20...

Quandoquidem inter nos sanctissima divitiarum maiestas

Since the majesty of wealth is most sacred with us

Juvenal (55–120), Sat. 1, 113

20

Integrales de Trayectoria y Mercados Financieros

Una aplicacion importante de las integrales de trayectoria se encuentra en los mer-cados financieros. El precio de los valores fluctua como funcion del tiempo y si elnumero de participantes en el mercado es alto, las fluctuaciones son muy azarosas.Luego, la dependencia temporal de los precios puede modelarse mediante las fluc-tuaciones de las trayectorias.

20.1 Propiedades de las Fluctuaciones de los ValoresFinancieros

Sea que S(t) representa el precio de una accion o algun otro valor financiero. Paratiempos muy grandes, i.e., si la recopilacion de datos es lenta, el promedio sobre elprecio de las acciones tiene un comportamiento temporal que se puede aproximar porpartes mediante el uso de exponenciales. Esta es la razon por la cual, generalmente,los precios de las acciones se grafican en una escala logarıtmica. Esto se ilustramejor con ayuda de la grafica del ındice industrial Dow-Jones de los ultimos 60 anosen la Fig. 20.1. Las fluctuaciones del ındice tienen cierto ancho medio llamado lavolatilidad del mercado. Para tiempos grandes, la volatilidad no es constante sinoque cambia estocasticamente, como se muestra en la Fig. 20.2 [3] para el caso de losdatos del ındice S&P 500 en el intervalo de 1984-1997. En particular, por otro lado,hay grandes cambios luego de un colapso mercantil.

En un principio, en la teorıa a desarrollar, ignoraremos estas fluctuaciones ysupondremos que la volatilidad es constante. En la literatura se pueden encontrarvarias propuestas que intentan incluir estas fluctuaciones [3]–[79], en la Seccion 20.4discutiremos un modelo que ha llamado la atencion.

La volatilidad tiene aproximadamente la forma de una distribucion tipo Gama,como se observa en la Fig. 20.3.

En General, una accion individual sera mas volatil que un ındice mercantil prome-dio, particularmente cuando la companıa asociada es pequena y solo se comercializanalgunas acciones diarias.

1507

1508 20 Integrales de Trayectoria y Mercados Financieros

1940 1960 1980 2000

10000

100

200

500

1000

2000

5000

Figure 20.1 Grafica logarıtmica del ındice industrial Dow Jones en los ultimos 80 anos.

Hay cuatro secciones aproximadamente lineales, dos con crecimiento exponencial y dos

con estancamiento [1].

1.0

5.0

a

b

100

500

S&P 500

Volatility σ × 103

1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996

Figure 20.2 (a) Indice S&P 500 para un perıodo de 13 anos, desde el 1o. de Enero

de 1984 hasta el 14 de Diciembre de 1996, almacenado cada minuto y (b) volatilidad en

intervalos de 30 minutos (tomado de la Ref. [2]).

20.1.1 Aproximacion Armonica a las Fluctuaciones

En la aproximacion de menor orden, el precio de las acciones S(t) obedece unaecuacion diferencial estocastica con crecimiento exponencial

S(t)

S(t)= rS + η(t), (20.1)

20.1 Propiedades de las Fluctuaciones de los Valores Financieros 1509

0.000 0.001 0.002 0.0030.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Pro

babil

ity d

istr

ibuti

on x

10

-3

Normalized volatility

Empirical volatility

Gauss distr. fit

Log-normal distr. fit

Gamma distr. fit

Figure 20.3 Comparacion del ajuste Gaussiano, logarıtmico normal y distribucion Gama

de la volatilidad en un intervalo de 300 minutos (tomado de la Ref. [80]). La distribucion

log-normal normalizada tiene la forma Dlog−normal(z) = (2πσ2z2)−1/2e−(log z−µ)2/2σ2. La

distribucion Gama sera discutida mas tarde en la Subseccion 20.1.5.

donde rS es la razon de crecimiento y η(t) es una variable de ruido blanco definidapor las funciones de correlacion

〈η(t)〉 = 0, 〈η(t)η(t′)〉 = σ2δ(t− t′). (20.2)

La desviacion estandar σ es una medida exacta de la volatilidad del precio de lasacciones. El cuadrado de la volatilidad v ≡ σ2 se conoce como la varianza.

La cantidad dS(t)/S(t) es la llamada la renta de los activos. De los datos fi-nancieros, normalmente, la renta se obtiene para intervalos temporales finitos ∆ty no para intervalos infinitesimales dt, esto en virtud de que los precios S(t) seobtienen para intervalos temporales discretos tn = t0 + n∆t. Como ejemplo, haynumerosas tablas de precios diarios S(tn) al cierrre del mercado, de los cuales se ob-tiene la renta diaria ∆S(tn)/S(tn) = [S(tn+1)−S(tn)]/S(tn). El conjunto disponiblede valores S(tn) se conoce como la serie temporal de los precios.

Para una eleccion apropiada de las escalas temporales a ser estudiadas, lahipotesis de un ruido blanco cumple muy bien con las fluctuaciones actuales delos precios de los bienes, como se ilustra en la Fig. 20.4.

Para el logaritmo del precio de las acciones o activos1

x(t) ≡ log S(t) (20.3)

esto implica una ecuacion diferencial estocastica con crecimiento lineal [14, 15, 16, 17]

x(t) =S

S− 1

2σ2 = rx + η(t), (20.4)

donde

rx ≡ rS − 1

2σ2 (20.5)

1En la construccion del logaritmo, se supone que el precio de las acciones o activos S(t) no tienedimensiones, i.e., usamos solo el valor numerico del precio en la moneda relevante.


ω [sec−1]

S(ω)

Figure 20.4 Espectro de fluctuacion de la razon de cambio DM/Dolar EUA como funcion

de la frecuencia, en unidades de 1/seg, mostrando que el ruido que regula la ecuacion

diferencial estocastica (20.1) es aproximadamente blanco (tomado de la Ref. [13]).

es el termino de deriva del proceso [comparemos con la Ec. (18.405)]. En la Fig. 20.5se muestra un conjunto tıpico de soluciones de la Ec. (20.4).

x(t) ≡ logS(t)

t2 4 6 8 10

-1

1

2

3

4

5

6

Figure 20.5 Comportamiento logarıtmico del precio de las acciones de acuerdo a la

ecuacion diferencial estocastica dada por la relacion (20.3).

Las diferencias finitas ∆x(tn) = x(tn+1)−x(tn) y los diferenciales correspondien-tes dx se conocen como el logaritmo de la renta.

En las funciones de la variable estocastica x(t), el termino extra σ2/2 hallado enla Ec. (20.5), se obtiene del Lema de Ito, Ec. (18.413). Recordemos que el desarrolloformal en terminos de potencias de dt:

dx(t) =dx

dSdS(t) +

1

2

d2x

dS2dS2(t) + . . .

=S(t)

S(t)dt− 1

2

[

S(t)

S(t)

]2

dt2 + . . . (20.6)

puede tratarse en la misma forma que el desarrollo de la Ec. (18.426), utilizando laregla nemotecnica dada por la Ec. (18.429), de acuerdo con la cual podemos hacerla sustitucion x2dt→ 〈x2〉dt = σ2, y por lo tanto

[

S(t)

S(t)

]2

dt→ x2(t)dt = σ2. (20.7)


Las potencias de orden superior en dt no contribuyen a las fluctuaciones Gaussianasdebido a que estas fluctuaciones son de orden superior en dt. La razon es la mismapor la cual las tasas constantes rS y rx, halladas en las expresiones S(t)/S(t) y x(t),no aparecen en la relacion [S(t)/S(t)]2 dt= x2(t)dt.

En la lista del precio de las acciones, la relacion (20.5) implica que si hacemosun ajuste mediante una lınea recta al logaritmo de los precios, cuya pendiente es rx,el crecimiento promedio del precio de las acciones sera

〈S(t)〉 = S(0) erSt = S(0)〈erxt+∫ t

0dt′ η(t′)〉 = S(0) e(rx+σ2/2)t. (20.8)

Por supuesto, este resultado es una consecuencia directa de la Ec. (18.425).

La descripcion del logaritmo del precio de las acciones mediante fluctuacionesGaussianas alrededor de una lınea es solo una aproximacion burda al precio real delas acciones. La volatilidad depende del tiempo. Observandola a intervalos tem-porales pequenos, por ejemplo cada minuto o cada hora, la volatilidad tiene unadistribucion en la cual los eventos frecuentes muestran una distribucion exponencial[ver la Subseccion 20.1.6]. Por otro lado, los eventos excepcionales muestran unaprobabilidad mucho mayor que la obtenida mediante una distribucion Gaussiana.La distribucion de probabilidad observada tiene un decreciento abrupto comparadocon el decrecimiento suave de las distribuciones Gaussianas. Este fenomeno fue ob-servado por primera vez por Pareto en el siglo XIX [18], retomado por Mandelbroten los anos 1960’s [19] y estudiado recientemente por varios autores [20, 22]. Lateorıa necesita un refinamiento considerable. Como una generalizacion intermedia,ademas de los decrecimientos abruptos en terminos de alguna potencia, introducire-mos los llamados decrecimientos semi-abruptos, los cuales decrecen mas rapido quetoda potencia tal como e−xa

xb, para valores arbitrariamente pequenos de a > 0 ypara todo b > 0. Veremos mas tarde, en la Seccion 20.4, que los decrecimientossemi-abruptos de la distribucion financiera pueden verse como una consecuencia delas fluctuaciones Gaussianas con fluctuaciones en las volatilidades. Antes de estodebemos ajustar los datos fenomenologicamente utilizando varias distribuciones noGaussianas y explorar las consecuencias.

20.1.2 Distribuciones de Levy

Siguiendo a Pareto y Mandelbrot podemos intentar ajustar las distribuciones delcambio de los precios ∆Sn = S(tn+1) − S(tn), la renta ∆Sn/S(tn) y el logaritmo dela renta ∆xn = x(tn+1) − x(tn) para un cierto intervalo temporal ∆t = tn+1 − tn enforma aproximada y con ayuda de las distribuciones de Levy [19, 22, 23, 24]. Porbrevedad, a partir de este momento, para representar cualquiera de las diferenciasanteriores usaremos la variable generica z. Las distribuciones de Levy se definenmediante la transformada de Fourier

Lλσ2(z) ≡

∫ ∞

−∞

dp

2πeipz Lλ

σ2(p), (20.9)


donde

Lλσ2(p) ≡ exp

[

−(σ2p2)λ/2/2]

. (20.10)

Para una distribucion arbitraria D(z), la descomposicion de Fourier tendra la forma

D(z) =∫

dp

2πeipzD(p) (20.11)

donde las componentes de Fourier D(p), tendran la forma exponencial

D(p) ≡ e−H(p), (20.12)

aquı H(p) tiene un significado similar al Hamiltoniano de las intregrales de trayec-toria de la estadıstica cuantica. Por analogıa definimos tambien H(z) tal que

D(z) = e−H(z). (20.13)

Una definicion equivalente del Hamiltoniano es

z/σ

1/x1+λ

z/σ

P (z)

P (z)1 + λ ≈ 2.7

1 + λ ≈ 4

Figure 20.6 Izquierda: decrecimiento de Levy del ındice S&P 500 (logaritmo de la renta

al minuto) graficado en funcion de z/δ. Derecha: Grafica logaritmo-logaritmo mostrando

un decrecimiento siguiendo una ley de potencias del ındice S&P 500 (logaritmo de la renta

al minuto) (tomado de la Ref. [23])

e−H(p) ≡ 〈e−ipz〉. (20.14)

Para las distribuciones de Levy dadas en la Ec. (20.9), el Hamiltoniano es

H(p) =1

2(σ2p2)λ/2. (20.15)

La distribucion Gaussiana se recobrara en el lımite λ → 2 donde el Hamiltonianosera igual a σ2p2/2.


Para valores grandes de z, la distribucion de Levy dada por la Ec. (20.9) decrecesiguiendo la ley de potencias caracterıstica

Lλσ2(z) → Aλ

σ2

λ

|z|1+λ. (20.16)

Este comportamiento, es el decrecimiento abrupto de la distribucion discutido an-teriormente. Tambien se le conoce como ley de potencias del decrecimiento (de-crecimiento Paretiano o decrecimiento de Levy). La magnitud del decrecimiento seencuentra aproximando la integral de la Ec. (20.9) en el lımite de valores grandesde z, donde solo contribuyen los valores pequenos de los momenta en la forma:

Lλσ2(z) ≈

∫ ∞

−∞

dp

2πeipz

[

1 − 1

2(σ2p2)λ/2

]

→z→∞

Aλσ2

λ

|z|1+λ, (20.17)

donde

Aλσ2 = −σ

λ

2λ

∫ ∞

0

dp′

πp′λ cos p′ =

σλ

2πλsin(πλ/2) Γ(1 + λ). (20.18)

Los datos obtenidos en el mercado de las acciones se ajustan mejor con un valorde λ entre 1.2 y 1.5 [13], por simplicidad, la mayor parte del tiempo usaremos elvalor λ = 3/2, de donde obtenemos

A3/2σ2 =

1

4

σ3/2

√2π. (20.19)

El desarrollo de Taylor de la transformada de Fourier de la Ec. (20.10) dara la serieasintotica

Lλσ2(z) =

∞∑

n=0

(−1)n

n!

∫ ∞

0

dp

π

σλnpλn

2ncos pz =

∞∑

n=0

(−1)n+1

n!

σλn

2nπΓ(1 + nλ)

sin πλ2

|z|1+λ. (20.20)

Para fines practicos esta serie no es util, puesto que diverge. En particular, seencuentra que la serie no puede reproducir la distribucion Gaussiana en el lımiteλ→ 2.

Hay tambien una distribucion asimetrica de Levy cuyo Hamiltoniano es

Hλ,σ,β(p) =1

2|σp|λ [1 − iβǫ(p)Fλ,σ(p)], (20.21)

donde ǫ(p) es la funcion escalon definida en la Ec. (1.316), tambien

Fλ,σ(p) =

tan(πλ/2) para λ 6= 1,−(1/π) log p2 para λ = 1.

(20.22)

El comportamiento para valores grandes de |z| de esta distribucion esta dado una vezmas por la Ec. (20.17), con la excepcion de que el prefactor dado por la Ec. (20.18)estara multiplicado por el termino (1 + β).


20.1.3 Distribuciones Truncadas de Levy

Matematicamente una propiedad no deseable de las distribuciones de Levy es queel ancho de las fluctuaciones diverge para valores donde λ < 2, esto se debe al hechode que el segundo momento

σ2 = 〈z2〉 ≡∫ ∞

−∞dz z2 Lλ

σ2(z) = − d2

dp2Lλσ2(p)

∣

∣

∣

∣

∣

p=0

(20.23)

es infinito. Si deseamos describir datos que muestran un decrecimiento abrupto paravalores grandes del logaritmo de la renta pero que tienen un ancho finito, debemoshacer que el comportamiento de estos datos sea al menos el de un decrecimientocuasi abrupto para valores grandes del logaritmo de la renta. Ejemplos de esto sonlas llamadas distribuciones truncadas de Levy [22]. Las cuales se definen como

L(λ,α)σ2 (z) ≡

∫ ∞

−∞

dp

2πeipz L

(λ,α)σ2 (p) =

∫ ∞

−∞

dp

2πeipz−H(p) , (20.24)

donde el Hamiltoniano, que generaliza al Hamiltoniano de Levy dado en laEc. (20.15), sera

H(p) ≡ σ2

2

α2−λ

λ(1 − λ)

[

(α + ip)λ + (α− ip)λ − 2αλ]

= σ2 (α2 + p2)λ/2 cos[λ arctan(p/α)] − αλ

αλ−2λ(1 − λ). (20.25)

El comportamiento asintotico de la distribucion truncada de Levy difiere de laley de potencias de la distribucion de Levy, dada en la Ec. (20.17), por el factorexponencial e−αz, el cual garantiza que tanto el ancho σ como todos los momentosson finitos. Una estimacion burda de los terminos principales se obtiene nuevamentede la transformada de Fourier del termino de menor orden del desarrollo de la funcionexponencial e−H(p):

L(λ,α)σ2 (z) ≈ e2sα

λ∫ ∞

−∞

dp

2πeipz

1 − s[

(α + ip)λ + (α− ip)λ]

→z→∞

e2sαλ

Γ(1 + λ)sin(πλ)

πse−α|z|

|z|1+λ, (20.26)

donde

s ≡ σ2

2

α2−λ

λ(1 − λ). (20.27)

La integral se obtiene directamente de las formulas [25]

∫ ∞

−∞

dp

2πeipz (α + ip)λ =

Θ(z)

Γ(−λ)

e−αz

z1+λ,∫ ∞

−∞

dp

2πeipz (α− ip)λ =

Θ(−z)Γ(−λ)

e−α|z|

|z|1+λ,(20.28)


y de la identidad de la funcion Gama2

1

Γ(−z) = −Γ(1 + z) sin(πz)/π. (20.29)

El desarrollo completo se integra con ayuda de la formula [26]

∫ ∞

−∞

dp

2πeipz (α+ ip)λ(α− ip)ν

= (2α)λ/2+ν/2 1

|z|1+λ/2+ν/2

1

Γ(−λ)W(ν−λ)/2,(1+λ+ν)/2(2αz)

1

Γ(−ν)W(λ−ν)/2,(1+λ+ν)/2(2αz)

paraz > 0,

z < 0,(20.30)

donde las funciones de Whittaker W(ν−λ)/2,(1+λ+ν)/2(2αz) se pueden expresar enterminos de la funcion hipergeometrica confluente de Kummer 1F1(a; b; x), dadaen la Ec. (9.45), en la forma

Wδ,κ(x) =Γ(−2κ)

Γ(1/2 − κ− δ)xκ+1/2e−x/2

1F1(1/2 + κ− δ; 2κ+ 1; x)

+Γ(2κ)

Γ(1/2 + κ− δ)x−κ+1/2e−x/2

1F1(1/2 − κ− δ;−2κ+ 1; x), (20.31)

como puede verse de las Ecs. (9.39), (9.46) y la Ref. [27]. Para ν = 0, solo el casoz > 0 en las Ecs. (20.30) dara una integral diferente de cero, la cual, con ayuda dela expresion W−λ/2,1/2+λ/2(z) = z−λ/2e−z/2, se reduce a la relacion del lado izquierdode la Ec. (20.28). Usando el valor λ = ν encontramos

∫ ∞

−∞

dp

2πeipz (α2 + p2)ν = (2α)ν/2

1

|z|1+ν

1

Γ(−ν)W0,1/2+ν(2α|z|). (20.32)

Usando la sustitucion

W0,1/2+ν(x) =

√

2z

πK1/2+ν(x/2), (20.33)

tendremos

∫ ∞

−∞

dp

2πeipz (α2 + p2)ν =

(

2α

|z|

)1/2+ν1√

πΓ(−ν)K1/2+ν(α|z|). (20.34)

Para el caso ν = −1, donde K−1/2(x) = K1/2(x) =√

π/2xe−x, este resultado sereduce a la expresion

∫ ∞

−∞

dp

2πeipz

1

α2 + p2=

1

2αe−α|z|. (20.35)

2M. Abramowitz and I. Stegun, op. cit., ver la Formula 6.1.17.


Sumando sobre todos los terminos en el desarrollo de la funcion exponencial e−H(p):

L(λ,α)σ2 (z) ≈ e2sα

λ∫ ∞

−∞

dp

2π

1 +∞∑

n=1

(−s)nn!

[

(α + ip)λ + (α− ip)λ]n

eipz (20.36)

obtenemos el verdadero comportamiento asintotico

L(λ,α)σ2 (z) →

z→∞e(2−2λ)sαλ

Γ(1 + λ)sin(πλ)

πse−α|z|

|z|1+λ, (20.37)

el cual difiere de la estimacion hallada en la Ec. (20.26) por un factor constante(para mayores detalles ver el Apendice 20A) [28]. Ası los decrecimientos son semi-abruptos.

Contrario a las distribuciones Gaussianas, las cuales estan completamentedefinidas por el ancho σ, las distribuciones truncadas de Levy contienen tresparametros σ, λ y α. El ajuste optimo a las fluctuaciones de dos conjuntos deprecios del mercado se muestran en la Fig. 20.7. Para el ındice S&P 500 graficamoslas distribuciones acumulativas

P<(z) =∫ z

−∞dz′ L

(λ,α)σ2 (z′), P>(z) =

∫ ∞

zdz′ L

(λ,α)σ2 (z′) = 1 − P<(z), (20.38)

de la diferencia de precios z = ∆S, donde los intervalos temporales son para ∆t = 15minutos. Para la relacion de canje de la divisa DM/$, graficamos la renta z = ∆S/Spara el mismo ∆t. La grafica muestra las ramas negativas y positivas P<(−z) yP>(z), ambas graficadas para valores positivos del eje z. Por definicion:

P<(−∞) = 0, P<(0) = 1/2, P<(∞) = 1,

P>(−∞) = 1, P>(0) = 1/2, P>(∞) = 0. (20.39)

Los ajustes se comparan tambien con otras distribuciones, como se explica en elpie de figura. Un ajuste a la mayorıa de datos se puede obtener con un parametroλ universal, aproximadamente igual a λ = 3/2. Los otros dos parametros definentodos los coeficientes del desarrollo del Hamiltoniano de la Ec. (20.25):

H(p) =1

2c2 p

2 − 1

4!c4 p

4 +1

6!c6 p

6 − 1

8!c8 p

8 + . . . . (20.40)

Los numeros c2n = −(−1)nH(2n)(0) son los cumulantes de la distribucion truncadade Levy [comparemos con la Ec. (3.587)], denotados tambien como 〈zn〉c. Aquı,tenemos los siguientes valores

〈z2〉c = c2 = σ2,

〈z4〉c = c4 = σ2(2 − λ)(3 − λ)α−2,

〈z6〉c = c6 = σ2(2 − λ)(3 − λ)(4 − λ)(5 − λ)α−4,...

〈z2n〉c = c2n = σ2Γ(2n− λ)

Γ(2 − λ)α2−2n. (20.41)


z z

P><

(±z)P><

(±z)

Figure 20.7 Ajuste optimo a la version acumulativa dada por la Ec. (20.38) usando la

distribucion truncada de Levy a los datos financieros. Para el ındice S&P 500, la variable

de la fluctuacion z es directamente el ındice de cambio ∆S, para intervalos ∆t=15 minutos

(en el ajuste se han usado los valores σ2 = 0.280 y κ = 12.7). Para la relacion de canje

DM/Dolar EUA, la variable z es igual a 100∆S/S cada quince minutos (en el ajuste se

han usado los valores σ2 = 0.0163 y κ = 20.5). Las fluctuaciones negativas estan sobre

una curva ligeramente mas alta que las fluctuaciones positivas. A menudo se ignora la

diferencia. Los parametros A y α representan el tamano y la truncacion de la distribucion.

El valor optimo de λ es 3/2 (tomado de la Ref. [13]). Las curvas a trazos cortos muestran

el ajuste optimo, obtenido usando las funciones hiperbolicas generalizadas dadas en la

Ec. (20.117) (lado izquierdo λ = 1.46, α = 4.93, β = 0, δ = 0.52; lado derecho λ = 1.59,

α = 32.1, β = 0, δ = 0.221).

El primer cumulante c2 determina el ancho de la fluctuacion cuadratica

〈z2〉 ≡∫ ∞

−∞dz z2 L

(λ,α)σ2 (z) = − d2

dp2e−H(p)

∣

∣

∣

∣

∣

p=0

= c2 = σ2, (20.42)

el segundo, el valor esperado de la cuarta potencia de z

〈z4〉 ≡∫ ∞

−∞dz z4 L

(λ,α)σ2 (z) =

d4

dp4e−H(p)

∣

∣

∣

∣

∣

p=0

= c4 + 3c22, (20.43)

y ası sucesivamente:

〈z6〉 = c6 + 15c4c2 + 15c32, 〈z8〉 = c8 + 28c6c2 + 35c24 + 210c4c22 + 105c42, . . . . (20.44)

En un primer analisis de los datos determinamos, generalmente, la llamada kurtosis ,la cual es el cumulante normalizado de cuarto orden

κ ≡ c4 ≡c4c22

=〈z4〉c〈z2〉2c

=〈z4〉cσ4

. (20.45)


La kurtosis depende de los parametros σ, λ y α en la forma

κ =(2 − λ)(3 − λ)

σ2α2. (20.46)

Dada la volatilidad σ y la kurtosis κ, obtenemos el parametro de Levy α de larelacion

α =1

σ

√

(2 − λ)(3 − λ)

κ. (20.47)

En terminos de κ y λ, los coeficientes normalizados del desarrollo son

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.1

0.2

0.3 Lµ,ασ2 (z)

z

Figure 20.8 Cambio en la forma de las distribuciones truncadas de Levy para un ancho

σ = 1, donde incrementamos el valor de las kurtoses κ = 0, 1, 2 , 5, 10, (la curva solida

corresponde a la Gaussiana).

c4 = κ, c6 = κ2(5 − λ)(4 − λ)

(3 − λ)(2 − λ), c8 = κ2

(7 − λ)(6 − λ)(5 − λ)(4 − λ)

(3 − λ)2(2 − λ)2,

...

cn = κn/2−1 Γ(n− λ)/Γ(4 − λ)

(3 − λ)n/2−2(2 − λ)n/2−2. (20.48)

Para λ = 3/2, la Ec. (20.47) sera

α =1

2

√

3

σ2κ, (20.49)

y los coeficientes de las relaciones (20.48) seran:

c4 = κ, c6 =5 · 7

3κ2, c8 = 5 · 7 · 11 κ2,

...

cn =Γ(n− 3/2)/Γ(5/2)

3n/2−2/2n−4κn/2−1. (20.50)


Para una kurtosis cero, la distribucion truncada de Levy se reduce a una distribucionGaussiana con ancho σ. El cambio en la forma de la distribucion para un ancho fijoy kurtosis creciente se muestra en la Fig. 20.8.

De los datos S&P y DM/Dolar EUA para los intervalos temporales ∆t =15 min obtenemos σ2 = 0.280 y 0.0163 y las kurtoses κ = 12.7 y 20.5, re-spectivamente. Este resultado implica que α ≈ 0.46 y α ≈ 1.50, respectiva-mente. Se obtiene tambien que los otros cumulantes normalizados (c6, c8, . . .) son(1881.72, 788627.46, . . .) y (−4902.92, 3.3168×106 , . . .), respectivamente. Los cumu-lantes aumentan rapidamente mostrando que el desarrollo necesita una resumacion.

Los cumulantes normalizados de orden superior estan dados por los siguientescocientes de valores esperados

c6 =〈z6〉〈z2〉3 − 15

〈z4〉〈z2〉2 + 30,

c8 =〈z8〉〈z2〉4 − 28

〈z6〉〈z2〉3 − 35

〈z4〉2〈z2〉4 + 420

〈z4〉〈z2〉2 − 630, . . . . (20.51)

En la practica, los cumulantes de orden superior no se pueden obtener de los datosfinancieros ya que estos son sensitivos a eventos extremadamente extranos, para loscuales la estadıstica no es suficiente para hallar una funcion de distribucion.

20.1.4 Distribuciones Asimetricas Truncadas de Levy

En los datos de la Fig. 20.7 hemos visto que las fluctuaciones de los precios tienenuna ligera asimetrıa: la caida de los precios es ligeramente mayor que el aumento.Esto se puede tener en cuenta mediante una distribucion asimetrica truncada deLevy. La cual tiene la forma general [24]

L(λ,α,β)σ2 (p) ≡ e−H(p), (20.52)

donde el Hamiltoniano tiene la forma

H(p) ≡ σ2

2

α2−λ

λ(1 − λ)

[

(α + ip)λ(1 + β) + (α− ip)λ(1 − β) − 2αλ]

= σ2 (α2 + p2)λ/2 cos[λ arctan(p/α)] + iβ sin[λ arctan(p/α)] − αλ

αλ−2λ(1 − λ). (20.53)

Este Hamiltoniano tiene el siguiente desarrollo en serie

H(p) = ic1p+1

2c2 p

2 − i1

3!c3p

3 − 1

4!c4 p

4 + i1

5!c5p

5 + . . . . (20.54)

Donde ahora tenemos cumulantes, cn = −inH(n)(0), pares e impares cuyos valoresson

cn = σ2Γ(n− λ)

Γ(2 − λ)α2−n

1

βpara

n = par,

n = impar.(20.55)


Los cumulantes pares son los mismos hallados en la Ec. (20.41). En forma similar, losvalores esperados pares de las Ecs. (20.42)–(20.44) se pueden expresar en terminosde los valores esperados impares:

〈z〉≡∫ ∞

−∞dz z L

(λ,α,β)σ2 (z) = i

d

dpe−H(p)

∣

∣

∣

∣

∣

p=0

= c1,

〈z2〉≡∫ ∞

−∞dz z2 L

(λ,α,β)σ2 (z) = − d2

d2pe−H(p)

∣

∣

∣

∣

∣

p=0

= c2 + c21,

〈z3〉≡∫ ∞

−∞dz z3 L

(λ,α,β)σ2 (z) = −i d

3

d3pe−H(p)

∣

∣

∣

∣

∣

p=0

= c3 + 3c2c1 + c31,

〈z4〉≡∫ ∞

−∞dz z4 L

(λ,α,β)σ2 (z) =

d4

d4pe−H(p)

∣

∣

∣

∣

∣

p=0

=c4 + 4c3c1 + 3c22 + 6c2c21 + c41,

... . (20.56)

Las relaciones inversas son

c1 = 〈z〉c = 〈z〉,c2 = 〈z2〉c = 〈z2〉 − 〈z〉2 = 〈(z − 〈z〉c)〉2,c3 = 〈z3〉c = 〈z3〉 − 3〈z〉〈z2〉 + 2〈z〉3 = 〈(z − 〈z〉c)〉3,c4 = 〈z4〉c = 〈z4〉 − 3〈z2〉2 − 4〈z〉〈z3〉 + 12〈z〉2〈z2〉 − 6〈z〉4

= 〈(z − 〈z〉c)〉4 − 3〈z2 − 〈z〉2c〉2 = 〈(z − 〈z〉c)〉4 − 3c22. (20.57)

Por supuesto, estas expresiones son una version simple de los desarrollos en terminosde cumulantes dados en las Ecs. (3.585) y (3.587).

Ahora la distribucion estara localizada alrededor de un valor promedio distintode cero:

µ ≡ 〈z〉 = c1. (20.58)

El ancho de la fluctuacion esta dado por

σ2 ≡ 〈z2〉 − 〈z〉2 = 〈(z − 〈z〉)2 〉 = c2. (20.59)

Para valores grandes de z, las distribuciones asimetrıcas truncadas de Levy tienenun decrecimiento semi-abrupto, el cual se puede obtener mediante una modificaciondirecta de la Ec. (20.28):

L(λ,α)σ2 (z) ≈

∫ ∞

−∞

dp

2πeipz

1−σ2

2

α2−λ

λ(1−λ)

[

(α + ip)λ(1+β) + (α− ip)λ(1−β) − 2αλ]

→z→∞

σ2 e2sαλ

Γ(1 + λ)sin(πλ)

πse−α|z|

|z|1+λ[1 + β sgn(z)]. (20.60)

Al analizar los datos utilizamos la distorsion

s ≡ 〈(z − 〈z〉)3〉σ3

= c3 =c3

c3/22

. (20.61)


-4 -2 2 4

0.1

Lµ,α,βσ2 (z)

z − 〈z〉

Figure 20.9 Cambio en la forma de las distribuciones truncadas de Levy con ancho

σ = 1 y kurtosis κ = 1 y con aumento en la distorsion s = 0 (curva continua), 0.4, 0.8 .

Las curvas estan centradas alrededor de 〈z〉.

La cual depende de los parametros σ, λ, β y α o κ en la siguiente forma

s =(2 − λ)β

σα. (20.62)

La kurtosis tambien se puede definir como [comparemos con la Ec. (20.45)]3

κ ≡ c4 ≡c4c22

=〈z4〉c〈z2〉2c

=〈z4〉cσ4

=〈(z − 〈z〉)4〉

σ4− 3. (20.63)

De los datos financieros podemos obtener tres parametros: la volatidad σ, la dis-torsion s y la kurtosis κ, lo cual determina completamente la distribucion truncadade Levy asimetrica. Los datos financieros se grafican como funcion de z−〈z〉 = z−µ,de tal forma que estaran centrados en la posicion promedio. La distribucion centradasera denotada por L

(λ,α,β)σ2 (z), i.e.

