diapozitivul 1 - euedia 14.pdf · 15.12.2014 1 u y fig. 2.83 2.5.2.3. elementul de întârzir de...
TRANSCRIPT
-
15.12.2014
1
u y Fig. 2.83
2.5.2.3. Elementul de întârziere de ordinul doi, T2
Elementul de întârziere de ordinul doi conţine douǎ elemente
acumulatoare de energie sau substanţǎ.
Pentru elementul de ordin doi ecuaţia diferenţialǎ se poate
scrie în mai multe forme, ca de exemplu
0 b ,0 > a ,a ,u(t)b = y(t)a + (t)ya + (t)y 01000(1)
1(2)
k = a
b ,T + T =
a
a ,TT =
a
1p
0
021
0
121
0 (2.565)
(t)u k = (t)y + (t)y) T + T( + (t)y TT p(1)
21(2)
21(2.567)
TT
T + T
2
1 = ,
TT
1 =
21
21
21
n
u(t). k = y(t) + (t)y 2 + (t)y2np
2n
(1)n
(2) (2.569)
T1, T2 sunt constantele de timp, kp este factorul de
amplificare, ωn - pulsaţia naturalǎ, ξ - factorul de
amortizare.
Funcţia de transfer a elementului T2 este
. + s 2 + s
k =
1 + s)T + T( + s TT
k = H(s)
2nn
2
2np
212
21
p
(2.570)
Ecuatia caracteristica si rǎdǎcinile ei sunt:
-
15.12.2014
2
0 = 1 + s)T + T( + s TT ; 0 = + s 2 + s 212
212nn
2
T
1 - = s sau ) 1 - (- = s
1,2
1,22
n1,2 (2.572)
În funcţie de valoarea factorului de amortizare ξ se disting patru
cazuri
1) elementul T2 aperiodic: ξ > 1.
. 0 > T > T ,T
1 - = s ;
T
1 - = s 21
2
2
1
1
)(
1)()()(
21
21
312
21
11
teeTT
k
sTTsTT
kLsHLth
T
t
T
t
p
p
.0lim ; )0( ;0)0(2
21
)1( = h(t) kTT
khh
tnp
p
Rǎspunsul la impuls are expresia
(2.574)
Rǎspunsul la impuls este reprezentat în fig. 2.85.
h(t)
h(t)
Fig. 2.85
Rǎspunsul indicial se obţine cu relaţia (2.575) si este
reprezentat grafic in fig. 2.85
-
15.12.2014
3
(2.575)
2) elementul T2 aperiodic critic: ξ = 1.
0. > T = T , - = T
1 - = s = s 21n
1
21
. T
k = )0(h ,0 = )0h(
(t)e t T
k =
)1 + sT(
k L = } H(s) { L = h(t)
21
p+
(1)+
T
t-
21
p
21
p-1-11
(t). e T
t + 1 - 1 k =
= )1 + sT( s
k L =
s
H(s) L = w(t)
T
t-
1
p
21
p-1-1
1
. k = w(t) ; 0 = )0(w ,0 = )0w(
(t) e T - T
T + e
T - T
T - 1 k
= 1 + )sT + T( + sTT
k
s L =
s
H(s) L = w(t)
p t
+(1)
+
T
t-
21
2T
t-
21
1p
212
21
p-1-1
21
lim
1
. k = w(t) ; 0 = )0(w ,0 = )0w( p t
+(1)
+ lim
3) Elementul T2 oscilant: 0 < ξ < 1.
. - 1j - = s 2n1,2
(t). t - 1 e - 1
k =
= + s 2 + s
k L = } H(s) { L = h(t)
2n
t -
2
np
2nn
2
2np-1-1
n
sin
(t). - 1
arctgsin2
+ t - 1 - 1
e - 1 k =
= ) + s 2 + s( s
k L = }
s
H(s) { L = w(t)
2n2
t -
p
2nn
2
2np-1-1
n
Punctele de extrem relativ ale funcţiei (2.584) au abscisele
si ordonatele:
-
15.12.2014
4
. . . 2, 1, 0, = l , - 1
l = t
2n
l
. 4 2, 0, = l , e - 1 k
... 5, 3, 1, = l , e + 1 k = )tw(
t -p
t -p
lln
ln
2.587)
Fig. 2.86
Valoarea maximǎ a rǎspunsului se obţine pentru l = 1
e + 1 k = )t w(= y = w 2 - 1
-p1M
max e = y
y - y = 2 - 1
-
s
s
max
Deoarece în regim staţionar w(t) = y(t) = ys = kp, se determinǎ
suprareglarea rǎspunsului indicial, conform relaţiei (2.456)
e = y
y - y = 2 - 1
-
s
s
max (2.589)
Se defineşte decrementul oscilaţiilor λ ca fiind raportul
amplitudinilor a douǎ „pulsuri” de aceiaşi semn ale
regimului tranzitoriu.
