Introduction Structuration d’un problème de décision Décision en avenir incertain La théorie de l’utilité Décision en présence de critères multiples

Outline

Introduction

Structuration d’un problème de décision

Décision en avenir incertainIncertain strict (non probabilisé)Analyse axiomatique des critères (Milnor)Incertain probabiliste

La théorie de l’utilité

Décision en présence de critères multiples

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Outline

Introduction

Structuration d’un problème de décision

Décision en avenir incertainIncertain strict (non probabilisé)Analyse axiomatique des critères (Milnor)Incertain probabiliste

La théorie de l’utilité

Décision en présence de critères multiples

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PREMIER COURS

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Introduction

La théorie de la décisionvise à fournir un cadre rationnel général permettant de formuleret d’analyser les problèmes de décision dans des situations oules données à prendre en compte sont loin d’être déterminéesà l’avance.

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Introduction

Comment et quelle décision prendre ?Selon la nature des données et du problème, plusieursapproches pour modéliser et résoudre le problème dedécision :• La théorie du vote ;• La théorie des jeux ;• La théorie des graphes ;• La programmation linéaire ;• . . .

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Introduction (Théorie des jeux)Dilemme du prisonnierLa forme habituelle de ce dilemme est celle de deuxprisonniers (complices d’un délit) retenus dans des cellulesséparées et qui ne peuvent communiquer.• si un seul des deux avoue, celui-ci est certain d’obtenir uneremise de peine alors que le second obtient la peinemaximale (10 ans) ;

• si les deux avouent, ils seront condamnés à une peine pluslégère (5 ans) ;

• si aucun n’avoue, la peine sera minimale (6 mois), fauted’éléments au dossier.

ProblèmeQuelle sera la stratégie de chacun ? 7/97

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Introduction (Programmation linéaire)

Problème de plantationConsidérons un agriculteur qui possède des terres, desuperficie égale à H hectares, dans lesquelles il peut planter dublé et du maïs. L’agriculteur possède une quantité E d’engraiset I d’insecticide. Le blé nécessite une quantité E1 d’engrais parhectare et I1 d’insecticide par hectare. Les quantitéscorrespondantes pour le maïs sont notées E2 et I2. Soit P1 leprix de vente du blé et P2 celui du maïs.

ProblèmeQuelle serait la répartition d’hectares entre le blé et le mais afinde maximiser les gain de l’agriculteur ?

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Introduction

Structuration d’un problème de décision

Décision en avenir incertainIncertain strict (non probabilisé)Analyse axiomatique des critères (Milnor)Incertain probabiliste

La théorie de l’utilité

Décision en présence de critères multiples

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Introduction

Le processus : deux grandes étapes

• Détermination et fomulation de problème• Résolution du problème

Etapes supplémentaires

• la collecte d’informations ;• l’analyse de ces informations ;• la mise en oeuvre de la solution.

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Exemple1 : Lancement d’un produit

EnoncéUne société envisage de lancer un nouveau produit comptetenu des réactions potentielles de concurrence, trois situationsvont être envisagées :• accueil très favorable→ gain= 900MAC ;• accueil favorable→ gain= 750MAC ;• Echec→ gain= 0sAC.

Le coût de lancement est estimé à 500MAC.

Problème?la société doit-elle ou pas lancer le produit ?

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Exemple2 : Achat d’agendas

EnoncéAu mois d’aout un papetier doit décider du nombre d’agendas àacheter pour l’année suivante. Un agenda côute 20AC et estvendu 45AC. Fin Janvier chaque agenda invendu peut êtrerenvoyé à l’éditeur qui le rachète 5AC.La loi de la demande est :

d 100 150 200 250 300p(D=d) 0.3 0.2 0.3 0.15 0.05

Problème?Quel nombre d’agendas doit commander le papetier ?