L(λ,α,β)σ2 (z) ≡ L

(λ,α,β)σ2 (z − µ). (20.64)

El Hamiltoniano asociado con esta distribucion, cuyo promedio es cero, sera

H(p) ≡ H(p) −H ′(0)p, (20.65)

y su desarrollo en terminos de potencias de los momenta tiene a p2 como terminoprincipal, i.e. el primer termino en la Ec. (20.54) se elimina.

En terminos de σ, s y κ, los coeficientes normalizados del desarrollo seran

cn =κn/2−1 Γ(n− λ)/Γ(4 − λ)

(3 − λ)n/2−2(2 − λ)n/2−2

1

√

(3 − λ)/(2 − λ)κ spara

n = par,

n = impar.(20.66)

3Algunos autores llaman a la razon 〈(z − 〈z〉)〉4/σ4, dada por la Ec. (20.63), la kurtosis y lacantidad κ se define como el exceso en la kurtosis . Para estos autores la kurtosis es igual a 3 parael caso de la distribucion Gaussiana, en nuestro caso sera cero.


En la Fig. 20.9 se muestra el cambio de forma de las distribuciones con anchoy kurtosis fijos y con incremento en la distorsion. En la grafica mostramos lasdistribuciones centradas alrededor de la posicion promedio z = 〈c1〉, lo cual significaque hemos eliminado el termino lineal ic1p del Hamiltoniano H(p) en las Ecs. (20.52),(20.53) y (20.54). Este Hamiltoniano sustraido, cuya serie de potencias tiene a c2p

2/2como el termino principal, sera denotado por

H(p) ≡ H(p) −H ′(0)p =1

2c2 p

2 − i1

3!c3p

3 − 1

4!c4 p

4 + i1

5!c5p

5 + . . . . (20.67)

20.1.5 Distribucion Gama

A partir del Hamiltoniano

H+(p) = ν log (1 − ip/µ) (20.68)

obtenemos la distribucion Gama normalizada de la matematica estadıstica:

DGamaµ,ν (z) =

1

Γ(ν)µνzν−1e−µz,

∫ ∞

0dz DGama

µ,ν (z) = 1, (20.69)

la cual esta restringida a valores positivos de la variable z.Desarrollando H+(p) en la serie de potencias −∑∞

n=1 inνµ−npn/n =

−∑∞n=1 i

ncnpn/n!, identificamos los cumulantes

cn = (n− 1)! ν/µn, (20.70)

de tal forma que los momentos de menor orden son

z = ν/µ, σ2 = ν/µ2, s = 2/√ν, κ = 6/ν. (20.71)

El maximo de la distribucion estara ligeramente por debajo del valor promedio z,en el valor

zmax = (ν − 1)/µ = z − 1/µ. (20.72)

La distribucion Gama se mostro en la Fig. 20.3, donde hallamos el ajuste optimoa las fluctuaciones de la volatilidad, donde la grafica representa la distribucion de lavolatilidad σ =

√z:

DChiµ,ν (σ) ≡ 2σDGama

µ,ν (σ2) ,∫ ∞

0dσ DChi

µ,ν (σ) = 1. (20.73)

Si normalizamos en funcion de la volatilidad y no de la varianza v = σ2, llamamosa esta funcion la distribucion Chi .

En el lımite ν → ∞, usando valores fijos de z = ν/µ, la distribucion Gama seraun funcion δ de Dirac:

DGamaµ,ν (z) → δ

(

z − ν

µ

)

. (20.74)


Si agregamos a H+(p) el Hamiltoniano

H−(p) = ν log(1 + ip/µ) (20.75)

obtenemos la distribucion de valores negativos de z:

DGamaµ,ν (z) =

1

Γ(ν)µ−ν |z|ν−1e−µ|z|, z ≤ 0. (20.76)

La combinacion de los Hamiltonianos para diferentes parametros µ, nos permiteconstruir una distribucion distorsionada a ambos lados.

20.1.6 Distribucion de Boltzmann

El rendimiento de maxima frecuencia ∆S de los ındices NASDAQ 100 y S&P 500tienen una propiedad especial: muestran un comportamiento puramente exponencialtanto para valores positivos como negativos de z, siempre que la probabilidad seamuy grande [32]. Los datos se ajustan mediante la distribucion de Boltzmann

-1 -0.5 0 0.5 1-5

-4

-3

-2

-1

-4 -2 0 2 4-5

-4

-3

-2

-1

z in % z in %

logP (z)logP (z)

NASDAQ100 2001-02 (1min)S&P500 2004-05 (1min)

Figure 20.10 Distribucion de Boltzmann del logaritmo de la renta de alta frecuencia de

los ındices S&P 500 y NASDAQ 100 almacenados por minuto.

B(z) =1

2Te−|z|/T . (20.77)

Podemos ver en la Fig. 20.10 que solo un conjunto muy pequeno de eventos extranospara valores grandes de |z| no obedecen la ley de Boltzmann, pero tienen un decreci-miento abrupto. Este resultado nos permite asignar una temperatura financiera a lasacciones del mercado [33]. La temperatura depende de la volatilidad de las accionesseleccionadas y cambia solo ligeramente como funcion del ambiente economico ypolıtico. En una crisis financiera la tempertarura tiene un valor maximo, como semuestra en la Fig. 20.11.

Es interesante observar el desarrollo historico de la temperatura financiera deDow Jones en los ultimos 78 anos, mostrado en la Fig. 20.12. Aunque en el siglo XXel interes mundial estaba en gran confusion y habıa un gran desarrollo economico, la


temperatura financiera permanecio casi constante excepto por pequenas variaciones.Las temperaturas mas altas se observaron en los anos 1930’s, durante la gran de-presion. Estas temperaturas no se han alcanzado nuevamente. Una variacion espe-cial se observo durante el colapso financiero de 1987. Ası, en el grafico logarıtmico,la temperatura financiera no esta relacionada con el valor del ındice sino que indicael riesgo del mercado. Solo en burbujas financieras, las altas temperaturas van juntocon alzas en el precio de las acciones. Antes de una crisis, un aumento extraordi-nario en la temperatura financiera puede ser una senal de alerta muy util para losinversionistas.

La transformada de Fourier de la distribucion de Boltzmann es

B(p) =∫ ∞

−∞dz eipz

1

2Te−|z|/T =

1

1 + (Tp)2= e−H(p), (20.78)

donde identificamos el Hamiltoniano como

H(p) = log[1 + (Tp)2]. (20.79)

El cual solo tiene cumulantes pares:

c2n = −(−1)nH(2n)(0) = 2(2n− 1)!T 2n, n = 1, 2, . . . . (20.80)

La distribucion de Boltzmann es un caso especial de la distribucion Gama dedoble lado, discutida en la seccion anterior. Esta distribucion tiene dos decrecimien-tos semi-abruptos.

Observemos ahora que la transformada de Fourier se puede reescribir como unaintegral [recordemos la Ec. (2.499)]

B(p) = e−H(p) =1

1 + (Tp)2=∫ ∞

0dτ e−τ(1+T 2p2). (20.81)

1990 1995 2000 20050

500

1000

1500 Index

1990 1995 2000 20050

1

2

1990 1995 2000 20050

2000

4000

6000

Index

1990 1995 2000 20050

2

4

104T104T

Indice S&P500: 1990-2006 Indice NASDAQ100: 1990-2006

ano ano

Figure 20.11 Temperatura financiera de los ındices S&P 500 y NASDAQ 100 desde 1990

hasta 2006. El derrumbe financiero del ano 2000 ocurrio en las temperaturas maximas

TS&P500 ≈ 2 × 10−4 y TNASDAQ ≈ 4 × 10−4.


1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

41

100

1000

10000

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 20000

1

2

3

4

1987

Indice Dow Jones: 1929–2006

Temperatura Financiera

104 T

ano

Figure 20.12 Indice Dow Jones en los ultimos 78 anos (1929-2006) y temperatura anual

del mercado financiero, misma que resulta ser muy uniforme, excepto en los anos 1930’s,

en el inicio de la gran depresion. Otro aumento de la temperatura se observo en la crisis

financiera de 1987.

Esto implica que la distribucion de Boltzmann se puede obtener como una super-posicion de distribuciones Gaussianas. De hecho, el prefactor de p2 es igual al doblede la varianza, v = σ2, de la distribucion Gaussiana. De esta forma, cambiamos lavariables de integracion de τ a σ2, utilizando la sustitucion τ = σ2/2T 2, y obtenemos

B(p) = e−H(p) =1

2T 2

∫ ∞

0dσ2 e−σ2/2T 2

e−σ2p2/2. (20.82)

La transformada de Fourier de esta expresion es la buscada representacion de ladistribucion de Boltzmann en terminos de una integral sobre la volatilidad de dis-tribuciones Gaussianas de diferente ancho:

B(z) =1

2T 2

∫ ∞

0dσ2 e−σ2/2T 2 1√

2πσ2e−z2/2σ2

. (20.83)

Se sabe que la funcion de distribucion de la volatilidad es un caso especial de ladistribucion Gama, dada en la Ec. (20.69), donde los valores de los parametros sonµ = 1/2T 2 y ν = 1.


20.1.7 Distribucion Student o Tsallis

Recientemente se ha hecho muy popular otra distribucion no Gaussiana, la cual sedebe a Tsallis [58, 59, 60]. Hace tiempo Praetz [61] y Blattberg y Gonedes [62]propusieron que la llamada distribucion Student es una buena opcion que puedeayudar a describir los decrecimientos abruptos. La distribucion tiene la forma

Dδ(z) = Nδ1

√

2πσ2δ

e−z2/2σ2

δδ , (20.84)

donde Nδ es un factor de normalizacion

Nδ =

√δΓ(1/δ)

Γ(1/δ − 1/2), (20.85)

σK ≡ σ√

1 − 3δ/2 y σ es la volatilidad de la distribucion. La funcion eδ(z) es unaaproximacion a la funcion exponencial llamada exponencial δ:

ezδ ≡ (1 − δz)−1/δ . (20.86)

En el lımite δ → 0, esta funcion se reduce la funcion exponencial ordinaria ez.Puede observarse que el reparto de una cierta cantidad W de dinero entre N

personas con igual capacidad de poder adquisitivo se obtiene de esta distribucion.Aquı, las funciones de particion estan dadas por

ZN(W ) =

[

N∏

n=1

∫ W

0dwn

]

δ(w1+. . .+wN −W ). (20.87)

Luego de reescribir este resultado como

ZN(W ) =∫ ∞

−∞

dλ

2π

[

N∏

n=1

∫ W

0dwn

]

e−iλ(w1+...+wN )eiλW =∫ ∞

−∞

dλ

2π

(e−iλW − 1)NeiλW

(−iλ + ǫ)N,

(20.88)

donde ǫ es un numero infinitesimal positivo, y donde usamos el desarrollo binomialde (e−iλW − 1)NeiλW , podemos evaluar la integral sobre λ si utilizamos la formula4

∫ ∞

−∞

dλ

2π

1

(−iλ + ǫ)νe−ipx =

pν−1

Γ(ν)e−ǫp Θ(p), (20.89)

donde Θ(z) es la funcion de Heaviside dada en la Ec. (1.304), de donde obtenemos

ZN(W ) =WN−1

Γ(N)

N−1∑

k=0

(−1)k(

N

N − k

)

(N − k − 1)N−1 (20.90)

4Ver la Formula 3.382.7 en I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, op. cit..


De la conocida identidad de los coeficientes binomiales5, obtenemos que la sumasobre los coeficientes binomiales es igual a la unidad, de tal forma que

ZN(W ) =WN−1

Γ(N). (20.91)

Si reemplazamos W por W − wn, esta funcion de particion nos dara la proba-bilidad no normalizada de que un individuo posea una parte wn de la riqueza total.Luego, la probabilidad normalizada sera

PN(wn) = Z−1N

(W − wn)N−2

Γ(N − 1)=N − 1

W

(

1 − wn

E

)N−2

. (20.92)

Si definimos w ≡ W/(N − 2), la cual para valores grandes de N es la riquezapromedio por persona, PN(wn) se puede expresar en terminos de la exponencial δ,definida en la Ec. (20.86), como

PN (wn) =N − 1

W

[

1 − wn

(N − 2)w

]N−2

=N − 1

We−wn/w−1/(N−2). (20.93)

En el lımite de un numero muy grande de individuos, obtenemos la distribucionnormalizada de Boltzmann w−1e−wn/w.

La distribucion Student-Tsallis dada en la Ec. (20.84) es simplemente una ex-ponencial δ normalizada. En lugar del parametro δ con frecuencia se utiliza elparametro de Tsallis q = δ + 1. Un grafico de estas funciones, para diferentes valo-res de δ, se muestra en el lado izquierdo de la Fig. 20.13. De la Ec. (20.86) vemosque para δ > 0 la distribucion Student-Tsallis tiene decrecimientos abruptos queobedecen la ley 1/z1/δ = 1/z1/(q−1). Un ajuste al logaritmo de la renta para lasacciones 10 NYSE se muestra en la Fig. 20.13.

Es de notar que la exponencial δ dada en la Ec. (20.84) se puede escribir comouna superposicion de distribuciones Gaussianas. Con ayuda de la formula integraldada en la Ec. (2.499) encontramos

e−z2/2σ2

δδ =

1

Γ(1/δ)

∫ ∞

0

ds

ss1/δe−se−sδ z2/2σ2

δ . (20.94)

Luego de un cambio apropiado de variables, podemos reescribir

e−z2/2σ2

δδ =

µ1/δ

Γ (1/δ)

∫ ∞

0

dv

vv1/δe−µve−vz2/2 , µ = σ2

δ/δ. (20.95)

Este resultado es una superposicion de funciones Gaussianas e−vz2/2, cuyas varianzasinversas v = 1/σ2 tienen como funcion de peso la distribucion Gama de la variablev, donde ν = 1/δ:

DGamaµ,1/δ (v) =

1

Γ (1/δ)µ1/δvνe−µv. (20.96)

5Ver la Formula 0.154.6, en I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, op. cit..


- 4 - 2 2 4

- 10

- 8

- 6

- 4

- 2

0

Probability

z

δ = 0.43

δ = 0.44

δ = 0.41

log Dδ(z)

z

logDδ(z)

Figure 20.13 Izquierda: Grafico logarıtmico de la exponencial δ normalizada dada en

la Ec. (20.84) (distribucion Student-Tsallis) para δ = 0 (Gaussiana), 0.2, 0.4, 0.6, para

todo σ = 1. Derecha: Ajuste del logarıtmico de la renta de las acciones 20 NYSE para

escalas temporales de 1 a 3 minutos de la distribucion (tomado de la Ref. [60]). La lınea

punteada representa la distribucion Gaussiana.

20.1.8 Distribucion de Tsallis en el Espacio del Momentum

Cuando hicimos el ajuste de la volatilidad para las distribuciones de los ındicesS&P 500 en la Fig. 20.3, observamos que el ajuste optimo se obtuvo mediante unadistribucion Gama. Siguiendo la discusion de la ultima seccion, observamos que enel espacio del momentum la exponencial δ dada en la Ec. (20.86) es

e−Hδ,β(p) ≡ e−βp2/2δ =

(

1 + βδ p2/2)−1/δ

, (20.97)

misma que tiene la descomposicion de una distribucion Gama. En analogıa con laEc. (20.94), reescribimos la expresion en la forma

e−βp2/2δ =

1

Γ(1/δ)

∫ ∞

0

ds

ss1/δe−se−sβδ p2/2 , β ≡ ν/µ = 1/µδ, (20.98)

y cambiamos las variables de integracion para obtener

e−βp2/2δ =

µν

Γ (ν)

∫ ∞

0

dv

vvνe−µve−vp2/2, ν = 1/δ, µ = ν/β = 1/βδ. (20.99)

Este resultado es una superposicion de distribuciones Gaussianas cuyas varianzas,v = σ2, estan pesadas por la distribucion Gama dada en la Ec. (20.69):

e−βp2/2δ =

∫ ∞

0dv DGama

µ,ν (v)e−vp2/2, ν = 1/δ, µ = ν/β = 1/βδ. (20.100)

El promedio de la distribucion Gama es v = ν/µ = β [recordemos la Ec. (20.71)],

de tal forma que el lado izquierdo se puede escribir como e−vp2/2δ .


Los cumulantes de menor orden en el Hamiltoniano Hδ,β(p) = 12!c2 p

2 − 14!c4 p

4 +. . . son

c2=ν

µ, c4 =3

ν

µ2, c6=

5!!

µ3

(

2+3ν−2ν2−ν3)

, c8=7!!

µ3

(

2+ν−3ν2+ν3+nu4)

.(20.101)

Para el caso donde µ = 1/2T 2 y ν = 1, estos cumulantes se reducen a la distribucionde Boltzmann dada en la Ec. (20.80).

La superposicion dada en la Ec. (20.99) tiene la siguiente transformada de Fourier

Dδ,β(z) =µ1/δ

Γ (1/δ)

∫ ∞

0

dv

vv1/δe−µv 1√

2πve−z2/2v , µ = 1/βδ. (20.102)

la cual es una superposicion de Gaussianas cuyas varianzas, v = σ2, tienen la formade la distribucion Gama dada en la Ec. (20.69) centrada alrededor de v = 1/δµ y conancho (v − v)2 = 1/δµ2. Ası δ esta dada por la razon δ = (v − v)2/v2. Recordandola Ec. (20.71), podemos ver que δ determina la kurtosis de la distribucion, la cualsera κ = 6δ.

En la Ec. (20.102), la integral sobre v se puede hallar utilizando la Formula(2.559), de donde obtenemos

Dδ,β(z) =

√µ

Γ (1/δ)

1√2π

(

µz2

2

)1/2δ−1/4

2K1/δ−1/2(√

2µz), µ = 1/βδ.(20.103)

Si δ = 1 y µ = 1/2T 2, utilizando la Ec. (1.349) recobramos la distribucion deBoltzmann dada en la Ec. (20.83).

El comportamiento de Kν(z) para valores pequenos de z es (1/2)Γ(ν) (z/2)−ν ,donde Re ν > 0 [recordemos la Ec. (1.351)]. Si suponemos que δ < 2, de laEc. (20.103) obtenemos el valor de la funcion de distribucion en el origen:

Dδ,β(0) =

√µΓ(1/δ − 1/2)

Γ(1/δ). (20.104)

Se puede obtener el mismo resultado directamente de la Ec. (20.102). Este valordiverge en δ = 2/(1 − 2n) (n = 0, 1, 2, . . .).

20.1.9 Distribucion de Boltzmann para Partıculas Relativistas

Una distribucion importante, desde el punto de vista fısico, en el espacio del momen-tum es la distribucion de Boltzmann e−βE(p) para partıculas con energıas relativistas,E(p) =

√p2 +M2 , donde β es el inverso de la temperatura 1/kBT . La exponencial

se puede expresar como una superposicion de distribuciones Gaussianas

e−β√

p2+M2=∫ ∞

0dv ωβ(v)e−βv(p2+M2)/2 (20.105)

con funcion de peso

ωβ(v) ≡√

β

2πv3e−β/2v. (20.106)


Este es un caso especial de la distribucion de Weibull

DW(x) =b

Γ(a/b)xa−1e−xb

, (20.107)

la cual tiene los momentos

〈xn〉 = Γ((a+ n)/b)/Γ(a/b). (20.108)

20.1.10 Distribuciones de Meixner

Se pueden obtener ajustes muy razonables a los datos financieros mediante las distribuciones de

Meixner [34, 35], las cuales en el espacio del momentum estaran dadas por:

M(z) =[2 cos(b/2)]

2d

2aπΓ(2d)|Γ (d+ iz/a) |2 exp [bz/a] , (20.109)

M(p) =

cos(b/2)

cosh [(ap− ib)/2]

2d

. (20.110)

Estas distribuciones tienen el mismo comportamiento de decrecimiento semi-abrupto que elmostrado por las distribuciones truncadas de Levy

M(z) → C±|z|ρe−σ±|z| para z → ±∞, (20.111)

donde

C± =[2 cos(b/2)]

2d

2aπΓ(2d)

2π

a2d−1e±2πd tan(b/2), ρ = 2d− 1, σ± ≡ (π ± b)/a. (20.112)

Los momentos son

µ = ad tan(b/2), σ2 = a2d/2 cos2(b/2), s =√

2 sin(b/2)/√d, κ = [2 − cos b]/d, (20.113)

de tal forma que, de los momentos podemos calcular los parametros en la siguiente forma:

a2 = σ2(

2κ− 3s2)

, d =1

κ− s2, b = 2 arcsin

(

s√

d/2)

. (20.114)

Como un ejemplo de un conjunto de parametros de la distribucion, encontramos que utilizandoel conjunto de valores

a = 0.029828, b = 0.12716, d = 0.57295, 〈z〉 = −0.0011243. (20.115)

se obtiene un buen ajuste a los datos diarios del ındice Nikkei-225. La curva tiene que desplazarsela cantidad ∆z en el eje z para que ∆z + µ sea igual a 〈z〉. Esta distribucion de Meixner se hautilizado como una valoracion de las opciones en la Ref. [35].

Las distribuciones de Meixner se pueden ajustar muy bien a la distribucion truncada de Levy enel intervalo de valores grandes de la probabilidad. En el ajuste observamos que tanto la varianzaσ2 como la kurtosis κ no son los mejores parametros que ayudan a que ambas distribucionescoincidan. En el caso simetrico, las distribuciones coincidiran si en el intervalo de valores grandesde la probabilidad utilizamos el mismo valor y curvatura al origen para ambas curvas, tal comopuede verse en la Fig. 20.14.


En el caso asimetrico tambien necesitamos que tanto la primera como la tercera derivadacoincidan. Las derivadas de la distribucion de Meixner son:

M(0) =22d−1Γ2(d)

πaΓ(2d),

M ′(0) = b22d−1Γ2(d) [1 − dψ(d)]

πa2Γ(2d),

M ′′(0) = −22dΓ2(d)ψ(d)

πa3Γ(2d),

M (3)(0) = − b

2

22dΓ2(d)[

6ψ(d) − 6dψ2(d) − dψ(3)(d)]

πa4Γ(2d),

M (4)(0) =22dΓ2(d)

[

6ψ2(d) + ψ(3)(d)]

πa5Γ(2d), (20.116)

donde ψ(n)(z) ≡ dn+1 log Γ(z)/dzn+1, son las funciones Poli-gama.

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 20

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

z/σ

M(z)

Figure 20.14 Comparacion del ajuste optimo de la distribucion de Meixner con la

distribucion truncada de Levy. Una de ellas (curva en trazos cortos) tiene la misma

volatilidad σ y kurtosis κ. La otra (curva en trazos largos) tiene la misma ordenada y

curvatura al origen. Los parametros son σ2 = 0.280 y κ = 12.7, como en el cumulativo

del lado izquierdo de la Fig. 20.7. La distribucion de Meixner con el mismo σ2 y κ tiene

los parametros a = 2.666, d = 0.079 y b = 0, los parametros de las distribuciones con el

mismo valor y curvatura al origen son a = 0.6145, d = 1.059 y b = 0. Sin embargo, el

intervalo de valores muy grandes de σ no se puede ajustar muy bien, como puede verse en

las distribuciones cumulativas para valores de z del orden de 10σ graficadas en la Fig. 20.7.


20.1.11 Distribuciones Hiperbolicas Generalizadas

Otra distribucion no Gaussiana propuesta en la literatura es la llamada distribucion hiperbolica

generalizada.6 Lo mismo que la distribucion truncada de Levy y la distribucion Meixner, estadistribucion tiene una forma analıtica simple tanto en el espacio z como en el espacio p:

HG(z) =

(

γ2− β2)λ/2

eβ z

γλ−1/2δλ√

2 π

[

δ2+ z2]λ/2−1/4Kλ−1/2

(

γ√δ2+ z2

)

Kλ

(

δ√

γ2 − β2) (20.117)

y

G(p) =

(

δ√

γ2 − β2)λ

Kλ

(

δ√

γ2 − β2)

Kλ

(

δ

√

γ2 − (β + ip)2

)

[

δ

√

γ2 − (β + ip)2

]λ, (20.118)

la ultima expresion define al Hamiltoniano

HG(p) ≡ − logG(p). (20.119)

A diferencia de la primera distribucion, este conjunto de funciones no es cerrado como funcion de laevolucion temporal. Las distribuciones para un tiempo posterior t se obtienen de la transformadade Fourier de la funcion e−H(p)t. Para la distribucion truncada de Levy y la distribucion Meixnerel factor t se puede absorver en los parametros de las funciones (σ2 → tσ2 en el primer caso yd→ td en el segundo). Para las distribuciones hiperbolicas generalizadas, esto ya no es valido, yaque la funcion e−HG(p)t = [G(p)]t incluye potencias de orden superior de las funciones de Bessel,para las cuales no se puede hallar analıticamente la transformada de Fourier. Por lo tanto, paradescribir la evolucion temporal completa debemos cerrar el conjunto de funciones agregando todaslas transformadas de Fourier de la funcion e−HG(p)t. En la practica, esto no es un problema serio,simplemente nos encontramos que al calcular la transformada numerica de Fourier los calculosnumericos son muy lentos.

El comportamiento asintotico de las funciones hiperbolicas generalizadas tiene un decrecimientosemi-abrupto. Del comportamiento para valores grandes de z de la funcion de Bessel Kν(z) →√

π/2ze−z, obtenemos

HG(z) →√

π

2γ

(

γ2− β2)λ/2

eβ z

γλ−1/2δλ√

2 π

1

Kλ

(

δ√

γ2 − β2)zλ−1e−γz. (20.120)

Utilizando la variable ζ ≡ δ√

γ2 − β2, podemos hallar un nuevo desarrollo en una serie depotencias de p tal como el hallado en la Ec. (20.54), de donde obtenemos los primeros dos cumu-lantes:

c1 = βδ2

ζ

K1+λ(ζ)

Kλ(ζ); (20.121)

c2 =δ2

ζ

K1+λ(ζ)

Kλ(ζ)+β2δ4

ζ2

K2+λ(ζ)

Kλ(ζ)−[

K1+λ(ζ)

Kλ(ζ)

]2

. (20.122)

Utilizando la identidad [50]

Kν+1(z) −Kν−1(z) =2ν

zKν(z), (20.123)

6Ver las Refs. [36]–[74].


el ultimo resultado se puede expresar totalmente en terminos de

ρ = ρ(ζ) =K1+λ(ζ)

Kλ(ζ)(20.124)

en la forma

c2 =δ2

ζρ+

β2δ4

ζ3[

ζ + 2 (1 + λ) ρ− ζρ2]

. (20.125)

En general, la asimetrıa de la distribucion es mınima, lo cual implica que los valores de c1 sonpequenos y a la vez obtenemos que β tambien es pequena. Por lo tanto, resulta muy util introducirla varianza simetrica

σ2s ≡ δ2ρ/ζ, (20.126)

con lo cual tendremos

c1 = βσs, c2 = σ2 = σ2s + β2

[

δ4

ζ2+ 2 (1 + λ)

δ2

ζ2σs − σ2

s

]

. (20.127)

Los cumulantes c3 y c4 se pueden escribir en forma mas compacta en la forma

c3 = β

[

3δ4

ζ2+ 6 (1 + λ)

δ2

ζ2σ2s − 3σ4

s

]

+ β3

2 (2+λ)δ6

ζ4+[

4 (1+λ) (2+λ)− 2ζ2] δ4

ζ4σ2s − 6 (1 + λ)

δ2

ζ2σ4s + 2σ6

s

(20.128)

y

c4 = κσ4 =3δ4

ζ2+

6δ2

ζ2(1 + λ) σ2

s − 3σ4s

+ 6β2

2 (2+λ)δ6

ζ4+[

4 (1+λ) (2+λ) − 2ζ2] δ4

ζ4σ2s − 6 (1 + λ)

δ2

ζ2σ4s + 2σ6

s

+ β4

[

4 (2+λ) (3 + λ) − ζ2] δ8

ζ6+[

4 (1+λ) (2+λ) (3 + λ) − 2 (5 + 4λ) ζ2] δ6

ζ6σ2s

− 2[

(1 + λ) (11 + 7λ) − 2ζ2] δ4

ζ4σ4s + 12 (1 + λ)

δ2

ζ2σ6s − 3σ8

s

. (20.129)

El primer termino del cumulante c4 es igual al producto de σ4s por la kurtosis de la distribucion

simetrica

κs ≡3δ4

ζ2σ4s

+6δ2

ζ2σ2s

(1 + λ) − 3. (20.130)

Sustituyendo el valor de σ2s hallado en la Ec. (20.126), obtenemos

κs ≡3

r2(ζ)+ (1 + λ)

6

ζ r(ζ)− 3. (20.131)

Dado que para todas las funciones Kν(z) de Bessel el comportamiento para valores grandes de zes Kν(z) →

√

π/2ze−z, mientras que el comportamiento para valores pequenos de z sera Kν(z) →Γ(ν)/2(z/2)ν, para ζ = 0 la kurtosis tendra el valor inicial de 3/λ y disminuye monotamente a0 para ζ → ∞. De esta forma, un valor alto para la kurtosis se puede obtener solo con un valorpequeno del parametro λ.

El primer termino en el cumulante c3 es βκsσ4s y los primeros dos terminos en el cumulante c4

son κsσ4s + 6

(

c3/β − κsσ4s

)

. Para una distribucion simetrica con una cierta varianza σ2s y kurtosis

κs utilizamos el parametro λ < 3/κs, mientras que de la solucion de la Ec. (20.131) hallamos elvalor de ζ. El resultado lo sutituimos en la Ec. (20.126) para hallar

δ2 =σ2s ζ

ρ(ζ). (20.132)


Si los valores de la kurtosis son grandes, entonces esta no es un buen parametro para determinar ladistribucion hiperbolica generalizada. Obtendremos un mejor ajuste reproduciendo correctamenteel tamano y forma de la distribucion cerca del maximo y permitiendo algunas desviaciones de losdecrecimientos de la distribucion, de los cuales depende sensitivamente la kurtosis.

Para distribuciones que son solo ligeramente asimetricas, lo cual resulta ser normalmente elcaso, basta con resolver las ecuaciones asimetricas anteriores y determinar aproximadamente elvalor del parametro β, usando para ello la distorsion s = c3/σ

3, de la primer lınea de la Ec. (20.128)tenemos

β ≈ s

κsσs. (20.133)

Esta aproximacion puede mejorarse interativamente reintroduciendo β en la segunda ecuacion dela relacion (20.127) para determinar, de la varianza σ2 de los datos, un valor mejor de σ2

s . Luego,con la Ec. (20.129) y con la kurtosis κ de los datos, determinamos un mejor valor para κs, y asıde manera sucesiva.

Para el ajuste optimo cerca del origen, donde las probabilidades son grandes, utilizamos lasderivadas

G(0) =

(

δ

γ

)λ−1/2

ζ−λk−, (20.134)

G′(0) = βG(0), (20.135)

G′′(0) = −(

δ

γ

)λ−3/2

ζ−λk+ +

(

δ

γ

)λ−1/2

δ−2ζ−λ(

1 − 2λ− β2δ2)

k−,

G(3)(0) = −β2

[

3

(

δ

γ

)λ−3/2

ζ−λk+ +

(

δ

γ

)λ−1/2

δ−2ζ−λ(

3 − 6λ− β2δ2)

]

k−, (20.136)

donde hemos usado la abreviatura

k± ≡ 1√2π

Kλ±1/2(δγ)

Kλ(δγ). (20.137)

La distribuciones hiperbolicas generalizadas donde λ = 1, se conocen como distribuciones

hiperbolicas . Los precios de las opciones de estas distribuciones se pueden calcular utilizando losparametros apropiados en forma interactiva en una pagina electronica (ver la Ref. [51]). Otrocaso especial utilizado frecuentemente en la literatura es λ = −1/2, en cuyo caso hablamos de ladistribucion Gaussiana normal inversa, abreviada normalemte NIGs.

