dancs - analizis i

ANALÍZIS I.

Dancs István, 2001

Tartalomjegyzék

1. Valós számok és valós függvények 11.1. Természetes számok és egéssszámok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Algebrai struktúrák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Műveletek, műveletek tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Egyműveletes struktúrák: félcsoport, monoid, csoport . . . . 51.2.3. Két műveletes struktúrák, gyűrű és test . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Rendezett testek, racionális és valós számok . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1. Rendezett test, racionális számok . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2. Rendezésre nézve teljes test, valós számok . . . . . . . . . . . 111.3.3. Nevezetes azonosságok és egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . . 141.3.4. Kiterjesztett valós számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.5. A valós számok metrikus, topológiai tulajdonságai . . . . . . 20

1.4. Valós függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1. Az R2 sík, vektortér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2. Műveletek valós függvények között . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.3. Valós függvények megadása rendezéssel . . . . . . . . . . . . 331.4.4. Valós függvények megadása müveletekkel . . . . . . . . . . . 341.4.5. Véges lépésben nem megadható függvények . . . . . . . . . . 381.4.6. Monoton függvény, függvény szuprémuma és infimuma . . . . 40

1.5. Racionális, algebrai és transzcendens számok . . . . . . . . . . . . . 411.6. Komplex számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.6.1. A komplex számtest, normál alak . . . . . . . . . . . . . . . . 471.6.2. Trigonometrikus alak, egységgyökök . . . . . . . . . . . . . . 541.6.3. Algebrai (polinom) egyenletek gyökei . . . . . . . . . . . . . . 59

2. Valós sorozatok és sorok 632.1. Valós számok sorozatai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.1. Sorozatok határértéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1.2. Sorozatok végtelen határértékei . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.3. Műveletek sorozatokkal, formális szabályok . . . . . . . . . . 672.1.4. Speciális sorozatok határértékei . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.1.5. Monoton sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.1.6. Sorozatok limesz szuperiorja és limesz inferiorja . . . . . . . . 752.1.7. Cauchy-sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.2. Valós sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.2.1. Konvergens és abszolút konvergens sorok . . . . . . . . . . . . 822.2.2. Összehasonlító kritériumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.2.3. Feltételes konvergenciára vonatkozó kritériumok . . . . . . . 872.2.4. Sorok algebrai tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.2.5. Sorok szorzása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

i

TARTALOMJEGYZÉK ii

3. Intervallumon értelmezett valós függvények 963.1. Valós függvény határértékei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.1.1. Véges határérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.1.2. Végtelen határértékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.1.3. Cauchy-kritériumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.2. Függvények folytonossága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.2.1. Definíciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.2.2. Formális szabályok, elemi függvények folytonossága . . . . . . 1063.2.3. Folytonos függvények alaptulajdonságai . . . . . . . . . . . . 1093.2.4. Egyenletes folytonosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.3. Monoton függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.3.1. Monoton függvény határértékei és folytonossága . . . . . . . 1123.3.2. Inverziós tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.4. Függvénysorozatok és függvénysorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5. Exponenciális és trigonometrikus függvények . . . . . . . . . . . . . 120

3.5.1. Exponenciális és logaritmus függvény . . . . . . . . . . . . . . 1203.5.2. Trigonometrikus függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4. Differenciálszámítás 1304.1. Definíciók, értelmezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.1.1. Bevezetés, definíciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.1.2. Példák a derivált közvetlen kiszámolására . . . . . . . . . . . 1344.1.3. Érintő és érintőapproximáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.1.4. Relatív sebesség, elaszticitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.2. Differenciálás, kalkulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2.1. Formális szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2.2. Elemi függvények differenciálása . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.2.3. Differenciálás összefoglaló . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.2.4. Parciális derivált, teljes differenciál, implicit deriválás . . . . 150

5. Differenciálható függvények vizsgálata 1535.1. Szélsőérték és monotonitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.2. Függvények diszkussziója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.3. Magasabbrendű approximációk, Taylor-formula . . . . . . . . . . . . 1635.4. Általánosított középértéktétel, L’Hospital-szabály . . . . . . . . . . . 167

6. Antiderivált 1746.1. Az antiderivált, határozatlan integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.1.1. Definíciók, elemi tulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.1.2. Parciális integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.1.3. Helyettesítéssel való integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.1.4. Racionális törtfüggvények antideriváltja . . . . . . . . . . . . 186

6.2. Differenciálegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7. Határozott integrál 2017.1. A Riemann-integrál elmélete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.1.1. A Riemann-integrál definíciója . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027.1.2. Integrálhatósági tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097.1.3. A határozott integrál és a differenciálás . . . . . . . . . . . . 218

7.2. Határozott integrál feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227.2.1. Integrálszámítás szabályai, példák . . . . . . . . . . . . . . . 2227.2.2. Néhány határozott integrálhoz vezető feladat . . . . . . . . . 224

7.3. Improprius integrálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.3.1. Improprius integrálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

c© DANCS, VALÓS ANALÍZIS, kiíratás: 2008. április 24. 0.0

TARTALOMJEGYZÉK iii

7.3.2. Wallis-formulák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.3.3. A gamma- és bétafüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8. Valós-valós konvex függvények 2468.1. Affin és konvex kombináció, szakasz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

8.1.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.2. Konvex és konkáv függvény fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8.2.1. Definíciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2488.2.2. Konvex függvény geometriai definíciója . . . . . . . . . . . . 2498.2.3. Konvex függvények jellemzései . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

8.3. Konvex függvények elemi tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.3.1. Konvex függvények korlátossága és L-folytonossága . . . . . . 2538.3.2. Konvex függvények és deriválás . . . . . . . . . . . . . . . . . 2558.3.3. Konvex függvények integrál-előállítása . . . . . . . . . . . . . 2598.3.4. Támaszegyenesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8.4. Műveletek konvex függvényekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2638.5. Differenciálható konvex és függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678.6. Konvex függvények és szélsőértékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2698.7. Konvex függvények és egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

8.7.1. Jensen-egyenlőtlenség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2718.7.2. Közepek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2728.7.3. A Hölder–, Minkowski– és Cauchy–egyenlőtlenségek . . . . . 276

8.8. Kvázikonvex és kvázikonkáv függvények . . . . . . . . . . . . . . . . 2798.8.1. Definíciók, alaptulajdonságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2798.8.2. Kvázikonvex és monoton függvények . . . . . . . . . . . . . . 2818.8.3. Kvázikonvex függvény és szélsőértékek . . . . . . . . . . . . . 282

8.9. Logkonvex és logkonkáv függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2838.9.1. Logaritmikusan konvex függvény . . . . . . . . . . . . . . . . 2838.9.2. Logaritmikusan konkáv függvény . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Tárgymutató 285


1. fejezet

Valós számok és valósfüggvények

Ebben a fejezetben a számfogalommal — ezen belül is hangsúlyozottan a valósszámokkal, amely a matematika talán legfontosabb fogalma — fogunk foglalkozni.A fogalom voltaképpen jól ismert, mondhatnánk: megszokott, mivel a középiskolaimatematika-oktatásnak is ez a fő tárgya.

Egyik célunk az, hogy a számfogalmat általánosabb algebrai fogalmak keretébeillesszük, és ezzel nagyobb rálátást adjunk a területre. Az elmondott algebrai is-meretekre folyamatosan szükségünk lesz a későbbiekben is. Igyekszünk mindentpontosan megmondani — ha nem is mindig tételben fogalmazva — de a részletekés pontos tárgyalás után érdeklődő olvasót a függelékben található pontos tárgyaláselolvasására biztatjuk. Ez utóbbit azonban csak akkor célszerű megtenni, amikormár jól tudjuk a valós analízis elemeit. A számfogalom részletes tárgyalását azérttesszük függelékbe, mert az anyag elejére téve egyrészt nagyon elhúzná a tárgya-lást; másrészt: az anyagot tanuló kezdetekben még nem is érzi igazán a számfogalompontos felépítésének a szükségességét.

A középiskolai tanulás folyamatában a hagyományos számfogalmat annyira meg-ismertük — illetve megismertették velünk — hogy rendszerint túlságosan is magátólértetődőnek tartunk sok ismert fogalmat. Ez az ismétlő illetve ismeretbővítő fejezetrészben már eléri a célját, ha a fokozott pontosság igénye ráébreszt arra, hogy aszámfogalom nem is annyira egyszerű, amennyire azt eddig hittük. Hogy ez való-ban így van, azt a matematika története is mutatja: a valós számok fogalmát —a mai tudományban is elfogadható módon — csak a tizenkilencedik század utolsónegyedében tisztázták, amikor az általunk tanult klasszikus matematikai elméletekzöme már készen volt. Ezenkívül a számfogalom területén az utóbbi negyedszá-zadban is olyan nagy eredmények születtek, amelyeknek az általános matematikaiműveltségre gyakorolt hatását még nem is látjuk előre.

1.1. Természetes számok és egéssszámokA legnyilvánvalóbb fogalmaink közé tartoznak az 1, 2, . . . , n, . . . pozitív egész szá-mok, ezért szokás ezeket „természetes számoknak” nevezni. A természetes számokhalmazára — röviden: a természetes számokra — az általánosan szokásos jelölés:N.

A természetes számok absztrakciója annyira közvetlen, hogy akár kiinduló fogal-maknak is vehetnénk őket egy pontosabb tárgyalásban, de manapság az a szokás,hogy a halmazelmélet — bizonyos értelemben még közvetlenebb — keretében veze-tik be. Most ilyen axiomatikus kiindulást nem kívánunk követni, és az érdeklődő

1

1.1. TERMÉSZETES SZÁMOK ÉS EGÉSSSZÁMOK 2

olvasó a számfogalomról írt függelékben találhatja meg a részletesebb tájékozódást.Most megelégszünk azzal, hogy feltételezzük: az olvasó jól ismeri a természetesszámokat és a közöttük lévő műveleteket.

Hangsúlyozni szeretnénk azonban a természetes számok nagyság szerinti ren-dezésének egy magától értetődő, de fontos tulajdonságát: A természetes számoktetszőleges nem üres részhalmazában van legkisebb elem. Ezt a tulajdonságot úgyszokták mondani, hogy a természetes számok összessége jólrendezett. Erről a foga-lomról bővebben lehet olvasni a Halmazelméletben.

Ugyancsak feltételezzük, hogy a

Z = . . . ,−n, . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . , n, . . .

(pozitív és negatív) egész számokat is jól ismeri az olvasó. A nemnegatív egészszámokat Z+, a pozitívakat pedig Z++ jelöli, és így N = Z++.

Végezetül a természetes számokkal kapcsolatosan ki kell emelnünk a teljes in-dukció fogalmát. Ez ugyanis sok bizonyításnak az alapja, és nem csak az ismerete,hanem a rutinos használata is elengedhetetlen. A teljes indukció elve többféleképpenfogalmazható, és nem sajnáljuk a helyet három változat leírásától:

1.1 Állítás. (Teljes indukció. I.)Ha az M egy olyan részhalmaza a természetes számok N halmazának, amelyre

(i) az 1 benne van az M -ben,

(ii) ha egy n természetes szám benne van az M -ben, akkor benne van az (n + 1)rákövetkező is,

akkor M = N.

1.2 Állítás. (Teljes indukció. II.)Ha egy olyan n-től függő Tn állításunk van (az n természetes szám), amelyik

(1) igaz az 1 természetes számra,

(2) ha igaz az n természetes számra, akkor igaz a rákövetkező (n+ 1) számra is,

akkor a Tn állítás minden természetes számra igaz.

Megjegyezzük, hogy némelykor nem az 1 a kezdő eset. Ha mondjuk egy k száma kezdő szám, akkor első lépésként be kell látni az állítást a k esetére. Az indukcióslépés ugyanaz, csak az ott szereplő n szám nem lehet kisebb a kezdő k számnál, ésaz állítás a k számtól kezdve igaz minden természetes számra.

1.3 Állítás. (Teljes indukció. III.)Ha egy olyan n-től függő Tn állításunk van, amelyik

(1) igaz az 1 természetes számra,

(2) ha igaz minden, az n természetes számnál kisebb-egyenlő természetes számra,akkor igaz a rákövetkező (n+ 1) számra is,

akkor a Tn állítás igaz minden természetes számra.

Például az 1.2. állításra alapozva, a teljes indukciós bizonyítások menete akövetkező:

Kezdő lépés. Ellenőrizzük azt, hogy az állítás igaz az 1 számra, azaz hogy a T1

igaz.


1.2. ALGEBRAI STRUKTÚRÁK 3

Indukciós lépés. Feltesszük, hogy igaz az állítás az n természetes szám esetébenazaz a Tn igaz (indukciós feltevés), és ebből belátjuk, hogy igaz az (n + 1)esetében is, azaz a Tn+1 is igaz.

A feladatok között találhatunk példát a teljes indukció mindegyik formájának ahasználatára, de itt is megoldunk két egyszerű feladatot:

1.4 Példa.Mutassuk meg, hogy minden n természetes számra: n < 2n.

Megoldás. Az n = 1 esetben igaz az állítás, hiszen 1 < 21 = 2. Az indukcióslépéshez tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás, azaz n < 2n. Hozzáadva mindkétoldalhoz egyet: n + 1 < 2n + 1, és mivel 1 < 2 ≤ 2n, ezért n + 1 < 2n + 1 ≤2n + 2n = 2n+1.

1.5 Példa.Mutassuk meg, hogy egy n természetes szám vagy prímszám, vagy prímszámok szor-zata.

Megoldás. Teljes indukcióval bizonyítunk. Az n = 2 esetig igaz az állítás. Azindukciós lépéshez tegyük fel, hogy n-nél nem nagyobb számokra igaz az állítás.Vegyük az (n + 1) számot. Ha ez prímszám, akkor készen vagyunk, ha pedig nemprím, akkor van valamilyen m (1 < m < n + 1) osztója, azaz n = m · m′, és ígym,m′ < n. Az indukciós feltevés szerint az m és m′ számok prímszámok vagyprímszámok szorzatai, és így prímek szorzata az (n+ 1) is.

Hangsúlyozni kell, hogy a teljes indukció módszere alapvetően különbözik a„szaktudományokban” alkalmazott indukciónak nevezett módszertől. Ez utóbbimódszer szerint ha egy jelenség sokszor megismétlődik, akkor abból általános ér-vényű állítást kívánnak levonni. Az ilyen következtetések nem olyan általános ésbiztos érvényűek, mint a teljes indukcióval nyert igazolás, amikor is az eredmény,matematikai értelemben egzakt.

1.2. Algebrai struktúrákAz algebrai struktúrák legfontosabb alapfogalmait csak olyan szinten ismertetjük,hogy pontosan értsük a jelentésüket, és alkalmazni tudjuk régebben elsajátítotttudásunkra. Olyan általánosabb, absztraktabb „szakmai zsargont” szeretnénk meg-ismertetni, amelynek a segítségével a számok és a szorosan hozzájuk kapcsolódóstruktúrák áttekinthetőek lesznek.

A bevezetett zsargon — tanulmányaink során fokozatosan fejlesztve — egyregazdagabb tartalommal fog megtelni. Ez az ismerkedés nem öncélú, hanem a gon-dolkodási ökonomizmus követelménye teszi feltétlenül szükségessé.

A bevezetendő fogalmak ugyanis sok helyen előbukkannak tanulmányaink so-rán, és így általános, ismereteinket „rendező” szerepük lesz. Nagyon tudatosan úgykell szemlélnünk a később előkerülő objektumokat, hogy nem fedezzük-e fel ben-nük az itt bevezetett fogalmakat. Ne feledjük: a korszerű tudományos gondolkodás„strukturális” gondolkodás.

Természetesen még nem tudjuk, hogy mi is az a struktúra, de azért intuitívfogalmunk lehet róla. Ha egy halmazról beszélünk, akkor az elemein kívül nincsróla más ismeretünk, nem is lehet, hiszen egy halmaz az elemei által már teljesenmegadott. Érezhetjük, hogy a struktúra annyival több, mint a halmaz, hogy azelemek között valamilyen „strukturáló” viszony (reláció) is van. Ez a struktúrafogalmának az általános definíciójaként is felfogható lenne, de túlságosan általánoslévén, nem lehet vele sokat kezdeni. Találkoztunk már nevezetes struktúrákkal a



Halmazelméletben, például a Boole-algebrával, a rendezett halmazokkal (rendezettterekkel).

Most olyan struktúrákat fogunk megismerni, amelyek a szám fogalmával kap-csolatban vetődtek fel. A bevezetett absztrakciók eredeténél tartsuk szem előtt amegszokott egész számokat, racionális számokat, stb.

1.2.1. Műveletek, műveletek tulajdonságaiA következő definíció azt a tapasztalatot fogalmazza meg, hogy a közönséges, hét-köznapi számolásban az összeadás, szorzás és egyéb műveletek két számból egyújabb számot „csinálnak”:

1.6 Definíció. (Algebrai műveletek)Legyen az X nem-üres halmaz. Egy f : X×X → X leképezést műveletnek is szokásnevezni, és olyan írásmód is lehetséges, hogy egy műveleti jelet — a jelen esetbenlegyen ez „” — használunk a függvény értékének a megadására:

f(x, y) = x y, x, y ∈ X. (1.1)

Ha egy halmazon valamilyen művelet van definiálva, akkor algebrai struktúránakmondjuk, és a halmaz, és a műveleti jel megadásával az (X, ) jelölést használjuk.

Hétköznapibban fogalmazva: Ha egy halmaz tetszőleges két eleméből alkotottpároshoz hozzá van rendelve a halmaznak egy eleme, akkor ezt a hozzárendeléstműveletnek is nevezhetjük.

Természetesen ez a fogalom önmagában túlságosan általános ahhoz, hogy vala-mit is lehessen vele kezdeni, hiszen csak az X ×X → X függvényeket neveztük elmásképpen. A következő definícióban olyan tulajdonságokat definiálunk, amelyekteljesülése konkrétabbá teszi a művelet fogalmát.

1.7 Definíció. (Művelet-tulajdonságok)A 1.6. definícióban szereplő „” műveletre bevezethetjük a következő tulajdonságokat:

Asszociativitás. Minden x, y, z ∈ X elemre: x (y z) = (x y) z.

Kommutativitás. Tetszőleges két x, y ∈ X elemre: x y = y x.

Neutrális elem. Létezik olyan e elem az X halmazban, hogy minden x ∈ X elemree x = x e = x. Az e elemet reprodukáló elemnek fogjuk nevezni.

Inverzelem. Minden x ∈ X elemhez van olyan x′ ∈ X — inverzelemnek nevezett— elem, hogy x x′ = x′ x = e, ahol az e reprodukáló elem.

A definiált tulajdonságok természetesen a függvényeknél bevezetett jelölési mó-don is felírhatóak. Vegyük például az asszociativitást:

f(x, f(y, z)) = f(f(x, y), z).

Szembetűnő, hogy a műveleti jel áttekinthetőbb—legalábbis számunkra megszokot-tabb—írásmódot ad. A reprodukáló elemet általánosabban is szokták definiálni,megkülönböztetve jobboldali és baloldali reprodukáló elemet, amely nyilván nem-kommutatív struktúrában jelent csak mást. Hasonló mondható az inverz elem de-finíciójára. A mi céljainknak az adott általánosság megfelelő.

Könnyen látható, hogy az asszociativitás arra szolgál, hogy három elemre iskiterjeszthessük a műveletünket: az x y z felírás az asszociativitás teljesüléseesetében már értelmes, hiszen éppen azt mondja, hogy akárhogyan zárójelezve is



kiszámolható a három elemhez rendelt érték. Teljes indukcióval, az asszociativitássegítségével tetszőleges véges számú elemre is kiterjeszthető a művelet.

A reprodukáló elem helyett szokásos elnevezések még többek között: reprodu-káló, nullaelem, egységelem. A definíció utolsó mondatában „a reprodukáló elemet”írtunk, amivel feltételeztük, hogy egyetlen reprodukáló elem van, ha van. Ez való-ban így is van: Ha az e és e′ reprodukáló elem, akkor az e reprodukáló volta miatte′ e = e′, az e′ reprodukáló volta miatt pedig e′ e = e, tehát e = e′, azaz egyetlenreprodukáló elem lehet.

1.2.2. Egyműveletes struktúrák: félcsoport, monoid, csoportAz (X, ) algebrai struktúrát aszerint nevezzük el, hogy a 1.7. definíció milyentulajdonságai teljesülnek benne. A három legfontosabb egy művelettel rendelkezőstruktúrát adjuk meg a következő definícióban.

1.8 Definíció. (Félcsoport, monoid és csoport)Az (X, ) egy művelettel rendelkező struktúra

félcsoport, ha a művelet asszociatív;monoid, ha a művelet asszociatív és van reprodukáló eleme;csoport, ha a művelet asszociatív, van reprodukáló eleme és minden elemnek

van inverze;Ha a művelet kommutatív, akkor kommutatív félcsoport, kommutatív monoid

illetve kommutatív csoport elnevezéseket használjuk. A struktúra jelölésében a ne-utrális elemet is meg szokás adni, és így a jelölés: (X, , e), ha e a neutrális elem.

Nyilvánvaló, hogy minden monoid félcsoport, hiszen mondhatnánk: a monoidegységelemmel rendelkező (egységelemes) félcsoport. Hasonlóan: a csoport monoid,hiszen azt is mondhatnánk, hogy a csoport olyan monoid, amelyben minden elemnekvan inverze.

Kommutatív esetben szokásos a „+” műveleti jelet, a neutrális elemre pedigaz „0” jelölést használni (additív írásmód). Nemkommutatív esetben gyakori aközönséges szorzásból kölcsönzött „ ·” (vagy semmi) műveletei jel, és a reprodukálóelemre az „1” (multiplikatív írásmód).

Lássunk most egy egyszerű, fontos állítást:

1.9 Állítás. (Törlési szabály és inverz elem unicitása csoportban)Legyen az (X, ) csoport. Ekkor igazak a következők:

Törlési szabály: Ha x z = y z, akkor x = y.

Inverz unicitása: Minden elemnek egyetlen inverz eleme van.

Az egyszerű számolásban a törlési szabályt „mérlegelvnek” is szokás nevezni.Szemléletesen ugyanis így fogalmazható: az egyensúlyban lévő mérleg mindegyikserpenyőjéből ki lehet venni ugyanazt a súlyt, miközben a mérleg egyensúlya meg-marad.

Bizonyítás. Törlési szabály: Jelölje e a csoport egységelemét, és legyen z′ a zelem egy inverze. Ekkor a feltételt felhasználva

(x z) z′ = (y z) z′,

amelynek a baloldala az asszociativitás, inverz elem és reprodukáló elem tulajdon-sága alapján a következőképpen alakítható:

(x z) z′ = x (z′) = x e = x.



Hasonlóan járva el a jobboldalon:

(y z) z′ = y (z′) = y e = x.

Legyen y és z az x elem inverze, és jelölje a csoport reprodukáló elemét e. Ekkor

e = x y = x z,

amelyből a törlési szabállyal kapjuk, hogy x = y, tehát egyetlen inverz elem lehet-séges.

Áttekinthetőség kedvéért a három definiált struktúrához egy táblázatot is készítet-tünk:

EGY-MŰVELETES STRUKTÚRÁKasszoc. komm. neutrális elem inverz elem

félcsoport igenmonoid igen igencsoport igen igen igen

Ha kommutativitás is teljesül, akkor a megfelelő oszlopba „igen” írandó.

Most pedig lássunk néhány konkrét példát a definiált struktúrákra. A megfelelőtulajdonságok teljesülésének az igazolását az olvasóra bízzuk.

1.10 Példa. (A természetes számok nullával bővített N ∪ 0 összessége additív monoid)A természetes számok N összessége, hozzávéve még a 0 elemet, az összeadás műve-letével kommutatív monoid. A 0 reprodukáló elem (mert úgy vesszük hozzá).

1.11 Példa. (Az N természetes számok multiplikatív, kommutatív monoidja)A természetes számok N összessége a szorzás műveletével kommutatív monoid, amely-nek reprodukáló (egység) eleme az 1.

1.12 Példa. (A Z egész számok additív, kommutatív csoportja)Az egész számok Z összessége az összeadás műveletével csoport. Neutrális elem anulla, az n inverz eleme pedig a −n.

1.13 Példa. (A Z egész számok multiplikatív, kommutatív monoidja)Az egész számok Z összessége a szorzás műveletével kommutatív monoid. Neutrálisaz 1.

1.14 Példa. (A Q racionális számok additív, kommutatív csoportja)A racionális számok az összeadás műveletével kommutatív csoport. Neutrális (nulla)elem a 0, az x inverz eleme pedig a −x.

1.15 Példa. (A Q r 0 számok multiplikatív, kommutatív csoportja)A racionális számok — elvéve a nulla elemet – a szorzás művelete mellett kommu-tatív csoport. Neutrális (egység) elem az 1, az x 6= 0 inverz eleme pedig az 1/x.

Most pedig lássunk néhány kevésbé ismert példát:

1.16 Példa.Vegyük a következő öt szimbólumból álló halmazt 0, 1, 2, 3, 4, és vezessünk be ezenegy „összeadásnak” mondott műveletet a következő módon: Összeadjuk a két szim-bólumot jelölő számjegyet természetes számok módjára, és az összeget az 5 számmalleosztva a maradékot vesszük. Például: 2+4 = 6, ezért a 2 és 4 szimbólumok összegeaz 1 szimbólum. Az így definiált struktúra kommutatív csoport.



Állítsunk elő egy áttekinthető műveleti táblázatot, és úgy igazoljuk, hogy amegadott szorzásnak megvannak a kívánt tulajdonságai:

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

.

1.17 Példa.Vegyük a következő öt szimbólumból álló halmazt 0, 1, 2, 3, 4, és vezessünk be ezenegy „szorzásnak” mondott műveletet a következő módon: Összeszorozzuk a két szim-bólumot jelölő számot természetes szám módjára, és a szorzatot az 5 számmal le-osztva vesszük a maradékot. Például: 2 · 4 = 8, ezért a 2 és 4 szimbólumok szorzataa 3 szimbólum. Az így kapott struktúra kommutatív monoid.

A tulajdonságok igazolásához célszerű itt is elkészíteni a műveleti táblát:

· 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

1.18 Példa.A megelőző példában töröljük a 0 szimbólumot. A megmaradó 1, 2, 3, 4 halmazkommutatív csoport.

1.19 Példa. (Egy absztrakt nyelv szavai)Az X n-elemű halmazt nevezzük ábécének, az elemeit betűknek, véges sok egymásmellé írt „x1x2...xk” betűt (a sorrend lényeges) pedig egy szónak. A szavak összes-ségét jelöljük <X>-szel. Definiáljunk egy „” műveletet a szavak között az egymásután való írással:

x1x2 . . . xk y1y2 . . . yi = x1x2 . . . xky1y2 . . . yi.

Az egyetlen betűt sem tartalmazó, üres szót jelölje az ∅ szimbólum. Az így nyertstruktúra monoid.

A következő talán legfontosabb csoporttal már találkoztunk a Halmazelméletbenés még bővebben a hozzá tartozó példatárban:

1.20 Példa. (Bijektív leképezések csoportja)Legyen az X nem üres halmaz. Ekkor az f : X → X bijekciók összessége cso-port a kompozíció ”„ (összetett függvény) művelete mellett. Neutrális elem az idX

identitás, egy f bijektív függvény inverze pedig az f−1 inverz leképezés.



1.2.3. Két műveletes struktúrák, gyűrű és testA számoknál megszoktuk, hogy két művelet van: az összeadás és a szorzás. Ebbőlkiindulva lényegében véve kétféle kétműveletes algebrai struktúrát vezetünk be:

1.21 Definíció. (Test)Legyen egy X halmazon két művelet definiálva, amelyek közül az egyiket összeadás-nak nevezzük, és a „+” műveleti jelet használjuk, a másikat pedig szorzásnak fogjukmondani, és műveleti jele a „·”. Ha az X struktúra két műveletére teljesülnek azalábbiak, akkor testnek nevezzük.

(1) Az X kommutatív csoport az összeadás műveletére nézve.

(2) Az X \ 0 halmaz, ahol 0 az összeadás reprodukáló eleme, a szorzásra nézvekommutatív csoport.

(3) A két műveletet összekapcsolja az a követelmény, hogy tetszőleges három x, y, z ∈X elemre teljesül az

x · (y + z) = x · y + x · z,

disztributivitási azonosság.

A „ ·” műveleti jelet — ha nem vezet félreértésre — el is szokás hagyni és ekkor azegyszerű egymás mellé írás jelöli a szorzás műveletét. A legismertebb példa:

1.22 Példa. (Racionális számok)A racionális számok Q összessége test a közönséges összeadás és szorzás műveletével.

Véges sok elemből álló testet is mondhatunk:

1.23 Példa. (Egy véges test)Az 0, 1, 2, 3, 4 szimbólumok a 1.16. példában megadott összeadással és a 1.17.példában definiált szorzással testet adnak.

Az összeadás a 1.16. példa szerint kommutatív csoport, a 1.18. feladat szerintpedig az 1, 2, 3, 4 halmaz kommutatív csoport. A disztributivitás ellenőrzését azolvasóra bízzuk.

Az egész számok Z összessége „majdnem” test, hiszen az összeadásra nézve kom-mutatív csoport, a Z r 0 azonban sajnos nem csoport, csak kommutatív monoid.A disztributivitás teljesül. Ilyen struktúrák is gyakorta előfordulnak, ezért lássuk adefiníciót:

1.24 Definíció. (Kommutatív gyűrű)Legyen egy X halmazon két művelet definiálva, amelyek közül az egyiket összeadás-nak nevezzük, és a „+” műveleti jelet használjuk, a másikat pedig szorzásnak fogjukmondani, és műveleti jele a „·”. Ha az X struktúra két műveletére teljesülnek azalábbiak, akkor gyűrűnek nevezzük.

(1) Az X kommutatív csoport az összeadás műveletére nézve.

(2) Az X \0 halmaz, ahol a 0 az összeadás reprodukáló eleme, a szorzásra nézvekommutatív monoid.

(3) A két műveletet összekapcsolja az a követelmény, hogy tetszőleges három x, y, z ∈X elemre teljesül az

x · (y + z) = x · y + x · z,

disztributivitás azonosság.


1.3. RENDEZETT TESTEK, RACIONÁLIS ÉS VALÓS SZÁMOK 9

Az algebrában nagyobb általánosságban vizsgálják a gyűrű-struktúrát, és a szor-zás kommutativitását és reprodukáló elem létezését nem teszik fel. Az itt defini-ált gyűrűt „kommutatív, egységelemes gyűrűnek” mondják. Nekünk a definícióbanmegadott általánosság elégséges.

Itt jegyezzük meg, hogy ha a test definíciójában a szorzás kommutativitását nemteszik fel, akkor ferdetestnek mondják a struktúrát. Ilyen struktúrára a számfoga-lommal kapcsolatos függelékben találhatunk egy nevezetes példát.

Gyűrűre most nem is mondunk más példát, csak az egész számok összességét. AHalmazelméletben foglalkozunk a Boole-gyűrűvel, ott tájékozódhat az érdeklődő. Ajelen pont egy másik alpontjában pedig a polinomok gyűrűjével fogunk találkozni.

A testek elmélete jól kidolgozott, és az eredményeknek egy jó részét ismerjük,hiszen egész eddigi matematikánk a testben való számolás ilyen vagy olyan formájavolt. Ezek ismétlésére most nem térünk ki, de a legfontosabb azonosságokat egykülön pontban tárgyalni fogjuk.

Emlékeztetőül, hogy helyesen helyezzük el megszokott fogalmainkat a mostanirendszerben, szóljunk még néhány szót a kivonás és osztás műveletekről.

Könnyen beláthatjuk, hogy egy testben minden a és b elemre van megoldása azx + a = b egyenletnek. Adjuk ugyanis hozzá az egyenlet mindkét oldalához aza elem −a negatívját (additív inverzét) és alkalmazzuk rendre a testben teljesülőazonosságokat:

(x+ a) + (−a) = b+ (−a), x+ (a+ (−a)) = b+ (−a),x+ 0 = b+ (−a), x = b+ (−a).

Figyeljük meg jól, hogy a test összeadási műveletének milyen tulajdonságait hasz-náltuk fel az egyes lépéseknél.

Az egyenlet megoldására adódott (b + (−a)) alakot b − a módon is szokásírni, de ezen utóbbi esetben a „−” jel már nem az a szám negatívját jelenti, hanema következő utasítást adja: Vedd az a szám negatívját és add hozzá a b számhoz.Ezt az utasítást, mint az (a, b) 7→ b + (−a) leképezést, a b és a számok különbsé-gének nevezzük. A műveletre adott definíciónk szerint a kivonás is művelet, aztmondhatnánk, hogy az összeadás inverz művelete, de a műveletekre adott speciálistulajdonságok közül egyikkel sem rendelkezik, ezért másodlagosnak is kezeljük azösszeadással összevetve.

Az elmondottakhoz teljesen azonos gondolatokat lehetne leírni a szorzás „inverzműveletére”, az osztásra, amire az a/b = a

b , (b 6= 0) írásmód a szokásos, amit törtneknevezünk. Ez természetesen a megoldása az a · x = b, a 6= 0 egyenletnek.

1.3. Rendezett testek, racionális és valós számok

1.3.1. Rendezett test, racionális számokA testek műveleteivel a leírt műveleti tulajdonságok alapján nagyon eredményesenlehet számolni. A számolásnál használt apró szabályokat nem is írtuk le a tárgyalás-ban, mert azok rutinos használatát általában magunkkal hozzuk a középiskolából.

A számoknak nagysági, rendezési tulajdonságai is vannak, amelyek ugyanolyanfontosak, mint a műveletek:

1.25 Definíció. (Rendezett test)Egy T testet rendezettnek mondunk, ha értelmezve van rajta egy olyan „5” módonjelölt rendezés (reflexív, antiszimmetrikus tranzitív, és teljes reláció), amely a testalgebrai tulajdonságaival a következő értelemben kompatibilis.



Összeadással való kompatibilitás: Az x 5 y relációból minden z esetében kö-vetkezik az x+ z 5 y + z reláció.

Szorzással való kompatibilitás: Az 0 5 x és 0 5 y relációkból következik a0 5 xy reláció.

A definícióban leírt két tulajdonság, ami biztosítja a rendezés és műveletek „ jókapcsolatát”, arra való, hogy a rendezést — vagy ahogyan másképpen szoktuk mon-dani: az egyenlőtlenségeket — kezelni tudjuk, velük számolhassunk. A legfontosabbegyenlőtlenségeket egy külön pontban tárgyaljuk.

Az egyenlőtlenségekkel való bánásmód apró szabályai bebizonyíthatóak a rende-zett test axiómáiból. Itt nem részletezzük sem az állításokat sem a levezetéseket, defeltételezzük, hogy ezek ismeretesek, és az egyik feladatban igyekeztünk valamennyitfelsorolni.

A rendezésnek a társadalomtudományokban különösen nagy szerepe van, mertaz emberi döntések gyakorta arra vezethetők vissza, hogy két szám közül melyikkisebb, melyik nagyobb. Itt megjegyezzük, hogy a „szigorúan nagyobb” relációt a< szimbólum jelöli:

x < y ⇐⇒ x 5 y és y 65 x.

Példaként megelégszünk a racionális számok rendezett testével:

1.26 Példa. (A racionális számok Q rendezett teste)A racionális számok

Q = nm

: n,m ∈ Z és m 6= 0

halmaza rendezett test az összeadás és szorzás műveletekkel és

x 5 y ⇐⇒ 0 5 y − x

rendezéssel. A nemnegatív racionális számokat Q+, a pozitívakat pedig Q++ fogjajelölni.

Megjegyezzük, hogy itt a ´´racionális” elnevezés nem az „értelem” szóból ered,hanem az ´´arány”-ból. Emiatt a racionális szám arányszámot, azaz törtszámotjelent, ami helyes elnevezés.

A rendezés két újabb művelet bevezetését teszi lehetővé:

1.27 Definíció. (Maximum és minimum műveletek)Legyen az X rendezett test. Tetszőleges x, y ∈ X elemekre bevezethetők a következő— „∨” illetve „∧” módon jelölt — műveletek:

x ∨ y = maxx, y .= x ⇐⇒ y 5 x,

x ∧ y = minx, y .= x ⇐⇒ y = x.

A „∨” illetve „∧” műveletek nagyon egyszerűek amiatt, hogy a műveletek ered-ménye a két operandus közül valamelyik. A műveletek tulajdonságait a következőállításban írjuk le, és könnyű igazolásukat az olvasóra bízzuk:

1.28 Állítás. (Rendezett test maximum és minimum műveleteinek tulajdonságai)A 1.27. definícióban megadott maximum és minimum műveletek rendelkeznek akövetkező tulajdonságokkal.

Kommutativitás. x ∨ y = y ∨ x és x ∧ y = y ∧ x.

Idempotencia. x ∨ x = x és x ∧ x = x.



Disztributivitás. x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z és x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z.

Elnyelő tulajdonság. (x ∧ y) ∨ x = x és (x ∨ y) ∧ x = x.

A Halmazelméletben a „háló” fogalom alatt többet olvashatunk erről az algebraistruktúráról.

1.3.2. Rendezésre nézve teljes test, valós számokA racionális számok összessége olyan struktúra, amely teljesen kielégítőnek látszik.Bármilyen fizikai mérés, ár vagy érték meghatározás racionális számhoz vezet, hi-szen az 1 többszörösei illetve az egység véges sok törtrésze (tizede, százada, stb.)segítségével adható meg a mérés eredménye. A baj ott keletkezik, hogy ilyen módonnem tudunk mindent megmérni. Már az antik görögök észrevették — és ez hosszúidőre ható sokkot okozott — hogy az egységnyi befogójú, egyenlőszárú derékszögűháromszög átfogója, amely a Pitagorasz-tétel szerint

√2, nem mérhető meg a mon-

dott módon. Ennek oka az, hogy olyan racionális szám, amelynek a négyzete 2,nincs. Ezt már akkor pontosan be is bizonyították, és a feladatok között az olvasóis megtalálhatja az eléggé közismert igazolást.

A mondott problémát, együtt egy sereg hasonló „hiányérzettel” együtt megold-hatjuk egy bővebb számfogalom bevezetésével. A bevezetés legegyszerűbb módjaa maximum és minimum műveleteknek végtelen sok operandusra való kiterjesztéselesz. Ehhez azonban be kell vezetni néhány fogalmat:

1.29 Definíció. (Felső korlát és felső határ, szuprémum)Legyen az S a T rendezett testnek egy nem üres részhalmaza. Egy k ∈ T elemet azS halmaz felső korlátjának mondunk, ha az S minden s elemére s 5 k. Ha az Shalmaznak van felső korlátja, akkor felülről korlátosnak mondjuk. Egy h ∈ T elemfelső határa az S halmaznak, ha

(1) a h felső korlát,

(2) a h a legkisebb felső korlát, azaz ha a k egy tetszőleges felső korlátja az Shalmaznak, akkor h 5 k.

A felső határ jelölésére a supS (az S szuprémuma) szimbólumot fogjuk használni,és a „sup” helyett „max”-ot is írhatunk, ha a felső határ eleme az S halmaznak.

A felső határ a maximum általánosítása végtelen sok elemre, és a definíció kor-rektségéhez be kell látnunk azt, hogy ha van, akkor egyetlen, azaz „ jól definiált”:Ha a h1 és h2 felső határa az S halmaznak, akkor mivel mindkettő legkisebb felsőkorlát, ezért teljesülnek a h1 5 h2 és h2 5 h1 egyenlőtlenségek, és így h1 = h2.

Ha egy szám felső korlát, akkor nála nagyobb szám is az. Emiatt — szemléletesenszólva — a racionális számok egyenesén egy S felső korlátjainak a halmaza egy felfelémutató félegyenes, és a felső határ ennek a félegyenesnek az alsó végpontja.

A következő definíció az előző megismétlése a felső helyett az alsó korlátokra.

1.30 Definíció. (Alsó korlát és alsó határ, infimum)Legyen az S a T rendezett testnek egy nem üres részhalmaza. Egy k ∈ T elemetaz S halmaz alsó korlátjának mondunk, ha az S minden s elemére k 5 s. Ha az Shalmaznak van alsó korlátja, akkor alulról korlátosnak mondjuk. Egy h ∈ T elemalsó határa az S halmaznak, ha

(1) a h alsó korlát,

(2) a h a legnagyobb alsó korlát, azaz ha a k egy tetszőleges alsó korlátja az Shalmaznak, akkor k 5 h.



Az alsó határ jelölésére a inf S (az S infimuma) szimbólumot fogjuk használni, és a„inf” helyett „min”-t is írhatunk, ha az alsó határ eleme az S halmaznak.

Ahogyan az előző definíció után is tettük, beláthatnánk, hogy az alsó határ —ha van — egyértelmű. Az alsó és felső korlátok és az alsó és felső határok közöttegyszerű kapcsolat van, mert az S halmaz felső korlátjai az −S .= −s : s ∈ Shalmaz alsó korlátjai, és megfordítva. Emiatt sup(−S) = − inf S, feltéve, hogy azinf vagy sup léteznek.

1.31 Definíció. (Korlátos halmaz)A T rendezett test egy S részhalmazát korlátosnak mondjuk, ha mind alulról, mindfelülről korlátos.

Nézzük most az x ∈ Q : x2 5 2 halmazt. Belátható, hogy ez a halmazfelülről korlátos, de nincs felső határa a racionális számok körében, hiszen a felsőhatárárról joggal azt sejthetjük, hogy a

√2-vel egyezik meg. Nyilvánvalóan olyan

testet szeretnénk, amelyben ez a jelenség nem fordulhat elő:

1.32 Definíció. (Rendezésre nézve teljes test)Egy T rendezett testet a rendezésre nézve teljesnek nevezünk, ha teljesül a

felsőhatár-tulajdonság: minden, nemüres felülről korlátos részhalmazának vanfelső határa.

A felsőhatár-tulajdonságból következik az alsóhatár-tulajdonság: Minden, nem-üres alulról korlátos részhalmazának van alsó határa. Ez azonnal adódik, abból amegjegyzésből, hogy az S részhalmaz felső határa megegyezik a −S halmaz alsóhatárával.

1.33 Állítás. (Valós számok, R)Egyértelműen létezik a racionális számokat tartalmazó rendezett és rendezésre nézveteljes test, amelyet valós számoknak fogunk nevezni. A szokásos jelölés R, a nem-negatívokra R+, a pozitívokra R++.

Az egyértelműséghez meg kell jegyeznünk, hogy pontosabban a következőt je-lenti: Ha van még egy T, a racionális számokat tartalmazó rendezett és rendezésrenézve teljes test, akkor van olyan φ : R → T függvény, amely őrzi a testműveleteketés rendezést:

φ(x+ y) = φ(x) + φ(y), φ(xy) = φ(x) + φ(y) és x 5 y ⇒ φ(x) 5 φ(y).

A bizonyítást a számfogalom függelékben leírt tárgyalása tartalmazza.Arról persze még semmit sem tudunk, hogy a rendezésre való teljesség megoldja

a problémáinkat. Például nem tudjuk, hogy ebben a körben minden pozitív számnakvan négyzetgyöke, de ezt később látni fogjuk.

Még néhány állítást igazolunk, amelyek fontosak, és az állításokra való hivat-kozás nélkül fogjuk használni őket, de a bizonyításaikat nem kell feltétlenül megje-gyezni.

1.34 Állítás. (archimédeszi tulajdonság)Az R valós számokra fennáll a következő állítás:Archimédeszi tulajdonság. Tetszőleges x ∈ R, y ∈ R és 0 < y számokhoz vanolyan n egész szám, hogy x < ny.



Az archimédeszi tulajdonság szemléletesen: egy pozitív szám egész számú több-szöröseivel tetszőleges számon „túl lehet lépni” a számegyenesen.

Bizonyítás. Legyen az x valós, az y pedig pozitív valós. Ha nem lenne olyan ntermészetes szám, hogy x < ny, akkor az S .= z : z = ny halmaznak az x felsőkorlátja, és így a felső határ tulajdonság szerint van felső határa, amit jelöljünkα-val. Mivel az α legkisebb felső korlát, ezért az α − y számnál van nagyobb azS halmazban — mondjuk: my — azaz α − y < my, amelyből α < (m + 1)y. Ezviszont ellentmond az α felső korlát voltának.

1.35 Állítás. (Valós szám egész része)Tetszőleges x valós számhoz van olyan m egész szám, amelyre

m 5 x < m+ 1.

Ezt az m egész számot az x valós szám egész részének mondjuk, és rendszerint az[x] jelölés szokásos.

A valós egyenes geometriai szemléletéből teljesen nyilvánvalónak látszik ( azállítás, de a pontos bizonyítása az Archimédeszi tulajdonságból adódik:

Bizonyítás. Az archimédeszi tulajdonságot az 1 pozitív számra és az x valós számraalkalmazva kapjuk, hogy van olyan n természetes szám, amelyre x < n · 1 = n.Eszerint a B

.= n ∈ N : x < n halmaz nem üres, és így van legkisebb eleme,amelyet jelöljön m+ 1. Eszerint m 5 x < m+ 1, ahogyan állítottuk.

1.36 Definíció. (Valós szám törtrésze)Egy x valós szám törtrészének mondjuk az x-nek és egész részének a különbségét:x− [x].

1.37 Definíció. (Az R-ben sűrű halmaz)A valós számok egy S részhalmazát sűrűnek mondjuk az R-ben, (más szóval: a valósszámok között), ha tetszőleges x valós szám és ε pozitív szám mellett van olyans ∈ S, hogy x− ε < s < x+ ε).

A sűrűség nagyon szemléletes fogalom, hiszen azt jelenti, hogy minden x valósszámhoz tetszőleges közel található eleme az S halmaznak, mivel az ε pozitív számtetszőlegesen piciny lehet.

1.38 Állítás. (A racionális számok sűrűek a valós számok között)A racionális számok Q halmaza sűrű a valós számok között.

Bizonyítás. Legyen x ∈ R és ε > 0. Az egészrész definíciója szerint tetszőleges mtermészetes számra

[mx] 5 mx < [mx] + 1, amelyből[mx]m

5 x <[mx]m

+1m.

Az archimédeszi-tulajdonság miatt van olyan n természetes szám, hogy 1 < nε,azaz 1/n < ε. Erre az n egészre írva fel a megelőző kiemelt sort azt kapjuk, hogy

[nx]n

5 x <[nx]n

+1n<

[nx]n

+ ε.

Ebből pedig azonnal adódik, hogy

x− ε <[nx]n

és[nx]n

< x+ ε,

amit a sűrűséghez be kellett látni.



1.39 Állítás. (Cantor-tulajdonság)Legyen az [an, bn] intervallumok tetszőleges olyan rendszere, amelyre

[an, bn] .= x : an 5 x 5 bn, an 5 bn, n = 1, 2, . . .

