Prof. dr Esad Jakupovi

DISKRETNE MATEMATIKE STRUKTURE

Banja Luka, 2008.

2

SADRAJ 1.UVOD .................................................................................................................................................................5

1.1.OSNOVNI POJMOVI MATEMATIKE LOGIKE ....................................................................................5

1.2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE SKUPOVA ..........................................................................................8 1.3. BINARNE RELACIJE ............................................................................................................................11

1.4. FUNKCIJE, OPERACIJE, ALGEBARSKE STRUKTURE .................................................................15 1.5. ELEMENTI KOMBINATORIKE.............................................................................................................19

1.6. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE GRAFOVA........................................................................................22

2. KOMBINATORIKA.........................................................................................................................................35 2.1. FUNKCIJE GENERATRISE..................................................................................................................35

2.2. KRATAK PREGLED JO NEKIH VANIJIH KOMBINATORN1H OBJEKATA................................39

2.3 ZADACI....................................................................................................................................................42

3. ISKAZNA ALGEBRA.....................................................................................................................................44 3.1. DEFINICIJA ISKAZNE ALGEBRE........................................................................................................44

3.2. ISKAZNE FORMULE, TAUTOLOGIJE................................................................................................45

3.3. IZVOENJE ZAKLJUAKA..................................................................................................................50 3.4. BOOLEOVE FUNKCIJE........................................................................................................................52

3.5. .BAZE ISKAZNE ALGEBRE .................................................................................................................56 3.6. ZADACI...................................................................................................................................................59

4. ELEMENTI TEORIJE SKUPOVA.................................................................................................................59 4.1. O OPISNOJ TEORIJI SKUPOVA.........................................................................................................60 4.2. KARDINALNI BROJ SKUPA.................................................................................................................61

4.3. ALGEBRA SKUPOVA ...........................................................................................................................63

4.4. PARCIJALNO UREENI SKUPOVI.....................................................................................................66 4.5. KVAZIUREENJE.................................................................................................................................70

4.6. ZADACI...................................................................................................................................................71

5. KVANTIFIKATORSKI RAUN PRVOG REDA...........................................................................................72 5.1. PREDIKATI, RELACIJE I ISKAZNE FUNKCIJE.................................................................................72

5.2. FORMULE KVANTIFIKATORSKOG RAUNA...................................................................................73 5.3. INTERPRETACIJE FORMULA KVANTIFIKATORSKOG RAUNA .................................................74

5.4. VEZANE I SLOBODNE PROMENLJIVE.............................................................................................77

5.5. PRIMJERI VALJANIH FORMULA........................................................................................................79

3

5.6. SEMANTIKO IZVOENJE.................................................................................................................81 5.7. IZRAAVANJE MATEMATIKOG TEKSTA FORMULAMA KVANTIFIKATORSKOG RAUNA...82

5.8. ZADACI...................................................................................................................................................83

6. GRUPE............................................................................................................................................................84 6.1. ALGEBARSKE STRUKTURE SA JEDNOM BINARNOM OPERACIJOM........................................84

6.2. HOMOMORFIZMI I IZOMORFIZMI GRUPA I DRUGIH ALGEBARSKIH STRUKTURA.................87

6.3. PODGRUPE...........................................................................................................................................89 6.4. PERMUTACIONE GRUPE ...................................................................................................................91

6.5. CIKLIKE GRUPE.................................................................................................................................94 6.6. NORMALNE PODGRUPE I FAKTORSKE GRUPE ..........................................................................96

6.7. TEOREMA O HOMOMORFIZMIM A ...................................................................................................98 6.8.ZADACI ....................................................................................................................................................99

7. ALGEBARSKE STRUKTURE SA VIE OPERACIJA.............................................................................101 7.1. PRSTEN ...............................................................................................................................................101

7.2. TIJELO I POLJE. KONANO POLJE................................................................................................105 7.3. BOOLEOVA ALGEBRA I A-MREA..................................................................................................107

7.4. ZADACI.................................................................................................................................................110

8. TEORIJA GRAFOVA...................................................................................................................................112 8.1. IZOMORFIZAM GRAFOVA ................................................................................................................112

8.2. OPERACIJE S GRAFOVIMA..............................................................................................................116

8.3. STABLO................................................................................................................................................119 8.4. PLANARNI GRAFOVI .........................................................................................................................121

8.5. HROMATSKI BROJ GRAFA...............................................................................................................124 8.6. BROJ UNUTRANJE I SPOLJANJE STABILNOSTI GRAFA.......................................................126

8.7. ODREIVANJE NAJKRAEG PUTA U GRAFU..............................................................................129 8.8. NEKE TEOREME O DIGRAFOVIMA.................................................................................................131

8.9. ZADACI.................................................................................................................................................132

9. FORMALNE TEORIJE I IZRAUNLJIVOST ............................................................................................134 9.1. DEFINICIJA FORMALNE TEORIJE...................................................................................................135

9.2. ISKAZNI RAUN I DRUGI PRIMJERI FORMALNIH TEORIJA.......................................................136

9.3. REKUKZIVNE I IZRAUNLJIVE FUNKCIJE.....................................................................................138 9.4. ARITMETIZACIJA FORMALNIH TEORIJA I PROBLEM ODLUIVOSTI.......................................140

4

10. RAUN VJEROVATNOE.......................................................................................................................141 10.1. OPERACIJE S DOGAAJIMA.........................................................................................................141

10.2. VJEROVATNOA KAO MJERA MOGUNOSTI ZA NASTUPANJE DOGAAJA .....................143 10.3. STVARNO ZNAENJE VJEROVATNOE DOGAAJA ..........................................................................146

10.4. OPERACIJE S VJEROVATNOAMA..............................................................................................148

10.5. SLUAJNE VELIINE ......................................................................................................................152 10.6. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE INFORMACIJA.............................................................................154

10.7. SHANNONOV PROBLEM U TEORIJI INFORMACIJA I VEZA SA JEDNIM AHOVSKIM PROBLEMOM.............................................................................................................................................157

10.8. STEPENI KVADRATNIH MATRICA I MARKOVLJEVl LANCI.......................................................160

11. ELEMENTI, TEORIJE IGARA. .................................................................................................................162 11.1. O TEORIJI IGARA.............................................................................................................................162

11.2. MATRINE IGRE..............................................................................................................................163

11.3. MATRINE IGRE SA SEDLASTOM TAKOM ..............................................................................164 11.4. KOMBINOVANE STRATEGIJE........................................................................................................166

11.5. IGRE NA GRAFOVIMA.....................................................................................................................168

LITERATURA ...................................................................................................................................................169

5

1.UVOD U ovom uvodnom poglavlju dajemo pregled elementarnih pojmova iz matematike logike, teorije

skupova, opte algebre, kombinatorike i teorije grafova, pri emu se posebno istiu meusobne veze ovih matematikih disciplina. U poglavljima 2.-9. svaka od ovih disciplina se opisuje sa neto vie detalja.

1.1.OSNOVNI POJMOVI MATEMATIKE LOGIKE

Matematike misli se izraavaju nekim od postojeih jezika (recimo, srpsko-hrvatskim) koji je upotpunjen izvjesnim brojem specijalnih matematikih simbola. Osnovne cjeline u jednom jeziku su reenice. Od posebnog interesa su afirmativne reenice koje imaju neki smisao. Ovakve reenice se pod izvjesnim uslovima nazivaju sudovima i predikatima.

Definicija 1. Afirmativna reenica koja ima smisla i koja je ili istinita ili neistinita naziva se sud.

Primjer 1. Reenica 7

6

Broj parametara koji se pojavljuju u predikatu naziva se duina predikata. U oznaci predikata uvjek naglaavamo parametre od kojih on zavisi, na primjer, P (x), Q(x,y), R(x1, x2 ,..., xn ) itd. Podrazumjeva se da je za svaki predikat zadata oblast variranja njegovih parametara (bilo eksplicitno, bilo implicitno). Tako smo u primjeru 2 podrazumjevali da x i y oznaavaju realne brojeve.

U tekstu koji slijedi pod reenicom emo podrazumjevati bilo sud bilo p r e d ikat . Poznato je da se od reenica mogu formirati sloenije reenice upotrebom raznih sveza (i, ili, itd.).

Definicija 3. Ako su P i Q reenice, onda se reenice P i Q, P ili Q, ne P, ako P onda Q, ako P

onda Q i ako Q onda P, P ili Q ali ne oba, oznaavaju redom sa , , , , , PVP Q P Q P P Q P Q Q i nazivaju konjunkcija, disjunkclja, negacija, implikacija,

ekvivalencija, ekskluzivna disjunkcija reenica P i Q (odnosno reenice P kod negacije). Ako su P i Q sudovi onda se istinitost navedenih sloenih reenica moe udvrditi na osnovu

vrijednosti istinitosti sudova P i Q bez analize samog znaenja reenica P i Q. U sledeoj tabeli (tablice istinitosti) navedene su vrijednosti istinitosti sloenih reenica iz definicije

3 u zavisnosti od vrijednosti istinitosti sudova P i Q.

Navedene tablice istinitosti konstruisane su tako da su u saglasnosti sa svakodnevnom logikom,steenom na osnovu iskustva i koju smatramo tanom. Jedino kod implikacije P Q nailazimo na naizgled neobinu situaciju kada je P = 0. Implikacija je tada istinita bez obzira na vrijednosti istinitosti suda Q. To znai: iz pogrene premise svaki zakljuak je logiki ispravan. Naravno, zakljuivanje iz pogrenih premisa nema veeg znaaja ali su navedene vrijednosti u tablici istinitosti usvojene jer ne smetaju itavoj konstrukciji a u nekim situacijama to ima i izvjesne prednosti (vidjeti zadatak 3).

Reenica P Q se moe proitati na vie ekvivalentnih naina: Ako P, onda Q; iz P proizlazi Q; P povlaci Q; P je dovoljan uslov za Q; Q je potreban uslov za P. Reenica P Q se moe proitati na jedan od sledeih naina: Ako je P onda Q i ako Q onda P; P je ekvivalentno sa Q; P vai ako i samo ako vai Q; P potreban i dovoljan uslov za Q; Q je potreban i dovoljan uslov za P. Iz definicije 3 neposredno proizlazi da je reenica P Q identina sa reenicom

( ) ( )P Q Q P i da je reenica P\/Q identina sa reenicom ( ) ( ).P Q P Q

7

Od predikata se mogu formirati nove reenice upotrebom tzv. kvantifikatora. Postoje dva kvantifikatora: univerzalni " i egzistencijalni $ . Simbol " se ita *svaki* (ili *za svako*) a u vezi je sa poetnim slovom nemake reci aile (svi) odnosno engleske all. $ se ita postoji i potie od odgovarajueg njemakog izraza es gibt, odnosno engleskog exist. Kvantifikatori se upotrebljavaju ispred predikata i obino se vezuju za neku promenljivu (parametar) iz predikata. Upotrebu kvantifikatora objasniemo na primjerima.

Ako je P(x) predikat duine 1 i x promjenljiva, simbol (" x) P(x) oznaava reenicu: za svako x (vai) P(x). Kvantifikatori se mogu primjeniti i na predikate veih duina. ( $ x) P(x, y) se ita: postoji x tako da. vai P (x, y).

Primjer 3. (" a) (" b) ((a i b su kompleksni brojevi) a2 b2 =(a+b)(a-b)) se ita: za svako a i svako b, ako su a i b kompleksni brojevi onda je a2b2=(a+b) (ab); ili krae: za sve kompleksne brojeve a i b vai a2b2=(a+b) (ab). Ako usvojimo da a i b oznaavaju kompleksne brojeve, ova reenica bi se krae mogla zapisati pomou (" a) (" b) a2b2=(a+b) (ab).

Primjer 4. ( $ x) ( x je realan broj) (x2 = 1)). Ovo se moe proitati na sledei nain: postoji x takvo da je x realan broj i da je x=1; ili krae: postoji realan broj x takav da je x2=1. (U stvari, postoje dva takva broja: 1 i -1). Slino prethodnom primjeru, ako x oznaava realan broj, krai zapis predhodne reenice bi bio ( $ x)x2=1. Napomenimo da bi pogreno bilo, po ugledu na primjer 3, ovu reenicu zapisati u obliku ( $ x) ((x je realan broj) (x2= 1)).

