das erweiterte umkehrproblem der abelschen integrale in der geometrie der ebenen kurven

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D a s e rwe i t e r t e U m k e h r p r o b l e m der A b e l s c h e n

I n t e g r a l e in der Geomet r i e der ebenen K u r v e n .

Von Paul Roth in Wien.

w Za einer irreduzibeln Gleichung

F (x, y) ~ 0

veto Grade n und vom Geschleehte p gehSren p linear unabhiingige Integrale erster Gattung

~v

~,. (x) - - f ~ (x, y) dx - j - - - F ~ (i = 1, 2 . . . v); Y o

man bilde mit p oberen Grenzen x l , x , . . . x 1, und einer fixen unteren yo die Gleichungen

~/~L x 2

Yo Yo Yo

dann bestimmen dieselben die Punkte xl~ . . . . xp als Funktionen tier p Veranderliehen v l , . . vp und die genaue Festlegung dieser funktionalen Beziehung macht das aus~ was man als Jacobisches Umkehrproblem bezeichnet.

Was die LSsung anlangt, so sei sie in atler Ktirze etwa so gegeben~ dal~ wenn ~1~.-. vp ein beliebiges~ aber bestimmtes Wertsystem ist, die Punkte xl im allgemeinen eindeutig definiert sind und nur dann unendlich vieldeutig~ wenn die v~ einer bestimmten ( p - 1) dimensionalen Manigfaltigkeit angehSren.

Es liil~t sich das in einer mehr geometrischen Form so aus- sprechen~ dal~ im ersten Fall die p Punkte eine ganz bestimmte Punktgruppe auf der durch

F (x~ y) ~- 0

gegebenen algebraisehen Kurve eindeutig individualisieren~ i m zweiten Fall sind es Punktgruppen einer mindestens eindimensionalen linearen Schar, die schon durch ihre Ordnung p als Spezialschar kenntlich~ dureh adjungierte Kurven yon der ( n - 3) t~" Ordnung ausgeschnitten werden kann.

8 8 P a u l Ro th .

An diese Problemstellung kniipft sieh nun folgende Erweiterung : Gegeben sind n (n > p) auf der F (x~ y) ~ 0 veri~nderliehe Punkte x; (i ~--- 1, 2 . . . n)~ man bilde die is Gleiehungen

n x i

- - V h s011en bestimmte Konstanten s e i n - - , so bestimmen die Gleichungen (1) eine wohl definierte g:, wenn man in bekannter Weise mit dieser Schreibweise den Begriff einer linearen Punkt- gruppensehar yon der 0rdnung n and der Dimension r verbindet. 1)

Nimmt man nun noeh irgend welche weitere q ~ n - - p Integrale hinzu

wl (x) = d wl , . . . ~ ( x ) =

Yo Yo

nur so besehaffen, dal~ sie alle unter einander - - die Integrale ui(x) miteingesehlossen m yon einander linear unabh~tngig sind~ das heigt, daft zwischen ihnen keine lineare Relation mit konstanten Koef- fizienten statt hat, und bildet

n X i

:S j d u'k = ,~k (k = 1, 2 . . . q), (2) i ~ l Yo

- - l~ (k = 1, 2 � 9 q) sollen ebenfalls q Konstanten sein --7 so kann man sieh die Frage stellen, ob die hinzugekommenen q Gleiehungen (2) aus der dutch (1) definierten g,~ endlich viele oder unendlieh viele Panktgruppen heraus heben.

Besonderes Interesse wird sicher der Fall verdienen, bei dem die Gleichungen (2) infolge der besonderen Natur der Integrale wk (x) im allgemeinen, das heil~t bei nisht spszieller Wahl der Kon- stanten ~k und v~- in der tz~ e i n e e i n z i g e G r u p p e b e s t i m m e n , und wenn man schlechtweg vom e r w e i t e r t e n U m k e h r -

~ r o b I e m sprieht~ so meint man stets diesen Fall, bei dem also ie n Glsichungen (1) und (2) in ihrer Gesamtheit e i n e s i n z i g e

wohlbestimmte LSsung haben. Dis ersten~ die in diesem Sinns das gew5hnliehs Jasobisehe

Umkehrproblem erweitert haben~ waren C l e b s c h und G o r d a n . ~) Sis ftthren far dis w(x) elemsntar normierte Integrals dritter Gattung sin un4 beweisen die Eindeutigkeit der LSsung dureh Aufstellung einer mit der Riemannsshen Thetafunktion nahe ver-

~) Berzolari: Enzyklopadie tier math. Wissenschaften Bd. III2~ S. 407. Leipzig 1906.

2) Clebseh und Gordan: Theorle der Abelschen Funktionen. S. 143 und S. 270. Leipzig 1866.

Erweitertes Umkehrproblem. 89

wandten Funktion yon n Argumenten, ftir die einzeln die Integrale erster and dritter Gattung, wie sie im Umkehrproblem vorkommen~ eingesetzt werden and zeigen yon derselben durch emen dem Riemannschen analogen Weg, daI~ diese Funktion genau n Nullstellen hat, and aus den Bedingungen~ dm diese Nullstellen als obere Grenzen n-gliedriger Integralsummen erfiillen miissen, erreicht man das geforderte Ergebnis.

Angedeutet ist auch bei C 1 e b s c h- G o r d a n der Fall, wo einige der w(x) elementar normierte Integrale zweiter Gattung mit einer einzigen polaren Unstetigkeit yon der ersten Ordnung sind, aber ganz exakt finder sich die LSsung dieses Umkehr- problems erst bei E l l io t~ 1) der die Methode yon C l e b s e h and G o r d a n welter verfolgend zur Aufste|lung einer noeh allge- meineren Funktion yon n Argumenten, die neben den ui(x) noch Integrale dritter und zweiter Gattung enthalten, schreitet.

Endlieh hat P. A p p e 11 ~) den Fall behandelt, wo neben Inte- gralen zweiter Gattung mit einem einzigen Pol yon der ersten Ordnung noeh die Ableitungen derselben naeh der Unstetigkeits- stelle bis zu irgend emer beliebigen Ordnung~ also Integrale zweiter Gattung mit einem einzigen Po l der entspreehenden Ordnung auftreten. Der Eindeutigkeitbeweis der LSsung wird ungeftthr so erbracht~ dal~ gezeigt wird, dab unter Voraussetzung der fiir das Jacobische Umkehrproblem geltenden Si~tze die in den Gleichungen (2) enthaltenen Bedingungen l i n e a r e Bedingungs- gleiehungen fiir ein bestimmtes die dureh (1) definierte g~ aus- sehneidendes lineares Kurvensystem sind. Wir haben umso weniger Anlal], darauf hier niiher einzugehen, als wit im Verlauf der s Auseinandersetzungen noch genauer auf diese Nethode zurtickkommen mtissen.

SehlieNich hat E. G o u r s a t 3) in einer ganz kurzen Note auf die allgemeinste Erweiterung des Jacobisehen Umkehrproblems hingewiesen unges in der Art, wie wir sie hier zum Vortrag gebracht haben.

Man vermi~t be[ den letztgenannten franzSsischen Autorer~ jegliehe Betonung irgend einer geometrisehen Anwendung ihrer Satze und gerade diese AnwendungsmSglichkeit hat hauptsttehlich dazu beigetragen~ dem erweiterten Umkehrproblem naehdrttckliche Beachtung zu sehenken.

Das gesehieht schon bei C l e b s e h - G o r d a n, die hervor- heben~ dal~ wenn man auf einer nur mit Doppelpunkten behafteten Kurve C~'~ ) yon der Ordnung n und vom Gesehleehte p, eine lineare Punktgralopensehar dureh ein Gleiehungssystem

1) Ell iot : Proprigtds et applications de certaines fonctions analogues 's la fonction 0. Annales do l'gcole normale superieure. II. Ser. t. 11, (1882).

~) Appell: Sur l'inversion des intggrales abgliennes. Journal de Mathg- matiques. Ser. IV. t. 1, (1885).

'~) Goursat: Sur l'iaversion des intggrales abgliennes. Comptes rendus de l'aeadgmle de Paris. t. 115. (1892).

O 0 Paul Roth.

d u ~ ~ - v~ ( i = 1 , 2 . . . p ) (3) X ~ I Yo

definiert - - das heil3t eine Vollsehar g8 die also dutch adjungierte k~ .die Doppelpunkte enthaltende Kurven yon einer gewissen Ordnung aussehneidbar is t--- man dureh Hinzufiigung yon Gleiehungen ,der Form

k x~

"~ f a n (f') (i 1,2 ,9, (4) ) .~1 Yo

.'v r - ~(de)

wo unter ja .1, ~ das in den beiclen Zweigen des Doppelpunktes dl yo

logarithmiseh unendlich werdende elementar normierte Integral dritter Gattung verstanden wird und ~i passend gewithlte Ken- stanten sind~ lineare Teilscharen g~(z ~ s) aus y~ heraushebt, die durch Kurven ausgeschnitten werden kSnnen~ die durch die Doppel- punkte di (i ~ 1~ 2 . . . r) nieht hindurchgehen, sieh in ihnen also nicht adjungiert verhalten, w~ihrencl sie in den restlichen eventuell aoch vorhandenen Doppelpunkten der G(~ ) adjungiert sind.

Die Gleichungen (4) sincl eine unmitteibare Folge des Abelsehen Theorems fiir elementar normierte Integrale dritter Gat- tung tiberhaupt. Hat man niimlich ein derartiges in den Punkten a x and % unendlieh werdendes Integral

n ..... ( x ) = f a r I ..... ,)

nncl auBerdem irgend eine rationale Funktion

R (x) - - 5' (x, y) h (x. y)

- - y (x~ y) - - 0 und h (x i y) ~ 0 sind irgend zwei beliebige Kurven - - , die in den Punkten ~1~ ~.2 - . - ~ 01 und in den Punkten i~ ~ . . . ~ ; ~ wird, so gilt bei geeigneter Wahl der Integrationswege die Relation

f~_r~n ..... = log ~ (5)

1) Das Integral [la,, r ha t in as die Entwiclrelung

log (~ - - ~ ) q - G (~ - - ~) und in a,

/~1 (x - - ~I) und P~ (x - - %) sind regul~re Potenzreihen.


Sind nun g und h insbesondere zwei Kurven der die g~ aus- sehneidenden, die Doppelpunkte d~ (i ~--- 1, 2 . . . r) also im allgemeinen

g (x, y) die nieht enthaltenden linearen Sehar, so hat R ( x ) - = h ( x i y )

Eigensehaft jeweils ftir die beiden Zweige desselben den gleiehen Wert anzunehmen, so daft also

R (a~0) = R (a~ ~) (i = 1, 2 . . . r), (6)

wenn man mit a(O, a(~O den Doppelpunkt di bezeiehnet, je nachdem man ihn in der einen oder anderen Riehtung erreicht.

Es ist dann R (a?)

R(a?) und nimmt man s log R(a~) ) den Hauptwert, so ergeben sieh

aus (5) die Gleichungen

J d 13(d~) J d !1 @) j - - - ~ , 2 - - j - - - - ~ , 2 = 0 ( i = l , 2 . . . r ) (7) , ; ,~I Yo ) .~1 Yo

und damit k x~

j (i = 1, 2 r), (s) , l~.l r

wenn man d ll (d~) gleieh den oben erw~hnten Konstanten ~ -~1, 2 ) .~1 Yo

setzt, die unter Voraussetzung des Bekanntseins einer einzigen Kurve h (x, y) ~ 0 des Systems ebenfalls bekannt sind, und xz mit ~. vertauscht, um so anzudeuten~ dal~ jede Gruppe der g~ der Re- lation (8) zu genfigen hat.

An diese einfaehste Aufgabe auf blolil mit Doppelpunkten versehenen Kurven diejenigen Teilseharen za untersuchen~ die auf ganz oder teilweise nieht adjungierten Kurven gelegen sind, kntipft sich naturgemi~13 die weitere an, auf Kurven mit ganz beliebigen Singalaritaten die Seharen nigher za studieren, die durch nicht adjungierte Kurven, das sind Kurven~ die in einem s~--faehen ~unkl einen blog zi-fachen

zi < s~ ~ 1 besitzen, oder wie man sieh mit 1~ o e t h e r auszudrticken loflegt, durch z-Kurven definiert sind.

Die auf" solehe Teilseharen beztigliehe Theorie hat :N oe t h e r ~) aufgestellt mittels derselben algebraisehen Methode, die er gemeinsam

1) l q o e t h e r : Math. Annalen, Bd. 15. (huszug Erlangor Ber. 1879).

9~ Paul Roth.

mit B r i 11 in der fandamentalen Arbeit 1) fiber algebraische Funktionen ausgebildet hat und die den nach ibm benannten Fundamentalsatz der Theorie der algebralsehen Funktionen zur Grundlage hat. g)

Kurze Zeit vor dem Erseheinen der Noetherschen Abhandlung hat L i n d e m an n a) die auf z-Kurven sieh beziehenden Problem- stellungen zu beantworten gesucht. In der Lindemannsehen Arbeit findet sich ein Versehen, wie schon N o e t h e r bemerkt hat, nichts destoweniger ist diese Schrift in vielfaeher Hinsieht interessant. Interessant an ihr ist die Nethode~ die man als funktionentheo- retisehe bezeichnen k~innt% insofern als die Bedingungen unter- sucht werden~ denen die Werte einer algebraisehen Funktion R(x)~ die als Quotient zweier z-Kurven der C!(e)

R (z) - - g (x, y) h (x, y)

darstellbar ist~ in den si-fachen Punkten ebenso wie ihre Differential- quotienten bis zur (si-- ~i - - 2) *" Ordnung inkl. zu gen~igen haben. L i n d em a n n hebt am Sehlusse seiner Arbeit hervor~ da[~ diese Bedingungen umgesetzt werden k(innen in transzendente, da~ sic dann ein erweitertes Umkehrproblem darstellen~ dessen eindeutige L(isbarkeit zu zeigen wiir% was L i n d e m a n n dahingestellt sein l~l~t.

