dinamica de los trenes

TRANSPORTE FERROVIARIO DINÁMICA DE LOS TRENES

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CAPITULO XI

DINAMICA DE LOS TRENES

XI-1) MOVIMIENTO

XI-1.1) Potencia y fuerza tractiva:

Cuando todos los ejes son propulsores, el peso adherente es igual al peso de la

locomotora, sino la relación entre el peso adherente y el total es la misma que existe

entre el número de ejes propulsores y el total de número de ejes. Cabe aclarar que, a

diferencia de los camiones, el peso de las locomotoras se distribuye casi uniformemente

en todos los ejes.

Resulta importante conocer la configuración de una locomotora. Los boggies de las

locomotoras son de 2 ó 3 ejes, salvo excepciones, y poseen diferentes configuraciones.

Los bogies de 3 ejes, pueden tener todos sus ejes propulsores, en cuyo caso el peso

adherente coincide con el total y se nota como C-C ó Co-Co; ó sólo dos ejes

propulsores, en cuyo caso se nota como A-1-A y el peso adherente es 2/3 del total. En

este último caso siempre se deja libre el eje central. Los boggies de 2 ejes, pueden tener

pueden tener ambos ejes propulsores, por lo que el peso adherente coincide con el total

y se nota como B-B ó Bo-Bo; ó sólo un eje propulsor, en cuyo caso se nota como B-1 y

el peso adherente es ½ del total.

Para que haya movimiento con rodamiento, la fuerza propulsora debe ser menor que el

producto del peso adherente (Pa) por la adherencia (ψ), es decir Ft ≤ P.ψ, sino hay

movimiento con deslizamiento. Si hay deslizamiento aparecen problemas en la

circulación por lo que se busca andar siempre en rodamiento.

La potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo, por lo que usando las unidades

usuales, se tiene que:

F kg .v km k F kg .v km kPot HP

75,5.3,6 272

F kg .v km kPot kW

370

1

La potencia disponible en una locomotora es la potencia al freno menos la potencia

utilizada en elementos internos. Además, no toda esa potencia es realmente utilizable

sino que el fabricante indica qué porcentaje de la misma sí se usa a través de un

coeficiente llamado rendimiento mecánico (), que generalmente varía entre 82 y 87 %.

Para establecer la fuerza tractiva a partir de la potencia, se tiene que

1 1 HP = 0,736 kW


210

( ). ( / )

( )272.

tF Kg v km hPot HP

272. ( ).( )

( / )t

Pot HPF kg

v km h

Como la potencia es constante, al graficar la fuerza tractiva en función de la velocidad,

se obtiene una hipérbola. Pero esto genera un inconveniente práctico, pues de ser así en

el arranque la velocidad sería nula y por tanto la fuerza tractiva infinita. En realidad, la

fuerza tractiva está limitada por la adherencia continua que es un parámetro dado por el

fabricante, que generalmente vale entre 21 y 27 %. Así se tiene la mínima velocidad a la

que una locomotora puede traccionar sin sufrir problemas, que generalmente ronda los

10 km/h y es llamada velocidad crítica. Mientras que la velocidad supere ese valor

mínimo, la locomotora puede traccionar indefinidamente sin hacer sufrir al motor.

Normalmente, en el tablero de la locomotora se tiene un indicador de cuánto tiempo se

puede andar a velocidades por debajo de la velocidad crítica, y también se tiene un

sistema que detecta el deslizamiento, mejorando la adherencia en el arranque. Así, la

gráfica fuerza en función de velocidad es entonces una hipérbola para velocidades

mayores a la crítica y se une en línea recta desde el punto crítico a la fuerza tractiva en

el arranque. Un riel húmedo tiene menor adherencia, por lo que las locomotoras tienen

sistemas que van tirando arena sobre riel dado que ésta es una sustancia abrasiva.

La adherencia disminuye con el aumento de la velocidad, es decir que es máxima en el

arranque cuando su valor varía hoy en día de 30 a 33 %. En el transporte por carretera,

dicho valor se duplica debido a que la fricción entre cubierta y pavimento es mayor que

entre los metales de la rueda y el riel. En el arranque, no sólo la fuerza tractiva es

máxima sino que la resistiva también.

En ese caso conociendo la adherencia continua ó el esfuerzo continuo, su relación está

dada en función de la velocidad crítica (vc) por

continuat

c

272.Pot HP .F kg

v km k


211

XI-1.2) Ecuación del movimiento:

La ley de Newton indica que la aceleración, es decir la variación de la velocidad con el

tiempo, multiplicada por la masa es igual a la fuerza aceleratriz. En este caso, la fuerza

aceleratriz es la diferencia entre el esfuerzo continuo y el esfuerzo resistivo, ambas a la

velocidad considerada. Para poder acelerar, las fuerzas tractivas deben superar a las

resistivas; y si se igualan, la velocidad se mantiene constante.

a t

dvma m F F R

dt

: a

t

Siendo F la fuerza aceleratriz

F la fuerza tractiva

R la sumatoria de todas las fuerzas resistivas

XI-1.3) Resistencias al movimiento

Tanto el conjunto de las unidades que constituyen el tren como cada una de ellas

individualmente oponen al movimiento una serie de resistencias que es necesario

conocer a fin de realizar el estudio del movimiento del tren. Si el tren marcha sobre un

trayecto de características constantes, como ser alineación y pendiente, y a una

velocidad constante, las resistencias globales al movimiento son equilibradas por el

esfuerzo tractivo del vehículo motor en las llantas de los ejes motrices, si se considera el

conjunto del tren incluida la unidad tractiva, ó en el gancho de tracción si se considera

únicamente el material remolcado.