20.1.12 Factor de Debye-Waller para FluctuacionesNo Gaussianas

Al final de la Seccion 3.10 calculamos el valor esperado de la funcion exponencial〈ePz〉 de una variable Gaussiana, la cual nos permite hallar el factor de Debye-Waller de la dispersion de Bragg (3.311). Este factor fue introducido en la fıscadel estado solido para describir la intensidad de los picos de Bragg obtenidos delas fluctuaciones termicas de las posiciones atomicas. El factor se obtiene de larepresentacion de Fourier

〈ePz〉 ≡∫

dz1√

2πσ2e−z2/2σ2

ePz =∫

dz∫

dp

2πe−σ2p2/2eipz+Pz = eσ

2P 2/2.(20.138)


Hay una generalizacion simple de esta relacion a las distribuciones no Gaussianas,la cual tiene la forma

〈ePz〉 ≡∫

dz∫

dp

2πe−H(p)eipz+Pz = e−H(iP ). (20.139)

20.1.13 Integral de Trayectoria para una DistribucionNo Gaussiana

Calculemos las propiedades del proceso mas simple, cuyas fluctuaciones obedecenuna distribucion general no Gaussiana. Consideremos la ecuacion diferencial es-tocastica del logaritmo del precio de los valores

x(t) = rx + η(t), (20.140)

donde la variable de ruido η(t) obedece una funcion de distribucion arbitraria. Enla Ec. (20.140), la constante de deriva rx esta definida de manera unica solamente siel promedio de la variable de ruido es cero: 〈η(t)〉 = 0. Las distribuciones generalesdiscutidas anteriormente pueden tener un promedio distinto de cero 〈x〉 = c1, elcual tendra que sustraerse de η(t) para obtener rx. La discusion subsecuente seramas simple si imaginamos que en las distribuciones anteriores rx sustituye a c1, i.e.,si la serie de potencias del Hamiltoniano dado en la Ec. (20.54) se reescribe en lasiguiente forma:

H(p) → Hrx(p) ≡ H(p) −H ′(0)p+ irxp ≡ H(p) + irxp

≡ irx p +1

2c2 p

2 − i1

3!c3p

3 − 1

4!c4 p

4 + i1

5!c5p

5 + . . . . (20.141)

Ası podemos trabajar simplemente con el desarrollo original dado en la Ec. (20.54)y al final hacemos el reemplazo

c1 → rx. (20.142)

Podemos suponer que la ecuacion diferencial estocastica dada por la Ec.(20.140) es

x(t) = η(t). (20.143)

Teniendo en mente el posterior reemplazo dado por la Ec. (20.142), la distribucionde probabilidad de los puntos extremos xb = x(tb) para las trayectorias que inicianen un cierto punto xa = x(ta) esta dada por una integral de trayectoria de la formavista en la Ec. (18.342):

P (xbtb|xata) =∫

Dη∫ x(tb)=xb

x(ta)=xa

Dx exp[

−∫ tb

tadt H(η(t))

]

δ[x− η]. (20.144)

La funcion H(η) es el negativo del logaritmo de la distribucion de la renta [recorde-mos la Ec. (20.13)]

H(η) = − log D(η). (20.145)


Por ejemplo, para la distribucion truncada de Levy, de la Ec. (20.24) H(η) estara

dado por − log L(λ,α)σ2 (η) o para la distribucion de Boltzmann, de la Ec. (20.77) sera

− log B(η).En la literatura matematica y en la integral de trayectoria, la norma sobre el

ruido

Dµ ≡ Dη P [η] = Dη e−∫ tbta

dt H(η(t))(20.146)

de la distribucion de probabilidad dada en la Ec. (20.144), se conoce como la norma

del proceso x(t) = η(t). La integral de trayectoria

∫ x(tb)=xb

x(ta)=xa

Dx δ[x− η] (20.147)

es llamada el filtro, el cual determina la distribucion de xb al tiempo tb para todaslas trayectorias x(t) que inician en xa al tiempo ta.

Una norma que difiere por la dada en la Ec. (20.146) solo por el termino dederiva

Dµ′ = Dη P [η − r] = Dη e−∫ tbta

dt H(η(t)−r)(20.148)

es llamada norma equivalente. El cociente

Dµ′/Dµ = e−∫ tbta

[H(η−r)−H(η)] (20.149)

es llamado la derivada de Radon-Nikodym. Para un ruido Gaussiano, tendremos

Dµ′/Dµ = e∫ tbta

[rη(t)−r2t/2]. (20.150)

Si deseamos calcular el valor esperado de una funcion arbitraria f(x(t)), tenemosque hallar la separacion del filtro en el producto

[

∫ x(tb)=xb

x(t)=xDx δ[x− η]

]

×[

∫ x(t)=x

x(ta)=xa

Dx δ[x− η]

]

, (20.151)

y evaluar una integral sobre f(x) con este filtro en la integral de trayectoria de laEc. (20.146). Usando las probabilidades P (xbtb|xata), obtenemos la integral

〈f(x(t))〉 =∫

dxP (xbtb|x t)f(x)P (x t|xata). (20.152)

Las funciones de correlacion de la variable de ruido η(t), en la integral de trayec-toria de la Ec. (20.144), estan dadas por una generalizacion funcional directa de lasformulas dadas en las Ecs. (20.56). Para este proposito, expresamos la distribucion

de ruido P [η] ≡ exp[

− ∫ tbta dt H(η(t))]

en la Ec. (20.144) como una integral de trayec-toria de Fourier

P [η] =∫ Dp

2πexp

∫ tb

tadt [ip(t)η(t) −H(p(t))]

, (20.153)


y hacemos notar que las funciones de correlacion pueden obtenerse de la derivadasfuncionales

〈η(t1) · · ·η(tn)〉 = (−i)n∫

Dη∫ Dp

2π

[

δ

δp(t1)· · · δ

δp(tn)ei∫ tbta

dt p(t)η(t)

]

e−∫ tbta

dtH(p(t)).

Luego de n integraciones parciales, obtenemos

〈η(t1) · · ·η(tn)〉 = in∫

Dη∫ Dp

2πei∫ tbta

dt p(t)η(t) δ

δp(t1)· · · δ

δp(tn)e−∫ tbta

dtH(p(t))

= in[

δ

δp(t1)· · · δ

δp(tn)e−∫ tbta

dtH(p(t))

]

p(t)≡0

. (20.154)

Desarrollando la exponencial e−∫ tbta

dtH(p(t))en una serie de potencias, utilizando la

Ec. (20.54), encontramos inmediatamente las funciones de correlacion de menororden

〈η(t1)〉 ≡ Z−1∫

Dη η(t1) exp[

−∫ tb

tadt H(η(t))

]

= 0, (20.155)

〈η(t1)η(t2)〉 ≡ Z−1∫

Dη η(t1)η(t2) exp[

−∫ tb

tadt H(η(t))

]

= c2δ(t1 − t2) + c21, (20.156)

〈η(t1)η(t2)η(t3)〉 ≡ Z−1∫

Dη η(t1)η(t2)η(t3) exp[

−∫ tb

tadt H(η(t))

]

= c3δ(t1−t2)δ(t1−t3)+ c2c1[δ(t1−t2) + δ(t2−t3)+δ(t1−t3)] + c31, (20.157)

〈η(t1)η(t2)η(t3)η(t4)〉 ≡ Z−1∫

Dη η(t1)η(t2)η(t3)η(t4) exp[

−∫ tb

tadt H(η(t))

]

= c4δ(t1−t2)δ(t1−t3)δ(t1−t4)+ c3c1[δ(t1−t2)δ(t1−t3) + 3 permutaciones cıclicas]

+ c22[δ(t1−t2)δ(t3−t4)+δ(t1−t3)δ(t2−t4)+δ(t1−t4)δ(t2−t3)]+ c2c

21[δ(t1−t2) + 5 terminos pares] + c41, (20.158)

donde

Z ≡∫

Dη exp[

−∫ tb

tadt H(η(t))

]

. (20.159)

Las funciones de correlacion de orden superior son una generalizacion obvia de laEc. (20.44). Las diferentes contribuciones del lado derecho de las Ecs. (20.156)–(20.158) se distinguen por su estructura de interrelacion.

Notese que el termino proporcional a c3 en la funcion de correlacion de trespuntos dada en la Ec. (20.158) y los terminos proporcionales a c3 y c4 en la funcionde correlacion de cuatro puntos de la Ec. (20.158), no obedecen la regla de Wickdada en la Ec. (3.305) ya que contienen contribuciones que provienen de los terminosno Gaussianos −ic3p3/3! −c4p4/4! del Hamiltoniano de la Ec. (20.141).


20.1.14 Evolucion Temporal de la Distribucion

La funcional δ en la Ec. (20.144) puede representarse por una integral de Fourier,lo cual conduce a la integral de trayectoria

P (xbtb|xata)=∫

Dη∫

Dx∫ Dp

2πexp

∫ tb

tadt[

ip(t)x(t)−ip(t)η(t)−H(η(t))]

. (20.160)

La integracion sobre la variable de ruido η(t) implica hallar la transformada inversade Fourier de la forma dada por la Ec. (20.24) para cada instante temporal. Dedonde obtenemos

P (xbtb|xata) =∫

Dx∫ Dp

2πexp

∫ tb

tadt [ip(t)x(t) −H(p(t))]

. (20.161)

La integracion sobre todos los x(t) con puntos extremos fijos impone la condicion deque el momentum sea constante a lo largo de la trayectoria, con lo cual obtenemosuna sola integral sobre el momentum

P (xbtb|xata) =∫ ∞

−∞

dp

2πexp [ip(xb − xa) − (tb − ta)H(p)] . (20.162)

Dada una distribucion de ruido arbitraria D(z), obtenida de los datos financierospara una cierta frecuencia 1/∆t, identificamos el Hamiltoniano H(p) de la repre-sentacion de Fourier

D(z) =∫ ∞

−∞

dp

2πeikz−H(p), (20.163)

luego, para hallar la dependencia temporal de la distribucion sustituimos H(p) enla Ec. (20.162). El tiempo se medira entonces en unidades del intervalo ∆t.

Para una distribucion truncada de Levy, el resultado sera

P (xbtb|xata) = L(λ,α)σ2(tb−ta)

(xb − xa). (20.164)

Obtenemos entonces una distribucion truncada de Levy con ancho creciente. Elresultado para otras distribuciones es analogo.

Dado que la distribucion de la Ec. (20.162) depende solo de t = tb − ta y x =xb − xa, podemos reescribirla brevemente usando la forma

P (x, t) =∫ ∞

−∞

dp

2πexp [ipx− tH(p)] . (20.165)

20.1.15 Teorema del Lımite Central

Para valores grandes de t, la distribucion P (x, t) se parece cada vez mas a unadistribucion Gaussiana (ver la Fig. 20.18 para la distribucion de Boltzmann). Esteefecto es una consecuencia del teorema del lımite central de la mecanica estadıstica,el cual afirma que la convolucion de un numero inifinitamente grande de funcionesde distribucion con ancho finito tiene como lımite una distribucion Gaussiana. Este


teorema se demuestra facilmente. Notemos simplemente que luego de un numeroentero t de convoluciones, la distribucion de probabilidad D(z), cuyo Hamiltonianoes H(p), tendra las componentes de Fourier [D(p)]t = e−tH(p), de tal manera que ladistribucion de probabilidad estara dada por

D(z, t) =∫ dp

2πeipze−tH(p). (20.166)

Para valores grandes de t, la integral puede evaluarse en la aproximacion del puntode inflexion hallada en la Ec. (4.51). El momentum que extremiza la distribucionlo denotamos por pz, el cual estara determinado implıcitamente por tH ′(pz) = iz, yusando la notacion σ2 = H ′′(pz) obtenemos la distribucion Gaussiana

D(z, t) →t grande

eipzz−tH(pz)∫

dp

2πei(p−pz)z−tσ2(p−pz)2/2 =

eipzz−tH(pz)

√2πσ2

e−z2/2tσ2

=eσ

2p2z/2−tH(pz)

√2πσ2

e−(z−tσ2pz)2/2tσ2

. (20.167)

El mismo procedimiento se puede aplicar a la integral dada en la Ec. (20.165).

En la Fig. 20.15 se muestra la transicion de una distribucion de Boltzmann auna Gaussiana para el ındice S&P 500.

Si una distribucion tiene un decrecimiento abrupto ∝ |z|−λ−1, donde λ < 2,de tal forma que la volatilidad σ es infinita, el primer termino del Hamiltoniano,para valores pequenos de p, sera de la forma |p|λ y la aproximacion del punto deinflexion es regulada por este termino y no por el termino cuadratico p2. Para unadistribucion asimetrica los terminos principales en el Hamiltoniano son los de ladistribucion asimetrica de Levy dados en la Ec. (20.21), mas un posible terminolineal irp que tiene en cuenta la deriva, y el comportamiento asintotico respecto a zestara dado por la Ec. (20.17) incluyendo el factor extra (1 + β) [21].

-5 0 5

-4

-3

-2

-1

-5 0 5-4

-3

-2

-1

-5 0 5

-3

-2

-1

z in % z in % x in %

logP (z) logP (z) logP (z)

Figure 20.15 Ajuste mediante una distribucion Gaussiana al logaritmo de la renta S&P

500, los datos se han almacenado en intervalos de 60 min, 240 min y 1 dıa.

Si la distribucion no tiene segundos momentos, el teorema del lımite central noes valido. Estas distribuciones tienden a otro lımite, llamado distribucion estable de


Pareto-Levy . El Hamiltoniano tiene la forma generica dada en la Ec. (20.21), conla excepcion de un posible termino lineal de deriva adicional [21]:

H(p) = −irp +Hλ,σ,β(p). (20.168)

En este contexto, el parametro λ de Levy se conoce como el parametro de estabilidad .El parametro α tiene que estar acotado en el intervalo (0, 2]. El parametro β seconoce como el parametro de distorsion. En la Ref. [75] pueden verse ejemplosgraficos de D(z, 1).

La convergencia de variables que obedecen una distribucion con decrecimientoabrupto esta contenida en el teorema generalizado del lımite central .

20.1.16 Propiedad Aditiva del Ruido y del Hamiltoniano

Observemos ahora que a cada termino en el Hamiltoniano de la Ec. (20.141) lepuede corresponder un termino de ruido independiente en la ecuacion diferencialestocastica (20.140). De hecho, si la ecuacion diferencial tiene dos terminos de ruido

x(t) = rx + η1(t) + η2(t) (20.169)

cuyas fluctuaciones estan reguladas por dos Hamiltonianos diferentes, la distribucionde probabilidad dada en la Ec. (20.144) se reemplaza por

P (xbtb|xata)=∫

Dη1∫

Dη2∫

Dx exp[

−∫ tb

tadt[H1(η1(t))+H2(η2(t))

]

δ[x−rx−η1−η2].

Luego de una descomposicion de Fourier de la funcional δ, obtenemos

P (xbtb|xata) =∫

Dp1∫

Dp2∫

Dη1∫

Dη2∫

Dx∫

Dpe−∫ tbta

dt [ip(x−rx−η1−η2)]

× exp

−∫ tb

tadt [H1(p1) − ip1η1(t) +H2(p2) − ip2η2(t)]

,

de donde las integrales de trayectoria sobre η1(t) y η2(t) dan origen a

P (xbtb|xata)=∫

Dp∫

Dx exp∫ tb

tadt [ipx− irxp−H1(p)−H2(p)]

. (20.170)

Este resultado es la representacion integral de la Ec. (20.161), donde utilizamos elHamiltoniano combinado H(p) = irxp + H1(p) + H2(p), el cual se puede reescribircomo la integral dada en la Ec. (20.162). Reescribiendo esta integral como


−∞

dp12π

dp22π

eip1(xb−xc)−(tb−ta)[irxp+H1(p1)]eip2(xc−xa)−(tb−ta)H2(p2),(20.171)

vemos que la distribucion de probabilidad asociada con la suma de los dos Hamil-tonianos es la convolucion de las distribuciones de probabilidad individuales:


−∞dxdxcP1(xbtb|xcta)P2(xctb|xata). (20.172)

De esta forma, podemos calcular, en forma separada, la distribucion de probabilidadasociada con las variables de ruido η1(p) y η2(p) y al final combinar los resultadosmediante una convolucion.


20.1.17 Formula de Levy-Khintchine

Algunas veces es de utilidad representar el Hamiltoniano en la forma integral de Fourier

H(p) =

∫

dz eipzF (z). (20.173)

Debido al significado especial del termino lineal en H(p), el cual controla la deriva, este terminose elimina de la integral al reescribir la Ec. (20.173) como

Hr(p) = irp+

∫

dz(

eipz − 1 − ipz)

F (z). (20.174)

La primer sustraccion asegura la propiedad Hr(0) = 0, la cual garantiza la normalizacion unitariade la distribucion. Esta representacion sustraida se conoce como la formula de Levy-Khintchine,mientras que la funcion F (z) es llamada el peso de Levy de la distribucion. Algunos autoreseliminan tambien el termino cuadratico, con lo cual

Hr(p) = irp+σ2

2p2 +

∫

dz(

eipz − 1)

F (z). (20.175)

Estos autores utilizan la funcion de peso F (z), la cual no tiene ni primer ni segundo momento, i.e.,∫

dz F (z)z = 0,∫

dz F (z)z2 = 0, para evitar la redundancia en la representacion.Notese que de acuerdo con el teorema del lımite central, dado en la Ec. (20.167), para tiempos

muy grandes la distribucion de probabilidad para x sera una Gaussiana. Ası, en la descomposicionde Levy-Khintchine dada en la Ec. (20.175) para el Hamiltoniano H(p) y para valores grandes det, solo los primeros dos terminos contribuyen a la distribucion:

P (x, t) →t grande

e−(x−tr)2/2tσ2

√2πσ2

. (20.176)

La norma de Levy se ha calculado explıcitamente para muchas distribuciones no Gaussianas.Como un ejemplo observemos que el caso hiperbolico generalizado, donde λ ≥ 0, tiene la normade Levy [76]

F (z) =eβz

|z|

1

π2

∫ ∞

0

dy

y

e−√

y+γ2|z|

J2λ(δ

√y) + Y 2

λ (δ√y)

+ λe−γ|z|

, (20.177)

donde Jλ(z) y Yλ(z) son las funciones estandar de Bessel.La descomposicion del Hamiltoniano de acuerdo a la formula de Levy-Khintchine y la aditividad

del ruido asociado forman la base del teorema de Levy-Ito, el cual asegura que una ecuaciondiferencial estocastica arbitraria con Hamiltoniano dado por la Ec. (20.175) puede descomponerseen la forma

x = rxt+ ηG + η≤1 + η>1, (20.178)

donde ηG es un ruido Gaussiano

η≤1 =

∫

|x|≤1

dz(

eipz − 1)

F (z) (20.179)

i.e., es una superposicion de ruidos discretos llamado proceso puntual de Poisson, con discon-tinuidades menores o iguales a la unidad, y

η>1 =

∫

|x|≤1

dz(

eipz − 1)

F (z) (20.180)

un ruido con una discontinuidad mayor que la unidad.


Consideremos el ruido mas simple del tipo η≤1, el cual se obtiene usando la funcion de peso deLevy FZ(z) = τZδ(z + Z), donde 0 < Z ≤ 1, en la Ec. (20.179), de tal forma que el Hamiltonianoes HZ(p) = τZ(e−iZp − 1). De acuerdo a la Ec. (20.11), la funcion de distribucion asociada DZ(z),sera

DZ(z) =

∫

dp

2πeipzeτZ(e−ipZ−1). (20.181)

Usando el desarrollo en potencias de eipZ de la segunda exponencial, obtenemos

DZ(z) =

∫

dp

2πeipz

∞∑

n=0

e−τZτnZn!τnZe

−ipnZ =

∞∑

n=0

e−τZτnZn!δ(z − nZ). (20.182)

Esta funcion posee discontinuidades en nZ (n = 0, 1, 2, 3, . . .), cuya probabilidad obedece la dis-

tribucion de Poisson

P (n, τZ) = e−τZ τnZ

n!, (20.183)

la cual estara apropiamente normalizada a la unidad:∑∞

n=0 P (n, τZ) = 1. Los valores esperadosde las potencias del numero asociado a la discontinuidad son

〈nk〉 =∞∑

n=0

nkP (n, τZ) = e−τZ (τZ∂τz)keτZ

∞∑

n=0

P (n, τZ) = e−τZ (τZ∂τz)keτZ =

Γ(λZ + k)

Γ(λZ).

(20.184)Ası, 〈n〉 = λZ , 〈n2〉 = λZ(λZ +1), 〈n3〉 = λZ(λZ +1)(λZ +2), 〈n4〉 = λZ(λZ +1)(λZ +2)(λZ +3),de tal forma que σ2 = λZ , s = 2/

√λZ y κ = 6/λZ .

En la Fig. 20.16 se muestra una curva tıpica del ruido. Una funcion de peso arbitraria de Levy

t

Figure 20.16 Ruido tıpico de un proceso de Poisson.

F (z) para η≤1, puede verse siempre como la superposicion F (z) =∫ 1

−1dZ F (Z)δ(z − Z), de tal

forma que la funcion de distribucion es una superposicion de ruidos de Poisson:

D(z) =

∫ 1

−1

dZ F (Z)

∞∑

n=0

e−τZτnZn!δ(z − nZ). (20.185)

20.1.18 Propiedades de Semi-grupo de las Distribuciones de losBienes

Una propiedad importante de la probabilidad dada en la Ec. (20.144) es que cumplecon la ecuacion de semi-grupo

P (xctc|xata) =∫ ∞

−∞dxb P (xctc|xbtb)P (xbtb|xata). (20.186)


En el contexto estocastico esta propiedad se conoce como la ecuacion de Chapman-

Kolmogorov o ecuacion de Smoluchowski . Es una propiedad general de un procesoque no tiene memoria. Estos procesos son llamados Markovianos [12]. Notese quela propiedad de semi–grupo de la Ec. (20.186) implica la condicion inicial

P (xcta|xata) = δ(xb − xa). (20.187)

En la Fig. 20.17 mostramos que la propiedad dada por la Ec. (20.186) se cumplerazonablemente bien para las distribuciones experimentales de los activos, exceptopor pequenas desviaciones en la zona de baja probabilidad.

z

P><

(z)

Figure 20.17 Distribuciones acumulativas obtenidas de repetidas integrales de con-

volucion de la distribucion de 15 min (tomada de la Ref. [13]). Con excepcion de los

extremos, la propiedad de semi–grupo de la Ec. (20.186) se cumple razonablemente.

Podemos verificar la propiedad de semi–grupo utilizando la distribucion de altafrecuencia de los ındices S&P 500 y NASDAQ 100 de la Fig. 20.10, contabilizadospor minuto, los cuales siguen a la distribucion de Boltzmann dada por la Ec. (20.77).Si hallamos la convolucion de la distribucion al minuto un numero entero t de veces,el resultado concuerda bastante bien con la distribucion de datos de t−minutos. Soloen los decrecimientos abruptos de eventos extranos no se observa el mismo patron.

Notese que debido a la propiedad de semi–grupo de las probabilidades dada enla Ec. (20.186), tenemos la identidad trivial

〈f(x(tb), tb)〉 =∫

dxb f(xb, tb)P (xbtb|xata)

=∫

dx[∫

dxb f(xb, tb)P (xbtb|x t)]

P (x t|xata). (20.188)

En la literatura matematica, el valor esperado del lado izquierdo de la Ec. (20.188)se escribe en la forma

EE[f(x(tb), tb)|xata] ≡∫

dxb f(xb, tb)P (xbtb|xata). (20.189)


Con esta notacion, la segunda lınea puede reescribirse en la forma∫

dxEE[f(xb, tb)|x t]P (x t|xata) = EE[EE[f(xb, tb)|x t]|xata], (20.190)

de tal forma que obtenemos la propiedad de los valores esperados

EE[f(x(tb, tb))|xata] = EE[EE[f(xb, tb)|x t]|xata]. (20.191)

En matematicas financieras esta propiedad simple, aunque de apariencia complicada,es llamada la propiedad de encumbramiento de los valores esperados.

Notese que dado que para ta = tb, P (xbtb|xata) es igual a δ(xb − xa), el valoresperado de la Ec. (20.189) tiene la propiedad obvia

EE[f(x(ta), ta)|xata] = f(xa, ta) (20.192)

20.1.19 Evolucion Temporal de los Momentos de la Distribucion

De la distribucion dependiente del tiempo dada en la Ec. (20.165) es facil calcularla dependencia temporal de los momentos:

〈xn〉(t) ≡∫ ∞

−∞dx xn P (x, t) (20.193)

Sustituyendo la Ec. (20.165), obtenemos

〈xn〉(t) =∫ ∞

∞

dp

2πe−tH(p)

∫ ∞

−∞dx xneipx =

∫ ∞

∞dpe−tH(p)(−i∂p)nδ(p). (20.194)

Luego de n integraciones parciales, encontramos

〈xn〉(t) = (i∂p)ne−tH(p)

∣

∣

∣

p=0. (20.195)

Todos los coeficientes cn del desarrollo de H(p) hallados en la Ec. (20.141) contienenel mismo factor t, de tal forma que los cumulantes de los momentos crecen de formalineal con el tiempo:

〈xn〉c(t) = −tH(n)(0) = t〈xn〉c(1) = tcn. (20.196)

-10 -5 0 5 10

-3

-2

-1

-50 0 50-3

-2

-1

z in % z in %

logP (z)logP (z)

Figure 20.18 Distribucion Gaussiana del logaritmo de la renta semanal S&P 500 y

NASDAQ 100.


20.1.20 Distribucion de Boltzmann

Como un ejemplo consideremos la distribucion de Boltzmann hallada en laEc. (20.77) para los datos al minuto. La varianza y kurtosis dependientes deltiempo se encuentran sustituyendo los cumulantes hallados en la Ec. (20.80) enla Ec. (20.196), de donde obtenemos

〈x2〉c(t) = t 2T 2, κ(t) =c4tc22

=3

t. (20.197)

El primer termino aumenta linealmente con el tiempo, el segundo disminuye comouno entre el tiempo, lo que hace que la distribucion sea cada vez mas y mas Gau-ssiana, tal como lo requiere el teorema del lımite central dado en la Ec. (20.167).Las dos cantidades se grafican en las Figs. 20.19 y 20.20. Puede verse que el acuerdocon los datos es excelente.

0 5 10 15 200

0.4

0.8

1.2

0 5 10 15 20-10

-5

0

5

10

0 5 10 15 200

6

12

18

0 5 10 15 20-10

-5

0

5

10

S&P500 2004-2005

NASDAQ100 2001-02

σ2(t)

σ2(t)

retraso temporal t (horas)


S&P500 2004-2005

NASDAQ100 2001-02

desviacion en %

desviacion en %



Figure 20.19 Varianza de los ındices S&P 500 y NASDAQ 100 como funcion del tiempo.

En forma aproximada, las pendientes 〈x2〉c(t)/t son 1.1/20×1/60 min y 18.1/20×1/60 min,

respectivamente, de tal forma que de la Ec. (20.198) obtenemos las temperaturas TSP500 ≈0.075 y TNASDAQ100 ≈ 0.15. El lado derecho muestra, en porcentaje, la desviacion respecto

de una lınea.

Notese que si no se dispone de los datos al minuto y en su lugar usamos los datosde frecuencia 1/t0 (en unidades de 1/min) y el valor esperado de 〈x2〉c(t0), entoncespodemos hallar la temperatura de la distribucion al minuto usando la formula

T =√

〈x2〉c(t0)/2t0. (20.198)

Dado que κ tiende a cero en la forma 1/t, a medida que el tiempo avanza ladistribucion sera cada vez mas Gaussiana, este comportamiento es una manifestacion


0 5 10 15 200

1

2

3

0 5 10 15 20-20

-10

0

10

20

0 5 10 15 200

200

400

600

0 5 10 15 20-10

-5

0

5

10

S&P500 2004-2005

NASDAQ100 2001-02

κ(t)

κ(t)



S&P500 2004-2005

NASDAQ100 2001-02

desviacion en %

desviacion en %



Figure 20.20 Kurtosis de los ındices S&P 500 y NASDAQ 100 como funcion del tiempo.

El lado derecho muestra, en porcentaje, la desviacion respecto al comportamiento 1/t.

del teorema del lımite central, Ec. (20.167), de la mecanica estadıstica de acuerdocon el cual la convolucion de un numero muy grande de funciones de distribucion conancho finito se aproxima a una distribucion Gaussiana. Este resultado contradice elcaso de la distribucion pura de Levy descrito en la Subseccion 20.1.2, donde λ < 2,la cual no tiene ancho finito y por lo tanto tiene su comportamiento de caida abruptaa grandes distancias.

Si, por brevedad, omitimos el argumento temporal de los cumulantes 〈xn〉c(1) ysustituimos este resultado en las descomposiciones de las Ecs. (20.56), obtenemos ladependencia temporal de los momentos:

〈x〉(t) = t〈x〉c,

〈x2〉(t) = t〈x2〉c + t2〈x〉2c ,

〈x3〉(t) = t〈x3〉c + 3t2〈x〉c〈x2〉c + t3〈x〉3c ,

〈x4〉(t) = t〈x4〉c + 3t2〈x2〉2c − 4t2〈x〉c〈x3〉c + 6t3〈x〉2c〈x2〉c + t4〈x〉4c , (20.199)... .

Calculemos ahora la evolucion temporal de la distribucion de Boltzmann dadaen la Ec. (20.77) para los datos al minuto. A partir de la Ec. (20.79) conocemos elHamiltoniano H(p) correspondiente, de tal forma que

e−tH(p) =1

[1 + (Tp)2]t. (20.200)


Por lo tanto, la dependencia temporal de la distribucion estara dada por la integralde Fourier

P (x, t) =∫ ∞

−∞

dp

2πeipx−tH(p) =

∫ ∞

−∞

dp

2π

1

(1 + T 2p2)teipx. (20.201)

El calculo puede hacerse facilmente, en analogıa con la Ec. (20.81) y usando laformula (2.499), si reescribimos la Ec. (20.200) como una integral

e−tH(p) =1

[1 + (Tp)2]t=

1

Γ(t)

∫ ∞

0

dτ

ττ te−τ(1+T 2p2). (20.202)

El prefactor de p2 es igual al producto tσ2 = tv por una distribucion Gaussiana enel espacio x. Por lo tanto, cambiamos la variable de integracion de τ a v, haciendola sustitucion τ = tv/2T 2, de donde obtenemos [comparemos con la Ec. (20.82)]

e−tH(p) =(

t

2T 2

)t 1

Γ(t)

∫ ∞

0

dv

vvte−tv/2T 2

e−tvp2/2. (20.203)

La transformada de Fourier de este resultado dara la evolucion temporal de la dis-tribucion de Boltzmann como una superposicion de distribuciones Gaussianas de-pendientes del tiempo y de diferente ancho [comparemos con la Ec. (20.83)]:

P (x, t) =(

t

2T 2

)t 1

Γ(t)

∫ ∞

0

dv

vvte−tv/2T 2 1√

2πtve−x2/2tv. (20.204)

La integral se puede hallar usando la formula integral dada en la Ec. (2.559), dedonde hallamos la distribucion dependiente del tiempo

P (x, t) =∫ ∞

−∞

dp

2πeipx−tH(p) =

1

T√πΓ(t)

(

|x|2T

)t−1/2

Kt−1/2(|x|/T ), (20.205)

donde t se mide en minutos.Para el caso t = 1, obtenemos nuevamente la distribucion fundamental dada en

la Ec. (20.77), recordemos la forma explıcita de K1/2(z) dada en la Ec. (1.349).En el lımite de valores grandes de t, la integral sobre v en la Ec. (20.204) se

puede hallar en la aproximacion del punto de inflexion descrita en la Seccion 4.2.Hallamos el desarrollo en serie de potencias de la funcion de peso del integrandoalrededor del maximo vm = 2T 2(1 − 1/t) como

vt−1e−tv/2T 2

=[

2T 2(1 − 1/t)]t−1

e−(t−1)e−tδv2/2[2T 2(1−1/t)]2[

1 + O(δv3)]

,(20.206)

donde δv = v−vm y O(δv3) es igual a −tδv3/3[2T 2(1−1/t)]3. Observamos, entonces,que para valores grandes de t, la Gaussiana se puede representar en terminos de lasderivadas de la funcion δ en la forma:

e−tz2/2[

1 +a

3z3 + . . .

]

=√

2π/t[

δ(z) +1

2tδ′′(z) +

a

t2δ′(z) . . .

]

. (20.207)


Este resultado se puede corroborar facilmente multiplicando ambos lados por f(z) =f(0)+zf ′(0)+z2f ′′(0)/2+. . . e integrando sobre z. De donde hallamos que a primerorden

e−tδv2/2[2T 2(1−1/t)]2 →√

2π

t2T 2(1 − 1/t) δ(δv). (20.208)

Utilizando el lımite para valores grandes de t de la expresion (1 − 1/t)t → e−1, eincluyendo la primera correccion de la Ec. (20.207), obtenemos

vt−1e−tv/2T 2 →√

2π

t(2T 2)te−t

δ(δv) +[2T 2(1 − 1/t)]2

2tδ′′(δv) + . . .