Die vorliegende Arbeit stellt sich nun in ihrem ersten Tell gerade die Aufg'ab% auf die Auffassung als erweitertes Umkehro problem den Naehdruek zu legen and die auf a-Kurven beztiglichen Fragestellungen yon dieser Seite wenigstens in dem ein- faehsten Fall yon gewShnliehen vieliachen Punkten~ also vielfaehen Punkten mit getrennten T ,~ an~enten zu erledigen. Die in der Lindemannsehen Sehrift in sehr zweckmi~Nger Weise aufgestellten Ans~ttze werden dabei durchgangig akzeptiert.

An die Diskussion der dutch ~-Kurven definierten Teil- seharen kn~tpft unmittelbar diejenige an~ bei der die Kurven in den beweglichen Pankten der Schar von einer bestimmten Ordnung ( r - - 1 ) berfihren. Diese Berfihrungsproblem% die das spezielle r-Teilungsproblem der Perioden zur Grundlage haben~ sind als Anwendung des erweiterten Umkehrproblems gleiehzeitig mit der Autstellung" desselben betrachtet worden.

Ftir den Fall der rationalen und elliptischen Kurven war es zunlichst C I e b s c h~ ~) der sic behandelt hat~ bei einer allgemeinen C(~ ~0 mit Doppelpunkten ausftihrlicher L i n d e m a n n 5) in seinen geometrischen Vorlesungen and etwas sp~tter widmeten A p p e l l und

~) B r i l l u. N o e t h e r : Math. Ann~len. Bd. 7. 2) N o e t h e r : Math. Ann. Bd. 6. 3) L i a d e m a n n : Untersuchungeu tiber den Riemann-Rochschen Satz.

(Akademische Antrlttsschrift Leipzig 1879). 4) C l e b s c h : Crelle Journal, Bd. 64, S. 43 u. 210. ~) C l e b s c h - L i n d e m a n n : Vorlesungen tiber Geometrle. S. 866.

Leipzig 1876.


G o u r s a t 1) ihnen einen Teil des letzten Kapitels ihres Buehes rind zwar in vollstandigem Ansehlu~ an das Lindemannsche Werk.

Die Abz~hlungen, die in den eben zitierten Sehriften im FaUe sogenannter reiner Berfihrungskurven - - d. h. solcher, die (lurch keinen vielfaehen Punkt gehen und in deren samtlichen auf der C~ ~') gelegenen Punkten bewegliehr Bertihrungen start haben - - gegeben werden~ sind in geometriseher Hinsicht nieht immer richtig, worauf zun~chst H u m b e r t ~) hingewiesen hat, der die Bertihrungsprobleme mit Hilfe der yon P oi n ca r 6 begriffiich er- 5rterten Parameterdarstellung einer C!~ ) durch automorphe Funktionen sttldiert, und sp~ter Weil~, ~) der die Bri[l-l~oethersehe Theorie heranzieht.

Wir stellen uns nun die Aufgab% auch aus dem erweiterten Umkehrproblem heraus die beztiglichen Abzahlungen durchzu- i'iihren und werden zeigen, dal3 man sowohl mit dem Humbertsehen als dem Weil~schen Gedankengang an dasselbe anknfipfend die richtigen und geometrisch genauen Resultate in ebenso einfacher und zwangloser Weise erreiehen kann wie die letztgenannten beiden Autoren.

Wir beschr~nken uns in diesem Fall auf Kurven, die lediglich Doppelpunkte und Spitzen erster Art besitzen~ weil die algebraischen Diskussionen bei hSheren Singularitaten zu kompliziert werclen und die aufgewendete Arbeit dana in keinem Einklang steht mit der verhaltnism~13ig nieht so grol~en Bedeutung der Probleme.

w W~e die dureh nicht adjungierte Kurvenseharen definierten

Teilseharen sieh dureh /~-gliedrige Summen fiber Integrale dritter Gattung im Falle yon Doppelpunkten charakterisieren lassen~ ist sehon erwahnt worden. Bevor an den allgemeinen s-faehen Punkt geschritten wircl, mag noeh die Sl)itze erster Art behandelt werden, weil wir diese bei den Ber~ihrungsproblemen noch mit in den Kreis unserer Betrachtungen ziehen.

Es ist in diesem Fall klar, dal3 insofern die Spitze sich als Grenzfall eines Doppelpunktes auffassen lalSt, die hinzutretende Integralbeziehung sieh aus der im Doppelpunkt dureh Grenztibergang ergeben wird und man weil~ aueh, dal~ dann aus dem in zwei Stellen logarithmisch unendlieh werdenden Integral dritter Gattung sich eiu Integral zweiter Gattung mit einer polaren Unstetigkeit ergibt.

Wit sehen bier yon einer wirkliehen Durehffihrung dieses (~renzverfahrens ab und begniigen uns mit einer einfaehen Veri- ilkation der Tatsaeh% dal] in diesem Fall eines der w~(x) in den Gleiehungen (2) des w I ein in der Spitze e c,z 1 werdendes elementar normiertes Integral zweiter Gattung ist.

1) A p p e l l et G o u r s a t : Thdorie des fonctions algdbriques et de leurs intdgrales. Paris 1895.

2) G. H u m b e r t : Journal de Liouville. IV. Sdrle, t. 2. (1886). '~) W. W e i r . Sitzungsber. der Wiener Akad. Bd. 99, S. 284. (1890).

94 Paul Roth.

Sei der Anfangspunkt des Koordinatensystems (x = 0, y = 0) eine Spitze e fur die

wz, Y> = 0, (1) sei ferner die Spitzentangente in ihrer Richtung mit keiner der beiden Koordinatenachsen zusammenfallend, dann ist die Reihen- entwicklung fiir y in der Umgebung von e gegeben durch

y=a22+a3~%~+a,2”+..- .

Nimmt man nun eine algebraische Funktion

(2)

(3) wobei g (x, y) = 0, h (z, y) = 0 zwei nicht durch den Anfangspunkt gehende Kurven gleicher Ordnung sein .miigen, so da13 in der Umgebung von e

9(?Y)=90+91+92+-- h(~,Y)=ho+hl+h,+--* (4)

gilt, - gk und hk sind bin&e Formen in (2, y) von der Dimension Ic - dann erhalt man duroh Einsetzen von (2) in (4) fur (3)

~(,)~90,0+~91,0~+90,1(a,~+~~~ a+...)]+... (5)

ho, 0 + h 5

,,o~$ho,,(a,x+a,~~+...)]+... weiter

~(,)=90,0+(9~,0+a,90.1)~+~3.~o,l~t+.~., 3 (6)

ho, o + (AI, o + a2 ho, 1) x + a3 ho, 1 x”+ - - a

und wenn man den Nenner selbst in eine Reihe entwickelt, so ergibt sich

X /‘I\

Xi -4

f’/

1

Setzt man nun

I 90 0 Eo, 90, I + a2 90, 1 _ 90, 0 (hl, + 0 a2 4 1) = = - h 0 0, h 0, 0 hi,

E2, o

p

a:3 h OJO (8)

0, 1 9% 0 - h:,o = Es, . 1 *


so ergibt sich schliefilieh als Resultat

Rj+Eo+E2x+E2x~+... * (9)

Der Quotient zweier in der Spitze nicht adjungierter Kurven hat 1

also kein Glied mit Z, wahrend die allgemeinste rationale Funktion einen von Null verschiedenen Koeffizienten El besitzt, wie eine ganz analoge Entwickelung des Quotienten zweier acljungierter Kurven in der Umgebung von e zeigt.

Bildet man nun mit clem Integral zweiter Gattung

Z(x) =jdZe(x): UC?

das im Punkt e die Entwickelung besitzt

Z(z) =J+ + P(x) (10) XT

1

- P(x) ist eine nur positive Potenzen von 2% enthaltende Potenz- reihe - und an den Querschnitten a, (Y = 1,2 . . . p) der zu (1) gehorigen Riemannschen E&he M lauter verschwindende Periodi- zitatsmoduln besitzt, den Ausdrnck

I” 2, (x) d log R (x) 2

erstreckt iiber die ganze Beranclung von &i’ in positivem Durch- laufungssinn, nachdem vorher dnrch einen kleinen Kreis der Punkt e selbst entfernt wurde, so erhalt man bekanntlich

$f z, (EJ --jj ze (6) SF S [ d :f’ log R W] ; (11) 2. = 1 i.=l

dabei sind E1. und Ei die Nullstellen rind Pole von R(x) und die rechte Seite der Relation, die der linken bis auf Perioden von L?&(Z)

d -5 (a) kongruent ist, becleutet das Residuum des Produkts dz log R (x)

beztiglich des singularen Punktes des Integrals Z,(x). 1

Nun entbalt R (x) kein Glied mit der Potenz CC~, log R(x) wird dann in e eine Entwickelung von der Form

d Z (x) besitzen, d 2 wird die Darstellungsform zulassen

96 Paul Roth.

---z7+T+ d.%(x) - 1 dx 2xT XT

,die Multiplikation beider Ausdriicke (12) und (13) zeigt, da13 im Produkt der Koeffizient der (- 1) ten Potenz verschwindet, also die rechte Seite von (11) kein Residium besitzt.

Man erhtilt also schliefilich bei passender Wahl der Integrations- wege das Resultat

(14)

In das erweiterte Umkehrproblem tritt also die Bedingung des Nichtadjungiertseins in der Spitze in der Form

ein, oc ist eine Konstante, die x1, bilden irgend eine Gruppe der zu oe gehijrigen Teilschar.

Wir glaubten die Ableitun g etwas genauer durchfiihren zu miissen, weil unseres Wissens in keinem Lehrbuch und in keiner Abhandlung sich eine einwnndfreie Erledigung derselben findet.

Q 3.

Wir gehen nun zu einem allgemeinen A-fachen Punkt mit getrennten Tangenten iiber. Man hat hier zwei Bslle zu unterscheiden, je nachdem die Funktion R(x) dem Quotienten zweier durch den vielfachen Punkt iiberhaupt nicht hindurchgehender Kurven gleich ist, oder aber zweier Kurven mit der Vielfachheit a(l<a<s--l) in ihm.

Der s-fache Punkt heifie als Punkt der C,‘,ll’ mit der Gleichung

F@, $4 = 0 (1)

0, er miige wieder in den Koordinatenanfangspunkt verlegt sein. Die s Punkte auf der zu (1) gehiirigen Riemannschen FBche, die ihm entsprechen oder such er selbst als Ursprung von s verschiedenen Zweigen rniige

“1, a,, . . . . . a,

heiben, und die s Entwickelungen in ihm

1 1 y~=cpx+- .y,.z+,, &+. . .

2! (i - 1, 2 . . . s)

lauten, so da4 cl?) die Richtung der Tangente an den Zweig n,


bestimmt. Wir behandeln zunachst den ersten Fall. Es ist also

R@,y)=R(x)+& 7 (2)

g (x, y) = 0 und h (x, y) = 0 sind 2 Kurven gleicher Ordnung, die den Ursprung nicht enthalten. Dann bestehen zunachst die s - 1 Relationen

R(a,)=R(a,)= * *. =R(aJ.

Ftihrt man die Bezeichnungen ein

(A,)

i ak+lR(%, y)

a xk a yt ) = &, I, x=0, y=o so besteht fiir den ersten DitTerentialquotienten in cci die Gleichung

R’ (aJ = RI, o $ R,, 1 a:) (i = 1, 2 . . . s) ;

das sind s Gleichungen und man erhalt durch Elimination von R,, 0 und Ro, 1 s - 2 Bedingungen (A,), denen die R’(ai) (i= 1, 2 . . . a) zu gentigen haben. Es mussen namlich alle 3-gliedrigeu Determinanten der Matrix

verschwinden.

R’(aJ, R’(a,), . . . R’(aJ au) 1 ) a@) a(s)

1)““” 1

1, 1,. . . . . . . 1

(4)

Weiter ist der zweite Differentialquotient in ai gleich

R” (ai) = Rs, o + 2 RI, 1 a?) -f-- R, e a?‘+ Ro, 1 af), (4)

nimmt man noch eine der aus (3) sich ergebenden Gleichungen beispielsweise

R’ (a,) - R’(a,) = R, 1 (a?) - a?) (4’)

hinzu, so hat man fur die vier als Unbekannte aufzufassenden GrSSen

R 2, 07 Ro,,, %,I, Ro,, s+lGleichungen,sodal3fiirdieR”(a~) (i=l...s),s+l-4=s--3 Relationen resultieren, die im Verschwinden samtlicher Deter- minanten 5ter Ordnung der Matrix

R’(a,) - R’(a& R” (al), R” (a,), . . . R”(a,)

a(l) - a(9 1 I 7 a!l) 2 7 a@) a(s) 2’““” 2

0, a(11)‘, &V 1 T’.“”

a?)’

0, 2 ail), 2 a?), . . . 2 a?

