dinamica del conocimiento (pino perez y alwin)

XXIII ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMTICASEMALCA-VENEZUELA 2010

Dinmica del conocimiento

Ramn Pino Prez

Carlos Uzctegui Aylwin

MRIDA, VENEZUELA, 5 AL 10 DE SEPTIEMBRE DE 2010

XXIII ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMTICASEMALCA-VENEZUELA 2010

Dinmica del conocimiento

Ramn Pino Prez

Carlos Uzctegui AylwinUniversidad de Los Andes

[email protected], [email protected]

MRIDA, VENEZUELA, 5 AL 10 DE SEPTIEMBRE DE 2010

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XXIII ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMTICAS

La Escuela Venezolana de Matemticas es una actividad de los postgra-dos en matemticas de las instituciones siguientes: Centro de EstudiosAvanzados del Instituto Venezolano de Investigaciones Cientficas, Fa-cultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela, Facultad deCiencias de la Universidad de Los Andes, Universidad Simn Bolvar,Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado y Universidad de Orien-te, y se realiza bajo el auspicio de la Asociacin Matemtica Venezolana.La XXIII ESCUELAVENEZOLANADEMATEMTICAS recibi financiamien-to de la Academia de Ciencias Fsicas, Matemticas y Naturales, elInstituto Venezolano de Investigaciones Cientficas (Departamento deMatemticas y Ediciones IVIC), la Universidad de los Andes (CEP, CD-CHT, Facultad de Ciencias y Departamento de Matemticas), AsociacinMatemtica Venezolana.

2000 Mathematics Subject Classification: 03B42, (68T27, 68T30).

cEdiciones IVIC

Instituto Venezolano de Investigaciones Cientficas

Rif: G20004206-0

Dinmica del Conocimiento

Ramn Pino Prez y Carlos Uzctegui Aylwin

Diseo y edicin: Escuela Venezolana de Matemticas

Preprensa e impresin: Editorial Texto

Depsito legal If66020105102083

ISBN 978-980-261-122-5

Caracas, Venezuela

2010

iii

Prefacio

Tratar de entender y dar cuenta de cmo cambia el conocimiento esuna tarea muy antigua. Data al menos desde los griegos, s. IV a.c. C-mo revisar una teora a la luz de una nueva informacin?, cmo fu-sionar diferentes informaciones cuando ellas son contradictorias?, cmoson nuestros razonamientos cuando llegamos a una conclusin?, cmoexplicamos las observaciones? son unas de las preguntas fundamentalesa las que se quiere responder en esta rea. Justamente, en los ltimos25 aos se han hecho algunos avances y propuesto nuevos modelos delcambio del conocimiento y de los razonamientos no montonos usandotcnicas de la Lgica Matemtica.Este libro se concentrar en hacer un recuento de esa historia reciente

de la dinmica del conocimiento. Tomaremos como punto de partida elao 1985, en el cual fue publicado el trabajo pionero de Alchourrn,Grdenfors y Makinson: On the logic of theory change: partial meet con-traction and revision functions (The Journal of Symbolic Logic, 50 (1985)510-530).Otro trabajo pionero y bastante acabado concerniendo los razonamien-

tos del sentido comn es el de Kraus, Lehmann y Magidor: Nonmono-tonic reasoning, preferential models and cumulative logics Artificial In-telligence, 44 (1990) 167-207.Dos extensiones de esos trabajos surgen de manera natural. La primera

es entender la lgica de la fusin del conocimiento y la segunda la lgicade las explicaciones. Exprondremos los principales resultados de estosdos ltimos temas.Organizamos este libro en cuatro captulos. El primero lo dedicamos

esencialmente al estudio de la revisin del conocimiento, al marco deAlchourrn, Grdenfors y Makinson. El segundo captulo lo dedicamosal estudio de la fusin del conocimiento. El tercer captulo ser dedicado

iv

al estudio de la lgica del razonamiento del sentido comn. El cuartoser dedicado al estudio de la lgica de los razonamientos explicatorios.Queremos agradecer a la Dra. Arelis Daz por los comentarios y ob-

servaciones que hiciera sobre una primera version de los ltimos doscaptulos del libro. Tambin agradecemos al Profesor Jos Luis Chacny a los licenciados Amlcar Mata y Mattia Medina por las discusionessobre las pruebas de los dos primeros captulos.

ndice general

Prefacio iii

1. Operadores de cambio de conocimiento 11.1. Expansin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Revisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Contraccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Identidades de Levi y Harper . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Representacin en el caso finito . . . . . . . . . . . . . . . 111.6. Representacin en el caso general . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Fusion 312.1. Bases y Conjuntos de Creencias . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. Operadores de Fusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3. Algunos operadores de fusin IC . . . . . . . . . . . . . . 55

3. Razonamientos no montonos 713.1. Relaciones acumulativas, preferenciales

y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2. Relaciones racionales y los operadores AGM . . . . . . . . 783.3. Teoremas de representacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3.1. Modelos acumulativos . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.2. Relaciones acumulativas . . . . . . . . . . . . . . . 823.3.3. Relaciones preferenciales . . . . . . . . . . . . . . . 843.3.4. Relaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.3.5. Clausuras respecto a los sistemas C, P y R. . . . . 913.3.6. Dos ejemplos clsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4. Relaciones probabilistas y el sistema O . . . . . . . . . . . 98

v

vi NDICE GENERAL

3.4.1. Completitud y representabilidad de las relacionesprobabilistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4. Razonamientos explicatorios 1054.1. Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2. Reglas para los razonamientos explicatorios . . . . . . . . 1094.3. Algunos ejemplos de relaciones explicatorias . . . . . . . . 1144.4. Razonando con explicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.5. Explicando nuestro razonamiento . . . . . . . . . . . . . . 1204.6. Relaciones explicatorias causales y la deduccin al revs . 123

4.6.1. Un enfoque alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.7. Teoremas de representacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.7.1. E-modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.7.2. Relaciones E-preferenciales . . . . . . . . . . . . . 1284.7.3. Relaciones E-racionales . . . . . . . . . . . . . . . 131

Bibliografa 137

ndice alfabtico 143

Captulo 1

Operadores de cambio deconocimiento

Uno de los problemas ms viejos en la historia de la humanidad, de losque se tiene una traza escrita, es entender cmo conocemos. Ya los filso-fos presocrticos se lo preguntaban. Ese viejo problema no slo est lejosde estar resuelto sino que an es de gran actualidad. Principalmente sondos las disciplinas que abordan ese problema. La Filosofa, por supuesto,en particular el rea de la Epistemologa y la Psicologa, en particular laPsicologa Cognitiva.Modelos ms precisos se han tornado necesarios para tratar de emu-

lar los procesos del conocimiento, especialmente en robots. Entonces, alas disciplinas ya mencionadas se les ha aadido las Ciencias de la Com-putacin, en particular el rea de la Inteligencia Artificial y la Matemti-ca, a travs de la Lgica Matemtica.En los ltimos 25 aos se han utilizado tcnicas provenientes de la

Lgica Matemtica, para representar ms precisamente al conocimientoy su cambio. Ms precisamente, cmo cambiar una teora a la luz de unaevidencia que la contradice o cmo retirar una informacin de maneraque efectivamente no se pueda inferir la informacin en cuestin. Estosprocesos reciben el nombre de revisin y de contraccin en la literatura,en particular en el artculo pionero de Alchourrn, Grdenfors y Makin-son [1]. Este artculo da pie a lo que hoy es conocido como el marcoAGM (las iniciales de los tres autores) y que nosotros expondremos eneste captulo.

1

2 Ramn Pino Prez y Carlos Uzctegui Aylwin

Se quiere modelizar el proceso de cambiar un estado de conocimiento(un estado epistmico) a la luz de una informacin que es ms prior-itaria (la nueva informacin) y obtener un nuevo estado epistmico. Sillamamos al estado epistmico suceptible de ser cambiado por la infor-macin , podemos llamar al nuevo estado epistmico. De modoms general, si es el conjunto de los estados epistmicos e es el con-junto de las informaciones, pensaremos que un tipo de cambio estrepresentado por una funcin

:

Como es usual usaremos la notacin infija en vez de (,).En el modelo AGM, un estado epistmico corresponde a una teora de

la Lgica Proposicional, esto es un conjunto de enunciados (frmulas) elcual es cerrado bajo consecuencia lgica. Las informaciones son frmulasde la Lgica Proposicional.En este marco pueden ocurrir tres situaciones epistmicas para un

estado con respecto a una informacin :

1. . En ese caso decimos que el estado acepta a .

2. . En ese caso decimos que el estado rechaza a .

3. y . En ese caso decimos que el estado es indifer-ente sobre .

Cuando queremos pasar de un estado epistmico, a un nuevo estadoepistmico que acepte a la informacin , tendremos un tipo de cam-bio que describiremos como la expansin y que consiste simplemente enaadir la informacin como veremos ms adelante.Cuando el estado epistmico rechaza a la informacin y queremos

pasar a un estado epistmico que acepte a tenemos una situacin decambio que tipificaremos como la revisin.Cuando el estado epistmico acepta la informacin y queremos pasar

a un estado epistmico que no acepte a tenemos una situacin decambio que tipificaremos como la contraccin.En estas operaciones de cambio se trata de obedecer a dos grandes

principios:

El principio de xito (o logro del propsito) agregar o quitar lainformacin como ser el caso en la revisin o en la contraccin.

Dinmica del conocimiento 3

El principio de cambio minimal. Intuitivamente se debe cambiar lomenos posible el viejo estado epistmico.

Otro principio importante, en el caso de la revisin es el principio dela no contradiccin: se quiere que el estado epistmico que se obtiene seacoherente desde el punto de vista lgico, es decir una teora no contra-dictoria.En las proximas secciones veremos con ms detalle los postulados que

caracterizan estas operaciones de cambio.

1.1. Expansin

Los postulados que caracterizan al operador1 de expansin + : son los siguientes:

(K+1) + es una teora(K+2) + xito(K+3) + Permanencia(K+4) + = Minimalidad(K+5) + + Monotona(K+6) + es la menor teora que verifica (K+1)-(K+5)Clausura

El primer postulado dice que el operador est bien definido. El segundopostulado asegura que efectivamente el nuevo estado epistmico contienela nueva informacin. El tercer postulado nos dice que no hay prdidade informacin, es decir toda la informacin del viejo estado epistmicose encuentra tambin en el nuevo estado epistmico. El cuarto postuladonos dice que en caso de que la nueva informacin ya est en el estadoepistmico el resultado de la expansin estar contenido el viejo estadoepistmico. De hecho el tercero y el cuarto postulados juntos no dicenque en caso de el viejo estado epistmico acepte ya la informacin en-tonces la expansin no cambia al estado epistmico. El quinto postuladoque el operador es montono en la primera componente con respecto a lainclusin, es decir si un estado epistmico est contenido en otro cuan-do se expanden por la misma frmula, los nuevos estados epistmicosmantienen la misma relacin de inclusin. Finalmente el sexto postulado

1Ms adelante veremos que solamente hay un operador que los satisface


impone una condicin de cambio minimal. Este ltimo postulado es fun-damental para obtener la unicidad del operador como est establecidoen el siguiente teorema.

