defesa apresentacao

Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluıdas

Krissia de Zawadzki

Instituto de Fısica de Sao Carlos - Universidade de Sao Paulo

Krissia de Zawadzki Relaxacao magnetica em ligas magneticas diluıdas 1 / 31

Introducao Nuvem Kondo e NMR Preparacao analıtica para calculo numerico de 1/𝑇1 Resultados numericos Conclusoes Agradecimentos

Sumario

1 Introducao

2 Nuvem Kondo e NMR

3 Preparacao analıtica para calculo numerico de 1/𝑇1

4 Resultados numericos

5 Conclusoes



Um pouco de historia

Um pouco de historia

1936: Mınimo de resistividade 𝜌 a baixas temperaturas

7 𝜌𝑚𝑖𝑛 contrariava a teoria de resistividade dos metais

3 1964: espalhamento anomalo residual seria associado a impurezasmagneticas



Inıcio do problema Kondo

Inıcio do problema Kondo

Resistivity

𝜌(𝑇 ) = 𝜌0+𝑐𝑚 ln( 𝜇𝑇 )+𝑎𝑇2+𝑏𝑇 5



A Nuvem Kondo

A Nuvem Kondo

𝑅𝑘

3 𝑅𝐾 ∝ 1𝑇𝐾

7 Para 𝑇𝐾 e 𝑣𝐹 tıpicos𝜉𝐾 ∼ 1𝜇m

7 mesoscopico? Efeito Kondoem nanoestruturas ?

3 Diversas abordagensteoricas e experimentais emMateria Condensada

Medida da nuvem Kondo

Estimativa qualitativa[1]

𝜉𝐾 = ~𝑣𝐹 /𝑘𝐵𝑇𝐾

[1]BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007.



Medidas de NMR em ligas metalicas

Medidas de NMR em ligas metalicas

14

12

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

K 10 15 20 25 30

50 30 20 15 10 5 1

M

N

C

B

T(K)

K

10

T+29(K )

3-1

Trabalhos experimentais

Ligas CuFe a temperaturas 𝑇 < 𝑇𝐾[2]

I Polarizacao de Fe na presenca de 𝐻induzindo 𝜎(𝑟) nos e− de conducao aoredor da impureza de Fe

I Resultados analogos aos de NMR

Knight shift

𝜒(𝑟, 𝑇 ) = 𝑓(𝑟)𝑔( 𝑇𝑇𝐾 )

[2]BOYCE, J.B.;SLICHTER, C.P. Phys Rev Lett, 32(2), 1974.



Trabalhos precedentes

Trabalhos precedentes



Proposta

Proposta

A taxa NMR permite medir 𝑅𝐾?

A geometria afeta a nuvem Kondo ?

𝑅 𝑘

z

x

y

+∞

−∞

+∞

−∞ +∞

Abordagem inicial: Geometria esferica

3 Ponta de prova distante daimpureza 𝑅≫ 1

7 Dificuldade analoga a experimental



Resultados

Resultados

1

𝑇1=

(1

𝑇1

)𝑠𝑐𝑎

𝑓 𝑛

𝑐 𝜀

Funcao espacial


𝑘𝑅



𝑘𝐹𝑅


𝐷


Escalar:

|𝑐𝜀|2 → (1−𝑊𝐹 )2

Matricial:

|𝑓𝑛|2 →𝑊 2𝐹

Vetorial:




Resultados

Resultados

1

𝑇1=

(1

𝑇1

)𝑠𝑐𝑎

+

(1

𝑇1

)𝑚𝑎𝑡

𝑓 𝑛

𝑐 𝜀

Funcao espacial


𝑘𝑅



𝑘𝐹𝑅


𝐷


Escalar:

|𝑐𝜀|2 → (1−𝑊𝐹 )2

Matricial:

|𝑓𝑛|2 →𝑊 2𝐹

Vetorial:




Resultados

Resultados

1

𝑇1=

(1

𝑇1

)𝑠𝑐𝑎

+

(1

𝑇1

)𝑚𝑎𝑡

+

(1

𝑇1

)𝑣𝑒𝑡

𝑓 𝑛

𝑐 𝜀

Funcao espacial


𝑘𝑅



𝑘𝐹𝑅


𝐷


Escalar:

|𝑐𝜀|2 → (1−𝑊𝐹 )2

Matricial:

|𝑓𝑛|2 →𝑊 2𝐹

Vetorial:




Taxa de relaxacao para 𝑘𝐹𝑅 ≫ 1


1

𝑇1=

(1

𝑇1

)𝑠𝑐𝑎

+

(1

𝑇1

)𝑣𝑒𝑡

+

(1

𝑇1

)𝑚𝑎𝑡

1

𝑇1∝ sin(𝑘𝐹𝑅+ 𝜃)

(𝑘𝐹𝑅)2𝑓(𝑇/𝑇𝐾)

