TECHNISCHE MECHANIK 6(1985)Heft1

Manuskripteingang: 16. 2. 1984

Das Mohrsche Verfahren zur Berechnung von Biegebalken

mit nichtlinearem Werkstofigesetz

Hans Irschik

0. Einleitung

Die wirklichkeitsnahe Ermittlung der Durchbiegung von

Biegebalken unter Berücksichtigung nichtlinearen Werk-

stoffverhaltens (linear oder nichtlinear elastisch-plasti—

sches Verhalten mit oder ohne Verfestigung) bereitet

zunächst nur dann wenig Mühe, wenn — wie im Falle sta-

tischer Bestimmtheit — die vorgegebenen Beziehungen

zwischen Biegemoment und Balkenkrümmung unmittel—

bar ausgewertet werden können (z. B.: Neal [1], S. 149,

Reckling [2], S. 119, Leonhardt [3], S. 85). Hingegen ist

die analytische Behandlung statisch unbestimmter Träger

mit ausgedehnten nichtlinearen Bereichen meist aufwen-

dig, wie ein in [2], S. 126 gegebenes Beispiel zeigt.

Nun liegt für Tragwerke aus Stählen ohne merkliche Ver-

festigung im betrachteten plastischen Bereich mit der

Fließgelenktheorie ein bereits sehr weit entwickeltes

Verfahren vor (Rubin und Vogel [4], S. 159). Dieses

ist aber gerade im Hinblick auf die Durchbiegungsermitt-

lung in seiner Aussagekraft beschränkt, weil die Ausbil—

dung plastischer Zonen auf Grund der verwendeten idea-

lisierten Momenten-Krümmungsbeziehung eben nur in

diskreten weit entfernten Querschnitten des Trägers auf-

tritt und damit die Steifigkeit zwischen diesen Fließge-

lenken überschätzt wird. (Für Vergleichsrechnungen

siehe z. B. Dorosz [5], Dorosz und Sawzuk [6]). Auch

treten bei vergüteten Stählen oder Leichtmetallegierun-

gen merkliche Verfestigungserscheinungen auf ([2], S. 2).

Stahlbetonträger verhalten sich nicht-linear elastisch im

Zustand II (bei Erstbelastung) und plastisch mit Verfe-

stigung im Zustand IH (z. B. [3], S. 85).

Es besteht also wohl —- trotz der großen Bedeutung der

Fließgelenktheorie zur Traglastermittlung (auch bei

Stahlbeton [3], S. 149) — ein Bedarf nach einfachen nu-

merischen Verfahren, welche möglichst unabhängig von

der Art des verwendeten Baustoffes die Ermittlung von

Durchbiegung und zugehörigen Schnittgrößen auch bei

endlicher Ausdehnung der nichtlinearen Effekte in Trä-

gerlängsrichtung erlauben. Dabei muß die Berücksichti-

gung zyklischer Be- und Entlastungsprogramme möglich

sein. Zum Vorteil des Benutzers sollte die Vorgangsweise

als Erweiterung der Fließgelenkmethode erkannt werden

können, und es sollten dabei Verfahren der klassischen

linearen Baustatik Verwendung finden.

Die vorliegende Arbeit soll ein Beitrag in dieser Richtung

sein. Zum Ausgangspunkt genommen wird die von Lin

[7] entwickelte Vorgangsweise, einen festen Körper mit

„inelastischer" Beanspruchung als einen linear—elasti-

schen zu behandeln, dem zusätzliche Volumen- und

Oberflächenkräfte eingeprägt sind.

Unter „inelastisch” wird in l7] nicht nur elastisch-plasti-

sches oder viskoses Verhalten, sondern auch elastische

Wärmebeanspruchung verstanden. Das Verfahren ist eine

Verallgemeinerung einer bereits von H. Reißner [8] für

Eigenspannungszustände angegebenen Theorie und

schließt die aus der Thermoelastizitätstheorie bekannte

Goodiersche Methode [9] mit ein. Mit Hilfe dieser Sicht

der Theorien wurden eine Reihe zwei- und dreidimensio-

naler Probleme erfolgreich gelöst; Lins Arbeit hat dann

auch die Entwicklung entsprechender Computerverfah-

ren nach sich gezogen die Methode der Randelemen-

te etwa [10], [11]). Die von Lin und Mitautoren gege-

bene Aufbereitung für Biegeu'äger ([12]; [7], S. 128;

[13] für Rahmen; [l4] für dynamische Probleme) er—

scheint allerdings doch grundsätzlich verbesserungsfähig

zu sein: So sind nach [12], [7] und [13] einem Ersatz-

träger erste Ortsableitungen noch zu ermittelnder Grö-

ßen (siehe letzter Term in Gl. (2) dieser Arbeit) als äuße-

re Momentenbelastung einzuprägen; in [l4] wird mit

fiktiven Querbelastungen gearbeitet, die zweite Ablei-

tungen einer numerisch zu bestimmenden Funktion dar-

stellen letzten Term in Gl. (l) dieser Arbeit).

Gelingt auch im ersten Falle die Beseitigung des rechen-

technischen Nachteils numerischer Differentiation mit-

tels eines Integralsatzes, ist doch eine geschachtelte Vor-

gangsweise zur Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen

erforderlich; dabei muß der Veränderung „dynamischer“

Randbedingungen (Biegemomente und Querkräfte be-

treffend) zufolge der Werkstoffnichtlinearität durch Ein-

prägen zusätzlicher äußerer Lasten Rechnung getragen

werden.