. 1 l ,e = )t (w
)t ( w = 2 - 1
2-
-12lt
1+2lt
(2.590)
Din relaţia (2.590) se poate determina factorul de amortizare ξ
+ 4
=
22ln
ln
(2.591)
Se pun in evidenta douǎ regimuri limitǎ:
-
15.12.2014
5
• pentru ξ = 0, λ = 1, oscilaţiile nu se amortizeazǎ şi din
(2.584) rezultǎ un regim oscilant
0 t ,) t - 1 ( k = w(t) np cos (2.592)
- pentru ξ = 1, se obţine regimul aperiodic critic: w(t) dat de (2.578).
Durata regimului tranzitoriu, conform relaţiilor (2.458) - ( 2.462),
pentru o abatere Δ = 0.02kp = 0.02wp, rezultǎ cǎ este datǎ de
relaţia
.
4 t ) ( ,k0,02 < | (t)w - w(t)| ;
4 = t
n
pp
n
t
(2.593)
4) Elementul T2 conservativ, ξ = 0.
Pentru ξ = 0 rǎdǎcinile ecuaţiei caracteristice sunt pur imaginare
. j = s n1,2 (2.594)
Rǎspunsul la impuls se obţine din (2.580) pentru
ξ = 0
(t) ) t ( k = h(t) nnp sin (2.595)
Rǎspunsul indicial este dat de ecuaţia (2.592).
Funcţiile h(t) şi w(t) pentru ξ = 0 sunt oscilaţii neamortizate,
cu pulsaţia egalǎ cu pulsaţia naturalǎ ωn .
Pentru 0 ξ < 1 elemetul T2 nu mai poate fi descompus în
elemente de ordinul unu (T1) contituind el însuşi un element
tip. În fig. 2.88.a,b. se prezintǎ rǎspunsul la impuls h(t)
respectiv rǎspunsul indicial w(t) ale elementului T2 pentru ξ ε [0,1].
Rǎspunsul la frecvenţǎ al elementului T2 se obţine înlocuind
s = jω în funcţia de transfer .
n2
p
n22
n
2np
= 2j + - 1
k =
2j + -
k = )H(j ; (2.596)
Expresiile pentru caracteristicile de
frecvenţǎ sunt:
-
15.12.2014
6
2222
2p
22n
2222n
22n
2np
R 4 + ) - (1
) - (1k =
4 + ) - (
) - ( k = )(H
2222
p
22n
2222n
3np
I 4 + ) - (1
k2- =
4 + ) - (
k 2- = )(H
(2.598)
(2.599)
(2.600)
(2.601)
2222
p
22n
2222n
2np
4 + ) - (1
k =
4 + ) - (
k = )M(
- 1
2 arctg - =
-
2 arctg
222n
n
- = )(
Caracteristica HR(ω) prezentatǎ în fig. 2.89, admite un maxim,
pentru ξ < 1/2, de coordonate
2
p
R1 -
1
4
k = )(H ; 2 - 1 = max (2.602)
iar pentru orice ξ 0 admite un minim de coordonate
2
p
R2 +
1
4
k - = )(H ; 2 + 1 = min (2.603)
Caracteristica HI(ω) prezentatǎ în fig. 2.89 este negativǎ şi are un minim de abscisǎ
< < ,3
1 + - 2 + 2 - 1 = 231
242
3
(2.604)
Fig. 2.89
-
15.12.2014
7
Caracteristica M(ω), fig. 2.90, pentru ξ < 1/2, are un maxim , de
coordonate (r,Mr) , care evidentiaza un fenomen de
rezonanta
) M(= M = 2 - 1 2
k = )(M ; 2 - 1 = rr2
p2
r
max (2.605)
Fig. 2.90
Pulsaţia de rezonanţǎ
rezultǎ din relaţia (2.605)
n2
nrnr < 2-1 = =
Se defineşte factorul de
rezonanţǎ Q,
2
r
2-1 2
1 =
M(0)
)(M =
M(0)
)M( = Q max
(2.607)
Caracteristicile M(ω) şi φ(ω) sunt prezentate în fig. 2.90.