𝑘𝐹𝑅 >> 1

10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1

kB T

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

(kFR)2

kT

( 1 T1

) vet

1e1

kFRπ =200.3

kFRπ =100.3

kFRπ =70.3

kFRπ =50.3

kFRπ =30.3

kFRπ =10.3

Componentes de 1/𝑇1(1

𝑇1

)𝑣𝑒𝑡

≫(

1

𝑇1

)𝑚𝑎𝑡




Condutancia em nanoestruturas

V𝑤

V

V𝑑

V𝑑

V𝑤 V𝑤

10-2 10-1 100 101 102 103 104

T/TK

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gs G 2

Λ =2.25

Λ =3.00

Λ =2.50

𝒢𝑠𝑖𝑑𝑒(𝑇 ) = 𝒢2𝛽𝜋Γ

𝒵

∑𝜙,𝜓

|⟨𝜙|𝑓0|𝜓⟩|2

𝑒𝛽𝐸𝜙 + 𝑒

𝛽𝐸𝜓𝒢𝑠𝑒𝑡(𝑇 ) = 𝒢2

𝛽𝜋Γ

𝒵

∑𝜙,𝜓

|⟨𝜙|𝑐𝑑|𝜓⟩|2

𝑒𝛽𝐸𝜙 + 𝑒

𝛽𝐸𝜓



Preparacao analıtica para calculo numerico de 1/𝑇1

Desenvolvimentos: Hamiltonianos 𝐻𝐴 e 𝐻𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒, diagonalizacao NRG ecalculo perturbativo de 1/𝑇1



O sistema quantico

O sistema quantico - I

Hamiltoniano de Anderson

𝐻 =

𝐻𝑐𝑜𝑛𝑑⏞ ⏟ ∑k𝜇

𝜀k𝑐†k𝜇𝑐k𝜇

𝜀 = 𝑣𝐹𝐷

(𝑘 − 𝑘𝐹 )

+𝐷

−𝐷

𝑘𝐹

DoS

𝜌 = 𝑁2𝐷



O sistema quantico



𝐻 =


𝜀k𝑐†k𝜇𝑐k𝜇+

𝐻𝑑⏞ ⏟ ∑𝜇

𝜀𝑑𝑐†𝑑𝜇𝑐𝑑𝜇 + 𝑈𝑛𝑑↑𝑛𝑑↓

𝜀 = 𝑣𝐹𝐷

(𝑘 − 𝑘𝐹 )

+𝐷

−𝐷

𝑘𝐹

DoS

𝜌 = 𝑁2𝐷



O sistema quantico



𝐻 =


𝜀k𝑐†k𝜇𝑐k𝜇+

𝐻𝑑⏞ ⏟ ∑𝜇

𝜀𝑑𝑐†𝑑𝜇𝑐𝑑𝜇 + 𝑈𝑛𝑑↑𝑛𝑑↓ +

𝐻𝑖𝑛𝑡⏞ ⏟ √Γ

𝜋

∑k𝜇

(𝑒𝑖k.d𝑐†k𝜇𝑐𝑑𝜇 +𝐻.𝑐.)



Hamiltonianos de Anderson e NRG

Hamiltoniano de Anderson na base de Lanczos

𝐻𝑁 =1

𝒟𝑁

(𝑁−1∑𝑛=0

𝑡𝑛(𝑓†𝑛𝑓𝑛+1 +𝐻.𝑐.) +

√2𝑉 (𝑐†𝑑𝑓0 +𝐻.𝑐.) +𝐻𝑑

)NRG

...... ......𝑓𝑛−9𝑓𝑛−9 𝑓𝑛−2𝑓𝑛−2 𝑓𝑛−1𝑓𝑛−1 𝑓𝑛𝑓𝑛

𝑓𝑛+1𝑓𝑛+1 𝑓𝑛+2𝑓𝑛+2

......𝑓𝑛+9𝑓𝑛+9

......

𝑒− 𝑒−𝑒−𝑒−

0 5 10 15 20 25 30 35

N

0

1

2

3

4

5

6

EN

(Q=0,S=0)

(Q=1,S=1/2)

(Q=0,S=1)

5 10 15 20 25 30 35

N

0

1

2

3

4

5

6

EN

(Q=0,S=1/2)

(Q=1,S=0)

(Q=1,S=1)



Base contınua

Base contınua

Operadores 𝑐𝜀 e 𝑑𝜀

𝑐𝜀𝜇 =1√𝜌

∑k

𝛿(𝜀− 𝜀𝑘)𝑒𝑖k.d𝑐k𝜇

𝑑𝜀𝜇 =1√𝜌

∑k

𝛿(𝜀− 𝜀𝑘)𝑒𝑖k.R𝑐k𝜇

Gram Schmidt

𝑐𝜀𝜇 = 1√1−𝑊 2

(𝑑𝜀𝜇 −𝑊 (𝜀,𝑅)𝑐𝜀𝜇)

{𝑐†𝜀𝜇, 𝑑𝜀′𝜇′} = sin(𝑘|��−𝑑|)𝑘|��−𝑑|

𝛿(𝜀− 𝜀′)𝛿𝜇,𝜇′

𝑊 (𝜀,𝑅) = sin(𝑘𝑅)𝑘𝑅


𝐷

)