és egymásba skatulyázottak, amin azt értjük, hogy

an 5 an+1 és bn+1 5 bn, n = 1, 2, . . . .

Ekkor az [an, bn] intervallumok metszete nemüres.

Bizonyítás. Az egymásba való skatulyázottság definíciója szerint ha n 5 m, akkoran 5 am 5 bm 5 bn, amelyből az első és harmadik tagot nézve an 5 bm, han 5 m, a második és negyedik tagot nézve pedig am 5 bn, ha n 5 m, és ígyösszefoglalva: minden n ésm indexre an 5 bm. Ezek szerint az an számok összességefelülről korlátos, és így van α felső határa, amely nem nagyobb, mint a bm, (m ∈N) felső korlátok. Ezek szerint az α felső határra: an 5 α 5 bm, minden n ésm index esetében, tehát α ∈ [an, bn], minden n indexre, vagyis az α mindegyikintervallumnak eleme.

Megjegyezzük, hogy a valós számok definíciójában a felső határ tulajdonságotaz archimédeszi- és Cantor-tulajdonságok együttes megkövetelésével lehet helyette-síteni. Ezt most nem bizonyítjuk be.

1.3.3. Nevezetes azonosságok és egyenlőtlenségekA valós számok két nevezetes azonosságát és három fontos egyenlőtlenségét írjuk leés bizonyítjuk be ebben az alpontban, amelyekre hamarosan szükségünk lesz. Azazonosságok bizonyításában csak a test tulajdonságokat használjuk ki, az egyen-lőtlenségeknél pedig azokon kívül a rendezettséget is, és így az azonosságok illetveegyenlőtlenségek fennállnak tetszőleges testben illetve rendezett testben.Az első azonosság előtt vezessünk be néhány fontos elnevezést:

1.40 Definíció. (Faktoriális, binomiális együttható)Egy n természetes szám faktoriálisának mondjuk, és az n! jelölést használjuk az1 · 2 · 3 · (n − 1) · n szorzatra. Megállapodás szerint 0! = 1. Legyenek k 5 ntermészetes számok. Ekkor az

(nk

)szimbólum — mondva: n alatt a k — az

n!k!(n− k)!

=(n− k + 1) · (n− k + 2) · · ·n

k!

egész számot jelöli, és binomiális együtthatónak hívjuk. Megállapodásunk szerint(n0

)= 1.

1.41 Lemma. (Binomiális együtthatók elemi tulajdonsága)Fennállnak a következők:(

n

k

)=(

n

n− k

)és

(n

k

)+(

n

k − 1

)=(n+ 1k

), 0 5 k 5 n.

Bizonyítás. Egyszerű számolások.

1.42 Állítás. (Binomiális tétel)Egy T test tetszőleges x, y elemére és n természetes számra fennáll az

(x+ y)n = xn +(n

1

)xn−1y + · · ·+

(n

k

)xn−kyk + · · ·+

(n

n− 1

)xyn−1 + yn

=n∑

k=0

(n

k

)xn−kyk.



egyenlőség.

Bizonyítás. A bizonyítást teljes indukcióval végezzük el. Kezdő lépés. Ha n = 1,akkor nyilvánvaló az állítás.Indukciós lépés. Tegyük fel, hogy n-re fennáll az állítás, tehát fennáll az

(x+ y)n =n∑

k=0

(n

k

)xn−kyk

egyenlőség. Szorozva az egyenlőség mindkét oldalát (x+y)-nal a baloldal (x+y)n+1

lesz, a jobboldal pedig:

xn+1 +(n

1

)xny + · · ·+

(n

k

)xn−k+1yk + · · ·+

(n

n− 1

)x2yn−1 + xyn +

+ xny +(n

1

)xn−1y2 + · · ·+

(n

k

)xn−kyk+1 + · · ·+

(n

n− 1

)xyn + yn+1.

Ebben az összegben az első tag xn+1, az utolsó yn+1, a többi esetben pedig azxn+1−kyk, (1 5 k 5 n) forma együtthatója:

(nk

)+(

nk−1

), amely a megelőző lemma

szerint(n+1

k

), és így a jobboldal valóban a kívánt alakú.

1.43 Állítás.Egy T test tetszőleges x és y elemére és n természetes számra fennáll az

xn − yn = (x− y)(xn−1 + xn−2y + xn−3y2 + · · ·+ xyn−2 + yn−1)

= (x− y)n−1∑i=0

xn−i−1yi

egyenlőség.

Bizonyítás. A jobboldalon elvégezve a szorzást azt kapjuk, hogy

xn + xn−1y + xn−2y2 + · · ·+ x2yn−2 + xyn−1

− xn−1y − xn−2y2 − xn−3y2 − · · · − xyn−1 − yn,

amelyből az összeadásnál kiesnek a tagok, kivéve az elsőt és utolsót, és így (xn−yn)marad, amit igazolni kellett.

1.44 Állítás. (Bernoulli-egyenlőtlenség)Minden −1 5 t valós számra és n ∈ N természetes számra

(1 + t)n = 1 + nt.

Bizonyítás. Teljes indukcióval bizonyítunk.Kezdő lépés. Ha n = 1, akkor az egyenlőtlenség: 1 + t = 1 + t, tehát igaz az állítás.Indukciós lépés. Tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás: (1 + t)n = 1 + nt. Ezt az(1 + t) nemnegatív számmal szorozva kapjuk, hogy

(1 + t)n+1 = (1 + nt)(1 + t) = 1 + nt+ t+ nt2 = 1 + (n+ 1)t.

1.45 Állítás. (Módosított Bernoulli-egyenlőtlenség)Minden 0 < t valós számra és n ∈ N természetes számra

(1 + t)n = 1 + nt+n(n− 1)

2t2.



Bizonyítás. Teljes indukcióval bizonyítunk. Kezdő lépés. Ha n = 1, akkor azegyenlőtlenség: 1 + t = 1 + t, tehát igaz az állítás.Indukciós lépés. Tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás: (1 + t)n = 1 + nt+ n(n−1)

2 t2.Ezt az (1 + t) nemnegatív számmal szorozva kapjuk, hogy

(1 + t)n+1 =

(1 + nt+

n(n− 1)2

t2)

(1 + t)

= 1 + nt+n(n− 1)

2t2 + t+ nt2 +

n(n− 1)2

t3

= 1 + nt+n(n− 1)

2t2 + t+ nt2 = 1 + (n+ 1)t+

(n+ 1)n2

t2.

A binomiális tétel segítségével még egyszerűbben igazolható az egyenlőtlenség:

(1 + t)n = 1 +(n

1

)t+(n

2

)t2 +

n∑i=3

(n

n− i

)ti

= 1 +(n

1

)t+(n

2

)t2 = 1 + nt+

n(n− 1)2

t2.

1.46 Állítás. (Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség)Legyenek az x1, x2, . . . , xn nemnegatív valós számok. Ekkor fennáll az

x1 · x2 · · ·xn 5

(x1 + x2 + · · ·+ xn

n

)n

.

számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség, és pontosan akkor van egyenlőség,ha x1 = · · · = xn.

Bizonyítás. A sok ismert bizonyítás közül talán az egyik legrövidebbet választot-tuk.Kezdő lépés: Az n = 1 esetben igaz az állítás, hiszen ekkor az x1 5 x1 egyenlőtlen-ségre egyszerűsödik.Indukciós lépés. Tegyük fel, hogy igaz az állítás n-re. Legyen az (n+1) darab szám,amelyekre be kívánjuk látni az állítást nagyság szerint rendezve:

x1 5 x2 5 · · · 5 xn 5 xn+1. (1.2)

Először egy előzetes egyszerű észrevételt teszünk: A számtani közép nem nagyobb,mint azon számok maximuma, amelyeknek a számtani közepét vesszük, azaz

x1 + x2 + · · ·+ xn

n5 max

15i5nxi 5 xn+1 (1.3)

Az indoklás rövid: Ha minden xi helyett a nála nem kisebb max15i5n xi mennyisé-get tesszük be az összegbe, akkor azonnal adódik.Az egyszerűbb írásmód kedvéért vezessük be a következő jelöléseket

An.=x1 + x2 + · · ·+ xn

nés Gn

.= x1 · x2 · · ·xn. (1.4)

Egyszerű átalakítással azt kapjuk, hogy

x1 + · · ·+ xn+1

n+ 1=nAn + xn+1

n+ 1= An +

xn+1 −An

n+ 1.



Emeljük ezt (n + 1)-edik hatványra, a binomiális tétel szerint. Ha csak az elsőkét tagját hagyjuk meg a binomiális összegnek, akkor csökkentjük az értékét, mivel(1.2) miatt 0 5 (xn+1 −An) és nyilvánvalóan An = 0. Eszerint helyes a következő:(

x1 + · · ·+ xn+1

n+ 1

)n+1

=(An +

xn+1 −An

n+ 1

)n+1

= An+1n +

(n+ 1n

)An

n

xn+1 −An

n+ 1= xn+1 ·An

n.

A becslésben pontosan akkor van egyenlőség, ha nullát hagyunk el a binomiálistételben lévő összegből, ami akkor van, ha xn+1 − An = 0. Felhasználva azt, hogyn-re igaz az állítás, azaz Gn 5 An

n, az előző számolást folytatva azt kapjuk, hogy(x1 + · · ·+ xn+1

n+ 1

)n+1

= xn+1 ·Ann = xn+1 ·Gn = x1 · x2 · · ·xn+1,

tehát igaz az egyenlőtlenség (n+1)-re is. Itt pedig pontosan akkor áll fenn egyenlő-ség, ha Gn = An. Ezt az előző becslésben szereplő egyenlőségi feltétellel mellé véveazt kapjuk, hogy pontosan akkor lehet egyenlőség, ha az xi számok mind egyenlők.

1.3.4. Kiterjesztett valós számokA valós számok R halmazán háromféle struktúra van: algebrai, topológiai és rende-zési, amelyek bizonyos értelemben jól „összeférnek”, kompatibilisek. Némelykor —valamelyik struktúrából kiindulva — célszerű kibővíteni az R halmazt beágyazvaegy bővebb, alkalmasan strukturált halmazba. Ilyen célszerű, algebrai szempontbóltörténő bővítés a komplex számok testének a bevezetése.

Mindenféle bővítést valamilyen művelet, eljárás el nem végezhetősége tesz szük-ségessé. A valós számok R halmazában monoton növekvő sorozatnak pontosanakkor van (véges) határértéke, ha a sorozat korlátos. Ezzel lényegében véve azonosprobléma az, hogy egy A ⊆ R halmaznak nincs mindig (véges) felső határa. Ezek—a topológiával és elsősorban a rendezéssel összefüggő — problémák oldódnak megaz itt tárgyalt bővítés segítségével. A kibővített halmaz algebrai struktúrája viszontlényegesen elromlik, de ez a felhasználási területen nem hátrányos.

Az itt elmondott bővítés rendkívül egyszerű lesz, mert röviden szólva egy olyanszimbólumot veszünk hozzá az R-hez, amelyet legnagyobbnak és egy olyat, amelyetlegkisebbnek fogunk definiálni. A bővítésnek elsősorban olyan haszna lesz, hogyígy gazdaságosabban lehet bizonyos dolgokat tárgyalni, elmondani, és semmilyen„meglepő”, újszerű eredményt ne várjunk tőle.

1.47 Definíció. (Kiterjesztett valós számok, mint rendezett halmaz)A valós számok R halmazához vegyünk hozzá két elemet, amelyeket −∞ illetve ∞(vagy: +∞) szimbólumokkal jelölünk, és mínusz végtelennek illetve végtelennek mon-dunk. Az így nyert R halmazon a rendezést úgy definiáljuk, hogy az R valós számokközötti „5” rendezést megtartjuk, és

∀r ∈ R r <∞, −∞ < r és −∞ <∞.

Az így kapott teljesen rendezett halmazra az elnevezés: kiterjesztett valós számok, ajelölés pedig: R.

Könnyen látható, hogy a kiterjesztett valós számok R halmaza teljesen rendezettaz „5” rendezéssel, van legnagyobb eleme, az∞, és legkisebb eleme a −∞. A felső ésalsó határok létezését, amelyek könnyen igazolhatóak külön állításban fogalmazzukmeg:



1.48 Állítás.Minden A ⊆ R részhalmaznak van felső határa, mégpedig

(1) ha felülről korlátos, akkor véges;

(2) ha felülről korlátlan, akkor végtelen (∞);

(3) ha üres, akkor mínusz végtelen (−∞).

Ugyanezek mondhatók — a megfelelő változtatásokkal — az alsó határra is. Össze-foglalásként:

(4) A kiterjesztett valós számok teljes háló a rendezés által meghatározott sup ésinf műveletekkel, amelynek maximális eleme ∞, minimális: −∞.

Az algebrai műveletek nem alakíthatóak olyan harmonikusan, mit a felső és alsóhatárok, és csökken a műveletek elvégezhetőségének a lehetősége, mert a (∞−∞)összeadás (különbség) nem értelmezhető alkalmas módon. A következő műveletikiterjesztésekben állapodunk meg:

1.49 Definíció. (Műveletek a kiterjesztett valós számokkal)Az összeadást, szorzást és osztást a következőképpen terjesztjük ki R-re:

−(−∞) = ∞,α · 0 = 0 · α = 0, ha α ∈ R,α+∞ = ∞+ α = ∞, ha α ∈ R vagy α = ∞,α−∞ = −∞+ α = −∞, ha α ∈ R vagy α = −∞,α · ∞ = ∞ · α = ∞, ha α ∈ R++ vagy α = ∞,α · (−∞) = (−∞) · α = −∞, ha α ∈ R++ vagy α = ∞,α · ∞ = ∞ · α = −∞, ha α ∈ R−− vagy α = −∞,α · (−∞) = (−∞) · α = ∞, ha α ∈ R−− vagy α = −∞.

A −∞ és ∞ szimbólumoknak a műveletekben való, megállapodás szerinti hasz-nálatát röviden úgy fogjuk jelezni, hogy ezt mondjuk: ”mikor a műveletnek értelmevan”. A legfontosabb algebrai azonosságok teljesülését ellenőrizni kellene, de az fe-lesleges aprólékoskodás lenne. Ehelyett azt javasoljuk, hogy minden adott esetbengondosan meg kell fontolnunk, hogy helyesen járunk-e el a formulákban. Ez általá-ban nem jelent nagy gondot, mert a kiterjesztett valós számok használati területérenem jellemzőek a bonyolult formulák.

Látni fogjuk, hogy a műveleti megállapodások nem mindegyike lesz kompatibilisa hamarosan definiált természetes topológiával.

A rendezés is definiál két műveletet a maximum és minimum műveletét:

α ∨ β = maxα, β és α ∧ β = minα, β, α, β ∈ R.

Azt is mondhatnánk, hogy ezeknek a műveleteknek végtelen sok operandusra valóelvégezhetősége indokolja, az R bevezetését. Ez az ok első pillantásra algebrainaktűnik, de azért nem az, mert a műveleteknek végtelen sok számra való kiterjeszté-séről van szó, és ez már az analízis körébe tartozik.

A következő állításban összefoglaljuk a szuprémum és infimum operációk legfon-tosabb tulajdonságait:

1.50 Állítás. (Szuprémum és infimum a kiterjesztett valós számokon)A kiterjesztett valós számokra értelmezett felső és alsó határ (szuprémum és infi-mum) operációknak a következő tulajdonságai vannak:

(1) Az R tetszőleges részhalmazára

A ⊆ B =⇒ supA 5 supB és inf A = inf B.



(2) Tetszőleges A ⊆ R nemüres halmazra: inf A 5 supA.

(3) Tetszőleges A ⊆ R nemüres részhalmazra

sup(−A) = − inf A és inf(−A) = − supA.

(4) Tetszőleges A,B ⊆ R halmazokra

supλA = λ supA és inf λA = λ inf A, λ = 0.

(5) Tetszőleges A,B ⊆ R halmazokra

sup(A+B) 5 supA+ supB és inf(A+B) = inf A+ inf B.

(6) Legyen A az R részhalmazainak egy családja. Ekkor

sup∪A = supsupA : A ∈ A és inf ∪A = infinf A : A ∈ A.

Hangsúlyozni kell, hogy a (2) és (3) állítások az üres halmaz esetében nem igazak.A valós számok A és B részhalmazának az (A+B) összegén az

A+B.= x ∈ R : x = a+ b, a ∈ A, b ∈ B

halmazt értjük.

Bizonyítás. (1) Ha A ⊆ B, akkor az B felső korlátjai felső korlátjai a A hal-maznak, ezért az utóbbiak minimuma nem lehet nagyobb a B felső korlátjainak aminimumánál. Hasonló az infimummal kapcsolatos okoskodás.(2): Ha A nemüres, akkor az A minden felső korlátja felső korlátja az A alsókorlátjainak, ezért az A alsó korlátjainak a maximuma nem lehet nagyobb az Afelső korlátjainál, és így az A felső határánál. Ha az A üres, akkor nem igaz abizonyítás eleje, ekkor ugyanis alsó korlát az ∞ is és ennél nem nagyobb a −∞,amely egyik felső korlát. Ha pontosan látni akarjuk, hogy miért nagyobb egy felsőkorlát mint egy alsó, akkor az igazolás: Ha a ∈ A, és x alsó, az y felső korlát, akkorx 5 a 5 y, amiből x 5 y. Eszerint a tranzitivitáson múlik az állítás, amely nemalkalmazható, ha az A üres.(3): Az A halmaz alsó korlátjai a (−A) halmaz felső korlátjainak a (−1)-szeresévelegyeznek meg, és megfordítva, ezért adódik is az állítás.(4): Ha λ > 0, akkor a λA felső korlátjai az A felső korlátjainak λ-szorosai, ezértez igaz a minimumukra és a szuprémumukra is. Hasonló az infimumra vonatkozóállítás. A λ = 0 eset egyszerűen meggondolható.(5): supA felső korlátja A-nak, supB pedig B-nek, azaz

∀a ∈ A a 5 supA és ∀b ∈ B b 5 supB,

és így ∀a ∈ A, b ∈ B a + b 5 supA + supB, tehát a supA + supB felső korlátjaaz (A+B)-nek, és így

sup(A+B) 5 supA+ supB.

Hasonló az infimumra vonatkozó állítás igazolása, de visszavezethető az előzőre is,amelyből (3) felhasználásával kapjuk, hogy

sup(−A+ (−B)) 5 sup(−A) + sup(−B), tehát − inf(A+B) 5 − inf A− inf B.

A kritikus — A vagy B üres — esetet mindig érdemes külön meggondolni.(6): Mivel A ⊆ ∪A minden A ∈ A halmazra, ezért a már belátott (1) miattsupA 5 sup∪A, minden A ∈ A halmazra, és így

sup supA 5 sup∪A.

A másik irányú egyenlőtlenség nyilvánvaló. Hasonlóan megy az infimumra vonat-kozó állítás igazolása is.



1.3.5. A valós számok metrikus, topológiai tulajdonságaiA valós számok rendezett volta lehetővé teszi az intervallumok fogalmának a be-vezetését, amelyet speciális esetben már eddig is használtunk, például a Cantor-tulajdonság megfogalmazásában.

1.51 Definíció. (Korlátos intervallumok)Legyen az a < b két tetszőleges valós szám. Az a és b pontokkal négy fajta interval-lumot tudunk definiálni az alábbiak szerint.

(1) Zárt intervallum:[a, b] .= x : a 5 x 5 b.

(2) Nyílt intervallum:(a, b) .= x : a < x < b.

(3) Balról zárt és jobbról nyílt, illetve balról nyílt és jobbról zárt intervallumok:

[a, b) .= x : a 5 x < b

illetve(a, b] .= x : a < x 5 b.

A felsorolt intervallumok — mint halmazok — mind korlátosak (alulról az a, felülrőlpedig a b korlát), ezért korlátos intervallumoknak fogjuk őket mondani

A korlátos intervallumok típusait a 1.1. ábrán szemléltetjük.

1.1. ábra. Korlátos intervallumok típusai.

1.52 Definíció. (Korlátlan intervallumok)A következő halmazokat fogjuk korlátlan intervallumoknak nevezni.

(1) Felülről is és alulról is korlátlan intervallum: a valós számok, R összessége.

(2) Felülről illetve alulról korlátlan zárt intervallumok:

[a,+∞) .= x : a 5 x illetve(−∞, a] .= x : a = x,

ahol az a tetszőleges valós szám.

(3) Felülről illetve alulról korlátlan nyílt intervallumok:

(a,+∞) .= x : a < xilletve(−∞, a) .= x : a > x,

ahol az a tetszőleges valós szám.



1.2. ábra. A korlátlan intervallumok típusai.

Ezeket az intervallumokat félegyeneseknek is szoktuk nevezni, mégpedig balról zártilletve nyílt, és hasonlóan: jobbról zárt illetve nyílt félegyenes.

A korlátlan intervallumok típusait a 1.2. ábrán szemléltetjük.

Az intervallumok egy jellemzését adja a következő állítás:

1.53 Állítás. (Intervallumok jellemzés)A valós számok egy nemüres C részhalmaza pontosan akkor intervallum, ha

a, b ∈ C és a < x < b =⇒ x ∈ C.

Bizonyítás. Legyen α = inf C és β = supC, ahol az infimumra és szuprémumraa végtelen értékeket is megengedjük, de a szuprémum nem lehet mínusz végtelen,mert a C nemüres halmaz, ugyanígy az infimum nem lehet plusz végtelen. Négyesetet különböztetünk meg:

1) Az α és β véges. Ez pontosan akkor lehetséges, ha a C korlátos. Ekkor C azállításban szereplő tulajdonság szerint az

x : α < x < β

halmaz része a C halmaznak. Az α számnál kisebb és a β számnál nagyobb elemedefiníció szerint nem lehet a C halmaznak, ezért

[α, β) = C vagy (α, β] = C vagy [α, β] = C,

aszerint, hogy α illetve β vagy mindkettő elem-e a C halmaznak.2) Az α véges és a β plusz végtelen. Ekkor az x : α < x < γ halmaz része a

C halmaznak minden α < γ számra, és így C = x : α < x, ha α nem eleme aC-nek, és C = x : α ≤ x, ha α eleme a C-bek.

3) A β véges, az α pedig plusz végtelen. Az előzővel azonos módon adódik, hogyC = x : x > β, ha β nem eleme a C-nek és C = x : x ≥ β, ha β eleme a C-nek.

4) α = −∞ és β = ∞. Ekkor az x : γ < x < δ halmaz minden γ és δ mellettrésze a C-nek, és így: C = R.

A valós számok metrikus vizsgálatában döntő szerepe van a 1.74. definícióbanmegadott abszolútérték-függvénynek, amelynek legfontosabb tulajdonságait a kö-vetkező tételben fogalmazzuk meg.



1.54 Állítás. (Abszolútérték és tulajdonságai)A következő módon megadott

|x| .=

x ha 0 5 x−x ha 0 > x

.

nemnegatív számot az x szám abszolútértékének fogjuk mondani. Ennek a következőtulajdonságai vannak.

(1) |x| = 0, és pontosan akkor nulla, ha az x nulla.

(2) |xy| = |x| · |y|.

(3) |x+ y| 5 |x|+ |y|.

(4) | |x| − |y| | 5 |x− y|.

Bizonyítás. Az állítások igazolása igen egyszerű meggondolásokat tartalmaz, deennek ellenére részletezzük.(1): Az abszolút érték definíciójából nyilvánvaló.(2): Az igazolásban két esetet különböztetünk meg.

(a): Az x és y azonos előjelűek. Ha az x és y mindketten pozitívak, akkor |xy| =xy = |x| · |y|. Ha pedig az x és y negatívak, akkor |xy| = xy = (−x)(−y) = |x| · |y|.

(b): Az x és y ellenkező előjelűek. Ha — mondjuk — az x pozitív és az ynegatív, akkor |xy| = −xy = x(−y) = |x| · |y|.(3): Most is két esetet célszerű megkülönböztetnünk.(a): Az x és y azonos előjelűek. Ha az x és y nemnegatívak, akkor |x+y| = x+y =|x|+ |y|, ha pedig az x és y negatívak, akkor |x+ y| = −(x+ y) = (−x) + (−y) =|x|+ |y|.(b): Az x és y különböző előjelűek. Legyen, mondjuk, az x pozitív az y pedignegatív. Ha az(x+ y) nemnegatív, akkor |x+ y| = x+ y = x− (−y) = |x| − |y| 5|x| 5 |x|+ |y|, ha pedig az (x+ y) negatív, akkor

|x+ y| = −(x+ y) = (−x) + (−y) = −|x|+ |y| 5 |y| 5 |x|+ |y|.

(4): Könnyen következik az előzőből: |x| = |(x− y) + y| 5 |x− y|+ |y|, amelyből|x| − |y| 5 |x − y|. Hasonlóan kaphatjuk, az x és y felcserélésével, hogy |y| − |x| 5|y − x| = |x− y|, azaz −|x− y| 5 |x| − |y|, és így összefoglalva

−|x− y| 5 |x| − |y| 5 |x− y|, azaz | |x| − |y| | 5 |x− y|.

Az |x| = x · sgn(x) azonosságot használva másképpen is elmondható a bizonyítás.

Ha az R valós számokat ábrázoló számegyenest nézzük, akkor az x abszolút értékazt adja meg, hogy milyen messze van az x pont a 0 ponttól. Vagy más felfogásban:Ha azt képzeljük, hogy az x egy vektor, amelyik a 0 pontból (az origóból) indul —jobbra vagy balra aszerint, hogy pozitív vagy negatív — akkor az |x| az x vektorhossza. Ennek megfelelően az |x−y| az x és y pontok távolságának képzelhető. Ezta gondolatot fogalmazzuk meg pontosan a következő definícióban és állításban.

1.55 Definíció. (Valós számok távolsága)Két tetszőleges x és y valós szám de(x, y) (euklideszi) távolságának mondjuk a kü-lönbségük abszolút értékét, azaz

de(x, y).= |x− y|.

számot.



1.56 Állítás. (Valós számok távolságának a tulajdonságai)A 1.55. definícióban értelmezett de : R× R → R függvénynek a következő tulajdon-ságai vannak.

(1) de(x, y) = 0, és pontosan akkor nulla, ha x = y.

(2) de(x, y) = de(y, x), (szimmetrikus).

(3) de(x, y) 5 de(x, z) + de(z, y), (háromszög egyenlőtlenség).

Bizonyítás. (1): A definíció szerint de(x, y) = |x− y|, ezért — az abszolút értékfüggvény (1) tulajdonsága alapján — az de(x, y) = |x− y| nemnegatív és pontosanakkor nulla ha x = y.(2): Az abszolút érték tulajdonságait használva:

de(x, y) = |x− y| = | − 1 · (y − x)| = | − 1| · |y − x| = |y − x| = de(y, x).

(3): Az abszolút értékre vonatkozó háromszög egyenlőtlenségből adódik:

de(x, y) = |x− y| = |(x− z) + (z − y)| 5 |x− z|+ |z − y| =

= de(x, z) + de(z, y),

amivel az állítást be is láttuk.

A bevezetett távolság valóban rendelkezik a „távolságnak” képzelt fogalom tu-lajdonságaival, hiszen a három tulajdonság szavakban:

(1): A távolság nemnegatív szám, és egy pont csak önmagától van nulla távol-ságra.

(2): Az x pont ugyanolyan távolságra van y-tól, mint y az x-tól.(3): A háromszög egyenlőtlenség a „két pont között legrövidebb út az egyenes”

népszerű elvet követi, hiszen aszerint: ha x-ből egyenesen y-ba megyünk, akkorrövidebb, mintha az z ponton keresztül kell mennünk.

Az abszolút érték és az intervallum fogalommal most azt a metrikus tényt fo-galmazzuk meg, hogy egy ponthoz mikor van valami „közel”:

1.57 Definíció. (Valós szám környezete)Egy x valós szám ε > 0 sugarú (nyílt) gömbkörnyezetének mondjuk az

y ∈ R : |x− y| < ε = (x− ε, x+ ε) = y : x− ε < y < x+ ε

nyílt intervallumot. Az x valós szám környezetének mondjuk a valós számok tetszőle-ges olyan részhalmazát, amely tartalmazza az x valamilyen sugarú gömbkörnyezetét.

Az elnevezéseknek természetes oka van: az x valós szám ε sugarú gömbkör-nyezete az x-hez ε-nél közelebb lévő pontok összessége, amely a gömb fogalmáragondolva jó elnevezés. A környezet fogalma azt jelenti, hogy az x annyira „erősen”eleme, hogy vele együtt egy egész körülötte lévő intervallum, egy gömbkörnyezeteis benne van.

A gömbkörnyezet és a környezet legfontosabb tulajdonsága: az x pontnak nincslegkisebb környezete, hiszen a 0 < ε sugarú környezetnél szűkebb a 0 < ε/2 sugarúkörnyezet. Azt mondhatjuk csak, hogy az x pont minden környezetnek eleme.

A pont címében szereplő „metrikus” szónak az indokoltságát értjük, de mit isjelent a „topologikus” szó. A szó töve a „helyet” jelentő görög szó. Voltaképpenmetrikus jelleg van mögötte, de topológiai szempontból nem érdekes a távolságpontos értéke, csak a közelség — talán azt lehetne mondani — minőségi jellemzői.

A következő egyszerű állítás a valós számok fontos metrikus, topológiai tulaj-donságát mondja ki:



1.58 Állítás. (Szeparációs tulajdonság)Ha x és y két különböző valós szám, akkor van diszjunkt (gömb) környezetük.

Általános tanács, hogy az R számegyenesen szemléltessük a bizonyítások mene-tét, mert az nagyban hozzájárul a megértéshez és segíti a bizonyítások megjegyzését.

Bizonyítás. Azt mutatjuk meg, hogy diszjunkt gömbkörnyezetük is létezik, éslegyen—mondjuk—x < y. Legyen α = |y−x| = y−x. Mivel az x és y különbözőek,az α pozitív szám, és x+α/4 < y−α/4. Ekkor könnyen megadhatunk két diszjunktgömb-környezetet: (

x− α

4, x+

α

4

)és(y − α

4, y +

α

4

).

A diszjunktság igazolása: Legyen az u és v két tetszőleges pontja az egyik illetvemásik környezetnek, azaz

x− α

4< u < x+

α

4és y − α

4< v < y +

α

4.

Ekkor a következő egyenlőtlenség-sorozatból adódik, hogy az u és v különbözőek.

u < x+α

4< y − α

4< v.

A szeparációs tulajdonságból következik, hogy az x pont em minden környeze-tének csak egyetlen pont eleme: maga az x pont.

Most pedig a gömbkörnyezet és környezet fogalmát általánosítjuk arra az esetre,amikor nem a valós számok teljes R összességét, hanem annak csak egy részhalmazátvizsgáljuk:

1.59 Definíció. (Relatív gömbkörnyezetek és környezetek.)Legyen a C a valós számok egy nemüres részhalmaza. Egy x ∈ C pont C-re vo-natkozó relatív gömbkörnyezetének mondjuk az x egy gömbkörnyezetének és a Chalmaznak a metszetét: adott ε pozitív szám mellett az

y ∈ C : |x− y| < ε = (x− ε, x+ ε) ∩ C = y ∈ C : x− ε < y < x+ ε,

halmazt. Az x pont C-re vonatkozó relatív környezetének mondjuk az U halmazt,ha az x egy V környezetének és a C halmaznak a metszeteként áll elő: U = C ∩ V .

A C halmaz a leggyakoribb esetben egy [a, b], (a < b) zárt intervallum, nézzükezért, hogy milyenek ekkor a relatív környezetek. A 1.3. ábra szemlélteti a mondot-takat. Ha az x pont az (a, b) nyílt intervallumba esik, és 0 < ε < minx− a, b− x,akkor a < x − ε < x + ε < b miatt a gömbkörnyezet és relatív gömbkörnyezetegybeesnek:

x ∈ (a, b) : x− ε < y < x+ ε = x : x− ε < y < x+ ε,

amely eléggé kis ε mellett tehát nem jelent újdonságot a relatív jelleg, és nekünkmindig „eléggé kicsi” gömbkörnyezet kell. Azt kell még megnéznünk, hogy mi ahelyzet, ha x az intervallum valamelyik végpontja:

1) x = a. Ha ekkor 0 < ε < (b−a)/2, akkor az x szám ε sugarú gömbkörnyezete:

[a, b] ∩ (x− ε, x+ ε) = [a, x+ ε).

2) x = b. Ha ekkor 0 < ε < (b−a)/2, akkor az x szám ε sugarú gömbkörnyezete:

[a, b] ∩ (x− ε, x+ ε) = (x− ε, b].

A mondottakhoz kapcsolódva intervallumokra vonatkozólag bevezetünk még egyelnevezést:



1.3. ábra. Relatív gömbkörnyezetek

1.60 Definíció. (Intervallum belső és határponjai)Legyen az I valós számok egy intervalluma. Ekkor az x ∈ I pontot az intervallumbelső pontjának mondjuk, ha van olyan (pozitív) sugarú gömbkörnyezete, amely részeaz I intervallumnak. Formálisan:

∃ε > 0 (x− ε, x+ ε) ⊆ I.

Az intervallum belső pontjainak az összességét az intervallum belsejének nevezzük.Olyan y pontot mondunk az intervallum határpontjának vagy végpontjának, amely-nek tetszőleges gömbkörnyezetében van pontja az intervallumnak és van az interval-lumhoz nem tartozó pont.

Emlékeztetőül megállapíthatjuk a következőket:

1. Ha I = R, akkor az I minden pontja belső pont, határpont nincs.

2. Ha az I félegyenes, akkor — eltekintve a végpontjától, ami határpont —minden pontja belső pont.

3. Ha I = (a, b), nyílt véges intervallum, akkor minden pontja belső pont, az aés b pedig határpontok (végpontok).

4. Általában: Ha az I véges intervallum, akkor minden pontja — eltekintve avégpontjaitól, amelyek elemei vagy nem elemei az I intervallumnak — belsőpontok.

A 1.58. állítás szerint egy x valós szám minden környezetének egyedül az x ponteleme. A következő fogalomban viszont éppen ezt az x pontot vesszük el:

1.61 Definíció. (Pontozott (hiányos) környezet)Az x pont ε > 0 sugarú pontozott vagy hiányos gömbkörnyezetének mondjuk az

y ∈ R : |y − x| < εr x = y ∈ R : 0 < |y − x| < ε

halmazt. Az x pontozott környezetének mondjuk a valós számok olyan részhalmazát,amely tartalmazza az x egy pontozott gömbkörnyezetét.

A relatív környezetekhez hasonlóan bevezethetjük a relatív pontozott környeze-teket is. A fogalmak szemléletes tartalma az eddigiek után nyilvánvaló.

1.62 Definíció. (Relatív pontozott gömbkörnyezetek és környezetek.)Legyen a C a valós számok egy nemüres részhalmaza. Egy x pont C-re vonatkozórelatív pontozott gömbkörnyezetének mondjuk az x egy pontozott gömbkörnyezeténekés a C halmaznak a metszetét.

Végezetül említsük meg, hogy a gömbkörnyezet fogalmát a végtelenekre a kö-vetkezőképpen általánosítjuk:


1.4. VALÓS FÜGGVÉNYEK 26

1.63 Definíció. (A ∞ és −∞ gömbkörnyezetei, környezetei)Legyen az α tetszőleges valós szám. A ∞ ∈ R pont nyílt illetve zárt gömbkörnyeze-tének mondjuk az

x ∈ R : α < x illetve x ∈ R : α ≤ x

félegyeneseket. Hasonlóan a −∞ egy nyílt illetve zárt gömbkörnyezetei az

x ∈ R : α > x illetve x ∈ R : α ≥ x

félegyenesek. A környezet definíciója az eddigi szokásnak megfelelően: gömbkörnye-zetet tartalmazó tetszőleges halmaz.

Az elnevezés okát most talán még nem látjuk, de később majd részletesen vissza-térünk a témára.

Az R minden pontjában definiált a gömbkörnyezet, és ehhez hozzávéve a pluszés mínusz végtelenek most definiált gömbkörnyezeteit, mondhatjuk: az R kiterjesz-tett valós számok minden pontjához definiálva van a gömbkörnyezet és környezet.Könnyen látható, hogy erre igazak a valós számokra kimondott szeparációs állítás,és bevezethetők a relatív környezet, pontozott környezet, belső pont, stb. fogalmak.

1.4. Valós függvények

1.4.1. Az R2 sík, vektortérEgy f : R → R, valós függvény grafikonja (x, f(x)) számpárokból áll, amelyekaz R × R = R2 Descartes-szorzatnak, vagy közismertebb nevén: az R2 síknak azelemei. A gráf felrajzolása, és minden szemléltetés ezen a síkon történik, és ígynem mellőzhetjük az R2 sík vizsgálatát. Mint látni fogjuk, ez egy újabb algebraistruktúra megismeréséhez fog vezetni.

Ismert számunkra, hogy a sík geometriai vizsgálatához már Descartes bevezette asík algebrai tanulmányozását, ezért a most mondandók a sík analitikus geometriájaismétlésének tekinthetők.

Ismert számunkra, hogy a sík pontjait jellemző számpárokkal műveleteket tu-dunk végezni. Először az összeadás műveletét és annak a tulajdonságait mondjukel:

1.64 Állítás. (Az R2 sík pontjainak az összeadása)Az R2 sík pontjai kommutatív csoportot adnak az alább definiált művelettel

(a, b) u (c, d) .= (a+ c, b+ d), (a, b), (c, d) ∈ R2. (1.5)

Neutrális elem a (0, 0) valós számpár, amit nullavektornak mondunk, és egy (a, b)számpár inverze pedig a (−a,−b) páros.

A számpárok közötti műveletnek a jelölésére azért használtuk a „u” szimbólu-mot, hogy megkülönböztessük a valós számok közötti összeadás „+” műveleti jelétől.Később ettől a megkülönböztetéstől eltekintünk, és a két különböző műveletet egy-aránt a „+” jellel fogjuk jelölni, feltéve hogy nem okoz zavart.

Az összeadás műveletét a 1.4. ábrán szemléltetjük. Geometriailag az összeadás:az (a, b) és (c, d) pontpárok összege úgy adódik, hogy a (0, 0), (a, b) és (c, d) pontokáltal meghatározott paralelogramma negyedik csúcsát vesszük.

A kivonás műveletét a 1.5. ábrán mutatjuk be. Úgy rajzoltuk a szemléltetést,hogy az (a, b) és (c, d) párosok különbsége, definíció szerint, az (a, b) és (−c,−d)összege. A rajz alapján könnyű észrevenni, hogy az (a, b)− (c, d) különbség úgy is



1.4. ábra. Az R2 sík két elemének az összeadása.

1.5. ábra. Az R2 sík két elemének a különbsége.

megkapható, hogy a (0, 0), (a, b), (c, d) és (a, b) u (c, d) pontok által meghatározottparallelogramma (c, d)-ből az (a, b) pontba vezető átlóját eltoljuk az origóba.

Bizonyítás. Rendre belátjuk a csoportstruktúrához szükséges tulajdonságok tel-jesülését. A bizonyítás során talán szokatlanul aprólékosak leszünk, mert világosanmeg szeretnénk mutatni, hogy az R2 elemei összeadásának a csoporttulajdonságaihogyan következnek a valós számok összeadásának az ugyancsak csoporttulajdon-ságaiból.Kommutativitás: A 1.5. definíció szerint (a, b) u (c, d) = (a + c, b + d), ahola jobboldal a valós számok összeadásának a kommutativitása miatt megegyezik a(c+a, d+b) párossal, amire pedig szintén a definíció miatt (c+a, d+b) = (c, d)u(a, b).Összevetve ezt az egyenlőséget a megelőzővel adódik, hogy

(a, b) u (c, d) = (c, d) u (a, b).

A bizonyításból világos, hogy a „u” művelet kommutativitása a „+” művelet kom-mutativitásából adódik.Asszociativitás: Számoljuk ki a definíció felhasználásával az asszociativitás azonos-ságának mindkét oldalát, és tapasztalni fogjuk, hogy azonos eredményeket kapunk:(

(a, b) u (c, d))

u (e, f) = (a+ c, b+ d) u (e, f)= ((a+ c) + e, (b+ d) + f) = (a+ c+ e, b+ d+ f).

és

(a, b) u((c, d) u (e, f)

)= (a, b) u (c+ e, d+ f)

= (a+ (c+ e), b+ (d+ f)) = (a+ c+ e, b+ d+ f).

Az utolsó egyenlőségeknél a „+” művelet asszociativitását használtuk fel.



1.6. ábra. A számmal való szorzás az R2 síkon.

A (0, 0) elem reprodukáló volta: (a, b)u(0, 0) = (a+0, b+0) = (a, b). Azt használtukki, hogy a 0 reprodukáló eleme a valós számok összeadásának.Az inverz elem létezése: (a, b) u (−a,−b) = (a+ (−a), b+ (−b)) = (0, 0), és ezzelvalamennyi csoport tulajdonságot beláttuk.

Most pedig egy második műveletet és tulajdonságait írjuk le:

1.65 Állítás. (Az R2 sík pontjainak számmal való szorzása.)Definiáljuk a valós számpárok R2 halmazán a következő „·” jellel jelölt operációt:

α · (a, b) .= (αa, αb), (1.6)

ahol az α tetszőleges valós szám (skalár). Ezt az operációt számmal (vagy skalár-ral) való szorzásnak fogjuk nevezni. Ennek operációnak a következő tulajdonságaivannak.

(1) (α+ β) · (a, b) = α(a, b) u β(a, b).

(2) α((a, b) u (c, d)

)= α(a, b) u α(c, d).

(3) α(β(a, b)

)= (αβ)(a, b).

(4) 1 · (a, b) = (a, b).

A definíció szerint a számmal való szorzás rögzített α valós szám mellett egyR2 → R2 függvény: (a, b) 7−→ (αa, αb). Ez a függvény (operáció) felfogás az okaannak, hogy operációnak is neveztük a skalárral való szorzást.

Az algebrai művelet általunk adott, 1.6. definíciója szerint a számmal valószorzás nem algebrai művelet, mivel R× R2 → R2 leképezés:

(α, (a, b)) 7→ (αa, αb).

Szokásos azonban az algebrai műveletet olyan általánosan is definiálni, hogy ez isbőven beleférjen, ezért nem kerüljük a „művelet” elnevezés használatát sem.

A számmal való szorzásnál a számokat (skalárokat) szokásos görög betűkkel je-lölni, ennek a megkülönböztetésnek később hasznát látjuk.

Bizonyítás. A parányi igazolások abból állnak, hogy a (1.6) definíció szerint gon-dosan számolunk. Kövessük a leírtakat, és minden lépésnél mondjuk meg, hogy mialapján tehettük azt meg.(1): (α+β)·(a, b) =

((α+β)a, (α+β)b

)= (αa+βa, αb+βb) = (αa, αb)u(βa, βb) =

α(a, b) u β(a, b).(2): α

((a, b)u (c, d)

)= α(a+ c, b+d) =

(α(a+ c), α(b+d)) = (αa+αc, αb+αd) =

(αa, αb) u (αc, αd) = α(a, b) u α(c, d).



(3): α ·(β · (a, b)

)= α · (βa, βb) = (αβa, αβb) = αβ(a, b).

(4): 1 · (a, b) = (1 · a, 1 · b) = (a, b).

A számpárok közötti műveleti jelként ezentúl a „+” összeadási jelet használjuk,de ne feledjük, hogy ez más művelet, mint a valós számok közötti összeadás, hiszenmás objektumok, a valós számpárok között van értelmezve. A skalárral való szorzásműveleti jele a · lesz vagy — a valós számok szorzásával megegyezően — egyszerűenegymás mellé írjuk az operandusokat.

Miután elismételtük az R2 sík középiskolai szinten megismert tulajdonságait,meggondoljuk, hogy milyen általános algebrai struktúrára konkrét példa az R2 síka két műveletével.

1.66 Definíció. (Vektortér)Legyen a K test, és tegyük fel, hogy az E halmaz egy „+” művelettel kommutatívcsoport, és definiálva van egy olyan operáció, amely egy α ∈ K elemhez és azE egy x eleméhez az E egy — „α · x = αx” módon jelölt — elemét rendeli. Haaz utóbbi — számmal (skalárral) való szorzásnak nevezett — operáció rendelkezik akövetkező tulajdonságokkal, akkor a K test feletti vektortérnek fogjuk nevezni, és avele foglalkozó matematikai szakterületet lineáris algebrának is mondják.

(1) (α+ β) · x = αx+ βx.

(2) α(x+ y) = αx+ αy.

(3) α(βx) = (αβ)x.

(4) 1 · x = x.

Az E halmaz elemeit vektoroknak nevezzük, a test elemeit pedig skalároknak is szok-ták mondani. Az x vektor inverzére az „x negatívja” elnevezés és a −x jelölés aszokásos.

A definícióban szereplő K test gyakorlatunkban majdnem kizárólagosan a valósszámok teste lesz.

Mivel kétféle objektum — skalár és vektor — szerepel a struktúrában, ezért kí-vánatos az, hogy kétféle jelölést használjunk. Emiatt megállapodunk abban, hogy aszámokat (skalárokat) görög betűkkel jelöljük, a vektorokat pedig latin kisbetűkkel.

Fontos megjegyzés, hogy a nulla számra és a nulla vektorra általában ugyan-azt a 0 jelölést használjuk. Az összefüggésekből általában egyértelműen kiderül,hogy a 0 szimbólum számot vagy vektort jelöl-e. Néha azonban — ha hangsúlyosmegkülönböztetésre van szükség — más szimbólummal jelöljük a nulla vektort.

Feltehetően meglepő az, hogy egy algebrai struktúrát geometriai névvel „vektor-térnek” nevezünk, habár — kevésbé széles körű használattal — a lineáris algebrais szokásos. A geometriai elnevezés oka az, hogy a struktúra vizsgálatában fontosszerepe van a geometriai fogalomalkotásnak, ami nem meglepő, hiszen a struktúrakialakulásának a hátterében a geometriai tér fogalma van.

Végezetül egy kis állítást mondunk ki, amely néhány elemi számolási szabálytmond ki. Az állítások olyan „nyilvánvalóak”, hogy sokakban fel sem vetődne abizonyítás igénye. Ezek a bizonyítások nagyon egyszerűek, de ennek ellenére leírjukőket.

1.67 Állítás. (Vektortér elemi tulajdonságai)Ha az E vektortér, akkor minden x vektorra és α számra

α · 0 = 0, (1.7)0 · x = 0, (1.8)

(−1) · x = −x. (1.9)



A nulla vektort megkülönböztetéséként aláhúztuk.