Napomenimo da se oblast variranja parametra u predikatu moe precizirati naznakom odgovarajueg skupa kojem pripada promjenljiva na koju se odnosi kvantifikator (vidjeti odjeljak 1. 3.). Takoe se esto oznake kvantifikatora saimaju pa se, na primjer, pie( " a, b) umjesto ( " a) (" b).

8

1.2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE SKUPOVA

Pojam skupa je osnovni pojam u matematici i on se ne definie. Opisno se kae skup je objedinjenje nekog mnotva elemenata u jednu cjelinu. No ovo se ne moe shvatiti kao precizna matematika definicija.

Ako se skup S sastoji od elemenata x, y, z,,.. , pie se }{ , , ,... .S x y z= . No, na ovaj nain, tj. potpunim nabrajanjem elemenata koji pripadaju skupu, mogu se, u principu, predstaviti samo skupovi sa konano mnogo elemenata. (I kod ovakvih skupova nailazimo na tekoe ako je broj elemenata u skupu velik.) Stoga se skup obino zadaje nekom zajednikom osobinom njegovih elemenata. Ako je P(x) osobina koja karakterie elemente x skupa S, pie se

}{ ( )S x P x= i ita: S je skup elemenata x takvih da vai P(x). Primjetimo da P(x) u stvari predstavlja jedan predikat duine 1.

Primer 1. }{ 2 1S x x= = predstavlja skup iji su elementi brojevi 1 i -1. Ako elemenat x pripada skupu S, pie se xS AKO elemenat x ne pripada skupu S, pie se x S. Dva skupa su jednaka ako imaju iste elemente,tj.

( )(( ) ( )).A B x x A x B x B x A= "

Primer 2.

{ } { }{ } { }

{ } { }{ } { }

, , , , ;

, , , , , ;

0,1,2 0,1,2 0,1,2,3,4 .

a b c b c a

a b c b a b c

u v u v

=

=

+ =

Skup je konaan (beskonaan) ako ima konano (beskonano) mnogo elemenata. Broj elemenata konanog skupa A obiljeavaemo sa i | A |.

U matematici su u estoj upotrebi sledei skupovi: N skup prirodnih brojeva; Z. skup cijelih brojeva; O skup racionalnih brojeva; R skup realnih brojeva; R+ skup realnih pozitivnih brojeva; C skup kompleksnih brojeva Unija A B skupova A i B je skup svih elemenata koji se sadre bilo u A bilo u B, tj.

{ }.A B x x A x B =

Presjek A B skupova A i B je skup svih elemenata koji se sadre i u A i i u B, tj.

{ }.A B x x A x B =

9

Prazan skup je skup bez ijednog elementa i on se obiljeava sa 0. Prazan skup moemo definisati i na jedan od sledeih naina:

{ }

{ }

,

( ) ,( ) ( ) ,

x x x

A x x A

x P x P x

=

= "

=

gde je P(x) proizvoljni predikat duine 1.

Dva skupa se nazivaju disjunktnim ako nemaju zajednike elemente. Skupovi A i B su disjunktni ako je .A B =

A je podskup skupa B ako je svaki element skupa A takoe element skupa B. injenicu da je A podskup skupa B obiljeavamo sa .A B Kae se tada da su skupovi u relaciji inkluzije. Dakle:

( )( ).A B x x A x B " Relacija jednakosti skupova moe se izraziti pomou relacije inkluzije na sledei nain; A B A B B A=

Ako je A B i A B , kae se da je A pravi podskup skupa B.

Particija skupa S je skup { }1 2, ,..., nS S S nepraznih podskupova skupa S takvih da

1 21

1

2 ... .

i j

x

n ii

i j S S

S S S S S=

=

= =

o

o U

Partitivni skup P(S) skupa S je s ku p sv ih podskupova skupa S, tj.

{ }( ) .P S A A S= Napomenimo da partitivnom skupu P(S) pripadaju sam skup S kao i prazan skup.

Primjer 3.

{ }{ } { } { } { } { }{ }{ }{ }{ }{ }{ } { }{ } { }{ }{ }

{ } { }{ }2

1 , ,

( ) , , , , , , , , , , ;

2 , , ,

( ) , , . , , , ;

3 P( )= , ( ( )) ( ) , .

A a b c

P A a b c a b a c b c a b c

A a b c

P A a b c a b c

P P P

=

=

=

=

= =

o

o

o

Ureen par (a, b) objekata a i b definie se pomou pojma skupa na sledei nain: ( ) { } { }{ }, , , .a b a a b= a je prva komponenta a b druga komponenta ureenog para (a, b).

Teorema 1. Dva ureena para su jednaka ako i samo ako su im jednake odgovarajue komponente, tj, ( ) ( ), , .a b c d a c b d= = =

10

Dokaz. Koristiemo se definicijom jednakosti dva skupa, (a, b)=(c, d) na osnovu definicije ureenog para znai

(1)

Ako je a=c i b=d, jednakost (1) oigledno vai. Pretpostavimo da vai (1) i dokaimo da iz toga slijedi a=c, b=d. Razlikovaemo dva sluaja.

1 a=b. Tada se skup na lijevoj strani relacije (1) svodi na { } { }{ } { } { } { }{ }, , , .a a a a a a= = Dakle, na lijevoj strani je jednoelementni skup iji je jedini element {a}. Stoga i na desnoj strani mora biti jednoelementni skup a a to je jedino mogue ako je c=d. Tada se (1) svodi na { }{ } { }{ },a c= tj. {a}={c} i a=c, ime je tvrenje dokazano.

2 .a bo Sada se na obe strane relacije (1) nalaze dvoelementni skupovi, pri emu su elementi takoe skupovi od kojih jedan ima jedan element a drugi dva elementa. Iz (1) stoga slijedi {a}={c} i {a, b}={c, d}. Iz prve relacije dobijamo a=c, a iz druge onda b=d.

Ovim je dokaz zavren. Napomenimo da je (a, b) (b, a) izuzev kada je a=b, tj.

(a, b) = (b, a) a =b.

Ureena trojka (a,b,c) objekata a ,b ,c definie se pomou pojma ureenoj para na sledei nain:

( ) ( )( ), , , , .a b c a b c=

Slino tome ureena n-torka (a1, a2,. . ., an) objekata a1 , a2,...,an definie se rekurzivno pomou ureenog para i ureene (n - 1) -torke

( ) ( )( )1 2 1 2 1, ,..., , ,..., , .n n na a a a a a a-= Za ureenu jednorku po definiciji je (a1)=a1.

Teorema 2. Dve n-torke su jednake ako i samo ako su im odgovarajue komponente jednake, tj. ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., , ,..., ... .n n n na a a b b b a b a b a b= = = =

Dokaz ove teoreme se preputa itaocu. Descartesov proizvod A B skupova A i B je skup definisan pomou

( ){ }, ,A B a b a A b B =

tj. AxB je skup svih ureenih parova u kojima je prva komponenta element skupa A a druga komponenta element skupa B. Skup AxA obiljeava se sa A2.

Slino tome Descartesov proizvod skupova A1, A2,. . ., An u navedenom redosljedu definie se pomou ( ){ }1 2 1 2 1 1 2 2... , ,..., ... .n n n nA A A a a a a A a A a A =

Ako je A1=A2= ...=An=A ovaj skup se obeleava sa An.

{ } { }{ } { } { }{ }, , , , .a a b c c d={ } { }{ } { } { }{ }, , , , .a a b c c d=

11

1.3. BINARNE RELACIJE

Posmatrajmo neko svojstvo ureenih parova elemenata iz skupa X. To svojstvo treba da bude takvo da se za svaki konkretan ureen par (element skupa X) moe utvrditi da li taj par ima posmatrano svojstvo ili ne. Svako takvo svojstvo nazivamo binarnom relacijom u skupu X. Ako par (a, b) ima pomenuto svojstvo, kae se da je a u relaciji sa b.

Binarna relacija u skupu X je odreena ako su zadani svi ureeni parovi koji imaju odgovarajue svojstvo. Neka je skup svih takvih parova. Oigledno je 2Xr . Dakle, svaka binarna relacija u X odreuje jedan podskup skupa X2 i, obrnuto, svaki podskup skupa X2 odreuje jednu binarnu relaciju u X. Zbog ovoga se, kao sto je uobiajeno, binarna relacija striktno definie na sledei nain.

Definicija 1. Binarna relacija u skupu X je svaki podskup skupa X2, tj. svaki skup za koji vai 2Xr .

Dakle, binarna relacija se poistoveuje sa skupom svih onih parova ije komponente jesu u relaciji. Ako je (a, b) r kae se da su a i b u relaciji i pie se ab.

Dakle,po definiciji vai ekvivalencija

( ),a b a br r Ako (a, b) r pie se a non b.

Primjer 1. Neka je X = {1,2,3,4} i = {(l,2),(l, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}. Tada je, na primer, 12,13,itd.,tj. brojevi 1 i 2, 1 i 3 itd., jesu u relaciji . Nasuprot tome, 2 i 1 nisu u ovoj relaciji. Relacija iz ovog primjera obino se oznaava simbolom

12

Primjer 2. Relacija jednakosti = u proizvoljnom skupu je relacija ekvivalencije jer za proizvoljne elemente a, b, c iz posmatranog skupa vai a=a, a=b b=a, a=b/\b = c a = c.

Primjer 3. Relacija inkluzije u nekom skupu skupova je relacija parcijalnog ureenja jer za proizvoljne skupove A, B, C vai

, , .A A A B B A A B A B B C A C =

Ako je u skupu X definisana relacija ekvivalencije , za svaki element x skupa X definie se klasa ekvivalencije x elementa x u odnosu na relaciju . Klasa ekvivalencije x elementa x je skup svih onih elemenata skupa X koji su u relaciji sa x (ukljuujui i x jer je refleksivna relacija), tj.

{ }.x y y X y xr=

Teorema 1, Skup svih klasa ekvivalencije nekog skupa X u odnosu na relaciju ekvivalencije predstavlja particiju skupa X.

Dokaz. Svaki element x skupa pripada bar jednoj klasi ekvivalencije jer za svako x vai x x . Potrebno je jo dokazati da svaki element pripada tano jednoj klasi ekvivalencije. Ovo je ekvivalentno tvrenju da su svake dve klase ekvivalencije ili disjunktne ili jednake. Dokazaemo da se dve klase ekvivalencije 1x i 2x poklapaju kada je x1 x2 odnosno da su disjunktne kada je x1 non 2x .

Pretpostavimo najprije da je 1 2x x = ,tj. ( ) 1 2y y x x$ .

Tada ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2y x x y x y x x y y x x xr r r r r

jer je r simetrina i tranzitivna relacija.Dalje vae sledee implikacije:

1 1 1 2 2 2x x x x x x x x x xr r r .

I obrnuto,moe se pokazati da je svaki element skupa 2x takoe element skupa 1x .Stoga 1 2x x= .

Ako je 1 2x x = , ne moe biti 1 2x xr jer bi to , kao gore , vodilo zakljuku da je 1 2x x= , to predstavlja kontradikciju.

Ovim je dokaz teoreme zavren.

Relacija ekvivalencije dijeli, dakle , skup X na meusobno disjunktne neprazne podskupove (klase ekvivalencije) ija je unija skup X. Unutar svake klase ekvivalencije svaka dva elementa su u relaciji p a nijedan par elemenata iz razliitih klasa ekvivalencije nije u toj relaciji. Skup svih klasa ekvivalencije naziva se koliniki skup skupa X u odnosu na relaciju r i obeleava.se sa X/ r . Dakle,

{ }/X x x Xr = . Obrnuto, ako je data jedna particija skupa X postoji relacija ekvivalencije r takva da je X/ r

upravo zadata particija, to se lako dokazuje.

