differenciál geometria ii

7/24/2019 Differencil geometria II.

1/104

Differencialgeometria: fogalmak, tenyek,

technikak

Szilasi Jozsef

Tartalomjegyzek

0. Megallapodasok 2

1. Differencialas Rn-ben 3

2. Homogen fuggvenyek 4

3. Sokasagok 6

4. Sima lekepezesek 9

5. Az erintonyalab 11

6. Erintolekepezes. Gorbek 14

7. Vektormezok 22

8. Elsofoku differencialformak 29

9. Az immerziok es szubmerziok lokalis jellemzese 32

10.Reszsokasagok 35

11.Kozonseges differencialegyenletek 40

12.Vektormezok integralgorbei 41

13.A horgasz derivalas 48

14.Frobenius tetele 53

15.Vektormezok az erintonyalabon 58

16.Masodrendu vektormezok 68

17.Tenzorok 81

18.Vektornyalabok 98

1


2/104

0. Megallapodasok

0.1. Ha f :S Tegy lekepezes, akkor az sf(s) rasmodot hasznaljuk fegys Selemen valo hatasanak jelolesere, idonkent azonban kenyelmesebbnekes celszerubbnek bizonyul, ha f(s) helyett azt rjuk, hogy f svagyfs. 1S- vagyha a szovegkornyezetbol az S halmaz mibenlete vilagos, egyszeruen 1 - jeloli azShalmaz identikus transzformaciojat.

0.1.1. Ha f :A S esg : B Segy-egy lekepezes, akkor az

A SB : ({(a, b) A B|f(a) =g(b)}

halmaztA esB S folotti, f-re es g -re vonatkozofibralt szorzatanak hvjuk.

0.1.2. Ha f :S A esg : S B lekepezes, akkor (f, g)-vel jeloljuk az

S A B , s (f(s), g(s))

lekepezest.

0.1.3. Tekintve egy f1: S1 A es egyf2: S2 B lekepezest,f1 f2-veljeloljuk az

S1 S2 A B , (s1, s2)(f(s1), f(s2))

lekepezest.

0.2. Ha K egy test, amelynek a 0 a zeruseleme, akkor K := K\ {0}. R

es C a valos, ill. a komplex szamtest; R+, ill. R+ a nemnegatv, ill. a po-zitv valos szamok halmaza; N a termeszetes szamok halmaza, N := N\ {0}a pozitv egeszek halmaza. Az R-be, ill. C-be torteno lekepezeseket rendszerintfuggvenyekkent emltjuk.

0.3. Rn (n N) a rendezett valos szamn-esek valos vektortere, ellatva az

a, b:=n

i=1

ii, ha a = (i)ni=1, b = (i)ni=1

kanonikus skalaris szorzattal es az ebbol szarmazo strukturakkal:

norma - v:= v, v1/2 , v Rn;

tavolsagfuggveny - d(a, b) :=a b ; a, b Rn;

topologia - U Rn nylt, ha minden p U ponthoz van olyan pozitvvalos szam, hogy

B(p) :={q Rn| p q< } U.

2


3/104

0.4. (ei)n

i=1;ei := (0, . . . ,

i

1, . . . , 0) ,i {1, . . . , n} Rn kanonikus bazisa; ennekdualisat azok az ei : Rn R linearis fuggvenyek alkotjak, melyekre

ei(ej) =ij =

1, ha i = j

0, ha i =j ; i, j {1, . . . , n}.

(ei)ni=1 Rn kanonikus koordinatarendszere.

Egy f : S Rn lekepezes (euklideszi) koordinatafuggvenyei fi := ei f ,i {1, . . . , n}.

1. Differencialas Rn-ben

1.1. U Rn nylt halmaz. Egy f :U Rfuggveny iranymenti derivaltja egy

p Rn pontban, v Rn iranyban a

Dvf(p) := limt0

f(p + tv) f(p)

t

hatarertek, ha ez letezik. f folytonosan differencialhato vagy C1-osztalyu Ufolott, ha a

Dif :U R, p Dif(p) :=Deif(p) ; i {1, . . . , n}

fuggvenyek, f parcialis derivaltjai, leteznek es folytonosak. f Ck-osztalyu U-n (k N, k 2), ha a D1f , . . . , Dnf parcialis derivaltak leteznek es C

k1

osztalyuak; f C-osztalyu vagy sima U folott, ha minden k pozitv egeszre

C

k

-osztalyu.

1.2. Egy U Rk nylt halmazon ertelmezett F : U Rn lekepezes Cs-osztalyu (s N), ill. sima ha Fi := ei F : U R koordinatafuggvenyei(i {1, . . . , n})Cs-osztalyuak, ill. simak. Amennyiben F C1-osztalyu, ugy a

JF(p) := (DjFi(p))Mnk(R)

matrix (ahol a felso index sorindex, az also oszlopindex)F p-beliJacobi-matrixa.Ezt azonostjuk az altala reprezentalt F(p) : Rk Rn linearis lekepezessel, Fp-beli derivaltjaval.

1.3. Legyen g = (g1, . . . , gn) : Rk Rn es f : Rn R differencialhato

fuggveny. Ekkor azf g: f (g1, . . . , gn) : Rk R

fuggveny i-edik parcialis derivaltjat a

Di(f g) =n

j=1

((Djf) g)Digj , i {1, . . . , k}

formula adja (lancszabaly parcialis derivaltakra).

3


4/104

2. Homogen fuggvenyek

2.1. Legyen f egy U Rn halmazon ertelmezett valoserteku fuggveny. Aztmondjuk, hogy f r-edfoku pozitv homogen, ahol r R, ha minden t pozitvvalos szam es v Uvektor eseten tv U-hoz tartozik, es ervenyes az

f(tv) =trf(v)

relacio. Amennyiben k egesz szam es a most megfogalmazott feltetelek mindent R valos szamra teljesulnek, ugy f-et k-adfoku homogen fuggvenynek ne-vezzuk.Megjegyzesek. (1) Ha az f : U R (U Rn) fuggveny pozitv homogen esv U\ {0}, akkor U tartalmazza az origo kezdopontu, v-n atmeno felegyenest;maga az origo hozza is tartozhat U-hoz meg nem is. Amennyiben f homogen,

ugy U tartalmazza az origora es v-re illeszkedo teljes egyenest, kiveve esetlegmagat az origot.(2) Nyilvanvalo, hogy minden homogen fuggveny egyben pozitv-homogen

is, a megfordtas azonban nem igaz. Illusztraciokent tekintsuk az

f :v Rn f(v) :=v, v12 R

normafuggvenyt. Ez elsofoku pozitv homogen (f(tv) =tf(v), hat pozitv valosszam), de nem homogen.

2.1.1. Ha U Rn tartalmazza az origot, es f :U R nulladfoku pozitvhomogen fuggveny, amely folytonos a 0-ban, akkorf konstans fuggveny.

Bizonyt as. A nulladfoku pozitv homogenitas miatt

f(tv) =f(v) ; v U , t R+.

Igy a 0-beli folytonossag azt adja, hogy tetszolegesv Ueseten

f(0) = limt0+

f(tv) = limt0+

f(v) =f(v);

f tehat valoban konstans.

2.1.2. Haf : Rn R elsofoku pozitv homogen fuggveny es a0-ban letezika derivaltja, akkorf linearis fuggveny, megpedig f=f(0).

Bizonyt as. Valasszunk tetszolegesen egyv Rn vektort.f(0) letezese folytanf folytonos a 0-ban, s gy

f(0) = limt0+

f(tv) = limt0+

tf(v) =f(v) limt0+

t= 0,

felhasznalva f homogenitasi tulajdonsagat. f(0) = 0 figyelembevetelevel

f(0)(v) = limt0+

f(tv) f(0)

t = lim

t0+

f(tv)

t = lim

t0+f(v) =f(v)

adodik, es ez volt az alltas.

4


5/104

2.2. (Euler tetele a homogen fuggvenyekre.) Legyen U Rn nemures nylt

halmaz, amelyre teljesul, hogy tetszolegesv U,t R

+ esetentv U. Egyf :U Rdifferencialhato fuggveny akkor es csak akkor r-edfoku pozitv homogen(r R), ha minden v U pontban

f(v)(v) =rf

teljesul. n 2 eseten ez ekvivalens azzal, hogyn

i=1

eiDif=rf .

Bizonyt as. Jegyezzuk meg eloszor, hogy ha v =n

i=1

iei U, akkor

f(v)(v) =f(v) ni=1

iei= ni=1

if(v)(ei) =n

i=1

iDif(v) = ni=1

eiDif (v),tehat a felrt ket relacio valoban ekvivalens.

(1) Megmutatjuk, hogy f r-edfoku pozitv homogenitasa eseten f(v)(v) =rf. Rogztett v U mellett tekintsuk ebbol a celbol a

v :]0, [ Rn , t v(t) :=tv

lekepezest. Ez differencialhato, megpedigv(t) =v,t R+. Kepezzuk ezutan a

h:= f v : ]0, [ R

fuggvenyt. Ez szinten differencialhato; a lancszabaly alapjan azt kapjuk, hogy

h(t) =f(tv)(v) , t R+.

Igy specialisanh (1) =f(v)(v).Masreszt f r-edfoku pozitv homogenitasa alapjan

h(t) =f(tv) =trf(v) , t R+;

gy h(t) = rtr1f(v), es h(1) = rf(v). Osszevetve a h(1)-re nyert keteredmenyt, a kvant relaciohoz jutunk.

(2) Tegyuk fel megfordtva, hogy egy rogztettr valos szammal minden v U-ra

f(v)(v) =rf(v)

teljesul. Tetszolegesen kivalasztottv Umellett kepezzuk ekkor a

: R+ R , t (t) :=f(tv)tr = (f v)(t)t

r

fuggvenyt. Ez is differencialhato, tetszolegest R+ helyen

(t) =f(tv)(v)tr rf(tv)tr1 = 1t f(tv)(tv)tr rf(tv)tr1

feltetel=

rf(tv)tr1 rf(tv)tr1 = 0.

Ebbol kovetkezoenkonstans fuggveny, gy tetszolegesv U, t R+ eseten

f(v) =(1) =(t) =f(tv)tr, azazf(tv) =trf(v).

Ezzel belattuk f r-edfoku pozitv homogenitasat.

5


6/104

2.2.1. Ha f : Rn R C2-osztalyu masodfoku pozitv homogen fuggveny,

akkor fkvadratikus forma (es gy sima fuggveny).Bizonyt as. (1) Azt mutatjuk meg eloszor, hogy f masodfoku pozitv homoge-nitasa aDif (i {1, . . . , n}) parcialis derivaltak elsofoku pozitv homogenitasatvonja maga utan. Valoban, az Euler-tetel alapjan

nj=1

ejDjf= 2f;

innen minden i {1, . . . , n}-re

2Dif=Di

nj=1

ejDjf

= nj=1

(ji Djf+ ejDiDjf) =Dif+

nj=1

ejDiDjf,

azazDif=

nj=1

ejDj(Dif)

adodik, ami - ismet csak az Euler-tetel alapjan - a Dif fuggvenyek elsofokupozitv homogenitasat jelenti.

(2) Az (1)-ben mondottak alapjan, az ott alkalmazott gondolatmenettelkovetkezik, hogy a DiDjf (i, j {1, . . . , n}) fuggvenyek nulladfoku pozitv ho-mogenek, s gy - mivel a 0-ban f C2-osztalyu volta miatt folytonosak - 2.1.1.ertelmeben mindegyikuk konstans fuggveny:

DiDjf(v) =DiDjf(0) ; v Rn ; i, j {1, . . . , n} .

Visszaterve az (1)-ben nyert Dif =

n

j=1 ejDjDif =n

j=1 ejDiDjf relaciohoz,innen

ni=1

nj=1

eiejDiDjf=

ni=1

uiDif 2.2.

= 2f,

kovetkezeskeppen tetszolegesv n

k=1

kek Rn eseten

f(v) =1

2

ni=1

nj=1

ei(v)ej(v)DiDjf(v) = 1

2

ni=1

nj=1

ijDiDjf(0).

Ez azt jelenti, hogyfvaloban kvadratikus forma, amelyet Rn kanonikus bazisaravonatkozoan az 1

2(D

iD

jf(0)) n n-es matrix reprezental.

3. Sokasagok

3.1. EgyStopologikus teren adott n-dimenzios terkep (n N) olyan (U, u)par, ahol U S nylt halmaz, u homeomorfizmusa U-nak az Rn ter egy nylthalmazara. Az ui := ei u : U R (i {1, . . . , n}) fuggvenyek a terkepheztartozo koordinatafuggvenyek, (ui)ni=1 egylokalis koordinatarendszer S-en.

Elnevezesek. U az (U, u) terkep tartomanya, u a hozza tartozo koor-dinatalekepezes. A z (U, u) terkep p koruli, ha p U; egy ilyen terkep pkozeppont u, ha u(p) =0.

6


7/104

3.2. Az S topologikus ter (U, x) es (V, y) n-dimenzios terkepe C-

kompatibilis, ha azy x1 :x(U V) Rn y(U V) Rn es az

x y1 :y(U V) Rn x(U V) Rn

atmenetlekepezesek simak, vagy U V=.

3.3. Az S topologikus ter egy n-dimenzios atlasza n-dimenzios terkepek egyolyan A csaladja, amely eleget tesz a kovetkezo ket feltetelnek:

(AT)1 az A-hoz tartozo terkepek tartom anyai lefedik S-et;

(AT)2 Abarmely ket terkepe C-kompatibilis.

Az A atlasz maximalis, ha tartalmaz minden olyan terkepet, amely A vala-mennyi tagjaval C-kompatibilis.

3.3.1. Egy topologikus ter minden n-dimenzios atlasza benne van egyegyertelmuen meghatarozott maximalis atlaszban.

3.4. Egy n-dimenzios sima sokasag, roviden sokasag, olyan megszamlalhatobazisu Hausdorff-fele topologikus ter, amely el van latva egy n-dimenzios ma-ximalis atlasszal;sokasag terkepea sokasag-strukturat definialo maximalis atlaszegy tagja.