In der vorliegenden Arbeit wird deshalb eine alternative

Strategie vorgestellt. Die nichtlinearen Effekte werden

problemangepaßt als fiktive Temperaturbeanspruchung

des gegebenen Trägers unter Annahme linear—elastischen

Verhaltens gedeutet. Es wird gezeigt, daß es sich dabei

um eine vollständige Analogie handelt, so da6 mit den

originalen Lagerungsbedingungen des Balkens gearbeitet,

werden kann. Diese neue Methode berücksichtigt einer-

seits direkt, daß die nichtlinearen Zonen im statisch un-

bestimmten Träger die linear-elastische Rechnung ja nur

um lineare Zwängungsschnittgrößenverteilungen ändern

können, andererseits ist die Differentiation numerisch

gewonnener Ergebnisse nicht erforderlich. Die guten

Kenntnisse des Ingenieurs betreffend „Temperaturbean-

spruchung in linear elastischen Biegebalken” sollen ange-

sprochen werden.

Mit Hilfe der Analogie wird die Durchbiegung des

stofflich nichtlinearen Balkens also in den linear-elasti-

schen Anteil zufolge der gegebenen Belastung und in

eine Iinear—thermoelastische Durchbiegung zufolge noch

unbekannter Temperaturbeanspruchung zerlegt. Der

erste Anteil darf als bekannt vorausgesetzt werden. Als

baustatisch besonders vorteilhaftes Verfahren zur Er—

21

mittlung des zweiten Anteils wird das Mohrsche Verfah-

ren erkannt, welches auch im Licht neuer Arbeiten (z. B.

[4-], S. 105) seine grundsätzliche Bedeutung erhalten hat,

und — wie Gamer [15], [16] gezeigt hat — für Tempera-

turbeanspruchung ein Minimum an Arbeitsaufwand ge-

währleistet.

Ausgehend von dieser Analogie und der entsprechenden

Mohrschen Formulierung wird dann eine numerische

Methode zur Ermittlung der fiktiven Temperaturbean-

spruchung angegeben; diese erscheint für unterschied-

liche Baustoffe und Trägerquerschnittsformen gleich

geeignet. Die Vorgangsweise wird an Testbeispielen er-

läutert. Es wird diskutiert, wie das Fliefigelenkverfahren

mit seiner speziellen Biegemomenten-Kriimmungsbezie-

‚ hung als Sonderfall der vorgestellten numerischen

Methode aufgefaßt werden kann.

In der vorliegenden Arbeit wird quasistatische Beanspru-

chung zufolge Querbelastung behandelt; eine Aufberei-

tung für dynamische Probleme erfolgt in [17]. Die Be-

rücksichtigung von Temperaturbelastung, Normalkraft-

beanspruchung oder Schubdeformation sowie die Be-

rechnung von Bahmentragwerken sollen zu einem späte-

ren Zeitpunkt vorgestellt Werden. Auch über Kriecher-

scheinungen wird gesondert berichtet.

l. Eine vollständige Analogie zwischen Balken

mit linearem und nichtlinearem Werkstoffge-

setz

Das Problem der ebenen Biegung gerader, normalkraft-

freier Stäbe mit eingeprägter Querbelastung q führt nach

Lin ([7], S. 128, 352) bei einachsigem nichtlinearem

Werkstoffgesetz (Bild la) auf die folgende Integrodifw

ferentialgleichung für die Durchbiegungw (Bemoulli-

Euler Hypothese, geometrisch linearisierte Beziehungen

werden vorausgesetzt):

d4W _ q

dx4 H J dx2 A

Biegemomente und Querkräfte ergeben sich aus w zu:

(1)

Bild l

a) Nichtlineares Stoffgesetz; Definition von 6N .

b) Qualitative nichtlineare Biegemomenten-Krümmungsbezie—

hung des Querschnittes A; Definition von m; — — — mögli-

che lineare Approximation

d2w 1 N _ __ dM

m * He “1A” 0‘5

EJ ist eine jeweiligen Integrationsabschnitt konstan-

te) Vergleichsbiegesteifigkeit des Stabquerschnittes A

(vgl. Bild 1b); zweckmäßigerweise werden meist An-

fangsmodul und tatsächliches Trägheitsmoment (bei

Stahlbeton jenes im Zustand I) zu wählen sein.

Man erkennt, daß die nichtlinearen Dehnungen 6N nicht

nur die vom linearen Fall her bekannte Differentialglei-

chung der Biegelinie:

M=—m< (m

d4 w* q

= .— ; 3

dx4 EJ ( )

sondern auch die entsprechende Schnittgröfienbeziehung:

d2 w*M* = —- E 4

J dx2 ( )

modifizieren. Damit ändert sich der mathematische Cha-

rakter des Problems, weil der nichtlineare Term im (l)

wegen (2) nicht direkt als fiktive Querbelastung gedeu-

tet werden kann. Es ist auch ersichtlich, daß die in w

formulierten dynamischen Randbedingung von (l) (und

ebenso die Übergangsbedingungen bei Einzelwirkungsan-

griffen) gegenüber (3), (4) geändert werden.

Ein Problem der Art (1), (2) ist aber doch aus der linea-

ren Stabstafik bekannt: Das (normalkraftfreie) Bie-

gungsproblem zufolge eingeprägter Temperaturvertei-

lung 6 führt auf:

d4 wM d2

= ———m , 5

dx4' dx2 ( )

d2 win:-

M" ——EJ( + m), (6)

dx2

wobei die Temperaturbeanspruchung durch das Integral

m = g f szA

J A

gegeben ist. a ist der lineare Wärmeausdehnungskoeffi-

zient; m wird — als erstes Querschnitte-Moment der Tem-

peraturverteilung 9 — oft „Temperatunnoment” ge-

nannt. (Die wohl auf Boley [18] zurückgehendeund von

Parkus [19], S. 296 zweckmäßig aufbereitete Formulie-

rung (5), (6), erlaubt, beliebige Temperaturverteilun-

gen 9(x, z) ebenso einfach (und genau) wie jene zu be-

6M Esz-

STOFFGESETZ 1 Z EJm1 2 H k6‘ 1 (EHk

(an|

3 n ‘Tt /

Z

EJ x “i

yJ Lu)

E A z

z j- 3c=—d‘w/dx‘

e BIEGEMOMENT~

N N ‚.