Bizonyítás. Kövessük gondosan a leírt meneteket, és minden lépésnél indokoljuk,hogy milyen tulajdonság felhasználásával tehettük azt.(1.7): α · x = α · (x+ 0) = α · x+ α · 0, amiből következik, hogy α · 0 = 0.(1.8): α · x = (α+ 0) · x = α · x+ 0 · x, amiből 0 · x = 0.(1.9): Egyrészt:

(1 + (−1)

)· x = 0 · x = 0, (az utolsó lépésben kihasználtuk a már

belátott (1.8) azonosságot), másrészt:(1 + (−1)

)· x = 1 · x+ (−1) · x = x+ (−1)x,

ezért x+ (−1) · x = 0, amelyből leolvashatjuk, hogy az x vektor inverze: (−1) · x,és így (−1) · x = −x.

Végezetül meg kell mondanunk, hogy a matematikai analízisnek — a valós szá-mok után — a legfontosabb algebrai struktúrája a vektortér, amely mögött perszea test fogalma húzódik meg. Még ebben a fejezetben több példát fogunk látni vek-tortérre, és a vizsgált vektortér objektumok száma az évek során egyre nő. Célszerűfolyamatosan figyelni arra, hogy milyen esetekben bukkan elő olyan halmaz, amelyvektortér-struktúrával látható el.

1.4.2. Műveletek valós függvények közöttA függvényeket és a velük kapcsolatos általános fogalmakat a Halmazelméletbenvezettük be, és ha most át is ismétlünk alkalmanként fogalmakat, nem kerülhető elaz említett könyv folyamatos használata.

Első definíciónkban nem teszünk mást, csak elnevezzük azokat a függvényeket,amelyeknek az értékkészlete és esetleg az értelmezési tartománya a valós számokvalamilyen részhalmaza:

1.68 Definíció. (Valós (értékű) függvények)Legyen az A egy tetszőleges nem üres halmaz. Az A halmazon értelmezett, valósértékű — szimbolikusan: A → R — leképezést valós értékű függvénynek — rövi-den: valós függvénynek — fogjuk nevezni. Amennyiben az A értelmezési tartománya valós számok összességének egy részhalmaza, akkor valós változós, valós értékűfüggvényünk van, amelyet valós-valós függvénynek mondhatnánk.

A függvény definíciójára visszaemlékezve az f függvény az A halmaz minden x ∈A eleméhez hozzárendel egy jól definiált f(x) valós számot. Hangsúlyozzuk, hogyaz f egyetlen objektum, és nem keverendő össze az f(x) helyettesítési értékekkel.Eszerint az f függvény az A × R szorzat halmaz — valós-valós függvény esetébenaz R× R sík — egy részhalmaza. Formálisan:

f = (x, f(x)) : x ∈ A ⊆ A× R ⊆ R× R = R2.

Az R2 sík szokásos szemléletes geometriai modelljén fel tudjuk rajzolni a függvényt,illetve ami azzal azonos: a függvény gráfját.

A következő példákban leírt két nevezetes valós értékű függvénnyel már talál-koztunk az előzőekben:

1.69 Példa. (Az R2 sík, mint valós függvények összessége)Legyen az 1.68. definícióban szereplő A értelmezési tartomány kételemű halmaz,amit jelöljön mondjuk 1, 2. Ekkor egy f : 1, 2 → R függvény az (f(1), f(2)),számpárossal jellemezhető (azonosítható), amelynél az indexes írásmód a szokáso-sabb: (f1, f2). Ennek megfelelően az 1, 2 → R függvények összessége megegyezikaz R2 síkkal.



1.70 Példa. (Karakterisztikus függvény)Legyen A tetszőleges részhalmaza az X halmaznak. Az A halmaz karakterisztikusfüggvényének nevezzük az alábbi χA : X → R függvényt:

χA(x) .=

1 ha x ∈ A0 ha x 6∈ A .

Szokásos még a χA helyett az 1A jelölés is.

A karakterisztikus függvény a halmazok vizsgálatának egy fontos eszköze, és aHalmazelmélet jegyzetünkben bővebben találkozhatunk vele.

1.7. ábra. Karakterisztikus függvény gráfja.

A valós értékű függvények értékei egy rendezett testből valók, ezért mind atestműveletekből, mind a rendezésből kiindulva műveleteket vezethetünk be a valósfüggvények között. A következő definícióban felsoroljuk a valós értékű függvényekközötti azon műveleteket, amelyeket a testműveletek tesznek lehetővé.

1.71 Definíció. (Valós értékű függvények összege, szorzata és számszorosa)Egy A ⊆ R halmazon értelmezett valós értékű függvények között négy műveletetdefiniálunk:

Összeadás: (f + g)(x) .= f(x) + g(x), minden x ∈ A elemre.

Szorzás: (f · g)(x) = (fg)(x) .= f(x) · g(x), minden x ∈ A elemre.

Számmal való szorzás: (α·f)(x) = (αf)(x) .= α·f(x), minden x ∈ A elemre.

Hányados: Feltesszük, hogy a nevező nem nulla semmilyen x ∈ A elemre.(f

g

)(x) .=

f(x)g(x)

, minden x ∈ A elemre.

Hangsúlyozzuk: a függvényekkel mint objektumokkal végzünk műveleteket, ésaz eredmények is mindig függvények, mint objektumok. Emiatt például csak azonosértelmezési tartományú függvényeket adhatunk össze.

Nagyon fontos észrevétel az, hogy a műveletekkel függvényekből álló formulákat,új függvényeket tudunk készíteni, Így sokszor hivatkozunk ezekre, mint függvényépítési eljárásokra.

A számmal való szorzással kapcsolatban meg kell említenünk a következőket.Legyen A ⊆ R és b jelölje az azonosan β értéket felvevő függvényt, azaz b = β idA.Ekkor az f függvény β számmal való (βf) szorzata megegyezik az (b · f) függvény-szorzattal. Eszerint a számmal való szorzás mindig felfogható függvényszorzásként.Nem okoz zavart az, ha az azonosan β értéket felvevő függvény és β szám jelöléséreegyformán a „β” szimbólumot írjuk.



A közvetett függvény fogalmát a halmazelméleti függvényfogalomnál már jól meg-ismertük, de fontossága miatt nem szabad említés nélkül hagyni most sem: Haf : A→ B és g : B → R, akkor az f és g összetett függvénye vagy kompozíciója:

(g f)(x) .= g(f(x)) ∈ R, x ∈ A.

Ha már műveleteket definiáltunk a valós értékű függvények között, akkor azonnalfelvetődik a kérdés, hogy milyen struktúrát vagy struktúrákat kaptunk. A legfon-tosabb állítást ideírjuk, és több állítást a feladatok közé tettünk.

1.72 Állítás. (Valós értékű függvények vektortere)Ha az A tetszőleges, nemüres halmaz, akkor az f : A→ R valós függvények összes-sége vektor tér az összeadás és a számmal való szorzás műveletekkel.

Az A = 1, 2 két elemű halmaz esetében, amikor a függvények összessége az R2

sík, már láttuk az állítást.

Bizonyítás. A bizonyítás egyes egyenlőségeit nem indokoljuk, de az a leírás menetealapján könnyen megtehető, és ne mulasszuk el. Először belátjuk, hogy az összea-dás műveletével kommutatív csoportot kapunk. A felírt egyenlőség sorozatok utánrendszeresen képzeljük oda: „minden x ∈ A elemre”.Kommutativitás: (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x), tehátf + g = g + f .Asszociativitás:

((f + g) + h

)(x) = (f + g)(x) + h(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) =

f(x) + (g(x) + h(x)) =(f + (g + h))(x), tehát (f + g) + h = f + (g + h).

Nulla elem az a 0-val jelölt függvény (a jelölés általában nem okoz félreértést),amelyik minden x ∈ A elemhez a nulla értéket rendeli. Erre nyilvánvalóan: (f +0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x), tehát f + 0 = f .Negatív elem létezése: Az f negatívja az a −f függvény, amelyre: (−f)(x) = −f(x).A skalárral való szorzás tulajdonságait a 1.66. definíció számozása szerint haladvaellenőrizzük:(1):

((α + β)f

)(x) = (α + β)f(x) = αf(x) + βf(x) = (αf)(x) + (βf)(x) =

(αf + βf)(x), tehát (α+ β)f = αf + βf .(2):

(α(f + g)

)(x) = α(f(x) + g(x)) = αf(x) + αg(x) = (αf + αg)(x), tehát

α(f + g) = αf + αg.(3):

(α(βf)

)(x) = α(βf)(x) = αβf(x) = (αβ)f(x), tehát α(βf) = (αβ)f .

(4): (1 · f)(x) = 1 · f(x) = f(x), tehát 1 · f = f . Ahogyan láttuk a rendezés két műveletet — a maximumot és minimumot — teszi

lehetővé, amelyeket végtelen operandusok esetében a szuprémum illetőleg infimumhelyettesít. Ennek megfelelően két függvényműveletet vezetünk be:

1.73 Definíció. (Függvények alsó és felső burkolója)Legyenek f, g : A → R valós értékű függvények. Az f és g függvények felső bur-koló függvényének — röviden: felső burkolójának — mondjuk, és a ∨ műveleti jelethasználjuk ezekre is, a következőképpen megadott függvényt

(f ∨ g)(x) .= f(x) ∨ g(x) = supf(x), g(x).

Analóg az alsó burkoló definíciója.

Az alsó és felső burkolók könnyen szemléltethetőek, ahogyan a 1.8. ábrán istettük.



1.8. ábra. Függvények felső burkolója

1.4.3. Valós függvények megadása rendezésselA valós számok rendezett test. Ennek megfelelően most megnézzük, hogy ez a kéttulajdonság milyen függvények definíciójára ad lehetőséget. Az egyszerűbb eset arendezés. Ennek a segítségével is bevezethetünk néhány sokat használt függvényt,amelyből az abszolútértékkel már találkoztunk:

1.9. ábra. Az abszolútérték és előjelfüggvény gráfja.

1.10. ábra. A pozitív rész és negatív rész függvény gráfja.

1.74 Definíció. (Abszolút érték, pozitív és negatív rész, előjel függvény)Legyen a definíciókban az x tetszőleges valós szám.

Abszolút érték. x 7→ |x|.

Pozitív rész. x 7→ x+:x+ .=

x ha 0 5 x0 ha 0 > x

.



Negatív rész. x 7→ x−:x−

.=−x ha 0 = x

0 ha 0 < x.

Előjel függvény. x 7→ sgn(x):

sgn(x) .=

−1 ha x < 00 ha x = 01 ha x > 0

.

Mindegyik definiált függvény grafikonját felrajzoltuk az 1.9–1.10 ábrákon. Azabszolútért ék, pozitív és negatív rész függvények könnyen megadhatóak a rende-zés által meghatározott műveletekkel, és megfordítva a műveletek megadhatók azabszolút értékkel:

|x| = x∨ (−x) = supx,−x, x+ = x∨0 = supx, 0, x− = −(x∧0) = − infx, 0,

x ∨ y =(x+ y) + |x− y|

2és x ∧ y =

(x+ y)− |x− y|2

,

ahol 0 a nullafüggvényt jelöli.A rendezéssel megadható függvények közé soroljuk az egészrész és törtrész függ-

vényeket, amelyeket voltaképpen már megismertünk (1.35. ááítás és 1.36. definíció):

1.75 Definíció. (Egészrész és törtrész függvények)Egész függvénynek mondjuk azt a függvényt, amely minden valós számhoz annakaz egészrészét rendeli: x 7→ [x]. Hasonlóan, törtrész függvénynek mondjuk az x 7→x− [x] függvényt.

A 1.11. ábrán rajzoltuk fel az egészrész és törtrész függvényeket.

1.11. ábra. Az egészrész és törtrész függvények gráfja.

1.4.4. Valós függvények megadása müveletekkelA testműveletek felhasználásával műveleteket definiáltunk a valós értékű függvényekközött. Csak az

x 7→ 1, és x 7→ x

azonosan 1 és az azonosság idR leképezések meglétét tételezzük fel, és megnézzük,hogy ezekből — a számmal valós szorzás és összeadás felhasználásával — a következővalós függvényeket építhetjük fel:



1.76 Állítás. (Valós együtthatójú polinomok és racionális törtfüggvények)Az x 7→ x, és x 7→ 1, x ∈ R; valós függvényekből a testműveletekből származófüggvényműveletek segítségével felépíthetjük a következő alakú függvényeket

a0+a1x+a2x2+· · ·+an−1x

n−1+anxn, n ∈ N∪0 és a0, a1, . . . , an−1, an ∈ R,

amelyeket polinomoknak fogunk nevezni. Két

p(x) = anxn + · · ·+ a1x+ a0 és q(x) = bmx

m + · · ·+ b1x+ b0

polinom hányadosát is felírhatjuk olyan x valós számok esetében, amelyekre a nevezőnem nulla:

x 7−→ p(x)q(x)

=anx

n + · · ·+ a1x+ a0

bmxm + · · ·+ b1x+ b0.

Az ilyen függvényeket racionális törtfüggvényeknek fogjuk nevezni. Ezen függvényekösszessége a legbővebb olyan függvényhalmaz, amelyet az említett két függvényből atest algebrai műveleteinek véges sok alkalmazásával megadhatunk.

Fontos megjegyzés: a polinomokat kétféle szemlélettel lehet vizsgálni. Az egyikaz, amit mi használunk: a polinom függvény, amely minden valós számon definiált.A másik szemlélet szerint az x egy határozatlan objektum, amivel egy algebraikifejezést egy „formát” állítunk elő, amit polinomnak mondunk. A polinomoknakmint képleteknek, formáknak a vizsgálata az algebra körébe tartozik, és azzal mostrészletekbe menően nem foglalkozunk, de ismerete teljes mértékben elvárható azanalízisben is. A formai vizsgálatok esetében a „polinom” szó, a függvény-szemléletesetében pedig a „polinom-függvény” szó is használatos elnevezés, de a „függvény”megjelölést általánosan el szokták hagyni.

Bizonyítás. A függvények szorzási szabálya alapján az azonosság-leképezést ön-magával szorozva megkapjuk az x 7→ x2 függvényt; ezt szorozva az azonosság-leképezésssel adódik az x 7→ x3 függvény. Teljes indukcióval tetszőleges n pozitívegész számra kapjuk az x 7→ xn hatványfüggvényt. A hatványfüggvényeket és azx 7→ 1 függvényt számmal szorozva, és összeadva eljuthatunk a

x 7→ a0 + a1 · x+ a2 · x2 + · · ·+ an · xn,

alakú függvényhez, azaz a polinomhoz. Ilyen alakú függvények hányadosaként pedigmegkapjuk a racionális törtfüggvényeket. Azt kell még indokolnunk, hogy csak amondott alakú függvényekhez juthatunk el algebrai művelettel. Ez viszont azonnaladódik abból, hogy a racionális polinomok köréből nem vezetnek ki az algebraiműveletek: ilyenek összege, szorzata és hányadosa ugyanilyen típusú.

A bizonyítás szerint a polinom az azonosság függvény számokkal szorzott hat-ványainak az összege, ezért következetesebb lenne — röviden id-del jelölve az idRleképezést — az

a0 + a1 · id+a2 · id2 + · · ·+ an · idn,

jelölés használata, de ez egyáltalában nem szokásos.A következő definícióban rögzítjük a polinomokkal kapcsolatos elnevezéseket:

1.77 Definíció. (Polinomokkal kapcsolatos elnevezések)Az 1.76. állítás jelöléseit használva, az a0, a1, . . ., an valós számokat a polinomegyütthatóinak mondjuk. Egy polinom fokszámának azt a legnagyobb kitevőt mond-juk, amelynek az együtthatója nem nulla, a konstans polinom fokszámát nullánakvesszük. Két polinóm — mint forma — akkor egyezik meg, ha együtthatóik azonosak.Két polinom — mint függvény — akkor egyezik meg, ha az értelmezési tartomány



minden helyén azonos értéket vesz fel. Azt a polinomot, amelynek mindegyik együtt-hatója nulla, nullapolinomnak nevezzük, a nulla polinom-függvényt pedig azonosannulla polinomnak mondjuk. Ha egy α ∈ R helyen egy polinom helyettesítési értéke0, akkor az α számot a polinom (valós) gyökének mondjuk.

A polinomoknak — mint függvényeknek — minden valós szám mellett van ér-tékük, de ennek ellenére meg kell mondanunk, hogy milyen értelmezési tartománytveszünk. Egy függvény ugyanis csak akkor megadott, ha az értelmezési tartomá-nya ismert. A 1.76. állításban nem beszéltünk az értelmezési tartományról, mostviszont alaposan meg kell vizsgálnunk a kérdést. Bevezetőként egy meglepő példa:

1.78 Példa. (Egy függvényt két különböző polinom ad meg)Legyen A

.= 0, 1,−1 ⊆ R, és vegyük a következő f : A→ R függvényt:

f(x) =

1 ha x = 02 ha x = 10 ha x = −1

.

Az f függvényt megadja mind az (x3 + 1), mind az (x9 + 1) polinom.

A polinomot függvényként vezettük be, és most két polinom ugyanazt a függ-vényt adja meg, tehát a két polinom — mint A értelmezési tartományú függvény— megegyezik, holott formailag különbözőek. Mint a következő állításokból látnifogjuk, ez az eset nem fordulhat elő, ha az értelmezési tartomány nem véges, ésez azért fontos, mert ekkor két polinomot akkor mondhatunk — függvény értelem-ben — azonosnak, ha az összes megfelelő együtthatójuk megegyezik, azaz ha mint„képletek”, „formák” azonosak. Ilyen esetekben a formák és függvények megkülön-böztetésre nem ügyelünk, például a „nulla polinom” és „azonosan nulla polinom”fogalmakat azonos értelemben használjuk.

1.79 Állítás. (n-ed fokú polinomnak legfeljebb n számú gyöke lehet)Egy nem-nulla polinomnak legfeljebb annyi különböző gyöke lehet, amennyi a fok-száma. A nulla-polinomnak nyilvánvalóan minden valós szám gyöke.

Az állítás másképpen is fogalmazható: Ha egy n-ed fokú polinomnak (n + 1)számú különböző gyöke van, akkor az a nullapolinom, azaz minden együtthatójanulla.

Bizonyítás. Az állítást a fokszámra vonatkozó teljes indukcióval bizonyítjuk be.Első lépés. Ha fokszám 1 azaz a polinom ax+ b, (a 6= 0) alakú, akkor nyilvánvalószámolás szerint csak a (−b/a) gyök, tehát pontosan annyi gyöke van, amennyi afokszáma.Indukciós lépés. Tegyük fel, hogy igaz az állítás minden n fokszámú polinomra.Vegyünk egy

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0, an 6= 0

n-ed fokú polinomot. Ha ennek az α szám gyöke, akkor

p(x)− 0 = p(x)− p(α) = an(xn − αn+1) + an(xn − αn) + · · ·+ a1(x− α).

A közismert xi − αi = (x− α)(xi−1 + xi−2α+ · · ·xαi−2 + αi−1) azonosság felhasz-nálásával folytatva:

p(x) = p(x)−0 = p(x)−p(α) = (x−α)n∑

i=0

ai(xi−1+xi−2α+· · ·+xαi−2+αi−1) = (x−α)g(x),



ahol a g (n− 1)-ed fokú polinom, az (n− 1)-ed fokú tag együtthatója: an. Legyenβ az f polinomnak az α-tól különböző gyöke, azaz 0 = f(β) = (β − α)g(β). Ekkora (β − α) tényező nem nulla, ezért g(β) = 0. Eszerint az f gyökei: az α szám ésa g gyökei. Az indukciós feltevést szerint azonban a g, (n − 1)-ed fokú polinomgyökeinek a száma legfeljebb (n− 1), tehát az f gyökeinek a száma legfeljebb n.

1.80 Állítás. (Mikor határozzák meg értékei a polinom együtthatóit)Ha két legfeljebb n-ed fokú polinom értéke (n+1) számú különböző helyen megegyezik,akkor a két polinom együtthatói azonosak.

Bizonyítás. A 1.80. állításból könnyen adódik az állítás: Ha a p és a q legfeljebbn-ed fokú polinomok helyettesítési értékei (n + 1) számú különböző helyen mege-gyeznének, akkor a p−q legfeljebb n-ed fokú polinomnak (n+1) számú gyöke lenne,következésképpen p− q csak a nullapolinom lehet, tehát p = q.

Az eddigieket összefoglalva megállapíthatjuk: Ha az értelmezési tartomány vég-telen sok pontot tartalmaz, akkor a polinomok — mint függvények — pontosan akkoregyeznek meg, ha az együtthatóik megegyeznek. A következőkben mindig végtelensok pontot tartalmazó értelmezési tartományt veszünk — rendszerint intervallumot— és így a polinom függvény és formai szemlélete megegyezik.

Most megnézzük, hogy milyen struktúrát adnak a polinomok a függvény műve-letekre nézve.

1.81 Állítás. (A polinomok vektortere)A legfeljebb n-ed fokú polinomok összessége vektor-tér az összeadás műveletével és aszámmal való szorzás operációjával.

Bizonyítás. Először egy olyan észrevételt teszünk, amit sok-sok bizonyításban fo-gunk használni. Amikor a 1.72. tételt beláttuk (az A → R függvények összességevektor-tér), akkor ellenőriztük a vektor-tér tulajdonságok teljesülését az A → Rfüggvények összességére. A legfeljebb n-edfokú polinomok halmaza pedig része azösszes A → R függvénynek, ezért azokra is teljesülnek a vektor-tér tulajdonságok.A mondottak után mit kell még megnéznünk? Csak azt, hogy polinomok összege ésszámmal való szorzata polinom-e, mert az előbbiek szerint a vektor tér tulajdonsá-gokat — valós függvények lévén — már teljesítik. Ez azonban nyilvánvalóan igaz.

Elemi tanulmányainkból tudjuk, hogy egy ax2 + bx+ c = 0 másodfokú egyenletgyökeinek a meghatározására jól használható képlet van:

−b±√b2 − 4ac

2a

formula alapján számolhatjuk ki. A négyzetgyök alatti b2 − 4ac kifejezést diszkri-minánsnak szokás nevezni. Ha ez pozitív, akkor két különböző valós gyök, ha nulla,akkor egy kétszeresnek nevezett gyök van, ha pedig negatív, akkor nincs valós gyök.

A polinomok gyökeinek a meghatározása egy időben nagyon izgalmas feladatotjelentett a matematikusok számára. A másodfokú egyenletek megoldóképlete márigen régóta ismert. A harmadfokú egyenlet megoldóképletét titokként őrizte a felfe-dezője (vagy felfedezői), mivel abban az időben versenyeket is rendeztek egyenletekmegoldására. A negyedfokú egyenlet megoldásának a módját is megtalálták, ésmeglepetésre, a múlt század közepén a következő felfedezés született:

Negyedfokúnál magasabb fokú algebrai egyenlet megoldására nem le-het megoldóképletet adni .



Megoldóképleten véges sok test-művelet és gyökvonások segítségével felépített for-mulát értünk. Ennek a nevezetes állításnak az igazolásában döntő szerepe volt acsoport-struktúra felfedezésének.

1.4.5. Véges lépésben nem megadható függvényekAz előző pontban azokat a formulákkal megadható függvényeket vezettük be, ame-lyek a test műveletekkel illetve a rendezéssel véges lépésben felépíthetőek. Szót semejtettünk a középiskolából jólismert logaritmus és exponenciális függvényekről vagytrigonometrikus függvényekről. Ennek egyszerű oka van: az említett függvényekértékei — általában — nem adhatók meg úgy, hogy a független változóra végessokszor alkalmazzuk a testműveleteket és a rendezésből kapott műveleteket. Ezek-nek a függvényeknek a definiálásához olyan elméleti eszközöket kell bevezetnünk,amelyek lehetővé teszik „végtelen sok tagú” polinom értelmezését. Vegyük a —még esztétikus alakúnak is mondható — következő formálisan „végtelen sok tagú”polinomot:

1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ · · · .

Természetesen még azt sem tudjuk most, hogy mit értsünk ezen a végtelen összegen.Ha összeszorozzuk ezt az x és y helyeken — mit sem törődve azzal, hogy végtelensok tagú összegre nem definiáltuk a disztributivitást (minden tagot szorzunk mindentaggal és összeadjuk) — azt kapjuk, hogy a szorzás eredménye:

1 +x+ y

1!+

(x+ y)2

2!+

(x+ y)3

3!+ · · ·+ (x+ y)n

n!+ · · · .

Ez pedig arra emlékeztet bennünket, hogy az exponenciális függvényre: ax · ay =ax+y, ezért jogosan sejthetjük, hogy ez a végtelen polinom az exponenciális függ-vényt fogja valahogyan megadni. Ahhoz, hogy erre a kérdésre egzaktul válaszolnitudjunk, fel kell építenünk a megfelelő elméletet. Megjegyezzük, hogy az elmélet fe-lépítése a valós számokon alapszik, ezért elvileg a valós számok tulajdonságaiból —itt a felső határ tulajdonságnak van döntő szerepe — közvetlenül is bevezethetőekaz említett függvények. Ez azonban egyrészt nagyon fáradtságos lenne, másrészt:az erőlködésnek nem lenne más haszna. Az említett elmélet felépítésével viszontegy, sok helyen használható, elmélet birtokába jutunk.

Most azonban a hatványfüggvénynek az x 7→ x1/n speciális esetét — későbbmegismert okok miatt — közvetlenül a valós számok segítségével megadjuk:

1.82 Állítás. (Az x 7→ xn, R+ → R+ függvény bijektív.)Legyen az n természetes szám, és x pozitív. Az x→ xn, R+ → R+ függvény bijektív,azaz minden x ∈ R+ számra létezik olyan, egyetlen y nemnegatív szám — amelyetx1/n vagy n

√x fog jelölni — hogy yn = x.

Bizonyítás. Ha x1, x2 ∈ R+ és x1 < x2, akkor xn1 < xn

2 (teljes indukcióval megy),ezért xn

1 6= xn2 , ha x1 6= x2, tehát az x 7→ xn függvény injektív.

A szurjektivitás belátása nehezebb feladat, hiszen azt kell belátni, hogy mindenx pozitív valós számnak létezik az „n-edik gyöke”, amely a racionális számok körébennem volt igaz.

A bizonyítás alapgondolata egyszerű: Vesszük az

S.= t ∈ R : tn < x

halmazt. Belátjuk, hogy az S halmaz nem üres és felülről korlátos, és így van y felsőhatára. Megmutatjuk, hogy yn = x, tehát az y n-edik gyök. A részletes végrehajtásegy kicsit hosszadalmas.



A bizonyításhoz szükségünk lesz a következő egyenlőtlenségekre: Minden n ∈ N,0 < t és 0 < h < 1 esetében fennállnak a következő egyenlőtlenségek:

tn − h(t+ 1)n 5 (t− h)n és (t+ h)n < tn + h(t+ 1)n. (1.10)

Az igazolás a binomiális tételből nagyon egyszerű, csak írni kell sokat. Először ajobboldali egyenlőtlenséget látjuk be.

(t+ h)n = tn +(n

1

)tn−1h+

(n

2

)tn−2h2 + · · ·+

(n

n− 1

)thn−1 + hn

= tn + h

((n

1

)tn−1 +

(n

2

)tn−2h+ · · ·+

(n

n− 1

)thn−2 + hn−1

)5 tn + h

(tn +

(n

1

)tn−111 +

(n

2

)tn−212 + · · ·+

(n

n− 1

)t1n−1 + 1n

)= tn + h · (t+ 1)n.

A baloldali egyenlőtlenség igazolása pontosan így megy, de tömörebben szummákhasználatával leírom:

(t− h)n =n∑

k=0

(n

k

)tn−k(−1)khk = tn + h ·

(n∑

k=1

(n

k

)tn−k(−1)khk−1

)

= tn − h ·

(n∑

k=0

(n

k

)tn−k1k

)= tn − h(t+ 1)n,

és ezzel a 1.10. egyenlőtlenséget beláttuk.Most pedig belátjuk, hogy minden x nemnegatív számhoz van olyan y, hogy

x = yn. Az x = 0 eset nyilvánvaló, ezért feltehetjük, hogy 0 < x. Vegyük az

S.= t ∈ R : tn < x

halmazt. Az S halmaz nem üres, hiszen 0 ∈ S. Felülről korlátos, ha ugyanisx + 1 < t, akkor már nem lehet eleme az S halmaznak, mivel ekkor, a Bernoulli-egyenlőtlenség szerint

tn > (1 + x)n = 1 + nx = x, 1 5 n,

tehát tn > x, azaz t /∈ S. Eszerint az (x + 1) felső korlát. A valós számok felsőhatár tulajdonsága alapján van y felső határa az S halmaznak. Megmutatjuk, hogyyn = x. Ehhez megmutatjuk, hogy az yn < x és yn > x egyenlőtlenségek nemállhatnak fenn. Lássuk most ezt a két esetet.

1) Ha yn < x, akkor legyen 0 < α = x − yn. Az (1.10) alatti jobboldaliegyenlőtlenséget használhatjuk az 0 < h < min1, α/(y + 1)n választással:

(y + h)n < yn + h(y + 1)n 5 yn + α = yn + x− yn = x,

tehát (y + h)n ∈ S, ami ellentmond annak, hogy az y felső korlát az S-re, tehát azyn < x nem állhat fenn.

2) Az előzőhöz hasonló az indoklás. Ha yn > x, akkor legyen 0 < α = yn − x.Az (1.10) alatti baloldali egyenlőtlenséget használjuk a 0 < h < min1, α/(y+ 1)nválasztással:

(y − h)n > yn − h(y + 1)n = yn − α = yn − yn + x = x,

és így tn < x < (y − h)n, ha t ∈ S, tehát t < y − h, ha t ∈ S. Eszerint (y − h) felsőkorlátja az S-nek, ellentétben azzal, hogy a legkisebb felső korlát az y.



1.4.6. Monoton függvény, függvény szuprémuma és infimumaEbben a pontban néhány olyan fogalmat vezetünk be valós függvényekre, amelyekmindegyike az R rendezésével kapcsolatos.

1.83 Definíció. (Monoton függvény)Legyen az A a valós számok egy nemüres részhalmaza. Egy f : A → R függvénytmonoton növekedőnek mondunk, ha

x1, x2 ∈ A, és x1 5 x2 =⇒ f(x1) 5 f(x2).

Ha az x1 < x2 (szigorú) egyenlőtlenség (szigorú) f(x1) < f(x2) egyenlőtlenségetvon maga után, akkor szigorú monoton növekedésről beszélünk. Teljesen analóg amonoton fogyás (csökkenés) és a szigorú monoton fogyás (csökkenés) definíciója.

Figyeljünk fel arra, hogy a monoton növekedő függvény olyan tulajdonságú leké-pezés, amelyik megőrzi a rendezés struktúráját abban az értelemben, hogy nagyobbszámot nagyobbra képez; a szigorúan monoton növekedés még jobban megőrzi arendezés struktúráját, mivel szigorúan nagyobb számokat szigorúan nagyobbakraképez.

Szigorúan monoton növekedő függvénynek van inverze, és az is szigorúan mono-ton növekedő:

1.84 Állítás. (Szigorúan monoton függvény inverze)Legyen A ⊆ R. Ha az f : A→ f(A) leképezés szigorúan monoton növekedő (fogyó),akkor létezik az f−1 : f(A) → A inverz-függvény, és az is szigorúan monoton növe-kedő (fogyó).

Bizonyítás. Nézzük, mondjuk, a szigorú monoton növekedés esetét, és lássuk elő-ször az inverz létezését: Az f leképezés, definíciója szerint szurjektív, a szigorúmonoton növekedése miatt pedig injektív. Ezek szerint az f bijektív és így vaninverze. Az f−1 szigorú monotonitásához legyen y1, y2 ∈ f(A) és y1 < y2. Haf−1(y1) = f−1(y2) lenne, akkor az f monoton növekedése miatt

f(f−1(y1)) = f(f−1(y2)), azaz y1 = y2

adódnék, ellentétben az y1 < y2 kiindulással, tehát f−1(y1) < f−1(y2).

1.85 Definíció. (Függvény korlátossága)Legyen A tetszőleges nemüres halmaz, és az f : A → R egy valós értékű függvény.Az f függvényt felülről korlátosnak mondjuk, ha az f(A) értékkészlet felülről kor-látos halmaz. Analóg az alulról való korlátosság fogalma. Korlátosnak mondjuk afüggvényt, ha mind alulról, mind felülről korlátos.

A felülről való korlátosság eszerint azt jelenti, hogy van olyan K szám (felsőkorlát), hogy f(x) 5 K, minden x ∈ A helyen. A korlátosság — ami a meghatározásszerint az f(A) valós számhalmaz korlátossága — azt jelenti, hogy van olyan K1 ésK2 pozitív valós szám, amelyekre −K1 5 f(x) 5 K2, minden x ∈ A helyen. A K1

és a K2 számok közül a nagyobbikat K-val jelölve a korlátosság így is írható:

∀x ∈ A |f(x)| 5 K.

A valós számok korlátos részhalmazaira bevezetettük az infimum (alsó határ) ésszuprémum (felső határ) fogalmakat (1.29. és 1.30. definíciók). Ezeknek a közvet-len alkalmazásaként, felülről korlátos illetve alulról korlátos függvényekre definiálnitudjuk az alábbi fogalmakat:


1.5. RACIONÁLIS, ALGEBRAI ÉS TRANSZCENDENS SZÁMOK 41

1.86 Definíció. (Függvény szuprémuma és infimuma)Legyen f : A → R felülről korlátos függvény. Az f szuprémumának mondjuk azf(A) értékkészlet sup f(A) felső határát, amire a supx∈A f(x) jelölést használjuk,és ha nem félrevezető, akkor a supA f vagy sup f vagy supx f(x) rövid formák ismegengedettek. Pontosan analóg az infx∈A f(x) függvény-infimum definíciója alulrólkorlátos függvényre.

A definiált szuprémum felülről korlátos függvényre a valós számok felsőhatár-tulajdonsága miatt létezik.

A feladatok között a függvény szuprémumnak és infimumnak több — gyakranhasznált — tulajdonságát megtalálhatjuk. Itt már csak egy fontos elnevezést írunkle:

1.87 Definíció. (Függvény maximuma és minimuma)Az 1.86. definíció jelöléseit használva, ha az f : A → R függvénynek van szup-rémuma, és az eleme az f(A) értékkészletnek, akkor a szuprémumot maximumnaknevezzük, jelölésben: maxx∈A f(x). Ekkor azt szokás mondani, hogy az f felveszi amaximumát. Hasonlókat mondhatunk az infimum esetében a függvény minimumá-ról.

1.5. Racionális, algebrai és transzcendens számokA racionális számok, amelyek a számfogalom bővítésének a kiinduló alapjai, szá-mossági értelemben nincsenek tulságosan sokan:

1.88 Állítás. (A racionális számok számossága megszámlálhatóan végtelen)A racionális számok Q összességének a számossága megszámlálhatóan végtelen.

Bizonyítás. Hivatkozhatunk arra, hogy a Halmazelméletben szerepel: megszám-lálhatóan végtelen halmaz elemeiből képzett elempárok számossága is megszámlál-hatóan végtelen, és a racionális számok egészszámokból alkotott számpárok.

Meglepő is lehet, hogy a racionális számok bővítéseként nyert valós számok számos-sági értelemben „sokkal többen” vannak, mint a racionális számok:

1.89 Állítás. (A valós számok számossága nem megszámlálhatóan végtelen, kontinuum)A (0, 1) intervallumban lévő valós számok számossága nem megszámlálható. A valósszámokkal azonos számosságú halmazokat kontinuum számosságúnak mondjuk.

Két — lényegében azonos — bizonyítást írunk le. A bizonyításból látható lesz,hogy a (0, 1) intervallum helyett tetszőleges nemüres nyílt intervallum mondható.

Bizonyítás. A bizonyításokat a 1.12. ábrán illusztráljuk.Első bizonyítás. A következő észrevételt fogjuk felhasználni: Ha (a, b), (a < b) nyíltintervallum és x ∈ R, akkor van olyan [a1, b1], (a1 < b1) zárt intervallum, hogy

[a1, b1] ⊆ (a, b) és x /∈ [a1, b1].

Ez az észrevétel szemléletesen nyilvánvaló, de könnyű a pontos indoklása is: Haaz x pont nincs benne az (a, b) intervallumban, akkor a racionális számok sűrűségemiatt vehetünk a < a1 < b számot, és azután egy a1 < b1 < b számot. Ha pedigx ∈ (a, b), akkor a racionális számok sűrűsége miatt van olyan a1 racionális szám,hogy a1 ∈ (a, x), és ugyanígy van olyan b1 racionális szám, hogy b1 ∈ (a1, x).

Lássuk most az állítás igazolását. Ha megmutatjuk, hogy a (0, 1) intervallumtetszőleges B .= x1, x2, . . . , xn, . . . részhalmazához van olyan x elem az interval-lumban, ami nincs benne a B-ben, akkor készen leszünk. Ennek az igazolása azelőző észrevétel felhasználásával:



1.12. ábra. A valós számok számossága nem megszámlálható

1) Van olyan [a1, b1], (a1 < b1) zárt intervallum, hogy [a1, b1] ⊆ (0, 1) és x1 /∈[a1, b1].

2) Van olyan [a2, b2], (a2 < b2) zárt intervallum, hogy [a2, b2] ⊆ (a1, b1) ésx2 /∈ [a2, b2].Ha már van olyan [ai, bi], (ai < bi), intervallum az i = 1, 2, . . . , n indexekre, hogy

[ai, bi] ⊆ (ai−1, bi−1) és xi /∈ [ai, bi],

akkor készíthetünk egy ugyanilyen tulajdonságú [an+1, bn+1] intervallumot: A ki-induló észrevétel szerint van olyan [an+1, bn+1], (an+1 < bn+1) zárt intervallum,hogy

[an+1, bn+1] ⊆ (an, bn) és xn+1 /∈ [an+1, bn+1].

Eszerint teljes indukcióval készíthetünk olyan [ai, bi] intervallum sorozatot, hogy

[a1, b1] ⊆ (0, 1), [ai, bi] ⊆ (ai−1, bi−1) és xi /∈ [ai, bi], i = 1, 2, . . . , n . . . .

Emiatt viszont a Cantor-tulajdonság szerint van olyan x valós szám, hogy x ∈[ai, bi], minden i indexre. Az x különbözik a B mindegyik elemétől, hiszen a konst-rukció szerint egyetlen xj elem sincs benne az összes [ai, bi] intervallumban.

Második bizonyítás. Ha megmutatjuk, hogy a (0, 1) intervallum tetszőleges

B.= x1, x2, . . . , xn, . . .

részhalmazához van olyan x elem az intervallumban, ami nincs benne a B-ben,akkor készen leszünk.

Nézzük az [0, 1/3] és [2/3, 1] intervallumokat. A két nemüres diszjunkt interval-lum közül az egyikben — amit jelöljön [a1, b1] — nincs benne az x1. Az (a1, b1)intervallumból kiindulva folytatjuk az eljárást: Nézzük az [a1, a1 + (b1 − a1)/3] és[b1 − (b1 − a1)/3] intervallumokat. A két nemüres diszjunkt intervallum közül azegyikben — amit jelöljön [a2, b2] — nincs benne az x2. Általában: Tegyük fel, hogymár eljutottuk egy olyan [an, bn] intervallumhoz, amelyre 1) [an, bn] ⊆ [an−1, bn−1];2) xn /∈ [an, bn]. Nézzük most az [a,an + (bn − an)/3] és [bn − (bn − an)/3] in-tervallumokat. A két nemüres diszjunkt intervallum közül az egyikben — amitjelöljön [an+1, bn+1] — nincs benne az xn+1 és nyilvánvalóan [an+1, bn+1] ⊆ [an, bn].Az így nyert egymásba skatulyázott [an, bn] intervallum-sorozatnak a metszete aCantor-tulajdonság szerint nemüres, és annak tetszőleges x eleme nincs benne a Bhalmazban.

Érdemes még egy kicsit elidőzni a számfogalomnál, mert nem igen bír ugyanközvetlen alkalmazással a következő anyag, de matematikai és általános tudomá-nyos szempontból elvi jelentőségű. Azt tapasztaltuk továbbá, hogy sok hallgatóintellektuális érdeklődését felkeltik az itt vázolt kérdések, ezért rászánunk néhányoldalt.

Az eddigiekben láttuk, hogy a valós számok összessége két diszjunkt csoportraosztható: racionális és irracionális számokra. Ezt a felosztást még fínomíthatjuk akövetkező fogalom bevezetésével:



1.90 Definíció. (Algebrai számok)Egy α ∈ R számot algebrainak mondunk, ha van olyan egész együtthatós, nem azo-nosan nulla, algebrai (polinom) egyenlet, amelynek gyöke.

Egy r/s, (r, s ∈ Z, s 6= 0) racionális szám algebrai, mivel gyöke az sx − r =0 algebrai egyenletnek. Algebrai például az irracionális

√2 is, hiszen gyöke az

x2 − 2 = 0 egyenletnek. A következő állítás szerint az algebrai számok számossága— ugyanúgy, mint a racionálisoké — megszámlálhatóan végtelen:

1.91 Állítás. (Az algebrai számok számossága megszámlálható)Az algebrai számok számossága megszámlálhatóan végtelen.

Bizonyítás. Először belátjuk, hogy az egész együtthatós polinomok összességéneka számossága megszámlálhatóan végtelen. Rögzítsük az n természetes számot, éstekintsük az n-ed fokú egész együtthatós polinomok összességét. Egy n-edfokú po-linomot (n + 1) számú rendezett (mert a sorrend is számít) egész szám ad meg.Így ezek összességének a számossága nem nagyobb az egész számok megszámlál-ható összességéből vett rendezett (n + 1)-esek összességének a számossága, amely-ről láttuk, hogy megszámlálható (→ Halmazelmélet). Eszerint egy n fokszámhoz(természetes számhoz) megszámlálhatóan végtelen sok egész együtthatós polinomtartozik. Az egészegyütthatós polinomok összessége eszerint megszámlálhatóan sokmegszámlálható halmazként adódik, amely ismét megszámlálható (→ Halmazelmé-let).

A bizonyítás befejezése: A megszámlálhatóan sok egész együtthatós polinomokmindegyikének véges sok (nem több, mint a fokszáma) gyöke van, és megszám-lálhatóan sok véges halmaz egyesítésének a számossága ismét megszámlálható (→Halmazelmélet).

Más bizonyítás: Jelölje P (m) azon p(x) egészegyütthaós polinómok halmazát, ame-lyekre a fokszámnak és az együtthatók abszolút értékeinek az összege nem nagyobb,mint m, azaz amelyekre

n+n∑

i=0

|ai| ≤ m, ahol p(x) =n∑

i=0

aixi és an 6= 0.

A P (m) halmazban véges sok polinom van és mindegyiknek véges sok gyöke, ezértaz itt összes szóbajövő gyökök — azaz algebrai számok — száma véges. A egészegyütthatós polinómok P összességére: P = ∪∞m=1P (m), és így az összes szóbajö-hető gyök — azaz az algebrai számok összessége — véges sok elem megszámlálhatóuniójaként áll elő, tehát a számossága megszámlálhatóan végtelen (→ Halmazelmé-let).

1.92 Definíció. (Transzcendens számok)Az olyan valós számot, amely nem algebrai, transzcendens számnak mondjuk.

1.93 Állítás. (A transzcendens számok számossága kontinuum)A (0, 1) intervallumban lévő transzcendens számok számossága kontinuum.

Bizonyítás. A valós számok számossága megszámláhatóan végtelennél nagyobb —kontinuumnak neveztük el a számosságát — és ha elvesszük belőle a megszámlál-hatóan sok algebrai számot, akkor az eredetivel azonos számosságú halmaz, azazkontinuum számosságú halmaz, marad vissza (→ Halmazelmélet).

1.94 Állítás. (Dirichlet tétele)Legyen az α irracionális szám. Ekkor az

x : x = nα+m, n ∈ N,m ∈ Z



halmaz sűrű az R-ben.

Bizonyítás. Legyen X(α) .= x : x = nα + m, n ∈ N,m ∈ Z, v tetszőlegesrögzített valós szám és N tetszőlegesen nagy természetes szám. A bizonyítás akövetkező két állítás kombinációjából fog adódni:

1) Tetszőleges nemnulla β számhoz van olyan k ∈ N, m ∈ Z, hogy |v−(kβ+m)| ≤|β|.

Először szemléletesen mondjuk el a bizonyítást pozitív β szám mellett, és a1.13. ábra baloldali felén illusztráljuk az elmondottakat: Az m ∈ Z számot meg-választhatjuk úgy, hogy (v − m) pozitív legyen. Az R+ félegyenest a β számmalskálázva — azaz véve a kβ, (k ∈ N) osztópontokat — a (v −m) két skálapont közéesik: van olyan k ∈ N, hogy kβ < v − m < (k + 1)β. Ebből pedig kapjuk, hogy0 ≤ v − (kβ +m) < β. Hasonlóan lehet eljárni negatív β esetében is.

A bizonyítás pontos, végrehajtása: Ha k = [v/β] a v/β valós szám egészértéke,akkor definíciója szerint k ≤ v/β < k+1. Legyen először a β pozitív. Ekkor az előzőegyenlőtlenségből: kβ ≤ v < (k+1)β, amelyből 0 ≤ v−kβ < β, tehát |v−kβ| < β.Ha pedig β negatív, akkor a vele való szorzás megfordítja az egyenlőtlenséget: kβ ≥v > kβ+β, amelyből kapjuk, hogy 0 ≥ v−kβ > β, és így most is |v−kβ| < −β = |β|.

2) Tetszőleges N természetes számoz van olyan x ∈ X, hogy |x| < 1/N . Vegyüka [0, 1] intervallumban az(

i− 1N

,i

N

), i = 1, 2, . . . , N (1.11)

N számú diszjunkt intervallumból álló rendszert, amely — kivéve az i/N osztópon-tokat — lefedi a [0, 1] intervallumot. Vegyük továbbá az

xn.= nα− [nα], n = 1, 2, . . . , N + 1

(N + 1) számú törtrészt. Az α irracionalitása miatt az xn ∈ X számok mindkülönbözőek, nem esnek az i/N osztópontokba és 0 < xn < 1 (az irracionalitás azxn-ek nemnulla voltához kell). Ezek szerint az (N + 1) számú xn számok az (1.11)alatti intervallumokba esnek, és mivel az intervallumok száma N , ezért valamelyik((i− 1)/N), i/N) intervallumba két szám esik: xn és xk. Ha mondjuk n < k, akkoraz x = xk − xn szám eleme az X-nek, és |xk − xn| < 1/N , tehát az x ∈ X elegettesz az állításnak. A bizonyítást az 1.13. ábra jobboldali felén szemléltetjük.

Befejezésül a tétel igazolása: AdottN egész számhoz a 2) állítás szerint van olyanβ ∈ X — tehát nemnulla — szám, hogy |β| < 1/N . Erre a β számra alkalmazva az1) állítást az adódik, hogy van olyan k ∈ N és m ∈ Z, amelyekre

|v − (kβ +m)| ≤ |β| < 1/N.

