die rolle von cas bei prüfungsaufgaben · typ-1-aufgaben sind aufgaben, die auf die im katalog...
TRANSCRIPT
Casio Classpad II
TI Nspire CAS
Die Rolle von CAS bei Prüfungsaufgaben
Helmut Heugl
Dresden November 2016 Chicago März 2017
Dieser Vortrag enthält Produktplazierungen
Die Zahl der untersuchten
Aufgaben ist zu gering, um
statistisch signifikante
Aussagen zu machen
Die Zahl der untersuchten
Aufgaben ist zu groß, um
alle Bereiche der
Mathematik abzudecken
Durch den Vergleich von
Aufgaben aus verschie-
denen Ländern und durch
Vergleich von Aufgaben mit
und ohne CAS kann man
Trends feststellen
Untersucht wurden zwei
mathematische Gebiete:
ALGBRA und ANALYSIS
Unterricht Prüfung
Teaching to the Test
Testing to the Teaching
Was nicht geprüft wird, wird auch nicht unterrichtet
Andreas Pallack NRW
Die Rolle von CAS im Unterricht
und bei Prüfungsaufgaben
1. Warum Mathematik? Was ist der Bildungsauftrag des
Faches?
2. Welche Kompetenzen werden unterrichtet? – Welche
werden geprüft?
3. Wie wichtig ist CAS für die Lösung der Prüfungsaufgaben?
1. Der theoretische Background – das
Bezugssystem für die Untersuchung
Frage 1:
Warum Mathe?
B. Buchberger
Definition von Mathematik Konsequenzen für den Bildungsauftrag
Mathematical thinking technology is the essence of science
and the essence of a technology based society
Mathematik ist die über Jahrhunderte entwickelte Technik
des Problemlösens durch Schließen
Grundkompetenzen sind die Basis für mathematisches
Handeln, aber nicht das alleinige Ziel
Reifeprüfungskonzept:
Mathematik als möglicher Modus der Weltbegegnung,
eine spezifische Brille, die Welt um uns herum zu sehen
bzw. zu modellieren.
Charakteristisch dabei sind die benutzte Sprache, die
spezifischen Darstellungsformen, vor allem aber die
über diese Art der Weltbegegnung hinaus bedeutsame
Denktechnologie.
Frage 2:
Was sind Kompetenzen? Welche
mathematischen Kompetenzen
sollen erworben werden?
Kompetenzen kognitive Fähigkeiten um Probleme in variablen
Situationen zu lösen und die damit verbundenen motivationalen,
volitionalen und sozialen Bereitschaften
Mathematische Kompetenzen beziehen sich auf mathematische
Tätigkeiten und mathematische Inhalte
Charakterisierung mathematischer Kompetenzen durch
Kompetenzmodelle
Mathemat.
Inhalte
Mathemat.
Handlungen
Algebra und Geometrie: B1
Funktionale. Abh.
Analysis: B3
Stochastik: B4
Das Kompetenzmodell
der österreichischen Standards
(A2,B3)
Die Kompetenz (A2,B3) „Operieren mit Integralen“
Frage 3: Wie wichtig ist
CAS für die Lösung der
Prüfungsaufgaben?
Es werden nicht die gefragten mathematischen Kompetenzen
geprüft, sondern Werkzeugkompetenz
Traditionelle Aufgaben , wo weder Graphikrechner noch CAS
hilfreich sind
Traditionelle Aufgaben, die mit Graphikrechnern einfacher oder schneller gelöst werden können.
Traditionelle Aufgaben, entwickelt für numerische Rechner, die
mit CAS einfacher oder schneller gelöst werden können.
Aufgaben, die nur mit Graphikrechnern oder mit Tabellen-kalkulation (und damit auch mit CAS) gelöst werden können.
Aufgaben die nur mit CAS gelöst werden können.
C -1
Klassifikationsschema für Prüfungsaufgaben „Case forCAS“, 2004
6 Kategorien:
C 0
C 1
C 2
C 3
C 4
Vorrangige mathemat. Handlungen Die Bedeutung von CAS
KEYS: Grundkomp. oder „key skills“
CALC: Rechenfertigkeit dominiert
PROB: Problemlösung dominiert
Entsprechend dem
Klassifikationsschema:
C-1: Werkzeugkomp. wird geprüft
C 0: CAS, Graphikr. nicht hilfreich
C 1: Graphikr. hilfreich
C 2: CAS hilfreich
C 3: Graphikr. notwendig
C 4: CAS notwendig
Wenn problemlöseorientiert,
• Mögliche mathem. Handlngen:
A1: Modellbilden, Darstellen
A2: Operieren
A3: Interpretieren
A4: Argumentieren, Begründen
• Mögliche Typen von Aufgaben
• Typ 1: Das Modell ist gegeben
Typ 2: Ein Modell ist gesucht
2. Untersuchung der Prüfungsaufgaben
verschiedener Länder der Welt
2 Gruppen von Aspekten werden untersucht
Typ-1-Aufgaben
Was steht im Reifeprüfungskonzept:
Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten
Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen
sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten
ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.
