dfndkjnfd

Ödev-1

• Bir şirkette birbiri peşisıra üç işlemden geçen iki ürün günde 10 saatlik bir çalışma sonucunda üretilmektedir. Aşağıdaki tabloda problemin verileri özetlenmiştir.

Ürün 1. İşlem (dk) 2. İşlem (dk) 3. İşlem (dk) Birim kar

1 10 6 8 2

2 5 20 10 3

A. İki ürünün en uygun karışımını belirleyiniz. (kar maksimizasyonu)B. Üç işleme merkezinin de büyütülmesi gerektiğini kabul edersek,

uygun sıralamayı belirleyiniz, nedenini açıklayınız.

X1:birinci tip ürün-adet

X2:ikinci tip ürün-adet

Zmaks=2X1+3X2

St

10X1+5X2<=600 (1. işlem kapasite kısıtı)



X1>=0 ve X2>=0

Grafikten de görüldüğü gibi 3. işlemin kapasitesi tam olarak kullanılmamaktadır.

Bu işlem için bolluk bulunduğundan, 3. işlem ait kısıt bir kıt kaynak değildir. Kıt olmayan kaynakların gölge fiyatı «sıfır»dır.

Optimal çözümX1=52,94X2=14,12

1. işlem kapasite kısıtı duyarlılık analizi

• 1. işlem kapasite kısıtı grafikte mavi renkli doğru parçası ile gösterilmiştir.

• Mavi renkli doğru parçasını, diğer kıt kaynak olan 2. işlem kısıtı doğrusu üzerinde (0,30) ve (60,12) noktaları arasında kaydırabiliriz.

• X1=0 ve X2=30 noktasında 1. işlem kapasitesi kısıtının sağ taraf sabiti 150, amaç fonksiyonu 90 ise değerini alır.

10*0+5*30=1502*0+3*30=90

• X1=60, X2=12 noktasında 1. işlem kapasitesi kısıtının sağ taraf sabiti 660, amaç fonksiyonu ise değerini alır.

10*60+5*12=6602*60+3*12=156

• 1. işlem kısıtının gölge fiyatı

•156−90

660−150=

66

510= 0,13

2. işlem kapasite kısıtı duyarlılık analizi

• 2. işlem kapasite kısıtı grafikte turuncu renkli doğru parçası ile gösterilmiştir.

• Turuncu renkli doğru parçasını, diğer kıt kaynak olan 1. işlem kısıtı doğrusu üzerinde (50,20) ve (60,0) noktaları arasında kaydırabiliriz.

• X1=50 ve X2=20 noktasında 2. işlem kapasitesi kısıtının sağ taraf sabiti 150, amaç fonksiyonu 90 ise değerini alır.

50*6+20*20=7002*50+3*20=160

• X1=60, X2=0 noktasında 2. işlem kapasitesi kısıtının sağ taraf sabiti 360, amaç fonksiyonu ise 140 değerini alır.

6*60+20*0=3602*60+3*0=120

• 2. işlem kısıtının gölge fiyatı

•160−120

700−360=

40

340= 0,117

Öneri

• Birinci işlem kapasite kısıtının gölge fiyatı:0,13

• İkinci işlem kapasite kısıtının gölge fiyatı:0,117

• Üçüncü işlem kapasite kısıtının gölge fiyatı:0

• Bu durumda kapasite arttırımına, kapasitesinin arttırılması halinde amaç fonksiyonuna en fazla katkıyı yapacak olan 1. işlem’denbaşlanmalı, ikinci işlem ile devam edilmelidir.

Simpleks Yöntemi4. hafta

Simpleks Yöntemi

• Doğrusal programlama problemlerini çözmede yaygınca kullanılan simpleks yöntemi ilk kez 1947 yılında G.B. Dantzig tarafından kullanılmıştır.

• Grafik yöntemi en fazla üç değişkenli problemlerin çözümünde elverişlidir. Uygulamada ise problemin değişkenleri çok daha fazla olduğundan gerçek doğrusal programlama problemlerinin çözümü simpleks yöntemi ile sağlanır.

• Yöntem cebirsel tekrarlama (iterasyon) işlemine dayanır. Yöntemde önce başlangıç simpleks tablosu düzenlenir sonra tekrarlayıcı işlemler ile belirli bir hesap yöntemi içinde gelişen çözümlere doğru ilerleyerek optimal çözüme ulaşıncaya kadar işlemler sürdürülür.