Teorema 1.1.1 Un operador + es de expansin, es decir satisface (+1) ( + 6) si y slo si para cualquier teora y cualquier formula se tiene + = ( {}).

Demostracin: Es un simple chequeo ver que el operador + definidopor + = ( {}) satisface los postulados K+1 a K+5 ademses la menor teora que contiene a (obligatorio por K+2) y que contienea (lo cual es obligatorio por K+3).

Note que no siempre + es una teora consistente. Cuando y no comparten modelos se tiene que + es una teora contradictoria,es decir todas las frmulas del lenguaje.

Ejercicio 1.1.2 Defina dos operadores diferentes de la expansin quesatisfagan K+1 a K+5.

1.2. Revisin

Para paliar al problema de la incorporacin de una informacin queest en conflicto con el viejo estado epistmico, la cual, como ya hemosvisto, produce una teora contradictoria cuando se usa la expansin. Seintroducen otros operadores de cambio que van a obedecer al principio deno contradiccin adems de los principios de xito y de cambio minimal.

Definiremos un operador de revisin : como una funcinque satisface los siguientes postulados:

(K1) es una teora(K2) xito(K3) + Acotamiento(K4) + Minimalidad(K5) consistente consistente Consistencia(K6) = Independencia de la sintaxis


(KT) ( ) =

si ( )

si ( )

( ) ( ) en los otros casos

Tricotoma

Como en el caso de la expansin el primer postulado nos dice simple-mente que la funcin est bien definida. El segundo es el postulado dexito, el cual garantiza que la nueva informacin ha sido incorporada.El tercer postulado nos impone un lmite sobre la teora resultante. Elladebe ser una teora includa en la expansin. El cuarto postulado diceque en caso en que la nueva informacin no est en conflicto con el estadoepistmico, es decir que ella no sea rechazada, el resultado de la revisindebe contener a la expansin. As, el tercero y el cuarto junto nos di-cen que cuando no hay conflicto la expansin y al revisin coinciden.El quinto postulado es el postulado que obedece al principio de la nocontradiccin. El nuevo resultado no ser contradictorio a menos que lainformacin nueva sea inconsistente. El sexto postulado nos dice que elresultado es independiente de la la syntaxis en el sentido de que dos fr-mulas lgimente equivalentes producirn el mismo resultado. El ltimopostulado concierne el comportamiento del operador ante informacionesdisyuntivas. El resultado de revisar por una disyuncion sera el resultadode revisar por una de ellas o bien la teora que resulta de intersectarlas teoras que resultan de revisar por cada frmula de la disyuncin.Los postulados de acotamiento, minimalidad y tricitoma tratan de darcuenta del principio de cambio minimal.LLamaremos a los postulados K1 a K6 los postulados bsicos de la

revisin.El postulado de tricotoma tiene una formulacin equivalente y es como

usualmente se presenta a los pstulados de la revisin. A nosotros nosparece ms natural el postulado de tricotoma.

Proposicin 1.2.1 Bajo los postulados bsicos, el postulado KT esequivalente a los dos postulados siguientes:

(K7) ( ) ( ) + (K8) / ( ) + ( )


Para probar la proposicin primero demostraremos dos lemas.

Lema 1.2.2 Bajo los postulados bsicos el postulado K7 es equivalentea

( ) ( ) ( ) ()

Demostracin: Por K7 tenemos ( )+ y tambin ( ) + . Luego ( ) ( ) ( ( ) + )( ( ) + ). Ahora bien, es fcil ver (ejercicio) que

( ( ) + ) ( ( ) + ) = ( ) + ( )

Pero, por K2, pertenece a (), luego ()+() = ( ). Concluimos entonces que ( ) ( ) ( ).

Reciprocamente supongamos que se cumple (). Note () (). Entonces por (), se tiene

[ ( )] [ ( )]

Por la monotona de la expansin se tiene

([ ( )] [ ( )]) + ( ) +

Pero el miembro de la izquierda es exactamente (ejercicio) ( ).As, tenemos

( ) ( ) +

es decir K7.

Lema 1.2.3 Bajo los postulados bsicos el postulado K8 es equivalentea

( ) ( ) ()

Demostracin: Asumamos K8 y supongamos que ().Entonces ( ( )) + . En particular, ( ) .

Recprocamente, suponga que se cumple (). Queremos ver que K8 secumple. Supongamos que . Entonces, es consistente


con . Pero ( ) ( ). Luego (( ) ( ))es consistente con . Por (), se tiene

(( ) ( )) ( )

Por monotona de la expansin se tiene

( (( ) ( ))) + ( ( )) +

es decir, ( ) + ( ).

Ahora estamos listos para probar la proposicin 1.2.1.

Demostracin de de la Proposicin 1.2.1: Supongamos la trico-toma. Para verificar K*7, por el lema 1.2.2, basta verificar (). Pero ()se deduce inmediatamente de la propiedad de tricotoma.

Para verificar K*8, por el lema 1.2.3, basta verificar (). Supongamosque ( ). Entonces por la tricotoma la dos respuestasposibles para () son o bien ( ) ( ) y claramenteen cualquier caso se tiene ( ) .

Ahora supongamos que K*7 y K*8 se cumplen. Verifiquemos que la tri-cotoma se cumple. Si o son contradictorias el resultado es trivial.As que podemos suponer que ambas frmulas son consistentes. Supong-amos que ( ). Necesariamente ( ) y por ellema 1.2.3 ( ) .

Por otra parte, por el lema 1.2.2, tenemos ( )( ) ().Esto significa que ( ( )) ( ) ( ). Peropor la hyptesis de que ( ), no hay modelos de en ( ). en particular, ( ( )) ( ) = y por lotanto ( ( )) ( ), es decir ( ) loque con la inclusin inversa ya establecida nos da ( ) = .

Una prueba anloga muestra que si () entonces() = .

Finalmente queda por ver que si y son consistentes con ( ),necesariamente ( ) = ( ) ( ). Por las hiptesis, apli-cando (), tenemos ( ) y ( ) dedonde se deduc ( ) ( ) ( ). Ahora bien, por () se


tiene ( ) ( ) (). De donde se desprende la igualdaddeseada.

Cabe preguntarse si existen tales operadores y si en caso de existirson nicos. En realidad demostraremos un teorema de representacin enla seccin 1.5 que garantiza la existencia de estos operadores. El mismoteorema nos mostrar que no son nicos. Pero el lector ya puede verificarcomo ejercicio que el siguiente operador es de revisin.

Definicin 1.2.4 Defina el operador drstico de la manera siguiente

=

+ si

() si

Ejercicio 1.2.5 Demuestre que es un operador de revisin.

1.3. Contraccin

Ahora queremos caracterizar los operadores que quitan informaciones.Los principios directores siguen siendo los de xito y de cambio minimal.Por supuesto el principio de no contradiccin continuar siendo vlidopero veremos que en este contexto es muy natural.

Definiremos un operador de contraccin : como unafuncin que satisface los siguientes postulados:

(K 1) es una teora(K 2) Acotamiento(K 3) = Economa(K 4) xito(K 5) ( ) + Restablecimiento(K 6) = Independencia de la sintaxis

(K T) () =

si ( )

si ( )

( ) ( ) en los otros casos


Tricotoma

Como en el caso de la expansin y de la revisin el primer postuladonos dice simplemente que el operador est bien definido. El segundo esun postulado de acotamiento el resultado no puede salirse de la teorainicial. El tercero nos dice que no hay nada que hacer cuando la inorma-cin que quiere subtraerse no est en la teora. El cuarto postulado es elpostulado de xito, el cual garantiza que de no ser una tautologa la in-formacin ser efectivamente sacada de la teora. El quinto postulado nosdice que podemos recuperar la teora si luego de una contraccin por unainformacin expandemos por la misma informacin. El sexto postuladonos dice que el resultado es independiente de la la syntaxis en el sentidode que dos frmulas lgimente equivalentes producirn el mismo resulta-do. El ltimo postulado concierne el comportamiento del operador anteinformaciones conjuntivas. El resultado de contraer por una conjuncinsera el resultado de contraer por una de ellas o bien la teora que resultade intersectar las teoras que resultan de contraer por cada frmula de laconjuncin. Los postulados de acotamiento, economa, restablecimientoy tricotoma tratan de dar cuenta del principio de cambio minimal.LLamaremos a los postulados K 1 a K 6 los postulados bsicos de

la contraccin.El postulado de tricotoma tiene tambin una formulacin equivalente

la cual en conjuncin con los postulados bsicos es como usualmente sepresenta a los pstulados de la contraccin. A nosotros nos parece msnatural el postulado de tricotoma.

Proposicin 1.3.1 Bajo los postulados bsicos de contraccin, el pos-tulado K T es equivalente a los dos postulados siguientes:

(K 7) ( ) ( ) ( )(K 8) / ( ) ( )

La prueba es similar a la de la proposicin 1.2.1 y la dejamos comoejercicio.Para los efectos de las secciones siguientes podemos pensar que la

definicin de operador de contraccin es una funcin que satisface lospostulados K 1 a K 8.


1.4. Identidades de Levi y Harper

En esta seccin veremos que hay relaciones muy estrechas entre losoperadores de revisin y loa operadores de contraccin Sea un oper-ador de cambio. Defina un nuevo operador de la siguiente manera:

= ( ) + Identidad de Levi

Teorema 1.4.1 Si es un operador de contraccin entonces el operador , definido por la identidad de Levi, es un operador de revisin.

Sea un operador de cambio. Defina un nuevo operador de la si-guiente manera:

= ( ) Identidad de Harper

Teorema 1.4.2 Si es un operador de revisin entonces el operador , definido por la identidad de Harper, es un operador de contraccin.

En realidad tenemos una dualidad ms fuerte. Ella es establecida enel siguiente teorema:

Teorema 1.4.3 Sean es un operador de revisin y un operador decontraccin. Entonces se cumple:

1. =

2. =

En particular todo operador de revisin proviene de uno de contraccinpor la identidad de Levi y todo operador de contraccin proviene de unode revisin por la identidad de Harper.

Las pruebas de los teoremas de esta seccin son dejadas como ejercicio.


1.5. Representacin en el caso finito

En esta seccin asumiremos que el lenguaje es finito, es decir que elnmero de varables proposicionales sobre el cual se construyen las fr-mulas es finito.

Cuando el lenguaje proposicional es finito para cada interpretacin hay una frmula que tiene como nico modelo a . As, uno puedeidentificar una teora con una frmula que la codifica en el sentidosiguiente:

() =

Esto se debe a que el conjunto de modelos de es finito, digamos() = {1, . . . , } entonces podemos definir =

1 .