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Fomaliser un problème de décision

Formalismes

1. A : ensemble d’actions ou de décision potentielles.A = {a1, . . . ,an} ;

2. E : ensemble des états de la nature. E = {e1, . . . ,en} ;3. une fonction d’évaluation (ou de coût) : g : A× E → R, qui

valorise le gain g(ai ,ei) = xij qui résulte du choix del’action ai lorsque l’état de la nature ej s’est réalisé.

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Exemple1

Actions potentiellesA = {a1,a2}• a1 : lancer le produit ;• a2 : ne pas lancer le produit.

États de la natureE = {e1,e2,e3}• e1 : accueil très favorable ;• e2 : acceuil favorable ;• e3 : echec ;

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Exemple1

Tableau des gains

e1 e2 e3a1 400 250 -500a2 0 0 0

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Exemple2Actions potentiellesA est l’ensemble des quantités commandées ; ai = qicommander.

Etats de la natureE est l’ensemble des demandes ; ej = ”D = dj”

Tableau des gainsg(q,d) : gain résultant de la commande de la quantité qlorsque la demande est égale à d .2 cas se présentes :• si d ≤ q : g(q,d) = 45d + 5(q − d)− 20q = 40d − 15q ;• si d > q : g(q,d) = 45q − 20q = 25q

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Exemple2

Tableau des gains

q-d 100 150 200 250 300100 2500 2500 2500 2500 2500150 1750 3750 3750 3750 3750200 1000 3000 5000 5000 5000250 250 2250 4250 6250 6250300 -500 1500 3500 5500 7500

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Exercices (TD1)

Exercice 1 : un investissement bien raisonnéUn particulier se voit proposer deux placements a1 et a2. Lesrendements de chacun de ces deux placements dépendent d’unedécision gouvernementale importante ; C’est ainsi que, pour uneunité monétaire investie, a1 rapportera 1,3 unité monétaire si ladécision est prise et seulement 0,8 unités monétaires si elle n’est pasprise. En revanche, a2 rapportera seulement 0,9 unités monétaires sila décision est prise et 1,1 unité monétaire si elle n’est pas prise. Enfait, le particulier peut répartir librement son investissement entre a1et a2. On notera a(λ) le placement qui consiste à investir uneproportion λ dans a1 et la proportion complémentaire 1-λ dans a2(0≥ λ ≤1). Le particulier souhaite déterminer la meilleure répartition,c’est-à-dire trouver une valeur optimale pour λ.Question : Formaliser ce problème de décision.

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ExercicesExercice1 : Correction

• 2 actions : a1 et a2 ;• 2 états de la nature : d (la décision gouvernementale estprise) et d̄ (la décision gouvernementale n’est pas prise).

d d̄a1 0.3 -0.2a2 -0.1 0.1a(λ) 0.3 ∗ λ− 0.1(1− λ) −0.2 ∗ λ + 0.1(1− λ)

TAB.: (

tableau des gains)

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Exercices

Exercice2 : Controle de qualitéLa société NIAKO, grand fabriquant de téléphones portables, envisage de lancer unnouveau modèle. NIAKO envisage deux stratégies pour organiser son contrôle qualité :

• La stratégie S1, très fiable, inclut un contrôle systématique du fonctionnement del’appareil et le remplacement éventuel de composants défectueux. Cettestratégie conduit à un risque de panne totalement négligeable durant la périodede garantie. En revanche, elle entraîne un coût de contrôle c AC.

• La stratégie S2 consiste à n’effectuer aucun contrôle. Compte tenu du risque defiabilité dû aux composants présents dans l’appareil, le téléphone ainsi conçurisque de tomber en panne durant la période de garantie avec une probabilitéestimée par les experts à p. En ce cas, la réparation, à la charge de NIAKO, estestimée à 100 fois le coût de contrôle de la stratégie S1.

1- Dresser le tableau des coûts.