Mivel itt (kβ+m) eleme az X halmaznak, azt kaptuk, hogy az X halmaz (kβ+m)eleme 1/N pontossággal közelíti a v valós számot.

1.95 Következmény.Legyen az α irracionális szám. Ekkor az

x : x = nα+m, n,m ∈ Z

halmaz csoport az összeadás műveletével és sűrű az R-ben.

Bizonyítás. A szóbanforgó halmaz csoport voltához először is: a halmaz elemeinekaz nα+m, (n,m ∈ Z) alakú felírása az α irracionalitása miatt egyértelmű, és ilyenalakú elemek összege is ilyen alakú. A csoport nullaeleme a 0 = 0α+ 0, az nα+melem inverze pedig −nα−m. A sűrűség nyilvánvaló abból hogy

x : x = nα+m, n ∈ N,m ∈ Z ⊆ x : x = nα+m, n,m ∈ Z.



1.13. ábra. A Dirichlet-tétel igazolásához

A 1.91. és 1.93. állítások szerint nemcsak hogy létezik transzcendens szám,hanem a valós számok javarésze transzcendens. Nevezetes számaink közül a π, ésaz e szám transzcendens voltát a tizenkilencedik század utolsó negyedében belátták.A bizonyításokat azóta többen egyszerűsítették, de még így sem olyan egyszerűek,hogy egy általános célzatú bevezető analízis részei lehessenek. A számfogalomraszentelt függelékben mind a két szám transzcendenciáját belátjuk.

Ahhoz, hogy itt is adhassunk egy konkrét példát transzcendens számra szüksé-günk lesz arra, hogy belássunk egy olyan tételt, amely algebrai számnak racionálisszámmal való approximációjára vonatkozik. Ejtsünk először néhány szót egy irraci-onális számnak racionális számmal való approximációjáról. A racionális számoknaka valós számok között lévő sűrűsége miatt minden irracionális számhoz tetszőlegesközel vehető racionális szám. A feladatok között találhatjuk azt az állítást, hogyminél közelebb megyünk racionális számmal egy adott irracionális számhoz, annálnagyobb a közelítő racionális szám nevezője. Emiatt nem meglepő, hogy egy ir-racinális szám esetében érdekes kérdés: hogyan nőnek a közelítő racionális törteknevezői a közelítés pontosságának a növekedésével. A következő állítás azt mondja,hogy az algebrai számok nem közelíthetők jól — a közelítő törtek nevezőjével mérve— racionális számokkal:

1.96 Állítás. (Liouville tétele)Ha az α szám egy k-adfokú (1 ≤ k) egész-együtthatós f algebrai egyenletnek a gyöke,akkor van olyan C(f) pozitív szám, hogy minden p ∈ Z, q ∈ N számra∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ > C(f)qn

,

kivéve az α = p/q esetet.

Bizonyítás. Legyen f(x) = akxk + ak−1x

k−1 + · · ·+1 x+ a0, (an 6= 0). Mivel az αgyöke az f polinomnak, ezért van olyan g egészegyütthatós, (n−1)-edfokú polinom,hogy f(x) = (x− α)g(x). Az f polinomnak legfeljebb k számú gyöke van, ezért azα szám körül van olyan δ > 0 sugarú kör, amely nem tartalmaz az α-tól különbözőgyökét az f -nek és így a g-nek (δ például az α-hoz legközelebbi gyök α-tól valótávolságának a fele lehet). A g polinom korlátos az (α − δ, α + δ) intervallumban,mert ha az N olyan nagy, hogy (α− δ, α+ δ) ⊆ (−N,N) akkor

|g(x)| ≤k−1∑i=0

|bi| ·N i .= K, ha g(x) =k−1∑i=0

bixi.

Adott p/q 6= α tört esetében két eset lehetséges: 1) 0 < |α − p/q| < δ, 2)|α − p/q| = δ. A 2) esetben — mivel q ≥ 1 — nyilvánvalóan |α − p/q| = δ/qk,tehát csak az 1) eset szorul igazolásra. A δ megválasztása szerint f(p/q) 6= 0 ésg(p/q) 6= 0, ezért az f(p/q) = (α− p/q)g(p/q) egyenletből kapjuk, hogy∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ = |f(p/q||g(p/q)|

=|akp

k + ak−1pk−1q + · · ·+ a1pq

k−1 + a0qk|

qk|g(p/q)|.



A jobboldali tört nevezőjében |g(p/q)| 5 K, a számláló pedig pozitív egész, tehátlegalább 1, ezért a következőt írhatjuk:∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ ≥ 1K

1qk.

Az eddigiek szerint az 1/M és δ számok közül a kisebbet véve C(f)-nek, megkapjuka tétel egyenlőtlenségét.

1.97 Állítás. (Példa transzcendens számra)Legyen

x1 = 1/2 és xn = xn−1 +1

2n!, ha n = 2, 3, . . .

Ekkor azx.= supx0, x1, . . . , xn, . . ..

módon megadott szám transzcendens.

Bizonyítás. A megadott definíció alapján az xn szám a következőképpen is felír-ható:

xn =1

21!+

122!

+ · · ·+ 12n!

,

amelyből látható, hogy xn alakja összevonás után:

egészszám2n!

. (1.12)

Egyszerű becslésekkel a következőt kapjuk: xn+m − xn =

=1

2(n+1)!+ · · ·+ 1

2(n+m)!=

12(n+1)!

(1 +

12n+2

+1

2(n+2)(n+3)+ · · ·+ 1

2(n+2)···(n+m)

)<

12(n+1)!

(1 +

12

+ · · ·+ 12m−1

+ · · ·)< 2 · 1

2(n+1)!,

tehát fennáll a következő egyenlőtlenség:

xn+m − xn < 2 · 2−(n+1)!, n,m = 1, 2, . . . (1.13)

Ebből először is beláthatjuk, hogy az állításban szereplő szuprémum valóban létezik,hiszen az n = 1 válsztással adódik a felülről való korlátosság:

xm+1 − x1 < 2 · 2−2!, azaz xm+1 < 1/2 + 2 · 2−2!.

Az (1.13) minden m-re fennáll, ezért fennáll az xn+m m-ben vett szuprémumára is,tehát

supm

(xm+n − xn) = supmxm − xn = x− xn ≤ 2 · 2−(n+1)!.

Az xn (1.5) alakját helyettesítsük az xn helyébe, és vegyük figyelembe, hogy az xszuprémum volta miatt 0 < x− xn:

0 < x− egészszám2n!

≤ 2 · 2−(n+1)! =2

2n!· 1(2n!)n

.

pn-nel a közelítő tört számlálóját, qn-nel a 2n! nevezőt jelölve azt kaptuk, hogyminden n természetes számra ∣∣∣∣x− pn

qn

∣∣∣∣ 5 22n!

qnn

.


1.6. KOMPLEX SZÁMOK 47

Ha most már az x algebrai szám lenne, akkor Liouville tétele szerint lenne olyanpozitív C(x), hogy minden pn és qn egészre, ha x 6= pn/qn:

∣∣∣x− pn

qn

∣∣∣ > C(x)qn

n, és ezt

az előző egyenlőtlenséggel összevetve:

C(x)qnn

52

2n!

qnn

, amelyből C(x) 52

2n!,

minden n egészre (legfeljebb véges sokat kivéve az x 6= pn/qn miatt). Eszerintviszont a C(x) szám nem lehetne pozitív, ellentétben az idézett tétellel, tehát az xnem lehet algebrai szám, azaz transzcendens.

1.6. Komplex számokMár a másodfokú egyenleteknél beleütközünk abba problémába, hogy egy olyanegyszerű egyenletnek, mint az x2 + 1 = 0, nincs valós gyöke, hiszen a baloldalamindig legalább egy; vagy másképpen indokolva: nincs olyan valós szám aminek anégyzete a negatív, −1 lenne.

Az algebrai egyenletek megoldhatóságának a lehetősége volt a közvetlen ösz-tönzője annak, hogy egy — a valós számok testénél bővebb — testet, a komplexszámokat bevezessék. Az új, bővebb számfogalom egyrészt harmonikus megoldástad a felvetődött problémára, másrészt erre a számfogalomra alapozva nagy elméle-tek épültek fel (komplex függvénytan).

Az első alpontban az alapvető fogalmakat és elemi állításokat vesszük sorra. Amásodik alpontban a komplex számok trigonometrikus alakját tárgyaljuk, amelyika szorzás és főleg a gyökvonás miatt szükséges. A harmadik alpontban az algebraiegyenletek gyökeivel foglalkozunk.

1.6.1. A komplex számtest, normál alakA komplex számok bevezetésénél többféle módon el lehet indulni. Mi olyan módotválasztunk, ami jól illik a fejezet első két pontjában tárgyalt strukturális szemlélet-hez.

A valós számok bevezetésénél az indított el bennünket, hogy mérni akartuk azegyenes szakaszokat, számokat akartunk rendelni a számegyenes minden pontjához.Ehhez hasonlóan most azt szeretnénk elérni, hogy az R2 sík pontjaival tudjunk úgyszámolni, ahogyan egy testben lehet, azaz testet akarunk definiálni a valós számokrendezett párjainak az R2 összességén. Azt már láttuk a második pontban, hogy azR2 vektortér, amelynek az összeadás művelete teljesen megfelel testbeli összeadáskövetelményeinek, és csak egy „ jó” szorzást kell még találnunk hozzá, amivel együtttest is lesz.

Az összeadásra gondolva azt hihetnénk, hogy az

(a, b) ∗ (c, d) 7−→ (ac, bd)

módon definiált művelet esetleg célhoz vezet. Könnyen belátható, hogy ez a szorzáskommutatív, asszociatív, reprodukáló elem az (1, 1) és a vektortérnél definiált össze-adással még a disztributivitást is teljesíti. Van azonban egy igen nagy hiányossága:nem nulla elemnek nincs mindig inverze. Például az (1, 0) nem nulla elemhez nincsolyan (x, y) elem, amellyel szorozva a szorzás (1, 1) egységelemét kapnánk. Az

(1, 0) ∗ (x, y) = (1, 1)

egyenlőség ugyanis azt jelentené, hogy

(1 · x, 0 · y) = (x, 0) = (1, 1),



ami nyilvánvalóan lehetetlen. Az alkalmas szorzás definíciója eléggé meglepő, dekésőbb megértjük az eredetét.

1.98 Állítás. (Komplex számok)Az R2 sík elemei testet adnak a következőképpen definiált összeadás és szorzás mű-veletekkel.

(a, b) + (c, d) .= (a+ c, b+ d), (1.14)(a, b) · (c, d) .= (ac− bd, ad+ bc). (1.15)

A test összeadásra nézve reprodukáló eleme (nulla eleme) a (0, 0), a szorzás repro-dukáló eleme (egység eleme) pedig az (1, 0). Egy (a, b) elem összeadási (additív)inverze (negatívja) a (−a,−b), és az (a, b) 6= (0, 0) esetben a szorzási (multiplikatív)inverze (reciproka):

(a, b)−1 =(

a

a2 + b2,

−ba2 + b2

). (1.16)

Ezt a testet komplex számoknak fogjuk nevezni, és C-vel jelöljük.

Hangsúlyoznunk kell, hogy az állításban lévő műveleti jelek mást jelölnek a szám-párok közé téve, és mást a koordináták között. A számpárok között a komplexszámok most definiált műveleteit jelölik, a koordináták között pedig a valós számokműveleteit. Ezt a kétértelműséget új jelek használatával elkerülhetnénk, de nemtesszük, mert nem okoz zavart.

Bizonyítás. Azt már láttuk, hogy az (1.14) összeadás kommutatív csoportot ad(1.64. állítás), aminek a nulla eleme a (0, 0) és az (a, b) inverze a (−a,−b).

A (1.15) szorzás tulajdonságainak a belátása egyszerű, de részletezzük:1) Kommutativitás:

(a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc) és (c, d)(a, b) = (ca− db, cb+ ad).

A baloldalokon lévő párok a valós számok összeadásának és szorzásának a kommu-tativitása miatt azonosak.2) Asszociativitás: megmutatjuk, hogy

((a, b)(c, d))(e, f) = (a, b)((c, d)(e, f)).

A definíció egyszerű használatával számolhatunk:

((a, b)(c, d))(e, f) = (ac− bd, ad+ bc)(e, f) =((ac− bd)e− (ad+ bc)f, (ac− bd)f + (ad+ bc)e) =

(ace− bde− adf − bcf, acf − bdf + ade+ bce),

(a, b)((c, d)(e, f)) = (a, b)(ce− df, cf + de) =(a(ce− df)− b(cf + de), a(cf + de) + b(ce− df)) =

= (ace− adf − bcf − bde, acf + ade+ bce− bdf).

3) Reprodukáló elem az (1, 0):

(a, b)(1, 0) = (a · 1− b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b).

4) Egy (a, b), nem nulla páros inverze: Kétféle módon is eljárhatunk, vagy ellenőriz-zük, hogy az (1.16) párral szorozva az (a, b) párt az (1, 0), egységelemet kapjuk, vagy



kiszámoljuk az inverzet. Az utóbbi utat választjuk. Olyan (x, y) elemet keresünk,amelyre

(a, b)(x, y) = (1, 0), azaz (ax− by, ay + bx) = (1, 0),

amelyből adódik, hogy ax−by = 1 és ay+bx = 0. Ezt az lineáris egyenletrendszertkell csak megoldanunk. Egyszerű számolással adódik, hogy(

a2 + b2)x = a és

(a2 + b2

)y = −b.

5) Disztributivitás:

(a, b)((x, y) + (u, v)) = (a, b)(x, y) + (a, b)(u, v) =(ax− yb, ay + bx) + (au− bv, av + bu) = (ax− yb+ au− bv, ay + bx+ av + bu)

= (a(x+ u)− b(y + v), a(y + v) + b(x+ u)) = (a, b)(x+ u, y + v),

és ezzel minden szükséges tulajdonságot beláttunk.

1.99 Példa.Számoljuk ki az (a, b) és (c, d) 6= (0, 0), komplex számok hányadosát.

A reciprokra vonatkozó (1.16) formula szerint

(a, b)(c, d)

= (a, b)(c, d)−1 = (a, b)(

c

c2 + d2,

−dc2 + d2

)=

=(ac+ bd

c2 + d2,bc− ad

c2 + d2

).

A számfogalom kialakítása során az a vezérlő elv, hogy az általánosabb szám-kör valamilyen értelemben tartalmazza a kevésbé általános számokat. A komplexszámokat a valós számok kiterjesztéseként szeretnénk felfogni, ezért meg kell vizs-gálnunk, hogy milyen értelemben „része” a valós számok a komplex számoknak. AzR2 síknak, amit alkalmas műveletekkel a komplex testté tettünk, úgy része a valósegyenes, hogy az (x, 0), x ∈ R számpárokat tekinthetjük a valós egyenesnek. Ezthelyesebb úgy fogalmazni, hogy a valós egyenes képét „behelyezzük” a síkba, vagy— a matematikában gyakrabban használt szóval — „beágyazzuk” a síkba illetve akomplex számok testébe. Nézzük meg, hogy mit adnak a komplex számok közöttiműveletek az (x, 0) alakú számpárok esetében:

(x, 0) + (u, 0) = (x+ u, 0)

és(x, 0)(y, 0) = (xy − 0 · 0, x · 0 + 0 · y) = (xy, 0).

Ezek alapján megállapíthatjuk: az (x, 0), x ∈ R egyenesen „úgy mennek végbe aműveletek”, hogy az első koordinátával pontosan a valós számok közötti műveletekszerint járunk el, a másik koordináta pedig nulla. Szemléletesen szólva, ha letöröl-nénk a zárójeleket, a nullát és az elválasztó vesszőt, akkor mintha a valós számokkalfoglalkoznánk. Ezt a nagyon fontos gondolatot a következőképpen fogalmazzuk megpontosabban.

1.100 Állítás. (A valós számok beágyazása a komplex számok testébe)Az x 7→ (x, 0), x ∈ R módon definiált φ : R → C leképezés injektív és művelet-tartó, abban az értelemben, hogy

φ(u+ v) = φ(u) + φ(v),φ(uv) = φ(u) · φ(v).



A φ leképezés az R valós számokat a számpárok (x, 0) : x ∈ R halmazáraképezi, és az R és a kép között a leképezés bijektív, és művelettartó. Ez azt jelenti,hogy az R és (x, 0) : x ∈ R halmazok a szóban forgó műveleteket tekintve, mintkét algebrai struktúra, azonosak abban az értelemben, hogy ahogyan az egyikbenmennek végbe a műveletek, ugyanúgy mennek végbe a másikban. Az ilyen φ le-képezést izomorfiának nevezik. Ezzel az elnevezéssel azt mondhatjuk, hogy az Rizomorf képe része a C-nek. Lazább szóhasználattal azt is szokás mondani, hogyaz R izomorfia értelemben része (részhalmaza) a C-nek. Ha az elmondottaknak atudatában vagyunk, akkor mondhatjuk azt, hogy egy r valós szám komplex számis, és nem kell mindig az (r, 0) számpárra gondolnunk.

Minden (a, b) komplex szám felírható, a skalárral való szorzást is használva, akövetkezőképpen

(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1). (1.17)

Az (1, 0) elem a szorzás egységeleme, a (0, 1) elemmel pedig — amelyet az i betűszokott jelölni — egy gyökeresen új tulajdonság jelenik meg a komplex testben:

i2 = (0, 1)2 = (0, 1)(0, 1) = (0 · 0− 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = −(1, 0),

amit — ha figyelembe vesszük a valós számom beágyazásáról mondottakat — (egykicsit lazábban) így is írhatunk (0, 1)2 = −1. A i = (0, 1) elem tehát egy megoldásaa z2 + (1, 0) = (0, 0) (vagy lazábban: z2 + 1 = 0) egyenletnek. Ehhez kapcsolódva— visszapillantva a (1.17) alakra — másik felépítését kapjuk a komplex számoknak,ha vesszük az

a+ ib

alakú szimbólumokat, és a műveleteket úgy definiáljuk, hogy az i szimbólumra fel-tesszük, hogy i2 = −1, és szem előtt tartjuk a formális műveleti szabályok fennma-radásának a szükségességét:

(a+ ib) + (c+ id) .= a+ c+ i(b+ d),(a+ ib)(c+ id) .= ac+ aid+ ibc+ i2bd = ac− bd+ i(ad+ bc).

Azonnal látható, hogy az (a, b) és (c, d) számpárok és a+ ib és c+ id szimbólumokközött mennyire azonosan történnek a műveletek. Az elmondottakat egy tételbenfoglaljuk össze.

1.101 Állítás. (Komplex számok normálalakja)Az a + ib, a, b ∈ R alakú szimbólumok összessége a (1.18) és (1.18) műveletekkeltestet ad, amelyik izomorf a komplex számok C testével az

(a, b) 7→ a+ ib.

izomorf leképezés mellett. Az a + ib szimbólumot az (a, b) komplex szám normála-lakjának nevezzük.

A normálalakokkal előnyösebb számolni, mint a számpárokkal, mert — a formá-lis számolási szabályok betartása mellett — csak arra kell ügyelni, hogy i2 = −1.Aggályosan pontos gondolkodás mellett, a normálalakok teste csak izomorfia érte-lemben azonos a bevezetett komplex számokkal, de ettől a fölösleges fontoskodástóleltekintünk. A következő példák szerint a normálalakkal való számolás több esetbenis előnyös.

1.102 Példa.Számoljuk ki az a+ ib és c+ id (c+ id 6= 0 + i0) komplex számok hányadosát.



A 1.101. állítás szerint a normálalakok összessége test, ezért úgy számolhatunk,ahogyan testben szabad: Az a+ib

c+id tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk meg ac− id komplex számmal:

a+ ib

c+ id=

(a+ ib)(c− id)(c+ id)(c− id)

=ac+ bd+ i(bc− ad)

c2 − (id)2=

=ac+ bd+ i(bc− ad)

c2 + d2.

A számolásnál felhasználtuk a testekben fennálló (x− y)(x+ y) = x2 − y2 azonos-ságot.

1.103 Példa.Oldjuk meg az x2 − i = 0 egyenletet, azaz számoljuk ki a

√i négyzetgyököt.

Olyan x+ iy számot keresünk, amelyre (x+ iy)2 = i, azaz

x2 − y2 + 2xyi = i.

Ebből x2 − y2 = 0 és 2xy = 1. Az elsőből x2 = y2 és ezt második négyzetébetéve 4x2x2 = 4x4 = 1 adódik, amiből x2 = 1/2, ezért az

x = ± 1√2

és y = ± 1√2

értékek jöhetnek szóba. Az x és y a 2xy = 1 miatt egyező előjelű, és így a következőkét komplex szám lehet megoldás:

1√2

+ i1√2

és − 1√2− i

1√2.

Négyzetre emeléssel ellenőrizhetjük, hogy ezek valóban megoldások.

Jogosan úgy tűnhet most, hogy a normálalakokkal könnyebb bevezetni a komplexszámokat. Azért választottunk mégis eltérő módot, mert azt tisztább elindulásnakéreztük. Egy kicsit zavaró lehet ugyanis a normál-alakos bevezetésnél egy olyanobjektumnak a kezdeti használata, aminek a négyzete −1. Az i számnak ez akülönös viselkedése volt az oka annak, hogy a történelem során „lehetetlen” számnakis nevezték, és ma is imaginárius (képzetes, képzelt) egység a neve. Azt hitték, hogya többi szám valahogyan valóságosabban létezik, a helyes szemlélet szerint azonbanminden struktúra egyformán „valóságos”.

Eddig még nem is hasznosítottuk geometriailag azt, hogy az R2 sík elemei kö-zött vezettünk be műveleteket, és így jó szemléltetésre van lehetőségünk. Ha azR2 síkról ilyen értelemben beszélünk, akkor komplex (szám)síknak fogjuk mondani.Ez ugyanolyan szerepet tölt be a komplex számoknál, mint a valós egyenes a va-lós számoknál. Az (x, 0) számpárok összességét valós tengelynek, az (0, y) alakúszámpárok összességét pedig képzetes tengelynek is szokás nevezni.

Az összeadást az R2 vektor-térnél szemléltettük. A következő definícióban be-vezetett elnevezéseket pedig a 1.14. ábrán szemléltetjük.

1.104 Definíció. (Valós rész, képzetes rész és konjugált)Legyen a z = x+ iy egy tetszőleges komplex szám. A z szám valós részének mondjukaz x, imaginárius részének pedig az y valós számot, jelölésben:

Re(z) = Re(x+ iy) = x és Im(z) = Im(x+ iy) = y.

A z konjugáltjának nevezzük — jelölésben: z — az z = (x− iy) komplex számot.



A konjugálás—geometriailag nézve—a valós tengelyre való tükrözést jelenti, ésegyszerű, megjegyzendő tulajdonságai:

1.105 Állítás. (Konjugálás tulajdonságai)A konjugálásnak a következő tulajdonságai vannak.

(1) z1 + z2 = z1 + z2.

(2) z1z2 = z1 · z2.

(3) Ha z2 6= 0, akkor(

z1z2

)= z1

z2.

(4) z = z.

(5) z + z = 2 · Re(z).

(6) z = z ⇐⇒ z ∈ R.

(7) z − z = 2i · Im(z).

1.14. ábra. Valós és képzetes részek, konjugált.

Az állításokat, amelyek fontos számítási szabályok, célszerű szavakban is meg-jegyezni. Például az elsőre: Összeg konjugáltja a konjugáltak összege.

Bizonyítás. Legyen a bizonyítások során z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 és z = x+ iy.(1): z1 + z2 = x1 + x2 − i(y1 + y2) = (x1 − iy1) + (x2 − iy2) = z1 + z2.(2): z1z2 = x1x2 − y1y2 + i(x1y2 + x2y1) =

= x1x2 − y1y2 − i(x1y2 + x2y1) = (x1 − iy1)(x2 − iy2) = z1 · z2.(3): Először azt lássuk be, hogy reciprok konjugáltja a konjugált reciproka. Ez akövetkező számolásokból adódik:

1z

=1

x+ iy=

x− iy

(x+ iy)(x− iy)=

x− iy

x2 + y2,

1z

=1

x− iy=

x+ iy

(x− iy)(x+ iy)=

x+ iy

x2 + y2,

és ezekből már látszik, hogy 1z = 1

z . A hányados konjugálása a szorzat és reciprokkonjugálási szabálya alapján:(

z1z2

)= z1

1z2

= z11z2

= z11z2

=z1z2.



(4): z = x+ iy = x− iy = x+ iy = z.(5): z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2x = 2 · Re(z).(6): A z = z azaz az x− iy = x+ iy pontosan akkor áll fenn, ha 2iy = 0, tehát haa z valós.(7): z − z = (x+ iy)− (x− iy) = 2iy = 2i · Im(z).

A következő bevezetendő fogalom is egyszerű a komplex síkot nézve: a z =x+ iy = (x, y) pontnak az origótól való távolságát vesszük:

1.106 Definíció. (Komplex számok abszolútértéke)Egy z = x+ iy komplex szám abszolút értékének vagy hosszának mondjuk az

|z| .=√zz =

√(x+ iy)(x− iy) =

√x2 + y2.

számot.

Gyakori számolási trükk, hogy az wz törtet így alakítjuk normál alakra:

w

z=wz

zz=

wz

|z|2.

Ha egy z = (x, 0) valós komplex számot veszünk, akkor |z| =√x2 = |x|, ezért a

komplex szám abszolútértéke a valós abszolútérték kiterjesztésének tekinthető. Azabszolútérték fontos tulajdonságait a következő állításban soroljuk fel.

1.107 Állítás. (Abszolútérték tulajdonságai)Legyenek a z = x+ iy, z1 = x1 + iy1 és z2 = x2 + iy2 tetszőleges komplex számok.Ekkor igazak a következők.

(1) |z1z2| = |z1||z2|.

(2) |z| = 0 ⇐⇒ z = 0.

(3) Re(z1z2) 5 |z1| · |z2|.

(4) |z1 + z2| 5 |z1|+ |z2|.

A bizonyítás előtt két megjegyzés az állításokhoz: Figyelembe véve azt, hogy

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2),

az elsőből kapható, |z1z2|2 = |z1|2|z2|2 egyenlőség részletesen kiírva az

(x1x2 − y1y2)2 + (x1y2 + y1x2)2 = (x21 + y2

1)(x22 + y2

2),

nevezetes azonosságot jelenti. A (3) egyenlőtlenség pedig részletesen kiírva az

x1x2 + y1y2 5√x2

1 + y21

√x2

2 + y22 ,

Cauchy-egyenlőtlenséget adja 2-re, amellyel már találkoztunk. Az állítás (4) egyen-lőtlenségét háromszög egyenlőtlenségnek is szokás nevezni, mivel a 1.15. ábra szerintazt fejezi ki, hogy egy háromszög egyik oldalának a hossza nem lehet nagyobb, minta másik két oldal hosszának az összege.

Bizonyítás. (1): A szorzat konjugálási szabályának a felhasználásával:

|z1z2|2 = (z1z2)z1z2 = z1z2z1z2 = (z1z1)(z2z2) = |z1|2 · |z2|2.



1.15. ábra. Háromszög egyenlőtlenség.

(2): Az |z|2 = x2 + y2 = 0 egyenlőség azzal ekvivalens, hogy x = 0 és y = 0, azazz = 0.(3): Figyelembe véve azt, hogy

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 − iy2) = (x1x2 + y1y2) + i(−x1y2 + y1x2),

a |z1z2|2 = |z1|2|z2|2 egyenlőség részletesen kiírva:

(x1x2 + y1y2)2 + (−x1y2 + y1x2)2 = (x21 + y2

1)(x22 + y2

2).

A baloldal második, nemnegatív tagját elhagyva kapjuk:

(x1x2 + y1y2)2 5 (x21 + y2

1)(x22 + y2

2).

(4): A konjugálás szabályait alkalmazva:

|z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = z1z1 + z1z2 + z1z2 + z2z2

= |z1|2 + 2Re(z1z2) + |z2|2.

A jobboldali középső tagra a (3) egyenlőtlenséget alkalmazva:

|z1 + z2|2 5 |z1|2 + 2|z1||z2|+ |z2|2 = (|z1|+ |z2|)2,

amelyből azonnal adódik a háromszög-egyenlőtlenség.

A komplex számsíkon való számolással sok síkgeometriai állítást be lehet bizo-nyítani. A feladatok között néhány ilyen példa is található.

Végezetül egy történelmi megjegyzés. Alig lehet elhinni, hogy az első elekt-ronikus számítógép, amelyik elektromos jelfogókból épült fel, komplex számokkalszámolt (1938–40, Bell Telephone Laboratories), és elektromos hálózatok vizsgála-tára készült. Ennek az az oka, hogy az elektromosságtan elmélete és gyakorlataintenzíven támaszkodik a komplex számokra. Ez a számítógép azonban még nemvolt a mai értelemben programozható.

1.6.2. Trigonometrikus alak, egységgyökökA komplex számok számpárokkal való bevezetése és normál alakja szorosan kap-csolódik az R2 sík pontjainak a Descartes-féle (derékszögű) koordinátákkal való



megadásához. A sík pontjai azonban megadhatók polárkoordinátákkal is. Egy(a, b) 6= (0, 0) pontot egyértelműen megad az origótól vett

r.=√a2 + b2 (1.18)

távolsága és az (a, b) ponthoz mutató szakasznak az x tengely pozitív irányú részévelbezárt α szöge, amit a

cosα =a√

a2 + b2és sinα =

b√a2 + b2

(1.19)

egyenlőségekből határozhatunk meg. A nulla vektort már a távolság megadja, ésszögről itt nem beszélhetünk, ezért ezt a pontot a továbbiakban kizárjuk a vizsgála-tokból. Megfordítva az (r, α), r > 0 polárkoordináták alapján az (a, b) derékszögűkoordinátákra való áttérés egyenletei:

a = r cosα és b = r sinα. (1.20)

Az elmondottakat 1.16. ábrán szemléltetjük, és egy definícióban is rögzítjük:

1.108 Definíció. (Komplex számok trigonometrikus alakja)Egy a+ ib nem nulla komplex szám trigonometrikus alakjának mondjuk az

r(cosα+ i sinα)

alakot, ahol az (r, α) számok és az (a, b) számok közötti kapcsolatot az (1.18)–(1.20)formulák mutatják.

Ne feledjük, hogy — a szög mérésének a szabálya szerint — két szög pontosanakkor azonos, ha a mérőszámaik különbsége a 2π egész számú többszöröse, ezért az(r1, α1) és (r2, α2) polár koordinátákkal megadott komplex számok pontosan akkorazonosak, ha

r1 = r2 és α1 − α2 = (egész) · 2π.

Az α szöget általában célszerű úgy venni, hogy a 2π alkalmas egész számszorosátlevonva a [0, 2π) intervallumba eső számot kapjunk.

A trigonometrikus alaknál természetesen nem a szögmérés egysége, hanem magaa „szög” a lényeges, ezért a szöget fokban is mérhetjük, és célszerűség szerint felváltvahasználhatjuk a két mértékegységet.

1.16. ábra. Komplex számok trigonometrikus alakja.



A figyelmes olvasó észrevehette, hogy az előzőekben felhasználtuk a koszinusz-függvény fogalmát és tulajdonságait, amit majd csak a később ismerünk meg pon-tosan, de támszkodhatunk a középiskolában kialakított elemi tudásra.

Most pedig megvizsgáljuk, hogy a trigonometrikus alak esetében hogyan végez-hetők el a komplex számok közötti műveletek. Az összeadás esetében nem tudunkérdekeset mondani, de annál inkább a szorzás esetében:

1.109 Állítás. (Komplex számok multiplikatív műveletei trigonometrikus alakban)Legyenek a z = r(cosα+ i sinα) és

z1 = r1(cosα1 + i sinα1), z2 = r2(cosα2 + i sinα2),

trigonometrikus alakban adott komplex számok. Ekkor

(1) z1z2 = r1r2(cos(α1 + α2) + i(sin(α1 + α2)),

(2) zn = rn(cosnα+ i sinnα), az n egész,

(3)z1z2

=r1r2

(cos(α1 − α2) + i sin(α1 − α2)) (z2 6= 0).

Bizonyítás. (1): A normál-alaknak megfelelően számolva

z1z2 = r1(cosα1 + i sinα1)r2(cosα2 + i sinα2)= r1r2(cosα1 + i sinα1)(cosα2 + i sinα2) == r1r2 ((cosα1 cosα2 − sinα1 sinα2) + i(cosα1 sinα2 + sinα1 cosα2)) .

Ebből pedig a koszinusz és szinusz függvények addíciós képlete alapján:

z1z2 = r1r2(cos(α1 + α2) + i sin(α1 + α2)).

(2): Ha az α1 = α2, akkor az (1) azonosságból z2 = r1r2(cos 2α + i sin 2α). Teljesindukcióval tetszőleges n pozitív számra: Ha az (n− 1)-re már igaz, akkor

zn−1z = rn−1(cos(n− 1)α+ i sin(n− 1)α)r(cosα+ i sinα)

és ez az (1) alkalmazásával: = rn(cosnα+ i sinnα), amivel az állítást pozitív egészn-re be is láttuk. Ha az n negatív egész, akkor a z−n = 1/z−n alapján — feltéve,hogy a z nem nulla —

zn =1z−n

=1

r−n(cos(−nα) + i sin(−nα)=

= rn cos(−nα)− i sin(−nα)cos2(−nα) + sin2(−nα)

= rn(cosnα+ i cosnα),

amivel a negatív n esetét is beláttuk. A z0 = 1 megállapodás a z0 = r0(cos 0 +i sin 0) = 1 egyenlőség szerint teljesül.(3): A megelőző (1) szerint

r1r2

(cos(α1 − α2) + i sin(α1 − α2)) · r2(cosα2 + i sinα2) = r1(cosα1 + i sinα1),

amelyből adódik az állítás.

1.110 Példa.Számoljuk ki az (1 + i) századik hatványát.



Mivel az (1 + i) szám abszolút értéke√

2, a szöge pedig a cosα = 1/√

2 és sinα =1/√

2 egyenlőségek szerint π/4, ezért 1 + i =√

2 (cos(π/4) + i sin(π/4)) . Így pedig

(1 + i)100 = 250(cos(100(π/4)) + i sin(100(π/4))

)=

= 250(cos 25π + i sin 25π) = −250.

Emlékeztetünk arra, hogy egy z szám n-edik gyökének (n természetes szám)mondunk a w számot, ha wn = z. A trigonometrikus alak igen jól alkalmazható azn-edik gyök kiszámolásánál, amit állításban is megfogalmazunk:

1.111 Állítás. (Gyökvonás trigonometrikus alakban)Legyen a z = r(cosα + i sinα) egy nemnulla komplex szám, és az n pozitív egész.Ekkor a z komplex számnak n számú, különböző n-edik gyöke van:

z1n = n

√z = n

√r

(cos(α

n+

2kπn

)+ i sin

(α

n+

2kπn

)), (1.21)

ahol k a 0, 1, 2, . . . , (n− 1) értékeket veszi fel.

A gyökvonás a komplex számok körében nem egyértelmű, ezért a gyökvonásokközötti műveletekkel nagyon óvatosnak kell lenni, mert a valós számok körébenmegszokott szabályok közül nem mindegyik teljesül. Például nem igaz az a szabály,hogy gyököket úgy lehet szorozni, hogy a gyök alatti számokat összeszorozzuk.

Bizonyítás. A w = h(cosφ + i sinφ) komplex szám pontosan akkor n-edik gyökea z = r(cosα+ i sinα) komplex számnak, ha wn = z, azaz ha

hn (cosnφ+ i sinnφ) = r (cosα+ i sinα) .

Ez az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha egyrészt

hn = r, azaz h = n√r,

másrészt nφ− α = 2kπ, ahol a k egész szám, és így

φ =α

n+

2kπn, k = 0, 1, 2, . . . .

Ezek szerint az állításban szereplő (1.21) komplex számok n-edik hatványai valóbana z számot adják. Ha megmutatjuk, hogy mind különbözőek, akkor készen is le-szünk, mert n-nél több gyöke nem lehet a zn = w egyenletnek (1.79. állítás). Ehhezelégséges belátnunk azt, hogy az

α

n+

2kπn, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1

szögmértékek különböző szögeket határoznak meg. Ez pedig azonnal következikabból, hogy az(

α

n+

2kπn

)−(α

n+

2jπn

)=

2kπn

− 2jπn

=2(k − j)π

n

különbség kisebb mint 2π, hiszen |k − j| 5 |n− 1|.

A zn = 1 egyenletnek a 1.111. állítás szerint n számú különböző gyöke van.Ezeket a következő definícióban el is nevezzük.



1.112 Definíció. (Egységgyökök)Az az n számú

cos(

2kπn

)+ i sin

(2kπn

), k = 0, 1, . . . , n− 1

(különböző) komplex számot — amelyeknek az n-edik hatványa 1 — n-edik egy-séggyököknek nevezzük.

Határozzunk meg néhány egységgyököt.

1) A második egységgyökök:

cos 0 + i sin 0 és cos(

2π2

)+ i sin

(2π2

),

tehát a második egységgyökök: 1 és (−1).

2) A harmadik egységgyökök: Figyelembe véve, hogy (360)/3 = 120,

cos 0 + i sin 0 = 1,

cos 120 + i sin(120) = −12

+ i

√3

2,

cos 240 + i sin 240 = −12− i

√3

2.

3) A negyedik egységgyökök: Figyelembe véve, hogy (2π)/4 = π/2,

cos 0 + i sin 0 = 1,

cosπ

2+ i sin

π

2= i,

cosπ + i sinπ = −1,

cos3π4

+ i sin3π4

= −i.

4) A hatodik egységgyökök: Figyelembe véve, hogy 360/6 = 60,

cos 0 + i sin 0 = 1

cos 60 + i sin 60 =12

+ i

√3

2,

cos 120 + i sin 120 = −12

+ i

√3

2,

cos 180 + i sin 180 = −1,

cos 240 + i sin 240 = −12− i

√3

2,

cos 300 + i sin 300 =12− i

√3

2.

Az n-edik egységgyökök olyan — az egységkörbe írt —szabályos n szög csúcs-pontjaiban helyezkednek el, amelynek az 1 csúcspontja. (1.17.–1.19. ábrák).

Az egységgyökök segítségével a 1.111. tételt a következőképpen fogalmazhatjukát:

1.113 Állítás. (Komplex szám n-edik gyökei)Legyen a z = r(cosα + i sinα) egy nemnulla komplex szám, és az n pozitív egész.Ekkor a z komplex számnak n darab n-edik gyöke van:

n√r(cos(αn

)+ i sin

(αn

))· εk, k = 0, 1, . . . , n− 1, (1.22)



1.17. ábra. A harmadik egységgyökök.

1.18. ábra. A negyedik egységgyökök.

ahol az εk az n-edik egységgyökök közül a k-adik, azaz

εk = cos(

2kπn

)+ i sin

(2kπn

).

A (1.22) szerint a z komplex szám n-edik gyökeit úgy kapjuk meg, hogy vesszükaz egyik

n√r(cos(αn

)+ i sin

(αn

))n-edik gyökét, és rendre megszorozzuk az n-edik egységgyökökkel.

1.6.3. Algebrai (polinom) egyenletek gyökeiA komplex számok testének egyik nagy előnye, hogy lehetővé teszi az algebrai (po-linom) egyenletek gyökeinek a harmonikus vizsgálatát. A tanulmányozás kiindulóállítása az algebra alaptétele. Ezt a nevezetes tételt mondjuk ki először. Igazolni, ajelenleg rendelkezésre álló eszközeinkkel nem tudjuk. Későbbi tanulmányaink során— alkalmas elméleti ismeretek birtokában — majd adunk rá bizonyítást.



1.19. ábra. A hatodik egységgyökök.

1.114 Állítás. (Az algebra alaptétele)Minden komplex együtthatós

p(z) = anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0

algebrai (polinom) egyenletnek van gyöke a komplex számok körében.

A komplex számok bevezetésénél csupán az x2 +1 = 0 egyenlet megoldhatatlan-ságát igyekeztünk megszüntetni, ezért eléggé meglepő, hogy ez a célkitűzés olyannagy eredményt hozott, hogy most már minden algebrai egyenletnek van gyöke. Azalaptételnek fontos következménye a gyöktényezős alakra vonatkozó tétel.

1.115 Állítás. (Polinom gyöktényezős alakja)Legyen a

p(z) = anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0, an 6= 0

egy n-ed fokú, (n = 1), algebrai egyenlet. Ekkor vannak olyan

z1, z2, . . . , zk, 1 5 k 5 n

különböző komplex és

m1,m2, . . . ,mk, m1 +m2 + · · ·+mk = n

pozitív egész számok, hogy a p polinom egyértelműen írható fel

p(z) = an(z − z1)m1(z − z2)m2 · · · (z − zk)mk , (1.23)

alakban.

A bizonyítás előtt néhány elnevezés:

1.116 Definíció.A 1.115. állításban szereplő m1,m2, . . . ,mk egész számokat a z1, z2, . . . , zk gyökök-höz tartozó multiplicitásoknak mondjuk a

(z − z1), (z − z2), . . . , (z − zk)

első fokú polinomokat pedig gyöktényezőknek. Az (1.23) formát a p gyöktényezősalakjának mondjuk.



A tétel szerint egy n-ed fokú algebrai egyenletnek pontosan n számú gyöke van(a komplex számok körében), ha a gyököket multiplicitással vesszük figyelembe.

Bizonyítás. A bizonyítást teljes indukcióval végezzük. Ha n = 1, akkor nyilvánva-lóan igaz az állítás, hiszen

a1z + a0 = a1

(z −

(a0

a1

)).

Tegyük fel most, hogy minden (n− 1)-ed fokú polinomra igaz a tétel, és legyen a

p(z) = anzn + · · ·+ a1z + a0

egy tetszőleges n-ed fokú polinom. Az algebra alaptétele szerint van α gyöke. Azismert

zi − αi = (z − α)(zi−1 + zi−2α+ · · ·+ zαi−2 + αi−1

azonosság felhasználásával — mivel p(α) = 0 — kapjuk, hogy

p(z) = p(z)− p(α) =

an(zn − αn) + an−1(zn−1 − α−1) + · · ·+ a1(z − α) = an(z − α)g(z),

ahol a g(z) 1 főegyütthatójú (n− 1)-ed fokú polinom. Az indukciós feltevés szerinta g egyértelműen írható fel

g(z) = (z − z1)n1 · · · (z − zs)ns ,

alakban, ahol

1 5 s 5 n− 1, z1, . . . , zs különbözőek, n1 + · · ·+ ns = n− 1,

ezért ha az α gyök a z1, . . . , zs számok valamelyikével egyezik meg, akkor mul-tiplicitást növeljük a megfelelő helyen eggyel, ha pedig nem, akkor a (z − α) újgyöktényezőként lép fel a p előállításában.

Valós együtthatós polinom esetében a gyöktényezős előállítást — a valós számokkörében maradva — a következőképpen lehet megadni:

1.117 Állítás.Legyen a p egy valós együtthatós n-ed fokú polinom, an főegyütthatóval. Ekkor a pegyértelműen írható fel

an(x− α1)k1 · · · (x− αs)ks(x2 + β1x+ γ1

)l1 · · · (x2 + βrx+ γr

)lrformában, ahol az

α1, . . . , αs, β1, . . . , βr, γ1, . . . , γr

olyan valós számok, hogy az első és másodfokú gyöktényezők különbözőek és a mul-tiplicitásokra:

k1 + · · ·+ ks + 2(l1 + · · ·+ lr) = n.

Bizonyítás. A 1.115. állítás szerint

p(z) = an(z − z1)m1(z − z2)m2 · · · (z − zk)mk ,

amelybőlp(z) = an(z − z1)m1(z − z2)m2 · · · (z − zk)mk =

= an(z − z1)m1(z − z2)m2 · · · (z − zk)mk .



Ebből viszont az előállítás egyértelműsége miatt következik, hogy a zj számok vagyvalósak, vagy a konjugáltjukkal együtt (párban) szerepelnek. Jelölve a valós gyökö-ket αi-vel, (i = 1, . . . , s)) megkapjuk a bebizonyítandó előállítás elsőfokú tényezőit.Egy (a+ ib) és (a− ib) konjugált párra vonatkozó gyöktényezők szorzata(

z − (a+ ib))(z − (a− ib)

)= z2 − 2az + (a2 + b2),

alakú. A konjugált párokban lévő komplex gyökökből így adódnak az előállításbanszereplő másodfokú tényezők.


2. fejezet

Valós sorozatok és sorok

2.1. Valós számok sorozataiA valós értékű függvény általános definíciójánál tetszőleges, nemüres A halmazonértelmezett f : A → R függvényeket vezettünk be, és utána néhány speciális Ahalmaz melletti függvényt néztünk (R2, karakterisztikus függvény, polinomok, stb).Most folytatjuk ezt, és az N természetes számokon, és a Z egész számok halmazánakbizonyos részhalmazain értelmezett függvényekkel fogunk foglalkozni.

Egy b : N → R leképezést — a függvény általános definíciójának megfelelően —az (n, b(n)), (n ∈ N) párokkal adhatunk meg. Ilyenkor a b(n) írásmód helyett a bnindexes forma a szokásos. Az (n, b(n)) párosból elhagyva az első tagot, félreérthe-tetlenül megadja a függvényt a (bn) vagy b(n), (n ∈ N) jelölés is, amelyet

(b1, b2, . . . , bn, . . .) vagy b1, b2, . . . , bn, . . .

módon is szokás írni, de a sorozat jelölésére — egyetértésben a függvény megszokottjelölésével — használjuk a b szimbólumot is.

2.1 Definíció. (Valós számok sorozatai)Egy b : N → R leképezést (valós) végtelen sorozatnak — röviden: sorozatnak —mondunk, és a definíció előtt írt jelöléseket használjuk. A bn valós számot a sorozategy tagjának mondjuk. Némelykor szükségünk van arra, hogy 0-tól, nagyobb egészszámtól vagy esetleg negatív számtól kezdjük az indexelést. Ezt úgy jelölhetjük be,hogy Zm-vel jelölve az m-nél nem kisebb egész számokat, Zm → R függvényekkelfoglalkozunk, és ekkor a szokásos jelölés:

bm, bm+1, . . . , bn, . . .

vagy tömörebben: (bn)m.

Szigorúan különbséget kell tenni a (bn), (n = 1, 2 . . .) sorozat és a bn : n ∈ Nhalmaz között, amely a sorozat értékkészlete. Például az 1, −1, 1, −1, . . . sorozatértékkészlete: 1,−1.