£1 -E KRUMMUNGSGESETZ

22

handeln, die nur linear über den Querschnitt verteilt

sind.)

Aus dem Vergleich der bisher angegebenen Beziehungen

ergibt sich nun eine vollständige (auch die Randbedin—

gungen betreffende) Analogie:

Setzt man:

6N =a9, also mE% Ä edeA, (8)

so gilt:

wEw*+w**, MEM*+M**. (9)

Es werden also Durchbiegung und Schnittgrößen in den

linear-elastischen Anteil zufolge der gegebenen Bela-

stung q und in einen linear-thermoelastischen Anteil zu-

folge fiktiver Temperaturbeanspruchung m zerlegt. Jedes

(lineare) Verfahren, das zur Durchbiegungsbestimmung

zufolge m dient, kann zur Ermittlung der nichtlinearen

Korrektur wH von w* herangezogen werden.

Die Vollständigkeit der Analogie zeigt sich anschaulich

in den Ausdrücken für die Spannungen: Nach [l9],

S. 297 gilt für linear-elastische Biegebalken zufolge q

und 6:

o = $2 + E(mz—a®); (10)

aus [7], S. 132 ist bei inelastischem Materialverhalten:

o = M2 + E(£ f edeA — eN). (11)

J J A

Lin selbst hat ja in [7] —— nur von der Bezeichnung her

unglücklich — linear thermoelastische Beanspruchungen

zu den „inelastischen” gezählt.

Die Zweckmäßigkeit der Analogie erscheint auch da-

durch gegeben, daß die nichtlinearen Effekte die lineare

Rechnung ja nur zufolge von Zwängungsschnittgrößen

ändern können; genau solche Schnittgrößenverteilungen

werden aber durch Wärmespannungen hervorgerufen:

M** verläuft abschnittsweise linear, QM abschnittsweise

konstant. Beide verschwinden in statisch bestimmten

(oder durch Fließgelenke bestimmt gewordenen) Trä-

gern. Würden hingegen die letzten Terme in (l), (2) als

äußere Lasten gedeutet werden, müßte — wie in [7],

[12], [l3] — eine indirekte Vorgangsweise entwickelt

werden, um die Gleichgewichtsbedingungen zu erfüllen.

Die Lösung des Problems (3), (4-) wird als bekannt vor-

ausgesetzt; der statische Teil der Aufgabe beschränkt

sich nur mehr auf die Ermittlung der Durchbiegung zu—

folge m. Es wird as Mohrsche Verfahren gewählt (verglei—

che [15], [16]), welches auf der Analogie von (6) mit der

Gleichgewichtsbeziehung

d2 Mdxz (12)

beruht. Der bei statisch unbestimmten Originalträgern

statisch unterbestimmte adjungierte Ersatzträger wird

also mit m+M**/EJ querbelastet. Dieser Ersatzträger

muß sich im Gleichgewicht befinden; daraus, und weil

der Verlauf der thermoelastischen Momentenlinie quali-

tativ bekannt ist, kann MH leicht ermittelt werden; wM

folgt dann durch Integration als Biegemoment im Er—

satzträger.

2. Das numerische Verfahren

Um m numerisch darzustellen, wird der Träger in Inter-

valle unterteilt und der Verlauf von m zwischen Stütz-

stellenwerten (ausreichend genau linear) analytisch ange-

nähert. M** und w'H können dann als Funktion dieser

Stützstellenwerte vomeweg mittels der Mohrschen Ana-

logie aus Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden.

Es wird hervorgehoben, daß dabei auch die geometri-

schen Verträglichkeitsbedingungen im gesamten Träger

erfith bleiben.

Dieser linear-elastischen Statik wird jetzt das jeweils zu

Grunde liegende Werkstoffgesetz gegenübergestellt, wel-

ches im einachsigen Fall über die Querschnittsform in

einer (lokalen und nichtlinearen) Biegemomentenkrüm-

mungsbeziehung seinen alleinigen Ausdruck findet und

aus M = f a (6)sz sowie der Bernoulli-Euler Hypothese

mit e = _zd2w/dx2 folgt (vgl. A Bild l b). Beispiele für

diese (erstmals von Hrennikoff [20] verwendeten) Bezie-

hungen finden sich in der oben zitierten Literatur.

Nun kann aber in solchen Diagrammen wegen G1. (2)

EJm sofort als Differenz zwischen der Geraden mit der

Steigung E] und der gekrümmten Funktion erkannt wer-

den Bild 1 b), womit auch m(M) explizit bekannt

ist. Im folgenden wird angenommen — was bei der unten

gewählten Vorgangsweise immer der Fall sein wird —

daß damit auch die Umkehrfunktion M(m) leicht ange-

geben werden kann.

