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CNC Power Engineering - Always on the move
Ansichten über krumme Kurven oder der Einsatz der Spline-Interpolation in einer CNC-Steuerung
“Amazing ideas and freaky challenges in software
development”
Klaus, 20.01.2015
Werner Heimpel
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Entstehung der Mathematik
Babylonische Mathematik
Quellen ca. 1800 v. Chr. (Keilschrift auf Tontafeln)
Voll ausgebildetes Zahlensystem (Sexagesimalsystem zur Basis 60)
Zahlensystem Approximation von Wurzel 2
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Pionierbasis Krumme Kurven.pptx
Einleitung in beliebige Kurvenverläufe
Computertechnologie der letzten 40 Jahre
Entwicklung numerischer Verfahren um beliebige Kurvenverläufe
mathematisch zu charakterisieren
Beispiele: Organische Konturen: Kuhbefleckung oder Silhouette einer
Frau/eines Mannes
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Vergleichende Methodik der Beschreibbarkeit (1)
Ausgangskurve Dichte Punktfolgen Lineare Interpolation
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Vergleichende Methodik der Beschreibbarkeit (2)
Gegebene
Stützpunkte Elastisches Lineal ->
Spline-Kurve
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Interpolation als Lösungsansatz für Kurvenverläufe
Interpolierendes Polynom
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Polynom-Interpolation
Interpolierendes Polynom höheren Grades
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Spline-Interpolation
Interpolierendes Spline-Polynom 3. Grades (Kubische Spline)
Spline-Funktion Sj(x)
2 Bedingungen:
Stetigkeit des Graphen und der 1. und 2. Ableitung
Graph von Sj(x)
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Bezièr-Interpolation
Interpolation mit Beziér-Kurven
Beziér-Kurven 1., 2. und 3.Grades
Kontrollpunkte
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Akima-Interpolation
Interpolation mit Akima-Kurven
Steigungsformel
Kurvenverlauf wie von Hand
gezeichnet
Nachteil: Keine Stetigkeit in
der 2. Ableitung
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Geometrischer Vergleich der Lösungsansätze
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Motivation für eine Spline-Interpolation in einer CNC
Interpolation
Stückweise Interpolation niederer
Ordnung
Interpolationsformel soll Angaben
über Ableitungen besitzen
Geometrische Anforderungen
Geringe Welligkeit
Gesamtkrümmung sehr klein oder
minimal
Wiedergabe von Symmetrien
zwischen den Stützstellen
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Spline Interpolation in einer CNC-Steuerung
Was ist eine CNC Steuerung:?
Weitere Spline-Anforderungen in der CNC
Aufhebung der Monotonie in den Koordinatenachsen
Zuordnung von
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Spline-Betrachtung in der CNC (R2, …, R9)
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Vorgehensweise bei Spline-Konturen in der CNC (1)
Spline-Konturen
Definition der Stützpunkttabelle
Richtungsberechnung
Zeitbasisberechnung t
Parametrisierung als Funktion
der Zeit:
x->f(x)
t->x(t)
t->y(t)
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Vorgehensweise bei Spline-Konturen in der CNC (2)
Spline-Konturen
Wendepunktanalyse
Wendepunkt bei P1 oder P2:
2*S1 + S2 <= S <= S1 + 2*S2
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Bedeutung der Spline-Polynome
Bedeutung der „Zeit“-parametrisierten
Spline-Polynome
Graph X(t)
1. Ableitung X‘(t) ~ Geschwindigkeit
2. Ableitung X‘‘(t) ~ Beschleunigung
Überprüfung Achsgeschwindigkeit / -
Beschleunigung
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Anwendungsbeispiele von Spline-Konturen
Anwendungsbeispiele: Werkzeugschleifen
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Vorgehensweise bei Realtime-Spline in der CNC
Echtzeit-Spline
Polynom-Koeffizienten bereits im Teileprogramm vorhanden
Teileprogramme werden von CAM-Programmen generiert
Vorteil: Keine Vorrechenzeit, direkt in Echtzeit ausführbar
Anwendungsbeispiele:
Turbinenschaufel
Impeller Fräsen
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Anwendungsbeispiele von Echtzeit-Spline
Vergleich Feine Linearinterpolation zu Echtzeit-Spline
Lineardaten
Spline-Daten
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Weitere Verbesserung der Spline-Interpolation
Quintische Spline (Polynom 5. Grades)
Auch Stetigkeit in der 3. Ableitung (Ruck)
Verbessertes Regelungsverhalten, da Bestandteil der Achsdaten
Splines mit Spannungsparameter
Anwendungsbeispiele:
5-Achs Fräsen
Freiformflächenbearbeitung
Besten Dank für eure Aufmerksamkeit