0, 1: 1,. . . . . . . 1

(4)

Monatsh. fiir Mathematik u. Physik. XXIV. Jahrg.

98 Paul Roth.

bestehen ; da13 keine neuen Bedingungsgleichungen sich ergeben, wenn man eine der anderen Relationen zwischen den R’(aJ an Stelle von (4’) hinzufiigt, ist leicht zu zeigen.

Weiter ist R”‘(oi) gleich

R”’ (ai) = RB, o + 3 Rs, 1 ali) + 3 RI, 2 a!]’ + Ro, 3 a(:‘)’ +

+ 3 RI, 1 at) + 3 Ro, 2 af) at) + R,,, 1 ~$1, (5)

man ftigt nun noch die Gleichung (4’) und aul3erdem die aus (4) folgenden beiden Gleichungen

R” (al) - R” (as) = 2 RI, 1 (up) - apj) + Ro, 2 (a?)’ - af)‘) +

+ R. 1 (at) - up)

R” (al) - R” (a,) = 2 RI, 1’(af) - a?)) + Ro, 2 (a?)’ - a?)‘) + (‘)

+ R,, 1 (a:) - of!,

hinzu, und man hat fur die 7 Grollen

R s,op &,I, RI,z, Ro,s, &,I, &,n, Ro,l

s + 3 Gleichungen, so da13 fur die .ZP”(a~)(i=1,2...s)s+3~ - 7 = s - 4 Bedmgungsgleichungen sich ergeben, die besagen, daD alle S-reihigen Determinanten der Matrix

R’(a,)-R’(a,), R”(al)-R”(a,); R”(a,)- R”(cQ, R”‘(al),. . .R”‘(ag)

& - &2 1 1 ’ $1 - q, at) - ar), et?), . . . . . a!)

07 c-p’ - q*, gf)’ - $9”, 3 a?) at), . . .3 a$@ a$)

0, 2 (a(:) - cty)), 2 (al’) - a?)), 3 a$), . . . 3 a!$)

0, 0, 0, a$Q3, . . ..ayy

07 0, 0, 3 c(f)‘, . , . 3 a?)’

0: 0, 0, 3 ulf), . . . 3 a?)

0, 0, 0, 1 ) . . . . . . 1

cu verschwinden haben. Setzt man in (6) irgend zwei andere der IUS (4) folgenden Relationen ein, so ergibt sich dadurch keine neue Bedingung fur die Differentialquotienten von R(x).

Allgemein ist der rte Differentialquotient R@)(ai) (i = 1,2 . . . s) linear und homogen in den GriiBen

Erweitertes Umkehrproblem.

R 0, 1 R 1, 17 Ro, a

R 2, 17 RI, a) Ro, a

R 3, 1) Rs,z, &,a, Ro,~

R r, 0 ; i_‘,,; )’ ii?.: ;, z :. : i,‘,:i,‘R,,,

mit Koeffizienten, die ganze rationale Funktionen in den

99

(7)

sin!, ftigt man zu diesen s Gleichungen die Gleichung (49, die zwel Gleichungen (6), drei beliebige Differenzen von ewei Differentialquotienten dritter Ordnung und schlieljlich r - 1 Diffe- renzen von Differentialqnotienten der Ordnung r - 1 hineu, so

erhiilt man fiir die ’ (r 24 l) + 1 G&en (7)

1+2+...+r-1+s=s+.‘(‘,1’

Gleichungen, was fiir die s GriiDen firI (; = 1,2 . . . S)

s+ r(r -- 1)

2 -- r(9*+1) -l

2 es---r-l

Relationen ergibt, die wir mit (A,.+ 1) bezeichnen. Ist r = s - 1, so wird s-r - 1 gleich Null, es besteht also

noch eine Relation (A, - 1) zwischen den Differentialquotienten (s- 2jter Ordnung. Die Anzahl der Relationen (A), denen der Quotient zweier nicht adjungierter Kurven zu genligen hat, ist also

-;:; s (s - 1). Die Anzahl der willkiirlichen Nullstellen, die eine

solche Funktion nter Ordnung unter Voraussetzung bekannter Unendlichkeitsstellen besitzt, ist im allgemeinen blos

72 - p -- r s (s - 1). 2

§4. / §4. / Es handelt sich jetzt darum, die im vorigen Abschnitt an- Es handelt sich jetzt darum, die im vorigen Abschnitt an-

gegebenen algebraischen Bedingungsgleichungen (A) in transzendente gegebenen algebraischen Bedingungsgleichungen (A) in transzendente Integralbeziehungen (B) umzusetzen. Integralbeziehungen (B) umzusetzen.

Die (s - Die (s - 1) Relationen (A,) lassen das in einfachster Weise 1) Relationen (A,) lassen das in einfachster Weise zu; bezeichnet man namlich mit zu; bezeichnet man namlich mit

K, 2 (4, K, 3 (4 - . . fll, 8 (4 K, 2 (4, K, 3 (4 : . . fll, 8 (4 (1) (1) die s - 1 elementar normierten Integrale dritter Gattung mit den

100 Paul Koth.

einzigen beiden logarithmischen Unendlichkeitsstellen in den respek- tiven Punktepaaren

a1 3 a2; a,, as; -. . al, 4,

so ergeben sich ohne Schwierigkeit aus dem Abelschen Theorem die Beziehungen

i ill, 2 (Ei.) - i K, 2 (EL) - 0 %=I ,I=1

i rll, 3 (Ei.) - i rll, 3 (E%) = 0 (4) A=1 2. = 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

i rll, s (h) - 5 rll, s (El) = 0,

% = 1 % = 1

- (2 und E; sind wie stets die Nullstellen und Pole von R(x) - und als Beitrag zum erweiterten Umkehrproblem stellen sie sich in der Form dar

i /GI1,.=,l” (v = 2, 3 . . . s), VI) 1 = 1 ?;,,

$1 sind die charakteristischen Konstanten der durch die nichtadjungierte Kurvenschar, zu der insbesondere

g(x,y)=O und h(x,y)=O

gehBren, definierten Teilschar und XJ. (ii = 1, . . . k) eine beliebige Gruppe derselben.

Heben wir eine der (s - 2) Relationen (A,) heraus, beispielsweise die erste, so ist

(a’,“) - a?)) R’ (a,) + (a?) - ajl)) R’ (az) + (a?) - a?)) R’ (a3) = 0; (3)

urn hier die Umsetzung in eine Integralbeziehung zu erwirken, braucht man sich blo13 zu erinnern, das ftir das elementar normierte Integral zweiter Gattung mit dem einzigen Pol erster Ordnung in a, 2, (x) das Abelsche Theorem die Relation gibt

(4)

also ftir R’(a,) sich ergibt


und analog fur R’(u,) und R’(a,). Setzt man die Werte in (3) ein und berucksichtigt die Gleichungen (A,) des 0 3, so erhalt man

(a:*) - a!“‘, I

+ (a?) - a?)) i i. = 1

-I: ,i;:,] + (“$1) - a?)> A=1 .

[ j$&(L.) - jj Z,,(G.) = 0.

(5)

i.=* 2 = 1 1 Den (s - 2) Relationen (A,) entsprechen dann ebenso viele transzendente Relationen (Ba) der Form

die Grogen c stehen in leicht verstindlicher Weise fur die Differenzen der a:) (i = 1,2 . . . s) und bedeuten als solche charakteristische von der speziellen Wahl der Funktion R(x) unabhgngige Konstanten.

Fur das Umkehrproblem resultiert dann

cv, 1 $ pa,(x) + cv, 2i j&(x) +c$j p-Z&) = py’,“‘. (I?,) 1 = 1 ,;, i. = 1 If0 A=1 2/"

(v = 3,4 . * . s)

In den Relationen (Aa) treten 2 *e Differentialquotienten van R (cc) auf; nimmt man nun das elementar normierte Integral 2ter Gattung mit dem einzigen Pol zweiter Grdnung in a,, so da13 also 2; (x> in a, die Entwicklung aufweist

- der Akzent der linken Seite kann such als Differentionszeichen nach dem Parameter a, nufgefaljt werden, wenn Z,(x) das in (4) auftretende Integral ist ..-- so ergibt das Abelsche Theorem die Gleichung

und daraus allgemein

R”@+-R(+j j&(x)-ra)j (i=‘l,&..s). (8) A=1 *;,

I

102 Paul Roth.

Se&t man nun die Werte (8) in (4,) ein und bedenkt, da5 R’(aJ* eine quadratische Funktion von at’ ist mit Koeffizienten, die vom Index i unabhgngig sind, so ist es maglich durch Hinzuftigung einer passenden Kombination der letzten 3 Horizontalreihen die

wegzuschaffen und damit den Bedingungs-

gleichungen (Bs) die Form zu geben

(v = 4,5 . . . s)

die R(aJ vor der Klammer sind bedeutungslos, weil sie fortfallen. Als Beitrag zum erweiterten Umkehrproblem ergeben sich dann die (s - 4) Relationen

(v = 4, 5 . . . s)

Die Gr65en c,, 12, CL, + und C’ sind so wie frtiher Konstanten, die nur vom Index des Pals abbangen, der in dem mit der betreffenden Gr65e multiplizierten Integral vorkommt und nnabhangig sind von der speziellen Fuuktion R (ST).

Wie man die restlichen algebraischen Relationen (Aj) (j=4.. .s) in transzendente (Bj) umzusetzen hat, und wie man daraus die Beitrage (l’j) zum erweiterten Umkehrproblem berechnet, ist unmittelbar klar. In den Relationen (A, +,) kommen, urn diese Rechnung ein wenig zu skizzieren, die Werte von Differential- quotienten rter Ordnung und Differenzen der Werte der Differential- quotienten jeder niedrigeren Ordnung als der rten im Punkte aj vor. Nimmt man nun fur den Punkt das elementar normierte Integral zweiter Ordnung in ihm

Gattung mit dem einzigen Pol von der rten

.x(+1: - 1) (2) = ‘ .1 d 22: - 1) (x) ) b (9)

2/”


so da8 (9) in der Umgebun g von ai die Entwickelung aufweist

dann ergibt das Abelsche Theorem die Gleichung

auf der rechten Seite von (11) tritt der Wert R"'(aJ wirklich auf, und zwar linear, kann berechnet und in die Relation (Ay + 1) eingesetzt werden. Alle frtiheren Differentialquotienten sind schon ausgedriickt durch entsprechende k-gliedrige Integralsummen, so da13 man auf solche Weise zu den Integralbeziehungen (By+ 1) kommt, in ihnen treten die Ausdriicke

respektive Differenzen derselben und zwar wegen der besonderen Natur der (A,+,) nur linear auf - eine Tatsache, die von ganz untergeordneter und nebensechlicher Bedeutung ist, hiichstens die Schreibweise eleganter macht - mit Koeffizienten, ftir die dasselbe gilt, was wir schon friiher erwahnt haben.

Wie man von den (&.+ 1) aus die Beitrgge (lYr+ 1) zum erweiterten Umkehrproblem berechnet, bedarf wohi keiner nliheren Erklgrung.

8 5. Wir stellen uns in diesem Abschnitte die Aufgabe, das er-

weiterte Umkehrproblem, wie es sich in den Relationen (l?) des vorigen Paragraphen prtisentiert, zu diskutieren. Das wirkliche Hin- schreiben aller (r) beim allgemeinen s-fachen Punkt st613t auf er- hebliche Schwierigkeiten, weil der Charakter dieser Relationen kein einheitlicher ist, sondern in s Gruppen zerfgllt.

An dem Gedankengang und der Art der Behandlung gndert sich aber nicht das Mindeste, wenn man fiir s irgend einen speziellen nur nicht zu kleinen Wert einsetzt und zwar gentigt s = 4.

Wir haben also in diesem Fall p + i s (s -- 1) =p + 6 Ver-

gnderliche x, und dazu die folgenden Relationen

Pf6 4

21 duj=vi (i==1,2...p)

k=l lo u-0)

104 Paul Roth.

ct, lpjij jiZ,,(:~) + Q,~‘$ fiZ,(xj + k=l&, k=l k,

(t = 3,4)

Zwischen den in (I’,) und (f,) auftretenden Konstanten c bestehen folgende Relationen ” C4,l = -c - c4, 2, c; = 2 c c3, 1 C4,l (c4, 2 - c3,2), c; = 2 c2 c4, 2 cp, 1

(1)

Die rechten Seiten der Gleichungen (P) sind p + 6 beliebige Konstanten und wir gehen nun daran den Beweis zu erbringen, da13 die (r) im allgemeinen, das heiI3t bei nicht spezieller Wahl der Werte v und p eine und nur eine einzige LGsung zulassen.

Nehmen wir auf der Kurve

2~ + 6 beliebige Punkte E,, 6, . . . Ezl,+s und legen wir durch sie eine adjungierte Kurve von genugend hoher Ordnung

~@,Y)=o,

die die E’ auller in den vielfachen Punkten noch in einem bestimmten Rest sohneidet. Duroh diesen Rest legen wir eine gleichfalls adjungierte Kurve derselben Ordnung

@@,Y)=o,

@ (5 Y> dann stellt der Quotrent ,F (x, y) die allgemeinste rationale Funktion

(2)

auf der zu F(z, y) = 0 gehorigen Riemannschen Plache vor, die in den bekannten Stellen & (; = 1,2 . . . 2p + 6) unendlich von der ersten


Ordnung wird. Sie hangt von p + 7 Parametern hi (i = 0,l . . . p --/- 6)’ linear und homogen ab und man hat den Beweis zu erbringen, da0 man tiber die willktirlichen Konstanten so verftigen kann, da13 p + 6 ihrer Nullstellen genau die oberen Grenzen im gestellten Umkehrproblem sind und da8 das auf eine und nur auf eine Art miiglich ist, womit dann die im allgemeinen eindeutige Bestimmtheit der oberen Grenzen erhartet ist.

