upn determinan

8/17/2019 UPN Determinan

http://slidepdf.com/reader/full/upn-determinan 1/43

DETERMINANMATRIKS



NOTASI MATRIKS

2

2

Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebutmatriks berordo atau berukuran m x n.

Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks

Notasi A = (aij)

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

..................

...

...

321

3333231

2232221

1131211

A =

Dengan i = 1,2,...,m

j = 1,2,...,n



JENIS –JENIS MATRIKS

3

3

Matriks persegi

adalah matriks yang berukuran n x n

Matriks nol

adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan

nol

=

13

41 A

=

00

00

00

23 xO




4

4

Matriks Diagonaladalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah

diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D.

Contoh :

Matriks Skalar

adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya

sama

= 500020

001

33 x D

=500

050005

33 x D




5

5

Matriks Identitasadalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal

utamanya bernilai 1.

Matriks Segitiga Atas

adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya

bernilai nol Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen

di atas diagonal utamanya bernilai nol

=

100

010

001

D

=

600

210

542

A

=

152

043

001

B

AA*I

AI*A

:identitasmatrikssifat-Sifat

=

=



DETERMINAN MATRIKS

6

6

Setiap matriks persegi memiliki nilai determinanNilai determinan dari suatu matriks merupakansuatu skalar.

Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan

nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.



NOTASI DETERMINAN

77

Misalkan matriks A merupakan sebuah matrikspersegi

Determinan A ditulis sebagai det (A)det(A) sering dinotasikan |A|

Ada beberapa cara untuk menentukandeterminan, diantaranya adalah: Determinan dengan cara Sarrus

Determinan dengan cara Ekspansi KofaktorDeterminan dengan cara Operasi BarisElementer (OBE)



NOTASI DETERMINAN

88

Pada matriks 2x2 cara menghitung nilaideterminannya adalah :

Contoh :

=

2221

1211

aa

aa A

21122211)det( aaaa A −=

= 31

52

A 156)det( =−= A

2221

1211)det(

aa

aa A =

31

52

)det( = A



METODE SARRUS

99

Pada matriks 3x3 cara menghitung nilaideterminannya adalah menggunakan Metode Sarrus

Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaa A −−−++=

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A



Contoh :

Tentukan determinan matriks

Jawab :

= 1

−−

−=

122

011

123

A

( )

122

011

123

det

−−

−= A

22

11

23

−−

202203 −−−++=



METODE SARRUS

1111

Nilai Determinan dicari menggunakan metodeSarrus

det(B) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3·0)-(2 ·-1 ·-1)= 2 +12+0+6-0-2= 18

−− −−=

102

311322

B



MINOR

1212

Yang dimaksud dengan MINOR unsur aijadalahdeterminan yang berasal dari determinan orde ndikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

Dinotasikan dengan MijContoh Minor dari elemen a₁₁

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A3332

2322

11aa

aa M =

=

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

444342

343332

242322

11

aaa

aaaaaa

M =



MINOR

1313

Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)

3332

2322

11aa

aa M =

3331

2321

12aa

aa M =

3231

2221

13aa

aa M =

3332

1312

21aaaa M =

3331

131122

aaaa M = dst



KOFAKTOR MATRIKS

1414

Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskandengan

Contoh :Kofaktor dari elemen a23

2323

32

23 )1( M M c −=−= +



TEOREMA LAPLACE

1515

Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlahperkalian elemen-elemen dari sembarang baris ataukolom dengan kofaktor-kofaktornya



TEOREMA LAPLACE

1616

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada BarisMisalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

Determinan Matriks A dengan metode ekspansikofaktor baris pertama|A|

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

131312121111

131312121111

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

M a M a M a

cacaca

+−=

+−=

++=



TEOREMA LAPLACE

1717

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor bariskedua

|A|

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor barisketiga

|A|

3231

1211

233331

1311

223332

1312

21

232322222121

232322222121

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

M a M a M a

cacaca

−+−=

−+−=

++=

2221

1211

33

2321

1311

32

2322

1312

31

333332323131

333332323131

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

M a M a M a

cacaca

+−=

+−=

++=



TEOREMA LAPLACE

1818

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada KolomMisalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

Determinan Matriks A dengan metode ekspansikofaktor kolom pertama|A|

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

2322

1312

31

3332

1312

21

3332

2322

11

313121211111

313121211111

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

M a M a M a

cacaca

+−=

+−=

++=



TEOREMA LAPLACE

1919

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolomkedua

|A|

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolomketiga

|A|

2321

1311

323331

1311

223331

2321

12

323222221212

323222221212

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

M a M a M a

cacaca

−+−=

−+−=

++=

2221

1211

33

3231

1211

23

3231

2221

13

333323231313

333323231313

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

M a M a M a

cacaca

+−=

+−=

++=



Contoh

Hitunglah Det(A) dengan ekspansikofaktor :

Misalkan, kita akan menghitung det

( A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

2 1 0

1 2 1

0 1 2

= A



=a31 C31 +a32 C32 +a33 C33

= 0 – 2 + 6 = 4

2 1 0

1 2 1

0 1 2

= A

∑=

=3

1

33)det(

j

j jca A

23)1(10 +−+= 1 1 0 2 33)1(2 +−+ 2 1

1 2



Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktorsepanjangkolom ke-3

= 0 – 2 + 6

= 4

2 1 01 2 1

0 1 2

= A

32)1(10 +−+=1 0

1 2 33)1(2 +−+2 1

1 2



• Tentukan determinan matriks berikut

dengan cara Sarrus dan Kofaktor

=987

5316!