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Exercices

Exercice2 : correction

• 2 actions : S1 et S2 ;• 2 états de la nature : Panne (P) et pas de Panne (P̄) ;

P P̄S1 c cS2 100c 0

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ExercicesExercice3 : Incertitude sur les jouetsUne entreprise fabriquant des jouets est confrontée à un risque de grève destransporteurs routiers pendant ce début de première semaine de décembre.L’entreprise a établi un plan de fabrication et d’expédition en régime normal de 5 000articles par semaine qui correspond exactement à la demande hebdomadaire. le coûtde fabrication est alors de 30 AC (par article). L’article est vendu 45 AC. La grève, si elle alieu, débutera dans une semaine. Elle peut durer soit une semaine, soit deux semaine.En cas de grève, l’entreprise ne produit pas. De plus, elle perd la totalité de ses ventessi les distributeurs ne sont pas livrés auparavant car les linéaires sont vides (ladistribution ne possède actuellement aucun stock). En ce début de première semaine,l’entreprise a le choix entre 3 décisions :• soit produire et expédier, selon son plan, 5 000 articles,• soit produire et expédier 10 000 articles pour satisfaire la demande des deux

premières semaines ; mais il faut savoir que la capacité de production maximalede l’entreprise est de 7 000 articles par semaine et qu’au delà de cette limite,elle sous-traite la production dont le coût passe alors à 40 AC par semaine.

• soit produire et expédier 15 000 articles pour satisfaire la demande des troissemaines, avec les mêmes conditions de recours à la sous-traitance.

On cherche à maximiser la marge sur la période des 3 semaines à venir.Question : Après avoir défini les actions et états de la nature, construire le tableau degains correspondant aux marges cumulées sur 3 semaines. 22/97

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ExercicesExercice3 : correction

• L’ensemble A = {a1,a2,a3} des actions correspond aux 3décisions envisagées en début de première semaine :produire et expédier 5 000, 10 000 ou 15 000 articles,respectivement a1, a2 et a3.

• L’ensemble E = {e0,e1,e2} des états de la naturecorrespond aux trois éventualités possibles concernant lagrève : pas de grève, une semaine de grève (durant le2ème semaine), deux semaines de grève (durant les 2èmeet 3ème semaines), respectivement e0, e1 et e2.

• tableau des gains : attention gain=45-30(pour 5000) ou45-40 (soustraitance) ; Faire en sorte de produire 5000*3pour couvrir les 3 semaines ;

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Exercices

Exercice3 : correctione0 e1 e2

a1(5000) 3*5*15 = 225 K 2*5*15 = 150 K 5*15 = 75 Ka2 (10000) 7*15 + 3*5 + 5*15 = 195 K 7*15 + 3*5 + 5*15 = 195 K 7*15 + 3*5 = 120 Ka3(15000) 7*15 + 8*5 = 145 K 7*15 + 8*5 = 145 K 7*5 + 8*5 = 145 K

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DEUXIEME COURS

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Cadre de la décision

Deux cas

• avenir certain : état de la nature connu à priori. Unexemple typique consiste à choisir l’itinéraire le plus courtpour livrer un certain nombre de clients.

• avenir incertain, un exemple serai de lancer un nouveauproduit n’ayant pas d’équivalent.

Dans le premier cas il s’agit d’un problème d’optimisationmathématique, dans le second cas le hasard intervient demanière importante.

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Decisionn sous certitude

• Etat de la nature connu à priori ;• Choix de l’action correspondant au gain max.

Lancer/ne pas lancer le produitsi e2(accueil favorable) alors on doit choisir a1.

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Introduction

Structuration d’un problème de décision

Décision en avenir incertainIncertain strict (non probabilisé)Analyse axiomatique des critères (Milnor)Incertain probabiliste

La théorie de l’utilité

Décision en présence de critères multiples

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Introduction

Pour résoudre le problème de décision

• choisir un critère de décision ;• Critère de Wald(maximiser le gain minimum) ;• Critère maximiser le gain maximum ;• Critère Hurwicz ;• Critère de Laplace ;• Critère de Savage (minimisr le regret maximum).

• déterminer la meilleure action selon ce critère.

