deprem depreme dayanikli yapi tasarimi … · 0 9 2 2 2 2 k k m k m k k - m i i m/k 2 resim...

Zekai Celep http://web.itu.edu.tr/celep/ 1

DEPREM MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ

veveDEPREME DAYANIKLI

YAPI TASARIMI

Zekai CelepZekai Celepİnşaat Fakültesi

İstanbul Teknik Üniversitesi

DEPREME DAYANIKLI YAPI TASARIMI

• Deprem hareketi• Yapıların yer hareketi etkisindeki titreşimi• Yapıların yer hareketi etkisindeki titreşimi• Deprem etkisindeki betonarme yapı

elemanlarının davranışı• Depreme dayanıklı yapı tasarımı• Yurdumuzdaki önemli depremler• Yapılarda deprem sonrası hasar belirlenmesi • Yapılarda deprem sonrası hasar belirlenmesi,

onarım ve güçlendirme yöntemleri • Mevcut binaların deprem etkisindeki

davranışının değerlendirilmesi

Yapıların yer hareketi etkisindeki titreşimi

Tek serbestlik dereceli sistemler

....m (v + v)

kv/2.

cvkv/2

k / 2k / 2

mv = relatif yer değiştirme

g

v = toplam yer değiştirme = v + vt g

k / 2k / 2 c

gv = yer hareketi


vmvkvcvm gvmvkvcvm

gvvvv 22

mk

2 mc cr 2crcc

mc

2



• Hareketin başlangıç şartları

0)v(tov 0)(tvov

tDω

Dωoξωvov

tDωovξωte(t)v sincos

21 ξωDω kmT

22

21

2

TT

DD


YerdeğiştirmeYerdeğiştirme

kr itik sö nüm

0

1

t/T

krit ik üzeri

(t) /

v (t

=0)

= 1

> 1

kritik altı

-1

0 t/T

v

< 1

1 2 3

Tek serbestlik dereceli sistemlerde sönüm oranı

2)(tv

21

2exp)exp()(

)(

ξD

TDTtv

tv

221

2)(

)(ln

ξDTtvtv

121 1 ξD

2)(

)(ln1

DmTtv

tvm

Yer hareketi altındaki tek serbestlik dereceli sistemler

Y h k ti i k d (t)v• Yer hareketi ivme kaydı

• Yerdeğiştirme (Duhammel integrali)

(t)gv

dtDte(τ

tgv

Dω(t)v )(sin)()

0

1


Çok serbestlik dereceli sistem

• Kütle matrisi

gv 1mvkvcvm

m = [mij] T1....111

Kütle matrisi

• Sönüm matrisi

• Rijitlik matrisi

• Esneklik matrisi

m [mij] c = [cij] k = [kij] d [d ]• Esneklik matrisi

• Yerdeğiştirme vektörü

• Yer hareketi

d = [dij] v = [vi] vg(t)

Sönümsüz sistemin serbest titreşim

• Hareket denklemi 0vkvm

• Çözüm kabülü

• Frekans denklemi

• Katsayılar determinantı02 mk

0vm)k o 2(

tt o sin) vv(

y

• Frekanslar

• Öz vektörler

• Mod şekilleri0m)k i 2( i

1, 2,...n

Çok serbestlik dereceli sistem• Mod şekillerinin dikliği

• Kütle matrisine göre

• Rijitlik matrisine göre

iT m j = 0

iT k j = 0

• Sönüm matrisine göre (kabul)

i j

iT c j = 0

Modların birleştirilmesi

N

ii tYt

1)()( iv Yj = j

T m v / Mj i 1

Yj = jT m v / Mj Genelleştirilmiş koordinat

Mj = j

T m j Genelleştirilmiş kütle Cj = j

T c j = 2 j j Mj Genelleştirilmiş sönüm Kj = j

T k j = j2 Mj Genelleştirilmiş rijitlik


Modların birleştirilmesi• Çözüm için kabul

N

ii

N

ii tYt

11)()( ivv

T 12

jg

Tjjjjjjj M

vYYY 12 2 1m


j tVL

tY )()(

jDtjjt

gi

jjDj

jj

dtevtV

tVM

tY

)]([sin)()(

)()(

)(

1mTjj

jg

L

0


)()()()( 2 tYtYtt jjjjjjj mkvkf

)(max jjvjDj

jj TS

ML

Y

)(2

max2

max jjvjDj

jjjjjjj TS

ML

Y

mmf


nj

j

j

n

njjjjTjj

mm

mM 2

1

2

1

2100

0000

m

n

iijinjnjj

j

mmmm1

22222

211 ...

jjjTjj m

mL 2

1

21 11

0000

1m

n

iijinjnjj

n

njjjjj

mmmm

mmL

12211

221

...

