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Apprendere la matematica: dal problema al modello e dal modello all’astrazione

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Perché la matematica è difficile? Basi scientifiche per una didattica inclusiva Relatore: Anna Baccaglini-Frank

Bologna, 20 Aprile 2015 HOTEL SAVOIA REGENCY

Bologna, 20 Aprile 2015

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Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank

Fonti principali di origine (e di incremento) delle difficoltà in matematica

•  Fattori epistemologici •  Fattori affettivi •  Fattori cognitivi •  Fattori didattici e sociali


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Fattori Affettivi A. Baccaglini-Frank

Dati raccolti attraverso lo strumento narrativo

Io e la matematica: il mio rapporto con la matematica

(dalle elementari ad oggi)

Ad oggi Pietro Di Martino e Rosetta Zan hanno raccolto e analizzato più di 2000 temi


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Fattori Affettivi A. Baccaglini-Frank

Gli indifferenti emozionalmente nei confronti della matematica sono quasi esclusivamente persone che non hanno avuto problemi con la matematica!

Chi ha difficoltà vive molto spesso una situazione di profondo disagio

Prevalenza di emozioni negative

Dai temi emerge:


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Fattori affettivi A. Baccaglini-Frank

Successo in matematica = non fare errori Successo in matematica = essere veloci (prendere tempo per pensare è visto come una debolezza)

Alcuni fattori che contribuiscono a far “vivere male” la matematica

Imporre la velocità crea ansia. Questo è molto dannoso per l’apprendimento di tutti gli studenti.


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Fattori affettivi – alcune radici cognitive A. Baccaglini-Frank

•  La memoria di lavoro gioca un ruolo chiave (più se ne ha più è alto il potenziale di successo)

•  Sotto stress l’ansia blocca la memoria di lavoro (sensazione di annebbiamento o vuoto di memoria) •  L’ansia in matematica blocca soprattutto gli

studenti con buona capacità di ML che sono quelli con più alto potenziale.

(Beilock)


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Come ti ha fatto sentire il test di oggi? (4° elementare)

•  “Preoccupato che non sarei riuscito a finire” •  “nervosa: so bene i fatti ma mi fa paura che

potrei prendere un brutto voto” •  “nervosa perché non mi piacciono molto i tests” •  “nervoso perché ho paura che non finirò o che

farò errori” •  “sotto pressione”


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Come ti ha fatto sentire il test di oggi? (2° elementare)

•  “non bene” •  “agitata” •  “nervosa” •  “che faccio schifo in matematica” •  “triste”


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Attenzione: Pensare in modo profondo richiede tempo!

“Ero sempre molto incerto sulla mia capacità intellettuale; pensavo di essere non-intelligente. E certo era vero che ero, e sono ancora, lento a pensare. Mi ci vuole tempo per afferrare le cose perché le devo capire a fondo. ...Alla fine della scuola superiore ho deciso che la velocità non ha una relazione precisa con l’intelligenza. Quello che importa è capire a fondo le cose e le loro relazioni con altre. Qui sta l’intelligenza. Il fatto di essere veloci o lenti non ha importanza. Ovviamente aiuta essere veloci e avere buona memoria. Ma non è necessario né sufficiente per il successo intellettuale.”

Lauren Schwartz ‘A Mathematician Grappling with his Century’


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Il ruolo dell’essere motivati A. Baccaglini-Frank


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This research examined how motivation (perceived control, intrinsic motivation, and extrinsic motivation), cognitive learning strategies (deep and surface strategies), and intelligence jointly predict long-term growth in students’ mathematics achievement over 5 years. [...] Results showed that the •  initial level of achievement was strongly related to

intelligence, with motivation and cognitive strategies explaining additional variance.

•  In contrast, intelligence had no relation with the growth of achievement over years,

•  whereas motivation and learning strategies were predictors of growth.

These findings highlight the importance of motivation and learning strategies in facilitating adolescents’ development of mathematical competencies.


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Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank

Nel nostro cervello vi è un organo preposto alla percezione e alla rappresentazione delle quantità numeriche; le sue caratteristiche lo collegano senza

dubbio alle facoltà proto-aritmetiche presenti nell'animale e nei bambini molto piccoli:

può codificare con precisione solo gli insiemi il cui numero cardinale non superi il 3 e,

più i numeri sono grandi e vicini tra loro, maggiore è la facilità con cui li confonde. Dehaene, 2010

Come funziona il nostro cervello rispetto ai numeri?


