diseño a torsión según la norma nsr-98*

Diseño a torsión según la Norma NSR-98*

Pedro Therán Cabello"

Resumen

Las Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo~Resjstente, NSR-98, adoptaronpara el diseño a torsión el modelo del tubo de pared delgada / cercha espacial plástica.

Este nuevo método es más sencillo de entender y aplicar y es igual de preciso que otrosmétodos más complejos. En este artículo se presentan las teorías que ftmdamentan este métodoy el procedimiento para su aplicación.

El método considera que las secciones sólidas o huecas de los elementos de hormigónreforzado se comportan como tubo, y después del agrietamiento, el tubo es idealizado como unacercha espacial constituido de estribos cerrados, barras longitudinales en las esquinas ydiagonales de compresión de concreto centrados en los estribos.Palabras claves: Torsión, estribos, cerrado, cortante, cercha espacial, modelo deltubo, agrietamiento, pared, momento, membrana, viga.

Abstrae!

Colombian Standards for Seism -Resistant Design and Building, NSR-98, adopt the modelof thin wall / plastic spatial truss tube for lorsion designo

This /lew method is easier lo llndersland and lo apply than other more complex methods.Some theories in which t1lis method is based l/pon and the procedllres for its application areprovided in llLis paper.

Tlzc metllOd considers that solid or hollow sections of reinforced concrete elements behaveas a tl/be, and after cracking tube is idealizcd like a space tmss made l/p 01blind abutments,longitlldinal beams in comers and concrete compressiol1 diagonals centercd in abl/tments.Key words: Torsion, blind abutments, spatial truss, model of tube, cracking, wall,momentum, membrane, beam.

1. INTRODUCCIÓN>1- Basado en el artículo «Diseño a Torsión según

la Norma NSR-98¡>,del mismo autor, publicado enla Revista Ingeniería, N" 35, de la Sociedad de Inge-nieros del Atlántico.

>1->1- Ingeniero Civil, especialista en Análisis yDiseño de Estructuras de la Universidad del Norte.Profesor de Análisis Estructuralde la misma univer-sidad. (E-tIlai!: [email protected]/Jillorfe.edll.co).

La acción de un momento alrededor deleje longitudinal de un miembro produceen él torsión. En una estructura, la tor-sión se presenta por la excentricidad delas cargas que actúan en el elemento o

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mailto:[email protected]/Jillorfe.edll.co.

por compatibilidad de deformacionesde miembros monolíticos.

Torsión primaria

Llamada también «torsión de equili-brio» o «torsión estáticamente determi-nada». Se presenta cuando la carga ex-terna no tiene más alternativa que serresistida por torsión. Un caso típíco es lalosa en voladizo de la figura 1. Lascargas soportadas por la losa producenmomentos torsionales MI. que actúan alo largo de la longitud de la viga deapoyo; éstos se equilibran mediante elmomento torsor resistente T quese desa-rrolla en las columnas. Sin estos mo-mentos de torsión, la estructura entraráen colapso. En este caso, la viga se debediseñar para resistir el momento tarsio-nante externo total. Debido a la losa envoladizos, no existe redistribuciónde latorsión.

Torsión secundaria

Se denomina también «torsión por com-patibilidad» o «torsión estáticamenteindeterminada». Se presenta a partir delas exigencias de continuidad, es decir,de la compatibilidad de deformacionesentre elementos adyacentes de unaestructura (ver figura 2). En este caso,los momentos torsionales no puedendeterminarse únicamente con base en elequilibrio estático. En el evento de noconsiderar la continuidad en el diseño,a menudo se presentará un agrietamien-to excesivo, pero no se llegará a la fallade la estructura.

Cuando las viguetas o losas macizasson monolíticas con las vigas extremaso terminales de un panel, presentanmomentos flectores. Debido a la conti-nuidad con la viga y la rigidez que estasvigas tienen al giro se produce torsión.

Tí:--;\MI --0~

/' -~

T /, /' Losaf y

,/ Viga

Columna

Figura 1. Torsión primaria o de equilibrio en una losa en voladizo

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Si la viga de borde tiene suficiente ri-gidez a la torsión y está reforzada ade-cuadamente y si los apoyos pueden de-sarrollar el momento torsor resistenteT, entonces los momentos en la losaserían aproximadamente los de unapoyo exterior rígido. Sin embargo, si laviga tiene una rigidez baja a la torsión yestá reforzada deficientemente porefectos torsionales, se presentará agrie-tamiento, que reducirá aún más la rigi-dez torsional.

Normalmente no se tienen en cuentalos efectos torsionales secundarios en eldiseño cuando los esfuerzos torsionalesson bajos y cuando los estados alternosde equilibrio son posibles. Otras vecesno se contemplan en el diseño porque eldiseñador no sabe determinados. Porfortuna, en este caso generalmente existela posibilidad de una redistribución

T

Viga

Columna

interna de esfuerzos que encuentran unequilibrio.

Análisis de Torsión

Por más de sesenta años, el análisis detorsión de miembros de concreto se habasado en:

a) La teoría clásica de la elastícidad,desarrollada a través de fórmulas ma-temáticas en conjunto con la analogíade la membrana (de Saint Venant). Obien

b) En la teoría de la plastícídad, repre-sentada por la analogía del montón dearena (de NADA!).