3.4.1. Az Rn valos vektorter n-dimenzios sokasag, az (Rn, 1Rn) =

(Rn

, (ei

)ni=1) egytagu atlasz altal meghatarozott maximalis atlasszal ellatva; ez

a maximalis atlasz Rn termeszetes sima strukturaja.

3.4.2. Legyen V n-dimenzios valos vektorter. Egyertelmuen letezik V-nolyan Hausdorff-topologia, amelyre teljesulnek a kovetkezok:

(i) a V V V , (u, v)u +v osszeadas es az R V V , (, v)vskalarral valo szorzas folytonos a megfelelo szorzattopologiakra nezve;

(ii) valamennyiV R linearis fuggveny folytonos.

Ez a topologia aV vektorter termeszetes topol ogiaja. A termeszetes topologiavalellatott V vektorter es az Rn valos vektorter homeomorf, homeomorfizmuskozottuk minden linearis izomorfizmus. Ha tehat x : V

Rn linearis izo-

morfizmus, akkor (V, x) egytagu atlaszaV-nek, amely egyertelemuen maximalisatlassza bovtheto (3.3.1.), s gy V n-dimenzios sokasagga valik. Ennek a so-kasagnak minden olyan (V, y) par terkepe, ahol y :V Rn linearis izomorfiz-mus, ugyanis az y x1 : Rn Rn es azx y1 : Rn Rn atmenetlekepezeseklinearis izomorfizmusok, es ezert sima lekepezesek.

7


8/104

3.4.3. Tekintsuk az Rn+1 ter

Sn := a Rn+1| a= 1egyseggombfeluletet. Ellatva az alter-topologiaval,Sn kompakt topologikus ter.Legyen

E:= (0, 1)Sn , D := (0, 1) Sn ; 0 Rn;U+:= S

n\ {E}, U := Sn\ {D}.

Sn Rn-re valo, E-bol ill. D-bol torteno sztereografikus projekcioja a

+: U+ Rn, (v, n+1)

1

1 n+1v,

ill. a

: U Rn, (v, n+1)

1

1 + n+1v

lekepezes. Mindket lekepezes folytonos es invertalhato, az inverzuk a

()1(p) =

2p

p2 + 1,

p2 1

p2 + 1

, p Rn

formulaval adhato meg, kovetkezeskeppen folytonos. (U+, +) es (U, ) ilymodonn-dimenzios terkepe Sn-nek.

v Rn\ {0}: (+ 1 )(v) = (

1+ )(v) =

1v2

v,

gy a terkepek kozotti atmenetlekepezesek simak. ((U+, +), (U, )) tehatn-dimenzios atlasza Sn-nek, amely 3.3.1.-nek megfeleloen Sn-et n-dimenziossokasagga teszi.

3.4.4. Legyen M n-dimenzios sima sokasag, A maximalis atlasszal. Te-kintsuk M-nek egy nemures Unylt reszhalmazat, s jelentse AU M mindazon(V, x) terkepeinek halmazat, ahol V U. Az AU-beli terkepek tartomanyai le-fedeset alkotjak U-nak, ugyanis minden p U ponthoz van olyan (W, z) Aterkep, hogyp W, es haV :=W U, x := z V, akkor (V, x) AU esp V.AU barmely ket terkepeC

-kompatibilis,AU tehatn-dimenzios atlaszaU-nak,amely ezaltal maga is n-dimenzios sokasag.

Az gy kapott sokasag azM sokasag egynylt reszsokas aga; egy sokasag nyltreszhalmazait mindig nylt reszsokasagoknak tekintjuk.

3.4.5. LegyenM m-dimenzios,N n-dimenzios sokasag,A, ill.Bmaximalisatlasszal. Egy (U, x) A es (V, y) B terkepbol kepzett szorzatterkep az az

(U V, x y) par, ahol(p, q) U V :x y(p, q) := (x(p), y(q)) Rm Rn= Rm+n.

Ellatva az M N Descartes-szorzatot a szorzattopologiaval, az osszes szor-zatterkepek atlaszt alkotnak MN-en, amely ezaltal (m+ n)-dimenzios so-kasagga valik. Az gy kapott sokasag azM es N sokasag szorzatsokasaga.

Kettonel tobb, de veges sok sokasag szorzatsokasaga analog modonkonstrualhato.Pelda. A

Tn :=S1 S1 (ntenyezo,n N)

szorzatsokasag az n-dimenzios torusz.

8


9/104

4. Sima lekepezesek

4.1. Legyen M m-dimenzios, N n-dimenzios sokasag. Egy : M Nlekepezes Ck-osztalyu (k N), ha minden p M pont eseten megadhatoolyan p koruli (U, x) es (p) koruli (V, y) terkep, hogy (U) V es az

y x1 :x(U) Rm y(V) Rn

lekepezes Ck-osztalyu. sima lekepezese M-nek N-be, ha minden k N-raCk-osztalyu. Egy : M N Ck-osztalyu lekepezes Ck-diffeomorfizmus, haa 1 : N M inverz lekepezes letezik es szinten Ck-osztalyu. Ket (nemfoltetlenul kulonbozo) sokasag diffeomorf, ha letezik kozottuk diffeomorfizmus.

Jeloles.

Ck(M, N) := : MN| Ck-osztalyu,C(M, N) :={: MN|sima}.

4.1.1. Ha : MN Ck-osztalyu lekepezes, akkor folytonos.

4.1.2. Legyen M es N sokasag, A = (U, x)A atlasza M-nek , B =(V, y)B atlasza N-nek. Ha : M N folytonos lekepezes, es tetszoleges(, ) A B eseten y x1 sima lekepezes az ertelmezesi tartomanyan,akkor a lekepezes sima.

4.1.3. Legyen az M sokasag N sokasagba valo lekepezese. Ha minden

p M pontnak van olyan U nylt kornyezete, hogy a U lekepezes sima,akkor sima. Megfordtva, ha sima lekepezes, akkor minden nylt halmazravalo leszuktese is sima. (A simasag lokalis tulajdonsag.)

4.1.4. LegyenM esN sokasag, (U)A nylt lefedeseM-nek. Ha minden A-hoz meg van adva egy : U Nsima lekepezes ugy, hogy

(, )A A: U U = U U ,

akkor egyertelmuen letezik olyan: MNsima lekepezes, hogy U = ,minden A eseten.

4.1.5. Egy sokasag identikus transzformacioja sima lekepezes, sima

lekepezesek kompozcioja sima lekepezes.

4.1.6. Ha ket sokasag kozott letezik C1-osztalyu diffeomorfizmus, akkor asokasagok kozott letezik C-diffeomorfizmus is (ld. Morris W. Hirsch: Diffe-rential Topology, GTM33, Springer-Verlag, New-York, 1976). Megallapodunkabban, hogy a tovabbiakban

diffeomorfizmuson sima diffeomorfizmust ertunk.

Diff(M) := C(M, M) csoport a kompozcio muveletevel, az M sokasagdiffeomorfizmus-csoportja.

9


10/104

4.1.7. Vannak olyan sokasagok, amelyek homeomorfak, de nem diffeomor-

fak: azR4

topologikus teren nem megszamlalhato sok maximalis atlasz adhatomeg ugy, hogy az eloallo sokasagok paronkent nem diffeomorfak. Ha n = 4, ak-kor az Rn ter sokasag-strukturaja diffeomorfizmus erejeig egyertelmu. Han 7,akkor az Sn gombon veges sok nem-diffeomorf sokasag-struktura letezik; ezekszama S7 eseten 28.

4.2. TetszolegesM sokasag eseten

Ck(M) :=Ck(M, R) (k N) , C(M) :=C(M,R).

A 4.1.-beli defincio ertelmeben f C(M) pontosan akkor teljesul, haminden p M pont korul megadhato olyan (U, x) terkep, hogy az fx1 :x(U) R fuggveny sima (f(p) koruli terkep gyanant (R, 1R) valaszthato).

4.2.1. Tetszoleges M sokasag es k N eseten Ck(M) valos algebra afuggvenyek osszeadasanak, skalarral valo szorzasanak es szorzasanak szokasos,pontonkenti ertelmezese eseten.

4.2.2. EgyfC(M) fuggvenytartoja azon pontok halmazanak lezartja,amelyekbenfnem tunik el:

supp(f) :={pM|f(p)= 0};

f zerus halmazaZ(f) :={pM|f(p) = 0} .

4.2.3. Legyen M egy sokasag, p egy pontja M-nek, U pedig tetszolegeskornyezete p-nek. Letezik olyan f C(M) fuggveny, amely rendelkezik akovetkezo tulajdonsagokkal:

(1) q M : 0 f(q) 1;

(2) f1-et vesz fol ap pont egy kornyezeteben;

(3) supp(f) U.

f-et ekkor p-belidudorfuggvenynek hvjuk.A konstrukcio vazlata.Legyen tetszoleges pozitv valos szam.

1. lepes Legyen

g(t) := e 1t , ha t >0;

0, ha t 0.

Ekkor g C(R).2. lepes Kepezzuk a

h: R R, t h(t) := g(2t)g(2t)+g(t)

fuggvenyt. Ekkor h C(R), es teljesulnek ra a kovetkezok:

(i) h(t) = 1, hat;

10


11/104

(ii) 0< h(t)< 1, ha < t


12/104


13/104

5.1.4. (Bazistetel) Ha (U, u) = (U, (ui)ni=1) terkep az M sokasag p pontja

korul, akkor a ui

p

: fC(M) ui

p

(f) =: fui (p) :=Di(f u1)(u(p)) R

fuggvenyek p-beli erintovektorok, a

ui

p

ni=1

vektorsorozat pedig bazisa a

TpM erintoternek. Ebbol a bazisbol tetszolegesv TpM erintovektor a

v=n

i=1

v(ui)

ui

p

formula szerint kombinalhato linearisan.Megjegyzes. A bazistetelbol kiolvashatoan egy sokasag tetszoleges pontbelierint oterenek dimenzioja veges, es megegyezik a sokasag dimenziojaval. A

f

ui :=Di(f u

1) u: U R

fuggvenyt az f fuggveny (U, u) terkepre vonatkozoi-edik parcialis derivaltjanakhvjuk.

5.1.5. Ha (U, (ui)ni=1) es(U, (ui)ni=1) terkep az M sokasag egy p pontja

korul, akkor ervenyes a

ui

p

=n

j=1

uj

ui

(p)

uj

p

; i {1, . . . , n}

transzformacios szabaly. Valoban, a bazistetelt a uip

TpM erintovektorra

alkalmazva, a felrt eloal ltashoz jutunk.

5.2. LegyenM n-dimenzios sokasag, s jelolje 0pa TpM erintoter zerusvektorat.Ekkor M minden ertintovektora egyetlenegy erintoterbe tartozik, es M osszeserintovektorainak halmaza megkaphato a

T M :=

pM

TpM

uniokent. T M M-re valo termeszetes projekcioja a

:T MM , v (v) :=p , hav TpM

lekepezes. A definciobol adodoan tetszolegesp Mpont eseten 1(p) =TpM.Legyen A megszamlalhato atlasza M-nek, s tekintsunk egy (U, u) =

(U, (ui)ni=1) A terkepet. Kep ezzuk az

xi :=ui =ei u :1(U) R,

valamint az

yi :v 1(U)yi(v) :=v(ui) R

13


14/104

fuggvenyeket (i {1, . . . , n}), ezekbol pedig az

(x, y) = (xi, yi)ni=1= (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) :1(U) u(U) Rn R2n

lekepezest. A bazistetel alap jan adodik, hogy (x, y) bijektv, az inverze az

(a, (1, . . . , n))u(U) Rn n

i=1

i

ui

u1(a)

1(U)

lekepezes. Egyertelm uen letezik olyan megszamlalhato bazisu Hausdorff-topologia a T Mhalmazon, hogy

(1(U), (x, y))|(U, u) A

atlasza T M-nek. Ily modon T M 2n-dimenzios sokasagga valik, amelynek a

projekcio sima lekepezese M-re. A tovabbiakban T M-et az itt lert sokasag-strukturaval ellatott sokasagkent kezeljuk, es erint osokasagkent is emltjuk.

Terminologia. : T M M - vagy egyszeruen - az M sokasagerint onyalabja; T M az erintonyalab totaltere, M a bazissokasaga; tetszolegesp M pont eseten 1(p) = TpM a p pont folotti fibrum. (Az erintonyalabelnevezes T M-re is hasznalatos, bar ez a szohasznalat nem teljesen kovetkeze-tes.) A most bevezetett szohasznalat altalanosabb megalapozast fog nyerni avektornyalabokkal foglalkozo kesobbi fejezetben.

6. Erintolekepezes. Gorbek

6.1. Legyen M es N sokasag, : M N sima lekepezes. Kivalasztva egy

pMpontot, ertelmezzunk egy

()p : TpMT(p)N , v ()p(v)

lekepezest azzal az elorassal, hogy tetszolegesh C(N) fuggveny eseten

()p(v)(h) :=v(h ).

Ekkor ()p(v) valoban (p)-beli erintovektora az N sokasagnak, es a ()p :TpM T(p)N lekepezes linearis. Ezt a linearis lekepezest a lekepezes p-beli erint olekepezesenek vagy derivaltjanak nevezzuk. erint olekepezese vagyderivaltja a

: T MT N , v(v) := ()p(v) , ha v TpM

lekepezes.A lekepezesimmerzio ap pontban, ha a ()pderivalt injektv,szubmerzio

p-ben, ha ()p szurjektv linearis lekepezes. immerizioja, ill. szubmerziojaazM sokasagnak az N sokasagba, ha M minden pontjaban immerzio, ill. szub-merzio.

A lekepezest azM sokasagN sokasagba valobeagyaz asanak nevezzuk, haolyan injektv immerzio, amelyre teljesul, hogy a

1: M(M) N , p 1(p) :=(p)

lekepezes homeomorfizmus, ha (M)-et az N sokasag topologiajabol szarmazoalter-topologiaval latjuk el.