Vamos a definir operadores que van a capturar la idea de revisinde frmulas por frmulas y cuyo resultado ser una frmula, es decir es una funcin del siguiente tipo:

:

Como es usual, usaremos la notation infija en vez de (,).Diremos que un tal operador es de revisin KM [23] si y solamente si

satisface los siguientes postulados:

(R1) xito(R2) consistente Economa(R3) consistente consistente Consistencia(R4) 1 2 y 1 2 1 1 2 2 Independencia(R5) ( ) ( ) Relacional-uno(R6) () consistente () ()Relacional-dos

En el caso finito, la definicin de revisin KM es equivalente a la deAGM. Ms precisamente si es un operador de revisin , podemos definirun operador AGM, de la manera siguiente:

Definicin 1.5.1 = ( )

donde es una frmula tal que () = .


Recprocamente si es un operador AGM, podemos definir un oper-ador KM, de la siguiente manera:

Definicin 1.5.2

= ssi () = ()

Note que la frmula puede ser escogida como la disyuncin de lasfrmulas completas cuyo unico modelo es un modelo de () .Las proposiciones siguientes establecen de manera precisa nuestras

afirmaciones.

Proposicin 1.5.3 Si satisface (R1) hasta (R6) entonces el oper-ador definido anteriormente es una funcin : quesatisface (K*1)-(K*8), es decir es un operador AGM.

Proposicin 1.5.4 Si satisface (K*1)-(K*8) entonces , como sedefini antes, es una funcin : que satisface (R1)-(R6), es decir es un operador de revisin KM.

Demostracin de la Proposicin 1.5.3: En esta demostracintomaremos tal que () = .

El postulado (K*1) se deduce directamente de la definicin de .

Verifiquemos el postulado (K*2), es decir . Tenemos por (R1)que ( ) y nuevamente la definicin nos da el resultado.

Verifiquemos (K*3), es decir + . Por (R2) tenemos que ( ), luego ( ) ( ), bastara verentonces que ( ) = + para satisfacer (K*3). Sabemos que

(( )) = ( )= () ()= (()) ()= (() {})= ((() {}))= (( {}))= ( + )


por lo tanto, ( ) = + lo que completa la prueba de (K*3).

Verifiquemos (K*4). Supongamos que / . Queremos ver que + . De la hiptesis / , se deduce facilmente que es consistente. Entonces, por (R2), ( ) ( ), peropor lo hecho anteriormente sabemos que ( ) = + luego + (( )) = , como queramos.

Verifiquemos (K*5). Supongamos es inconsistente, es decir () es inconsistente. Entonces es inconsistente y, por (R3), esinconsistente.

Para (K*6) consideremos y frmulas equivalentes, queremos ver que = . Por (R4) tenemos que , as () =( ) como queramos.

Para ver que (K*7) se verifica debemos probar que ( ( )) ()+. Usando (R5) tenemos que ((()) (() ). Entonces bastara ver que (( ) ) = ( ) + .Sabemos que

((( ) )) = (( ) )= ( ) ()= (( )) ()= (( ) {})= ((( ) {}))= (( ) + )

luego (( ) ) = + , como queramos.

Finalmente verifiquemos (K*8). Para esto, supongamos que esconsistente con , y veamos que ( ) + ( ). Nuestrahiptesis y (R6) nos dicen que (( ) ) ( ( )),pero por lo visto anteriormente, (( ) ) = + , hechoque concluye la prueba.

Demostracin de la Proposicin 1.5.4: Recordemos la definicinde :

= ssi () = ()

donde es una frmula en el conjunto { : () = () }. As, es una funcin con el dominio y codominio deseados.


Comencemos probando (R1). Queremos ver que sabiendo que satisface () = () . Gracias a (K*1) se tiene () , loque claramente implica que .

Ahora verifiquemos (R2). Supongamos consistente. Queremos verque , es decir que si satisface () = () entonces . Por hiptesis, () es consistente con , luego, por (K*3) y(K*4), tenemos () = () + . As, () = () + . Peroes fcil ver que () + = ( ). Por consiguiente, .

Verifiquemos (R3). Supongamos consistente. Mostremos que cualquier que satisface () = () , es necesariamente consistente. Enefecto, como es consistente, por (K*5), () es consistente y porlo tanto es tambin consistente.

Verifiquemos (R4). Supongamos que 1 2 y 1 2. Queremos verque para cualquier tal que () = (), para = 1, 2, se tiene1 2. De la hiptesis 1 2 se obtiene (1) = (2). As, por(K*6) y la hiptesis 1 2, tenemos (1) 1 = (2) 2. Dedonde es immediato que 1 2.

Verifiquemos (R5). Sean y tales que () = () y () =() ( ). Queremos ver que . Por (K*7) sabemos que()() (())+. Pero es fcil ver que (())+ =( ). Por lo tanto, .

Verifiquemos (R6). Sean y tales que () = () y () =() ( ). Suponga que es consistente. Queremos ver que . Como es consistente, ( ) tambin es consistente,es decir (())+ es consistente. As, por (K*8), (())+ () ( ). Lo que se traduce como ( ) (), de dondese deduce .

Observacin 1.5.5 Es fcil ver que si tenemos dos operadores, : y : entonces usando las definiciones 1.5.1 y1.5.2 se tiene:

1. =

2. =


De las proposiciones 1.5.3, 1.5.4 y la observacin anterior obtenemosdirectamente el siguiente corolario:

Corolario 1.5.6 Sean : y : dos opera-dores. Entonces se cumplen:

1. es un operador de revisin AGM ssi es un operador de revisinKM.

2. es un operador de revisin KM ssi es un operador de revisinAGM.

Con esta nueva reformulacin, Katsuno y Mendelzon [23] mostraronun teorema de representacin para los operadores de revisin.

Definicin 1.5.7 Consideremos una funcin que asigna a cada frmu-la proposicional un preorden total2 sobre W. Decimos que estaasignacin es fiel si y slo si

1. Si 1 = , entonces 1 2 para cualquier 2

2. Si 1 = y 2 , entonces 1


Demostracin: Slo si:Supongamos que existe un operador que satisface las condiciones (R1)-(R6). Definamos la relacin para cada por medio del operador de la manera siguiente: para cualquier par de valuaciones 1 y 2,

1 2 1 ( 1,2)

donde 1,2 denota una frmula3 tal que (1,2) = {1, 2}.

Primero que todo notemos que est bien definida pues, en virtud de(R4) no depende de la escogencia de 1,2 .

Mostraremos ahora que es un preorden total.

Totalidad : Sean 1, 2 valuaciones. Como (1,2) = , (R3) nosdice que ( 1,2) es no vaco, adems por (R1) tenemos que( 1,2) (1,2). As, 1 ( 1,2) o bien, 2 ( 1,2). Por lo tanto, 1 2 o bien 2 1. Como queramos.

Transitividad : Sean 1, 2, 3 valuaciones. Supongamos que 1 2y 2 3. Queremos ver que 1 3. Hay tres casos a considerar.

(Caso 1) 1 ()En este caso, y 1,3 son consistentes entre ellas pues comparten elmodelo 1, entonces, por (R2), 1,3 1,3 . Por lo tanto1 ( 1,3), lo que implica 1 3.

(Caso 2) 1 () y 2 ()Por hiptesis tenemos que ( 1,2) = {2}. As, por (R2), ten-emos que ( 1,2) = {2}, luego, como 1 (), tenemosque 1 2. Lo cual contradice la hiptesis 1 2, por lo tanto elcaso 2 no puede suceder.

(Caso 3) 1 () y 2 ()Por (R3) sabemos que ( 1,2,3) = y por (R1) sabemos que

3En general, en el caso finito, si es un conjunto de modelos denotamos por una frmula tal que ( ) = y por abuso de lenguaje denotaremos 1,2 ,1,2,3 a {1,2}, {1,2,3} respectivamente.


( 1,2,3) {1, 2, 3}. Ahora consideremos dos subcasos.

(Caso 3.1) ( 1,2,3) {1, 2} = De esta suposicin se obtiene que ( 1,2,3) = {3}. Notemosentonces que ( (1,2,3 2,3)) = {3}. Luego, de (R5) y(R6), se tiene que

( 1,2,3) {2, 3} = ( (1,2,3 2,3))= ( 2,3)

As, ( 2,3) = {3}. Por lo tanto 2 ( 2,3), luego2 3, y esto es contradice la hiptesis inicial, por lo tanto, el caso3.1 no es posible.

(Caso 3.2) ( 1,2,3) {1, 2} = Notemos que la hiptesis 1 2 implica 1 ( 1,2).Adems por la suposicin de este caso, 1,2,3 y 1,2 son consis-tentes entre ellas. Entonces se deduce de (R5) y (R6) que

( 1,2,3) {1, 2} = ( 1,2)

por lo tanto, 1 ( 1,2,3) {1, 2}, en particular 1 ( 1,2,3). As, 1,2,3 y 1,3 son consistentes entre ellas.Luego, de (R5) y (R6), se obtiene que ( 1,2,3){1, 3} =( 1,3). Luego 1 ( 1,3), de donde 1 3 comoqueramos.

Mostremos ahora las propiedades de la fidelidad.Queremos ver que si = entonces para cualquier . Si unavaluacin es modelo de entonces ( ,). Por (R2), , , . As, , lo que implica . Luegola primera condicin de asignacin fiel se cumple.

Ahora supongamos que () y (). Queremos ver que


para cualquier par de valuaciones , . Luego, por definicin, tenemos

1 2

Lo que claramente dice 1=2 .

Finalmente mostremos la ecuacin de la representacin, es decir

( ) = ((),)

El caso en que sea inconsistente ambos lados de la igualdad son elconjunto vaco y por lo tanto la igualdad se cumple.

Ahora supongamos que es consistente.

Mostremos primero que ( ) ((),).Supongamos que no ocurre lo que queremos y veamos que llegamos a unacontradiccin. Entonces asumimos que existe , tal que ( )y ((),). Como ( ), por (R1), es modelode . Pero como ((),) necesariamente existe una va-luacin modelo de tal que


Probemos ahora que ((),) ( ).Sea tal que ((),) y, contrariamente a lo que quere-mos, supongamos que ( ). Con esta suposicin llegaremos auna contradiccin. En efecto, como es consistente, tenemos por (R3)que existe un modelo de . Por (R1), (). Como tanto como son modelos de , tenemos que (, ) , . Ademsnotemos que ( ) {, }, as ( ) , es consis-tente. Entonces, por las condiciones (R5), (R6) y (R4), se deduce que( ){, } = ( ,). Como ( ), tenemos,por la ltima igualdad, ( ,) = {}. As,


Verifiquemos (R3). Supongamos que es consistente. As, () esun conjunto no vaco y finito. Entonces, como es un preorden total,((),) es diferente del conjunto vaco4 y por lo tanto, es consistente. Luego (R3) se cumple.

Verifiquemos (R4). Notemos que por la tercera condicin de asignacinfiel se tiene que ((),) = ((),) cuando y ya que () = () y =. As, por la representacin,tenemos que . Luego, (R4) se cumple.