11

0000

1m



j

jjajjj M

TSL )(max

mf

jM

),(11

maxn

ijiijja

j

jn

iijjb mTS

M

LfV

),(),( *2

jjajjjaj

j TSMTSM

L


n

ijii

jjjj

mL

LM

2

12

* )(

n

ijii

jjjj

mM1

2

niji

jbijm

mVf

2max

2max

2max2

2max1max ... nvvvv

i

ijim1

mn

Modların birleştirilmesi*

M*M A (t)

*

V (t)

f (t)nj

bj j jj*

h n

jh h j

V (t)bjM (t)bj

bjV (t)

bjM (t)

Sayısal integrasyon

)()()()()()( tttttt gvmvkvcvm

)()()()()()( tttttt gvmvkvcvm



a) Mutlak değerlerin toplamıa) Mutlak değerlerin toplamı

b) Karelerinin toplamının karekökü

oNonoN

jj rrrtrtr

......)()( 1

1maxmax

2/12221

2/1

1

2maxmax ......)()( Nonoo

N

jj rrrtrtr

Modların birleştirilmesi..

gv (t) 0

-0.4g

0.4g

v1

v2

3v

0.4gEl Centro (1940,KG) yer hareketi

01V = 1174 kN

1. mod katkısı

2. mod katkısı

V (t)01

1000

0

-1000

3. mod katkısı

v0

1. mod katkısı

3. mod katkısı

2. mod katkısı

1Y (t) , mm

-100

0

100

100

-100

Y (t) , mm 02

100

v = 124.7 mm31

v = 39.6 mm32

v = 2 5 mm

V = 836 kN02

V = 200 kN

-1000

1000

0

1000

V (t)02

3020

V (t)0

toplam

100t (s)

Taban kesme kuvvetiÜçüncü kat yer değiştirmesit (s)

3020100

3v = 131.1mm

toplam-100

Y (t) , mm 03

100

-100

v (t) = Y (t) 03 3 i ii = 1

3

v = 2.5 mm33 V = 200 kN03

0V = 1539 kN-1000

0

-1000

1000

0V (t) 0

V (t) = V (t) 0

3

i = 1o i

03V (t)

Rijit döşemeli çerçeve3v

3m

2v

v

c 2

c 3k 3

k 2

m 2

v 1

(t)v g

c 1k 1

m 1

Uzay çerçeve

R ( x , y )R R

GGG ( x , y )

y ik

x ik

v g x

g yv

y

x


Çerçeve1.mod

elastik katlıçerçeveerçeve

jit katlı

2.mod

Perde davranışı

H

d

b

eğilme momenti

h

yük

Perde çerçeve etkileşimi

negatif perde

çerceve

toplam

perde

kesme kuvveti

kesme kuvveti

kesme kuvveti

yük

kileşi

m

frenl

iyor

çerç

eve

çerc

evey

i

perdekesme kuvvetiet

kpe

rde

çerc

evey

i

çerçeveperde

frenl

iyor

Sönüm

f (t)

v

A

0

k

(t)

f (t)alan

k

v

B

(t)


Sönüm

• Dış viskoz sönüm• İç viskoz sönüm• Coumb sönümü• Çevrimsel sönüm• Enerji yayılma sönümü

Süneklik = max / y

f

elastik

elasto plastik

Bmaxf

elasto-plastik

CAf y

0 maxy

Örnek

22= 62.5 g t (t - 0.4)vg

..