Ambas teorías se aplicaron princi-palmente al estado de torsión pura. Sinembargo, se encontró en forma experi-

44

Figura 2. Torsión secundaria o de compatibilidad en una viga de borde

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mental que la teoría plástica no es deltodo satisfactoria para la correcta de-terminación del estado de esfuerzos enel concreto sujeto a torsión pura. Noobstante, en la aproximación plástica esdonde el comportamiento del concretose encontró mejor representado. Poreso, casi todos los desarrollos en torsiónpara concreto simple y reforzado hantomado este camino.

Estas teorías pueden ser estudiadasen las literaturas especializadas sobre eltema.

2. METODOS DE DISEÑO PARATORSIÓN

Normalmente, la torsión va acompa-ñada por flexión y cortante. La capaci-dad del concreto simple para resistirtorsión cuando se presenta en combina-ción con otras cargas puede, en varioscasos, ser menor que cuando resisteúnicamente los mismos momentostorsionales externos. Así, se deberá pro-porcionar refuerzo por torsión.

La inclusión del refuerzo longitudi-nal y transversal para resistir parte delos momentos torsionales introduce unnuevo elemento en el conjunto de fuer-zas y momentos en la sección.

Si:

Tn = Resistencia nominal total a latorsión requerida de la sección incluyendo elrefuerzo.

Tc = Resistencia nominal a la torsión del

concreto simple.

Ts = Resistencia a la torsión del refuerzo.

De donde:

Tn = Tc + Ts

o bien:

Ts = Tn - Tc

A fin de estudiar la contribución delas varillas longitudinales y transver-sales para poder evaluar T" se deberáanalizar el sistema de fuerzas que actúanen las secciones transversales alabeadasdel elemento estructural en el estadolímite de falla.

En la actualidad se aceptan bási-camente dos teorías:

a) Teoria de la flexión asimétrica, la cualse basa en la aproximación de la distri-bución plana de deformaciones de lassecciones transversales sujetas a flexióny torsión.

Fue desarrollada por Lessig, con con-tribuciones posteriores de Collins, Zia,Gesund, Mattock y Elfgren, pero fue T.Hsu quien hizo la mayor contribuciónexperimental en el desarrollo de la teoríade la flexión asimétrica. Esta teoría sentólas bases para el diseño a torsión de lasnormas del ACI 318-71 hasta el ACI318-89 Y del Código Colombiano deConstrucciones Sismo-Resistentes.

Por tratarse de una teoría amplia-

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mente conocida por los ingenierosdiseñadores, no se tratará aquí.

b) La segunda teoría está basada en elmodelo del tubo de paredes delgadas/cerchaespacial plástica, similar al de la analogíade cercha plástica utilizada para eldiseño de cortante.

Esta teoría, presentada por Lampert,Lampert y Thurlimann, y Lampert yCollins, sentó las bases para los requi-sitos de diseño a torsión del CódigoCanadiense, del Comité Euro-Interna-cional du Béton, del reglamento ACI318-95yde la Norma Colombiana NSR-98.

600

3. MÉTODO DEL TUBO DE PAREDDELGADA/CERCHA ESPACIALPLÁSTICA

Este método es el adoptado por el regla-mento ACI 318-95 Y por las NormasColombianas de Diseño y ConstrucciónSismo-Resistente y otros códigos más.El cambio es propuesto principalmenteporque este método de diseño es consi-derablemente más sencillo de entendery aplicar y es igual de preciso.

El nuevo método también puede serusado para concreto pre-esforzado, te-ma no tratado por el ACI 318-89.

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o

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8'00

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codl¡o ACI 11189

• Solido

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oO '00 roo 300 .00 600

46

x,,. .••.Uy/. Klp-ln

Figura 3. Comparación de la resistencia torsional de seccionessólidas y huecas (de la re! 3)


Existen varios procedimientos dediseño a torsión que son «precisos» peromás complejos de entender y aplicar.

3.1. Teoría básica

Tanto las secciones sólidas como huecasson consideradas corno tubos. Los datosde pruebas representados en la figura 3sugieren que una vez ocurre el agrieta-miento, el concreto en el centro delmiembro tiene poco efecto en el com-portamiento torsional de la seccióntransversal, y puede ser ignorado.

Esta observación es la base de losprocedimientos de diseño para torsiónque seguiremos más adelante.

Después del agrietamiento, el tuboes idealizado como una cercha espacialconstituido de estribos cerrados, barraslongitudinales en las esquinas y diago-nales de compresión de concreto centra-das en los estribos. Las diagonales sonidealizadas como las existentes entregrietas, las cuales están en un ángulo 8.Generalmente se toma como 45' paravigas de concreto reforzado, como semuestra en la figura 4(a).

3.2. Esfuerzos cortantes en tubos depared delgada

En los textos de mecánicas de materialesse encuentran las teorías sobre esfuerzosde cortante, t,para miembros huecos de

(.1_ •••••••• _ •••••••

Iv,

(10)_ •••••••• _

-----Figura 4. Tubo de pared delgada/ cercha especial (de la re! 6)


pared delgada debida a la tarsión, ycuya expresión es la siguiente:

T'f=--A,t

2

Dande T es la tarsión; Aoes el áreaencerrada par una línea alrededar deltuba en el espesar media de la pared; tes el espesar de la pared del tuba.