Die wesentliche Näherung besteht dann darin, daß die

Identität M (m) E M* +M** zur Bestimmung von m eben

nur an den Stützstellen ausgewertet wird, welche aber

über die nichtlinearen Trägerabschnitte verteilt und da-

bei beliebig nahe nebeneinander liegend gewählt werden

können. Daraus ergibt sich das benötigte Gleichungssy-

stem für die l Stützstellenwerte m-‚ j = 1, . . . , 1. Es be-J_,

steht aus einem linearen Teil M** = IM“, . . . , MT*]T,

dessen Koeffizientenmatrix Q" die mittels des Mohr-

schen Verfahrens errechneten thermoelastischen Momen-

teneinflußzahlen zusarnmenfaßt, dem nichtlinearen Vek-

tor M = [M1(m1),. . ‚ M,(m,)]T, der die M(m) Bezie-

hungen _a)n den Stützstellen wiedergibt, und einem Stör-

vektor M*, welcher die entsprechenden Werte von M*

enthält: M“ = [M* , . . . , M:]T. Damit wird:

—IVI** + M) = IVI* wobei:9

l3

IVI)**:Q**I;I) und m):[m1,...,m2]T. ( )

Dies stellt ein Analogon für das von Lin [7], S. 157 auf

anderem Weg (und mit anderem mechanischen Hinter-

grund sowie speziell für I-Profile) angegebene, Glei-

chungssystem zur Ermittlung der letzten Terme in (1),

(2) dar und könnte mit beliebigen Lösungsverfahren für

nichtlineare Gleichungssysteme weiter behandelt wer-

den.

Oft sind detaillierte Belastungsgeschichten zu verfolgen,

so daß zweckmäßigerweise inkrementell formuliert

wird:

(M: — (35d; = (133*, (14)

wobei für die Diagonalmatrix gilt:

23

dMl de ' 15

d—n—q , . . . , (E , ( )

—> —->

und dm, dM* die Inkremente der jeweiligen Vektoren

bedeuten.

Sicherlich gestaltet ch die Lösung dann besonders ein-

fach, wenn M-(mj) stückweise linear verläuft. Es wird

deshalb vorgeschlagen, die jeweils vorgegebenen Biege-

momenten-Krümmungsbeziehungen (hinreichend genau)

linear zu approximieren (Bild lb); so eine Vorgangs-

weise ist bei numerisch (punktweise aus Experimenten)

ermittelten Verläufen ohnehin erforderlich. Die de/

dmj sind dann die Steigungen der den betrachteten In-

krementen zugehörigen Geradenstücke.

M'=diag[~

In den folgenden Beispielen wird darüber hinaus der in-

versen Frage nachgegangen, um welches Inkrement eine

gegebene proportionale Belastungsgruppe gerade zu stei-

gern ist, damit eine neue Stützstelle das elastische Grenz-

moment bzw. einen weiteren Knick in der Mj (mJ-)-Kurve

erreicht. Auf diese Weise kann die Größe des jeweiligen

linearen Gleichungssystems, das heißt die Anzahll der

Stützstellen im nichtlinearen Bereich, auf einem Mini-

mum gehalten werden, und es haben sich bei den Test-

rechnungen Iterationen weitgehend erübrigt. Die Aus-

breitung der nichtlinearen Zonen im Träger wird dabei

kontrolliert verfolgt, weil eine Abweichung vom vorge-

gebenen Mj (mj)-Pfad unmöglich ist. Jedenfalls wirkt

sich vorteilhaft aus, daß der größte Teil des Gleichungs-

systems — nämlich die Koeffizienten von Q“ ~ von

vorneherein zur Verfügung stehen und von Laständerun—

gen unberührt bleiben; der benötigte Rang von Q" muß

nur entsprechend der jeweiligen Ausbreitung der nicht-

linearen Zonen verändert werden, worüber die aktuelle

Momentenlinie und ihr linear elastisches Inkrement

(ii/1* Aufschlufi geben. Auch läßt sich die benötigte

Funktion M(m) dann leicht angeben: Im k-ten Ab-

schnitt der linearisierten BiegemomentensKrümmungsbe-

ziehung gilt nämlich (Bild 1 b):

d2w

M=(EJ)k (K-Kk_1)+Mk_1‚ K Z " T: (16)dx

so daß mit Gl. (2)

(M- Mk—l) = (EDk (m—mk_1)/(1 —(EJ)k /EJ) {17)

mit signM = signm und IMk_1I<|MI<IMkI. Für

EJk = E] wird m=mk_l.

Die inkrementelle Formulierung lautet entsprechend:

dM = (EJ)k dm/(l—(EJ)k IEJ), (18)

wobei also dm = 0 bei (EJ)k = E], was insbesondere für

die Entlastung bedeutsam ist.

Die Entlastung kann nichtlinear-elastisch oder linear

(z. B. von (2) nach (3) in Bild l) vor sich gehen, im letz-

teren Fall ist m = const, solange, bis an der betrachteten

Stützstelle wieder der nichtlineare (stückweise linear an-

genäherte) Ast der Biegemomentenkrümmungsbeziehung

erreicht ist. Während dieser Entlastung entlang der Ge-

raden mit der Steigung EJ ist dm- = O bzw. de = dMT;

danach tritt wieder ein dm- als Uanekannte in das Glei-

chungssystem (14-) ein.

Hat man es mit mehreren Lastgruppen zu tun, die mit

unterschiedlichen Lastfaktoren beaufschlagt sind, dann

24

kann die Belastungsgeschichte (genügend fein) in propor-

tionale Abschnitte geteilt und die Vorgangsweise für jede

dieser Laststufen getrennt durchgeführt werden.