• Gelişen çözüm tablolarında amaç fonksiyonunun ve kara rdeğişkenlerinin değişen değerleri gözlenebilir. Simpleks yönteme başlamadan önce problemlerin doğru biçimde ifade edilmesi gereklidir.

• Simpleks algoritması çözüm noktalarını temel cebir mantığı kullanarak araştırır.

Simpleks Yöntemi

I. DP modeli kurulur.

II. Model Standart Formda yazılır.

III. Başlangıç simpleks tablo oluşturulur.

Zj ve Cj–Zj değerleri hesaplanır.

IV. Optimal çözüm elde edilene dek aşağıdaki aşamalar tekrarlanır:

1. Çözüme sokmak için en yüksek pozitif değere sahip Cj–Zjsütunu seçilir (Pivot sütun).

2. Çözümden çıkacak değişkenin sağ taraf oran testi ile belirlenmesi( Pivot satır).

3. Pivot satır için yeni değerlerin hesaplanması.

4. Diğer satırlar için yeni değerlerin hesaplanması.

5. Elde edilen tablo için Zjve Cj–Zjdeğerlerinin bulunması. Eğer sıfırdan büyük bir Cj–Zj değeri elde edilirse 1. aşamaya dönülür.Aksi durumda optimal çözüme ulaşılmıştır.

DP Maksimizasyon Problemlerini Çözmek için gerekli Aşamalar

Standart Form

Doğrusal programlama problemlerinin standart şekilde olması için aşağıdaki özellikleri taşıması gerekmektedir:

1. Bütün kısıtlamalar eşitlik olmalıdır.

2. Bütün değişkenler pozitif olmalıdır.

3. Amaç fonksiyonu maksimizasyon ya da minimizasyon olabilir.

DP Modellerinin standart forma çevrilmesi

• Eğer i. kısıtın tipi küçük eşitlik (≤ ) şeklindeyse si gölge değişkeni eklenerek eşitlik elde edilir.

• Gölge değişken: i. kısıt tarafından kullanılmayan kaynak miktarı. • 400x1+ 200x2 ≤ 700 400x1+200x2+s=0

• Eğer i. kısıtın tipi büyük eşitlik (≥) şeklindeyse ei atıl değişkeni eklenerek eşitlik elde edilir.

• Atıl değişken: i. kısıtın aşım miktarı. • 400 x1+ 200x2+ 150x3+ 500x4 ≥ 500 400x1+200x2+150x3+500x4+e=500

• Eğer i. kısıtın sağ taraf değeri negatif ise -1 ile çarpılır.

4x1-2x2 ≥ -26 -4x1+2x2≤26 -4x1+2x2+s=26

DP Modellerinin standart forma çevrilmesi• Eğer xi değişkeni serbest işaretli olarak verilmişse, xi' ≥0ve xi''≥ 0 şeklinde iki değişken

tanımlanır ve xi yerine konur.

Zmaks= 30x1 -4x2

5x1-x2 ≤ 30

x1≤ 5

x1≥ 0

x2 serbest

x2* problemin optimal çözümünde

negatif ya da pozitif değer alabilir.

x2=x2’-x2’’ olarak tanımlanır ve model aşağıdaki hale getirilir.

Zmaks= 30x1 -4(x2’-x2’’)

5x1-(x2’-x2’’) ≤ 30

x1≤ 5

x1≥ 0

x2’ ≥ 0

x2’’ ≥ 0

Zmaks= 30x1 -4x2’+4x2’’

5x1-x2’+x2’’ ≤ 30

x1≤ 5

x1≥ 0

x2’ ≥ 0

x2’’ ≥ 0

ÖrnekBir mobilya firması sıra, masa ve sandalye üretimi yapmaktadır. Her bir mobilyanın üretimi için tahta yanısıra boya ve marangozluk atölyelerinin aşağıdaki tabloda verilen sürelerde kullanılması gerekmektedir.

Firmanın elinde 48 m2 tahta, 20 saat boya ve 8 saat marangozluk atölyesi işgücü vardır. Bir sıranın satış fiyatı 60TL, bir masanın satış fiyatı 30TL, ve bir sandalyenin satış fiyatı 20TL’dir. Sıra ve sandalyeler için talep sınırsız olmasına rağmen, en fazla 5 adet masa satılabilmektedir. Bu mobilya firması mevcut kaynakları kullanarak kaçar adet mobilya üretmelidir? Firmanın elde edebileceği maksimum kazanç nedir?

