de m´etrica af´ın generalusers.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b5/psfiles-sp/pthic11.pdf · en un...

Felix est quantulumcunque temporis contigit, bene collocatus est

Happy is he who has well employed the time,

however small the time slices may be

Seneca (4BC–65)

11

Ecuacion de Schrodinger en Espaciosde Metrica Afın General

Usamos ahora la representacion en terminos de la integral de trayectoria desarro-llada en el ultimo capıtulo para encontrar la ecuacion de Schrodinger que obedecela amplitud de evolucion temporal en un espacio con curvatura y torsion. Si solohay curvatura, la amplitud de evolucion temporal crea la coneccion con la mecanicacuantica de operadores descrita en el Capıtulo 1. En particular, esta amplitud re-produce propiamente el espectro de energıa de los sistemas de las Secciones 1.14 y1.15 — la partıcula sobre la superficie de la esfera y el trompo giratorio — los cualesfueron cuantizados usando las reglas del grupo de conmutacion. Si el espacio poseetambien curvatura, el operador de Scrodinger obtenido de nuestra formulacion serauna prediccion. Lo correcto de la formulacion sera demostrado en el Capıtulo 13, me-diante la aplicacion de la integral de trayectoria al sistema de Coulomb, el cual puedetransformarse en un oscilador armonico por una transformacion no–holonomica queinvolucra curvatura y rotacion.

11.1 Ecuacion Integral para la Amplitud de Evolucion

Temporal

Consideremos la particion temporal de la integral de trayectoria dada en laEc. (10.146)

〈q|e−i(t−t′)H/h|q′〉= 1√

2πihǫ/MD

N+1∏

n=2

∫

dD∆qn

√

g(qn)√

2πiǫh/MD

ei∑N+1

n=1(Aǫ+Aǫ

J)/h,(11.1)

donde la integrales sobre ∆qn han de efectuarse en forma descendente desde n = Nhasta n = 1.

Estudiemos el efecto de la ultima integracion ∆qn sobre el producto de integralesrestante. Denotamos el producto entero en forma abreviada por ψ(qN+1, tN+1) ≡ψ(q, t), y el producto sin el ultimo factor por la relacion

ψ(qN , tN) = ψ(qN+1 −∆qN+1, tN+1 − ǫ) ≡ ψ(q −∆q, t− ǫ).

940

11.1 Ecuacion Integral para la Amplitud de Evolucion Temporal 941

Dado que la coordenada inicial q0 y el tiempo t0 de la amplitud se mantienen fijosen lo que sigue, no los mostramos en el argumento. Suponemos que N es tan grandeque la amplitud ha tenido tiempo suficiente para desarrollarse desde el estado iniciallocalizado en q′ hacia una funcion suave de ψ(q−∆q, t− ǫ), suave comparada con el

ancho de la ultima amplitud de tiempo corto, el cual es del orden de√

hǫ tr (gµν)/M .

De la Ec. (11.1) deducimos la relacion de recurrencia

ψ(q, t) =√

g(q)∫ dD∆q√

2πiǫh/MD exp

[

i

h(Aǫ +Aǫ

J)]

ψ(q −∆q, t− ǫ). (11.2)

Esta expresion es una ecuacion integral

ψ(q, t) =∫

dD∆q Kǫ(q,∆q)ψ(q −∆q, t− ǫ), (11.3)

donde el nucleo de la integral es

Kǫ(q,∆q) =

√

g(q)√

2πiǫh/MD exp

[

i

h(Aǫ +Aǫ

J)]

. (11.4)

Convertiremos la ecuacion integral (11.3) en una ecuacion de Scrodinger. Lo haremosen dos formas, una forma corta, la cual muestra directamente la reelevancia de losdiferentes terminos en la representacion (10.96), y una forma historica, aunque mastediosa, resulta util para comparar nuestra integral de trayectoria con alternativasprevias propuestas en la literatura (ver las citas al final del capıtulo)

11.1.1 De la Relacion de Recurrencia a la Ecuacion

de Schrodinger

La evaluacion de la relacion (11.3) es mucho mas facil si hacemos uso de la simplici-dad del nucleo integral Kǫ(q,∆q) y la norma cuando los expresamos en terminos delas variables ∆xi. De esta forma, en la Ec. (11.3) usamos las variables de integracion∆ξµ ≡ ∆xiei

µ, donde eiµ se evalua en el punto posterior q. La relacion explıcita

entre ∆ξµ y ∆qµ se obtiene directamente de la Ec. (10.96). En terminos de ∆ξµ,reescribimos la relacion (11.3) como

ψ(q, t) =∫

dD∆ξ Kǫ0(q,∆ξ)ψ(q −∆q(∆ξ), t− ǫ),

donde el nucleo de orden cero

Kǫ0(q,∆ξ) =

√

g(q)√

2πiǫh/MD exp

[

i

h

M

2ǫgµν(q)∆ξ

µ∆ξν]

(11.5)

esta normalizado a la unidad.∫

dD∆ξ Kǫ0(q,∆ξ) = 1. (11.6)

942 11 Ecuacion de Schrodinger en Espacios de Metrica Afın General

Para hallar la integrales de la relacion (11.2), desarrollamos la funcion de onda enla forma

ψ(q −∆q, t− ǫ) =(

1−∆qµ∂µ +1

2∆qµ∆qν∂µ∂ν + . . .

)

ψ(q, t− ǫ), (11.7)

y la diferencia de coordenadas ∆qµ la desarrollamos en potencias de ∆ξ invirtiendola Ec. (10.96):

∆qλ =[

∆ξλ+1

2!Γµν

λ∆ξµ∆ξν− 1

3!(∂σΓµν

λ−ΓµντΓ{στ}

λ)∆ξµ∆ξν∆ξσ+. . .]

.(11.8)

Todas las conecciones afines se evaluan en los puntos posteriores q. Incluyendo enla Ec. (11.2) los terminos reelevantes del desarrollo, hallamos la ecuacion integral

ψ(q, t) =∫

dD∆ξ Kǫ0(q,∆ξ) (11.9)

×[

1−(

∆ξµ+1

2!Γνλ

µ∆ξν∆ξλ)

∂µ +1

2∆ξµ∆ξν∂µ∂ν + . . .

]

ψ(q, t− ǫ).

La evaluacion requiere solo la integral de normalizacion (11.6) y la funcion de corre-lacion de dos puntos

〈∆ξµ∆ξν〉 =∫

dD∆ξ Kǫ0(q,∆ξ)∆ξ

µ∆ξν =ihǫ

Mgµν(q). (11.10)

El resultado es

ψ(q, t) =

[

1 + iǫh2

2M(gµν∂µ∂ν − Γν

νµ∂µ) + . . .

]

ψ(q, t− ǫ). (11.11)

El operador diferencial entre parentesis es proporcional al Laplaciano covariante delcampo ψ(q, t− ǫ):

DµDµψ ≡ gµνDµDνψ = gµνDµ∂νψ = (gµν∂µ∂ν − Γν

νµ∂µ)ψ. (11.12)

En un espacio sin torsion, este operador es igual al operador de Laplace-Beltramiaplicado al campo ψ:

∆ψ =1√g∂µ√ggµν∂νψ. (11.13)

En un espacio mas general, la relacion entre los dos operadores se obtiene de lasderivadas

∆ = gµν∂µ∂ν +

(

1√g∂µ√g

)

gµν∂ν + (∂µgµν)∂ν . (11.14)

Usando las relaciones(

1√g∂µ√g

)

=1

2gστ∂µgστ = Γ ν

µν ,

∂µgσν = −gσλgνκ∂µgλκ, (11.15)

∂µgµν = −Γµ

µν−Γνµµ,


vemos que

1√g(∂µg

µν√g) = −Γµµν , (11.16)

de donde

∆ψ = (gµν∂µ∂ν − Γµµν∂ν)ψ = DµD

µψ. (11.17)

Luego, la relacion entre el operador Laplaciano y el operador de Lapace-Beltramiestara dada por

DµDµψ = (DµD

µ −Kµµν∂ν)ψ = (DµD

µ − 2Sν∂ν)ψ, (11.18)

donde Dµ denota la derivada covariante formada con la coneccion afın de Riemann,donde Γµν

λ es el sımbolo de Christoffel y Sµ es la torsion contraida

Sµ ≡ Sµνν . (11.19)

Como resultado, la amplitud ψ(q, t) de la relacion (11.2) cumple con la ecuacion

ψ(q, t) =

(

1 +iǫh

2MDµD

µ

)

ψ(q, t− ǫ) +O(ǫ2). (11.20)

En el lımite ǫ→ 0, obtenemos la ecuacion de Schrodinger

ih∂tψ(q, t) = H0ψ(q, t), (11.21)

donde H0 es el operador de Schrodinger de la partıcula libre

H0 = − h2

2MDµD

µ. (11.22)

Esta expresion es la generalizacion inmediata del operador del espacio plano

H0 = − h2

2M∂i

2, (11.23)

de donde obtenemos la Ec. (11.22), transformando las derivadas Cartesianas ∂i a laforma general ∂µ mediante una transformacion noholonomica

∂i = eiµ∂µ. (11.24)

El resultado es

∂i2 = ei

µ∂µeiν∂ν = gµν∂µ∂ν − Γµ

µν∂ν , (11.25)

mismo que conincide con el Laplaciano DµDµ cuando se aplica a un campo escalar.

