determinan slide
DESCRIPTION
file aljabar linier elementerTRANSCRIPT
DETERMINAN
FUNGSI DETERMINAN
DefinisiJika A adalah matriks bujursangkar. Fungsi
determinan dari A, dinotasikan dengan det(A) didefinisikan sebagai jumlah semua perkalian
elementer bertanda dari A.
det(A) = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31
a12a21a31 a11a23a32 a13a22a31
METODE MENENTUKAN DETERMINAN MATRIKSMetode SarrusMengunakan Reduksi BarisEkspansi Kofaktor
METODE SARRUSMetode ini digunakan untuk menentukan determinan matriks berukuran 2x2 dan 3x3
5
MATRIK ORDO 2X2
dc
baAJika bcadA )det(Maka
64
12A
Contoh :
Maka det(A) = 2.6 – 1.4 = 8
Matrik ordo 3x3
6
MATRIK ORDO 3X3
Langkah-langkahSalin elemen kolom 1 dan kolom 2 ke
sebelah kanan tanda garis vertical dari determinan ordo tiga
Jumlah hasil kali elemen diagonal utama dan elemen yang sejajar diagonal utama dan dikurangi dengan jumlah hasil kali elemen diagonal samping dan elemen yang sejajar dengan diagonal samping.
7
MATRIK ORDO 3X3
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
AJika
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
A
332112322311312213
322113312312332211
......
......)det(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaA
8
CONTOHORDO 3X3 DNG SARRUS
231
314
132
B
Det (B) = ……….
Sifat2 determinan
REDUKSI BARIS UNTUK MENCARI DETERMINAN TeoremaMisalkan A adalah matriks bujursangkarJika A memiliki satu baris nol atau kolom nol,maka det(A) = 0 det(A) = det (AT)
TeoremaJika A adalah matriks segitiga nn (segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal), maka det(A) adalah perkalian
entri-entri pada diagonal utamanya
det(A) = a11a22...ann
Teorema 2.2.3Misalkan A adalah matriks bujursangkar
Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian suatu baris atau kolom dengan skalar k ≠ 0 maka det(B) = k det(A)
Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua baris atau kolom dari A maka det(B) = –det(A)
Jika B adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu baris ditambahkan dengan kelipatan baris lain atau suatu kolom ditambahkan dengan kelipatan kolom lain dari A, maka det(B) = det(A).
CONTOH:
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
ka ka ka a a a
a a a k a a a
a a a a a a
11 12 13 11 12 13
31 32 33 21 22 23
21 22 23 31 32 33
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
11 31 12 32 13 33 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a ka a ka a ka a a a
a a a a a a
a a a a a a
Teorema
Misal E adalah matriks elementer berukuran n n, Jika E dihasilkan dari suatu baris In dikali k, maka
det(E) = k
Jika E dihasilkan dari pertukaran dua baris pada In, maka det(E) = 1
Jika E dihasilkan dari suatu baris ditambah kelipatan baris lain di In, maka det(E) = 1
1 0 0
0 1 0 2
0 0 2
1 0 0
0 0 1 1
0 1 0
1 2 0
0 1 0 1
0 0 1
Contoh:
TeoremaJika A adalah matriks bujursangkar dimana
terdapat dua baris atau dua kolom yang saling berkelipatan,
maka det(A) = 0
1 3 0
2 4 1
5 2 2
A
1 3 0
2 4 1
5 2 2
2 12B B
1 3 0
0 2 1
5 2 2
1 3 0
0 2 1
0 13 2
12
1 3 0
2 0 1
0 13 2
17( 2)(1)(1) 17
2
Contoh:
=
12
172
1 3 0
2 0 1
0 0
R32(-13)
=
R31(-5)
=R21(2)
=
1 0 0 3
2 7 0 6
0 6 3 0
7 3 1 5
A
1 0 0 3
2 7 0 6
0 6 3 0
7 3 1 5
4 13C C
1 0 0 0
2 7 0 0(1)(7)(3)( 26) 546
0 6 3 0
7 3 1 26
TeoremaSuatu matriks bujursangkar A invertible jika dan
hanya jika det (A) ≠ 0
TeoremaJika A dan B adalah matriks bujursangkar dengan
ukuran sama, maka
det(AB) = det (A) det(B)
TeoremaJika A invertible, maka 1 1
det( )det( )
AA
EKSPANSI KOFAKTOR
DefinisiJika A matriks bujursangkar, maka minor dari
entri aij,
dinotasikan dengan Mij adalah determinan dari submatriks
setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A.
