definición de límites matemáticos

8/18/2019 Definición de Límites Matemáticos

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DEFINICIÓN DE LÍMITES MATEMÁTICOS

El término que ahora vamos a analiar es interesante re!al!ar que est" #orma$o %or la uni&n $e $osvo!a'los que tienen su ori(en etimol&(i!o en len(uas anti(uas) As*+ l*mites %ro!e$e $e la %ala'ra latinalimes+ que es el (enitivo $e limitis que %ue$e tra$u!irse !omo 'or$e o #rontera $e al(o)

,or su %arte+ matem"ti!os es una %ala'ra que tiene su !ita$o ori(en en el (rie(o - !on!retamente en eltérmino mathema) Este %ue$e $e#inirse !omo el estu$io $e un tema o asunto $etermina$o)

La división que mar!a una se%ara!i&n entre $os re(iones se !ono!e !omo límite) Este término tam'ién seutilia %ara nom'rar a una restri!!i&n o limita!i&n+ al e.tremo que se %ue$e al!anar $es$e el as%e!to#*si!o - al e.tremo a que lle(a un %erio$o tem%oral)

,ara la matemática+ un l*mite es una ma(nitu$ a la que se a!er!an %ro(resivamentelos términos $e una se!uen!ia in#inita $e ma(nitu$es) /n límite matemático+ %or lo tanto+ e.%resa la

ten$en!ia $e una #un!i&n o $e una su!esi&n mientras sus %ar"metros se a%ro.iman a un !ierto valor)

/na $e#ini!i&n in#ormal $el l*mite matem"ti!o in$i!a que el límite de una función f(x) es T !uan$o xtien$e a s+ siem%re que se %ue$e hallar %ara !a$a o!asi&n un x !er!a $e s $e manera tal que el valor $e f(x)sea tan !er!ano a T !omo se %reten$a)

No o'stante+ a$em"s $el l*mite !ita$o+ no %o$emos o'viar que e.isten otros mu- im%ortantes en el "m'ito$e las Matem"ti!as) As*+ tam'ién se %ue$e ha'lar $el l*mite $e una su!esi&n que %ue$e ser e.istente o0ni!o - $iver(ente+ en el !aso $e que los términos $e aquella no !onver1an en nin(0n %unto)

De la misma manera+ tam'ién ha- que ha'lar $e otra serie $e l*mites matem"ti!os tales !omo el l*mite $euna su!esi&n $e !on1untos o el $e es%a!ios to%ol&(i!os) Entre estos 0ltimos est"n los que ha!en re#eren!iaa los #iltros o a las re$es)

Finalmente tam%o!o %o$emos %asar %or alto la e.isten!ia $e lo que se !ono!e !omo L*mite $e 2ana!h)Este 0ltimo+ que re!i'e el nom're $el matem"ti!o %ola!o Ste#an 2ana!h+ es aquel que (ira entorno a loque se !ono!e !omo es%a!io $e 2ana!h) Este es una %iea #un$amental $entro $e lo que es el an"lisis#un!ional - %ue$e $e#inirse !omo el es%a!io $on$e est"n #un!iones que !uentan !on una $imensi&nin#inita)

Al i(ual que otros !on!e%tos matem"ti!os+ los l*mites !um%len !on $iversas %ro%ie$a$es (enerales quea-u$an a sim%li#i!ar los cálculos) Sin em'ar(o+ %ue$e resultar mu- $i#*!il !om%ren$er esta i$ea -a que setrata $e un !on!e%to a'stra!to)

En matem"ti!a+ la no!i&n est" vin!ula$a !on la varia!i&n $e los valores que toman las #un!iones osu!esiones - !on la i$ea $e a%ro.ima!i&n entre números) Esta herramienta a-u$a a estu$iar el!om%ortamiento $e la #un!i&n o $e la su!esi&n !uan$o se a!er!an a un %unto $a$o)

La $e#ini!i&n #ormal $el l*mite matem"ti!o #ue $esarrolla$a %or $iversos te&ri!os $e to$o el mun$o a lolar(o $e los a3os+ !on tra'a1os que !onstitu-eron la 'ase $el cálculo

Infinitesimal

Del lat*n limitatĭo+ limitación es la acción y efecto de limitar o limitarse) El ver'o limitar re#iere a %oner l*mites a al(o+ mientras que la no!i&n $e límite est" vin!ula$a a una l*nea que se%ara $os territorios+al e.tremo a que lle(a un $etermina$o tiempo+ al e.tremo que %ue$e al!anar lo an*mi!o - lo #*si!o o auna restri!!i&n)