14


15/104

6.1.1. Ha C(M, N), akkor C(T M , T N ).

6.1.2. Legyenek L, M, N sokasagok, C(L, M), C(M, N).Jelolje az M sokasag identikus transzformaciojat.

(1) Ervenyes a( )=

lancszabaly. Fibrumonkent:

(( ))p = ()(p) ()p , p L.

(2) = 1TM, ill. ()p= 1TpM, minden p M-re.

(3) Ha C(M, N) diffeomorfizmus, akkor C(T M , T N ) is diffeo-

morfizmus, es()

1 = (1).

Fibrumonkent: tetszolegesp Mpont eseten

()p : TpMT(p)N es (1)((p)) :T(p)NTpM

linearis izomorfizmusok, amelyek egymas inverzei.

6.1.3. HaUnylt reszsokasaga az M sokasagnak es

j : U M , p j (p) :=p

a befoglalo lekepezes (inkluzio), akkor

(j)p : TpU TpM

linearis izomorfizmus, minden p Ueseten (v.o. 5.1.3.).Ennek igazolasara megkonstrualjuk a (j)p linearis lekepezes inverzet.

Valasszunk olyan h C(M) p-beli dudorfuggvenyt, amelyre supp(h) Uteljesul. Ertelmezzunk egy

k: TpMTpU , vk(v)

lekepezest a

k(v)(f) :=v(hf) , fC(U)

elorassal. 5.1.1. miatt k jol definialt. Tetszoleges w TpU es F C(M)eseten

k (j)p(w)(F) := (j)p(w)(hF) :=w(hF j) =w(hF) 5.1.1.

= w(F),

kovetkezeskeppen k (j)p = 1TpU. Hasonloan ellenorizheto, hogy (j)p k =1TpM.

6.1.4. Ha C(M, N) diffeomorfan kepezi le egy p M pont egykornyezetet a (p) Npont egy kornyezetere, akkor a ()p : TpMT(p)Nlekepezes linearis izomorfizmus.

Ez adodik 6.1.2. alapjan.

15


16/104

6.1.5. HaM m-dimenzios,N n-dimenzios sokasag, (U, (xi)mi=1) terkep egy

pMpont korul, (V, (yj

)n

j=1) terkep a (p) Npont korul, akkor

()p

xj

p

=n

i=1

(yi )

xj (p)

y i

(p)

, j {1, . . . , m}.

A fellepo(yi)xj (p)

Mnm(R) matrix p-beli Jacobi matrixa az alapul

vett terkepekre vonatkozoan.

6.1.6. Legyen : M M sima lekepezes. Egy M-en kijelolt (U, (ui)ni=1)terkep es aT M-en altala indukalt (1(U), (xi, yi)ni=1) terkep (5.2.) segtsegevela : T MT M erintolekepezes U (U) folott (ha az nem ures) a

=(U)

ni=1

nj=1

yj iuj

ui

; i :=ui formulaval rhato le. koordinatafuggvenyei

xi = ui =i , y i =

nj=1

yj

i

uj

; i {1, . . . , n} .

Tetszolegesv 1(U) eseten a

()v := (())v :TvT MT(v)T M

masodik derivalt hatasatTvT M

xi

v

,

y i

v

ni=1

bazisan a

()v

xj

v

=n

i=1

i

uj((v))

xi

(v)

+n

i=1

nk=1

yk(v) 2i

ujuk((v))

y i

(v)

,

()v

yj

v

=n

i=1

i

uj((v))

y i

(v)

formulak adjak.Bizonyt as. Legyenv TpM,p Utetszoleges. Av vektort a bazistetel alap jan

av =

nj=1

yj(v)

uj

p

alakban alltva elo,6.1.5.alkalmazasaval kapjuk, hogy

(v) =

nj=1

yj(v)

uj

p

= nj=1

yj(v)n

i=1

(ui )

uj (p)

ui

(p)

=

ni=1

nj=1

yj(v)

i

uj

(v)

ui

(v),

16


17/104

ami a -ra adott lokalis formula helyesseget jelenti. Innen

xi((v)) :=ui ((v)) =ui((p)) =i (v),

yi((v)) :=(v)(ui) =

nj=1

yj(v)n

k=1

k

uj((v))ik = n

j=1

yj

i

uj

(v),ez az xi,yikoordinatafuggvenyek megadott alakjahoz vezet. A tovabbiakhasonloan adodnak.

6.1.7. Megtartva az elozo pont jeloleseit, legyen R tetszolegesen

rogztett valos szam, es jelentse m a

T MT M , v m(v) :=v

lekepezest. Ekkor

v 1(U) : (m)

xi

v

=

xi

v

, (m)

y i

v

=

y i

v

i {1, . . . , n} .

Bizonyt as. Mivel xj m(v) = xj(v) = uj (v) = uj (v) = xj(v) esyj m(v) =y

j(v) =yj(v) ,

xj m = xj , yj m= y

j ; j {1, . . . , n} .

Felhasznalva ezt az eszrevetelt, 6.1.5. alapjan

(m)

xi

v

=n

j=1

(xj m)

xi (v)

xj

v

+(yj m)

xi (v)

yj

v

=

nj=1

xj

xi(v)

xj

v

=n

j=1

ji

xj

v

=

xi

v

,

(m)

y i

v

=n

j=1

(xj m)

y i (v)

xj

v

+(yj m)

y i (v)

yj

v

=

n

j=1 yj

y i(v)

yjv =

y iv.

6.1.8. (Az inverz-lekepezes tetel.) Legyen: MNsima lekepezes,pegypontja M-nek. A ()p : TpM T(p)N derivalt akkor es csak akkor linearisizomorfizmus, ha a p pontnak megadhato olyan U kornyezete, hogy a Ulekepezes diffeomorfizmusa U-nak a (p) pont(U) N kornyezetere.

Bizonyt as. 6.1.4.miatt a feltetel elegendo. Megfordtva, tegyuk fel, hogy ()plinearis izomorfizmusaTpM-nekT(p)N-re. EkkorM esNdimenzioja megegye-zik, legyen a kozos dimenziojukn. Valasszunk ap pont korul egy (U1, x), a(p)

17


18/104

pont korul pedig egy (V1, y) terkepet ugy, hogy (U1) V1 teljesuljon. Legyen

a:= x(p), b := y((p)), := y x1

x(U1). A feltetel alapjan a

(a) : Rn Rn

derivalt linearis izomorfizmus, ezert a klasszikus inverz lekepezes tetelertelmeben az a pontnak megadhato olyanU1, a b pontnak pedig olyanV1kornyezete, hogy U1 :U1 V1 diffeomorfizmus. Ha U := x1(U1) ,V := y1(V1), akkor U kornyezete p-nek, V kornyezete (p)-nek, U =y1 x U, es gy diffeomorfizmusaU-nak V-re.

6.1.9. Egy : M N sima lekepezest lokalis diffeomorfizmusnak ne-vezunk egy p M pontban, h a a ()p : TpM T(p)N derivalt linearis

izomorfizmus. (A terminologiat 6.1.8. indokolja.) Amennyiben lokalis diffe-omorfizmusM minden pontjaban, ugy azt mondjuk, hogy lokalis diffeomor-fizmusa M-nek N-be. Ha : M N bijektv lokalis diffeomorfizmus, akkordiffeomorfizmus.

6.2. Hassler Whitney beagyazasi tetelei.

(1) Immerzio-tetel. Minden n-dimenzios sokasagnak letezik immerzioja R2n-be. Eros valtozat: minden legalabb ketdimenzios sokasagnak letezik im-merizoja R2n1-be.

(2) Beagyazasi tetel. Minden n-dimenzios sokasagnak letezik szabalyosbeagyazasa R2n+1-be, azaz olyan beagyazasa, amelynel barmely kompakt

halmaz oskepe is kompakt. Eros valtozat: mindenn-dimenzios sokasagnakletezik beagyazasa R2n-be.

6.3. Legyen M es N sokasag, es tekintsuk az M N szorzatsokasagot.Tetszoleges (a, b) MNeseten aT(a,b)(MN) erintoter kanonikusan izomorfa TaM TbNdirekt osszeggel, ilyen izomorfizmust ad meg a

a,b: w T(a,b)(M N)a,b(w) := ((M)(w), (N)(w)) TaM TbN

lekepezes, ahol M :M NM esN :M NN termeszetes projekciok.

Bizonyt as. A a,b lekepezes nyilvanvaloan linearis. Megkonstrualjuk a,b in-verzet. Tekintsuk az

a-val, ill. b-vel ellentett

ja : NM N , qja(q) := (a, q),

ill.jb: MM N , p jb(p) := (p, b)

inkluziot. a-val, ill. b-vel jelolve a

q N a(q) :=a M , ill. p M b(p) :=b N

konstans lekepezest, ervenyesek a

M ja= a , M jb = 1M;

18


19/104

N ja = 1N , N jb = b

relaciok. Innen a lancszabaly (6.1.2.) alapjan

(M) (ja)= 0 , (M) (jb) = 1TM;

(N) (ja) = 1TN , (N) (jb) = 0.

Tekintsuk ezek utan a

a,b: TaM TbNT(a,b)(M N),

(u, v)a,b(u, v) := (jb)(u) + (ja)(v)

linearis lekepezest. Az utoljara nyert relaciok alkalmazasaval azt kapjuk, hogytetszoleges (u, v)TaM TbNeseten

a,b a,b(u, v) =a,b((jb)(u) + (ja)(v)) =

((M) (jb)(u) + (M) (ja)(v), (N) (jb)(u) + (N) (ja)(v)) =(u + 0a, 0b+ v) = (u, v),

tehata,b a,b TaM TbNidentikus transzformacioja. Mivela,b esa,bvegesdimenzioju vektorterek kozotti linaris lekepezes, es

dimT(a,b)(M N) =dim(M N) =dimM+ dimN=dimTaM+ dimTbN,

kovetkezik, hogy a,b esa,b inverz izomorfizmusok.

A most igazolt eredmeny lehetove teszi, hogy aT(a,b)(M N) erintoteret esa TaM TbN vektorteret azonostsuk a

w T(a,b)(M N)((M)(w), (N)(w))TaM TbN,

ill. az

(u, v)TaM TbN (jb)(u) + (ja)(v)T(a,b)(M N)

lekepezes reven. Tekintettel erre a termeszetes azonosthatosagra, atovabbiakban rendszerint egyszeruen azt rjuk, hogy

T(a,b)(M N) =TaM TbN.

Ha : T(M N) T M T N

T(a,b)(M N) :=a,b ; (a, b)M N,

akkor olyan sima lekepezes, amely fibrumtarto abban az ertelemben, hogytetszoleges T(a,b)(M N) erintoteret a TaM TbN vektorterbe viszi at, esfibrumonkent linearis izomorfizmus. altalM N erintonyalabja azonosthatoa T M T N

szorzatnyalab-bal; ez utobbi fogalmat kesobb pontostjuk.

6.3.1. Megtartva a bevezetett jeloleseket,ha

w T(a,b)(M N) , w1:= (M)(w) , w2:= (N)(w),

akkor tetszolegesfC(M N) fuggveny eseten

w(f) =w1(f jb) + w2(f ja).

Valoban, az 6.3. vegen mondottak alapjan

w(f) = (jb)(w1)(f) + (ja)(w2)(f) =w1(f jb) + w2(f ja).

19


20/104

6.3.2. (Leibniz-formula) Legyen Q tovabbi sokasag, es tekintsunk egy

F :M NQ sima lekepezest. Kivalaszva egy (a, b) M Npontot, jelentseFa; ill. Fb az

NQ , nFa(n) :=F(a, n), ill. az MQ , m Fb(m) :=F(m, b)

lekepezest. Ekkor tetszolegesw = (w1, w2)T(a,b)(M N) eseten

(F)(a,b)(w) = ((Fb))a(w1) + ((Fa))b(w2).

Bizonyt as. Fa = Fja, Fb =Fjb, gy 6.3. es a lancszabaly alkalmazasavalkapjuk, hogy

(F)(a,b)(w) = (F)(a,b)(a,b(w1, w2)) = (F)(a,b)((jb)(w1) + (ja)(w2)) =

(F jb)(w1) + (F ja)(w2) = ((Fb)) (w1) + ((Fa)) (w2).

6.3.3. Legyenek - a korabbi jelolesek megtartasa mellett - M, N, Q, Ssokasagok, : MQ es : NS sima lekepezesek. Jelentse az

(m, n)M N ((m), (n))Q S

lekepezest. Ekkor tetszoleges (a, b) MN, w = (w1, w2) T(a,b)(MN)eseten

(( ))(a,b)(w) = ()a(w1) + ()b(w2).

Valoban, ha a rovidseg kedveert F := , akkor Fa= j(a) ,Fb= j(b) , es a Leibniz-formula alkalmazasaval azt kapjuk, hogy

(F)(a,b)(w) = (Fb)(w1) + (Fa)(w2) = j(b)((w1)) + j(a)((w2)),itt pedig a jobb oldalon szereplo vektor a (w1) + ()(w2) vektorral azo-nosthato.

6.4. LegyenI Rnylt intervallum, ahol az Rvalos szamegyenest 3.4.1.-nekmegfeleloen sokasagnak, I-t R nylt reszsokasaganak tekintjuk. Egy :IMsima lekepezest M-beli (parametrizalt) gorbenek nevezunk. Ha [a, b] R nemegypontu zart intervallum, akkor egy: [a, b] R lekepezest abban az esetbenmondunk gorbenek (vagy gorbe szakasznak), ha kiterjesztheto egy, az [a, b]-ttartalmazo nylt intervallum sima lekepezeseve. Amennyiben : [a, b] Mfolytonos lekepezes, es az [a, b] intervallumnak van olyan felosztasa, amely-nek reszintervallumain gorbe szakasz, ugy -t szakaszonkent sima gorbenekhvjuk. Egy: I M folytonos lekepezest akkor nevezunk szakaszonkent simagorbenek, ha tetszolegesa, b I, a < beseten [a, b] szakaszonkent sima.