Del mismo modo, al cambiar el régimen de marcha ó las características de la línea, la

resistencia de inercia ó las correspondientes al nuevo trazado deben ser superadas por el

esfuerzo tractivo desarrollado por la unidad motriz.

Todas esas resistencias, que en su conjunto se denominan resistencia a la tracción, son

de naturaleza muy diversa, aunque puede señalarse que son función del peso y

velocidad del tren y son atribuibles a causas de carácter interno y externo. Las causas

internas dependen de las características constructivas de los vehículos y de la vía,

mientras que las externas de la configuración del trazado de la vía, como ser alineación

y pendiente, y de las condiciones atmosféricas en que se mueve el tren.

Las resistencias globales a la tracción están constituidas por las resistencias elementales

que pueden ser divididas en tres grandes grupos, a saber

► Resistencias al avance

■ resistencias a la rodadura ó mecánicas, y

■ resistencia del aire

► Resistencias locales

■ rampas,

■ pendientes, y

■ curvas

► Resistencias de inercia

■ cambios de la velocidad. Resulta de la energía necesaria para comunicar al tren

su velocidad de régimen partiendo del reposo ó al efectuar un cambio en el


212

régimen de marcha. Este gasto de energía se refiere tanto a la velocidad de

traslación del tren como a la rotación de las partes giratorias (ruedas, motor de

tracción, etc.) tanto de la unidad motriz como del tren remolcado.

Las resistencias a la rodadura se expresan en kg ó en Newton. A veces se trabaja con la

resistencia específica, que se obtiene dividiendo la resistencia a la rodadura por el peso

del vehículo expresándose entonces en kg/ton ó N/ton.

XI-1.3.1) Resistencias al avance: a la rodadura o mecánicas

Rozamiento en las cajas punta de eje

i

0R

r.f.PP.000.1R

donde

● r es el radio del eje en el círculo de

rodadura (m),

● Ri es el radio de la llanta ó rueda (m),

● P es el peso total del vehículo (ton),

● P0 es el peso no suspendido (ton),

● f es el coeficiente de fricción entre el

cojinete y la punta del eje, y

● R es la resistencia (kg ó N).

El peso no suspendido incluye a la masa que se encuentra por debajo de los boggies; por

ejemplo los ejes, las cajas de grasa, las cajas de tracción, los motores eléctricos, etc.

El coeficiente de fricción es función del tipo de caja, por ejemplo caja de bronce,

cojinetes, etc., y también del peso sobre la caja, de la velocidad, de la viscosidad del

aceite, de la humedad y de la temperatura exterior.

La experiencia muestra que la resistencia a la rodadura disminuye dentro de ciertos

límites cuando aumenta la temperatura del aceite y es tanto más pequeña cuanto

mayores son las cargas y la tara de los vehículos. La resistencia es máxima en el

arranque y disminuye rápidamente hasta alcanzar un valor mínimo a 25Km/h; es tanto

mayor cuanto más baja es la temperatura exterior y más prolongada la parada del

vehículo previo al arranque.

Se tienen varias formulaciones de origen experimental. Por ejemplo, para un material

articulado de 4 ejes, la resistencia puede calcularse como R = 0,65.P + 52,8 (kg);

mientras que para vehículos de N ejes, Davies establece que R = 0,65.P + 13,2.N.

En el gráfico siguiente, se observa que R es función del peso del vehículo.

Por otro lado, r es función de la velocidad del vehículo. La resistencia al arranque en

vehículos con cojinetes es del orden del 100 % menor que en las cajas de bronce; a 25

km/h es del orden del 50 al 80 % menor; a 50 km/h del 20 % y a velocidades del orden

de 100 km/h del 5 %.

El coeficiente de fricción (f) en cajas con rodillos (cojinetes) varía entre 0,0015 a 0,002.


213

Resistencia a la rodadura

La resistencia a la rodadura es provocada por la compresión del riel bajo la carga de la

rueda. La rueda y el riel se deforman hasta que existe una superficie de contacto

suficiente para soportar la carga. La deformación es más ó menos elástica, pero no lo

suficiente como para que al volver al estado inicial se libere toda la energía absorbida

durante la deformación. Una parte de esa energía de disipa en forma de calor y otra

parte en desintegración.

Las ruedas después de cierto recorrido acusan cierta elevación de la temperatura y

además la disminución del peso del riel y de la rueda confirman la existencia de una

desagregación del material.

La fuerza de tracción necesaria (R2) y la depresión del metal en el punto considerado ()

verifican la relación

R

.2.PR2

Si la dicha fuerza es proporcional al peso, puede definirse un coeficiente de

proporcionalidad () entre ellos, obteniéndose la fórmula de Dupuit que indica

R

.2

La resistencia específica r2 vale 1.000..

El valor de la depresión depende de la naturaleza de los metales de la rueda y el riel, y

es del orden de 18 x 10-10

m. Para ruedas de 1 m de diámetro resulta que = 8,65 x 10-5

y r2 ≈ 0,1 kg/ton, aproximadamente.

Resistencia debida a los choques y deformaciones de la vía

Al pasar por las juntas las ruedas sufren choques cuya importancia depende de la luz

entre las juntas. Estos choques producen una pérdida de fuerza viva y por lo tanto

implican una resistencia suplementaria a la tracción.


214

En el dibujo anterior, la velocidad absoluta del punto M es VA = (V/R)AM.

Al pasar la junta, el centro de rotación pasa del punto A al B, y la velocidad absoluta del

punto M es entonces VB = (V/R)BM.