Notemos que el operador (11.22) no contiene terminos extras proporcionales a lacurvatura escalar permitidos por otras teorıas.


11.1.2 Evaluacion Alternativa

Por completes, presentamos tambien una evaluacion alternativa de las integralesrespecto a q de la Ec. (11.3), la cual es mas tediosa pero que facilita la comparacioncon el trabajo anterior. Primero, la accion Aǫ se separa convenientemente en untermino principal

Aǫ0 =

M

2ǫgµν(q)∆q

µ∆qν (11.26)

y la parte restante

∆Aǫ ≡ Aǫ −Aǫ0. (11.27)

En forma correspondiente, tal como en la Ec. (11.5), introducimos el nucleo de ordencero

Kǫ0(q,∆q) =

√

g(q)√

2πiǫh/MD exp

(

i

hAǫ

0

)

, (11.28)

donde su normalizacion es∫

dD∆q Kǫ0(q,∆q) = 1, (11.29)

y desarrollamos Kǫ(q,∆q) alrededor de Kǫ0(q,∆q), donde llevamos la serie hasta

terminos de orden mayor a ∆q:

Kǫ(q,∆q) = Kǫ0(q,∆q)[1 + C(∆q)] ≡ Kǫ

0(q,∆q)

[

1 +∞∑

n=1

cn(∆q)n

]

. (11.30)

Bajo la suposicion de continuidad, discutida arriba, la funcion de onda ψ(q−∆q, t−ǫ)puede representarse en una serie de Taylor alrededor de punto extremo q, de talforma que la ecuacion integral (11.2) sera

ψ(q, t) =∫

dD∆q Kǫ0(q,∆q)

[

1 +∞∑

n=1

cn(∆q)n

]

(11.31)

×(

1−∆qµ∂µ +1

2∆qµ∆qν∂µ∂ν + . . .

)

ψ(q, t− ǫ) .

De la propiedad de normalizacion (11.6), el termino principal reproduce la funcionψ(q, t− ǫ). Para calcular los terminos correctivos cn(∆q), desarrollamos

C(∆q) = exp[

i

h(∆Aǫ +Aǫ

J)]

− 1 (11.32)

en potencias de ∆qµ. Luego de sustituir ∆Aǫ, de la Ec. (11.27), donde usamos laexpresion de Aǫ

0 obtenida de la Ec. (11.26), ahora desarrollamos Aǫ tal como en la


Ec. (10.107) [recordemos la Ec. (10.121)]. Separando el desarrollo de C en potenciaspares e impares de ∆q,

C = Ce + Co, (11.33)

para los terminos impares encontramos

Co = −Γ{µν}ν∆qµ − i

h

M

2ǫΓµνλ∆q

µ∆qν∆qλ + . . . , (11.34)

y para los terminos pares tenemos

Ce =4∑

a=1

Cea + . . . , (11.35)

donde

Ce1 =

1

2[∂{µΓνλ}

λ + Γ{νκσΓ{σ|µ}}

κ + Γ{µσ}σΓ{νλ}

λ − Γ{νκ}σΓ{µσ}

κ]∆qµ∆qν ,

Ce2 =

iM

2hǫΓ{µν}

νΓσλκ∆qµ∆qσ∆qλ∆qκ,

Ce3 =

iM

2hǫ

[

1

3gκτ (∂λΓµν

τ + ΓµνσΓ{λσ}

τ ) +1

4Γµν

σΓλκσ

]

∆qµ∆qν∆qλ∆qκ,

Ce4 = −1

2

M2

4h2e2ΓµνλΓστκ∆q

µ∆qν∆qλ∆qσ∆qτ∆qκ. (11.36)

Los puntos suspensivos indican terminos de orden superior en ∆qµ, que no con-tribuyen al lımite ǫ→ 0.

Ahora, la evaluacion se hace perturbativamente y requiere de los valoresarmonicos esperados

〈O(∆q)〉0 ≡∫

dD∆q Kǫ0(q,∆q) O(∆q). (11.37)

Las funciones de correlacion reelevantes son

〈∆qµ∆qν〉0 =ihǫ

Mgµν , (11.38)

〈∆qµ∆qν∆qλ∆qκ〉0 =

(

ihǫ

M

)2

gµνλκ, (11.39)

〈∆qµ∆qν∆qλ∆qκ∆qσ∆qτ 〉0 =

(

ihǫ

M

)3

gµνλκστ . (11.40)

El tensor gµνλκ, en el segundo valor esperado (11.39), contiene tres contracciones deWick [recordemos la Ec. (3.305)], y tiene la forma

gµνλκ ≡ gµνgλκ + gµλgνκ + gµκgνλ. (11.41)


El tensor gµνλκστ en el tercer valor esperado (11.40), conteniendo 15 contracciones deWick, se obtiene en forma recursiva siguiendo la regla (3.306) mediante el desarrollo

gµνλκστ = gµνgλκστ + gµλgνκστ + gµκgνλστ + gµσgνλκτ + gµτgνλκσ. (11.42)

De las (2n− 1)!! de contracciones pares, obtenemos el producto de 2n factores ∆q.

En la Ec. (11.31) reunamos todas las contribuciones de orden ǫ. Es claro que laderivada de orden mayor de ψ(q, t− ǫ) sera 1

2∆qµ∆qν∂µ∂νψ(q, t− ǫ). Este termino

contiene solo una contribucion importante de Kǫ0(q,∆q),

iǫh2

2Mgµν(q)∂µ∂νψ(q, t− ǫ), (11.43)

sin mas correcciones de C(∆q). El termino con una derivada ∂µ sobre ψ(q, t− ǫ) enla Ec. (11.31) sera

Aµ∂µψ(q, t− ǫ), (11.44)

donde Aµ es el valor esperado que involucra los terminos correctivos impares

Aµ = −〈Co∆qµ〉0. (11.45)

Usando las relaciones (11.38) y (11.39), encontramos

Aµ =⟨(

Γ{λν}ν∆qλ +

iM

2hǫΓστλ∆q

σ∆qτ∆qλ)

∆qµ + . . .⟩

0

= iǫh

M

[

Γ{µν}ν −

1

2(Γµν

ν + Γνµν + Γν

νµ)]

+ . . .

= −iǫ h

2MΓν

νµ + . . . . (11.46)

Combinando esta relacion con la Ec. (11.43), obtenemos el Laplaciano DµDµ del

campo ψ(q, t− ǫ), tal como en la Ec. (11.11).

Ahora, veamos la contribucion del resto de los terminos de la Ec. (11.31), queya no contiene derivadas de ψ(q, t− ǫ). Estos terminos provienen del valor esperado〈Ce〉0 de los terminos pares de la correccion. Definamos

Veff ≡ ih

ǫ〈C〉0 =

ih

ǫ〈Ce〉0, (11.47)

que llamaremos el potencial efectivo obtenido de los terminos correctivos 〈C〉0 de laEc. (11.32). Utilizando los valores esperados (11.38)–(11.40) encontramos

Veff =h2

Mv ≡ h2

M

∑

A,B

vAB, (11.48)

11.2 Representacion Equivalente de la Integral de Trayectoria 947

donde la suma es sobre los seis terminos

v21 = −1

2(Γ{µσ}

σΓ{νλ}λ − Γ{νκ}

σΓ{µσ}κ)gµν ,

v22 =

1

8Γ{µν}

τΓλστgµνσλ,

v23 =

1

2Γ{µκ}

κΓντλgµντλ,

v24 = −1

8ΓµνλΓστκg

µνλστκ,

v31 = −1

2(∂{µΓνλ}

λ + Γ{νκσΓ{σ|µ}}

κ)gµν ,

v32 =

1

6gµτ (∂κΓλν

τ + ΓλνσΓ{κσ}

τ )gµνλκ. (11.49)