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visivo arabico

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Verbale udi0vo

«se2e»

Analogico S-ma

B

A

C C΄

D D΄

MODELLO DEL TRIPLO CODICE (Dehaene, 1992)


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Fattori cognitivi

Left hemisphere Right hemisphere

Mapping brain dysfunction in Dyscalculia «Core Deficit» hypothesis:

Deficit in the Approximate Magnitude system

(Butterworth, 1999; Gersten & Chard, 1999; Wilson & Dehaene, 2007)

«Access» hypothesis : Deficit Exact Number Representation and the link between Arabic –Magnitude Representation (Rouselle & Noël, 2007, 2011)

A. Baccaglini-Frank


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Defining DD is challenging... A constraint on the depth of our knowledge in this area stems from the paucity of research on DD, particularly relative to research on other learning

disorders... A related obstacle is the lack of universal classification criteria for DD, leading to inconsistent composition of DD samples across studies... Until recently, assessment-based cut-

off scores used to define DD samples were also highly variable.

Mazzocco (2005), Mazzocco & Pekka Räsänen (2013)


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Ipotesi (tipica) di fondo della psicologia cognitiva e delle neuroscienze

Le abilità matematiche sono innate o stabili, spesso anche con sviluppo tipico “predefinito”. Dunque le difficoltà dipendono da una disabilità, probabilmente causata da certi deficit neurologici o sviluppo atipico (potenzialmente causato dai deficit).

(e.g., Butterworth, 2005; Shalev et al., 2001; Augustyniak, Murphy, & Phillips, 2005; Fuchs et al., 2007)


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L’esposizione culturale gioca un ruolo fondamentale

Attenzione che per quanto ci possano essere delle predisposizioni con cui si nasca, non è pensabile che da solo un bambino possa scoprire da solo tutta la matematica nell’arco della sua vita.


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(Karagiannakis, Baccaglini-Frank & Papadatos, 2014)

Si possono ri-organizzare le principali ipotesi avanzate in psicologia e

neuroscienze per studiare i “profili di apprendimento matematico” degli

studenti.


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(Karagiannakis, Baccaglini-Frank & Papadatos, 2014; Karagiannakis, Baccaglini-Frank, & Roussos, under review)

Modello delle componenti cognitive dei ‘profili di apprendimento matematico’


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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6. Number Lines 0-‐100

7. Ordinality

2. Number magnitude comparison

1.Subi-zing-‐Enumera-on

3.Dots magnitude comparison

4. Addi-on fact retrieval

5.Mul-plica-on facts retrieval

10. Calcula-ons principles

9. Maths terms

8. Number Lines 0-‐1000

13. Word problems

12. Equa-ons

11. Mental calcula-ons

Performance (Stanine scale)

Student 1

Student 2

Memory

Reasoning

Core number

Visual-‐spa0al


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Stile “lombrico” e stile “grillo” Stile lombrico: attaccato alle formule, procedurale, sequenziale, bisogno di documentare tutto Stile grillo: olistico, intuitivo, oppongono resistenza alla richiesta di documentare il loro pensiero.

(Marolda & Davidson, 2000; Chinn, 2012)


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Fattori didattici e sociali A. Baccaglini-Frank

In generale, tali fattori vengono studiati sempre di più con quadri teorici di riferimento socio-culturali. Si tende ad un superamento dei modelli “multi-deficit”, inquadrando il fallimento dello studente in una dimensione collettiva che include l’insegnante e il “milieu” sociale.

(per es., Frade, Acioly-Régnier & Jun, 2013; Ben-Yehuda, Lavy, Linchevski & Sfard, 2005; Solomon, 2007; Heyd-Metzuyanim, 2012)


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Uno studio di Einat Heyd-Metzuyanim

Lo studio offre una prospettiva innovativa sulle difficoltà di apprendimento in

matematica, descrivendo la costruzione di un’identità di fallimento in matematica dovuta a meccanismi nell’interazione

intercorsa tra una studentessa e l’insegnante durante un processo di

insegnamento-apprendimento durato diversi mesi.


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Un (necessario) cambiamento di paradigma

Non c’è “disfunzione” da “recuperare/compensare” perché uno studente con MLD possa essere incluso nel curriculum progettato per studenti “normali” e “rimanere al passo”. L’obiettivo della didattica dovrebbe essere quello di massimizzare il potenziale di ciascuno studente di sviluppare un linguaggio matematico (in senso lato).