6.5. Legyen r := 1R. Ekkor R sokasag-strukturajat az (R, r) egytagu atlaszdefinialja. Legyen I Rnylt intervallum (mint nylt reszsokasag), s a rovidsegkedveert az r I lekepezest is jeloljuk r-rel. Egy : I M gorbe t I-belierint ovektora vagysebessegvektora

(t) := ()t

d

dr

t

T(t)M;

a gorbe regularis, ha az erintovektora sehol sem zerusvektor.Megtartva a bevezetett jeloleseket, ervenyesek a kovetkezok.

20


21/104

6.5.1. (Az erint ovektorok mint iranymenti derivalasok.) Ha f C(M),

akkor tetszolegest I-re

(t)(f) = (f )(t);

ha peldaul (0) =:v T(0)M, akkorv (f) = (f )(0).

6.5.2. (Koordinatakifejezes.) Ha (U, (ui)ni=1) terkep M-en es (t) U, ak-kor

(t) =n

i=1

(ui )(t)

ui

(t)

.

6.5.3. ( Atparameterezes.) Ha J R nylt intervallum es : J I

sima fuggveny, akkor a gorbe := : J M atparameterezettjenekerintovektorait a(t) = (t)((t)) , t J

formula adja.

6.5.4. (Lekepezes hat asa.) Ha N tovabbi sokasag es : M N simalekepezes, akkor a: I N N-beli gorbe erintovektorai erintovektorainakkepei a erintolekepezesnel:

(t) = ()(t)((t)) , t I

-

az erintolekepezes megorzi a sebessegeket.

Megjegyzes. A most felrt formula segtsegevel rendszerint hatekonyabb modonnyerheto informacio az erintolekepezesrol, mint az6.1.5.-on alapulo koordinatasszamolasokkal.

6.5.5. Egy sokasag minden erintovektora fellep egy sokasagbeli gorbeerintovektorakent.

Bizonyt as. Legyen M n-dimenzios sokasag,p M, v TpM. Valasszunk egy

(U, u) = (U, (ui)ni=1) p-kozeppontu terkepet. Ekkor v =n

i=1

i

ui

p

rhato.

A

:] 1, 1[M , t (t) :=u

1

(t

1

, . . . , t

n

)lekepezes M-beli gorbe, amelyre (0) = p teljesul. Tetszoleges i {1, . . . , n}indexre

ui (t) =ei u u1(t1, . . . , t n) =ti,

gy (ui )(t) =i, es 6.5.2. azt adja, hogy

(0) =n

i=1

i

ui

(0)

=n

i=1

i

ui

p

=v.

21


22/104

6.6. Legyen V n-dimenzios valos vektorter, ellatva a 3.4.2.-ben lert sokasag

strukturaval. Ekkor tetszolegesx= (x1, . . . , xn) :V Rn , xi =ei x (i {1, . . . , n})

linearis izomorfizmus koordinatarendszer V-n (v.o. 3.1.), az ilyen koor-dinatarendszereket a vektorter linearis koordinatarendszereinek hvjuk.

Megmutatjuk, hogy a V vektorter termeszetes modon izomorf tetszoleges ppontbeli erint oterevel; termeszetes izomorfizmust ad meg V es TpV kozott az

p : v V p(v) := (0) TpV

lekepezes, ahol

: R V , t(t) :=p + tv.

Az x = (xi)ni=1 linearis koordinatarendszert hasznalva, tetszoleges t R esi {1, . . . , n} eseten

xi (t) =xi(p + tv) =xi(p) + txi(v),

gy (xi )(t) =xi(v), kovetkezeskeppen

p(v) := (0) 6.5.2.

=n

i=1

(xi )(0)

xi

(0)

=n

i=1

xi(v)

xi

p

.

A kapott

6.6.1.

p(v) =n

i=1

xi(v)

xi

p

formulabol kiolvashato, hogy az p lekepezes linearis es injektv, s ezert izomor-fizmus (hiszen dimV =dimTpV).

7. Vektormezok

7.1. Az M sokasag egy Unylt reszhalmazan adott durva vektormezo olyanX :U T M lekepezes, amely eleget tesz a X= 1U feltetelnek, azaz amelyreteljesul, hogy minden p Ueseten

Xp := X(p) TpU 5.1.3.

= TpM.

Az X durva vektormezot folytonos, Ck-osztalyu (k N), ill. sima vektor-mezonek mondjuk aszerint, amint folytonos, Ck-osztalyu, ill. sima lekepezese

U-nakT M-be.

7.1.1. Legyen (U, u) = (U, (ui)ni=1) terkep az M sokasagon, s tekintsuk aT M-en altala indukalt (1(U), (xi, yi)ni=1) terkepet (5.2.). A

ui :U T M, p

ui

p

; i {1, . . . , n}

22


23/104

lekepezesek sima vektormezok, az (U, u) terkephez tartozo koor-

dinatavektormezok.Ha X :MT Mdurva vektormezo, akkor az

Xi :=yi (XU) :U R; i {1, . . . , n}

fuggvenyeket X (U, u)-ra vonatkozo komponensfuggvenyeinek hvjuk;segtsegukkelXU folott

XU=n

i=1

Xi

ui

alakban allthato elo. Ezt a relaciot gyakran az

X =(U)

n

i=1Xi

ui

formaban rjuk.

7.1.2. Egy X :M T Mdurva vektormezore a kovetkezo tulajdonsagokekvivalensek:

(1) Az X lekepezes sima.

(2) X tetszoleges terkepre vonatkozo komponensfuggvenyei simak.

(3) TetszolegesU Mnylt halmaz es fC(U) fuggveny eseten az

Xf :U R , p (Xf)(p) :=Xp(f)

fuggveny sima.

Bizonyt as. (1) (2) Legyen (U, u) = (U, (ui)ni=1) terkep M-en. Ha X simalekepezes, akkor XUis sima (4.1.3.), es ezert a vektormezo y i XU=Xi

komponensfuggvenyei is simak.(2) (3) Mivel a lekepezesek simasaga lokalis tulajdonsag (4.1.3.), felte-

heto, hogy az adott nylt halmaz egy (U, u) = (U, (ui)ni=1) terkep tartomanya.TetszolegesfC(U) eseten

Xf=

ni=1

Xi

ui

f=

ni=1

Xi f

ui,

s itt a jobb oldalon a (2) feltetel ertelmeben sima fuggveny all.(3) (1) Kivalasztva M-en egy (U, u) = (U, (ui)ni=1) terkepet es tekintve

T M-en az altala indukalt (1(U), (x, y)) = (1(U), (xi, yi)ni=1) terkepet, ele-gendo azt ellenorizni, hogy az

(x, y) X u1 :u(U) Rn u(U) Rn

lekepezes sima. Ennek koordinatafuggvenyei

xi X u1 =ui X u1 =ei u u1 =ei

es

23


24/104

yi X u1 =Xi u1 (i {1, . . . , n}).

Az elsonkoordinatafuggveny sima. Mivel tetszolegesp Ueseten

yi X(p) 5.1.4.

= yi

nj=1

X(p)(uj)

uj

p

= nj=1

(Xuj)(p)yi

uj

p

=

nj=1

(Xuj)(p)ui

uj(p) = (Xui)(p),

kovetkezik, hogy

Xi :=yi X=X ui , i {1, . . . , n},

es ezek a fuggvenyek a feltetel szerint simak. Ily modon a vizsgalt lekepezes

masodik n szamu koordinatafuggvenye is sima.

7.2. Megallapodunk abban, hogy

vektormezon sima vektormezot ert unk.

Egy U M nylt halmazon ertelmezett vektormezok a C(U) gyuru felettimodulust alkotnak, ha a vektormezok osszeget es fuggvenyszereset pontonkentdefinialjuk, azaz ha tetszoleges X : U T M es Y : U T M vektormezo esfC(U) fuggveny eseten

(X+ Y)p := Xp+ Yp , (f X)p := f(p)Xp ; p M.

Erre a modulusra az X(U) jelolest hasznaljuk, specialisan X(M) az M sokasagvektormezoinekC(M) modulusa.

7.3. Ha p egy pontja, v TpM pedig egy p-beli erintovektora az M so-kasagnak, akkor van olyan X X(M) vektormezo, hogy X(p) =v.

Bizonyt as. Valasszunk egy (U, u) = (U, (ui)ni=1) p koruli terkepet; ekkor v =n

i=1

i

ui

p

rhato. Tekintsuk az

Yi :U R , qYi(q) :=i ; i {1, . . . , n}

konstans, es ennelfogva sima fuggvenyeket. Legyen Y :=

n

i=1

Yi

ui ; ekkor Y

X(U) es Y(p) =v.A kovetkezo lepesben az Y U folotti vektormezotM-en ertelmezett vektor-

mezove terjesztjuk ki. Ehhez olyan f C(M) p-beli dudorfuggvenyt alkal-mazunk, amelynek tartoja U-ba esik. Ha X :=f Y, akkor X M-en ertelmezettvektormezonek tekintheto, amely M\U pontjaiban 0-t vesz fol. A p pont egykornyezeteben X egybeesikY-nal, ezert X(p) =Y(p) =v.

24


25/104

7.4. AC(M) fuggvenyalgebra egy derivacioja olyan : C(M) C(M),

f (f) lekepezes, amely(1) R-linearis: (f +g) = (f) + (g), tetszoleges f, g C(M) es

, R eseten;

(2) eleget tesz a Leibniz-szabalynak:

(f g) =(f)g+ f (g) ; f, g C(M).

7.4.1. Ha X X(M), akkor az

LX :fC(M)LX(f) :=X f ; (Xf)(p) :=Xp(f) (pM)

lekepezes derivaciojaC(M)-nek, ez az erintovektorok defincioja (5.1.(1),(2))

alapjan kozvetlenul adodik. Megfordtva, minden : C

(M) C

(M) de-rivaciohoz egyertelm uen letezik olyan X X(M)vektormezo, hogy = LX .Az egyertelm useg igazolasahoz elegendo azt ellenorizni, hogy ha valamely

X X(M) vektormezore LX = 0, akkor X= 0. Legyen tehat LX = 0. Ekkorbarmely f C(M) fuggvenyre LX(f) = Xf = 0 C

(M), s gy mindenp Mpontban (Xf)(p) =Xp(f) = 0. Ebbol f tetszolegessege miatt Xp = 0p,innen pedig p tetszolegessege folytanX= 0 kovetkezik.

A letezes bizonytasa celjabol legyen adva C(M)-nek egy tetszoleges derivacioja, es ertelmezzunk egy

X :MT M , p Xp

lekepezest azzal az elorassal, hogy

fC(M) : Xp(f) :=(f)(p).

Mivel derivacio, ekkor Xp TpM, tehat X durva vektormezo. Azonban adefincio alapjan

fC(M) : X f=(f) C(M),

gy 7.1.2. ertelmebenX X(M). Evidens a konstrukciobol, hogy LX =.A tett eszrevetelre tekintettel, a tovabbiakban

egy M sokasag vektormezoit szabadon interpretaljuk a C(M)fuggvenyalgebraderivacioikent.

7.5. Legyen X, Y X(M). Az

fC(M)X(Y f) Y(Xf)C(M)

lekepezes derivacio, ezert 7.4.1. alapjan egyertelmuen letezik olyan [X, Y]-naljelolt vektormezoM-en, hogy

fC(M) : [X, Y]f=X(Y f) Y(Xf).

Ezt a vektormezot azX esY vektormezoLie-zarojelenek nevezzuk. MintM-nekT M-be valo lekepezese, [X, Y] tetszolegesp Mponthoz azt az [X, Y]p TpMerintovektort rendeli, amelyre

[X, Y]pf=Xp(Y f) Yp(Xf) , fC(M).

25


26/104

7.5.1. A koordinatavektormezok Lie-zarojele eltunik.

Valoban, legyen (U, u) = (U, (ui

)n

i=1) terkep az M sokasagon. Tetszolegesi, j {1, . . . , n} indexek es fC(U) fuggveny eseten ui ,

uj

(f) = ui

fuj

uj

fui

5.1.4.= ui (Dj(f u

1) u)

uj (Di(f u1) u) =DiDj(f u1) u DjDi(f u1) u= 0,

tehat ui ,

uj

= 0.

7.5.2. Az (X, Y) X(M) X(M)[X, Y] X(M) lekepezes rendelkezika kovetkezo tulajdonsagokkal:

(1) R-bilinearis;

(2) ferdeszimmetrikus: [X, Y] =[Y, X];

(3) eleget tesz a Jacobi-azonossagnak:

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0;

(4) tetszolegesfC(M) fuggveny eseten:

[fX,Y] =f[X, Y] (Y f)X , [X,fY] =f[X, Y] + (Xf)Y.

(1)-(3) ertelmeben X(M), mint valos vektorter, a Lie-zarojel muveletevel ellatvavalos Lie-algebra. A ferdeszimmetriabol kovetkezik, hogy [X, X] = 0 minden Xvektormezo eseten

7.6. Legyen M es N sokasag, C(M, N). Azt mondjuk, hogy az X X(M) es az Y X(N) vektormezok -megfelelok, s ilyenkor az X

Y jelolest

hasznaljuk, ha X=Y .

7.6.1. Az X X(M) es az Y X(N) vektormezo akkor es csak akkor-megfelelo, ha

X(h ) =Y h , h C(N).

Bizonyt as. A kovetkezo megallaptasok ekvivalensek:

X(h ) =Y h , hC

(N);X(h )(p) = (Y h )(p) ; p M, h C(N);Xp(h ) = (Y h)((p)) ; pM, h C(N);(()pXp)(h) =Y(p)(h) ; pM, h C

(N);()p(Xp) =Y(p) , pM; X=Y .

26


27/104

7.6.2. Legyen C(M, N); X1, X2 X(M); Y1, Y2 X(N). Ha

X1 Y1 esX2 Y2, akkor

(1) X1+ X2

Y1+ Y2,

(2) (h )X1

hY1 , h C(N);

(3) [X1, X2]

[Y1, Y2].

