DIDATTICA DELLA MATEMATICA

TFA A048-A049- MATEMATICA

Incontro

aprile 2013

Rosetta ZanDipartimento di Matematica, Università di Pisa

zan@dm.unipi.it

I QUESTIONARI PRIMA / DOPO

Il questionario prima / dopo...non è un test d’ingressoma uno strumento di lavoro:• per lo studente• per l’insegnante

prende consapevolezza delle proprie conoscenze

dirige in modo consapevole l’attenzione durante lo studio o la lezione

riconosce i (piccoli) progressi dopo aver studiato, ha il

senso del lavoro fatto

prima della lezione, conosce le convinzioni degli studenti

dopo la lezione, ne controlla gli effetti

può correggere il tiro riconosce i (piccoli)

progressi ha il senso del lavoro

fatto

Un’osservazione sui modelli primitivi

importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

L’apprendimento come attività costruttiva

• Misconcetti e modelli primitivi

• Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano

• Razionalità matematica e altre forme di razionalità

• Convinzioni, atteggiamenti, emozioni

LINGUAGGIOMATEMATICO

LINGUAGGIOQUOTIDIANO

Comprensione di un testo

• Produzione di un testo

LINGUAGGIOMATEMATICO

LINGUAGGIOQUOTIDIANO

Comprensione di un testo

LINGUAGGIOMATEMATICO

Linguaggio criptico…

…di cui non si coglie il senso

LINGUAGGIOMATEMATICO

LINGUAGGIOQUOTIDIANO

LINGUAGGIOMATEMATICO

LINGUAGGIOQUOTIDIANO

A volte le difficoltà nascono da una sovrapposizione dei due linguaggi…

Wagner (1981, 1983)

Un insegnante sta cercando di preparare gli studenti alle scritture: x, x+1,…

L’insegnante parte quindi con un esempio numerico:

I: Qual è l’intero successivo di 17?S: 18.I: Cosa bisogna fare per ottenere 18 da 17?S: Aggiungere 1.I: Bene. Ora supponiamo di chiamare x un intero

che non conosciamo. Come possiamo scrivere l’intero successivo di x? Cioè, come possiamo rappresentare il numero che si ottiene da x aggiungendo 1?

S: y.

LINGUAGGIOMATEMATICO

LINGUAGGIOQUOTIDIANO

A volte le difficoltà nascono dall’uso diverso degli stessi termini:• ipotesi / tesi• angolo, spigolo…• altezza

O dall’uso diverso dei connettivi e dell’implicazione

Connettivi

• 6 è un numero pari e divisibile per 3

• 6 è un numero divisibile per 3 e pari

• L’ho visto e ho cambiato strada.

• Ho cambiato strada e l’ho visto.

…commutativo

…non commutativo

Implicazione• Se un numero è divisibile per 4 allora è

divisibile per 2

• Se un numero non è divisibile per 4 allora non è divisibile per 2

• Se passi ti compro il motorino.

• Se non passi non ti compro il motorino.

Ma ci sono differenze più globali

Il ruolo del contesto:

• Altri linguaggi di accompagnamento del messaggio: il tono della voce, l’espressione del viso, la postura,

• La possibilità di utilizzare deissi

Da Bloedy-Vinner (1996)

Si chiede a studenti di corsi di preparazione all'università di scrivere un’equazione che traduca problema, senza risolverlo:

Prima della partita Tal aveva il triplo delle bilie di Gadi.

Durante la partita, Tal ha perso metà delle sue bilie a favore di Gadi, e alla fine il numero delle bilie di Gadi supera di 12 il numero delle bilie di Tal.

Prima della partita Tal aveva il triplo delle bilie di Gadi.

Durante la partita, Tal ha perso metà delle sue bilie a favore di Gadi, e alla fine il numero delle bilie di Gadi supera di 12 il numero delle bilie di Tal.