Primjer 4. Ako je cjeli broj b deljiv cjelim brojem a , pie se a | b. U skupu Z cjelih brojeva definie se relacija kongruencije po modulu m (m prirodan broj) pomou

( ),a b Z" ( ) ( )mod ma b m b a -

13

Relacija je refleksivna jer je ( )mod ma a . Ona je simetrina jer ( ) ( )m b a m a b- - .Kako je ( ) ( )a c a b b c- - + - ,iz

( )mod ma b i ( )mod mb c slijedi najprije ( )m b c- i ( )m c b- a zatim ( )m c a- te je relacija tranzitivna. Dakle kongruencija po: modulu prirodnog broja je relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije su oigledno skupovi cjelih brojeva koji poslije diobe sa m daju fiksiran ostatak. Ostatak moe da bude jedan od brojeva 0,1,... , m1 pa je

( ) { }{ }/ mod m i=0,1,...,m-1Z km i k z = + .

Slino binarnoj relaciji definie se i n-arna relacija.

Definicija 2. n-arna relacija r u skupu X je svaki podskup skupa nX .

Ako je ( )1 2, ,..., na a a r kae se da su elementi 1 2, ,..., na a a (u navedenom poretku) u relaciji r .

Primjer 5. Jedna ternarna relacija u skupu cjelih brojeva Z moe se definisati pomou

(1) 2 3 10x y z+ + =

na sledei nain: brojevi x ,y, z Z su relaciji ako vai (1). Na primer, brojevi 5, 1, 1 jesu u relaciji a 3, 2, 2 nisu.

Binarna relacija je specijalan sluaj n-arne relacije koji se dobijaza n=2. Za n= i dobija se unarna relacija. Unarna relacija u skupu X je svaki podskup skupa X. Pod binarnom relacijom r u skupu X Y podrazumjeva se svaki podskup toga skupa. Slino kao

i ranije, ako je ( ),a b r pie se a r b. Binarne relacije se mogu pogodno predstaviti pomou izvjesnih geometrijskih figura koje se

nazivaju grafovima. Svaka binarna relacija r , zajedno sa konanim skupom X u kome je definisana, definie jedan graf koji se konstruie na sledei nain.

Elemente skupa { }1 2, ,..., nX x x x= predstavljamo meusobno razliitim takama u ravni (ili prostoru), koje nazivamo vorovima grafa. Ako je ( ),i jx x r taku koja predstavlja vor ix spajamo linijom sa takom koja predstavlja vor jx . Ova linija se orijentie na crteu strelicom u smeru od ix ka

jx i naziva se (orijentisana) grana grafa. Ako ( ),i jx x r , vorovi ix i jx nisu na crteu direktno povezani. Grana koja spaja vor sa samim sobom naziva se petlja. U relaciji r petlji odgovara ureen par oblika ( ),i ix x .

Primjer 6. Posmatrajmo relaciju djeljivosti cijelih brojeva u skupu X= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Odgovarajui graf je predstavljen na sl. 1. na dva naina.

14

Refleksivnim relacijama odgovaraju grafovi kod kojih je svakom voru pridodala petlja. Kod simetrinih relacija za svaku granu, kuja vodi, recimo, iz vora ix ka voru jx , postoji u grafu i

grana koja iz jx vodi u ix Dakle, grane su grupisane u parove i u svakom paru grane povezuju iste vorove ali su suprotnih orijentacija (sl. 2a).

Tranzitivne relacije karakteriu se strukturnim detaljom koji je prikazan na si. 2b. Naime, ako postoji grana koja iz ix vodi u jx i ako postoji grana koja iz jx vodi u kx tada postoji i grana koja iz ix vodi u xk.

15

1.4. FUNKCIJE, OPERACIJE, ALGEBARSKE STRUKTURE

Neka su dati neprazni skupovi X i Y. Fiksirano pravilo f po kome se svakom elementu skupa X pridruuje jedan element ( )f x iz

skupa Y naziva se funkcija ( i l i preslikavanje) iz X u Y. Kae se da f preslikava X u Y i ta injenica se obeleava sa :f X Y .

Ovo je opisna definicija funkcije. Formalno, funkcija se moe dcfinisati pometu ranije uvedenih pojmova.

Definicija 1. Pod preslikavanjem (funkcijom) f skupa X u skup Y podrazumjeva se svaki podskup skupa X Y takav da se svako x X pojavljuje tano jedanput kao prva komponenta u elementima tog podskupa.

Dakle, skup prvih komponenti parova iz f je X i vai implikacija

( ) ( ), ,x y f x z f y z =

Skup X naziva se domen preslikavanja ( i l i oblast definisanosti funkcije). Skup Y naziva se antidomen preslikavanja. Ako je ( ),x y f pie se ( )y f x= i l iy=fx.Prva komponenta x naziva se original, a druga

komponenta y naziva se slika elementa x (u odnosu na preslikavanje f). Preslikavanje f se moe proiriti na preslikavanje partilivnog skupa P(X) skupa X u partitivni skup

P(Y) skupa Y na sledei nain. Za svako ( )A P X definiemo ( ) ( ){ }f A f x x A= .Uz ovakvu definiciju oigledno je ( )f = za svaku funkciju f .

Skup f(X) predstavlja skup vrijednosti preslikavanja. Oigledno je ( )f X Y .Jednakost f(X)=Y vai samo u specijalnim sluajevima.

Definicija 2. Preslikavanje :f X Y se naziva surjekcija ili preslikavanje iz X naY ako je ( )f X Y= ,tj.

f je surjekcija ( ) ( ) ( )y Y x X f x y " $ = .

Definicija 3. Preslikavanje :f X Y se naziva injekcija (ili biunivoko, tj. obostrano-jednoznano preslikavanje, ili 1-1 preslikavanje), ako

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, x x X f x f x x x" = =

Definicija 4. Preslikavanje :f X Y koje je istovremeno i surjekcija i injekcija naziva se bijekcija.

Ako je :f X Y bijekcija kae se da su skupovi X i Y preslikavanjem f dovedeni u obostrano-jednoznanu korespondenciju, imajui pri tom u vidu injenicu da se pomou f svakom elementu x skupa X pridruuje tano jedan element ( )f x skupa Y i, obrnuto, svakom elementu y iz Y pridruuje se tano jedan element x iz X, naime onaj za koji je f(x)=y.

Bijekcija skupa na samog sebe naziva se permutacija. Skup svih preslikavanja skupa X u skup Y obeleava se sa XY .Dakle,

16

{ }:XY f f X Y=

Teorema 1. Dva preslikavanja f i g su jednaka ako i samo ako imaju isti domen i ako je f(x)=g(x) za svako x iz domena.

Dokaz. Poto je preslikavanje skup (skup parova), jednakost dva preslikavanja utvrujemo korienjem kriterijuma za jednakost dva skupa.

Ako je f=g oigledno su domeni ova dva preslikavanja isti i vai f(x) =g(x) za svako x iz domena. Pretpostavimo sada da su za preslikavanje f i g domeni isti i da vai f(x)=g(x) za svako x iz

zajednikog domena. Neka je ( ),x y f . Tada je y=f(x). Kako je ( ) ( )f x g x= zakljuujemo ( )( ) ( )( ) ( ), , ,x g x x f x x y g= = . Slino tome, iz pretpostavke ( ),x y g lako se izvodi ( ),x y f .Dakle, f i g imaju iste elemente, tj. f =g.

Ovim je dokaz teoreme zavren.

Definicija 5. Neka :f X Y i :g Y Z .Preslikavanje :h X Z definisano pomou

( ) ( ) ( )( ) x X h x g f x" = naziva se proizvod (ili kompozicija) preslikavanja f i g. U upotrebi je oznaka h=fg i (fg)(x)=g(f(x)).

Teorema 2. Ako je : , : , h:Z Uf X Y g Y Z ,tada je ( ) ( )fg h f gh= , tj. za proizvod preslikavanja vai asocijativni zakon.

Dokaz. Na osnovu definicije proizvoda preslikavanja oba preslikavanja, (fg)h i f(gh), preslikavaju skup X u skup U. Na osnovu teoreme 1, za dokaz jednakosti (fg)h=f(gh), dovoljno je da dokaemo

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) fgx X h x f gh x" = Neposredno se dobija

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ),fg h x h fg x h g f x= = ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ),f gh x gh f x h g f x= =

ime je teorema dokazana. Preslikavanje f : X>X za koje za svako x vai f(x)=x naziva se identiko (ili jedinino)

preslikavanje skupa X.

Definicija 6. Ako za zadata preslikavanje :f X Y postoji preslikavanje ( ):g f X X ,takvo da je fg identiko preslikavanje skupa X i daje gf identiko preslikavanje skupa f(X), tada se g naziva inverzno preslikavanje preslikavanja f i obeleava se sa 1f - .

Dokaz sledee teoreme se preputa itaocu.

Teorema 3. Ako je :f X Y injekcija, onda postoji jedinstveno inverzno preslikavanje 1f - .Ono preslikava elemente skupa f(X) u njihove originale u odnosu na preslikavanje f.

Ponekad se u matematikoj literaturi preslikavanje ( ):f X P Y naziva vie-znano preslikavanje skupa X u skup Y. Termin potie otuda to se ovim preslikavanjem svakom elementu skupa

17

X pridruuje ne jedan element iz Y nego, u optem sluaju, vie elemenata iz Y, tj. jedan podskup skupa Y.

Vieznano preslikavanje :f X X moe se pregledno predstaviti jednim grafom na sledei nain. Slino kao kod binarne relacije, elemente skupa X predstavljamo vorovima grafa. Od vora ix ka voru jx vodi orijentisana grana ako i samo ako je ( )j ix f x .

Definicija 7. Preslikavanje :f S S S naziva se binarna operacija u skupu S. Dakle, binarna operacija f pridruuje svakom ureenom paru elemenata iz S opet jedan element iz

S. Ako je ( ) ( )( ), , ,f a b c a b S S c S= pie se afb = c. esto se kae daje c rezultat operacije f izvrene nad a i b. Umesto slova f , g,..... za oznake operacija se obino upotrebljavaju posebni simboli. Na primer,+ oznaava sabiranje brojeva, oznaava uniju skupova, A oznaava konjunkciju reenica itd.

Definicija 8. Preslikavanje : nf S S naziva se n-arna operacija u skupu S. Broj n se naziva duina operacije.

Pojam n-arne operacije je generalisanje pojma binarne operacije, n-arnorm operacijom se svakoj ureenoj n-torci elemenata iz S stavlja u korespondenciju izvesni element iz S (rezultat n-arne operacije). Za n=2 dobija se ranije opisana binarna operacija, a za N= 1 dobijamo unarnu operaciju. Unarna operacija je jednostavno funkcija iz S u S. U dosadanjem tekstu od unarnih operacija smo spomenuli negaciju reenica.

Nulama operacija se dobija pogodnim proirenjem definicije za n=O. Shodno definiciji, 0-arna operacija bi preslikavala 0-torke, tj. prazne n-torke u skup S. Moe se smatrati da postoji samo jedna 0-torka pa, prema tome, i samo jedna vrijednost nularne operacije f a ta vrijednost je jedan element skupa S. Stoga se nulama operacija f skupa S i definie kao jedan fiksirani element iz S.

Skup S u kome je definisana jedna binarna operacija naziva se grupoid. Kae se takode da je grupoid skup snabdeven jednom binarnom operacijom. Dakle, grupoid je odreen sa dva objekta: skupom i binarnom operacijom u tom skupu. Stoga se grupoid formalno i definie kao ureen par ije su komponente ovi objekti.

Definicija 9.Ureen par (S, *), gdje je S skup a * binarna operacija u S, naziva se grupoid. Ako je skup S konaan binarna operacija u S se moe pregledno prikazati pomou tzv. Cayleyjeve

tablice. Navodimo Cayleyjeve tablice za mnoenje u skupu brojeva {0, 1} i za sabiranje po modulu 3 u skupu brojeva {0, 1, 2}.