3. Zusammenhang zum Fließgelenkverfahren

Beim klassischen Verfahren erfolgt die baustatische Be-

rücksichtigung eines Fließgelenks auf zwei Wegen ([4]

S. 160):

Es kann erstens als Gelenk mit bekanntem, eingepräg-

tem Doppelmoment angesehen werden, was zu einer

Systemänderung führt. Erreicht also eine Stützstelle im

Momenten-Krümmungsdiagramm das volle plastische

Moment (unter Ausschöpfung der Querschnittsreserve)

dann stoppt dasfivorher angegebene Berechnungsverfah-

7

ren, und M* werden für das neue System berech—

net, worauf der Algortihmus von vorne beginnt. Die

Ausbreitung der plastischen Zonen zwischen den Gelen-

ken wird dabei voll berücksichtigt. Das klassische Fließ-

gelenkverfahren stellt dabei insofern einen Sonderfall

dar, als sich auf Grund der dort angenommenen bilinea-

ren Biegemomenten-Krümmungsbeziehungen mit hori-

zontalem Ast solche Zonen eben nicht bilden können.

Der zweite Weg besteht darin, das Fließgelenk als Quer-

schnitt mit eingeprägtem Knickwinkel anzusehen, wobei

keine Systemänderung auftritt, aber der Knickwinkel als

zusätzliche Unbekannte hinzukommt. Die vorliegende

Methode liefert diesen Winkel sofort als Knick in der

Momentenlinie des Mohrschen Ersatzträgers zufolge fik—

tiver Einzellasten — biegender heißer Flecke — am Ort

des Fließgelenks.

4. Testbeispiele

Um das numerische Verfahren zu illustrieren, werden

mehrere Testbeispiele vorgestellt.

Zunächst wird ein beiderseits starr eingespannter Balken

(Bild 2 a) unter Doppelmomentbelastung behandelt. Die

Momentenlinie M* ist in Bild 2 b dargestellt; da sie ab-

schnittsweise konstant verläuft, erübrigt sich eine Unter—

teilung des Balkens mittels Stützstellen; es braucht nur

mit den Bereichen l, 2 gearbeitet zu werden, so daß:

193* = MA [4/5, —1/5]T. (19)

In diesen Bereichen müssen dann auch die (gegebenen-

falls auftretenden) mj, j = l, 2 konstant sein. Aus Sym-

metriegründen muß zudem MH im gesamten Träger

konstant verlaufen. Der mit m + M**/EJ zu belastende

Ersatzbalkenschwebt frei; Gleichgewicht liefert (Bild 2 c):

1 4

g" = (—EJ/5) . ~ (20)

1 4

Es wird ein bilineares Biegemomenten-Krümmungsge-

setz (etwa: l-Profil aus verfestigendem Metall) nach

Bild 3 betrachtet; mit GI. (17) folgt:

Mr für IM;I<!\—/l,

M. =_ _ (21)

1M +Eij/3 fiir |M;|>M‚ j:l,2.

Wird der Träger einer proportional steigenden Erstbela-

stung unterworfen, genügt es, mit der finiten Beziehung

NR vSYSTEM é 2 1 2 %

4 \. ‚z _zus us zu:

—- _ b.)

AMA/5 e M.

G G

MAIS'I m __. )

m2 m2 C.

i l l l l l I“

ERSATZ- ..

BALKEN "’EJ

H d)

EJrIfit‘e .55 29R

DURCHBIEG-

UNGEN "

e.)

0 11 11 EJu'Ifil’

50m

Bild 2

I{xi/leiderseits eingespannter Balken unter Doppelmomentbelastung

a) Systemabmessungen

b) Linear-elastische Momentenlinie M*

c) Ersatzträger unter fiktiver Querlast (m+ MH/EJ)

d) Dimensionsloser Durchbiegungsanteil EJwH/Ml2 nach pro-

portionaler Belastung bis zum Plastifizieren in 2 _

e) Zugehörige linear-elastische Durchbiegung EJw*/M l2

EJ m1

(=9fi/B

für MA-ZH)

nf-efils

"fein

2|

EJIL 'EJ/S

EJ

l

Bild 3

Biegemomenten-Krümmungsbeziehung für den Träger aus Bild 2

(13) zu arbeiten; Fließen wird (vgl. (19)) zuerst im Be-

reich 1 dann in 2 auftreten. Die Frage,_wann letzteres

gerade der Fall ist, liefert (mit M2 = —M, m2 = 0) das

folgende lineare Gleichungssystem für m1 und die zuge-

hörige Last MA :

1 4 ‚E, ä, _ 1

(EJ/S) - + (EJ/3) + M

1 4 0 0 — 1

_worlau2s: MA = 11 lVI/tl; 51 =9111/4EJ; = ~9M/20,

J = , .

Die entsprechenden Durchbiegungen sind (als Biegemo-

mente im Mohrschen Ersatzträger) in Bild 2d), e) ange-

geben. ~

Ist MA <MA, so gilt (mit m2 = 0): m1 = (leA _ 151V!)

/8EJ, also etwa für MA = 2M: M1 = llM/B, was Lin [7],

S. 161 auf anderem Weg erhalten hat. Die graphische Er-

mittlung dieses Ergebnisses ist in Bild 3 dargestellt.

(Selbstverständlich kann bei nur einer Unbekannten

ohne weiteres mit nichtlinearen Biegemomenten-Krüm-

mungsbeziehungen gearbeitet werden.)

Ist hingegen MA > MA hat man das Gleichungssystem

1 4 m1 m1

(EI/5) - + (EJ/3)

1 4 m2_ m2 (23)

l 4

+ M = (MA /5)

. _1 _ 1

zu lösen, was auf m1 = (12MA/5 — 871V!/20)/EJ,

m2 = (33M/2O — 3MA/5)/EJ man.

Dieses Beispiel eines Einfeldträgers zeigt bereits alle we-

sentlichen Merkmale des numerischen Verfahrens, aller-

dings ist für M* I const die Ausbreitung der nichtlinea-

ren Zonen längs der Trägerachse vorerst unbekannt. Der

Träger wird deshalb in Intervalle untertth und der Ver-

lauf von m zwischen den die Intervalle trennenden Stütz-

stellen näherungsweise analytisch vorgeschrieben. In der

vorliegenden Arbeit wird eine Treppenfunktionsapproxi-

mation gewählt, was einer direkten Erweiterung des obi-

gen (im Rahmen der Theorie exakten) Beispiels ent-

spricht und sich bei Vergleichsrechnungen als genau ge-

nug erwiesen hat.