A valós értékű sorozatokkal mindazokat meg lehet tenni, amit a valós függvé-nyekkel, tehát foglalkozhatunk sorozatok összegével, számmal való szorzatával és kétsorozat szorzatával:

a+ b = a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn, . . . ,

a · b = a1b1, a2b2, . . . , anbn, . . . ,

αa = αa1, αa2, . . . , αan, . . . .

63

2.1. VALÓS SZÁMOK SOROZATAI 64

Ha a b sorozat tagjai nem nullák, akkor hányadosról is beszélhetünk:

a

b=a1

b1,a2

b2, . . . ,

an

bn, . . . .

Az 1.72. állítás szerint az N → R sorozatok összessége vektortér.Egy sorozatot mint az N halmazon értelmezett függvényt vehetjük az N egy

részhalmazán is, vagy ahogyan a halmazelméletben mondtuk: leszűkíthetjük az Negy részhalmazára. Egy végtelen részhalmazon szintén a nagyság szerinti (indu-kált) rendezést vesszük, amely az N rendezésének a leszűkítése. Ezt nevezzük el akövetkező definícióban:

2.2 Definíció. (Részsorozatok)Legyen

b1, b2, . . . , bn, . . . n ∈ N,

egy sorozat. Ha n1 < n2 < · · · < nk < · · · , (k ∈ N) a természetes számoknak egyrészhalmaza, akkor a

bn1 , bn2 , . . . , bnk, . . . k ∈ N,

sorozatot a b sorozat egy részsorozatának mondjuk.

2.1.1. Sorozatok határértékeMost — nagyvonalúan beszélve — sorozatok végtelenben felvett értékét szeretnénkértelmezni. Érzésünkre támaszkodva mondhatjuk: ez valami olyat jelenthet, hogya sorozat tagjai nagy indexre közelítőleg a „végtelenben felvett értékkel” egyeznekmeg. Ezt a kivánságot fogalmazzuk meg pontosan a következő definícióban.

2.3 Definíció. (Valós sorozatok határértéke, konvergens sorozatok)Legyen az (x1, x2, . . . , xn, . . .) valós sorozat. Az u valós számot a sorozat limeszénekvagy határértékének mondjuk, ha az u pont egy tetszőleges gömbkörnyezete tartal-mazza a sorozat minden tagját egy indextől kezdve. A formális jelölések:

u = limn→∞

xn = limnxn = limxn,

xn → u, ha n→∞.

ahol a rövidebb jelöléseket akkor használjuk, ha nem okoz félreértést. Szokásos szó-használat még: az (xn) sorozat tart az u-hoz. Ha egy sorozatnak van limesze, akkorkonvergensnek fogjuk nevezni, ha nincs, akkor divergensnek.

A definíciót a 2.1. ábra baloldali felén illusztráljuk.

2.1. ábra. Sorozat határértéke és egyértelműsége

A határérték definícióját többféle módon is lehet fogalmazni, de mielőtt erretérnénk belátjuk, hogy a határérték — ha van — egyetlen, tehát definíciónk korrekt:

2.4 Állítás. (Határérték egyértelműsége)Ha az (x1, x2, . . . , xn, . . .) sorozatnak van határértéke, akkor az egyetlen.



Bizonyítás. A bizonyítást a 2.1. ábra jobboldali felén illusztráljuk. Tegyük fel,hogy az állítással ellentétben a sorozatnak két különböző u és v valós limesze van.Ekkor a 1.58. állítás szerint az u illetve v pontnak létezik diszjunkt Uu illetve Uv

gömbkörnyezete. Mivel mindkét pont limesz, a sorozat tagjai egy n1 indextől kezdvebenne vannak a Uu környezetben, egy n2 indextől kezdve pedig a Uv környezetben,és így az n3 = maxn1, n2 indextől kezdve benne vannak mindkét környezetben,ellentétben azzal, hogy a két környezet metszete üres.

A definíció más módokon fogalmazva:

(I) Az u pont tetszőleges gömbkörnyezete tartalmazza a sorozat tagjait véges soktagtól eltekintve.

(II) Az u pont tetszőleges környezete tartalmazza a sorozat tagjait véges sok tagtóleltekintve.

(III) Az u pont tetszőleges környezete tartalmazza a sorozat tagjait egy indextőlkezdve.

A következő — leggyakrabban használt megfogalmazások azzal kezdődnek, hogyvegyünk egy tetszőleges ε pozitív számot. Ekkor az u pont pontosan akkor limeszea sorozatnak, ha minden ε pozitív számhoz van olyan n0 ∈ N index, hogy teljesülvalamelyik a következő állítások közül. Az n0 index az ε pozitív számtól függ, ésküszöbindexnek szokás nevezni.

(IV) xn ∈ y : u− ε < y < u+ ε ha n0 5 n.

Ennek a szokásos írásmódnak nyelvi oka van, logikai szempontból jobb lennea következőképpen írásmód:

n0 5 n =⇒ xn ∈ y : u− ε < y < u+ ε.

(V) u− ε < xn < u+ ε, ha n0 5 n.

(VI) |xn − u| < ε, ha n0 5 n.

vagy a (IV)-nél mondottak szerint:n0 5 n =⇒ |xn − u| < ε.

Az n0 5 n helyett természetesen bárhol n0 < n is szerepelhetne, és ugyanígy lehetnepéldául az u− ε < xn < u+ ε helyett u− ε 5 xn 5 u+ ε.

Az azonosan α tagokból álló sorozat limesze nyilvánvalóan α. Nem konvergenssorozatra egyszerű példa a váltakozóan 1 illetve −1 sorozat: 1, −1, 1, −1, . . .. Az1, 1/2,. . ., 1/n, . . . sorozat a nullához tart, hiszen az 1/n ε > 0 pontossággal meg-közelíti a nullát, ha n > 1/ε. A következő pontokban sok példát látunk konvergenssorozatokra, most nem is mondunk más példát.

Valós függvény korlátossága — definíciónk szerint — az értelmezési tartománydirektképének, azaz az értékkészletének a korlátosságát jelenti (1.85. definíció).Eszerint az (an) sorozat akkor korlátos, ha van olyan K szám, amelyre |an| 5 K,minden n indexre. Korlátos sorozat lehet nem konvergens, például az 1, −1, 1, −1,. . . sorozat, de megfordítva: a konvergencia maga után vonja a korlátosságot:

2.5 Állítás. (Konvergens sorozat korlátos)Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos.

Bizonyítás. Ha az (xn) sorozat tart az u számhoz, akkor az 1 számhoz van olyann1 index, hogy |xn−u| < 1, ha n1 5 n. Ebből pedig — az abszolútérték | |α|−|β| | 5|α− β| tulajdonságát kihasználva — kapjuk, hogy

|xn| − |u| 5 |xn − u| < 1, amelyből |xn| < 1 + |u|,



ha n1 5 n. Ebből pedig mondhatjuk, hogy

|xn| < max1 + |u|, |a1|, |a2|, . . . , |an1 |.

2.6 Állítás. (Részsorozat konvergenciája)Ha egy (x1, x2, . . . , xn, . . .) sorozat konvergál, akkor minden részsorozata is konvergálugyanazon limeszhez.

Bizonyítás. Legyen a sorozat limesze ξ és xmi , (i = 1, 2, . . .) egy részosorozat.Legyen az ε tetszőleges, fix pozitív szám. Ekkor a limesz definíciója szerint vanolyan n0 = n(ε) küszöbindex, hogy

|xn − ξ| < ε, ha n0 ≤ n.

A részsorozat definíciója szerint van olyan i0 index, hogy n0 ≤ mi0 , és így n0 ≤ mi,ha i0 ≤ i, ezért az előző kiemelt sorból:

|xmi − ξ| < ε, ha i0 ≤ i.

2.1.2. Sorozatok végtelen határértékeiNem hagyható ki a vizsgálatokból a végtelen határérték fogalma sem. A klasszikusdefiníció:

2.7 Definíció. (Sorozatok végtelen határértéke)Az an sorozat határértéke plusz végtelen: ∞, ha tetszőleges K számhoz van olyann0 index, hogy

an > K, ha n0 < n;

mínusz végtelen: −∞, ha tetszőleges K számhoz van olyan n0 index, hogy

an < K, ha n0 < n.

A definícióban szereplő „<” illetve „>” jeleket helyettesíthetjük a „5” illetve „=”jelekkel.

Az irodalom némely részével ellentétben, ahol végtelenhez divergáló sorozatok-ról beszélnek, mi a végtelenhez konvergáló sorozatokat mondunk, és a végtelenheztartó sorozatokat is „konvergensnek” mondjuk. De ha hangsúlyozni akarjuk hogyilyen széles értelemben használjuk a konvergencia fogalmat, akkor akkor ezt mond-juk: a sorozat tágabb értelemben konvergál. Hangsúlyozni kell azonban, hogy meg-felelő elővigyázattal kell eljárni, mert például az az állítás, hogy „konvergens sorozatkorlátos” nem igaz tágabb értelemben konvergens sorozatokra.

A kiterjesztett valós egyenes és az ott bevezetett környezet fogalmakra visszagon-dolva, indokolhatjuk azt az eljárásunkat, hogy tágabb értelemben való konvergen-ciáról beszélünk. A 1.63. definíció szerint a végtelenekben vett gömbkörnyezetek:

1) a ∞ nyílt gömbkörnyezetei az x ∈ R : K < x, K ∈ R jobb felé mutatófélegyenesek;

2) a −∞ nyílt gömbkörnyezetei az x ∈ R : x < K, K ∈ R bal felé mutatófélegyenesek.

Ezen gömbkörnyezetek segítségével a következőképpen fogalmazható a definíció:Az (xn) sorozat limesze pontosan akkor a végtelen, ha a végtelen tetszőleges gömb-környezete tartalmazza a sorozat minden tagját egy indextől kezdve.

Ez a megfogalmazás pontosan olyan, mint a valós (véges) számhoz való kon-vergenciánál volt, és ez az analógia később még harmonikusabbá válik. Ez viszont



ellentmond annak, hogy a végtelen limesz esetében, definíciónk szerint, divergensa sorozat. Modernebb szóhasználattal ezt úgy szokták áthidalni, hogy „végeshezvaló konvergenciát” mondanak, ha az eredetileg definiált valós számhoz való kon-vergenciáról van szó, és „végtelenhez való konvergenciát” a most tárgyalt esetben.Eszerint az okfejtés szerint — ebben az általánosabb esetben — a végtelenhez tartósorozat is konvergensnek tekinthető. Ha mi pusztán konvergenciát mondunk, ak-kor mindig egy számhoz (végeshez) való konvergenciára gondolunk. Ez a kis nyelvipontatlanság — megfelelő odafigyelés mellett — nem fog zavart okozni.

2.1.3. Műveletek sorozatokkal, formális szabályokEbben a pontban azt vizsgáljuk meg, hogy a sorozatok — mint valós függvények —közötti műveletek milyen kapcsolatban vannak a határértékkel. Véges határértékekesetébenn az állításokat egyetlen tételben foglaljuk össze.

2.8 Állítás. (Véges határértékek formális szabályai)Legyenek az an illetve bn valós sorozatok konvergensek. Ekkor fennállnak a következőállítások.

Összeg limesze. Az (an + bn) összegsorozat határértéke:

limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn.

Számmal szorzott limesze. Ha a λ tetszőleges valós szám, akkor a λan számmalszorzott sorozat határértéke:

limn→∞

(λan) = λ limn→∞

an.

Szorzat limesze. Az (anbn) szorzatsorozat határértéke:

limn→∞

anbn = limn→∞

an · limn→∞

bn.

Hányados limesze. Ha limn→∞ bn 6= 0, akkor az an/bn tört nevezője bizonyostagtól kezdve nem nulla, és a hányados-sorozat határértéke:

limn→∞

an

bn=

limn→∞ an

limn→∞ bn.

Abszolútérték-sorozat limesze. limn→∞ |an| = | limn→∞ |an| |.

A formális szabályok arra valók, hogy ha ismerjük néhány sorozat határértékét,akkor azokból a sorozatokból algebrai műveletekkel felépített sorozatok határérté-két is meg tudjuk mondani. Emiatt minden hivatkozás nélkül fogjuk használni azállításokat.

Bizonyítás. Legyen a bizonyításokban az an sorozat limesze α, a bn sorozat limeszepedig β.Összeg limesze. Legyen az ε tetszőleges pozitív szám. A limesz definíciója szerintvan olyan n1 és n2, hogy

|an − α| < ε/2, ha n1 5 n és |bn − β| < ε/2, ha n2 5 n.

Ebből következik, hogy az n3.= maxn1, n2mindkét sorozatnál jó küszöbindexnek:

|an − α| < ε/2 és |bn − β| < ε/2, ha n3 5 n.



Ebből pedig, a háromszög-egyenlőtlenség felhasználásával adódik, hogy

|(an + bn)− (α+ β)| = |(an − α) + (bn − β)| 5 |an − α|+ |bn − β| 5 ε/2 + ε/2 = ε,

ha n3 5 n, tehát limn→∞(an + bn) = limn→∞ an + limn→∞ bn.Számmal szorzott limesze. Ha a szorzó szám nulla, akkor nyilvánvaló az állítás,legyen ezért λ 6= 0. Az ε/|λ| pozitív számhoz van olyan n1 index, hogy |an − α| <ε/|λ|, ha n1 5 n. Ebből pedig kapjuk, hogy

|λan − λα| = |λ| · |an − α| < |λ| · (ε/|λ|) = ε,

ha n1 5 n, tehát igaz az állítás.Szorzat limesze. Az 2.5. állítás szerint konvergens sorozat korlátos, legyen az1 5 M (közös) korlát a két sorozatra. Legyen K

.= max|α|, |β|,M, és ε > 0. Azε/(2K) pozitív számhoz van olyan n0, hogy

|an − α| < ε

2Kés |bn − β| < ε

2K, ha n0 5 n.

Megfelelő számolással

|anbn − αβ| = |(anbn − αbn) + (αbn − αβ)| 5 |anbn − αbn|+ |αbn − αβ|= |an − α| · |bn|+ |bn − β| · |α|.

Ebből pedig, a megelőző kiemelt sor egyenlőtlenségeit figyelembe véve kapjuk, hogy

|anbn − αβ| 5 |an − α| · |bn|+ |bn − β| · |α| < ε

2KK +

ε

2KK = ε,

tehát fennáll az állítás.Hányados limesze. Ha belátjuk, hogy

limn→∞

1bn

=1

limn→∞ bn,

akkor — mivel an

bn= an · 1

bn— a szorzatsorozat limeszére belátott előző állítás

alkalmazásával igazoltuk az állítást. Lássuk ezért a sorozat reciprokára vonatkozóállítást. Mivel bn → β, és 0 < |β|, ezért a |β|/2 pozítív számhoz van olyan n0

index, hogy |β − bn| < |β|/2, ha n0 5 n. Ebből pedig | |β| − |bn| | 5 |bn − β|miatt |β| − |bn| 5 |β|/2, és így |bn| = |β|/2. Ugyancsak a konvergencia miatt,adott ε pozitív számhoz van olyan n1 index, hogy |bn − β| < |β|2ε

2 , ha n1 5 n.Összefoglalva: az n2

.= maxn0, n1 jelőléssel, fennáll, hogy

|β|/2 ≤ |bn| és |bn − β| ≤ |β|2ε2

, ha n2 5 n.

Ezeket felhasználva, alkalmas átalakítással, kapjuk a következőt∣∣∣∣ 1bn− 1β

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣β − bnbnβ

∣∣∣∣ 5 |β − bn|(β/2)β

=2β2|β − bn| <

2|β|2

|β|2ε2

= ε,

ha n2 5 n, és ezzel beláttuk az állítást.Abszolútérték sorozat limesze. Adott ε pozitív számhoz van olyan n0 index, hogy|bn − β| 5 ε, ha n0 5 n. Ebből pedig az abszolútérték | |β| − |bn| | 5 |bn − β|egyenlőtlensége miatt

| |β| − |bn| | 5 |bn − β| 5 ε,

és ezzel ezt is beláttuk.

A valós számok rendezésével összefüggő gyakran használt állítást fogalmazunkmeg a következő tételben, amely szerint a limeszképzés tartja a rendezést: nagyobb-egyenlő sorozat limesze is nagyobb-egyenlő:



2.9 Állítás. (A határérték rendezéstartó)Legyenek az (an) és (bn) sorozatok konvergensek, és tegyük fel, hogy an 5 bn, egybizonyos n0-től kezdve minden n indexre. Ekkor a rendezés a limeszekre is fennáll:

limn→∞

an 5 limn→∞

bn.

Bizonyítás. Először is belátjuk, hogy nemnegatív tagú sorozat limesze is nemne-gatív. Ha ugyanis az 0 5 un, és egy κ negatív számot veszünk, akkor annak a κ/4sugarú — csak negatív számokat tartalmazó — környezetébe egyetlen tagja sem esikaz un sorozatnak, nem hogy egy tagtól kezdve mind beleesne, tehát negatív limesznem lehet. Emiatt az un = bn − an nemnegatív tagú sorozat limesze nemnegatív,tehát lim an 5 lim bn.

Az előző állítás alábbi közvetlen folyományának a találó elnevezése hazai eredetű:

2.10 Állítás. (Rendőrelv)Legyenek az (an) és (cn) sorozatok konvergensek, és határértékük azonos. Ha egybn sorozatra an 5 bn 5 cn, egy bizonyos n0-től kezdve minden n indexre. Ekkor abn sorozat is konvergens, és

limn→∞

an = limn→∞

bn = limn→∞

cn.

A végtelenbe tartó sorozatok formális szabályai éppen úgy kimondhatóak, minta valós (véges) esetben. Az egyes formális szabályok olyan egyszerűek, hogy min-den adott esetben könnyen meggondolhatóak, ezért nem is részletezzük őket, de afeladatok között feldolgozzuk a legfontosabb tulajdonságokat, és néhány gyakranhasznált szabályt itt is megfogalmazunk:

2.11 Állítás. (Végtelen határértékekre vonatkozó formális szabályok)Legyenek (xn) és (yn) valós sorozatok.

(1) Ha az (xn) limesze véges vagy plusz (mínusz) végtelen, az (yn) limesze pedigplusz (minusz) végtelen, akkor az (xn + yn) limesze plusz (minusz) végtelen.

(2) Ha az xn sorozat tart a ∞-hez (−∞-hez) és az yn sorozat korlátos, akkor az(xn + yn) sorozat is tart a ∞-hez (−∞-hez).

(3) Ha az xn sorozat tart a plusz végtelenhez és α nemnulla szám, akkor

limn→∞

αxn =∞, ha α > 0,−∞ ha α < 0.

Hasonlóan, ha az xn határértéke −∞, akkor

limn→∞

αxn =−∞, ha α > 0,∞ ha α < 0.

(4) Legyen az (xn) limesze plusz végtelen. Ha az (yn) limesze pozitív (esetleg pluszvégtelen), akkor az (xnyn) szorzat sorozat limesze végtelen. Ha az (yn) lime-sze negatív (esetleg minusz végtelen), akkor az (xnyn) szorzat sorozat limeszemínusz végtelen.

(5) Ha az (xn) limesze plusz vagy minusz végtelen, akkor az |xn| sorozat limeszeplusz végtelen.

(6) Ha az (xn) limesze plusz vagy minusz végtelen, akkor az 1/xn sorozat, (xn 6= 0)limesze nulla.



(7) Ha az (xn) pozitív számokon keresztül tart a nullához, akkor reciprokának alimesze végtelen, ha pedig negatív számokon keresztül tart a nullához, akkorminusz végtelen.

Bizonyítás. (1): Lássuk először azt az esetet, amikor az (xn) limesze véges és az(yn) limesze plusz végtelen. Az xn végeshez való tartása miatt korlátos sorozat: vanolyan K, hogy minden n-re |xn| < K. Az yn plusz végtelenhez való tartása miatttetszőleges (nagy) (G +K) számhoz van olyan n0 = n(G) index, hogy yn > G, han > n0. Emiatt

|yn + xn| > |yn| − |xn| > (G+K)−K = G, ha n > n0,

tehát limn→∞(yn + xn) = ∞.Legyen most mind az xn, mind az yn limesze plusz végtelen. Ekkor tetszőlegesen

nagy K/2 számhoz van olyan n1 illetve n2 index, hogy

xn > K/2, ha n > n1 és yn > K/2, ha n > n2,

és így xn > K/2 és yn > K/2, ha n > maxn1, n2, és ezért

xn + yn > K/2 +K/2 = K, ha n > maxn1, n2, azaz limn→∞

(xn + yn) = ∞.

Hasonlóan történik a minusz végtelenre vonatkozó állítás igazolása.(2): Vegyük észre, hogy az (1) állítás bizonyításában voltaképpen ezt láttuk be.(3): A limn xn = ∞ esetet látjuk be, a másik eset hasonlóan megy. Legyen előszörα > 0. Mivel xn plusz végtelenhez tart, ezért tetszőlegesen nagy K/α számhoz vanolyan n0 index, hogy xn > K/α, ha n > n0, és így

αxn > K, ha n > n0, tehát limn→∞

αxn = ∞.

Legyen most α < 0. Az xn plusz végtelenhez való tartása miatt tetszőlegesen nagyK/|α| számhoz van olyan n0 index, hogy xn > K/|α|, ha n > n0, és így — mivel|α| = −α —

αxn < −K, ha n > n0, tehát limn→∞

αxn = −∞.

(4): Legyen először az yn sorozat határértéke pozitív vagy plusz végtelen. Ekkoreléggé kicsi ε pozitív számhoz van olyan n0 index, hogy yn > ε, ha n > n0. Az xn

végtelenhez való tartása miatt tetszőlegesen nagy K/ε számhoz van olyan n1 index,hogy xn > K/ε, ha n > n1. Az eddigiekből pedig kapjuk:

xnyn > xnε > K, han > n0, n1, tehát limn→∞

xnyn = ∞.

Legyen most az (yn) határértéke negatív. Ekkor az (−yn) sorozat határéréke pozitív,és így az előző eredmény és a már belátott (3) felhasználásával kapjuk, hogy

limn→∞

xn(−yn) = limn→∞

(−xnyn) = − limn→∞

xnyn = −∞.

(5): Ha az xn sorozat plusz végtelenhez tart, akkor tetszőlegesen nagy K pozitívszámhoz van olyan n1 index, hogy xn > K, ha n > n1. Hasonlóan, ha az xn mínuszvégtelenhez tart, akkor tetszőlegesen nagy K pozitív számhoz van olyan n2, hogyxn < −K. Összefoglalva: ha az xn a plusz vagy mínusz végtelenhez tart, akkortetszőlegesen nagy K pozitív számhoz van olyan n3 index, hogy |xn| > K, tehátlimn→∞ |xn| = ∞.



(6): Ha az xn sorozat a plusz vagy minusz végtelenhez tart, akkor az |xn| sorozat,ahogyan azt az (5)-vben láttuk, a plusz végtelenhez tart. Eszerint viszont tetszőlegesε pozitív szám esetében a 1/ε számhoz van olyan n0 index, hogy

|xn| >1ε, ha n > n0, ezért

1|xn|

< ε, ha n > n0,

tehát limn 1/xn = 0.(7): Tartson először az xn pozitív számokon keresztül a nullához. Ekkor tetsző-legesen nagy K pozitív számhoz van olyan n0 index, hogy 0 < xn < 1/K, és így1/xn > K, ha n > n0, tehát limn 1/xn = ∞.

Tartson most az xn negatív számokon keresztül a nullához. Ekkor az (−xn)sorozat pozitív számokon keresztül tart a nullához, és így az előbb belátott állítástés (3)-at használva:

limn

1/(−xn) = ∞, tehát limn

1/xn = −∞.

2.1.4. Speciális sorozatok határértékei2.12 Állítás. (Egyszerű sorozatok határértékei)

Fennállnak a következő határértékre vonatkozó állítások.

(1) limn→∞ n = ∞.

(2) limn→∞ 1/n = 0.

(3) limn→∞ nk =∞ ha 0 < k,0 ha 0 > k.

.

(4) limn→∞ bn =

0 ha 0 < b < 1,∞ ha 1 < b.

.

(5) limn→∞ n1/n = 1.

(6) Ha 0 < a, akkor limn→∞ a1/n = 1.

Ne feledjük, hogy az a1/n hatványfüggvényt az 1.82. állításban értelmezni tud-tuk, így az n 7→ a1/n és n→ n1/n sorozatok léteznek.

Az (1) állításból és az 2.11.(3) formális szabályból például kapjuk, hogy

limn→∞

nb =

∞ ha 0 < b,−∞ ha 0 > b.

.

Bizonyítás. (1): Ez az állítás voltaképpen az Archimedesz-tulajdonsággal ekvi-valens: Az archimedeszi tulajdonságból: a K és 1 pozitív számokhoz van olyan n0,hogy K < n0 · 1 = n0, de ekkor K < n, ha n > n0, tehát igaz az állítás.(2): Itt is az archimedeszi tulajdonságból jön: Tetszőleges ε pozitív számhoz vanolyan n0 ∈ N, hogy 1 < n0 · ε, és így |1/n0| < ε. Ebből pedig |1/n| < ε ha n0 5 n,tehát 1/n → 0. Más bizonyítás: az előbb belátott állításból és a 2.11.(6) formálisszabályból azonnal adódik.(3): Teljes indukcióval könnyen látható, hogy n 5 nk, ha k ∈ N. Emiatt (2)-ből adódik az állítás pozitív kitevőre, negatív kitevőre pedig ebből jön a 2.11.(6)formális szabály szerint.(4): Legyen először 1 < b. A Bernoulli-egyenlőtlenség szerint (1.44. állítás) b =(1+(b−1))n = 1+n(b−1). Ebből pedig — mivel az (1) illetve a tétel után mondott



példa szerint — n(b− 1) → ∞, (b− 1 > 0) és a limesz rendezéstartó, adódik hogybn →∞.

Legyen most 0 < b < 1. Vegyük a 1 < c.= 1/b számot, amelyre az előző

bekezdés szerint cn →∞. Emiatt tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan n0, hogy1/ε < cn,, amelyből bn = (1/c)n < ε, tehát bn → 0.(5): Az 1.45. állításban kimondott, általánosított Bernoulli-egyenlőtlenség felhasz-nálásával:

n = (1 + (n1/n − 1))n = 1 + n(n1/n − 1) +n(n− 1)

2(n1/n − 1)2 >

>n(n− 1)

2(n1/n − 1)2,

amelyből végigosztva az n-nel:

1 >n− 1

2(n1/n − 1)2, és így 0 < (n1/n − 1)2 < 2/(n− 1).

Legyen most ε tetszőleges pozitív szám. Mivel (3) szerint 2/(n − 1) → 0, (3 < n),ezért van olyan n0, hogy 2/(n− 1) < ε2, ha n0 5 n. Ebből pedig

0 < (n1/n − 1)2 < ε2, és így 0 < n1/n − 1 < ε, ha n0 5 n,

tehát n1/n → 1.Más bizonyítást adhatunk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség fel-használásával:

1 5 n =

(n−2︷︸︸︷1 · · · · · 1 ·

√n ·√n 5

(n−2︷︸︸︷

1 + · · ·+ 1 +√n+

√n

n

n

=(n− 2 + 2

√n

n

)n

,

amelyből

1 5 n√n 5

n− 2 + 2√n

n= 1− 2

n+

2√n.

Ebből pedig — mivel 2n → 0 és 2√

n→ 0 miatt a baloldal tart 1-hez — a rendőrelv

alapján kapjuk, hogy n√n→ 1.

(6): Ha 1 5 a, akkor 1 5 a1/n 5 n1/n, ha a 5 n, ahol (5) miatt a jobboldal is 1-heztart. Így pedig a rendőrelv szerint a1/n → 1. Ha pedig 0 < a < 1, akkor az 1/aszámra alkalmazva a most belátottat kapjuk, hogy (1/a)1/n 7→ 1, és így a1/n → 1.Vegyük észre, hogy itt azt is felhasználtuk, hogy a1/n < b1/n, ha a < b, amit az1.82. állításban beláttunk.

2.1.5. Monoton sorozatokA valós sorozatok a rendezett N halmazból a rendezett R halmazba menő függ-vények, ezért beszélhetünk monoton (növő vagy csökkenő) sorozatokról, amelyek„őrzik” vagy „megfordítják” az N rendezését. A következő definíció csak megismét-lése a valós növekedő függvényeknél leírt definíciónak ebben a speciális esetben:

2.13 Definíció. (Monoton növekedő és fogyó sorozatok)Egy an, n = 1, 2, . . . valós sorozatot monoton növekedőnek mondunk, ha

an 5 an+1, n = 1, 2, . . . .

Hasonló a monoton fogyó sorozat definíciója. Ha egy sorozat monoton növekedővagy fogyó, akkor röviden monotonnak fogjuk mondani.



A monoton sorozatok nagyon jól viselkednek a határérték szempontjából, és azállításokat egy tételbe foglaljuk össze:

2.14 Állítás. (Monoton sorozatok konvergenciája)(1) Ha az an, n = 1, 2, . . . sorozat monoton növő és felülről korlátos, akkor kon-

vergens, éslim

n→+∞an = sup(a1, a2, . . . , an, . . .).

(2) Ha monoton fogyó és alulról korlátos, akkor konvergens, és

limn→+∞

an = inf(a1, a2, . . . , an, . . .).

(3) Ha az an, n = 1, 2, . . . sorozat monoton növő és felülről nem korlátos, akkora határértéke plusz végtelen.

(4) Ha az an, n = 1, 2, . . . sorozat monoton fogyó és alulról nem korlátos, akkor ahatárértéke mínusz végtelen.

Eszerint monoton sorozat tágabb értelemben mindig konvergál, azaz mindig vanvéges vagy végtelen határértéke. Az állítást és a bizonyításokat a 2.2. ábrán szem-léltetjük.

2.2. ábra. Monoton sorozatok konvergenciája

Bizonyítás. Az állítást és a bizonyítást a 2.2. ábrán szemléltetjük. (1): Legyens = sup(a1, a2, . . .). Mivel az s a legkisebb felső korlát, ezért tetszőleges ε > 0számhoz van olyan N index, hogy

s− ε < aN 5 s.

A sorozat monoton növekedése miatt ebből azonnal adódik, hogy

s− ε < an 5 s, azaz |an − s| 5 ε ha N 5 n,

ahogyan állítottuk.(2): Legyen s = inf(a1, a2, . . .). Mivel az s a legnagyobb alsó korlát, ezért tetsző-leges ε > 0 számhoz van olyan N index, hogy

s+ ε > aN = s.

A sorozat monoton csökkenése miatt ebből azonnal adódik, hogy

s+ ε < an = s, azaz |an − s| 5 ε ha N 5 n,

ahogyan állítottuk.(3): Ha a sorozat felülről korlátlan, akkor tetszőlegesen nagy K számhoz vanolyan aN tagja a sorozatnak, amelyre aN > K. Ekkor azonban a sorozat monotonnövekedése miatt an > K, ha n > N , tehát az an sorozat tart a plusz végtelenhez.



(4): Ha a sorozat alulról korlátlan, akkor tetszőlegesen kicsi K számhoz van olyanaN tagja a sorozatnak, amelyre aN < K. Ekkor azonban a sorozat monoton fogyásamiatt an < K, ha n > N , tehát az an sorozat tart a minusz végtelenhez.

Láttuk, hogy ha egy sorozat konvergál valamihez, akkor minden részsorozata isugyanoda konvergál. Montoton sorozatoknál ezen állítás megfordítása is igaz:

2.15 Állítás.(i) Ha az xn sorozat monoton és valamilyen részsorozata konvergál egy α számhoz,

akkor az egész sorozat is konvergál az α számhoz.

(ii) Ha az xn sorozat monoton és valamilyen részsorozata konvergál a plusz (mí-nusz) végtelenhez, akkor az egész sorozat is konvergál a plusz (mínusz) végte-lenhez.

Bizonyítás. (i): Legyen a sorozat — mondjuk — monoton növekedő, és egy xni

részsorozata tartson az α-hoz. Ekkor tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan i0,hogy α − ε < xni

≤ α, ha i > i0. Ebből viszont a monoton növekedés miattα − ε < xn ≤ α, ha n > ni0 , tehát az xn sorozat az α-hoz konvergál. Monotonfogyó sorozatnál ugyanilyen az igazolás.(ii): Ha az xn sorozat egy xni részsorozata tart a plusz végtelenhez, akkor tet-szőleges K számhoz van olyan i0, hogy xni

> K, ha i > i0, de ekkor a monotonnövekedés miatt xn > K, ha n > ni0 , tehát xn is tart a plusz végtelenhez. Pontosanígy megy a minusz végtelen esete.

Most pedig lássunk két fontos példát:

2.16 Példa. (Az (1 + 1/n)n sorozat konvergenciája)Mutassuk meg, hogy az

an.=(

1 +1n

)n

sorozat monoton növekedő, és felülről korlátos, tehát konvergens (véges értékhez).

Megoldás. Lássuk először a monotonitást. A számtani és mértani közép közöttiegyenlőtlenség alapján:

n+1

√1 ·(

1 +1n

)n

51 + n

(1 + 1

n

)n+ 1

= 1 +1

n+ 1,

és így(1 + 1

n

)n5(1 + 1

n+1

)n+1

, tehát a sorozat monoton növekedő. A felülrőlvaló korlátosság is a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel megy:

n+2

√12· 12·(

1 +1n

)n

51/2 + 1/2 + n ·

(1 + 1

n

)n+ 2

= 1,

és ebből(1 + 1

n

)n5 4. A 2.14. állítás szerint a sor konvergál, de (most még) nem

tudjuk, hogy mihez, csak annyi derült ki, hogy a határérték kisebb mint négy.

2.17 Példa.Igazoljuk, hogy

limn→+∞

n√n! = ∞.



Megoldás. A szóbanforgó sorozat monoton növő és így a 2.15. állítás szerintelégséges egy részsorozatra belátni az állítást. Az 2n

√(2n)! részsorozatra bizonyítjuk

be az állítást, mert ekkor egyszerűbb számolni:

(2n)! = 1 · 2 · · · n · · · (2n) > n · · · (2n) > nn, tehát 2n√

(2n)! > n,

amelyből adódik is az, hogy az 2n√

(2n)! részsorozat limesze végtelen.

2.18 Állítás. (Minden valós sorozatnak van monoton részsorozata)Tetszőleges an, n = 1, 2, . . . valós sorozatnak van monoton részsorozata.

Bizonyítás. A sorozat egy am tagját nevezzük „csúcsnak”, ha

an 5 am, ha m 5 n.

Ha végtelen sok ank, k = 1, 2, . . . csúcs van, akkor a csúcs definíciója szerint ank

=ank+1 , tehát az ank

részsorozat monoton fogyó.Azt az esetet kell még megnéznünk, amikor csak véges sok csúcs van. Ekkor

van olyan n1 index, hogy ennél nagyobb-egyenlő indexű csúcselem nincsen, és arészsorozat első eleme legyen az an1 . Mivel ez nem csúcselem, ezért van olyan an2 ,(n1 < n2) elem, hogy an2 > an1 . Mivel az an2 sem csúcselem, ezért van olyanan3 , (n2 < n3) elem, hogy an3 > an2 . Általában ha már ank

-ig kiválasztottuk arészsorozat elemeit, akkor mivel az ank

nem csúcselem, van olyan ank+1 elem, hogyank+1 > ank

(nk < nn+1). Az így kiválasztott sorozat nyilvánvalóan (szigorúan)monoton növekedő.

A következő tétel az egyik legfontosabb állítása a fejezetnek, amit az is mutat,hogy külön elnevezése van:

2.19 Állítás. (Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel)Tetszőleges korlátos, valós sorozatból kiválasztható konvergens részsorozat.

Bizonyítás. A 2.18. állítás szerint a sorozatnak van egy monoton — és a feltételszerint korlátos — részsorozata, ami a 2.14. állítás szerint konvergens.

2.1.6. Sorozatok limesz szuperiorja és limesz inferiorjaA valós sorozatok tulajdonságainak a jellemzésénél gyakorta használjuk a követ-kezőkben bevezetett fogalmakat. Ha az an egy tetszőleges felülről korlátos, valósszámsorozat, akkor a

bn.= sup(an, an+1, an+2, . . .)

módon definiál bn sorozat monoton csökkenő, mivel nagyobb n-re kevesebb számszuprémumát kell venni. Emiatt van véges határértéke, mégpedig: infn bn. Hason-lóan, ha az an egy tetszőleges alulról korlátos, valós számsorozat, akkor a

cn.= inf(an, an+1, an+2, . . .)

módon definiált cn sorozat monoton növekedő, ezért van véges határértéke, mégpe-dig: supn cn. A mondottak miatt helyes a következő definíció:

2.20 Definíció. (Valós sorozat limesz szuperiorja és limesz inferiorja)Ha az (an) valós sorozat felülről korlátos, akkor a sorozat limesz szuperiorjánakmondjuk a

limn→+∞

sup(an, an+1, an+2, . . .) = limn→∞

sup(an, an+1, an+2, . . .) = infn

sup(an, an+1, an+2, . . .)



valós számot, jelölése:

lim supn→+∞

an, vagy egyszerűen: lim supn

an, lim sup an.

Hasonlóan, az alulról korlátos esetben a

limn→+∞

inf(an, an+1, an+2, . . .) = limn→∞

inf(an, an+1, an+2, . . .) = supn

inf(an, an+1, an+2, . . .)

valós számot a sorozat limesz inferiorjának nevezzük, és a jelölése:

lim infn→+∞

an, vagy egyszerűen: lim infn

an, lim inf an.

A következőkben a limeszszuperiort és inferiort más — talán szemléletesebb —módon is jellemezni fogjuk. Ehhez szükségünk lesz a következő fogalomra:

2.21 Definíció. (Sorozat torlódási pontja)Egy x ∈ R számot az (xn) valós sorozat torlódási pontjának mondunk, ha az x ponttetszőleges gömbkörnyezetébe végtelen sok (különböző indexű) tagja esik a sorozat-nak.

Nyilvánvaló, hogy a limesz, ha van, torlódási pont, hiszen a limesz gömbkörnye-zetébe egy indextől kezdve mindegyik tagja — tehát végtelen sok tagja — beleesika sorozatnak. Torlódási pont nem feltétlenül létezik, például az (1, 2, 3, . . . , n, . . .)valós sorozatnak nincs torlódási pontja.

2.22 Állítás. (Torlódási pont, mint részsorozat limesze)A 2.21. definíció jelöléseivel, egy x pont pontosan akkor torlódási pont, ha az an

sorozatnak van olyan anirészsorozata, amelyik tart az x-hez.

Egy korlátos valós sorozatnak a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel sze-rint van konvergens részsorozata, aminek a limesze torlódási pont, tehát korlátossorozatnak mindig van torlódási pontja.

Bizonyítás. Ha van olyan ankrészsorozat, amelyik tart az x ponthoz, akkor a kon-

vergencia definíciója szerint az x tetszőleges gömbkörnyezetébe beleesik a részsoro-zat minden tagja, véges soktól eltekintve, és így végtelen sok tagja beleesik az an

sorozatnak.Ha pedig az x torlódási pontja az an sorozatnak, akkor a következőképpen vá-

lasztunk ki egy x-hez tartó részsorozatot: Az x szám 1 sugarú gömbkörnyezetébenvan egy an1 pontja a sorozatnak. Az x szám 1/2 sugarú gömb-környezetében vég-telen sok pontja van a sorozatnak, ezért van olyan an2 pontja, hogy n1 < n2.Általánosan: ha az

an1 , an2 , . . . ank, n1 < n2 < · · · < nk

tagokat már kiválasztottuk, akkor az ank+1 tagot kivehetjük az x pont körüli 1/ksugarú körből, mivel oda végtelen sok tagja esik a sorozatnak, úgy hogy nk < nk+1.A kiválasztás módja miatt az ank

, k = 1, 2, . . . részsorozat tart az x-hez.

A limesz szuperior és inferior jó és szemléletes karakterizációját adja a következőtétel:

2.23 Állítás. (Torlódási pontok maximuma és minimuma)Korlátos sorozat limesz szuperiorja a sorozat torlódási pontjai összességének a ma-ximuma, a limesz inferior pedig a minimuma.



2.3. ábra. Sorozat limesz inferiorja és limesz szuperiorja.

Az állítás speciálisan adja azt, hogy korlátos sorozatnak van torlódási pontja, ésígy a megelőző tétel szerint van egy ahhoz tartó részsorozat. Így egy új bizonyítástadtunk a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételre.

Bizonyítás. A bizonyítást és egyeben az állítást a 2.3. ábrán szemléltetjük. Lás-suk a limesz szuperior esetét. Legyen az an egy valós sorozat, és jelölje a limeszszuperiort s. Mivel a

bn = sup(an, an+1, . . .)

monoton fogyólag tart az s-hez, ezért tetszőleges ε > 0 számhoz van olyan nε index,hogy

s 5 sup(an, an+1, . . .) < s+ε

2, ha nε 5 n, (2.1)

amelynek a jobboldali egyenlősége más szavakkal ezt mondja: az s limesz szupe-riornál nagyobb számnál is nagyobb tagja csak véges sok lehet a sorozatnak. Eznyilvánvalóan adja azt, hogy az s-nél nagyobb torlódási pontja sem lehet. Az vanmég hátra hogy belássuk: az s torlódási pont. A szuprémum definíciója miatttetszőleges ε/2 pozitív számhoz van olyan an∗ eleme az (an, an+1, . . .) sorozatnak,hogy

sup(an, an+1, . . .) 5 an∗ +ε

2.

A (2.1) szerint: an∗ ≤ s + 1/ε és így végülis azt kaptuk, hogy minden (n = nε)indexhez van olyan n∗ = n > nε index, hogy

s 5 sup(an, an+1, . . .) 5 an∗ +ε

25 s+

ε

2+ε

2= s+ ε.

Ez pedig azt jelenti, hogy végtelen sok an∗ tagja esik a sorozatnak az [s− ε2 , s+ ε

2 ]intervallumba, ami azzal ekvivalens, hogy az s torlódási pont. Az elmondottakhozhasonló a limesz inferior a tárgyalása.

A bizonyításból kiemelünk egy részt, amit gyakorta használunk:

1. A limesz szuperiornál nagyobb számnál csak véges sok nagyobb tagja lehet asorozatnak.

2. A limesz szuperiornál kisebb számnál viszont van nagyobb tagja a sorozatnak.

Hasonló állítás mondható a limesz inferiorra.

A limeszszuperior és inferior formális tulajdonságait a következő állításban so-roljuk fel:

2.24 Állítás. (Limeszszuperior és limeszinferior formális tulajdonságai)Legyenek (an) és (bn) korlátos sorozatok. Ekkor igazak a következő állítások.

(1) lim supn→∞(−an) = − lim infn→∞ an,

(2) lim supn→∞ γan = γ lim supn→∞ an, ha 0 < γ.

(3) lim supn→∞(an+bn) 5 lim supn→∞ an+lim supn→∞ bn, lim infn→∞(an+bn) 5 lim infn→∞ an + lim infn→∞ bn.



(4) Ha an ≤ bn, akkor

lim supn

an ≤ lim supn

bn és lim infn

an ≤ lim infn

bn.

(5) lim supn→∞ an = lim infn→∞ an, és pontosan akkor van egyenlőség, ha asorozatnak van limesze.

(6) Ha az (ank), (k = 1, 2, . . .) részsorozata az (an) sorozatnak, akkor

lim infn→∞

an 5 lim infk→∞

ank, és lim sup

k→∞ank

5 lim supn→∞

an.

Bizonyítás. (1): Mivel sup(−an,−an+1, . . .) = − inf(an, an+1, . . .), ezért

lim sup(

−an) = inf sup(−an,−an+1, . . .) = inf(− inf(an, an+1, . . .)) =

= − sup inf(an, an+1, . . .) = − lim infn

.

(2): Ha λ > 0, akkor

supλ(an, an+1, . . .) = λ sup(an, an+1, . . .), és inf λ(an, an+1, . . .) = λ inf(an, an+1, . . .)

, és ezekből azonnal jön az állítás.(3): A számhalmaz szuprémumának a megfelelő tulajdonságát (1.50.(3) állítás)használva :

sup(an + bn, . . .) = sup((an, . . .) + (bn, . . .)) ≤ sup(an, . . .) + sup(an, . . .),

és ebből limeszt véve adódik az állítás első egyenlőtlensége. A második az infimumhasonló tulajdonságából adódik.(4): Abból adódik, hogy a sup, inf és lim operációk őrzik a rendezést.(5): Mivel a suprémum nem kisebb, mint az infimum, az egyenlőtlenség azonnaladódik. Az egyenlőség problémája a megelőző tétel felhasználásával jön:

Ha a sorozat konvergens, akkor könnyen látható, hogy nincs a határértékén kívülmás torlódási pontja, ezért a határérték egyben a limesz szuperior és inferior is.

Ha pedig a limeszszuperior és inferior megegyeznek, akkor az előző tétel bizo-nyítása után tett 1) és 2) észrevétel miatt: a limeszszuperior és inferior közös sértékének az [s − ε, s + ε], (ε > 0) környezetén kívül csak véges sok tagja lehet asorozatnak, tehát s a limesze.(6): Bővebb halmaz szuprémuma nagyobb (nem kisebb), ezért sup(ak, . . .) =sup(ank

, . . .), amiből azonnal jön, hogy lim supk→∞ ank5 lim supn→∞ an. Ha-

sonlóan adódik a limesz inferiorra vonatkozó egyenlőtlenség.

A limesz szuperior és limesz inferior definíciójában a korlátosság megkötését el-ejthetjük annak az árán, hogy a végtelen értékeket is megengedjük. A leírt tételekmindegyike fennáll ezen esetben is, hiszen a definíciókban a monoton sorozatok ját-szák a fő szerepet. Ez utóbbiak pedig általánosabb értelemben mindig konvegálnak.

2.1.7. Cauchy-sorozatok2.25 Definíció. (Cauchy-sorozat)

Az (xn) valós sorozatot Cauchy-sorozatnak mondjuk, ha minden ε pozitív számhozvan olyan n0 index, hogy

|xn − xm| < ε, ha n0 5 n,m.



A leírt tulajdonság szemléletesebben fogalmazva: a sorozat tagjai úgy „tömö-rülnek”, hogy véges soktól eltekintve tetszőleges ε pozitív számnál közelebb vannakegymáshoz a sorozat tagjai. A definícióban szereplő, Cauchy-féle tulajdonság általá-nosabb vonatkozásban kulcsszereplője lesz a matematikai analízisnek. A következőállítás, — a monotonitáshoz hasonlóan — lehetőséget ad a konvergencia vagy di-vergencia eldöntéséhez:

2.26 Állítás. (Cauchy-kritérium)Egy valós sorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat.

Bizonyítás. Lássuk először azt, hogy konvergens sorozat Cauchy-sorozat. Legyenaz (xn) sorozat limesze az α szám, és legyen az ε tetszőleges pozitív szám. Akonvergencia definíciója szerint van olyan n0 index, hogy

|xn − α| < ε/2, ha n0 5 n.