Para seccianes transversales sólidases necesaria definir el espesar de lapared del tuba equivalente de pareddelgada. Antes del agrietamienta, el es-pesar de la pared es definida cama unafunción del área y del perímetra de lasección de cancreta que n.oestá agrie-tada. Después del agrietamienta, laresis-tencia a la tarsión viene de las estribas,de las barras langitudinales y de la pieldel cancreta. Aoes empíricamente tama-da cama 0.85 veces del área Ao",y t estamada cama Aoh/P'"que es el períme-

tra de la línea central de las estrib.oscerradas.

3.3. Derivaciones de las ecuaciones dediseño a torsión

Las grietas debida a la tarsión san in-clinadas y tienden a extenderse alre-dedor del elemento en farma de espiral(ver la figura 5). Después del agrieta-mienta, una viga rectangular sujeta atarsión pura puede ser idealizada comase muestra en la figura 4(b). La viga esmoderada cama una cercha espacialcanfarmada par barras langitudinalesen las esquinas, estribos cerradas y dia-ganales de campresión de cancreta, lascuales van en espiral alrededar delmiembro, entre las grietas tarsianales.El ancha y el alta de la cercha, X, y Yo,respectivamente, medidas centro acentro de las ladas de las estribas cerra-das. El ángula de la grieta es 8, el cualinicialmente es cerca de 45· para vigasde concreta refarzada.

rcr

48

Figura 5. Grieta en espiral producida par la tarsión de agrietamienta T".

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3.3.1. Area de estribos

La fuerza cortante por unidad de lon-gitud de perímetro, en cualquier puntoen el perímetro del tubo, se refiere alflujo de cortante, q, que es dado por:

Tomando momento con respecto auna esquina de la cercha, tenemos latorsión interna:

(E-4)

Flujo de cortante q

Tq=rt=--

2A"

(E-l)

--\\

q \

\

t·

Figura 6. Flujo de cortante de magnitud constante

La fuerza total de cortante debido ala torsión a cada lado del elemento es qveces la longitud del lado. Así, en loslados superior e inferior el cortante es:

TX"VI =V3=--

2Ao(E-2)

Sustituyendo por VI y V,ecuaciones E-2 y E-3 tenemos:

(TX" ) ( TY" )

T= 2A" Y,,+ 2A" X"

o

de las

(E-S)

Similarmente, el cortante debido atorsión para cada uno de los ladosverticales es:

2T(X"Y,)T= - __

2A,(E-6)

V,=V4=TY"

2A"(E-3)

Pero, por definición, XoYo= Ao.Asíse ha demostrado que las fuerzasinternas VIy V, equilibran el momentoaplicado, T.

Ingeniería & Desarrollo. Universidad de:l Norte. 5: 42-65, 1999 49

l·

s

.1Figura 7. Fuerza en los estribos

Una parte de uno de los lados verti-cales se muestra en la figura 7. La grietainclinada corta n estribos, donde:

ción E-3 Ytomando T igual a la capacidadde momento torsional nominal, Tll,tenemos:

Y,CotOn= ---

s(E-7)

2A,A,f""CotOTn= ------

s(E-9)

(NSR.C.11-28)

Asumiendo que todos los estribosllegan a la fluencia, tenemos:

Donde S es el espaciamiento de losestribos. La fuerza en los estribos quepasa la grieta debe ser equilibrada porV,.

A,jy,Y,CotOV2= -----

s(E-8)

Después del agrietamiento, la resis-tencia torsional es producida por el tuboformado por las paredes de la cerchaespacial.

La NSR-98 permite que el área Ao setome como 0.85 de AOh. Donde Aoh es elárea definida por el centro del refuerzotransversal para torsión que se encuen-tra más afuera en la sección de concreto.

Donde El puede tomarse entre 30" y60".Para concretos reforzados se sugiereque se tome igual a 45".

f Y" es el esfuerzo de fluencia de losestribos. Reemplazando V, en la ecua-

T. Hsu nos da unos valores másexactos de t y Ao como:

4T,T= -- (E-lO)

A,j',

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(2T,P,p)

Ao=Acp:;;; ---

Acp f',(E-ll)

tangular, como se muestra en la figura 4(b), la fuerza longitudinal total es:

3.3.2. Refuerzo longitud in al N =2 (NI +N,) (E-14)

Sustituyendo las ecuaciones E-2, E-3YE-13 y tomando T igual a Toobtenemos:

Donde 2 (Xo+ Yo) es el perímetro delestribo cerrado, Ph. El refuerzo longi-tudinal debe ser provisto para la fuerzalongitudinal N.

Como se muestra enla figura 8, la fuerzacortante V, puede ser resuelta dentro dela fuerza compresiva diagonal, D" pa-ralela a los puntales inclinados de com-presión y una fuerza de tensión axial,N,. Donde D, y N, son dadas por:

(E-12)CosO

T,N= -- 2(X,+Y,)CotlJ

2A,(E-15)

~Vz

Nz

N, = V,CotO (E-13)

Figura 8. Lado de la cercha espacial

A¡f,,1 = N

Asumiendo que este refuerzo fluye,con un esfuerzo de fluencia f yl tenemos:

