Análisis numérico

DERIVACIÓN E

INTEGRACIÓN

DERIVACIÓN NUMÉRICA.

DERIVACIÓN NUMÉRICA.

DADA UNA FUNCIÓN y=F(x), DEFINIDA EN FORMA

TABULAR, VAMOS A OBTENER EL VALOR DE SUS

DERIVADAS EN ALGUNOS PUNTOS QUE LOS

DENOMINAREMOS “PUNTOS PIVOTES.

EN PRIMER LUGAR VAMOS A ADMITIR QUE LA

FUNCIÓN TABULAR SE APROXIMA POR UN

POLINOMIO QUE PASA POR TODOS LOS PUNTOS, Y

QUE LA PODEMOS REPRESENTAR POR MEDIO DE

LA FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON.

ENTONCES SE TENDRÁ.

DERIVANDO AMBOS MIEMBROS DE (1)

)1(!3

)2)(1(!2

)1()( 03

02

00

.

+∆−−

+∆−

+∆+= ykkkykkykyxf

)2(0

hxx

k k −=

dxdkykkkykkyky

dkdxf

dxd )

!3)2)(1(

!2)1(()( 0

30

200

.+∆

−−+∆

−+∆+=

DE LA EXPRESIÓN (2) SE OBTIENE

hdxdk 1

=

dxdkykkkykkyky

dkdxf

dxd )

623

2()( 0

323

02

2

00

.+∆

+−+∆

−+∆+=

)3()6

2632

12(1)( 03

2

02

0

.+∆

+−+∆

−+∆= ykkyky

hxf

dxd

DERIVANDO LA EXPRESIÓN (3) SE OBTIENE LA SEGUNDA DERIVADA.

DE LA MISMA FORMA.

dxdkykkyky

dkd

hxf

dxd )

6263

212(1)( 0

32

02

0

.

2

2

∆+−

+∆−

+∆=

)4())1((1)( 03

02

2

.

2

2

+∆−+∆= ykyh

xfdxd

)5()(1)( 03

3

.

3

3

+∆= yh

xfdxd

CON LAS EXPRESIONES 3, 4 Y 5, SE OBTIENEN LAS

DIFERENTES FÓRMULAS DE DERIVACIÓN

NUMÉRICA, PARA LA PRIMERA, SEGUNDA Y

TERCERA DERIVADA.

I) SI LA INTERPOLACIÓN SE LIMITA A UN PRIMER

GRADO DE (3)

)(1)( 0

.y

hxf

dxd

∆=

COMO

II) SI LA INTERPOLACIÓN SE LIMITA A UN

SEGUNDO GRADO:

010 yyy −=∆

)2

12(1)( 02

0

.yky

hxf

dxd

∆−

+∆=

( )1001' yyh

y XX +−==

COMO:

SE PUEDEN OBTENER LAS DERIVADAS EN CUALQUIERA DE LOS PUNTOS PIVOTES

SI SE TOMA EN k=0 ;

010 yyy −=∆ 01202 2 yyyy +−=∆

210 ;; xxxxxx ===

0xx =

( )210 4321'

0yyy

hy xx −+−==

SI SE TOMA EN ; k=1

FINALMENTE SI SE TOMA EN K=2

1xx =

( )2021'

1yy

hy xx +−==

2xx =

( )210 3421'

2yyy

hy xx +−==

TRATANDOSE DE LA SEGUNDA DERIVADA SI SE CONSIDERA UNA INTERPOLACIÓN DE SEGUNDO GRADO, DE (4) NOS QUEDA:

)(1'')( 022

2

1y

hyxf

dxd

xx ∆== =

)2(1'')( 21022

2

1yyy

hyxf

dxd

xx +−==∴ =

PARA LA TERCERA DERIVADA DE LA EXPRESIÓN (5), SE TIENE:

)(1''')( 03

3

.

3

3

2y

hyxf

dxd

xx ∆== =

)33(1''' 012332yyyy

hy xx −+−=∴ =

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN I) PRIMERA DERIVADA a) INTERPOLACIÓN DE PRIMER GRADO

b) CON INTERPOLACIÓN DE SEGUNDO GRADO

II) SEGUNDA DERIVADA CON INTERPOLACIÓN DE SEGUNDO GRADO

III) LA TERCERA DERIVADA CON INTERPOLACIÓN DE TERCER GRADO

( )101'

0yy

hy XX +−==

( )210 4321'

0yyy

hy xx −+−==

( )2021'

1yy

hy xx +−==

( )210 3421'

2yyy

hy xx +−==

)2(1'' 21021yyy

hy xx +−==

)33(1''' 012332yyyy

hy xx −+−=∴ =

EJEMPLO DE APLICACIÓN.