. (20.209)

Si ahora, utilizamos la formula de Stirling dada en la Ec. (17.286) para hallar la

aproximacion tt/Γ(t) →√

t/2πet, vemos que, para valores grandes de t, la integral

de la Ec. (20.204) converge hacia la distribucion Gaussiana e−x2/2tvm/√

2πtvm, dondela varianza en el punto de inflexion es vm → 2T 2.

El comportamiento cerca del maximo de la distribucion se puede calcular deldesarrollo para valores pequenos de z7

(

z

2

)ν

Kν(z) =π

2 sin πν Γ(1 − ν)

[

1 +Γ(1 − ν)

1!Γ(2 − ν)

z2

4+ O(z4, z2ν)

]

. (20.210)

Para valores grandes de ν y valores pequenos de z, este resultado se puede aproximarpor la expresion [recordemos la Ec. (20.29)]

(

z

2

)ν

Kν(z) ≈ Γ(ν)

2e−z2/4(t−3/2). (20.211)

Usamos ahora la formula de Stirling dada en la Ec. (17.286) para hallar el lımite devalores grandes de t de la expresion Γ(t− 1/2)/Γ(t) → 1, de donde obtenemos elcomportamiento Gaussiano cerca del maximo:

P (x, t) ≈|x|pequeno

1√2π 2T 2t

e−x2/2 2T 2(t−3/2). (20.212)

Este resultado se obtiene al aproximar la transformada de Fourier de la Ec. (20.200)mediante la expresion e−tT 2p2 . La forma Gaussiana se obtiene para el caso x ≈ T

√t.

Para valores muy grandes de t, este resultado es siempre valido, como debe deesperarse del teorema del lımite central dado en la Ec. (20.167).

20.1.21 Transformada de Fourier de la Distribucion de Tsallis

Para el Hamiltoniano definido en la Ec. (20.97), la evolucion temporal esta dada porla transformada de Fourier

e−tHδ,β (p)=[

1 − βδ p2/2]−t/δ

=1

Γ(t/δ)

∫ ∞

0

ds

sst/δe−se−sβδ p2/2, β ≡ ν

µ=

1

µδ,(20.213)

7M. Abramowitz and I. Stegun, op. cit., ver las Formulas 9.6.2 y 9.6.10.


la cual, en analogıa con la Ec. (20.99), se puede reescribir como

e−tHδ,β(p) =µt/δ

Γ (t/δ)

∫ ∞

0

dv

vvt/δe−µve−vp2/2 , µ = 1/βδ. (20.214)

Hallando la transformada de Fourier de este resultado obtenemos la funcion dedistribucion dependiente del tiempo

Pδ,β(x, t) =µt/δ

Γ (t/δ)

∫ ∞

0

dv

vvt/δe−µv 1√

2πve−x2/2v , µ = 1/βδ, (20.215)

la cual, con ayuda de la formula (2.499), sera:

Pδ,β(x, t) =µt/δ

Γ (t/δ)

1√2π

(

x2

2µ

)t/2δ−1/4

2Kt/δ−1/2(√

2µx), µ =1

βδ. (20.216)

Para el caso δ = 1 y µ = 1/2T 2, este resultado se reduce a la distribucion deBoltzmann dependiente del tiempo hallada en la Ec. (20.205). En el origen laexpresion tendra el valor [comparemos con la Ec. (20.104)]

Pδ,β(0, t) =√µΓ(t/δ − 1/2)/Γ(t/δ). (20.217)

20.1.22 Superposicion de Distribuciones Gaussianas

Toda distribucion dependiente del tiempo cuya transformada de Fourier tiene laforma e−tH(p) posee una representacion en terminos de una integral de trayectoria,como la dada por la Ec. (20.161), la cual obedece la ecuacion (20.186) del semi–grupo. En varios ejemplos hemos visto que las transformadas de Fourier e−H(p)

se pueden obtener de la superposicion de distribuciones Gaussianas con diferentevarianza e−vp2/2 y con una cierta funcion de peso w(v):

e−H(p) =∫ ∞

0dv w(v)e−vp2/2. (20.218)

Este hecho lo comprobamos con la distribucion de Boltzmann en la Ec. (20.81), parala transformada de Fourier de la distribucion de Tsallis de la Eq. (20.100) y parala distribucion de Boltzmann de una partıcula relativista en la Ec. (20.105). Entodos estos casos fue posible hallar una superposicion similar para las distribucionesdependientes del tiempo:

e−tH(p) =∫ ∞

0dv′wt(v

′)e−v′p2/2 =∫ ∞

0dv ωt(v)e−tvp2/2, (20.219)

donde hemos introducido la funcion de peso dependiente del tiempo

ωt(v) ≡ t wt(vt). (20.220)

En las Ecs. (20.202), (20.214) y (20.105) pueden verse los tres casos anteriores.


Ahora, queremos ver la propiedad general de la dependencia temporal de lafuncion de peso wt(v), la cual asegura que la transformada de Fourier de la super-posicion dada por Ec. (20.219) y obtenida en la Ec. (20.164) cumple con la condicionde semi–grupo de la Ec. (20.186) [52]. Para ello veamos que la superposicion tienela dependencia temporal siguiente

e−(t2+t1)H(p) = e−t2H(p)e−t1H(p),

o tambien e−tH(p) = [e−H(p)]t. Lo cual implica que el factor de peso wt(v) tiene lapropiedad∫

dv12wt1+t2(v12)e−v12p2/2 =

∫

dv2wt2(v2)e−v2p2/2

∫

dv1wt1(v1)e−v1p2/2. (20.221)

Para la transformada de Laplace wt(v) de wt(v)

wt(pv) ≡∫

dv e−pvvwt(v) (20.222)

este resultado equivale a la propiedad de factorizacion

wt1+t2(pv) = wt2(pv)wt1(pv), (20.223)

la cual se cumple por la exponencial

wt(pv) = e−tHv(pv), (20.224)

con Hamiltoniano Hv(pv). Dado que en la Ec. (20.222) la integral sobre v es solopara valores positivos del eje v, el Hamiltoniano Hv(pv) es analıtico en el planosuperior de pv.

Es facil hallar la relacion entre Hv(pv) y H(p). Para ello construimos la trans-formada inversa de Laplace, la llamada integral de Bromwich [53]

wt(v) =∫ γ+i∞

γ−i∞

dpv2πi

epvv−tHv(pv), (20.225)

en la cual γ es un numero real mayor que la parte real de todas las singularidades dee−pvv−tHv(pv). Sustituyendo este resultado en la Ec. (20.219) y hallando la integralsobre v, obtenemos

e−tH(p) =∫ γ+i∞

γ−i∞

dpv2πi

1

p2/2 − pve−tHv(pv). (20.226)

Si, en el plano complejo pv, cerramos la integral sobre pv y deformamos el contorno aun cırculo en direccion contra-reloj alrededor de pv = p2/2, encontramos la relacionbuscada:

Hv(p2/2) = H(p). (20.227)

Si utilizamos la relacion Hv(pv) = H(√

2pv), con ayuda de la Ec. (20.219) encon-tramos que la distribucion dependiente del tiempo asociada con el Hamiltoniano


H(p), mediante la integral de Fourier (20.162), puede representarse como una su-perposicion de distribuciones Gaussianas.

Recordando la derivacion de la representacion de Fourier hallada en laEc. (20.165), usando la integral de trayectoria dada por la Ec. (20.153), y ladependencia de la integral de trayectoria de la ecuacion diferencial estocastica,Ec. (20.140), cuyo Hamiltoniano de ruido es H(p), concluimos que el HamiltonianoHv(ipv) controla el ruido de la ecuacion diferencial estocastica para las fluctuacionesde la volatilidad.

Por ejemplo, consideremos la superposicion de Gaussianas dada por laEc. (20.105). La transformada de Laplace de ωβ(v) es

ωβ(pv) =∫

dv e−vpvωβ(v) =∫

dv e−vpv

√

β

2πv3e−β/2v = e−

√2βpv . (20.228)

La transformada de Laplace de wβ(v) esta relacionada con este resultado mediante

∫

dv′e−v′pvwβ(v′)=∫

dv e−βvpvωβ(v) = ωβ(βpv). (20.229)

Ası obtenemos wβ(pv)=e−β√2pv =e−βHv(pv), lo cual cumple con la relacion (20.223).

Mas aun, Hv(p2/2) es igual a H(p) =

√p2, tal como lo requiere la Ec. (20.227) y en

acuerdo con la Ec. (20.105) para el caso M = 0.

Notese que en lugar de la integral de Bromwich (20.226), algunas veces es masconveniente utilizar la formula de inversion de Post-Laplace [54]

ωt(v) = limk→∞

(−1)k

k!xk+1 ∂

kωt(x)

∂xk

∣

∣

∣

∣

∣

x=k/v

. (20.230)

20.1.23 Ecuacion Tipo Fokker-Planck

De la representacion de Fourier hallada en la Ec. (20.162), es facil demostrar que laprobabilidad cumple con una ecuacion tipo Fokker-Planck

∂tP (xbtb|xata) = −H(−i∂x)P (xbtb|xata). (20.231)

De hecho, la solucion general de esta ecuacion diferencial, ψ(x, t), donde ψ(x, 0)representa las condiciones iniciales, estara dada por la integral de trayectoria quegeneraliza a la Ec. (20.144)

ψ(x, t) =∫

Dη exp[

−∫ tb

tadt H(η(t))

]

ψ(

x−∫ t

tadt′η(t′)

)

. (20.232)

Este resultado cumple con la ecuacion de Fokker-Planck dada por la Ec. (20.231).


Para mostrar que esto es cierto, usemos la funcion ψ(x, t) para un tiempo ligeramentemayor t + ǫ y utilicemos el desarrollo

ψ(x, t+ ǫ) =∫

Dη exp[

−∫ tb

tadt H(η(t))

]

ψ(

x−∫ t

tadt′η(t′) −

∫ t+ǫ

tdt′η(t′)

)

.

=∫

Dη exp[

−∫ tb

tadt H(η(t))

]

ψ(

x−∫ t

tadt′η(t′)

)

− ψ′(

x−∫ t

tadt′η(t′)

)∫ t+ǫ

tdt′η(t′)

+1

2ψ′′

(

x−∫ t

tadt′η(t′)

)∫ t+ǫ

tdt1dt2 η(t1)η(t2) (20.233)

− 1

3!ψ′′′

(

x−∫ t

tadt′η(t′)

)∫ t+ǫ

tdt1dt2dt3 η(t1)η(t2)η(t3)

+1

4!ψ(4)

(

x−∫ t

tadt′η(t′)

)∫ t+ǫ

tdt1dt2dt3dt4 η(t1)η(t2)η(t3)η(t4) + . . .

.

Utilizando las funciones de correlacion dadas por las Ecs. (20.155)–(20.158), obtene-mos

ψ(x, t+ ǫ) =∫

Dη exp[

−∫ tb

tadt H(η(t))

]

×[

−ǫc1∂x +(

ǫc2 + ǫ2c1) 1

2∂2x −

(

ǫc3 + 3ǫ2c2c1) 1

3!∂3x (20.234)

+(

ǫc4 + ǫ24c3c1 + ǫ23c22 + ǫ3c2c21 + ǫ4c21

) 1

4!∂4x + . . .

]

ψ(

x−∫ t

tadt′η(t′)

)

.

En el lımite ǫ → 0, solo contribuyen los terminos lineales de orden ǫ, los cuales seobtienen de las partes conexas de las funciones de correlacion de η(t). Los operadoresdiferenciales entre parentesis pueden extraerse de la integral, de donde hallamos laecuacion diferencial

∂tψ(x, t) =[

−c1∂x +c22!∂2x −

c33!∂3x +

c44!∂4x + . . .

]

ψ (x, t) . (20.235)

Ahora utilizamos el reemplazo c1 → rx y la Ec. (20.141) para expresar los opera-dores diferenciales entre parentesis, como el operador Hamiltoniano −Hrx(−i∂x),obtenemos la ecuacion de Schrodinger [55]

∂tψ(x, t) = −Hrx(−i∂x)ψ (x, t) . (20.236)

Debido a las diversas derivadas presentes en H(i∂x), en general, esta ecuaciones no local. Esto puede mostrarse explıcitamente con ayuda de la funcion de pesoF (x) de Levy-Khintchine en la representacion de Fourier dada por la Ec. (20.173).En este caso, el lado derecho sera

−H(−i∂x)ψ(x, t) =∫

dx′ e−x′∂x F (x′)ψ(x, t) =∫

dx′ F (x′)ψ(x− x′, t), (20.237)


y la ecuacion de Fokker-Planck dada en la Ec. (20.236) tendra la forma de unaecuacion integro–diferencial. Algunos autores prefieren utilizar la forma sustraidade la formula de Levy-Khintchine hallada en la Ec. (20.175), para obtener la ecuacionintegro–diferencial

∂tψ(x, t) =[

−c1∂x −c22∂2x

]

ψ(x, t) +∫

dx′ F (x′)ψ(x− x′, t). (20.238)

El termino integral puede ser tratado como una perturbacion a la ecuacion ordinariade Fokker-Planck.

Como una consecuencia de la propiedad de semi-grupo dada por la Ec. (20.186),la condicion inicial de la probabilidad estara siempre dada por la Ec. (20.187).

20.1.24 Ecuacion de Kramers-Moyal

La expresion de Fokker-Planck dada en la Ec. (20.231) es un caso especial de unaecuacion de evolucion temporal mas general, cuya solucion es la distribucion de pro-babilidad P (xb, tb, |xata) la cual cumple con la ecuacion de Chapman-Kolmogorovo la ecuacion de Smoluchowski, Ec. (20.186). Para un intervalo temporal cortotc − tb = ǫ, esta ecuacion se puede escribir en la forma

P (xc tb+ǫ|xata) =∫ ∞

−∞dxb P (xctb + ǫ|xbtb)P (xbtb|xata). (20.239)

Con lo cual podemos reescribir P (xctb+ǫ|xbtb) trivialmente como la integral

P (xctb+ǫ|xbtb) =∫

dx δ(x−xb+xb−xc)P (x tb+ǫ|xbtb), (20.240)

y usar el desarrollo, en potencias de x− xb, de la funcion δ para obtener

P (xctb+ǫ|xbtb) =∫

dx∞∑

n=0

(x− xb)n

n!P (x tb+ǫ|xbtb) ∂nxb

δ(xb − xc). (20.241)

Utilizando los momentos

Cn(xbtb) ≡∫

dx (x− xb)n∂tbP (x tb|xbtb), (20.242)

y sustituyendo la Ec. (20.241) en la Ec. (20.239), observamos que el lado derechosera de la forma

P (xctb|xbtb) + ǫ∞∑

n=1

∫

dxbCn(xbtb)

n![∂nxb

δ(xb − xc)]∂tbP (xbtb|xata) + O(ǫ2). (20.243)

Sustituyendo el termino n = 0 en el lado izquierdo de la Ec. (20.239) y hallandoluego el lımite ǫ→ 0, obtenemos la ecuacion de Kramers-Moyal :

∂tbP (xbtb|xata) = −H(−i∂xb, xb, tb)P (xbtb|xata). (20.244)


donde el operador Hamiltoniano

H(−i∂xb, xb, tb) ≡ −

∞∑

n=1

(−∂xb)nCn(xbtb)

n!, (20.245)

sera la generalizacion del operador Hamiltoniano dado en las Ecs. (20.235) y(20.231).

Hay una solucion simple y formal de la ecuacion de evolucion temporal (20.244),la cual cumple la condicion inicial dada por la Ec. (20.187). Recordando la ecuacionsimilar de la evolucion temporal dada por la relacion (1.233), se puede ver inmedia-tamente que la solucion tiene la forma:

P (xbtb|xata) = T e−∫ tbta

dtH(−i∂xb ,xb,t)δ(xb − xa), (20.246)

donde T es el operador de ordenamiento temporal dado en la Ec. (1.241). Utilizandolos estados bra-kets de Dirac 〈xb| y |xa〉 junto con el producto escalar 〈xb|xa〉 =δ(xb − xa), tal como se vio en la Ec. (18.462), y las reglas dadas en la Ec. (18.463)podemos reescribir la Ec. (20.246) en la forma

P (xbtb|xata) = 〈xb|T e−∫ tbta

dtH(−i∂xb ,xb,t)|xa〉. (20.247)

Debido a la condicion inicial dada en la Ec. (20.187), los momentos de laEc. (20.242) se pueden calcular tambien en el lımite de tiempos cortos

Cn(x t) =ǫ→0

1

ǫ

∫

dx (x′ − x)nP (x′ t+ǫ|x t) =ǫ→0

1

ǫ〈[x(t+ǫ) − x(t)]n〉, n ≥ 1. (20.248)

Otra forma de escribir el valor esperado del lado derecho es

Cn(x t) =ǫ→0

1

ǫ

∫ t+ǫ

tdt1 · · ·

∫ t+ǫ

tdtn 〈x(t1) · · · x(tn)〉, n ≥ 1. (20.249)

Si x(t) obedece la ecuacion de Langevin dada en la Ec. (20.169), cuyas funcionesde correlacion estan dadas por las Ecs. (20.155)–(20.158), obtenemos

Cn(x t) = cn, (20.250)

y la relacion de Kramers-Moyal, hallada en la Ec. (20.248), se simplifica a la ex-presion anterior de Fokker-Planck dada en la Ec. (20.231).

Para la ecuacion de Langevin

x(t) = r(x, t) + σ(x, t)η(t), (20.251)

con variable de ruido η(t), tendremos

C1(x t)=a(x, t)+b′(x, t)b(x, t)=a(x, t)+∂xC2(x t)

2, C2(x t) = b2(x, t). (20.252)

De acuerdo con el teorema de Pawula [56], el caracter positivo de la probabilidaden la expresion de Kramers-Moyal, Ec. (20.244), requiere que el desarrollo de laEc. (20.245) sea truncado solo despues del primer o segundo termino, de lo contrariosera infinito.

20.2 Formula de Ito para Distribuciones no Gaussianas 1555

20.2 Formula de Ito para Distribuciones no Gaussianas

Mediante un procedimiento similar al visto en la Subseccion 18.13.3 es posible hallaruna generalizacion de los desarrollos de Ito dados en las Ecs. (18.412) y (18.432),para las fluctuaciones de las funciones que contienen un ruido no Gaussiano.

20.2.1 Continuidad Temporal

Como en la Ec. (18.408) desarrollamos la funcion f(x(t+ ǫ)):

f(x(t+ ǫ)) = f(x(t)) + f ′(x(t))∆x(t)

+1

2f ′′(x(t))[∆x(t)]2 +

1

3!f (3)[∆x(t)]3 + . . . . (20.253)

donde x(t) = η(t) es la ecuacion diferencial estocastica cuyo valor esperado es dife-rente de cero, 〈η(t)〉 = c1. Contrario al desarrollo de la Ec. (18.426), el cual para ǫ→0 tiene que evaluarse solo a segundo orden en ∆x(t) ≡ ∫ t+ǫ

t dt′ x(t′), ahora tenemosque mantener las contribuciones a todo orden. Evaluando los promedios del ruido delas integrales multiples del lado derecho, con ayuda de las funciones de correlaciondadas en las Ecs. (20.155)–(20.158), encontramos la dependencia temporal del valoresperado de una funcion arbitraria que depende de la fluctuacion de la variable x(t)

〈f(x(t+ǫ))〉 = 〈f(x(t))〉 + 〈f ′(x(t))〉ǫc1 +1

2〈f ′′(x(t))〉(ǫc2+ǫ2c21)

+1

3!〈f (3)(x(t))〉(ǫc3 + ǫ2c2c1 + ǫ3c31) + . . . (20.254)

= 〈f(x(t))〉 + ǫ[

c1∂x + c21

2∂2x + c3

1

3!∂3x + . . .

]

〈f(x(t))〉 + O(ǫ2).

Luego hacer el reemplazo c1 → rx, la funcion f(x(t)) cumple por lo tanto con lasiguiente relacion:

〈f(x(t))〉 = −Hrx(i∂x)〈f(x(t))〉. (20.255)

Sustrayendo la derivada de menor orden, tendremos la forma generalizada de laEc. (18.412):

〈f(x(t))〉 = 〈f ′(x(t))〉〈x(t)〉 − Hrx(i∂x)〈f(x(t))〉. (20.256)

Este resultado podrıa verse como el valor esperado de la ecuacion diferencial es-tocastica

f(x(t)) = f ′(x(t))x(t) − Hrx(i∂x)f(x(t)), (20.257)

la cual, en caso de ser valido, sera una generalizacion simple y directa del lema deIto dado en la Ec. (18.413). Sin embargo, esta conclusion no es correcta. La razon seencuentra en el aumento de magnitud de las fluctuaciones de los terminos de orden


superior [∆x(t)]n, para n ≥ 2. En el caso armonico, visto en la Subseccion 18.13.3,estos terminos se pueden ignorar cuando se comparan con los terminos principalesz1(t) de la Ec. (18.413). Veamos que sucede en el caso actual, donde todos loscumulantes cn de orden superior en el Hamiltoniano dado en la Ec. (20.141) puedenser diferentes de cero. En la argumentacion seguimos el procedimiento que nos llevoa la Ec. (18.405), y trabajamos con la ecuacion diferencial estocastica

x(t) = 〈x(t)〉 + η(t) = c1 + η(t), (20.258)

en lugar de utilizar la Ec. (20.169). Luego las funciones de correlacion de η(t)consisten de las partes conexas de las Ecs. (20.155)–(20.158):

〈η(t1)〉 = c1, (20.259)

〈η(t1)η(t2)〉 = c2δ(t1 − t2) (20.260)

〈η(t1)η(t2)η(t3)〉 = c3δ(t1−t2)δ(t1−t3), (20.261)

〈η(t1)η(t2)η(t3)η(t4)〉 = c4δ(t1−t2)δ(t1−t3)δ(t1−t4) (20.262)

+ c22[δ(t1−t2)δ(t3−t4)+δ(t1−t3)δ(t2−t4)+δ(t1−t4)δ(t2−t3)].... .

Ahora estimaremos la magnitud de las fluctuaciones zn de [∆x(t)]n. La primeracontribucion z2,1 a z2, definida en la Ec. (18.415), es aun ignorable dado que esmenor por un factor ǫ que el termino principal z1(t) ≡

∫ t+ǫt dt′ η(t′). Sin embargo, la

segunda contribucion z2,3 a z2, definida en la Ec. (18.415), tiene una varianza mayordebido al termino c4 dado en la Ec (20.158), el cual contiene una funcion δ ademasdel termino c22, de tal forma que tenemos

⟨

[z2,2(t)]2⟩

=∫ t+ǫ

tdt1

∫ t+ǫ

tdt2

∫ t+ǫ

tdt3

∫ t+ǫ

tdt4 〈η(t1)η(t2)η(t3)η(t4)〉=ǫc4+ǫ2c22. (20.263)

Este termino es mayor que la estimacion armonica dada en la Ec. (18.420) por elfactor 1/ǫ, el cual en general da origen a que el termino z2,2(t) sea tan grande comoel valor de la fluctuacion principal z1(t) de x1(t). Por lo cual no se puede ignorar.La sustraccion del segundo termino en la varianza, 〈z2,2(t)〉2 = ǫ2c22, no ayuda yaque su contribucion es ignorable.

Para potencias de orden superior, obtenemos una estimacion similar. Sea porejemplo el caso [∆x(t)]3:

[∆x(t)]3 = ǫ3c31 + 3ǫ2c21z1(t) + ǫc1[z1(t)]2 + [z1(t)]

3, (20.264)

y calculemos la varianza del ultimo termino cuyas fluctuaciones son importantes:〈[z1(t)]

32〉 − 〈[z1(t)]3〉2〉. La primer contribucion sera igual a

∫ t+ǫ

tdt1

∫ t+ǫ

tdt2

∫ t+ǫ

tdt3

∫ t+ǫ

tdt4

∫ t+ǫ

tdt5

∫ t+ǫ

tdt6 〈η(t1)η(t2)η(t3)η(t4)η(t5)η(t6)〉,

(20.265)

20.2 Formula de Ito para Distribuciones no Gaussianas 1557

luego de una extension obvia de los valores esperados de las Ecs. (20.155)–(20.158)a la funcion de seis puntos, obtenemos:

〈[z1(t)]32〉 = ǫc6 + O(ǫ2). (20.266)

La segunda contribucion 〈[z1(t)]3〉2 en la Ec. (20.264) es igual a ǫ2c23, la cual sepuede ignorar para el caso ǫ → 0. Ası, debido a la Ec. (20.266), la magnitudde las fluctuaciones [z1(t)]

3 es del mismo orden que los terminos principales x1(t)[comparemos una vez mas con la Ec. (18.421)].

Este resultado es la razon principal de porque para el caso de fluctuacionesno Gaussianas, no podemos deducir una generalizacion como la hallada en laEc. (20.257) para la formula de Ito introducida en la Ec (18.413), si no que solotendremos una expresion debil como la hallada en la Ec. (20.256) para el valoresperado.

Para una funcion exponencial f(x) = ePx este resultado implica la relacion

d

dt〈ePx(t)〉 =

[

P 〈x(t)〉 − Hrx(iP )] ⟨

ePx(t)⟩

, (20.267)

y no se pueden obtener los valores esperados.Una consecuencia de lo debil de la Ec. (20.267) para el caso P = 1, es que la

razon rS con la cual crece el promedio del precio de las acciones S(t) = ex(t) estadado por la formula (20.1), donde la relacion entre rx y rS esta dada mediante laexpresion

rS = rx − H(i) = rx − [H(i) − iH ′(0)] = −Hrx(i), (20.268)

misma que reemplaza la relacion simple de Ito, rS = rx+σ2/2, dada en la Ec. (20.5).Recordemos la definicion de H(p) ≡ H(p) − H ′(0)p dada en la Ec. (20.141). Laversion correspondiente al lado izquierdo de la Ec. (20.4) sera⟨

S

S

⟩

= 〈x(t)〉 − H(i) = 〈x(t)〉 − [H(i) − iH ′(0)] = 〈x(t)〉 − rx −Hrx(i). (20.269)

Por lo tanto, el precio anticipado de una accion debe ser de calculado mediante lageneralizacion de la fomula (20.8), donde suponemos una vez mas que η(t) fluctuaalrededor del cero y no de rx:

〈S(t)〉 = S(0)erSt = S(0)〈erxt+∫ t

0dt′ η(t′)〉 = S(0)e−Hrx (i)t = S(0)erxt−[H(i)−iH′(0)]t.

(20.270)Si η(t) fluctua alrededor de rx obtenemos la forma simple

〈S(t)〉 = S(0)erSt = S(0)〈e∫ t

0dt′ η(t′)〉 = S(0)e−Hrx(i)t. (20.271)

Este resultado puede verse como una consecuencia de la siguiente generalizacion delfactor Gaussiano de Debye-Waller hallado en la Ec. (18.425):

⟨

eP∫ t

0dt′ η(t′)

⟩

= e−Hrx (iP )t. (20.272)


Notese que podemos deducir la ecuacion diferencial (20.255) de una funcion arbi-traria f(x(t)) utilizando una regla nemonica simple, desarrollamos arbitrariamente[similar a lo hecho en la Ec. (18.426), pero restringuiendonos a los valores esperados]

〈f(x(t+ dt))〉 = 〈f(x(t))〉 + 〈f ′(x(t))〉〈x(t)〉 dt+1

2〈f ′′(x(t))〉

⟨

x2(t)⟩

dt2

+1

3!〈f (3)(x(t))〉〈x3(t)〉dt3 + . . . , (20.273)

y reemplazamos

〈x(t)〉dt→ c1dt, 〈x2(t)〉dt2 → c2dt, 〈x3(t)〉dt3 → c3dt, . . . . (20.274)

Contrario a lo hecho en la Ec. (18.429), este reemplazo es valido solo en el promedio.Por la misma razon, una cartera de valores que contiene bienes con fluctuaciones

no Gaussianas no puede considerarse libre de riesgo en el lımite ǫ→ 0, como se veraen la Seccion 20.7.

20.2.2 Discretizacion Temporal

Los precios de los bienes financieros se almacenan como una serie temporal discreta,x(tn), para ciertos intervalos ∆t = tn+1 − tn y no como una funcion x(t) continua.Para acciones con un gran volumen, o para los ındices financieros, el intervalo tem-poral mınimo es tıpicamente ∆t = 1 minuto. Al final de la Seccion 18.13.3 vimosque este lımite es la razon por la cual el Lema de Ito es una estimacion aproximada.Fuera del lımite ∆t → 0, las fluctuaciones de los terminos de orden superior de laEc. (20.253) no desaparecen sino que se eliminan por el factor σ

√∆tn. En tiempos

economicos tranquilos estas fluctuaciones generalmente son muy pequenas, por loque para los intervalos ∆t = 1 minuto las fluctuaciones de orden superior se puedenignorar.

Mientras que esta aproximacion es una desventaja para la serie temporal discreta,comparada con la continua, es tambien una ventaja en los procesos con ruido noGaussiano, al menos cuando los mercados financieros no estan agitados. Luego, enel desarrollo de la Ec. (20.253), las fluctuaciones no Gaussianas de orden superiorse cancelan por los terminos σ

√∆t del mismo orden, tal como las correcciones a

la regla de Ito en el caso Gaussiano [recordemos la Ec. (18.432)]. Como un casotıpico, consideremos la distribucion de Boltzmann hallada por la Ec. (20.77). Loscumulantes cn de la distribucion tienen el factor T n [ver la Ec. (20.80)], dondela temperatura T del mercado es un numero pequeno, cuyo orden es apenas uncierto porcentaje del tiempo, en las unidades naturales de un minuto usadas en estecontexto [ver la Fig. (20.11)]. Por supuesto, lo pequeno de T es una consecuenciade que los datos al minuto no poseen una volatilidad grande, excepto cerca de unacrisis economica. En las unidades naturales de minutos, el intervalo temporal ǫ enlos calculos posteriores a la Ec. (20.257) es la unidad, de tal manera que las potenciasde ǫ no pueden ser usadas para estimar la magnitud. Ahora el parametro importante

20.3 Martingalas 1559

es T . De hecho, dado que el orden de cn es T n, las fluctuaciones de zn(t) son deorden T n. De esta manera, en las fluctuaciones no Gaussianas de una serie temporaldiscreta, la pequenez de T da origen a una eliminacion de las fluctuaciones de ordensuperior. Mas aun, esta cancelacion es tambien correcta para la serie temporal delas fluctuaciones Gaussianas, donde para zn(t), n ≥ 2, el orden de las correcciones es(σ√

∆t)n−1. Para la distribucion de Boltzmann [recordemos la Ec. (20.198)], estascorrecciones son de orden T n−1. Una estimacion similar es valida para todas lasdistribuciones de ruido no Gaussianas cuyo decrecimiento es semi-abrupto, como sedefine al final de la Subseccion 20.1.1.

En decrecimientos semi-abruptos para los cuales los cumulantes cn decrecencomo una potencia T n, de la pequenez de parametro temperatura T , podemoseliminar los valores esperados del desarrollo de Ito dado en la Ec. (20.256) yconservar una formula aproximada de Ito para la diferencia de la fluctuacion∆f(x(tn)) ≡ f(x(tn+1)):

∆f(x(tn)) = f ′(x(tn))∆x(tn) − Hrx(i∂x)f(x(tn)) + O(σ√

∆t), (20.275)

la cual es una generalizacion directa de la version discreta hallada en la Ec. (18.432)del lema de Ito’s dado en la Ec. (18.413).

Una propiedad caracterıstica de la distribucion de Boltzmann hallada en laEc. (20.77), y otras distribuciones con decrecimientos semi-abruptos, es que suHamiltoniano posee una serie de potencias en terminos de p2 del tipo dado en laEc. (20.141), donde los cumulantes cn son finitos de orden σn, y donde σ es lavolatilidad de los datos al minuto. Esta propiedad se viola solo en el caso de de-crecimientos abruptos de la distribucion de los precios (ver la Fig. 20.10). Estosdatos no se obtienen de una convolucion multiple, la cual transforma la distribucionde Boltzmann a una distribucion Gaussiana, tal como lo requiere el teorema dellımite central dado por la Ec. (20.167). Estos decrecimientos abruptos se originanpor cambios drasticos en los precios para intervalos temporales cortos observadosen mercados nerviosos cercanos a un colapso financiero. Si estos decrecimientos setienen en cuenta, la version discreta del Lema de Ito’s hallada en la Ec. (18.432)ya no sera valida. Lo anterior sera un obstaculo al elaborar un portafolio libre deriesgos, como se vera en la Seccion 20.7.

20.3 Martingalas

En matematicas financieras a menudo encontramos el concepto de una martingala.El nombre proviene de una estrategia de casino en la cual el jugador dobla su apuestacada vez que pierde. Llamamos a la variable estocastica m(t) una martingala, si suvalor esperado es independiente del tiempo.