De este modo, la disminución de velocidad es

.R

V

R

VVV

BMAm

BA

Por lo que la disminución de fuerza viva para una junta es

g

P..

R

V.

2

1M..

R

V.

2

1WdM..

R

V.

2

1dW 0

222

Este valor multiplicado por el número de juntas es igual a la disminución de fuerza viva

debida a las juntas.

La integral se hace para toda la masa no suspendida. En cuanto a la masa suspendida, la

pérdida de energía viene representada por el trabajo de los resortes de suspensión,

correspondiente al descenso de la rueda en la discontinuidad, pero adquiere valores

despreciables.

Si se tiene un recorrido con rieles de longitud (l) conocida en el que entran un número

(n) de juntas también conocido, el esfuerzo resistente, que aplicado en las llantas da

lugar a un trabajo equivalente, es calculable por

l.g

P..

R

V.

2

1kgRl.n.Rn.

g

P..

R

V.

2

1 0

2

330

2

Y la resistencia específica es

l.g

P..

R

V.

2

1.

P

000.1tkgr 0

2

3

siendo en general el valor de r3 muy pequeño. Wilson experimentalmente da para estas

resistencias valores del orden de 0,125 a 0,25 kg/ton.

Resistencias debidas a las pérdidas de energía en los aparatos de tracción y en las

suspensiones

Las resistencias debidas a las pérdidas de energía en los aparatos de tracción y en las

suspensiones son de difícil determinación y lo más importante es reducirlas al mínimo

posible.


215

Acción del viento lateral

Se supone que la acción del viento lateral es perpendicular al tren y se manifiesta por el

esfuerzo que provoca sobre la superficie lateral que ha llegado en ciertos casos a volcar

vehículos livianos de gran superficie. El empuje lateral provoca, una vez vencido el

rozamiento rueda – riel, que las pestañas rocen contra el riel en el punto A de la

siguiente figura

El punto C es el centro instantáneo de rotación. El esfuerzo de rozamiento que va

dirigido en sentido contrario al del movimiento vale el producto de la fuerza F y el

coeficiente de rozamiento f. El esfuerzo de traslación extra que es necesario aplicar en

el centro de la rueda para superar esa resistencia vale R5.R = f.F.z. El esfuerzo F totaliza

al empuje del viento sobre todos los vehículos del tren

Por ejemplo, para un tren con 10 vagones de 20 m de longitud por 2,5 m de altura y

suponiendo un viento violento que ejerza una presión de 80 kg/m2, tomando 2 cm como

valor de z, 0,50 m para R y 0,25 para f, se tiene que F = 10 x 20 x 2,5 x 80 = 40.000 kg

y que Rv = ( 40.000 x 0,25 x 0,02 ) / 0,5 = 400 kg. Si el tren pesa 400 ton, tiene una

resistencia específica (r5) de 1 kg/ton.

Resistencia del aire

La resistencia del aire es una de las mayores a considerar y es el resultado de una serie

de fenómenos complejos como son

► la compresión frontal del aire en la cabeza del tren,

► la deflexión de los filetes fluidos y su rozamiento con las caras laterales del tren,

► la depresión de la cola del tren, y

► la formación de torbellinos en diferentes lugares del tren.

Para la compresión frontal del aire en la cabeza del tren conviene aplicar la fórmula de

Newton R = ½.(C..v2.s), en que C es un coeficiente adimensionado que depende de la

forma del cuerpo, de la naturaleza de su superficie y del número de Reynolds, es la

masa específica del aire expresada en kg2/m

4 que vale 0,123 a 20ºC, v es la velocidad

relativa entre el vehículo y el aire en m/s, y s es la superficie máxima expuesta a la

corriente del aire en m2. Cabe recordar que el número de Reynolds se calcula como R =

dl/ donde dl designa una medida de longitud característica para una forma geométrica

dada y es la viscosidad del aire en m2/s.

Los valores de s y .V2 se determinan fácilmente, el problema es determinar el valor de

C.


216

Se ha observado que C es función de s aumentando con ésta y con el perímetro de la

superficie puesta en contacto con el aire, con lo que en forma empírica se llega a una

expresión R (kg) = 0,0062.s.V2, si la velocidad se expresa en km/h. Para calcular s se

toma 1,1 veces la proyección de la superficie frontal de la locomotora sobre un plano

perpendicular al eje longitudinal de la misma. Para vehículos remolcados se toma s de

0,5 a 0,56 m2 por cada vagón cerrado; de 0,32 a 0,40m

2 por cada vagón abierto y

cargado; de 1,00 a 1,62 m2 por cada vagón abierto y vacío; y de 1,70 a 2,00m

2 para el

vagón ó furgón de cola.

La deflexión de los filetes fluidos y su rozamiento con las caras laterales del tren, es la

resistencia lateral y obedece a la existencia de espacio entre vagones consecutivos y al

rozamiento del aire contra las paredes laterales. La fórmula de Zahn da para esa

resistencia adicional el valor R = 0,00003.A.v.1,85 en que A es la superficie lateral en

m2, y v la velocidad en km/h. Habitualmente se supone una superficie suplementaria de

0,1 a 0,2 m2 para cada vehículo no sujeto a la acción directa del aire y llevar ese valor

adicional de la superficie al valor s de la fórmula de Newton ya vista para el caso

anterior.

Cuando se tiene en cuenta el efecto de la depresión de la cola del tren, el efecto de

succión producido por el vacío formado atrás del último vehículo, provoca una

resistencia que se disminuye afinando la cola. Un sólido de mínima resistencia sería el

de la figura siguiente

En general se ensayan en túneles aerodinámicos ó túneles de viento, en los que se hace

el ensayo sobre modelos de gran tamaño ó incluso el propio vehículo.