Los subındices 2 y 3 se refieren a las contribuciones provenientes de los terminoscuadraticos y cubicos de la Ec. (10.96), en terminos de ∆xi. Sustituyendo en ellado derecho las series explıcitas (11.42) y (11.41), luego de un poco de algebra,encontramos que la suma de los terminos vA

B es cero. De decho, los terminosv2

B y v3B se anulan separadamente. Una razon estructural simple sera dada en el

Apendice 11A.Luego de utilizar la relacion (11.41), la cancelacion de v3

B es obvia. Para v2B,

la demostracion requiere de mas trabajo, el cual se deja para el Apendice 11A.Notese que en un espacio sin curvatura y sin torsion, las manipulaciones anterio-

res son equivalentes a una transformacion directa de la ecuacion integral del espacioplano

ψ(x, t) =∫

dD∆x√

2πiǫh/MD exp

[

iǫM

2(∆xi)2

]

× (1−∆xi∂xi + 12∆xi∆xj∂xi∂xj + . . .)ψ(x, t− ǫ)

=

[

1 +iǫh

2M∂2i +O(ǫ2)

]

ψ(x, t− ǫ), (11.50)

a la variable ∆q, mediante una transformacion de coordenadas. En un espacio demetrica afın general, la funcion de onda ψ(q, t) no tiene una contra-imagen en elespacio x, de tal foma que la Ec. (11.50) no se puede usar como punto de partidapara una transformacion noholonomica.

11.2 Representacion Equivalente de la Integral de

Trayectoria

De la deduccion de la ecuacion de Schrodinger de la Subseccion 11.1.1, aprendimosuna leccion importante. Cuando se deduce la transformacion (10.96) entre diferen-cias finitas de las coordenadas ∆xi y ∆qµ, mediante la evaluacion de la ecuacionintegral (10.60) junto con el autoparalelo, los terminos cubicos en ∆q, los cuales


hacen que la accion y la norma sean innecesariamente complicados, se pueden elimi-nar. Un integral de trayectoria completamente equivalente, de la particion temporalde la amplitud, puede obtenerse si transformamos la integral de trayectoria plana(10.89) en la integral general de metrica afın (10.146) con ayuda de la transformacionabreviada

∆xi = eiλ

(

∆qλ − 1

2!Γµν

λ∆qµ∆qν)

. (11.51)

Esto tiene un Jacobiano simple

J =∂(∆x)

∂(∆q)= det (eiκ) det (δ

κµ − ei

κei{µ,ν}∆qν), (11.52)

cuya accion efectiva tiene la forma

i

hAǫ

J = −eiκeiκ,ν∆qν −1

2ei

µei{κ,ν}ejκej{µ,λ}∆q

ν∆qλ + . . . . (11.53)

Con ayuda de la Ec. (10.16), y en terminos de la coneccion afın esta expresion tienela forma

i

hAǫ

J = −Γ{νµ}µ∆qν − 1

2Γ{νκ}

σΓ{µ,σ}κ∆qν∆qµ + . . . . (11.54)

Sin embargo, la transformacion (11.51) tiene una forma poco atractiva: La accionpara tiempos cortos que se obtiene de la Ec. (11.51)

Aǫ =M

2ǫ(∆xi)2 =

M

2ǫ

(

gµν∆qµ∆qν−Γµνλ∆q

µ∆qν∆qλ (11.55)

+1

4Γλκ

σΓµνσ∆qµ∆qν∆qλ∆qκ + . . .

)

ya no es mas igual a la accion clasica (10.107) evaluada en la autoparelela [recorde-mos la convencion dada en la Ec. (10.121)].

Esta fue tambien una forma de otra transformacion, la cual es mas convenientepara el calculo. En lugar de deducir la relacion entre ∆xi y ∆qµ evaluando laEc. (10.60) junto con la autoparalela, podemos suponer, por el momento, la ausenciade curvatura y torcion y desarrollar ∆xi = xi(q)− xi(q −∆q) en potencias de ∆q:

∆xi = eiµ∆qµ − 1

2eiµ,ν∆q

µ∆qν +1

3!eiµ,νλ∆q

µ∆qν∆qλ + . . . . (11.56)

Luego de lo cual introducimos la curvatura y la torsion, haciendo que las funcionesx(q) y ∂µx(q) sean no integrables de acuerdo con el criterio de Schwartz, i.e., cuandolas segundas derivadas de x(q) y eiµ(q) no necesariamente conmuntan entre si [locual implica que el lado derecho de la Ec. (11.56) no se puede escribir como xi(q)−xi(q−∆q)]. Entonces el desarrollo (11.56) es una definicion de la transformacion de

11.2 Representacion Equivalente de la Integral de Trayectoria 949

∆xi a ∆qµ. Usando las identidades (10.16), (10.131) y (10.132), la transformacion(11.56) se convierte en

∆xi = eiλ

[

∆qλ − 1

2!Γµν

λ∆qµ∆qν (11.57)

+1

3!(∂σΓµν

λ + ΓµντΓστ

λ)∆qµ∆qν∆qσ + . . .]

.

Esto difiere de la transformacion correcta (10.96) por los terminos de tercer orden

∆′xi =1

3!ei[τ,σ]ek

τekν,µ∆qµ∆qν∆qσ =

1

3!eiλSστ

λΓµντ∆qµ∆qν∆qσ, (11.58)

los cuales se anulan si el espacio q no tiene torsion. El Jacobiano asociado con laEc. (11.56) es

J =∂(∆x)

∂(∆q)= det (eiκ) det

(

δκµ− eiκei{µ,ν}∆q

ν +1

2eκi e

i{µ,νλ}∆q

ν∆qλ + . . .)

, (11.59)

el cual corresponde a la accion efectiva

i

hAǫ

J = −eiκeiκ,ν∆qν +1

2[ei

µei{µ,νλ}−eiµei{κ,ν}ejκej{µ,λ}]∆qν∆qλ + . . . . (11.60)

Usando las Ecs. (10.16), (10.131) y (10.132), obtenemos

i

hAǫ

J = − Γ{νµ}µ∆qν +

1

2(∂{µΓν,κ}

κ + Γ{ν,κσΓµ},σ

κ − Γ{νκ}σΓ{µ,σ}

κ)∆qν∆qµ+. . . ,

(11.61)

el cual difiere del Jacobiano propio de la accion (10.145) solo por el ındice de lasimetrizacion.

Para hallar la accion para tiempos cortos, de la transformacion (11.56) formamosla relacion

Aǫ =M

2ǫ(∆xi)2 =

M

2ǫ

[

gµν∆qµ∆qν−eiµeiν,λ∆qµ∆qν∆qλ (11.62)

+(

1

3eiµe

iν,λκ +

1

4eiµ,νe

iλ,κ

)

∆qµ∆qν∆qλ∆qκ+. . .]

,

y usando ahora las identidades (10.16), (10.131) y (10.132) obtenemos

Aǫ =M

2ǫ

{

gµν∆qµ∆qν − Γµνλ∆q

µ∆qν∆qλ (11.63)

+[

1

3gµτ (∂κΓλν

τ + ΓλνδΓκδ

τ ) +1

4Γλκ

σΓµνσ

]

∆qµ∆qν∆qλ∆qκ + . . .}

.

Esta expresion difiere de la accion propia para tiempos cortos (10.107) [recordemosla convencion dada en (10.107)], por la falta de la simetrizacion en los ındices κ y δen el cuarto termino, la diferencia se anula si el espacio q no tiene torsion.


La representacion equivalente de la integral de trayectoria, en la cual la Ec. (11.2)contiene la accion para tiempos cortos (11.63) y el Jacobiano de la accion (11.61),sera de utilidad en el Capıtulo 13, donde resolveremos la integral de trayectoria delsistema de Coulomb.