Mindharom eszrevetel egyszeruen adodik 7.6.1. ismetelt alkalmazasaval.

7.6.3. Ha C(M, N), X X(M), es letezik olyan Y X(N) vektor-mezo, hogyX

Y, akkor azt mondjuk, hogy azX vektormezo altalvetthet o.

Amennyiben szurjektv, ugy mindenX X(M) vektormezohoz legfoljebb egyolyan Y X(N) vektormezo letezik, hogy X

Y.

7.6.4. Tegyuk fel, hogy : M N diffeomorfizmus. Ekkor tetszolegesX X(M) vektormezo eseten kepezheto a

#X := X 1 X(N)

vektormezo,X altalieloretoltja (push-forward).X

#X, es tovabbi X(N)-

beli vektormezo nem rendelkezik ezzel a tulajdonsaggal. A

#: X(M) X(N) , X#X

lekepezes izomorfizmus az X(M) es X(N) Lie-algebra kozott, gy specialisan

#[X1, X2] = [#X1, #X2] ; X1, X2 X(M).

Ha: NQ tovabbi diffeomorfizmus, akkor

( )#= # #.

EgyY X(N) vektormezo altali visszahuzottja (pull-back) a

#Y := ()1 Y

6.1.2.= (1) Y = (

1)#Y

X(M)-beli vektormezo.

7.6.5. LegyenUnylt reszhalmaza az M sokasagnak, es legyenX X(M).AzXvektormezo a

p U (XU)p := Xp TpM 5.1.3.

= TpU

eloras szerint egy XU X(U) vektormezot indukal, ezt X U-ra valoleszuktesenek hvjuk. Ha j : U M a kanonikus inkluzio (6.1.3.), akkorXU

jX.

27


28/104

7.7. LegyenM esNsokasag, es tekintsuk azMN szorzatsokasagot. AzM

NM, ill. azM NN termeszetes projekciot a korabbiaknak megfeleloenM, ill.N jeloli, es elunk az 6.3.vegen mondott azonostasi lehetosegekkel. HaX X(M) es

iMX : (p, q)M N (Xp, 0q)T(p,q)(M N),

akkor iMXvektormezo M N-en. Hasonlokeppen, minden Y X(N) vektor-mezo egy

iNY : (p, q)M N (0p, Yq)T(p,q)(M N)

vektormezot szarmaztatM N-en. Kozvetlenul adodik ezekbol a definciokbol,hogy

iMX M

X , iNY N

Y,

ervenyesek tovabba a kovetkezo relaciok:

iMX(f M) =X f M , iNY(f M) = 0 ; fC(M);

iNY(g N) =Y g N , iMX(g N) = 0 ; g C(N).

Valoban, tetszoleges (p, q)M Neseten

iMX(f M)(p, q) = (Xp, 0q)(f M) 6.3.1.

=Xp(f M jq) + 0q(f M jp) =Xp(f) =X f(p) =X f M(p, q);

iNY(f M)(p, q) = (0p, Yq)(f M) = 0p(f M jq) + Yq(f M jp) =Yq(f M jp) = 0,

mertf M jp :N R az {f(p)} ertekkeszletu konstans fuggveny. Ezzel azelso ket relacio bizonytast nyert, a masik ketto igazolasa analog.

7.7.1. Ha Z X(MN), es tetszoleges f C(M), ill. g C(N)eseten Z(f M) = 0 es Z(g N) = 0, akkor Z= 0.

Bizonyt as. Legyen (a, b) MN tetszoleges, w := Z(a,b). Felhasznalva az6.3.-beli bizonytasban latottakat,

w= (jb)(u) + (ja)(v) ; u TaM , v TbN

rhato, es gy aZ(f M) = 0 feltetel azt adja, hogy

0 =Z(a,b)(f M) =w(f M) = (jb)(u)(f M) + (ja)(v)(f M) =u(f M jb) + v(f M ja) =u(f) + v(f a) =u(f)

(mertf a C(N) konstans fuggveny). Igyu = 0p kovetkezik, es hasonloanadodik, hogy v = 0p. Ezzel belattuk, hogy Zminden (a, b) M N pontbanzerusvektort vesz fol, tehatZ= 0.

28


29/104

8. Elsofoku differencialformak

8.1. Egy M sokasag p pontbeli erintoterenek dualisara a Tp M jelolest esa p-beli koerint o ter elnevezest hasznaljuk, Tp M elemeit p-beli erint o kovek-torokkent, vagy egyszeruen p-beli kovektorokkent is emltjuk. Az M sokasagonadottelsofoku differencialforma, roviden1-forma, vagy kovektormezo olyan

: p Mp Tp M

lekepezes, amely eleget tesz a kovetkezo simasagi feltetelnek: tetszolegesX X(M) vektormezo eseten az

(X) :M R , p (X)(p) :=p(Xp)

fuggveny sima.Egy M sokasagon ertelmezett osszes elsofoku differencialformak C(M)-

modulust alkotnak, ha ket differencialforma osszeget es egy differencialformafuggvenyszereset a

pontonkenti elv alapjan ertelmezzuk (v.o. 7.2.); erre a

modulusra azA1(M) jelolest hasznaljuk.Ugyangy szolhatunk egy U M nylt halmaz folotti 1-formak A1(U)

C(U)-modulusarol.

8.2. EgyfC(M) fuggveny differencialja egyp M pontban a

(df)p : TpM R ,v(df)p(v) :=v(f)

fuggveny. Ekkor (df)p Tp M, azaz (df)p p-beli kovektor, es a

df :p M(df)p Tp M

lekepezes elsofoku differencialforma, amelyet az f fuggveny differencialjanaknevezunk. (A simasagi feltetel teljesulese adodik abbol, hogy tetszoleges X X(M) vektormezo es p Mpont eseten

df(X)(p) := (df)p(Xp) :=Xp(f) = (Xf)(p),

s gy df(X) =X fC(M).)

8.2.1. Legyen (U, u) = (U, (ui)ni=1) terkep az M sokasag p pontja korul.

(1) (dui)pni=1 a ui pn

i=1bazishoz dualis bazisa aT

pMkoerinto ternek.

(2) Ha A1(M), akkor

=(U)

ni=1

ui

dui.

(3) Ha fC(M), akkor

df =(U)

ni=1

f

uidui.

29


30/104

(4) Amennyiben (

U, (

ui)ni=1) tovabbi terkep a p pont korul, ugy ervenyes a

(dui)p = nj=1

uiuj

(p)(duj)p ; i {1, . . . , n}

transzformacios szabaly.

Bizonyt as.

(1) Tetszolegesi, j {1, . . . , n} indexek eseten

(dui)p uj

p

:= uj

p

(ui) :=Dj(ui u1)(u(p)) =Djei(u(p)) =ij.

(2) Tetszolegesq U pontban

q(1)=

n

j=1 j(duj)q , j R.Alkalmazva mindket oldalt a

ui

q

(i {1, . . . , n}) bazisvektorokra, azt

kapjuk, hogy

q

ui

q

=

nj=1

j(duj)q

ui

q

=

nj=1

jji =i,

gy

q =n

i=1

q

ui

q

(dui)q =

ni=1

ui

dui

q

.

Ez igazolja a (2) eloalltast.

(3) df ui := ui f= fui (i {1, . . . , n}), (3) ezert kovetkezik (2) alapjan.(4) adodik (3)-bol,f :=ui (i {1, . . . , n}) valasztassal.

8.2.2. Ad: C(M)A1(M) , f df

lekepezes

(1) R-linearis;

(2) eleget tesz a d(f g) =gdf+ f dg szorzat-szabalynak.

TetszolegesfC

(M) es h C

(R

) eseten(3) d(h f) = (h f)df.

Az utobbi relacio igazolasara valasszunk egy (U, u) = (U, (ui)ni=1) terkepet

M-en. 8.2.1. (3) alapjan d(h f) =(U)

ni=1

(h f)

ui dui. Itt

(hf)ui =Di(h f u

1) u= (h f)(Di(f u1) u) = (h f) fui ,

gy

d(h f) =(U)

ni=1

(h f)f

uidui = (h f)df.

30


31/104

8.3. EgyMsokasag elsofoku differencialformainak A1(M)C(M)-modulusa

es a vektormezok modulusanakX

(M)dualisa kozott termeszetes izomorfizmustad meg az

A1(M) X(M) ;(X) :=(X) , X X(M)lekepezes.

Bizonyt as. (1) Kozvetlen szamolassal ellenorizheto, hogy X(M) valobanfennall (azaz C(M)-linearis lekepezese X(M)-nek C(M)-be), es hogy amegadott lekepezes C(M)-linearis.

(2) Tegyuk fel, hogy az1 es21-formara1=2teljesul. Ekkor tetszolegesX X(M) vektormezo es p M pont eseten1(X)(p) =2(X)(p), amia vizsgalt lekepezes defincioja alapjan azzal ekvivalens, hogy 1(X)(p) =2(X)(p). Ez utobbi azt jelenti, hogy (1)p(Xp) = (2)p(Xp), amibol X

tetszolegessege miatt (1)p = (2)p, innen pedig p tetszolegessege folytan1= 2 kovetkezik. Ezzel belattuk, hogy a lekepezes injektv.

(3) A szurjektvseg igazolasa celjabol megmutatjuk: X(M) tetszoleges elemehez van olyan 1-formaM-en, hogy= .

(a) Belatjuk eloszor, hogy ha egy Y vektormezore Yp = 0 teljesul, akkor(Y)(p) = 0. Valasszunk egy p koruli (U, u) = (U, (ui)ni=1) terkepet. Ekkor

Y =(U)

ni=1

Yi

ui =

ni=1

(Y ui)

ui,

aholY(p) = 0 miatt

Y

i

(p) = (Y u

i

)(p) =Yp(u

i

) = 0 ; i {1, . . . , n} .Az Y U vektormezot alkalmas modon kiterjesztjuk M-en ertelmezett vek-tormezove. Legyen ebbol a celbol f C(M) p-beli dudorfuggveny, U-belitartoval. Kepezzuk f segtsegevel minden i {1, . . . , n} indexre az

Yi := f Yi , U folott0 , M\U folott

sima fuggvenyeket es a

ui :=

f

ui , U folott

0 , M\U folott

vektormezoket. Ekkor

Y := ni=1

Yiui

X(M) ,Y U=f2(Y U)esY =Y + (1 f2)Y. Igy

(Y)(p) =(Y)(p) + (1 f2(p))Yp = (Y)(p) = ni=1

Yi(p)ui

(p) = 0,

31


32/104

mert

Yi(p) =f(p)Yi(p) =Yi(p) = 0 (i {1, . . . , n}).

(b) Ertelmezzunk egy: p M p T

p Mlekepezest azp(v) :=(X)(p) ; X X(M) , X(p) =v

elorassal. A defincioban alkalmazott X vektormezo 7.3. ertelmeben letezik,ellenoriznunk kell azonban, hogy p(v) fuggetlen a p pontban v erteket fel-vevo vektormezo megvalasztasatol. LegyenX1, X2 X(M), es tegyuk fel, hogyX1(p) = X2(p) = v. Ha Y := X1 X2, akkor Y(p) = 0, es az (a)-ban tetteszrevetel felhasznalasaval

(X1)(p) (X2)(p) =(X1 X2)(p) =(Y)(p) = 0,

tehat (X1)(p) = (X2)(p), ami igazolja p jol-definialtsagat. Mivel a konst-rukcio alapjan tetszolegesX X(M) eseten (X) =(X)C(M) es=,a szurjektvseg igazolast nyert.

Tekintettel a kapott eredmenyre, a tovabbiakban

egy M sokasag elsofoku differencialformait szabadon interpretaljuk az X(M)dualis modulus elemeikent.

9. Az immerziok es szubmerziok lokalis jel-

lemzese

9.1. Ebben az alpontban vektorteren egy Ftest folotti vektorteret ertunk. HaV vektorter es S V, akkor S annullatora a V dualis ter

S0 :={fV|v S: f(v) = 0}

altere.Egy : V W linearis lekepezes transzponaltja a

t: W V , l t(l) :=l

lekepezes, ez szinten linearis. Kompozcio transzponaltja a transzponaltakfordtott sorrendben kepzett kompozcioja: ha : U V tovabbi linearislekepezes, akkor

t( ) = t t.

9.1.1. Ha : V W linearis lekepezes, akkor

Ker(t) = ((V))0 W.

Bizonyt as. l ((V))0 l((V)) = 0 l(V) = 0 t(l)(V) =0 t(l) = 0 V l K er(t).

9.1.2. Ha V veges dimenzioju vektorter es U vektor-altere V-nek, akkordimU+ dimU0 =dimV.

32


33/104

9.1.3. Ha V es W veges dimenzioju vektorter, : V W linearis

lekepezes, akkor es t

rangja egyenlo.Bizonyt as. dimKer(t)

9.1.1.= dim((V))0

9.1.2.= dimW dim(V) =dimW

rang(), gyrang() =dimW dimKer(t) =rang(t).

9.1.4. Legyen V es W veges dimenzioju vektorter, : V W linearislekepezes.

(1) pontosan akkor szurjektv, ha t injektv.

(2) pontosan akkor injektv, ha t szurjektv.

Bizonyt as. (1) Felhasznalva az elozo bizonytast is,t injektv dimKer(t) = 0 rang() =dimW szurjektv.

(2) injektv Ker() = {0} rang() = dimV 9.1.3.

rang(t) =dimV Im(t) =V tszurjektv.

9.2. Egy M sokasag egy p pontjanak egy kornyezeteben definialt y1, . . . , yk

sima fuggvenyekrol azt mondjuk, hogy fuggetlenek a p pontban, ha(dy1)p, . . . , (dyk)p linearisan fuggetlenp-beli kovektorok.

