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Dinamica del punto
Argomenti della lezione • Principio di inerzia (prima legge di Newton)
• 2° legge di Newton
• 3° legge di Newton (principio di azione e reazione)
• Quantità di moto
• Risultante delle forze / Equilibrio / Reazioni vincolari
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Perché avviene il moto??
Principio d’inerzia
Un corpo non soggetto a forze non subisce cambiamenti di velocità, ossia rimane in quiete se già lo era o si muove di moto rettilineo uniforme
Principio d’inerzia
Accelerazione Presenza di una forza
Forza: Grandezza che esprime l’interazione fra sistemi fisici
La tendenza di un corpo a rimanere fermo o a proseguire di moto rettilineo e uniforme è chiamata inerzia per cui la prima legge di Newton è anche detta Legge o Principio di Inerzia.
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prima legge di Newton Quando si tenta di far cambiare la velocità di un oggetto, esso si oppone a questo cambiamento. La risposta di tale corpo alla sollecitazione causata dalla forza esterna prende il nome di
Inerzia.
Tale particolare caratteristica è una proprietà esclusiva del singolo corpo, il quale la manifesterà tutte le volte che sarà soggetto a tale tipo di sollecitazione.
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prima legge di Newton
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Principio d’inerzia L'inerzia viene misurata con la massa e nel Sistema Internazionale (SI) viene impiegato il chilogrammo. Tale grandezza è una grandezza scalare. Dati due corpi, di massa diversa, che si trovano sottoposti alla medesima forza esterna, avranno accelerazioni diverse.
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Forze
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Esempi di Forze
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Seconda Legge di Newton La seconda legge di Newton dice cosa accade ad un corpo quando su di esso agisce una forza non nulla. Se le forze in gioco sono più di una, va considerata la loro somma ossia la risultante delle forze, o forza risultante.
Ricordando le relazioni viste in cinematica, l’espressione vista può anche così essere riscritta: 2
2
dtdm
dtdmm rvaF ===
L'accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla forza risultante agente su di esso ed inversamente proporzionale alla sua massa.
Fris = min·a
Da questa relazione è facile evincere che se una forza F viene applicata ad un corpo, esso sarà sottoposto ad una certa accelerazione a che avrà stessa direzione e stesso verso di F.
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La quantità di moto La grandezza vp m= si definisce quantità di moto
Ricordando 2
2
dtdm
dtdmm rvaF === è possibile scrivere
( )dtmd
dtd vpF ==
pF ddt = ppppFJ Δ=−=== ∫∫ 000
p
p
t
tddt
Teorema dell’impulso
(forma integrale della legge di Newton)
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Seconda Legge di Newton
F F F
F F’
Dimensioni e unità di misura
Le dimensioni per la formula sono le seguenti:
[F] = [M][L]/[T][T]
e le corrispondenti unità di misura sono:
F = kg·m/s·s = N
(dove N indica Newton. La forza di 1N è quella che, agendo su una massa di 1 kg, ne causa un'accelerazione di 1 m/s2)
aF inris m=
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11
cost
cost
=⇒=
⇒=
amFa
F
Applicazioni dei principi della dinamica..
Moto uniforme
F = 0 ⇒ a = 0v=cost
Moto uniform. accelerato
• Determiniamo l’espressione della forza o delle forze presenti.
• Una forza è completamente definita quando si conosce qual è il corpo che la subisce e qual è il corpo che la genera
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Forza Peso
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Massa e Peso
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221
rmmGF ×
=
Massa gravitazionale
Ogni massa ha la proprietà sia di attrarre che di essere attratta da un'altra massa, secondo la legge di gravitazione universale.
Se indichiamo con m1 e m2 le due masse gravitazionali e con r la distanza fra i loro centri e G la costante di gravitazione universale si ha:
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Massa inerziale-massa gravitazionale
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Massa inerziale-massa gravitazionale
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Massa inerziale-massa gravitazionale
maF = 221
rmmGF ×
=
mgP = 2RmMGP ×
=
2RmMGmg ×
=
2RMGg =
Dalla e dalla
si ha si ha
Per cui
Dividendo entrambi i membri per m, essendo la massa gravitazionale uguale alla massa inerziale si ha
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Accelerazione di gravità
2RMGg =
L’accelerazione di gravità non dipende dalla massa dell’oggetto!