Man hat zunachst aus dem Abelschen Theorem fur die Inte- grale erster Gattung, wenn man die Nullstellen von X(X) mit

bezeichnet, Xl) x, . . . xp+6, x;, x;. . .x; (3)

wo die rechten Seiten wegen des Bekanntseins der & such wohl- ,bc”h”senm;e Konstanten sind. (4) kann man daher in der Form

P i xj’ dpj=Nj--vi (i=1,2...p);

k=l go

das stellt fur die unbekannten Punkte XL ein Jacobisches Umkehr- problem dar und dieses besitzt eine und nur eine Losung. Wir haben also p der Nullstellen von (2) in die Punkte XL zu verlegen, die Kurve @((x, y) = 0 also durch die Punkte x’ durchzuschicken, was im ganzen fur p lineare Bedingungsgleichungen fur die p --/- 7 GroBen ), zahlt. Durch diese Wahl der ersten p Nullstellen ist erreicht, da13 die Gleichungen (l’,) erfiillt sind. Nehmen wir nun die Integrale dritter Gattun, v Il,, t(x), so ergibt sich auf Grund des Abelschen Theorems

was man such, wenn man

y i’& n,, i = Mt’l’ (t= 2, 3, 4) k=l y.

setzt, so schreiben kann

,+I’) +5 j”dn,,,= Mt’l’+ log # (t=2,3,4). (7) k=l 2;,

106 Paul Roth.

Nun ist die auf der linken Seite stehende p-gliedrige Integral- summe bekannt und sie ist als symetrische Fuuktion der T$ eine eindeutige Funktion der GrijDen & - vi, setzt man sie gleich -$‘, so ergibt sich

X(@l) _ X(Q) -

#p+lf) - q’ (t zz 2, 3,4) (8)

Die Gleichungen (8) geben wie aus ihrer Gestalt hervorgeht, 3 lineare Bedingungsgleichungen fur die Parameter h.

Das Abelsche Theorem fur die Z&(x), (t = 1,2,3,4) gibt

k=ly, k=l y,, k=l y”

Aus (9) erhalt man leieht die folgende Beziehung

ct, 1

[ C&l Wa,) S’(a2) 8’ (a) - &((Q +c42 8(/Q +c ___ fJ (4 1 (t = 3, 4).

Setzt man nun

-- die rechten Seiten sind nattirlich bekannte Grbben - weiters

so ergibt sich

Erweitertee Umkehrproblem. 107

Bemerkt man nun, da5 man aus (8) fur S (a,). . . S(a,) jedesmal S(a,) multipliziert mit einer bekannten C&De schreiben kann, so sieht man leicht ein, da5 die Gleichungen (12) zwei neue lineare Bedingungsgleichungen fur die Parameter 1 sind.

Schlie5lich erhalt man aus dem Abelschen Theorem fur die z;&c)(t=1,...4)

Es ergibt sich dann daraus und aus (9) die Beziehung

= Cl2

Der quadratische Teil in (14) ist

c; ($$$r+c; ($pJ+4 (pJy+d (#)

und von diesem haben wir zu zeigen, da5 er sich in einen Ausdruck verwandeln la5t, bei dem der Umstand, da5 (14) nur linear-e Be-

108 Paul Roth.

diqpngen far fi (x) in sich birgt, unmittelbar in Evidenz tritt. Wir haben aus (12)

Quadrieren wir die beiden Gleichungen (15), so erhalten wir

S’ (Q fi’ (T3) _ K2 +2cc3,2 S(u,)S(a,) - 3

06)

+2 *sya,W’(%> =-p*

’ “J’ S(a2) S(a,) Durch Multiplikation der ersten Gleichung (16) mit c4, 1 cp, Z und der zweiten mit c~,I ~3, z und nachtrsgliehe Subtraktion der beiden voneinander ergibt sich

(c” 1 CP, I c4, 2 .-- d, I C3,l 3, c3,2 1 (q#y+

<c:, 2 Cl, 1 Ce, 2 - 4 sr@,) + 2 C3,l c3, 2, i s (a‘J 1 %+

+ cz C4,l c4,2 q-J - i S’ w 1 2

( i

S’(%) 2+ c= C3,l CY, 2 -

SW (17)

s’(d +2 - c S’ (a3) c c4, 1 -qg- - c cs, 1

s’o = %2 c4, 2. S(a,> s (4 1


Multipliziert man die erste Gleichung (15) mit c4,% resp. c4,1 nnd die zweite mit c3, 2 beziehungsweise c3, 1 und subtrahiert dann, so bekommen wir

S’ (ad s r (4 (c4,2 C3,l - C4,l c3,2) I- + c CP, 2 - -

S’(a,> =

b (ad i S(%> cc3,2 x(a,>

= c4,2 K3 - c3,a K4 (18)

(C4,l c3,2 - c4,2 C3,l)

Xit Beniitzung van (18) ergibt sich aus (17)

(Ci,l c4,1 c4,2 - c:,, C3,l c3, 2) i 1 S’(a,) 2+ ___

1s (f-3 >

- c2 c3,1 '3,2

2 KS - c3,2 K4 - (c4,2 c3,x - c4,1 c3,2)

S'(a,> c4, 1 K3 - c3, 1 K4 - (~4, i c3,2 - ~4,s ~3, I) so

I =

z,z c~,~ c4,2 K; - ~3, I c3, 2 Kf-

Die Koeffizienten der quadratischen Glieder in (17’) haben der

Reihe nach die folgenden Werte ; der van 2 ist

-2 c:,1 C4,l c4,2 + 2 ci,, c3,2 Ca, 1 -j- Ci,l C4,l c4,2 - c$* C3,l c3,2 =

= 6, 1 c3, 2 c3, 1 - 4, 1 c4, 1 CP, 2.

Auf Grund der Relationen (1) erh&lt man weiter:

c; 1 c3,2 c3,i - Gi,l C4,l c4,2 = C4,l C3,l (C4,l c3,2 - %.,I C&,2 I=

= C4,l C3,l [es, 2 (- c - c4,2) - C4,a (- c - C3,2)]"

= ~4,lkl(-~'.3,2+~~4,2)=~~4,,C;i,l(~4,2-~3;2)=~-

110 Paul Roth.

Ebenso berecbnen sioh die Koeffizienten von

Man kann also aus den Oleichungen (12) die folgende Relation ableiten

8' (4 = C4,l c4,2 EL- c3,* c3,2 KS 2 es,1 C4,l (C4,P K3 - c3,2 K4) -q-J -

S'(a,> - 2C3,nca,z(C4,lX3-C3,1Xa)----'

&a21

Setzt man nun

. . .

- fiir die rechten Seiten von (19) gilt dasselbe wie frtiher fiir die von (11) - dann erhblt man aus (14)

$3) + $3) = jp) L gqgg-

S' (a, > - [4 c3,1 C4,l (c4,2 K3 - c3,2 K4) + ClZ]-----

SW

-~4~3,2~4,2(~4,~K3-~3,1K4)-~12]-- s’(u2) + S (a2)

(20)

+ 2(cq,1 qa K,"-- c3,1 c3,2 K,2).

Driickt man alle S(a,), (k = 1,2,3,4) durch S(aI) aus (3) aus, so ist (20) eine letzte lineare Relation f&r die Parameter ii. Wir


haben also fur die von p + 7 willktirlichen Konstanten abhangende Funktion (2) p + 6 lineare Gleichungen, wodurch ihre Verhaltnisse vollkommen bestimmt rsind? da die Gleichungen i m a 11 gem e i n e n voneinander unabbanglg and.

Damit ist die i m allg emeinen eindeutige Losbarkeit des Umkehrproblems wie es durch die im Eingang aufgestellten Gleichungen (P) gegeben war, bewiesen.

Auf den Unbestimmtheitsfall, das heidt auf den Fall, wo das Problem infolge der besonderen Wahl der Konstanten auf den rechten Seiten von (P) unendlich viele Lijsungen hat, was dem Umstand entspricht, da6 die linearen Bedingungsgleichungen fiir die in S(x) auftretenden Parameter Abhangigkeiten untereinander zeigen, gehen wir spater ein, ebenso wie wir erst im Zusammenhang mit den allgemeinen a-Kurven auf die geometrischen Konsequenzen dieses Paragraphen zurtickkommen.

0 6.

Wir gehen nun dazu uber, die in den letzten drei Para- graphen behandelten Fragen im allgemeinen Fall der c-Kurven (15 Q < s - 1) zu erledigen. Unter Beibehaltung aller im s 3 eingefuhrten Bezeichnungen sei jetzt

(1)

wo g (z, y) = 0 und h (x, yj = 0 zwei den s-fachen Punkt zum a-fachen Punkt (0 < 5 < s - 1) beeitzende Kurven sind.

Dann bestehen fiir R(x) in den Punkten ai eine Reihe von Bedingungsgleichungen, sowie fiir die Differentialquotienten bis zur (s - cs - 2)ten Ordnung inklusive. Die Bedingungsgleichungen seien wieder mit (A) bezeichnet. Wir ftihren die Bezeichnungen ein

ak+l Y (x, Y> ak+lh(x, y) axk a yl =Yk,l? axk a yl = hc,z,

2=0,1/=0 x=0, y=o

dann ist der ate Differentialquotient von g(z) = g(x, y) im Punkt ai g!“) gegeben durch ,

g”)=g, ,+ (;)g I - , 1 a? + (,“I Yo-2, 2 Caf)>” + * - - + g, v <a9” Q I (2)

und in analoaer Weise h(f) b 6 . Fur R (ai) ergibt sich dann

R(a) = + (i = 1,2 . . . s),

112 Paul Roth.

und daraus

h!“‘R@)-g , 1- 4, 0 +(“)g _ 1 d I,1 q+.. - go ~ (af))“. (3)

Das sind s Gleichungen fur die (CX + 1) Gr613en g,, 1 (k + I = b), so daD man durch Elimination derselben s - B - 1 Bedingungs- gleichungen fur die s Werte h$@ R (ai) erhalt, die im Verschwinden samtlicher (0 + 2)-gl ie ri d g er Determinanten der Matrix

bestehen.

hl”‘R (a,), I$’ R (a2) . . . . . . It’ R (a,) 1

(a(11)Y, (a@))” 1 ,.....“” (a?))”

( y) (ay))“-l, (7) (a?))“-‘, . . . (7) (a~))am-l * 7 . . . . . . . . . . .

(PI a$ ’ (;)‘ai2) : .*. I.‘. .’ . ;yj &

1, 1 1

(Al)

Weiter ist, wie aus (3) durch totaIe Differentiation hervorgeht,

hj:“+‘)R(aj)+h~ I’R’(a.~)=g~+l)=g,+,,,+i”~l)g~,laj’)+. . .

(4)

+so, 0+1 (a~))“+‘+a~)((:)g,_,,,+~(~)g,_,,,a~)+~..~go,~(a~))“+‘),

ftigt man noch a-Gleichungen der Form

@R(Q - hf”P’R(cck) = (y)g,-, 1 ( ai’) - ai”‘) + (;) 9, _ 2, a( (ar)>” - (a?),‘) (5)

. . . +g, ~ ((up))“- (a$@)“) (k = 2 . . . 5 + 1)

hinzu, womit die Gesamtheit der von einander unabhangigen Differenzen dieser Art erschiipft ist, wie aus der Existenz der Relationen (A,) hervorgeht, so sind in (4) und (5) fur G + 2 + 5 = =2a+2 GroSen gk I im Ganzen s + o Gleiehungen enthalten und durch Elimination derselben ergeben sic11 s + cs - 2 a-- 2 = s - a - 2 Bedingungen, denen die s Differentialquotienten zu geniigen haben. Es mtissen alle Determinanten von der (2~ + 3)ten Ordnung der folgenden Matrix verschwinden


. *. . . . .- r; * .

- : . -5 .

.

8* . s . - . . . f . . - : . .

. -

. . * : . . . . . * . 8.4

8

* 0 - .

. *

. .

. .

. - . .

- 0

Mm&h. fiir Mathematik u. Pbysik. XXIV. Jahrg.

114 Paul Roth.

Auf der rechten Seite von (6) steht ein in den folgenden

(Y+l)d+ +y) + 1 Gr613en linearer Ausdruck

go--l,l? go--2,27--.90,0

9 CT, 1 Y Ycl-l,27~*-9*,d Yo,m+1 . . . . . . . . . . . . . . . .

Ftigt man die Gleichungen (5), in denen Differenzen der R(ai) vorkommen, weiters (6 + 1) Differenzen von Werten der R’ (a<), die sich aus (A,) ergeben, u. s. w. endlich (CS + r - 1) Differenzen von Ausdrticken,. in denen die R@-‘)(cQ) auftreten aus den (A,.) hinzu, so erhglt man

s+6+(~+1)+.*- +(~+r-l)=s+~a+~r(r-1)

Gleichungen fur die Gr613en (7) und durch Elimination derselben

sir~+~~(~-l)-(1.+1)~--(T~l) -l=s--6-r-l

Bedingungsgleichungen (A,+,) fur die pten Differentialquotienten von R(3). 1st r=s--b - 2, so gibt es eine letzte Relation. Im ganzen hat also B(Z) im s-fachen Punkt 0 von F(z, y) = 0

Bedingungen zu gentigen, die sich in s - Q - 1 Gruppen scheiden.

