determinants

DETERMINANTS

Matemàtiques 2n Batx CCSSdavidc

Donada una matriu quadrada de primer ordre (1x1):

S’anomena determinant d’ A al mateix nombre real que forma la matriu

2.1 CONCEPTE DE DETERMINANTDeterminants d’ordre 1

11aA

)( 11aA

)6(A 66 A

)9(B 99 B

)0(C 00 C

Donada una matriu quadrada de segon ordre (2x2):

S’anomena determinant d’ A al nombre real que resulta de multiplicar els elements de la diagonal principal i restar-li el producte dels elements de la diagonal secundària .

3 2 2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1


1223

A


1 -2 5 -1 = 1·(-1) - 5·(-2) = -1 +10=9

1521

B

5301

C -1 0

3 -5 = -1·(-5) - 0·3 = 5 - 0=5

7324

D -4 -2 -3 -7 = -4·(-7) – (-2)·(-3) = 28 – 6= 22

Donada una matriu quadrada de segon ordre (3x3):

S’anomena determinant d’ A al nombre real que resulta d’aplicar la regla de Sarrus:



La regla de Sarrus permet recordar gràficament els productes que apareixen en la expresisón del determinante d’ ordren 3 i els seus signes. Els elements de la diagonal principal i les seves paralel.les, amb el seu signe i els de la diagonal secundària i les seves paralel.les canviades de signe.


Exemple 1:

121410321

= 1(-1)1+241+023-3(-1)1+021+241== -1+8+0-(-3+0+8)=7-5 = 2


Exemple 2:

432524322

= 2(-2)4+252+433-3(-2)2+424+352== -16+20+36-(-12+32+30)=40-50 = -10


Exemple 3:

432124

153

= 3(-2)(-4)+5(-1)2+4(-3)1-1(-2)2+45(-4)+(-3)(-1)3=

= 24-10-12-(-4-80+9)=2-(-75) = 2+75 = 77

2.1 CONCEPTE DE DETERMINANTEquacions amb determinants ordre 2

101

41

xxxx

166

41061046

1044

1044

10)1()4(1

22

22

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

2.1 CONCEPTE DE DETERMINANTEquacions amb determinants ordre 3

51155

55118476512

4786512470865012

47)05()421(235120243

x

x

xxxxxxx

xxxxxxx

47452031

2

xx

2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS

I. El determinant d’ una matriu amb dos files o columnes iguals o proporcionals és zero.

Càlcul inmediat de determinants

Exemples:

El determinant d’ una matriu A =

–1 4 –1

3 2 3 2 5 2

és igual a zero perquè la tercera i

primera columnes són iguals.

El determinant d’ una matriu B =

2 4 –1

1 –2 3 3 –6 9

és igual a zero perquè la tercera fila

és igual a la segona multiplicada per 3.

2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTSCàlcul inmediat de determinants

II. El determinant d’ una matriu amb una fila o columnes nules és zero.

Exemples:


–1 0 –1

3 0 3 2 0 2

és igual a zero perquè la segona columna

és nul.la.


–1 0 –1

0 9 0 0 0 0

és igual a zero perquè la tercera fila

és nul.la.

III. El determinant d’ una matriu en que una fila o columna es combinació lineal de les altres files o columnes és zero.


Exemple:


2 4 0

1 3 –1 3 1 5

és igual a zero perquè la tercera columna és

igual al doble de la primera menys la segona

Exemple:


1 4 0

1 3 –1 2 7 -1

és igual a zero perquè la tercera fila és

igual a la suma de la primera més la segona 213 fff

213 2 ccc

IV. El determinant d’ una matriu triangular és igual al producte dels elements de la seva diagonal principal.

Exemples:

El determinant de la matriu A =

–1 0 –1

0 2 3 0 0 2

és igual –4.


El determinant de la matriu B =

587026003

és igual a 30


V. El determinant de la matriz identitat=escalar=unitat és 1

Exemples:

El determinant de la matriu I 3 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

és igual a 1.

El determinant de la matriu I 5 =

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

és igual a 1.