Verifiquemos (R5). Notemos que si ((),) () = ,entonces,(( ) ) = . Por consiguiente,

(( ) ) ( ( ))

lo cual es equivalente a (R5).Ahora supongamos que ( ) es consistente, y veamos que lacontencin anterior se sigue cumpliendo. Supongamos que existe (( ) ), y ( ( )), as de la representacin seobtiene que es modelo de y minimal en () con respecto a y,adems, que no est en los minimales de ()() con respectoa . Luego, existe () () tal que


Luego, como (), tenemos que ((),). Por otraparte, como(( ) ) = podemos tomar ((),) ().Ahora bien, como ((() ()),), () () y es total, tenemos que , pero ((),),luego ((),), lo cual es una contradiccin.

La siguiente figura ilustra el teorema de representacin para la revisin:

()

()

Los modelos de estn indicados en verde: los minimales de los modelos

de con respecto al preorden , indicado por las rayas horizontales. Los

modelos en las rayas ms bajas son los modelos ms plausibles para .

Una familia de ejemplos de operadores de revisin se puede construircuando se toma una distancia entre los valuaciones5. Esa distancia seextiende a una funcin la continuamos llamando entre valuaciones yfrmulas de la manera siguiente: (,) = {(,) : = }.A partir de all definimos la asignacin fiel de la manera siguiente:

(,) (, )

Cuando es la distancia drstica, i.e. solo toma dos valores 0 y 1(el valor 0 ssi son iguales, el valor 1 cuando las valuaciones son difer-entes) entonces el operador que se obtiene es el operador drstico yamencionado.Otro operador bastante interesante definido por este mtodo es cuando

la distancia tomada es la de Hamming, es decir (,) es el nmerode variables proposicionales en que difieren y .Examinemos un ejemplo concreto con esta distancia.

5Una aplicacin : R+ tal que para cualesquiera ,, se cumpleque: (,) = (, ) y (,) = 0 si, y slo si, = . No exigimos la desigual-dad triangular


Ejemplo 1.5.9 Considere una formula codificando la informacin si-guiente (se est razonando sobre el estado de dos circuitos de un com-putador): significa que el sumador y el multiplicador funcionan. Elpreorden total asociado a esta frmula usando la distancia de Hammingy el mtodo precedente es el siguiente

=00

01 1011

mod = {10}

La nueva informacin es que el multiplicador no funciona. Luego el re-sultado de la revisin ser, en trminos de modelos, (1, 0), lo cual signifi-ca que el sumador funciona pero el multiplicador no, es decir la frmula .

Note que el caso finito podemos tambin definir una aplicacin fiel 7 que enva teoras en prerdenes totales sobre las valuaciones,como una funcin que satisface:

1. Si 1 = , entonces 1 2 para cualquier 2.

2. Si 1 = y 2 , entonces 1


Teorema 1.5.11 Un operador satisface los postulados (K 1)-(K 8)si y slo si existe una asignacin fiel que enva cada teora a un pre-orden total tal que

( ) = ((),) ()

1.6. Representacin en el caso general

En esta seccin vamos a dar un teorema de representacin similar alTeorema 1.5.10 el cual vale sin hiptesis adicionales sobre la cardinali-dad del lenguaje. En particular vale para lenguajes infinitos. La nicadiferencia en la formulacin est en la definicin de asignacin fiel quedamos a continuacin:

Definicin 1.6.1 Una aplicacin 7 que enva teoras en prer-denes totales sobre las valuaciones, ser dicha asignacin fiel si ella sat-isface:

1. Si 1 = entonces 1 2 para cualquier 2.

2. Si 1 = y 2 entonces 1


Notemos que la parte si de este teorema es sobre todo una verifi-cacin. Ella se prueba esencialmente como la parte si del Teorema 1.5.8.La novedad est en la parte slo si. Debemos indicar que en el caso finitose us fuertemente el hecho de la existencia de una frmula 1,2 conexactamente dos modelos. En el caso infinito una tal frmula no existe,pues el conjunto de modelos de una frmula es siempre infinito.

Demostracin del Teorema 1.6.2: Si:Suponemos que existe una asignacin fiel tal que

= (((),))

es decir ( ) = ((),).

Verifiquemos (K1). es una teora por definicin.

Verifiquemos (K2). Queremos ver que , es decir que( ) () lo cual es inmediato de la definicin.

Verifiquemos (K3). Ello se verifica observando que

() = (,)

y si () () = entonces + = , en este caso se tieneque + que es la condicin (K3).

Verifiquemos (K4). Supongamos () () = .Entonces ( + ) = ()() = (,)() =((),) = ( ), lo cual completa la prueba de (K4).

Verifiquemos (K5). Si es consistente, es decir () = , tenemos,por la propiedad de suavidad ((),) = y por lo tanto es consistente.

Verifiquemos (K6). Esto es inmediato ya que si y slo si() =(). As si , tenemos ((),) = ((),),i.e. = .

Verifiquemos (K7). Probaremos

((),) () (( ),)

En efecto, sea ((),) (), en particular, ( ). Sea ( ), puesto que , () y ((),) se tiene que y as {( ),}.


Luego la condicin (K7), i.e. ( ) ( ) + , se verifica.

Verifiquemos (K8). Si ((),)() = se cumple vamosa verificar que se tiene

(( ),) ((),) ()

lo cual implica ( ) + ( ), es decir (K8). En efecto,sea (( ),), puesto que existe ((),) (), en particular ( ), y se cumple ; co-mo ((),) se tiene ((),). As, ((),) (). En consecuencia si / se cumple( ) + ( ).

Slo si:Procedemos a definir un preorden total sobre a partir de un operadorde revisin y una teora . Para ello, primero definimos el conjunto () que corresponde al conjunto de valuaciones que son realizadas enalguna revisin de , ms precisamente

() = { : tal que = }

Ahora definimos de la siguiente manera:

(i) Si / () entonces para todo . Esto significaque las valuaciones que no son realizables a travs de la revisin deK por una frmula son maximales.

(ii) Si () y / () entonces ; lo cual significaque los nicos maximales son los elementos en el complemento de ().

(iii) Si , () entonces

, [( = , = ) = ()]

Es decir , si cada vez que satisface a revisado por y

satisface a revisado por , se tiene que satisface a revisado por .Primero veremos que esta relacin es total. Sean y en . Si


() o () entonces o por la condicin (i) dela definicin de .Ahora supongamos que () y (). As, existen y talesque = y = . Bajo estas condiciones vamos a probar que = ( ) o = ( ). Enunciemos este resultado bajoforma de lema:

Lema 1.6.3 = y = = ( ) o bien = ( ).

Demostracin: Puesto que por ( 2) se cumple (),y por ser y consistentes (( 2) o ( 5) lo garantizan) se tieneque ( ) + o ( ) + , en caso contrariose tiene que ( ) + lo que contradice ( 2). Si ()+ , entonces / () y por ( 7) y ( 8) secumple ()+ = (()) = , la ltima igualdad espor ( 6), en particular = (). Si ()+ entonces()+ y de manera anloga se prueba que = ().

El siguiente resultado es un lema tcnico para poder cambiar los cuan-tificadores universales en la definicin de por cuantificadores exis-tenciales.

Lema 1.6.4 Si ( ) ( ) y ( ) ( ) , entonces

( ) + ( ) = ( ) + ( )

Demostracin: Sea = ( ) ( ) y = ( ) ( ), enparticular, por ( 2) se tiene que = , = y , = ,por el lema 1.6.3, se tiene que = ( ) o = ( ), encualquier caso se tiene que () / () y por (( 7) y ( 8)se cumple

( ) + = (( ) ( ))

Anlogamente, = , = y , = , y por el mismoargumento se tiene

( ) + = (( ) ( ))


Por ( 6)

( ) + ( ) = ( ) + ( )

Ahora podemos probar lo siguiente:

Lema 1.6.5

, (), , [ = , = , = ()]

Demostracin: Si = , = , = ( ) y = , = necesariamente se tiene que = ( ),ya que se verifican las condiciones del lema 1.6.4 y puesto que = ( ) + ( ) entonces = ( ).Ahora por el Lema 1.6.3 y el lema 1.6.5 tenemos que si () y () entonces o , lo que completa la prueba dela totalidad de .

Ahora verifiquemos que la relacin es transitiva:

Supongamos que , si / () se cumple por lacondicin (i) de la definicin de que . Supongamos que (), por ser , por definicin [ii] (), asimismocomo se tiene que (). Sean , , tales que =, = y = . Por hiptesis se tiene que = ()por ser y = ( ), ya que , asimismo, = ( ). Puesto que = , = ( ) y = ( ) por definicin del orden se tiene que .

Para probar la suavidad necesitamos el siguiente resultado.

Lema 1.6.6 Si


por ( 6) = . Contradiccin.

Veamos ahora que cumple con la propiedad de suavidad:Sea una frmula consistente, por ( 5) se tiene que es consis-tente. Sea = , luego = por ( 2); veremos que es unmodelo minimal de respecto a . Sea = , del lema 1.6.6 se tieneque .

Ahora vamos a probar la primera propiedad de asignacin fiel, es decirsi , = , entonces, y . Consideremos tal que = (esto es siempre posible ya que si es el conjunto de variablesproposicionales, : {0, 1} y para , si () = 0, bastatomar = y si () = 1, = ). Anlogamente existe tal que = , puesto que , = , se tiene que + es consistentey por ( 3), ( 4) se cumple ( ) = + lo cual implica, = (). Asimismo se tiene que = + y = +;como = , = y, = ( ), por la condicin (iii)de la definicin se tiene y .

Ahora vamos a probar la segunda propiedad de asignacin fiel, es de-cir si = y = , entonces


lo cual contradice la minimalidad de en los modelos de . Luego (), de este modo existe tal que = , por hiptesis ,por definicin [iii] se verifica = ( ), como = , se tiene que / () y por ( 7), ( 8) y ( 6) = ()+y en consecuencia = .