La equivalencia de las diferentes representaciones de la particion temporal de laintegral de trayectoria se manifiesta a si mismo en ciertas propiedades del momentodel nucleo de la integral (11.4). Las deducciones de la ecuacion de Schrodinger enlas Subsecciones 11.1.1 y 11.1.2 han hecho uso de las siguientes tres propiedadesdel momento del nucleo:

∫

dD∆q Kǫ(q,∆q) = 1 + . . . , (11.64)∫

dD∆q Kǫ(q,∆q)∆qν = −iǫ h

2MΓµ

µν + . . . , (11.65)∫

dD∆q Kǫ(q,∆q)∆qµ∆qν = iǫh

Mgµν + . . . , (11.66)

evaluada en un punto fijo q. Los terminos omitidos indicados por los puntos sus-pensivos, y los momentos de orden superior, contribuyen a orden superior en ǫ, loscuales son irrelevantes para la deduccion de la ecuacion diferencial para la ampli-tud. Todo nucleo Kǫ(q,∆q) con estas propiedades llevan a la misma ecuacion deSchrodinger. Si el nucleo se escribe en la forma

Kǫ(q,∆q) = Kǫ0(q,∆q)[1 + C(∆q)], (11.67)

donde Kǫ0(q,∆q) es el nucleo post-punto de la partıcula libre

Kǫ0(q,∆q) =

√

g(q)√

2πiǫh/MD exp

[

i

hgµν(q)∆q

µ∆qν]

, (11.68)

las propiedades del momento (11.64)–(11.66) son equivalentes a

〈C〉0 = 0 + . . . , (11.69)

〈C ∆qµ〉0 = iǫh

2MΓµ

µν + . . . , (11.70)

donde los valores esperados se hallan con respecto al nucleo Kǫ0(q,∆q), los puntos

suspensivos indican los terminos de orden ǫ2. Notese que la tercera propiedad de losmomentos es trivialmente cierta dado que recibe solo una contribucion del terminoprincipal del nucleo Kǫ(q,∆q), i.e., de Kǫ

0(q,∆q). La verificacion de los otros dosterminos require cierto trabajo, en particular el primero, el cual es la condicion denormalizacion.

Dos nucleos Kǫ1, K

ǫ2 son equivalentes si sus terminos de correccion C1, C2 tienen

valores esperados pequenos, de orden ǫ2:

〈C1〉0 = 〈C2〉0 = O(ǫ2), (11.71)

〈(C1 − C2)∆qµ〉0 = O(ǫ2). (11.72)

11.3 Potenciales y Potencial Vectorial 951

Estas condiciones son necesarias y suficientes para la equivalencia. Muchos terminoscorrectivos posibles C, daran los mismo momentos de las integrales. Todos ellos sonfısicamente equivalentes, y estan asociados con la misma ecuacion de Schrodinger.La mas simple de las posibilidades son

Kǫ(q,∆q) = Kǫ0(q,∆q)

[

1 +1

2Γµ

µν∆q

ν]

, (11.73)

o

Kǫ(q,∆q) = Kǫ0(q,∆q)

[

1− i

D + 2

M

2hǫΓµ

µν ∆q

νgλκ∆qλ∆qκ

]

, (11.74)

donde D es la dimension del espacio. El nucleo de orden cero cumple au-tomaticamente la primera y la tercera condicion del momento, (11.64) y (11.66),mientras que el termino adicional forza a la segunda condicion, Ec. (11.65), sincambiar las otras. Los nucleos equivalentes tambien pueden considerarse como elresultado de trabajar con acciones Jacobianas

i

hAǫ

J =1

2Γµ

µν∆q

ν − 1

8(Γµ

µν∆q

ν)2, (11.75)

i

hAǫ

J = − i

D + 2

M

2hǫΓµ

µν∆q

ν gλκ ∆qλ ∆qκ, (11.76)

en lugar de la accion original (10.145). En realidad, el segundo termino en laEc. (11.75) puede reducirse aun mas por teorıa de perturbacion y tenemos

−1

8(Γµ

µν∆q

ν)2 → −1

8Γµ

µνΓλ

λκ〈∆qν∆qκ〉0

= −iǫ h

8M(Γµ

µν)

2, (11.77)

dando una forma alternativa, y mas util, para el Jacobiano de la accion

i

hAǫ

J =1

2Γµ

µν∆q

ν − iǫh

8M(Γµ

µν)

2. (11.78)

Notoriamente, esta expresion involucra solo la coneccion contraida en los dosprimeros ındices:

Γµµν = gµλΓµλ

ν . (11.79)

11.3 Potenciales y Potencial Vectorial

Es directo hallar el efecto de un potencial externo y un potencial vectorial sobrela ecuacion de Schrodinger. Para verlo, observemos que la particion temporal delpotencial

Aǫpot =

e

cAµ∆q

µ − e

2c∂νAµ∆q

µ∆qν − ǫV (q) + . . . , (11.80)


deducida en la Ec. (10.182), aparece en el nucleo Kǫ(q,∆q) via el factor eiAǫpot/h.

Este factor puede combinarse con el desarrollo post-punto de la funcion de onda enla ecuacion integral (11.31), la cual sera

ψ(q, t) =∫

dD∆q Kǫ0(q,∆q) [1 + C(∆q)]

×eiAǫpot/h

(

1−∆qµ∂µ +1

2∆qµ∆qν∂µ∂ν

)

ψ(q, t− ǫ) + . . .

=∫

dD∆q Kǫ0(q,∆q) [1 + C(∆q)]

[

1−∆qµ(

∂µ − ie

hcAµ

)

(11.81)

+1

2∆qµ∆qν

(

∂µ− ie

hcAµ

)(

∂ν− ie

hcAν

)

− iǫV (q)

]

ψ(q, t− ǫ) + . . . .

De lo mostrado en la Subseccion 11.1.1 o 11.1.2, obtenemos la misma ecuacion deSchrodinger hallada en (11.21),

ih∂tψ(q, t) = Hψ(q, t). (11.82)

El operador Hamiltoniano H difiere del operador de la partıcula libre H0 de laEc. (11.22),

H0 = − h2

2MDµD

µ, (11.83)

en dos formas. Primero, se ha agregado la energıa potencial V (q). Segundo, lasderivadas covariantes Dµ se reemplazan por

DAµ ≡ Dµ − i

e

hcAµ. (11.84)

Esta es la version de Schrodinger de la sustitucion mınima dada en la Ec. (2.644).La sustitucion mınima extiende la covarianza de Dµ con respecto al cambio de las

coordenadas, a una covarianza con respecto a transformaciones de norma del vectorpotencial Aµ. La sustraccion de iAµ/h en el lado derecho de la Ec. (11.84) refleja elhecho que Pµ = pµ − Aµ, en lugar de pµ, es el momentum fısicamente invariante denorma de una partıcula en presencia de una campo electromagnetico. Solo el uso dePµ garantiza la invarianza de norma de la interaccion electromagnetica, tal como enla accion (2.643) del espacio plano.

Verifiquemos brevemente que la ecuacion de Schrodinger (11.82), con la derivadacovariante (11.84), es invariante bajo transformaciones de norma. Si la ampitud semultiplica por una fase dependiente del espacio

ψ(q) → e−i(e/hc)Λ(q)ψ(q), (11.85)

la derivada covariante (11.84) queda multiplicada por la misma fase:

Dµψ(q) → e−i(e/hc)Λ(q)Dµψ(q), (11.86)

11.4 Problema de Unitariedad 953

esto sucede si el potencial vectorial se transforma como sigue:

Aµ → Aµ + ∂µΛ(q). (11.87)

Bajo estas transformaciones juntas, la ecuacion de Schrodinger (11.82) queda mul-tiplicada por la fase total e−iΛ(q), por lo cual es invariante de norma.

Por lo tanto, agregando un potencial V (q), el operador Hamiltoniano de laecuacion de Schrodinger (11.82) sera

H = − h2

2MDA

µDAµ + V (q). (11.88)

Observemos que los terminos mixtos que contienen las derivadas y el potencial vec-torial aparecen en forma simetrizada

− h

2Mc(pµA

µ + Aµpµ) . (11.89)

Esto corresponde a una particion temporal simetrica del termino de interaccionqµAµ, el cual fue deducido en la Seccion 10.5 utilizando la ecuacion de movimientopara calcular la accion de tiempos cortos. En este capıtulo veremos que esta particiontemporal garantiza la invarianza de norma de la ecuacion de Schrodinger.

Notemos ademas que no hay terminos R extras en la ecuacion de Schrodinger(11.88).

11.4 Problema de Unitariedad

La aparicion del operador de Laplace DµDµ en la ecuacion de Schrodinger (11.82) de

la partıcula libre, entra en conflicto con el producto escalar tradicional fısico entredos funciones de onda ψ1(q) y ψ2(q):

〈ψ2|ψ1〉 ≡∫

dDq√

g(q)ψ∗2(q)ψ1(q). (11.90)

En este producto escalar, solo el operador de Laplace–Beltrami (11.13),

∆ =1√g∂µ√ggµν∂ν , (11.91)

es un operador Hermıtico, y no el Laplaciano DµDµ. El termino que complica el

resultado es el termino de torsion bajo la contraccion

(DµDµ −∆)ψ = −2Sµ∂µψ. (11.92)

Este termino destruye la Hermeticidad y ası la unitariedad del operador de evoluciontemporal de una partıcula en un espacio con curvatura y torsion.