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Introduction

PrincipeA chaque action ai est associée une valorisation vi selon lecritère considèré. Nous devons retenir ak tel quevk ≥ vi∀i = 1, . . . ,n (quand il s’agit de gain) (≤ s’il s’agit decoût).

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Critère de wald

DefinitionPour chaque action, on considère la pire des situations (gainmin). Puis on retient l’action la moins pire, c’est à dire quimaximise le minimum des gains.

maximinjg(ai ,ej)

Critère très prudent. Convient au décideur ayant une aversionau risque.

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Critère de Wald

Lancer/ne pas lancer

e1 e2 e3 min gaina1 400 250 -500 -500a2 0 0 0 0

Choisir action a2.

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Critère de Wald

Agendas

q-d 100 150 200 250 300 min gain100 2500 2500 2500 2500 2500 2500150 1750 3750 3750 3750 3750 1750200 1000 3000 5000 5000 5000 1000250 250 2250 4250 6250 6250 250300 -500 1500 3500 5500 7500 -500

Commander 100 agendas.

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Critère de Wald

Exemple

Actions/états e1 e2 e3 e4a1 100 25 40 20a2 125 30 50 05a3 0 50 75 40

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Critère de Wald

Correction

Actions/états e1 e2 e3 e4 mina1 100 25 40 20 20a2 125 30 50 05 5a3 0 50 75 40 0

décision : a1

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critère de maximiser le gain maximum

Définition(maxmax)On considère pour chaque action le cas leplus favorable (gainmax) et on retient l’action qui assure le plus grand gain max.vi = maxjg(ai ,ej), On choisit ak tel que vk = maxnviCritère avec un gout au risque.

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Critère de maxmax

Lancer/ne pas lancer

e1 e2 e3 max gaina1 400 250 -500 400a2 0 0 0 0

Choisir action a1.

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Critère maxmax

Agendas

q-d 100 150 200 250 300 max gain100 2500 2500 2500 2500 2500 2500150 1750 3750 3750 3750 3750 2750200 1000 3000 5000 5000 5000 3000250 250 2250 4250 6250 6250 3250300 -500 1500 3500 5500 7500 3500

Commander 300 agendas.

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Critère du gain max

Exemple

Actions/états e1 e2 e3 e4a1 25 20 100 40a2 30 5 125 50a3 50 40 0 75

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Critère du gain max

Correction

Actions/états e1 e2 e3 e4 max gaina1 25 20 100 40 100a2 30 5 125 50 125a3 50 40 0 75 75

décision : a2

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Critère de Hurwicz

Définitionil s’agit d’une famille de critères, dont le critère de wald apparait comeun cas particulier. Au lieu de ne considérer que le pire des résultats,on envisage conjointement le pire et le meilleure et on en fait lamoyenne en pondérant le résultat maxi par un coefficient d’optimisme0 ≤ α ≤ 1vi = α max gij + (1− α) min gijOn choisi l’action qui maximise vi → problème : choix du α.

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Critère de Hurwicz

Lancer/ne pas lancer (α = 0.5)

e1 e2 e3 via1 400 250 -500 0.5* 400+0.5*(-500)= -50a2 0 0 0 0

Choisir action a2.

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Critère de Hurwicz

Agendas

q-d 100 150 200 250 300 vi100 2500 2500 2500 2500 2500 2500150 1750 3750 3750 3750 3750 2750200 1000 3000 5000 5000 5000 3000250 250 2250 4250 6250 6250 3250300 -500 1500 3500 5500 7500 3500

Commander 300 agendas.

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Critère Hurwicz

exemple

Actions/états e1 e2 e3 e4a1 100 25 40 20a2 125 30 50 5a3 0 50 75 40

Quelle décision si : α = 0(décideur pessimiste) ou α = 1(décideur optimiste).

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TROISIEME COURS

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Critère de Laplace

Définition (moyenne des gains)En absence de l’information sur les probabilités d’occurrencesdes états de la nature, on leur associe une probabilité 1

p . pourchaque action ai on calcule vi = 1

p�

j gij .