Pentru locul de transfer al elementului T2 se utilizeazǎ o
reprezentare graficǎ adimensionalǎ, fig. 2.91; pentru kp =
1 si diferite valori ale factorului de amortizare ξ, pentru
pulsaţia normatǎ η (0, + ) se traseazǎ
Fig. 2.91
-
15.12.2014
8
Caracteristica atenuare-frecvenţǎ este datǎ de relaţia
4 + ) - (1 lg 20 - k lg
= 4 + )2 - (1
k lg 20 = )M( lg
2222p
222
p
20
20 = )(AdB
(2.608)
1 » pentru k lg p 20 = )(AdB
Caracteristica are asimptotele , pantele
lg 40 - = lg 40 - k lg 20 = lg 20 - k lg p2
p 20 = )(AdB
m1 = m0 - 40 dB/dec = - 40 dB/dec
m0 = 0 dB/dec;
Pulsaţia de frângere, pentru care cele douǎ asimptote se intersecteazǎ este
1 = , = nf
Asimptotele caracteristicii fazǎ - frecvenţǎ se obţin din relaţia
(2.601)
1 « pentru - = )(
; 1 » pentru 0 = )(
(2.612)
La pulsaţia de frângere η = 1, faza are valoarea - π/2.
- π/2.
- π/2.
- π
Fig.2.92
-
15.12.2014
9
. dt
d J = i k = m
dt
i d L + i R = k - u
a2m
aaaa1a
Eliminând curentul ia din ecuaţiile (2.616) şi notând y(t) = ω(t)
şi u(t) = ua se obţine ecuaţia
Exemple de elemente T2 : 1. Motorul
de curent continuu.
Ecuaţiile de functionare a motorului sunt
(2.516)
u(t) = y(t) k + (t)y k
JR + (t)y
k
JL1
(1)
2
a(2)
2
a u(t) J L
k = y(t)
J L
k k + (t)y
L
R + (t)y
a
2
a
21(1)
a
a(2)
Se introduc notaţiile
k
1 = k ;
Lkk 2
J R =
T
T
2
1 =
; TT
1 =
JL
kk = ;
R
L = T ;
kk
JR= T
1
p
a21
a
a
m
ama
212n
a
aa
21
am
(2.619)
(2.618)
unde Tm este constanta de timp electromecanicǎ a motorului; Ta este
constanta de timp a circuitului rotoric.
Ecuaţia (2.618) devine
u(t) k = y(t) + (t)y 2 + (t)y2np
2n
(1)n
(2)
(2.620)
Pentru ξ 1, Tm 4Ta, rǎdǎcinile ecuaţiei caracteristice ale
ecuaţiei (2.620) sunt reale negative, deci motorul de curent
continuu este un element T2 aperiodic; pentru ξ < 1, Tm <
4Ta, motorul de curent continuu este un element T2 oscilant.
3) Fie sistemul hidraulic prezentat în fig. 2.93 format din douǎ
rezervoare legate în serie printr-o rezistenţǎ hidraulicǎ. Se
presupune cǎ prin robinetele V0 , V1 , V2 curgerea este laminarǎ,
iar rezistenţele hidraulice ale acestor robinete sunt R0, R1 , R2.
-
15.12.2014
10
Fig.2.93
Ecuaţiile de echilibru de masǎ pentru cele douǎ rezervoare
sunt
dt )q - q( = h d A
dt )q - q( = h d A
3222
2111
R
gh = q ;
R
gh = q
2
23
1
12
(2.621)
Eliminând variabilele intermediare se obţine ecuaţia
generalǎ a ansamblului celor 2 rezervoare având ca
mǎrime de ieşire nivelul h2(t), deci y(t) = h2(t) şi ca
mǎrime de intrare debitul q1; deci u(t) = q1(t).
. u(t) g
R = y(t) + (t)y
g
R A +
g
RA + (t)y
g
R A
g
R A 2(1)2211(2)2211
(2.623)
u(t) k = y(t) + (t)y )T + T( + (t) y T T p(1)
21(2)
21
0 > g
R = k ; 0 >
g
R A = T ; 0 >
g
R A = T
2p
222
111
(2.625)
Rǎdǎcinile ecuaţiei caracteristice asociate ecuaţiei (2.625)
sunt reale, distincte, negative şi, deci, ansamblul celor douǎ
rezervoare se comportǎ ca un element T2 aperiodic.
-
15.12.2014
11
2.5.2.6. Elementul „trece-tot”
Este un element descris de o ecuaţie diferenţialǎ de forma
u(t) + (t)u T - = y(t) + (t)y T(1)
1(1)
1(2.654)
respectiv de funcţia de transfer
1 + sT
1 + sT- = H(s)
1
1(2.655)
Rǎspunsurile la impuls si indicial sunt
0 = )h(+ ,T
2 = )0h( ,(t) e
T
2 + (t)- =
=
T
1 + s
1
T
2 + 1- L = H(s)} { L = h(t)
1
+T
t-
1
1
1
-1-1
1
(2.656)
1. = ) w(+ ,1 - = )0w(
(t), e2 - 1 =
T
1 + s
2 -
s
1 L =
s
H(s) L = w(t)
+
T
t-
1
-1-11
(2.657)
Aceste rǎspunsuri sunt reprezentate grafic în fig. 2.101.