9.2.1. Legyen M n-dimenzios sokasag. Ha y1, . . . , yn egy p Mpont egykornyezeteben ertelmezett, a p pontban fuggetlen sima fuggvenyek, akkor y :=

(y1

, . . . , yn

) lokalis koordinatarendszereM-nek p korul.Bizonyt as. Elegendo azt megmutatni, hogy az (y)p : TpMTy(p)R

n derivaltlinearis izomorfizmus, ebbol az inverz-lekepezes tetel (6.1.8.) alapjan kovetkezikaz alltas.

Tekintsuk a t (y)p : Ty(p)R

n Tp M transzponalt linearis lekepezest. Ki-

jelolve a p pont korul egy (u1, . . . , un) lokalis koordinatarendszert, tetszolegesi, j {1, . . . , n} indexekre azt kapjuk, hogy

t (y)p(dei)y(p)

uj

p

:= (dei)y(p)

(y)p

uj

p

= (y)p

uj

p

(ei) =

(eiy)uj (p) =

yi

uj (p) = (dyi)p uj

p

,

kovetkezeskeppen

t (y)p(dei)y(p)= (dy

i)p , i {1, . . . , n}.

Ez azt jelenti, hogy t (y)p Ty(p)R

n egy bazisat Tp M egy bazisaba viszi at. Igyt (y)p linearis izomorfizmus, amibol 9.1.4. alapjan kovetkezik, hogy (y)p islinearis izomorfizmus.

33


34/104

9.2.2. Ha M n-dimenzios sokasag, es y1, . . . , yk (k < n) egy p M pont

egy kornyezeteben ertelmezett, p-ben fuggetlen fuggvenyek, akkor (yi

)k

i=1 pkoruli lokalis koordinatarendszerre egesztheto ki.

Bizonyt as. Valasszunk a p pont korul egy (ui)ni=1 lokalis koordinatarendszert.Ekkor

((dy1)p, . . . , (dyk)p, (du

1)p, . . . , (dun)p)

olyan generatorrendszereTp M-nek, amelynek elso k tagja linearisan fuggetlen.A linearis algebra egy jol ismert tetele szerint a masodikn szamu kovektor korulkivalaszthato n k szamu, mondjuk (dui1)p, . . . , (du

ink)p ugy, hogy

((dy1)p, . . . , (dyk)p, (du

i1)p, . . . , (duink)p)

bazisa legyen Tp M-nek. 9.2.1. ertelmeben ekkor (y1, . . . , yk, ui1 , . . . , uink)

lokalis koordinatarendszer a p pont korul.

9.2.3. Legyen M n-dimenzios sokasag, s tegyuk fel, hogy y1, . . . , ys egyp M pont egy kornyezeteben ertelmezett sima fuggvenyek. Ha

(dyi)p

si=1

generatorrendszere a Tp M koerinto ternek, akkor kivalaszthatok i1, . . . , in

{1, . . . , s} indexek ugy, hogy (yi1 , . . . , yis) lokalis koordinatarendszer a p pontkorul.

Bizonyt as. A

(dyi)psi=1

generatorrendszer tartalmazzaTp M-nek egy bazisat,gy 9.2.1. alapjan kovetkezik az alltas.

9.3. Legyen M m-dimenzios, N n-dimenzios sokasag. Egy C(M, N)lekepezesre a kovetkezok ekvivalensek:

(1) immerzio egy p M pontban.

(2) p-beli Jacobi-matrixa valamely (es ezert barmely) p es (p) koruliterkepparra vonatkozoanm rangu.

(3) Ha (y1, . . . , yn) lokalis koordinatarendszer(p) korul, akkor megadhatokolyan i1, . . . , im {1, . . . , n} (m n) indexek ugy, hogy(yi1 , . . . , yim ) lokalis koordinatarendszerp korul.

Bizonyt as. Mivel ()p injektvsege ekvivalens azzal, hogy a ()p : TpM T(p)N linearis lekepezes m-rangu, es egy linearis lekepezes rangja megegyezik

tetszoleges matrix-reprezentansanak rangjaval, (1) es (2) ekvivalenciaja 6.1.5.figyelembevetelevel nyilvanvalo.

(1) (3) Ugy okoskodhatunk, mint9.2.1.igazolasanal. Tekintsuk a t ()p :

T(p)N Tp M transzponalt linearis lekepezest. Kijelolve egy (u

j)mj=1 lokalis

koordinatarendszert a p pont korul, tetszoleges i {1, . . . , n}, j {1, . . . , m}indexek eseten

t ()p(dyi)(p)

uj

p

:= (dyi)(p)

()p

uj

p

= ()p

uj

p

(yi) = uj

p

(yi ) = (d(yi ))p uj

p

,

kovetkezeskeppen

34


35/104

t ()p(dyi)(p) = (d(y

i ))p , i {1, . . . , n}.

()p injektvsege eseten t ()p szurjektv (9.1.4.), ezert generatorrendszert

(ill. specialisan bazist) generatorrendszerbe visz at.

(d(yi ))pni=1

tehat ge-neratorrendszereT(p)N-nek, amibol 9.2.3. alapjan adodik az alltas.

(3) (1) Ha y := (yi1 , . . . , yim ) lokalis koordinatarendszer a p pontkorul, akkor 6.1.4. ertelmeben az (y)p : TpM Ty(p)R

m lekepezes linearis

izomorfizmus. Igy a t (y)p : Ty(p)R

m Tp M transzponalt is linearis izomorfiz-mus, s ezert

t (y)p(dek)y(p) = d(y

ik )p , k {1, . . . , m}

miatt (ld. 9.2.1. bizonytasat)

(d(yik ))p

m

k=1 bazisa Tp M-nek. A masik

iranyu implikacio bizonytasa soran elvegzett szamolas szerint t ()p aT(p)N

koerinto ter (dyj)(p)nj=1 bazisat Tp M most kapott bazisaba viszi at. Ebbolkovetkezik, hogy t ()p szurjektv, es gy 9.1.4. miatt ()p injektv.

9.4. Ha M m-dimenzios, N n-dimenzios sokasag, es C(M, N), akkor akovetkezok ekvivalensek:

(1) szubmerzio egy p M pontban.

(2) p-beli Jacobi-matrixa valamely (es ezert barmely) p es (p) koruliterkepre vonatkozoan n rangu.

(3) Ha (y1, . . . , yn) lokalis koordinatarendszer(p) korul, akkor az

y1

, . . . , yn

fuggvenyek p koruli lokalis koordinatarendszerrebovthetok.

Bizonyt as. (1) es (2) ekvivalenciaja a 9.3.-ban latottak szerint adodik.(1) (3) Ha ()p szurjektv, akkor

t (y)p injektv. A 9.3.-ban elvegzett

szamolassal kapjuk, hogy

(d(yi ))pni=1

fuggetlen rendszere Tp M-nek, gy9.2.2.alapjan kovetkezik az al ltas.

(3) (1) (3) teljesulese eseten

(d(yi ))pni=1

fuggetlen rendszere Tp M-nek, s gy a 9.3.-ban alkalmazott ervelessel most azt kapjuk, hogy t ()pT(p)N

(dyi)(p)

ni=1

bazisat fuggetlen rendszerbe viszi at. Ebbol t ()p in-

jektvsege, es gy ()p szurjektvsege kovetkezik, tehat szubmerzio a p pont-ban.

10. Reszsokasagok

10.1. EgyM sokasag reszsokas aga egy N sokasagnak, ha

(1) M topologikus altereN-nek,

(2) a j : MNkanonikus inkluzio immerzioja M-nek N-be.

Ekvivalens modon:az Msokasag reszsokas aga az Nsokasagnak, haMN esa j : MN inkluzio beagyazas.

35


36/104

10.1.1. Egy sokasag nylt reszsokasagai (3.4.4.) reszsokasagok a10.1.sze-

rinti ertelemben is; ez vilagos6.1.3.-bol.

10.1.2. Ha C(M, N) beagyazas (6.1.), akkor (M) reszsokasagaN-nek.

Valoban, legyen M1:= (M) N, es tekintsuk a

1: MM1 , p 1(p) :=(p)

bijekciot. Ez a feltetel ertelmeben homeomorfizmus.1 altalMmaximalis atla-sza atvihetoM1-re ugy, hogy1diffeomorfizmussa valjon. EkkorM1= (M) =1(M) olyan sokasag, amely egyben topologikus altere N-nek. A j : M1 Ninkluzio eppen a 11 lekepezes, es ez (a lancszabaly figyelembevetelevel)immerzio. Ily modon (M) eleget tesz a 10.1. defincio felteteleinek.

10.1.3. Ha M reszsokasaga N-nek, akkor M tetszoleges TpM erintoteretermeszetes modon azonosthato a (j)p : TpM TpN injektv linearislekepezes altali kepevel. Erre tekintettel egy reszsokasag erintoterei szabadon in-terpretalhatok a befoglalo sokasag megfelelo pontbeli erintotereinek altereikent.

10.2. A reszsokasag-fogalomnak szamos, nem ekvivalens valtozata hasznalatosa differencialgeometriaban. Igy peldaul azt mondjuk, hogy egy M sokasag im-mergalt reszsokas aga egyNsokasagnak, haM reszhalmaza N-nek, es aj : MN inkluzio immerzio. A reszsokasagok nyilvanvaloan immergalt reszsokasagokis egyben, a megfordtas azonban nem igaz. A klasszikus ellenpelda a kovetkezo.

Legyen M := R, N :=T2 :=S1 S1 (3.4.5.). A T2 toruszt C2 = R2 R2

reszhalmazakent interpretalva, tekintsuk a

: MN , t (t) := e2it, e2itlekepezest, ahol tetszolegesen rogztett irracionalis szam. Ekkor injektvimmerzio, es gy (M) immergalt reszsokasagaN-nek. Ugyanakkor a

1: M= R 1(M) N=T2 , t 1(t) :=(t)

lekepezes nem homeomorfizmus, es ezert nem beagyazas, mert a (Z) =(k)T2|k Z

T2 halmaznak a (0) = ((1, 0), (1, 0)) pont torlodasi

pontja, ugyanakkor Z-nek nincs torlodasi pontja R-ben. Ebbol kovetkezik, hogy(M) nem reszsokasaga N-nek.

10.3. Legyen N n-dimenzios sokasag, (U, u) = (U, (ui)ni=1) terkepe N-nek.(1) Rogztsunk egym {1, . . . , n 1}szamot es egya u(U) Rn pontot.

HaS:=

p U|ui(p) =ei(a) , i {m + 1, . . . , n}

,

akkor S m-dimenzios reszsokasaga N-nek, (ui S)mi=1 pedig (globalis) koor-dinatarendszerSszamara. Ezt azSreszsokasagot az (U, u) terkep egyszeletenekvagy, U egyu-koordinataszeletenek nevezzuk.

(2) Tekintsuk az N sokasag egyM reszhalmazat. Az (U, u) terkepetM-hezadaptaltnak mondjuk, ha U M u-koordinataszelete U-nak. Az altalanossagserelme nelkul foltehetjuk ilyenkor, hogyU M folott az (u1, . . . , un) fuggvenyn-es utolso n m tagja konstans. Ha - specialisan - M reszsokasaga N-nek,akkor ebben az esetben (u1, . . . , um) U M-re valo leszuktese lokalis koor-dinatarendszerM-en.

36


37/104

10.4. Ha M reszsokasaga az N sokasagnak, akkor M minden pontja korul

letezik M-hez adaptalt terkepeN-nek.Bizonyt as. LegyenN n-dimenzios,M m-dimenzios sokasag, azMN kano-nikus inkluziot jelolje j. Tekintsunk egy tetszoleges p M pontot, es jeloljukkiN-nek egyj (p) =p koruli u = (u1, . . . , un) lokalis koordinatarendszeret. Mi-vel j immerzio a p pontban, 9.3. ertelmeben az u1 j, . . . , un j fuggvenyekkozul alkalmas m szamu, mondjuk az elso m, M-nek egy p koruli lokalis ko-ordinatarendszeret alkotja. V-vel jelolve ennek tartomanyat, gy az M sokasagegy (V, (ui j)mi=1)p-koruli terkepehez jutunk. Bevezetve a

m : Rn Rm , (1, . . . , m, m+1, . . . , n)(1, . . . , m)

projekciot,(u1 j, . . . , um j) =m u j =:u

rhato. LegyenU := (m u)1(u(V)) , fi :=ui j u1 (i {1, . . . , m}).Tekintsuk azU Mnylt halmazon a

zi :=

ui, hai {1, . . . , m} ;

ui fi m u, ha i {m + 1, . . . , n}

fuggvenyeket. Ekkor

(dzip) := (dui)p, ha i {1, . . . , m} ;

(dui)pmj=1

ij(duj)p, ha i {m + 1, . . . , n} ,

ahol ()ij M(nm)m(R). Valoban, i {m + 1, . . . , n} eseten

(d(fi m u))p8.2.1.(3)

=n

j=1

(fi m u)

uj (p)(duj)p,

es itt

(fi m u)

uj (p) :=Dj(f

i m u u1)(u(p)) =Dj(f

i m)(u(p)) 1.3.

=mk=1

Dkfi(m(u(p)))Dj(ek m)(u(p)),

aholt most (ek)mk=1 Rm kanonikus koordinatarendszere. Mivel Dj(e

k m) = 0,ha j {m + 1, . . . , n}, kovetkezik, hogy

(d(fi m u))p =mj=1

(fi m u)

uj (p)(duj)p =:

mj=1

ij(duj)p.

Ezzel a (dzi)p-re vonatkozo formula igazolast nyert. Ebbol kiolvashato, hogy az1, . . . , zn fuggvenyek fuggetlenek p-ben, es gy 9.2.1. ertelmeben letezik a p

37


38/104

pontnak olyanU kornyezete, hogy (U, (zi)ni=1) terkepeN-nek. MivelM topolo-

gikus altereN-nek,U megvalaszthato ugy, hogyU M V teljesuljon.O:= (u1 j, . . . , um j) (U M) Rm

nylt halmaz, ezertU esetleges osszehuzasaval az is elerheto, hogy

(u1 j, . . . , um j)(U) O

teljesuljon. Ekkor azonban tetszoleges i {m + 1, . . . , n} index es q U Mpont eseten

zi(q) :=ui(q) fi m(u(q)) =ui(q) fi m u j(q) =ui(q) fi u(q) =ui(q) ui j u1(u(q)) =ui(q) ui(q) = 0,

ami azt jelenti, hogy U M benne van U

S := q U|zm+1(q) = = zn(q) = 0z-koordinataszeleteben. Megfordtva, ellenorizheto, hogy S U M is fennall,tehatS= U M.