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Critère de Laplace

Lancer/ne pas lancer

e1 e2 e3 via1 400 250 -500 1

3(400+250-500)=50a2 0 0 0 0

Choisir action a1.

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Critère de Laplace

Exemple

Actions/états e1 e2 e3 e4a1 20 25 40 100a2 5 30 50 125a3 40 50 75 0

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Critère de Laplace

Correction

Actions/états e1 e2 e3 e4 via1 20 25 40 100 1

4(20+25+40+100)=46,25a2 5 30 50 125 1

4(5+30+50+125)=52,5a3 40 50 75 0 1

4(40+50+75+0)=41,25

Décision= a2

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Critère de Savage

Définition(Critère minmaxregret)Ce critère repose sue la notion de regret. Le regret mesure ladifférence entre ce que l’on aurait pu obtenir si l’in vait su quelétat se réaliserait et ce que l’on obtient effectivement.Regret : rij = maxngij − gij . On retient l’action dont le regret maxest le plus faible possible.

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Critère de Savage

Agendas (Tableau des regrets)

q-d 100 150 200 250 300 Regret max100 0 1250 2500 3750 5000 5000150 750 0 1250 2500 3750 3750200 1500 750 0 1250 2500 2500250 2250 1550 750 0 1250 2250300 3000 2250 1500 750 0 3000max 2500 3750 5000 6250 7500

Commander 250 agendas.

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Critère de Savage

Exemple

Actions/états e1 e2 e3 e4a1 20 25 40 100a2 5 30 50 125a3 40 50 75 0

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Critère de Savage

Correction

Actions/états e1 e2 e3 e4 Regret maxa1 20 25 35 25 35a2 35 20 25 0 35a3 0 0 0 125 125max 40 50 75 125

Décision : a1 ou a2

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critères

Remarques

• critère Laplace : avantage réside dans sa simplicité, soninconvenient : peu réaliste. On prétend raisonner en avenirincertain,c’est à dire dans le cadre d’une situation ou l’onne peut par ou l’on ne veut pas affecter une probabilité deréalisation à chacun des états de al nature. Alors que lechoix du critère de Laplace équivaut pas attribuerimplicitement la même probabilité d’arrivées aux diversétats de la nature. Il correspond à un type decomportement des dirigeants d’entreprise tout a faitparticulier, caractérisé par une neutralité totale à l’égard durisque.

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critères

Remarques

• Critère de wald : attitude prudente du preneur de décision.• Critère de savage : attitude prudente aussi. On raisonneen terme de regret (le manque à gagner) et on essaye dele mimimiser.

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QUATRIEME COURS

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Introduction

Caractérisation et axiomesMilnor a introduit 10 axiomes qui vont lui permettre decaractériser les critères présentés auparavant.Les axiomes correspondent au conditions sous lesquelles ontpeu utiliser un critère. Il a établit des conditions nécessairespour q’un critère puisse être considéré comme raisonnable.

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Introduction

Caractérisation et axiomesLes cinq premier axiomes sont compatibles avec les 4 critèresétudiés (Wald, Laplace, Savage, Hurwicz).

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Caractérisation et axiomes

Axiome1 : Ordreun critère doit permettre de classer complètement les actionsavec éventuellement des ex aequo.

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Caractérisation et axiomes

Axiome2 : Symetriele classement des actions est indépendant de leurnumérotation ainsi que de celle des états de la nature. (Ex : lesgens ont tendance a porté leur attention sur le premier ou ledernier item d’une liste énumérative qu’il s’agisse de décisions,d’états ou de conséquences. )

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Action dominée

Définitionai est dominée par ak si et seulement sig(ai ,ej) ≤ (ak ,ej)∀j ∈ {1, . . . ,p}. Avec au moins une inégalitéstricte.Les action dominées peuvent être éliminée des choix possible.

