TURUNAN (DERIVATIVE)

Definisi 6.1.1Misalkan adalah suatu interval, misalkan dan misalkan . Kita katakan bahwa suatu bilangan real L adalah turunan f pada c jika diberikan sebarang ada sedemikian hingga jika yang memenuhi , maka

Pada kasus ini kita katakan bahwa f differentiable pada c, dan kita tuliskan untuk LDengan kata lain, turunan f pada c diberikan oleh limit

Jika limitnya ada.ContohDiberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan Untuk sebarang , diperoleh

Jadi dalam kasus ini, fungsi terdefinisi pada dan , Teorema 6.1.2Jika memiliki turunan pada , maka f kontinu pada cBuktiUntuk setiap , kita memiliki

Karena ada, kita dapat mengaplikasikan teorema 4.2.4 mengenai perkalian suatu limit sehingga kita menyimpulkan bahwa

Maka,sehingga f kontinu pada cTeorema 6.1.3Misalkan adalah suatu interval, misalkan , dan misalkan dan adalah fungsi yang differentiable pada c, makaa) Jika , maka fungsi differentiable pada c, dan

b)

Bukti a)f adalah fungsi yang differentiable pada c, maka menurut definisi 6.1.1 sedemikian hingga jika yang memenuhi , maka , (L adalah turunan f pada c atau dapat dituliskan )Ambil sebarang Buram Turunan pada c adalah

Pilih sehingga maka Pilih , jika yang memenuhi , maka

Maka terbukti bahwa fungsi differentiable pada cAkan dibuktikan bahwa

Bukti b)

TEOREMA 6.1.5Misalkan terdefinisi pada suatu interval yang terdapat titik . mempunyai turunan di , jika dan hanya jika suatu fungsi pada yang kontinu di dan memenuhi untuk Pada kasus ini kita punya

Aturan rantai 6.1.6Misalkan adalah interval di , misalkan dan adalah fungsi sedemikian hingga , dan misalkan . Jika f differentiable pada c dan jika g differentiable pada , maka fungsi komposisi differentiable pada c dan

ContohFungsi dan differentiable pada 2, maka differentiable pada 2 dan Bukti

Akan dibuktikan bahwa fungsi differentiable pada 2Ambil sebarang Buram

Pilih , jika yang memenuhi , maka

Maka terbukti bahwa differentiable pada 2Akan dibuktikan :

, maka ...........................1), maka , sehingga ...................................2), maka ................................3)Sehingga dari 2) dan 3)................................4)Dari 1) dan 4) dapat disimpulkan bahwa

TEOREMA 6.1.8

ontoh Teorema 6.1.8

TEOREMA 6.1.9Misalkan I adalah suatu interval dan misalkan monoton tajam pada I. Misalkan dan misalkan adalah fungsi invers dari . Jika dapat diturunkan di dan untuk , maka dapat diturunkan pada dan

Contoh :Fungsi didefinisikan oleh adalah kontinu dan monoton naik tajam (karena itu jumlah dari dua fungsi naik tajam). Selain itu, tidak pernah nol. Oleh karena itu menurut teorema 6.1.8 , fungsi invers dapat diturunkan pada setiap titik. Jika kita mengambil , maka , kita memperoleh