Die Umsetzung der algebraischen Relationen (A) in transzendente ist wohl ebenso einfach wie in den frtiheren Fallen, allein die Relationen selbst weisen einen weitaus komplizierteren Bau auf.

In der Relation (A,) treten die R(aJ selbst auf, man wird also das Abelsche Theorem fur die Integrale dritter Gattung

a, 2 (4, m, 3 (4 . * . K, s (2)

verwenden, das die Beziehungen ergibt


man berechnet daraus

(1)

(2)

dabei bedeuten die Gr6Ben iti

2 iiit7,, i xi = e”=% (i == 2, 3 . . . s)

bekannte Konstante, da die Pole &; von R(x), sowie die sie aus- schneidende Kurve als bekannt zu gelten haben.

Die (A,) selbst haben die Form

c,, 1 R(a,) +ii, 2 R(a,) +. . . +&,+I R(G+I)+~~R(~~) = 0, (3)

(v=~+2~a+3--s)

dividiert man durch R(a,) und beniitzt (a), so erhglt man die transzendenten Beziehnngen

- 2 yin,,, C,., 1 +& 2 x2 e ?.=I $0 + - . .

(4)

und als Beitrag zum erweiterten Umkehrproblem kann man ihnen die Gestalt geben

116 Paul Roth.

Die GrGDen c und c in den let&en beiden Gleichungssystemen sind leicht zu berechnende Konstante, ebenso wie $), die oberen Grenzen XL symbolisieren, wie immer, die allgemein gelassene Punktgruppe Inter Ordnung.

In (l’,) treten die k-, wliedrigen Integralsummen als Argumente der Exponentialfunktion auf, das widerspricht naturlich gar nicht der Moglichkeit der Eindeutigkeit der L6sung eines derartigen Problems, denn dadurch, da13 Ill,,, (2) hiichstens logarithmlsche Singularitaten besitzt, hat efll,y@) auf der Riemannschen Flache keinen wesentlich singularen Punkt.

Fur die Umsetzung der (A,) in Integralrelationen beniitzen wir das Abelsche Theorem fur Integrale zweiter Gattung mit einer polaren Unstetigkeit von der ersten Ordnung. Man hat dann

Setzt man

so kann man (4) such schreiben

(4')

Multipliziert man (4’) mit (2), so erhblt man

und daraus weiter

R’ (ai) - xde L=l?/, R (4 i&=1 2Jo

(i = 2, 3 . . . s).

Nun lauten die Relationen (As) in extenso hingeschrieben folgender- maden :

G,I R (a,) + ~,a R (a,) t.. .+ &,.+I R (a,+d+zv,n+z R (u,+s) +

-t&l R’(a,)+-&.+a R'(n,+2)?-~~R(~y>+~R((a,)=O(6)

('J=d+3,a+4,...s).

Erweiturtes Umkehrproblem. 117

Dividiert man durch R (aI) und setzt aus (2) und (5’) die Werte ein, so kommt man zu den transzendenten Beziehungen

Und von hier aus ergeben sich die Beitrage zum erweiterten Um- kehrproblem

a=1 ( G=d+3,6+4,...s).

Fur die Konstanten, die in den letzten drei Gleichungssystemen auftreten, gilt das Gleiche wie oben.

Wie man fortzufahren hat, ist ohne Schwierigkeit zu sehen. Man hat, so wie im Falle 0 = 0 fortlaufend das Abelsche Theorem fur die Integrale zweiter Gattung mit der polaren Unstetigkeit in ai von entsprechender Ordnung zu bentitzen, aus den so gebildeten Gleichungen fortschreitend die m’erte R” (ai), R"' (ai) . . . zu bilden und in die algebraischen Relationen (A) die betreffenden Gr613en einzusetzen. Dann ergeben sich die beziiglichen Integralrelationen (B) und die Beitdge (r) zum erweiterten Umkehrproblem. Es mag nur hier hinzugeftigt werden, daB die k-gliedrigen Integralaummen bezw. Funktionen derselben nicht immer linear anftreten und da13 sich die durchgangige Linearitat derselben durch passende Um- formungen hier nicht, wie es bei Q = 0 der Fall war, erreichen lafit, wodurch der Charakter und der Bau der Relationen (f) bei einigermaaen hohen Ordnungen der Differentinlquotienten von R (x)

ziemlich kompliziert werden.

118 Paul Roth.

9 8. Gehen wir nun zur Diskussion des erweiterten Umkehr-

problems, wie es sich fur allgemeine a-Kurven darbietet, tiber, so gilt fur dieses in noch vie1 weiterem AusmaB als frtiher die Be- merkung, daD man zu Spezialwerten von s und cs greifen mu13, um die hieftir erforderlichen Betrachtungen nicht zu weit ausdehnen zu mtissen, wobei freilich so wie frtiher hinzugesetzt werden muD, da13 damit der allgemeine Fall vollkommen gekennzeichnet und erledigt ist.

Der erste Fall, der in dieser Hinsicht einige Komplikationen aufweist und damit iiber die in der bisherigen Literatur behandelten Umkehrprobleme hinausgeht, ist der Fall s = 4 und a = 1.

Die Kurve 3’ (x, y) = 0

hat in 0 einen vierfachen Punkt und die Funktion

ist der Quotient zweier durch den Ursprung 0 einfach hindurchgehen-

der Kurven. Diese Funktion hat im Nullpunkt i- (s--o) (s--o-l)= 3

Bedingungen zu geniigen und es sind also hochstens p + 3 der vorlaufig als willktirlich nnzusehenden Nullstellen eine Folge der anderen.

Das hiehergehorige Umkehrproblem la& sich also folgender- maden fassen : Man hat p-/- 3 obere Grenzen xy und es ist zu zeigen, da0 zu den p + 3 Gleichungen

%‘+3 9 dlAi = vi (i = 1, 2, . . ‘. p) (r,)

I’+3 “k - 2 / w, t

et ‘, e k=l 210 ,- +ct e k=l?/, (t = 3, 4)

k=l iju k=l ;,


eine einzige Gruppe von p + 3 Punkten existiert, die die Glei- chungen (IY) erfiillt. Zwischen den Konstanten c, d und e von (r) bestehen eine Reihe von Beziehungen, urn die wir uns hier nicht zu ktimmern brauchen, weil der betrachtete Fall noch nicht so kompliziert ist, da13 wir von ihnen Gebrauch zu machen haben.

Zu diesem Behufe gehen wir ebenso vor wie beim Beweis im 8 5.

Wir nehmen 2p + 3 beliebige Punkte E,, Q . . &F-t3 auf der Kurve CL*’ und legen dureh sie eine adjungierte Kurve von gentigend hoher Ordnung

‘lr (x, Yl = 0, die die Ii’ auIJcrdem noch in einem bestimmten Rest schneidet. Durch diesen Rest legen wir eine gleichfalls adjungierte Kurve derselben Ordnung, die wir mit

bezeichnen. Von der rationalen Funktion

die die aligemeinste in den Punkten & cul werdende Funktion ist, haben wir zu zeigen, da0 die p + 4 homogen und linear in (1) auftretenden Parameter h so bestimmt werden kijnnen, und zwar nur auf eine einzige Weise, da13 p + 3 der 2p + 3 Nullstellen von (1) mit den p + 3 oberen Grenzen des erweiterten Umkehr- problems tibereinstimmen.

Seien die vorlsufig unbekannten Nullstellen von S (x) bezeichnet mit

Xl) $2 . . . ql+s, $1, ' x;...xp, (2)

dann bestehen ftir sie auf Grund des Abelschen Theorems fiir In- tegrale erster Gattung die Relationen

I’+3 “k

2 /dui--j-5 ~dt~j=2~‘fduj (i=l,2.. .p). (3) k=l Go k=l ?I0 k=l y.

Bezeichnet man die rechten Seiten, die ja bekannte Konstanten darstellen mit iVi, so hat man die p Punkte xi so zu bestimmen, daD fiir sie gilt

5 rdui=A:-vL (i=1,2...p). k=l ;/,

(4)

Die Punkte XL sind durch (4) vollkommen bestimmt und die p Be- dingungen fiir den Zahler # (x, y) in ihnen zu verschwinden,, sind lineare Bedingungsgleichungen ftir die Parameter h desselben. Den Gleichungen (r,) ist durch diese Bestimmung Geniige geleistet.

120 Paul Roth.

Das Abelsche Theorem ftir Integrale dritter Gattung IIl,y (3) (v = 2, 3,4) ergibt

ps Jinl,,(%!) +s ~l-Il,,(~) -I~3Jrll,2(~) =log # k=l y. kc1 y, k=l y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)

p$ J?rL4(~) +fj Jm*,,(~) “S3 /tk1,*(~) =log$$ k=l y. ?szlge k=l jj.

Die Gleichungen (5) kann man such so schreiben

(5’)

Multiplizieren wir die erste nnd zweite Gleichung (5’) resp. mit c~,~ und c3 und addieren sie und ebenso die erste und dritte Gleichung mit c4,2 und c4, so erhalten wir

Die Ausdriicke yT1yinl, t (t = 2, 3,4) sind bekannte Konstante, o P 4

das Gleiche gilt von ,zl i dnL t (t = 2,3, 4); ftihren wir die Be-

zeichnungen ein


so e&lilt man aus (6) die Beziehungen

Multipliziert man beide Gleichungen (7) mit dem gemeinsamen Nenner cler rechten Seiten S (a,), so erldlt man weitere zwei lineare Gleichungen fur die willki.&hchen Parameter ), von (1) und das Erfulltsein derselben schliedt dasjenige der Gleichnngen (r,) in sich.

z

Das Abelsche Theorem fur die Integrale / d 8, (x) (t = 1.. .4)

ergibt %

k=l

Mit Berticksichtigung von (5’) und (8) erhalt man

uncl durch Einfuhrung leicht verstgndlicher Abktirzungen EL@), zf’, -&!f’ fur bekannte Funktionen bekannter p-gliedriger nnd (2p + 3)- gliedriger Integralsummen erhalt man die Relation

und damit eine let&e lineare Gleichung fur die h. Die p + 3 Ver- haltnisse der p+4 homogenen Parameter von (1) sind dadurch im allgemeinen eindeutig bestimmt und die eindeutige Liisbarkeit des am Anfang des Abschnittes gestellten Umkehrproblems bewiesen.

122 Paul Roth.

w Wir hatten b e i d e r LSsung des Umkehrproblems in w 5 und

w 8 stets den allgemeinen Fall vorausgesetzt, das beigt wir hatten angenommen: dal~ die Konstanten auf den rechten Seitea der Gleiehungen (F) so besehaffen sind, da6 die Gleiehungen selbst yon einander unabhangige Beziehungen zwisehen den oberon Grenzen darstellen.

Daran kntipft sich naturgemal~ die Diskussion desjenigen Falles an~ in dem diese Voraussetzungen nieht erfttllt sind~ wo a l so die Gleichungen nicht eine Lssung, sondern unendlich viele besitzen, die dann eine bestimmte Teilsehar aus der dureh die jedesmaligen Gleichungen (F0) definierten Vollschar bilden. Man nennt diesen Fall bekanntlich den Unbestimmtheitsfall des zugeh~rigen Umkehr- problems.

Die Erledigung desselben ksnnte man nun so durehfiihren~ wie es B r i o t 1) im Falle des gewShnlichen Jaeobisehen Umkehr- problems getan hat~.dag man namlich die Gleiehungen (F) durch Differentiation in totale Differentialgleichungen umsetzt und dana mit der Frage einsetzt~ wann ein System yon k derartigen Differentialgleichungen mit lc unabhangigen Ver~tnderliehen unter Voraussetzung bestimmter Anfangswerte nicht ein% sondern unendlieh viele LSsungen besitzt.

Dieser Weg w/ire wohl mOglieh und wtirde auf keine weiteren Sehwierigkeiten stol3en, ware aber sehr langwierig~ denn es ware dana notwendig, die totalen Differentialgleichungen des Problems ft~r allgemeine Werte yon s and ~ wirklieh in extenso hinzu- sehreiben~ was wir ja in Wirklichkeit nieht getan haben, sondern wir haben uns mit speziellen Werten begniigt.

Einfach and verhaltnismal~ig schnell kommt man zum Ziel~ wenn man auch bier wieder dem Ansatz folgt~ den L i n d e m a n n in seiner eingangs erwahnten Schrift gibt.

Er geht aus yon der Darstellung der rationalen Funktion

R (x) : g (x, y) . . . . . . g (x~ y) = 0 und h (x, ?/) - ~ 0 sind 2 ~-Kurven, (x, y)

wobei der Werte yon a ~ 0 miteingesehlossen ist - - mit Hilfe yon Integralen zweiter Gattung in der Form

R ( x ) ---- )'o q- ~ Z~'I(X) q - " " § ~ Z ~ (x) (1) 1

~]~ ~ . . . 5 sind die Pole yon R ( x ) . Die k Konstanten k bereehnen sich aus den fttr sie zunaehst geltenden p Gleiehungen

(h = i , 2 . . . ~) ~) Ch. Briot: Thgorie des fonctlons abdiiennes. Paris 1879. S. 90.