0.1g

..gv

k

2c

1.5 m

c

2v

3v

h

h

m

idealize edilmis yer hareketi : noktasal kaynak

0.40.20t(s)3k

2k

3c

c

2.0 m1v

v

h

h

Örnek

kkkkk

mm

vtt g

32025

05.10002

)()(

km

1mvkvm

kkm 000


Örnekidealize edilmiş yer hareketi

3

10

v (t) , mm

m = 25000 kg , k =1200 kN/m , c =100 kNs/m

1.50 s

2

10

v (t) , mm

1

v..

10

/ g

v (t) , mm

t (s)2.42.01.6

gv / g

0.05

0.10

1.20.80 0.4

Örnek

100

159.1 mmEl Centro (1940)

3v (t) , mm

150m = 25000 kg , k =1200 kN/m , c =40 kNs/m

50

0

88.9 mm2v (t) , mm

1

0

g..v /g

v (t) , mm

50

44.5 mm

t (s)10842

-0.2

-0.3

-0.1

0

0.1

6

Sönüm

(t)vm(t)vk(t)(t)vm g Df

v > 0

s

c2alan = sf (t) = k v (t)k

Df (t) + f (t)Df (t)

cc

v > 0

v < 0

yükleme

boşaltma

v (t)

v < 0

v

Viskoz sönüm

)()( tvctf D

2 2222

cdt)t(coscdt)t(v)t(fE/

o

T

oD

22 2

k

EEc


Örnekİki katlı çerçeve

12k (v - v )

g11.0m (v + v )

2 g0.9m (v + v )

h

1v

2v

hm

0.9m

k

1k v

g

h

1

gv

hk

ÖrnekHareket denklemleri

0)()( 1211 vvkvkvvm g

0)()(9.0 122 vvkvvm g

ÖrnekSerbest titreşim

kk

tt )()( 0vkvm

kkkk

mm 2

9.000

km

ÖrnekPeriyotlar

090

22

22

mkkkmkm-k

kmii /2

Resim görüntülenemiyor. Bilgisayarınızda resmi açmak için yeterli bellek olmayabilir veya resim bozulmuş olabilir. Bilgisayarınızı yeniden başlatın ve sonra dosyay ı yeniden açın. Kırmızı x y ine görünürse, resmi silip yeniden eklemeniz gerekebilir.9.0 mkk