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Limita!i&n+ %or lo tanto+ %ue$e utiliarse !omo sinónimo de límite en !iertos!onte.tos) ,or e1em%lo4 “El presupuesto que tenemos es una limitación para reforzar el equipo, peroharemos lo posible para sumar jugadores de jerarquía”+ “Si contrata este paquete, podrá utilizar el

sericio sin ning!n tipo de limitación”+ “"a #usticia impuso limitaciones al uso del espacio p!blico para

eitar conflictos entre los ecinos”+ “En $rgentina, se conoce como tenedor libre a los restaurantes que permiten comer todo lo que uno desea, sin ninguna limitación % por un precio fijo”)

/na limita!i&n %ue$e ser !ualquier ti%o $e restri!!i&n) La limitación de velocidad in$i!a la velo!i$a$m".ima %ermiti$a en !iertos !aminos) Si la limita!i&n $e velo!i$a$ en una !arretera %rovin!ial es $e 567il&metros %or hora+ los !on$u!tores no est"n ha'ilita$os %ara e.!e$er $i!ha velo!i$a$) ,or lo tanto+ si loha!en+ %ue$en ser multa$os o san!iona$os)

La limitación de tráfico+ %or otra %arte+ est" vin!ula$a a la %rohi'i!i&n $e !ir!ula!i&n $e veh*!ulos en$etermina$os horarios o lu(ares) Estas limita!iones son ha'ituales %ara la %rote!!i&n $e !iertos entornosnaturales+ $e manera tal $e re$u!ir los niveles $e contaminación) /n e1em%lo $e limita!i&n $e tr"#i!o

tiene lu(ar en los %arques na!ionales en los que se %ermite el in(reso $e s&lo !ien autom&viles %or $*a)Delimitación es la acción y efecto de delimitar) Este ver'o ha!e re#eren!ia $eterminar los límites $eal(o) ,or e1em%lo4 “"a delimitación de la frontera fue un motio de conflicto entre ambos países” + “El

gerente de una empresa debe inertir tiempo en la delimitación de las funciones de cada empleado, para

eitar roces % malentendidos”+ “&odaía no realic' la delimitación del campo”)

La no!i&n $e límite+ %or su %arte+ re#iere a la l*nea real o ima(inaria que se%ara$os territorios o a una restri!!i&n o limita!i&n+ entre otras !osas) Delimitar+ %or lo tanto+ !onsiste en traar una división 8se%aran$o $os o m"s !osas9 o en im%oner un !er!o 8#*si!o o sim'&li!o9)

En este senti$o+ %ue$e $elimitarse tanto un terreno me$iante alam'ra$os o !omo las res%onsa'ili$a$es $eun em%lea$o a través $e instru!!iones u &r$enes) Esto quiere $e!ir que el término %ue$e men!ionar unase%ara!i&n #*si!a - !on!reta 8el alam'ra$o que mar!a un l*mite entre $os %ro%ie$a$es9 o una restri!!i&nm"s a'stra!ta 8la or$en que #i1a qué tareas !um%lir9)

La $elimita!i&n $el territorio era al(o mu- im%ortante ha!e varios si(los+ !uan$o las %oten!ias euro%easse e.%an$ieron ha!ia otras re(iones a través $el colonialismo - lue(o !uan$o las !olonias !omenaron a

in$e%en$iarse) En $i!hos %ro!esos+ se hio ne!esario esta'le!er nuevos l*mites en !a$a nación o región)

Otra no!i&n rela!iona$a es limitación+ que in$i!a la a!!i&n - e#e!to $e limitar o limitarse) El uso $elimita!i&n - $elimita!i&n+ en el len(ua1e !oti$iano+ es !asi i$énti!o+ -a que am'os términos suelen usarse!omo sin&nimos en al(unos !onte.tos)

Límite matemático

De :i7i%e$ia+ la en!i!lo%e$ia li're

En matem"ti!a+ el límite es un !on!e%to que $es!ri'e la tendencia $e una su!esi&n o una #un!i&n+ a

me$i$a que los %ar"metros $e esa su!esi&n o #un!i&n se a!er!an a $etermina$o valor) En !"l!uloin#initesimal 8es%e!ialmente en an"lisis real - matem"ti!o9 este !on!e%to se utilia %ara $e#inir los!on!e%tos #un$amentales $e !onver(en!ia+ !ontinui$a$+ $eriva!i&n+ inte(ra!i&n+ entre otros) Si 'ien+ el!on!e%to $e l*mite %are!e intuitivamente rela!iona$o !on el !on!e%to $e $istan!ia+ en un es%a!io