Obtenemos una martingala trivial para toda variable de ruido m(t) = η(t).


20.3.1 Martingalas Gaussianas

Para una variable de ruido armonica, debido a la Ec. (20.8), la exponencial m(t) =

e∫ t

0dt′η(t′)−σ2t/2 es una martingala no trivial. Por la misma razon, el precio de las

acciones S(t) = ex(t), donde x(t) obedece la ecuacion diferencial estocastica (20.140),puede convertirse en una martingala multiplicando apropiadamente por un factordependiente del tiempo asociado con la razon promedio de crecimiento rS, i.e., elproducto

e−rStS(t) = e−rStex(t) = e−rSterxt+∫ t

dt′ η(t′) (20.276)

sera una martingala. El prefactor e−rSt se conoce como el factor de descuento contasa rS. Si calculamos la distribucion de probabilidad hallada en la Ec. (20.162),asociada con la ecuacion diferencial estocastica dada en la Ec. (20.140), la cual parafluctuaciones armonicas con desviacion estandar σ le corresponde el Hamiltoniano

H(p) = irxp+σ2

2p2, (20.277)

La representacion integral para la distribucion de probabilidad dada por laEc. (20.162)

P rx(xbtb|xata) =∫ ∞

−∞

dp

2πexp

[

ip(xb − xa) − ∆t(

irxp+ σ2p2/2)]

(20.278)

donde ∆t = tb − ta, tiene obviamente el valor esperado temporal e−rStS(t) =e−rStex(t). De hecho, el valor esperado al tiempo tb estara dado por la integralsobre xb

e−rStb

∫

dxb exbP rx(xbtb|xata) = e−rStb

∫

dxb exb

∫ ∞

−∞

dp

2πexp

[

ip(xb− xa)−∆t σ2p2/2]

,

de donde obtenemos

e−rStb

∫ ∞

−∞

dp

2πδ(p− i)e−ipxae∆t σ2p2/2 = e−rStexae(rx−σ2/2)∆t = e−rStaexa , (20.279)

donde hemos usado la relacion de Ito rS = rx + σ2/2, dada en la Ec. (20.5). Esteresultado implica que

〈e−rStbS(tb)〉rx = 〈e−rStbex(tb)〉rx = e−rStaS(ta). (20.280)

Dado que es valido para todo tb podemos eliminar los subındices b, de donde obtene-mos la independencia temporal y de esa forma la naturaleza martingala de la ex-presion e−rStS(t).

En matematicas financieras, donde el valor esperado de la Ec. (20.280) se obtienede acuerdo con la definicion dada por la Ec. (20.189) como EE[e−rS(tb−ta)exb |xata], lapropiedad martingala de e−rS(tb−ta)S(t) se expresa como

EE[e−rS(tb−ta)S(tb)|xata] = S(ta) (20.281)


o como EE[e−rS(tb−ta)exb |xata] = exa .Para la martingala f(xb, tb) = e−rS(tb−ta)exb , utilizando las Ecs. (20.281) y

(20.192), los valores esperados del lado derecho de la formula de encumbramiento(20.191) se reducen a la forma:

EE[EE[f(xb, tb)|x t]|xata] = EE[EE[f(x, t)|x t]|xata] = EE[f(x, t)|xata], (20.282)

Utilizando una vez mas las Ecs. (20.281) y (20.192) obtenemos

EE[EE[f(xb, tb)|x t]|xata] = f(xa, ta). (20.283)

Hallando el valor de la integral del mometum dada en la Ec. (20.278) obtenemosexplıcitamente la distribucion

P rx(xbtb|xata) ≡1

√

2πσ2(tb − ta)exp

− [xb − xa − rx(tb − ta)]2

2σ2(tb − ta)

. (20.284)

Podemos incorporar el factor de descuento e−rS(tb−ta) en la distribucion de probabi-lidad dada en la Ec. (20.284) y definir la distribucion martingala para el precio delas acciones como

P (M,rx)(xbtb|xata) = e−rS(tb−ta)P rx(xbtb|xata), (20.285)

cuya normalizacion decae en la forma e−rS(tb−ta). Si definimos los valores esperadoscon respecto a PM,rx(xbtb|xata) mediante la integral (sin normalizacion)

〈f(xb)〉(M,rx) ≡∫

dxb f(xb)P(M,rx)(xbtb|xata), (20.286)

entonces el precio de las acciones es una martingala:

〈exb〉(M,rx) = exa . (20.287)

Notese que hay una familia entera de distribuciones martingala equivalentes

P (M,r)(xbtb|xata) = e−r∆t∫ ∞

−∞

dp

2πexp [ip(xb − xa) − ∆tHr(p)] , (20.288)

para la tasa r arbitraria, y donde rx ≡ r + H(i). De hecho, multiplicando esteresultado por exb e integrando sobre xb obtenemos la funcion δ(p − i), con lo cualencontramos el mismo resultado exa para toda diferencia temporal ∆t = tb − ta.Evaluando la integral obtenemos

P (M,r)(xbtb|xata) ≡e−r(tb−ta)

√


− [xb − xa − r(tb − ta)]2

2σ2(tb − ta)

. (20.289)

Estas distribuciones se conocen como martigalas de riesgo neutro.


20.3.2 Distribuciones Martingalas no Gaussianas

En el caso S(t) = ex(t) y para un ruido arbitrario no Gaussiano η(t), tenemos muchasformas de construir una distribucion que transforme el precio de las acciones en unamartingala.

Distribucion Martingala Natural

La relacion (20.268) nos permite escribir inmediatamente la distribucion martingalamas simple. Esta distribucion esta dada por una generalizacion de la expresionGaussiana hallada en la Ec. (20.276):

e−rStS(t) = e−rSterxt+∫ t

0dt′η(t′) (20.290)

donde rS y rx estan relacionadas mediante la expresion rS = rx − H(i) = −Hrx(i).Esta relacion se puede demostrar facilmente. La funcion de distribucion asociadaa la ecuacion diferencial estocastica dada en la Ec. (20.140) cuyas fluctuaciones noson Gaussianas sera

P rx(xbtb|xata) =∫

Dη∫

Dx exp

−∫ tb

tadt Hrx(η(t))

δ[x− rx(tb − ta)η], (20.291)

donde ∆t ≡ (tb− ta) y rx = rS + H(i). Como se discutio en la Subseccion 20.1.23, laintegral de trayectoria se resuelve con ayuda de la integral de Fourier [comparemoscon la Ec. (20.162)]

P rx(xbtb|xata) =∫ ∞

−∞

dp

2πexp [ip(xb − xa) − ∆tHrx(p)] . (20.292)

Utilizando esta distribucion podemos calcular de nuevo la independencia temporaldel valor esperado dado en la Ec. (20.280), de tal forma que PM,rx(xbtb|xata) =e−rS(tb−ta)P rx(xbtb|xata) es la distribucion martingala que muestra que el precio delas acciones es independiente del tiempo, tal como se mostro en la Ec. (20.287).

Notese que existe una familia entera de distribuciones martingalas

P (M,r)(xbtb|xata) = e−r∆t∫ ∞

−∞

dp

2πexp [ip(xb − xa) − ∆tHrx(p)] , (20.293)

cuya razon r es arbitraria y rx ≡ r + H(i). De hecho, multiplicando este resultadopor exb e integrando sobre xb obtenemos una funcion δ(p − i) y hallamos el mismoresultado exa para toda diferencia temporal ∆t = tb − ta.

En el caso de las fluctuaciones no Gaussianas hay un conjunto infinito de dis-tribuciones martingalas para el precio de las acciones, de las cuales discutiremosaquella propuesta por Esscher.


Martingales de Esscher

En la literatura matematica financiera se pone mucha atencion a otra familia equiva-lente de distribuciones martingalas, la cual se ha usado desde hace mucho tiempopara estimar los riesgos de los inversionistas [67] e introducida recientemente en lateorıa del precio de las opciones [68, 69], donde se utiliza ampliamente [70]–[76]. Esteconjunto se construye de la siguiente forma. Sea D(z) una funcion de distribucionarbitraria con transformada de Fourier

D(z) =∫ ∞

−∞

dp

2πe−H(p) eipz, (20.294)

y donde H(0) = 0, lo cual garantiza la normalizacion unitaria∫

dzD(z) = 1. Ahoraintroducimos la llamada funcion de distribucion transformada de Esscher . La cualse obtiene cambiando ligeramente la distribucion inicial D(z), al multiplicarla porel factor exponencial asimetrico eθz:

Dθ(z) ≡ eH(iθ) eθzD(z). (20.295)

El prefactor constante eH(iθ) es necesario para conservar la probabilidad total. Estadistribucion se puede escribir como una transformada de Fourier

Dθ(z) =∫ ∞

−∞

dp

2πe−Hθ(p) eipz, (20.296)

donde el Hamiltoniano transformado de Esscher, sera

Hθ(p) ≡ H(p+ iθ) −H(iθ). (20.297)

Dado que Hθ(0) = 0, la distribucion transformada estara normalizada de maneraapropiada:

∫

dzDθ(z) = 1. Definimos ahora el valor esperado transformado deEsscher

〈F (z)〉θ ≡∫

dzDθ(z)F (z). (20.298)

El cual esta relacionado con el valor esperado inicial mediante la expresion

〈F (z)〉θ ≡ eH(iθ) 〈eθzF (z)〉. (20.299)

Especıficamente, para la funcion F (z) = ez, la Ec. (20.299) sera

〈ez〉θ = e−Hθ(i) ≡ eHθ(iθ) 〈e(θ+1)z〉 = eH

θ(iθ)−Hθ(iθ+i). (20.300)

Aplicando la transformacion dada en la Ec. (20.296) a cada particion temporalde la integral de trayectoria general hallada en la Ec. (20.144), obtenemos la integralde trayectoria transformada de Esscher

P θ(xbtb|xata)=e−rS∆teHrx (iθ)∆t∫

Dη∫

Dx exp∫ tb

tadt[

θη(t)−Hrx(η(t))]

δ[x− η],

(20.301)


donde ∆t ≡ tb−ta es el intervalo temporal. Con este resultado obtenemos la integralde Fourier [comparemos con la Ec. (20.293)]

P θ(xbtb|xata) = e−rS∆teHrx (iθ)∆t∫ ∞

−∞

dp

2πexp [ip(xb − xa) − ∆tHrx(p+ iθ)] .(20.302)

Denotemos los valores esperados, calculados con esta probabilidad, en la forma〈 . . . 〉θ. Luego, si S(t) = ex(t) tendremos la dependencia temporal

〈S(t)〉θ = e−Hθrx

(i)t. (20.303)

Esta ecuacion muestra que la exponencial de una variable estocastica x(t), puedeconvertirse en una martingala, con respecto a una distribucion transformada deEsscher, si eliminamos el factor de crecimiento exponencial exp(rθ∆t), mediante

rθ ≡ −Hθrx(i) = −Hrx(i+ iθ) +Hrx(iθ). (20.304)

Es decir, una familia equivalente de distribuciones martingalas para el precio de lasacciones S(t) = ex(t) sera

PMθ(xbtb|xata) ≡ e−rθtP θ(xbtb|xata), (20.305)

para toda eleccion del parametro θ.Para la funcion de distribucion armonica dada por la Ec. (20.284), las martingalas

de Esscher y las martingalas anteriores son equivalentes. De hecho, utilizando en laEc. (20.284) los valores rS = rx + σ2/2, la transformada de Esscher dara, luego decompletar las cuadraturas, la familia natural de martingalas dada en la Ec. (20.284),donde el parametro de la tasa es r = rx + θσ2.

Otras Martingalas no Gaussianas

En la literatura se han discutido muchas otras martingalas no Gaussianas. Losmatematicos han ideado varios criterios sofisticados bajo los cuales deberıamospreferfir una martingala sobre la otra al calcular los riesgos financieros. Por ejemplo,Davis introdujo la llamada funcion de utilidad [77], la cual se supone que seleccionalas martingalas optimas para diferentes propositos. Tenemos tambien la llamadamartingala mınima [83], pero la base matematica de estas discusiones es dıficil deentender.

Para el desarrollo posterior de la teorıa de la valorizacion de las opciones, solola martingala natural inicial sera relevante.

20.4 Origen de los Decrecimientos Semi–Abruptos

Hemos indicado al final de la Subseccion 20.1.1 que el decrecimiento semi-abrupto,del tipo usado en las discusiones previas, puede verse como una descripcionfenomenologica de un proceso Gaussiano no trivial con fluctuaciones en la volatili-dad. Esta imagen se ha confirmado en la Subseccion 20.1.22, donde hemos expresado

20.4 Origen de los Decrecimientos Semi–Abruptos 1565

una diversidad de distribuciones no Gaussianas como una superposicion de distribu-ciones Gaussianas. Ademas, hemos visto que podemos hallar la transformada deLaplace de las funciones de peso wt(v) con ayuda de la cual podemos encontrar elHamiltoniano Hv(pv) con el cual deduciremos la distribucion de ruido que controlala ecuacion diferencial estocastica de la volatilidad.

Tenemos un modelo con una solucion simple, debido a Heston [78], que muestraexplıcitamente este hecho.8

20.4.1 Pareja de Ecuaciones Diferenciales Estocasticas

El punto de partida es una pareja acoplada de ecuaciones diferenciales estocasticascon ruido Gaussiano, una de las cuales representa la fluctuacion del logaritmo x(t)del precio de las acciones y la otra representa la fluctuacion de la varianza depen-diente del tiempo σ2(t). Dado que en la discusion posterior esta varianza apare-cera frecuentemente la llamaremos v(t). Por simplicidad, eliminaremos la razon decrecimiento de los precios. Reemplazando a la σ2 dada en la ecuacion diferencialestocastica (20.4), por la varianza dependiente del tiempo v(t) obtenemos

x(t) = −v(t)

2+√

v(t)η(t), (20.306)

donde la variable de ruido η(t) tiene un promedio igual a cero y volatilidad unitaria

〈η(t)〉 = 0, 〈η(t)η(t′)〉 = δ(t− t′). (20.307)

Suponemos que la varianza cumple con una ecuacion estocastica para la variable deruido ηv(t) [7]

v(t) = −γ[v(t) − v] + ε√

v(t)ηv(t). (20.308)

Ademas, suponemos tambien que el tiempo en√

v(t) es ligeramente anterior al

tiempo en el ruido ηv(t). El parametro ε determina la volatilidad de la varianza.El parametro v sera el promedio de la varianza para tiempos grandes, el cual seraproprocional a la varianza σ2 de la distribucion Gaussiana a la cual converge ladistribucion en el lımite de tiempos grandes, esto de acuerdo con el teorema dellımite central. La relacion completa sera presentada en la Ec. (20.363).

En general, se espera que las variables de ruido η(t) y ηv(t) exhiban correlacionesque se obtienen introduciendo una variable de ruido independiente η′(t) y definiendo

ηv(t) ≡ ρ η(t) +√

1 − ρ2η′(t). (20.309)

Entonces, el par de funciones de correlacion sera

〈η(t)η(t′)〉 = δ(t− t′), 〈η(t)ηv(t′)〉 = ρδ(t− t′), 〈ηv(t)ηv(t′)〉 = δ(t− t′). (20.310)

8La discusion de esta seccion se sigue del artıculo de Dragulescu and Yakovenko [79].


20.4.2 Ecuacion de Fokker-Planck

Si (t) denota a la pareja de variables de ruido (η(t), ηv(t)), la distribucion deprobabilidad analoga a la Ec. (18.324), para las trayectorias x(t), v(t) que inicianen xa, va y terminan en x, v, sera

P

(x v t |xavata) = δ(xη(t) − x)δ(vηv(t) − v). (20.311)

La evolucion temporal de esta probabilidad se calcula utilizando la regla de diferen-ciacion dada en la Ec. (18.381),

∂tP(x v t |xavata) = − [∂xxη(t) + ∂v vηv(t)]P

(x v t |xavata), (20.312)

o mas explıcitamente

∂tP(x v t |xavata)=

∂x

[

v(t)

2−√

v(t)η(t)

]

+ ∂v

[

γ (v(t) − v) − ε√

v(t)ηv(t)]

P

(x v t |xavata). (20.313)

Ahora, para la distribucion

P []=exp

−1

2

∫

dt[

η2(t)+η′2(t)]

=exp

− 1

1−ρ2∫

dt[

η2(t)+η2v(t)−2ρ ηηv]

,

(20.314)

hallamos el promedio del ruido dado en la Ec. (18.325). Utilizando las reglas (18.385)y (18.386), podemos reemplazar η(t) y ηv(t) en el lado derecho de la Ec. (20.313):

η(t) → −δ/δη(t) − ρ δ/δηv(t) (20.315)

ηv(t) → −ρ δ/δη(t) − δ/δηv(t). (20.316)

En analogıa con la Ec. (18.388), las derivadas funcionales se evaluan en la forma

δ

δη(t′)δ(xη(t) −x)δ(vηv(t) −v) = −

[

δxη(t)

δη(t′)∂x +

δvηv(t)

δη(t′)∂v

]

δ(xη(t) −x)δ(vηv(t) −v),

(20.317)

con una ecuacion similar para δ/δηv(t). Con la hipotesis de que√

v(t) sucede antes

que ηv(t), hallamos la ecuacion de evolucion

∂tP (x v t |xavata) = −H P (x v t |xavata), (20.318)

donde H es el operador Hamiltoniano

H = −1

2∂2x v −

1

2∂x v −

ε2

2∂2v v − γ∂v(v − v) − ρε∂x∂v v. (20.319)


Ası, la distribucion de probabilidad se puede escribir como la integral de trayectoria

P (xbvbtb|xavata) =∫

Dx∫ Dp

2π

∫

Dv∫ Dpv

2π

× exp∫ tb

tadt [i(px + pvv) −H(p, pv, v)]

, (20.320)

con Hamiltoniano

H(p, pv, v)=p2

2v−i1

2pv +ε2

p2v2v−iγpv(v − v)+ρε ppv v−

3ε2

4ipv−

γ

2− i

2ρǫp. (20.321)

Los ultimos dos terminos se obtienen del hecho de que en H el orden de los ope-radores obtenidos de la integral de trayectoria son siempre simetricos con respectoa v y pv, tal que el orden en la Ec. (20.319) se obtiene solo despues de hacer elreemplazo pvv → (1/2)pv, v = pvv + i/2 en el cuarto y quinto terminos de laEc. (20.321). Recordemos la discusion dada en las Secciones 10.5 y 11.3 y en laSubseccion 18.9.2.

El tercer termino de la Ec. (20.321) sirve para asegurar la presencia del operador∂2v v en la Ec. (20.319), sin el operador ∂v extra obtenido del ordenamiento de losoperadores. El termino p2vv en la Ec. (20.321) puede verse como un termino cineticogµνp

µpν en un espacio unidimensional de Riemann con metrica gµν = δµν/v. Deacuerdo a la Subseccion 11.1.1 este operador se transforma en el operador de Laplace-Beltrami ∆ =

√v∂2v

√v∂v= v∂2v + 1

2∂v= ∂2vv− 3

2∂v. El factor ∂v extra se cancela con

el tercer termino de la Ec. (20.319).La ecuacion diferencial estocastica (20.308) puede, en principio, dar origen a va-

rianzas negativas. Dado que este resultado no tiene sentido fısico, debemos garan-tizar que esto no sucedera. La condicion para eliminar esta posibilidad es que elancho de la fluctuacion de la varianza sea lo sufucientemente pequeno, tal que secumpla que

ε2

2γv≤ 1. (20.322)

De tal forma que si v(t) es inicialmente positiva, siempre sera positiva. De hecho,consideremos la ecuacion diferencial parcial (20.318) para el caso v = 0:

(∂t + α∂v)P (x v t |xavata) = (γ + ρε∂x)P (x v t |xavata), (20.323)

donde α ≡ γv − ε2/2. La cual tendra como solucion la funcion

P (x v t |xavata) = f(v − αt, x), (20.324)

este resultado muestra que para valores positivos de v una funcion f distinta de ceronunca se propagara a valores negativos de v.9

9Ver tambien la pag. 67 del Texto [8].


La dependencia temporal de la varianza esta dada por la integral

P (v t |vata) ≡∫

dxP (x v t |xavata), (20.325)

la cual cumple con la ecuacion

∂

∂tP (v t |vata) =

[

ε2

2∂2vv + γ∂v(v − v)

]

P (v t |vata), (20.326)

misma que se obtiene de la expresion (20.318) al integrar sobre x. Para tiemposmuy grandes, la solucion tiende a ser estacionaria y sera

P ∗(v) =µν

Γ(ν)vν−1e−µv, donde µ ≡ 2γ

ε2, ν ≡ µv. (20.327)

Este resultado es la distribucion Gama mostrada en la Fig. 20.3. Ası, la pareja deecuaciones diferenciales estocasticas (20.306) y (20.308) reproducen las fluctuacionesde la volatilidad observadas en los datos financieros anteriores.

El maximo de P ∗(v) se encuentra ligeramente debajo de v, en vmax = (ν−1)/µ =v−ε2/2γ [recordemos la Ec. (20.72)]. Si definimos el peso w de P ∗(v) por la curvatura

en el maximo, hallamos que w =√

vmaxε2/2γ. La forma de P ∗(v) estara definidapor el cociente

vmax

w=

√

2γv

ε2− 1. (20.328)

La magnitud de las fluctuaciones de la varianza estan restringidas por la condiciondada en la Ec. (20.322), lo cual garantiza que v(t) es positiva en todo momento.La distribucion dada en la Ec. (20.327) esta graficada en la Fig. 20.21. Como unaprueba, podemos hallar el lımite ε2/2γv → 0 donde las fluctuaciones de la varianzase mantienen fijas. El cociente vmax/w diverge y la distribucion P ∗(v) tiende a lafuncion δ(v − v), como es de esperar.

20.4.3 Solucion a la Ecuacion de Fokker-Planck

Dado que el operador Hamiltoniano hallado en la Ec. (20.319) no dependeexplıcitamente de x, podemos hacer uso de la invarianza traslacional y represen-tar a P (x v t |xavata) como una integral de Fourier

P (x v t |xavata) =∫

dp

2πeip(x−xa) Pp(v t |vata). (20.329)

La probabilidad para un momentum definido cumple con la ecuacion de Fokker-Planck

∂tPp(v t |vata)=

[

γ∂

∂v(v−v) − p2−ip

2v − iρεp

∂

∂vv − ε2

2

∂2

∂v2v

]

Pp(v t |vata). (20.330)


0 1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

P ∗(v)

v/v

Figure 20.21 Distribucion estacionaria de la varianza dada en la Ec. (20.327), donde

los parametros que reproducen los datos Dow-Jones de la Fig. 20.22 estan dados en la

Tabla 20.1. Comparemos con la Fig. 20.3.

Esta expresion es una ecuacion diferencial parcial de segundo orden y es lineal parala variable v. Por lo que resulta conveniente trabajar en el espacio de Fourier de v,con lo cual

Pp(v t |vata) =∫ dpv

2πeipvv Pp(pv t |vata), (20.331)

la cual es solucion de la ecuacion diferencial parcial de primer orden

[

∂

∂t+

(

Γpv +iε2

2p2v +

ip2 + p

2

)

∂

∂pv

]

Pp(pv t |vata) = −iγv pv Pp(pv t |vata), (20.332)

donde hemos usado la abreviacion

Γ(p) ≡ γ + iρεp. (20.333)

Dado que la condicion inicial para Pp(v t |vata) esta dada por la funcion δ(v − va),la transformada de Fourier tendra la condicion inicial

Pp(pv ta|vata) = e−ipvva . (20.334)

La solucion de la ecuacion diferencial parcial de primer orden, Ec. (20.332), seencuentra por el metodo de las caracterısticas [9]:

Pp(pv t|vata) = exp[

−ipv(ta)va − iγv∫ t

tadt′ pv(t

′)]

, (20.335)

donde la funcion pv(t) es la solucion de la ecuacion diferencial caracterıstica

dpv(t)

dt= Γ(p)pv(t) +

iε2

2p2v(t) +

i

2(p2 − ip), (20.336)


y donde la condicion de frontera es pv(tb) = pv. La ecuacion diferencial es del tipoRiccati con coeficientes constantes [10], su solucion es de la forma

pv(t) = −i2Ω(p)

ε21

ζ(p, pv)eΩ(p)(tb−t) − 1+ i

Γ(p) − Ω(p)

ε2, (20.337)

donde hemos introducido la frecuencia compleja

Ω(p) =√

Γ2(p) + ε2(p2 − ip), (20.338)

y los coeficientes son

ζ(p, pv) = 1 − i2Ω(p)

ε2pv − i[Γ(p) − Ω(p)]. (20.339)

Hallando la transformada de Fourier, obtenemos la solucion de la ecuacion de Fokker-Planck original, Ec. (20.318):

P (x v t |xavata) =∫ ∫ +∞

−∞

dp

2π

dpv2π

eipx+ipvv

× exp

−ipv(ta)va +γv[Γ(p)−Ω(p)]

ε2∆t− 2γv

ε2lnζ(p, pv)−e−Ω(p)∆t

ζ(p, pv) − 1

, (20.340)

donde ∆t ≡ t− ta es el intervalo temporal.

20.4.4 Distribucion Dependiente de x

Mostraremos ahora que al promediar sobre la varianza obtenemos una distribucionno Gaussiana, que depende de x, con decrecimiento semi-abrupto parecido al obser-vado en los datos financieros reales. Veamos entonces la distribucion de probabilidad

P (x t |xavata) ≡∫ +∞

−∞dv P (x v t |xavata), (20.341)

donde se ha integrado sobre la variable final v. La integracion de la Ec. (20.340)sobre v da origen a una funcion δ(pv), la cual impone la condicion pv = 0. De estaforma obtenemos

P (x t |xavata) =∫ +∞

−∞

dp

2πeipx−

p2−ipΓ+Ωcoth (Ω∆t/2)

va+γΓv

ε2∆t− 2γv

ε2ln(cosh Ω∆t

2+ Γ

Ωsinh Ω∆t

2 ), (20.342)

donde, por brevedad, hemos omitido los argumentos de Γ(p) y Ω(p). Como unaprueba de este resultado consideremos el caso especial ε = 0, donde la evoluciontemporal de la varianza es determinista:

v(t) = v + (va − v)e−γ∆t. (20.343)


Hallando la integral sobre p en la Ec. (20.342), obtenemos

P (x t |xatava) =1

√

2π(t− ta)v(t)exp

− [x + v(t)(t− ta)/2]2

2v(t)

, (20.344)

donde v(t) representa el promedio temporal de la varianza

v(t) ≡ 1

∆t

∫ t

tadt′ v(t′). (20.345)

En este lımite, la distribucion sera Gaussiana. Por supuesto, se puede obtener elmismo resultado directamente de la ecuacion diferencial estocastica (20.306).

El resultado hallado en la Ec. (20.342) no puede compararse directamente conla serie temporal de los datos financieros, ya que depende de los valores inicialesdesconocidos de la varianza va. Supongamos que va tiene la distribucion de probabi-lidad estacionaria inicial P ∗(va), dada por la Ec. (20.327).10 Luego, evaluamos ladistribucion de probabilidad P (x t |xata), promediando la Ec. (20.342) sobre va conpeso P ∗(va):

P (x t |xata) =∫ ∞

0dva P

∗(va)P (x t |xatava). (20.346)

El resultado final tiene la representacion de Fourier

P (x t |xata) =∫ +∞

−∞

dp

2πeip∆x−∆tH(p,∆t), (20.347)

donde ∆x ≡ x− xa, mientras que el Hamiltoniano H(p,∆t) tiene la forma

H(p,∆t)=−γΓ(p)v

ε2+

2γv

ε2∆tln

[

coshΩ(p)∆t

2+

Ω2(p)−Γ2(p)+2γΓ(p)

2γΩ(p)sinh

Ω(p)∆t

2

]

.

(20.348)

En ausencia de correlaciones entre las fluctuaciones del precio de las acciones y lavarianza, i.e., para ρ = 0, el segundo termino en el lado derecho de la Ec. (20.348)se anula. El resultado simplificado se discute en el Apendice 20B.

El Hamiltoniano general dado en la Ec. (20.348) se anula para p = 0. Estogarantiza la normalizacion unitaria de la distribucion dada en la Ec. (20.347), paratodo tiempo:

∫

dxP (x t |xata) = 1. El primer coeficiente del desarrollo en potenciasde p del Hamiltoniano H(p,∆t), es [recordemos la definicion dada en la Ec. (20.54)]

c1(∆t) = − v2− ρ

ǫ∆t

(

1 − e−γ∆t)

. (20.349)

Hemos agregado el argumento ∆t para enfatizar la dependencia temporal. Agre-gando el termino ic1(∆t)p al Hamiltoniano H(p,∆t), obtenemos que el primer

10La determinacion de la distribucion de probabilidad empırica de las volatilidades para el ındiceS&P 500 puede verse en la Ref. [2].


termino de H(p,∆t) es cuadratico en p, de acuerdo con nuestra definicion generaldada en la Ec. (20.65):

H(p,∆t) ≡ H(p,∆t) − ic1(∆t)p = H(p,∆t) + i[

v

2+

ρ

ǫ∆t

(

1 − e−γ∆t)

]

p. (20.350)

La distribucion P (x t |xata) es real ya que ReH es una funcion par de p, mientrasque ImH es una funcion impar de p.

En general, la integral dada en la Ec. (20.347) debe calcularse numericamente.Sin embargo, el rango interesante de los valores lımites ∆t ≫ 1 y x≫ 1 puedeestudiarse analıticamente. Estos lımites sera analizados en las Subsecciones 20.4.5 y20.4.6. En la Fig. 20.22, se presentan, en lınea solida, las distribuciones P (x t |xata)calculadas para diferentes incrementos de los intervalos temporales y se comparancon los datos Dow-Jones correspondientes, presentados por puntos. Los detallestecnicos del analisis de los datos se explican en el Apendice 20C. La figura muestraque con el conjunto fijo de cinco parametros γ, v, ε, µ y ρ, la distribucion halladaen la Ec. (20.347), donde usamos el Hamiltoniano dado en la Ec. (20.348), repro-duce extremadamente bien los datos en toda la escala temporal ∆t. En la graficalogarıtmica los decrecimientos de los extremos de la distribucion decaen linealmente.

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

100

101

102

103

104

Dow Jones data, 1982-2001

1 day

5 days

20 days

40 days

250 days

-0.4 -0.2 0 0.2

1

10

100

∆t = t−ta

∆x = x− xa

P (x t |xata)

Figure 20.22 Distribucion de probabilidad del logaritmo del precio de las acciones para

diferentes escalas temporales (tomado de la Ref. [79]). Para fines de comparacion, en

funcion del incremento temporal ∆t, los datos de han desplazado en unidades de 10 hacia

arriba. Los valores no desplazados se muestran en el recuadro.

20.4.5 Comportamiento para Tiempos Grandes

De acuerdo a la Ec. (20.308), la varianza tiende al valor de equilibrio v para eltiempo de relajacion temporal caracterıstico 1/γ. Estudiemos el lımite en el cual


el intervalo temporal ∆t es mucho mayor que el tiempo de relajacion: γ∆t ≫ 1.De acuerdo a las Ecs. (20.333) y (20.338), esta condicion implica que Ω(p)∆t ≫ 1.Entonces, la Ec. (20.348) se simplifica a la forma

H(p,∆t) ≈ γv

ε2[Ω(p) − Γ(p)]. (20.351)

La integral de Fourier dada en la Ec. (20.347) puede hallarse facilmente luego deutilizar el cambio de variable de integracion

p = C p+ ip0, (20.352)

donde

C ≡ ω0

ε√

1 − ρ2, ω0 ≡

√

γ2 + ε2(1 − ρ2)p20, p0 ≡ε− 2ργ

2ε(1 − ρ2). (20.353)

Luego, la integral dada en la Ec. (20.347) tendra la forma

P (x t |xata) =C

πe−p0∆x+Λ∆t

∫ ∞

0dp cos(Ap)e−B

√1+p2 , (20.354)

donde

A = C(

∆x + ργv

ε∆t)

, B =γvω0

ε2∆t, (20.355)

y

Λ =γv

2ε22γ − ρε

1 − ρ2. (20.356)

La integral de la Ec. (20.354) es igual a11 BK1(√A2 +B2)/

√A2 +B2, donde K1(y)

es la funcion modificada de Bessel, de tal forma que para ∆t≫ 1 la distribucion deprobabilidad dada en la Ec. (20.347) se puede representar en la forma

P (x t |xata) = N(∆t) e−p0∆xF ∗(y), F ∗(y) = K1(y)/y, (20.357)

donde el argumento de las funciones es

y ≡√A2 +B2 =

ω0

ε

√

√

√

√

(∆x + ργv∆t/ε)2

1 − ρ2+(

γv∆t

ε

)2

, (20.358)

y el factor de normalizacion dependiente del tiempo es

N(∆t) =ω20γv

πε3√

1 − ρ2∆t eΛ∆t. (20.359)

Ası, salvo los factores N(∆t) y e−p0∆x, la relacion entre P (x t |xata) y los argumentos∆x y ∆t esta contenida en el argumento de escala y de la funcion F ∗(y). En una


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

10-6

10-4

10-2

100

102

Dow-Jones data, 1982-2001

10 days20 days30 days40 days80 days100 days150 days200 days250 days

y

RenormalizedDistribution

Figure 20.23 Funcion de distribucion renormalizada P (x t |xata)ep0∆x/N(∆t), repre-

sentada como funcion del argumento de escala y definido en la Ec. (20.358). La curva

continua muestra la funcion universal F ∗(y) = K1(y)/y (tomado de la Ref. [79]).

representacion grafica de los datos como funcion de y, para diferentes valores de ∆xy ∆t, se espera que estos datos esten descritos por la curva universal F ∗(y). Enla Fig. 20.23 se puede observar que, en el lapso de las ultimas siete decadas, paradiferentes valores de ∆t los datos Dow-Jones se ajustan muy bien mediante la curvaF ∗(y).