Kaynak Sıra Masa Sandalye

Tahta(m2) 8 6 1

Boya Atölyesi(saat) 4 2 1,5

Marangozluk Atö.(saat) 2 1,5 0,5

Aşama I. DP Modelinin Kurulması

Karar Değişkenleri• x1 = Üretilen sıra miktarı

• x2 = Üretilen masa miktarı

• x3 = Üretilen sandalye miktarı

Amaç Fonksiyonu

Toplam gelirin maksimizasyonu

Zmaks= 60x1+30x2+20x3

Z maks=60x1+30x2+20x3

8x1+ 6x2+ x3≤48 (tahta kısıtı-m2)

4x1+ 2x2+1,5x3≤20 (boyama atölyesi kısıtı -saat)

2x1+1,5x2+0,5x3 ≤8 (boyama atölyesi kısıtı -saat)

x2 ≤5 (talep kısıtı -adet)

x1 , x2, x3≥ 0 (negatif olmama kısıtı )

Aşama I. DP Modelinin Kurulması

Z maks=60x1+30x2+20x3+0s1+0s2+0s3+0s4

8x1+ 6x2+ x3+s1 =48 (tahta kısıtı-m2)

4x1+ 2x2+1,5x3 +s2 =20 (boyama atölyesi kısıtı -saat)

2x1+1,5x2+0,5x3 +s3 =8 (boyama atölyesi kısıtı -saat)

x2 +s4 =5 (talep kısıtı -adet)

x1 , x2, x3,s1,s2,s3,s4≥ 0 (negatif olmama kısıtı )

Aşama II. Modelin Standart Formda Yazılması

Aşama III. Başlangıç Simpleks Tablosunun OluşturulmasıCj(1) 60 30 20 0 0 0 0

x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 ÇS

0 s1 8 6 1 1 0 0 0 48

0 s2 4 2 1,5 0 1 0 0 20

0 s3 2 1,5 0,5 0 0 1 0 8

0 s4 0 1 0 0 0 0 1 5

Zj 0

Cj-Zj

Amaç fonksiyonu satırıDeğişkenler satırıTeknolojik katsayılarTemel değişkenler

Zj satırıCj-Zj satırıAmaç fonksiyonu sütunuÇözüm sütunu

Cj(1) 60 30 20 0 0 0 0

x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 ÇS

0 s1 8 6 1 1 0 0 0 48

0 s2 4 2 1,5 0 1 0 0 20

0 s3 2 1,5 0,5 0 0 1 0 8

0 s4 0 1 0 0 0 0 1 5

Zj 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-Zj 60 30 20 0 0 0 0

0*1+0*1,5+0*0,5+0*0=020-0=20

• Cj-Zj satırı ilgili sütundaki değişkenin temel değişken olarak çözüme girmesi halinde amaç fonksiyonuna olacak olan katkısını göstermektedir.

• Bir maksimizasyon problemi için, amaç fonksiyonuna etkisi en büyük olan değişken, temel değişken olarak çözüme girer.

• Örnekte, amaç fonksiyonuna katkısı en yüksek olacak olan değişken x1 değişkenidir, bu nedenle x1 çözüme girecek olan değişken olarak belirlenir.

• Çözüme girecek olan değişkene ait olan sütuna pivot sütun denir.

Pivot sütunun belirlenmesi

Pivot satırın belirlenmesiCj(1) 60 30 20 0 0 0 0

x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 ÇS ÇS/Pivot Sütun

0 s1 8 6 1 1 0 0 0 48 48/8=6

0 s2 4 2 1,5 0 1 0 0 20 20/4=5

0 s3 2 1,5 0,5 0 0 1 0 8 8/2=4

0 s4 0 1 0 0 0 0 1 5 5/0

Zj 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-Zj 60 30 20 0 0 0 0

• Pivot satır, çözüm sütunundaki değerlerin, pivot sütunun ilgili satırındaki değerlere bölünmesi ile elde edilir. • ÇS/pivot sütun değeri en küçük pozitif sayıya sahip olan satırdaki temel değişken çözümden çıkacak olan temel

değişken olarak kabul edilir.• Pivot sayı: Pivot sütun ve satırın kesişimindeki sayıya pivot sayı denir.

