estrec%amente relacionada con la distribución binomial& una distribuciónbinomial es una distribución del total de xitos en las muestras, mientras que una distribución de proporciones es la

distribución de un promedio (media# de los xitos.

'omo consecuencia de esta relación, las afirmaciones probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden evaluarse

usando la aproximación normal a la binomial, siempre que

np )* ! n(+ p# )*


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-na distribución binomial es, por eemplo, si ec%amos una moneda al aire ! observamos el lado que cae. Est$ claro que

sólo %a! dos posibilidades. /%ora bien, la probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la misma siempre que

sta no est cargada. 'omo cada caso tiene igual probabilidad de ocurrir, ! siendo la suma de probabilidades siempre igual

a +, entonces la probabilidad de que caiga la moneda de algún lado es 0.*.

1i reali2amos el experimento n veces ! queremos saber la probabilidad de que salga $guila o sol x veces, entonces

usamos una distribución binomial.


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La distribución muestral de proporciones est$ estrec%amente relacionada con la distribución binomial& una distribución

binomial es una distribución del total de xitos en las muestras, mientras que una distribución de proporciones es la

distribución de un promedio (media# de los xitos.

'omo consecuencia de esta relación, las afirmaciones probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden evaluarse

usando la aproximación normal a la binomial, siempre que

np )* ! n(+ p# )*

-na distribución binomial es, por eemplo, si ec%amos una moneda al aire ! observamos el lado que cae. Est$ claro que

sólo %a! dos posibilidades. /%ora bien, la probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la misma siempre que

sta no est cargada. 'omo cada caso tiene igual probabilidad de ocurrir, ! siendo la suma de probabilidades siempre igual

a +, entonces la probabilidad de que caiga la moneda de algún lado es 0.*.

1i reali2amos el experimento n veces ! queremos saber la probabilidad de que salga $guila o sol x veces, entoncesusamos una distribución binomial.


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Generación de la Distribución Muestral de Proporciones

1uponga que se cuenta con un grupo de +3 personas, el cual tiene 4 personas con fobias. 1e van a seleccionar * personas al a2ar

de ese grupo sin reempla2o. 5amos a generar la distribución muestral de proporciones para el número de personas con fobias.

'omo se puede observar en este eercicio la proporción de personas con fobias de esta población es

P 6 47+36+7860.888

9or lo que podemos decir que el 88: de las personas de este grupo tienen fobias.

El número posible de muestras de tama"o * a extraer de una población de +3 elementos es +3'*6;


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fobias

+

4

47*6 0.=

='+>4'4 6 =

3

8

87*6 0.?

=

'3

>4

'8

6 ++3

8

3

37*6 0.4

=

'8

>4

'3

6 88?

4

+


9/30

+7*6 0.3

=

'4

>4

'+

6 3=0

*

0

07*6 0

='*>4'0 6 *?

@A@/L

;


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9ara calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría que %acer la sumatoria de la frecuencia por el

valor de la proporción muestral ! dividirla entre el número total de muestras. Esto es

μ p 6

(0.= ⋅=# B(0.? ++3# B(0.4 88?# B(0.3

3=0# B(0 *?#

6

+

60.888


11/30

8

;


12/30

μ p 6 P


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La desviación est$ndar de la distribución muestral de proporciones del eemplo se puede calcular directamente con los datos

σ p 6

(0.8 C0.33)2

⋅8B(0.6 C0.33)2 ⋅112

B(0.4 C0.33)2 ⋅336

B(0.2 C0.33)2 ⋅280

B(0

C0.33)

2 ⋅56

60.168


14/30

p

792


15/30

Sin embargo, podemos usar la distribución binomial lo cual nos da la siguiente fórmula para la desviación estándar de la distribución

muestral de proporciones:

σ

6

P (1 C P )


16/30

p

n


17/30

Notar que

P es la

proporción de la población


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pero n es el tamaño de la

muestra


19/30

Como vimos antes, si contamos con una población finita y un muestreo sin reemplazo, para calcular la desviación estándar

usamos la corrección (Como regla aproimada, si el muestreo se !ace sin reemplazo y el tamaño de la población es "#

veces el tamaño de la muestra o menor, entonces se puede usar la fórmula$:

σ p 6 P (1 C P ) N Cn

p

N C1

%ara el e&emplo anterior tendr'amos la siguiente distribución de probabilidades:


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sando la fórmula tendr'amos entonces:

σ 6 P (1 C P )

N Cn 6 0.333(0.666)

12 C5

60.168


21/30

p

n

N C15

12 C1


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)o cual es igual al valor de la desviación estándar obtenido antes


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)a fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una distribución muestral de proporciones está basada en

la aproimación de la distribución binomial a la normal * +sta fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del

comportamiento de la proporción en la muestra*

z 6

p C P

P (1 C P )

n


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+sta fórmula se puede comparar a las anteriores si pensamos en que estamos calculando una diferencia entre la

proporción de la muestra y la de la población en unidades de desviación estándar, como era el caso de la distribución de

medias:

z 6 x σ C μ

n


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la fórmula anterior se le puede agregar el factor de corrección (en el denominador$:

z 6

p C P

P (1 C P ) N Cn


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n

N C1

si se cumplen con las condiciones mencionadas anteriormente de que sea una población finita ( N/n < 20$ y sin

reemplazo*


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+&emplo:

Se !a determinado que -.*/0 de los estudiantes de una universidad fuman cigarrillos* Se toma una muestra aleatoria

de "## estudiantes* Calcular la probabilidad de que no más de -#0 de alumnos de la muestra fume*

Solución :

)a media o valor esperado de la distribución muestral es de %1#*-./ (la proporción de la población$, por lo que:

z 6

p C P

6

0. 800 C0.851


28/30

6C2 .0255

P(1 C P

)

0.851(1 C0.851)


29/30

n

200


30/30

Usando las tablas de valor z , para z = -2.02 encontramos que la

probabilidad de que no más de (es decir, menos de) 80% de los alumnos de

la muestra umen es de 0.02!" o sea 2.!"%

#*#"/2

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