Navodimo neke osobine binarnih operacija. Posmatrajmo grupoid (S, *). Ako za dva elementa ,a b S vai * *a b b a= , kae se da su a i b permutabilni elementi. Ako su svaka dva elementa grupoida permutabilna grupoid je komutativan. Kae se takode daje

operacija * komutativna: Operacija odnosno grupoid su asocijativni ako vai

( ) ( ) ( ), , a*b * * *a b c S c a b c" =

Ako postoji eS takav da je ( )a S" a * e = e * a = a, e se naziva neutralni ili jedinini element grupoida (S,*).

18

Ako e'( S) ima osobinu e'=a za svako a S onda je e' lievi neutralni element. Slino se definie desni neutralni element e". Ako je e'=e"=e, tada je e neutralni element grupoida.

Neka je T S. Ako je rezultat operacije * izvrene nad bilo koja dva elementa skupa T opet element skupa T, kae se daje skup T zatvoren u odnosu na operaciju *. Ako je T zatvoren u odnosu na * ureen par (T,*)predstavlja grupoid. (T,*) se naziva podgrupoid grupoida (S,*). Operacije u ova dva grupoida su oznaene ist im simbolom to nije sasvim opravdano ali je uobiajeno. * u oznaci (T, *) pred-stavlja, u stvari, restrikciju na podskup T operacije * definisane u S.

Neka su u skupu S definisane dve binarne operacije * i o. Ako vai ( ) ( ) ( ) ( ), , a*b *a b c S c a c b c" =o o o , kae se da je operacija o desno distributivna u odnosu na operacija *. Ako vai ( ) ( ) ( ) ( ), , a b*c *a b c S a b a c" =o o o kae se da je operacija o levo distributivna u odnosu na operaciju *.

Operacija o je distributivna u odnosu na operaciju * ako je ona istovremeno i lijevo i desno distributivna.

Primjer 1. Mnoenje kompleksnih brojeva je distributivno u odnosu na sabiranje jer za bilo koja tri kompleksna broja 1 2 3, ,z z z vai

( ) ( )1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 2 1 3, zz z z z z z z z z z z z z+ = + + = + Sabiranje nije distributivno u odnosu na mnoenje jer je, u optem sluaju, ( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 3z z z z z z z+ + +

Najednom skupu S moe biti definisano istovremeno vie operacija, pri emu operacije mogu biti raz li it ih duina (nularne, unarne, binarne, ternarne itd.) Skup snabdjeven izvjesnim brojem operacija naziva se algebarska struktura. U upotrebi su i nazivi univerzalna algebra ili kratko algebra.

Grupoid (S, *) je specijalan sluaj algebarske strukture. Algebarska struktura sa dve operacije (*, o) obino se obiljeava ureenom trojkom (S, *, o), gdje je S skup u kome su operacije * i o definisane. Optije, algebarska struktura sa k operacija predstavlja se kao ureena ( )1k + torka, gde je prva komponenta skup u kome su operacije definisane a ostale komponente redom predstavljaju operacije.

Skup u kome su operacije jedne algebarske strukture definisane, naziva se nosilac algebarske strukture.

Skup S snabdjeven operacijama moe se prikazati i kao ureen par (S, F) gde je F skup operacija definisanih u skupu S. Uz oznaku (S, F) obino se upotrebljava te r m in univerzalna algebra.

U izvjesnom skupu S mogu biti definisane istovremeno razne operacije i relacije. Skup snabdjeven operacijama 1 relacijama naziva se matematika struktura ili operacijsko-reiacijska struktura. Ako je S konaan ili prebrojiv skup (vidjeti poglavlje 4) dobijamo diskretnu matematiku strukturu.

19

1.5. ELEMENTI KOMBINATORIKE

U osnovne pojmove klasine kombinatorike spadaju varijacije, permutacije, kombinacije, particijc i kompozicije.

Jedan od glavnih problema u kombinatorici je odreivanje broja raznih kombinatornih objekata. Prilikom rjeavanja zadataka prebrojavanja vrlo esto se koriste sledea dva elementarna principa.

Neka su A i B disjunktni skupovi, gde je A n= i B m=

Princip 1. Broj naina da se izabere jedan element iz skupa A ili iz skupa B je m+n. Princip 2. Broj naina da se izabere jedan element iz skupa A i jedan element iz skupa B je mn. U prvom sluaju biramo, u stvari, jedan element iz skupa A B .Oigledno je A B m n = + U drugom sluaju biramo jedan element iz skupa A B, jer izbor jednog elementa iz skupa A i

jednog elementa iz skupa B odreuje jedan ureen par iz A B. Kako svaki element iz A moe da se kombinuje sa svakim elementom iz B, da bi se dobio jedan ureen par, dobija se \ A B \ =mn.

Princip 2 emo primjeniti vie puta u daljem tekstu.. Neka je dat skup { }1 2, ,...,n nA a a a=

Definicija 1. Varijacija klase k (bez ponavljanja) skupa An je svaka ureena k-torka razliitih elemenata skupa An.

Varijacija se moe definisati i pomou pojma preslikavanja. Definicija 2. Varijacija klase k (bez ponavljanja) skupa An je svako obostrano jednoznano

preslikavanje skupa {1, 2, . . . ,k} u skup An. Definicije 1 i 2 su ekvivalentne. Broj varijacija klase k (bez ponavljanja) skupa cd n elemenata oznaiemo sa knV . Dokazaemo formulu

(1) ( ) ( )1 ... 1knV n n n k= - - + . U proizvodu na desnoj strani jednakosti nalazi se k faktora.

Moe se zamisliti da se k-torka koja predstavlja varijaciju popunjava svojim koordinatama redom, poevi od prve koordinate. Izbor pive koordinate moe se izvriti na n naina. Ako smo se odluili za, na primer, 1a ,za drugu koordinatu moemo uzeti bilo koji od n 1 preostalih elemenata 2 3, ,..., na a a . Prelaskom na popunjavanje prve sledee koordinate, uvjek se broj mogunosti za izbor te koordinate smanjuje za 1. k-tu koordinatu, kada su sve prethodne koordinate ve izabrane, moemo izabrati na n-k+1 naina. Kako svaki od n izbora za prvu koordinatu moemo da kombinujemo sa n1 izbora druge koordinate, broj izbora prve dve koordinate na osnovu principa 2 je n (n1). Produenjem ovakvog rezonovanja neposredno dolazimo do formule (1).

Definicija 3. Permutacija skupa An je svaka ureena n-torka razliitih elemenata skupa nA Poto su elementi n-torke razliiti, svi elementi skupa An se pojavljuju (tano po jedan put) u n-torci.

Opisno reeno, permutacija skupa je svaki ureen raspored njegovih elemenata. Pod pojmom ureeni raspored, podrazumjevamo raspored u kome se zna koji je prvi element po redu, koji je drugi itd.

Primjetimo da je permutacija skupa od n elemenata, u stvari, varijacija n-te klase (bez ponavljanja) toga skupa. Stoga je broj permutacija nP dat pomou

( )1 2 1 !nn nP V n n n= = - = .

20

U skladu sa definicijom 2 permutacija skupa An je svako obostrano jednoznano preslikavanje skupa {1,2,...,n} u skup An={ 1a , a2,. . ., an}- Poto ova dva skupa imaju isti broj elemenata, ovo preslikavanje je bijekcija. Oigledno, permutacija se moe shvatiti i kao bijekcija skupa u samog sebe kako je to napomenuto u prethodnom odjeljku.

Definicija 4. Kombinacija k-te klase (bez ponavljanja) skupa An, je svaki njegov podskup koji sadri k elemenata.

Napominjemo daje kombinacija neureen skup, tj. nije vano koji je redosled elemenata u kombinaciji. Broj kombinacija k-te klase skupa od n elemenata obiljeavacemo sa knC .

U cilju odreivanja broja knC zamislimo da se izdvajanje k elemenata iz skupa od n elemenata vri na sledei nain. Odabere se jedna permutacija skupa od n elemenata i uzme se prvih k elemenata iz permutacije. Oigledno je da e vie permutacija da dovede do iste kombinacije. Naime, permutovanje prvih k elemenata u jednoj permutaciji skupa od n elemenata ne dovodi do promjene kombinacije. Isto se moe rei i za permutovanje poslednjh nk elemenata. Iz ovoga slijedi da za svaku kombinaciju postoji k! (nk)! permutacija koje dovode do te kombinacije. Kako je broj svih permutacija skupa od n elemenata jednak n!, broj kombinacija je

( )!

! !kn

nnCkk n k

= = -

U kombinatorici se pojavljuju takoe varijacije permutacije i kombinacije sa ponavljanjem.

Definicija 5. Varijacija klase k sa ponavljanjem skupa An je svaka ureena k-torka elemenata skupa An. Broj varijacija sa ponavljanjem klase k skupa od n elemenata oznaavaemo sa knV

-

. Prilikom popunjavanja k-torke elementima skupa An, za svaku koordinatu imamo izbor od svih n

elemenata skupa An- Stoga je (uporediti sa (1))

Definicijom jednakosti dva skupa je onemogueno da razlikujemo, na primer, sledee skupove: {a, b } i {a, a, b, b, b } . Dakle, ako pri navoenju elemenata skupa neke od njih ponovimo, efekat je isti kao da smo svaki od njih naveli po jedanput. U matematici se, meutim, pojavljuje potreba da se posmatraju kolekcije objekata meu kojima ima jednakih. Takva kolekcija se ne moe nazvati skup nego se obino naziva familija (objekata). Familija j elemenata nekog skupa X definie se kao preslikavanje koje preslikava elemente skupa X u skup negativnih cijelih brojeva. Pri ovakvoj definiciji familije, j (x) se interpretira kao broj pojavljivanja elemenata skupa X u familiji.

Preslikavanje j se u kombinatorica naziva kombinacija sa ponavljanjem skupa X. Ako je X={ }1 2, ,..., nx x x i ako je ( ) ( ) ( )1 2 ... ,nx x x kj j j+ + + = j se naziva kombinacija sa ponavljanjem klase k skupa X.

U cilju odreivanja broja knC kombinacija k-te klase sa ponavljanjem skupa od n elemenata, svakoj kombinaciji pridruujemo jedan, niz od k- simbola * i n - 1 simbola | na sledei nain. Najprije, u jednom

21

redu postavimo n-1 i cr t ica a zatim izmeu (i-- 1) -e i i-te crtice (i= 1 , 2 , . . . , n ; ) stavljamo j (xi ) simbola *. Na primjer, ako je X={x1, x2, X3, X4, X5}, kombinaciju este klase x1, x1, x1 , x3, x5, x5, (tj. j (x1)=3, j (x2)=0, j (x3)=l, j (x4)=0, j (X5)=2) predstavljamo pomou

* * * * * *

Na ovaj nain je uspostavljena biunivoka korespondencija izmeu skupa kombinacija sa ponavljanjem k-te klase skupa od n elemenata i skupa svih nizova od n+k - 1 simbola od kojih su n - 1 cr tice i k zvjezdice. Niz simbola je odreen poloajem zvjezdica u nizu. k zvjezdica mogu da se razmjeste na n+kI mesta u nizu na 11 ( )

k n kn k kC

+ -+ - = naina jer se ovde radi o izboru jednog

podskupa iz skupa svih mjesta. Stoga je

( )1 .k n kn kC + -=

Konano opiimo permutacije sa ponavljanjem. Ovde se radi o permutacijama lanova jedne familije od n objekata pri emu su k medu njima meusobno razliiti

1 2 1 2, ,..., ( ... )k kn n n n n n n+ + + = predstavljaju brojeve pojavljivanja u familiji redom prvog, drugog, . . k-tog objekta. Podrazumjeva se da se istorodni objekti, recimo n1 njih iz prve grupe, meusobno ne razlikuju. Meusobna izmjena mesta takvih objekata ne dovodi do promjene permutacije cijele familije. Stoga broj permu-tacija familije nije n!, ve je manji za jedan faktor koji odreujemo na sledei nain.

n1 objekata iz prve grupe moemo meusobno permutovati na n1! naina a da to ne dovede do promjene permutacije familije. Takoe, n2! permutacija n2 objekata iz druge grupe ima isti efekat. Ako istovremeno vrimo meusobnu zamjenu mjesta objektima prve grupe i meusobnu zamjenu mjesta objektima druge grupe, to se moe u in it i na n1! n2! naina. Produenje ovakvog rezonovanja na svih k grupa objekata dovodi do izraza n 1 ! n2!... nk ! za broj permutacija koje moemo izvriti mjenjajui mjesta objektima unutar svake od k grupa objekata a da se permutacija familije ne promeni. Ako sa

1 2, ,..., kn

n n nP oznaimo broj permutacija zadate familije (broj permutacija sa ponavljanjem), vai formula

1 2, ,...,1 2

!! !... !k

nn n n

k

nPn n n

=

Particije i kompozicije e biti obraene u poglavlju 2.