XI-1.3.2) Resistencias locales

Por acción de la pendiente

Expresando el gradiente (i) en ‰, se tiene que la resistencia local por acción de la

pendiente es r6 = i (kg/ton).

i.Pi1

i.P

tg1

tg.Psen.PR

22i

Resistencia debida a las curvas

La resistencia debida a las curvas se origina por tres razones principales: solidaridad de

las ruedas y los ejes, paralelismo entre los ejes en el bastidor rígido del bloque ó de la

caja, y la fuerza centrífuga no compensada.


217

En primer lugar, la solidaridad de las ruedas y los ejes da lugar a un deslizamiento

horizontal.

Prescindiendo de la conicidad y siendo t el ancho de la vía, la diferencia de caminos

recorridos es 2. (R + t/2) - 2. (R - t/2) = 2..t, que resulta independiente del radio de

la curva. Cuando el vehículo avanza 1 m sobre una curva de radio R, la diferencia de

camino recorrida por ambas ruedas es (2..t) / (2..R) = t / R.

Suponiendo que el deslizamiento tiene lugar en un solo lado del vehículo, y por lo tanto

bajo la carga P/2, la fuerza de rozamiento es f.P/2 y su recorrido por unidad de longitud.

Así, el trabajo realizado por dicha fuerza es P.f.t / 2.R, que es la resistencia buscada.

En segundo lugar, el paralelismo entre los ejes en el bastidor rígido del bloque ó de la

caja da lugar a un deslizamiento transversal. Un vehículo de base rígida b describe una

circunferencia completa de radio R, que desde el punto de vista del rozamiento equivale

a un giro completo alrededor del centro geométrico con un radio de giro de 22 bt ; el

trabajo consumido por el rozamiento es

222222

bt..f.Pf.P.2

bt.2

luego, dividiendo por 2..R se tiene el valor de la resistencia en el recorrido de 1 m.

Por último, la fuerza centrífuga no compensada origina el rozamiento de las pestañas

sobre el riel, que está dada por

R

VV.f.

g

P2

02

pero ésta por dar valores muy pequeños se desprecia frente a los demás.

En conjunto, todo esto da lugar a la resistencia total en curva que resulta función de la

base rígida, del radio de curvatura, y de la trocha.

El valor del coeficiente de fricción (f) es muy variable, dependiendo entre otras cosas de

la velocidad y el estado higrométrico de la atmósfera.

Como valores extremos pueden tomarse 0,33 (330 kg/ton) para rieles secos y limpios en

verano, y 0,10 (110 kg/ton) para rieles húmedos en invierno. Como valor promedio se

toma f entre 0,2 y 0,25.

Existen fórmulas experimentales para determinar la resistencia específica r, a saber

► Desduits: rc = 500.t / R, siendo t la distancia entre zonas de apoyo de las ruedas.

► Un valor corriente para la trocha media de 1.435 mm es tomar rc = ºC x 0,65, y

como además ºC = 1.145 / R se tiene rc = 750 / R

► Röckl: rc = 500 / (R - 30) para R ≤ 250 m; rc = 530 / (R - 35) para 250 m ≤ R ≤ 350

m; y rc = 650 / (R - 45) para R > 350 m.

► Von Borries: rc = (4.b + b2) / (R - 45) haciendo intervenir la base rígida b.


218

La resistencia en curva disminuye cuando los rieles están húmedos ó engrasados, de

donde surge la necesidad de engrasadores automáticos instalados en las curvas.

AFE utiliza la fórmula de Desduits como resistencia específica, aunque cada vez se

utiliza más la correspondiente a pendiente y curva.

XI-1.3.3) Resistencias de inercia

Cuando el movimiento es variable, es decir en aceleraciones ó deceleraciones,

intervienen las fuerzas de inercia que actúan como fuerzas resistentes, si la velocidad es

creciente, ó como esfuerzo propulsor, cuando la velocidad decrece. Esto ocurre tanto en

los arranques como en las detenciones así como en los casos de variaciones de

velocidad. Estas resistencias tienen como expresión

dt

dV.

g

W.000.1

dt

dV.mkgR

Si la aceleración se expresa en cm/s2 y el peso del tren en kg, se tiene que R = W.a, o

sea r (kg/ton) = a (cm/s2). Así, la resistencia específica es de 1 kg/ton por cada cm/s

2 de

aceleración. Sin embargo, la energía cinética suministrada al tren no es solamente la

relativa al movimiento de traslación, que se expresa como Ec = ½.m.v2, sino también la

correspondiente a las masas que están animadas de un movimiento de rotación como

por ejemplo las ruedas, ejes, cajas cónicas, motores eléctricos, etc. Esta expresión E’c

vale ½.I.2, siendo I el momento de inercia de todas las masas giratorias y su

velocidad angular.

Llamando al radio de giro relativo al eje de rotación, se tiene que I = m. 2, o sea E’c

puede calcularse como ½.m.(.v/r)2. Tomando una masa ficticia me que esté animada de

una velocidad de traslación v y cumpla la condición me = m.(/r)2, puede reescribirse la

expresión de E’c como ½.me.v2, y en consecuencia

Et = Ec + E’c = ½.(m + me).v2 = ½.m.v2.(1+me/m) = ½.m.v2.

donde el factor es el coeficiente de inercia y se calcula por 1 + me/m. En el valor me se

comprenden todas las masas giratorias del tren, que deben reducirse al diámetro 2.r de

las ruedas motoras.