Captulo 2

Fusion

Cmo fusionar informaciones que vienen de diferentes fuentes es unavieja e interesante pregunta. Nuestro estudio concerniendo esta preguntase limita al caso en que las informaciones tienen representacin lgica. Deentrada debemos decir que el problema surge cuando hay conflicto entrelas informaciones, es decir cuando ellas son contradictorias. En los otroscasos la solucin es poner todas las informaciones juntas. Varias propues-tas [9, 5, 6, 41, 12, 11] han sido dadas pero no proponen un mtodo gen-eral para evaluar y clasificar las diferentes tcnicas. Esos son mtodos decombinacin. La primera proposicin para clasificar y entender mejor laspropiedades racionales de estos mtodos aparece en [27]. Desde entoncesesas tcnicas han sido refinadas y extendidas [28, 29, 30, 25, 31, 26]. Eneste captulo daremos un recuento de los resultados ms significativos.Los aspectos principales de estas tcnicas son proponer una caracteri-

zacin de operadores de fusin en un marco lgico, mediante propiedadesque capturen lo racional del comportamiento. Por otra parte lograr unacaracterizacin que permita construir tales operadores.Es importante notar que en los mtodos de fusin que expondremos

la informacin que resulta de la fusin es una informacin emergente.En el trabajo seminal [27] todas las informaciones tienen el mismo

grado de confianza. En subsecuentes trabajos se generaliza esta idea peroel resultado debe obedecer a ciertas restricciones de integridad. De hechoeste enfoque es ms general y tambin extiende al marco AFM para larevisin.Probaremos teoremas de representacin. Esos teoremas sugieren mto-

31


dos de construccin basados en distancias y funciones de agregacin.Es interesante notar que hay relaciones an por estudiar entre estos

mtodos y algunos aspectos de la Teora de Eleccin Social [4]

2.1. Bases y Conjuntos de Creencias

Sea el conjunto de todas las frmulas proposicionales construidas so-bre el alfabeto finito de proposiciones atmicas. El conjunto de todaslas interpretaciones es denotado por , y () denotar el conjuntode todos los subconjuntos no vacos de .

Sea una frmula, () denota el conjunto de los modelos de ,es decir

() = { = }

Dado un conjunto de frmulas = {1, 2, . . . , }, denotamos por la conjuncin de los elementos de , es decir, = 12 .

Definicin 2.1.1 Una base de creencias es un conjunto finito de for-mulas proposicionales.

Note que si = {1, 2, . . . , }, ese conjunto es lgicamente equiva-lente1 a = {1 2 } y por lo tanto ser identificada conuna sola frmula a saber 1 2 .

Una base de creencias denotar las creencias de un agente . Supon-dremos que todas las bases de creencias son consistentes, es decir, quecada agente posee informacin coherente. Como cada conjunto de creen-cias es considerada conjuntivamente, denotaremos a de aqu enadelante.

Definicin 2.1.2 Sean 1, 2, . . . , bases de creencias, no necesari-amente diferentes. Denominaremos conjunto de creencias al multiconjun-to que consiste de esas bases de creencias: = {1, 2, . . . , }.

1Decimos que dos conjuntos de frmulas 1 y 2 son lgicamente equivalentes si(1) = (2)


Supongamos = {1, 2, . . . , } y = {1, 2, . . . ,

} dos multi-

conjuntos. La unin de los dos multiconjuntos es el conjunto ={1, . . . , ,

1, . . . ,

}.

Denotemos por a la conjuncin de las bases de , es decir, =1 2 . Cuando = escribimos = .

Obsrvese que a diferencia de que siempre suponemos consistente, puede ser inconsistente. Basta con tomar = {,}, donde = y = , con alpha proposicin atmica.

Haciendo abuso de notacin, si es una base de creencia, ella tambindenotar al conjunto de creencias = {}. Para un entero positivo ,denotaremos por al multiconjunto

veces

.

Sean y una base de creencias, denotaremos por [/] alnuevo multiconjunto formado al sustituir una ocurrencia de por en.

Definicin 2.1.3 Sean , dos conjuntos de creencias. Diremos que y son equivalentes, denotado por si,y slo si, existe : una biyeccin de multiconjuntos2 tal que

() .

Definicin 2.1.4 Un preorden sobre un conjunto es una relacinsobre reflexiva y transitiva.

Diremos que es un preorden total sobre si cumple que

(i) es un preorden sobre

(ii) Para cada , en se tiene que o bien .

2Si = {1, 2, . . . , } y = {1, 2, . . . ,

}, entonces () = (), con

una permutacin


Definicin 2.1.5 Sea un preorden. Definimos < la relacin estrictacorrespondiente como sigue

< si, y slo si, y ,

y su correspondiente relacin de indiferencia como

si, y slo si, y .

Note que es una relacin de equivalencia cuando es un preordentotal.

Definicin 2.1.6 Dado un preorden total, diremos que (,) si, y slo si, y para cada , .

2.2. Operadores de Fusin

Una bases de creencias denotar las creencias de un agente. Un con-junto de creencias denotar las creencias individuales de los agentesen un grupo.

El objetivo de los operadores de fusin es determinar cules son lascreencias de grupo a partir de las creencias de los individuos y las re-stricciones impuestas por el sistema (restricciones fsicas, leyes, . . . ). Esasrestricciones estarn codificadas en una base de creencias .

El concepto de operador de fusin que a continuacin damos es unaextensin del concepto introducido en [27]. Fue acuado en [28] y ampli-amente estudiado en [24, 29, 31].

Un operador de fusin es una funcin que enva un conjunto decreencias y una base de creencias (que denota las restricciones deintegridad del sistema) en una bases de creencias. Formalmente:

:

donde denota el conjunto de todos los conjuntos de creencias. En vezde (, ) escribiremos () por simplicidad.


Definicin 2.2.1 (Operadores de Fusin IC) es un operador defusin con restricciones de integridad (Operador de fusin IC) si, y slosi, satisface lo siguiente:

(IC0) () .

(IC1) Si es consistente entonces () es consistente.

(IC2) Si es consistente con , entonces ()

(IC3) Si y , entonces () ()

(IC4) Si y , entonces ( ) (

)

(IC5) () () (

)

(IC6) Si ()() , entonces (

) ()()

(IC7) () ()

(IC8) Si () , entonces () ()

(ICO) asegura que el operador de fusin satisface las restricciones deintegridad. (IC1) estipula que siempre que las restricciones de integridadsean consistentes, el resultado de la fusin ser consistente. (IC2) nosdice que, de ser posible, el resultado de la fusin es la conjuncin de lascreencias con las restricciones de integridad. (IC3) expresa que el hechode que el resultado de la fusin depende slo de las opiniones expresadaspor los agentes y no de su interpretacin sintctica.(IC4) es conocido como el postulado de equidad; el punto es que cuan-

do fusionamos dos bases de creencias, el operador no debe dar preferenciaa ninguna de ellas.(IC5) e (IC6) estipulan que si se pueden encontrar dos subgrupos

cuyos resultados son consistentes entonces el resultado de la fusin globalser exactamente la conjuncin de los resultados.(IC7) e (IC8) estipulan que una alternativa que es preferida entre

las alternativas posibles () se mantendr preferida si restringimos lasposibles escogencias ( ) y ella an est all.

La figura siguiente muestra esquemticamente el comportamiento deun operador de fusin:


Restriccin

deIntegridades

( )Resultadode

laFusin

{ .

..

n

2

1

ConjuntodeCreencias Operadorde

Fusin

Figura 2.1: Operadores de Fusin Lgica

Definamos ahora dos importantes subclases de operadores de fusin.

Definicin 2.2.2 (Operador de Mayora) Un operador de fusin ICes un operador de mayora si satisface la siguiente propiedad

(May) (1 2 ) (2)

Esta condicin nos dice que si una interpretacin es estrictamentems plausible que una interpretacin para un conjunto de creencias2, entonces para cualquier conjunto de creencias 1 de creencias, si serepite suficientemente 2, en ese nuevo conjunto de creencias 1 2se mantiene la misma relacin estricta entre y .

Definicin 2.2.3 (Operador de Arbitraje) Un operador de fusin ICes un operador de arbitraje si satisface la siguiente propiedad

(Arb)

1(1) 2(2)(12)(1 2) (1 2)1 22 1

12(1 2)

1(1)


(May) expresa el hecho de que si una opinin tiene una audienciagrande, esta ser la opinin del grupo como un todo. Por otro lado (Arb)trata de satisfacer cada agente como sea posible.

Definicin 2.2.4 (Asignacin Sincrtica) Una asignacin sincrti-ca es una funcin que enva cada conjunto de creencias a un preordentotal sobre las interpretaciones tal que para conjuntos de creencias,1,2 y bases de creencias 1, 2 cualesquiera se tiene:

1. Si = y = , entonces .

2. Si = y = , entonces


La sexta condicin fortifica la condicin previa. Esta condicin expresaque si una interpretacin es al menos tan plausible como una inter-pretacin para un conjunto de creencias 1, y si es estrictamentems plausible que para un conjunto de creencias 2, entonces si uni-mos las dos conjuntos de creencias ser estrictamente ms plausibleque .

Definicin 2.2.5 (Asignacin Sincrtica de Mayora) Una asigna-cin sincrtica de mayora es una asignacin sincrtica la cual satisfacelo siguiente:

7. Si


Confrontando sus puntos de vista, Juan y Pedro acordaron sobre elhecho de que los dos equipos tienen la misma fuerza, que cualquierapudo haber ganado. Lo que demanda el arbitraje , con esa informacin,es que Juan y Pedro deben acordar que un empate es el resultado msplausible.

Teorema 2.2.8 (Teorema de representacin, [28, 29]) Un operadores un operador de fusin IC si, y slo si, existe una asignacin sincrticaque manda cada conjunto de creencias en un preorden total sobre tal que

(()) = ((),)

Demostracin:

() Sea un conjunto de creencias. Definimos la relacin de lasiguiente forma:

, si, y slo si = {,}()

Veamos que es un preorden total sobre

Totalidad Sean , y consideremos, la frmula {,},con ({,}) = {,

}. As bien, por (IC1) y la con-sistencia de {,}, se tiene que {,}() es consistente.Adems, por (IC0), {,}() {,}. De esta manera = {,}(), o bien

= {,}(). Por lo tanto

, o bien

Transitividad Supongamos 1, 2, 3 tales que 1 2y 2 3. Mostremos que 1 3; para ello razonemospor el absurdo suponiendo que 1 3. De esta forma

1 = {1,3}()


Por otro lado, de la consistencia de {1,3} y por (IC0) e(IC1) tenemos que = ({1,3}()) {1, 3}, ycomo 1 = {1,3}(), entonces

({1,3}()) = {3}. (2.1)

Luego, en virtud de (IC7) se tiene que

{1,2,3}() {1,3} {1,3}()

ya que {1,2,3}{1,3} {1,3} y en virtud de (IC3) es independiente de la sintaxis. As, consideremos los sigu-ientes dos casos.

{1,2,3}() {1,3} consistente.

Por (IC8) y en virtud de la hiptesis tenemos que

{1,3}() {1,2,3}() {1,3}.

As, por (2.1) se tiene que({1,2,3}() {1,3}) ={3}, y de esta forma 1 = {1,2,3}(). Nteseadems que ({1,2,3}()) = {2}. As

(i) ({1,2,3}()) = {2, 3}, o bien

(ii) ({1,2,3}()) = {3}]

En el primer caso, obsrvese que por la consistencia de{1,2,3}() con 1,2 , se tiene que

{1,2,3}() {1,2} {1,2}()

en virtud de (IC3), (IC7), e (IC8).

Por otro lado, como 1 = {1,2,3}(), entonces 1 ={1,2,3}(){1,2}, y por lo tanto 1 = {1,2}();lo que contradice que 1 2.