En el lımite y ≫ 1, podemos usar la expresion K1(y) ≈ e−y√

π/2y, de dondeencontramos el comportamiento asintotico

lnP (x t |xata)N(∆t)

≈ −p0∆x− y. (20.360)

Examinemos esta expresion para valores grandes y pequenos de |∆x|. En elprimer caso tenemos que |∆x| ≫ γv∆t/ε y de la Ec. (20.358) hallamos y ≈ω0|∆x|/ε

√1 − ρ2, de tal forma que de la Ec. (20.360) obtenemos

lnP (x t |xata)N(∆t)

≈ −p0∆x− c|∆x|. (20.361)

Es decir, para valores grandes de |∆x| la distribucion de probabilidad P (x t |xata)tiene el decrecimiento exponencial dado por la Ec. (20.361). Notese que en el lımiteactual, i.e., γ∆t ≫ 1, las pendientes de los decrecimientos exponenciales son in-dependientes de ∆t. La presencia de p0 da origen a que, para valores positivos ynegativos de ∆x, las pendientes sean diferentes, de tal forma que la distribucion

11Ver I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, op. cit., Formula 3.914.


0 10 20 30 40 50 60 70 800

20

40

60

80

100

120

140

160

1800 1 2 3

∆t

−d logP (x t |xata))/dx

γ∆t

Figure 20.24 La curva continua muestra la pendiente, −d log P (x t |xata)/dx, del decreci-

miento exponencial de la distribucion en funcion del tiempo. Los puntos indican la aproxi-

macion analıtica para tiempos cortos obtenida de la Ec. (20.369) (tomado de la Ref. [79]).

P (x t |xata) no muestra un ascenso-descenso simetrico con respecto a la variacion delos precios. De la definicion de p0, dada en la Ec. (20.353), vemos que esta asimetrıaaumenta para una correlacion negativa, ρ < 0, entre el precio de las acciones y lavarianza.

En el segundo caso |∆x| ≪ γv∆t/ε, del desarrollo de Taylor de la Ec. (20.358),en teminos de y, cerca del mınimo y sustituyendo el resultado en la Ec. (20.360)obtenemos

lnP (x t |xata)N ′(∆t)

≈ −p0∆x−ω0(∆x + ργv∆t/ε)2

2(1 − ρ2)γv∆t, (20.362)

donde N ′(∆t) = N(∆t) exp(−ω0γv∆t/ε2). Ası, para valores pequenos de |∆x| ladistribucion de probabilidad P (x t |xata) es una Gaussiana, cuyo ancho

σ2 =(1 − ρ2)γv

ω0

∆t (20.363)

crece linealmente como funcion de ∆t. El maximo de P (x t |xata) sera

∆xm(t) = ∆rS∆t, donde ∆rS ≡ − γv

2ω0

[

1 + 2ρ(ω0 − γ)

ε

]

. (20.364)

Este maximo se mueve con razon constante ∆rS, el cual se adiciona a la tasa prome-dio de crecimiento rS de S(t), mismo que se habıa omitido desde el inicio de ladiscusion. Por lo tanto, la razon final de crecimiento de S(t) es rS = rS + ∆rS.


La discusion anterior muestra la propiedad de los datos ilustrada en la Fig. 20.22,donde encontramos que el grafico logarıtmico de P (x t |xata) es lineal en los bor-des y cuadratico cerca de los maximos, donde los parametros estan dados por lasEcs. (20.361) y (20.362).

Conforme el tiempo avanza, la distribucion se ensancha de acuerdo con el es-calamiento dado en las Ecs. (20.357) y (20.358). En el lımite ∆t→ ∞, la expresionasintotica (20.362) es correcta para todo ∆x y la distribucion es cada vez mas Gau-ssiana, tal como lo requiere el teorema del lımite central [22].

Es interesante cuantificar la fraccion f(∆t) de la probabilidad total contenida enla parte Gaussiana de la curva. Esta fraccion se muestra en la Fig. 20.25. La formaprecisa de como se define y calcula la fraccion f(∆t) se explica en el Apendice 20B. Elrecuadro de la Fig. 20.25 muestra que para tiempos grandes la dependencia temporalde la densidad de probabilidad en el maximo xm tiende a ∆t−1/2, propiedad que escaracterıstica de la evolucion de las distribuciones Gaussianas.

0 40 80 120 160 200 2400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 10 1001

10

100

f(∆)

P (xmt |xata)

∆t

∆t

Figure 20.25 Fraccion f(∆t), de la probabilidad total contenida en la parte Gaussiana

de P (x t |xata), en funcion del intervalo temporal ∆t. El recuadro muestra la dependencia

temporal de la densidad de probabilidad en el maximo P (xmt |xata) (curva en puntos) y

se compara con el decrecimiento ∝ ∆t−1/2 de la distribucion Gaussiana (curva continua).

20.4.6 Comportamiento del Decrecimiento para todo Tiempo

Para valores grandes de |∆x|, el integrando de la Ec. (20.347) oscila rapidamentecomo funcion de p, de tal forma que la integral se puede evaluar en la aproximaciondel punto de inflexion discutido en la Seccion 4.2. Al igual que en la evaluacionde la integral (17.9) movemos el contorno de integracion al plano complejo p hastaque el contorno contenga al punto de inflexion principal del exponente ip∆x −


ps

p1

+

p2

+

p3

+

p1

-

p2

00

-iq-

-

iq+

Im p

Re p

Figure 20.26 Singularidades de H(p,∆t) en el plano complejo p ( representadas con

puntos). Para γ∆t ≫ 1, las cruces encerradas en cırculos indican las posiciones lımite

±iq±∗ de las singularidades. El punto marcado con una cruz muestra el punto de inflexion

ps localizado en el plano superior para ∆x > 0. La lınea a trazos es el contorno de

integracion desplazado para cruzar sobre el punto de inflexion ps.

∆tH(p,∆t). Para determinar su posicion notemos que, en el plano complejo p lassingularidades de la funcion H(p,∆t), hallada en la Ec. (20.348), seran cuando elargumento del logaritmo se anula. Estos puntos estan localizados en el eje imagi-nario p y se muestran en la Fig. 20.26. Las singularidades relevantes son aquellasque estan cerca del eje real. Estas singularidades estan localizadas en los puntos p+1y p−1 , donde encontramos que el argumento del segundo logaritmo de la Ec. (20.348)se anula. Cerca de estos ceros podemos aproximar la funcion H(p,∆t) mediante eltermino singular:

H(p,∆t) ≈ 2γv

ε2∆tlog(p− p±1 ). (20.365)

En esta aproximacion, la posicion del punto de inflexion ps = ps(∆x) se determinapor la ecuacion

i∆x = ∆tdH(p,∆t)

dp

∣

∣

∣

∣

∣

p=ps

≈ 2γv

ε2×

1

ps − p+1, ∆x > 0,

1

ps − p−1, ∆x < 0.

(20.366)

Las soluciones se indican mediante cruces en la Fig. 20.26. Puede verse que la aproxi-macion dada por la Ec. (20.366) puede utilizarse dado que para valores grandes de|∆x| se cumple la condicion |∆xp±1 | ≫ γv/ε2, i.e., el punto de inflexion ps esta muy


cercano a las singularidades. Sustituyendo la aproximacion hallada en la Ec. (20.366)en la integral de Fourier dada en la Ec. (20.347), obtenemos la expresion asintoticapara la distribucion de probabilidad

P (x t |xata) ∼

e−∆x q+t , ∆x > 0,

e−|∆x| q−t , ∆x < 0,(20.367)

donde q±t ≡ ∓ip±1 (t) son reales y positivos. Luego, el decrecimiento de la dis-tribucion de probabilidad P (x t |xata) para valores grandes de |∆x| es exponen-cial para todo valor de t. Las pendientes de los graficos logarıtmicos, paraq± ≡ ∓ d log(x t |xata)/dx, estan determinadas por las posiciones p±1 de las singulari-dades cercanas al eje real.

Las posiciones p±1 dependen del intervalo temporal ∆t. Para tiempos muchomenores que el tiempo de relajacion (γt ≪ 1), las singularidades estan lejos del ejereal. Cuando aumenta el tiempo, las singularidades se acercan al eje real. Paratiempos mucho mayores que el tiempo de relajacion (γ∆t ≫ 1), las singularidadesse acercan a los puntos lımite p±1 → ±iq±∗ , los cuales se han marcado con las crucesencerradas en cırculos en la Fig. 20.26. Los valores lımite son

q∗± = ±p0 +

ω0

ε√

1 − ρ2para γ∆t ≫ 1. (20.368)

Las pendientes q±(∆t) se aproximan a estos valores de manera monotona en exceso.El comportamiento se muestra en la Fig. 20.24. Por supuesto, las pendientes dadasen la Ec. (20.368) estan de acuerdo con la Ec. (20.361) en el lımite γ∆t ≫ 1. Enel lımite opuesto, para tiempos cortos (γ∆t ≪ 1), encontramos el comportamientotemporal analıtico

q±(∆t) ≈ ±p0 +

√

p20 +4γ

ε2(1 − ρ2)∆tpara γ∆t≪ 1. (20.369)

Esta aproximacion se muestra con la curva en puntos en la Fig. 20.24.

20.4.7 Calculo de la Integral de Trayectoria

En lugar de resolver la ecuacion (20.330) de Fokker-Planck, podemos estudiar di-rectamente la integral de trayectoria de la distribucion de probabilidad utilizandoel Hamiltoniano dado en la Ec. (20.321). Comparando con el operador dado en laEc. (20.319) notemos que ahora tenemos dos terminos extra. Estos terminos tienenen cuenta el operador de orden simetrico implicado en la integral de trayectoria. Ladistribucion Pp(vb, tb|vata) introducida en la Ec. (20.329), para el momentum fijo,tiene la siguiente representacion en terminos de la integral de trayectoria

Pp(vb, tb|vata) =∫

Dv Dpv2π

eAp[pv,v], (20.370)


donde la accion es

Ap[pv, v] =∫ tb

tadt [ipvv −H (p, pv, v)] . (20.371)

La integral de trayectoria de la Ec. (20.370) es una suma sobre todas las trayectoriaspv(t) y v(t), cuyas condiciones de frontera son v(ta) = va y v(tb) = vb.

Conviene integrar por partes el primer termino en la Ec. (20.371) y separar eloperador H (p, pv, v) en una parte independiente de v iγvpv − iγ/2 − iρǫp/2 y untermino lineal [∂H (p, pv, v) /∂v]v, con lo cual tenemos

Ap[pv, v] = i[pv(tb)vb − pv(ta)va] − iγv∫ tb

tadt pv(t)(tb − ta)

−∫ tb

tadt

[

ipv(t) +∂H

∂v(t)

]

v(t). (20.372)

Dado que en esta expresion la trayectoria v(t) aparece linealmente, podemos evaluarla integral y obtener la funcional δ [pv(t) − pv(t)], donde pv(t) es la solucion para laecuacion del Hamiltoniano pv(t) = i∂H/∂v(t). Sin embargo, este resultado coin-cide exactamente con la ecuacion diferencial caracterıstica (20.336), misma que fueresuelta mediante la Ec. (20.337), donde utilizamos la condicion de frontera pv(tb) =pv. Evaluando la integral de trayectoria sobre Dpv eliminamos la funcional delta yhallamos

Pp(vb, tb|vata) =

+∞∫

−∞

dpv2π

J ei[pvv−pv(ta)va]−iγθ∫ t

0dt pv(t)+(γ−iρǫp)(tb−ta)/2, (20.373)

donde J representa el Jacobiano

J = Det−1

(

i∂t +∂2H(p, pv, v)

∂pv∂v

)

. (20.374)

De la Ec. (20.321) vemos que

∂2H(p, pv, v)

∂pv∂v= −iγ + ρǫp. (20.375)

De acuerdo con la formula (18.254), esta expresion es igual a

J = e−(γ−iρǫp)(tb−ta)/2,, (20.376)

con lo cual se cancela el ultimo termino en el exponente del integrando de laEc. (20.373). Por lo tanto, el resultado para Pp(vb, tb|vata) es el mismo al obtenidopara la ecuacion de Fokker-Planck (20.331), cuya transformada de Fourier esta dadapor la Ec. (20.335).


20.4.8 Distribucion Martingala Natural

Calculemos las martingalas naturales asociadas con el Hamiltoniano de laEc. (20.348). Reinsertando el termino de deriva rs removido inicialmente, el Hamil-toniano total sera

Htot(p,∆t) = H(p,∆t) + irSp. (20.377)

Para construir la martingala de acuerdo a la regla de la Subseccion 20.1.11, necesi-tamos conocer el valor de H(p,∆t) para el momentum p = i. La expresion es algocomplicada, pero el analisis de los datos Dow-Jones del Apendice 20C muestra queel parametro ρ, que determina la magnitud de las correlaciones entre las funcionesde ruido η(t) y ηv(t) [ver la Ec. (20.310)], es pequeno. Por lo tanto basta con hallarsolo los primeros dos terminos de la serie en potencias de ρ del desarrollo de Taylorde H(i,∆t):

H(i,∆t) ≈ v

ǫ∆t

(

1−e−γ∆t)

ρ+v

4γ∆t

[

3 − 2e−γ∆t (1+2γ∆t) − e−2γ∆t]

ρ2. (20.378)

De lo cual obtenemos

H(i,∆t) = H(i,∆t) + c1(∆t). (20.379)

El analogo a la martingala dada en la Ec. (20.291) estara dado por la integral deFourier hallada en la Ec. (20.292), donde Hrx(p) se reemplaza por el HamiltonianoHtot

rx(∆t)(p,∆t) dado en la Ec. (20.350):

P (M,rS)(xbtb|xata) = e−r(∆t)∆t∫ ∞

−∞

dp

2πexp

[

ip(xb − xa) − ∆tHtotrx(∆t)(p,∆t)

]

.(20.380)

Ahora, el termino lineal irx(∆t)p del Hamiltoniano Htotrx(∆t)(p,∆t) sera dependiente

del tiempo:

rx(∆t) = rS + c1(∆t) + H(i,∆t). (20.381)

De esto encontramos que la razon en el prefactor exponencial, de donde obtenemosque la distribucion es una martingala, es una cantidad dependiente del tiempo:

r(∆t) = rS + c1(∆t). (20.382)

En analogıa con la Ec. (20.293), hay una familia entera de martingalas naturales lascuales se obtienen reemplazando rS por una razon de crecimiento r arbirtraria, encuyo caso r(∆t) sera igual a r + c1(∆t).

20.5 Series Temporales

Los verdaderos precios del mercado no son una funcion temporal continua, sino quese almacenan en intervalos temporales discretos. Para las acciones que tienen un

20.6 Descomposicion Espectral del Comportamiento del Rendimiento 1581

bajo volumen, solo se almacenan los precios al dıa. Mientras que las acciones que secomercializan en grandes cantidades, los precios cambian por minuto. Estos casosse almacenan en una serie temporal S(tn). En el ano 2003, Robert Engle recibioel premio Nobel por su descripcion de la serie temporal con ayuda de los llamadosmodelos ARCH (del ingles autoregressive conditional heteroskedasticity model) y lageneralizacion propuesta por Tim Bollerslev [85], los modelos GARCH. El primermodelo contiene un parametro entero q y se define por una modificacion discretade la pareja de ecuaciones diferenciales estocasticas (20.306) y (20.308), para ellogaritmo de la renta y la varianza, respectivamente

x(tn) =√

v(tn−1)η(tn), v(tn) = v0 +q∑

k=1

αk(tn−k)x2(tn−k), (20.383)

mediante la variable de ruido blanco η(tn). El termino de deriva se ha omitido,de tal forma que 〈x(tn)〉 = 0. Este es el llamado modelo ARCH(q). El segundomodelo es una generalizacion de este, en el cual la ecuacion de la varianza contieneun termino extra que involucra los anteriores p-valores de σ2:

v(tn) = v0 +q∑

k=1

αk(tn−k)x2(tn−k) +

p∑

k=1

βk(tn−k)v(tn−k). (20.384)

El proceso ARCH(1) tiene valores esperados independientes del tiempo tanto dela varianza como de la kurtosis

σ2 = 〈v(tn)〉 =v0

1 − α1, κ =

〈x4(tn)〉c〈x2(tn)〉2c

=6α2

1

1 − 3α21

. (20.385)

Para el proceso GARCH(1,1), estas cantidades son

σ2 = 〈v(tn)〉 =v0

1 − α1 − β1, κ =

〈x4(tn)〉c〈x2(tn)〉2c

=6α2

1

1 − 3α21 − 2α1β1 − β2

1

. (20.386)

20.6 Descomposicion Espectral del Comportamientodel Rendimiento

La representacion grafica de la curva del logaritmo de la renta para el caso de inter-valos temporales cortos revela mayor estructura que los modelos simples discutidoshasta ahora. De hecho, suena razonable distinguir diferentes tipos de acciones deacuerdo al caracter de los inversionistas. Por ejemplo, la burbuja de las acciones delas computadoras fue causado parcialmente por gente inexperta que no estaba in-teresada en el desarrollo de la industria, sino que deseaba ganar dinero facil. Por otrolado, hubo tambien una parte substancial de inversionistas institucionales quienesinvirtieron en forma mas estable. Ası, debemos distingir las fuentes del ruido, lascuales provienen de diferentes grupos de inversionistas.


-0.2 -0.1 0 0.1 0.210-2

10-1

100

101

102

Real dataGARCH process

Heston model

Gaussian

x/σx

P (x)log10 P (x)

Figure 20.27 Izquierda: Comparacion del proceso GARCH(1,1), donde v0 = 2.3×10−5,

α1 = 0.091 y β = 0.9, con el ındice S&P 500 (datos al minuto). Derecha: Comparacion

de los modelos GARCH(1,1), Heston y Gaussiano, para un mismo valor de σ, con los

datos diarios del mercado. Los parametros del proceso GARCH son v0 = 7.7 × 10−6,

α1 = 0.07906 y β1 = 0.90501 y los del modelo Heston son γ = 4.5×10−2, v = 8.62×10−8,

rS = 5.67 × 10−4 y ε = 10.3 × 10−3 [79, 81, 82].

Por lo tanto, mejoramos la ecuacion diferencial estocastica dada por la Ec. (20.4)extendiendola en la forma

x(t) = rx +∑

λ

ηλ(t), (20.387)

donde la suma se calcula sobre los diferentes grupos de inversionistas, cada uno delos cuales produce un ruido ηλ(t), cuya distribucion de Levy decae con diferentepotencia |x|−1−λi. Su distribucion de probabilidad asociada sera

Pλ[ηλ] = exp[

−∫ tb

tadt Hλ(ηλ(t))

]

=∫ Dp

2πexp

∫ tb

tadt [ip(t)ηλ(t) −Hλ(p(t))]

,

(20.388)

donde el Hamiltoniano es [comparemos con la Ec. (20.10)]

Hλ(p) ≡ σ2λ |p|λ2

. (20.389)

La probabilidad del rendimiento dado por la Ec. (20.144) sera entonces

P (xbtb|xata)=∏

λ

∫

Dηλ∫

Dx exp[

−∫ tb

tadt Hλ(ηλ(t))

]

δ[x−∑

λ

ηλ]. (20.390)

Si sustituimos ahora la representacion de Fourier de la funcional δ, obtenemos


−∞

Dp2π

∏

λ

[∫

Dηλ]∫

Dx e∫ tbta

dt [ip(t)x(t)−Hλ(ηλ(t))]e−i∑

λ

∫

∞

−∞dt p(t)ηλ(t).

(20.391)

20.7 Valorizacion de las Opciones 1583

Hallando las integrales de trayectoria sobre ηλ(t), tendremos


−∞

Dp2π

∫

Dx e∫ tbta

dt [ip(t)x(t)−Hλ(p)], (20.392)

donde el Hamiltoniano total es la suma del grupo de Hamiltonianos

H(p) ≡∑

λ

Hλ(p). (20.393)

La generalizacion continua de este resultado sera

H(p) = H(|p|) ≡∫ ∞

0dλσ2

λ|p|λ. (20.394)

La funcion espectral σ2λ debe de extraerse de los datos hallando la integral

σ2λ =

∫ i∞

−i∞

d log |p|2πi

p−λH(p). (20.395)

20.7 Valorizacion de las Opciones

Historicamente, el uso mas importante de las integrales de trayectoria en los mer-cados finacieros se ha hecho en el contexto de determinar un precio justo de losderivados financieros, en particular las opciones.12Las opciones son herramientasfinancieras antiquısimas. Se han utilizado con fines especulativos o para prevenirtransacciones mayores que puedan afectar al mercado por cambios inesperados delambiente bursatil. En el ambiente bursatil algunas veces pueden observarse cam-bios dramaticos en los precios o erosiones y se espera que las opciones eviten ladestruccion de grandes cantidades de capital. Los antiguos Romanos, Griegos yFenicios manejaron opciones contra cargos de exportacion de sus puertos locales. Enlos mercados financieros, las opciones son contratos entre dos partes, en los cualesuna de ellas tiene el derecho pero no la obligacion de hacer algo, generalmente decomprar o vender algun activo subyacente. Tener derechos sin obligaciones es unvalor, de tal forma que el poseedor de las opciones debe pagar un precio por suadquisicion. El precio depende del valor del bien asociado, por lo cual se les llamaactivos derivados o brevemente derivados . La opcion de compra son contratos quedan al poseedor de la opcion el derecho de comprar algo, mientras que la opcion de

venta autoriza al poseedor a vender algo. El precio de una opcion se llama prima.Generalmente, las opciones estan asociadas a las acciones, almacenes o mercancıastal como el petroleo, metales o algunos otros materiales escasos. En lo que sigue ypara ser especıficos, consideraremos los derechos de venta sobre las acciones.

Las tecnicas modernas de la valorizacion de las opciones tienen su origen enel trabajo inicial de Charles Castelli, quien en 1877 publico el libro titulado “The

12En el sitio electronico http://bradley.bradley.edu/~arr/bsm/model.html se puede hallaruna introduccion al modelo.


Theory of Options in Stocks and Shares”. Este libro presenta una introduccion alos aspectos de la prevencion y especulacion de las opciones. Veinte y tres anosmas tarde Louis Bachelier, en su disertacion en la Sorbonna [86], ofrecio la primeraevaluacion analıtica conocida de las opciones. Es de notar que Bachelier descrubrioel tratamiento del fenomeno estocastico cinco anos antes del famoso trabajo sobreel movimiento Browniano presentado por Einstein [87] y veinte y tres anos antesdel desarrollo matematico de Wiener [88]. Las ecuaciones diferenciales estocasticasconsideradas por el tienen el defecto importante de permitir valores negativos delos precios de seguridad de los valores, lo mismo que permiten que la opcion delos precios excedan el valor de los bienes subyacentes. El trabajo de Bachelier fuecontinuado por Paul Samuelson, quien en 1955 escribio un artıculo, no publicado,titulado “Brownian Motion in the Stock Market”. En aquel mismo ano, RichardKruizenga, estudiante de Samuelson, cito el trabajo de Bachelier en su disertaciontitulada “Put and Call Options: A Theoretical and Market Analysis”. En 1962, A.James Boness en su disertacion titulada “A Theory and Measurement of Stock Op-

tion Value”, desarrollo un modelo de precios mas satisfactorio, el cual fue mejoradomas tarde por Fischer Black y Myron Scholes. En 1973 estos autores publicaron elfamoso “Modelo Black y Scholes” [89] el cual, junto con las mejoras introducidaspor Robert Merton, les merecio el premio Nobel en 1997.13

Como se ha discutido anteriormente, la distribucion Gaussiana subestima seria-mente la probabilidad en el caso de cambios importantes en el precio de los bienes yesta fue la principal razon del error catastrofico, en el invierno de 1998, del fondo deinversion libre “Long Term Capital Management”, el cual tenıa a Scholes y Mertonen la junta directiva (ası como accionistas). El fondo contenıa derivados con valorde referencia de 1,250 miles14 de Millones de dolares Norteamericanos. El fondodesconto el 2% por gastos administrativos y 25% de ganancias, e inicialmente fuemuy lucrativo. En 1995 ofrecio a sus accionistas ganancias del 42.8%, 40.8% en 1996y aun en el ano desastrozo de la crisis Asiatica de 1997 ofrecio el 17.1% en ganancias.Pero en Septiembre de 1998, luego de apostar erroneamente a una convergencia detasas de interes, se fue casi a la bancarrota. Diversos bancos internacionales einstituciones de Wall Street tuvieron que apoyar al fondo con 3.5 miles de Millonesde dolares Norteamericanos. para evitar una reaccion en cadena de incumplimientoscrediticios.

Apesar de este error, el modelo se usa aun como una orientacion aproximada delo razonable del precio de una opcion.

20.7.1 Modelo Black-Scholes de la Valorizacion de las Opciones

Al inicio de los anos setentas, Fischer Black estaba trabajando en un modelo devaloracion de garantıa de las acciones y observo que sus formulas se parecıan a lasecuaciones de transferencia de calor. Luego de esto, Myron Scholes se unio a Black

13Para F. Black el premio llego muy tarde, ya que murio dos anos antes.14N. del T.: En la nomenclatura inglesa se utiliza el termino Billon para indicar miles de Millones.


y juntos descubrieron un modelo aproximado para la valorizacion de las opciones,el cual aun se usa ampliamente.

El modelo de Black y Sholes supone los siguientes terminos:

1. Las ganancias se distribuyen de manera normal.

Los errores de esta hipotesis se han discutido en la Seccion 20.1. Las mejorasapropiadas al modelo se desarrollaran mas adelante.

2. Los mercados financieros son eficientes.

Esta hipotesis implica que los mercados operan continuamente con preciosjustos, siguiendo un proceso estocastico continuo sin memoria. Esto implicatambien que los diferentes mercados tienen el mismo precio de los valores.

Esto no es completamente cierto. En general, los diferentes mercados fi-nancieros tienen precios ligeramente diferentes. Las diferencias son muypequenas por la existencia de arbitrajes. Existen tambien correlaciones enescalas de corto tiempo las cuales, en principio, ayudan a obtener ganaciassin riesgo a partir de los llamados arbitrajes estadısticos . Sin embargo, estaposibilidad esta fuertemente limitada por las costos de las operaciones.

3. No hay comisiones.

Esta hipotesis no se cumple. Generalmente, los mercados participantes tienenque pagar una comision para comprar o vender bienes. Aun los operadoresde piso pagan algun tipo de comision, aunque esta comision suele ser muypequena. Las comisiones pagadas por inversionistas individuales son mas im-portantes y pueden alterar el resultado del modelo.

4. Las tasas de interes se mantienen constantes y conocidas.

El modelo de Black y Scholes supone la existencia de una tasa de interes libre

de riesgo, para representar esta tasa constante y conocida. En realidad noexiste tal tasa libre de interes. Como una aproximacion, se utiliza la tasa dedescuento de los Bonos del Tesoro del Gobierno de los Estados Unidos con30 dıas de vencimiento. En los perıodos de cambios rapidos de las tasas deinteres, a menudo las tasas a 30 dıas estan sujetas a cambios, violando de estaforma una de las hipotesis del modelo.

5. Las acciones no pagan dividendos durante la validez de la oferta.

La mayorıa de las companıas pagan dividendos a sus accionistas, esto es unalimitacion del modelo ya que altos dividendos significan menos ganancias. Sinembargo, hay una posibilidad simple de ajustar el modelo a la situacion realrestando el valor descontado de un futuro dividendo del precio de las acciones.

6. Utilizacion de los Terminos de Ejercicio Europeos.

Los terminos de uso Europeos implican el ejercicio de una opcion solo enla fecha de vencimiento. Esto es contrario a los terminos Norteamericanos


que permiten el ejercicio en todo momento de validez de la opcion. Estagran flexibilidad hace que una opcion Norteamericana sea mas valiosa que unaEuropea.

Sin embargo, en la practica la diferencia no es tan dramatica dado a que muypocas ofertas se ejercen antes de los ultimos dıas de vigencia, dado que unejercicio previo significa derrochar el tiempo restante de la oferta. Diferentestiempos de ejercicio hacia el final de la vigencia de una oferta son irrelevantes,ya que el tiempo restante de la oferta es muy pequeno y el valor intrınsecotiene una pequena dependencia temporal, excepto si hay un evento dramaticojusto antes de la fecha de vencimiento.

Desde 1973, el modelo original de la valorizacion de las opciones de Black yScholes se ha mejorado y ampliado considerablemente. En el mismo ano, RobertMerton [90] incluyo el efecto de los beneficios. Tres anos mas tarde, JonathanIngerson relajo la hipotesis de no impuestos o costos de transaccion y Merton eliminola restriccion de tasas de interes constante. En anos recientes, el modelo se hageneralizado para poder determinar los precios de las opciones con muchas maspropiedades.

En 1998 el fısico teorico J.W. Dash reconocio la relevancia de las integralesde trayectoria en este campo y escribio dos artıculos no publicados sobre el tematitulados “Path Integrals and Options I and II ” [91]. Desde entonces muchos fısicosteoricos han participado en el campo y los artıculos sobre este tema han empezadoa aparecer en el servidor de los Alamos [13, 92, 93].

20.7.2 Ecuaciones de Evolucion de la Cartera de Valorescon Opciones

El precio de la opcion O(t) tiene fluctuaciones mayores comparadas con el precio delas acciones asociadas. La variacion de las fluctuaciones se representa generalmentemediante la pendiente ∂O(S(t), t)/∂S(t), la cual normalmente se escribe en la forma∆(S(t), t) y se le llama la Delta de la opcion. En el caso donde las fluctuacionessiguen el comportamiento Gaussiano ideal, si ∆(S(t), t) depende solo ligeramentetanto de S(t) como de t se puede garantizar un crecimiento estable de la cartera devalores. Unicamente hay que combinar un numero NS(t) apropiado de acciones conNO(t) opciones y bonos de corto plazo, cuyo numero se denota por NB(t). Comose menciono anteriormente, estos bonos son tıpicamente los Bonos del Tesoro delGobierno de los Estados Unidos con 30 dıas de vencimiento, los cuales tienen solopequenas fluctuaciones en el precio. La composicion [NS(t), NO(t), NB(t)] se conocecomo la estrategia del director de la cartera. La riqueza total tiene el valor

W (t) = NS(t)S(t) +NO(t)O(S, t) +NB(t)B(t). (20.396)

La meta es hacer crecer W (t) como una curva exponencial suave sin fluctuaciones

W (t) ≈ rWW (t). (20.397)


Como una idealizacion, se supone que los bonos de corto plazo crecen determistica-mente sin fluctuaciones:

B(t) ≈ rBB(t). (20.398)

La razon rB es la tasa de interes libre de riesgo, encontrada en los mercados realescuando no hay eventos que cambien excesivamente el valor de los bonos a cortoplazo.