L’accelerazione di gravità dipende dalla massa terrestre
L’accelerazione di gravità dipende dal raggio terrestre
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Peso e accelerazione di gravità
poli raggio minoreaccelerazione di gravità maggiore
intensità campo gravitazionale maggiorepeso maggiore
spiaggia raggio minoreaccelerazione di gravità maggiore
intensità campo gravitazionale maggiorepeso maggiore
equatore raggio maggioreaccelerazione di gravità minore
intensità campo gravitazionale minorepeso minore
vetta raggio maggioreaccelerazione di gravità minore
intensità campo gravitazionale minorepeso minore
accelerazione di gravitàe raggio terrestre
luna massa minoreaccelerazione di gravità minore
intensità campo gravitazionale minorepeso minore
terra massa maggioreaccelerazione di gravità maggiore
intensità campo gravitazionale maggiorepeso maggiore
accelerazionedi gravitàe massa del corpo celeste
2RMGg =m
gP=
g = Newtonkg
g esprime l’intensità del campo gravitazionale, cioè i Newton associati ad un kg
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Terza Legge di Newton principio di azione e reazione
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Coppie di Azione e Reazione
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Forza normale (o reazione vincolare)
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Reazioni vincolari Esempi
N
P
0=+NPN
P
y
x
0=− yPN
N
P
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Vincoli • Un vincolo e` una qualunque limitazione dell’ambiente al
moto del corpo • Questa limitazione avviene per contatto tra corpo e
vincolo • Esempi:
– una fune
– una superficie d’appoggio o rotaia
– un asse fisso
– un punto fisso
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Reazioni vincolari
• Il contatto tra corpo e vincolo produce un’interazione che si manifesta sotto forma di forza
• Per il 3o principio la forza con cui il corpo agisce sul vincolo e` uguale e contraria a quella, detta reazione vincolare, con cui il vincolo agisce sul corpo
• Le forze vincolari non sono in generale note a priori, ma si possono dedurre a posteriori esaminando il comportamento del sistema
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Reazioni vincolari • Esempio: corpo vincolato in equilibrio statico
• Supponiamo che il corpo sia soggetto, oltre alla forza di vincolo V, ad altre forze di risultante R diversa da zero
• Se il corpo e` in equilibrio statico, allora la risultante di tutte le forze, compresa quella di vincolo, dev’esser nulla:
• Da questa relazione possiamo calcolare, a posteriori, la forza di vincolo:
0≡+= VRRtot
RV
−=
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Carrucole
• Le considerazioni svolte possono essere estese al caso in cui siano presenti carrucole e quindi la fune cambi direzione
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Oggetti in equilibrio
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Equilibrio Esempio
Un corpo è sottoposto all’azione di una forza F1 = 30 N diretta verso l’asse negativo delle x e a quella di una seconda forza F2 =70 N che forma un angolo di 60° con l’asse positivo delle x, determinare modulo direzione e verso della forza F3 necessaria affinché il corpo sia in equilibrio.
F2 F’3
x
y
60° yx
x
uuF
uF
θθ sin70cos70
30
2
1
+=
−=
N 158.7658007030 223 ==+=F
N 158.763 yuF −=
F1 F3
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30
NNNFFF BxAxRx 2.52)37cos(30)45cos(40 =+=+=
NNsenNsenFFF ByAyRy 3.10)37(30)45(40 =−=+=
oRx
Ry
NN
FF
5.11)2.0arctan(
2.02.523.10)tan(
==
===
θ
θ
Esercizio
amF =∑
kgmb 500=
NFFF RyRx 5122 =+=
2m/s1.0kg500N51
==a
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Fili e funi
• Sono oggetti che trasmettono la forza solo in trazione
• Al contrario le barre possono trasmettere la forza sia in trazione, sia in compressione, che in sforzo di taglio
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Fili e funi: Tensione
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Esercizio: Equilibrio
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Esercizio: Equilibrio
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Oggetti sottoposti a una Ftot non nulla
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Esempio (senza attrito)
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Esempio: Macchina di Atwood
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Esempio: Macchina di Atwood
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Esempio 2: Oggetti Multipli
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Esempio 2: Oggetti Multipli
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Piano Inclinato
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Forza di attrito
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Attrito Statico e Attrito Dinamico
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Modello Macroscopico dell’ Attrito
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Coefficienti di attrito
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Esercizi con attrito e legge di Newton
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Coefficiente di attrito statico
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Moto Circolare Uniforme
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Moto Circolare Uniforme
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Moto di un automobile
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Curva orizzontale piatta
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Pendolo Conico
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Moto in un fluido
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Moto in un fluido: esempio
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Moto in un fluido: soluzione
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Esercizio
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Esercizio
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Giro della morte
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Giro della morte II
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Forza elastica Oggetti che principalmente danno origine a forze elastiche: le molle. Caratteristiche: a) lunghezza a riposo x0, (lunghezza della molla quando la risultante delle forze applicate su di essa è nulla) b) k, detta costante elastica della molla. Si osserva sperimentalmente che l'allungamento/compressione di una molla è proporzionale alla forza applicata:
legge di Hooke, F = -kΔx Δx=(x-x0) = entità della deformazione della molla. Tale legge vale solamente se la deformazione avviene entro un certo limite: superato esso la molla perde la propria elasticità. La forza ha segno negativo poiché è sempre opposta allo spostamento.
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Legge di Hooke
• In termini vettoriali:
( ) xkxxkF Δ−=−−= 0
Fe FT
Δx
Fe FC
Δx
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Ancora sul moto armonico • Ponendo y=x-x0 e sfruttando il fatto ovvio che
• l’equazione del moto diviene
• Dividendo i membri per m e ponendo • Otteniamo
• Cioe` l’equazione che individua il moto armonico • Abbiamo quindi scoperto che il moto armonico e` causato dalla
forza elastica
kydtydm −=2
2
2
2
2
2
dtxd
dtyd=
mk
=2ω
yadtyd 22
2
ω−==
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Forza elastica
dove A è l'ampiezza di oscillazione e per dimensioni ha una lunghezza, e f è la fase. Sia A che f dipendono dalle condizioni iniziali del moto.
( )φω += tAtx sen)(
La legge oraria sarà quindi:
Andando a studiare il moto, si osserva che: → nel punto di massimo allungamento e di massima compressione, l'accelerazione è massima e la velocità è nulla (il corpo sta infatti invertendo il verso del moto)
→ nel punto di equilibrio, l'accelerazione è nulla e la velocità massima (con opportuno segno a seconda che la molla si stia allungando o comprimendo)
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Moto in un fluido: attrito viscoso
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Moto in un fluido
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Moto in un fluido: soluzione
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Forze centripete
Supponiamo che la risultante delle forze agenti su un punto materiale presenti una componente normale alla traiettoria, questa componente causa l’accelerazione centripeta dell’oggetto:
RvmmaF NN
2
==
Dove R è il raggio di curvatura della traiettoria.
In generale forze centripete sono prodotte da rotaie, pneumatici, fili… ossia vincoli che consentono di incurvare la traiettoria oppure da forze gravitazionali