22

1.6. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE GRAFOVA

U odjeljku 1.3. smo vidjeli da neprazan skup X u kome je definisana binarna relacija definie izvjesnu geometrijsku figuru sastavljenu od taki i l in i ja koja pregledno predstavlja strukturu binarne relacije i koju smo nazivali graf.

Graf se definie, u stvari, kao apstraktni matematiki objekat a figura sastavljena od taaka i linija je geometrijska predstava ili crte grafa. No, uobiajeno je da se ta geometrijska reprezentacija takoe naziva grafom. Poto je graf odreen jednim skupom i jednom binarnom relacijom u tom skupu prirodno je da se ukupnost ta dva objekta (skup i relacija) uzme za definiciju grafa.

Definicija 1. Neka je X neprazan skup i binarna relacija u X. Ureen par G=(X, ) naziva se graf. Elementi skupa X su vorovi grafa a elementi skupa grane grafa.

Ako paru vorova x1,x2 odgovaraju dve grane (xi, xj) i (xj,xi) na crteu se ponekad ne povlae dve linije izmeu vorova x1 i xj nego se jedinstvena linija dvostrano orijentie ili se uopte ne orijentie.

Primjer 1. Neka je { }1 2 3 4, , ,X x x x x=

i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 1 2 1 3 1 4 3 1 3 2 4 3, , , , , , , , , , , , , .x x x x x x x x x x x x x xr =

Graf G=(X,) je predstavljen na sl. 1 na tri ekvivalentna naina.

Definicija 2. Graf G=(x, ) je simetrian ili neorijentisan ako i samo ako je simetrina relacija. Kod neorijentisanih grafova sve grane su dvostrano orijentirane (u stvari, neorijentisane), pa se

strelice na crteu izostavljaju. Neorjentisani grafovi mogu ali ne moraju imati petlje.

Definicija 3. Graf G=(X, ) je antisimetrian ili orijentisan ako i samo ako je antisimetrina relacija. Na sl. 2 prikazan je jedan neorijentisani i jedan orijentisan graf. Orijentacija petlje nema posebnog

znaaja, jer ma kako da postavimo strelicu, petlja vodi iz vora,recimo, x1, u isti vor x1. Stoga se kod petlje strelica na crteu moe da izostavi.

Neorijentisani i orijentisani grafovi predstavljaju, oigledno, dve ekstremne situacije kod grafova.

Postoje, naravno, i grafovi koji nisu ni neorijentisani ni orijentisani. Takav je, na primer, graf na sl. 1.

23

Ako se graf predstavlja po uzoru na sl. la, tj. ako se ne koristi konvencija da se parovi grana suprotnih orijentacija zamjenjuju neorijentisanim granama, graf se obino naziva digraf. Orijentisane i neorijentisane grafove moemo takoe shvatiti kao digrafove. Orijentisani grafovi su digrafovi kod kojih ne postoji nijedan par razliitih vorova koji su spojeni sa dve grane suprotnih orijentacija. Nasuprot tome, neorijentisani grafovi su digrafovi kod kojih ne postoji nijedan par razliitih vorova koji je povezan tano jednom orijentisanom granom.

Grafovi se dele na konane i beskonane grafove prema tome da li je skup vorova X konaan ili beskonaan. U ovoj knjizi razmatraemo konane grafove.

Napomenimo da se graf moe definisati i kao ureen par (X,f) gde je X neprazan skup a f vieznano preslikavanje iz X u X (vidjeti prethodni odjeljak). Isto tako graf se moe definisati i opisom njegovog crtea, tj. kao skup taaka u ravni, od kojih su neke meusobno povezane neprekidnim glatkim orijentisanim ili neorijentisanim linijama (kao to je to ve na poetku sugerisano).

Geometrijska predstava grafa (crte grafa) sugerie nam generalizaciju pojma grafa. Mogu se zamisliti grafovi kod kojih se izmeu dva vora nalazi vie od jedne grane iste orijentacije. Naravno, ovde su mogue i viestruke petlje. Ovakvi grafovi se nazivaju multigrafovi.

Na sl. 3 je predstavljen jedan multigraf. Graf je poseban sluaj multigrafa. Definicija orijeatisanih, neorijentisanih, konanih i beskonanih

grafova se na prirodan nain proiruje i na multigrafove. Multigraf se moe definisati i apstraktno.

Definicija 3. Neka je X neprazan skup i U jedna kombinacija sa ponavljanjem skupa X2. Ureen par G=(X, U) naziva se multigraf.

Elementi skupa X su, naravno, vorovi a elementi familije U grane multigrafa. Poto U moe da sadri vie identinih parova elemenata skupa X, jasno je da je ova definicija u skladu sa napred navedenom intuitivnom definicijom multigrafa.

Za proizvoljni graf, umesto G=(X, ) esto se pie G=(X, U), pri emu se zaobilazi pojam binarne relacije i U tumai kao skup ureenih parova elemenata skupa X, tj. kao skup grana. Dakle, graf je zadat ako je zadat skup vorova i skup grana.

Za neorijentisane grafove pie se G= (X, U), pri emu se U esto tretira kao skup neureenih parova elemenata iz skupa X, tj. kao skup neorijentisanih ili dvostrano orijentisanili grana.

Iste oznake se upotrebljavaju i za multigrafove, ali se tada naglaava da U moe sadrati vie identinih parova.

Graf moe da bude predstavljen i jednom kvadratnom matricom iji je red jednak broju vorova grafa. Elemenat aij na presjeku i-te vrste i j-te kolone ove matrice je jednak broju grana koje polaze iz vora xi a zavravaju se u voru xj. Ova matrica se zove matrica susjedstva grafa i obiljeava se sa A.

Matrica susjedstva naprijed navedenog grafa (sl. 1) je:

24

1 1 1 10 0 0 0

.1 1 0 00 0 1 0

A

=

Ako dopustimo da dva vora mogu biti spojena najvie jednom granom iste orijentacije, elementi matrice A mogu biti samo 0 ili 1.

Elementi matrice susjedstva multigrafa su prirodni brojevi i nula. Multigraf sa sl. 3 ima matricu susjedstva:

0 1 0 32 2 1 0

.0 1 0 00 0 1 1

A

=

Matrica susedstva A neorijentisanog grafa je simetrina matrica, tj. A=At, gde At oznaava

transponovanu matricu matrice A. Za matricu susjedstva 1

n

ijA a = orijentisanog grafa vai

{ }( ) ( ), 1,..., 1 0 .ij iji j n a a i j" = =

Trag tr A matrice A je, po definiciji, jednak zbiru dijagonalnih elemenata matrice, tj. tr 1

.n

iii

A a=

= Oigledno je da multigraf nema petlji ako i samo ako je tr A=0.

U ovom odeljku navodimo i definicije nekih od osnovnih pojmova vezanih za grafove. Za dva vora neorijentisanog grafa bez petiji kaemo da su susjedna ako su spojena granom. Ako

je neki vor jedna od krajnjih taaka izvesne grane, kae se da se ta grana stie u ovom voru. U ovom sluaju se takoe kae da su vor i grana incidentni ili susjedni. Broj susjednih vorova za vor x zove se stepen vorova x. Stepen vora se moe definisati i kao broj grana koje se stiu u tom ovoru. Ove grane su susjedne ako imaju zajedniki vor.

Ako u nekom digrafu grana u spaja vorove xi i xj i orijentisana je od xi ka xj, kae se da grana u izlazi iz vora xi a ulazi u vor xj. Za svaki vor digrafa defi-nie se ulazni i izlazni stepen. Ulazni stepen vora je jednak broju grana koje ulaze u taj vor a izlazni stepen je jednak broju grana koje izlaze. Petlja se obino smatra i ulaznom i izlaznom granom za odgovarajui vor.

Ponekad se i kod orijentisanog grafa, i l i digrafa uopte, zanemaruje orijentacija grane (ako problem koji se opisuje grafom to doputa) i definie jedinstveni stepen vora kao u sluaju neorijentisanih grafova.

Neka je dat graf G=(X, U). Graf oblika H=(Y, T), pri emu je i Y X T U Y Y = (T je podskup skupa U koji sadri sve one parove iz U, koji su obrazovani samo od elemenata skupa Y) naziva se podgraf grafa G, obrazovan skupom vorova Y. Dakle, podgraf iz datog grafa dobija se na taj nain to se uoi neki neprazan podskup Y skupa vorova i udalje iz grafa svi ostali vorovi zajedno sa granama koje su susjedne udaljenim vorovima. U podgrafu ostaju samo grane koje povezuju vorove iz Y. Ako je Y X, H se naziva pravi podgraf.

25

Na sl. 4 dat je jedan graf sa dva svoja podgrafa. Djeliminim ili parcijalnim grafom grafa G=(X, U) naziva se svaki graf oblika H=(X, T), pri emu je

T U. Na sl. 5 je dato nekoliko djeliminih grafova jednog grafa. Djelimini graf podgrafa naziva se djelimini podgraf datog grafa. Na sl.6 se nalaze dva grafa sa po

jednim svojim podgrafom i djeliminim podgrafom. Na sasvim slian nain definiu se analogni pojmovi za multigrafove. Napomenimo da su binarne relacije biti podgraf, biti djelimini graf i biti djelimini podgraf,

definisane u skupu svih grafova, relacije parcijalnog ureenja u tom skupu. Put duine k u digrafu je svaki niz grana u1 . . . , uk koji ima sledee osobine: 1 grana u1 polazi iz proizvoljnog vora digrafa; 2 granu ui (i=2, . . ., k) poinje u onom voru u kojem se zavrava grana.

Put moe vie puta da prolazi istom granom ili kroz isti vor. Elementarni put je put koji kroz svaki vor digrafa prolazi najvie jedanput.

Put, koji se zavrava u istom voru u kojem i poinje, naziva se kruni ili zatvoren put. Kao to se vidi, kod pojmova put i kruni put bitna je orijentacija grana. Kao grana, u putu moe da se pojavi i petlja.

26

U neorijentisanom grafu svaka se grana moe shvatiti kao dvostrano orijentisana pa put nije definisan samo nizom grana nego se za svaku granu koja ulazi u posmatrani put mora naznaiti njena orijentacija u tom putu. Stoga se esto za grafove koji sadre neorijentisane grane put duine k definie kao naizmenini niz vorova xi i grana ui oblika

1 1 2 2 1, , , ,..., , , ,k k kx u x u x u x +

pri emu je za i=l, 2,. . . , k vor xi poetni a xi+1 krajnji vor za granu ui. Umesto toga grane puta se mogu zadavati kao ureeni parovi vorova.

Put povezuje vor xi sa vorom xj ako je xi poetni vor prve grane u putu a xj zavrni vor poslednje grane.

27

Definicija 5. Neorijentisani graf je povezan ako se njegova dva proizvoljna vora mogu povezati putem. Ako postoje vorovi koji se ne mogu povezati putem, graf je nepovezan.

Nepovezan graf se sastoji od dva ili vie odvojenih dijelova. Ovi odvojeni dijelovi nazivaju se komponente povezanosti grafa. Tanije, komponenta povezanosti grafa kojoj pripada neki vor xi je podgraf obrazovan skupom svih onih vorova koji se mogu spojiti putem sa vorom xi, ukljuujui tu i vor xi.