Die Vorgangsweise wird im folgenden am durchlaufen-

den Mehrfeldträger auf n Stüt'zen demonstriert. Die Flä-

chenträgheitsmomente seien abschnittsweise konstant,

also etwa im i-ten Feld (links von der i-ten Stütze) Ji

mit i = 1, . . .., n— 1. Die linear elastischen Lösungen

w*, M* zufolge der eingeprägten Querbelastung q wer-

den als bekannt vorausgesetzt. Das i-te Feld, welches li

lang ist, wird in ri Intervalle unterteilt, und der Verlauf

von m im Intervall j wird näherungsweise konstant zu

mü gesetzt, wobei j = 1, . . . , ri. Ist sij die Länge dieses

l

Intervalls (also 1i 2 E sij), dann kann das fiktive Tem-

j= 1

peraturmoment am Mohrschen Ersatzbalken statisch

äquivalent durch die „Einzellast”

‘I’ij = mij Sij (24)

ersetzt werden, welche in der Intervallmitte angreift. Das

Mohrsche Verfahren läßt sich nun, wie Gamer in [15] ge-

zeigt hat, auf den thermoelastischen Dreimomentensatz

4

= (MA/5) ‚ (22)

_1

25

zurückführen. Dieser lautet mit den verwendeten Be-

zeichnungen in inkrementeller Form

1 1k lk lk+1dM** .. i + 2dM'”: ._ + +1 + ** .. —— =

k-Lu Jk k," (Jk 1m) “141 Jk+1

0 fiir k¢i, IHM—1,

= ‚k=1,...‚n—2. (25)

17.. .

—6E(l— li—‘J)d<1>ij fürk=1‚

nij .. _.

Dabei ist E der (globale Anfangs)Elastizitätsmodul, nij

ist der Hebelarm von (I’i- zur i-ten Stütze, und die

dMi’?’ij sind die Inkremente der Stützmomente im La-

ger k zufolge eines fiktiven Temperaturmomentinkre-

ments d<I>ij im j-ten Intervall des i-ten Feldes.

Nach Lösung dieser statischen Aufgabe erfolgt die Er-

mittlung des aus dgn dÖij mit Gl. (24) entsprechend ge-

bildeten Vektors dm nach GL (14-) in der geschilderten

Weise. Insbesondere kann — da die Zwängungsmomen-

tenverteilung M zwischen den Balkenstützen linear ver-

läuft —— die zugehörige Einflußmatrix Q" aus (25)

leicht mittels des Strahlensatzes angegeben werden.

Sind die d<l>ij für das aktuelle Lastinkrement — oder

jenes Lastinkrement, bei dem eine neue Stützstelle in

den nichtlinearen Bereich eintritt — berechnet, liegt die

inelastische inkrementelle Biegemomentenkorrektur

dM** fest, wobei in den Auflagern

H _ n— l ri es

de — i521 j=21 de’i‘i (26)

übertragen wird.

Man erhält dann die inkrementelle Durchbiegungskorrek-

tur dwH als Biegemoment in der kinematischen Ersatz-

trägerkette. Diese ist ja — etwa im i-ten Feld — durch

dM**/E‚Ii sowie durch die Öij belastet, wobei j = l, . . ri

sowie i = 1, . . . , n — l; sie befindet sich unter dieser Be-

lastung im Gleichgewicht. Bei der Ermittlung der zuge-

hörigen Biegemomente im i-ten Feld des Ersatzträgers

wird dann zweckmäßigerweise die Ersatzträgergelenk-

kraft an der Stelle der i-l—ten Balkenstütze verwendet,

vgl. [15].

Als einfaches Anwendungsbeispiel wird der unendlich

lange, äquidistant gestützte Träger betrachtet; die Träg-

heitsmomente der Felder sollen gleich groß sein. Dann

wird d<I>ij = const. für alle i bei festem j. Läßt man nun

d<I>j im Intervall j jedes Feldes zugleich angreifen, wer—

den auch die entsprechenden Stützmomentinkremente

= dMT; = const im ganzen Träger. Aus dem

Dreimomentensatz (25) kann somit die einfache Bezie-

hung

dMTj" = — EJdÖj/l . (27)

abgeleitet werden, wobei l die Feldlänge bedeutet. Ist die

eingeprägte Belastung zusätzlich symmetrisch zur Feld-

mitte, wählt man eine gerade Anzahl symmetrisch ange-

ordneter Intervalle; j bezeichnet dann gemeinsam jene

26

beiden Mengen von Intervallen, deren d<I> aus Summe-

triegründen gleiche Werte annehmen müssen.

Weiter sind — weil dM“ im ganzen Träger konstant ver-

läuft —— alle Komponenten einer Spalte der MatrixQ"

gleich und es wird das thermoelastische Biegemoment in

allen Stützstellen zufolge der in den Intervallen j wirken-

den dmj = 1:

cf; =_ 2Eisjn,j=1‚...,r/2. i ' (28)

ist die Länge des j-ten Intervalls, r die Anzahl der

tervalle im Feld.