- die yh(x) sind die p zu den elementar normierten Integralen erster Gattung gehorigen Integranden - die ja bekanntlich besagen, da6 die Periodizitatsmoduln an den Quersehnitten 6, der zur Kurve gehorigen Riemannschen Flache verschwinden, dann weiter aus den

$(J-rs)(ri-D--1) 81 ’ h g em un en wie sie in den Paragraphen (3)

und (6) aufgestellt wurden. Die Konstante h, kommt in den Gleichungen nicht vor, weil sich die in sie multiplizierten Glieder wegheben. In den Gleichungen selbst treten Linearkombinationen der Ausdrgcke

.z*;. (a2) . . . . . . . . 2,:: (OS)

und die Zy (n,.) haben die Bedeutung

(4)

es handeit sich also urn Differentiationen

des Integrals b&i. (z) . .i

Diese k Gleichungen sind nun im Unbestimmtheitsfall von- oder mehrere von ihnen einander nicht unabhangig, sondern eine

sind eine Folge der tibrigen. Es miissen dann eine oder mehrere Relationen der folgenden Form statthaben

nach der oberen Grenze

wo die c,,, Konstanten sind, die von den hi vollkommen unabhangig sind, wohl aber von den Konstanten abhangen, die in den Relationen auftreten, die die Werte der Funktion R (x) und ihrer Differential- quotienten in den Punkten ay verkntipfen. Es handelt sich dann darum, die weiteren Konsequenzen aus der Existenz der Gleichun- gen (5) zu ziehen.

Bevor wir daran gehen, haben wir noch einige Eigenschaften der Gr&en (3) anzuftihren, die sich aus dem bekannten Satze von Vertauschbarkeit von Parameter und Argument eines Integrals dritter Gattung ergeben. 1st y,, die untere Grenze der Integrale Z&(Z), so da13 also R (yO) gleich i\, ist, und nimmt man das Integral

124 Paul Xoth.

dritter Gattung mit den beiden logarithm&hen Unstetigkeiten in y0 und ay (y=1,2... s), so hat man auf Grnnd des erwahnten Satzes

PI %

i dn,.y = - .i CqL) (6)

2 Yo

wobei x irgend ein beliebiger Punkt ist. Es ist dann weiter

Wenn wir nun die beiden Integrale zweiter Gattung L?&,(x) und Z&(x) vergleichen, so gilt ftir sie

oder wie man kiirzer schreibt

ziv (EI) = 2;; (UJ . (9)

Die weitere Differentiation der Gleichungen (9) nach Ei ergibt die Beziehungen

zp (E:) = $y’ (cc,). (9’)

Man erh& also die in (3) auftretenden Ausdriicke mittels der Gleichungen (7) und (9) ersetzt durch die Werte gewisser Integran- den mit Unstetigkeiten in den einzelnen Zweigen des s-fachen Punktes 0. Die explizite nlgebraische Darstellung derselben ist jetzt noch festzustellen.

Der Ausdruck (“~w/9)

ist der Integrand eines in den

Punkten a, und y0 logarithmisch unstetie werdenden Integrals ; nimmt man irgend eine durch den Punkt “0 und y,, gehende und den Zweig a, bertihrende Kurve P, von irgend einer gentigend hohen Ordnung I und anderseits eine Kurve Q, von der Ordnung 2 + n - 3 mit s-fachen Punkt in 0 und sonst tiberall adjungiert, die aufierdem durch alle Schnittpunkte geht, die P, mit P auder y0

noch gemein hat, so kann man den Ausdruck gleichsetzen


una damit

Ahnlich vcrhalten sich die Ausdriicke .Z~~)(E$ die man als Werte von Integranden der Integral0 Zaf-” (2) in El auffassen kann. Z$‘-” (x) hat in aV die Entwicklung

der Integrand wird also dort 00 von der (p + l)ten Ordnung, wir werden also

zu setzen haben, wo P,?' (x, y) = 0 eine durch den Punkt 0 durch- gehende Kurve von genagend hoher Ordnung 2” ist, die im Zweig (c, die E’ von der (F + 1) ten Ordnung beriihrt, L$!“ (z, y) = 0 dagegen eine Kurve von der Ordnung 1”’ + n. - 3 mit s-fachen Punkt in 0, die durch alle Punkte, in denen P$") die F schneidet, hindurehgeht und sich sonst tiberall adjungiert verhtilt. DaD allen diesen Bedingungen geniigt werden kann, wenn man nur die Zahlen 1 passend wahlt, davon kann man smh durch einfache Ab- zahlungen leicht tiberzeugen.

Ersetzt man in (5) die Zjr) (c&,,) = Zt’(E;) durch die rechten

Seiten von (10’) und (ll), so bekommt man, wenn man den gemeinsamen Faktor Fi unterdrtickt und Ci einfach durch x ersetzt,

Bringt man die linke Seite von (12) auf den gemeinsamen Nenner

l? (py PG. . .P?-O--))= P(2, y), (13) r=1 so ist der Zahler derselben ein Ausdruck 2M (2, y) und es sol1 gezeigt werden, daIj der Quotient

M (x7 Y> p (5 Y>

auf dem betrachteten algebraischen Gebilde F (q y) = 0 einer ganzen rationalen Funktion @ (x, y) gleich ist, also die Beziehung besteht

(14)

126 Paul Roth

Da die Ordnung m yon M(x, y)~---0

m -~- s (~ -~- 10)-~ - - - . ~- 1 (~-~-2)) -~- n - - 3

ist~ die Ordnung p yon P(x~ y)= 0 aber

ist~ so mug die Ordnung yon �9 (% y)~---0 gleieh n - 3 sein. Die Entsehe.i.dung fiber die E x i s t e n z dieser Kurve �9 (x~ y) aber erfordert einige Uberlegung. I)

Bekanntlich ist naeh dem •oethersehen Fundamentalsatze ftir die Darstellbarkeit einer Funktion M(x, y) in der Form (14) notwendig und hinreiehend, dal3 in jeder Sehnittstelle yon P und F zwei ganze Funktionen A'(% y) und B'(% y) yon unbegrenzter Ordnung gefunden werden kSnnen, so dag in der Umgebung der Sehnittstelle

M (x, y) ---- A' (x, y) P (x, y) -~ B' (x, y) F (x, y)

besteht, wo die beiderseitigen Entwieklungen identiseh gemaeht werden kSnnen bis zu Gliedern beliebig hoher Dimension.

Ist der Sehnittpunkt fiir P ein a-facher, ftir f f ein ~-facher, so geniigt es im Fall% wo keine der a Tangenten yon P mit einer der ~ Tangenten ,con F in ihren Richtungen zusammenfMlt, also im sogenannten einfachen Falle, die aufsteigende Entwicklung bis zu Gliedern der (~z-~-~---2) ten Dimension zu verfolgen und ihr identisches Bestehen zu konstatieren. Ist in diesem Falle der betreffende Sehnittpunkt ein (r162 1)-faeher fiir M, so ist die Erftillbarkeit des identischen Bestehens bedingungslos gewlihrleistet.

Dieser Fall tritt nun ftir alle Sehnittpunkte yon P und F~ abgesehen yon O, wirklich ein~ wie man sieh leieht tiberzeugt. Nur der Punkt 0 macht eine Ausnahme, ffir ihn ist ni~mlich

~-- -s ( s - - z - - 1), ~ = s

aber die Sehnittmultiplizitiit~ die im einfaehen Falle gleich ~. ~ ist: iibersteigt hier den Ausdruek s 2 ( s - - , - 1). Der hier vorliegende Fall ist kein einfacher und mall kann aus dem Umstand, dag M(% y) in 0 einen

-~ ~ - - 1 -~- s (s - - z - - 1) -~- s - - 1 - fachen

Punkt hat, noeh nicht auf das Bestehen der Gleichung (14) schliefien. Berechnen wit die Schnittmultipliziti~ten yon P und F and die yon M und F~ so ergibt sieh ftir die erste

s~(s--a--1)-~-s(1 -~- 2-~- �9 �9 �9 ( s - - z - - 1))

1) In der Lindemannschen Schrift, der der bisherige Ansatz entnommen ist~ ist diese Entscheidung nicht gentigend gorochtfer~igt.

Erweltertes Umkehrproblem. 127

ftir die yon M und F aber

s~ ( s - - ~ - - 2 ) + s ( 1 + 2 + - - . ( s - - ~ - - 2)) +

-[-s(2s-- l ) = s ~ ( s - - g - - 1) ~- s ( 1 - ~ 2 - ~ - - . - . ( s - - ~ - - 1)-~-s~.

8oll nun die F das Produkt P .O in derselben Anzahl yon Punkten sehneiden wie die M, wie es ja beim Bestehen der Glei- ehung (14) der Fall sein raul~, so ist dazu notwendig, dal~ die

�9 ( x , ~/) in 0 einen z*faehen Punkt besitzt, also eine ~-Kurve ist.

Weitevs kann man aus den oben bereehneten Sehnittmulti- plizit~tten iiber die Beziehung yon P(x, y) und M (% y) zu F noeh n~there Angaben maehen.

L~tge, um zun/tehst P und F in Betraeht zu ziehen, im Punkte 0 der einfaehe Fall vov, so w~tre die Sehuittmultiplizitttt gegeben dureh

s '~ (8 - - ~ - - 1 ) ,

in der Tat tibersteigt sie diese Zahl um den Betrag

(8-

und wegen der symmetrisehen Verteitung dieses Ubersehusses auf die s Zweige yon F kann gesehlossen werdenl da~ P jeden der s Zweige von F in weiteren

1 + 2 - 1 - - - . ( 8 - - ~ - - 1) Punkten trifft.

Die Kurve P(x~y) gestattet dann, wie W e i f i 1) gezeigt hat,, die folgende Darstellung

P(x, ~,) = L (x, y) F(x , ~,) + A (z, V); (15)

dabei ist L (x~ y) eine bestimmte Kurv% die im Punkte 0 einen s (s - - a - - 1) - - s ~ s (s - - ~ - - 2)- faehen Punkt besitzt, also die Entwicklung hat

L(x,y)--~ Ls(s_~_~)-~ L~(~,_~_2)+~-~... , (16)

wahrend A (x. y) in 0 einen

s (s - - ~ - - 1) ~- [1 --~ 2 -+- �9 �9 �9 (s -- ~ - - 1)] = 8-faehen

Punkt in 0 besitzt und daher in der Form

h (x, y) -~a~ + A~+~§ �9 �9 (17)

dargestellt werden kann~ wenn, wie sehon friiher beniitzt, in Lk und A t, die Glieder derjenigen Dimension zusammengefafit werden~ die der betreffende Index anzeigt.

1) W. W o i l ] : ,Zum Noetherschen Fundamentalsatz tier Theorie der algebraischen Funktionen. u Wiener Monatshefte, Bd. 7.

1 2 8 P au l Roth.

Eine ithnliche (~berlegung zeigt, dab M (x~ y) sieh darstellen lliBt in der Form

M(x, y) = L (x, y) ~(x, ~) + a (x, y), (is) w e

L (x: y) -~ L , (8 -o -1 ) -1 -~- Ls(~_o_l) -~- Ls(8-~-1)+i -+- �9 �9 �9 (19)

un4 A (x, y) = A ~ + A~+I § (20)

ist und s die Zahl

~ = ~(~-- ~ - - 1 ) + 8 - - 1 + i1 § § (~-- ~--2)]

bedeutet. Bedenkt man noeh~ dab r (x~ y) und B (x~ y) respektive die Entwieklungen haben

(x,y) = 0 o + O ~ + ~ + . . - (21)

B (x, y) = Bs(~_~_~)+~ -]- B~(~_~,_~+o+I + . . . ,

so ergeben sich aus dem Umstand~ dab

M = P O - ~ B F

bestehen soll~ flit die in �9 und B vorhandenen willkfirliehen Ken- stanten eine Reihe yon Relationen und es ist blog die Frage ztl entseheiden, ob die Zahl dieser Konstanten genug grofi ist~ diesen Bedingungen za genfigen.

Ffihrt man die Multiplikationen aus und nimmt die Abzahlungen wirklich vor~ indem man Glieder gleieher Dimension auf der reehten und linken Seito miteinander vergleieht~ so sieht man leieht~ dag in jedem Fal[e sogar sehon bei den Gliedern der niedersten Dimen- sion die Zahl der verfr Konstanten die der zu erffillenden Gleiehungen fibersteigt, und damit ist der Beweis der Existenz der Gleiehung (14) erbraeht. Da die Kurve � 9 der Ordnung n - - 3 ist, also yon niedrigerer Ordmmg a|s F ist~ so ist die Darstellung yon M in dieser Form einzig - - eine Bemerkung, die unseres Wissens zum ersten Male B e r t i n i 1) macht - - und damit ist �9 (x~ y)-~-0 eine wohlbestimmt% durch die Gruppe G~ ~) der ~ ( i = 1~ 2 . . . k), die yon h (x~ y) = 0 ausgeschnitten wird~ gehende a-Kurve yon der (n - - 3) t~ Ordnung.

w 10.

Wenn man die Relationen, die aus der Darstellungs- m(iglichkeit

M = . P O -~- B F (1)

1) B e r t i n i : Rappresent~zlone di u n s fo rms ternaria per l s combinszlone l ineare dl due sltre. Read. del. Ist. Lomb. 1891.


entspringen, n~her verfolgen wiird% so miifite man attf noeh nahere Beziehungen zwisehen den Kurven

O ( x , y ) : O und h ( x 7 y ) = 0

kommen - - die Konstanten yon h treten ja in den c,,~ der Formel (12) des vorigen Paragraphen auf - - aber ihre Aufdeckung ist welt leiehter, w e n n m a n den Gedankengang verfolgt, den N o e t h e r 1) zur Erlauterung derselben gibt.