PARA LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA DADA EN LA SIGUIENTE TABULACIÓN, CALCULAR:

a) LA PRIMERA DERIVADA EN X=2, CON UNA INTERPOLACIÓN DE PRIMERO Y SEGUNDO

ORDEN.

b) LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA EN X=4, CON INTERPOLACIÓN DE SEGUNDO

ORDEN.

c) SI f(x) = 10 LOG X, COMPARE RESULTADOS CON LOS INCISOS (a) Y (b).

4510.87815.79897.60206.67712.40103.3)(765432

xfx

INTEGRACIÓN NUMÉRICA.

ESTE PROBLEMA VAMOS A RESOLVERLO DE LA

MISMA MANERA QUE EL DE LA DERIVACIÓN. DADA

UNA FUNCIÓN F(x)=0 SE ACEPTARÁ LA

APROXIMACIÓN POLINOMIAL COMO ÁQUELLA QUE

PASA POR TODOS LOS PUNTOS DEFINIDOS EN LA

TABULACIÓN Y SE TENDRÁ UNA APROXIMACIÓN A:

∫nx

xdxxf

0

)(

SI

INTEGRANDO EN EL INTERVALO

)1(!3

)2)(1(!2

)1()( 03

02

00

.

+∆−−

+∆−

+∆+= ykkkykkykyxf

)2(0

hxx

k k −=

[ ]nhxxx n += 00 ,

)3()6

232

()( 03

23

02

2

00

.

00

dxykkkykkykydxxf nn x

x

x

x+∆

+−+∆

−+∆+∫=∫

HACIENDO EL CAMBIO DE VARIABLE

khxxresiónlade

k += 0

)2(exp

hdkdx =

)3(

00

endosustituyennkxxsi

kxxsi

n ====

hdkykkkykkykydxxfnx

x

n )6

232

()( 03

23

02

2

000

.

0

+∆+−

+∆−

+∆+∫=∫

INTEGRANDO

DE LA EXPRESIÓN (4) SE OBTIENEN LAS DIFERENTES FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE ACUERDO A LA INTERPOLACIÓN SELECCIONADO.

nx

xykkkykkykkyhdxxfn

0

03

234

02

23

0

2

0

.

6624462)(

0

+∆

+−+∆

−+∆+=∫

)4(6624462

)( 03

234

02

23

0

2

0

.

0

+∆

+−+∆

−+∆+=∫ ynnnynnynnyhdxxfnx

x

I. SI LA INTERPOLACIÓN SE LIMITA A UN PRIMER GRADO, LA INTEGRAL SE CALCULA ENTRE LOS DOS PRIMEROS PUNTOS DE “x”, ENTRE POR LO QUE n=1, EN (4) NOS QUEDA.

COMO

∆+=∫ 0

2

0

.

21)(1

0

yyhdxxfx

x

010 yyy −=∆

[ ] )(2

)( 10

.1

0

ayyhdxxfx

x+=∫

10 xyx

DE LA MISMA MANERA SE PUEDE OBTENER POR CADA DOS PUNTOS, ENTRE

SIGUIENDO EL MISMO PROCEDIMINETO HASTA

[ ] )(2

)( 21

.2

1

byyhdxxfx

x+=∫

21 xyx

[ ] )(2

)( 32

.3

2

cyyhdxxfx

x+=∫

[ ] )(2

)( 1

.

1

dyyhdxxf nn

x

x

n

n

+−=∫−

SUMANDO LAS EXPRESIONES a,b,c y d, SE TIENE

A ESTA EXPRESIÓN SE LE CONOCE CON EL

NOMBRE DE FÓRMULA DE INTEGRACIÓN

TRAPECIAL Y SE REPRESENTA TAMBIÉN DE LA

SIGUIENTE FORMA

[ ]nn

x

xyyyyyyhdxxfn ++++++ −=∫ 13210

.

22222

)(0

[ ]∑=∫ ++= ordenadasderestoyyhAdxxf n

x

x

n 22

)( 021

.

0

II. SI LA INTERPOLACIÓN SE LIMITA AL SEGUNDO GRADO, LA INTEGRAL SE CALCULA ENTRE EN DONDE n=2 Y SE TIENE

∆

−+∆+=∫ 0

223

0

2

0

.