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Caractérisation et axiomes

Axiome3 : Dominance strictsi une action ai domine strictement une action ah, alors ai estclassé avant ah.

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Caractérisation et axiomes

Axiome4 : Adjonction d’une ligneL’adjonction d’une nouvelle action ne modifie pas le classementrelatif des autres actions.Remarque : critère de savage ne respect pas cet axiome.

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Adjonction d’une ligne (savage)

a 3 4b 6 2

tableau de regreta 3 0b 0 2

Décision : b.

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Adjonction d’une ligne (savage)

on ajoute l’action ca 3 4b 6 2c 1 7

tableau de regreta 3 3b 0 5c 5 0

Décision : a

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Caractérisation et axiomes

Axiome5 : Convexitési deux actions ai et ah sont indifférentes, alors l’action ak telque gkj = 1

2(gij + ghj) ∀j ne peut etre classé après ai et ah.Autrement, si des actions sont simultanément préférés vis-à-visd’un critère, il doit être de même pour toute combinaisonlinéaire de ces actes.Remarque : le critère d’Hurwicz ne respecte pas cet axiome.

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Convexité(Hurwicz)

e1 e2 e3a 2 0 0b 0 2 0c 1 1 0Quelque soit le coefficient d’optimisme α, selon le critère, lesdeux actions a et b sont indifférentes, devant l’action c alorsqu’on a g3j = 1

2(g1j + g2j)

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Caractérisation et axiomes

Axiome6 : Adjonction ou retranchement d’une colonnel’ajout ou le retranchement d’un colonne identique à un autrecolonne ne doit pas modifier la réponse du critère.Cet axiome traduit d’une certaine manière l’ignorance complètedans laquelle le choix est effectué : ce qui compte, c’est edsavoir quels états de la nature sont possibles, et non combiende fois tel ou tel état à été pris en compte dans la formation dela matrice.Remarque : le critère de Laplace ne respecte pas ce critère. Cecritère suppose implicitement tous les états équiprobable et ilest bien claire que d’ajouter ou retrancher un état modifie laprobabilité affectée à chacun des états restants.

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Adjonction ou retranchement d’une colonne

e1 e2 e3a 4 1 1b 1 3 3l’action a l’emporte avec le critère de Laplace et sans lacolonne e3 mais en l’ajoutant c’est b qui l’emporte.

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Caractérisation et axiomes

Axiome7 : LinéaritéLe critère n’est pas modifié si on applique la mêmetransformation linéaire à toute les mesures de conséquences.Autrement, le classement des actions n’est pas modifié si l’onremplace la matrice P = [gij ] par la matrice T = [λgij + µ]

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Caractérisation et axiomes

Axiome9 : linéarité dans les colonnesvoir ploy de sidoine

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Caractérisation et axiomes

Axiome10 : adjonction d’une ligne spécialeL’adjonction d’une action dominée ne modifie pas le classementdes actions initiales. cet axiome est une version affaiblie del’axiome 6. il est vérifié par chacun des critères.

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Caractérisation et axiomes

Résumé

Laplace Wald Savage Hurwiczordre × × × ×

symetrie × × × ×dom.strict × × × ×continuite × × × ×linearité × × × ×

adjonc. ligne × × ×line. col × ×adj. col × × ×convexité × × ×ligne spé. × × × ×

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Remarques

il convient de noter que le critère de Wald est d’un point de vueinformationnel moins exigeant que les trois autres critères , ence sens qu’il requiert une information moins élaborées. Eneffet, la mise en oeuvre des critères de Laplace, Savage etHurwicz exigent une mesure cardinale des conséquences desactions. le critère de wald en revanche peut se contenter d’unemesure ordinale.

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remarques

autres caractérisations

• il existe d’autre résultats de caractérisations que ceux deMilnor, conernant notamment le critère de Laplace. onpeut citer Chernoff(1954) et Maskin (1979), Barrett etPattanaik (1988).

• d’autres critères existent bien sur : critère moyennevariabilité et critère de Starr (1966).

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