Errori frequenti:

Utilizzare una lettera o un'espressione per denotare il numero di bilie di un bambino, pensandole come se cambiassero con l'evoluzione della storia

errori ‘analgebrici’

(Ferrari): mentre il linguaggio quotidiano gode dell’aggiornamento automatico degli indicali (se dico "questo è bello, questo no" chi è presente capisce benissimo che ‘questo’ assume significati diversi nella stessa frase, con l’aiuto di gesti, ecc), le variabili matematiche, che spesso sono usate per rappresentare quantità determinate in un preciso contesto spazio-temporale, non si aggiornano automaticamente ma bisogna aggiornarle ‘a mano’, sia usando variabili diverse quando è necessario ("x è bello, y no"), sia modificando le espressioni (se adesso ‘la mia età’ è n anni, fra dieci anni ‘la mia età’ è n+10 anni).

Errori frequenti:

Utilizzare una lettera o un'espressione per denotare il numero di bilie di un bambino, pensandole come se cambiassero con l'evoluzione della storia

errori ‘analgebrici’

Ma ci sono differenze più globali

Il ruolo del contesto:

• Altri linguaggi di accompagnamento del messaggio: il tono della voce, l’espressione del viso, la postura,

• La possibilità di utilizzare deissi

• Le regole di comunicazione: il principio di cooperazione di Grice

Ho buttato un uovo contro il muro e non si è rotto.

Ho buttato un sasso contro il vetro e non si è rotto.

…cosa non si è rotto?

…cosa non si è rotto?

?

Principio di cooperazione

Esempio:

A: Dov’è Carlo?

B: C’è una Volkswagen gialla davanti a casa di Anna.

In casi come questi l’ascoltatore per mantenere l’assunto di cooperazione fa delle inferenze:

implicature conversazionali

Collega con un tratto di penna la frase di sinistra con la frase o le frasi di destra che hanno significato equivalente:

Non tutti gli operai

della fabbrica sono italiani

Alcuni operai della fabbrica sono stranieri

Tutti gli operai della fabbrica sono italiani

Alcuni operai della fabbrica sono italiani

Tutti gli operai della fabbricasono stranieri

Annalisa…

Le caratteristiche del linguaggio vanno collegate a degli scopi significativi

Le definizioni

Il quadrato è un quadrilatero con 4 lati uguali e 4 angoli uguali.

Il quadrato è un quadrilatero con 4 lati uguali, paralleli 2 a 2, con 4 angoli uguali retti, le diagonali uguali, perpendicolari, che si dividono a metà!!!

Annalisa

[Domanda in un test d’ingresso al 1° anno di università]

Riconosci quale/i fra le affermazioni scritte sotto sono equivalenti all’affermazione:

Non tutti gli operai della fabbrica sono italiani

(a) Tutti gli operai della fabbrica sono stranieri

(b) Alcuni operai della fabbrica sono italiani (c) Alcuni operai della fabbrica sono stranieri

Ma anche:

7 2

7 > 2

2 2

2 = 2

Ferrari

...per alcuni studenti lettere diverse necessariamente indicano numeri diversi.

m,n sono numeri interi.

Si sa che m divide 7, e che n divide 7.

E’ vero che il prodotto mn divide 7?

...sì, perché i divisori di 7 sono solo 7 e 1, e quindi m=7, n=1 o viceversa.

La comprensione del testo di un problema

OCSE-PISA: Popolarità del PresidenteIn Zedlandia sono stati effettuati alcuni sondaggi di

opinione per determinare il livello di popolarità del Presidente in vista delle prossime elezioni.

Quattro editori di giornali hanno svolto sondaggi indipendenti su scala nazionale. I risultati dei quattro sondaggi dei giornali sono i seguenti:

• Giornale 1: 36,5% (sondaggio effettuato il 6 gennaio su un campione di 500 cittadini con diritto di voto, scelti a caso),

• Giornale 2: 41,0% (sondaggio effettuato il 20 gennaio su un campione di 500 cittadini con diritto di voto, scelti a caso),

• Giornale 3: 39,0% (sondaggio effettuato il 20 gennaio su un campione di 1000 cittadini con diritto di voto, scelti a caso),

• Giornale 4: 44,5% (sondaggio effettuato il 20 gennaio su un campione di 1000 lettori che hanno telefonato alla redazione per votare).