𝑐 𝜀

𝑐 𝜀



Base contınua

Base contınua

Operadores 𝑐𝜀 e 𝑑𝜀

𝑐𝜀𝜇 =1√𝜌

∑k

𝛿(𝜀− 𝜀𝑘)𝑒𝑖k.d𝑐k𝜇

𝑑𝜀𝜇 =1√𝜌

∑k

𝛿(𝜀− 𝜀𝑘)𝑒𝑖k.R𝑐k𝜇

Gram Schmidt

𝑐𝜀𝜇 = 1√1−𝑊 2

(𝑑𝜀𝜇 −𝑊 (𝜀,𝑅)𝑐𝜀𝜇)

{𝑐†𝜀𝜇, 𝑑𝜀′𝜇′} = sin(𝑘|��−𝑑|)𝑘|��−𝑑|

𝛿(𝜀− 𝜀′)𝛿𝜇,𝜇′

𝑊 (𝜀,𝑅) = sin(𝑘𝑅)𝑘𝑅


𝐷

)𝑐 𝜀

𝑐 𝜀



A ponta de prova

O sistema quantico - II

Hamiltoniano da ponta de prova

𝐻𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴[Ψ†

↑(��)Ψ↓(��)𝐼− +Ψ†↓(��)Ψ↑(��)𝐼+

] Ψ𝜇(��) =∑��

𝑒𝑖��𝑐𝑘𝜇

Abordagem teorica

Taxa de relaxacaolongitudinal 1/𝑇1

[3]

𝐵0 = 0en

ergi

acampo magnetico

𝑚𝑠 = +1/2

𝑚𝑠 = −1/2

Δ𝐸 = 𝐸↑ − 𝐸↓

1

𝑇1=

4𝜋

~∑𝐼,𝐹

𝑃𝐼 |⟨𝐼|𝐻𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒|𝐹 ⟩|2𝛿(𝐸𝐼 − 𝐸𝐹 ) ⟨𝐼|𝐻𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒|𝐹 ⟩

[3]PINTO, J. W. M.; FROTA, H. O. Int Jour Mod Phys, 24(31), 2010.



Desenvolvimento analıtico - coeficientes de NRG

Taxa de relaxacao na base de Lanczos

𝐻𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴 [ Φ†0↑Φ0↓ + 𝜑†↑𝜑↓ + (Φ†

0↑𝜑↓ + 𝜑†↑Φ0↓) ] I− +𝐻.𝑐.

Φ0𝜇(𝑅) ≡∫ 𝐷

−𝐷𝑑𝜀√

1 −𝑊 (𝜀,𝑅)𝑐𝜀𝜇

analıtico

𝜑𝜇(𝑅) ≡∫ 𝐷

−𝐷𝑑𝜀 𝑊 (𝜀,𝑅)𝑐𝜀𝜇

numerico

𝛾𝑛(𝑅) =∑𝑚

(∫ℐ𝑚+

𝑊 (𝜀,𝑅)𝑑𝜀+ (−1)𝑛∫ℐ𝑚−

𝑊 (𝜀,𝑅)𝑑𝜀

)𝑢𝑛𝑚𝑢0𝑚

𝜑(𝑅) na Base de Lanczos

𝜑𝜇(𝑅) ≡∑𝑛

𝛾𝑛𝑓𝑛𝜇

Autoestados desacoplados

|Ψ⟩ = |𝜓⟩|𝜓⟩ 𝐸Ψ = 𝐸𝜓 + ��𝜓



Coeficientes da transformacao de RG - 𝛾𝑛


𝑛 caracterıstico

𝑘𝐹𝑅 = 𝑛𝜋

𝒩𝑘𝐹𝑅 =

⌈log(𝑘𝐹𝑅)

log(√Λ)

⌉ 0 5 10 15 20 25 30−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04NKFR

kFRπ =103

0 5 10 15 20 25 30−0.03

−0.02

−0.01

0.00

0.01

0.02

NKFR

kFRπ =102

0 5 10 15 20 25 30−0.008

−0.006

−0.004

−0.002

0.000

0.002

0.004NKFR

kFRπ =10

0 5 10 15 20 25 30−0.002

−0.001

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

NKFR

kFRπ =1

n

γn(R

)Λn


(𝒮𝑚+(𝑅) + (−1)𝑛𝒮𝑚−(𝑅))𝑢𝑛𝑚𝑢0𝑚






𝑘𝐹𝑅 = (𝑛+ 12 )𝜋

𝒩𝑘𝐹𝑅 =


log(√Λ)

⌉+ 1

0 5 10 15 20 25 30−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

NKFR

kFRπ −1

2=103

0 5 10 15 20 25 30−0.015

−0.010

−0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

NKFR

γ0

kFRπ −1

2=102

0 5 10 15 20 25 30−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

NKFR

γ0

kFRπ −1

2=10

0 5 10 15 20 25 30−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

γ0

NKFR

kFRπ −1

2=1

n

γn(R

)Λn





Componentes de 1/𝑇1


(1

𝑇1

)

(1

𝑇1

)𝑠𝑐𝑎

⟨𝜙|Φ†0↑Φ0↓|𝜓⟩

𝑐𝑡𝑒.