10.4.1. Legyen M reszsokasaga az N sokasagnak. Ha : L N olyansima lekepezes, amelyre (L) M teljesul, akkor a

: L M , p (p) :=(p)

indukalt lekepezes is sima.

Bizonyt as. Tekintve egy q L pontot, valasszunk a (p) N pont korul egyM-hez adaptalt (U, (ui)ni=1) terkepet. Simasaga miatt a : L N lekepezesfolytonos (4.1.1.), s mivel M topologikus altereN-nek, a : L M lekepezes

is folytonos. Igy letezik aqpontnak olyan V Lkornyezete, hogy(V) U M.Mivel az (U, (ui)ni=1) terkep M-hez adaptalt, a 10.3. (2)-ben mondottak figye-lembevetelevel (u1, . . . , um) U M lokalis koordinatarendszerM-en. Tekintvea j : MN kanonikus inkluziot,

(ui U M) = ui j = ui ; i {1, . . . , m}.

Itt az ui fuggvenyek simak, hiszen sima lekepezesek kompozcioi. Aztkaptuk tehat, hogy a : L M lekepezes kompozcioja egy tetszoleges(q) = (q) M pont koruli terkep koordinatafuggvenyeivel sima, amibolkovetkezik simasaga.

10.4.2. Egy sokasag egy reszhalmaza legfeljebb egyfelekeppen teheto

reszsokasagga.Bizonyt as. Ha egy N sokasag egy M reszhalmaza reszsokasag, akkor 10.1.(1) ertelmeben M-nek az alter-topologiaval kell rendelkeznie. Tegyuk fel, hogyM-en kijeloltunk ket atlaszt, amelyek M-et az N sokasag egy M1, ill. M2reszsokasagava teszik. Ekkor mind az M1 N, mind az M2 N kanoni-kus inkluzio sima lekepezes, s gy 10.4.1. alapjan a M1 M2 es a M2 M1identikus lekepezes egyarant sima. Igy ezek az izomorfizmusok egymashoz in-verz diffeomorfizmusok, amibol kovetkezik, hogyM1 esM2 sokasag-strukturajaazonos.

A most tett eszrevetel alap jan ertelmesen szolhatunk arrol, hogy egy sokasagegy reszhalmaza reszsokasag (ill. hogy nem az).

38


39/104

10.5. Egy N sokasag egy M reszhalmaza akkor es csak akkor m-dimenzios

reszsokasaga N-nek, ha minden pontja korul megadhato N-nek olyan M-hezadaptalt terkepe, amelym-dimenzios szeletet szarmaztat.

Bizonyt as. 10.4. ertelmeben a feltetel szukseges. Az elegendoseg igazolasaceljabol tegyuk fel, hogy N n-dimenzios sokasag, es hogy M Nrendelkezika mondott tulajdonsaggal. Lassuk el M-et az alter-topologiaval. Tekintve egytetszoleges p M pontot, jeloljunk ki p = j(p) N korul olyan (U, (ui)ni=1)p-kozeppontu terkepet, hogy U M a

q U|ui(q) = 0 , i {m + 1, . . . , n}

szelet legyen. Mivel u = (u1, . . . , un) homeomorfizmus,uM := (u

1, . . . , um) U MhomeomorfizmusaU M-nek az u(U) Rm Rm

nylthalmazra, ahol Rm-et az Rn ter (1, . . . , m, 0, . . . , 0) alaku pontjai altalalkotott alterkent fogjuk fel.

Ellenorizheto, hogy az gy nyert terkepek M-nek egy m-dimenzios atlaszathatarozzak meg, mialtalM m-dimenzios sokasagga valik. Azt kell meg belatni,hogy ez a sokasag az N sokasagnak reszsokasaga. Tekintsuk ismet az okos-kodasunk elejen szerepeltetett (U, (ui)ni=1) terkepet. Ekkor az

ui U M=ui j , i {1, . . . , m}

fuggvenyek simak, hiszen ezek alkotjak az uM koordinatazast. Ebbol kovetke-zik, hogy a j : M N inkluzio sima lekepezes (v.o. 10.4.1. bizonytasaval).j M minden pontjaban immerzio, kovetkezmenyekent a 9.3.-beli (3) (1)implikacionak.

10.6. Egy C(N, Q) sima lekepezesnek egy q Q pont regularis erteke,ha a 1(q) oskep minden pontjaban szubmerzio.

10.6.1. HaN n-dimenzios, Q k-dimenzios sokasag, C(N, Q), esqIm() regularis erteke -nek, akkor 1(q) (n k)-dimenzios reszsokasagaN-nek.

Bizonyt as. Legyen (y1, . . . , yk) q-kozeppontu lokalis koordinatarendszere Q-nak. Mivel szubmerzio a 1(q) oskep pontjaiban, tetszoleges p 1(q)pont eseten 9.2.2. alapjan az

unk+1 :=y1 , . . . , un :=yk

fuggvenyek egy p koruli u = (u1, . . . , unk, unk+1, . . . , un) lokalis koor-dinatarendszerre egeszthetok ki; legyen ezek tartomanyaU. Ekkor

U 1(q) =

a U|unk+1(a) = = un(a) = 0

,

tehat U 1(q) u-koordinataszelete U-nak, maga (U, u) pedig 1(q)-hozadaptalt terkepe N-nek. Mivel ilyen terkep minden p 1(q) pont korulletezik, 10.5. ertelmeben 1(q) reszsokasaga N-nek, megpedig (n k)-dimenzios reszsokasaga, mert a szeletek (n k)-dimenziosak.

39


40/104

10.6.2. Egy n-dimenzios sokasag (n 1)-dimenzios reszsokasagait hiper-

feluletekkent is emltjuk. Ha fC

(M), I m(f) es tetszolegesp f1

()pontban (df)p = 0, akkor f1() hiperfelulete M-nek, amelyet f egy szint-

hiperfeluletenek hvunk.A tett kijelentes igazolasa celjabol tekintsuk az R 1-dimenzios sokasag (r)

kanonikus koordinatarendszeret. Ekkor r f =f, es gy (df)p = 0 miatt (r f)fuggetlen rendszer a p pontban. Ez a fuggetlen rendszer 9.2.2. miatt p korulilokalis koordinatarendszerre egesztheto ki, ami 9.4. alapjan ekvivalens azzal,hogy f szubmerzio p-ben. Mivel ez a tulajdonsag f1() minden pontjabanteljesul, 10.6.1. biztostja, hogy f1() hiperfeluleteM-nek.

10.7. Legyen Mreszsokasaga az N sokasagnak. Azt mondjuk, hogy egy XX(N) vektormezo erinto vektormezoje M-nek, ha minden p M pont esetenXp TpM(elve azzal a10.1.3.-ban emltett megallapodassal, hogyTpMaltereTpN-nek). M-hez adaptalt terkep alkalmazasaval adodik, hogy ekkor X M :MT Msima lekepezes, es gy X X(M). Amennyiben X, Y X(N) erintovektormezoi M-nek, ugy [X, Y] is az, es [X, Y] M = [X M, Y M]. Ez7.6.2.(3) alapjan kovetkezmenye annak, hogy XM

jX esY M

jY (v.o.

7.6.5.).

11. Kozonseges differencialegyenletek

11.1. LegyenU Rn nylt halmaz, f :U Rn folytonos lekepezes. Egy

x =f(x)

alaku kepletet, aholx esx egy-egy szimbolum,U folottikozonseges, els orendu,autonom differencialegyenletnek, rovidendifferencialegyenletnek nevezunk. Aztmondjuk, hogy egy : I U Ck-osztalyu lekepezes (k 1, I Regy interval-lum)megoldasa azx =f(x) differencialegyenletnek, ha

tI :(t) =f((t)),

roviden, ha = f . Ekkor a lekepezest a differencialegyenlet egy in-tegralgorbejenek is hvjuk. Egy: I U megoldasra vonatkozo kezdeti feltetel(t0) =p0 alaku feltetel, ahol t0 Iadott parameter, p0 U adott pont.

11.1.1. Egy x = f(x) differencialegyenlet egy : I Rn megoldasanal

az I intervallum nylt, zart, felig zart, ], [ es [, [ ( R) alaku, valaminta teljes valos egyenes egyarant lehet. A integralgorbe minden

: I+ := {t + R|t I} U , t (t) :=(t ) ( R)alaku atparameterezettje is integralgorbe. Erre tekintettel a tovabbiakban azaltalanossag serelme nelkul feltehetjuk, hogy az I intervallum tartalmazza a0-t, es (0) = p alaku kezdeti feltetelt szerepeltethetunk. Egy ilyen kezdetifeltetelnek eleget tevo megoldast a p ponton atmeno, vagy a p pontbol indulointegralgorbekent emltunk.

40


41/104

11.1.2. Egy differencialegyenletnek tobb olyan megoldasa is letezhet,

amely kielegt egy adott kezdeti feltetelt, ezert ahhoz, hogy egy elort kez-deti feltetelnek eleget tevo megoldas egyertelm useget biztostsuk, az f : U Rn lekepezesre tovabbi megszortassal kell elni. Ebbol a celbol elegendo aztmegkovetelni, hogy f C1-osztalyu legyen, kenyelmi okokbol azonban feltesszuka tovabbiakban, hogy f sima. Megmutathato ugyanakkor, hogy az x = f(x)differencialegyenletnek marf folytonossaga eseten is letezik tetszolegesen elortkezdeti feltetelt kielegto megoldasa.

11.2. (Lokalis egzisztencia-unicitas es simasagi tetel.)Legyen U Rn nylt halmaz, s tegyuk fel, hogy f :U Rn sima lekepezes.

(1) (Egzisztencia) Az x = f(x) differencialegyenletnek tetszolegesen adottp U ponthoz letezik p-bol indulo sima integralgorbeje.

(2) (Unicitas) Az x = f(x) differencialegyenlet barmely ket p-bol indulo(sima) integralgorbeje egybeesik ertelmezesi tartomanyaik metszeten.

(3) (Sima fugges a kezdeti feltetelektol) Jelolje p az x = f(x) diffe-

rencialegyenlet p-bol indulo integralgorbejet. Megadhato a p pontnak olyanV U kornyezete, valamint egy pozitv valos szam ugy, hogy a

: V ] , [ Rn , (q, t)(q, t) :=q(t)

lekepezes sima.

12. Vektormezok integralgorbei

12.1. Legyen M egy sokasag, X X(M). Egy : I M gorbet az X

vektormezo egyintegralgorbejenek nevezunk, ha =X . Amennyiben 0I,ugy a p := (0) pontot az integralgorbe kezdopontjakent is emltjuk, es a ppontbol indulo integralgorberol szolunk.

12.1.1. Legyen (U, u) = (U, (ui)ni=1) terkep az M sokasagon. Egy :IM gorbe akkor es csak akkor integralgorbeje egy X X(M) vektormezonekUfolott, hai :=ui (i {1, . . . , n}) koordinatafuggvenyei1(U) folott elegettesznek a

i

=fi (1, . . . , n)

relacionak, ahol fi :=X ui u1, vagyis ha

u :1(U) I u(U) Rn

integralgorbeje az

f := (f1, . . . , f n) :u(U) Rn Rn

lekepezes segtsegevel kepzettx =f(x) differencialegyenletnek.Valoban, tetszolegest 1(U) eseten egyreszt 6.5.2. alapjan

(t) =n

i=1

i

(t)

ui

(t)

,

masreszt 7.1.1. es a 7.1.2. bizonytasaban latottak figyelembevetelevel

41


42/104

X(t) =(U)

n

i=1(Xui)((t))

ui(t) =

n

i=1(Xui) u1 (u )(t)

ui(t) =

ni=1

fi (1, . . . , n)(t)

ui

(t)

,

gy (t) =X(t) i(t) =fi (1, . . . , n)(t) (i {1, . . . , n}).

12.1.2. (Az eltolasi lemma, v.o. 11.1.1.) Ha: I M integralgorbeje azX X(M) vektormezonek, akkor tetszoleges valos szam eseten a

: I+ M , t (t) :=(t )atparameterezett gorbe is az.

Tekintsuk ennek igazolasahoz aT

: t R t Rtranszlaciot. Enneksegtsegevel = T rhato, es gy 6.5.3. alapjan tetszoleges t I+parameterre (t) = (T)(t)(T(t)) = ( T)(t), kovetkezeskeppen

= T = X T= X .Az eltolasi lemma alapjan a vektormezok integralgorbeivel kapcsolatban is

feltehetjuk, hogy az ertelmezesi tartomanyuk tartalmazza a 0-t, v.o. 11.1.1..

12.2. HaX X(M), akkor tetszolegesp M ponthoz letezik egy es csak egyolyan :IM integralgorbejeX-nek, hogy 0I es (0) =p.

Ez 12.1.1. alapjan kovetkezik 11.2./(1),(2)-bol.

12.3. (Vektormezok integralgorbeinek unicitasa.) Ha 1 : IM es 2 :IM integralgorbei egy X X(M) vektormezonek, es valamely t0 I pontban1(t0) =2(t0) teljesul, akkor1= 2.

Bizonyt as. Egyszeru folytonossagi ervelessel adodik, hogy 1 es2 A :={tI|1(t) =2(t)} egybeesesi halmaza zart halmaz. Belatjuk, hogy A egy-idejuleg nylt halmaz is. Legyen s A tetszoleges. Az eltolasi lemma ertelmeben1:= 1 Ts es2:= 2 Ts is integralgorbeje X-nek, amelyekre

1(0) =1(s) =2(s) =2(0)teljesul. Ebbol a12.2.-beli egyertelmuseg tulajdonsag alapjan kovetkezik, hogy

1 es

2 egybeesik a 0 egy kornyezeteben, es gy1 es2 is egybeesik s A egy

kornyezeteben. Ez azt jelenti, hogyAnylt halmaz: tetszoleges s pontjat annakegy kornyezetevel egyutt tartalmazza. Ily modonA nemures zart-nylt halmazaazInylt intervallumnak, amely osszefuggo halmaz; ez csak ugy lehetseges, hogyA= I.