(Santi & Baccaglini-Frank, 2015)


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due approcci al problema delle difficoltà di

apprendimento in matema-ca

strategie compensa-ve (rapide da

insegnare) per sopravvivere

alla matema-ca scolas-ca

intervento in profondità che può portare anche ad una revisione del programma didaTco


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Esempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank

Esempi di proposte didattiche

Nel progetto PerContare (tra il 2011 e il 2014), grazie ad un lavoro congiunto tra didattici della matematica e psicologi cognitivi, abbiamo sviluppato varie attività per un buon avvio all’aritmetica, a partire dalla transizione dalla scuola dell’infanzia alla scuola primaria.

(altre informazioni a percontare.asphi.it)


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A. Baccaglini-Frank

Entità stimata del fenomeno “falsi positivi”

Esempi di proposte didattiche - PerContare


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A. Baccaglini-Frank Esempi di proposte didattiche - PerContare

Fondamenta teoriche delle pratiche didattiche elaborate

Alcuni elementi chiave ripresi dalla letteratura in didattica della matematica, psicologia cognitiva e neuroscienze sono: •  lo sviluppo di “number sense”; •  i canali privilegiati per l’accesso e la produzione

dell’informazione; •  l’uso di artefatti nella didattica laboratoriale; •  la Teoria della Mediazione Semiotica.


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Gli elementi chiave per lo sviluppo di “number sense”

•  potenziamento di alcune abilità componenti del “number sense” legate anche all’uso delle dita: gnosia digitale, subitizing (Butterworth, 1999; Gracia-Baffaluy & Noël 2008; Baccaglini-Frank & Maracci, in press);

•  consapevolezza della relazione parte-tutto, o “complementarità” (Resnick et al., 1991; Schmittau, 2011);

•  consapevolezza di “struttura” in ambito numerico (Mulligan & Mitchelmore, 2013).


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informazione

Visivo-‐verbale A-‐B-‐C

Visivo non verbale

Udi-vo

Cineste-co-‐ taTle

Si impara leggendo

Si impara sulla base di una memoria visiva.

Si impara ascoltando

Si impara facendo

(Stella e Grandi, 2012)

Canali di accesso e di produzione dell’informazione


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informazione

Visivo-‐verbale A-‐B-‐C

Visivo non verbale

Udi-vo

Cineste-co-‐ taTle

Si impara leggendo

Si impara sulla base di una memoria visiva.

Si impara ascoltando

Si impara facendo

(Stella e Grandi, 2012)

Canali di accesso e di produzione dell’informazione


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Guida Classe prima Progetto PerContare

INDICE GRAFICO DEI PERCORSI

BUO

NE

ABI

TUD

INI

PRIM

E A

TTIV

ITA

’

CO

MPL

EMEN

TARI

ETA

’ DEI

NU

MER

I

Introduzione numeri 1-9 I numeri con le mani I numeri con contamani Complementarietà gioco

Introduzione scomposizioni Scomposizioni numeri 1-9 Introduzione 10

NO

TAZI

ON

E D

ECIM

ALE

PO

SIZI

ON

ALE

Introduzione 10

BEE-

BOT

E SP

AZI

O Gioco per la decina Gioco per la decina

Introduzione 10 con linea num. Introduz. 10 con linea num. Rappresentaz. Numeri con mani Giochi mani e contamani

AV

VIO

AL

CALC

OLO

Giochi mani e contamani Gioco intro segno +

Gioco intro segno -

PRO

BLEM

I CO

N

VA

RIA

ZIO

NE

Relazione complementarietà Linea num. finestra scorrevole Rappres. numeri cannucce Avanti-indietro linea num. Confrontare i numeri Confronto numeri Pari e dispari Bee-bot e linea numeri Cannucce e scatole trasp. Calcolo a mente Scopriamo pascalina

Approfondiamo pacalina Gioco con pascalina Gioco pascalina Add. e sott. con pascalina

Intro abaco e b.abaco Lavoro con abaco o b.abaco Lavoro con abaco o

b.abaco

I contenuti delle guide didattiche: classe prima


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I contenuti delle guide didattiche: classe seconda

Guida Classe seconda Progetto PerContare

INDICE GRAFICO DEI PERCORSI

BUO

NE

ABI

TUD

INI C

ON

G

LI S

TRU

MEN

TI(*

)