Fig. 2.101
Pentru s = jω din (2.655) se obţine rǎspunsul la frecvenţǎ
, + 1
j2 - - 1 =
T + 1
Tj2 - T - 1 =
1 + j T
1 + j T- = )H(j
2
2
221
122
1
1
1
(2.658)
-
15.12.2014
12
η = ωT1
Caracteristicile de frecvenţǎ au expresiile
2221
1I
2
2
221
221
R
+ 1
2- =
T + 1
T2- = )(H
; + 1
- 1 =
T + 1
T - 1 = )(H
(2.659)
Dacǎ se eliminǎ η între HR(ω) şi HI(ω) din (2.659) se
obţine ecuaţia locului de transfer
1 = )(H + )(H2I
2R
. - 1
2 arctg - =
T - 1
T2 arctg
2221
1
- = )( ; 1 = )M(
(2.661)
care este un cerc cu centrul în originea planului HR(ω), jHI(ω)
şi de razǎ unitarǎ, fig. 2.102.
Elementul „trece-tot ” permite trecerea
uniformǎ a tuturor frecvenţelor cu introducerea
unor defazaje funcţie de frecvenţǎ.
Din acest motiv se mai numeşte şi element defazor pur.
Fig. 2.102
Exemple de sisteme fizice care se comportǎ ca un element
„trece- tot ”.
1) Se considerǎ un termometru cu mercur. La o creştere
bruscǎ a temperaturii mediului exterior (care constituie
mǎrimea de intrare), are loc mai întâi dilatarea tubului de
sticlǎ, ceea ce produce iniţial o scǎdere a nivelului
mercurului. Apoi pe mǎsurǎ ce mercurul se încǎlzeşte,
nivelul acestuia creşte, urmǎrind creşterea temperaturii.
-
15.12.2014
13
2.5.2.7. Elemente de fazǎ minimǎ şi neminimǎ
Se pune întrebarea în ce condiţii între M(ω) şi φ(ω) existǎ o relaţie bine determinatǎ, astfel ca sistemul sǎ poatǎ fi
caracterizat numai de una din aceste douǎ caracteristici de
frecvenţǎ.
Fie rǎspunsul la frecvenţǎ a unui sistem dinamic
. )(Hj + )(H = )H(j IR (2.662)
Dacǎ H(s) este o funcţie de transfer care are poli şi zerouri
numai în Re s < 0, atunci sunt verificate transformatele Hilbert
inversa reatransforma - d -
)(H
1 = )(H
direct reatransforma - d -
)(H
1 - = )(H
I
-R
R
-I
a
(2.663)
în care ω este pulsaţia în [rad/s]
Din expresia rǎspunsului la frecvenţǎ, scrisǎ sub forma polarǎ
e ) M(= )H(j)(j
) M( )A()(j + )A( =
)(j + ) M( = e) M( = )H(j = )(jH)(j
l
ln ;
lnlnln
rezultǎ
(2.664)
(2.665)
A(ω) se numeşte atenuare.
Hl(s) corespunde funcţiei de transfer
P(s) - Q(s) = P(s)
Q(s) = H(s) = (s)H l lnlnlnln (2.666)
Zerourile polinoamelor Q(s) şi P(s) sunt singularitǎţi pentru funcţia Hl(s). Aceastǎ funcţie este olomorfǎ daca aceste
rǎdacini se afla în Re s
-
15.12.2014
14
Pentru sistemele liniare care satisfac transformarea (2.667),
deci care au funcţii de transfer cu zerouri şi poli numai în
Re s < 0, Hl(s) satisface relaţiile transformatei Hilbert (2.663)
care devin
-
)(
1 = )A( ; d
-
)A(
1- = )(
--
(2.668)
Relaţiile (2.668) se numesc condiţiile lui Bode şi satisfac o
legǎturǎ biunivocǎ între A(ω) şi φ(ω) pentru o anumitǎ
clasǎ de sisteme numite sisteme de fazǎ minima.
Definitie. Sistemele monovariabile ale cǎror funcţii de
transfer au poli şi zerouri numai în Re s < 0 se numesc
sisteme de fazǎ minimǎ .
Sistemele monovariabile ale cǎror funcţii de transfer au
poli numai în Re s < 0 şi zerouri în tot planul s se
numesc sisteme de fazǎ neminimǎ.