462)(2

0

ynnynnyhdxxfx

x

20 xyx

( ) ( )

[ ] )(43

)(

23122)(

210

012010

2

0

2

0

ayyyhdxxf

soperacionehaciendo

yyyyyyhdxxf

x

x

x

x

++=

+−+−+=

∫

∫

DE LA MISMA FORMA SE CALCULA ENTRE CADA TRES PUNTOS Y SE TIENE

SUMANDO LAS EXPRESIONES a,b,c, SE TIENE

[ ] )(43

)( 4324

2

byyyhdxxfx

x++=∫

[ ] )(43

)( 122

cyyyhdxxf nnn

x

x

n

n

++= −−∫−

[ ]nnn

x

xyyyyyyyyhdxxfn ++++++++= −−∫ 1243210 422424

3)(

0

EL SEGUNDO MIEMBRO RECIBE ELNOMBRE DE FÓRMULA DE INTEGRACIÓN DE SIMPSON DE TAMBIÉN SE REPRESENTA DE LA SIGUIENTE MANERA.

III. SI LA INTERPOLACIÓN SE LIMITA A UN TERCER GRADO SE CALCULA ENTRE Y n=3

31

30 xyx

∫

∆+−+∆

−+∆+=3

00

3234

02

23

0

2

0 63

63

243

43

63

233)(

x

xyyyyhdxxf

+++== ∑∑∫ imparorden

deordenadasparorden

deordenadasyyhAdxxf n

x

x

n 4.

23

)( 031

0

HACIENDO OPERACIONES

DE LA MISMA MANERA TOMANDO DE TRES EN TRES PUNTOS

[ ] )(3383)(3

03210 ayyyyhdxxf

x

x∫ +++=

[ ] )(3383)(6

36543 byyyyhdxxf

x

x∫ +++=

[ ] )(3383)(

3 123 cyyyyhdxxfnx

n nnnn∫ − −−− +++=

SUMANDO LAS EXPRESIONES a,b y c, SE TIENE

EL SEGUNDO MIEMBRO RECIBE EL NOMBRE DE SIMPSON DE Y SE PUEDE REPRSENTAR POR

+++== ∑∑∫ ordenadas

lasderestodemúltiplo

ordenadasyyhAdxxf n

x

x

n 33

28

3)( 083

0

[ ]nnnn

x

xyyyyyyyyhAdxxfn ++++++++== −−−∫ 1233210

83 332233

83)(

0

83

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN. I. CON INTERPOLACIÓN DE PRIMER GRADO FÓRMULA TRAPECIAL

II. CON INTERPOLACIÓN DE SEGUNDO GRADO. N DEBE SER 2 O MÚLTIPLO DE 2.

FORMULA DE SIMPSON DE 1/3

III. CON INTERPOLACIÓN DE TERCER GRADO. N DEBE SER 3 O MÚLTIPLO DE 3.

FÓRMULA DE SIMPSON 3/8

[ ]∑=∫ ++= ordenadasderestoyyhAdxxf n

x

x

n 22

)( 021

.

0

+++== ∑∑∫ imparorden

deordenadasparorden

deordenadasyyhAdxxf n

x

x

n 4.

23

)( 031

0

+++== ∑∑∫ ordenadas

lasderestodemúltiplo

ordenadasyyhAdxxf n

x

x

n 33

28

3)( 083

0

EJEMPLOS DE APLICACIÓN.

1. CALCULAR EL DESPLAZAMIENTO DE UN COHETE DISPARADO VERTICALMENTE DE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA, LAS OBSERVACIONES DE LA VELOCIDAD A DIFERENTES INSTANTES SE MUESTRAN EN LA SIGUIENTE TABULACIÓN.

CALCULAR EL DESPLAZAMINETO A LOS 60,120,180,240 Y 300 SEGUNDOS.

2. ENCUENTRE UNA APROXIMACIÓN AL VALOR DE LA INTEGRAL, CONSIDERE n=6.

2229.33851.16502.02747.00824.00.)/(

300240180120600.)(

segmv

segt

dxe x∫ −2

0

2

1. CALCULE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PARA x=-0.4 Y x=0.2, CON FÓRMULAS DE INTERPOLACIÓN LIMITADAS A PRIMERO Y SEGUNDO ORDEN.

2. CALCULE EL VALOR DE LA INTEGRAL PARA n=6, CON SIMPSON 1/3 Y 3/8; Y PARA N=9, CON

SIMPSON 3/8. COMPARE RESULTADOS EN LAS APROXIMACIONES. dx

xxsen

∫2

1

)(

93.231.278.133.197.068.046.0

6.04.02.002.04.06.0

y

x −−−

TAREA 7.

3. ENCUENTRE LAS FÓRMULAS DE DERIVACIÓN, PARA LA PRIMERA DERIVADA, CONSIDERANDO UNA INTERPOLACIÓN DE TERCER GRADO EN LA EXPRESIÓN 4, DE LAS NOTAS (página 5).