Ennek az alapján, ha n0 5 n,m, akkor a háromszög egyenlőtlenség felhasználásávalkapjuk, hogy

|xn − xm| = |(xn − α) + (α− xm)| 5 |xn − α|+ |α− xm| < ε/2 + ε/2 = ε,

tehát az (xn) sorozat Cauchy-tulajdonságú.Az állítás másik fele mélyebb, és három bizonyítást is adunk rá. Az első és

harmadik bizonyítás rövidebb, de felhasználja a limesz inferior és limesz szuperiorfogalmát illetve a Bolzano-Weierstass-tételt. A második bizonyítás közvetlen, csaka valós számok Cantor-tulajdonságát használja, de hosszabb. Az utóbbinak az azelőnye, hogy mutatja: az állításnak ez a fele a valós számok rendezésre nézve valóteljességéből ered.

Első bizonyítás. Ha az (an) Cauchy-sorozat, akkor tetszőleges ε pozitív számhozvan olyan n0 index, hogy

|an − am| < ε, ha n0 5 n,m.

Ekkor viszont, választva speciálisan az m = n0 indexet:

an0 − ε < an < an0 + ε, n0 5 n.

Ennek a baloldali egyenlőtlenségében infimumot véve: an0 − ε < infn≥n0 an, és ígya limesz inferior definíciója alapján folytatva

an0 − ε < infn≥n0

an ≤ lim infn

an

adódik, és hasonlóan jön a jobboldalból: lim supn an < supn≥n0an ≤ an0 + ε.

Összefoglalva és a lim inf ≤ lim sup egyenlőtlenséget is használva:

an0 − ε 5 infn05n

an 5 lim infn→∞

an 5 lim supn→∞

an 5 supn05n

an 5 an0 + ε,

amelyből 0 5 lim supn→∞ an − lim infn→∞ an 5 2ε, és mivel az ε tetszőlegesenkicsi pozitív szám lehet, ezért az egyenlőtlenség baloldala nem lehet pozitív, és ígylim supn→∞ an = lim infn→∞ an. Ez utóbbi szerint viszont a sorozat konvergens éslimesze a limesz szuperior és limesz inferior közös értéke.

Második bizonyítás. Legyen az (a1, a2, . . .) Cauchy sorozat. Az indexeknek olyannk, k = 0, 1, 2, . . . részsorozatát fogjuk kiválasztani, amelyre

|ap − aq| <1

2k+1, ha p, q > nk. (2.2)



Az indexek részsorozatának a konstrukciója: Az n0 indexet 1-nek vesszük. Az n1

indexnek a legkisebb olyan m > n0 indexet vesszük, amelyikre

|ap − aq| <122, ha p, q > m.

Ilyenm indexek a Cauchy tulajdonság miatt vannak, és pozitív egészek egy halmazá-ban van legkisebb. Az általános esetben ha már megszerkesztettük az n0, n1, . . . , nk

indexeket, akkor az nk+1 egészet a következőképpen kapjuk: Vesszük a legkisebbetazon m indexek között, amelyekre

|ap − aq| <1

2k+2, ha p, q = m és m > nk.

Ilyen m indexek létezését a sorozat Cauchy volta garantálja.A megkonstruált index-sorozat birtokában be tudjuk látni, hogy van limesze a

sorozatnak. Vegyük ehhez az alábbi Ik intervallum sorozatot.

Ik.=[ank

− 12k, ank

+12k

].

Ennek az intervallum-sorozatnak két fontos tulajdonsága van:1) Egymásba vannak skatulyázva, ami azt jelenti, hogy Ik ⊇ Ik+1, azaz hogy

ank− 1

2k< ank+1 −

12k+1

és ank+

12k

> ank+1 +1

2k+1.

Ezeknek az egyenlőtlenségeknek a helyes volta abból adódik, hogy az nk indexsoro-zat (2.2) tulajdonsága miatt

|ank− ank+1 | <

12k+1

, azaz − 12k+1

< ank− ank+1 <

12k+1

,

amelynek a további rendezésével két egyenlőtlenséget kaphatunk:

ank> ank+1 −

12k+1

, és ank< ank+1 +

12k+1

.

Ezekből az egyenlőtlenségekből már egyszerűen beláthatók az intervallumok egy-másba-skatulyázását jelentő egyenlőtlenségek: Az első egyenlőtlenségből

ank+

12k

> ank+1 −1

2k+1+

12k

= ank+1 +1

2k+1,

a második egyenlőtlenségből pedig:

ank− 1

2k< ank+1 +

12k+1

− 12k

= ank+1 −1

2k+1.

2) Az Ik intervallumok definíciója miatt, felhasználva az

|ank− an| <

12k+1

, ha n = nk

egyenlőtlenséget kapjuk, hogy an ∈ Ik ha n = nk.A valós számok nevezetes Cantor-tulajdonsága szerint az Ik intervallumoknak

van valamilyen r közös pontja. Ez a pont limesze az an sorozatnak, hiszen

|r − an| 51

2k+1, ha n = nk,

amivel be is láttuk a tételt.


2.2. VALÓS SOROK 81

Harmadik bizonyítás. A bizonyítás három lépésből áll:1) Minden Cauchy-sorozat korlátos.2) A korlátos sorozatból kiválasztunk egy konvergens részsorozatot a Bolzano-

Weierstrass-féle tétel alapján.3) Ha Cauchy-sorozat egy részsorozata konvergál α-hoz, akkor az egész sorozat

is tart α-hoz.1) Az ε = 1 számhoz van olyan n0, hogy

|an − am| < 1, ha n0 5 n,m, amelyből |am| 5 1 + |an0 |, ha n0 5 m.

Így pedig a sorozat elemeinek felső korlátja a max|a1|, . . . , |an0 |+ 1 szám.2) A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel szerint a korlátos (an) sorozatnakvan olyan ank

, (k = 1, 2, . . .) részsorozata, amely konvergál egy α számhoz.3) Az an sorozat is konvergál az α számhoz: Legyen ehhez az ε tetszőleges pozitívszám, és az n0 és k0 olyan nagy, hogy

|an − am| 5 ε/2, ha n0 5 n,m és |ank− α| 5 ε/2, ha k0 5 k,

Ebből pedig kapjuk, hogy

|am − α| = |(am − ank) + (ank

− α)| 5 |am − ank|+ |ank

− α| 5 ε/2 + ε/2 = ε,

ha m ≥ n0 és a k számot olyan nagynak vesszük, hogy k ≥ k0 és nk ≥ n0.

2.2. Valós sorokAz összeadás és szorzás műveleteit véges sok tagra értelmeztük, jogosan felvethetőprobléma, hogy kiterjeszthetők-e a műveletek végtelen sok tagra. Ebben a pontban avégtelen sok (megszámlálhatóan végtelen) tagból álló összegekkel fogunk foglalkozni.

2.27 Definíció. (Valós sorok)Legyen (an), (n = 1, 2, . . . , ) egy valós sorozat. A szimbolikusan felírt

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · · ,

végtelen összeget (végtelen) sornak nevezzük. Tömörebb felírási módok:∞∑

n=1

an, vagy ha nem okoz félreértést:∑

n

an,∑

an.

A végtelen összegből képzett

sn.= a1 + a2 + · · ·+ an =

n∑i=1

ai

véges össszeget a sor n-edik részletösszegének (szeletének) mondjuk.

A sor fogalma a sorozat fogalmára épül: a sorozat tagjainak valamilyen fajtaösszegezését jelenti.

Megjegyezzük, hogy néha a „végtelen” jelzőt is használják, de mivel a „véges sor”a közönséges összeget jelent, ezért feleslegesnek tartjuk a szószaporítást, ahogyannem beszéltünk végtelen sorozatról sem, csak sorozatról.

A definícióban felírt végtelen összegeket az 1 helyett bármilyen indextől indít-hatnánk, például:

ak + ak+1 + ak+2 + · · ·+ an + · · · =∞∑

n=k

an.



Azzal, hogy a „szimbolikusan felírt” szavakat használtuk, azt akartuk kifejezni, hogymost még csak puszta formális jelölésről van szó, hiszen eddigi ismereteink szerintvégtelen tagú összegnek még csak értelmet sem tulajdonítottunk.

2.2.1. Konvergens és abszolút konvergens sorokA jelen alpontnak az a feladata, hogy olyan fogalmakat alkossunk, amelyekkel bi-zonyos végtelen összegekhez hozzá tudjunk rendelni „összegnek” nevezhető számot.Ez a feladat többféleképpen is elvégezhető. A matematikai fogalomépítés elveit fi-gyelembe véve ugyanis csak arra kell tekintettel lennünk, hogy a bevezetett fogalomazon esetben, amikor az összeg véges (azaz egy tagtól kezdve az összeadandók nul-lák), a már ismert eredményt adja. Most a legtermészetesebb összegezési módot(szummációs eljárást) fogjuk bevezetni, később találkozni fogunk más, összegezésimóddal is.

2.28 Definíció. (Konvergens sor)Egy

∑∞n=1 an sort összegezhetőnek, konvergensnek vagy szummábilisnek mondunk,

ha a részletösszegek sn = a1 + . . . + an sorozata konvergens, és ezt a határérétéketfogjuk a sor összegének nevezni, azaz formálisan:

∞∑n=1

an = limn→+∞

sn.

A nem konvergens sort divergensnek is nevezzük.

Mivel a sor részletösszegeinek a képzési szabálya:

sn = sn−1 + an, (2.3)

ezért azt mondhatjuk, hogy sor összegének a vizsgálata egy speciális típusú kép-zési szabállyal megadott sorozat konvergenciájának a vizsgálata. Ennek megfele-lően minden — a sorozatoknál megismert állításból — egy sorokra vonatkozó tételtfogunk tudni megfogalmazni. Megfordításaként: a sorozatok vizsgálata visszavezet-hető a sorok vizsgálatára, hiszen

an = a1 + (a2 − a1) + · · ·+ (an − an−1), (2.4)

és így az an, n = 1, 2, . . .) sorozat az

s1, (s2 − s1), (s3 − s2), . . . , (sn − sn−1), . . .

sorozat által meghatározott sor részletösszegeinek a sorozata. Ennek a segítségévelminden sorra vonatkozó tételből meg tudunk fogalmazni egy sorozatra vonatkozótételt. Ezek szerint a sorozatok és sorok vizsgálata teljesen párhuzamosan végezhető.Lássuk például, hogy a sorozatoknál megismert Cauchy-féle konvergencia-kritériumhogyan adja a kritériumot sorokra:

2.29 Állítás. (Cauchy-kritérium sorokra)Egy

∑∞n=1 an sor pontosan akkor konvergens, ha minden ε > 0 számhoz van olyan

N index, hogy ∣∣∣∣∣m∑

i=n

ai

∣∣∣∣∣ 5 ε, ha N 5 n 5 m.



Bizonyítás. A részletösszegek sorozata a sorozatok Cauchy-kritériuma szerint pon-tosan akkor konvergál, ha minden ε > 0 számhoz van olyan N index, hogy∣∣∣∣∣

m∑i=n

ai

∣∣∣∣∣ = |sm − sn−1| 5 ε, ha N 5 n 5 m.

A Cauchy kritérium az m = n esetben speciálisan azt adja, hogy |an| 5 ε ha N 5 n,ami azt jelenti, hogy az an sorozat a nullához tart, ha a sor konvergens. Ezt azegyszerű, de fontos tényt állításban is megfogalmazzuk:

2.30 Állítás. (Konvergens sor tagja nullához tart)Ha egy sor konvergens, akkor a tagjai nullához tartanak.

Az állítás megfordítása nem igaz, ahogyan a következő példa is mutatja.

2.31 Példa. (A harmonikus sor divergenciája)A∑∞

n=11n — harmonikus sornak nevezett — sor divergens, részletösszegeinek a

sorozata a plusz végtelenhez tart.

Megoldás. Vegyük észre, hogy az (n + 1) és 2n közötti tagok összege nagyobb,mint 1

2 :

1n+ 1

+1

n+ 2+ · · ·+ 1

2n>

n-szer︷︸︸︷12n

+ · · ·+ 12n

=12.

Ebből nyilvánvaló, hogy ∣∣∣∣∣m∑

i=n

1i

∣∣∣∣∣ > 12, ha 2n < m,

ezért a Cauchy-kritérium az ε = 12 (vagy ennél kisebb) számra nem teljesül, te-

hát a sor divergens. Mivel a sor részletösszegei monoton nőnek, ezért csak úgydivergálhatnak, ha korlátlanok, tehát tartanak a plusz végtelenhez.

A harmonikus sor végtelenhez való tartása meglepő: ha úgy haladunk, hogyelőször egy lépést teszünk meg, a második esetben egy fél lépést, a harmadik esetbenegy harmad lépést, a millióadik esetben pedig egy milliomod lépést és így tovább,akkor ezen a módon bármilyen messze eljuthatunk.

2.32 Definíció. (Abszolút konvergens sorok)Az∑+∞

n=1 an sort abszolút konvergensnek mondjuk, ha a∑∞

i=1 |an| sor konvergens.

Az abszolút konvergencia erősebb fogalom, mint a közönséges konvergencia, azazaz abszolút konvergens sorok összessége részhalmaza a konvergens sorok halmazá-nak:

2.33 Állítás. (Konvergencia és abszolút konvergencia)Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is.

Bizonyítás. A sorokra vonatkozó Cauchy-kritérium szerint egy∑an sor pontosan

akkor konvergens, ha minden ε > 0 számhoz van olyan N index, hogy∣∣∣∣∣m∑

i=n

ai

∣∣∣∣∣ 5 ε, ha N 5 n 5 m,



és akkor abszolút konvergens, ha∣∣∣∣∣m∑

i=n

|ai|

∣∣∣∣∣ =m∑

i=n

|ai| 5 ε, ha N 5 n 5 m.

Az utóbbi sorból következik a megelőző kiemelt sor, mivel az abszolút érték háromszög-egyenlőtlenségéből: ∣∣∣∣∣

m∑i=n

ai

∣∣∣∣∣ 5m∑

i=n

|ai|.

2.34 Definíció. (Feltételesen konvergens sor)Egy

∑n an sort feltételesen konvergensnek mondunk, ha konvergens, de nem abszo-

lút konvergens.

A monoton sorozatokra vonatkozó konvergencia kritériumból azonnal adódik akövetkező tétel.

2.35 Állítás. (Nemnegatív tagú sorok konvergenciája)A

∑n an nemnegatív tagú sor pontosan akkor konvergens, ha a részletösszegek

sorozata (felülről) korlátos.

Bizonyítás. A (2.3) képzési szabály szerint egy sor részletösszegei pontosan ak-kor monoton növekedőek, ha a sor nemnegatív tagú, és így a monoton növekedősorozatokra vonatkozó konvergencia-kritérium azonnal adja az igazolást.

2.2.2. Összehasonlító kritériumokA következő tétel arra ad lehetőséget, hogy konkrét sorok konvergenciáját ismervemás sorok konvergenciájára következtethessünk.

2.36 Állítás. (Összehasonlító kritérium)(1) Ha az an és bn sorozatra |an| 5 |bn| valamilyen indextől kezdve, és a

∑n bn

sor abszolút konvergens, akkor a∑

n an sor is abszolút konvergens.

(2) Ha az an és bn sorozatra |an| = |bn| valamilyen indextől kezdve, és a∑

n |bn|sor divergens, akkor a

∑n |an| sor is divergens.

Bizonyítás. (1): A∑bn abszolút konvergenciája miatt, a Cauchy-kritérium sze-

rint adott ε > 0 számhoz van olyan N index, hogy∣∣∣∣∣m∑

i=n

|bi|

∣∣∣∣∣ 5 ε, ha N 5 n 5 m,

és így az |ai| ≤ |bi| feltétel miattm∑

i=n

|ai| 5m∑

i=n

|bi| 5 ε, ha N 5 n 5 m,

ami a Cauchy-kritérium szerint biztosítja az∑an sor abszolút konvergenciáját.

(2): Ha az∑|an| sor konvergálna, akkor a belátott (1) állítás alapján a

∑|bn| sor

is konvergálna — hiszen |bn| 5 an — ellentétben a feltevéssel.

Az egyszerű 2.36. állítás sok hasznos konvergencia-kritérium forrása, aszerint,hogy milyen an és bn sorozatokra alkalmazzuk. Nyilvánvaló, hogy akkor várható azalkalmazás, ha a szóbanforgó sorok egyike nemnegatív tagú, amikor a konvergenciaés abszolút konvergencia egybeesik. A legegyszerűbb konvergens sor, aminek akonvergencia tulajdonságait megismerve, az összehasonlító kritérium alapján jólhasználható kritériumokat fogunk kimondani, a mértani sor:



2.37 Állítás. (Mértani sor konvergenciája)A∑∞

i=0 xn mértani sor abszolút konvergens, ha |x| < 1, és ekkor az összege:

∞∑n=1

xn =1

1− x,

ha pedig 1 5 |x|, akkor a sor divergens.

Bizonyítás. Az sn részletösszeg összegezhető:

sn = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn =1− xn+1

1− x.

Ha |x| < 1, akkor limn→+∞ xn+1 = 0, ezért

+∞∑n=0

xn = limn→+∞

sn =1

1− x.

Ha |x| = 1, akkor a sor xn tagjai nem tartanak nullához, hiszen |xn| = |x|n = 1,ezért a sor nem lehet konvergens.

A pozitív tagú mértani sor konvergenciájára és az összehasonlító kritériumraalapozva két olyan kritériumot mondunk ki, amelyek gyakorta alkalmazhatóak:

2.38 Állítás. (Gyökkritérium)Legyen (an), (n = 1, 2, . . .) valós sorozat.

(1) Ha lim supn→+∞n√|an| < 1, akkor a

∑an sor abszolút konvergens.

(2) Ha lim supn→+∞n√|an| > 1, akkor a

∑an sor divergens.

A lim supn→+∞n√|an| = 1 eset nem szerepel az állításban, mert ekkor semmit sem

tudunk mondani.

Bizonyítás. (1): Legyen α.= lim supn→+∞

n√|an|. Ha α < 1 és a δ számot úgy

választjuk meg, hogy α < α+ δ < 1, akkor a limesz szuperior tulajdonsága miatt

n√|an| < α+ δ, azaz |an| < (α+ δ)n,

minden eléggé nagy n-re és így az összehasonlító kritérium és az (α+ δ) hányadosúmértani sor konvergenciájából adódik a

∑an konvergenciája.

(2): Legyen most α .= lim supn→+∞n√|an|, és α > 1. Mivel van a limesz szuperi-

orhoz tartó ankrészsorozat, azaz

limk→+∞

nk

√|ank

| = α.

Ebből azt kapjuk, hogy |ank| > 1 minden eléggé nagy k-ra, így a

∑an sor tagjai

nem tartanak a nullához, ezért nem lehet konvergens.

2.39 Állítás. (Hányadoskritérium)Legyen an egy valós sorozat.

1. Ha lim supn→+∞

∣∣∣an+1an

∣∣∣ < 1, akkor a∑an sor abszolút konvergens.



2. Ha van olyan n0 index, hogy minden annál nagyobb n indexre∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = 1,

akkor a sor divergens.

A limn→+∞

∣∣∣an+1an

∣∣∣ = 1 eset nem szerepel az állításban, mert ekkor semmit semtudunk mondani.

Bizonyítás. (1): Legyen α.= lim supn→+∞

∣∣∣an+1an

∣∣∣ < 1. Ha a δ számot úgyválasztjuk meg, hogy α < α+ δ < 1, akkor a limesz szuperior tulajdonsága miatt∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ < α+ δ, azaz |an+1| < (α+ δ)|an|.

minden n = N -re. Ebből a rekurzív egyenlőtlenségből azt kapjuk, hogy

|an+1| 5 (α+ δ)n+1−N |aN |,

és így az összehasonlító kritérium és az (α+δ) hányadosú mértani sor konvergenciájaalapján adódik az állítás.

(2): Legyen most∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = 1, ha n0 5 n. Ekkor |an+1| = |an|, minden eléggé nagyn-re, így a

∑an sor tagjai nem tartanak a nullához, ezért nem lehet konvergens.

2.1 Feladat. Legyen

an =

12k , ha n = 2k − 1,13k , ha n = 2k. n = 1, 2, . . . .

Vizsgáljuk meg a∑an sor konvergenciáját a gyök- és hányadoskritériummal.

Megoldás. A gyökkritériummal:

lim supn→+∞

n√an = lim

n→+∞2n

√12n

=1√2,

ezért a sor konvergens.A hányadoskritériummal: A limesz szuperior és inferior:

lim supn→+∞

an+1

an= lim

n→+∞

(32

)n

= +∞.

lim infn→+∞

an+1

an= lim

n→+∞

(23

)n

= 0.

A hányadoskritérium alapján nem lehet válaszolni a konvergencia kérdésére.

Gyakorta alkalmazható a következő egyszerű konvergencia kritérium, amelyneka lényege: Ha két sor tagjai „azonos nagyságrendűek”, akkor egyszerre konvergensekilletve divergensek. Ezt a kritériumot nem szokták elnevezni, mi — a rá való hivat-kozás kedvéért —az „azonos nagyságrend kritérium” elnevezést fogjuk használni.

2.40 Állítás. (Azonos nagyságrend kritérium)Ha az

∑n an és

∑n bn pozitív tagú sorok, és limn an/bn = γ > 0, akkor az

∑n an

és∑

n bn sorok egyszerre konvergensek illetve divergensek.



Bizonyítás. Eléggé nagy n > n0 indexre az an/bn hányados γ/2 pontossággalmegközelíti a γ határértékét:

|an/bn − γ| < γ/2, azaz − γ/2 < an/bn − γ < γ/2.

Ebből pedig

γ/2 < an/bn < (3/2)γ, tehát (γ/2)bn < an < (3γ/2)bn.

Eszerint a∑

n(γ/2)bn sort majorálja a∑

n an sor, a∑

n an sort pedig majorálja a∑n(3γ/2)bn sor, és így az összehasonlító kritérium szerint igaz az állítás.

2.2.3. Feltételes konvergenciára vonatkozó kritériumokAz előző pontban tárgyalt konvergencia kritériumok — eltekintve a Cauchy-krité-riumtól, amely szinte minden kritérium forrása — nemcsak konvergenciát, hanemabszolút konvergenciát is biztosítanak. A feltételes konvergencia vizsgálata álta-lában nehezebb, de ebből a körből is mondunk egy nevezetes és sokszor használttételt:

2.41 Állítás. (Leibnitz-típusú sor konvergenciája)Legyen an nemnegatív számok olyan monoton fogyó (nemnövekvő) sorozata, amelyrelimn→∞ an = 0. Ekkor az

a1 − a2 + a3 − · · ·+ (−1)n+1an + · · · =+∞∑n=1

(−1)n+1an

váltakozó előjelű sor konvergens. Az ilyen sort Leibnitz-típusúnak szokás mondani.

Bizonyítás. Első bizonyítás. Legyen adott egy ε > 0 szám. Az N indexet megvá-laszthatjuk úgy, hogy an 5 ε, ha N 5 n. Ebből azt kapjuk, hogy

0 5 an − an+1 + an+2 − · · · ± am 5 an 5 ε,

ha n 5 N , ezért a Cauchy-kritérium miatt a sor konvergens. A használt egyenlőt-lenség egyszerűen indokolható, és a valós egyenesen rajzzal szemléltethető.Második bizonyítás. Ez a bizonyítás szépen szemléltethető, amit a ??. ábrán megis teszünk. Tegyük fel, hogy az an sorozat indexe 0-tól indul. A

∑∞n=0(−1)nan sor

páros indexű s2n részletösszegei monoton fogyóak, hiszen s2n − s2n−2 = −a2n−1 +a2n < 0; a páratlan indexűek pedig monoton növekedőek, hiszen s2n+1 − s2n−1 =a2n − a2n+1 > 0. A páros indexűek mind kisebbek, mint a páros indexűek, mivels2n−s2n−1 = a2n > 0, ezért a páros és páratlan indexű részletösszegeknek egyarántvan limeszük, amely egyenlő, mivel an → 0. Ennek a bizonyításnak van egy előnye,ami miatt elmondtuk: a limesz becsülhető jobbról és balról a páratlan és párosindexű közelítő összegekkel. Megjegyezzük: a páros és páratlan indexek szerepemegfordul, ha a sorozat kezdő indexe 1. A mondottak rajzzal szépen és egyszerűenszemléltethetőek. Megjegyezzük: a páros és páratlan indexek szerepe megfordul,ha a sorozat kezdő indexe 1.

Az 1− 12+ 1

3−14+· · ·+(−1)n+1 1

n+· · · sor az állítás szerint konvergens. Az összegétkésőbb majd meghatározzuk, most ez nagyon nagy erőfeszítést igényelne. A sorabszolútértékeiból alkotott sor a harmonikus sor, amely — mint láttuk: divergens— ezért a szóbanforgó sor feltételesen konvergens.

Leibnitz-tipusú sor konvergenciájának az általánosításával foglalkozik a követ-kező tétel:



2.4. ábra. A Lebnitz-tétel bizonyításához.

2.42 Állítás. (Szorzat sorozatok összegének a konvergenciája)Tegyük fel, hogy az an és bn sorozatok teljesítik az alábbiakat:

(i) A∑an sor részletösszegei korlátosak.

(ii) A bn sorozat monoton fogyó és lim bn = 0.

Ekkor a∑∞

n=1 anbn sor konvergens.

A bizonyítás alapeszköze a következő általánosan használt Abel-féle parciálisösszegezési formula (erős rokonságban van a parciális integrálással), amit különtételben is megfogalmazunk, és csak utána fogjuk bizonyítani a 2.42. tételt.

2.43 Állítás. (Abel-összegezés)Legyen az

a0, a1, . . . , an, . . . , és b0, b1, . . . , bn, . . .

két sorozat. Az An sorozatot definiáljuk a következőképpen:

A−1.= 0, és An =

n∑i=0

ai, n = 0, 1, . . . .

Ekkor tetszőleges 0 5 p 5 q egész számokra fennáll a következő formula:

q∑n=p

anbn =q−1∑n=p

An(bn − bn+1) +(Aqbq −Ap−1bp

).

Bizonyítás. Az an = (An −An−1) helyettesítéssel:

q∑n=p

anbn =q∑

n=p

(An −An−1)bn =q∑

n=p

Anbn −q∑

n=p

An−1bn =

=q∑

n=p

Anbn −q−1∑

n=p−1

Anbn+1 =

= Aqbq +q−1∑n=p

Anbn −q−1∑n=p

Anbn+1 −Ap−1bp =

=q−1∑n=p


).

Bizonyítás. Most pedig lássuk a 2.42. állítás igazolását. Legyen az ε tetszőlegespozitív szám, és An =

∑ni=1 ai. A feltétel alapján az An sorozat korlátos, ezért van

olyan K, hogy |An| 5 K minden n-re. A lim bn = 0 miatt van olyan N index, hogy

bn 5ε

2K, ha N 5 n.



Ha N 5 p 5 q, akkor az előzőek alapján, az Abel-összegezés segítségével, a bnsorozat monoton csökkenését is felhasználva a következőket írhatjuk:∣∣∣∣∣

q∑n=p

anbn

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣q−1∑n=p


)∣∣∣∣∣ 55

q−1∑n=p

|An|(bn − bn+1) + |Aq|bq + |Ap−1|bp

5 K

∣∣∣∣∣q−1∑n=p

(bn − bn+1) + bq + bp

∣∣∣∣∣ == 2Kbp 5 2K

ε

2K= ε.

Ezek után a konvergencia következik a Cauchy-kritériumból.

2.2.4. Sorok algebrai tulajdonságaiA sorok fogalma a véges összegek általánosítása, ezért célszerű megnézni hogy azösszeadás milyen algebrai tulajdonságai maradnak meg valamilyen formában. Azösszeadásnak három alapvető algebrai tulajdonsága van: az asszociativitás, kom-mutativitás és disztributivitás. Ebben az alpontban ezeket a tulajdonságokat fogjuksorokra vizsgálni. Kezdjük a legegyszerűbb esettel, az asszociativitás problémájával:

2.44 Állítás. (Sorok asszociativitása)Ha egy

∑+∞n=1 an sor konvergál, akkor konvergál a tetszőlegesen zárójelezett

(a1 + · · ·+ an1) + (an1+1 + · · ·+ an2) + · · ·+ (ank+1 + · · ·+ ank+1) + · · ·

sor is.

Bizonyítás. A zárójelezett sor a következő bk sorozathoz tartozik:

bk = ank−1+1 + · · ·+ ank, k = 1, 2, . . . .

Jelölje sn a∑an sor n-edik részletösszegét. Ekkor a zárójelezett sor részletösszegei

snk=

k∑i=1

bi =k∑

i=1

(ani−1+1 + · · ·+ ani), k = 1, 2, . . . ,

Az snksorozat az sn sorozat egy részsorozata. Tudjuk azt, hogy konvergens sorozat

részsorozata ugyanazon határértékhez konvergál, mint a sorozat, tehát

limk→∞

snk= lim

n→∞sn,

és ezzel beláttuk az állítást.

Az előző tétel megfordítása nem igaz általában, a zárójelek nem mindig hagyha-tók el. Egyszerű ellenpélda: a ((1−1)+(1−1)+ · · ·+(1−1)+ · · · ) sor konvergens,az összege nulla. A zárójelek elhagyásával nyert (1− 1 + 1− 1 + · · ·+ 1− 1 + · · · )sor viszont divergens, hiszen részletösszegeinek a sorozata: 1, 0, 1, 0, . . . .

Az összeadás kommutativitásának a problémája azt jelenti, hogy lehet-e egysor elemeit tetszés szerinti sorrendben felírni a konvergencia és az összeg érté-kének a megváltoztatása nélkül. A

∑+∞n=1 an sor egy átrendezésén egy olyan∑+∞

k=1 an(k) sort értünk, amelyben az n(1), n(2), . . . , n(k), . . . indexek halmaza



az 1, 2, . . . , n, . . . indexek egy „permutációja”, azaz a k 7→ n(k) leképezés egy bijekcióaz N és N között. Ha olyan átrendezést hajtunk végre, ami csak véges sok tagotérint, akkor nyilvánvalóan megmarad a konvergencia tulajdonság és változatlan leszaz összeg is. Abszolút konvergens sor esetében semmi probléma sincs, feltételesenkonvergens sor esetében azonban meglepő állítás igaz:

2.45 Állítás. (Sorok kommutativitása)(1) Ha egy sor abszolút konvergens, akkor tetszőleges átrendezése is konvergens,

és az összeg is változatlan.

(2) Ha egy sor feltételesen konvergens, akkor van olyan átrendezése, amelyiknekaz összege egy tetszőleges, előre adott c szám.

Eszerint az átrendezhetőség kifejezetten az abszolút konvergens sorok sajátja.Feltételesen konvergens sor nemcsak tetszőleges összegű sorrá rendezhető át, hanemdivergens sorrá is. Most megelégszünk a (2) állítás igazolásával.

Bizonyítás. Legyen a bizonyítás során a sor∑

n an.(1): Legyen az átrendezett sor

∑an(k) és a részletösszegei: s′k =

∑ki=1 an(k).

Adott ε > 0 számhoz van olyan N , hogy

m∑i=n

|ai| 5 ε, ha N 5 n 5 m.

A k számot olyan nagyra választjuk, hogy az 1, 2, . . . , N indexek mindegyike szere-peljen az n(1), . . . , n(k) indexek között. Ekkor

|s′k − sn| 5m∑

i=n

|ai| 5 ε, ha N 5 n 5 m és nk 5 m,

és ezért az sn és s′k sorozatok határértéke megegyezik.(2): A

∑an feltételesen konvergens sornak nyilvánvalóan vannak mind pozitív,

mind negatív tagjai. Legyen a pozitív tagok sorozata α1, α2, . . . , αn, . . . , anegatívak sorozata pedig −β1, −β2, . . . , −βn, . . . . A

∑αn és

∑βn sorok

divergensek, mert a∑an részletösszegére:

sn = (α1 + · · ·+ αp)− (β1 + · · ·+ βq)

valmilyen p és q indexekkel. Az egyenlőség baloldalán lévő sorozat konvergens, ésha például a tp

.= α1 + · · · + αp sorozat is konvergálna, akkor konvergálna ahq

.= β1 + · · ·+ βq sorozat is, de ekkor az

tp − hq = α1 + · · ·+ αp + β1 + · · ·+ βq = |a1|+ |a2|+ · · ·+ |an|

sorozat is konvergálna, ellentétben azzal, hogy a szóbanforgó sor csak feltételesenkonvergens.

Legyen most a c egy tetszőleges, rögzített valós szám. Mivel a∑αn és

∑βn

sorok divergensek, ezért először is van olyan p1 index, hogy

α1 + · · ·+ αp1 > c és α1 + · · ·+ αp1−1 5 c;

van továbbá olyan q1 index, hogy

α1 + · · ·+ αp1 − β1 − · · · − βq1 < c, és α1 + · · ·+ αp1 − β1 − · · · − βq1−1 = c.



Ezt az eljárást folytatva egy

α1 + · · ·+ αp1 − β1 − · · · − βq1 + · · ·+ αpk

+ · · ·+ αpk+1 − βqk− · · · − βqk+1 + · · ·

átrendezéséhez jutunk a sorozatnak, amelyről belátjuk, hogy a c számhoz tart. Akonstruált sor

sp1 , sp1+q1 , sp2+q1 , sp2+q2 , sp3+q2 , . . . (2.5)

részletösszegei sorozatának a c számtól való eltérései a konstrukció szerint rendrenem nagyobbak, mint az

αp1 , βq1 , αp2 , βq2 , αp3 , βq3 , . . .

sorozatnak az elemei, amelyek az eredeti sor konvergenciája miatt nullához tarta-nak. Emiatt a részletösszegek (2.5) sorozata tart a c számhoz. Már csak azt kellmegnéznünk, hogy mi van azokkal a részletösszegekkel, amelyek nem szerepelnek a(2.5) sorozatban. A konstrukció szerint átrendezett sor többi részletösszege a (2.5)részletösszeg-sorozat tagjai közé esik (a p1-nél kisebb indexű a sor elejére), ezért azösszes részletösszegből álló sorozat is tart a c-hez.

A disztributivitás kérdésével külön alpontban foglalkozunk, de a következő tételmásodik állítása a disztributivitás egy nagyon egyszerű esetének tekinthető:

2.46 Állítás. (Sorok összege és számmal való szorzása)Legyen

∑n an és

∑n bn konvergens sor, az γ pedig valós szám. Ekkor igazak a

következők:

Összeg limesze.∑∞

n=1(an + bn) =∑∞

n=1 an +∑∞

n=1 bn.

Számmal szorzott sor limesze.∑∞

n=1 γan = γ ·∑∞

n=1 an.

Bizonyítás. Mindkét bizonyítás egyszerű, de részletesen leírjuk.(1): Legyen α .=

∑∞i=1 an és β .=

∑∞i=1 bn. A sorok konvergenciája miatt tetszőleges

ε pozitív számhoz van olyan n1 és n2 index, hogy∣∣∣∣∣n∑

i=1

an − α

∣∣∣∣∣ < ε/2, ha n1 5 n és

∣∣∣∣∣n∑

i=1

bn − β

∣∣∣∣∣ < ε/2, ha n2 5 n,

és így az n3.= maxn1, n2 indexre∣∣∣∣∣n∑

i=1

an − α

∣∣∣∣∣ < ε/2 és

∣∣∣∣∣n∑

i=1

bn − β

∣∣∣∣∣ < ε/2, ha n3 5 n.

Ezeket felhasználva egyszerű számolással kapjuk, hogy∣∣∣∣∣n∑

i=1

(an + bn)− (α+ β)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣n∑

i=1

(an − α) + (bn − β)

∣∣∣∣∣5

∣∣∣∣∣n∑

i=1

an − α

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣

n∑i=1

bn − β

∣∣∣∣∣< ε/2 + ε/2 = ε,

(2): Ha γ = 0, akkor nyilvánvalóan igaz az állítás, ezért feltesszük, hogy γ 6= 0.Mivel a α =

∑an, ezért tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan n1 index, hogy∣∣∣∣∣

n∑i=1

an − α

∣∣∣∣∣ < ε

|γ|, ha n1 5 n.



Ebből pedig kapjuk, hogy∣∣∣∣∣n∑

i=1

γbn − γα

∣∣∣∣∣ = |γ|

∣∣∣∣∣n∑

i=1

an − γ

∣∣∣∣∣ < |γ| ε|γ|

= ε, ha n1 5 n,

és ezzel beláttuk az állítást.

2.2.5. Sorok szorzásaAz 2.46.(2) állítás egyszerű disztributivitásánál sokkal mélyebb disztributivitási tu-lajdonság is felvethető. A közönséges disztributivitást véges összegekre így szoktukmemorizálni: „Összeget úgy szorzunk összeggel, hogy az egyik összeg minden tagjátszorozzuk a másik összeg minden tagjával, és a nyert szorzatokat összeadjuk.” Asorok esetében ez a kérdés egészen mély problémává válik. A probléma egyik feleegyszerű. Ha van két sorunk:

∞∑n=1

an és∞∑

n=1

bn,

akkor az egyik sor minden tagját szorozva a másik sor minden tagjával megkapjukaz

anbm, n = 1, 2, . . . és m = 1, 2 . . . (2.6)

számoknak az összességét. Ezeket táblázatba is rendezhetjük:

a0b0 a0b1 a0b2 a0b3 · · · a0bk · · ·a1b0 a1b1 a1b2 a1b3 · · · a1bk · · ·a2b0 a2b1 a2b2 a2b3 · · · a2bk · · ·a3b0 a3b1 a3b2 a3b3 · · · a3bk · · ·

......

......

......

...akb0 akb1 akb2 akb3 · · · akbk · · ·

......

......

......

...

A probléma abban van, hogy milyen sorrendben adjuk össze az itt szereplő szor-zatokat, hiszen láttuk a kommutativitás (átrendezés) vizsgálatánál, hogy a sorrenddöntő kérdés. Az abszolút konvergencia esetében egyszerű a válasz, de feltételesenkonvergens soroknál nem. A soroknak voltaképpen annyiféle összeszorzása lehet-séges, ahány sorrendet és csoportosítást lehet definiálni a (2.4) alatti számokra.Természetesen nem minden sorrend egyformán érdekes. Most a leginkább használtszorzást definiáljuk:

2.47 Definíció. (Sorok Cauchy-szorzata)Legyen

∑∞n=0 an és

∑∞n=0 bn két sor. Ezen sorok szorzatának (Cauchy-szorzatának)

fogjuk mondani azt a sort, amelynek az n-edik tagja:

cn = a0bn + a1bn−1 + · · ·+ an−1b1 + anb0 =n∑

i=0

aibn−i =∑

i+j=n

aibj .

Könnyen látható, hogy ilyen módon a (2.4) alatti számok mindegyike pontosanegyszer tagja valamelyik cn-et előállító összegnek.

Ezen szorzási szabály eredetére mutat, és egyúttal megjegyzési segítség is akövetkező: Az an és bn sorozatokat írjuk fel egy formális (szimbolikus) végtelen soktagú polinom együtthatóiként:

a.= a0 + a1t+ a2t

2 + · · ·+ antn + · · ·



ésb.= b0 + b1t

1 + b2t2 + · · ·+ bmt

m + · · · .

A „formális” jelző azt mondja, hogy ne törődjünk azzal, hogy van-e valami értékeezeknek a „polinomoknak”, csak a puszta formát nézzzük. Ha ezt a két végtelen tagúpolinómot formálisan összeszorozzuk és a tagokat a t hatványai szerint rendezzük,akkor azt kapjuk, hogy

a · b = a0b0 + (a0b1 + a1b0)t+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)t2+

+ (a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0)t3 + (a0b4 + a1b3 + a2b2 + a3b1 + a4b0)t4 + · · · .

Azt tapasztaljuk, hogy ennek a formális szorzatnak az együtthatói pontosan a sorokszorzásának a definíciójában szereplő cn tagok, és ha az előző formális szorzatban at helyére 1-et teszünk, akkor az

∑an és

∑bn sorok Cauchy-szorzatát kapjuk. Itt

jegyezzük meg, hogy a sorokat azért indexeltük nullától, mert nyilvánvalóan ez illikjobban a mondott formalizmushoz.

Egy példában majd látni fogjuk, hogy két feltételesen konvergens sor Cauchy-szorzata divergens is lehet, és csak a következő tételt állíthatjuk:

2.48 Állítás. (Mertens tétele)Legyen a

∑∞i=0 an sor abszolút konvergens, a

∑∞i=0 bn sor pedig konvergens.

Ekkor a két sor∞∑

i=0

cn, ahol cn =n∑

i=0

aibn−i =∑

i+j=n

aibj

Cauchy-szorzata is konvergens, és( ∞∑i=0

an

)( ∞∑i=0

bn

)=

∞∑i=0

cn.

Bizonyítás. Vezessük be a következő jelöléseket:

A.=

∞∑i=0

ai, B.=

∞∑i=0

bi, C.=

∞∑i=0

cn.

An.=

n∑i=0

ai, Bn.=

n∑i=0

bi, Cn.=

n∑i=0

cn.

A Cn sorozatról azt szeretnénk belátni, hogy tart az AB szorzathoz, ezért olyanalakba rendezzük, amiből majd le tudjuk vonni ezt a következtetést:

Cn = a0b0 + (a0b1 + a1b0) + · · ·+ (a0bn + a1bn−1 + · · ·+ an−1b1 + anb0)= a0Bn + a1Bn−1 + · · ·+ an−1B1 + anB0 =

= a0(B − (B −Bn)) + · · ·+ an−1(B − (B −B1)) + an(B − (B −B0))= AnB − (a0(B −Bn) + · · ·+ an−1(B −B1) + an(B −B0)).

Írjuk egy sorba az átalakítások eredményét:

Cn = AnB − (a0(B −Bn) + · · ·+ an−1(B −B1) + an(B −B0)).

Ebből kiindulva a bizonyítás menete: Az AnB tart az AB-hez, ezért csak azt kellmegmutatnunk, hogy a jobboldali második tag nullához tart. Az

a0(B −Bn) + · · ·+ an−1(B −B1) + an(B −B0)



összeg azért lesz kicsi, mert az „első fele” kicsi a (B − Bi) szorzók kicsi volta mi-att (tartanak a nullához, ha i tart a végtelenhez), a „második fele” pedig az

∑ai

sor abszolút konvergenciája miatt lesz kicsi. A pontos végrehajtás: Adott ε > 0számhoz van olyan N1, hogy |B −Bm| 5 ε, ha N1 5 m, és ebből

|a0(B −Bn) + . . .+ an−k(B −Bk)|5 |a0| · |B −Bn|+ · · ·+ |an−k| · |B −Bk|

5n−k∑i=0

|ai|ε 5

( ∞∑i=0

|ai|

)ε,

ha N1 5 k. Összefoglalva az eredményt:

|a0(B −Bn) + . . .+ an−k(B −Bk)| 5

( ∞∑i=1

|an|

)ε, ha N1 5 k. (2.7)

Az összeg másik részének a becslése:

|an−k+1(B −Bk−1) + · · ·+ an(B −B0)|5 |an−k+1| · |B −Bk−1|+ · · ·+ |an| · |(B −B0)|

5

(n∑

i=n−k+1

|ai|

)max

05i5k−1|B −Bi|.

Mivel a |B−Bi| sorozat tart a nullához, ezért van olyan K szám, hogy |B−Bi| 5 Kminden i-re, és így az előző becslés a következőképpen folytatható:

5 K ·

(n∑

i=n−k+1

|ai|

),

amire a∑ai abszolút konvergenciája miatt, a Cauchy-kritérium szerint az írható,

hogy 5 Kε, ha az (n− k) index nagyobb mint valamilyen N2 szám. Összefoglalvaaz eredményt:

|an−k+1(B −Bk−1) + · · ·+ an(B −B0)| 5 Kε, ha N2 5 n− k (2.8)

A (2.7) és (2.8) becslések alapján:

|a0(B −Bn) + · · ·+ an−1(B −B1) + an(B −B0)|5 |a0(B −Bn) + · · ·+ an−k(B −Bk)|+

|an−k+1(B −Bk−1) + · · ·+ an(B −B0)| 5 ε

( ∞∑i=1

|an|+K

),

ha N1 5 k és N2 5 n−k. Ezzel pedig készen is vagyunk, mert(∑+∞

i=1 |an|+K)

egyfix szám, az ε > 0 pedig tetszőleges, ezért az egyenlőtlenség jobboldala bármilyenszámnál kisebbé tehető, tehát a baloldal tart nullához, ha n tart a végtelenhez.

Abszolút konvergens sorok a szorzással szemben is jól viselkednek, amennyibenCauchy-szorzatuk is abszolút konvergens, és az összegek értékei is szorzódnak:

2.49 Állítás. (Abszolút konvergens sorok Cauchy-szorzata)Legyenek

∑∞i=0 an és

∑∞i=0 bn abszolút konvergens sorok. Ekkor a két sor

+∞∑i=0

cn, ahol cn =n∑

i=0

aibn−i



Cauchy-szorzata is abszolút konvergens, és a sorok értékére:( ∞∑i=0

an

)( ∞∑i=0

bn

)=

∞∑i=0

cn.

Bizonyítás. Nyilvánvalóan

n∑i=0

|cn| 5∑

i+j5n

|aibj | 5

(n∑

i=0

|ai|

)(n∑

i=0

|bi|

)5(∑

|ai|)·(∑

|bi|).

Eszerint a∑|cn| nemnegatív tagú sor szeletei korlátosak, és így konvergens.

Azt kell még látnunk, hogy a szorzat sor összege megegyezik a tényező sorokösszegeinek a szorzatával. Ez viszont Mertens tétele szerint igaz.


3. fejezet

Intervallumon értelmezett valósfüggvények

Ebben a fejezetben intervallumon értelmezett függvényeket kívánunk vizsgálni, deettől némelykor eltérni kényszerülünk, mert meg kell engednünk azt, hogy az inter-vallum bizonyos pontjaiban esetleg nincs értelmezve a függvény. Az intervallumonvaló értelmezés helyett ilyen esetekben a hiányos környezetben való értelmezésthasználjuk. Részletezve: ha az f függvény nem értelmezett az x pontban, vagynem akarjuk az ottani értékét figyelembe venni, de van olyan δ pozitív szám, hogyaz f definiált az (x− δ, x+ δ)rx hiányos környezetben, akkor azt mondjuk, hogyaz f definiált (értelmezett) az x pont egy hiányos környezetében.

3.1. Valós függvény határértékei

3.1.1. Véges határérték3.1 Definíció. (Függvény (véges) határértéke végesben)

Tegyük fel, hogy az f függvény értelmezett a c pont egy hiányos környezetében. Ekkoraz α számot az f függvény c pontban vett határértékének vagy limeszének mondjuk,ha a következők valamelyike teljesül:

1. Tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan δ pozitív szám, hogy

|f(x)− α| < ε, ha 0 < |x− c| < δ.