Los valores de varían de 1,25 a 1,35 en locomotoras eléctricas, de 1,15 a 1,20 en

locomotoras a vapor, y de 1,05 a 1,10 en locomotoras diesel, tanto eléctricas como

hidráulicas. En la expresión del peso de la locomotora (P), es necesario tomar el valor

.P para este cálculo.

XI-1.4) Resistencias globales al movimiento

La suma de todas estas resistencias dan para la resistencia específica global del tren una

expresión de la forma r (kg/t) = a + b.v + c.v2, y para la resistencia total otra de la forma

R (kg) = a.P + b.v.P + k.v2.

Pero en la realidad se ha observado que esta fórmula no suministra datos exactos; en ese

sentido la experiencia ha demostrado que la pérdida total de energía en el remolque de

un tren es notablemente superior a la suma de las pérdidas elementales. Por otro lado ha

sido siempre de interés ferroviario poder expresar la resistencia global de un tren por

una fórmula matemática lo más sencilla posible del tipo a + c.v2 ó a + b.v + c.v

2, en las

cuales los coeficientes sean constantes ó por lo menos independientes de la velocidad.


219

Estas fórmulas deducidas por interpolación de los resultados obtenidos en ensayos, son

útiles y necesarias pero no deben ser consideradas como fórmulas ó leyes estrictas dado

la heterogeneidad de sus componentes y su relativa precisión. Deben pues considerarse

como fórmulas empíricas y aplicables solamente en condiciones similares a aquellas en

que fueron deducidas.

El término c.v2 comprende a la resistencia del aire y el coeficiente c depende de la

forma de los vehículos y es independiente del peso. El termino a + b.v representa la

resistencia mecánica. El coeficiente a, que es función del peso y no rigurosamente

constante, comprende la resistencia en la llanta y una parte del rozamiento en las puntas

de eje; la otra parte está incluida en el término b.v, a la que se agregan las resistencias

proporcionales al peso y a la velocidad, como podría ser el rozamiento de las pestañas y

los diversos choques y oscilaciones.

XI-1.4.1) Resistencia de los vehículos

Los tres factores fundamentales que intervienen en la resistencia de los vehículos son la

influencia de la carga, la influencia del número de vehículos y la influencia de las

condiciones atmosféricas.

Admitir que los coeficientes sean constantes en la expresión r (kg/t) = a + b.v + c.v2

implica que la resistencia de un tren es proporcional a su peso. Pero en los numerosos

ensayos realizados se ha observado que la resistencia específica de los vehículos

pesados es menor que la de los livianos y menor la correspondiente al vehículo cargado

que descargado. De las experiencias en EE.UU. con vagones de mercadería de 4 ejes, en

horizontal y en recta con velocidades por debajo de los 40 km/h se observa que la

resistencia específica de un vagón cargado es un 60 % de lo que le corresponde cuando

está vacío, suponiéndose que esta disminución es debida a que el rozamiento de las

pestañas disminuye cuando aumenta la carga. En definitiva, la resistencia total de un

vagón de mercadería cuando la velocidad es reducida tiene la forma R (kg) = + .P, es

decir r (kg/ton) = /P + , que prácticamente es el valor del coeficiente a en la fórmula

general. Un ejemplo de este tipo es la fórmula de la Pennsylvania RR, que dice r (kg/t)

= 1,16 + 32/P. Para velocidades de 1 a 3 km/h, (estaciones de clasificación) la diferencia

es aún mayor, llegando hasta 3 veces mayor la resistencia específica para el material

vacío que para el cargado. Otras fórmulas incluyen el efecto de la velocidad, como por

ejemplo la fórmula de Parodi, que indica la relación entre la resistencia específica y el

peso (P) del vagón y la velocidad (V) en km/h, según r (kg/ton) = (1,13 + 15/P).(1 +

V2/4.000)

En experiencias realizadas se ha observado que el número de vehículos posee una

influencia considerable sobre el valor de la resistencia, disminuyendo ésta a medida que

aumenta aquél. En EE.UU., se admite que el empuje del aire sobre un coche remolcado

es 1/10 del correspondiente al coche aislado; el término V2 de la fórmula general toma

entonces la forma

10

1n1.

P

V.s.c

2

La resistencia de las condiciones atmosféricas es mayor en invierno que en verano,

alcanzándose el mínimo de resistencia a una cierta distancia del arranque. Para la

resistencia global de los trenes de mercadería a pequeña velocidad la AREA da

estimaciones de la resistencia en función del peso (P) en ton y el número de vehículos

(n) según la temperatura ambiente. Así, para temperaturas por debajo de –18ºC, r = 2,7

+ 78.n/P; y para temperaturas por encima de –7ºC, r = 1,1 + 55.n/p.


220

Representación gráfica

Fórmula de General Electric

10

1n1.

P

V.s.00377,0V.0093,0

P

8,23r

2

21

XI-1.4.2) Fórmulas de Davies

► Para locomotoras Diesel L

2

W

V.s.00453,0V.0093,0

P

16,1365,0r

► Para vagones de carga L

2

W

V.s.000944,0V.0141,0

P

16,1365,0r

► Para salones de pasajeros L

2

W

V.s.000639,0V.0093,0

P

16,1365,0r

Para resistencias específicas, hoy en día se aplican las fórmulas de Davies, que permiten

calcular la resistencia específica (r), en kg/ton, en función del peso por eje del vehículo

(P) en ton, el peso total del vehículo considerado (W), la velocidad del vehículo (V) en

km/h, y la superficie frontal del vehículo considerado en m2 (S).