2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTSOperacions amb files i columnes

VI. Si es multipliquen els elements d’ una fila o columna d’ una matriu per un nombre el determinant de la matriu es multiplica per aquest nombre

Exemple:

2 3 4 20 =

2 3 4 . 1 4 . 5 = 4

2 3 1 5

2812403420220432

2874)310(4)3152(45132

4

2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTSOperacions amb files i columnes

1385)8(52)4(515241

VII. Si s’ intercanvien entre sí dos files o dos columnes d’ una matriu, el seu determinant canvia de signe.

Exemple: 1 – 4 2 5 = –

– 4 1 5 2

13)13(58)51(242514

2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTSOperacions amb matrius

VIII. El determinant d’una matriu es igual al de la seva transposada. tAA

61824)0180(0024653021032

A

61824)0180(0024600523312

tA

Exemple


IX. El determinant del producte de dos matrius quadrades i multiplicables és igual al producte dels determinants de cada un d’elles.

Exemple:

0532

A

1506

B

030327

1506

0532

BA

151500532

A

6061506

B

90)90(0030327

BA

BABA

)6()15(90


Exemple:

X.- Si una fila o columna és suma de diferents sumands, es descomposa en tants determinants com sumands hagi

123)68()96(4322

3332

433232

7352

115147352

7352

AA

123)57()107(7151

7251

712511

7352

2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADAMenor d’una matriu quadrada

Determinant que resulta en suprimir una fila i una columna d’una matriu quadrada.Tots els menors es denoten per Mij per indicar el determinant de la matriu que s’obté en suprimir La fila i i la columna j.

5321

A

5511 M 3312 M

2221 M 1122 M

2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADAMenors d’una matriu quadrada

411202311

A

2)2(04120

11

M 6284122

12 M 20211

0213

M

7)3(44131

21

M 7344131

22

M 01111

1123

M

2022031

31 M 8622231

32

M 2200211

33

M

2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADAMatriu adjunta

• S’anomena “Adjunt mi,j” d’ un element “ai,j” al determinant del menor Mi,j multiplicat per (-1)i+j

• Donada la matriu quadrada A, s’anomena “matriu adjunta” de A i es representa A*, a la matriu que se obté en substituir cada element a ij pel seu adjunt mij.

ijji

ij Mm )1(

5321

A

5)1( 111111

11 MMm 3)1( 121221

12 MMm

2)1( 212112

21 MMm 1)1( 222222

22 MMm

1235*A

Exemple 1

2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADAMatriu adjunta ij

jiij Mm )1(

2)1( 111111

11 MMm 6)1( 121221

12 MMm

7)1( 212112

21 MMm

411202311

A

2)1( 131331

13 MMm

7)1( 222222

22 MMm 00)1( 232332

23 MMm

2)1( 313113

31 MMm 8)8()1( 323223

32 MMm 2)1( 333333

33 MMm

282077262

*A

Exemple 2


jiij Mm )1(

21111 Mm 61212 Mm

72121 Mm

411202311

A

21313 Mm

72222 Mm 002323 Mm

23131 Mm 8)8(3232 Mm 23333 Mm

282077262

*A

Exemple 2


jiij Mm )1(

1011021

1111 Mm 2)02(1022

1212 Mm

1)01(1011

2121

Mm

100212111

B

00012

1313 Mm

1011011

2222 Mm 00011

2323

Mm

3122111

3131

Mm 02211

3232 Mm 3)2(11211

3333

Mm

303011021

*B

Exemple 3

2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA

Un determinant és igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna) multiplicat pels seus adjunts corresponents

Exemple 1

9145)2120(610411103212

9613232131)1(2)03(2))1(12(1)10(2

1103

24113

14110

2212212411103212

131211131211

MMMmmm

1ª fila


Un determinant es igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna) multiplicat pels seus adjunts corresponents Exemple 1

9145)2120(610411103212

91621223)1(2)01(1)24(3)10(2

1021

14121

34110

2132132411103212

312111312111

MMMmmm

1ª columna


Un determinant es igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna) multiplicat pels seus adjunts corresponents

Exemple 1

9145)2120(610411103212

9413)4(13

)62())1(12(1322

4113

101411103212

3212322212

MMmmm

2ª columna ( possibilitat que dóna menys feina)


Determinant 4x4

Exemple 2

244201317)2(22)849(1283)01816(6016

121432321

212043232

1001

2121043223211001

1411141114131211

MMmmmmmm


Determinant 4x4

Exemple 3

28618317120)61(3)17(602....

542223432

3542423432

1542423223

2

3120312

5042432321234232

33231343332313

MMMmmmm

2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS

Matriu 1x1

El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).