Aa)

=

765

!3""1

B b)



Penyelesaian

8

3

4

7

1

2

987

531

642

A

=

maka det (A) = 2.3.9 + 4.5.7 + 6.1.8 – 6.3.7 – 2.5.8 – 4.1.9

= 54 + 140 + 48 – 126 – 80 – 36



Dengan ekspansi kofaktor

5

!"#$

%&

!"'$

%&

5$ +=A#det $aka (

=987

531

642

A

= 2.(2 ! 40) ! (36 ! 4") # .(20 ! 1")

= - 26 # 12# 14 = 0



soal

• Tent*kan k jika +et(D) = %

−=43

101

51

k

k

D



Sifatsifat +eter,inan

• Nilai +eter,inan ti+ak -er*-a. apa-ila-aris +an kolo,nya +ipert*karkan$

/a+i0

1onto.2

• /ika se,*a *ns*r +ari s*at* -aris (ata*kolo,) a+ala. nol0 +eter,inan ,atriks it*sa,a +engan nol$

=

987

531

6!

A

=

956

83

71!

A%



• /ika se,*a *ns*r +ari s*at* -aris (ata*kolo,) a+ala. nol0 ke3*ali sat* *ns*r0+eter,inannya sa,a +engan .asil kali

*ns*r it* +engan kofaktornya$

• Pert*karan +*a -aris ata* +*a kolo,se,-arang akan ,eng*-a. tan+a+eter,inan$

6

23)det(B =⇒

= B

765

!3

""1

)det()det(

65

234

001

$% DC D −=⇒

=

=

765

""1

!3



• /ika se,*a *ns*r +ala, s*at*-aris (ata* kolo,) +ikalikan

+engan se-*a. -ilangan0+eter,inannya j*ga +ikalikan+engan -ilangan it*$

• /ika +*a -aris (ata* kolo,) sa,aata* se-an+ing0 +eter,inannyasa,a +engan nol$



• /ika kita ,engalikan *ns*r*ns*rs*at* -aris (ata* kolo,) +enganse-*a. -ilangan ke,*+ian

+ij*,la.kan +engan *ns*r*ns*ryang -erses*aian +engan s*at* -aris(ata* kolo,) yang lain0 nilai

+eter,inannya tetap$• /ika A +an B +*a ,atriks persegi

yang -er*k*ran sa,a0 ,aka

+et(A4) = +et(A)$+et(4)



Menent*kan Deter,inan+engan 3ara 4E

Tent*kan +et(A)

−=162&63

510

A

162

&63

510

)det( −= A Pert!"r!"# R1 $e#%"# R2 $et&'()*$et&A(



'"%+,"- R1$e#%"# 3

$et&'()!.$et&A(

R3 *2/R1

162

510

&63 −−=

162

510

321

3

−

−=



R3 *10/R2

5100

510

321

3

−

−−=

5500

510

321

3

−

−−=

165)55)(1)(1)(3( =−−=

ent* an et ,atr s



ent* an et ,atr s-erik*t +engan 3ara 4E

+an ekspansi kofaktor

−

−

=3122

1213

1021

2141

P



At*ran 1ra,er

• 6nt*k ,en3ari sol*si +ari SP7(Siste, Persa,aan 7inear) tertent*(,atriks n8n)

• Teore,a 2/ika A8=- ,er*pakan s*at*siste, n persa,aan linier +ala, npe*-a. se+e,ikian se.ingga +et(A)

9 :0 ,aka siste, terse-*t,e,p*nyai penyelesaian yang *nik(t*nggal)$



Siste, Persa,aan 7inear

=++

=++ =++

nnnnnn

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xab xa xa xa

...

...

...

2211

22222121

11212111

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

.

.

.

.

.

.

.

.

...

...

21

22221

11211

=

nnnn

n

n

aab

aab

aab

A

...

.

.

.

.

.

.

.

.

...

...

21

2222

1121

1



$ $ $

+engan A j a+ala. ,atriks yang

+iperole. +engan ,enggantikananggota kolo, ke j +ari A +engananggota ,atriks -

)det(

)det( 11

A

A x =

)det(

)det( 22

A

A x =

)det(

)det(

A

A x

n

n =

=

nb

b

b

b:

2

1



• Tent*kan penyelesaian +ari SP7-erik*t +engan ,engg*nakan at*ran3ra,er

')8 ; y ; "< = '

8 ; "y < ='5

58 ; !y < =

) >' ; > = !

>' ; "> ; !> = :

>' > ; > = &

65'3-2

6

-102'-5-3- 10'-25 )3

=++=++=+ =+



365

243

432

)det(

−−

−= A 11−=

3622

2415

4312

)det( 1

−−−−= A 11−=

32252153

4122

)det( 2−− −−

−

= A 22−=

2265

1543

1232

)det( 3

−−

−= A



55

144

−

=

upn determinan

Documents