Debido a que el flujo de cortante, q,es constante a lo largo del lado del ele-mento en un tubo de pared delgada, D,y N, actúan en el centroide del lado.Para una viga con barras longitudinalesen las esquinas arriba y abajo del lado 2,la mitad de N, será resistida por cadabarra de esquina. Para un miembro rec-


o

__ CotO (E-16)

51

Por conveniencia en el diseño, A¡puede ser expresado en términos delárea de los estribos torsionales. Susti-tuyendo la ecuación E-9 en la ecuaciónE-16 tenemos:

(Al) (f!JV) ,A, = S Ph fy¡ Col (J (E-17)

(NSR C.l1-Z9)

Debido a que las fuerzas NI, N" N, YN, actúan en el centroide de los lados, lafuerza total, N, actúa a lo largo del ejecentroidal del elemento. Por esta razón,el refuerzo longitudinal torsional debeser distribuido alrededor del perímetrode la sección transversal, de maneraque el centroide de las áreas de las barrascoincida aproximadamente con el cen-troide del miembro, en cada esquina delestribo cerrado se debe colocar unabarra.

quiere más estribos que los requeridospor elCódigoACI318-89. Para vumayorque este valor, el nuevo método requieremarginalmente menos estribos que elACI 318-89.

3.3.4. Máximo cortante y torsión

Un miembro cargado por torsión o porcombinación cortante y torsión puedefallar por fluencia de los estribos y elrefuerzo longitudinal o por el aplasta-miento del concreto debido a las fuerzasdiagonales de compresión O" que semuestra en la figura 8. La limitación delos esfuerzos de cortante y torsión en elACI 318-89 se derivaron originalmentepara limitar los anchos de las grietas, yenel nuevo método también se conservaeste propósito.

• Límite del ancho de la grieta

El esfuerzo cortante v debido al cor-tante directo es Vu/ bwd.De la ecuación~ = T / ZA",con Audespués del agrie-tamiento torsional tomado igual a 0.85A,,"Y t =A," / ph, el esfuerzo,~, debidoa la torsión es T"p¡/(l.7A'uh). En una vigacajón, éstos son directamente adiciona-dos alIado A en la figura 9 y el límite esdado por:

3.3.3. Cortante y torsión combinadas

En ·los códigos ACI anteriores a 1995,una parte tanto a cortante, Ve, como atorsión, Te, eran tomados por el concretoy en gran medida las fórm ulas .erancomplejas. En el nuevo método dediseño, Ve se asume que no es afectadopor la presencia de la torsión, y T, siem-pre es tomado igual a cero, o sea quetoda la torsión es tomada porel refuerzo,Ts. Esto simplifica muchísimo loscálculos.

[T"Ph] lV¡¡+ --2 ::;fJ Vc+l.7A ul,

2 ~f" j (E-18)

(NSR C.ll-Z6)Comparaciones de diseño realizadas

por el comité ACI 318 muestran quepara V"bajo y Tualto con v" menor que0.80 (<1> z0f'c) psi, el nuevo método re-

Si el espesor de la pared varía alre-dedor del perímetro de la sección hueca,la ecuación E-18 debe evaluarse en los

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&tueno ton;ona)

E8tuerzo tonlona)

(al Sección hueca

(b)Secció'naólida

Estuen"" de cortante

Eduerz"" de corumu.

Figura 9. Esfuerzos de cortantes debido a la torsión y el cortante

3.3.5. Límite de aplastamiento del alma

J' [T'Ph J' [ zvr'JV,+ 2 ~e V,+ -- (E-19)1.7A oh 3

(NSR C. 11-Z5)

La falla también puede ocurrir debidoal aplastamiento del concreto del alma acausa de las fuerzas de compresión en elpuntal entre grietas. La fuerza de com-presión diagonal en un lado vertical delelemento de la figura 8 es dado por laecuación E-IZ. Esta fuerza actúa en unancho Yo,cos e, como se muestra en lafigura 8. El esfuerzo de compresión queresulta es:

puntos donde el término del lado iz-quierdo sea un máximo. Si en las sec-ciones huecas, el espesor de la pared esmenor que AOh/ Ph,el segundo términodel lado izquierdo de la ecuación E-18debe tomarse como T,/1.7Aoh t. Dondet es el espesor de las paredes de lasección hueca en la localización dondese están verificando los esfuerzos.

Para una sección sólida, los esfuerzosde cortante debido al cortante directoson asumidos para estar distribuidosuniformemente a través del ancho de lasección, mientras que los esfuerzoscortantes torsionales existen solamenteen las paredes del tubo de pared del-gada, como se muestra en la figura 9 (b).En este caso, la suma directa de los dostérminos tiende a ser conservadora, y seusa la suma de raíz cuadrada:


fCd:;;;

v,tY,Cos6Sen6

(E-ZO)

S3

Los esfuerzos de compresión debidoal cortante pueden ser calculados deforma similar:

Sustituyendo la ecuación ~ = T12A",de nuevo tomando Ao igual a 0.85 AOhyt aproximadamente como AOhIph, tene-mos feddebido a torsión:

v"101 = ------b"dcoseSene

4. LíMITEINFERIORPARAELCUALLA TORSIÓN DEBE SER CONSIDE-RADA

Dos simplificaciones se hicieron parala derivación de la ecuación E-24. Pri-mero, el cálculo de feden la ecuación E-22 involucra la proftmdidad efectiva, d,mientras el cálculo de feden la ecuaciónE-20 utiliza la altura de la pared, Yo, elcual es alrededor de 0.9 d. Segundo,todo el cortante fue asumido para sertransportado por la acción de la cercha,sin el término Vc.