Kofaktor dari entri aij adalah bilangan , dinotasikan dengan Cij.
( 1)i j ijM
3 1 4
2 5 6
1 4 8
A
11
3 1 45 6
2 5 6 164 8
1 4 8
M
Contoh:
C11 = (-1)1+1M11 = M11 = 16
Tanda untuk cij dapat digambarkan dari posisinya pada matriks berikut
Ekspansi Kofaktor
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
det(A) = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31
a12a21a33 a11a23a32 a13a22a31
det(A) = a11 (a22a33 a23a32) a12 (a21a33 a23a31)
+ a13 (a21a32 a22a31)
= a11M11 – a12M12 + a13M13
= a11c11 + a12c12 + a13c13
Formula ini menyatakan determinan matriks A ekspansi kofaktor
berdasarkan baris pertama dari A
TeoremaDeterminan dari matriks A n n dengan cara
ekspansi kofaktor
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ... + ainCin :
Ekspansi berdasarkan baris i det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ... + anjCnj
Ekspansi berdasarkan kolom j
3 1 0
2 4 3
5 4 2
A
3 1 04 3 1 0 1 0
2 4 3 3 2 54 2 4 2 4 3
5 4 2
A
Hitung determinan
Ekspansi berdasarkan kolom 1
= 3(4) + 2(2) + 5(3) = 1
CONTOH 1
Atau berdasarkan baris pertama
3 1 04 3 2 3
2 4 3 3 14 2 5 2
5 4 2
A
= 3(4) (11) = 1
CONTOH 2
135
650
432
A
16465
43)1)(5()1(0
13
65)1(2)det( 13
211211
MA
CONTOH 3
1243
3202
0113
0200
B
131314131211 220200)det( MCCCCCB
4743
13)1(3
14
01)1(2
143
302
0133212
13
M
det(B) = 2(-47) = - 94
3 5 2 6
1 2 1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
3 7 4 6
0 0 0 1
3 6 6 5
0 1 8 3
3 7 4
3 6 6
0 1 8
3 7 60
3 6 54
0 1 0
3 6018
3 54
CONTOH 4 (REDUKSI BARIS/KOLOM DAN EKSPANSI KOFAKTOR)
DefinisiJika A adalah matriks nn, Cij kofaktor dari aij, maka
11 12 1
21 22
1 2
n
n n nn
C C C
C C
C C C
disebut matriks kofaktor dari A.
Transposenya disebut matriks Adjoin dari A, ditulis Adj(A)
MATRIKS KOFAKTOR DAN MATRIKS ADJOIN
3 2 1
1 6 3
2 4 0
A
12 6 16
4 2 16
12 10 16
12 4 12
Adj( ) 6 2 -10
-16 16 16
A
Contoh:
Kofaktor dari AC11 = 12, C12 = 6, C13 = 16, C21= 4, C22 = 2, C23 = 16, C31 = 12, C32 = 10, C33 = 16
Maka matriks kofaktor dari A adalah
Matriks adjoin dari A adalah
1 1Adj( )
det( )A A
A
SIFAT DETERMINAN DAN HUBUNGAN ANTARA DETERMINAN DENGAN INVERS MATRIKS
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ukuran yang sama, maka
det(AB) = det(A) det(B). Teorema
Jika A adalah matriks invertible, maka
Suatu matriks bujur sangkar ada inversnya
jika det(A) 0.
Menggunakan matriks adjoint
801
352
321
A
139
2516
51340
)(AKJadi dan
125
3513
91640
)(Aadj
1320150640
01
52
21
801
352
321
A
125
3513
91640
125
3513
91640
1
1)(
11 AadjA
A
Teorema (Aturan Cramer)Jika Ax = b adalah SPL dengan n peubah, det (A) ≠ 0 maka SPL mempunyai solusi tunggal , yaitu :
det( )
det( )i
i
Ax
A
dimana Ai adalah matriks A dengan kolom ke-i diganti dengan b
ATURAN CRAMER
i = 1,2,...,n