Para el segundo caso, por la consistencia de{1,2,3}()con {2,3}, nuevamente por (IC3), (IC7) e (IC8), setiene que

{1,2,3}() {2,3} {2,3}()

y como({1,2,3}()] {2,3}) = {3}, entonces2 = {2,3}(); lo que contradice que 2 3.

{1,2,3}() {1,3} es inconsistente.

En este caso tenemos que {1,2,3}() 2 , y porlo tanto

{1,2,3}() {1,2} 2 .

Ahora bien, en virtud de (IC3),(IC7) e (IC8) tenemos que

{1,2}() {1,2,3}() {1,2},

ya que {1,2,3}() es consistente con {1,2} es con-sistente, lo que indica que({1,2}()) = {2}. Deesta manera 1 = {1,2}(), implicando que 1 2. Contradiccin.

As, para cada conjunto de creencias, define un preordentotal sobre .

Veamos ahora que para cada restriccin de integridad(()) =((),).

(()) ((),).

Sea (()) y supongamos que ((),).As existe = tal que


Como = (), en virtud de (IC0) = , y como = tenemos que {,} {,}. Luego, de (IC3) y de (2.3)se tiene que

() {,} {,}().

De esta ecuacin y de (2.2) se tiene que = (), lo quees una contradiccin.

(()) ((),).

Supongamos ((),). De esta manera para ca-da modelo de se tiene que . Luego, de la defini-cin de tenemos que = {,}().

De (IC1) sabemos que () es consistente, ya que lo es.De esta manera, si = () tenemos que (){,}es consistente y en virtud de (IC7) e (IC8) se tiene que

() {,} {,}()

Ahora bien, como {,} {,}, de (IC3) se tiene

que() {,} {,}()

Luego = (), lo que indica que (()).

Consideremos as la aplicacin que relaciona a cada base de creen-cias con su preorden sobre , y mostremos que dicha apli-cacin es una asignacin sincrtica.

Consideremos los conjuntos de creencias ,1,2 y las bases decreencias 1, 2.

1. Si = y = entonces {,} . De (IC2)tenemos que

{,}() {,},

y como {,} {,} se tiene que

{,}() {,}


de esta manera, ({,}()) = {,}, implicando que

y . Luego

.

2. Si = y = entonces {,} ; ms an,{,} . De esta forma, en virtud de (IC2) tenemosque

{,}()

De esta manera y , y por lo tanto


5. Sean , tales que 1 y 2

. As,por la definicin de tenemos que = {,}(1) {,}(2). Por (IC5) se tiene que

{,}(1) {,}(2) {,}(1 2),

luego = {,}(1 2). As 12 .

6. Si , son tales que 1 y


( ) ((),):

Notemos que si = , entonces, en virtud de los postu-lados 1 y 2, para cualquier se tiene que .De esta manera si = entonces para cualquier

, implicando que ((),).

( ) ((),):

Sea ((),) y, buscando una contradic-cin, supongamos que = . De esta manera = , lo que nos dice que para cualquier =


que = ( ). Luego

() ()

(

)en virtud del Teorema de completitud.

(IC6) Supongamos que()() es consistente, y demostremosque ( ) () ().

Sea = ( ). As para cualquier = .Supongamos que = () (), as = (), obien = ().

Sin perdida de generalidad, supongamos que = () (elcaso = () se demuestra de forma anloga). En vir-tud de la consistencia de () (), podemos tomar = () (

), obteniendo as que


El teorema 2.2.8 nos dice que un operador de fusin IC le correspondeuna familia de preordenes. De hecho, un operador est determinado com-pletamente por estos preordenes, usando una funcin que enva cada con-junto de creencias a un preorden. Daremos algunos algunos ejemplos deesto en la siguiente seccin.

Un anlisis de la demostracin del teorema 2.2.8 revela que el postula-do (IC6) solamente se us para demostrar la condicin 6 de la definicinde asignacin sincrtica y, del mismo modo, dicha condicin se uso parademostrar (IC6). De igual forma, (IC4) corresponde a la condicin 4 so-bre la asignacin. Esta simple observacin nos lleva al siguiente corolario.

Corolario 2.2.9 Un operador satisface (IC0)-(IC5), (IC7) e (IC8) si, yslo si, puede ser representado por una asignacin que satisface 1 5.Un operador satisface (IC0)-(IC3), (IC5)-(IC8) si, y slo si, puede serrepresentado por una asignacin que satisface 1 3, 5 y 6.

Prximamente daremos una variante del Teorema 2.2.8 debilitando elpostulado (IC6) y su correspondiente condicin sobre la asignacin.Consideremos el siguiente postulado

(IC6) Si ()() entonces (

) ()()

Esta propiedad dice que si una alternativa es tomada por un grupo,entonces si dividimos el grupo en dos subgrupos (los cuales concuerdanen algo), al menos uno de estos subgrupos tendr esa alternativa. Estapropiedad corresponde a la siguiente condicin que es obviamente msdbil que la condicin 6 para las asignaciones sincrticas.

6. Si


Definicin 2.2.10 Diremos que un operador es un operador de cuasi-fusin IC si satisface (IC0)-(IC5), (IC6), (IC7) e (IC8). Una asignacincuasi-sincrtica es una asignacin que satisface las condiciones 1 5 y6.

Teorema 2.2.11 Un operador es un operador de cuasi-fusin si, yslo si, puede ser representado por una asignacin cuasi-sincrtica.

Demostracin:

() Supongamos un operador que satisface los postulados (IC0)-(IC5), (IC6), (IC7) e (IC8), y definamos una asignacin sincrticacomo se en la demostracin del teorema 2.2.8. En virtud del coro-lario 2.2.9, la asignacin representada por satisface las condi-ciones 1-5. De esta manera slo nos queda por demostrar la condi-cin 6.

Supongamos que , son tales que


() Consideremos una aplicacin que enva a cada conjunto de creen-cia en un preorden total sobre que satisface 1-5 y 6 ydefinamos como en la ecuacin 2.5. Por el corolario 2.2.9 sabe-mos que satisface (IC0)-(IC5), (IC7) e (IC8); faltando slo pordemostrar (IC6).

Supongamos = ( ). Por hiptesis existe tal que = () (

). Por definicin de , = se tieneque , en particular . Luego, en virtudde la condicin 6 (su contrarecproco), o ;de all se obtiene facilemente que ((),), o bien ((),) es decir = () ().

Teorema 2.2.12 Un operador es un operador mayoritario si, y slosi, existe una asignacin sincrtica de mayora tal que asocia a cadaconjunto de creencia un preorden total sobre tal que

(()) = ((),)

Demostracin:

() Sea un operador que satisface (IC0)-(IC8) y (May) . En virtuddel teorema 2.2.8, sabemos que existe una asignacin sincrtica talque a cada conjunto de creencias le asocia un preorden total. De esta manera, slo nos falta por demostrar la condicin deasignacin sincrtica de mayora.

Supongamos y conjuntos de creencias, y sean , modelostales que


() Consideremos una aplicacin sincrtica de mayora que enva cadabase de creencias en un preorden total , y definamos el op-erador como en la ecuacin (2.5). Por el teorema 2.2.8 sabemosque el operador define un operador de fusin IC, satisfaciendo lascondiciones (IC0)-(IC8). Veamos que satisface tambin (May) ;para ello veamos primero, haciendo uso del Principio de induccin,que la siguiente condicin es cierta:


en especial: ()


adems como

({,} {,}) {,,} y ({,} {,})

entonces

(({,} {,}) ({,} {,})) {,} (2.10)

Ahora bien, en virtud de (IC3) tenemos que

({,}{,})(

) {,}

(

)(2.11)

Por otro lado, como

({,}(

)) = (({,}),) = {

, }

entonces

{,}( ) {,} as, en virtud de 2.10 y 2.11 tenemos

que

({,}{,})(

) ({,} {,}) (2.12)

Ahora bien, como

{,} {,}{,} {,}

}(2.13)

y = , en virtud de (Arb) , 2.9, 2.11 y 2.13, se tiene que

{,}{,}(

) {,}() (2.14)

Por otro lado, como {,} {,} {,,}, de (IC3) setiene que

{,,}(

) {,}() (2.15)

y como {,}() se tiene que {,,}( ) .

De esta manera


() Consideremos una asignacin sincrtica equitable que asigna a ca-da conjunto de creencias un preorden total y definamos tomando para cada , restriccin de integridad, (()) =((),). Por el teorema 2.2.8, satisface (IC0)-(IC8),faltando slo por demostrar (Arb) .Supongamos que se cumplen las siguientes condiciones:

() ()

(()( )) ( )

y demostremos que ( ) (); para ello veamosprimero que () ( ). Por la consistencia de ten-emos que () es consistente. Sea tal que = () y supong-amos que = ( ). De esta manera existe =

tal que


por la condicin de asignacin equitable,


De esta manera, ( ) (), y por lo tanto

(

) ().

2.3. Algunos operadores de fusin IC

Daremos en esta seccin la definicin de tres familias de operadores.Todos estos operadores estn basados sobre una distancia entre inter-pretaciones que inducen el preorden asociado a cada conjunto de creen-cias.

Definicin 2.3.1 (Distancia entre interpretaciones) Una pseudodis-tancia entre interpretaciones es una aplicacin : R+ tal quepara cualesquiera ,, se cumple que:

(,) = (, )

(,) = 0 si, y slo si, =

Una distancia entre interpretaciones es una pseudodistancia que sat-isface la desigualdad triangular:

,, , (,) (,) + (, )

Dos distancias muy usadas entre interpretaciones son la distancia deDalal, denotada por , la cual es la distancia de Hamming entre in-terpretaciones (es decir el nmero de variables proposicionales sobre lascuales difieren dos interpretaciones), y la distancia drstica denotada por, el cual es la distancia ms simple que se pueda definir: es cero si lasinterpretaciones son la misma, y 1 en otro caso.

Definicin 2.3.2 Para cada nmero natural sea un conjunto y un orden lineal sobre , y supongamos 0 = (,). Una funcinde agregacin es una funcin total que asocia asocia a cada -upla finitade nmeros reales no negativos un elemento en , y es tal que para cada1, 2, . . . , , , de reales positivos


Anonimato Para cualquier permutacin ,

(1, 2, . . . , ) = ((1), (2), . . . , ())

Monotona Si < entonces

(1, . . . , , . . . , ) (1, . . . , , . . . , )

Minimalidad (1, . . . , ) = 0 si, y slo si, 1 = = = 0.

En muchos casos las estructuras ordenadas sern todas las mismasiguales a + con el orden natural. Ese ser el caso de la funcin suma ymximo ver ms abajo. Pero en otros no ser de esa manera, como en elcaso de la funcin Gmax donde para cada , ser (+) y el orden ser el orden lexicogrfico para los vectores de tamao .

Una distancia entre interpretaciones induce en forma natural una ex-tensin, que llamaremos distancia entre una interpretacin y una basede creencias de la siguiente manera

(,) = =

(,)

Esta a su vez, en conjunto con , induce una distancia entre una in-terpretacin y un conjunto de creencias como sigue: Sea = {1, . . . , }

, (,) = ((,1), . . . , (,))

(()

)Usaremos la notacin

(()

)para esta ltima expresin.