Para los sistemas fısicos actualmente conocidos en espacios con curvatura ytorsion, afortunadamente el problema de la unitariedad no existe. Consideremos


el caso de teorıas de gravitacion con torsion. En estas teorıas, el campo de torsionSµν

λ se genera por la densidad de corriente de espın de los campos de materia funda-mental. El requerimiento de normalizacion restrige el espın de estos campos al valor1/2. Sin embargo, la densidad de corriente del espın para el caso de las partıculascon espın 1/2 resulta ser un tensor completamente antisimetrico.1 Esta propiedadnos lleva al tensor de torsion. Ası, el campo de torsion en el universo cumple con lacondicion Sµ = 0. Esto implica que para una partıcula en un universo con curvaturay torsion, el Laplaciano siempre degenera en el operador de Laplace–Berltrami, ase-gurando con ello la unitariedad.

En el Capıtulo 13 hallaremos otra forma de salir del problema de la unitariedad.La integral de trayectoria del sistema tridimensional de Coulomb sera resueltopor una transformacion multivaluada a un espacio cuatro–dimensional con torsion,donde el producto escalar fısico se define por la relacion

〈ψ2|ψ1〉phys ≡∫

dDq√g w(q)ψ∗

2(q)ψ1(q), (11.93)

donde w(q) es una funcion de peso. Este producto escalar es diferente del productoescalar simple (11.90). Sin embargo, es una reparametrizacion–invariante, y w(q)hara que el Lapaciano DµD

µ sea un operador Hermıtico.La propiedad caracterıstica de la torsion en el sistema transformado de Coulomb

es que Sµ(q) = Sµνν puede escribirse como un gradiente de una funcion escalar:

Sµ(q) = ∂µσ(q) [ver la Ec. (13.143)]. Tales campos de torsion admiten un operadorde Laplace Hermıtico en el producto escalar (11.93), con la funcion de peso

w(q) = e−2σ(q). (11.94)

De esta forma, el producto escalar fısico se puede expresar en terminos de un pro-ducto escalar simple en la forma siguiente:

〈ψ2|ψ1〉phys ≡∫

dDq√

g(q)e−2σ(q)ψ∗2(q)ψ1(q). (11.95)

Para probar la Hermeticidad, observemos que en el producto escalar simple (11.93)una integracion parcial lleva la devirada covariante −Dµ a la forma

D∗µ ≡ (Dµ + 2Sµ). (11.96)

Consideremos, por ejemplo, el producto escalar∫

dDq√g Uµν1...νnDµVν1...νn. (11.97)

Una integracion parcial del termino derivativo ∂µ en Dµ dara como resultado

terminos de superficie −∫

dDdq[(∂µ√g Uµν1...νn)Vν1...νn

−∑

i

√gUµν1...νi...νnΓµνi

λiVν1...λi...νn]. (11.98)

1Ver libros de texto estandar sobre teorıa cuantica de campo, por ejemplo ver las Refs. [1, 2].

11.5 Intentos Alternativos 955

Ahora usemos

∂µ√g =

√g Γµν

ν =√g(2Sµ + Γµν

ν), (11.99)

para reescribir la Ec. (11.98) en la forma


dDq√g [(∂µU

µν1...νn)Vν1...νn

−∑

i

ΓµνiλiUµν1...νi...νnVν1...λi...νn −2SµU

µν1...νnVν1...νn ] , (11.100)

el cual es igual a


dDq√g(D∗

µUµν1...νn)Vν1...νn. (11.101)

En el producto escalar (11.95), la operacion correspondiente es∫

dDq√ge−2σ(q)Uµν1...νnDµVν1...νn =

= terminos de superficie −∫

dDq√g(D∗

µe−2σ(q)Uµν1...νn)Vν1...νn

= terminos de superficie −∫

dDq√ge−2σ(q)(Dµ

√gUµν1...νn)Vν1...νn.(11.102)

Ası, iDµ es un operador Hermıtico, y lo mismo sucede con el Laplaciano DµDµ.

Para espacios con torsion arbitraria, aun tenemos que hallar el producto escalarcorrecto. Ası el principio de equivalencia cuantico es solo aplicable a espacios decurvatura arbitraria y con un gradiente de torsion.

11.5 Intentos Alternativos

Nuestro procedimiento tiene que compararse con anteriores intentos para construirintegrales de trayectoria con curvatura, en los cuales siempre se supone que la torsionno existe. En el trabajo notable de DeWitt, la norma se considera proporcional a

N∏

n=1

∫

dqn√

g(qn−1) =N∏

n=1

∫

dqn√

g(qn −∆q) (11.103)

de tal forma que del desarrollo en potencias de ∆q obtenemos la accion JacobianaAǫ

J0de la Ec. (10.133).Si usamos esta accion en lugar de la expresion correcta para Aǫ

J , Ec. (10.145),encontramos que la amplitud obedecera la ecuacion de Schrodinger

ih∂tψ(q, t) = (H0 + Veff)ψ(q, t), (11.104)

donde

H0 = − h2

2M∆ (11.105)


contiene el operador de Laplace–Beltrami ∆, y Veff es un potencial efectivo adicional

Veff =h2

6MR. (11.106)

La ecuacion de Schrodinger (11.104) difiere de nuestra anterior expresion (11.21),deducida por el procedimiento de transformacion no holonomico, por el terminoR extra. La deduccion sera revisada en el Apendice 11A. Notese que nuestraconvencion de signo para R es tal que la superficie de una esfera de radio R cumplecon R= 2/R2.

En la expresion propuesta por DeWitt, la amplitud para tiempos cortos tiene unprefactor clasico extra, una version del espacio curvo del determinante de Van Vleck-Pauli-Morette dado en la Ec. (4.125). Este contribuye con otro termino proporcionala R, el cual reduce la Ec. (11.106) a la forma (h2/12M)R (ver el Apendice 11B).Otras prescripciones de la integral de trayectoria conducen a terminos adicionalesno covariantes [3]. Todos estos terminos no clasicos, proporcionales a h2, tienen querestarse de la accion clasica para obtener la amplitud correcta que cumple con laecuacion de Schrodinger (11.104), sin el termino extra Veff .

Hay dos argumentos convincentes en favor de nuestro principio de construccion:Por una parte, si el espacio solo tiene curvatura y no tiene torsion, nuestra inte-gral de trayectoria proporciona la amplitud de evolucion temporal adecuada parauna partıcula sobre la superficie de una esfera en D dimensiones, y sobre gruposespaciales, como ya hemos visto en las Secciones 8.7–8.9 y 10.4. Contrario a otraspropuestas, solo la accion clasica aparece en la amplitud para tiempos cortos. Enespacios con curvatura constante, tal como en un espacio plano, nuestra amplitudcoincide con la obtenida en la mecanica cuantica de operadores, cuantizando la teorıamediante las reglas de conmutacion de los generadores del grupo de movimiento.

En presencia de torsion el resultado es nuevo. Este resultado sera probado por laintegracion de la integral de trayectoria del sistema de Coulomb en el Capıtulo 13.Esto requiere una transformacion multivaluada de coordenadas a un espacio auxiliarcon curvatura y torsion, la cual reduce el sistema a un oscilador armonico (verla Seccion 13.5). En principio, la transformacion multivaluada lleva al resultadocorrecto.

La solucion es la unica evidencia indirecta para el cuestionamiento formuladopor primera vez por Bryce DeWitt en su artıculo fundamental de 1957 [4], cuestio-nando si el operador Hamiltoniano para un partıcula en un espacio curvo contieneel operador de Laplace–Beltrami ∆ en la energıa cinetica, o si existe un terminoadicional proporcional a h2R. Recordemos los diversos trabajos sobre la integralde trayectoria citados en el Capıtulo 10. De la norma generada por el principiode transformacion no holonomico de la Subseccion 10.3.2, se sigue que no existe eltermino extra h2R. Por supuesto que serıa mas satisfactorio tener una evidenciaexperimental directa, pero hasta ahora todos los sistemas experimentalmente acce-sibles en espacios curvos tienen ya sea un R muy pequeno causado por gravitacion,cuya deteccion es actualmente imposible, o tienen una R constante la cual no cam-

11.6 Desarrollo de DeWitt–Seeley de la Amplitud de Evolucion Temporal 957

bia el nivel de espaciamiento, un ejemplo de esto ultimo es el trompo simetrico y eltrompo asimetrico discutido en el contexto de la Ec. (1.471).