2. Az α szám tetszőleges, 0 < ε sugarú (α − ε, α + ε) gömbkörnyezetéhez vanolyan δ sugarú (c − δ, c + δ) ⊆ J gömbkörnyezete c-nek, amelyből elvéve a cközéppontot az α szám (α− ε, α+ ε) környezetébe képződik:

f((c− δ, c+ δ) r c) ⊆ (α− ε, α+ ε).

3. Az α szám tetszőleges H gömbkörnyezetéhez van olyan G gömbkörnyezete az c-nek, amelyből elvéve az c középpontot az α szám H gömbkörnyezetébe képződik:f(Gr c) ⊆ H.

4. Az α szám tetszőleges U környezetéhez van olyan V környezete a c pontnak,hogy f(V r c) ⊆ U.

A szokásos jelölések: limx→c

f(x), limx=c

f(x).

96

3.1. VALÓS FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKEI 97

A definícióban szereplő állítások sorrendjét úgy választottuk meg, hogy az elsőekvivalenciája a másodikkal, a másodiké a harmadikkal, és így tovább, könnyen in-dokolható, mert egyszerű átfogalmazásokról van csak szó. Fontosnak tartjuk hang-súlyozni, hogy egy definíció vagy állítás többféle — alig eltérőnek látszó — megfo-galmazása mögött az van, hogy egyrészt több oldalról szeretnénk látni a fogalmatvagy állítást; másrészt fontos, hogy megtanuljunk beszélni, fogalmazni a tárgyaltfogalmi rendszerben.

Az első állítás a klasszikus megfogalmazás, amelyet ε−δ-technikának szokás ne-vezni. A továbbiakban mi is elsősorban ezt a definíciót használjuk a bizonyításoksorán. Az állítások sorrendje olyan, hogy egyre inkább „minőségivé” válik, a legutol-sóban már nincs szó az elsőben szereplő ε−δ-technikában megnyilvánuló konkrétabb„számszerűségről”.

3.2 Példa. (Állandó függvény határértéke)Legyen f(x) = α, ha x ∈ R. Az f függvény határértéke minden pontban α.

3.3 Példa. (Az azonosság függvény határértéke)Legyen f(x) = x, ha x ∈ R. Az f függvény határértéke a c pontban c.

Az indoklás meglehetősen egyszerű, hiszen |x− c| < ε, ha 0 < |x− c| < ε, teháta ε-hoz a δ = ε alkalmas az (1) definícióban.

Gyakori eset, hogy egy intervallumon értelmezett függvény esetében az interval-lum végpontjában kell vennünk a határértéket. Ehhez ad megfelelő fogalmat a jobb-és baloldali határértékek bevezetése. A definíciója pontosan úgy megy, mint az előződeinícióban, csak a pontozott környezetet relatív környezetként kell kezelnünk. Ezpersze azt jelenti, hogy általános értelemben a bal- és jobboldali határérték relatívnézőpontból „közönséges határérték”.

3.4 Definíció. (Függvény bal- és jobboldali véges határértéke)Tegyük fel, hogy az f függvény értelmezett a c pont egy jobboldali pontozott környe-zetében. Ekkor az α számot az f függvény c pontban vett jobboldali határértékének,limeszének mondjuk, ha a következők valamelyike teljesül:

1. Tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan δ pozitív szám, hogy

|f(x)− α| < ε, ha 0 < x− c < δ.

Másképpen: |f(x)− α| < ε, ha c < x < c+ δ..

2. Az α szám tetszőleges, 0 < ε sugarú (α − ε, α + ε) gömbkörnyezetéhez vanolyan δ sugarú jobboldali pontozott gömbkörnyezete c-nek, amely az α szám(α− ε, α+ ε) környezetébe képződik:

f((c, c+ δ)) ⊆ (α− ε, α+ ε).

A szokásos jelölések: limx→c+ f(x), limx=c+ f(x). Hasonló a baloldali határértékdefiníciója, amelynek a jelölése: limx→c− f(x), limx=c− f(x).

3.5 Példa. (Az előjelfüggvény határértékei a nullában)Határozzuk meg az előjel függvény baloldali és jobboldali limeszeit a nulla pontban.

A balról vett határérték 1, a jobbról vett −1, a függvény értéke pedig a nullábanmindkét határértéktől különböző: 0.

A következő állítás összekapcsolja a baloldali és jobboldali határértékeket a ha-tárértékkel. A bizonyítás nyilvánvaló.



3.6 Állítás. (Bal- és jobboldali határértékek egyenlősége)Legyen az f függvény értelmezett a b pont egy pontozott környezetében. Ha az fjobb- és baloldali határértékei megegyeznek a c pontban, azaz

limx→b+

f(x) = limx=b−

f(x),

akkor a b pontban vett határérték is létezik, és megegyezik a közös értékkel:

limx→b

f(x) = limx→b+

f(x) = limx→b−

f(x).

A sorozatok és függvények határértékét kapcsolja össze a következő fontos állítás:

3.7 Állítás. (Függvények és sorozatok határértékének kapcsolata)(1) Legyen az f függvény értelmezett a c pont egy pontozott környezetében. Ek-

kor az α szám pontosan akkor határértéke az f függvénynek a c pontban, halimn→+∞ f(xn) = α, minden c ponthoz tartó (xn), (xn 6= c) sorozatra.

(2) Legyen az f függvény definiált a c pont egy pontozott jobboldali környezetében.Ekkor az α szám pontosan akkor jobboldali határértéke az f függvénynek a cpontban, ha limn→+∞ f(xn) = α, minden c ponthoz jobbról tartó sorozatra.

Ennek az állításnak a segítségével a függvények határértékére vonatkozó állításokjó része visszavezethető sorozatoknál kimondott tételekre, ezért igen fontos állítás.

Bizonyítás. (1): Tegyük fel először azt, hogy f -nek a c helyen határértéke azα. Megmutatjuk, hogy tetszőleges xn → c, (xn 6= c) sorozat esetében f(xn) → α.Mivel limx→c f(x) = α, ezért tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan δ pozitívszám, hogy

|f(x)− α| < ε, ha 0 < |x− α| < δ.

Az xn sorozat c-hez való tartása miatt van olyan n0, hogy

0 < |xn − c| < δ, ha n0 5 n.

A két utóbbi kiemelt sorból kapjuk, hogy

|f(xn)− α| < ε, ha n0 5 n,

tehát limn f(xn) = α.Az állítás másik irányú részének a belátásához tegyük fel, hogy van olyan ε

pozitív szám, hogy semmilyen δ pozitív számra sem igaz az, hogy |f(x) − α| < ε,ha 0 < |x− c| < δ. Ebből pedig következik, hogy a szóbanforgó ε mellett van olyanxn, amelyre

|f(xn)− α| = ε, és 0 < |xn − c| < 1/n.

Az így kapott xn sorozat tart a c-hez, de f(xn) nem tart az α-hoz, és ezzel beláttukaz állítás második felét is.(2): Pontosan ugyanúgy történik, mint az (1) igazolása.

A sorozatokhoz hasonlóan a függvény határértékek is őrzik a rendezést:

3.8 Állítás. (Függvény határértéke őrzi a rendezést)Legyen az f és g függvény értelmezett a c pont egy hiányos környezetében, és ottf(x) 5 g(x). Ekkor, ha az f és g függvénynek van határértéke a c pontban, akkorlimx→c f(x) 5 limx→c g(x).



Hasonló állítás igaz a jobb- és baloldali határértékek esetében.

Bizonyítás. Az f(x) 5 g(x) feltételből következik, hogy minden c-hez tartó xn

sorozatra (eléggé nagy indexre): f(xn) 5 g(xn), és így a sorozatlimeszek rendezés-tartó volta miatt limn f(xn) 5 limn g(xn), és így az 2.10. állításból adódik, hogylimx→c f(x) 5 limx→c g(x).

3.9 Állítás. (Rendőrelv)Legyen az f , g és h értelmezett a c pont egy pontozott környezetében, és ott f(x) 5h(x) 5 g(x). Tegyük fel, hogy az f és g függvényeknek azonos határértéke van a cpontban. Ekkor a h függvénynek is van határértéke a c pontban, amely megegyezikaz f és g azonos határértékével.

A „rendőrelv” elnevezés nagyon szemléletes: két rendőr közrefog egy személyt,és egy helyre kíséri. Ez a játékos elnevezés magyar specialitás, nemzetközileg nemhasználatos.

Bizonyítás. Legyen α az f és g közös határértéke a c pontban. Ekkor a feltételkéntadott egyenlőtlenségből

f(x)− α 5 h(x)− α 5 g(x)− α,

amelyből |h(x)−α| 5 max|f(x)−α|, |g(x)−α|. Ebből pedig azonnal következikaz állítás, hiszen |f(x)− α| → 0 és |g(x)− α| → 0.

3.10 Állítás. (Formális szabályok)Tegyük fel, hogy az f és g függvényeknek van határértékük a b helyen. Ekkor fenn-állnak a következők.

(1) limx→b

(f + g)(x) = limx→b

f(x) + limx→b

g(x).

(2) limx→b

(f · g)(x) = limx→b

f(x) · limx→b

g(x).

(3) limx→b

(αf)(x) = α · limx→b

f(x), ha az α tetszőleges valós szám.

(4) limx→b

f

g(x) =

limx→b f(x)limx→b g(x)

, feltéve, hogy limx→b g(x) 6= 0.

Pontosan ilyen állítások igazak a jobb- és baloldali határértékek esetében.

Bizonyítás. Megtehetnénk, hogy — a sorozatokhoz hasonlóan — az ε−δ-technikávallátjuk be az állításokat, vagy pedig csak azt tesszük, hogy a 3.7. állítás alapján eztmondjuk: a formális szabályok fennállnak minden, a c-hez tartó sorozatra. Ezutóbbiból azonnal adódnak az állítások.

3.11 Példa. (Polinomok határértéke végesben)Legyen f(x) = x2 − 3x + 2, (x ∈ R). Az f függvény határértéke a c pontbanmegegyezik az f(c) helyettesítési értékkel.

Láttuk, hogy az x 7→ x függvénynél a határéték a c pontban c, az állandófüggvénynél az állandó. Az f(x) = x2 − 3x + 2 függvény ebből a két függvénybőlépíthető fel a formális szabályok segítségével, és így helyes a példa állítása.

A sorozatoknál a — véges vagy végtelen — határértéket a +∞-nél vettük, ezértsok ismerős vonást fedezhetünk fel a következő definícióban. Csak egy definíciótadunk, de fogalmazzon meg az olvasó környezettel is meghatározásokat.



3.12 Definíció. (Függvény (véges) határértéke végtelenben)Legyen a J intervallum felülről korlátlan és f : J → R. Ekkor az α számot az ffüggvény +∞-ben vett határértékének mondjuk, ha tetszőleges ε pozitív számhoz vanolyan δ szám, hogy

|f(x)− α| < ε, ha δ < x.

A szokásos jelölések: limx→+∞

f(x), limx=+∞ f(x). Hasonló a −∞-ben vett határérték

definíciója, és a jelölések: limx→−∞

f(x), ; limx=−∞ f(x).

3.13 Példa.határozzuk meg az x 7→ 1/x, (R++ → R) függvény határértékét plusz végtelenben.

A végtelenben vett határértékek is ugyanúgy őrzik a rendezést, mint a végesbenvett határértékek, azaz igaz marad ebben az esetben is a 3.8. állítás megfelelője.Hasonlóan: igaz marad a 3.7. állítás megfelelője is a sorozat- és függvény-limeszkapcsolatára.

A végtelenben vett véges határértékekre vonatkozó formális szabályok pontosanolyanok, mint a végesben vett véges határértékeknél. Itt a plusz végtelenben vetthatárértékek esetét írjuk le:

3.14 Állítás. (Formális szabályok végtelenben vett véges határértékekre)Tegyük fel, hogy az f és g valós függvényeknek van határértékük a +∞-ben. Ekkorfennállnak a következők.

(1) limx→+∞

(f + g)(x) = limx→+∞

f(x) + limx→+∞

g(x).

(2) limx→+∞

(f · g)(x) = limx→+∞

f(x) · limx→+∞

g(x).

(3) limx→+∞

(αf)(x) = α · limx→+∞

f(x), ha az α tetszőleges valós szám.

(4) limx→+∞

f

g(x) =

limx→+∞ f(x)limx→+∞ g(x)

, feltéve, hogy limx→+∞

g(x) 6= 0.

Bizonyítás. Mintaként az összegre vonatkozó szabályt látjuk be, a többit a gya-korlatokra hagyjuk. Direkt bizonyítást írunk le, de hivatkozhatnánk a sorozat ésfüggvény határértékének a kapcsolatára is, amit nem mondtunk ki, csak említet-tünk.(1): Legyen ε tetszőleges pozitív szám, és p1 és p2 számok olyan nagyok, hogy

|f(x)− limu→+∞

f(u)| 5 ε/2, ha p1 5 x

és|g(x)− lim

u→+∞g(u)| 5 ε/2, ha p2 5 x.

Ezt a kettőt felhasználva a következőképpen számolhatunk:∣∣∣∣(f(x) + g(x))−(

limu→+∞

f(u) + limu→+∞

g(u))∣∣∣∣

5 |f(x)− limu→+∞

f(u)|+ |g(x)− limu→+∞

g(u)|

5 ε/2 + ε/2 = ε, ha maxp1, p2 5 x,

és ezzel az állítást beláttuk.



3.1.2. Végtelen határértékekFüggvény határértékeinek a definícióit hosszadalmassá teszi, hogy több esetet kellmegkülönböztetni: a határérték lehet véges vagy végtelen, és a határérték helyeis lehet véges vagy végtelen. Már tárgyaltuk a véges határérték esetét végesben ésvégtelenben, most a végtelen határérték végesben és végtelenben való esetét tárgyal-juk. Az előző pontok után rutin feladatról van szó, és nem törekszünk teljességre,mert az egyes esetekben — ha szükség van rá — külön meggondolhatjuk a felvetődőfogalmat vagy állítást.

3.15 Definíció. (Függvény végtelen határértéke végesben)Legyen a J intervallum és f : J → R. Ha a c ∈ R belső pontja a J intervallumnak,akkor azt mondjuk, hogy az f függvény c pontban vett határértéke (limesze) +∞, hatetszőleges K számhoz van olyan δ pozitív szám, hogy f(x) > K, ha 0 < |c−x| < δ.Hasonlóan: az f limesze −∞, ha tetszőleges K számhoz van olyan δ pozitív szám,hogy f(x) < K, ha 0 < |c− x| < δ.

A bal- és jobboldali végtelen határértékek ugyanígy definiálhatók.

3.16 Definíció. (Függvény végtelen határértékei végtelenben)Legyen a J felülről korlátlan intervallum, f : J → R Ekkor azt mondjuk, hogy azf függvény határértéke +∞-ben +∞, ha tetszőleges K számhoz van olyan B szám,hogy f(x) > K, ha x > B. Hasonlóan definiálható a +∞-ben vett −∞ határérték,és a −∞-ben vett +∞ határértékek.

A most definiált esetekben, amikor a határérték végtelen — a teljesség igényenélkül — megfogalmazzunk néhány formális szabályt, amelyet gyakran használunk:

3.17 Állítás. (Végtelen határérték formális szabályai)(1) Ha az f és g limeszei egy pontban véges érték vagy plusz végtelen, akkor az

f + g limesze a két limesz összege (plusz végtelen, ha legalább az egyik pluszvégtelen).

(2) Ha az f limesze pozitív, a g limesze pedig plusz végtelen, akkor a szorzatlimesze is plusz végtelen. Ha az f limesze negatív, akkor a szorzat limeszeminusz végtelen.

(3) Ha az f limesze plusz vagy mínusz végtelen, akkor a reciprokának a limeszenulla.

(4) Ha az f limesze nulla, akkor a reciprokának a limesze plusz végtelen, ha pozitívszámokon keresztül tart a nullához, és mínusz végtelen, ha negatív számokonkeresztül.

Bizonyítás. A bizonyítások közül a harmadik és negyedik állítást látjuk be, atöbbit az olvasóra bízzuk.(3): Legyen az f limesze — mondjuk — plusz végtelen. Adott ε pozitív számhozvan olyan δ szám, hogy f(x) > 1/ε, ha 0 < |x − c| < δ, és így 0 < 1/f(x) < ε, ha0 < |x− c| < δ. Eszerint pedig limx→c 1/f(x) = 0.

(4): Tartson az f — mondjuk — pozitív számokon keresztül, a nullához. Ez aztjelenti, hogy adott 0 < K számhoz van olyan δ pozitív szám, hogy 0 < f(x) < 1/K,ha 0 < |x − c| < δ. Ez pedig azt jelenti, hogy 1/f(x) > K, ha 0 < |x − c| < δ,tehát limx→c 1/f(x) = +∞.

3.18 Állítás. (Hatványfüggvény limeszei a plusz végtelenben)Fennállnak a következő limesz-relációk.



(1) limx→+∞

xn = +∞, ha n > 0,

(2) limx→+∞

xn = 0, ha n < 0,

Bizonyítás. (1): Legyen a p tetszőleges szám. Az xn = 1 + n(x − 1) Bernoulli-egyenlőtlenségből

xn = p, ha n(x− 1) = p, azaz ha x = p/n+ 1.

(2): Az (1)-ből és abból a formális szabályból, hogy a végtelenhez tartó függvényreciproka a nullához tart.

3.19 Példa.Határozzuk meg a

limx→+∞

3x2 + 7x− 9−2x2 − 6x+ 12

limeszt.

A számlálót és nevezőt x2-tel osztva:

3x2 + 7x− 9−2x2 − 6x+ 12

=3 + 7 1

x − 9 1x2

−2− 6 1x + 12 1

x2

.

A számlálóban és a nevezőben az 1/x és 1/x2 függvények tartanak a nullához, haaz x a végtelenbe tart, és így

limx→+∞

3x2 + 7x− 9−2x2 − 6x+ 12

= −32.

3.1.3. Cauchy-kritériumokEmlékezhetünk arra, hogy sorozatok konvergenciájára két fő kritériumot láttuk be:a monoton sorozatokra vonatkozó állítást és a Cauchy-kritériumot. A monotonfüggvényekre külön pontot szánunk, a Cauchy-kritériumot pedig itt írjuk le. Lássukelőször a végesben vett véges határérték esetét:

3.20 Állítás. (Függvényre vonatkozó Cauchy-kritérium végesben)Ha az f valós változós és valós értékű függvény definiált a b pont egy pontozottkörnyezetében, és minden ε pozitív számhoz van olyan δ pozitív szám, hogy

|f(x)− f(y)| 5 ε, ha 0 < |x− b| < δ és 0 < |y − b| < δ, (3.1)

akkor az f függvénynek a b pontban van határértéke.

Bizonyítás. A bizonyítás két lépésből áll.Első lépés: Veszünk egy tetszőleges olyan xn, n = 1, 2, . . . sorozatot, amely bennevan az f értelmezési tartományában, és tart a b ponthoz. Megmutatjuk, hogy ekkoraz f(xn), n = 1, 2, . . . sorozat tart valamilyen z számhoz. A tétel feltétele szerint,adott ε pozitív számhoz van olyan δ, hogy a (3.1) teljesül. Mivel az xn sorozat tarta b-hez, ezért van olyan n0 index, hogy

|xn − b| < δ, ha n0 < n, ezért (3.1) alapján: |f(xn)− f(xm)| < ε, ha n0 < n,m.

Eszerint az f(xn) számsorozat Cauchy-sorozat, és a számsorozatokra vonatkozóCauchy-kritérium alapján, létezik limesze, amit z-vel jelölünk.



Második lépés: Most pedig megmutatjuk, hogy az első lépésben kapott z számlimesze az f függvénynek a b helyen. Legyen adott egy tetszőleges ε pozitív szám.A tétel feltételét az ε/2 számra alkalmazva:

|f(x)− f(y)| < ε

2, ha 0 < |x− b| < δ és 0 < |y − b| < δ. (3.2)

Mivel limxn = b, ezért van olyan n1, hogy |xn − b| < δ, ha n1 < n, ezért a (3.2)alapján:

|f(x)− f(xn)| < ε

2, ha 0 < |x− b| < δ és n1 < n. (3.3)

A lim f(xn) = z miatt, van olyan n2, hogy |f(xn)− z| < ε2 , ha n2 < n. Ennek és a

(3.3)-nek a felhasználásával:

|f(x)− z| 5 |f(x)− f(xn)|+ |f(xn)− z| < ε

2+ε

2= ε,

ha 0 < |x− b| < δ és maxn1, n2 < n. Ez viszont azt jelenti, hogy

|f(x)− z| < ε, ha 0 < |x− b| < δ, tehát limx→b

f(x) = z,

ahogyan állítottuk.

Végesben vett véges határértékre már megismertük a Cauchy-féle kritériumot.Most ennek a megfelelőjét bizonyítjuk be a végtelen helyen vett véges határértékre.

3.21 Állítás. (Cauchy kritérium végtelenben)Tegyük fel, hogy egy f valós függvény értelmezési tartománya, tartalmaz felülrőlkorlátlan intervallumot. Ha tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan p szám, hogy

|f(x1)− f(x2)| < ε, ha p 5 x1, x2,

akkor az f függvénynek a plusz végtelenben van véges határértéke.

Bizonyítás. A bizonyítást a 3.20. véges pontban vett Cauchy-kritériumra fogjukvisszavezetni. Azt az alapvető észrevételt fogjuk felhasználni, hogy a +∞-ben vetthatárérték a nullában vett jobboldali határértékre vezethető vissza a következőkszerint. Ha az x az (α,+∞) intervallumban van, akkor az 1/x a nullának a (0, 1/α)jobboldali környezetében helyezkedik el, és megfordítva. Emiatt azt állíthatjuk,hogy

limx→+∞

f(x) = limu→0+

f

(1u

).

A jobboldali (és így a baloldali) limesz létezésére a 3.20. állítás szerint elégségesfeltétel: Minden ε pozitív számhoz van olyan δ pozitív szám, hogy∣∣∣∣f ( 1

u1

)− f

(1u2

)∣∣∣∣ 5 ε, ha 0 < u2, u2 5 δ.

Ez viszont azzal ekvivalens, hogy minden ε pozitív számhoz van olyan p szám, hogy

|f(x1)− f(x2)| 5 ε, ha p 5 x1, x2,

(p = 1/δ). Ezzel viszont a most bizonyítandó tétel feltételét írtuk fel.


3.2. FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA 104

3.2. Függvények folytonossága

3.2.1. DefiníciókMivel a valós számok összességének metrikus tulajdonságai is vannak, ezért termé-szetes célkitűzés olyan függvények vizsgálata, amelyek „közeli” pontokat ”közeli”pontokba képeznek. Ezt az ε−δ-technikával a következőképpen fogalmazhatjukmeg:

3.22 Definíció. (Folytonosság adott pontban)Legyen a J intervallum. Az f : J → R függvényt folytonosnak mondjuk a J inter-vallum b belső pontjában, ha tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan δ pozitív szám,hogy

|f(x)− f(b)| < ε, ha |x− b| < δ.

Az f : J → R függvényt jobbról folytonosnak mondjuk a J intervallum b pontjában,ha tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan δ pozitív szám, hogy

|f(x)− f(b)| < ε, ha b 5 x < b+ δ.

Az f : J → R függvényt balról folytonosnak mondjuk a J intervallum b pontjában,ha tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan δ pozitív szám, hogy

|f(x)− f(b)| < ε, ha b− δ < x 5 b.

Az f függvény folytonosságának a definíciójához csak a b pont egy környezetébenkell néznünk a függvényt. Emiatt azt szokás mondani, hogy az egy pontban valófolytonosság lokális tulajdonság.

Nyilvánvaló, hogy ha az f balról és jobbról is folytonos egy pontban, akkorott folytonos. Ha b az intervallum baloldali végpontja, akkor ott csak a jobboldalifolytonosság jöhet szóba, a jobboldali végpontban pedig a baloldali folytonosság.

A következő állításban felsoroljuk, hogy milyen módon lehetne még definiálni afolytonosság fogalmát. A többféle, ekvivalens definícióból hol ezt, hol azt célszerűhasználni.

3.23 Állítás. (Pontban való folytonosság jellemzései)Legyen a J intervallum. Az f : J → R függvény pontosan akkor folytonos a Jintervallum egy b belső pontjában, ha a következő állítások valamelyike teljesül.

(1) A b pontban vett határérték megegyezik f(b)-vel: limx→b f(x) = f(b).

(2) Tetszőleges b ponthoz tartó (xn), (xn 6= b) sorozatra f(xn) → f(b).

(3) Az f(b) tetszőleges Vf(b) környezetéhez van olyan Ub környezete a b pontnak,hogy f(Ub) ⊆ Vf(b).

(4) Az f(b) tetszőleges Vf(b) környezetének az f−1(Vf(b)) inverzképe környezete ab pontnak.

Bizonyítás. (1): Az f függvény b pontban való folytonossága — a definíció szerint— pontosan azt jelenti, hogy a b pontban az f határértéke f(b).(2): Az (1)-nek és az 3.7. állításnak a következménye.(3): A környezet definíciója szerint a Vf(b) pontosan akkor környezet, ha tartalmazgömbkörnyezetet, azaz valamilyen ε pozitív számra (f(b) − ε, f(b) + ε) ⊆ Vf(b). Adefiníció szerint az f akkor folytonos a b pontban, ha a ε számhoz van olyan δpozitív szám, hogy

f(x) ∈ (f(b)− ε, f(b) + ε), ha b ∈ (b− δ, b+ δ).



Ez pedig azt jelenti, hogy f((b−δ, b+δ)) ⊆ (f(b)−ε, f(b)+ε) ⊆ Vf(b), amely pedigéppen egy alkalmas Ub környezet létét jelenti.(4): Ugyanúgy indokolható, mint az előző.

A baloldali és jobboldali folytonosságra pontosan olyan állítást mondhatunk ki,mint a folytonosság esetében:

3.24 Állítás. (Jobb- és baloldali folytonosság karakterizációi)Legyen az f definiálva a b pont egy jobboldali környezetében. Az f függvény pontosanakkor jobbról folytonos a b pontban, ha a következő állítások valamelyike teljesül.

(1) A b pontban vett jobboldali határérték megegyezik f(b)-vel: limx→b+ f(x) =f(b).

(2) Tetszőleges b ponthoz jobbról tartó (xn) sorozatra f(xn) → f(b).

(3) Az f(b) tetszőleges Vf(b) környezetéhez van olyan Ub jobboldali környezete a bpontnak, hogy f(Ub) ⊆ Vf(b).

Ha egy konkrét függvény folytonosságát akarjuk belátni, akkor a folytonosságdefiníciója közvetlenül alkalmazható az alábbi módon:

• Feltételezzük, hogy adott egy ε tetszőleges, de rögzített pozitív szám.

• Alkalmas módon meghatározunk az ε számhoz egy olyan δ pozitív számot,amelyikkel a definíció feltétele teljesül. Ilyen δ szám sok lehet, hiszen ha egymár van annál minden kisebb is alkalmas.

Lássuk most ennek a módszernek — amit ε−δ-technikának mondanak — kétalkalmazását:

3.25 Példa.Mutassuk meg, hogy az x 7→ (3x+1), R → R leképezés minden x pontban folytonos.

Legyen adva egy ε pozitív szám. Az x pontban való folytonossághoz olyan δpozitív számot kell találnunk, hogy |(3u+ 1)− (3x+ 1)| < ε legyen, ha |u− x| < δ.

Az |(3u+ 1)− (3x+ 1)| = 3|u− x| egyenlőségből azonnal kapjuk, hogy

|u− x| < ε/3 =⇒ |(3u+ 1)− (3x+ 1)| < ε,

tehát a δ = ε/3 szám alkalmas a célunkhoz (és persze minden ennél kisebb is).

3.26 Példa.Lássuk be, hogy az x 7→ x2, R → R leképezés minden b pontban folytonos.

Kiinduló környezetnek, ahol a függvényt vizsgáljuk, válasszuk a (b − 1, b + 1)gömböt, azaz b− 1 < x < b+ 1. Mivel

|x2 − b2| = |x− b| · |x+ b| 5 |x− b|(|x|+ |b|),

ezért a kiinduló, 1 suagrú gömbkörnyezet választása miatt

|x2 − b2| 5 |x− b|(|b|+ 1 + |b|) = (2|b|+ 1)|x− b|.

Ebből viszont láthatjuk, hogy ha (2|b|+ 1)|x− b| < ε. akkor |x2 − b2| < ε, tehát

δ = min1, ε

2|b|+ 1

megfelel a kívánalmaknak.Most pedig a pontban való folytonosság lokális tulajdonságából globális tulaj-

donságot definiálunk:



3.27 Definíció. (Globális folytonosság)Legyen a J intervallum, és f : J → R. Az f függvényt folytonosnak mondjuk a Jintervallumon, ha annak minden pontjában folytonos. Végpontokban — ha vannak— a jobb- illetve baloldali folytonosságot vesszük.

3.2.2. Formális szabályok, elemi függvények folytonosságaAz előző alpontban megoldottunk néhány olyan feladatot, amelyben a függvényfolytonosságát úgy láttuk be, hogy meghatároztunk az adott ε számhoz egy alkalmasδ számot. Ezt szerencsére nem kell mindig megtenni, mert sok függvény esetébenegyszerűen le lehet olvasni a folytonosságot a következők alapján:

• Megmutatjuk, hogy a folytonos függvények közötti műveletek — függvényé-pítési eljárások — folytonos függvényekhez vezetnek.

• Néhány elemi függvényre belátjuk, hogy folytonosak.

Ezek alapján kis számú függvényből a függvényépítő eljárások segítségével nyerhetőfüggvények eléggé széles összességére be tudjuk látni, hogy folytonosak.

3.28 Állítás. (Formális szabályok)Legyenek az f és g valós értékű és valós változós függvények, és az α tetszőlegesvalós szám. Ha az f és g függvények folytonosak a b helyen, akkor az

(a) f + g,

(b) f · g,

(c) αf ,

(d) f/g, feltéve, hogy g(b) 6= 0

leképezések is folytonosak a b pontban.

(e) Ha a g függvény folytonos a b pontban, az f pedig folytonos a g(b) pontban,akkor a f g kompozíció (összetett) függvény is folytonos a b helyen.

Bizonyítás. A bizonyításokat — arra hívatkozva, hogy a folytonosság a függvényértékének a határértékével való megegyezését jelenti — könnyen megadhatnánk, demost azt az utat választjuk, hogy az ε−δ-technika segítségével adunk igazolásokat.A bizonyításokat igyekszünk olyan részletességgel elmondani, hogy az ε−δ-technikaműködését jól követhessük.(a): Mivel

|(f(x) + g(x)

)−(f(b) + g(b)

)| = |

(f(x)− f(b)

)+(g(x)− g(b)

)|

5 |f(x)− f(b)|+ |g(x)− g(b)|, (3.4)

ezért szemmel látható, hogy ha az |f(x)− f(b)| és |g(x)− g(b)| eléggé kicsik, akkora (3.4) baloldala is eléggé kicsi. Ezt a tényt kell az ε−δ-technikával pontossá tenni.

A (3.4) jobb oldala kisebb mint egy ε pozitív szám, ha a jobboldalon lévő össze-adandók mindegyike kisebb, mint ε/2. Ezek után nem lehet meglepő a részletesbizonyítás: Az f függvénynek a b pontban való folytonossága miatt az ε/2, pozitívszámhoz található olyan pozitív δf szám, hogy

|f(x)− f(b)| < ε/2, ha |x− b| < δf . (3.5)

Hasonlóan a g folytonossága miatt van olyan δg pozitív szám, hogy

|g(x)− g(b)| < ε/2, ha |x− b| < δg. (3.6)



A (3.5) és (3.6) összeadásával kapjuk, hogy

|f(x)− f(b)|+ |g(x)− g(b)| < ε, ha |x− b| < minδf , δg,

és így (3.4) miatt készen is vagyunk.(b): Kezdjük itt is a szorzat-függvény eltérésének egy olyan átalakításával, amelybe„behozzuk” a tényező függvények eltéréseit:

|f(x)g(x)− f(b)g(b)| = |f(x)g(x)− f(x)g(b) + f(x)g(b)− f(b)g(b)|= |f(x)(g(x)− g(b)) + g(b)(f(x)− f(b))|

5 |f(x)| · |g(x)− g(b)|+ |g(b)| · |f(x)− f(b)|. (3.7)

Most ismét azt akarjuk elérni, hogy a baloldali összeadandók mindegyike kisebblegyen az ε/2 számnál. A második összeadandó esete az egyszerűbb: Az f foly-tonossága miatt az ε/(2(|g(b)| + 1)) pozitív számhoz van olyan δf pozitív szám,hogy

|f(x)− f(b)| < ε

2(|g(b)|+ 1), ha |x− b| < δf , (3.8)

amelyből

|g(b)| · |f(x)− f(b)| < 12ε, ha |x− b| < δf . (3.9)

(3.7) baloldalán lévő első összeadandó becsléséhez először állapítsuk meg azt, hogy(3.8) alapján |x− b| < δf esetén |f(x)− f(b)| < 1, amelyből

|f(x)| < |f(b)|+ 1, ha |x− b| < δf . (3.10)

Az g folytonossága miatt az ε2(|f(b)|+1) pozitív számhoz van olyan δg pozitív szám,

hogy|g(x)− g(b)| < ε

2(|f(b)|+ 1), ha |x− b| < δg,

amelyből, figyelembe véve a (3.10) egyenlőtlenséget is, azt kapjuk, hogy

|f(x)| · |g(x)− g(b)| < ε/2, ha |x− b| < minδg, δf. (3.11)

A (3.9) és (3.11) egyenlőtlenségek összeadásával — figyelembe véve a (3.7) egyen-őtlenséget — végül is adódik, hogy

|f(x)g(x)− f(b)g(b)| < ε, ha |x− b| < minδf , δg.

(c): Ez az eset nagyon egyszerű. Az f folytonossága miatt az ε/(|α|+ 1) számhozvan olyan δ, hogy

|αf(x)− αf(b)| 5 |α| · |f(x)− f(b)| < ε, ha |x− b| < δ,

ami bizonyítandó volt. (Miért vettük a közelítési pontosságot az ε/(|α|+1) számnakaz ε/|α| helyett?)(d): Ha belátjuk, hogy a g függvény reciproka folytonos, akkor a szorzat márbelátott folytonossága alapján az f ·1/g = f/g hányadosfüggvény is folytonos, ezértelégséges belátni a reciprokfüggvény folytonosságát. Nyilvánvaló átalakítással:∣∣∣∣ 1

g(x)− 1g(b)

∣∣∣∣ = |g(x)− g(b)||g(x)g(b)|

. (3.12)

A számláló megfelelően kicsivé tehető az x-nek a b-hez eléggé közeli választásával, detörődjünk először a nevezővel. Ahogyan már többször is tettük, lerögzíthetjük, hogya b pontnak milyen környezetében dolgozunk. Jelen esetben egy olyan környezetet



célszerű választani, ahol biztosíthatjuk a g(x) nemnulla voltát. Ezt elérhetjük, ha ag folytonosságát kihasználva, az |g(b)|/2) számhoz olyan δ1 pozitív számot veszünk,amelyre

|g(x)− g(b)| < 12|g(b)|, ha |x− b| < δ1,

amelyből |g(x)| > (1/2)g(b), és így

|g(x)g(b)| > 12|g(b)|2, ha |x− b| < δ1. (3.13)

A g folytonossága miatt az (2ε)/|g(b)|2 pozitív számhoz van olyan δ2 pozitív szám,amelyre

|g(x)− g(b)| < ε12 |g(b)|2

, ha |x− b| < δ2. (3.14)

A (3.12) egyenlőségből a (3.13) reláció alapján az adódik, hogy∣∣∣∣ 1g(x)

− 1g(b)

∣∣∣∣ = |g(x)− g(b)||g(x)g(b)|

5|g(x)− g(b)|

12 |g(b)|2

,

ha |x− b| < δ1, amiből a (3.14) egyenlőtlenség alapján azt kapjuk, hogy∣∣∣∣ 1g(x)

− 1g(b)

∣∣∣∣ = |g(x)− g(b)||g(x)g(b)|

< ε, ha |x− b| < minδ1, δ2,

amivel beláttuk az állítást.(e): Az f függvény g(b) helyen való folytonossága miatt adott ε pozitív számhozvan olyan δ pozitív szám, hogy

|f(g(x))− f(g(b))| < ε, ha |g(x)− g(b)| < δ,

a g függvénynek a b helyen vett folytonossága miatt pedig a δ pozitív számhoz vanolyan δ1 pozitív szám, hogy

|g(x)− g(b)| < δ, ha |x− b| < δ1.

Ezek szerint: az ε pozitív számhoz van olyan δ1 pozitív szám, hogy

|f(g(x)− f(g(b))| < ε, ha |x− b| < δ1,

ami az összetettfüggvény folytonosságát jelenti.

Az előző tétel szerint egy rögzített halmazon folytonos függvények zártak azösszeadásra és számmal való szorzásra nézve, ezért most egy újabb vektortérrelgyarapítottuk gyűjteményünket.

Az x 7→ 1 és x 7→ x valós függvények folytonosak, ezért folytonosak azok a függ-vények is, amelyek belőlük a formális szabályokkal felépíthetőek, azaz a polinómokés racionális törtfüggvények. Ezt fogalmazzuk meg a következő tételben.

3.29 Állítás. (Polinomok és racionális törtfüggvények folytonossága)(1) Tetszőleges

x 7→ p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

polinom folytonos a valós egyenes minden pontjában.

(2) Tetszőleges

x 7−→ anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ b0

törtfüggvény folytonos minden olyan pontban, ahol a nevező nem nulla.



Bizonyítás. Először lássuk be azt, hogy a pozitív egész kitevős x 7→ xn hatvány-függvény folytonos. Ez teljes indukcióval történik. Az n = 1 esetében igaz az állítás,hiszen csak annak kell teljesülni, hogy

|x− b| < ε, ha |x− b| < δ(= ε).

Ha feltesszük, hogy n-re igaz az állítás, akkor ebből azonnal adódik (n+1)-re, mivelcsak a folytonos x 7→ x és az indukciós feltevés miatt folytonos x 7→ xn függvényeketkell összeszorozni.

A polinom folytonossága abból következik, hogy a hatványfüggvényeket és ál-landófüggvényeket kell számmal szorozni és összeadni, és ezek a formális szabályokszerint folytonos függvényt adnak.

A racionális törtfüggvény folytonossága a polinom folytonosságából és a hánya-dosra vonatkozó formális szabályból adódik.

3.30 Állítás. (A rendezés segítségével megadott függvények folytonossága)A következő R → R függvények folytonosak.

1. x 7→ |x|.

2. x 7→ x+.

3. x 7→ x−.

Bizonyítás. 1. Az | |x| − |b| | 5 |x− b|, egyenlőtlenség alapján

| |x| − |b| | < ε, ha |x− b| < ε,

tehát a ε számhoz a δ = ε alkalmas.2. Az x+ = (|x| + x)/2 egyenlőség, a most belátott 1. és a formális szabályokalapján.3. Az x− = (|x| − x)/2 egyenlőség alapján, úgy mint az előbb.

3.2.3. Folytonos függvények alaptulajdonságaiEbben az alpontban két olyan tételt látunk be, amelyeket a folytonos függvényekalaptételének szokás nevezni.

3.31 Állítás. (Weierstrass-tétel)Korlátos és zárt intervallumon folytonos függvénynek van minimuma és maximuma.

Bizonyítás. Legyen a korlátos és zárt intervallum [a, b], (a < b), és f : [a, b] → Rfolytonos függvény.

A maximum létezését látjuk be, a minimumra vagy azt mondjuk, hogy ugyan-úgy megy a bizonyítás, vagy az f heyett a (−f) függvényt nézzük, amelynek amaximuma az f minimumának a (−1)-szeresével egyezik meg.

Először megmutatjuk, hogy az f függvény felülről korlátos az [a, b] intervallu-mon. Ha nem lenne felülről korlátos, akkor lenne olyan xn ∈ [a, b] pontsorozat, hogyn < f(xn). A kiválasztási tétel szerint az (xn) korlátos sorozatnak van (xnk

)k → xkonvergens részsorozata. Mivel a 5 xnk

5 b, és a határérték őrzi a rendezésta 5 x 5 b, az f folytonossága miatt pedig f(x) = limk f(xnk

). Ez azonban le-hetetlen, hiszen nk < f(xnk

) miatt — ismét a határérték rendezésőrzése miatt —nk < f(x), lenne minden k indexre.

A felülről való korlátosság ismeretében kétféle módon is elvégezhető a bizonyítás.Mivel mindkettő szellemes és rövid, leírom mindkettőt.Első bizonyítás. Az f felülről való korlátossága miatt létezik az s = supx∈[a,b] f(x)felső határa. Azt kell belátnunk, hogy az f valahol fel is veszi az s értéket. Ha ezzel



3.1. ábra. Bolzano-tétel és a fixponttétel

ellentétben az f nem venné fel, akkor f(x) < s lenne az [a, b] minden x pontjára,hiszen az s felső korlát, ezért a

h(x) =1

s− f(x), x ∈ [a, b]

függvény folytonos lenne az intervallumon a formális szabályok szerint. A bizonyításelején belátott korlátossági tételt erre a függvényre is lehet alkalmazni, tehát vanolyan K szám, amelyre

1s− f(x)

5 K, azaz f(x) 5 s− 1K

< s,

minden x ∈ [a, b] pontban, és így az s nem lenne felső határ, ellentétben a definíci-ójával.

Második bizonyítás. Az f felülről való korlátossága miatt létezik az s = supx∈[a,b] f(x)felső határa. A felső határ tulajdonsága szerint van olyan xn ∈ [a, b] sorozat, hogys 5 f(xn) > s − 1/n, tehát limn f(xn) = s. Az xn sorozatból kiválasztható egy(xnk

)k → x konvergens részsorozat, amelynek a limesze az [a, b]-ben van, és erre arészsorozatra, az f folytonossága miatt: f(x) = limk f(xnk

) = s, tehát az f felveszia maximumát az x pontban.

3.32 Állítás. (Bolzano-tétel, közbülsőpont-tétel)Ha egy f : [a, b] → R függvény folytonos, akkor minden értéket felvesz az f(a) ésf(b) között.

Az állítást a 3.1. ábrán szemléltetjük.

Bizonyítás. Ha f(a) = f(b), akkor nincs mit bizonyítani. Legyen tehát — mondjuk— f(a) < c < f(b). Megmutatjuk, hogy van olyan ξ ∈ (a, b), hogy f(ξ) = c.

Legyen A.= x ∈ [a, b] : f(x) < c. Az A halmaz nem üres, hiszen a ∈ A,

korlátos is, mivel része az [a, b] intervallumnak, ezért létezik a ξ.= supA ∈ [a, b]

felső határ, amelyről belátjuk, hogy f(ξ) = c.A felső határ tulajdonsága miatt van olyan xn ∈ A sorozat, hogy ξ − 1/n <

xn 5 ξ, amelyre f(xn) < c és limn xn = ξ. Ebből viszont, az f folytonossága és ahatárérték rendezéstartó tulajdonsága miatt limn f(xn) = f(ξ) 5 c. A ξ szám nemegyezhet meg a b-vel, mert ha úgy lenne, akkor b = ξ = limn xn és az f függvényb pontban való baloldali folytonossága miatt: f(b) = limn f(xn) = f(ξ) 5 c lenne,ellentétben a c < f(b) egyenlőtlenséggel.

Mivel ξ 6= b, ezért minden ξ < t < b pontra f(t) = f(c), mert ellenkező esetbena ξ nem lenne felső határ az A halmazban. Így viszont van olyan tn ∈ (ξ, b) sorozat,amelyre limn tn = ξ, és f(tn) = c. Ebből pedig az f folytonossága, és a határértékrendezéstartó volta miatt: f(ξ) = limn f(tn) = c. Mivel előbb már láttuk, hogyf(ξ) 5 c, megkaptuk, hogy f(ξ) = c.

A következő állítás szép alkalmazása a Bolzano-tételnek, sőt voltaképpen ekvi-valens a Bolzano-tétellel. Előbb azonban lássunk egy fogalmat:



3.33 Definíció. (Függvény fixpontja)Legyen f : X → X. Ha van olyan x ∈ X, hogy f(x) = x, akkor azt mondjuk, hogyaz x fixpontja az f leképezésnek.

3.34 Állítás. (Brouwer-tétel R-ben)Ha az f : [a, b] → [a, b] leképezés folytonos, akkor van fixpontja.

Az állítást és bizonyítását a 3.1. ábrán szemléltetjük. Az állítás egy nevezetes,és a közgazdaságtanban sokszor használt tételnek, a Brouwer-tételnek a speciálisesete.

Bizonyítás. Vegyük a g(x) = f(x) − x függvényt. A formális szabályok szerint ag is folytonos. Mivel az f az [a, b] intervallumot önmagára képezi, ezért

g(a) = f(a)− a = 0 és g(b) = f(b)− b 5 0.

Így pedig — a Bolzano-tétel szerint — van olyan x pont, hogy g(x) = 0, azazf(x)− x = 0, tehát az x fixpontja az f leképezésnek.

Legyen az I korlátos és zárt intervallum. A Bolzano-tétel azt mondja, hogy hay1, y2 ∈ f(I), azaz y1 = f(x1) és y2 = f(x2), és y1 < c < y2, akkor c = f(ξ), azazc ∈ f(I). Ez pedig azt jelenti, hogy az f(I) intervallum. A Weierstrass-tétel pedigazt mondja, hogy az f(I) képhalmaznak van maximális és minimális eleme, tehátzárt intervallum. Ezek szerint a Bolzano- és Weierstrass-tétel így fogalmazható megegyetlen tételben:

3.35 Állítás. (Bolzano- és Weierstrass-tétel)Korlátos és zárt intervallum folytonos képe korlátos és zárt intervallum.

3.2.4. Egyenletes folytonosságAz 3.26. példában megvizsgáltuk az x→ x2 függvény folytonosságát a b helyen, ésazt találtuk, hogy

|x− b|2 < ε, ha |x− b| < ε

2|b|+ 1.

Ez azt jelenti, hogy a ε számhoz tartozó δ szám függ attól, hogy milyen b helyen néz-zük a folytonosságot, méghozzá eléggé erősen: ha b = 100, akkor százszor kisebbnekkell választani, mint a b = 1-hez tartozó. Ezen jelenség elkerülésére vezetjük be akövetkező fogalmat, amely a globális folytonosságnak egy erősebb formája:

3.36 Definíció. (Egyenletes folytonosság)Legyen az I intervallum és f : I → R. Azt mondjuk, hogy az f függvény egyenletesenfolytonos, ha tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan δ pozitív szám, hogy

|f(x1)− f(x2)| < ε, ha |x1 − x2| < δ, x1, x2 ∈ I.