(1

𝑇1

)𝑣𝑒𝑡

∑𝑛

𝛾𝑛⟨𝜙|(Φ†0↑𝑓𝑛↓ + 𝑓†𝑛↑Φ0↓)|𝜓⟩

4𝜋

~𝑍∑

|𝜙⟩,|𝜓⟩

(1−𝑊 2(𝜀,𝑅)

) |∑𝑛 𝛾𝑛(𝑅)⟨𝜙|𝑓†𝑛|𝜓⟩|2

𝑒𝛽𝐸𝜙 + 𝑒𝛽𝐸𝜓(𝑘𝐹𝑅) −

2

(1

𝑇1

)𝑚𝑎𝑡

∑𝑛,𝑚

𝛾𝑛𝛾𝑚⟨𝜙|𝑓†𝑛↑𝑓𝑚↓|𝜓⟩

4𝜋

~𝑍∑

|𝜙⟩,|𝜓⟩

𝑒−𝛽𝐸

𝜓

⟨𝜙|𝜑†

↑𝜑↓|𝜓⟩2

(𝑘𝐹𝑅)−4



Limites e Taxa de relaxacao

Limites e Taxa de relaxacao

(1

𝑇1

)=

(1

𝑇1

)𝑠𝑐𝑎

+

(1

𝑇1

)𝑣𝑒𝑡

+

(1

𝑇1

)𝑚𝑎𝑡

𝑐𝑡𝑒.

∝ sin(𝑘𝐹𝑅)

(𝑘𝐹𝑅)2

∑𝜙,𝜓

|⟨𝜙||𝑓𝑛||𝜓⟩|2𝑒𝛽𝐸𝜙 + 𝑒𝛽𝐸𝜓

𝑘 𝐹𝑅≫

1∝ sin(𝑘𝐹𝑅)

2

(𝑘𝐹𝑅)4

∑𝜙,𝜓

𝑒−𝛽𝐸𝜙 |⟨𝜙|𝑓†𝑛↑𝑓𝑚↓|𝜓⟩|2

𝑘𝐹 𝑅≪

1



Parametros do modelo

𝐻 =∑𝑘

𝜀𝑘𝑐†𝑘𝑐𝑘 +

√Γ

𝜋

∑𝑘

(𝑐†𝑘𝑐𝑑 +𝐻.𝑐.) + 𝜀𝑑𝑐†𝑑𝑐𝑑 + 𝑈𝑛𝑑↑𝑛𝑑↓

𝐷 = 1

𝜀𝑘 =𝑣𝐹𝐷

(𝑘 − 𝑘𝐹 )

Γ = 1 𝜀𝑑 = −15.0 𝑈 = 30.0

+D−D DΛ

DΛ2

DΛ3

...-DΛ

- DΛ2 -

DΛ3

...

ε = 0

Λ = 3.0 𝐸𝑚𝑖𝑛 = 1.0𝑒− 9 𝐸𝑈𝑉 = 40.0 𝛽0 = 0.2



Resultados numericos

Resultados numericos da contribuicao vetorial (1/𝑇1)𝑣𝑒𝑡 como funcao datemperatura e da distancia 𝑅.



Taxa de relaxacao em funcao da distancia

Taxa (1/𝑇1)𝑣𝑒𝑡 - dependencia espacial

0 50 100 150 2000

1

2

3

4

5

6

7

8

9 1e−7T=10−6

0 50 100 150 2000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.51e−5T=10−5

0 50 100 150 2000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0 1e−4T=10−4

0 50 100 150 2000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5 1e−3T=10−3

0 50 100 150 2000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5 1e−2T=10−2

0 50 100 150 2000.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5 1e−1T=10−1