Einsatz elektronischer Hilfsmittel
Nach der derzeit geltenden Übergangsregelung werden die Prüfungs-
aufgaben so erstellt, dass sie grundsätzlich auch ohne Hilfsmittel mit den
oben genannten Zusatzfunktionen bearbeitet werden können und dass
darüber hinaus das Anforderungsniveau und der Bearbeitungsaufwand
grundsätzlich nicht von den zur Verfügung stehenden Hilfsmitteln abhängen.
Ab dem Haupttermin 2018 fallen diese beiden einschränkenden
Bedingungen für die Aufgabenerstellung weg.
Elektronische Werkzeuge wie GeoGebra oder TI Nspire CAS sind ab
2018 obligatorisch
Aufgabe 1: C -1 HT 2017 Teil 1 A11
Aufgabe 2: HT 2017 Teil 1 A12 C -1
Aufgabe 4: NT 2017 Teil 1 A15 C -1
Typ-2-Aufgaben
Was steht im Reifeprüfungskonzept?
Typ-2-Aufgaben sind Aufgaben zur Anwendung und Vernetzung der
Grundkompetenzen in definierten Kontexten und Anwendungsbereichen.
Es handelt sich dabei um umfangreichere kontextbezogene oder auch
innermathematische Aufgabenstellungen, bei denen eine selbstständige
Anwendung von Wissen und Können erforderlich ist.
Inhalte dieses Kapitels:
Entwicklung der Aufgaben von 2014 bis 2017
Zu Prüfungsaufgaben passende Unterrichtsaufgaben
Passende Aufgaben aus anderen Ländern
Aufgabe 2//Teil 2/Probeklausur 2014
Grippeepidemie Aufgabe 5a: Prüfungsaufgabe 2014
„Grippeepidemie“
Betrachtet man den Verlauf einer Grippewelle in einer Stadt mit 5 000 Einwohnern, so lässt sich die
Anzahl an Erkrankten E in Abhängigkeit von der Zeit t (in Tagen) annähernd durch eine
Polynomfunktion 3. Grades mit der Gleichung beschreiben.
Folgende Informationen liegen vor:
1) Zu Beginn der Beobachtungen sind 10 Personen mit dem Grippevirus infiziert.
2) Nach einem Tag sind bereits 100 Personen an Grippe erkrankt.
3) Am 3. Tag nimmt die Anzahl an Erkrankten am stärksten zu.
4) Am 10. Tag erreicht die Grippewelle (d. h. die Anzahl an Erkrankten) ihr Maximum.
Aufgabenstellung:
a) Ermitteln sie die Funktionsgleichung der Funktion E aus den verfügbaren Informationen und
zeichnen Sie den Graphen.
b) Berechnen sie die mittlere Änderungsrate für die ersten 8 Tage und die momentane
Änderungsrate am 8. Tag. Interpretieren sie die mittlere und die momentane Änderungsrate
kontextbezogen.
c) An welchem Tag geht die progressive Zunahme der Anzahl an Erkrankten (das heißt: der
Zuwachs an Erkrankten wird von Tag zu Tag größer) in eine degressive Zunahme (das heißt:
der Zuwachs an Erkrankten nimmt pro Tag wieder ab) über?
Aufgabe 5b: Unterrichtsaufgabe
3 2( ) * * *E t a t b t c t d
Verwendet wurden die Informationen
(1), (2), (3), (5) der Maturaaufgabe
1. Zu Beginn der Beobachtungen sind
10 Personen mit dem Grippevirus
infiziert.
2. Nach einem Tag sind bereits 100
Personen an Grippe erkrankt.
3. Am 3. Tag nimmt die Anzahl an
Erkrankten am stärksten zu.
4. Am 10. Tag erreicht die Grippewelle
(d. h. die Anzahl an Erkrankten) ihr
Maximum.
Entwickeln neuer
Sprachelemente
Arbeiten mit den Namen der
Objekte anstatt mit
komplexen Ausdrücken
Direktes Übersetzen der
sprachlichen Informationen
in die Sprache der
Mathematik
Ausführen komplexer
Operationen durch die
Technologie
Darstellen der Lösung durch
Substituieren
Die Rolle von CAS
Verschieben
der Tätigkeit
vom Ausführen
zum Planen
c) An welchem Tag geht die progressive Zunahme der Anzahl an Erkrankten (das
heißt: der Zuwachs an Erkrankten wird von Tag zu Tag größer) in eine degressive
Zunahme (das heißt: der Zuwachs an Erkrankten nimmt pro Tag wieder ab) über?
Wendepunkt 2. Ableitung gleich 0
Aufgabe 5/Teil 2/Nebentermin 2015
Eine Extremwertaufgabe ????