018.29.09.011

12 22

k

m

sTsTss

kNmgmkNk

102.0262.048.6199.23

147/20979700.2411.0

211

21

1

21


ÖrnekTitreşim mod şekilleri

0( 2 ii m)-k

00

901112

21

11

1

1

09.011 211

00

629.011589.1

411.09.0111411.02

21

11

21

11

0629.0589.1589.1 11

0629.01 21

11

000.1629.0

0629.00629.0121

112111

21

11

ÖrnekTitreşim mod şekilleri

0( 2 ii m)-k

012 122 0( ii m)-k

09.011 222

00

429.111700.0

700.29.0111700.22

22

12

22

12

0429170007000

00

429.11429.1700.0700.0

22

12

000.1429.1

0429.10429.1122

122212

22

12

ÖrnekMod şekillerinin dikliği ve genelleştirilmiş kütle

0000.1429.1

9.000

000.1629.021

mmT m

0000.1429.12

000.1629.021

kkkkT k

m 62900

mm

mM

mm

mM

T

T

942.2000.1429.1

9.000

000.1429.1

296.1000.1629.0

9.000

000.1629.0

222

111

m

m

ÖrnekGenelleştirilmiş rijitlik

kkk

K

kkkkk

K

T

T

9427429.12

00014291

533.0000.1629.02

000.1629.0

222

111

k

k

mkMKmkMK

kkk

K

/700.2//411.0/

942.7000.1

000.1429.1

222211

21

222

k


Örnek / Etkili modal kütle

mmmm

m

mM

ii

ii

j jij

j jiji

)()(

)(222

211

22211

21

2

221*

kNgM

kNgM

0.140.147000190429101

)000.19.0429.10.1(

2.2650.147000.19.0629.00.1

)000.19.0629.00.1(

22

2*2

22

2*1

k Ngmgm

KngMgM

3.2790.147)9.00.1(

1.2790.142.265

000.19.0429.10.1

21

*2

*1

ÖrnekTasarım spektrumu

max/ ga vS

2.5

1 0

T =0.1s A T =0.3sB 1T

1.0

0

ÖrnekModal taban kesme kuvveti

gvg 4.0m ax

gSsT a

g

0.1262.0 11

kNSMVkNSMV abab 0.142.265 2*221

*11

gSsT a 0.1102.0 22

Örnek / Modal kat kuvvetlerimm

mVf

ii

jijibji

016290

1211

kNf

kNf

1.1569.0000.10.1629.0

9.0000.12.265

1.1099.0000.10.1629.0

0.1629.02.265

21

11

kNf

kNf

8.239.0000.10.1429.1

9.0000.10.14

8.379.0000.10.1429.1

0.1429.10.14

22

12


ÖrnekModal kat kuvvetleri

109.1kN

156.1kN

37.8kN

23.8kN

2f (kN)1f (kN)

265.2kN 14.0kN

ÖrnekKat yerdeğiştirmleri

kkkk /1/12

dk

kkkk /2/1

dk

mmmm

kkkk

vv

1.206.12

1.1561.109

/2/1/1/1

21

11 fdv

mmmm

kkkk

vv

2.17.1

8.238.37

/2/1/1/1

22

12

21

fdv

ÖrnekBirleştirilmiş taban kesme kuvveti

ve kat yerdeğiştirmesleri

mmvvv

kNVVV bbb

6.127.16.12

6.2650.142.265

22221

2111

2222

21

mmvvv 1.202.11.20 22222

2212

Earthquake Engineering) / Earthquake motion: / 2013 Prof.Dr. Zekai Celep (http://web.itu.edu.tr/celep/) Single-degree-of-freedom system subjected to an earthquake motion:

22 ( )gu u u u t (7.26)

)1( 2 D 1( , , ) ( ) exp[ ( )]sin[ ( )]t

g DD o

u t u t t d

( , , ) ( ) exp[ ( )]cos[ ( )] ( , , )t

g Do

u t u t t d u t

2( ) ( ) ( ) 2 ( )u t u t u t u t (7 27)( , , ) ( ) ( , , ) 2 ( , , )gu t u t u t u t (7.27)

Maximum displacement ( )dS T , velocity ( )vS T and acceleration ( )aS T

max( , ) ( , , )dS T u t max( , ) ( , , )vS T u t

max( , ) ( , , ) ( )a gS T u t u t ( D assumed) (7.28)


Since the exact initial time of the earthquake is not known and the functions sin and cos display similar variations, the following relationship can be written:

0( , ) ( ) exp [ ( )] sin [ ( )]

t

v gS T u t t d (7.29) 0 max

2( , ) ( , ) ( , )a v dS T S T S T (7.30)

Elastic and inertia forces:

maxS df k S maxI af m S (7.33) Maximum elastic energy

2 2 2 2 2max max

1 1 1 1[ ( , )]2 2 2 2d d vE t k u k S m S m S (7.35)

0 4 4 8 12 16 20

-0.4

0

0.4

Erzincan 1992East-west

gmax..

u =0.496g

g.. u (

t)/g

T=2s t=5.86s

-0.2

87mu(

t)T=2s =0.02

u(t)

0 4 8 12 16 20

-0.4

0

0.4

0 4 8 12 16 20

-0.4

0

0.4 4 8 12 16 20

0 4 8 12 16 20

-0.4

0

0.4

u(t)

Time t(s)

T=6s

T=4s

t=11.20s

0.32

9m

-0.4

41m

t=7.40s

u(t)

u(t)

T=4s =0.02

T=6s =0.02

u(t)

Spectral curvefor displacement

Free vibration period T (s)0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

=0.10

S =

0.32

9m

S =

0.44

1m

S =

0.28

7md

d d

S (

m)

d

Properties of the spectral curves:

( , 0, ) 0u t T ( , 0, ) 0u t T ( , 0, ) 0u t T

max( 0, ) ( , 0, ) 0dS T u t T = max

max( 0, ) ( , 0, ) 0vS T u t T =

max max( 0, ) ( , 0, ) ( ) ( )v g gS T u t T u t u t = + (7.36)