kFRπ −1

2

( 1 T1

) vet(kFR)2



Taxa de relaxacao em funcao da distancia

Taxa (1/𝑇1)𝑣𝑒𝑡 - dependencia espacial

0 100 200 300 400 500 600 700

kFR

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

( 1 T1

) vet(kFR)2

T=10−6

T=10−5

T=10−4

T=10−3

T=10−2

T=10−1



𝑘𝐹𝑅 = (𝑛 + 1/2)𝜋

Contribuicao vetorial - 𝑘𝐹𝑅 = (𝑛+ 1/2)𝜋 𝑛 ∈ Z

10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1

kB T

0

1

2

3

4

5

(kFR)2

kT

( 1 T1

) vet

1e1

kFRπ −1

2=200

kFRπ −1

2=100

kFRπ −1

2=70

kFRπ −1

2=50

kFRπ −1

2=30

kFRπ −1

2=10




Contribuicao vetorial- 𝑘𝐹𝑅 = 𝑛𝜋 𝑛 ∈ Z

10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2

kB T

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

(kFR)2

kT

( 1 T1

) vet

1e−1

kFRπ =200

kFRπ =100

kFRπ =70

kFRπ =50

kFRπ =30

kFRπ =10



𝑘𝐹𝑅 = 𝑛𝜋 e 𝑘𝐹𝑅 = (𝑛 + 1/2)𝜋

Sobreposicao 𝑘𝐹𝑅 = 𝑛𝜋 e 𝑘𝐹𝑅 = (𝑛+ 1/2)𝜋

10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1

kB T

0

1

2

3

4

5

(kFR)2

kT

( 1 T1

) vet

1e1

n=200

n=100

n=70

n=50

n=30

n=10



𝑘𝐹 qualquer

Contribuicao vetorial- caso geral

10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1

kB T

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

(kFR)2

kT

( 1 T1

) vet

1e1

kFRπ =200.3

kFRπ =100.3

kFRπ =70.3

kFRπ =50.3

kFRπ =30.3

kFRπ =10.3



Interpretacao fısica

Interpretacao fısica

(1

𝑇1

)𝑣𝑒𝑡

∝ sin(𝑘𝐹𝑅+ 𝜃)

(𝑘𝐹𝑅)2𝑓(𝑇/𝑇𝐾)

V𝑤

V

V𝑑1/𝑇1 ∝ 𝒢𝑠𝑖𝑑𝑒(𝑇/𝑇𝐾) para 𝑘𝐹𝑅≪ 1

Dois canais: 𝜑𝑛(𝑓𝑛) da banda deconducao acoplada a impureza e outrodos orbitais 𝑐𝜀 acoplados a ponta deprova

Espalhamento cruzado de eletronsentre os orbitais 𝜑𝑛 e 𝑐𝜀



Conclusoes

Taxa de relaxacao magnetica longitudinal 1/𝑇1 no modelo de Ander-son de uma impureza pode ser decomposta em tres componentes:escalar, vetorial e matricial.

Quando a ponta de prova esta distante da impureza, 1/𝑇1 e escritacomo o produto de uma funcao espacial - relacionada a oscilacoes deFriedel - por uma funcao da temperatura.

A dependencia em 𝑇 de 1/𝑇1 e mapeada na curva universal 𝒢𝑠𝑖𝑑𝑒(𝑇/𝑇𝐾)da condutancia de um dispositivo lateralmente acoplado a um pontoquantico.

Para 𝑇 ≪ 𝑇𝐾 o sinal NMR decai a zero sem informacao sobre 𝑅𝐾 ,o que ratifica a dificuldade experimental de medir a nuvem Kondoatraves da taxa de relaxacao.



Agradecimentos

Instituto de Fısica de Sao Carlos (IFSC)

FAPESP (2012/02702-0) pelo apoio financeiro

Banca examinadora

Todos os presentes


NRG Analıtico Taxa de relaxacao Coeficientes da transformacao de RG Consideracoes sobre a contribuicao matricial

NRG

Discretizacao da banda de conducao

+D−D DΛ

DΛ2

DΛ3

...-DΛ

- DΛ2 -

DΛ3

...

ε = 0

Intervalos logarıtmicos

I𝑚± = [𝐷Λ−𝑚−1, 𝐷Λ−𝑚]

(𝑚 = 0, 1, 2, ...)

3 log: invariante por 𝜀𝑘 → 𝜀𝑘/Λ

7 linear?: energias caracterısticasinexistentes

Operadores fermionicos

𝑎𝑚𝜇 =Λ𝑚/2√

𝐷(1− Λ−1)

∫ℐ𝑚+

𝑐𝜀𝜇𝑑𝜀,

𝑏𝑚𝜇 =Λ𝑚/2√

𝐷(1− Λ−1)

∫ℐ𝑚−

𝑐𝜀𝜇𝑑𝜀,



Mudanca de base e Transformacao de Lanczos

Mudanca de base e Transformacao de Lanczos

Transformacao de Lanczos

𝑓𝑛𝜇 =∑𝑚

(𝑢𝑛𝑚 𝑎𝑚𝜇 + 𝑣𝑛𝑚 𝑏𝑚𝜇)

Impureza acoplada com 𝑓0

𝐻𝑖𝑛𝑡 =√2𝑉

(𝑐†𝑑𝑓0 + 𝑓†0𝑐𝑑

) Hamiltoniano de hopping

𝐻𝑐𝑜𝑛𝑑 =

∞∑𝑛=0

𝑡𝑛(𝑓†𝑛𝑓𝑛+1 + 𝑓†𝑛+1𝑓𝑛)

...... ......𝑓𝑛−9𝑓𝑛−9 𝑓𝑛−2𝑓𝑛−2 𝑓𝑛−1𝑓𝑛−1 𝑓𝑛𝑓𝑛

𝑓𝑛+1𝑓𝑛+1 𝑓𝑛+2𝑓𝑛+2

......𝑓𝑛+9𝑓𝑛+9

......