Das Modell ist vorgegeben: Reduktion der Extremwert-
aufgabe auf Bestimmen der
ersten und zweiten Ableitung,
Nullsetzen, Einsetzen
Aufgabe 6a:
Prüfungsaufgabe 2015
Aufgabe 6b: Prüfungsaufgabe IQB
IQB Gemeinsamer Aufgabenpool
der Länder für das Zentralabitur
Für BMX-Fahrräder soll auf horizontalem Untergrund eine
3 m breite Sprungschanze installiert werden. Ein
geeignetes Modell für die Profillinie ist die Funktion f mit
36 3f (x) x x 2 mit x 8,0
256 4
Der Startpunkt wird durch den Punkt S(-8, f(-8)) dargestellt und der Absprungpunkt durch
A(0, f(0)). Der Untergrund sei auf der x-Achse, die Längeneinheit ist 1 m.
a) Berechnen Sie die Koordinaten des tiefsten Punktes der Schanze. Bestimme rechnerisch
die Höhendifferenz zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Schanze.
b) Zeichnen Sie den Graphen der Schanze und veranschaulichen Sie in der Zeichnung die
mittlere Steigung der Schanze zwischen Startpunkt und Absprungpunkt.
c) Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Schanze im Startpunkt mit der Horizontalen
einschließt.
Figur 1
Anforderungsniveau: grundlegend Technologie: CAS
PROB A 1 A 2 A 3 A 4
C 4 T 1/T2
Figur 2 zeigt die grau markierte Seite der Schanze, die seitlichen Kanten
stehen senkrecht zum Untergrund, der obere Rand hat die Form der
Profillinie
d) Zur Stabilisierung der Verkleidung soll eine Stahlschiene so angebracht werden, dass sie
von einem Punkt der Profilinie bis zu der in der Abbildung unteren rechten Ecke der
Verkleidung reicht . Ermitteln Sie rechnerisch, wie lange die Stahlschiene mindestens sein
muss.
e) Derjenige Teil der Verkleidung, der mindestens 2 m über dem Untergrund liegt,
dient als Werbefläche. Bestimmen Sie den Anteil der Werbefläche an der
Gesamtfläche der seitlichen Verkleidung.
An die Schanze soll sich ein für die Landung geeigneter Hügel anschließen. Mögliche Profillinien
dieses Hügels werden im Modell beschrieben durch Graphen der Funktionen ga mit 2a xga(x) x e with x 0 and a
f) Der Parameter a durch läuft Werte von 0.01 bis 0.05. Beschreiben Sie, wie sich
dabei die Lage des Hochpunkts des Graphen ga ändert.
∞
g) Berechnen Sie denjenigen Wert von a, für den der höchste Punkt des Hügels auf
der gleichen Höhe wie der Absprungpunkt der Schanze liegt.
Für die Profillinie des Hügels wird a = gewählt. 1
24
h) Die Profillinie des Hügels fällt (in Bewegungsrichtung des Sportlers betrachtet) in
einem Punkt am stärksten ab. Beschreiben Sie, wie die Koordinaten dieses
Punktes rechnerisch ermittelt werden können.
i) Zeichnen Sie den Graphen der Profillinie dieses Hügels
Die Flugbahn des Sportlers lässt sich vereinfacht mit einer quadratischen Funktion
beschreiben, deren Graphen im Punkt A ohne Knick an den Graphen von f anschließt.
j) Zeigen Sie, dass jede solche Funktion eine Gleichung der Form
hat. 2 3hb(x) b x x 2 mit b
4
k) Der Sportler landet nach dem Absprung auf dem Hügel und erreicht eine horizontal
gemessene Sprungweite von 6 m. Bestimmen Sie die größte Höhe, die der Sportler
während der Flugphase gegenüber dem Absprungpunkt erreicht.
Leitideen
Allgemeine
mathematische
Kompetenzen
Komplexität
Level I
Level II
Level III
Algorithmus und Zahl : L1
Funktionaler Zusammenh. : L4
Raum und Form : L3
Messen: L2
Daten und Zufall: L5
Das Kompetenzmodell
für Bildungsstandards
zur allgemeinen
Hochschulreife
Deutschland
Allgemeine mathemat.
Kompetenzen (Handlungen)
Leitideen
(Mathemat. Inhalte)
GERMANY IQB
Analysis Ex. 1
grundlegend
Charakterestik deutscher Aufgaben: Prüfung besteht meist aus 2 Teilen:
Teil 1: Kürzere Aufgaben zur Überprüfung von „key skills“ bzw. Grundkompetenzen.
Ohne Technologie
Teil 2: Längere problemorientierte Aufgaben. In jeder Aufgabe sollen möglichst viele
Aspekte mathematischer Kompetenz überprüft werden (K1, K2, K3, K4, K5, K6)
d) Stahlschiene mit minimaler Länge
Profillinie Schanze
Länge der Stahlschiene vom
Koordinatenursprung bis zur
Profillinie
Nullstelle der 1. Ableitug
Länge der Stahlschiene
Graphische Darstellung des Endergebnisses der Abituraufgabe
Aufgabe 1/Teil 2/Haupttermin 2016
Aufgabe 7a: Prüfungsaufgabe 2016
Aufgabe 7b:
Prüfungsaufgabe SA 2016
Die Daten des Fahrzeuges und die Reaktion des Fahrers werden berücksichtigt in
einem mathematischen Modell für die Geschwindigkeit va, die das Fahrzeug t
Sekunden nach der Startlinie hat:
Drag race
Bei einem Drag Race legen die Autos aus dem Stand eine
Strecke von 400 m zurück. Car A (siehe Foto) ist ein
Teilnehmer am Rennen.