Der Durchlaufträger verhält sich also jetzt wie ein beider-

seits starr eingespannter Einfeldträger. Einen solchen

unter konstanter Belastung q = qo = const. hat Lin in [7]

S. 161 — 171 behandelt, vgl. Bild 4, wobei die in Tabel-

le l angegebene Biegemomenten-Krümmungsbeziehung

verwendet wurde. In Bild 4 sind die weiter benötigten

Bezeichnungen definiert. Wie in [7] wird der Frage nach-

gegangen, wie weit die Belastung zu steigern ist, bis in

x = 0,02] das elastische Grenzmoment — M erreicht ist;

sodann wird die Belastung solange reversiert, bis die glei-

che Stelle wieder plastiziert. Es werden drei Intervalle

mit s] = 0,0051, s2 = 0,011, S3 = 0,01l betrachtet; aus

Vergleichsgründen werden (im Gegensatz zur oben vor-

geschlagenen Vorgangsweise) als Stützstellen das Träger-

auflager (0) sowie die Mitten der Intervalle 2 und 3 ge-

wählt.

Das linear-elastische Moment M‘t kann Bild 4 entnom-

men werden; es ist M‘ = —— 0,08331; l2, M; = —— 0,0784qol2,

Mg: —0,0735qol2. (Das Trägeraufiager erreicht somit

das elastische Grenzmoment bei q0 = 378 Afh/l2 (Di-

mensionen werden beibehalten, um eine leichte Gegen-

mammal I l

qo

Illllllllll

\:x \:

l

/ a)

m2

e e

\ 0 5 I112; mu;

snsarzmlasn: t.)

Llllllll «Ha-’16

1«~ Ini l

. d la r- '

7 Durchhicgligsans \

1,209. ums

_ u“

teil nach Ersth

auf 1,420”

Bild 4

Durchlauftriger unter konstanter Belastung po

a) Systemabmessungen eines Feldes *

b) Linear elastische Magentaqu M

c) Ersatzträger unter d + d IE] _

d) Dimensionslose mi EJw“/M12 die nach propor-

tionaler Belastung bis— M in x = 0,021 auftritt

6 E SANDWICH-

5 00:35:11-

lpsil [Psi] NITTzfl-th

10500 1- 0‘12

0,0030 31,50 A A‘

7000 Z

0,0035 35,00

1.500 h

c 0,001.5 39,50

2867 im

d 0,0060 16,80 A,

cu

M d

J 1:

Eh I)

a

51:5,1

3|

II 2

2Ma

//2

parallel

4 zu t-d __

Tahelle l

Stoffgesetz und Querschnittsabmessungen des Trägers aus

Bild 4.

überstellung mit [7] zu ermöglichen.) Dann wird M0 =

M: = —31,50 Afh, M2 = M; = ——29,65 Afh, M3 = M; =

—27,80 Afh. Nun wird nach jenem Lastinkrement ge—

sucht, bei dem die Stützstelle 2 das elastische Grenzmo-

ment erreicht. Aus Gl. folgt G*.* = —0,01 E]; aus

Tabelle 1 entnimmt man E = 3150/00030 : 10,5: 103

und Eb = 3,50/0,0005 = 7,0103 Gleichung (18) liefert

damit dMo/dml = 2,0013]. Das Biegemoment in 2 wird

um sz = _ (31,50—29,65)A,h = — 1,85 Afh verän-

dert, Daraus ergibt GI. (14) das Gleichungssystem:

2,00EJdm1 + 0,01 EJdml =—0,0833qu2,

_1,85A,h + 0,01 EJdm1 =_o,784dq12. (29)

Die Lösung ist dq = 24,36 Afh/l, dml = — 1,01 Afh/EJ.

Gl. (33) stimmen mit dem von Lin [7], S. 165 auf ande—

rem Wege gefundenen Gleichungssystemen zur Bestim-

mung des letzten Terms von Gl. (1) gut überein. (Im wei-

teren Gang der Rechnung ergeben sich kleine Differen-

zen, weil in [7] teilweise mit Sekantenmoduli gearbeitet

wird). Es folgt dM0 = —— 2,02 Afh, dM3 = —- 1,78 Afh. ‘

Das Lastinkrement, bei dem in 0 das Biegemoment —

Mb erreicht wird, folgt mit

<1M,,/dm1 = 2,00 EJ,

dMo : _ (35,00 _ 31,5 _ 2,02) (30)

Afh : - 1,48 Afh,

über

dml = _ 0,74 Afh/EJ (31)

aus dMo = —— 0,0833 dql2 —- 0,01 EJdml zu

dq = 17,90 Aal/12. Damit wird dM2 = _ 1,40 Afh,

dM3 = —— 1,31 Afh.

Laststeigerung, bis in 3 das elastische Grenzmoment auf-

tritt, führt auf das Gleichungssystem:

0,75 0,01 0,02 0 dm, .

2,00 Afh + 0,01 0,02 0 EJ- dm2

_ __. 0,01 0,02 0 10,61 EJ

(32)

0,0833

= _ dq 0,0784 I2,

0,0735

wobei wegen G1. (18) dMo/dml = 0,75, dM2/dm2 2

2,00 und dM3 = —- (31,50 — 30,89) Afh = — 0,61 Afh

gesetzt wurde. Das Ergebnis ist dml = — 0,93 Afh/Ej,

dm2 = — 0,33 Afh/EJ, dq = 8,51 Afh/l2. Daraus folgt

dMo = — 0,69 Afh, dM2 = — 0,65 Afh. Für den entspre-

chenden plastischen Durchbiegungsanteil siehe Bild 4d).

Nun wird die Belastungsrichtung umgekehrt. Damit wie-

der Plastifizierung in 0 auftritt, ist eine Belastungsände-

rung um dq = — 756 Afh/l2 erforderlich; die zugehöri-

gen Biegemomentenänderungen sind dMo = 63,0 Afh,

dM2 = 59,27 Afh, dM3 = 55,57 Afh.