11.6 Desarrollo de DeWitt–Seeley de la Amplitud

de Evolucion Temporal

Una herramienta importante para comparar los resultados de las integrales de trayec-toria en el espacio curvo con los resultados de operadores de la teorıa de Schrodinger,es el desarrollo de tiempos cortos de la amplitud de evolucion de tiempos imaginarios(q, β | q′, 0). En la teorıa de Schrodinger, la amplitud esta dada por los elementos

de matriz del operador de evolucion temporal e−βH = eβ∆/2, donde ∆ es el operadorde Laplace-Beltrami (11.13). Este desarrollo fue primeramente dado por DeWitt [6]y por Seeley [7] y tiene la forma2

(q β | q′ 0) = (q | eβ∆/2 | q′) = 1√2πβ

D e−gµν(q)∆qµ∆qν/2β∞∑

k=0

βkak(q, q′) , (11.107)

Los coeficientes asociados del desarrollo de DeWitt–Seeley ak(q, q′), hasta orden

cuarto en ∆qµ, son

a0(q, q′) ≡1+

1

12Rµν∆q

µ∆qν+(

1

360Rµ

κνλRµσντ+

1

288RκλRστ

)

∆qκ∆qλ∆qσ∆qτ,

a1(q, q′) ≡ 1

12R+

(

1

144RRµν+

1

360RκλRκµλν+

1

360Rκλσ

µRκλσν−1

180Rκ

µRκν

)

∆qµ∆qν,

a2(q, q′) ≡ 1

288R2 +

1

720RµνκλRµνκλ −

1

720RµνRµν , (11.108)

donde ∆qµ ≡ (q − q′)µ. La metrica en q se supone que es del tipo Minkowski, ytodos los tensores de curvatura se evaluan en q. Para ∆qµ = 0 esto se simplifica enla forma

(q β | q 0)= 1√2πβ

D

{

1 +β

12R +

β2

2

[

1

144R2+

1

360

(

RµνκλRµνκλ−RµνRµν

)

]

+ . . .

}

.

(11.109)

Estos terminos tambien se pueden escribir en la forma de los cumulantes como

(q β | q 0)= 1√2πβ

D exp

[

β

12R +

β2

720

(

RµνκλRµνκλ−RµνRµν

)

+ . . .

]

. (11.110)

La deduccion se sigue a continuacion. En una vecindad de algun punto arbitrarioqµ0 desarrollamos el operador de Laplace–Beltrami en coordenadas normales, donde

2En la nomenclatura matematica del pie de pagina ?? del Capıtulo 2, esta expresion es llamadael nucleo del desarrollo o un desarrollo de Hadamard [8], y los coeficientes de DeWitt-Seeleyak(q, q

′) son llamados los coeficientes de Hadamard .


la metrica y su determinante tienen el siguiente desarrollo dado por las expresiones(10.477) y (10.478)

∆ = ∂2 − 1

3Rik1jk2(q0)(q − q0)

k1(q − q0)k2∂µ∂ν −

2

3Rµν(q0)(q − q0)

µ∂ν . (11.111)

El operador de evolucion temporal H = −∆/2, en el exponente de la Ec. (11.107),se puede separar en una parte libre H0 y una parte de interaccion Hint, en la formasiguiente

H0 = −1

2∂2, (11.112)

Hint =1

6Rik1jk2(q − q0)

k1(q − q0)k2∂µ∂ν +

1

3Rµν(q − q0)

µ∂ν . (11.113)

Recordando la Ec. (1.294), vemos que la amplitud de transicion (11.107) cumple conla ecuacion integral

(q β | q′ 0) = 〈q | e−β(H0+Hint) | q′〉 = 〈q | e−βH0

[

1−∫ β

0dσeσH0Hinte

−σH

]

| q′〉

= (q β | q′ 0)0 −∫ β

0dσ∫

dDq (q β − σ | q 0)0 Hint(q) (q σ | q 0), (11.114)

donde

(q β | q′ 0)0 = 〈q | e−βH0 | q′〉 = 1√2πβ

n e−(∆q)2/2β . (11.115)

A primer orden en Hint, en la ultima exponencial de la Ec. (11.114), podemos reem-plazar H por H0 y obtenemos

(q β | q′ 0) ≈ (q β | q′ 0)0 −∫ β

0dσ∫

dDq (q β − σ | q 0)0 Hint(q) (q σ | q 0)0.(11.116)

Sustituyendo la Ec. (11.113) y usando q0 = q′, encontramos

(q β | q′ 0) = (q β | q′ 0)0{

1 +∫ β

0dσ∫

dD(∆q)√2πa

D e−[∆q−(σ/β) ∆q]2/2a (11.117)

×[

−1

6Rµκνλ∆q

κ∆qλ(

−δµν

σ+

∆qµ∆qν

σ2

)

+1

3Rµν

∆qµ∆qν

σ

]}

,

donde hemos reemplazado la variable de intregracion q por ∆q = q − q′ e intro-ducimos la variable a ≡ (β − σ)σ/β. Inicialmente, tambien teniamos un termino deorden cuarto en ∆q, el cual se cancela debido a la antisimetrıa de Rµκνλ en µκ y νλ.

11.6 Desarrollo de DeWitt–Seeley de la Amplitud de Evolucion Temporal 959

Las integrales Gaussianas restantes se realizan luego de cambiar ∆q → ∆q+σ∆q/β,y obtenemos

(q β | q′ 0) = (q β | q′ 0)0{

1 +1

6

∫ β

0dσ

[

σ

β2Rµν(q

′)∆qµ∆qν +a

σR(q′)

]}

= (q β | q′ 0)0[

1 +1

12Rµν(q

′)∆qµ∆qν +β

12R(q′)

]

. (11.118)

Notese que todas la cantidades geometricas se evaluan en el punto inicial q′. Estascantidades pueden reexpresarse en una serie de potencias alrededor de la posicionfinal q utilizando el hecho de que en condiciones normales

gµν(q′) = gµν(q) +

1

3Rik1jk2(q)∆q

k1∆qk2 + . . . , (11.119)

gµν(q′)∆qµ∆qν = gµν(q)∆q

µ∆qν , (11.120)

la ultima ecuacion es correcta a todo orden en ∆q debido a la antisimetrıa de lostensores Rµνκλ en todos los terminos del desarrollo (11.119), lo cual es otra formade reescribir el desarrollo (10.477) hasta segundo orden en ∆qµ.

Regresando a las coordenadas generales, obtenemos todos los coeficientes linealesen el tensor de curvatura del desarrollo (11.107)

(q β | q′ 0) ≃ 1√2πβ

D e−gµν(q)∆qµ∆qν/2β

[

1 +1

12Rµν(q)∆q

µ∆qµ +β

12R(q)

]

. (11.121)

Los terminos de orden superior en el desarrollo de Seeley–DeWitt (10.512) se puedendeducir en forma similar, aunque con mucho mas esfuerzo [9].

Una comparacion simple del desarrollo (10.512) a orden superior, sera posible solosi restringimos el espacio a la superficie de una esfera de radio r en D dimensiones,la cual tiene dimension D − 1. Es decir,

Rµνκλ =1

r2(gµλ gνκ − gµκ gνλ) , µ, ν = 1, 2, . . . , D − 1. (11.122)

Mediante la contraccion de los ındices obtenemos el tensor escalar de curvatura deRicci

Rµν = Rκµνκ =

D − 2

r2gµν , R = Rµ

µ =(D − 1)(D − 2)

r2(11.123)

y ademas:

R2µνκλ =

2(D − 1)(D − 2)

r4, R2

µν =(D − 1)(D − 2)2

r4. (11.124)

Sustituyendo estas expresiones en (11.108), obtenemos el desarrollo, a orden β2,para tiempos cortos de la amplitud diagonal de DeWitt–Seeley para todo q:

(q β | q 0) = 1√2πβ

D−1

[

1 + (D−1)(D−2)β

12r2

+ (D−1)(D−2)(5D2 − 17D + 18)β2

1440r4+ . . .

]

.(11.125)


Este desarrollo puede reproducirse facilmente por un calculo simple de la funcionde particion de una partıcula sobre la superficie de una esfera [10]

Z(β) =∞∑

l=0

dl exp[−l(l +D−2)β/2r2] , (11.126)

donde, −l(l+D− 2) son los valores propios el operador de Laplace–Beltrami sobrela esfera [recordemos la Ec. (10.165)], y dl = (2l +D − 2)(l +D − 3)!/l!(D − 2)! esla degeneracion [recordemos la Ec. (8.114)]. Dado que el espacio es homogeneo, laamplitud (q β | q 0) se obtiene dividiendo la funcion de particion por la superficie dela esfera:

(q β | q 0) = Γ(D/2)

2πD/2rD−1Z(β). (11.127)

Para todo D, la suma en la Ec. (11.126) puede representarse facilmente en po-tencias de β. Como un ejemplo, veamos el caso D = 3, donde

Z(β) =∞∑

l=0

(2l + 1) exp[−l(l + 1)β/2r2] . (11.128)

En el lımite de valores pequenos de β, la suma (11.128) puede evaluarse comosigue

Z(β)=∫ ∞

0d [l(l + 1)] exp[−l(l + 1)β/2r2] +

∞∑

l=0

(2l+1)[

1− l(l+1)β/2r2 + . . .]