Pitanje komponenti grafa emo razmotriti na jo dva naina. U skupu vorova grafa definiimo relaciju pi na sledei nain. vorovi x i y su u relaciji pi ako je x=y

ili ako postoji put koji povezuje x sa y. Relacija pi je relacija ekvivalencije. Podgrafovi obrazovani klasama ekvivalencije relacije p su komponente grafa.

Podgraf G1 grafa G je maksimalan u odnosu na neku osobinu ako on ima tu osobinu a nju nema ni jedan od podgrafova grafa G u kojima se G1 sadri kao pravi podgraf. Uz ovakvu terminologiju, komponente grafa G su njegovi maksimalni povezani podgrafovi.

Na sl. 7 graf G1 je povezan, a G2 nepovezan. G2 ima tri komponente povezanosti.

U vezi sa pitanjem povezanosti grafova interesantni su i sledei pojmovi. Artikulacioni vor grafa je vor i jim se udaljavanjem iz grafa poveava broj komponenata

povezanosti grafa. Most grafa je grana ijim se udaljavanjem postie isti efekat. Grana koja je incidentna sa vorom

stepena i naziva se visea grana. Svaka visea grana predstavlja most grafa. Za graf na sl. 8 oznaeni su a, m, v redom artikulacioni vorovi, mostovi i visee grane. Blok grafa je svaki njegov maksimalni povezani podgraf bez artikulacionih vorova. Za graf sl. 8

navedeni su svi njegovi blokovi. Za grafove koji nisu neorijentisani definie se vie vrsta povezanosti.

28

Graf je jako povezan ako je svaki ureen par vorova xi, xj) spojen putem koji vodi iz xi u xj. Iz definicije slijeduje da, pored egzistencije put iz xi u xj, mora postojati put koji vodi iz xj u xi. Na sl. 9 dat je primer jako povezanog grafa.

Povezanost je jednostrana ako je svaki neureen par vorova xi, xj povezan putem bar u jednom smeru (sl.10).

Graf je slabo povezan ako je povezan neorijentisan graf, dobijen od datog grafa zamjenom orjentisanih grana odgovarajuim neorijentisanim granama (sl. 11).

Jako povezan graf ima i osobine jednostrane i slabe povezanosti.Jednostrano povezan graf je i slabo

povezan.Slabo povezan graf ne mora , meutim , biti i jednostano povezan , a jednostano povezan ne mora biti i jako povezan graf.

Pitanje komponenata povezanosti se komplikuje kada se posmatraju grafovi koji nisu neorjentisani. Opisaemo detaljnije komponente jake povezanosti. U skup X vorova grafa G uvedimo binarnu relaciju pi pomou sledee definicije. vorovi x i y su u

relaciji ako i samo ako je x=y ili se x i y nalaze na nekom zatvorenom putu grafa G. Lako se provjerava da je relacija ii refleksivna, simetrina i tranzitivna, tj. ona predstavlja relaciju ekvivalencije. Podgrafovi grafa G, indukovani klasama evivalencije ove relacije, predstavljaju komponente jake povezanosti grafa

29

G. Na sl. 12 je predstavljen jedan graf pri emu su naznaene njegove komponente povezanosti ( )1 4,...,C C .

Svaka komponenta jake povezanosti je jako povezan graf.Ovo potie otuda to de svaka dva (razliita )vora iz iste klase ekvivalencije nalaze na nekom zatvorenom putu (tj. postoji put od jednog do drugog i obrnuto.)

Lako se uvia da iz komponente u komponentu jake povezanosti moze prelaziti uvjek samo u jednom pravcu.(Ovde se podrazumjeva da se kretanje vri po granama grafa u smjeru orjentacije grana.) Ako se iz jedne komponente izae u nju se vie ne ,moe vratiti.Grana koja povezuje vorove iz razliitih komponenata ne lei ni na jednom zatvorenom putu. Stoga je ponekad zgodno da se komponente jake povezanosti konsruiu na sledei nain. Udalje se iz grafa sve grane koje ne lee na zatvorenim putevima. Tada se graf raspada na odvojene djelove koji upravo i predstavljaju komponente jake povezanosti.

Neka su 1,...., nd d stepeni vorova 1,...., nx x u neorjentisanom grafu (ili multigrafu) bez petlji koja ima m grana.Ako saberemo sve stepene vorova , dobijemo dvostruki broj grana, jer svaka grana ima kao krajnje take dva vora.

Dakle vai relacija (1) 1 .... 2nd d m+ + =

iz ove relacije neporedno sleduje

Teorema 1. Broj vorova neparnog stepena u konanom neorjentisanom grafu (ili multigrafu) bez petlji je paran.

30

Neorjentisan graf se naziva regularan stepena r ,ako je 1 2 ... nd d d r= = = =

Iz (1) sleduje da regularan graf stepena r ima 12

m nr= grana.

Iz ove relacije vidi se da ne postoje za svako n i r regularni grafovi stepena r sa n vorova. Potrebno je, naime, da bar jedan od brojeva n i r bude paran. Lako se moe pokazati daje ovo i. dovoljan uslov za egzistenciju pomenute klase grafova.

Posebno su interesantni regularni grafovi stepena dva. Konaan, povezan i regularan graf stepena dva zove se kontura. Ako kontura ima n vorova, oni se mogu oznaiti sa 1,..., nx x tako da je

1x susjedan sa x2, x2 sa x3,. . . , 1nx - sa xn i nx susjedan sa 1x .Izuzetno emo konturom nazivati jedan multigraf i jedan graf sa petljom (si. 13).

Na sl. 13 su date konture sa 1, 2, 3, 4, 5 i 6 vorova. Za neke od ovih kontura upotrebljavaju se i nazivi iz geometrije: trougao, etvorougao, itd.

Graf koji ne sadri nijednu konturu (kao djelimini podgraf) naziva se uma. Ako je graf, uz to, povezan, on se naziva stablo.

Konaan regularan graf stepena dva oigledno ima za komponente povezanosti konture. Za beskonane grafove ove ne vai. Suprotan primjer je graf iji su vorovi smeteni u cjelobrojnim takama brojne ose, a susjedni su samo oni vorovi ije je meusobno rastojanje (po osi) jednako 1.

Regularni grafovi stepena tri imaju paran broj vorova. Na si. 14 je dato nekoliko regularnih grafova stepena tr i.

Regularni grafovi sa n vorova stepena n- 1 nazivaju se potpuni grafovi. Oni su prikazani na sl. 15 za n=1, 2, 3, 4, 5.

Potpuni grafovi imaju ( )1 122n

m n n = - =

grana, tj. svaki par vorova je spojen granom.

31

k-kompletan graf 1,...,n kK n je graf iji se skup vorova moe podjeliti na k meusobno disjunktnih podskupova koji sadre redom 1,..., kn n vorova, lako da su svaka dva vora iz razliitih podskupova povezana granom a da ni jedna grana ne povezuje vorove iz istog podskupa. Za k=2 dobi jamo bikompletne grafove mnK .

Regularni grafovi stepena r imaju matricu susjedstva u kojoj se u svakoj vrsti i svakoj koloni nalazi tano r jedinica.Matrica susjedstva potpunih grafova ima na glavnoj dijagonali elemente jednake nuli;ostali elementi matrice su jednaki 1.

Na kraju ovog odjeljka interpretiramo pojam funkcije pomou grafa. Binarna relacija u skupu X Y definie jedan graf iji je skup vorova X Y i u kome postoje

samo grane koje povezuju vorove iz X sa vorovima iz Y, pri emu su x X i y Y spojeni granom ako i samo ako je xy.

Binarna relacija f u skupu X Y predstavlja funkciju ako i samo ako u odgovarajuem grafu svi vorovi koji odgovaraju elementima skupa X imaju stepen 1.

Pomou grafa funkcije mogu se pogodno definisati ili interpretirati razne specijalne vrste funkcija kao to su injekcija , surjekcija i bijekcija.

Funkcija :f X Y je a) injekcija , b) surjekcija , c) bijekcija ako su redom ispunjeni sledei uslovi za odgovarajui graf:

a) stepeni vorova iz Y nisu vei od 1 b) stepeni vorova iz Y nisu manji od 1 c) stepeni vorova iz Y su jednaki 1

32

Za X=Y dobijamo funkcije f koje preslikavaju skup X u samog sebe.Umjesto grafa sa dve grupe vorova (X i X ) moemo sada posmatrati digraf sa skupom vorova X u kome iz vora x vodi (orjentisana ) grana u vor y ako i samo ako je ( )y f x= . Kod ovih digrafova izlazni stepen svakog vora je jednak 1.

Ako je funkcija :f X X bijekcija , ona se naziva i permutacija skupa X. Sada je i ulazni stepen svakog vora jednak 1.

33

1.7. ZADACI

1. Koje od navedenih reenica predstavljaju sudove: 1 1+1=2; 2 l i-1=3; 3o Svaka diferencijabilna funkcija je neprekidna; 4 Svaka neprekidna

funkcija je diferencijabilna; 5 Paran broj n je bez ostatka djeljiv sa 3; 6 Prestani dosaivati! 7 Praskozorje elja staklo umiljatim nogavicama, naroito od mrkve.

2. Da li meu skupovima , {0}, { } ima jednakih? 3. Dokazati da je prazan skup podskup svakog skupa. 4. Navesti sve elemente skupa ( ) ( )2 3P P . 5. U skupu pola ahovske table definisana je binarna relacija na sledei nain. Polja x i y su u relaciji

ako sa polja x skaka moe da pree na polje y za paran broj poteza . Da li je relacija ekvivalencije i ako jeste odrediti klase ekvivalencije .

Odgovor. Jeste. Postoje dve klase ekvivalencije. Jednu obrazuje skup crnih polja a drugu dkup bijelih polja ahovske table. 6. Dokazati da u svakom grupoidu postoji najvie jedan neutralni element. 7. Odrediti neutralne elemente za grupoide ( )( ),P X i ( )( ),P X , gdje je X proizvoljan skup. 8. Dokazati da za funkciju :f X Y vae formule ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

, ,

, .

A B X f A B f A f B

A B X f A B f A f B

" =

"

9. Koliko elemenata ima partitivni skup skupa od n elemenata? 10. Ako su X i Y konani skupovi, koliko elemenata ima skup Yx svih preslikavanja iz X u Y?

Rezultat. XY 11.Koliko postoji grupoida (X, ) gde je X skup sa n elemenata?

12.Koliko se binarnih relacija moe definisati u skupu od n elemenata? Koliko postoji a) refleksivnih b) simetrinih c) refleksivnih i simetrinih relacija?

13.Koliko se n-arnih relacija moe definisati u skupu od m elemenata? 14.Neka je X={1, . . . , 8}. Ako su 1x i x2 prirodni brojevi, 1x X2 oznaava da su 1x i 2x relativno

prosti. Nacrtati graf G=(X, p). Da li je G neorijentisan graf bez petlji? 15.Opisati osobine grafova G=(X, ), gde je relacija ekvivalencije, 16.Neka je X skup od n elemenata ( 1n ), Skup svih podskupova skupa X emo uzeti za skup

vorova grafa G, pri emu su dva vora iz G spojena granom ako i samo ako je presjek odgovarajuih podskupova skupa X prazan. Odrediti broj vorova i broj grana grafa G.

Rjeenje. Skup vorova grafa G je partitivni skup skupa X te je broj vorova jednak 2n . Ako jedan posdkup skupa X ima i (i >0) elemenata , od preostalih n-i elemenata skupa X moe se

obrazovati 2n i- podskupova disjunktnih sa posmatranim podskupom. vor koji odgovara praznom skupu (i=0) je povezan granama sa svih ostalih 2 1n - vorova i petljom sa samim sobom jer je

= .Poto podskupova sa i elemenata ima tano ni

, graf G ima

( )1

1 12 1 2 3 12 2

nn n i n

i

ni

-

=

- + = -

grana i jednu petlju.