Gioco con la pascalina *

Introduzione abaco o b.abaco Lavoriamo con abaco o b.abaco Confronto strumenti

NU

MER

I FIN

O A

100

Confronto fra strumenti

Lavoriamo con abaco e b.abaco * Viaggiando fra i numeri *

CALC

OLO

Calcolo a mente * Numeri oltre 20 * Addizione e sottraz. 1

MIS

URA

Introduzione misura bee-bot

Gioco con la pascalina * Addizione e sottraz. 2 Avvio calcolo in colonna

Moltiplicaz- diagrammi Da diagrammi a operaz. 1 Tavolona pitagorica Posizione tavola pitagorica La simmetria Completare buchi

Numeri pari e dispari 1 Multipli: linea e cannucce Numeri pari e dispari 2 Misura quantità continue 1

Misura quantità continue 2 Misura quantità continue 3 Operazioni contestualizzate


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(Baccaglini-Frank & Scorza, in preparazione)

Dati di uno studio longitudinale

anno di entrata nel proge2o

Classi Sperimentali Classi di Controllo

Primo Anno (2011)

4% 7%

Secondo Anno (2012)

(ancora) ND

(ancora) ND

Percentuali di bambini “a rischio” o con diagnosi (in classe terza) di DE pura o in comorbidità

•  varietà nelle strategie •  elevata accuratezza (da

subito) •  nessun bambino non

risponde •  tempi più lunghi (di ca 3 m)

di automa-zzazione dei faT

•  strategie “standardizzate” •  accuratezza minore •  vari bambini non rispondono nel calcolo:


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A. Baccaglini-Frank Esempi di proposte didattiche

Idee per una didattica inclusiva nella scuola secondaria •  la costruzione e il recupero del significato delle nozioni algebriche e geometriche si possono realizzare tramite un registro di rappresentazione di tipo visuo-spaziale piuttosto che di tipo prevalentemente verbale. •  L’approccio visuo-spaziale, che caratterizza l’idea didattica più innovativa, sembra essere efficace sia per attribuire significato ai concetti algebrici (variabile, espressioni, equazioni, ecc.) sia alle procedure manipolative (legate, per esempio, alla soluzione delle equazioni e realizzate tramite l’applicazione di regole e proprietà). •  Ciò suggerisce l’importanza, dal punto di vista didattico, delle modalità, degli strumenti e dei contesti con i quali i concetti matematici vengono proposti. Gli strumenti (siano essi carta e penna, abaco, software…) possono mediare l’introduzione di una nuova nozione matematica in modi diversi fornendone, di fatto, diverse rappresentazioni sulla base delle quali elaborare immagini e modelli mentali.


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Esempi di proposte didattiche – Risorse BES A. Baccaglini-Frank


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Tangente e derivata Alice e Filippo non hanno ben chiaro il legame tra le nozioni di tangente e derivata e discutono tra di loro.


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Senti Filippo, io ho studiato le definizioni di derivata e di tangente, e so anche le regole per calcolare la derivata di molte funzioni…

ma alla fine non so bene che cosa immaginarmi quando parlo di derivata.

Invece quando penso alla tangente di una funzione mi vedo una retta che è tangente al

grafico...ma che cosa c'entra con la derivata? Che confusione…


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Beh, non sono la persona migliore per parlarti di teoria, ma la prima cosa che io

visualizzo per aiutarmi a legare la tangente alla derivata è proprio la "m" della retta tangente, cioè il coefficiente angolare, e questo te lo dà, per ogni

punto, la derivata.


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È una questione molto interessante! Vale la pena di approfondirla. Vi ho costruito

questo file (funz_tg.ggb) perché possiate rifletterci ancora un po`.

La funzione nel file è

1-x2 f(x)= ----------- x2+x+2

Cercate di capire che cosa rappresenta la traccia del punto

B.


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Grazie per l’attenzione.