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eu!l*$eo+ es la !lase $e !on1untos a'iertos in$u!i$os %or $i!ha métri!a+ lo que %ermite $e#inir ri(urosamente la no!i&n $e l*mite)

El !on!e%to se %ue$e (eneraliar a otros es%a!ios to%ol&(i!os+ !omo %ue$en ser las re$es to%ol&(i!as; $ela misma manera+ es $e#ini$o - utilia$o en otras ramas $e la matem"ti!a+ !omo %ue$e ser la teor*a $e!ate(or*as)

,ara #&rmulas+ el límite se utilia usualmente $e #orma a'revia$a me$iante lim !omo en lim8an9 < a o se

re%resenta me$iante la #le!ha 8=9 !omo en an = a)

La $e#ini!i&n $e l*mite matem"ti!o %ara el !aso $e una su!esi&n nos in$i!a intuitivamente que lostérminos $e la su!esi&n se a%ro.iman ar'itrariamente a un 0ni!o n0mero o %unto + si e.iste+ %aravalores (ran$es $e ) Esta $e#ini!i&n es mu- %are!i$a a la $e#ini!i&n $el l*mite $e una #un!i&n !uan$otien$e a )

Formalmente+ se $i!e que la su!esi&n tiende hasta su límite + o que converge o es convergente 8a9+ - se $enota !omo4

si - s&lo si %ara to$o valor real (>6 se %ue$e en!ontrar un n0mero natural tal que to$os los términos $ela su!esi&n+ a %artir $e un !ierto valor natural ma-or que !onver1an a !uan$o !re!a sin !ota)

Es!rito en un len(ua1e #ormal+ - $e manera !om%a!ta4

Este l*mite+ si e.iste+ se %ue$e $emostrar que es 0ni!o) Si los términos $e la su!esi&n no !onver(en anin(0n %unto es%e!*#i!o+ enton!es se $i!e que la su!esi&n es diergente)

En an"lisis real %ara #un!iones $e una varia'le+ se %ue$e ha!er una $e#ini!i&n $e l*mite similar a la $el*mite $e una su!esi&n+ en la !ual+ los valores que toma la #un!i&n $entro $e un intervalo se vana%ro.iman$o a un %unto #i1a$o c+ in$e%en$ientemente $e que éste %ertene!a al $ominio $e la #un!i&n)Esto se %ue$e (eneraliar a0n m"s a #un!iones $e varias varia'les o #un!iones en $istintos es%a!iosmétri!os)

In#ormalmente+ se $i!e que el límite de la función f( x ) es L cuando x tiende a c+ - se es!ri'e4

si se %ue$e en!ontrar %ara !a$a o!asi&n un ) su#i!ientemente !er!a $e c tal que el valor $e #8 )9 sea tan %r&.imo a L !omo se $esee)

,ara un ma-or ri(or matem"ti!o se utilia la definición épsilondelta $e l*mite+ que es m"s estri!ta -!onvierte al l*mite en una (ran herramienta $el an"lisis real) Su $e#ini!i&n es la si(uiente4

?El l*mite $e f*)+ !uan$o ) tien$e a c es i(ual a " si - s&lo si %ara to$o n0mero real ( ma-or que!ero e.iste un n0mero real ma-or que !ero tal que si la $istan!ia entre ) - c es menor que +enton!es la $istan!ia entre la ima(en $e ) - " es menor que ( uni$a$es?)

Esta $e#ini!i&n+ se %ue$e es!ri'ir utilian$o términos l&(i!o@matem"ti!os - $e manera !om%a!ta4

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4/204


5/205


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9/209


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13/20

Ejercicios de límites

@.B B. @

lim @@@@@@@@@@@@@@

.@>@in# . @

13


14/20

@.B B. @ @.B @

lim @@@@@@@@@@@@@@ < lim @@@@@@ < lim @@@ < 6

.@>@in# . @ .@>@in# . .@>@in# .

GHB . @ GHB

lim @@@@@@@@@@@@@.@>6 .