Unter Voraussetzung des Bestehens einer e i n z i g e n Glei- ehung 5 (w 9) gibt es or LSsungen fiir die Parameter ~, in (1) w 9. Der Zahler im Ausdruek R (x) ist in diesem Falle ein Btisehel yon dureh einen bestimmten Rest F~, gehenden z-Kurven

4 = 41 + ~ 42 : 07 (2)

wobei wir h (x, y) = 417 g (x, y) ~- 6.~ setzen: und (2) bestimmt eine Teilschar g~, die ebenso dureh z-Kurven yon der (n -- 3) t~ Ord- nung

�9 = 0~ + X 0~ = 0, (3)

die alle dureh einen bestimmten Rest F~, durehgehen, ausschneidbar ist, wie eben gezeigt - - die im vorigen Paragraphen mit �9 bezeichnete Kurve soil jetzt 0~ heigen.

Besteht nun diese Aquivalenz der beiden B~ischel (2) und (3) auf der F~ so muir

�9 4 (rood F) (4) 0 ~ - 4i

oder O 1 4 = 4 i O~B iF

gelten~ und zwar so, dais auf der rechten Seite der willkfirliche Parameter ~, im Ausdruek O 1 nieht auftritt~ die Bestimmung der in �9 1 auftretenden Konstanten also vollkommen unabhangig sein sell yon den in 4 auftretenden Konstanten. Eine solche Bestim- mung ist, wie • o e t h e r 1. e. beweist, dadureh mSglieh 7 dal3 jeder der ~ Zweige yon 01 jeden der ~ Zweige yon 41 in ( s - - ~ - - l ) weiteren zusammenfallenden Punkten sehneiden soll~ dag also die Kurven 41 und �9 1~ wie sieh ~q o e t h e r ausdriickt, g 1 e i c h s i n g u 1 ~ r sein miissen.

Aber welter lagt sieh auch zeigen~ dal3 jede Kurve des Bfi- seheis @ zu der ihr projektiv entsprechenden 4 dieses Verhalten haben mul~ so dag also in diesem Falle die gl durch z 'Kurven ( n - 3) t~ Ordnung 7 die zu den entspreehenden des Btisehels 4 gleichsingular sind~ ausschneidbar ist.

Hat man start einer Relation (3)7 w 9, deren r 7 gehen also dutch die G~l) r linear unabhangige ~-Kurven yon der ( n - - 3 ) t e n

1) N o e t h e r : Math. Annalen, Bd. 157 S. 511.

Monatsh. ftir ~Ia~hema,~ik u. Physlk. XXIV. Jahrg. 9

130 Paul Roth.

Ordnung, die alle untereinander und zur +I gleichsingul&r sind, so steht im Zshihler von R (x) eine my Kurvenschar, die eine $2;’ ausschneidet.

Und ist endlich die Ordnung von R (x) gleich m > x, es sei in tiblicher Weise k = rc gesetzt, hat also die Punktgruppe Gi’, durch die 01, abgesehen von einem bestimmten Rest rfi, geht, die Ordnung m und gehen durch dieselbe noch r line& unabhgngige, mit 9, gleichsingulare Kurven von der (n - 3)ten Ordnung, dann ist die Dimension der Punktgruppenschar pk, die bestimmt ist durch die Gesamtheit der durch I?* gehenden a-Kurven von derselben Ordnung wie 0, gegeben durch

q=un-lt++.

Hat man endlich nicht e i n en s-fachen Pnnkt, sondern t s;-fache Punkte und legt man durch einen bestimmten Rest r, die Gesamt- heit der a-Kurven - c bedeutet dann einen Gesamtcharakter - einer bestimmten Ordnung, so schneiden dieselben eine 9~ aus F, insbesondere +I die Gruppe G, , (*I deren Dimension gegeben ist durch

y=m-Tc++,

wobei ‘ii = $ i: (Si - Oi) (Si - 5i - 1) und r die Zahl der linear 1. = 1

unabhangigen, mit +I gleichsingulgren Q -Kurven (n - 3)ter Ordnung bedeuten, die durch G$) gehen.

Das ist der erweiterte Riemann-Rochsche Satz, wie er sich aus dem Unbestimmtheitsfall ergibt.

Wir wenden uns jetzt noch der Anwendung des erweiterten Umkehrproblems, auf Bertihrungsfragen zu und beschrgnken uns da, wie schon im $ 1 erwghnt, auf den Fall, wo die Kurve

F(~,d=O

bloIj gewiihnliche Doppelpunkte und Spitzen erster Art besitzt. Vorher mijge aber zweier S%tze Erwahnung geschehen,, die

im folgenden bentitzt we&n. Angenommen, man h&tte eine rationale Punktion

R(x) =H, (1) >

wo g (2, y) = 0 uud h (5, zy) = 0 zwei Kurven gleicher Ordnung sind, die nicht adjungiert sind in einem bestimmten Doppelpunkt d


von F, sonst sich wie adjnngierte verhalten, so ist die einzige Be- dingung, die (1) in d erf(?dlt, die, dal3

R (aA = R (~2) (2)

ist, wenn, wie frtiher, mit a, und C-J~ die im Doppelpunkt vereinigten beiden Punkte der Riemannschen Blache siud.

Man bilde nun dieselbe Funktion R (x) mit dem Quotienten zweier in d adjungierter Kurven G und H

R (cc) = G @, 3’) , H ix, Yj

(3)

was nach bekannten Satzen stets moglich ist, dann drangt sich nattirlich die Frage auf, ob aus (2) nicht ein besonderes geometri- sches Verhalten der beiden Kurven G und H resultiert.

Das l&t sich durch direkte Untersuchung leicht erledigen, es ist namlich

G, + G, ai R(ui)= Hl+H2 a1

G, + 6 az (4)

R (%) - HI + HT2 ’

wenn G1, G,, HI, H, die Werte der ersten particllen Differential- quotienten von G und H und a1 und a2 die Richtungskoeffizienten der beiden Tangenten in d bedeuten. Setzt man (4) in (2) ein, so ergibt sich

und damit der Satz :

G 1-z --- G, a

(5)

Sol1 der Quotient zweier adjungierter Kurven sich. in einem Doppelpunkt so verhalten wie der z,weier nichtadjungierter, so mtissen die adjungierten Kurven sich im Doppelpunkt bertihren.

Man kann den letzten Satz such benutzen, urn eine duroh ein System von durch d nicht hindurchgehenden Kurven definierte Teilschar durch adjungierte Kurven auszuschneiden. Man legt dnrch eine G, (I) der Teilschar eine adjungierte Kurve gentigend hoher Ordnung, die die F noch in einem bestimmten Rest schneidet, dann hat man durch diesen Rest adjungierte Kurven gleicher Ord- nung durchzulegen, die in d dieselbe Tangente besitzen, wie die Ausgangskurve.

Die analoge Frage stellen wir uns jetzt fur die Spitze e, die wir uns in den Koordinatenanfangspunkt verlegt denken. Sei wie oben

Y (x7 Y> R (x) = -7s (x, y)

132 Paul Roth.

der Quotient zweier durch die Spitze nicht hindurchgehender Kurven gleicher Ordnung, dann wissen wir aus $ 2, da13 in der Entwicklung von R(x) in e nach ganzen Potenzen von ~4

R(x)=Eo+E2x+E3x~+... (7)

E1 das ist der Koeffizient von xg verschwindet. Wenn wir R (x) durch den Quotienten zweier in e adjungierter Kurven ausschnei- den, also

R (,$) = G (5 Y) H 6% Y>

(8)

setzen, so ist such hier die Frage zu beantworten, was fiir ein geo- metrisches Verhalten fur G und H resultiert, wenn E; = 0 ist.

Dazu entwickeln wir R (z) in der Umgebung von e, berechnen E1 und fragen, nnter welchen Bedingungen E1 verschwindet. Es ist

G (2, Y> (%x+Gzy)+( 12 R(x)= H(~,Y) = (H,~+H,Y)+( 12 -

(9)

Die Entwicklung von y lautet

und das in (9) eingesetzt, ergibt weiter

1-i (x) = G,r+G,a,x+G,a,x~+... =

H,z+H,a,z+H~a,x~+...

und man erhalt schliefilich fur

(10)

Da a3 im Falle einer Spitze erster Art nicht verschwinden kann, so mu13, damit & = 0 ist,

G, Hz- G2HI=0 (11)

sein, also die beiden Kurven G und H miissen sich bertihren. Die Bedingung ftir das nichtadjungierte Verhalten ist also dasselbe wie im Doppelpunkt.


Q 12.

Das allgemeinste Bertihrungsproblem, das man sich auf einer mit 6 Doppelpunkten dd (; = 1,2 . . . S) und E Spitzen ei (i = 1, 2 . . . E) behafteten Cp’ von der s Ordnung und dem Geschlecht

p+4)(n-2)-L E

stellen kann, ist das folgende: Gegeben ist eine durch $ der Doppelpunkte und i1 der Spitzen

nicht hindurehgehende, sich m den restlichen 6, = 6 - 6; Doppel- punkten und ebenso in den restlichen Ed = E - &I Spitzen adjungiert verhaltende Kurve von der m ten Ordnung 8, die durch eine he- stimmte Gruppe r, von y Punkten

aI, a2 . . . up

einfach hindurchgeht und sonst die C$” tiberall, sagen wir, urn irgend eine Bestimmung zu treffen, in 1 Punkten von der (r - l)ten Ordnung beriihrt, dann ist nach der Zahl der Systeme und der in ihnen enthaltenen Gruppen von sich ebenso wie 8 verhaltenden Kurven gefragt.

Was den Begriff eines Systems und der in ihm enthaltenen Gruppe anlangt, so erhalt man ihn am einfachsten, wenn man das zugehiirige erweiterte Umkehrproblem in Betracht zieht. Dasselbe he& in diesem Falle folgendermafien

(i= 1, 2.. . 6,)

r (k = 1, 2 . . - El), A=l$/,

z

dabei bedeuten [dII< das in den beiden Zweigen des Doppel- .’

punktes di loga%hmisch unendlieh werdende elementar normierte z

Integral dritter Gattung, -/ d& das in der Spitze ek ool werdende %

elementar normierte Integral zweiter Gattung, v, p und o Konstante, die mit der Ausgangskurve % mitgegeben sind.

134 Paul Roth.

Aus (1) ergibt sich weiter durch Division mit r

1 zs ~~u2=~+~+~r,,+~r,,f...+~r,, (I,) a=lyo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

Die y,, h, (a = 1,2. . . .23> und $2; (i = $2 . . . . 8,) bedeuten dabei beliebige ganze Zahlen, die als nicht verschieden angesehen werden, wenn sie (mod r) einander kongruent sind, die T, T und w sind die Periodizitatsmoduln der betreffenden Integrale an den Quer- schnitten b, der zu F gehorigen Riemannschen Flache.

Man versteht dann unter einem System von nicht adjungierten Bertihrungskurven ein solches, bei dem die zugehijrigen Bertihrungs- gruppen den gleichen Charakter in dem Zahlenkomplex der g und h

aufweisen, den man symbolisch mit $ fixiert, es gibt also dann I I

r2P solcher Systeme und in jedem System treten rsl Gruppen auf: die no& die gleichen Charaktere in den ai zeigen.

Jede einzelne Gruppe wird nach dem erweiterten Riemann- Rochschen Satze im allgemeinen, d. h. wenn durch irgend eine L&sung ai (E, = 1,2 . . . 1) der zugehorigen Gleichungen (I) keine sich in den singular-en Punkten ebenso wie % verhaltende Kurve von der (W - 3) ten Ordnung hindurchgeht, von

i-p-86,-El

Parametern abhangen, die in dem definierenden Kurvensystem bis zur rten Ordnung auftreten, wie man sich leicht tiberlegt.


Die Zahl 4 der verschiedenen Gruppen in einem System wird im Falle, als Abhangigkeiten der Gleichungen (I) untereinander bestehen, sich verringern, und zwar wird die genaue Bestimmung von den Relationen zwischen den Gleiehungen der drei Gruppen untereinander abhangen.

Genaue Angaben tiber die Zahl der Gruppen und ihre jedes- malige Dimension lassen sicb nur machen, wenn man das allgemeine Problem etwas mehr spezialisiert und das wollen wir nun im weiteren tun.

Zunachst setzen wir p = 0, dann nehmen wir weiter 6, = 6 und q = E, schliedlich setzen wir r = 2. Wir betrachten also Kurven von der mten Ordnung, die vollstandig nicht adjungiert sind und tiberall, wo sie die F begegnen, sie bertihren.