.

(11.129)La integral puede hacerse inmediatamente, y obtenemos

∫ ∞

0dz exp(−zβ/2r2) = 2r2

β. (11.130)

Las sumas divergen, pero pueden evaluarse mediante una continuacion analıtica delas potencias negativas de l a las potencias positivas con ayuda de las funciones zetade Riemann ζ(z) =

∑∞n=1 n

−z, las cuales se anulan para todos los argumentos paresnegativos. De esta forma encontramos

∞∑

l=0

(2l + 1) = 1 +∞∑

l=1

(2l + 1) = 1 + 2ζ(−1)− 1

2=

1

3, (11.131)

− β

2r2

∞∑

l=0

(2l + 1)l(l + 1) = − β

2r2

∞∑

l=1

(2l3 + l) = − β

2r2[2ζ(−3) + ζ(−1)] =

β

30r2.

(11.132)Sustituyendo estos valores en la Ec. (11.129) obtenemos

Z(β) =2r2

β

(

1 +β

6r2+

β2

60r4+ . . .

)

. (11.133)

Dividiendo por la superficie constante de una esfera 4πr2 como lo requiere laEc. (11.127), obtenemos el desarrollo (11.125) para la superficie de una esfera entres dimensiones.

11.7 Relacion de Recurrencia 961

11.7 Relacion de Recurrencia

Si deseamos una aproximacion a orden superior, podemos usar el esquema de re-cursion efectivo desarrollado por DeWitt [6]. La aproximacion parte de la versionde tiempo real de la amplitud (10.512)

(q t | q′ 0) = (q | eit∆/2 | q′), (11.134)

la cual cumple con la ecuacion de Schrodinger en un espacio curvo

i∂t(q t | q′ 0) = −∆

2(q β | q′ 0), (11.135)

con las condiciones iniciales

(q 0 | q′ 0) = δ(D)(q − q′). (11.136)

Para hallar la solucion de la Ec. (11.135), DeWitt primeramente uso una amplitud deevolucion temporal en un espacio curvo, la cual es un analogo directo a la amplitud(4.125). DeWitt considero la accion (10.2) de una partıcula puntual en un espaciocurvo con una metrica

A =1

2

∫ t

0dt′ gµν(q(t

′))qµ(t′)qν(t′) (11.137)

en la trayectoria de la geodesica (10.9) entre los puntos incial y final q′ y q, expre-sandola como A(q, q′; t), como en la Ec. (4.87). Asociada con esta accion DeWittdefinio la distancia geodetica

σ(q, q′) ≡ tA(q, q′; t) = σ(q′, q). (11.138)

Esta distancia es una funcion bilocal llamada el intervalo geodetico. El momentumclasico de la partıcula sobre la orbita esta dado por la la derivada [recordemos laEc. (4.88)]

pµ = ∂µA(q, q′; t) = ∂µσ(q, q

′)/t. (11.139)

La trayectoria clasica obedece la ecuacion de Hamilton–Jacobi (1.65), la cualpara una accion que cumple con la Ec. (11.138) tiene la forma:

∂tσ(q, q′) =

1

2∂µσ(q; q

′)∂µσ(q; q′). (11.140)

La derivada ∂µσ(q, q′) esta dirigida en la direccion del vector tangente a la trayectoria

geodetica. La ecuacion de Hamilton–Jacobi afirma que el cuadrado de su magnitudes igual al doble del intervalo geodetico.

Luego DeWitt escribio la amplitud semiclasica en el espacio–tiempo curvo comouna extension obvia de la expresion (4.125) [11] del espacio plano:

(q t | q′ 0) = (q | eit∆/2 | q′) = 1√2πit

D D1/2(q, q′)eiσ(q,q′)/2t, (11.141)


donde D expresa el determinante

D ≡ detD[−∂µ∂′νA(q, q′; t)] =detD[−∂µ∂νσ(q, q′)]

tD. (11.142)

La amplitud exacta tiene la siguiente representacion en terminos de tiempos cortos

(q t | q′ 0) = (q | eit∆/2 | q′) = 1√2πit

D D1/2(q, q′)eiσ(q,q′)/2t

∞∑

n=0

tn an(q, q′; t), (11.143)

donde para q = q′, a0(q, q′) = 1, y los demas coeficientes se anulan. Aplicando la

ecuacion de Schrodinger (11.135) a la Ec. (11.143), DeWitt obtuvo la relacion derecurrencia

∂µσ∂µa0 = 0, (11.144)

∂µσ∂µan+1 + (n+ 1)an+1 = D−1/2Dµ∂µ(D1/2an), n = 0, 1, 2, . . . . (11.145)

donde D(q, q′) ≡ g−1/2(q)Dg1/2(q′) y Dµ es la derivada covariante de la derivada∂µσ definida como en la Ec. (10.37). Con esto, DeWitt hallo el coeficiente de menororden por medio de la funcion bilocal I(q, q′) con las propiedades

∂µσ∂µI(q, q′) = 0, ∂µ

′

σ∂µ′I(q, q′) = 0, I(q, q) = 1. (11.146)

De esto la solucion de DeWitt de la Ec. (11.145) es

an+1(q, q′) =

1

tn+1

∫ t

0dt′′ t′′nD−1/2Dµ∂µ[D1/2an(q(τ

′′), q′)]. (11.147)

Apendice 11A Cancelacion en el Potencial Efectivo

En este apendice demostraremos la anulacion de los terminos v2B y v3

B , en la formula (11.48)del potencial efectivo. Primero daremos una razon simple por la cual aparece la cancelacionindependiente de las contribuciones provenientes del segundo y tercer terminos en la serie (10.96)de ∆xi. Consideremos la integral

∫

d∆x√2πǫ

exp

[

− (∆x)2

2ǫ

]

, (11A.1)

y supongamos que ∆x tiene una serie del tipo dado por la expresion (10.96):

∆x = ∆q[1 + a2∆q + a3(∆q)2 + . . .]. (11A.2)

La integral se puede escribir en la forma

∫

d∆q√2πǫ

[1 + 2a2∆q + 3a3(∆q)2 + . . .] exp

{

− (∆q)2

2ǫ[1 + 2a2∆q + 2a3(∆q)2 + a22(∆q)2 + . . .]

}

,

(11A.3)y puede evaluarse perturbativamente mediante el desarrollo

∫

d∆q√2πǫ

exp

[

− (∆q)2

2ǫ

] [

1 − a2(∆q)3

ǫ− a3

(∆q)4

ǫ− a22

(∆q)4

2ǫ

+ a22(∆q)6

2ǫ− 2a22

(∆q)4

ǫ+ 3a3(∆q)2 + . . .

]

. (11A.4)

Apendice 11A Cancelacion en el Potencial Efectivo 963

Si 〈O〉0 denota el valor esperado armonico

〈O〉0 ≡∫

d∆q√2πiǫ

O exp[−(∆q)2/2ǫ], (11A.5)

tenemos

〈(∆q)2〉0 = ǫ, 〈(∆q)4〉0 = 3!ǫ2, 〈(∆q)6〉0 = 5!ǫ3, . . . . (11A.6)

Usando estos valores encontramos que los terminos a2 y a3 se cancelan por separado. Y es precisa-mente este mecanismo de cancelacion el cual lleva a que las expresiones mas complicadas v1

B, v2B,

de la Ec. (11.49), se anulen.Para demostrar la cancelacion explıcitamente, consideremos los terminos derivativos en v3

B,estos terminos son:

v3∂Γ = −1

2gµν∂{µΓνλ}

λ +1

6gµτ∂κΓλν

τ (gµνgλκ + gµλgνκ + gµκgνλ). (11A.7)

Debido a la simetrizacion del primer termino en µνλ, de aquı obtenemos un cero. La cancelacionde los restantes terminos en v3

B, los cuales son cuadraticos en Γ, puede verse mas facilmenteescribiendo todos los ındices como subındices, introduciendo gµνλκ de la Ec. (11.41), y trabajandosobre las contracciones.