(E-21)

(E-22)

V2

21.7A ""cose senef"<I=

y para secciones sólidas:

/,,/:=~

)' ( )'VII TIIPll

b",d CosO Selle + 1.7A'""Cosl1

(E-23)

No se requiere refuerzo por torsión si lagrieta torsional no se presenta. En latorsión pura, el esfuerzo principal detensión, al, es igual al esfuerzo decortante,~, en el punto dado. Así, de laecuación ~ = T I 2 AOhtenemos:

Para aplicar esto a secciones sólidases necesario definir el espesor de lapared del tubo equivalente antes delagrietamiento. El Código Canadienseasume que antes del agrietamiento, elespesor de la pared, t, es igual a 3 Apl4 P'p, el área Ao, encerrada por la líneacentral de las paredes del tubo, se tomacomo 2 Aep/3. Sustituyendo en la ecua-ción E-25 tenemos:

El valor de fedde la ecuación E-23 nodebe exceder el esfuerzo de aplasta-miento del concreto agrietado del alma,feo.Collins y Mitchell han relacionado feoa las deformaciones en el esfuerzo lon-gitudinal y transversal, E = 0.002, igualal esfuerzo de fluencia del acero de60000psi. Estos investigadores predicenque f,,=0.549 f, (psi). Estableciendo feden la ecuación E-23 igual a 0.549 f, yevaluando cose sene para e = 45", ellímite superior del cortante y la torsiónestablecida por medio del aplastamientodel concreto del alma se convierte en:

Tal = .•= --

2Aol(E-25)

J( ) ( )'Vu TupIr-- + --~ ~e(0.275r,)b".d 1.7A:" (E-24)

(E-26)

Se considera que el agrietamiento

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torsional ocurre cuando el esfuerzo prin-cipal de tensión alcanza la resistenciade tensión del concreto en tensión-com-presión biaxiaI, tomándolo como 40(psi). Así, la torsión en el agrietamientoes:

de torsión de agrietamiento. Esto sugiereque las vigas con resistencia de concretoy acero similares cargadas a torsión puradeberían tener una relación volumétricamínima de refuerzo del orden de 0.90 a1.00 por ciento. Por lo tanto,

(E-27) --+A,pS A,I'S

~ 0.01 (E-29)

Se toma la resistencia a tensión como4 JjZ, en vez de 6 JjZ, porque la acciónde la compresión biaxial y tensión redu·cen la resistencia a tensión.

o

(E-3D)

5. REFUERZO MÍNIMO A TORSIÓN

El esfuerzo mínimo de estribos cerradospara cortante y torsión exigido en estenuevo procedimiento es el mismo queeICódigoACI318-89. Para torsión pura,esto es equivalente a:

En ensayos realizados por T. Hsu enmiembros de sección rectangular de con-creto reforzado sujetos a torsión pura,dos vigas fallaron en la carga de agrie-tamiento torsiona!. En estas vigas, larelación total del volumen de los estribosy esfuerzo longitudinal al volumen delconcreto fue de 0.802 y 0.88 por ciento,respectivamente. Una viga con relaciónvol umétrica de 1.07 por ciento falló a las1.08 veces la fuerza de torsión de agrie-tamiento. Todas las otras vigas teníanproporciones de refuerzo de 1.07 porciento o mayor, y fallaron a fuerzas detorsión excedidas de 1.2 veces la fuerza

Si se asume que la constante 0.01 esuna función de las resistencias de losmateriales, la ecuación E-3D puede serreescrita corno:

7.5~

(E-31)

El ACI, desde el Código de 1971 y deaños subsiguientes, suministró una tran-sición entre el acero requerido por laecuación A/n¡ill para torsión pura y elmenor refuerzo mínimo requerido paravigas sujetas a cortante sin torsión. Estose logrómultiplicandoel primer términodel lado derecho de la ecuación E-3Dt /(t + v). Durante el proceso de balota delComité para aprobar el nuevo procedi-miento, los profesores Mattock y Hsudesarrollaron expresiones simplificadasque aproximaron t/(t+ v) como unafunción de t solamente, y como unafunción de v solamente, respectiva-mente.

(E-28)25bwS

Al/l/in =fy"

Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 5: 42-65, 1999 S5

Hsu mostró que el rango práctico decomportamiento de vigas con A/, satis-faciendo la ecuación E-17 podía ser re-presentado tomando 1/ (1+ v) igual a2/3, lo cual dio la ecuación siguientepara el refuerzo longitudinal:

5~Ap (Al) (/"'\Al = Iy/ 5 Ph Iy/ J (E-32)

Comparaciones con los resultadosde las pruebas de vigas de concretopreesforzadas indican que la misma can-tidad de refuerzo mínimo longitudinales necesario en las vigas preesforzadas.

6. PROCEDIMIENTO DE DISEÑOSEGÚN LA NORMA NSR-98

A continuación se presenta un procedi-miento para diseño a torsión basado enlos requisitos de la Norma NSR- 98.

a) Obtenga las envolventes del cortante,de los momentos de flexión y torsióny sus respectivos diagramas para ca-da elemento.

b) Seleccione b, d Yh basándose en losmomentos de flexión pero teniendoen cuenta el cortante y la torsión.

c) Determinesila torsión debe ser consi-derada.