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Bibliografia ASPHI (2011). Il progetto PerContare. All’indirizzo percontare.asphi.it Augustyniak, K., Murphy, J., & Phillips, D. K. (2005). Psychological perspectives in assessing mathematics learning needs. Journal of Instructional Psychology, 32, 277–286. Baccaglini-Frank, A. (2013a). Analisi delle Potenzialità di Applicazioni Multi-Touch per la Costruzione del Significato di Numero Naturale. Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, 36 A N.3, 237-262. Baccaglini-Frank, A. (2013b). Cap. 13, L’uso di ambienti digitali per l’apprendimento. In Elisabetta Genovese, Enrico Ghidoni, Giacomo Guaraldi (a cura di), Discalculia nei giovani adulti Indicazioni e strumenti per uno studio efficace. (153 -158) Erickson Editore. Baccaglini-Frank, A. (2013c). Cap. 14, Agevolare la costruzione di significati matematici con l'uso di software. In Elisabetta Genovese, Enrico Ghidoni, Giacomo Guaraldi (a cura di), Discalculia nei giovani adulti Indicazioni e strumenti per uno studio efficace. (159-190). Baccaglini-Frank, A. (2014). Trattamento dello zero nel progetto PerContare. L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, 37 A N.3, 257-282. Baccaglini-Frank, A. e Gamberini, F (2014a). Guida alle attività per la matematica classe prima. Disponibile online presso l’indirizzo percontare.asphi.it Baccaglini-Frank, A. e Gamberini,F (2014b). Guida alle attività per la matematica classe seconda. Disponibile online presso l’indirizzo percontare.asphi.it Baccaglini-Frank, A. & Scorza, M. (2013a). Il Progetto PerContare – pratiche per una “buona didattica” e metodi per la rilevazione di bambini con difficoltà in matematica. Al convegno “Incontri con la matematica XXVII”, Castel S. Pietro Terme, 8-9-10 novembre 2013.


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Bibliografia Baccaglini-Frank, A. e Scorza, M. (2013b). Gestire gli studenti con DSA in classe uso delle mani e della linea dei numeri nel progetto PerContare. In C. Cateni, C. Fattori, R. Imperiale, B. Piochi, e P. Vighi, Quaderni GRIMeD n. 1, 183-190. Baccaglini-Frank, A. e Robotti, E. (2013). Gestire Studenti con DSA in Classe - Alcuni Elementi di un Quadro Comune, In: ‘Atti del XVIII Convegno Nazionale GRIMeD, 23 - 24 Marzo 2013’, Bologna: Pitagora ed. Butterworth, B. (2005). Developmental dyscalculia. In: J. D. Campbell (Ed.), Handbook of mathematical cognition. New York and Hove, East Sussex: Psychology Press (p. 455–67). Chinn, S. (2012). The trouble with maths. Second Edition. London: Routledge. Dehaene, S. (2010), Il pallino della matematica. Scoprire il genio dei numeri che è in noi. Raffaello Cortina Editore, Milano. Fuchs, L. S., Compton, D. L., Fuchs, D., Paulsen, K., Bryant, J. D., & Hamlett, C. L. (2005). The prevention, identification, and cognitive determinants of math difficulty. Journal of Educational Psychology, 97, 493–513. Gelman, R., & Gallistel, L.C.R. (1978). The child’s understanding of number. Cambridge, MA: Harvard University Press. Karagiannakis, G., Baccaglini-Frank, A., & Papadatos, Y. (2014). Mathematical learning difficulties subtypes classification. Frontiers in Human Neuroscience, 8:57, doi:10.3389/fnhum.2014.00057. Karagiannakis, G., & Baccaglini-Frank, A. (2014). The DeDiMa Battery: A Tool for Identifying Students’ Mathematical Learning Profiles. Health Psychology Review, 2(4), doi: 10.5114/hpr.2014.46329


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Bibliografia Lucangeli, D. (2005). National survey on learning disabilities. Rome: Italian Institute of Research on Infancy. Marolda, M.R. & Davidson, P.S. (2000). Mathematical learning profiles and differentiated teaching strategies. Perspectives, 26(3), 10-15. Noël, MP. (2005). Finger gnosia: a predictor of numerical abilities in children? Child Neuropsychology, 11: 1–18. Santi, G., & Baccaglini-Frank, A. (2015). Possible forms of generalization we can expect from students experiencing mathematical learning difficulties. PNA, Revista de Investigaciòn en Didàctica de la Matemàtica, Universidad de Granada, España. Shalev, R. S., Manor, O., Kerem, B., Ayali, M., Badichi, N., Friedlander, Y., & Gross-Tsur, V. (2001). Developmental dyscalculia is a familial learning disability. Journal of Learning Disabilities, 34(1), 59–65. Simon, T., Hespos, S. J., & Rochat, P. (1995). Do infants Understand Simple Arithemtic? A Replication of Wynn (1992). Cognitive Development, 10(2), 253–269. Steffe, L., Cobb, P., & Von Glasersfeld, E. (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer-Verlag. Wynn, K. (1992). Addition and subtraction in human infants. Nature, 358, 749-759. Zan, R. (2007). Difficoltà in matematica – Osservare, interpretare, intervenire. Springer. Stella, G. & Grandi, L. (2012). Come leggere la dislessia. Giunti.

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Materiali disponibili su:

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