XI-2) COTA DE VELOCIDAD

La energía cinética es la capacidad de ejecutar un trabajo; para el desplazamiento de un

vehículo la energía cinética de traslación es ½.m.v2, estimando un incremento de un 5 a

un 10 % debido a la energía necesaria para la rotación de las ruedas y partes rotatorias.

La energía potencial de un vehículo es el producto de su peso (W) por la altura (h) a la

que está ubicado y le permite alcanzar más abajo una velocidad dada al transformarla en

cinética de traslación y de rotación. En unidades métricas, %10v.g

W.

2

1h.W 2 .

Expresando la velocidad en km/h y la aceleración de la gravedad en m/s2 se tiene que

h = 0,00433.v2

v = 15,5 h½

El valor de h es la altura que puede alcanzar una locomotora llegando con una

determinada velocidad v al pie de una rampa, y es conocida como cota de velocidad.

Análogamente, cuando se trata de una pendiente descendente, h representa la energía

potencial que dispone la locomotora y que le permite alcanzar una velocidad v al pie de

la rampa (h metros más abajo).

Utilizando la cantidad de movimiento, se deduce que es posible vencer una pendiente

total (itot) cuyo valor está dado por la expresión:

L

VV.00433,0ii

2

f

2

itot


221

Donde L es la longitud en horizontal, Vi y Vf son las velocidades inicial y final en la

rampa e ii es la rampa que puede vencer sola la locomotora por sus propios medios.

O sea que un tren en movimiento posee una energía de reserva a la que puede acudirse

para llevarlo más allá de una cumbre que sobrepase la capacidad de la locomotora.

Se ve claramente que cuanto mayor es el salto de velocidad que se quiera llevar a cabo,

mayor es la distancia a recorrer antes de lograrlo.

En función de la pendiente y el peso del tren, se tiene la velocidad máxima alcanzable;

pero la inercia del tren ayuda a alcanzar valores aún mayores. Las tablas dan los valores

para condiciones estándar muy favorables, por lo que el extra que da la inercia se guarda

a modo de reserva. Los ábacos vienen dados para cada tipo de locomotora.

El tema de la pendiente hace que los itinerarios deban pensarse de ida y de vuelta,

aunque en Uruguay, las pendientes no hacen que esto sea necesario.

XI-2.1) Distancia de aceleración:

Como el trabajo de la fuerza aceleratriz (Fa) es igual a la energía, se tiene:

a

2

i

2

f

a2

222

i

2

f

2

a

2

i

2

f

2

i

2

fa

F

W.VV.33,4

F

1.

6,3

smVV.

sm81,9.2

tonW.000.1.1,1mL

1,1.F.2

VV.

g

WL%101.

2

VV.mL.FT

Empleando la fuerza aceleratriz específica (F’a = Fa / W) en kg/ton, queda

a

2

i

2

f

'F

VV.33,4L

XI-2.2) Perfil de velocidades:

Perfil de velocidad suponiendo las curvas compensadas

Los cambios en la cota de velocidad representan las aceleraciones y deceleraciones.

Si el tren acelera y se mantiene constante la rampa, adquiere nuevo potencial; si en la

rampa se mantiene el acelerador sin mover, el tren pierde energía potencial y desacelera.


222

Si el acelerador se abre lo suficiente para vencer la Vi, la velocidad y la cota

permanecen constantes.

En el tramo AB, el tren acelera para mantener la velocidad requerida, es decir llegar al

nivel h1 = 0,00413.VB2. En el tramo BC, se abre el acelerador lo suficiente para que h se

mantenga constante bajando la velocidad, o sea que se venza la rampa y la resistencia

del tren (h1 = h2). En el tramo CD, no se mueve el acelerador, pero al decrecer la rampa

VD es mayor que VC. En el tramo DE, en la pendiente se cierra el acelerador y se

aplican los frenos a fin de mantener la velocidad constante. (h3 = h4) En el tramo EF el

tren desacelera hasta detenerse en F (hF = 0).

Si el tren acelera, el perfil virtual diverge pues h crece; si desacelera, el perfil virtual

converge pues h decrece; y si se mantiene una velocidad constante, las dos rectas son

paralelas y h es constante. Este perfil virtual es útil al proyectar un tren para poder

armar el programa que debe seguir el maquinista ya que indica la máxima rampa que la

locomotora puede circular sin problemas.

Se pretende que las exigencias sobre la locomotora sean lo más uniformes posibles.

Para ello, se utiliza el perfil virtual.

En este caso las exigencias del tren han sido uniformadas aprovechando la cota de

velocidad almacenada en el tren u adquirida en las pendientes para llevar el tren hasta la

culminación de la rampa siguiente.

El tiempo (t) necesario para acelerar linealmente el tren de Vi a Vf, se calcula según

a

if

a

2

i

2

fif

a

2

i

2

f

ifm

'F

VV.7,31t

'F

VV.33,4t.

6,3

VV.

2

1

'F

VV.33,4L

t.2

VVt.VL

Si no se está andando sobre una vía horizontal, el gradiente puede ayudar ó frenar al

tren. La fuerza aceleratriz efectiva se ve aumentada ó disminuida, según se esté en

pendiente ó en rampa, respectivamente, en un factor numéricamente igual al gradiente

expresado en por mil. De este modo, el tiempo recién calculado debe corregirse como

i'F

VV.7,31t

a

if

En rampa, se suma el gradiente y por tanto el tiempo para frenar un tren disminuye; en

pendiente, se resta el gradiente y el tiempo aumenta.