Tu <pcp

Los efectos de torsión pueden des-preciarse si se cumplen con los requisi tosCll.6.1. de la Norma NSR-98.

d) Verifique si la sección del elementoes adecuada.

Las dimensiones de la sección debenser tales que cumplan las siguientesrelaciones:

d-l) Para secciones sólidas:

, [T'Ph J L 2 ~~Iv,) + ,~v,+ - Vj'c1.7 A,,, 3_

(Cll-25)

d-2) Para secciones huecas:

[T'PhJ [ 2 jv,+ --,- '::;121 vc+-VfC1.7A ," 3

(Cll-26)

e) Calcule el refuerzo requerido porflexión y el área de refuerzo reque-rido por cortante. Elárea del refuerzopor cortante debe expresarse en tér-minos de A,/s (área de acero deestribo por unidad de longitud) paraser combinado con el área del refuer-zo de estribos requerido por torsión.

S 01""No está de más recordar que en este

paso se deben verificar los requisi tos dela Norma para diseño a cortante,

f) Determine el área de acero para es-tribos requerido por torsión en tér-minos de A,/ s.


Donde A, debe determinarse poranálisis y 9 no debe tomarse menor de30' ni mayor de 60', se permite usar 9 =45' para elemento de concreto reforzado,Iy~ '5, 420 MPa y A, = 0.85 AOh.

g) Combine el área de acero requeridapara cortante y torsión y escoja sudiámetro. Exprese A,/ s en términosde A, / s. Para un estribo con dosramas tenemos:

A, ( A~) ( ZA,)S (Tata/)= S + S

El espaciamiento del refuerzo trans-versal por torsión no debe exceder elmayor de ph/8, ni 300 mm.

h) Chequee el área de acero mínimo deestribos cerrados:

Av ZAI b¡v= e--

s s 31'0

i. Calcule el área del refuerzo longi-tudinal por torsión:

Cat'e

Donde 9 debe tener el mismo valorutilizado en el paso (f) y A./s el valorcalculado en el paso (f).

El área mínima total de refuerzo lon-

gitudinal será:

I!f"

Iy/Donde Al,,;, no puede ser menor que

cero, a A,/ s debe corresponder a lacantidad pormediodelaecuaciónC11-28 de la Norma NSR-98, pero no menosque (1/6) bw/fy.

El refuerzo longitudinal por torsióndebe distribuirse uniformemente alre-dedor del perímetro de la sección trans-versal.

j) Este paso es opcional. El diseñadorpuede reducir el área de refuerzolongitudinal para torsión en la zonade compresión por flexión en unacantidad equivalente a M"/ (0.9 Iy/).Para mayor claridad, ver Cll.6.3.9.

k) Combine el refuerzo longitudinal portorsión y flexión y seleccione el diá-metro de las barras.

1) Haga el despiece del refuerzo (ver elcapítulo C 12).

7. CONSIDERACIONES PARA ELDISEÑO A TORSIÓN SEGÚN LANORMA NSR-98

El diseño se debe hacer contemplandolos efectos de flexión, cortante, torsión,carga axial y los demás esfuerzos que sepresenten en un miembro y que puedanafectar sus estados límites.

Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 5: 42-65, 1999 57

Las ecuaciones básicas de diseño son:

lj> Vn ~ Vulj> Mn ~ Mulj> Tn ~ Tulj> Pn ~ Pu

a) Selección de la sección transversal

La selección de la sección transversal deun elemento debe hacerse pensando enfactores económicos, constructivos, esté-ticos, funcionales y de resistencia.

b) Sección crítica para el diseño atorsión

Las secciones de elementos no prees-forzados localizadas a una distanciamenor que la de la cara del apoyo, pue-den diseñarse para la torsión T" calcu··lada a una distancia d. Siexiste un torqueconcentrado dentro de esta distancia, lasección crítica para diseño a torsión debeser la de la cara del apoyo.

(a)

Las secciontó críticas para el diseñoa cortante según C. 11 .1 .3.

c) Definición de A,p y P'p

A,p es el área limitada por el perímetroexterior de la sección de concreto; in-cluye el área de los huecos para unasección con huecos.

P'p es el perímetro exterior de la sec-ción de concreto A,p.

En el capítulo C. 11 de la NormaNSR-98 se presentan los requisitos paradeterminar A,p y P'p'

d) Definición de AOh

Aoh es el área definida por el centro delrefuerzo transversal para torsión que seencuentra más afuera en la sección deconcreto.

D(b)

(e) (d)

58

Figura 10. Ejemplos para obtener Aoh


Ao es el área bruta definida por latrayectoria del flujo de cortante.

e) Recomendaciones para el refuerzo

Elrefuerzo longitudinal para torsióndebe desarrollar adecuadamente suresistencia a tracción en sus dos extre-mos.

3 !'"

(e)

(C.U-3D)

En las secciones huecas sometidas atorsión, la distancia medida desde elcentro del refuerzo transversal hasta lacara interna de l.a pared no debe sermenor que D.5Aoh/ph.

f) Refuerzo mínimo para torsión

Donde se requiera esfuerzo para torsión,el área mínima de estribos cerrados debecalcularse por medio de la siguienteecuación:

El área mínima total de refu.erzolongitudinal para torsión debe calcu-larse por medio de lasiguiente ecuación:

(b)

---Confinamiento

(a)

El refuerzo para torsión debe consistiren refuerzo longitudinal en barras otendones; los estribos deben ser cerra-dos, colocados perpendicularmente aleje del elemento o una caja cerrada demalla electrosoldada con los alambrestransversales perpendiculares al ejedelelemento, o en vigas no preesforzadas,refuerzo en espiral.