( , , ) ( ) 0gu t T u t¥ + ( , , ) ( ) 0gu t T u t ¥ + g g

( , , ) ( ) 0gu t T u t ¥ +

max max( , ) ( , , ) ( )d gS T u t T u t ¥ = ¥ -

max max( , ) ( , , ) ( )v gS T u t T u t ¥ = ¥ -

max( , ) ( , , ) ( ) 0a gS T u t T u t ¥ = ¥ + (7.37)

/ (2 )d vS T S 2 /a vS S T (7.38)


Example Consider the three-degree-of-freedom system shown and evaluate the equivalent seismic elastic forces 325 10m kg 1200 /k kN m The mass and stiffness matrices of the system and the free vibration frequencies and the mode shapes:

2 0 00 1.5 00 0

mm

m

m 5 2 02 30

k kk k k

k k

k 1

2

3

( )u

t uu

u

2 0 k m 2

1 0.351 /k m 22 1.607 /k m 2

3 3.542 /k m

u (t)3 s (T)/ga

(a) (b)

2m

1.5m

m

h

h

h k

2k

3k

3

u (t)2

u (t)1

0.100.28

1.0

0.50

1.50T(s)

T =1.53s1T =0.72s2T =0.48s3

0.90

3

0.83

9

0.39

2

0

1

0.3020.6481.000

2

0.6790.606

1.000

3

2.4382.541

1.000

1

2

3

23

h hh h

hh

h

The generalized masses and stiffnesses:

1 1 1 1.812T m m 2 2.743m 3 22.573m

1 1 1 0.637T k k 2 3.973k 3 79.951k

1 1 1 1 2 3/ 0.333 ( ) 0.536 ( ) 0.552 ( )TY M u t u t u t mu 1 1 1 1 2 3/ 0.333 ( ) 0.536 ( ) 0.55 ( )u t u t u tu

2 1 2 3( ) 0.549 ( ) 0.368 ( ) 0.404 ( )Y t u t u t u t

3 1 2 3( ) 0.216 ( ) 0.169 ( ) 0.044 ( )Y t u t u t u t

0.302 2 0 0 10.648 0 1.5 0 1 2.5761 11.000 0 0 1

T mTL m m

m

m1

1.2672 2TL mm1 2.0653 3

TL mm1 2 2 3 3

1

11

1.267 1.4221.812

L mM m

2 0.512 3 0.091

* 2.576 1.422 3.6631 1 1M L m m *2 0.649M m *

3 0.188M m

(2.0 0.302 1 1.5 0.648 2 1.0 1.000 3) 5.5481 11

3L m h m h m hn n n

n

0.1762L m h 0.2533L m h

*1

5.5481 2.1542.576

L m hh hL m1

*

2 0.139h h *3 0.123h h

The sum of the modal masses is equal to the sum of the actual masses: 3 3 *

1 1(2.0 1.5 1.0) 4.5 (3.663 0.649 0.188)j

j jm m m M mj

The sum of the moments of the story masses with respect to the base is equal to the moment of the effective modal masses by using the effective heights.

3(2.0 1 1.5 2 1.0 3) 8

1m h m h m hj j

j

3 * * * *

1(3.663 2.154 0.649 0.139 0.188 0.123) 8j j

jh M m h


The periods are calculated for using the curve of the spectral acceleration:

1 6 31

2 2 2 1.530.351 / 0.351 1.2 10 / (25 10 )

T sk m

2 0.72T s 3 0.48T s The spectral accelerations for each periods:

1( 1.53 ) 0.392aS T s g 2( 0.72 ) 0.839aS T s g

3( 0.48 ) 0.903aS T s g Modal base shear forces for each mode:

* ( ) 3 663 0 392 1 436V M TS1 1 1max ( ) 3.663 0.392 1.436b aV M T m g m gS

*2 2 2max ( ) 0.649 0.839 0.545b aV M T m g m gS

*3 3 3max ( ) 0.188 0.903 0.170b aV M T m g m gS

Corresponding story forces for the each mode:

max max 3

1

nj bjmn njf V

k kjk

m

2 0.3021 436 0 337f max 1.436 0.337

2 0.302 1.5 0.648 1 1.00011f m g m g

max1.5 0.6481.436 0.542

2 0.302 1.5 0.648 1 1.00021f m g m g

max1 1.0001.436 0.557

2 0.302 1.5 0.648 1 1.00031f m g m g

2 0.6790 545 0 583f m g m g max 0.545 0.583

2 0.679 1.5 0.606 1 1.00012f m g m g

max 0.39022f m g max 0.43032f m g

max2 2.4380.170 0.401

2 2.438 1.5 2.541 1 1.00013f m g m g

max 0.31323f m g max 0.08233f m g

Corresponding modal displacements

12 2 2

1 2 5 56

2 5 11k

d k

1max 1max

2 2 2 0.337 0.479 /1 2 5 5 0.542 1.028 /

62 5 11 0.557 1.585 /

mg mg kmg mg k

kmg mg k

u df

2 max 2max

0.583 0.269 /0.390 0.161 /

mg mg kmg mg k

u df d a a

0.430 0.181 /mg mg k

3max 3max

0.401 0.023 /0.313 0.059 /0.082 0.057 /

mg mg kmg mg kmg mg k

u df d

Modal combination of the story shear by using the rule of the square root of the sum of the squares of the parameters:

2 2 2 2 2 21 11 21 31 (1.436) (0.544) (0.168) 1.545V V V V m g m g

2 2 2 2 2 22 12 22 32 (1.099) (0.040) (0.401) 1.171V V V V m g m g

2 2 2 2 2 23 13 23 33 (0.577) (0.430) (0.082) 0.724V V V V m g m g

The modal combination of the modal displacements:

2 2 2 2 2 21 11 21 31 ( / ) (0.479) (0.181) (0.023) 0.513 /u u u u m g k m g k

2 2 2 2 2 22 12 22 32 ( / ) (1.028) (0.161) (0.059) 1.042 /u u u u m g k m g k

2 2 2 2 2 23 13 23 33 ( / ) (1.585) (0.269) (0.057) 1.609 /u u u u m g k m g k


h =

2.15

4h

M =3.663m

* 1

h =

0.13

9h

* 2 h =

0.12

3h

* 3

1*

M =0.649m2*

M =0.188m3

nt s

tory

forc

es

(a)

h

First mode Second mode Third mode

h h

0.557mg

0.542mg

0 337mg

0.430mg

0.390mg

0 583mg

0.082mg

0.313g

0 401mgbutio

n of

st m

ode

butio

n of

cond

mod

e

butio

n of

ird m

ode

0.075mgh 0.021mgh3.092mgh

Equ

ival

en

(b)

0.337mg 0.583mg 0.401mg

1.436mg 0.544mg 0.170mg

Con

trib

the

firs

Con

trib

the

se

Con

trib

the

thi

0.401mg

0.544mg 0.168mg

Equ

ival

ent s

tory

shea

r for

ces 0.040mg

1.436mg

1.099mg

0.557mg 0.430mg

0.544mg

1.436mg

0.082mg

0.168mg(c)

Con

tribu

tion

ofth

e fir

st m

ode

Con

tribu

tion

ofth

e se

cond

mod

e

Con

tribu

tion

ofth

e th

ird m

ode

(d)

1.609mg/k

1.585mg/k

1.028mg/k

0.479mg/k

0.269mg/k

0.161mg/k

0.5181mg/k

0.057mg/k

0.059mg/k

0.023mg/k

Sto

ry d

ispl

acem

ents

Con

tribu

tion

ofth

e fir

st m

ode

Con

tribu

tion

ofth

e se

cond

mod

e

Con

tribu

tion

ofth

e th

ird m

ode

(e) Results of themodal combination

Equ

ival

ent s

tory

shea

r for

ces

1.545mg

1.171mg

0.724mg

1.545mg

1.609mg/k

1.042mg/k

0.573mg/k

Sto

ry d

ispl

acem

ents

deprem depreme dayanikli yapi tasarimi … · 0 9 2 2 2 2 k k m k m k k - m i i m/k 2 resim...

Documents