223

XI-3) CÁLCULO DE LA PERFORMANCE DE UN TREN: (TPC)

XI-3.1) Introducción:

Partiendo de la ecuación del movimiento (Newton) se tiene:

shkma.tonW.1,31shkma.6,3.sm81,9

tonW.000.1.10,1kgFa.

g

Wa.mF

2aa

Para la determinación de un proyecto de itinerario de un tren, se subdivide el tramo a

analizar en zonas donde la aceleración se mantiene constante.

1º Caso: velocidad variable (aceleración no nula):

Si la velocidad varía en un tramo, la aceleración se determina según la fórmula anterior,

y a partir de ella se puede calcular el tiempo y la distancia necesarios para que dicho

cambio de velocidad se lleve a cabo como

6,3

st.hkmvms

shkma

hkmvst

0am

2º Caso: velocidad constante (aceleración nula):

Si la velocidad es constante, la aceleración es nula y el recorrido (s) efectuado en esas

condiciones se determina por diferencia de postes. Además el tiempo para cubrir dicho

intervalo es

hkmv

ms.6,3st0a

m

XI-3.2) Consumo de combustible en un trayecto:

También se determina en el proyecto de itinerario el consumo de combustible utilizado,

ya sea en gramos ó en litros, conociendo el peso específico del combustible, el consumo

específico del motor Diesel (Ci = gr/HP.h) y la potencia disponible para la tracción Pd.

Para determinar esa potencia Pd se consideran los siguientes casos:

1º Caso: Si hay aceleración, Pd es la máxima disponible para la tracción, o sea:

.272

v.FP0a mt

d

2º Caso: Si no hay aceleración, se tendrán dos posibilidades dependiendo si la

resistencia total del tren (RT) es positiva ó negativa:

a) Si RT > 0: Existe cierta resistencia al avance, y Pd viene dada por:

.272

v.RP mT

d


224

b) Si RT 0: Se circula con el acelerador cerrado y por tanto Pd equivale a la

necesaria para los equipos auxiliares.

Así, el consumo de combustible es el producto de esta potencia por el consumo

específico y el tiempo, o sea:

Consumo = Pd . Ci . t

Se denomina velocidad comercial al cociente entre la distancia total recorrida y el

tiempo en que se recorre.

XI-4) FRENADO Y DISTANCIA DE DETENCIÓN

XI-4.1) Esfuerzo de frenado:

El tren puede necesitar frenar por diferentes motivos, por ejemplo, al fin del viaje ó para

no superar la velocidad máxima en una pendiente.

Para que haya rodadura y no deslizamiento las fuerzas tractivas deben ser menores al

producto del peso por la adherencia ().

El esfuerzo tractivo depende sólo de la locomotora. Pero no es tan importante alcanzar

variaciones de velocidades altas en poco tiempo cuando se está arrancando que cuando

se está frenando. Es así que se necesita que el esfuerzo de frenado sea mucho mayor,

por lo que se hace intervenir al peso de todo el tren, con lo que aparece el freno

continuo

La fuerza retardadora (FR) se compone de la fuerza de frenado (Fb), de la resistencia del

tren (Rt) y de la resistencia compensada (incorpora las curvas) del gradiente (Ri), o sea

que

FR = Fb + Rt Ri

A su vez, la fuerza de trenado puede calcularse como el producto de la presión normal

de frenado (Q) y el coeficiente de fricción rueda-zapata (fz), corregido por un

coeficiente de eficiencia de timonería (e), es decir

Fb = Q.fz.e

El coeficiente de fricción varía con la velocidad de circulación, con las condiciones de

la vía y con las climáticas también; todas estas variaciones están tabuladas. El

rendimiento de timonería es de un 90 a 95%.


225

La presión nominal de frenado (Q) se establece comúnmente como un porcentaje (R) de

la tara () del vehículo, es decir Q = R., y no se distingue para cada zapata. Para

locomotoras el porcentaje de frenado es de entre 85 y 90 %, mientras que para vagones

es de 65 a 75 % y para salones de pasajeros es de 75 a 85 %. Se toma en función de la

tara del vehículo y no del vehiculo cargado porque si se tomase como base el peso

cargado, con el coche sin carga se tendría mucho esfuerzo de frenado y el tren deslizaría

en lugar de rodar. En la locomotora prácticamente no hay diferencias, en los vagones sí,

pero no tanta como en salones.

Por ejemplo, para un tren formado por una locomotora de 100 ton y 90 % de coeficiente

de frenado, y 20 vagones de 70 ton cada uno, que se dividen en 50 ton de tara y 20 ton

de carga, con un 70 % de coeficiente de frenado, se tienen 20 vag x 20 ton x 0,70 = 280

ton debido a los vagones y 100 ton x 0,90 = 90 ton debido a la locomotora, es decir que

en este caso Q = 370 ton. La tara del tren cargado es de 100 ton + 20 x 70 ton = 1.500

ton = , por lo que entonces el porcentaje R = 370 / 1.500 = 24,67 %.

Si se trata de freno de aire comprimido, se incluye un coeficiente (p) que representa la

relación entre la presión real del cilindro de freno, que es de 60 psi, y la presión de la

línea de alimentación y del cilindro de reserva, que es de 90 a 100 psi para pasajeros y

70 psi para la carga. Este coeficiente, que se encuentra generalmente entre 0,7 y 1,

representa la relación entre el tren en condiciones reales e ideales y varía con las

condiciones de marcha del vehículo. Finalmente, la fuerza de frenado se calcula como

Fb = p.R..fz.e

Otra opción, usada generalmente en vagones, es estudiar cada cilindro de freno por

separado con su relación de amplificación de palancas. Conocido el coeficiente de

timonería (L), es decir la relación entre las fuerzas que hacen los cilindros y las que

termina llegando a las ruedas, y la fuerza ejercida por los cilindros de freno (Fcil), es

decir la presión en el cilindro por el área de éste, se tiene que la fuerza de frenado es

calculable como

Fb = Fcil.L.fz.e.