Elrefuerzo transversal debe anclarseutilizando un gancho de 1350 alrededordel refuerzo longitudinal, o en las re-giones donde el concreto que rodea elanclaje está restringido contra el descas-caramiento por medio de una ala de lasección o una losa, siguiendo los requi-sitos de C.12.13.2.1, C.12.13.2.2. oC.12.13.2.3.

Figura 11. Anclajes recomendados de los estribos cerradosa) Loseta de confinamiento a una ladob) Loseta de confinamiento a ambos ladosc) Viga aislada

Ingenierla & Desarrollo. Universidad del Norte. 5: 42-65, 1999 59

•

•••

(a) (b)

Figura 12. Anclajes de los estribos no recomendados

(e)

g) Espaciamiento del refuerzo paratorsión

El espaciamiento del refuerzo transver-sal para torsión no debe exceder el mayorde ph / 8, ni 300 mm.

Donde Al"," no puede ser menor quecero y At/s debe corresponder a lacantidad calculada por medio de laecuación C. 11-28, pero no menos que(1/6) bw /fy~.

A,min=5 fe A"

12J."_(Al) Ph ¡yv

S jy,(C.11-31)

haber al menos una barra longitudinalo tendón en cada esquina del estribo.Las barras deben tener un diámetro porlo menos igual a 1/24 del espaciamientoentre estribos, pero no pueden ser me-nores de barra N° 3 o la mm.

El refuerzo de torsión, tanto longitu-dinal como transversal, debe llevarsepor una distancia mayor o igual a (b, +d) más allá del punto donde ya no senecesite teóricamente. b, es el ancho deaquella parte de la sección transversaldel elemento que contiene los estriboscerrados que resisten la torsión.

Bibliografía

El refuerzo longitudinal requeridopara torsión debe distribuirse alrededordel perímetro de los estribos cerrados,con una máxima separación entre barrasde 300 mm. Las barras longitudinales, otendones de preesfuerzo, deben colo-carse por dentro de los estribos. Debe

1. AIS, Normas Colombianas de Diseño y Cons-trucción Sismo-Resistente, 1998.

2. ACI Committee 318. Building Code Reque-riment for Slructura/ Concrete (ACr 318-95) andCommenlary (ACr 318R-95). American ConcreteInstilute, 1995.

3. HSU T.e. Thomas. Torsion of Slructura/Concrete-Behavior ofReinforced Concrete Rectan-gular Members, Torsion of Strudural Concrete.


Solución

1. Determinación de las dimensionesde la viga y sus propiedades

Se tiene un muro, a lo largo de la vigacuya carga es de 4.00 kN / m aplicada enel eje de la viga.

ACI Publication SP-18, American ConcreteInstitute, 1968.

4. LEET Kenneth y BERNAL, Oionisio.Reinforced Concrete Design. 3&ed. McGraw-HillIntemational Editions, 1997.

5. McGREGOR G., James. Reinlorced Con-crete Mechanicsana Design. 3aed. Prentice-Hall,1998.

6. McGREGOR G., James y GHONEIM G.«MasllOur Design for Torsion». ACI Structural¡ournal, vol. 92, marzo-abril, 1995.

7. NA WY G. Edward. Reinlorced Concrete aFundamental Approaclz. 31\ ed. Prentice Hall,1996.

8. NILSON, H. Arthur Design 01 ConcreteStntctllres. McGraw-Hill, 1997.

CONCRETO

ACERO

F 'c = 21 MPa

F, = 420 MPa

ANEXO

Ejemplo

Diseñar la viga considerando la torsión

DATOS

L 3.600hmlnimo = - = -- = 450mm

8 8

Tomar h = 500 mmProbaremos con b = 300 mmTomaremos un recubrimiento libre

al estribo de 36 mm.

~

Xo=216,46 rnm

• l' l:tm:i.tlO m tYO-418.46 mn

6 mmSErClóN 1 - I L - IIKN/JoI

420 mrr

T .. 1--r~

36,· .."1

~

mm--+-

300 rnm 300 rnm 1,"'"m ,

l~300 mm,~

300 mm }/

Ingeniería & De:-;arrollo. Universidad del Norte. 5: 42-65, 1999 61

Xo = 300 - 36 x 2 - 9.52 = 218.48 mm.

Yo = 500 - 36 x 2 - 9.52 = 418.48 mm.

AOh = Xo Yo = 218.48 x 418.48 =,91,429.51 mm

Ao = 0.85 AOh = 0.85 x 91,429.51 =77715.08 mm'

,Ap = 300 x 500 = 150,000 mm

pep = 2(300 + 500) = 1600 mm

Ph = 2 (Xo+Yo) = 2 (418.48 + 218.48) =1273.92 mm

d = 500 - 36 - 9.52 - 25.40/2 = 441.78mm

bw = 300mm

Suponemos que tendremos estribosde 3/8 S (cj>= 9.52 mm) y varillaslongitudinales de 1" (cj>= 25.40 mm).