Quale giornale è più attendibile per prevedere il livello di popolarità del Presidente, se le elezioni si svolgono il 25 gennaio?

Scrivi due motivi che giustifichino la tua risposta.

Cosa vuol dire che una persona è popolare?

‘Che fa parte del popolo’

Cosa vuol dire che un giornale è attendibile?

‘Che esce regolarmente’

35,6% di risposte corrette 29,2% di risposte omesse

La comprensione del testo:

• Dizionario

…ma spesso le difficoltà nascono dal fatto che l’allievo non legge

accuratamente il problema

• Dati numerici• Parole chiave

LETTURA SELETTIVA DEL TESTO

Quale sarà la temperatura dell’acqua in un recipiente se metti insieme una caraffa d’acqua a 10° e una a 40°?

10° + 40° = 50°

LINGUAGGIOMATEMATICO

LINGUAGGIOQUOTIDIANO

Comprensione di un testo

• Produzione di un testo

LINGUAGGIOMATEMATICO

LINGUAGGIOQUOTIDIANO

• Produzione di un testo

LINGUAGGIO

QUOTIDIANO

Dev’essere finalizzata ad uno scopo

Le caratteristiche del testo sono funzionali a quello scopo

• Produzione di un testo

Marianella Sclavi

Arte di ascoltare e mondi possibili.

Come si esce dalle cornici di cui siamo parte.

SCENARIO 1

Ernesto: Stanno giocando a pallone e lui gli dà un calcio…Insegnante (lo interrompe): Chi è che gioca a pallone? Qual è il

soggetto che compie l'azione?Ernesto (stupito e imbarazzato che l'insegnante gli chieda una cosa

così evidente): Loro!Insegnante: Chi ‘loro’?Ernesto: I ragazzi!Insegnante: Bravo, e allora dillo. Bisogna sempre precisare il soggetto

altrimenti chi ti ascolta non capisce. E quanti sono i ragazzi?Ernesto (un po' sfottente, un po' umiliato): Tre!Insegnante: Bravo. Allora come dovevi dire?Ernesto (tace, chiuso in se stesso)Insegnante: Tre ragazzi stanno giocando a pallone. Adesso continua il

racconto.(…)

Contesto: Scuola elementare. L’insegnante chiede a Ernesto (bambino che proviene da un contesto socio-culturale deprivato) di raccontare la storia rappresentata in una vignetta.

SCENARIO 2Ernesto: Stanno giocando a pallone e lui gli dà un calcio e va a finire lì e

rompe la finestra. Loro la guardano e lui si affaccia e li sgrida perché l'hanno rotto. Poi loro scappano e lei guarda fuori e li sgrida.

(L'insegnante lo lascia finire e intanto l'osserva. Com’è che a Ernesto questa descrizione appare appropriata? Qual è il suo punto di vista? Cosa sta comunicando? Ernesto man mano che parla si infervora, si immedesima, la dinamica della storia lo diverte. Le manda dei segnali di ammiccamento, di complicità. Come ha inteso il compito che gli è stato assegnato? Cosa è importante per lui?)

Insegnante (con atteggiamento di complicità): Sei un bravo narratore. Hai impostato in modo efficace il racconto della storia e io, guardando la vignetta, ho capito sempre cosa ti riferivi. Ma adesso ti vorrei porre un problema più difficile: come racconteresti la stessa storia a una persona che non la sa già e che non ha questa vignetta sotto gli occhi?

(Ernesto è gratificato dall'accoglienza alla sua performance, ma non capisce bene cosa gli sta proponendo l'insegnante, gli sembra un po' confusa.)