Para calcular los terminos v2B, es util introducir la notacion Γ1µ ≡ Γµν

ν , Γ2µ ≡ Γνµν , Γ3µ ≡

Γννµ y de manera similar las matrices Γ1µ=(Γµ)λκ, ΓT

1µ=(Γµ)κλ, Γ2µ=Γλµκ, ΓT2µ=Γκµλ,

Γ3µ=Γλκµ, ΓT3µ=Γκλµ. Para contracciones tales como Γ1µΓ1µ escribimos Γ1Γ1, y para ΓµνλΓµνλ

escribimos Γ1Γ1 = Γ2Γ2 = Γ3Γ3, lo cual resulta muy conveniente. Similarmente, ΓµνλΓλµν =

Γ1Γ2T = Γ2Γ3

T = Γ3Γ1. Luego solo tenemos que hallar

v21 = −1

8[(Γ1 + Γ2)

2 − Γ3(Γ1 + ΓT1 + Γ2 + ΓT

2 )], (11A.8)

v22 =

1

8[Γ3Γ3 + Γ3(Γ3 + ΓT

3 )],

v23 =

1

4[(Γ1 + Γ2)

2 + Γ3(Γ1 + Γ2)],

v24 = −1

8[Γ1

2 + Γ22 + Γ3

2 + 2(Γ1Γ2 + Γ2Γ3 + Γ3Γ1)

+ Γ3(Γ1 + ΓT1 + Γ2 + ΓT

2 + Γ3 + ΓT3 )].

Es facil ver que la suma de los terminos v2B se anula.

Luego, si la simetrizacion en (11.49), que se sigue de nuestra accion Jacobiana, no existe,encontramos los terminos adicionales

∆v3∂Γ =

1

6R− 2

3∂µS

µ +1

6(Γ3Γ

T2 − Γ3Γ2), (11A.9)

∆v3Γ2

= −1

2Γ3Γ2 +

1

6(Γ3Γ2 + Γ3Γ

T2 + Γ3Γ2), (11A.10)

cuya suma da la contribucion adicional a los terminos v3B

∆v3 =1

6R − 2

3∂µS

µ +2

3Γ3S1, (11A.11)

la cual se encuentra luego de haber usado la identidad

S3Γ2 = −Γ3S1. (11A.12)

El primer termino en (11A.11) es el termino R hallado por K.S. Cheng,3 como un potencial efectivoen la ecuacion de Schrodinger.

3K.S. Cheng, J. Math. Phys. 13 , 1723 (1972).


Para v2B, debemos hallar los terminos extras

∆v21 = −1

2(Γ1Γ1 − Γ3Γ2) +

1

8[(Γ1 + Γ2)

2 − Γ3(Γ1 + ΓT1 + Γ2 + ΓT

2 )], (11A.13)

∆v23 =

1

4(Γ1 − Γ2)(Γ1 + Γ2 + Γ3), (11A.14)

con lo cuales obtenemos

∆v2 = −1

2S1S1 +

1

2Γ3S1 −

1

3Γ3S1 +

1

2S1 S3, (11A.15)

donde hemos escrito S1 en lugar de Sµ y usado algunas identidades triviales tales como

Γ3Γ2T = Γ3Γ1. (11A.16)

Con esto obtenemos un potencial efectivo adicional Veff = (h2/M)v donde

v =1

6R− 2

3gµν∂µSν − 1

2(S2

1 − Γ3S1) +1

2S1S3 −

1

3Γ3S1. (11A.17)

El segundo y cuarto terminos pueden combinarse en la forma

−2

3DµS

µ − 1

6Γ3S1. (11A.18)

Debido a la presencia de las Γ’s en v, tenemos una expresion nocovariante la cual puede no tenersignificado fısico. Sin embargo, en ausencia de torsion v puede tener una reparametrizacion inva-riante, y esta es la razon por la cual el potencial efectivo resultante Veff = h2R/6M , en anteriorestrabajos, es correcto. Un procedimiento que no tiene reparametrizacion invariante a espacios sintorsion no puede ser correcto.

Apendice 11B Amplitud de DeWitt

Bryce DeWitt, en su artıculo frecuentemente citado,4 intento cuantizar el movimiento de unapartıcula en el espacio curvo utilizando una norma simple en la integral de trayectoria como lade la Ec. (10.153), pero con la amplitud de tiempos cortos (11.141) donde q ≡ qn, q

′ ≡ qn−1.Sin embargo, luego de considerar la accion Jacobiana Aǫ

J0, obtenemos un nucleo de la integral

Kǫ(q,∆q) que difiere del valor correcto dado en la Ec. (11.4), por el factor extra

D1/2(q, q′)e−iAǫ

J/h/√

g(q). (11B.1)

Este factor tiene el desarrollo post punto 1+ 1

12Rµν(q)∆qµ∆qν + . . . . Cuando se le trata perturba-

tivamente, el termino extra es equivalente a ǫhR/12M . Ası, para obtener la amplitud correcta sinel termino R extra, DeWitt tuvo que restar del Hamiltoniano el potencial no clasico h2R/12M . Talprocedimiento correctivo debe rechazarse debido a que es contrario a la esencia de la aproximacionde la integral de trayectoria, en la cual la contribucion de cada trayectoria es controlada por lafase eiA/h, donde en el exponente tenemos la accion clasica.

El nucleo para tiempos cortos propuesto, quince anos antes, por Cheng requiere de la subs-traccion artificial del potencial efectivo (11.106), para obtener la amplitud correcta (11.4).

4B.S. DeWitt, Rev. Mod. Phys. 29 , 377 (1957).

Notas y Referencias 965

Notas y Referencias

La primera integral de trayectoria en un espacio curvo fue dada por B.S. DeWitt,Rev. Mod. Phys. 29, 377 (1957),haciendo uso del trabajo previo de C. DeWitt-Morette [11].Una propuesta modificada se debe aK.S. Cheng, J. Math. Phys. 13, 1723 (1972).Para una discusion reciente con resultados diferentes a los mostrados aquı verH. Kamo and T. Kawai, Prog. Theor. Phys. 50, 680, (1973);T. Kawai, Found. Phys. 5, 143 (1975);H. Dekker, Physica A 103, 586 (1980);G.M. Gavazzi, Nuovo Cimento 101A, 241 (1981).Una muy buena revision de la mayorıa de los intentos anteriores puede hallarse enM.S. Marinov, Phys. Rep. 60, 1 (1980).

En un espacio sin torsion, C. DeWitt-Morette, trabajando con ecuaciones diferenciales estocasticas,postularon un operador Hamiltoniano sin el termino R extra. Ver sus seminarios presentados enla Escuela de Verano de Erice de 1989 en Quantum Mechanics in Curved Spacetime, ed. por V. deSabbata, Plenum Press, 1990, y las referencias citadas ahı, en particularC. DeWitt-Morette, K.D. Elworthy, B.L. Nelson, and G.S. Sammelman, Ann. Inst. H. Poincare A32, 327 (1980).

Una norma de la trayectoria de la integral de trayectoria del espacio fase que no produce ninguntermino R fue propuesta porK. Kuchar, J. Math. Phys. 24, 2122 (1983).

La breve descripcion de la ecuacion de Schrodinger de la Subseccion 11.1.1 se debe aP. Fiziev and H. Kleinert, J. Phys. A 29, 7619 (1996) (hep-th/9604172).

Las citas individuales se refieren a

[1] C. Itzykson and J.-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill (1985).

[2] H. Kleinert, Multivalued Fields in Condensed Matter, Electromagnetism, and Gravita-

tion, World Scientific, Singapore 2009, pp. 1–497 (http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b11).

[3] M.S. Marinov, Physics Reports 60, 1 (1980).

[4] B.S. DeWitt, Rev. Mod. Phys. 29, 377 (1957).

[5] H. Kleinert, Phys. Lett A 252, 277 (1999) (quant-ph/9807073).

[6] B.S. DeWitt, Dynamical Theory of Groups and Fields , Gordon and Breach, New-York, 1965;Phys. Rev. 62, 1239 (1987).Ver la Seccion 7.

[7] R.T. Seeley, Proc. Symp. Pure Math. 10 1967 589. Ver tambien H.P. McKean and I.M.Singer. J. Diff. Geom. 1 , 43 (1967).

[8] J. Hadamard, Lectures on Cauchy’s Problem, Yale University Press, New Haven, 1932.Ver tambienM. Riesz, Acta Math. 81, 1 (1949).

[9] Y.V. Gusev, Nucl. Phys. B 807, 566 (hep-th/0811.1063).

[10] Esta es una ligera modificacion al calculo presentado enH. Kleinert, Phys. Lett. A 116, 57 (1986) (http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/129). Ver la Ec. (27).


[11] C. DeWitt-Morette, Phys. Rev. 81, 848 (1951).

de m´etrica af´ın generalusers.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b5/psfiles-sp/pthic11.pdf · en un...

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