Bei weiter gesteigerter Gegenhelastung soll die Biegemo-

menten-Krümmungsbeziehung in 0 parallel zu b—c ver-

laufen (in diesem Bereich befand sich das Auflager ja vor

der Entlastung). Neuerliches Plastifizieren in 2 erfordert

dM2 = (63,0— 59,27) Afh = 3,73 Afh- Dies führt auf das

Gleichungssystem

0,75 EJdml + 0,01 EJdml = _ 0,0833 dql2

3,73 Afh + 0,01 EJdm, = _ 0,0784 dql2 (33)

Die Lösung wäre: dml = 5,29 Afh/EJ, dq = —-48,25

Afh/lz, woraus: dMo = 3,96 Afh. Damit hätte das Auf-

lager aber bereits den Bereich parallel zu c—-d im Biege-

momenten-Krümmungsdiagramm erreicht. Es muß des-

halb zuerst das diesem Knick entsprechende Lastinkre-

ment errechnet und dann Gleichung (33) neu ange-

schrieben werden. Dies und das übrige gehen aber völlig

analog zur bisherigen Rechnung vor sich, sodaß sich eine

weitere Demonstration erübrigt.

5. Schlußwort

Es wurde ein einfaches, gegebenfalls auch für die Hand-

rechnung geeignetes, numerisches Verfahren für Biege—

balken mit nichtlinearem Stoffgesetz vorgestellt, welches

die endliche Ausdehnung nichtlinearer Zonen längs der

Balkenachse berücksichtigt. Die Methode führt auf die

Lösung linearer Gleichungssysteme, die anschaulich aus

Gleichgewichtsbedingungen am Mohrschen Ersatzbalken

hergeleitet werden.

LITERATUR

[1 ] Neal, B. G.: Die Verfahren der plastischen Berechnung

biegesteifer Stahlstabwerke. Springer—Verlag: Berlin, Göt-

tingen, Heidelberg (1958).

[2 ] Reckling, K.-A.: Plastizitätstheorie und ihre Anwendung

auf Festigkeitsprobleme. Springer-Verlag: Berlin, Göt-

tingen, Heidelberg (1967).

[3 1 Leonhardt, F.: Vorlesungen über Massivbau. Vierter Teil:

Nachweis der Gebrauchsfesu'gkeit. Springer-Verlag: Berlin,

Heidelberg, New York (1976).

27

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

28

Rubin, H., Vogel, U.: Baustatik ebener Stabwerke. In:

Stahlbau Handbuch, Bd. l, Stahlbau-Verlags—GmbH,

Köln (1982).

Dorozs, S.: An Improuved Upper Bound to Maximum

Deflections of Elastic-Plastic Structures at Shakedown.

J. Struct. Mech. 6, 267 — 287.

Dorozs, S., Sawczuk, A.: Deflections of Elastic-Plastic

Beams at Finite Spread of Plastic Zones. In: Physical

Non-Linearities in Structural Analysis, IUTAM Sympo-

sium, Springer Berlin (1981).

Lin, T. H.: Theory of Inelastic Structures. John Wiley and

Sons: New York, London, Sidney, Toronto (1968).

Reißner, H.: Eigenspannungen und Eigenspannungsquel-

len. ZAMM ll, l — 8 (1931).

Goodier, J. N.: Integration of Thermoelastic Equations.

Phil. Mag. 23, 1017 (1937).

Baneljee, P. K., Cathie, D. N., Davies, T. G.: Two-and

Three-dimensional Problems of EIasto—Plasticity. In:

Developments in Boundary Element Methods—1, App].

Sc. PubL: London, New York (1979).

Mukherjee, S.: Boundary Element Methods in Creep and

Fracture. App]. Sc. PubL: London, New York (1982).

Lin, T. H.: Elastoplastic Analysis of Indeterminate Beams

under Reversed Loading. J. Frank]. Inst. 285, 364 — 376

(1968)

Chi.l K. 8., Lin, T. H.: Slope-Deflection Method for Ela-

stic-Plastic Multistorey Frames. Int. J. Solids Structures

13, 125 — 135 (1977).

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

120]

Lin, S. C., Liu, T. H.: Elastie-Plastic Dynamic Analysis of

Structures Using Known Elastic Solutions. Earthquake

Eng. Struct. Dynamics 7, 147 — 159 (1979).

Gamer, U.: Die Behandlung von temperaturmomentbela—

steten Balken mit Hilfe der Mohrschen Analogie. Öster-

reichische Ingenieur-Zeitschrift 14., 336 — 338 (1971).

Gamer, U.: Thermal Stress and Deflection of a Beam of

Sectionally Constant Cross Section. Journal of Thermal

Stresses 4, 435 —- 441 (1981).

Ziegler, F., Irschik, H.: Dynamic Analysis of Elastic-

Plastic Beams by Means of Thermoelasfic Solutions.

Proc. EUROMECH COIL ,,lnelastic Structures under

Variable Loads”, C. Polizzotto, ed.: Palermo (1983).

Boley, B. A.: The Determination of Temperature Stresses

and Deflections in Two-Dimensional Thermoelastic Pro-

blems. J. Aeronaut. Sci. 23, 67 — 69 (1956).

Parkus, H.: Mechanik der festen Körper. 3. Aufl. Springer—

Verlag, Wien, New York (1981).

Hrennikoff, A.: Theory of Inelastic Bending with Refe-

rence to Limit Design. ASCE Trans. 113, 213 — 246

(1948).

Anschrift des Verfassers:

Univ. Ass. Dip]. Ing. Dr. techn. Hans Irschik

Institut für Allgemeine Mechanik

Technische Universität Wien

Karlsplatz 13

A— 1040 Wien