34

17. sedam prijatelja , koji odlaze na odmor , dogovere se da e svaki od njih da se javi razglednicom trojici od ostalih est. Da li je moguno organizovati korespodenciju tako da svako pie onim prijateljima koji e i njemu pisati?

Odgovor. Ne , jer bi u suprotnom sluaju postojao regularan , neorjentisan graf stepena 3 sa 7 vorova ,to je nemogue.

18. Opisati grafove kod kojih je stepen svakog vora manji od 3. 19. Konstruisati regularan graf stepena 3 sa 2n vorova (n 3) koji nema trouglova . 20. Dokazati da je najmanji broj vorova regularan graf stepena 3 sa mostom jednak 10. 21. Dokazati da regularan graf stepena 3 ima most ako i samo ako ima artikulacioni vor. 22. Da li postoji graf sa est vorova iji su stepeni :2,3,3,4,4,4? 23. Da li se grane grafa na sl.1 mogu orjentisati tako da se dobije jako povezan digraf.

35

2. KOMBINATORIKA

2.1. FUNKCIJE GENERATRISE

U kombinatornim zadacima prebrojavanja veliku ulogu igraju funkcije generatrise. Posmatrajmo beskonani niz

(1) 0 1 2, , ,...., ,.....na a a a

Definicija 1. Funkcija ( )0

nn

nG t a t

+

=

= naziva se funkcija generatrisa niza (1).

Definicija 2. Funkcija ( )0 !

n

nn

tH t an

+

=

= naziva se eksponencijalna funkcija gene-ratrisa niza (1).

Ako su poznate funkcije generatrise za niz (1), lanovi niza se mogu odrediti pomou formula ( ) ( ) ( ) ( )n

0 , a 0

!

nn

n

Ga H

n= = .

Redove navedene u definicijama 1 i 2 shvatamo kao formalne redove. Konvergencija i druga analitika svojstva ovih redova obino se ne ispituju.

U kombinatorici je od interesa da se odrede funkcije generatrise za nizove iji lanovi predstavljaju rjeenja razliitih zadataka prebrojavanja. Odredicmo najprije funkcije generatrise za elementarne kombinatorne probleme, opisane u uvodnom poglavlju, a zatim emo na taj nain razvijenu tehniku funkcija generatrisa primjeniti na neke od komplikovanijih problema.

Da bi dobili funkciju generatrisu ( )0

nk kn

kG t C t

=

= za brojeve kombinacija knC , k=0,1,...,n , posmatrajmo izraz

( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 31 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 31 1 1 1x t x t x t x x x t x x x x x x t x x x t+ + + = + + + + + + +

Kao koeficijent uz tk nalazi se elementarna simetrina funkcija kS reda k promenljivih 1 2 3, ,x x x .Sabirci funkcije Sk su proizvodi od po k promenljivih iz skupa { }1 2 3, ,x x x .Dakle, svaki takav sabirak reprezentuje po jednu kombinaciju klase k tog skupa. Ako stavimo 1 2 3 1x x x= = = svaki sabirak je jednak 1 i koeficijent uz tk je jednak broju kombinacija 3

kC klase k skupa od tri elementa:

( )3 0 1 2 2 3 33 3 3 31 t C C t C t C t+ = + + + .

36

dobija se 33kCk

=

, k=1,2,3.

Neposrednom generalizacijom ovog postupka zakljuuje se da je

( ) ( )1 ... ...0 1

n k nn n n nG t t t t tk n

= + = + + + + +

funkcija generatrisa za brojeve kombinacija . Dakle , knn

Ck

=

to potvruje raniji rezultat.

Da bismo dobili funkciju generatrisu za brojeve kombinacija sa ponavljanjem, posmatrajmo kao uvodni primer izraz

( ) ( )( ) ( )2 21 1 2 3 1 2 31 1 1 1x t x t x t x t x x x t+ + + + = + + + +

( ) ( )2 2 2 2 3 2 41 2 2 3 3 1 1 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3x x x x x x x t x x x x x x x t x x x t+ + + + + + + +

Sabirci koeficijenata uz t3 predstavljaju sada kombinacije tree klase sa ponavljanjem skupa {xl, x2, x3} u kojima se element 1x pojavljuje najvie dva puta, dok se 2x i 3x pojavljuju najvie jedanput. Stavljajui: 1 2 1 1x x x= = = dobija se odgovarajua funkcija generatrisa.

Na ovom primjeru se uoava da funkcija generatrisa za brojeve kombinacija skupa od n elemenata ima n faktora. Svaki faktor regulie broj pojavljivanja jednog od elemenata u kombinacijama. Ako zahtjevamo da se i-ti element mora da pojavi u kombinacijama samo ili 1n puta ili n2 puta il i . . . ili ns puta, onda je i-ti faktor funkcije generatrise oblika 1 2 ... snn nt t t+ + + .

Na osnovu izloenog funkcija generatrisa za brojeve kombinacija sa ponavljanjem (dakle, bez ikakvih ogranienja u pogledu broja pojavnjivanja elemenata) skupa od n elemenata glasi

( ) ( )2 11 ... ... , 1.1n

nkG t t t t tt

= + + + + =

37

Da bismo dobili opti izraz za Hv(t) u sluaju kada su specificirani moguni brojevi pojavljivanja svakog pojedinog od n elemenata, pretpostavimo da je funkcija Hv (t) opet proizvod od n faktora pri emu svaki faktor i re gu lie bro je ve pojavljivanja elementa u varijaciji. Polazna osnova je opet jedan izraz koji sadri promenljive t i x1, x2, ...,xn;

( ) ( ) ( )1 2

1 21 2

1 2

... ... ... ... ... ... ...nk k k

k k knn

n

t t tx x xf k f k f k

+ + + + +

Svaki faktor je reprezentovan sa po jednim svojim tipinim sabirkom gde je ( )f k jedna funkcija koju emo naknadno odrediti. Proizvod naznaenih sabiraka

( ) ( ) ( )1 2

1 21 2

1 2

.........

nn

k k kk k k

nn

t t tx x xf k f k f k

+ + +

moe se napisati u obliku

( ) ( ) ( )1 2

1 21 2

!... ,... !

nk k kn

n

k tx x xf k f k f k k

gde je k=k1+k2+...+kn. Poslije mnoenja i unoenja x1=x2=...=xn=1 koeficjent uz !

ktk

treba da daje broj

varijacije klase k u kojima se x1 pojavljuje k1 puta, x2 se pojavljuje k2 puta, ..., xn se pojavljuje kn puta. Na osnovu formule za broj permutacija sa ponavljanjem dolazimo do zakljuka da je ( ) !f m m=

Stoga su faktori funkcije H(t) oblika !

sp

s s

tp , gdje su p1, p2, ... dozvoljeni brojevi pojavljivanja

odgovarajueg elementa u varijaciji. Ako je broj pojavljivanja svih elemenata neogranien, onda dobijamo (sve) varijacije sa

ponavljanjem. Stoga je odgovarajua funkcija generatrisa

( )0

.!

kk

nk

tH t Vk

+

=

=

Na osnovu gore izloenog imamo

( ) ( )0

1 ... ... .1! 2! ! !

nk knt nt k

k

t t t tH t e e nk k

+

=

= + + + + + = = =

Dakle, ,k knV n= , to je u skladu sa ranije izvedenim izrazom. U kombinatorici se pod particijom podrazumjeva rastavljanje prirodnog broja n na sabirke koji su

prirodni brojevi pri emu redosljed sabiraka nema uticaja. Ako se vodi rauna o redosljedu sabiraka, rastavljanje prirodnog broja na sabirke se naziva kompozicija. Particije i kompozicije nekih prirodnih brojeva su navedene u sledeoj tabeli:

38

Particije se predstavljaju i tzv. Ferersovim dijagramom koji se sastoji od taaka. Ferersov dijagram particije 5+3+2 dat je na sl. 1. Ako se ovaj dijagram proita po kolonama dobija se particija 3+3+2+1 + 1 koja se naziva konjugovana particija patricije 5+3+2.

Problem odreivanja broja particija nije jednostavan i on e biti tretiran ovde tehnikom funkcija generatrisa. Broj kompozicija je odreen u zadatku 9 na kraju ovog poglavlja.

Izvodimo funkcije generatrise ( ) ( )1

1 nn

G t p n t+

=

= + za brojeve p(n) particija

prirodnog broja n pod izvesnim uslovima. Posmatrajmo najprije particije kod kojih su sabirci najvie jednaki m. Jedna takva particija ima oblik 1 21 2 ... ,mn k k k m= + + + (2)

gde ki (i=1, 2, . . . , m) oznaava broj ponavljanja sabirka i u particiji. Tada je

( ) ( ) ( )1 21 2 ... .mk k kn mt t t t= (3) Broj particija oblika (2) jednak je broju naina faktorizacije veliine tn u formi (3). Broj ovih faktorizacija je, oigledno, jednak koeficijentu uz tn funkcije

( ) ( ) ( )( )2 2 4 21 ... 1 ... 1 ... .m mG t t t t t t t= + + + + + + + + +

Stoga je G(t) upravo traena funkcija generatrisa i ona se moe predstaviti u obliku

( )( )

2

1

1 1 1 1 .1 1 1 1

m mi

i

G tt t t t

=

= =- - - -

Ako se ne ogranii veliina sabiraka funkcija generatrisa dobija oblik

( )( )

1

1 .1 i

i

G tt

+

=

=-

39

2.2. KRATAK PREGLED JO NEKIH VANIJIH KOMBINATORN1H OBJEKATA

Pored tretiranja klasinih kombinatornih problema o kojima je do sada bilo rijei, u novije vrijeme razvili su se unutar kombinatorike razni pravci istraivanja sa veoma kompleksnim sadrajem. Jedan od njih je teorija grafova kojoj posveujemo posebno poglavlje. Osim toga postoji teorija blok-ema, teorija konanih geometrija, teorija kodova i druge grane. Navodimo neke osnovne pojmove iz ovih disciplina.

1. Blok-eme. Posmatrajmo konaan skup { }1 2, ,..., vS s s s= , (sa v elemenata). Blok-ema je kolekcija D podskupova skupa S koja zadovoljava neke uslove u vezi broja elemenata u podskupovima, broja pojavljivanja svakog elementa skupa S u tim podskupovima i sl. Podskupovi skupa S koji pripadaju kolekciji D zovu se blokovi.

Primjer 1. Neka je S= {1,2,..., 7}. Posmatrajmo kolekciju B1, B2,. . . , B7 podskupova skupa S, gdje je

{ } { } { }{ } { } { }

{ }

1 2 3

4 5 6

7

1,2,4 , 2,3,5 , 3,4,6 ,

4,5,7 , 5,6,1 , 6,7,2 ,

7,1,3 .

B B B

B B B

B

= = =

= = =

=

Svaki blok ove eme sadri 3 elementa skupa 5 i svaki se element iz 5 sadri u 3 bloka. Osim toga svaki par elemenata iz S se sadri u tano jednom bloku.

U vezi sa ovim primjerom uvodi se sledea definicija. Definicija 1. Uravnoteena nepotpuna blok-ema (skraeno BIBD, prema engleskom: balanced

incomplete block design) sa parametrima v, k, b, r, je kolekcija od b podskupova (blokova) B 1 , B 2 , . . . , B b skupa S = {s1, s2, . . . , sv} kod koje svaki blok sadri k elemenata, svaki element skupa S se nalazi u r blokova i svaki par elemenata iz S se nalazi u X blokova.

Blok-ema iz primjera 1 je uravnoteena nepotpuna blok-ema sa parametrima v=b=7, r=k=3 i =l. U teoriji blok-ema jedan od osnovnih problema je pitanje egzistencije uravnoteene nepotpune

blok-eme sa zadatim parametrima. Poznati su razni potrebni i razni dovoljni uslovi za egzistenciju ali n isu pronaeni potrebni i dovoljni uslovi. Navodimo neke osnovne potrebne uslove za egzistenciju ovakvih blok-ema.