La existencia de arbitrajes asegura que la razon de crecimiento rW es igual a lade los bonos de corto plazo

rW ≈ rB. (20.399)

De otra forma los operadores deben cambiar de una inversion a otra.En la descomposicion de la Ec. (20.396), el crecimiento deseado, dado por la

Ec. (20.397), sera

NS(t)S(t) +NO(t)O(S, t) +NB(t)B(t) + NS(t)S(t) + NO(t)O(S, t) + NB(t)B(t)

= rW [NS(t)S(t) +NO(t)O(S, t) +NB(t)B(t)] . (20.400)

Debido a las Ecs. (20.398) y (20.399), los cantidades NB(t) sin devirada temporal,se eliminan. Mas aun, si no se introduce o extrae dinero del sistema, i.e., si lasacciones, las opciones y los bonos solo se intercambian unos por otros, esto nocambia la riqueza total, ademas suponemos que no hay comosiones. Esto se conocecomo la estrategia del auto-financiamiento, la cual se expresa por la ecuacion

NS(t)S(t) + NO(t)O(S, t) + NB(t)B(t) = 0. (20.401)

De tal forma que la ecuacion de crecimiento (20.397), sera

W (t) = NSS +NOO +NBB = rW (NSS +NOO +NBB) . (20.402)

Debido a la igualdad de las tasas rW = rB y a la Ec. (20.398), la contribucion totalde B(t) se elimina, y obtenemos

NSS +NOO = rW (NSS +NOO) . (20.403)

Es importante notar ahora que existe una razon optima entre el numero de accionesNS y el numero de opciones NO, la cual es igual a la pendiente negativa de ∆(S(t), t):

NS(t)

NO(t)= −∆(S(t), t) = −∂O(S(t), t)

∂S(t). (20.404)

Utilizando esta relacion, la Ec. (20.403) sera

NSS +NOO = NOrW

(

−∂O∂x

+O

)

. (20.405)


Los dos terminos en el lado izquierdo se analizan en la siguiente forma: primerousamos la relacion (20.404), con lo cual podemos reescribir

NSS = −NO∂O(S, t)

∂SS = −NO

∂O(S, t)

∂x

S

S. (20.406)

En el segundo termino del lado izquierdo de la Ec. (20.405), hallamos la dependenciatemporal total del precio de las opciones mediante un desarrollo en series de Taylor

dO

dt=

1

dt

[

O(x(t) + x(t) dt, t+ dt) − O(x(t), t)]

=∂O

∂t+∂O

∂xx +

1

2

∂2O

∂x2x2 dt+

1

3!

∂3O

∂x3x3 dt2 + . . . . (20.407)

Aquı hemos usado la variable logarıtmica del precio de las acciones x(t) en lugar deS(t). En matematicas financieras, las derivadas de menor orden del lado derechose denotan mediante letras Griegas especiales. Ya hemos utilizado la varible Deltapara la pendiente ∂O/∂S. La curvatura Γ ≡ ∂2O/∂S2 = (∂2O/∂x2 − ∂O/∂x)/S2

se conoce como la Gama de una opcion. Otra derivada con un nombre estandares la Vega V ≡ ∂O/∂σ. La derivada temporal parcial ∂O/∂t se denota por Θ. Elconjunto de estas cantidades se conoce normalmente como las Griegas [94].

En general, el desarrollo dado por la Ec. (20.407) se calcula hasta potenciasarbitrarias de x, tal como en la Ec. (20.273). Es claro que se trata de una notacionabreviada del mismo desarrollo hallado en la Ec. (20.273), pero ahora en potenciasde la variable estocastica. Luego de sustituir en el lado izquierdo de la Ec. (20.405)las Ecs. (20.407) y (20.406), obtenemos

NSS +NOO=− NO∂O

∂x

S

S

+ NO

(

∂O

∂t+∂O

∂xx+

1

2

∂2O

∂x2x2dt +

1

3!

∂O

∂xx3dt+ . . .

)

(20.408)

=NO

[

∂O

∂t+

(

x− S

S

)

∂O

∂x+

1

2

∂2O

∂x2x2dt+

1

3!

∂3O

∂x3x3dt+ . . .

]

.

Sustituyendo luego en el lado izquierdo el resultado obtenido anteriormente en ellado derecho de la Ec. (20.405), tendremos

∂O

∂t= −rWO −

(

x− S

S+ rW

)

∂O

∂x− 1

2

∂2O

∂x2x2dt− 1

3!

∂3O

∂x3x3dt+ . . . = 0. (20.409)

Lo que llevo a Black y Scholes a hacerse merecedores del premio Nobel fue elnotar la sencillez de la Ec. (20.409), cuando las fluctuaciones Gaussinas obedecenun Hamiltoniano de la forma H(p) = σ2p2/2. En primer lugar de la relacion de Ito(20.4), el prefactor del termino −∂O/∂x sera una constante

rW − σ2

2≡ rxW

, (20.410)


donde la notacion rxWse escoge para establecer una analogıa con el termino rx

obtenido en la relacion de Ito (20.5). Con lo cual, no hay mas fluctuaciones en elprefactor de ∂O/∂x.

Mas aun, las fluctuaciones de todos los terminos restantes

−1

2

∂2O

∂x2x2 dt− 1

6

∂3O

∂x3x3 dt2+. . . (20.411)

se pueden ignorar debido al resultado dado por la Ec.(18.429) y a las estima-ciones de la Ec. (18.431), lo cual permite truncar la serie (20.411) y obtenemos−(σ2/2) ∂2O/∂x2. Con esto la Ec. (20.409) pierde su caracter estocastico y se en-cuentra que el precio razonable de la opcion O(x, t) obedece la ecuacion diferencialde the Fokker-Planck

∂O

∂t= rWO − rxW

∂O

∂x− σ2

2

∂2O

∂x2, (20.412)

Al mismo tiempo, la riqueza total dada por la Ec. (20.402) pierde su caracterestocastico y crece de acuerdo con la tasa libre de riesgo rW , obedeciendo la ecuaciondeterminıstica dada en la Ec. (20.398). La cancelacion de las fluctuaciones es unaconsecuencia de elegir que la tasa entre opciones y acciones este en acuerdo con laEc. (20.404). La cartera de valores esta ahora protegida contra fluctuaciones.

La ecuacion de Fokker-Planck (20.412) se puede expresar completamente enterminos de las Griegas de la opcion, utilizando la relacion (20.410) tendremos:

Θ = rWO−rxWS∆−σ2

2

(

S∂O

∂S+S2∂

2O

∂S2

)

= rWO−rWS∆−σ2

2S2Γ. (20.413)

La estrategia de hallar una cartera libre de riesgos balanceando las fluctuacionesde NS acciones con NO opciones, que cumplen con la Ec. (20.404), se conoce como laproteccion Delta. La proteccion es, por supuesto, imperfecta. Dado que ∆(S(t), t)depende del precio de las acciones, la proteccion Delta requiere de un rebalancefrecuente de la cartera, de ser necesario varias veces al dıa. Luego de un perıodo detiempo δt, la Delta ha cambiado por

δ∆ =d

dt

∂2O(S(t), t)

∂S(t)δt =

[

∂

∂t

∂O(S(t), t)

∂S(t)+∂2O(S(t), t)

∂S(t)2

]

δt =

[

∂Θ

∂S+ Γ

]

δt.

(20.414)De tal forma que en la Ec. (20.404) necesitamos reajustar la tasa entre las accionesy las opciones, mediante la cantidad

δNS

NO= −δ∆ = −

(

∂Θ

∂S+ Γ

)

δt. (20.415)

Este proceso se conoce como proteccion ∆-dinamica. Dado que comprar y venderimplica dinero, δt no puede ser muy pequena, de otra forma la proteccion dinamicaserıa demasiado costosa.


En principio es posible comprar un tercer bien para proteger tambien la curvaturaGama. Este procedimiento no es muy popular, debido a los costos de la operacion.

Para ruido no Gaussiano, la ecuacion diferencial (20.409) sigue siendo estocasticadebido a las fluctuaciones residuales de los terminos del desarrollo hallado en laEc. (20.411). Este hecho es un obstaculo para construir una cartera libre de riesgoscon crecimiento determinista de la riqueza total W (t). Como en la Ec. (20.255) solopodemos hallar la ecuacion de movimiento para el valor promedio

⟨

1

2

∂2O

∂x2x2 dt+

1

6

∂3O

∂x3x3 dt2+. . .

⟩

= −H(i∂x)O. (20.416)

Ası, un precio razonable de la opcion se puede calcular solo en promedio utilizandola ecuacion diferencial de Fokker-Planck

∂

∂t〈O〉 =

[

rW − rxW

∂

∂x+ H(i∂x)

]

〈O〉 , (20.417)

donde, en analogıa con las Ecs. (20.268) y (20.410), hemos definido el parametroauxiliar

rxW≡ rW + H(i). (20.418)

Sin embargo, como se comenta en la Subseccion 20.2.2, para datos almacenadosen tiempos discretos, si ademas los decrecimientos de las distribuciones de ruidono son Gaussianas de decrecimientos semi-abruptos, entonces esta limitacion no esrealmente estricta. Luego, en forma aproximada, los terminos de orden superior deldesarrollo hallado en la Ec. (20.411) se cancelan por el factor σ

√∆t y los valores

esperados en las Ecs. (20.416) y (20.417) se pueden omitir.Para fluctuaciones Gaussianas, se puede hallar facilmente la solucion de la

ecuacion de Fokker-Planck (20.412). Si, por razones de simetrıa, renombramost → ta y x → xa, entonces al tiempo tb una solucion inicial de la forma δ(xa − xb),tiene la representacion de Fourier

P (M,rx)(xbtb|xata)=e−rW (tb−ta)∫ ∞

−∞

dp

2πeip(xb−xa)e−(σ2p2/2+irxW p)(tb−ta). (20.419)

Para el caso tb > ta, la integal converge.Para fluctuaciones no Gaussianas con decrecimientos semi-abruptos, tenemos

una solucion aproximada cuya representacion de Fourier es

P (M,rx)(xbtb|xata)=e−rW (tb−ta)∫ ∞

−∞

dp

2πeip(xb−xa)e−[H(p)+irxW p](tb−ta), (20.420)

donde H(p) esta dado en la Ec. (20.141).Recordando la discusion dada en la Seccion 20.3, observamos que esta funcion de

distribucion es un miembro de la familia de distribuciones martingalas equivalentes,hallada en la Ec. (20.293), para el precio de las acciones S(t) = ex(t). Esta es ladistribucion particular en la cual el factor de descuento r coincide con la tasa deinteres libre de riesgo rW .


20.7.3 Valorizacion de las Opciones para FluctuacionesGaussianas

Para fluctuaciones Gaussianas donde H(p) = σ2p2/2, la integral de la Ec. (20.419)es facil de evaluar y para el caso tb > ta obtenemos la distribucion martingala

P (M,rx)(xbtb|xata) =e−rW (tb−ta)

√


− [xb − xa− rxW(tb − ta)]

2

2σ2(tb − ta)

. (20.421)

Esta distribucion es la martingala de riesgo neutro hallada en la Ec. (20.289), dondeusamos r = rx.

Es claro que esta distribucion de probabilidad es la solucion de la integral detrayectoria

P (M,rx)(xbtb|xata) = e−rW (tb−ta)∫

Dx exp

− 1

2σ2

∫ tb

ta[x− rxW

]2

. (20.422)

Para un cierto precio de ejercicio, E representa la opcion de las acciones. Elvalor de la opcion en la fecha de vencimiento tb estara dado por la diferencia entreel precio de la accion en la fecha de vencimiento y el precio de ejercicio:

O(xb, tb) = Θ(xb − xE)(exb − exE), (20.423)

donde

xE ≡ logE. (20.424)

En la Ec. (20.423) la funcion de Heaviside tiene en cuenta el hecho que la opcion essolo util en el caso Sb > E.

Mediante la Ec. (20.423) calculamos el precio de la opcion para un cierto tiempoprevio arbitrario, para ello utilizamos la probabilidad de evolucion temporal dadapor la Ec. (20.421)

O(xa, ta) =∫ ∞

−∞dxbO(xb, tb)P

(M,rW )(xb tb|xata). (20.425)

Sustituyendo en esta expresion la Ec. (20.423), obtenemos la siguiente suma

O(xa, ta) = OS(xa, ta) −OE(xa, ta), (20.426)

donde

OS(xa, ta) =e−rW (tb−ta)

√

2πσ2(tb−ta)

∫ ∞

xE

dxb exb exp

− [xb − xa − rxW(tb − ta)]

2

2σ2(tb − ta)

, (20.427)

y

OE(xa, ta) = Ee−rW (tb−ta)1

√

2πσ2(tb−ta)

∫ ∞

xE

dxb exp

− [xb − xa − rxW(tb − ta)]

2

2σ2(tb − ta)

.

(20.428)


En la segunda integral utilizamos la relacion

x− ≡ xa + rxW(tb − ta) = xa +

(

rW − 1

2σ2)

(tb − ta), (20.429)

y obtenemos

OE(xa, ta) = Ee−rW (tb−ta)

√

2πσ2(tb − ta)

∫ ∞

xE−x−

dxb exp

− x2b2σ2(tb − ta)

. (20.430)

Luego de reescalar la variable de integracion xb → −ξσ√tb − ta, obtenemos

OE(xa, ta) = e−rW (tb−ta)EN(y−), (20.431)

donde N(y) es la funcion de distribucion Gaussiana acumulativa

N(y) ≡∫ y

−∞

dξ√2πe−ξ2/2 =

1

2

[

1 + erf

(

y√2

)]

, (20.432)

evaluada en

y− ≡ x− − xE√

σ2(tb − ta)=

log[S(ta)/E] + rxW(tb − ta)

√

σ2(tb − ta)

=log[S(ta)/E] +

(

rW − 12σ2)

(tb − ta)√

σ2(ta − tb). (20.433)

En el precio de la opcion, la primera contribucion a la integral dada en laEc. (20.427) se puede hallar luego de completar la cuadratura en el exponente,en la forma:

xb −[xb − xa − rxW

(tb − ta)]2

2σ2(tb − ta)

= − [xb − xa − (rxW+ σ2)(tb − ta)]

2 − 2rWσ2(tb − ta) − 2xaσ

2(tb − ta)

2σ2(tb − ta).(20.434)

Reescribiendo

x+ ≡ xa +(

rxW+ σ2

)

(tb − ta) = xa +(

rW +1

2σ2)

(tb − ta), (20.435)

y reescalando xb, como se hizo anteriormente, obtenemos

OS(xa, ta) = S(ta)N(y+), (20.436)

donde

y+ ≡ x+ − xE√

σ2(ta − tb)=

log[S(ta)/E] + (rxW+ σ2) (tb − ta)

√

σ2(ta − tb)

=log[S(ta)/E] +

(

rW + 12σ2)

(tb − ta)√

σ2(ta − tb). (20.437)


La combinacion de resultados,

O(xa, ta) = S(ta)N(y+) − e−rW (tb−ta)E N(y−), (20.438)

es la famosa formula de Black-Scholes de la valorizacion de las opciones.La Fig. 20.28 muestra como cambia el precio de rescate de las acciones respecto

del tiempo de la oferta tb − ta para diferentes volatilidades σ.Los operadores de piso del mercado de valores utilizan la formula de Black-

Scholes para evaluar que tan elevadas son las opciones, de tal forma que puedandecidir entre comprar o vender. Para una tasa de interes libre de riesgo rW , tiempode oferta tb − ta y un conjunto de opciones, acciones y precios de ejercicio O, S yE, los operadores calculan la volatilidad utilizando la Ec. (20.438). El resultado seconoce como la volatilidad implicada y se denota por Σ(x−xE). En la Fig. 20.29 semuestra un grafico tıpico de Σ(x−xE) en funcion de x−xE . Si la fomula de Black-Scholes fuese exacta, los datos deberıan estar sobre la lınea horizontal Σ(x−xE) = σ.En lugar de ello, los datos estan dispersos sobre una parabola, la cual se conoce comola sonrisa de la opcion. La sonrisa indica la existencia de una kurtosis diferente decero en la distribucion de la renta, como veremos en la Subseccion 20.7.8.

No podemos dejar de decir que si la integral dada en la Ec. (20.427) se calculapara todo el eje xb, el resultado sera independiente del tiempo, esto se debe alcaracter martingala de la distribucion de riesgo neutro P (M,rW )(xbtb|xata).

20.7.4 Valorizacion del Precio para una Opcion Asatica

En una opcion Asatica no tenemos el precio de la opcion en la fecha de expiracionsino que tenemos un promedio durante el tiempo de validez de la opcion. Paracalcular este promedio recordemos la amplitud temporal dada en la Ec. (3.200) deuna partıcula para un valor medio x0 fijo. La version estocastica de la expresionmecanico-cuantica de la Ec. (3.200) es

P (xbtb|xata)x0 =

√3

πσ2(tb−ta)exp

− 1

2σ2(tb−ta)

[

(xb−xa)2+12(

x0−xb+xa

2

)2]

.

(20.439)

Para la razon de crecimiento rW , la martingala asociada sera

P (M,rx)(xbtb|xata)x0 =e−rW (tb−ta)

√3

πσ2(tb−ta)

× exp

− 1

2σ2(tb−ta)

[

(xb−xa − rxW(tb − ta))

2+ 12(

x0−xb+xa

2

)2]

, (20.440)

cuya integral sobre x0 dara como resultado la distribucion martingala hallada en laEc. (20.421)

∫ ∞

−∞dx0 P

(M,rx)(xbtb|xata)x0 = P (M,rx)(xbtb|xata). (20.441)


O(S)

S20 40 60 80

5

10

15

20

25

30

35

40

O(E)

E20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

O(S)

S20 40 60 80

5

10

15

20

25

30

35

40

Figure 20.28 Izquierda: Relacion entre el precio de rescate O respecto del precio de las

acciones S para diferentes tiempos anteriores a la fecha de vencimiento (el incremento tem-

poral esta en relacion directa con el tamano de lınea: 1, 2, 3, 4, 5 meses). Los parametros

son E = 50 dolares, σ = 40% y rW = 6% mensual. Derecha: Relacion entre el precio

de ejercicio E para valores fijos de las acciones 35 dolares, el tiempo de vencimiento es el

mismo al de la figura en el lado izquierdo (el incremento es directamente proporcional con

el tamano del trazo). Inferior: Relacion con la volatilidad al tiempo antes de la fecha de

vencimiento, tb − ta = 3 meses (de izquierda a derecha: 80%, 60%, 20%, 10%, 1%).

En lugar de la Ec. (20.423), el precio de la opcion en el momento de expiracionsera

O(xb, tb) = Θ(xb − x0)(exb − ex0), (20.442)

de tal forma que en lugar de la Ec. (20.426) tenemos la diferencia entre

OS(xa, ta) =∫ ∞

−∞dx0

∫ ∞

x0

dxb exbP (M,rx)(xbtb|xata)x0 , (20.443)

la cual en virtud de la Ec. (20.441) es igual a la Ec. (20.427) y la expresion

Ox(xa, ta) =∫ ∞

−∞dx0 e

x0

∫ ∞

x0

dxb P(M,rx)(xbtb|xata)x0 , (20.444)

la cual reemplaza a la Ec. (20.430). Dado que ambas expresiones involucran inte-grales sobre la funcion error, resulta de utilidad representar la funcion δ dada en laEc. (20.442) en forma de una integral de Fourier, con lo cual podemos reescribir elprecio de la opcion al tiempo ta como

O(xa, ta) =∫ ∞

−∞

dt

2πi

ei(xb−x0)t

t− iη

×∫ ∞

−∞dx0

∫ ∞

−∞dxb (exb − ex0)P (M,rx)(xbtb|xata)x0 , (20.445)


Σ(xb − xa)

xb − xa

Figure 20.29 Sonrisa hallada a partir de las opciones (ver la Ref. [13]).

El resultado de la doble integral en la segunda lınea sera

e−A(t) − e−A0(t), (20.446)

donde

A(t) =−rW (tb − ta) −i

2

(

rW +σ2

2

)

t(tb − ta) +σ2t2(tb − ta)

6,

A0(t) =

(

−rW +σ2

6

)

tb − ta2

− i

2

(

rW−σ2

6

)

t(tb − ta) +σ2t2(tb − ta)

6. (20.447)

Ahora, usando la formula integral

∫ ∞

−∞

dt

2πi

e−a2t2/2+ibt

t− iη= N [b/a]. (20.448)

tendremos [95]

O(xa, ta) = S(ta)[N(z+) − e−(rW+σ2/6)(tb−ta)/2N(z−)], (20.449)

donde

z+ =

√

3(tb − ta)

4σ2

(

rW +σ2

2

)

, z− =

√

3(tb − ta)

4σ2

(

rW − σ2

6

)

. (20.450)

20.7.5 Valorizacion de las Opciones para la Distribucionde Boltzmann

Los resultados anteriores se pueden aplicar facilmente al precio de las opciones paralos bienes cuya renta obedezca la distribucion de Boltzmann dada en la Ec. (20.204).


Dado que esta distribucion es una superposicion de distribuciones Gaussianas, tene-mos que hallar la misma superposicion en la formula de Black-Scholes (20.438). Deesta forma sustituimos la Ec. (20.438) en la integral (20.204) y obtenemos el preciode la opcion para la distribucion de Boltzmann de los bienes, cuya varianza es σ2:

OB(xa, ta)=(

t

σ2

)t 1

Γ(t)

∫ ∞

0

dv

vvte−tv/σ2

Ov(xa, ta), (20.451)

donde Ov(xa, ta) es el precio de la opcion obtenido de la formula de Black-Scholeshallada en la Ec. (20.438), cuya varianza es v. El ındice superior indica que en lasvariables y+ y y− de las Ecs. (20.433) y (20.437), la varianza σ2 se intercambia porla variable de integracion v.

Dado que la distribucion de Boltzmann para los datos al minuto tienderapidamente a una distribucion Gaussiana (recordemos la Fig. 20.15), los cambiosdel precio con respecto a la formula de Black-Scholes son importantes solo para lasopciones de corto plazo, menor a una semana. Es mas facil estimar los cambios delprecio utilizando el desarrollo dado por la Ec. (20.209), de donde obtenemos

OB(xa, ta)=Ov(xa, ta) +[2T 2(1 − 1/t)]2

2t∂2vO

v(xa, ta) + . . . . (20.452)

20.7.6 Valorizacion de las Opciones para Fluctacionesno Gaussianas en General

Para fluctuaciones no Gaussianas en general con decrecimientos semiabruptos, elprecio de la opcion debe de calcularse numericamente a partir de las Ecs. (20.425) y(20.423). Utilizando la representacion de Fourier dada en la Ec. (20.419) y usandoel Hamiltoniano

HrxW(p) ≡ H(p) + irxW

p (20.453)

definido por la Ec. (20.141), obtenemos

O(xa, ta) =∫ ∞

xE

dxb (exb − exE)P (xbtb|xata)

= e−rW (tb−ta)∫ ∞

xE

dxb (exb − exE)∫ ∞

−∞

dp

2πeip(xb−xa)−HrxW

(p)(tb−ta). (20.454)

El integrando se puede rearreglar en la forma:

O(xa, ta)=e−rW (tb−ta)∫ ∞

xE

dxb

∫ ∞

−∞

dp

2π

[

exaei(p−i)(xb−xa)− exEeip(xb−xa)]

e−HrxW(p)(tb−ta).

(20.455)Se requiere de dos integraciones para hallar el resultado. Esto hara que el calculonumerico sea muy lento. Afortunadamente, una de las integrales se puede hallaranalıticamente. Para ello cambiamos la variable del momentum en la primera partede la integral de p a p+ i y reescribimos la integral como

O(xa, ta) = e−rW (tb−ta)∫ ∞

xE

dxb

∫ ∞

−∞

dp

2πeip(xb−xa)f(p), (20.456)


donde

f(p) ≡ exae−HrxW(p+i)(tb−ta) − exEe−HrxW

(p)(tb−ta). (20.457)

Por brevedad, hemos eliminado los argumentos xa, xE , tb− ta de la funcion f(p). Enla Ec. (20.456) la integral sobre xb se convierte en una transformada de Fourier

f(xb − xa) =∫ ∞

−∞

dp

2πeip(xb−xa)f(p) (20.458)

para f(p). Entonces, es conveniente expresar la integral∫∞xEdxb en terminos de la

funcion de Heaviside Θ(xb − xE), en la forma∫∞−∞ dxb Θ(xb − xE) y usar la repre-

sentacion de Fourier de la funcion de Heaviside dada en la Ec. (1.312) para obtener

∫ ∞

xE

dxb f(xb − xa) =∫ ∞

−∞dxb

∫ ∞

−∞

dq

2π

i

q + iηe−iq(xb−xE)f(xb − xa). (20.459)

Sustituyendo ahora la representacion de Fourier dada en la Ec. (20.458), podemosevaluar la integral sobre xb y obtenemos la representacion en el espacio del momen-tum del precio de la opcion


−∞

dp

2πeip(xE−xa)

i

p+ iηf(p). (20.460)

Para el caso de integraciones numericas, la singularidad en p = 0 resulta un incon-veniente. Por lo tanto, empleamos la descomposicion dada en la Ec. (18.54)

1

p+ iη=

Pp− iπδ(p), (20.461)

para escribir

O(xa, ta) = e−rW (tb−ta)

[

1

2f(0) + i

∫ ∞

−∞

dp

2π

eip(xE−xa)f(p) − f(0)

p

]

. (20.462)

Hemos usado el hecho de que el valor principal de la integral dividido por p es cero,para sustraer el factor constante f(0) del integrando eip(xE−xa)f(p). Luego de esto elintegrando es regular, por lo que no necesitamos mas la etiqueta del valor principal,y la integracion numerica es directa.

Si xa es muy diferente de xE , podemos usar la aproximacion

∫ ∞

−∞

dp

2π

eip(xE−xa)f(p) − f(0)

p≈ 1

2ǫ(xa − xE)f(0), (20.463)

donde ǫ(x) ≡ 2Θ(x) − 1 es la funcion escalon dada en la Ec. (1.315), y obtenemos

O(xa, ta) ≈e−rW (tb−ta)

2[1 + Θ(xa − xE)] f(0). (20.464)


Usando la Ec. (20.418) tenemos e−HrxW(i) = erW , y dado que e−HrxW

(0) = 1 vemosque O(xa, ta) tiende a cero para xa → −∞, mientras que para valores grande de xaobtenemos el comportamiento

O(xa, ta) ≈ exa − exEe−rW (tb−ta) = S(ta) − e−rW (tb−ta)E. (20.465)

Este es el mismo comportamiento de la formula de Black-Scholes, ver la Ec. (20.438).En la Fig. 20.30 mostramos la diferencia entre el precio de la opcion obtenida

de nuestra formula, hallada en la Ec. (20.462) para una distribucion truncada deLevy de kurtosis κ = 4, y la formula de Black-Scholes (20.438) utilizando los datosmostrados en el extremo superior izquierdo de la Fig. 20.28.

O(S, t) −OBS(S, t)

S20 40 60

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Figure 20.30 Diferencia entre el precio de rescate O(S, t), obtenido de la distribucion

truncada de Levy con kurtosis κ = 4, y el precio de Black-Scholes OBS(S, t), donde σ2 = v,

como funcion del precio de las acciones S para diferentes tiempos antes de la fecha de

vencimiento (el tiempo cambia de acuerdo con el ancho de lınea: 1, 2, 3, 4, 5 meses). Los

parametros son E = 50 dolares, σ = 40% y rW = 6% por mes.

Para distribuciones truncadas de Levy, la integral de Fourier hallada en laEc. (20.454) se puede expresar directamente en terminos de la funcion de distribucionoriginal, la cual corresponde a la transformada de Fourier dada en la Ec. (20.52):

L(λ,α,β)σ2 (x) =

∫ ∞

−∞

dp

2πeipx−H(p). (20.466)

Inspeccionando la Ec. (20.53) vemos que el factor tb − ta que multiplica al Hamil-toniano HrxW

(p) de la Ec. (20.454) se puede absorber en los parametros σ, λ, α y β,de las distribuciones truncadas de Levy, utilizando el reemplazo

σ2 → σ2(tb − ta), rxW→ rxW

(tb − ta). (20.467)

Denotemos la distribucion truncada de Levy cuyo promedio es cero por L(λ,α,β))σ2 (x).

Esta expresion corresponde a la transformada de Fourier de e−H(p):

L(λ,α,β)σ2 (x) =

∫ ∞

−∞

dp

2πeipx−H(p). (20.468)

Entonces, la transformada de Fourier de e−H(p)(tb−ta) estara dada por L(λ,α,β))σ2(tb−ta)

(x).

Utilizando el termino adicional rxWdado en la Ec. (20.453) en el argumento de la


exponencial de la integral de la Ec. (20.454), obtenemos el termino de deriva rxWen

la distribucion, con lo cual encontramos∫ ∞

−∞

dp

2πeipx−[H(p)+irxW p](tb−ta) = L

(λ,α,β))σ2(tb−ta)

(x− rxW(tb − ta)). (20.469)

Sustituyendo este resultado en la Ec. (20.419), encontramos la distribucion martin-gala libre de riesgo a ser utilizada en la Ec. (20.454):

P (xbtb|xata) = e−rW (tb−ta)L(λ,α,β)σ2(tb−ta)

(xb − xa − rxW(tb − ta)). (20.470)

Por lo tanto, el resultado es una distribucion truncada de Levy cuyo ancho crece yse mueve uniformemente de la posicion promedio. Dado que todos los coeficientescn del desarrollo de H(p) en la Ec. (20.40) tienen el mismo factor tb − ta, la kurtosisκ = c4/c

22 disminuye inversamente proporcional a tb − ta. A medida que el tiempo

aumenta, la distribucion es cada vez mas y mas Gaussiana, efecto que es una mani-festacion del teorema del lımite central de la mecanica estadıstica. Este resultadoes contrario al caso de una distribucion pura de Levy, la cual no tiene ancho finitoy por lo tanto presenta un decaimiento abrupto a grandes distancias.

En forma explıcita, la formula (20.454) para el precio de la opcion sera


xE

dxb (exb − exE)L(λ,α,β)σ2(tb−ta)

(xb − xa − rxW(tb − ta)).(20.471)

Esta y otras ecuaciones similares deducidas utilizando otros modelos no Gaussisanos,conducen a formulas justas para los precios de las opciones.

20.7.7 Valorizacion de las Opciones para las Fluctuaciones de laVarianza

Si se tienen en cuenta las fluctuaciones de la varianza, en la derivacion de la ecuacionde evolucion temporal para el precio de una opcion necesitamos considerar la de-pendencia con respecto a v(t). En lugar de la Ec. (20.407) escribiremos la evoluciontemporal en la forma

dO

dt=

1

dt

[

O(x(t) + x(t) dt, v(t) + v(t) dt, t+ dt) − O(x(t), v(t), t)]

=∂O

∂t+∂O

∂xx+

∂O

∂vv +

1

2

∂2O

∂x2x2 dt+

∂2O

∂x∂vxv dt+

1

2

∂2O

∂v2v2dt+ . . . .(20.472)

El desarrollo se puede truncar luego de la segunda derivada debido a la naturalezaGaussiana de las fluctuaciones. Utilizamos aquı la regla de Ito para reemplazar

x2 −−−→ v(t), v2 −−−→ ǫ2v(t), xv −−−→ ρǫv(t), (20.473)

estos reemplazos se siguen directamente de las Ecs. (20.306) y (20.308) y de lasfunciones de correlacion (20.310). De esta forma obtenemos

dO

dt=

1

dt

[

O(x(t) + x(t) dt, v(t) + v(t) dt, t+ dt) − O(x(t), v(t), t)]

=∂O

∂t+∂O

∂xx +

∂O

∂vv +

1

2

∂2O

∂x2v +

∂2O

∂x∂vρǫv +

1

2

∂2O

∂v2ǫ2v. (20.474)


Este resultado se sustituye en la Ec. (20.403). Si ajustamos la cartera financiera deacuerdo a la regla (20.404), y usando la relacion de Ito S/S = x + v/2, obtenemosla ecuacion [comparemos con la Ec. (20.409)]

NOrW

(

−∂O∂x

+O

)

= − NO∂O

∂x

(

x+v2

2

)

+NOO

= NO

[

−v2

2

∂O

∂x+∂O

∂vv +

∂O

∂t+

1

2

∂2O

∂x2v +

∂2O

∂x∂vρǫv +

1

2

∂2O

∂v2ǫ2v + . . .