2. Evaluación de las cargas y diagra-mas de momento, cortante y torsión

CARGA MUERTA:

a) Diagrama de Cortante

Vu - 96.30 KN

b) Diagrama de Momento FlectorWu _ 173..34 KN - m

~

///

// ///~~-

J 3.60 m }

e) Diagrama de Momento Torsor

Tu _ 25.66 KN - m

• Cortante: V" =26.75x3.60 =96.30kN

• Momento Flector:M" = 26.75 x 3.602/2 = 173.34 kN-m

- Viga- Loseta-Muro

0.30 x 0.50 x 24 ~ 3.60 kN 1m0.08 x 0.30 x 24 = 0.58 kN/m

= 4.00 kN/m

o = 8.18 kN/m

• Momento Torsor:T" = (1.7 x 9 x 0.45 + 1.4 x 0.58 x 0.30)x 3.60

T, = 25.66 kN-m

CARGA VIVA:

L =9.00 kN/mW" = 1.4 X 8.18 +1.7 x 9 = 26.75kN/m

3. Diseño a Flexión

M" = 137070 kN-mm

62 Ingeniería & Desarrollo. Uni\'ersidad del Norte. 5: 42·65, 1999

K= 137070 / 300x(441.78)' =0.00234

P = 0.0068 ~ As = 0.0068 x 300 x441.78 = 901.23 mm'

4. Determinar si la torsión puede serignorada

~.¡¡:;A'" V21(15OOOO)'To = -- --= 0.85 - -- = 4.56E6N·mm

12 Pq 12 1600

T, = 25.66 kN-m > 4.56 kN-m

Por lo tanto, la torsión debe serconsi-derada.

5. Chequear si la sección es adecuada

(

96300 )' [25660000 x 1273.9~ ' N--- + -------:- =2.41-300 x 441.78 1.7 (914295.51)' _ mm'

JfZfilV, = -- = - = 0.76MPa

6 6

2.41MPa < 3.24 MPa

Luego la sección es adecuada

6. Estribos requeridos por cortante

~ VTc 0.85 VziV,,=-- =----=0.65MPa

6 6

96700v,=--.----= 0.73N/mm'

700 x 441.78

v, = 0.73 MPa > v" = 0.65 MPa

2~v" = 0.73 - 0.65 = 0.08 MPa < - Vf'C

30.08x300 ,

A,/S = --- = 0.0672 mm /mm0.85x420

NOTA: Para dos ramas.

7. Estribos requeridos por torsión

- ----- ... 8=45's

25.66E6At/S - -O.463mm2/rnm

2xO.85x77715.08x420x1.0

NOTA: Para una rama.

,2 A,/s =2 x 0.463 = 0.926 mm /mm

8. Combinación del refuerzo por cor-tante y torsión

AJs + 2A,/s = 0.0672 + 0.926 = 11.9932mm'¡mm

Para barras No. 3 As = 71 mm'

s = 71 x 2 / 0.9932 = 142.97 mm

Tomar s = 140mm (14cm)


9. El espaciamiento no puede excederde 300mm o phl8 = 1273.9218 = 159.24mm, por lo que el espaciamiento essatisfactorio

Se coloca este espacia miento a todo lolargo de la viga, pero se puede haceruna economía calculando un nuevo es-paciamiento. El refuerzo longitudinaldebe extenderse a una distancia d + b, =394 + 254 = 648 mm. Más allá donde elrefuerzo para torsión sea requerido.

10. Verificar que el área de los estriboscumpla con los requisitos de la Nor-ma NSR-98

2A •. 2A, b", 300 mm-+-,?- =--=0.238--S S 3IV' 3x420 mm

2 ,0.9932 mm Imm > 0.238 mm Imm

11. Area de acero longitudinal requeridopor torsión

Pero A,ls no puede ser menor que

~6fY"

bw 300At/s=O.463mm2>= - =--=O,1l9mm2

6/,. 6x240

El máximo espaciamiento entre lasbarras del refuerzo longitudinal es de300 mm. Se divide entre tres áreas igua-les, para ser localizadas en la parte su-perior, abajo y en la mitad de la alturade la sección de la viga.

A, ,A, =-= 589.83/3 = 196.61 mm Imm

3

El diámetro mínimo del refuerzo lon-gitudinal no debe ser menor que 1/24del espaciamiento entre estribos:

,db = s 1 24 = 140 1 24 = 5.83 mm

pero no menos que <j>3/8

(Al) f,,·A,= _ Ph__S fy'

CotOUsar dos barras<j>1/2" en la mitad y

en la parte inferior de la viga.

,Al = 0.463 x 1273.92 = 589mm

Chequeo del área Al mínimo:

Al"" - 5 {fCA, [A,] Ph f yv

12f" S f"

2 fi.l x 150000= ----- - (0.463) x 1273.92

12 x 4200,A'mjn 92.11 rnm

, ,A,= 589.83 mm > Al"'" = 92.11 mm

Combinar el refuerzo torsional conel de flexión:

A, Flexión = 901.23 mm'A, Torsión = 196.61 mm' ,A, = 901.23 + 196.61 = 1097.84 mm

Usar: 3 <j>7/8

12. Detalles de la viga


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Ingeniería & Desarrollo, Universidad del Norte. 5; 42-65,1999 65

diseño a torsión según la norma nsr-98*

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