𝑒− 𝑒−𝑒−𝑒−

𝑡𝑛 = 𝐷Λ−𝑛2

1− Λ−(𝑛+1)

√1− Λ−(2𝑛+3)

√1− Λ−(2𝑛+1)

1 + Λ−1

log Λ≈ 𝒟𝑛 = 𝐷

1− Λ−1

log ΛΛ−𝑛

2



NRG - Diagonalizacao iterativa

NRG - Diagonalizacao iterativa

1

𝒟𝑁𝐻𝑡𝑟𝑢𝑛𝑐𝑐𝑜𝑛𝑑 =

𝑁−1∑𝑛=0

𝑡𝑛(𝑓†𝑛𝑓𝑛+1 + 𝑓†

𝑛+1𝑓𝑛) 𝑡𝑁 < 𝛾𝑘𝐵𝑇

truncamento

Transformacao de Renormalizacao

𝜏 [𝐻𝑁−1] ≡ 𝐻𝑁

𝐻𝑁 =√Λ𝐻𝑁−1 +

𝑡𝑁−1

𝒟𝑁(𝑓

†𝑁−1𝑓𝑁 +𝐻.𝑐.)

Base de estados de 𝐻𝐴

|𝑄,𝑆, 𝑆𝑧, 𝑟⟩

Iteracao 𝑁 = −1

Base primitivana iteracao 𝑁

DiagonalizacaoElementosde matriz

|0⟩

𝑐†𝑑↑(↓)|0⟩

𝑐†𝑑↑𝑐†𝑑↓|0⟩

𝑁= 0

⟨𝑞′, 𝑠′||𝑓†𝑁 ||𝑞, 𝑠⟩

𝑁+1

𝑁+1



Elementos de matriz

Elementos de matriz

⟨𝜙||𝑓†𝑛||𝜓⟩𝑁 = − 𝑡𝑛+1

𝑡𝑛⟨𝜙||𝑓†𝑛+2||𝜓⟩𝑁 + 𝒟𝑁

𝑡𝑛Δ𝐸𝑁 ⟨𝜙||𝑓†𝑛+1||𝜓⟩𝑁

⟨𝜙||𝑐†𝑑||𝜓⟩𝑁 = − 𝑡0√2𝑉

⟨𝜙||𝑓†1 ||𝜓⟩𝑁 + 𝒟𝑁√2𝑉

Δ𝐸𝑁 ⟨𝜙||𝑓†0 ||𝜓⟩𝑁

𝑜 𝑜

⟨𝜙|

|𝜓⟩

1

1

𝑁𝑊

0

1

-1

0 12

⟨𝜙|

|𝜓⟩

1

1

𝑁𝐸

0

1

-1

0 12



Hamiltonianos na base de Lanczos {𝑓𝑛}

Hamiltonianos na base contınua {𝑐𝜀, 𝑐𝜀}

Hamiltoniano perturbado

�� = 𝐻𝐴 + ��𝑐

𝐻𝐴 =

∫ 𝐷

−𝐷𝜀𝑐†𝜀𝜇𝑐𝜀𝜇𝑑𝜀+

√Γ

𝜋

∫ 𝐷

−𝐷𝑑𝜀(𝑐†𝜀𝑐𝑑 + 𝑐†𝑑𝑐𝜀) +𝐻𝑑 ��𝑐 =

∫ 𝐷

−𝐷𝑑𝜀 𝜀 𝑐†𝜀𝜇𝑐𝜀𝜇

Autoestados desacoplados

|Ψ⟩ = |𝜓⟩|𝜓⟩ 𝐸Ψ = 𝐸𝜓 + ��𝜓

𝐻𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴 [

∫∫ 𝐷

−𝐷𝑑𝜀 𝑑𝜀′𝒩𝑅(𝜀)𝒩𝑅(𝜀′)𝑐†𝜀𝜇𝑐𝜀′𝜈 +

∫∫ 𝐷

−𝐷𝑑𝜀 𝑑𝜀′𝑊 (𝜀,𝑅)𝑊 (𝜀′, 𝑅)𝑐†𝜀𝜇𝑐𝜀′𝜈

+

∫∫ 𝐷

−𝐷𝑑𝜀 𝑑𝜀′𝒩𝑅(𝜀)𝑊 (𝜀′, 𝑅)𝑐†𝜀𝜇𝑐𝜀′𝜈 +

∫∫ 𝐷

−𝐷𝑑𝜀 𝑑𝜀′𝑊 (𝜀,𝑅)𝒩𝑅(𝜀′)𝑐†𝜀𝜇𝑐𝜀′𝜈 ] I− +𝐻.𝑐.

𝒩𝑅(𝜀) = 1−𝑊 (𝜀,𝑅)





𝐻𝑐𝑜𝑛𝑑 =∑𝑚±

E𝑚±(Λ)(𝑎†𝑚𝜇𝑎𝑚𝜇 − 𝑏†𝑚𝜇𝑏𝑚𝜇

)𝐻𝑖𝑛𝑡 =

√2𝑉(𝑐†𝑑𝑓0 + 𝑓†

0 𝑐𝑑)

E𝑚±(Λ) =

∫I𝑚±

𝑑𝜀∫I𝑚±

𝑑𝜀

𝜀

=±𝐷(1 − Λ−1)

log ΛΛ

−𝑚

𝑓0𝜇 =1√2

∑𝑚

(1 − Λ−1

𝐷

)1/2

Λ−𝑚/2

(𝑎𝑚𝜇 + 𝑏𝑚𝜇)



Taxa de relaxacao

Taxa de relaxacao na base de Lanczos

𝐻𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 =−𝐴 [ Φ†0↑Φ0↓ + 𝜑†↑𝜑↓ + (Φ†

0↑𝜑↓ + 𝜑†↑Φ0↓) ] I− +𝐻.𝑐..