2t
98va 4.9 for 0 t 7
1 19 e
a) Finde die maximale Geschwindigkeit des Fahrzeuges entsprechend diesem
Modell
2
0
va(t)dtb) Berechne und interpretiere die Antwort kontextbezogen.
South Australia 2016
Technology: Graphing Calculators
PROB A 1 A 2 A 3 A 4
C 3/C 4 T 1/T 2
c) Vervollständige die folgende Tabelle für das Modell “Car A”
t (Sekunden) 0 2 4 6
Distanz (Meter) nach t Sekunden 0
Car B ist ein weiteres Drag-Racing Car. Das Modell für die Geschwindigkeit vB des
Fahrzeugs Car B lautet:
3t
85vB 8.5 for 0 t 7
1 9 e
d) Vervollständige die Tabelle für das Modell “Car B”:
t (Sekunden) 0 2 4 6
Distanz (Meter) nach t Sekunden 0
e) Wenn Car A und Car B gegeneinander antreten, welches Fahrzeug wird
gewinnen? Begründe deine Antwort.
f) Berechne wenn wo k eine positive reelle Zahl ist. dy
dt
2t1y ln(e k)
2
Zeige damit, dass 2t
2t
984.9 dt 49 ln(e 19) 4.9t c
1 19 e
Ermittle damit die Zeit, die das Fahrzeug Car A für die Strecke von 400 m benötigt.
Solution of example 16 (SA part 2) using CAS a)
Keine Nullstellen der 1.
Ableitung => kein relatives
Extremum.
va1(x)>0 für alle x => va ist
streng monoton steigend =>
das absolute Maximum für
x=7: Maximale
Geschwindigkeit::
93 m/s = 335 km/h
e) Wer gewinnt?
Schritt 1:
Ermitteln der Weg-
funktionen sa und sb
Schritt 2:
Berechnen der
Fahrzeiten bis zum
Ziel (400 m)
Ein alternativer Zugang: Die graphische Lösung
Car A
Car B
Aufgabe 3/Teil2/Haupttermin 2016
Ko
nte
xtb
ezo
ge
ne
Info
rma
tion
Aufgabe 8a: Prüfungsaufgabe 2016
Lösungserwartung Aufgabe 3, Teil 2 2016
Teil (a)
20 000 – 9 000 ・ 0,365 = 16 715 ⇒ € 16.715
N = E – (E – 11 000) ・ 0,365
Teil (b)
14000 ∗ 0.365 + 15000 ∗ 0.432
40000≈ 0.29 ⇒ 29%
Mit dem Term wird die Steuerersparnis (in Euro) dieser Person
durch das neue Steuermodell (im Vergleich zum 2015 gültigen
Modell) berechnet.
Teil (c):
Beide Behauptungen sind falsch.
Die Einkommensanteile unter € 90.000 sind geringer.
Änderung um 11,5 Prozentpunkte, das sind 11,5
36,5 ≈ 31,5 Prozent.
Teil (d)
15125
35000≈ 0.432
5 110 ist die Einkommensteuer für die ersten € 25.000
1 A
1
1
1
1
1
1
1
Aufgabe 8b: Unterrichtsaufgabe „Einkommensteuer“
Aufgabenstellung:
a) Ermitteln Sie zwei mathematische Modelle für die Einkommensteuer und
zwar für die bis 2015 gültigen und für die aktuell geltenden Bestimmun-
gen in Abhängigkeit vom steuerpflichtigen Jahreseinkommen. Zeichnen
Sie die Graphen im Intervall [0, 120 000]. Geben Sie eine Formel für das
Jahresnettoeinkommen für beide Steuermodelle an.
b) Der politische Auftrag war, die niedrigeren Einkommen steuerlich zu
entlasten und die höheren Einkommen mehr zu belasten. Diskutieren Sie
rechnerisch und grafisch, ob die Steuernovelle dieser Erwartung entspricht.
Ab welchem Einkommen ist die steuerliche Belastung beim neuen Modell
höher?
a) Veränderung mathematischer Denkweise durch den Einsatz von CAS:
Schritt 1: Entwickeln neuer Sprachelemente durch die Definition von Funktionen
Schritt 2: Anstatt mit/in komplexen Termen zu arbeiten wird mit ihren Namen gearbeitet
Schritt 3: Direkte Übersetzung gegebener sprachlicher Informationen in die Sprache
der Mathematik
Aufgabe 9a: Prüfungsaufgabe 2017 Aufgabe 3/Teil2/Haupttermin 2017
Zerstörung des Tropenwaldes
Unterschiedliche Studien befassen sich mit der Zerstörung des Tropenwaldes.
1992 wurde von einem Team um den US-amerikanischen Ökonomen Dennis
Meadows die Studie Die neuen Grenzen des Wachstums veröffentlicht.
In dieser Studie wird der Tropenwaldbestand der Erde Ende 1990 mit 800
Millionen Hektar beziffert. Im Jahr 1990 wurden etwa 17 Millionen Hektar
gerodet. Die nachstehenden drei „Katastrophenszenarien“
werden in der Studie entworfen:
Szenario 1: Die jährliche relative Abnahme von ca. 2,1 % bleibt konstant.
Szenario 2: Die Abholzung von 17 Millionen Hektar jährlich bleibt konstant.