Esto nos permite definir un preorden sobre interpretaciones como sigue:

, si, y slo si, , (,) ,

(,

)Por abuso de lenguaje y con el deseo de simplificar la notacin deno-

taremos a 0 por 0 y a por siendo claro del contexto de quien setrata.

Proposicin 2.3.3 Sea una pseudo distancia y una funcin de agre-gacin. La aplicacin 7, cumple con las primeras cuatro postula-dos de la asignacin sincrtica.


Demostracin: Consideremos , conjuntos de creencias y y

bases de creencias cualesquiera.

1. Si = y = , entonces para cada se tiene que = y = . De esta manera

, (,) = (, ) = 0

y de la propiedad de minimalidad de se tiene que

, (,) = 0 = ,(,

)De esta manera ,

.

2. Supongamos que = y = . Como = , , (,) = 0.Por otro lado = , para algn y por lo tanto (, ) > 0.As de la propiedad de minimalidad se tiene

,(,

)=

((, )

) 0

Como (tambin por minimalidad) 0 = , (,) tenemos

, (,) ,(,

)lo que indica que


De igual manera se demuestra que , (,) = , (,), loque implica que

,(,

) ,

(,

)luego ,

.

4. Sea = . Mostremos que existe = tal que .

Consideremos = tal que (,) = (). Notemos que(,) = (, ) = 0. Ahora bien,

(, ) (,)

de esta manera (, ) (,). En virtud de la propiedad demonotona de tenemos que

((, ), (, )) ((, ), (,)).

De aqu se tiene que ((, ), (, )) ((,), (,)),implicando que

,(,

) ,

(,

).

Esto muestra que , .

Notacin. La operacin de concatenacin de dos vectores cuyas coor-denadas estn en + ser denotada por .

Definicin 2.3.4 Diremos que una funcin de agregacin es Paretofuerte si para cualesquiera vectores 1, 2, 3, 4 , con 1 = 2 y3 = 4 se cumplen

(i) (1) (2) (3) (4) = (1 3) (2 4);

(ii) (1) (2) (3) (4) = (1 3) (2 4)

Diremos que una funcin de agregacin es Pareto dbil si cumplela condicin (i) anterior y adems la condicin (ii) que se enuncia acontinuacin:


(ii ) (1) (2) (3) (4) = (1 3) (2 4)

Proposicin 2.3.5 Sea una pseudo distancia. Si una funcin deagregacin Pareto fuerte entonces la aplicacin definida por que envaa cada conjunto de creencias en un preorden , es una asignacinsincrtica.

La demostracin de este resultado es directa de la proposicin 2.3.3 yde las propiedades (i) y (ii) de la definicin de Pareto fuerte.

Como corolario directo de esta proposicin y del teorema de repre-sentacin 2.2.8.

Corolario 2.3.6 Sea una pseudo distancia y una funcin de agre-gacin Pareto fuerte de la proposicin 2.3.5. Entonces el operador ,

es un operador de fusin IC.

Proposicin 2.3.7 Sea una pseudo distancia. Si una funcin deagregacin Pareto dbil entonces la aplicacin definida por que enva acada conjunto de creencias en un preorden , es una asignacincuasi sincrtica.

La demostracin de este resultado es directa de la proposicin 2.3.3 yde las propiedades (i) y (ii ) de la definicin de Pareto dbil.

Como corolario directo de esta proposicin y del teorema de repre-sentacin 2.2.11

Corolario 2.3.8 Sea una pseudo distancia y una funcin de agre-gacin Pareto dbil. Entonces el operador , es un operador de fusinIC.

La diferencia entre las tres familias de operadores que definiremos msadelante radica en la manera en que la distancia entre una interpretaciny una base de creencias es usada para definir la distancia entre una in-terpretacin y un conjunto de creencias, es decir en la funcin f que seva a considerar.


Definicin 2.3.9 Sea un conjunto de creencias, una interpretaciny una distancia entre interpretaciones. La distancia es definidapor

,(,) =

(,)

La funcin es claramente una funcin de agregacin. Como yavimos esto induce un preorden sobre las interpretaciones de la siguientemanera:

, , (,) ,

(,

)Definimos el correspondiente operador de fusin IC, , como

sigue:(, ()) =

((),,

)Teorema 2.3.10 El operador , es un operador de cuasi-fusinque cumple con (Arb) .

Demostracin:

Para ver que es un operador de cuasi-fusin basta ver, en virtud del coro-lario 2.3.8, la funcin es una funcin de agregacin Pareto dbil. Quees de agregacin es inmediato como ya lo observamos anteriormente. Laspropiedades de Pareto dbil se deducen directamente de las propiedadesdel mximo entre conjuntos.

Slo nos queda por ver que la propiedad 8 (de equidad) de las asigna-ciones (cuasi) sincrticas que como vimos implica (Arb) .

8 Supongamos que , y son interpretaciones tales que


La condicin 6 no necesariamente se cumple, para esto consideremosel siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3.11 Consideremos las bases de creencias y cuyos mod-elos son () = {101, 100, 111} y () = {110, 111}, y consider-emos las interpretaciones = 101 y = 011. Si consideramos la dis-tancia de Hamming (nmero de posiciones en que las interpretacionesdifieren), , tenemos que:

(,) = 0,

(, ) = 1,

(,) = 1,

(, ) = 1

De esta manera


El resultado de los operadores , puede ser considerado como laeleccin de la opcin ms popular entre las restricciones de integridad.

Este operador es en realidad un operador de fusin mayoritario, comolo establece el siguiente teorema, pero antes de ello mostremos la siguien-te propiedad de la distancia ,.

Lema 2.3.13 Sea una pseudo-distancia entre interpretaciones. En-tonces, para cualesquiera y conjuntos de creencias y interpretacinse tiene que

,(,

)= , (,) + ,

(,

)Demostracin: Sabemos que

, (,) =

(,) y ,(,

)=

(,).

De esta manera:

, (,) + ,(,

)=

(,) +

(,)

=

(,)

= ,(,

)

Teorema 2.3.14 Para cualquier pseudo-distancia entre interpreta-ciones, el operador , es un operador mayoritario.

Demostracin: Para ver que el operador , es de fusion basta ver,envirtud del corolario 2.3.6, que la suma es una funcin de agregacinPareto fuerte. Esto ltimo es bastante directo por la conmutatividad y lamonotona de la suma en cualquiera de sus argumentos. Las propiedadesde Pareto fuerte se deducen del lema 2.3.13 y la monotona.

As slo falta ver que es mayoritario lo que es equivalente a probar lapropiedad 7 de las asignaciones sincrticas.


7. Supongamos , interpretaciones tales que , (,) , (

,)

, (,) , (,)

Note que por hiptesis el denominador es estrictamente positivo,luego tal existe.

Ahora vamos a definir la funcin . Si es un vector de realesmayores o iguales a cero, denotamos al vector obtenido de ordenn-dolo en orden decreciente. Entonces definimos () = . Note asque los conjuntos (+) son enviados en (+) al cual ordenamos con elorden lexicogrfico. Es fcil ver que es una funcin de agregacin.

Definicin 2.3.15 Sea = {1, 2, . . . , } un conjunto de creenciasy sea una distancia entre interpretaciones. Para cada interpretacin construimos la lista (1 ,

2 , . . . ,

) de distancias entre esta inter-

pretacin y las bases de creencias en , es decir, = (,). Sea, ((, ) ,) la lista obtenida de (

1 ,

2 , . . . ,

) al ordenarla de

forma decreciente.

De esta manera, si consideramos , el orden lexicogrfico entre suce-siones de enteros con la misma longitud, definimos el siguiente preordentotal

, , (,) ,

(,

)


y el operador , es definido por

(, ()) = ((),, )

De hecho , ((, ) ,) = ()((,)) y , es el

operador definido a partir de y la funcin de la que prontomostraremos es una funcin de agregacin Pareto fuerte.

Supongamos 1 y 2 listas de nmeros ordenados de forma decre-ciente. Denotamos por 12 a la lista que se obtiene al ordenar deforma decreciente la concatenacin de 1 con 2.Notemos que de la definicin de , tenemos que si y son dos

bases de creencias, para cualquier base de creencias , , (, ) =, (,) , (,

). Tambin, por medio de la definicin, esfcil demostrar que el operador , es un refinamiento del operador,.

Proposicin 2.3.16 Sea una pseudo-distancia entre interpretaciones.Para cualesquiera restriccin de integridad y cualquier conjunto decreencias , , ()

, ().

Demostracin: Sea restriccin de integridad, un conjunto decreencias y supongamos que = , (). De esta manera = , ypara cada = se tiene que ,

. Notemos que por definicintenemos que , (,) , (,).

Supongamos que

, (,) = (1 ,

2 , . . . ,

) y ,

(,

)= (

1 ,

2 , . . . ,

).

Por definicin sabemos que 1 y

1

, para cada 1 .De esta manera 1 =

(,) y

1 =

(, ), y en vir-

tud del orden lexicogrfico, , tenemos que 1

1 . De esta man-era , (,) , (,) para todo = , y por lo tanto

= , ().

Lema 2.3.17 Sean 1, 2 y 3 lista de nmeros enteros ordenados deforma decreciente con 1 = 2. Si 1 2, entonces 13 23.


Demostracin: Por induccin en el tamao de 3. En realidad el casointeresante es cuando 3 = 1, pues claramente si 3 = (1, . . . , 1, )se tiene

3 = ((1, . . . , 1))()

Si 1 = 2 es trivial. As supongamos que 1 = 2, lo que nos lleva a1 vamos a considerar dos casos: o < .

En el primer caso, como va a coincidir con la -sima coordenada de lalista 23, para algn en 1, + 1 y para ese mismo va a coincidircon la -sima coordenada de la lista 13. As la situacin ser comose describe, ms graficamente, a continuacin

1 2 . . . 1 . . . 1

2 . . .

1

. . .

donde se ve claramente que 13


Lema 2.3.18 Sean 1, 2 y 3 lista de nmeros enteros ordenados deforma decreciente con 1 = 2. Si 1


Consideremos (, ) = y (, ) = , para cada =

1, 2, 3, y notemos que 1 < 2 y

1 <

3 . Ahora bien, como

2 , 3, tenemos los siguientes casos.

Caso 1 Si 2 = 3 , entonces:

1 < 2 {

2 ,

2 },

1 < 3 =

2 {

2 ,

2 }.

De esta manera , (1, )


La directiva not que la construccin de dos o ms de las atraccionesconducir a un importante incremento sobre la renta

= ( ) ( ) ( )

Hay cuatro miembros de la directiva cuyas creencias sern denotadaspor 1, 2, 3, 4. As, = {1, 2, 3, 4}. Dos de los miembrosde la directiva quieren construir las tres atracciones y no les importael incremento de la renta (1 = 2 = ). El tercero de losmiembros piensa que la construccin de cualquiera de las atraccionescausar, el cualquier momento, un aumento en la renta y quiere que losaccionistas paguen la renta ms baja posible, de esta forma el se oponea cualquier construccin de (3 = ). El ltimo direc-tivo piensa que el complejo en realidad necesita la cancha de tenis y lapista de carting pero no desea un incremento en la renta (3 = ).