Hatırlatma: x1 sırası sayısını belirten karar değişkeni, s3 ise gölge değişkeni boyama atölyesi kısıtına ait gölge değişkenidir. (2x1+1,5x2+0,5x3+s3=8) Boyama atölyesindeki tüm kapasitemizi sıra üretimi için kullandığımızı varsayarsak, üretebileceğimiz maksimum sıra adedi dörttür. (8/2=4)

X1 satırı pivot satırdaki her sayının yeni değeri, sayının pivot sayıya bölünmesi ile elde edilir.

X1 2/21

1,5/20,75

0,5/20,25

0/20

0/20

½0,5

0/20

8/24

Diğer satırlardaki sayılar aşağıdaki formüle göre elde edilir:Yeni değer= Eski değer-[(pivot sayının üstündeki veya altındaki sayı) x (yeni pivot satırda karşılık gelen değer)]

Eski s1 satırı 8 6 1 1 0 0 0 48

-(8*yeni temel değişken satırı) 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 4

Yeni s1 satırı 0 0 -1 1 0 -4 0 16

Yeni s1 satırının hesaplanması


Eski s2 satırı 4 2 1,5 0 1 0 0 20

-(4*yeni temel değişken satırı) 4 3 1 0 0 2 0 16

Yeni s2 satırı 0 -1 0,5 0 1 -2 0 4

X1 2/21

1,5/20,75

0,5/20,25

0/20

0/20

½0,5

0/20

8/24


Eski s4 satırı 0 1 0 0 0 0 1 5


Yeni s4 satırı 0 1 0 0 0 0 1 5

Cj 60 30 20 0 0 0 0

x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 ÇS ÇS/Pivot Sütun

0 s1 0 0 -1 1 0 -4 0 16 16/-1

0 s2 0 -1 0,5 0 1 -2 0 4 4/0,5=8

60 x1 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 4 4/0,25=16

0 s4 0 1 0 0 0 0 1 5 5/0

Zj 60 45 15 0 0 30 0 240

Cj-Zj 0 -15 5 0 0 -30 0

Aşama 4’ün son maddesi

Elde edilen tablo için Zjve Cj–Zjdeğerlerinin bulunması.

Eğer sıfırdan büyük bir Cj–Zj değeri elde edilirse 1. aşamaya dönülür. Aksi durumda optimal çözüme

ulaşılmıştır.

Çözümden çıkacak olan temel değişken s2, çözüme girecek olan karar değişkeni ise x3’tür.Pivot sayı 0,5’tir.

X3 0/0,50

-1/0,5-2

0,5/0,51

0/0,50

1/0,52

-2/0,5-4

0/0,50

4/0,58

X3 satırı pivot satırdaki her sayının yeni değeri, sayının pivot sayıya bölünmesi ile elde edilir.

Diğer satırlardaki sayılar aşağıdaki formüle göre elde edilir:Yeni değer= Eski değer-[(pivot sayının üstündeki veya altındaki sayı) x (yeni pivot satırda karşılık gelen değer)]


Eski s1 satırı 0 0 -1 1 0 -4 0 16

-(-1*yeni temel değişken satırı) 0 2 -1 0 -2 4 0 -8

Yeni s1 satırı 0 -2 0 1 2 -8 0 24

Yeni x1 satırının hesaplanmasıEski x1 satırı 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 4

-(0,25*yeni temel değişken satırı) 0 -0,5 0,25 0 0,5 -1 0 2

Yeni x1 satırı 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 0 2


X3 0/0,50

-1/0,5-2

0,5/0,51

0/0,50

1/0,52

-2/0,5-4

0/0,50

4/0,58

Eski s4 satırı 0 1 0 0 0 0 1 5


Yeni s4 satırı 0 1 0 0 0 0 1 5

Aşama 4’ün son maddesi

Elde edilen tablo için Zjve Cj–Zjdeğerlerinin bulunması.

Eğer sıfırdan büyük bir Cj–Zj değeri elde edilirse 1. aşamaya dönülür. Aksi durumda optimal çözüme

ulaşılmıştır.

Cj 60 30 20 0 0 0 0

x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 ÇS

0 s1 0 -2 0 1 2 -8 0 24

20 x3 0 -2 1 0 2 -4 0 8

60 x1 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 0 2

0 s4 0 1 0 0 0 0 1 5

Zj 60 35 20 0 10 10 0 280

Cj-Zj 0 -5 0 0 -10 -10 0

Cj-Zj satırındaki tüm değerler «0» ya da negatiftir, optimallik koşullu sağlanmıştır.Z=280, x1=2, x2=0 ve x3=8’dir

dfndkjnfd

Documents