Szenario 3: Der Betrag der Abholzungsrate (in Millionen Hektar pro Jahr)
wächst exponentiell.
a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von f1, wobei die Variable t die nach dem
Jahr 1990 vergangene Zeit in Jahren angibt!
Berechnen Sie, wann gemäß Szenario 1 der Tropenwaldbestand auf weniger als
100 Millionen Hektar gesunken sein wird!
A
b) Geben Sie die Gleichung derjenigen Funktion f2 an, die den Bestand t Jahre nach
1990 unter der Annahme einer konstanten Abnahme von 17 Millionen Hektar pro
Jahr modelliert! Geben Sie an, in welchem Jahr entsprechend diesem Modell der
Tropenwald von der Erdoberfläche verschwinden würde.
Aufgabe 9b: Prüfungsaufgabe Niederlande
Radioaktiver Zerfall: Mutter-Tochter Zerfall Quelle: Teil einer Zentralabituraufgabe mit CAS in den Niederlanden (Bis Teil (d) „Standard
Level“, Teil (e) „Advanced Level“)
Bei einem Mutter-Tochter Zerfall ist das Zerfallsprodukt der ersten radioaktiven
Substanz wieder radioaktiv. Der radioaktive Zerfall der ersten Substanz („Mutter-
substanz“) werde beschrieben durch die Funktion ,
Die Zeit wird in Stunden, die Masse in mg gemessen.
Die durch diesen Zerfall entstehende Substanz („Tochtersubstanz“) ist wieder
radioaktiv. Ihr Zerfall wird beschrieben durch die Funktion
Aufgabenstellung:
a) Zeichne die Graphen der Funktionen fk und ga für k = -0.25 und a = -0.25 .
b) Ermittle die Halbwertszeit der Muttersubstanz für einen beliebigen Wert k und
dann für k = -0,25 .
( ) 200 0 0k tf t e mit t und k
( ) 200 0 0k tf t e mit t und k
( ) 200 1 200 0 0a t a tg t e e mit t und a
c) Interpretiere den Kurvenverlauf der Funktion ga (mit a = -0.25) kontextbezogen;
berechne das Maximum von ga sowie den Zeitpunkt mit der
größten Zerfallsgeschwindigkeit dieser Tochtersubstanz.
d) Ab dem Zeitpunkt t = 12 ist es nicht mehr möglich aus den Graphen von fk und
ga festzustellen ob der Graph von fk oberhalb oder unterhalb von ga verläuft.
Zeige dass für alle t≥0 der Graph von ga immer unter dem Graphen von fk
verläuft und finde den Zeitpunkt t, ab dem der Unterschied zwischen den Massen
fk(t) und ga(t) immer ≤ 0,01 mg ist.
e) Ab dem Zeitpunkt t = 20 kann die Funktion ga durch eine lineare Funktion ersetzt
werden. Ermittle die Gleichung der linearen Funktion so, dass die nun
abschnittsweise definierte Funktion an der Stelle t = 20 differenzierbar ist.
Ermittle nun die Zeit t, bei der der Mutter-Tochter Zerfall praktisch endet.
a) Graphen
b) Halbwertszeit von fk
c) Maximalwert, maximale Zerfallsgeschwindigkeit von ga
d) Massenunterschied kleiner als 0.01 mg
e) Ungefähres Ende des Zerfalls
https://aufgabenpool.srdp.at/srp_ahs/index.php?action=14&cmd=3&order=AKTUALISIERT%20DESC
Ich habe soeben erfahren, dass ab heute (endlich!)
die neuen Musterbeispiele mit verpflichtender
Technologieverwendung online gegangen sind.
Datum 02.06,2017
Aufgabe 10: Übungsklausuraufgabe BMB 2017
PROB A 1 A 2 A 3 A 4
T 1/T 2 C 4
Aufgabenstellung
Er verläuft durch die
Aufhängepunkte P1 und P2 und
den Tiefpunkt des Graphen von f
und hat in den beiden
Aufhängepunkten dieselbe
Steigung wie der Graph von f.
Testing to the teaching
Australia Victoria
Part 2 Example 2
Analysis
GERMANY IQB
Analysis Ex. 1
fundamental level
GE Thüringen
Part B Ex.2
Analysis
1. CAS unterstützt die Verschiebung von einem rechenfertigkeitsorientierten
zu einem problemlöseorientierten Unterricht
3. Schlussfolgerung aus der Untersuchung
internationaler Prüfungsaufgaben
AUSTRALIA NSW
Section 2: Ex 12_2
AUSTRALIA NSW
Section 2: EX.12_1
2. Problemlöseorientierte Aufgaben findet man auch in Ländern, wo nur
wissenschaftliche Taschenrechner oder Graphikrechner erlaubt sind, aber
nicht in Prüfungen und Prüfungsteilen, wo nur Grundkompetenzen
überprüft werden
Denmark
Europ. Exam
Part 2 Ex. 1
3. Eine Dominanz der Rechenfertigkeiten findet man auch in Ländern, wo
CAS genutzt wird.
4. In den meisten problemorientierten Aufgaben ist das mathematische Modell für das
Problem gegeben („Aufgabe vom Typ T1“) Aufgaben, bei denen das Modell aus
verbalen Informationen oder Daten erst ermittelt werden muss sind eher selten.