Las variables proposicionales , , e sern consideradas en eseorden para las valuaciones. As:

() = {0110, 1010, 1100, 1110}

(1) = (2) = {1110, 1111}

(3) = {0000}

(4) = {1010, 1110}

Los resultados de las distancias estn en la tabla 2.1. Las Filas som-breadas corresponden a las interpretaciones rechazadas por la restriccinde integridad. De esta manera, los resultados han de ser encontrados en-tre las interpretaciones que no estn sombreadas.

Con el operador ,, la distancia la distancia mnima es 2 y lasinterpretaciones escogidas son

( , ()) = {0010, 0011, 0100, 1000, 1001}

As la decisin que ms se ajusta a los deseos del grupo es entonces noincrementar la renta y construir una de las tres atracciones, o incremen-tar la renta y construir la cancha de tenis o sino la pista de carting.


() (,1) (,2) (,3) (,4) 0000 3 3 0 2 3 8 (3,3,2,0)0001 3 3 1 3 3 10 (3,3,3,1)0010 2 2 1 1 2 6 (2,2,1,1)0011 2 2 2 2 2 8 (2,2,2,2)0100 2 2 1 2 2 7 (2,2,2,1)0101 2 2 2 3 3 9 (3,2,2,2)0110 1 1 2 1 2 5 (2,1,1,1)0111 1 1 3 2 3 7 (3,2,1,1)1000 2 2 1 1 2 6 (2,2,1,1)1001 2 2 2 2 2 8 (2,2,2,2)1010 1 1 2 0 2 4 (2,1,1,0)1011 1 1 3 1 3 6 (3,1,1,1)1100 1 1 2 1 2 5 (2,1,1,1)1101 1 1 3 2 3 7 (3,2,1,1)1110 0 0 3 0 3 3 (3,0,0,0)1111 0 0 4 1 4 5 (4,1,0,0)

Cuadro 2.1: Tabla 1

Podemos observar en este ejemplo por qu el operador , no esun operador de fusin IC. Por ejemplo las interpretaciones 0010 y 0011son escogidas por , (), aunque 0010 es mejor para 3 y 4 que0011, siendo as que estas dos son igualmente preferidas por 1 y 2.Parece natural entonces que 0010 sea globalmente preferida a 0011.

La familia de operadores , ha sido construida con la idea deque sea ms selectiva que la familia , al tener estos requerimientosen cuenta. Con el operador , el resultado es

( , ()) = {0010, 1000}

as la decisin en este caso es construir la pista de carting o la cancha detenis sin incrementar la renta.

Pero si uno escoge , para resolver el conflicto de acuerdo a losdeseos de la mayora, el resultado es entonces

( , ()) = {1111}


y la decisin ser construir las tres atracciones e incrementar la renta.

La eleccin mayoritaria, a menudo parece ms democrtica que losotros mtodos pero, por ejemplo en este caso, este resultado slo se dara cabo si 3 acepta obedecer esta decisin que es totalmente opuesta a suopinin. Si 3 y a quienes representa deciden no pagar la mensualidad,los trabajos tal vez no se lleven a cabo por la carencia de dinero. Entoncessi una decisin requiere de la decisin de todos sus miembros, un mtodoms consensual, como el arbitraje, parece adecuado. Este tipo de eventosest estrechamente relacionado con la teora de eleccin social.

Captulo 3

Razonamientos no montonos

El estudio de los llamados razonamientos de sentido comn ha sidoun tema de investigacin en el rea de inteligencia artificial por muchosaos. En este captulo presentaremos algunas de las ideas desarrolladaspara analizar un tipo particular de estos razonamientos.Una afirmacin condicional es una afirmacin de la forma si , en-

tonces . Por ejemplo, considere la siguiente expresin: si ocurre,normalmente tambin ocurre o normalmente implica . Estasafirmaciones se hacen durante un proceso de inferencia que, por estarbasado en informacin incompleta, puede admitir excepciones. Un primerejemplo est dado por la deduccin clsica: . Este caso es ideal,pues cuando decimos implica lgicamente a no se permite ningunaexcepcin. Otro ejemplo lo obtenemos cuando el proceso de inferenciase basa en probabilidades. Diremos que normalmente implica , si laprobabilidad de que y ocurran simultneamente es alta en relacina la probabilidad de . Esto no excluye la posibilidad que se cumplapero no, aunque normalmente esto no sucede.Consideremos ahora las oraciones subjuntivas. Por ejemplo: Si no

hubieras renunciado a tu trabajo, hoy seras el gerente, o ms general-mente, Si hubiese ocurrido, entonces tambin hubiese ocurrido. Eneste tipo de afirmaciones condicionales la premisa puede, o no, entraren contradiccin con las creencias o hechos aceptados hasta el momento.Cuando la premisa contradice nuestra creencias, se dice que el argumen-to o la afirmacin es contrafactual 1. Como veremos ms adelante, ese

1En espaol a veces usamos la expresin en el supuesto negado para indicar

71

72 R. Pino Prez y C. Uzctegui Aylwin

tipo de afirmaciones est estrechamente relacionado con los procesos derevisin de las creencias.Las afirmaciones condicionales se denotarn como sigue:

.

Las leeremos diciendo: si , entonces normalmente , o tambin, normalmente implica .El estudio de estas afirmaciones condicionales ha puesto el nfasis en

el anlisis de como relacin binaria entre frmulas en un lenguajeproposicional. El objetivo es determinar las propiedades estructurales quedebe poseer para que represente un proceso de inferencia legtimo,racional o al menos capture ese tipo de razonamiento que llamamos desentido comn. Estas relaciones se llaman relaciones de consecuencia.Para ilustrar uno de los problemas tratados en este captulo, considere

la siguiente coleccin formada por tres afirmaciones condicionales es-critas en un lenguaje proposicional con (al menos) tres variables , y:

.

La interpretacin usual de dice: los pinginos son aves, las aves (nor-malmente) vuelan y los pinginos no vuelan.No podemos interpretar como , la deduccin clsica, pues por ser

transitiva, obtendramos y , que es una contradiccin.Si la nica informacin que conocemos acerca de las variables , y

son las afirmaciones contenidas en , una pregunta natural es qums podemos inferir?, es razonable pensar que ? o ser que ?. De acuerdo a la interpretacin que dimos en trminos deaves y pinginos, uno esperara que y tambin que .Ahora bien, qu se puede decir en general? Uno de los objetivos deeste captulo es presentar algunas herramientas que permiten dar unarespuesta general a esas preguntas de apariencia tan sencilla.Una propiedad que posee la deduccin clsica es que si es una con-

secuencia de un conjunto de premisas, entonces tambin es unaconsecuencia de cualquier conjunto de premisas que contenga a . Esto

que la premisa de la oracin condicional en realidad no es cierta, o la consideramosimposible o muy improvable que ocurra. En ingls se les llama counterfactuals.


es, las consecuencias crecen monotnicamente en relacin a las premisas.En nuestro caso, uno dice que una relacin de consecuencia es mon-tona, si cada vez que tengamos , entonces tambin se cumple que para toda frmula . En los razonamientos de sentido comnes frecuente que no se cumpla la monotona. En el ejemplo presentadoanteriormente, uno espera que , aunque .Para concluir esta introduccin, comentaremos sobre otra manera de

interpretar formalmente las afirmaciones condicionales (es decir, darlesuna semntica) que hace uso de los operadores de revisin AGM. Laidea fundamental se basa en el Test de Ramsey. Sea un conjunto decreencias expresadas en un lenguaje proposicional.

Test de Ramsey: Se acepta una oracin condicional con respectoa si el cambio minimal de necesario para aceptar a tambin re-quiere que aceptemos a .

En vista de lo que hemos estudiado en el captulo 1 podemos for-malizar el Test de Ramsey de la siguiente manera. Dado un operadorde revisin AGM , y una teora , definimos una relacin binaria entre frmulas:

sii .

Esta es una forma de darle sentido a afirmaciones del tipo: Si hubieseocurrido, entonces tambin. En general, no es montona (exceptocuando es el conjunto de todas las tautologas).En la bibliografa el lector encontrar algunas referencias de la extensa

literatura existente sobre relaciones de consecuencia. El enfoque que pre-sentaremos est basado en los trabajos de Makinson, Kraus, Lehmannand Magidor [32, 33, 36].

3.1. Relaciones acumulativas, preferenciales

y racionales

En esta seccin presentaremos una clasificacin de las relaciones deconsecuencia siguiendo los trabajos de Krauss, Lehmann y Magidor [32,33]. A menos que digamos expresamente otra cosa, los resultados de estaseccin provienen de esos trabajos.

74 R. Pino Prez y C. Uzctegui Aylwin

En un sentido puramente formal, una afirmacin condicional es un parde frmulas (, ) que como dijimos, se denotar por

.

Una relacin de consecuencia es una coleccin de afirmaciones condi-cionales.Comenzaremos presentando algunas reglas bsicas que uno esperara

sean satisfechas por una relacin de consecuencia:

REF .

LLE Si y , entonces .

RW Si y , entonces .

CUT Si y , entonces .

CM Si y , entonces .

Donde REF es una abreviacin en ingls de Reflexivity, LLE de Left Log-ical Equivalence, RW de Right Weakening y CM de Cautious Monotony.

Definicin 3.1.1 Una relacin de consecuencia es acumulativa si sat-isface REF, LLE, RW, CM y CUT. Este sistema de reglas lo denotaremospor C.

Es fcil verificar que la relacin de consecuencia de la lgica clsica satisface todas esas propiedades. La gran mayora de relaciones deconsecuencia que estudiaremos satisfacen este conjunto de reglas. Sinembargo, tambin veremos ms adelante (seccin 3.4) una familia muynatural de relaciones de consecuencia que no satisfacen todas estas reglas.El estudio de las relaciones de consecuencia ha hecho nfasis en entenderaquellas relaciones que no satisfacen el principio de monotona:

Monotona Si , entonces .

Como ya lo mencionamos en la introduccin de este captulo, los ra-zonamientos que ocurren en la vida diaria con frecuencia no respetan


el principio de monotona. Esto usualmente se debe al hecho que es-tos razonamientos se basan en informacin incompleta y a medida querecibimos ms informacin algunas de la conclusiones iniciales ya no sonconvalidadas.La regla CM, como su nombre lo indica, es una versin cautelosa de

la monotona, veremos mas adelante otra forma ms fuerte. Adems deestas reglas que claramente son formas de monotona, veremos otras quetienen ms bien que ver con las propiedades de la disyuncin.El conjunto de consecuencias de una frmula lo denotaremos

dinamica del conocimiento (pino perez y alwin)

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