SCENARIO 2

Insegnante: Per esempio facciamo finta che sul banco tu abbia un telefono e tu chiami la tua amichetta che è a casa ammalata. Per tenerle su il morale, le racconti quel che abbiamo fatto in classe e vuoi descriverle la vignetta. Lei non può vederla e quindi tu in questo caso devi dirle proprio tutto, devi essere un po' pignolo in modo che lei possa immaginarsi tutti i vari personaggi e quel che succede. Vediamo se sei un bravo narratore anche in questo caso…

(Ernesto è chiaramente disponibile a collaborare con l'insegnante in queste sue proposte fantasiose. Ma a recitare una parte c’è la difficoltà dell'inizio. Esita.)

Insegnante (fingendo di fare un numero in un immaginario telefono): Ciao Giovanna, come stai? Quando torni a scuola? C'è qui Ernesto che ti vuole raccontare una storia sulla quale abbiamo lavorato oggi.

Passa la cornetta ad Ernesto.Ernesto (imbarazzato, ma divertito): Ciao Giovanna ecc. ecc.

LINGUAGGIO

MATEMATICO

Dev’essere finalizzata ad uno scopo

Le caratteristiche del testo sono funzionali a quello scopo

• Produzione di un testo

Dev’essere finalizzata ad uno scopo

Le caratteristiche del testo sono funzionali a quello scopo

• Affrontare e risolvere un problema

• Comunicare

• Argomentare / dimostrare

• Definire

• Generalizzare

Pierluigi Ferrari Matematica e linguaggio.

Quadro teorico e idee per la didattica.

Pitagora 2005

Descrizione dell’attività• 2 classi di II media (A1 e A2), in due località

diverse del comune di Alessandria• FASE 1 (classe A1):

– L’insegnante di Matematica ha proposto di calcolare l’area del piano terra della scuola

– Gli alunni hanno riprodotto alla lavagna la pianta in scala, si sono procurati le misure necessarie e hanno calcolato l’area.

A

D

C

B

• FASE 2 (classi A1 e A2): Si chiede alla classe A1 di proporre il problema

alla classe A2 soltanto attraverso un testo, senza usare figure.

Testo prodotto dalla classe A1 (1) La nostra scuola assomiglia molto a

una culla vista di profilo(2) Il nostro edificio si compone di 3

rettangoli, 2 dei quali posti verticalmente e uno orizzontalmente che li unisce nella parte superiore.

(3) Chiamiamo i 2 rettangoli posti verticalmente A e B e quello orizzontalmente C.

A

D

C

B

(4) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo ed è posto sul rettangolo A e parte del rettangolo C, con il lato obliquo adiacente all’altezza del rettangolo A. I due rettangoli A e B sono uguali.

(5) Adesso vi diamo le misure: la base del rett. A (quindi anche di B) misura 11 cm e l’altezza è 21 cm

(6) La base del rett. C misura 22 cm e l’altezza equivale all’altezza del rettangolo A meno una rientranza di 10 cm

(7) Nel trapezio D la base maggiore appoggiata ai 2 rett. A e C misura 18 cm e quella minore 16 cm. L’altezza misura 19 cm.

ALCUNI DISEGNI PRODOTTI DA A2

A

D

C

B

disegno originario disegno riprodotto

(3) Chiamiamo i 2 rettangoli posti verticalmente A e B e quello orizzontalmente C.

(3’) Chiamiamo A il rettangolo verticale sulla destra, B quello sulla sinistra e C quello orizzontale.

viene riformulato

A

D

C

B

disegno originario disegno riprodotto

viene riformulato

(4) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo ed è posto sul rettangolo A e parte del rettangolo C, con il lato obliquo adiacente all’altezza del rettangolo A.

(4’) Il trapezio D (che è la nostra palestra) è rettangolo ed è appoggiato sul rettangolo A e in parte sul rettangolo C, con il lato obliquo consecutivo all’altezza del rettangolo A.

importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

L’apprendimento come attività costruttiva

• Misconcetti e modelli primitivi

• Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano

• Razionalità matematica e altre forme di razionalità

• Convinzioni, atteggiamenti, emozioni