(„Aufgaben vom Typ T2“). Im Laufe des Lösungsweges ist Modellbildung dann
schon gefragt, etwa wenn Extrema, Wendepunkte usw. gefunden werden müssen.
NORWAYAY
Ex 4 Part 2
T2
NORWAYAY
Ex 3 Part 2
T2
Australia Victoria
Part 2 Ex. 2
T1 => T2
5. In vielen Ländern werden im ersten Teil der Prüfung sogen. „key skills“
oder „Grundkompetenzen“ in kurzen Aufgaben getestet. Meist ist keine
Technologie erlaubt.
C -1
Denmark European
Exam Part 2 Example 1
C4
NORWAY
Ex 4 Part 2
C4
6. Wenige Aufgaben sind vom Typ C4, das sind Aufgaben, die nur mit CAS
lösbar sind. Die meisten Aufgaben sind vom Typ C2. C4 bedeutet oft, dass
die Operationen so komplex sind, dass CAS nötig wird.
GE Thüringen
Part B Ex.2
Analysis
AUSTRIA 2016
Part 2: Ex 4
GE Thüringen
Part B Ex.2
7. In anwendungsorientierten Aufgaben ist das Verstehen des Kontexts oft
schwieriger als das damit verbundene mathematische Problem.
Man sollte zeigen, dass durch die Nutzung von CAS faszinierende,
realitätsnahe Probleme leichter und schneller lösbar sind als ohne dieses
Werkzeug
8. Ein häufig beobachteter Fehler der Autoren von Aufgaben für CAS-Klassen ist,
dass diese Aufgaben deutlich schwieriger und komplexer sind, als Aufgaben für
Klassen mit traditionellen Werkzeugen. Oft werden in CAS-Klassen auch
zusätzlich mathematische Inhalte verlangt. Die Autoren versuchen, die ganze
Stärke des CAS-Tools zu zeigen und machen dadurch die Aufgaben
unverhältnismäßig schwierig. Aber man sollte genau das Gegenteil zeigen,
Man sollte zeigen, dass durch das Auslagern komplexer Operationen auf das
Werkzeug eine Schwerpunktverschiebung zum Modellieren, Interpretieren und
Argumentieren möglich wird.
Helmut Heugl
CAS ja oder nein
In einem rechenfertigkeitsorientierten, oder in
einem auf Grundkompetenzen reduzierten
Unterricht ist CAS nicht notwendig, ja oft sogar
nicht passend.
Helmut Heugl
CAS ja oder nein
CAS
In einem problemlöseorientierten
Unterricht ist CAS unverzichtbar
Australia Victoria
Part 2 Example 2
CAS
Eine Stadt liegt an einem Fluss der durch eine Schlucht
fließt. Die Schlucht ist auf der eine Seite 40 m hoch, auf
der anderen 30 m. Es soll eine Brücke gebaut werden, die
den Fluss und die Schlucht überquert.
Der tragende Brückenbogen hat die Form einer Parabel.
Ein Modell für den Bogen ist die Funktion f mit
23y 60 x
80
a) Finde den Winkel θ, zwischen der Tangende des parabolischen Bogens und der
Horizontalen im Punkt A(-40, 0) auf Grad genau.
Die Straße über die Schlucht von X nach Y hat in X(-40, 40) und in Y(40, 40) die Steigung 0 und
hat die Gleichung:
3x 3xy 35
25600 16
b) Finde das maximale Gefälle der Straße.
PROB A 1 A 2 A 3
C 4
A 4
. Der Bogen ruht in den Punkten A(-40, 0)
und B(40, 0) auf zwei Stützen auf Flussniveau.
Ein Modell der Straße ist eine kubische Polynomfunktion.
T 1/T 2
Zwei vertikale Stützen MN und PQ verbinden die Straße mit dem Brückenbogen. Die Stütze MN
befindet sich an der Stelle, wo der senkrechte Abstabd zwischen der Straße und dem
Brückenbogen maximal ist.
c) Ermittle die Koordinaten (u, v) des Punktes M auf der Straße auf zwei Dezimale genau
Die zweite Stütze PQ hat den tiefsten Punkt P auf der Straße mit den Koordinaten P(-u/w)
d) Ermittle auf zwei dezimale genau die Koordinate w, sowie die Länge der beiden
StützenMN und PQ.
Für die Eröffnung der Brücke wird ein Werbebanner montiert, wie auf
nebenstehender Zeichnung grau unterlegt zu sehen ist.
e) Ermittle die x-Koordinaten der Punkte E und F, das sind jene
Punkte, wo die Straße mit dem Brückenbogen verbunden ist.
f) Berechne den Flächeninhalt des Werbebanners auf Quadratmeter
genau.
b) Finde das maximale Gefälle der Straße.
Zwei vertikale Stützen MN und PQ verbinden die Straße mit dem Brückenbogen. Die Stütze MN
befindet sich an der Stelle, wo der senkrechte Abstand zwischen der Straße und dem
Brückenbogen maximal ist.
c) Ermittle die Koordinaten (u, v) des Punktes M auf der Straße auf zwei Dezimale genau
Didaktische/prüfungsadäquate Frage:
Was wird erwartet?