Furs erste beschranken wir uns noch weiter, indem wir vorlaufig E = 0 annehmen, also uns die F nur mit Doppelpunkten be- haftet denken. Das Umkehrproblem wird in diesem Falle

r9, Al wo die Symbole ___ [sl 2

und - 2

m leicht verstandlicher Weise

simultane halbe Perioden bedeuten. Irgendeins der 22r Systeme wird in diesem Falle 2d verschie-

dene Gruppen haben und jede Gruppe wird von 1 -p - 6 Para- metern, die in dem der Gruppe zugeh6rigen Kurvensystem bis zur zweiten Potenz aufsteigen, abhangen, und zwar wird die Dimension g e n au s o g r o B s e i n. Denn der Grad der Beriihrungskurve wird, wenn die Dimension der Gruppe mindestens gleich 1 sein ~011, griil3er sein als a - 3. Ware namlich

so ist m=n-3-u (a 2 01,

I= n(n-3-a) 2

(3)

(4

und die Zahl der linear unabhangigen Liisungen des Umkehr- problems ist in diesem Falle

92 (n - 3 - a) 2 -P-----6+,

136 Paul Roth.

wo x die Zahl der linear unabhangigen, nicht adjungierten Kurven von cler (uz - 3)ten Ordnung ist, die durch die I Punkte gehen. Ihre Zahl ist gegeben durch

n=++3)- n @ -23 - a) + 1 = F + 1. (5)

Nun ist aber

und daher

1st aber m= N - 3 + u (~2 l), so erhalt man fur x eine negative Zahl und damit ist die Dimension jeder einzelnen Gruppe genau gleich

I-p-8.

Nur ein einziges S stem macht eine Ausnahme im Falle, wo m = 2m’ eine gerade L r ah1 ist, weil dann in dem betreffenden System die doppelt zu nehmenden Kurven der mrten Ordnung vorkommen, und es ist eine wesentliche Aufgabe vom Standpunkt der A n w en d u n g des erweiterten Umkehrproblems in der Geometrie, die Zahl von Gruppen in diesem System anzugeben: die nur diese (f7m,)2 enthalten.

Wir nehmen der Einfachheit halber an, da13 die Konstanten v und p der rechten Seiten von (II) so gewahlt seien, daO die C,,

im System mit der Charakteristik l”hl=lil vorkommen und da13

die e in e Gruppe, die dieseiben sicher enthalt, durch (n, , n2 . . . ~8) = (0) charakterisiert ist.

Dann sind zwei Falle zu unterscheiden, je nachdem nz’>12--3 oder m' 2~8 - 3 ist. 1st m’> 13 - 3, so gehen dureh die I = nm’ Punkte keine nichtadjungierten Kurven von der (pb - 3)ten Ordnung

durch und es gibt im System I I i

nur eine einzige Gruppevon

(Cm,)2, die tibrigen 2” - 1 sind reine Bertihrungskurven von der mten Ordnung.

1st dagegen m’=?z--3-aa,

so ist die Zahl der linear unabhangigen Kurven von der (~,-3)~,* Ordnung, die in diesem Falle durch die I= 12 m' Punkte gehen

n = + (a + 1) (a + 2) (f-9


und es sind daher van den p + 6 Gleichungen TC eine Folge der tibrigen. Nehmen wir nun den ftir die Anwendung in erster Linie wiehtigen Fall, wo die Gesamtbeit dieser Abhangigkeiten sich voil- stgndig auf die Gleichungen (II,) bezieht, wo also die durch (II,) definierte Vollschar keine Spezialschar ist. Dann sind von den 6 Gleichungen (11,) nur 6 - n unabhengig und weil die Gleichungea untereinander glelchberechtigt sind, so kann man jede Gruppe von R Gleichungen (II,) als Folge der anderen ansehen.

1st nun die Gruppe der C,, durch den Zahlenkomplex

121=o, tza=O...ns=O (7)

definiert, so wird ein Zahlenkomplex, in dem mindestens E - 3 Gr65en ni verschwinden, such nur wieder die Gruppe der C,, geben.

Tn dem System mit der Charakteristik i~~=i~l gibt es

alsti dann

Gruppen, die stets die C,, enthalten, so da5 dann in diesem System nur

2”j~+~+(;)+-4)] co’

Gruppen eigentlicher Bertihrungskurven existieren. Wenden wir das letzte Resultat auf einen einfachen Fall an,

ngmlich auf den der ebenen Kurven vierter Ordnung mit+ nach- einander einem, zwei und drei Doppelpunkten, und zwar auf die Systeme und Gruppen der Bertihrungskegelschnitte.

Im ersten Falle ist

12=4,6=1,p= ) 2 112~2, m’=n-3=1, i~=l;

es gibt dann 2Q - 1 = 15 Systeme mit je zwei Gruppen reiner

Beriihrungskegelschnitte, im System lzi=l”,l

ist die Anzahl der

Gruppen, die sich nicht aus doppelt iiberdeckten Geraden der Ebene zusammensetzen

Also ist die Anzahl der verschiedenen Gruppen reiner Beriihrungs- kegelschnitte an der Cp’ 30 und nicht 31, wie es Cle bsc h- Lindemann und Appell-Goursat in ihren Lehrbtichern be- haupten, die das erweiterte TJmkehrproblem auf Bertihrungsprobleme- anwenden, ohne die Erweiterung in Betracht zu ziehen, die dann der vergnderte Riemann-Rochsche Satz mit sich bringt.

138 Paul Roth,

Im zweiten Falle i s t

n=-~4: ~ 2 ~ p = . l ~ m~2 , m ' ~ - - n - - 3 = l ~ r c ~ l ;

.es gibt dann 2 ~ ~ 1 ~ 3 Systeme mit je 2 3 ~ 4 Gruppen eigent-

licher Beriihrungs-C~ und im System I~ existiert nur eine solche J

Grupp% weil

2 3_ q- = i

ist, im Ganzen also 13 Gruppen und nicht 157 wie in den oben zitierten Biiehern.

Sehliel31ieh ~ hat man im letzten Falle

n ~ - 4 , 8 = 3 , p ~ 0 : m=-2~ ~i~

existiert hier nur das System 0 und in ihm es

Gruppen eigentlieher Bertihrungskegelsehnitte und nieht 7. Die Dimension der einzelnen Gruppen ist in jedem der drei

Fi~lle gleieh 1 und die Kurven lassen die Darstellung zu

X~A-~-2),B@C=O, w0 A, B und C terni~re quadratisehe Formen sind.

Die Formel (9) finder sich bei H u m b e r t , 1) wie tiberhaupt der hier gegebene Gedankengang mit dem H u m b e r t s tiberein- stimmt~ wenn man davon absieht, daft bei H u m b e f t automorphe Funktionen und hier Abelsehe Transzendenten verwendet werden.

Es mag noch der Ideengang yon W e i $ hier Erw/~hnung finden und gezeigt werden~ dal~ er sieh ganz ungezwungen an das erweiterte Umkehrproblem kntipfen l~tl~t~ was in konkreten Fallen Erleiehterungen bieten kann.

Der Einfaehheit halber besehrlinken wit uns auf reine Be- rtihrungskurven. Dann geht W e il~ 2) folgendermafien vor : Er denkt sieh eine bestimmte nieht adjungierte Beriihrungskurve 92 (~ aus

einem bestimmten System g gegeben~ die in einer bestimmten Punkt-

gruppe Gz beriihrt~ er legt dureh diese Gruppe eine adjangierte Bertihrungskurve A(~ die noeh in einem bestimmten Rest ['~ schneider. Die ganze zu G~ korresiduale Gruppensehar wird aus-

~) H u m b e r t : Journal de Liouville, 1886, S. 304. 2) Weil3: Wiener Beriehte, 1890, w 5.


geschnitten~ indem dureh rq 27 Gz die Gesamtheit P adjungierter Kurven der gleichen Ordnung wie A (~

P = "Ao Po 27 )~1Pl 2 7 " " 27 Xt Pt, (10)

wo t -~ 1- -p ist: gelegt wird~ wenn tinter {G,[ keine Spezial' sehar 1) verstanden wird. A r176 ist nattirlieh selbst eine Kurve yon (10).

Um nun aus ]Gll diejenige Teilsehar herauszuheben, in der nicht adjungierte Kurven bertthren: hat man dem System (10) nicht, adjungiertes Verhalten im Doppelpunkt d - - es sei nm" von einem Doppelpunkt die Rede, im Falle mehrerer Doppelpunkte liegen die Modifikationen auf der Hand - - aufzuerlegen.

Nun ist diese Bedingung sehr leieht abzuleiten~ nimmt man die Quotienten aus den Quadratwurzeln yon 9/(~ nnd je einer

Kurve ~(i) und ~(1), die demselben System . gh [' abel" versehiedenen

Gruppen angeh6ren, so stellen ~ , . ~ nnd ]/9~ ~ je eine rationale

Funktion auf der Kurve vor. GehSren ~[(o> und 9/0) derselben Gruppe an, so is L wie aus

der Umkehrung des Abelsehen Theorems ffir das in den beiden Zweigen al, a~ yon d logarithmiseh unstetjg werdende Integral hervorgeht,

V ~ r (ai) _ V~ (%) . (11) V'~ (0) (6tl) - - V ~ '

geh~ren dagegen 9/(o)und ~-(~) versehiedenen Gruppen an, so ist

V g <~) (a~) = _ 1 / ~ r ( ~ ) . (!2) ]/9~ (~ (a,) ]/9/(~ (a~)

Identifizieren wir nun Po mit A(~ so gehSrt zu (11) eine adjungierte Kurve t:)1, die die Bertihrungsgruppe yon 9fl (~) ausschneidet und r den Quotienten

P,V Po V~(~

wird in diesem Falle

(a~) __ P~ (a~) (ii')

1) I Gll soil die zu G1 geh~rige Vollschar bedeuten. (S e v e r i , Lezioni di geometria a|gebricu. Padua 1908, S. 89.)


W e i ~ geht nun in seiner Arbeit einen algebraischen Weg und fragt sieh nach dem Analogon yon (12') far die Spitze und das bez~ig[iche Resultat ist leicht durch einen Grenz~ibergang abzuleiten. Wird namlich in (13')

51 ~ 0f 2

gesetzt, so erhalt man

also die Kurve P hat die Spitzentangente zu bertihren, dadureh wird dann einer der bewegliehen Punkte der Sehar fix und daher f~llt einer der Beriihrungspunkte dieser gewissermagen zweiten Grnppe in die Spitze selbst und die aussehneidende Kurve ist in e adjungiert.

Und diese Grupp% die nattirlieh gar keine Bedeutung im Falle des Studiums nieht adjungierter Berahrungskurven hat, spricht Weil~ als zweite Gruppe des Systems an und ftigt aulilerdem die Bemerkung hinzu, H u m b e r t habe diese Gruppe irrtiimlieh nieht gefunden, eine Behauptung~ die nat~rlieh jeder Berechtigung ent- behrt, denn H u m b e r t findet zu jedem System~ im Falle der Spitze nut eine Gruppe und das erweiterte Umkehrproblem liefert~ auch nieht mehr~ denn es tritt ja dann ein Integral zweiter Gattung hinzu und dieses hat nut zyklisehe and keine polaren Perioden. 1)

Die Methode von We i g, die ohne Schwierigkeit an das erweiterte Umkehrproblem angeschlossen werden kann, hat insoferne eine Bedeutung: als dutch sie bisweilen vertieftere geometrisehe Resultate gewonnen werclen ktinnen und zweitens, well in Fallen, wo Spitzen uncl Doppelpunkte nebeneinander vorkommen, es nieht immer ganz leieht ist, die Anzahl der in einem System enthaltenen Gruppen wirklieh zu bestimmen~ da man tiber die gegenseitige Ab- h~ngigkeit tier Integralbeziehungen niehts genaues weig und sieh eine Kenntnis davon gerade durch konkrete Aufstelluug der aus- sehneidenden Kurven in Verfolgung des Wei~isehen Ge'dankenganges versehaffen kann.

1) Auch die Geometer haben diesen Standpunkt yon W e i g nicht adbptiert; man vergleiche wegen spezieller Beispiele K ohn, Enzyklop~die der math. Wissen- schaften, Bd. lII~, Heft 4.

140 Paul Roth.

gelten. Die Kurve P, wird in d die A”’ beriihren, wie aus den Auseinandersetzungen des 9 11 folgt.

Anderseits ist, wenn c die Bertihrungsgruppe von %I ausschneidet. I m>- E&l -----To (u2) 4 (%I und in diesem Fall8 wird also

(12’)

(13)

Wenn man die Tangentenrichtungen van PO und c im Doppelpunkt mit to und tI bezeichnet, also

to = - t, = -

setzt, so ergibt sich

a1 - 4 . a2 --t1 _

a1 - Gl .----I.

a2 -to

Also die Tangentenrichtung von e ist durch die beiden Doppel- punktstangenten von F von der Tangente der Kurve PO in d harmonisch getrennt. Man bekommt also die einzigen beiden Gruppen, die jm

System i I I

enthalten sind, indem man aus der Schar (10) das eine Ma1

die Kurven herausgreift, die A(‘) im Doppelpunkt bertihren, das andere Ma1 diejenigen, die die zur Tangente von A”’ in d beztiglich der beiden Doppelpunktstangenten harmonische Gerade beriihren.

Wenn man diese Methode ?rtf eine F mit einer Spitze ver- wend&, so entnimmt man den Uberlegungen des 0 11, da13 die einzige in diesem Falle existierende Gruppe von Kurven P ausgeschnitten wird, die die Kurve A”’ in e beriihren. - A(‘), p, 8 haben ganz die gleiche Bedeutung wie frtiher, so da8 im Fall8 emer Spitze nur eine der Gleichung (11’) entsprechende, im Verschwinden

des Koeffizienten I$ in der Entwicklung von -$$ in der Umgebung 0

von e bestehende Relation existiert.

das erweiterte umkehrproblem der abelschen integrale in der geometrie der ebenen kurven

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