A = (3) rang A = 103 A

B = (0) rang B = 000 B

Matriu 2x2

2112

C 03142112

C Rang C =2

4221

D 0444221

D Rang D

2Rang D =1


Matriu 3x3


121112301

E 010 E Rang E =3

213112301

F )ª3ª2ª1.(0 fffF Rang F 3

Rang F =2

Perquè es pot agafar un menor d’ordre 2 amb determinant diferent a zero

0112

01


Matriu 3x3


963642

321G )ª3ª2ª1.(0 fffG Rang G 3

Tots els menors que s’agafin d’ordre 2 tenen com a determinant zero fet que implica que el rang és diferent a 2

042

21

0

6432

06342

0

9664

06321

09632

El rang G 2 rang G =1 perquè sempre es pot trobar un determinant d’ ordre 1 diferent a zero


Matrius no quadrades


32

1

110

H H Rang H 3

Com a molt es poden fer menors d’ordre 2

012110

No es pot fer

Rang H =2




987

201131042

I I Rang I 4

Com a molt es poden fer menors d’ordre 3

)2.(0201

131042

321 ccc

No es pot fer

No serveix

014920

813704

Rang I 3




118

52

06

631521

J J Rang J 4

Com a molt es poden fer menors d’ordre 3. Tots ells tenen determinant zero

).(0826631

521Sarrus

No es pot fer

).(01150

631521

321 fff ).(01150

826631

Sarrus

Rang J 3

Provem si algun menor d’ordre 2 té determinant diferent a zero:

Rang J = 20531

21



Tècnica d’ orlament

118

52

06

631521

J

10

).(0826631

521Sarrus

).(0

1150631

521

321 fff Rang J 3

Per tant RangJ = 2

0531

21

Rang J=1 com a mínim

Rang J=2 com a mínim



Tècnica d’ orlament

012401300212

K20

010124130212

Rang K = 3

063012

Rang K=1 com a mínim

Rang K = 2 com a mínim

2.6 MATRIU INVERSA

Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat.La matriu inversa es representa per A–1

Exemple1: Si A =

2 –1

1 1 per obtenir A -1 =

x y

z t s’ ha de cumplir

2 –1

1 1 .

x y

z t =

1 0

0 1

2x – z 2y – t

x + z y + t =

1 0

0 1

2x – z = 1 x + z = 0 2y – t = 0 y + t = 1

x = 1/3 y = 1/3 z = –1/3 t = 2/3

Per tant A -1 =

13

13

– 13

23

2.6 MATRIU INVERSA

Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1

Exemple1: Si A =

2 –1

1 1 per obtenir -1

Donada una matriu quadrada A es pot obtenir la seva matriu inversa fent servir la següent fórmula:

A–1

)(1 *1 AA

A to *1 )(1 A

AA t

312)1(2 A

2111*A

2111

)( *At

)(1 *1 AA

A t

32

31

31

31

2111

31)(1 *1 A

AA t

2.6 MATRIU INVERSA


1112

AExemple1 : Comprovació A . A–1 = A–1 . A = I

32

31

31

31

1A

A . A–1 =

1001

33

30

30

33

32

31

3131

32

32

31

32

32

31

31

31

1112

1001

33

30

30

33

32

31

3131

32

32

31

32

1112

32

31

31

31

A–1A =

2.6 MATRIU INVERSA


154)5(4)308(004 A

2321218127

*A

2183212

217)( *At

)(1 *1 AA

A t

2183212

217

2183212

217

11)(1 *1 A

AA t

214320101

AExemple 2

2.6 MATRIU INVERSA


Exemple2 : Comprovació A . A–1 = A–1 . A = I

A . A–1 =

100010001

43822416122866034024240202101807

2183212

217

214320101

A–1A =

100010001

43822416122866034024240202101807

214320101

2183212

217

Propietats de la matriu inversa

I. Si las matrius A i B són inversibles (A . B)–1 = B–1 . A–1

II. Si A és una matriu inversible i k 0, (k . A)–1 = (1/k) . A–1

III. Si A és una matriu inversible, (A–1)–1 = A

IV. La matriz unitat és inversible i a més a més I–1 = I

V. Si A és una matriu inversible, (A–1)t = (At)–1

Condicions per a que una matriu tingui inversa

2.6 MATRIU INVERSA

I. La matriu ha de ser quadradaII. El determinant de la matriu ha de ser diferent a zero

determinants

Education