Was ist für den
Problemlöseprozess
sinnvoll/notwendig?
? ?
Graphische Darstellung
C 2
AUSTRALIA NSW Section
2: EX.12_1
Scient. Calc
b) Bei einer chemischen Reaktion wird die Substanz x aus der Substanz y entwickelt. Die
Massen der beiden Substanzen mx und my (in g) ändern sich mit der Zeit t (t in
Sekunden). Während der Reaktion ist die Summe der beiden Massen stets 500 g.
Im Laufe der Zeit ist die Reaktionsgeschwindigkeit mit der die Masse mx zunimmt, proportional
zur Masse my der Substanz y.
Zu Beginn der Reaktion gilt: x = 0 und
(i) Zeige, dass
(ii) Zeige, dass die Differentialgleichung erfüllt und ermittle A.
(iii) Zeichne die Graphen von mx und my
dx2
dt
dx
0.004 500 xdt
0.004 tx 500 A e
T 1/T 2
PROB A 1 A 2 A 3 A 4
0.004 t
0.004 t
0
dxPr econdition : If x 0 2
dt
dxc 500 x
dt
2 c 500 c 0.004
dxc dt
(500 x)
dxc dt
(500 x)
ln 500 x 0.004 t c1
500 x A e
x 500 A e
0 500 A e
A 500
Lösung Teil b)
ohne CAS
Mit CAS
Graphen von mx und my
AUSTRALIA NSW
Section 2: EX.12_2
Scient. Calc
c) Die Graphen von y = tan(x) und y = cos(x) schneiden
einander an der Stelle a (siehe Abb. 1)
Abb. 1
(i) Zeige, dass die Tangenten an die beiden Kurven an
der Stelle x aufeinander normal stehen
(ii) Nutze das Newtonsche Näherungsverfahren mit x1 = 1
um einen Näherungswert für a zu finden (Genauigkeit
2 Dezimale
(i) Zeige, dass die Tangenten an die beiden Kurven an der Stelle x aufeinander
normal stehen
Orthogonalitätsbedingung
erfüllt, wenn
tan() = cos()
also im Schnittpunkt
Nullstellen von h(x):
Newtonsches Näherungsverfahren
Time mode:
u(n) als Funktion von n
„Web mode“:
u(n) als Funktion von u(n-1)
Gegeben ist fa mit a>0
Für a=1 heißt die Funktion f1
2
x2
a
x 32x a , x a
2a 2fa(x)
x a e , x a
Suche:
a) den Graphen von f1und die Schnitt-
punkte mit den Achsen,
b) die Gleichung der Asymptote von f1,
c) die Koordinaten der Extrema,
d) die Koordinaten des Wendepunktes P,
e) berechne und gib eine
geometrische Bedeutung, 1
f1(x)dx
f) zeige, dass fa an der Stelle x=a stetig ist,
g) zeige, dass für x>a jede Funktion fa ein
Maximum besitzt und dass die Maxima
auf einer Geraden liegen,
h) finde in Abhängigkeit von a die Gleichung
der Tangente an fa im Schnittpunkt mit
der x-Achse.
C 4 A 2 CALC Denmark European Exam
Part 2 Example 1
CAS
A 4
NORWAYAY
Ex 4 Part 2
CAS
PROB A 1 A 2 A 3
C 4
Die Ausbreitung eines Gerüchts
In einer Stadt mit 1200 Einwohnern verbreitet sich ein
Gerücht. y ist die Zahl der Einwohner, die vom Gerücht
bereits gehört haben. t ist die Zeit in Tagen nachdem das
Gerücht in die Weltgesetzt wurde.
Annahme: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist zu jeder Zeit proportional zum Produkt aus der
Anzahl von Personen, die bereits vom Gerücht wissen und der Anzahl der Einwohner, die noch
nicht informiert sind: Der Proportionalitätsfaktor sei c = =.0006. Zu Beginn wusste eine Person
vom Gerücht.
a) Ermittle eine Differentialgleichung, die diesen Prozess beschreibt.
b) Löse die Differentialgleichung und zeichne den Graphen der zugehörigen Funktion y(t).
c) Nach welcher Zeit weiß die Hälfte der Einwohner der Stadt vom Gerücht?
Modellie
ren
T 2
Mathematisches Modell:
Differentialgleichung mit
Anfangsbedingung
Operieren mit CAS: „deSolve“
Mathematische Lösung
a) und b) Ermitteln und Lösen der Differentialgleichung
c) Nach etwa 10 Tagen weiß die Hälfte der Einwohner von dem Gerücht
Graphische Lösung
NORWAY
Ex 3 Part 2
CAS
PROB A 1 A 2 A 3 C 4
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x2 . Die Punkte A(a,a2)
und B(b,b2)) mit a<b liegen auf dem Graphen von f
a) Berechne die Fläche T, die begrenzt wird vom Graphen von f
und der Strecke AB (siehe Abb. 1.)
b) Berechne die Fläche S des Dreiecks ABC (siehe Abb. 2).