𝜑𝜇(𝑅) =∑𝑛

𝛾𝑛𝑓𝑛𝜇 {𝑓†𝑛𝜈 , 𝜑𝜇(𝑅)} = 𝛾𝑛 =∑𝑚

𝑢𝑛𝑚(𝜁+𝑚 + (−1)𝑛𝜁−𝑚)

𝜁±𝑚 = {𝑎†𝑚±𝜈 , 𝜑𝜇(𝑅)} = 𝛿𝜇,𝜈Λ𝑚/2√

𝐷(1− Λ−1)

∫ℐ𝑚±

𝑑𝜀 𝑊 (𝜀,𝑅)







(1

𝑇1

)

(1

𝑇1

)𝑠𝑐𝑎

⟨𝜙|Φ†0↑Φ0↓|𝜓⟩

(1

𝑇1

)𝑣𝑒𝑡

∑𝑛

𝛾𝑛⟨𝜙|(Φ†0↑𝑓𝑛↓ + 𝑓†𝑛↑Φ0↓)|𝜓⟩

4𝜋

~𝑍∑

|𝜙⟩,|𝜓⟩

(1−𝑊 2(𝜀,𝑅)

) |∑𝑛 𝛾𝑛(𝑅)⟨𝜙|𝑓†𝑛|𝜓⟩|2

𝑒𝛽𝐸𝜙 + 𝑒𝛽𝐸𝜓

(1

𝑇1

)𝑚𝑎𝑡

∑𝑛,𝑚

𝛾𝑛𝛾𝑚⟨𝜙|𝑓†𝑛↑𝑓𝑚↓|𝜓⟩

𝑐𝑡𝑒. (𝑘𝐹𝑅) −

2

(𝑘𝐹𝑅)−4



Contribuicao vetorial

Contribuicao vetorial

⟨𝜙|𝜑†𝜇(𝑅)Φ0𝜈(𝑅)|𝜓⟩ = ⟨𝜙|𝜑†𝜇(𝑅)|𝜓⟩⟨𝜙|∫ 𝐷

−𝐷𝑑𝜀

√1−𝑊 (𝜀)2 𝑐𝜀𝜈 |𝜓⟩

⟨𝜙|𝑐𝜀𝜈 |𝜓⟩ = 𝛿(𝐸𝜙 − 𝐸𝜓 − 𝜀),

⟨𝜙|𝜑†𝜇(𝑅)Φ0𝜈(𝑅)|𝜓⟩ = ⟨𝜙|𝜑†𝜇(𝑅)|𝜓⟩√1−𝑊 (𝐸𝜙 − 𝐸𝜓))2

(1

𝑇1

)𝑣𝑒𝑡

=4𝜋

~𝑍∑

|𝜙⟩,|𝜓⟩

|⟨𝜙|𝜑†𝜇(𝑅)|𝜓⟩|2(1−𝑊 (𝐸𝜙−𝐸𝜓)2)𝑒−𝛽(𝐸𝜙)𝑓𝐹𝐷(𝐸𝜙−𝐸𝜓)

𝑓𝐹𝐷(𝜀) =1

1 + 𝑒−𝛽𝜀



Contribuicao matricial


(1

𝑇1

)𝑚𝑎𝑡

=4𝜋

~𝑍∑

|𝜙⟩,|𝜓⟩

𝑒−𝛽𝐸𝜙⟨𝜙|𝜑†↑(𝑅)𝜑↓(𝑅)|𝜓⟩

2𝛿(𝐸𝜙 − 𝐸𝜓),

⟨𝜙|𝜑†𝜇(𝑅)𝜑𝜈(𝑅)|𝜓⟩ = ⟨𝜙|𝜓⟩∑𝑛,𝑚

𝛾𝑛𝛾𝑚⟨𝜙|𝑓†𝑛𝜇𝑓𝑚𝜈 |𝜓⟩,

(𝐸𝜙 − 𝐸𝜓)⟨𝜙||𝑓†𝑛𝑓𝑚||𝜓⟩ = 𝑡𝑛−1⟨𝜙||𝑓†𝑛−1𝑓𝑚||𝜓⟩+ 𝑡𝑛⟨𝜙||𝑓†𝑛+1𝑓𝑚||𝜓⟩− 𝑡𝑚−1⟨𝜙||𝑓†𝑛𝑓𝑚−1||𝜓⟩ − 𝑡𝑚⟨𝜙||𝑓†𝑛𝑓𝑚+1||𝜓⟩.