12.3.1. Rogztve egy p Mpontot, tekintsuk az X X(M) vektormezomindazon: IMintegralgorbeit, amelyek p-bol indulnak, vagyis amelyekre(0) =p teljesul. Ha esket ilyen integralgorbe, akkor 12.3. miatt II =I I. Ebbol 4.1.4. alapjan kovetkezik, hogy ezek az integralgorbekegyetlen

p: Ip M , Ip :=

I

42


43/104

integralgorbet hataroznak meg; ezt az X vektormezo p-bol indulo maximalis

integralgorbejenek nevezzuk. (p ertelmezesi tartomanya a leheto legbovebb, denem szuksegkeppen a teljes valos egyenes!)

12.3.2. Ha egy vektormezo ket maximalis integralgorbeje metszi egymast,akkor ezek csak parameterezesben ternek el egymastol. Nevezetesen: haX X(M), p : Ip M a p pontbol indulo maximalis integralgorbeje X-nek,q:= p(s) (sIp), akkor

s + Iq =Ip esq =p Ts.

Bizonyt as. A

:= q Ts : s + I q M

gorbe az eltolasi lemma ertelmeben integralgorbejeX-nek. Mivel(s) =q(0) =q= p(s), 12.3. miatt (s+Iq) Ip folott esp egybeesik. Igy a 12.3.1.-benlatottak szerint az (s+Iq)Iphalmazon espegyetlen integralgorbeve rakhatoossze.Ip maximalitasa miatt s + Iq Ip, gy

tIq :p(s + t) =(s + t) = (q Ts)(s + t) =q(t),azazq =p Ts. Masreszt Iq is maximalis, ezert s+Ip Iq , ill., ekvivalensmodon,s + Iq Ip.

12.3.3. Egy nem konstans : R M gorbet periodikusnak nevezunk, havan olyan k pozitv valos szam, hogy minden t R parameterre (t+ k) =

(t) teljesul; e pozitv szamok legkisebbiket a gorbe periodusanak hvjuk. Aztmondjuk, hogy egy k periodusu : R M gorbe egyszeru periodikus, havalamely [a, a + k[ intervallumon injektv. 12.3.2.alapjan kovetkezik, hogyegyvektormezo maximalis integralgorbeje csakis injektv, egyszeru periodikus vagykonstans gorbe lehet.

12.4. Egy vektormezo teljes, ha valamennyi maximalis integralgorbejeertelmezve van az osszes valos szamok halmazan. Egy X X(M) teljes vek-tormezo folyama a

: R MM , (t, p)(t, p) :=p(t)

lekepezes, ahol p X p-bol indulo maximalis integralgorbeje.

Rogztett p M pont mellett a t R (t, p) M lekepezes eppen azp integralgorbe. Ha egy t valos szamot rogztunk, akkor egy t : M M,p t(p) := (t, p) lekepezeshez jutunk, amely

a p pontot t ideig engedifolyni. Azt mondjuk, hogy t a folyam t-edik stadiuma, es X folyamaraolykor a stadiumok{t|t R}halmazakent hivatkozunk.

12.4.1. Ha : R MM egy teljes vektormezo folyama, akkor

(1) 0= 1M;

(2) s t=s+t, kovetkezeskeppen s t = t s minden s, t R-re (astadiumok kommutalnak);

43


44/104

(3) valamennyi stadium diffeomorfizmus, tetszolegest R-re (t)1 =t.

Bizonyt as. (1) Tetszolegesp Meseten 0(p) :=(0, p) =p(0) =p.(2) Tekintve ismet egy p M pontot,

t s(p) =:t(q) =q(t) 12.3.2.

= p Ts(t) =p(t + s) ==t+s(p) =s+t(p) =s t(p).

(3) 11.2./(3) biztostja a stadiumok simasagat, a megelozo ket tulajdonsagalapjan pedig t t= 0= t t, es gy (t)

1 =t (t R).

12.5. EgyMsokasagon adottegyparameteres diffeomorfizmus-csoporton olyan

: R MM , (t, p)(t, p)

sima lekepezest ertunk, amely eleget tesz a kovetkezo felteteleknek:

(FL)1 (0, p) =p , p M;

(FL)2 (s, (t, p)) =(s + t, p) ; s, t R , p M.

Bevezetve tetszolegesen rogztettt Rmellett a

t : MM , p t(p) :=(t, p)

lekepezest, ezek a feltetelek a

(FL)1 0= 1M,

(FL)2 s t = s+t ; s, t R

alakot oltik. A feltetelek miatt a ttranszformaciok mindegyike diffeomorfizmus,(t)

1 =t. Rogztve egy p Mpontot, a

p : R M , t p(t) :=(t, p)

lekepezes gorbe, a diffeomorfizmus-csoport p-n atmeno aramvonala,Im(p) =p(R) ={(t, p)M|t R} a p pont orbitja.

12.4.1. ertelmeben egy teljes vektormezo folyama egyparameteresdiffeomorfizmus-csoport, amelynek aramvonalai a vektormezo maximalis in-tegralgorbei.

12.5.1. Egy : R M M egyparameteres diffeomorfizmus-csoportsebessegvektormez oje vagyinfinitezimalis generatora a

: MT M , p (p) := p(0)

lekepezes. Ezvektormezo M-en, amelynek integralgorbei az aramvonalak.

Bizonyt as. Vezessuk be azX := jelolest.

(1) Tetszolegesp M eseten Xp = (p) Tp(0)M (FL)1= TpM; gy

X= 1M, X tehat durva vektormezo.(2) Legyen (U, u) egy terkep M-en. Megmutatjuk, hogy tetszoleges

fC(U) eseten X fC(U), ebbol 7.1.2. alapjan kovetkezik X simasaga.

44


45/104

X defincioja ertelmeben egyreszt

Xf(p) =Xp(f) = (p)(f) = p(0)(f) 6.5.1.

= (f p)(0) , p M.

Tekintsuk masreszt az RM szorzatsokasag (0, p) pontja korul az (RU, (r, u))terkepet, ahol r := 1R. A

r X(R) vektormezo a 7.7.-ben mondottak szerint

R M-en az

iR

r : (t, q) R M

r

t

, 0q

T(t,q)(R M)

vektormezot szarmaztatja.f C(R M), gy iRr (f )C

(R U).6.3.1.alkalmazasaval

iRr (f )(0, p) =

r 0 , 0p (f ) =

r 0(f jp) + 0p(f j0) = r (f jp) (0) = (f jp)(0) = (f p)(0) =X f(p),

amibol kovetkezik X f simasagaU folott.(3) Telintsuk-nek egy p Mponton atmeno

p : t R p(t) :=p(t) :=(t, p) M

aramvonalat. Alltjuk, hogy X p = p. Mivel

X p(0) =Xp := (p) := p(0),

a kvant relacio a 0-ban automatikusan ervenyes. Legyen t R tetszoleges, esvezessuk be aq:= p(t) rovidtest. Ekkor

s R :q(s) :=(s, q) =(s, p(t)) =(s, (t, p)) (FL)2= (s+t, p) =p(s+t),

gy q(0) = p(t). Felhasznalva ezt az eszrevetelt,

t R : X p(t) =Xq := (q) = q(0) = p(t)

-es ezt kellett belatnunk.

12.6. Legyen M egy sokasag. Az R M szorzatsokasag egy W reszhalmazatradialisnak nevezzuk, ha minden p Mpont eseten

W (R {p}) =Ip {p} , vagy W (R {p}) =,

ahol Ip R a 0-t tartalmazo nylt intervallum. Radialis halmazok unioja esveges sok radialis halmaz metszete is radialis.

12.6.1. Minden X X(M) vektormezohoz letezik a {0} M R Mhalmaznak egyW radialis kornyezete, valamint egy : W Msima lekepezesugy, hogy rogztettp M mellett

p : t Ipp(t) :=(t, p)

p-bol indulo integralgorbejeX-nek:

p = X p , p(0) = 0.

45


46/104

A lekepezest az Xvektormezo egyertelmuen meghatarozza.

Azt mondjuk, hogy : W R

M az Xvektormezo altal generalt lokalisfolyam.

Bizonyt as. Legyen (U, u)A atlasza M-nek. 11.2., 12.2. es 12.3. alapjan

kovetkezik, hogy az alltas az U kornyezetek mindegyikeben ervenyes. Igytetszoleges A eseten letezik a {0} U halmaznak egy W R Uradialis kornyezete, valamint egy : W U sima lekepezes ugy, hogy ha()p(t) :=(t, p), akkor

(t, p) W : ( )p(t) =X()p(t),

es ()p(0) =p , p U.

Legyen W := A W. Ekkor W radialis kornyezete a {0} M-nek R M-ben, es p W W (, A) eseten

(W W) (R {p}) =I {p} ,

aholI R a 0-t tartalmazo nylt intervallum. A

()p : I M es a ()p : I M

lekepezes egyarant integralgorbeje X-nek, s mivel

()p(0) = ()p(0) =p,

mindket integralgorbe ugyanabbol ap pontbol indul ki. Ebbol12.3. alapjan az

kovetkezik, hogy ()p es ()p egybeesik I folott, s ennelfogva egyben

W W = W W ; (, )A A.

Igy azonban 4.1.4. ertelmeben a ()A lekepezescsalad egy : W Msima lekepezest hataroz meg, amely a konstrukciobol kiolvashatoan rendelkezika kvant tulajdonsagokkal. egyertelmusege szinten vilagos 12.3. alapjan.

12.6.2. Megtartva az elozo pont felteteleit es jeloleseit, ha (t, p), (s, (t, p))es (t + s, p) egyarantW-be tartozik, akkor

(s, (t, p)) =(t + s, p).

Bevezetve a 12.4.-ben latottak szerint at : p t(p) :=(t, p) lekepezest, eza relacio a

s t = s+t

alakba rhato.

Bizonyt as. Mivel W R M radialis kornyezete {0} M-nek, van olyan a0-t tartalmazo Inylt intervallum, hogy

sI , (t + I) {p} W es I (t, p) W.

46


47/104

Tekintsuk az X vektormezo

1: I1() :=(, (t, p)) =(t,p)()

es2: I2() :=(t + , p) =p(t + )

integralgorbejet. Mivel

1(0) =(t,p)(0) =(t, p) =2(0),

12.3. alapjan 1 es 2 egybeesese kovetkezik. Igy, specialisan, 1(s) = 2(s),ami a kvant(s, (t, p)) =(t + s, p) relaciot adja.

12.7. (A menekulesi lemma.) Ha olyan maximalis integralgorbeje egy X

X(M) vektormezonek, amelynek ertelmezesi tartomanya nem a teljes valosszamegyenes, akkor kepet M egyetlen kompakt reszhalmaza sem tartalmaz-hatja.

Bizonyt as. Jelolje ]a, b[, ahol a


48/104

13. A horgasz derivalas

13.1. (A kiegyenestesi tetel.) HaXvektormezo azM n-dimenzios sokasagones Xp = 0, akkor a p pont korul megadhato olyan (U, (u

i)ni=1) terkep, hogyXU= u1 .

Bizonyt as. (1) Valasszunk elso lepeskent olyan (V, y) = (V, (yi)ni=1) terkepet ap pont korul, hogy y (p) = 0 Rn, es hogy

Xp,

y2

p

, . . . ,

yn

p

bazisaTpM-nek. Ilyen terkep letezeset a linearis algebrabol jol ismert kicserelesitetel garantalja.

(2) Tekintsuk az Xvektormezo

: W R MM , (t, p)(t, p)

lokalis folyamat. Az ennek segtsegevel az Rn ter origojanak egy kornyezetebenertelmezett

(a1, a2, . . . , an)f(a1, a2, . . . , an) :=(a1, y1(0, a2, . . . , an))M

lekepezes differencialhato, es

f(0) =(0, y1(0, . . . , 0)) =(0, p) =p.

(3) Megmutatjuk, hogy az (f)0: T0Rn Tf(0)M =TpM erintolekepezes a

ei 0

n

i=1bazist ((ei)ni=1 R

n kanonikus koordinatarendszere) aTpM erintoter

(1)-ben kijelolt bazisaba viszi at. A e1 0 vektor erintovektora a1: R R

n , t 1(t) := (t, 0, . . . , 0)

gorbenek a 0 helyen, ezert 6.5.4. alapjan f e1

0

az f 1 M-beli gorbeerintovektora azf1(0) =f(0) =p pontban. Ha at parametert a 0 elegendoenkis kornyezetebol valasztjuk, akkor (12.6.1.jeloleseivel)

f 1(t) =f(t, 0, . . . , 0) :=(t, y1(0, . . . , 0)) =(t, p) =:p(t),

f 1 tehat eppen az Xvektormezop-n atmeno integralgorbeje. Igy

(f)

e10 =

f 1(0) = p(0) =Xp(0)= Xp.

Legyen az egyontetuseg kedveert

y1

p

:=Xp. Ha i {2, . . . , n}, ijelentse

a

t R i(t) := (0, . . . ,

i

t , . . . , 0) Rn

gorbet. Az elobbi modon kapjuk, hogy

(f)

ei

0

= f i(0) , i {2, . . . , n} .

Mivel elegendoen kicsiny t-re

48


49/104

f i(t) =f(0, . . . ,

i

t , . . . , 0) :=(0, y1(0, . . . ,

i

t , . . . , 0)) =

y1(0, . . . ,

i

t , . . . , 0) =y1 i(t),

6.5.2.alkalmazasaval

f i(0) =n

j=1

(yj y1 i)(0)

yj

fi(0)

=n

j=1

(ej i)(0)

yj

p

=

differenciál geometria ii

Documents