C hat die Koordinaten (c, c2) mit
Zeige, dass 31
S b a8
Abb. 1.
c) Ermittle das Verhältnis T
SAbb. 2.
a bc
2
Eindimensionale Eingabe mit Klammern
TI Nspire CAS
Zweidimensionale Eingabe mit
vorgegebenen Masken
GE Thüringen
Part B Ex.2
Analysis
CAS
Diese besondere Dachform nennt man Gaube (Figur 1).
Das Verhältnis der Höhe der Gaube zur Gaubenbreite
sollte zwischen 1 : 5 und 1 : 6 liegen.
Ein mögliches Modell für die Randlinie ist die Funktion f mit
; x1 und x2 sind die Nullstellen, Längeneinheit 1 m
a) Zeigen Si, dass der Graph f symmetrisch zur y-Achse verläuft..
b) Untersuchen Sie, ob das Verhältnis von Gaubenhöhe zur Breite den Vorschriften entspricht.
c) An beiden Enden sollte das Gefälle nicht größer als 12° sein. Entspricht das Modell dieser
Bedingung? Ermitteln Sie die Stellen, wo das Gefälle am größten ist.
Figur 1
PROB A 1 A 2 A 3 A 4
C 4
1 22
4 1f (x) x x x
43 x 4
T 1/T 2
e) In die Gaube kann auch ein anderes parabelförmiges Fenster der Höhe h=0,5 m eingebaut
werden. Aus bautechnischen Gründen muss der obere Rand dieses Fensters im Modell
unterhalb des Graphen der Funktion g mit g(x)=f(x)−0,1 liegen. Dieses Fenster soll
maximale Breite haben. Skizzieren Sie diesen Sachverhalt. Berechnen Sie die maximale
Breite.
f) Für jede positive reelle Zahl a ist eine Funktionschar fa gegeben durch
Bestimmen Sie die Werte für den Parameter a, für die das Verhältnis der Höhe der Gaube
zur Gaubenbreite zwischen 1 : 5 und 1 : 6 eingehalten wird.
2
4 1fa(x) x
4a x 4
In die Gaube soll ein parabelförmiges Fenster mit der Höhe h=0,5 m und einer Breite b eingebaut
werden. Das Fenster hat einen geraden unteren Rand und der obere Rand des Fensters kann
modellhaft durch eine Parabel p mit beschrieben werden.
d) Ein Fenster soll eine Breite von 2 m haben. Berechnen Sie die Größe dieser Fensterfläche.
2p(x) c x 0.5 (c )
g) In asiatischen Ländern findet man oft Gauben in
Pagodenform. In der Abbildung ist zusätzlich zur
Randlinie der Fledermausgaube die Randlinie einer
solchen Pagodenform dargestellt. Zur Beschreibung
der Randlinie der Pagode werden die Graphen zweier
Funktionen r1 und r2 verwendet.
Figur 2
Erläutern Sie einen Ansatz zum Ermitteln der Funktionsgleichungen. Geben Sie eine
Gleichung für r1 oder r2 an.
Modellbildung: 3 Informationen:
1 Punkt in der Mitte,
2 Punkte und am Rand,
in diesen Punkten dieselbe Steigung wie die Gaube
ein mögliches Modell ist eine Polynomfunktion 2. Grades
Schritt 1: Entwickeln neuer mathematischer Sprachelemente
Schritt 2: Arbeiten mit den Namen der Terme
Schritt 3: Direkte Übersetzung sprachlicher Informationen
Die Visualisierung des Probelms
Ja, aber nicht die erwartete
mathematische Kompetenz war zu
schwer, sondern der Kontext und die Art
der Fragestellung
Thüringen B2 CAS
GE Thüringen
Part B Ex.2
Analysis
CAS
Diese besondere Dachform nennt man Gaube (Figur 1).
Das Verhältnis der Höhe der Gaube zur Gaubenbreite
sollte zwischen 1 : 5 und 1 : 6 liegen.
Ein mögliches Modell für die Randlinie ist die Funktion f mit
; x1 und x2 sind die Nullstellen, Längeneinheit 1 m
a) Zeigen Si, dass der Graph f symmetrisch zur y-Achse verläuft..
b) Untersuchen Sie, ob das Verhältnis von Gaubenhöhe zur Breite den Vorschriften entspricht.
c) An beiden Enden sollte das Gefälle nicht größer als 12° sein. Entspricht das Modell dieser
Bedingung? Ermitteln Sie die Stellen, wo das Gefälle am größten ist.
Figur 1
PROB A 1 A 2 A 3 A 4
C 4
1 22
4 1f (x) x x x
43 x 4
In die Gaube soll ein parabelförmiges Fenster mit der Höhe h=0,5 m und einer Breite b eingebaut
werden. Das Fenster hat einen geraden unteren Rand und der obere Rand des Fensters kann
modellhaft durch eine Parabel p mit beschrieben werden.
d) Ein Fenster soll eine Breite von 2 m haben. Berechnen Sie die Größe dieser Fensterfläche.
Welche Art
von Fenster?
?
?
?
2p(x) c x 0.5 (c )
Online Materialien:
TI-Nspire- und GeoGebra-
Files der Buchaufgaben
http://mathe-mit-
technologie.veritas.at