In$etermina!i&n 66

)

GHB . @ GHB GHB . @ GHB 8GHB . GHB 9

lim @@@@@@@@@@@@@ < lim @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ <

.@>6 . .@>6

.8 GHB . GHB 9

B . @ B

lim @@@@@@@@@@@@@@@@@@ < lim @@@@@@@@@@@@@ < @@@@@

.@>6 .@>6

.8GHB . GHB 9 8GHB . GHB 9 BGHB

. @ . B

lim @@@@@@@@@@@@@

.@> .B . @ B

In$etermina!i&n 66

. @ . B 8. @ 98. @ 98. @ B9

lim @@@@@@@@@@@@@ < lim @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ < 6.@> .B . @ B .@> 8. @ 98. B9

Ju##ini4

. K.B

lim @@@@@@@@@@@.@>6 .K @ B.B

In$etermina!i&n 66

14

6 @ B

@B

@B 6

B

B 6

@B @B

6

@B

B

B 6

@B @B

6


15/20

. K.B .B8. K9 K

lim @@@@@@@@@@@ < lim @@@@@@@@@@@@@ < @@@ < @B

.@>6 .K @ B.B .@>6 .B8.B @ B9 @B

L8. @ 9

lim @@@@@@@@@

.@>B e.@B @

In$etermina$o 66 equiv) a . @ B

@@@@@@

L8. @ 9 . @ B

lim @@@@@@@@@ < lim @@@@@ < %or l*mites ti%o

.@>B e.@B @ .@>B . @ B 8tam'ién se resuelve

@@@@@@ a%li!an$o L%ital9

equiv) a . @ B

. @

lim @@@@@@@@@@@

.@>in# . P

In$etermina!i&n 66

equiv) a 8.9L

@@@@@@

. @ 8.9L L

lim @@@@@@@@@@ < lim @@@@@@@ < @@@@ < lo(

.@>in# . @ .@>in# 8.9L L

@@@@@@ %or l*mites ti%o

equiv) a 8.9L

senK.

lim @@@@@@@

.@>6 B.In$etermina$o 66

equiv) a K.

@@@@

senK. )K.

lim @@@@@@@ < lim @@@@ < Q %or l*mites ti%o

.@>6 B. .@>6 B.

@ !os.

lim @@@@@@@@@

.@>6 .B

In$etermina$o 66

15


16/20

equiv) a 8.9BB

@@@@@@@@

@ !os. 8.9B 5

lim @@@@@@@@@ < lim @@@@@@@ < @@@ %or l*mites ti%o

.@>6 .B .@>6 B.B B

sen. t(B.lim @@@@@@@@@@@@

.@>6 .

In$etermina$o 66

equiv) a . equiv) a B.

@@@@ @@@@

sen. t(B. . B. .

lim @@@@@@@@@@@@ < lim @@@@@@@ < lim @@@@ < %or l*mites ti%o.@>6 . .@>6 . .@>6 .

lim 88. @ 98. 99.B

.@>in#

In$etermina$o in#

lim 8. B988. @ 98. 9 @ 9

lim 88. @ 98. 99.B < e .@>in# <

.@>in#

lim 8. B98. @ @ . @ 98. 9 lim @K8. B98. 9

e .@>in# < e .@>in# <

lim @K.. @K

e .@>in# < e < eK

lim .L.

.@>6

In$etermina$o 6)in#

L.lim .L. < lim @@@@@ < 6@ %or &r$enes $e in#initos

.@>6 .@>6 .

e. @ e

lim @@@@@@@@@

.@> .B @

In$etermina!i&n 66

e. @ e e. e

lim @@@@@@@@@ < lim @@@@ < @@@ %or L%ital

.@> .B @ .@> B. B

Tam'ién4

equiv) a 8.@9

16


17/20

@@@@@@@@

e. @ e e8e. @ @ 9 e8. @ 9 e

lim @@@@@@@@@ < lim @@@@@@@@@@@@@@ < lim @@@@@@@@@@@@@@ < @@@

.@> .B @ .@> .B @ .@> 8. @ 98. 9 B

%or l*mites ti%o

lim 8 B.9.

.@>in#

In$etermina$o in#

lim .8B.9 B

lim 8 B.9. < e .@>in# < e

.@>in#

L8L.9

lim @@@@@@@

.@>e . @ e

In$etermina!i&n 66 L8L.9

lim @@@@@@@ < lim @@@@@@ < @@@ %or L%ital

.@>e . @ e .@>e 8L.9. e

Tam'ién4

equiv) a L. @ equiv) a .e @

@@@@ @@@@

L8L.9 L. @ L. @ Le L8.e9

lim @@@@@@@ < lim @@@@@@@@ < lim @@@@@@@@ < lim @@@@@@@ <

.@>e . @ e .@>e . @ e .@>e . @ e H .@>e . @ e

H . @ e La @ L' < L8a'9

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Ejercicios de límites res)eltos paso por paso

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Ejercicios prop)estos

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Soluciones

definición de límites matemáticos

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