⟨𝑞′, 𝑠′, 𝑠′𝑧, 𝑟′| 𝑓†𝑛↑𝑓𝑚↓ |𝑞, 𝑠, 𝑠𝑧, 𝑟⟩ =

⎛⎝ 𝑠′ 12

𝑠+ 12

𝑠′𝑧12

𝑠𝑧 − 12

⎞⎠⎛⎝ 𝑠 12

𝑠± 12

𝑠𝑧 − 12

𝑠𝑧 +12

⎞⎠× ⟨𝑞′, 𝑠′, 𝑟′|| 𝑓†

𝑛𝑓𝑚 ||𝑞, 𝑠, 𝑟⟩.





𝑛

𝑚

𝑓†0𝑓0

𝑓†1𝑓0

𝑓†2𝑓0

𝑓†𝑁−1𝑓0

𝑓†𝑁𝑓0 𝑓†𝑁𝑓1 𝑓†𝑁𝑓2 𝑓†𝑁𝑓𝑁−1 𝑓†𝑁𝑓𝑁

𝑓†𝑛𝑓𝑚

𝑓†𝑛−1𝑓𝑚

𝑓†𝑛+1𝑓𝑚

𝑓†𝑛𝑓𝑚−1 𝑓†𝑛𝑓𝑚+1



Coeficientes da transformacao de RG

𝑈𝑛(𝑧) =∞∑𝑚=0

𝑢𝑛𝑚𝑧𝑚

=

√1 − Λ−(2𝑛+1)

2Λ𝑛(𝑛−1)/2

(1

1 − 𝑧Λ−(𝑛+1/2)

)×

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(𝑛−2)/2∏𝑟=0

1 − 𝑧Λ2𝑟+1/2

1 − 𝑧Λ−(2𝑟+1/2), 𝑛 par

(𝑛−3)/2∏𝑟=0

1 − 𝑧Λ2𝑟+3/2

1 − 𝑧Λ−(2𝑟+3/2), 𝑛 ımpar

0 10 20 30 40 50

m

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

u10,m

Λ=3.0



Coeficientes da transformacao de RG - 𝑢𝑛𝑚

Coeficientes da transformacao de RG - 𝑢𝑛𝑚

𝑛 par

𝑢𝑛𝑚 ∝ Λ−𝑚/2

𝑛 ımpar

𝑢𝑛𝑚 ∝ Λ−3𝑚/2

0 5 10 15 20 25 30 35

m

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

un,m

n=0

n=2

n=4

n=6

n=8

n=10

n=12

n=14

n=16

n=18

0 5 10 15 20 25 30 35

m

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8n=1

n=3

n=5

n=7

n=9

n=11

n=13

n=15

n=17

n=19







𝒩𝑘𝐹𝑅 =


log(√Λ)

⌉ 0 5 10 15 20 25 30−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04NKFR

kFRπ =103

0 5 10 15 20 25 30−0.03

−0.02

−0.01

0.00

0.01

0.02

NKFR

kFRπ =102

0 5 10 15 20 25 30−0.008

−0.006

−0.004

−0.002

0.000

0.002

0.004NKFR

kFRπ =10

0 5 10 15 20 25 30−0.002

−0.001

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

NKFR

kFRπ =1

n

γn(R

)Λn








𝑘𝐹𝑅 = (𝑛+ 12 )𝜋

𝒩𝑘𝐹𝑅 =


log(√Λ)

⌉+ 1

0 5 10 15 20 25 30−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

NKFR

kFRπ −1

2=103

0 5 10 15 20 25 30−0.015

−0.010

−0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

NKFR

γ0

kFRπ −1

2=102

0 5 10 15 20 25 30−0.04

−0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

NKFR

γ0

kFRπ −1

2=10

0 5 10 15 20 25 30−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

γ0

NKFR

kFRπ −1

2=1

n

γn(R

)Λn





Consideracoes sobre a contribuicao matricial

(1

𝑇1

)𝑚𝑎𝑡

=4𝜋

~𝑍∑

|𝜙⟩,|𝜓⟩

𝑒−𝛽𝐸𝜙⟨𝜙|𝜑†↑(𝑅)𝜑↓(𝑅)|𝜓⟩

2𝛿(𝐸𝜙 − 𝐸𝜓 − ~𝜔),

(1

𝑇1

)𝑚𝑎𝑡

=4𝜋

~𝑍∑

|𝜙⟩,|𝜓⟩

𝑒−𝛽𝐸𝜙

⟨𝜙|𝜑†↑𝜑↓|𝜓⟩

2𝑑(𝐸𝜙(𝑧))−𝐸𝜓(𝑧)

𝑑𝑧

~𝜔=𝐸𝜓−𝐸𝜙

,

Susceptibilidade da impureza

𝜒𝑖𝑚𝑝 ∝∑

|𝜙⟩|𝜓⟩

|⟨𝜙|𝑐𝑑↑𝑐𝑑↓|𝜓⟩|2Susceptibilidade da banda de conducao(

1

𝑇1

)𝑚𝑎𝑡

∝ 𝜒𝑓𝑛 ∝∑

|𝜙⟩|𝜓⟩

|⟨𝜙|𝑓𝑛↑𝑓𝑚↓|𝜓⟩|2


defesa apresentacao

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