Como se dijo, la presión del aire comprimido puede alcanzar las 90 a 100 psi, por lo que

la fuerza de frenado puede ser apreciable aún cuando el área del cilindro sea pequeña.

Es así que los cilindros de freno de aire comprimido tienen unas 20 a 25 cm de

diámetro. Por otro lado, los frenos de vacío trabajan con presiones por debajo de la

atmosférica, por lo que el área del cilindro debe ser grande para poder lograr fuerzas

significativas. Los cilindros de vacío tienen entre 65 y 80 cm de diámetro. Esta

diferencia de tamaño permite distinguir a simple vista el sistema de freno.

XI-4.2) Distancia y tiempo de frenado:

Si en la expresión obtenida para la distancia de aceleración a

2

i

2

f FVV.33,4L se

sustituye la fuerza aceleratriz por la de frenado, se puede obtener una expresión para la

distancia de frenado. Pero hay que considerar ahora un tiempo de retardo (tr) de frenado,

que varía de 2 a 4 seg pues depende del número de vagones y durante el cual se recorre

una distancia vm.tc, y un tiempo de reacción (tr) de 3 a 6 seg.


226

De este modo, la distancia de detención queda expresada de la siguiente manera:

i.RRf.e.ton.R.p.000.1

vv.W.333,4t.

6,3

vL

tz

2

i

2

fr

m

A este valor se lo incrementa por un coeficiente de seguridad de 30 % a fin de tener en

cuenta la variación del coeficiente de adherencia, el ritmo de propagación del frenado,

la dificultad de no accionar todos los cilindros de la misma forma y el hecho de que no

todos los maquinistas proceden de la misma manera. Además debe considerarse el

tiempo (treac) que tarda en reaccionar el maquinista, que se estima entre los 0,2 a 3 seg.

Así, finalmente, el espacio que recorre el tren antes de frenar totalmente desde una

velocidad v dada hasta la detención total (con velocidad nula) se calcula por la formula

siguiente:

reacm

tz

2

rm t.

6,3

v

i.RRf.e.ton.R.p.000.1

v.W.33,4t.

6,3

v.30,1L

Del mismo modo, partiendo de la expresión del tiempo correspondiente a la distancia

necesaria para acelerar un tren, se tiene que el tiempo que tarda un tren en detenerse

desde una velocidad v es:

reac

tz

r ti.RRf.e..R.p.000.1

v.W.7,31t.30,1t

El sistema de freno puede ser eléctrico ó mecánico. El sistema eléctrico de frenado

dinámico es equivalente a frenar engranado en un coche, mientras que el

electromagnético emplea electroimanes que al energizarse se convierten en un polo

norte que es atraído por la vía que actúa como polo sur y es muy común en ferrobuses.

El freno neumático puede ser de vacío ó de aire comprimido. El de vacío se hace por

diferencia con la presión atmosférica, es decir que la presión máxima que se puede

lograr es de 1 kg/cm2; en el otro caso, un compresor genera la presión en el aire que

llena una cañería que alimenta un cilindro de freno, por lo que se alcanzan presiones del

orden de los 7 kg/cm2. El poder trabajar con presiones mucho mayores, ha dejado el

freno de vacío de lado, aunque la principal desventaja de este sistema es que el vacío

tarda mucho tiempo en recorrer todo el tren. Cuando se acciona el freno, el aire

comprimido debe viajar desde la locomotora que es donde se produce hasta el último de

los vagones, pero su velocidad de transmisión del orden de 0,1 seg/vagón, mientras que

el vacío puede tardar hasta un minuto ó más en recorrer el tren, por lo que cuando la

locomotora frena los vagones siguen y se le vienen encima provocando un

descarrilamiento. El aire pasa de un vagón a otro a través de mangas. Si algún par de

vagones se separa demasiado, se rompe la manga y entra aire aplicándose el freno. En

salones de pasajeros se tiene un freno de emergencia que hace lo mismo que romper una

manga.

Originalmente las zapatas eran de fundición de hierro. Hoy son de una composición de

materiales plásticos fabricados por 4 ó 5 empresas especializadas. Las de fundición de

hierro son más baratas, en una relación 1 a 3, pero duran 5 veces más, por lo que las de

composición tienen cierta ventaja en este sentido. Por otro lado, las zapatas de fundición

provocan chispas, lo que significa un peligro. Las zapatas se dividen en dos grandes

grupos: de alta y de bajo coeficiente de fricción.


227

En cálculos prácticos, según la fábrica de frenos Westinhouse, se tiene que el

coeficiente de rozamiento rueda-zapata puede calcularse en función de la velocidad

media como:

100v.5

100v.27,0f

m

mz

Según el criterio europeo, el coeficiente de rozamiento tiene en cuenta el estado del riel,

(según esté seco o húmedo), de acuerdo a las expresiones siguientes:

1 0,0112.0,45. para rieles secos

1 0,06.

1 0,0112.0,25. para rieles húmedos

1 0,06.

mz

m

mz

m

vf

v

vf

v

XI-4.3)Performance del tren (proyecto de itinerario):

Curvas de tiempos en función de distancias para varios casos medidos para el caso de

4 locomotoras diesel eléctricas de 2.000 HP tirando de vagones de 50 a 70 ton


228

Curvas de velocidades en función de distancias para varios casos medidos para el caso de


Curvas de velocidades y tiempos en función de la distancia, mostrando la performance de


dinamica de los trenes

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