Teorema 1. Ako postoji BIBD sa parametrima v, k, b, r, onda vae relacije ( ) ( ), 1 1 .vr bk r k vl= - = -

Dokaz. Ukupan broj pojavljivanja elemenata skupa S u blokovima je, sjedne strane, vr jer ima v elemenata a svaki se pojavljuje u r blokova i, s druge strane, bk jer ima b blokova svaki sa po k elemenata. Ovo daje prvu relaciju.

Da bi dobili drugu relaciju prebrojaemo na dva naina parove elemenata skupa S koji se pojavljuju u blokovima a koji sadre jedan fiksiran element si iz S. si se pojavljuje u r blokova a u svakom od njih obrazuje po jedan par sa ostalih k1 elemenata iz bloka. Dakle, traeni broj je r(ki). S druge strane, si obrazuje vI parova sa ostalim elementima skupa S, a svaki takav par se pojavljuje puta u blokovima eme pa se dobija za istu stvar (v1). Ovim je dokaz zavren.

40

2. Konane geometrije. U kombinatorici se takoe prouavaju konani skupovi objekata koji imaju osobine taaka i pravih. To su konane geometrije. Definisaemo projektivne ravni koje predstavljaju samo specijalan sluaj konanih geometrija.

Definicija 2. Projektivna ravan je ureena trojka pi={X, Y, ), gde je X skup objekata koje zovemo takama, Y skup objekata koje zovemo pravama, binarna relacija u X Y (kod koje x y itamo taka x lei na pravoj y ili prava y prolazi kroz laku x), pri emu su ispunjeni sledei uslovi (aksiome projektivnih ravni):

1 dve razliite take lee na tano jednoj pravoj, 2 dve razliite prave polaze kroz tano jednu zajedniku taku, 3 postoje etiri take od kojih nikoje tri ne lee na jednoj pravoj.

Primjer 2. Na sl. 1 je prikazana projektivna ravan koja sadri 7 taaka (obiljeenih sa 1, 2,... , 7) i 7 pravih. Pod pravama se ovde podrazumjevaju stranice i visine trougla kao i upisani krug. Bez tekoa se provjerava da su aksiome 13 iz definicije 2 ispunjene.

Dokazuje se da u projektivnoj ravni kroz svaku taku polazi konstantan broj pravih i da svaka prava sadri taj isti broj taaka. Ako jedna prava sadri n+1 taaka broj n se naziva red projektivne ravni. Projektivna ravan reda n sadri n2+n+1 i taaka i isto toliko pravih. Na sl. 1 je prikazana projektivna ravan reda 2.

Interesantno je primjetiti da prave u projektivnoj ravni, shvaene kao skupovi taaka kroz koje prolaze, obrazuju BIBD sa parametrima v=b=n2+n+l, r=k=n+1 , =l. BIBD iz primjera i odgovara projektivnoj ravni iz primera 2.

3.Kodovi koji ispravljaju greke. Posmatra se skup ureenih n-torki X=(x1, ... , xn), gdje je xr=1, ... ,b (r=1, ... , n). Broj n-torki je bn. Jednakost X=Y n-torki X=(x1, ... , xn) i Y=(y1, ... , yn) vai ako i samo ako je x1=y1, ... , xn=yn.

Definicija 3. Skup n-torki {X1,...,Xn}zove se kod kodovskog rastojanja d, ako je minimum meusobnih rastojanja n-torki iz koda jednak d. Kod kodovskog rastojanja d=2l + 1 ima sledeu osobinu. Ako se p r i l i ko m rjeenja proizvoljne n-torke koda kroz sistem veze pogreno prenese ne vie od koordinata n-torke, u prijemnom ureaju se n-torka moe rekonstruisati. Jedan od osnovnih problema teorije kodova koji isp r av l ja ju greke je sledei: Koliko postoji n-torki u datom skupu n-torki, ija meusobna rastojanja manja od d, tj. koliko n-torki sadri najvei kod kodovskog rastojanja d ? Problem je rijeen samo za specijalne vrijednosti n, b, l. Za b=2,3 i n=3, 4, ...,12 problem je ekvivalentan problemu sportske (vidjeti primjer).

0 0 0 1 1 1 2 2 20 1 2 0 1 2 0 1 20 2 1 2 1 0 1 0 20 1 2 2 0 1 1 2 0

Dakle, ifrator u sistemu veze ima tri osnovna simbola 0,1 i 2. U elektronskom ureaju to znai, na primer, odsustvo impulsa, pozitivan pravougaoni impuls i negativan pravougaom A. Kad hoemo da korisne informacije oznaavamo etvorkama i ako znamo da se kroz sistem najvie jedna komponenta etvorke moe pogreno prenijeti, upotrebljavamo gornji kod. Ovim moemo prenositi najvie devet razliitih informacija, na primjer, devet slova. Ako sistem ne pravi vie od jedne greke u svakoj etvorci, etvorka se uvek moe rekonstruisati. Na primjer, ako se na izlazu dobije etvorka 0011, oigledno je da nju treba protu- etvorku 2 0 1 1.

41

Interesantno je da se navedeni kod moe primjeniti kao sistem pri igranju na sportskoj prognozi. Ako je potrebno predvidjeti ishod etiri fudbalske utakmice ij1 i sa 1 pobjedu domaeg kluba, sa 0 nerijeen rezultat i sa 2 pobjedu gostu) tako da se prognoza za najmanje tri utakmice pokae kao tana, onda oigledno, potrebno postaviti vie prognoza. Ako svakoj etvorci navedenog odgovara jedna prognoza ishoda etiri utakmice, onda je na osnovu ranije, bez obzira na stvarne ishode utakmica, u jednoj od devet imati bar tri tana rezultata. Problem sportske prognoze je obraivan u matematikoj l i te r atur i. Tako je, inae, dokazano da je za prognoziranje ishoda pet utakmica, uz uslov da se na jednoj prognozi moraju postii najmanje et ir i tana rezultata, potrebno postaviti 27 prognoza.

Kod kodovskog rastojanja d=2l +1 se naziva perfektan ako za svaku n-torku to jest n-torka Y koja pripada kodu takva da je rastojanje izmeu X i Y ne vee. Kod iz primjera 3 je perfektan.

4. Latinski kvadrati.

Definicija 4. Kvadratna ema sa n vrsta i n kolona, u kojoj su elementi a1, a2,... ,an rasporeeni tako da se svaki element pojavljuje tano jedanput u svakoj vrsti i tano jedanput u svakoj koloni, naziva se latinski kvadrat reda n.

Primjer 4. Navodimo tri latinska kvadrata reda 4:

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 42 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1

3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 34 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 2

42

2.3 ZADACI

1. Koliko ima prirodnih brojeva sa najvie est cifara u kojima se javlja cifra 1? 2. Koliko postoji brojeva sa najvie n cifara u kojima se pojavljuju cifre 3 ili 5? 3. Odrediti broj kombinacija k-te klase skupa {1,2,..., n} u kojima se nalazi tano s elemenata iz

skupa {1,2,..., m}, pri emu je 0 < s < k < m

43

12. Odrediti funkciju generatrisu za particije broja n kod kojih su svi sabirci neparni.

Rezultat. ( ) ( )2 11

1/ 1 .ii

G t t+

-

== P -

13. Dokazati da je broj particija sa razliitim sabircima jednak broju particija sa neparnim sabircima. 14. Odrediti funkciju generatrisu za brojeve particija koje sadre tano k sabiraka. 15. Neka je R(n) broj relacija ekvivalencije koje se mogu definisati u skupu od n elemenata. Tada je

( ) ( )0

1 , 0,1,2,...,n

i

nR n R i n

i=

+ = =

gdje je R(0)=1. 16. Odrediti broj kontura sadranih u potpunom grafu Kn sa n vorova.

Rezultat. 3

! .2

n

i

n ii i=

44

3. ISKAZNA ALGEBRA

3.1. DEFINICIJA ISKAZNE ALGEBRE

U skupu B ={0, 1} (o kome je bilo rijei u odeljku 1.1.) definiemo unarnu operaciju i binarne operacije , , , , pomou sledee tablice:

Ove operacije redom nazivamo: negacija, disjunkcija, konjunkcija, implikacija, ekvivalencija i ekskluzivna disjunkcija.

Na primjer, vae jednakosti: 1 0,1 0 1,1 1 = = itd.

Definicija 1. Ureen par (B, F), gde je B={0, 1} i F={ , , , , }, naziva se iskazna algebra. Drugim rijeima, skup B snabdjeven operacijama , , , , naziva se iskazna algebra.

Primjetimo da su nazivi i oznake operacija u iskaznoj algebri isti kao nazivi i oznake operacija sa reenicama koje smo opisali u odjeljku 1.1. Ovo je, strogo govorei, neprecizno, ali je pogodno u izvjesnom smislu i ne moe da dovede do zabune ako se pojmovno pravi razlika izmeu, na primjer, konjunkcije reenica i konjunkcije u iskaznoj algebri i ako se simboli u svakom konkretnom sluaju pravil-no interpretiraju.

Iskazna algebra je konstruisana tako da odraava odnose vrijednosti istinitost i sloenih reenica sa vrijednostima ist in itost i dijelova od kojih je ona sastavljena. Ako * oznaava jednu binarnu operaciju iskazne algebre, odnosno odgovarajuu operaciju sa reenicama, vai relacija (1) ( ) ( ) ( ),P Q P Qt t t* = *

gdje su P i Q reenice a R vrednost istinitosti reenice R, to se neposredno provjerava na osnovu definicije operacija. Takoe za unarnu operaciju (negaciju) vai ( ) ( ).P Pt t = Primjetimo da je u relaciji (1), simbol * upotrebljen u dva razliita smisla.

Oznaimo odgovarajuim malim lat inskim slovom vrijednost istin itosti jednog suda koji je oznaen velikim latinskim slovom, tj. neka je, na primer, P=p. Vrijednost ist in itost i, recimo, konjunkcije P Q je jednaka p q. Na slian nain, i za sloenije reenice vrijednost istin itosti dobijamo ako veliko slovo u zapisu reenice zamjenimo odgovarajuim malim slovom. Na primjer, vrijednost istinitosti reenice ( ) ( ) je .P Q R p q r

45

3.2. ISKAZNE FORMULE, TAUTOLOGIJE

Definisaemo simbole i formule iskazne algebre. U simbole iskazne algebre spadaju iskazna slova, simboli operacija ( , , , , , ) i zagrade

(otvorena zagrada (i zatvorena zagrada) . Iskazna slova su izvjesni dogovorom usvojeni simboli: p ,q , r ,p 1 ,q 1 , r 1 .. .

Izvjesne nizove sastavljene od iskaznih slova, operacijskih simbola i zagrada nazivamo iskaznim formulama.

Definicija 1. 10 Iskazna slova su iskazne formule 2 Ako su nizovi simbola A i B iskazne formule, tada su iskazne formule i A, (A B), (A B), (A B), (A B), (A B), 3 Iskazne formule mogu se obrazovati jedino pomou konanog broja primjena odredbi 1 / 2.

Primjer 1. Iskazne formule su, na primjer, sledei nizovi simbola iskazne algebre: p, q, (p q), (( p q) ( )r q ).

Iskazne formule se mogu interpretirati na vie naina. Sada navodimo dve mogune interpretacije a o drugim interpretacijama e biti rijeii kasnije.

1, Ako iskazna slova interpretiramo kao promjenljive u iskaznoj algebri (tj. kao promjenjive koje uzimaju vrijednosti iz skupa B) a simbole , , itd. interpretiramo kao operacije u iskaznoj algebri, onda formule predstavljaju algebarske izraze iskazne algebre. Ako se u formuli fiksiraju vrijednosti svih promjenljivih i izvre naznaene operacije dobija se vrijednost formule, koja, naravno, moe biti 0 ili 1. Na primjer, vrijednost poslednje formule iz primjera 1 za vrijednosti promjenjivih p=q=r=l je (( 1 1) (l 1))=((0 1) l)=(l 0)=0.

2, Ako iskazna slova p , q , r , , . . . interpretiramo kao sudove P, Q, R,.. . a operacijske si