]

. (20.475)

Como ya hemos obtenido anteriormente en la Ec. (20.409), el ruido x ha desapare-cido. Sin embargo, contrario al tratamiento para una sola variable, en esta ecuacionpermanece la variable de ruido ηv. Este ruido se puede eliminar solamente si inter-cambiamos un bien financiero V , cuyo precio sea igual a la varianza, directamenteen el mercado financiero. Luego, en lugar de la Ec. (20.396), podemos construir unacartera financiera libre de riesgo que contenga cuatro valores

W (t) = NS(t)S(t) +NO(t)O(S, t) +NV (t)V (t) +NB(t)B(t). (20.476)

De hecho, utilizando

NV (t)

NO(t)= −∂O(S(t), v(t), t)

∂v(t), (20.477)

podrıamos cancelar el termino v en la Ec. (20.475). Este resutado nos dice quenecesitamos comercializar dicho bien. Sin esto, solo podemos alcanzar una libertadde riesgo aproximada ignorando el ruido ηv(t) en el termino v, reemplazando luegov por el primer termino determinista en la ecuacion diferencial estocastica (20.308):

v(t) −−−→ −γ[v(t) − v]. (20.478)

Adicionalmente, podemos tener en cuenta el hecho de que el precio de la opcionaumenta con la varianza, como en la formula de Black-Scholes, agregando en el ladoderecho de la Ec. (20.478) un termino fenomenologico de correccion −λv, llamadoel riesgo de la volatilidad del precio [78, 11]. Tal termino tiene el efecto simple derenormalizar los parametros γ y v en la forma

γ∗ = γ + λ, y v∗ = γv/γ∗. (20.479)

Ası, hallamos una ecuacion diferencial del tipo Fokker-Planck [comparemos con laEc. (20.417)]

∂O

∂t= rWO −

(

rW − v

2

)

∂O

∂x+ γ∗[v(t) − v∗]

∂O

∂v− v

2

∂2O

∂x2− ρǫv

∂2O

∂x∂v− ǫ2v

2

∂2O

∂v2.

(20.480)


En el lado derecho reconocemos el operador Hamiltoniano dado en la Ec. (20.319),donde γ y v se reemplazan por γ∗ y v∗, en terminos del cual hallamos

∂O

∂t= rW (O − ∂xO) +

(

H∗ + γ∗ + ρǫ∂x + ǫ2∂v)

O. (20.481)

La solucion de esta ecuacion se puede expresar facilmente como una modificacionde la solucion a la ecuacion diferencial (20.318), P (xb, vb, tb|xavata), dada por laEc. (20.340). Dado que con respecto a la Ec. (20.318), esta expresion contienederivadas de primer orden adicionales, hallamos simplemente, utilizando la notacionx ≡ xa y t ≡ ta, que la solucion P v(xb, vb, tb|xavata) que cumple con la condicioninicial

P v(xb, vb, tb|xavata) = δ(xb − xa)δ(vb − va), (20.482)

es de la siguiente forma:

P v(xb, vb, tb|xavata) = e−(rW+γ∗)∆tPsh(xb, vb, tb|xavata), (20.483)

donde el subındice sh indica que los argumentos xb −xa y vb − va se han desplazadoen la forma:

xb − xa → xb − xa − (rW − ρǫ), vb − va → vb − va − ǫ2. (20.484)

S

ρ = −0.5ρ = 0.5O(S, v, t) −OBS(S, t)

0.1

0.05

−0.05

0

−0.1

80 90 100 120 130 140

Figure 20.31 Diferencia entre el precio de la opcion O(S, v, t), con fluctuaciones en la

volatilidad, y el precio de Black-Scholes OBS(S, t), donde σ2 = v, para el precio de ejercicio

de la opcion de 100 dolares. Los parametros estan dados en la Ec. (20.485). El parametro

de correlacion del ruido para un caso es ρ = −0.5 y para el otro caso ρ = 0.5. Para una

opcion en efectivo el valor absoluto es 2.83 dolares para el caso ρ = −0.5 y 2.81 dolares

para ρ = 0.5 (tomado de la Ref. [78]).


La distribucion hallada en la Ec. (20.482) puede sustituirse en una expresion deltipo dada en la Ec. (20.425), para hallar el precio de la opcion a un cierto tiempo tacon respecto al precio dado por la Ec. (20.423) al momento del plazo de vencimientotb. Si suponemos que la varianza va es igual a v y los parametros restantes son

γ∗ = 2, v = 0.01, ǫ = 0.1, rW = 0, (20.485)

el precio de una opcion con precio de ejercicio E = 100, medio ano antes de la fechade vencimiento, cuyo precio de las acciones es S = E (esto es lo que llamamos laopcion en efectivo), es 2.83 dolares para ρ = −0.5 y 2.81 dolares para ρ = 0.5. Ladiferencia con respecto al precio de Black-Scholes se muestra en la Fig. 20.31.

20.7.8 Desarrollo Perturbativo y Sonrisa

Un tratamiento perturbativo de toda distribucion no Gaussiana D(x), la cual por simplicidadsuponemos simetrica, parte del desarrollo

D(p) =[

1 +a44!p4 − a6

6!p6 +

c88!p8 − . . .− . . .

]

e−σ2p2/2, (20.486)

donde

a4 = c4, a6 = c6, a8 = c8 + 35c24, a10 = c10 + 210c4c6, . . . , (20.487)

misma que se puede expresar como la serie

D(p)=

[

1 +a44!

22(

∂

∂σ2

)2

+a66!

23(

∂

∂σ2

)3

+a88!

24(

∂

∂σ2

)4

+ . . .

]

e−σ2p2/2. (20.488)

Utilizando la transformada de Fourier obtenemos el desarrollo de la distribucion en el espacio x

D(x) =

[

1 +a44!

22(

∂

∂σ2

)2

+a66!

23(

∂

∂σ2

)3

+a88!

24(

∂

∂σ2

)4

+ . . .

]

e−x2/2σ2

√2πσ2

=

[

1 +c48

− c648

+35c24384

+c8384

+x2

σ2

(

− c44

+c616

− 35c2496

− c896

)

+x4

σ4

(

c424

− c648

+35c24192

+c8192

)

+x6

σ6

(

c6720

− 35c241440

− c81440

)

+x8

σ8

(

35c2440320

+c8

40320

)

+ . . .

]

e−x2/2σ2

√2πσ2

. (20.489)

En el caso de una distribucion truncada de Levy para las potencias εn/2−1, las cantidades cncontienen la kurtosis κ. Si la distribucion es casi una Gaussiana, podemos hallar un nuevo desarrollode todas las expresiones anteriores en terminos de los cumulantes de orden superior. En el caso deuna distribucion truncada de Levy podemos conservar sistematicamente todos los terminos hastauna cierta potencia maxima de ε y hallamos

D(x) =

1 − x2

2σ2

(

c42

− c68

+2c243

+c848

+5c4c6192

− 33c34256

)

+x4

σ4

(

c424

− c648

+17c2496

+c8192

+c4c6288

− 239c349216

)

+x6

σ6

(

c6720

− 7c24288

− c81440

− c4c65760

+7c342304

)

+x8

σ8

(

c241152

+c8

40320− c34

9216

)

+ . . .

e−x2/2σ2

√

2πσ21

, (20.490)


donde hemos introducido el ancho modificado de la distribucion, en la forma

σ21 ≡ σ2

(

1 − c44

+c624

− 13c2496

− c8192

− c4c664

− 31c34512

+ . . .

)

. (20.491)

El prefactor se puede colocar dentro de la exponencial, de donde hallamos

D(x) = exp

− x2

2σ2

(

1 +c42

+2 c243

− 33 c34256

− c68

+5 c4 c6192

+c848

)

+x4

σ4

(

c424

+7 c2448

− 1007 c349216

− c648

+11 c4 c6

576+

c8192

)

+x6

σ6

(

− c2472

+43 c34768

+c6720

− 23 c4 c62880

− c81440

)

+x8

σ8

(

−101 c349216

+7 c4 c65760

+c8

40320

)

+ . . .

1√

2πσ21

. (20.492)

Introduciendo un segundo ancho modificado

σ22 ≡ σ2

(

1 − c42

+c68

− 5c2412

− c848

− 29c4c6192

+515c34768

+ . . .

)

, (20.493)

la exponencial tendra la forma

D(x) = exp

−x2

σ22

+x4

σ42

(

c424

− c648

+5c2448

+c8192

+29c4c6576

− 2576c349216

)

+x6

σ62

(

c6720

− c2472

− 8c81440

− 29c4c62880

+59c34768

)

+x8

σ82

(

c840320

+7c4c65760

− 101c349216

)

+ . . .

1√

2πσ21

. (20.494)

La exponencial se puede re-expresar compactamente en la forma cuasi-Gaussiana

D(x) =1

√

2πσ21

exp

[

− x2

2Σ2(x)

]

, (20.495)

donde hemos definido un ancho dependiente de x

Σ(x) ≡ σ22

[

1 +x2

σ22

(

c412

+5 c2424

− 2575 c344608

− c624

+29 c4 c6

288+c896

)

+x4

σ42

(−c2448

+217 c341152

− 1375 c4427648

+c6360

− 13 c4 c6480

− c24 c61728

+c26576

− c8720

+c4 c8576

)

+x6

σ62

(

−359 c3413824

+127 c446912

+5 c4 c61728

− 13 c24 c617280

− c264320

+c8

20160− c4 c8

4320

)

+ . . .

]

.

(20.496)

Para valores pequenos de x, la desviacion de Σ2(x) respecto de la constante σ2 tiene como terminoprincipal un termino cuadratico. Si graficamos la fluctuacion del ancho Σ(x), para los valoresobservados del logaritmo del precio de las opciones, encontramos la parabola en forma de son-risa mostrada anteriormente en la Fig. 20.29. Utilizando como base el desarrollo hallado en laEc. (20.488) podemos deducir una formula aproximada del precio de las opciones para la fluc-tuacion de los bienes de acuerdo a la distribucion truncada de Levy. Simplemente aplicamos eloperador diferencial que multiplica a la distribucion Gaussiana

O ≡[

1 +a44!

22(

∂

∂σ2

)2

+a66!

23(

∂

∂σ2

)3

+a88!

24(

∂

∂σ2

)4

+ . . .

]

(20.497)


a la distribucion Gaussiana dada en la Ec. (20.421). Para el caso λ = 3/2, los coeficientes son

a4 =ε

M2, a6 =

5 · 7 ε23M3

, a8 =5 · 7 · 11 ε2

M4+

5 · 7 ε2M4

,

a10 =52 · 7 · 11 · 13 ε4

3M5+

22 · 5 · 7 · 17 ε4

3M5, . . . . (20.498)

El operador O se aplica a la expresion de Black-Scholes dada en la Ec. (20.438), de tal forma queobtenemos el resultado formal

OL(xa, ta) = OO(xa, ta) = O[

S(ta)N(y+) − e−(rxW+σ2/2)(tb−ta)EN(y−)

]

, (20.499)

donde, en el lado derecho, hemos usado la Ec. (20.418) para mostrar la dependencia completa conrespecto a σ. Ahora, esta expresion se puede desarrollar en terminos de potencias de la kurtosis κ.El termino proporcional a a4 sera una primera correccion, lineal en ε, a la formula de Black-Scholes

O1(xa, ta) = − ε

12M2

(

Se−y2+/2 − e−rW (tb−ta)Ee−y2

−/2) ym√

2πσ2

− e−rW (tb−ta)(tb − ta)EN(y−)

. (20.500)

El termino proporcional a a6 sera una correccion proporcional a ε2:

O2(xa, ta) =35ε2

3M3

1

23 · 32 · 5[

Se−y2+/2(

y+y2− − 3y+ + 4

√

σ2(tb − ta))

− e−rW (tb−ta)Ee−y2−/2

(

y3− − 3y− − 2σ2(tb − ta)y−)

] 1√2πσ4

+ e−rW (tb−ta)(tb − ta)2EN(y−)

. (20.501)

El siguiente termino proporcional a a8, adiciona correcciones proporcionales a ε2 y ε3:

O3(xa, ta) =385ε3 + 35ε2

M4

1

26 · 32 · 5 · 7×[

Se−y2+/2(

−y3−y2+ + 9y−y2+ + y3− − 15y+ + 18 +

√

σ2(tb − ta)(12y−y+ + 18))

− e−rW (tb−ta)Ee−y2−/2

(

y5− − 10y3− + 15y− + σ2(tb − ta)(3y3− − 9y−)

+σ4(tb − ta)2 3y−

)]

1√2πσ6

+e−rW (tb−ta)(tb − ta)3EN(y−)

. (20.502)

Dado que el desarrollo es asintotico, para aplicaciones practicas sera necesario un esquema deresumacion eficiente.

Apendice 20A Comportamiento para Valores grandes de x

de la Distribucion Truncada de Levy

Deduciremos aquı el desarrollo asintotico divergente, en la region de valores grandes de x. Uti-lizando la variable y ≡ p/α y la constante a ≡ −sαλ, podemos escribir la integral de Fourier dadaen la Ec. (20.24) en la forma

L(λ,α)σ2 (x) = αe−2a

∞∫

−∞

dy

2πeiαyxea[(1−iy)λ+(1+iy)λ]. (20A.1)

Apendice 20A Comportamiento para Valores Grandes de x de ... 1605

Desarrollando el ultimo exponencial en una serie de Taylor, obtenemos


∞∫

−∞

dy

2πeiyαx

∞∑

n=0

an

n![(1 − iy)λ + (1 + iy)λ]n =

= αe−2a

∞∫

−∞

dy

2πeiαxy

∞∑

n=0

an

n!

n∑

m=0

( n

m

)

(1 − iy)λ(n−m)(1 + iy)λm (20A.2)

donde utilizamos los coeficientes binomiales. Cambiando el orden de la sumatoria, obtenemos


∞∑

n=0

an

n!

n∑

m=0

( n

m

)

∞∫

−∞

dy

2πeiαxy(1 − iy)λ(n−m)(1 + iy)λm. (20A.3)

Con ayuda de las funciones de Whittaker, dadas en la Ec. (20.30), este resultado se puede reescribircomo


∞∑

n=0

an

n!

n∑

m=0

( n

m

) (αx)−1−λn/22λn/2

Γ(−λm)Wλn/2−λm,(λn+1)/2(2αx). (20A.4)

Utilizando las funciones Gama de argumento positivo, en lugar de las de argumento negativo,obtenemos

L(λ,α)σ2 (x) = −α

πe−2a

∞∑

n=1

ann∑

m=0

2λn/2Γ(1+λm) sin(πλm)

(αx)1+λn/2m!(n−m)!Wλn/2−λm,(λn+1)/2(2αx).

(20A.5)

Las funciones de Whittaker Wλ,γ(x), tienen el siguiente desarrollo asintotico

Wλ,γ(x) = e−x/2xλ

1 +

∞∑

k=1

1

k!xk

k∏

j=1

[

γ2 − (λ− j + 1/2)2]

. (20A.6)

Para γ ≡ (λn+ 1)/2 y λ ≡ λ(n− 2m)/2, el producto tendra la forma

k∏

j=1

[γ2 − (λ− j + 1/2)2] =

k∏

j=1

(

λn+ 1

2

)2

−[

λ(n− 2m)

2− j +

1

2

]2

=

k∏

j=1

(λm+ j)(λn+1 − λm− j). (20A.7)

Sustituyendo este resultado en la Ec. (20A.6) y luego lo ahı obtenido en la Ec. (20A.5), obtenemosel desarrollo asintotico para valores grandes de x:

L(λ,α)σ2 (x) = − 1

πe−2a e

−αx

x

∞∑

n=1

an 2λnn∑

m=1

Γ(1 + λm) sin(πλm)

m!(n−m)!(2αx)−λm

×[

1 +

∞∑

k=1

∏kj=1(λm+ j)(λn+ 1 − λm− j)

k!(2αx)k

]

. (20A.8)

Dado que sin(πλm) se anula para m = 0, en la suma hemos incrementado el valor inicial del ındice

m en una unidad. Si definimos el producto de la forma∏0

j=1 ... como la unidad, el termino en elultimo parentesis se puede escribir como

∞∑

k=0

1

k!(2αx)k

k∏

j=1

(j + λm)(1 − λm− j + λn). (20A.9)


Rearreglando la doble suma en la Ec. (20A.8), encontramos que L(λ,α)σ2 (x) tiene la expresion

L(λ,α)σ2 (x) = − 1

πe−2a e

−αx

x

∞∑

m=1


m!(2αx)λm

∞∑

n=m

an 2λn

(n−m)!

×∞∑

k=0

1

k!(2αx)k

k∏

j=1

(j + λm)(1 − λm− j + λn), (20A.10)

y tambien hallamos la forma

L(λ,α)σ2 (x) = − 1

πe−2a e

−αx

x

∞∑

m=1


m!(2αx)−λm

×∞∑

n=0

(2λa)n+m 1

n!

∞∑

k=0

1

k!(2αx)k

k∏

j=1

(j + λm)(1 − j + λn) =

= − 1

πe−2a e

−αx

x

∞∑

k=0

1

k!(2αx)k

∞∑

m=1

Γ(1 + λm) sin(πλm)(2λa)m

(2αx)λmm!

×k∏

j′=1

(j′ + λm)

∞∑

n=0

(2λa)n

n!

k∏

j=1

(λn+ 1 − j). (20A.11)

En esta expresion, la ultima suma sobre n se puede reexpresar en forma mas eficiente usando lafuncion generatriz

f (k)(yλ) ≡ dk

dykey

λ

, (20A.12)

cuya serie de Taylor es

f (k)(yλ) =dk

dyk

∞∑

n=0

yλn

n!=

∞∑

n=0

1

n!

k∏

j=1

(λn− j + 1)yλn−k, (20A.13)

de donde hallamos

L(λ,α)σ2 (x) =

1

πe−2a e

−αx

x

∞∑

k=0

ak/λ2kf (k)(2λa)

k!(2αx)k

×∞∑

m=1

Γ(1 + λm) sin(πλm)(2λa)m

m!(2αx)−λm

k∏

j=1

(λm+ j).

(20A.14)

Este resultado se puede reescribir en la forma

L(λ,α)σ2 (x) = −e

−2a

πe−αx

∞∑

k=0

(−s)k/λf (k)(−s(2α)λ)

k!

×∞∑

m=1

Γ(1 + λm+ k) sin(πλm)(−s)mm!x1+λm+k

.

(20A.15)

De donde obtenemos el desarrollo asintotico

L(λ,α)σ2 (x) = −e

−2a

π

e−αx

x

∞∑

k=0

Ak

∞∑

m=1

Bkm(−s)mxλm+k

, (20A.16)

Apendice 20B Peso Gaussiano 1607

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

x

L(µ,α)σ2

(K)(x)

Figure 20.32 Representacion de L(λ,α)σ2

(K)(x) para valores grandes de x, donde se pre-

sentan diferentes terminos de la serie (para K = 0, 1, 2, 3, 4 y 5, el ancho de lınea indica

el incremento en K). Se muestra tambien una comparacion con la cola de la distribucion

truncada de Levy, donde λ =√

2, σ = 0.5 y α = 1.

donde

Ak =(−s)k/λf (k)(−s(2α)λ)

k!, Bkm =

Γ(1 + λm+ k) sin(πλm)

m!. (20A.17)

Utilizamos L(λ,α)σ2

(K)(x) para denotar el termino K-esimo donde hemos truncado la suma. Paraobtener la potencia de orden menor en |x|, terminamos la suma sobre m luego de hallar el menorentero mayor que (K − k + λ)/λ. El termino principal es

L(λ,α)σ2

(0)(x) = −e−2a

πe−αxf (0)(−s(2α)λ)

Γ(1 + λ) sin(πλ)(−s)x1+λ

= seα

λs(2−2λ)

π

Γ(1 + λ) sin(πλ)

x1+λe−αx. (20A.18)

Para valores grandes de x la aproximacion de L(λ,α)σ2

(0)(x) se compara con la distribucion truncadade Levy en la Fig. 20.32.

Apendice 20B Peso Gaussiano

Por simplicidad estudiemos el caso mas simple del contenido Gaussiano de la distribucion finalhallada en la Ec. (20.347), donde ρ = 0. Movamos entonces el contorno de la integral dada en laEc. (20.347) a la trayectoria p+ i/2 y estudiemos la integral de Fourier

P (x t |xata) = e−∆x/2

∫ +∞

−∞

dp

2πeip∆x−H(p,∆t), (20B.1)

donde

H(p,∆t) = −γ2vt

κ2+

2γv

κ2ln

[

coshΩt

2+

Ω2 + γ2

2γΩsinh

Ωt

2

]

, (20B.2)

y

Ω =√

γ2 + κ2(p2 + 1/4). (20B.3)

H(p,∆t) es real y antisimetrica como funcion de p. Por lo tanto, la integral dada en la Ec. (20B.1)es una funcion simetrica respecto de ∆x. La unica fuente de asimetrıa de P (x t |xata) en funcionde ∆x, esta en el prefactor exponencial hallado en la Ec. (20B.1).


Para valores pequenos de ∆x, hallamos el desarrollo en serie de la integral dada en la Ec (20B.1):

P (x t |xata) ≈ e−∆x/2

[

µ0 −1

2µ2(∆x)

2

]

≈ µ0 e−∆x/2e−µ2(∆x)2/2µ0 , (20B.4)

donde los coeficientes son el primer y segundo momento de la funcion exp[H(p,∆t)]

µ0(∆t) =

+∞∫

−∞

dp

2πe−H(p,∆t), µ2(∆t) =

+∞∫

−∞

dp

2πp2e−H(p,∆t). (20B.5)

Si ignoramos los decrecimientos semi-abruptos y extrapolamos la expresion Gaussiana del ladoderecho al intervalo ∆x ∈ (−∞,∞), la probabilidad total contenida en la extrapolacion Gaussianasera la fraccion

f(∆t) =

+∞∫

−∞

d∆xµ0 e−∆x/2−µ2∆x2/2µ0 =

√

2πµ30

µ2eµ0/8µ2 . (20B.6)

Dado que la integral de la Ec. (20B.6) ignora la probabilidad contenida en los decrecimientossemi-abruptos, esta fraccion es siempre menor que 1. La diferencia 1 − f(∆t) es una medida dela contribucion relativa de los decrecimientos semi-abruptos. Los parametros µ0(∆t) y µ2(∆t) secalculan en forma numerica, la fraccion f(∆t) resultante se grafica en la Fig. 20.25 en funcion de∆t. Para el lımite ∆t→ ∞ la distribucion es una Gaussiana, mientras que para valores pequenosde ∆t obtenemos una funcion muy dispersa en funcion de p.

Apendice 20C Comparacion con los Datos Dow-Jones

Para mostrar una comparacion directa entre la teorıa discutida en la Seccion 20.4 y los datosfinancieros reales mostrados en la Fig. 20.22, los autores de la Ref. [79] utilizaron los datos fi-nancieros al cierre diario del ındice industrial Dow-Jones para el perıodo de los ultimos 20 anos,desde el 1o. de Enero de 1982 hasta el 31 de Diciembre de 2001, obtenidos del sitio electronicoYahoo [110]. El conjunto de datos contiene 5049 puntos S(tn), donde la variable temporal discretatn representa los dıas. Se han ignorado los dıas cortos, anteriores a las festividades. Para cadatn, los autores calcularon el logaritmo de la ganancia ∆x(tn) = lnS(tn+1)/S(tn). Luego hicieronuna particion del eje x en intervalos igualmente espaciados de ancho ∆x y contaron el numerode logaritmos de la renta ∆x(tn) que caen en cada intervalo, omitiendo todos los intervalos connumero de ocupacion menor que cinco, el cual consideraron como demasiado pequeno para ser deutilidad. De esta forma, solo se omitio menos del 1% del total de los datos. Dividiendo el numerode ocupacion de cada particion por ∆r y por el numero total de ocupacion de las particiones,obtuvieron la densidad de probabilidad para el intervalo temporal ∆t = 1 dıa. De esta maneraencontraron P (DJ)(x t |xata), donde usaron el reemplazo ∆x→ ∆x− rS∆t.

Suponiendo que el sistema es ergodico, de tal forma que el ensemble promedio es equivalente alpromedio temporal, compararon P (DJ)(x t |xata) con el valor calculado de P (x t |xata) hallado enla Ec. (20.347). Los parametros del modelo se determinaron minimizando la desviacion cuadraticamedia

∑

∆x,∆t | logP (DJ)(x t |xata) − logP (x t |xata)|2, donde la suma se calcula sobre todos los∆x disponibles y sobre ∆t = 1, 5, 20, 40 y 250 dıas. Se seleccionaron estos valores de ∆t debidoa que representan diferentes regımenes: γ∆t ≪ 1 para t = 1 y 5 dıas, γ∆t ≈ 1 para t = 20 dıasy γ∆t ≫ 1 para t = 40 y 250 dıas. Como se muestra en las Figs. 20.22 y 20.23, la densidadde probabilidad P (x t |xata) calculada con la integral de Fourier hallada en la Ec. (20.347), concomponentes dadas por la Ec. (20.348), concuerda muy bien con los datos no solo para los cincovalores temporales seleccionados, sino que para todo el intervalo temporal de 1 a 250 dıas deactividad comercial. La comparacion no se puede extender a ∆t mayor a 250 dıas, valor querepresenta aproximadamente 1/20 del rango entero de datos, debido que es imposible obtener concerteza de los datos la probabilidad P (DJ)(x t |xata) cuando ∆t es muy grande.

Apendice 20C Comparacion con los Datos Dow-Jones 1609

Table 20.1 Parametros de las ecuaciones con fluctuaciones de la varianza obtenidos

del ajuste a los datos Dow-Jones. En el ajuste obtenemos ρ ≈ 0, para el coeficiente de

correlacion, y 1/γ = 22.2 dıas de actividad comercial, para el tiempo de relajacion de la

varianza.

Unidades γ v ε µ1/dıa 4.50 × 10−2 8.62 × 10−5 2.45 × 10−3 5.67 × 10−4

1/ano 11.35 0.022 0.618 0.143

El mejor ajuste para los cuatro parametros γ, v, ε y µ esta dado en la Tabla 20.1. Considerandola dispersion de los datos, no hay diferencias importantes entre los ajustes para un coeficiente decorrelacion ρ cero o casi cero. Por lo tanto, el parametro de correlacion ρ para los terminos delruido del precio de las acciones y la varianza dada en la Eq. (20.310) es practicamente cero. Estaconclusion se contradice con el valor ρ = −0.58, hallado en la Ref. [111], obtenido ajustando lafuncion de correlacion auxiliar introducida en la Ref. [112]. Se necesita de un estudio mayor paraentender esta discrepancia. Todas la curvas teoricas mostradas en las figuras anteriores se calculanpara ρ = 0 y se ajustan bastante bien a los datos.

Los parametros γ, v, ε y µ tienen dimensiones de 1/tiempo. En la Tabla 20.1 una de las filascontiene los valores en unidades de 1/dıa, como fue determinado originalmente en nuestro ajuste.La otra fila muestra los valores anualizados de los parametros, en unidades de 1/ano, donde aquıun ano es igual al numero promedio de 252.5 dıas de actividad comercial por ano. El tiempo derelajacion de la varianza es igual a 1/γ = 22.2 dıas de actividad comercial = 4.4 semanas ≈ 1mes, donde 1 semana = 5 dıas de actividad comercial. Con esto obtenemos que la varianza tieneun tiempo de relajacion mayor, del orden de un mes, lo cual esta en completo acuerdo con unaanterior conclusion hallada en la Ref. [111].

Usando los datos de en la Tabla 20.1, obtenemos que el valor del parametro ε2/2γv es ≈ 0.772,lo cual cumple con la condicion de pequenez dado la Ec. (20.322), asegurando con ello que v nuncatiene valores negativos.

Los precios de las acciones tienen una razon de crecimiento aparente determinada por xm(t), elmaximo de la densidad de probabilidad. Agregando este valor a la razon de crecimiento inicialmentesustraida, rS , encontramos que la razon de crecimiento aparente es rS = rS − γv/2ω0 = 13% porano. Este valor coincide con la razon promedio de crecimiento del ındice Dow-Jones obtenidamediante un ajuste simple de los puntos Stn , utilizando una funcion exponencial que depende detn. La razon de crecimiento aparente rS es comparable con la volatilidad promedio de las accionesluego de un ano, σ =

√v = 14.7%. Ademas, el parametro dado por la Ec. (20.328), que caracteriza

el ancho de la varianza de la distribucion estacionaria, es igual a vmax/w = 0.54. Esto significa quela varianza de la distribucion se dispersa, y que la varianza puede fluctuar facilmente a un valorque es igual al doble del valor promedio v. Como una consecuencia de esto, aun cuando la razonde crecimiento promedio del ındice de las acciones es positivo, hay una probabilidad sustancial∫ 0

−∞d∆xP (x t |xata) ≈ 17.7% de obtener un crecimiento negativo para un ∆t = 1 de un ano.

De acuerdo con la Ec. (20.368), la asimetrıa entre las pendientes del decrecimiento exponencialpara ∆x positivo y negativo esta dado por el parametro p0, el cual es igual a 1/2 cuando ρ = 0 [vertambien la discusion de la Ec. (20B.1) en el Apendice 20B]. El origen de esta asimetrıa se remonta ala transformacion de S(t)/S(t) a x(t) utilizando la formula de Ito. Esto da origen al termino v(t)/2en la Ec. (20.306), de donde obtenemos el primer termino del operador Hamiltoniano dado en laEc. (20.319). Para ρ = 0 esta es la unica fuente de asimetrıa de la probabilidad P (x t |xata) respectode ∆x. En la practica, la asimetrıa de las pendientes p0 = 1/2 es muy pequena (aproximadamente2.7%), comparada con la pendiente promedio q±∗ ≈ ω0/ε = 18.4.


Notas y Referencias

La valorizacion de las opciones, mas alla de Black y Scholes, usando integrales de trayectoria sediscutio en la Ref. [113], donde se revisan las estrategias para minimizar los riegos en presencia defluctuaciones extremas, como sucede en los mercados financieros reales. Ver tambien la Ref. [114].Un generalizacion reciente de las integrales de trayectoria a las integrales funcionales sobre super-ficies, como una alternativa a la aproximacion de Heath-Jarrow-Morton para modelar una curvadada (ver http://risk.ifci.ch/00011661.htm), ha sido propuesta en la Ref. [115]. Aplicacionesde la transformacion Duru-Kleinert a los mercados financieros estan descritas en la Ref. [21] delCapıtulo 14.

Las citas individuales se refieren a

[1] La evolucion del ındice industrial de Dow-Jones hasta la fecha se puede hallar ensitios electronicos como http://stockcharts.com/charts/historical/djia1900.html.En forma alternativa, se puede graficar directamente utilizando el programa Mathemat-

ica de Stephen Wolfram (v.6) utilizando las siguientes instruccionest=FinancialData["^DJI",All];l = Length[t]

tt = Table[t[[k]][[1]][[1]]+(t[[k]][[1]][[2]]-1)/12,t[[k]][[2]], k,1,l]ListLogPlot[tt]

Notese que el ultimo perıodo de inactividad fue predicho en la tercera edicion de este libro,en 2004.

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Notas y Referencias 1611

[12] Este resultado tiene su nombre luego del matematico ruso Andrei Andrejewitsch Markov,quien en 1912 publico el libro, escrito en Aleman, sobre “Teorıa de Probabilidad” citado enla pag. 1141, donde se ha usado la version alemana del nombre: Markoff.

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[25] I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, op. cit., Formulas 3.382.6 y 3.382.7.

[26] ibid., op. cit., Formula 3.384.9.

[27] ibid., op. cit., Formula 9.220.3 y 9.220.4.

[28] Este resultado fue calculado por A. Lyashin, cuando visito mi grupo en Berlın. Notese queal hallar el comportamiento asintotico dado en la Ec. (20.37), otros autores han perdido elprefactor, ver por ejemploA. Matacz, Financial Modeling and Option Theory with the Truncated Levy Process , cond-mat/9710197. El prefactor se puede eliminar solo para α = 0.

[29] ibid., op. cit., ver la Formula 3.462.3.

[30] ibid., op. cit., ver la Formula 9.246.

[31] ibid., op. cit., ver la Formula 9.247.2.


[32] El comportamiento exponencial para tiempos cortos ha sido observado en la Ref. [13], lomismo que por muchos otros autores:L.C. Miranda and R. Riera, Physica A 297, 509 (2001);J.L. McCauley and G.H. Gunaratne, Physica A 329, 178 (2003);T. Kaizoji, Physica A 343, 662 (2004);R. Remer and R. Mahnke, Physica A 344, 236 (2004);D. Makowiec, Physica A 344, 36 (2004);K. Matia, M. Pal, H. Salunkay, and H.E. Stanley, Europhys. Lett. 66, 909 (2004);A.C. Silva, R.E. Prange, and V.M. Yakovenko, Physica A 344, 227 (2004);R. Vicente, C.M. de Toledo, V.B.P. Leite, and N. Caticha, Physica A 361, 272 (2006);A.C. Silva and V.M. Yakovenko, (physics/0608299).

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