Az egyenletes folytonosság eszerint olyan „erős” folytonosság, amelynél a függvény-értékek ε pontossággal megközelítik egymást, ha a független változó értékei alkalmasδ számnál közelebb vannak egymáshoz, függetlenül a közelítés helyétől.

Egy fontos esetben biztosítani tudjuk azt, hogy egy folytonos függvény egybenegyenletesen folytonos is legyen:

3.37 Állítás. (Egyenletes folytonosság tétele)Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény egyenletesen is foly-tonos.


3.3. MONOTON FÜGGVÉNYEK 112

Bizonyítás. Indirekt módon bizonyítunk. Feltesszük, hogy az f nem egyenletesenfolytonos, és ebből ellentmondást fogunk kihozni.

Ha az f nem egyenletesen folytonos, akkor van olyan ε > 0 szám, amelyhez nemlehet olyan δ > 0 számot mondani, amire

|x− u| 5 δ =⇒ |f(x)− f(u)| 5 ε.

Emiatt a δ = 1n szám sem alkalmas az előző implikáció teljesüléséhez, azaz vannak

olyan xn, un ∈ [a, b] számok, hogy

|xn − un| 51n

és |f(xn)− f(un)| = ε. (3.15)

Az xn sorozat korlátos (benne van a korlátos intervallumban), ezért a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel miatt van konvergens részsorozata:

limk→+∞

xnk= α ∈ [a, b].

Ekkor az un megfelelő részsorozata is konvergál az α-hoz:

|unk− α| 5 |unk

− xnk|+ |xnk

− α| 5 1nk

+ |xnk− α| → 0.

Az f függvény folytonos, ezért az előzőekből:

|f(xnk)− f(unk

)| → |f(α)− f(α)| = 0,

ellentétben a (3.15) második egyenlőtlenségével.

3.3. Monoton függvények

3.3.1. Monoton függvény határértékei és folytonosságaA monoton függvényekkel már foglalkoztunk, azon a szinten, ahogyan azt a valósszámok bevezetésénél megtehettük. Most a folytonosság és határérték fogalmánaka birtokában további hasznos ismeretekre tehetünk szert. A monoton függvények ahatárérték szempontjából eléggé szabályosan viselkednek:

3.38 Állítás. (Monoton függvény határértékei)Legyen az f függvény monoton (növekedő vagy fogyó) egy (a, b) intervallumon. Ek-kor az intervallum minden c pontjában van mind jobboldali mind baloldali határér-téke, mégpedig növekedő függvény esetében

limx→c−

f(x) = supa<x<c

f(x) és limx→c+

f(x) = infc<x<b

f(x).

Fogyó függvény esetében a szuprémum és infimum jelek helyet cserélnek.

Bizonyítás. Vizsgáljuk, mondjuk, a monoton növekedő függvény és a baloldali ha-tárérték esetét. A többi eset hasonlóan kezelhető. Az α = supa<x<c f(x) felső határlétezik, mivel az f , a monotonitása miatt, korlátos a c egy baloldali környezetében,egy felső korlát például az f(c). Megmutajuk, hogy limx→c− f(x) = α. A felsőhatár tulajdonsága szerint tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan δ pozitív szám,hogy

α− ε < f(c− δ) 5 α.

Mivel az f monoton növekedő, ezért ebből adódik, hogy

α− ε < f(x) 5 α, ha c− δ 5 x < c,



amit átrendezve:

−ε < f(x)− α 5 0 < ε, ha c− δ < x < c.

Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy

|f(x)− α| < ε, ha c− δ < x < c,

ezért limx→c− f(x) = α.

A tétel szerint monoton függvény valamely c pontban a következőképpen visel-kedhet:

• A függvénynek van határértéke és az megegyezik a helyettesítési értékkel, azaza c pontban a függvény folytonos.

• A függvénynek a bal- és jobboldali határértéke különböző, és a függvényértékis ezektől eltérő.

• A bal- és jobboldali határértékek különbözőek, és a függvény értéke megegye-zik a baloldali (jobboldali) határértékkel; ekkor a leképezés balról (jobbról)folytonos.

A felsorolt esetek közül az utolsó kettőre, amikor a függvény nem folytonos, aztis szoktuk mondani, hogy a c helyen szakadása van a függvénynek . A 3.2. ábránillusztráljuk az állítást, és úgy vettük a függvényt, hogy a szakadások mindegyiktípusa előforduljon.

3.2. ábra. Monoton függvény szakadásai

A következő tétel azt fogja mondani, hogy egy monoton függvénynek viszonylagkevés olyan helye van, ahol szakad, azaz nem folytonos.

3.39 Állítás.Ha az f : (a, b) → R függvény monoton, akkor szakadási helyeinek a halmaza legfel-jebb megszámlálhatóan végtelen számosságú.

Az állítás alapján azt hihetné valaki, hogy a szakadások „izoláltan” diszkrétpontokban vannak, amilyen rajzot tudunk is készíteni. Ez azonban általában nemigaz, mert meg lehet adni olyan monoton függvényt, amelyiknek szakadása van azintervallum minden racionális pontjában.



Megjegyezzük még azt is, hogy tetszőleges valós függvényre igaz az, hogy azolyan pontoknak a halmaza, ahol a függvény nem folytonos, de létezik a baloldali ésjobboldali határértéke, legfeljebb megszámlálhatóan végtelen számosságú. Enneka bizonyítása azonban nem annyira egyszerű, mint a most kimondott tételé. Egyáltalános valós függvény esetében persze lehetnek olyan pontok is, ahol nem létezneksem baloldali sem jobboldali határértékek, vagy a kettő közül csak az egyik létezik.

Bizonyítás. Monoton növekedő függvényre végezzük a bizonyítást. Legyen az Sazon pontok halmaza, ahol az f függvénynek szakadása van. A 3.38. állítás szerinttetszőleges s ∈ S pontban különböző baloldali és jobboldali határértékek léteznek,tehát [

limx→s−

f(x), limx→s+

f(x)]

pozitív hosszúságú intervallum, és így van benne r(s) racionális szám:

limx→s−

f(x) < r(s) < limx→s+

f(x).

A szóbanforgó intervallumok különböző s-re diszjunktak, mert a monoton növekedésmiatt

limxs1

f(x) = infx>s1

f(x) 5 supx<s2

f(x) = limxs2

f(x), ha s1 < s2.

Ebből pedig következik, hogy az r(s) racionális számok különböző s-re különbözőek.Így az S a racionális számok egy részhalmazával van bijektív kapcsolatban, tehát aszámossága legfeljebb megszámlálható.

3.3.2. Inverziós tételekA következő két tétel alapvető az inverz függvények létezése és vizsgálata szempont-jából.

3.40 Állítás. (Folytonos monoton függvény inverze)Legyen a J valamilyen intervallum. Ha az f : J → f(J) függvény szigorúan mono-ton növekedő és folytonos, akkor létezik az

f−1 : f(J) → J

inverze, és igazak a következők.

(i) f−1 értelmezési tartománya — az f(J) — is intervallum.

(ii) f−1 is szigorúan monoton növekedő.

(iii) f−1 is folytonos.

Hasonló állítás igaz szigorúan fogyó folytonos függvényre.

Bizonyítás. Az 1.84. állítás szerint az inverz létezik és szigorúan monoton. A 3.32.állítás szerint a J intervallum f(J) folytonos képe is intervallum. Ezzel beláttuk az(i) és (ii) állításokat, és már csak a (iii) igazolása van hátra, amelyre két bizonyítástis adunk.Első bizonyítás. Az inverz folytonosságát belátjuk, ha megmutatjuk, hogy az xtetszőleges I gömb-környezetének az f(I) képében van gömbkörnyezete az f(x)pontnak. Hangsúlyozzuk, hogy a gömbkörnyezetek a J-re illetve f(J)-re nézveértendők, ezért például az I gömbkörnyezete olyan is lehet, hogy az x pont a balszélére esik (jobboldali gömb). A 3.32. állítás szerint az f(I) egy részintervallumaaz f(J) intervallumnak. Emiatt elegendő azt igazolni, hogy az f(x) csak akkor eshetaz f(I) valamelyik végpontjába, ha az x is végpontja a I intervallumnak. Ennek az



indoklása: Ha az x nem végpontja az I-nek, akkor x ∈ (c, d) ⊆ I valamilyen c < dmellett. A szigorú monoton növekedés miatt f(c) < f(x) < f(d), és így

f(x) ∈ (f(c), f(d)) ⊆ f(I),

tehát az f(x) nem végpontja az f(I)-nek.Második bizonyítás. Elégséges belátni, hogy az f inverze minden[f(a), f(b)] ⊆

f(J), (a < b) korlátos és zárt intervallumban folytonos. Legyen c ∈ [f(a), f(b)] éscn az [f(a), f(b)] intervallumban a c-hez tartó sorozat, azaz c = f(x) és cn = f(xn),valamilyen x, xn ∈ [a, b] számokra. Mivel f−1(cn) = xn és f−1(c) = x, ezért készenleszünk, ha belátjuk, hogy xn → x. Az [a, b] korlátossága miatt létezik lim supn xn

és lim infn xn, és van olyan xnj xmi részsorozat, hogy limj xnj = lim supn xn éslimi xmi = lim infn xn. Ezekből pedig az f folytonossága miatt limj f(xnj ) =f(lim supn xn) és limi f(xmi

) = f(lim infn xn), és így az f(xn) → f(x) miatt

f(lim supn

xn) = f(lim infn

xn) = f(x).

Így az f injektivitása miatt lim supn xn = lim infn xn = x, tehát xn → x.

A következő állítás a 3.40. tételnek bizonyos értelemben a megfordítása, ésröviden szólva azt mondja, hogy folytonos és injektív leképezés csak a szigorúanmonoton leképezés lehet.

3.41 Állítás. (Injektív és folytonos leképezés szigorúan monoton)Tetszőleges f : (a, b) → R folytonos injektív leképezés szigorúan monoton.

Bizonyítás. Legyen α < β két tetszőleges, rögzített pontja az (a, b) intervallumnak.Az injektivitás miatt vagy f(α) < f(β) vagy f(α) > f(β). Legyen mondjuk f(α) <f(β). Ebből megmutatjuk, hogy az f szigorúan monoton növekedő. A bizonyításalapját a következő észrevétel adja: Az α és β mellé veszük egy harmadik γ pontjátaz intervallumnak. A γ elhelyezkedése szerint a következő állítások teljesülnek:

(i) Ha α < γ < β, akkor f(α) < f(γ) < f(β).

(ii) Ha γ < α < β, akkor f(γ) < f(α) < f(β).

(iii) Ha α < β < γ, akkor f(α) < f(β) < f(γ).

(i): Ha az állítással ellentétben f(α) < f(β) < f(γ) lenne, akkor az α < γ miatt aBolzano tétel szerint lenne olyan x, hogy α < x < γ és f(x) = f(β), ellentétben azf injektivitásával. Teljesen hasonló módon látható be, hogy az f(γ) < f(α) < f(β)sem állhat fenn (egyenlőség az injektivitás miatt szóba sem jöhet), és így csak az(i) alatti egyenlőtlenség lehet igaz.(ii): Az indoklás most is az előző esethez hasonló. Nem állhat fenn az f(α) <f(γ) < f(β) eset, mert ekkor az α < β miatt van olyan x, hogy α < x < β ésf(x) = f(γ), holott az x nem lehet a γ-val azonos. Hasonlóan érvelve vethető el azf(α) < f(β) < f(γ) eset is, és így csak f(γ) < f(α) < f(β) teljesülhet.(iii): Az előzőekhez hasonlóan történik.

A tétel igazolása az (i)–(iii) felhasználásával:Legyen x1 < x2. Az x1 és x2 elhelyezkedése szerint a következő esetek lehetnek:1) x1 < α < x2 < β. Ekkor az kiinduló észrevétel szerint f(x1) < f(α) és

f(α) < f(x2) < f(β), amikből f(x1) < f(x2).2) α < x1 < β < x2. Pontosan az előzőhöz hasonló menet.3) α < x1 < x2 < β. Ebben az esetben először az α < x1 < β, majd pedig az

x1 < x2 < β hármasra kell alkalmazni értelemszerűen a kiinduló észrevételt.


3.4. FÜGGVÉNYSOROZATOK ÉS FÜGGVÉNYSOROK 116

3.4. Függvénysorozatok és függvénysorokEbben a pontban olyan sorozatokat és sorokat vizsgálunk, amelyek függvényekbőlállnak. A vizsgálat nem lesz részletekbe menő és mély, mert itt csak annyit kí-vánunk ezen fogalmakból és tételekből megismerni, amennyi az exponenciális éstrigonometrikus függvények bevezetéséhez szükséges. A tanulás során majd fokoza-tosan bővíteni fogjuk az ide kapcsolódó ismereteket.

A számsorozatok konvergencia fogalmának az ismeretében a függvénysorozatokkonvergenciájára azonnal adódik egy természetes definíció:

3.42 Definíció. (Függvénysorozat pontonkénti konvergenciája)Legyen az I intervallum, és fn : I → R, (n = 1, 2, . . .) függvények egy sorozata. Aztmondjuk, hogy az fn függvénysorozat pontonként tart — vagy egyszerűen csak: tart— az f : I → R függvényhez, ha minden rögzített x ∈ I számra

limn→+∞

fn(x) = f(x).

Jelölésként alim

n→+∞fn(x) = f(x), (x ∈ I),

vagy tömörebben egy objektumnak tekintve a függvényeket a

limn→+∞

fn = f, limnfn = f, lim fn = f,

írásmódokat használjuk.

Gyakori szóhasználat: az fn függvények konvergálnak az I intervallumon.A függvénysorozat konvergenciájára adott definíciót azonnal átfogalmazhatjuk

függvényekből álló sor esetére:

3.43 Definíció. (Függvénysor pontonkénti összege)Legyen I intervallum és gn : I → R, (n = 1, 2, . . .). Az

∑+∞n=1 gn(x) függvénysort

pontonként konvergensnek mondjuk, ha a részletösszegek

sn.=

n∑i=1

gi

függvénysorozata (pontonként) konvergens, és az összeg a pontonkénti limeszkéntkapott függvényt jelöli.

A pontonkénti konvergencia egy nagyon „gyönge” konvergencia fogalom a szá-munkra, mert több hiányossága van. A legfontosabb: folytonos függvények soroza-tának a pontonkénti limesze lehet nem folytonos:

3.44 Példa. (Folytonos függvények sorozatának a limesze nem folytonos)Mi a pontonkénti limesze az

fn(x) = xn, x ∈ [0, 1], n = 1, 2, . . .

függvénysorozatnak?

Az 3.3. ábrán szemléltetjük a mondottakat. Ha x ∈ [0, 1), akkor limn→+∞ xn =0, és nyilvánvalóan 1 a limesz az x = 1 helyen, tehát a függvénysorozat f limesze:

f(x) =

0 ha x ∈ [0, 1)1 ha x = 1 .

Az f függvény az 1 pontban nem folytonos.

Az előzőek szerint indokolt egy erősebb konvergencia-fogalmat definiálni:



3.3. ábra. Folytonos függvények sorozatának a határérték-függvénye nem folytonos

3.45 Definíció. (Függvénysorozat egyenletes konvergenciája)A 3.42. definíció jelölései mellett az fn függvény sorozat egyenletesen konvergál egyf : I → R függvényhez, ha tetszőleges ε > 0 számhoz van olyan N index, hogyminden x ∈ I pontra

|f(x)− fn(x)| < ε, ha N 5 n.

Gyakori szóhasználat: az f egyenletesen konvergál az X halmazon. Függvény-sorokra ugyanúgy átfogalmazható a definíció, mint pontonkénti konvergencia eseté-ben.

A pontonkénti konvergenciánál — adott ε > 0 mellett — minden x helyhez vanolyan N index, ami az ε számtól és az x helytől függ, amelyre

|f(x)− fn(x)| < ε, ha N 5 n.

Az egyenletes konvergencia annyival jelent erősebb konvergencia követelményt, hogyaz N index nem függ az x helytől, csak az ε számtól.

Látni fogjuk, hogy az egyenletes konvergencia már sok szempontból kielégítőlesz, mert például folytonos függvénysorozat egyenletes limesze is folytonos lesz.Először lássuk az egyenletes konvergenciára vonatkozó Cauchy-kritérimot:

3.46 Állítás. (Cauchy-kritérium egyenletes konvergenciára)Egy I intervallumon értelmezett fn valós függvénysorozat pontosan akkor egyenle-tesen konvergens, ha tetszőleges ε pozitív számhoz van olyan N index, hogy mindenx ∈ X pontra

|fm(x)− fn(x)| < ε, ha N 5 n,m.

Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy az fn egyenletesen konvergál egy f függvény-hez. Ekkor adott ε > 0 számhoz van olyan N , hogy

∀x ∈ X |f(x)− fn(x)| < ε

2, ha N 5 n.

Ebből pedig minden x ∈ I pontra

|fn(x)− fm(x)| 5 |fn(x)− f(x)|+ |f(x)− fm(x)| 5 ε

2+ε

2= ε,

ha N 5 n,m, tehát teljesül a Cauchy-feltétel.Az állítás másik irányának a bizonyításához tegyük fel, hogy teljesül a Cauchy-

feltétel. Ekkor a rögzített x mellett vett fn(x) számsorozat teljesíti a Cauchy-feltételt, és így a valós sorozatokra vonatkozó Cauchy-kritérium miatt van határér-ték, amit f(x)-szel jelölünk. Az fn sorozat pontonként nyilvánvalóan konvergál azf -hez. A konvergencia azonban egyenletes is: Legyen adott ehhez az ε > 0 szám.A feltétel szerint van olyan N index, hogy

∀x ∈ X |fn(x)− fm(x)| < ε, ha N 5 n,m.



Mivel fm(x) → f(x), ha az m tart a végtelenhez, ezért ebből kapjuk, hogy

∀x ∈ X |fn(x)− f(x)| < ε, ha N 5 n.

A függvénysorokra való átfogalmazást az olvasóra bízzuk, és ennek a segítségévellássunk egy egyszerű de hasznos kritériumot az egyenletes konvergencia bizonyítá-sára.

3.47 Állítás. (Weierstrass kritériuma)Ha egy fn : I → R függvénysorozatra

∀x ∈ I |fn(x)| 5 Kn, n = 1, 2 . . . ,

ahol a Kn olyan számsorozat, hogy a∑Kn sor konvergens, akkor a

∑n fn(x)

függvénysor egyenletesen konvergens.

A∑fn(x) függvénysor azon tulajdonságát, hogy

∀x |fn(x)| 5 Kn, minden n-re.

így is szokás mondani: a∑fn függvénysort a

∑Kn numerikus sor majorálja.

Ennek a szóhasználatnak a segítségével a tétel röviden így mondható: Ha egyfüggvénysort konvergens numerikus sor majorál, akkor egyenletesen konvergens.

Bizonyítás. A∑Kn konvergens, ezért teljesíti a számsorokra vonatkozó Cauchy-

feltételt, azaz adott ε > 0 számhoz van olyan N index, hogy

∀x ∈ X

∣∣∣∣∣m∑

i=n

fi(x)

∣∣∣∣∣ 5m∑

i=n

Ki 5 ε, ha N 5 n,m,

és így a 3.46. Cauchy-kritérium miatt be is láttuk az állítást.

3.48 Állítás. (Folytonos függvénysorozat egyenletes limesze is folytonos)Legyen I intervallum. Ha az fn : I → R folytonos függvények sorozata egyenletesentart az f függvényhez, akkor az f is folytonos.

Bizonyítás. Legyen x ∈ I és ε > 0. Válasszuk az n-et olyan nagyra, hogy mindent ∈ I számra: |fn(t) − f(t)| < ε/3. A δ > 0 számot válasszuk meg úgy, hogy|fn(y)− fn(x)| < ε/3, ha |x− y| < δ. Ekkor

|f(x)− f(y)| = |(f(x)− fn(x)) + (fn(x)− fn(y)) + (fn(y)− f(y))|5 |(f)x)− fn(x)|+ |fn(x)− fn(y)|+ |fn(y)− f(y)|< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε,

minden y ∈ I és |y − x| < δ esetén , tehát az f limeszfüggvény folytonos az xpontban.

Végezetül itt fogjuk belátni a valós számsorok egyik fontos számolási szabályátis, mert itt a legkönnyebb igazolni. Legyen az aij , i = 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . .egy „kettős indexű” sorozat. Összegezzünk először az első index illetve a másodikindex rögzítése mellett, feltéve persze hogy a felírt szummák léteznek:

bi.=

+∞∑j=1

aij illetve cj.=

+∞∑i=1

aij .



Az a kérdés, hogy mikor áll fenn a∑+∞

i=1 bi =∑+∞

j=1 cj egyenlőtlenség, ami így isírható:

+∞∑i=1

+∞∑j=1

aij =+∞∑j=1

+∞∑i=1

aij .

A probléma tehát az, hogy „kétszeresen végtelen” szummában mikor cserélhető fela két szummáció. A következő tétel megfelelő feltételek mellett erre ad választ:

3.49 Állítás. (Végtelen összegezés cseréje)Legyen aij , i = 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . . kettős indexű sorozat. Tegyük fel, hogya∑

j aij, i = 1, 2, . . . sorok abszolút konvergensek, és hogy a

bi =∞∑

j=1

|aij |. i = 1, 2, 3, . . .

tagokból álló∑

i bi sor is konvergens. Ekkor

∞∑i=1

∞∑j=1

aij =∞∑

j=1

∞∑i=1

aij .

Bizonyítás. Legyen xn = 1n , x0 = 0, és vegyük a valós számok halmazának

A.= x0, x1, x2, . . . , xn, . . .

részhalmazát. Nyilvánvaló, hogy az A halmaznak egyetlen torlódási pontja van, azx0 = 0.

Definiáljuk az A halmazon a következő fi, i = 1, 2 . . . függvényeket:

fi(xn) .= ∑n

j=1 aij , ha n = 1, 2, . . .∑+∞j=1 aij , ha n = 0 .

Mindegyik fi függvény folytonos az A halmazon. Az xn, (1 5 n) diszkrét pontokbannyilvánvalóan folytonosak, az x0 torlódási pontban pedig azért folytonosak, mert

limn→+∞

fi(xn) = limn→+∞

n∑j=1

aij =+∞∑j=1

aij = fi(x0),

a tétel azon feltétele miatt, hogy a∑

j aij sor (abszolút) konvergens. Mivel

∀x ∈ A |fi(x)| 5 bi,

ezért a∑fi(x) függvénysort a

∑bi konvergens numerikus sor majorálja, és így

egyenletesen konvergens (Weierstrass kritériuma, 3.47.) Jelöljük az összeget g-vel,azaz

g =+∞∑i=1

fi.

Folytonos függvények egyenletes limesze is folytonos (3.48. állítás), ezért a g függ-vény is folytonos az A halmazon. Most már nem kell mást tenni, csak felírni azt atényt, hogy a g folytonos az x0 helyen, azaz limn→+∞ g(xn) = g(x0):

g(x0) =+∞∑i=1

fi(x0) =+∞∑i=1

+∞∑j=1

aij ,


3.5. EXPONENCIÁLIS ÉS TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK 120

és

limn→+∞

g(xn) = limn→+∞

+∞∑i=1

fi(xn) = limn→+∞

+∞∑i=1

n∑j=1

aij =

= limn→+∞

n∑j=1

+∞∑i=1

aij =+∞∑j=1

+∞∑i=1

aij ,

ahol az utóbbi sorban kihasználtuk azt, hogy ha az egyik összeg indexhalmaza végesés rögzített, akkor jogos a csere, hiszen

∑(cn+dn) =

∑cn+

∑dn. Az utolsó előtti

határérték létezését az biztosítja, hogy az egyenlőség-sorozatot kezdő limn g(xn)határérték létezik.

3.5. Exponenciális és trigonometrikus függvényekA legáltalánosabb folytonos függvények, ameddig a valós számok testműveleteiveleljuthattunk, a racionális törtfüggvények. A rendezés lehetővé tett még néhányfüggvényt (abszolút érték, pozitív és negatív rész, előjel függvény), de hiányoznakolyan függvények, amelyek elengedhetetlenül fontosak a gyakorlati alkalmazásokbanis. Most ezeket a — elemi transzcendens függvényeknek nevezett — függvényeketfogjuk bevezetni.

3.5.1. Exponenciális és logaritmus függvény3.50 Állítás. (Az exponenciális függvény definíciója)

Tetszőleges x ∈ R értékre abszolút konvergens, és minden véges intervallumon egyen-letesen konvergens a

∞∑n=0

xn

n!= 1 +

x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ · · ·

sor, amelynek az összegét exp(x)-szel fogjuk jelölni.

Bizonyítás. Vegyük a tetszőleges, de rögzített [−β, β], (β ∈ R++) intervallumot.Ebben az intervallumban

∞∑n=0

∣∣∣∣xn

n!

∣∣∣∣ 5 ∞∑n=0

βn

n!,

tehát a szóbanforgó intervallumban a∑∞

n=0 xn/n! függvénysort a

∑∞n=0 β

n/n!számsor majorálja, amely a hányadoskritérium szerint konvergens, ezért a Weierstrass-kritérium szerint a

∑∞n=0 x

n/n! függvénysor abszolút és egyenletesen konvergensa [−β, β] intervallumban, és így abszolút konvergens az R valós számokon.

3.51 Állítás. (Az „e” szám)Fennáll a következő egyenlőség

e = limn→∞

(1 +

1n

)n

= exp(1)

egyenlőség.

Bizonyítás. Azt már láttuk, hogy az an = (1+1/n)n sorozat monoton növekedőlegkonvergál, és a limeszét e-nek neveztük. A binomiális tétel szerint(

1 +1n

)n

=n∑

k=0

(n

k

)(1n

)k

=n∑

k=0

1k!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·(

1− k − 1n

).



Ebből az egyenlőségből megmutatjuk, hogy(1 +

1n

)n

< exp(1) és exp(1) 5 limn

(1 +

1n

)n

,

és ebből adódik az állítás. Az azonosság jobboldalán szereplő (1− i/n) tényezőkkisebbek, mint 1, ezért a

∑nk=0 1/(k!) felső becslés a jobboldalra, azaz (1 + 1/n)n

<∑∞k=0 1/(k!) = exp(1). A másik egyenlőtlenség igazolásához rögzítsük az m egész

számot, és vegyük az n számot m-nél nagyobbnak. Ekkor a kiinduló azonosságbólkapjuk, hogy(

1 +1n

)n

=n∑

k=0

1k!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·(

1− k − 1n

)

>m∑

k=0

1k!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·(

1− k − 1n

).

Tartva a jobboldalon fix m mellett n-nel a végtelenbe adódik, hogy

e = limn

(1 +

1n

)n

=m∑

k=0

1k!.

Ezután pedig tartva m-mel a végtelenbe, kapjuk: e =∑∞

k=0 1/(k!) = exp(1).

3.52 Állítás. (Az exponenciális függvény tulajdonságai)Az 3.50. állításban bevezetett exp exponenciális függvénynek a következő tulajdon-ságai vannak.

(1) Tetszőleges x, y ∈ R számokra exp(x+ y) = exp(x) · exp(y).

(2) exp(0) = 1, exp(1) = e, exp(n) = en, ha n ∈ Z.

(3) Folytonos.

(4) Pozitív, szigorúan monoton növekedő és

limx→+∞

exp(x) = +∞ és limx→−∞

exp(x) = 0.

(5) Tetszőleges, rögzített m ∈ N kitevőre: limx→∞xm

exp(x) = 0.

(6) limx→0

exp(x)− 1x

= 1.

Bizonyítás. (1): Az 3.50. állítás szerint a sor abszolút konvergens, ezért a Cauchy-szorzat is konvergens, és az összegek is szorzódnak:

exp(x) · exp(y) =∞∑

k=0

xn

n!

∞∑k=0

yn

n!=

∞∑n=0

cn

ahol cn a Cauchy-féle szorzási szabálynak megfelelően:

cn =∑

k+j=n

xk

k!yj

j!=

1n!

∑k+j=n

n!k!j!

xkyj =(x+ y)n

n!,

tehát exp(x) · exp(y) =∑∞

n=0(x+ y)n/n! = exp(x+ y).



(2): Az exp(0) = 1 nyilvánvaló a sorból, exp(1) = e pedig a 3.51. állítás. Azexp(n) = en, (n ∈ N) indukcióval jön az (1)-ből: Kezdő lépés az exp(1) = e.Indukciós lépés: Tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás. Ekkor az (1) szerint exp(n+1) = exp(n) · exp(1) = en · e = en+1. Negatív n egészkre abból adódik, hogy (1)szerint: exp(n) · exp(−n) = exp(0) = 1, és így exp(n) = 1/ exp(−n) = 1/en = e−n.(3): Az 3.50. állítás szerint az exp függvény tetszőleges [−β, β], (0 < β) interval-lumban egyenletes limesze a

∑nk=0 x

n/n! folytonos függvényekből álló sorozatnak,ezért a limesz — az exp összegfüggvény — is folytonos.(4): Nemnegatív x esetében a sor nemnegatív tagú, és nagyobb x-re tagonkéntnagyobb, tehát a [0,+∞) intervallumon szigorúan monoton növekedő az exp függ-vény, és tart a plusz végtelenhez, ha az x tart a végtelenbe, hiszen ekkor a definiálósor minden tagja (a nulladikat kivéve) tart a végtelenbe. A limx→−∞ exp(x) = 0abból következik, hogy exp(x) exp(−x) = 1, tehát

limx→−∞

exp(x) =1

limx→+∞ exp(x).

Nempozitív x esetében az exp(x)·exp(−x) = 1 egyenlőségből: exp(x) = 1/ exp(−x),0 5 −x. Mivel az előbbiek szerint exp(−x) növekszik, ha −x nő, ezért 1/ exp(−x)szigorúan fogy, ha (−x) nő, azaz x fogy, tehát exp(x) = 1/ exp(−x) szigorúan nő,ha az x nő. Még hátra van az, hogy ha x < 0, y > 0 és x < y, akkor exp(x) <exp(y). Ez azonban azonnal jön abból, hogy az előzőekből: exp(x) < exp(0) ésexp(0) < exp(y).

A függvény pozitív volta nemnegatív számokra az előállító sorból nyilvánvaló,negatívokra pedig az exp(x) = 1/ exp(−x) formulából következik.(5): A definiáló sorból egyetlen tagot tartva meg:

limx→∞

xm

exp(x)5

xm

xm+1/(m+ 1)!=

(m+ 1)!x

→ 0.

(6): Az exp(x) függvényt definiáló sorból nyilvánvalóan minden pozitív x esetében:1 + x

1! < exp(x). Felső becslést is kapunk ha 0 < x < 1, a következő módon:

exp(x) = 1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ · · ·

< 1 +x

1!+x2

2!+x2

3!+ · · ·+ x2

n!+ · · ·

= 1 + x+ x2

(12!

+13!

+ · · ·+ 1n!

+ · · ·)

5 1 + x+ x2 · e.

Összefoglalva az egyenlőtlenségeket: ha 0 < x < 1, akkor

1 + x < exp(x) < 1 + x+ ex2, amelyből 1 <exp(x)− 1

x< 1 + ex.

Ebből pedig már azonnal kapjuk a jobboldali határértéket:

limx→0+

(exp(x)− 1)/x = 1.

Legyen most az x negatív, azaz x = −|x|. Ekkor

exp(x)− 1x

=exp(−|x|)− 1

−|x|=

1exp(|x|)

exp(|x|)− 1|x|

,



és így

limx→0−

exp(x)− 1x

= lim|x|→0+

(1

exp(|x|)exp(|x|)− 1

|x|

)=

= lim|x|→0+

1exp(|x|)

lim|x|→0+

exp(|x|)− 1|x|

= 1.

Az exp függvény szigorúan monoton növekedő folytonos függvény, ezért az 3.40.inverziós tétel szerint létezik az inverze, amelynek az értelmezési tartománya azexp(R) = R++, a pozitív számok összessége. Ezt a tényt állításban is részletezzük:

3.53 Állítás. (Logaritmus függvény)Az exp : R → R++, exponenciális függvény inverzét log : R++ → R fogja jelölni, és(természetes alapú) logaritmus függvénynek mondjuk. A logaritmus függvénynek akövetkező tulajdonságai vannak:

(1) log(exp(x)) = x, (x ∈ R) és exp(log(x)) = x, (0 < x).Másképpen: log exp = idR és exp log = idR++.

(2) Folytonos.

(3) Szigorúan monoton növekedő, és

limx→0+

log x = −∞ és limx→+∞

log x = ∞.

(4) log xy = log x+ log y, ha 0 < x, y.

(5) limx→+∞(log x)/x = 0 és limx→0+ x log x = 0.

Szokásos jelölés még a „ log” mellett az „ln”, a latin „logaritmus naturalis” rövi-dítés.

Bizonyítás. (1)–(3): Az 3.40. inverziós tétel közvetlen következménye.(4): Az exp(x + y) = exp(x) · exp(y), (x, y ∈ R) azonosságot vegyük az x = log ués y = log v, (0 < u, v) helyeken:

exp(log u+ log v) = exp(log u) · exp(log v) = uv,

és ebből, mindkét oldal logaritmusát véve kapjuk: log u+ log v = log uv.(5): Vegyünk az első limeszben az x helyett exp(u)-t: limu→∞ log(exp(u))/ exp(u) =limu→∞ u/ exp(u), és így az 3.52.(5) limesz reláció miatt nulla a limesz. A másiklimesszel hasonlóan járva el:

limx→0+

x log x = limu→−∞

exp(u) log(exp(u)) = − limu→−∞

−uexp(−u)

= 0,

ahol ugyancsak az 3.52.(5) állítást használtuk. Az előzőből is kijön: x log x =− log(1/x)/(1/x), és 1/x→∞.

Az exponenciális függvény birtokában bevezethető az x → xα, R++ → R függ-vény is, ahol az α tetszőleges rögzített valós szám. Az α = 1/n és az α ∈ Z eseteketmár megismertük.

3.54 Definíció. (Hatványfüggvény)Legyen α ∈ R. Az x 7→ xα pozitív számokon értelmezett függvényt, amelyet hat-ványfüggvénynek nevezünk,

xα .= exp((α log x) = eα log x

módon értelmezzük.



A hatványfüggvény tulajdonságai azonnal adódnak az exponenciális és logarit-mus függvény tulajdonságaiból. Ezeket — együtt más fontos azonossággal — aközépiskolából jól ismerjük, és a jelen körülmények közötti igazolásukat a feladatokközé tettük.

3.5.2. Trigonometrikus függvényekA trigonometrikus függvényeket szintén hatványsorok segítségével definiáljuk. Ter-mészetesen felvetheti valaki, hogy miért nem elégszünk meg a középiskolában meg-tanult geometriai definíciókkal. Az említett definíciók nem elégítik ki a tudománnyalszemben megkívánt egyetemi szintű követelményeket, és minden bevezető analízistananyag egyik problémája: hogyan oldja meg az elemi transzcendens függvényekbevezetését.

3.55 Állítás. (A szinusz és koszinusz függvények)Tetszőleges x ∈ R értékre abszolút konvergensek, mégpedig minden véges intervallu-mon egyenletesen a

∞∑n=0

(−1)n x2n

(2n)!és

∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)!.

sorok, amelyeknek az összegét cos(x) illetve sin(x) fogja jelölni.

Bizonyítás. Lássuk például a koszinuszfüggvény esetét, a másik eset pontosanugyanígy megy. Vegyük a tetszőleges, de rögzített [−β, β], (0 < β) intervallumot.Ebben az intervallumban

∞∑n=0

∣∣∣∣ x2n

(2n)!

∣∣∣∣ 5 ∞∑n=0

β2n

(2n)!,

tehát a szóbanforgó intervallumnban a∑∞

n=0 x2n/(2n)! függvénysort a jobboldali∑∞

n=0 βn/n! numerikus sor majorálja, amely a hányadoskritérium szerint konver-

gens, ezért a Weierstrass-kritérium szerint a∑∞

n=0 x2n/(2n)! függvénysor abszolút

és egyenletesen konvergens a [−β, β] intervallumban, és így abszolút konvergens avalós számokon.

3.56 Állítás. (A sin és cos függvények tulajdonságai)A 3.55. állításban bevezetett sin és cos függvények a következő tulajdonsággal ren-delkeznek.

(1) Folytonosak az egész R-en.

(2) A sin függvény páratlan, a cos pedig páros.

(3)cos2 x+ sin2 x = 1,cos2 x− sin2 x = cos 2x.

(4)sin(x+ y) = cosx sin y + sinx cos y,cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y.

(5) Van olyan 0 < π < 4 szám, amelyre cos π2 = 0.

(6) limx→0

1− cosxx

= 0 és limx→0

sinxx

= 1.

(7) | cosx| 5 1 és | sinx| 5 1,cosπ/2 = 0 és sinπ/2 = 1,cosπ = −1 és sinπ = 0,cos(x+ π) = − cosx és sin(x+ π) = − sinx.



(8) A cos és sin függvények 2π szerint periodikusak:

cos(x+ 2π) = cosx és sin(x+ 2π) = sinx.

Bizonyítás. (1): A definiáló sorok egyenletesen konvergensek minden véges inter-vallumban, ezért az összegfüggvény folytonos a 3.48. állítás szerint.(2): A cos definiáló sorában csak páros kitevőjű hatványon szerepel az x, sinsorában pedig csak páratlan hatványai szerepelnek az x-nek.(3): A bizonyítás a sorok (Cauchy) szorzásaival történik. Rendre kiszámoljuk a cos2

és sin2 függvényeket. Előbb a cos2 függvényt számoljuk. Az abszolút konvergenciamiatt megengedett a sorok Cauchy-szorzata:

cos2 x =

( ∞∑n=0

(−1)n x2n

(2n)!

)·

( ∞∑n=0

(−1)n x2n

(2n)!

)=

∞∑n=0

cn,

ahol

cn =∑

j+k=n

(−1)j x2j

(2j)!(−1)k x2k

(2k)!=

∑j+k=n

(−1)j+k x2j+2k

(2j)!(2k!)

=(−1)nx2n

(2n)!

∑j+k=n

(2n)!(2j)!(2k!)

=(−1)nx2n

(2n)!

∑k=0

(2n2k

).

Ezt majd folytatjuk, de előbb a sin2 függvényt is kiszámoljuk eddig a szintig:

sin2 x =

( ∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)!

)·

( ∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)!

)=

∞∑n=0

dn =∞∑

n=1

dn−1.

ahol dn−1, a Cauchy-szorzat definíciója szerint: dn−1 =

=∑

j+k=n−1

(−1)j x2j+1

(2j + 1)!(−1)k x2k+1

(2k + 1)!=

∑j+k=n−1

(−1)j+k x2j+2k+2

(2j + 1)!(2k + 1)!

=(−1)n−1x2n

(2n)!

∑j+k=n−1

(2n)!(2j + 1)!(2k + 1)!

=(−1)n−1x2n

(2n)!

n−1∑k=0

(2n

2k + 1

).

Az előző számolások befejezéséhez belátunk két azonosságot. A binomiális tételbőlkapjuk, hogy

22n = (1 + 1)2n =2n∑

k=0

(2nk

), ha 0 5 n,

0 = (1− 1)2n =2n∑

k=0

(−1)k

(2nk

), ha 1 5 n.

Ezeket összeadva illetve kivonva kapjuk, hogy minden 1 5 n számra:

22n = 2n∑

k=0

(2n2k

)és 22n = 2

n−1∑k=0

(2n

2k + 1

).

A cos2 és sin2 számolásának utolsó formulájában ezeket figyelembe véve azt kapjuk,hogy n = 1 estén:

cn =(−1)nx2n

(2n)!22n−1,

dn−1 =(−1)n−1x2n

(2n)!22n−1,



és így

cos2 x = 1 +∞∑

n=1

(−1)nx2n

(2n)!22n−1 és sin2 x =

∞∑n=1

(−1)n−1x2n

(2n)!22n−1.

Számoljuk ki ezek után a cos2 x+ sin2 x kifejezést:

1 +∞∑

n=1

(−1)nx2n

(2n)!22n−1 +

∞∑n=1

(−1)n−1x2n

(2n)!22n−1 =

1 +∞∑

n=1

(−1)nx2n

(2n)!22n−1 −

∞∑n=1

(−1)nx2n

(2n)!22n−1 = 1.

Hasonlóan számoljuk ki a cos2 x− sin2 x kifejezést:

1 +∞∑

n=1

(−1)nx2n

(2n)!22n−1 −

∞∑n=1

(−1)n−1x2n

(2n)!22n−1 = 1 + 2

∞∑n=1

(−1)nx2n

(2n)!22n−1

= 1 +∞∑

n=1

(−1)n(2x)2n

(2n)!= cos 2x.

(4) Ebben is hasonló számolások szerepelnek, mint az előzőben. Először is a bino-miális tétel szerint:

sin (x+ y) =∞∑

n=0

(−1)n (x+ y)2n+1

(2n+ 1)!

=∞∑

n=0

(−1)n 1(2n+ 1)!

2n+1∑k=0

(2n+ 1k

)xky2n+1−k

=∞∑

n=0

(−1)n2n+1∑k=0

xky2n+1−k

k! (2n+ 1− k)!.

Nézzük a belső szummát és bontsuk fel a páros k indexű és a páratlan k indexűtagok összegére:

2n+1∑k=0

xky2n+1−k

k! (2n+ 1− k)!=

n∑k=0

x2ky2n+1−2k

(2k)! (2n+ 1− 2k)!+

n∑k=0

x2k+1y2n−2k

(2k + 1)! (2n− 2k)!.

így azt kapjuk, hogy sin(x+ y) =

=∞∑

n=0

(−1)nn∑

k=0

x2ky2n+1−2k

(2k)! (2n+ 1− 2k)!+

∞∑n=0

(−1)nn∑

k=0

x2k+1y2n−2k

(2k + 1)! (2n− 2k)!.

Most írjuk fel a sinx és a cos y szorzatát. Tudjuk, hogy sinx sin y =∑∞

n=0 cn, ahol

cn =n∑

k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)!· (−1)n−k y2n−2k

(2n− k)!= (−1)n

n∑k=0

x2k+1y2n−2k

(2k + 1)! (2n− 2k)!.

Másrészről világos, hogy cosx sin y =∑∞

n=0 dn, ahol

dn =n∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!· (−1)n−k y2n−2k+1

(2n− 2k + 1)!= (−1)n

n∑k=0

x2ky2n−2k+1

(2k)! (2n− 2k + 1)!.



Összevetve ezt a sin (x+ y) kifejezésével valóban azt kapjuk, hogy sin (x+ y) =sinx cos y + cosx sin y. Hasonlóan megy a másik azonosság igazolása is:

cos (x+ y) =∞∑

n=0

(−1)n (x+ y)2n

(2n)!=

∞∑n=0

(−1)n 1(2n)!

2n∑k=0

(2nk

)xky2n−k

=∞∑

n=0

(−1)n2n∑

k=0

xky2n−k

k! (2n− k)!.

Nézzük a belső szummát. Amennyiben n > 0, úgy bontsuk fel a páros k indexű éspáratlan k indexű tagok összegére:

2n∑k=0

xky2n−k

k! (2n− k)!=

n∑k=0

x2ky2n−2k

(2k)! (2n− 2k)!+

n−1∑k=0

x2k+1y2n−2k−1

(2k + 1)! (2n− 2k − 1)!.

A fenti formula még n = 0 esetén is igaz, ha emlékszünk arra a megegyezésre, hogya 0 tagú szumma értékét 0-nak definiáljuk. Így azt kapjuk, hogy

cos (x+ y) =∞∑

n=0

(−1)nn∑

k=0

x2ky2n−2k

(2k)! (2n− 2k)!

+∞∑

n=0

(−1)nn−1∑k=0

x2k+1y2n−2k−1

(2k + 1)! (2n− 2k − 1)!

=∞∑

n=0

(−1)nn∑

k=0

x2ky2n−2k

(2k)! (2n− 2k)!

−∞∑

n=1

(−1)n−1n−1∑k=0

x2k+1y2n−2k−1

(2k + 1)! (2n− 2k − 1)!.

Azt használtuk ki, hogy (−1)n = − (−1)n−1, és azt is fontos látni, hogy a másodikszummában elég az 1 indextől indulni. Most írjuk fel a cosx és cos y szorzatát.Tudjuk, hogy cosx cos y =

∑∞n=0 cn, ahol

cn =n∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!(−1)n−k y2n−2k

(2n− 2k)!= (−1)n

n∑k=0

x2ky2n−2k

(2k)! (2n− 2k)!.

Másrészről világos, hogy sinx sin y =∑∞

n=0 dn =∑∞

n=1 dn−1, ahol

dn−1 =n−1∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)!· (−1)n−1−k y2(n−1−k)+1

(2 (n− 1− k) + 1)!

=n−1∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)!· (−1)n−1−k y2n−2k−1

(2n− 2k − 1)!

= (−1)n−1n−1∑k=0

x2k+1y2n−2k−1

(2k + 1)! (2n− 2k − 1)!.

összevetve a cn és a dn−1-re kapott két utolsó formulát a cos(x+ y) kifejezésévelvalóban azt kapjuk, hogy cos (x+ y) = cosx cos y − sinx sin y.

(5): A sin és cos függvényeket definiáló sorok váltakozó előjelűek, és így hasonlómegközelítés lehetséges, mint a Leibnitz-típusú soroknál szokásos. Itt most repro-dukáljuk az ott leírt egyik bizonyítást. Legyen (an)0 pozitív sorozat szigorúan



monoton fogyó, és tartson nullához. Ekkor a∑∞

n=0(−1)nan sor páros indexű s2n

részletösszegei monoton fogyóak: s2n − s2n−2 = −a2n−1 + a2n < 0, a páratlanindexűek pedig monoton növekedőek: s2n+1−s2n−1 = a2n−a2n+1 > 0. A páros in-dexűek mind kisebbek, mint a páros indexűek, mivel s2n− s2n−1 = a2n > 0, ezért apáros és páratlan indexű részletösszegeknek egyaránt van limeszük, amely egyenlő,mivel an → 0. Ennek a bizonyításnak van egy előnye, ami miatt elmondtuk: alimesz becsülhető jobbról és balról a páratlan és páros indexű közelítő összegekkel.Megjegyezzük: a páros és páratlan indexek szerepe megfordul, ha a sorozat kezdőindexe 1.

Az elmondott észrevétel használatához nézzük először a sin sorát, amelynek azelőjel nélküli tagjai monotonitásához az kell, hogy

x2n+1

(2n+ 1)!>

x2n+3

(2n+ 3)!azaz x2 < (2n+ 2)(2n+ 3),

amelyből leolvasható: a szinusz sora eleget tesz az előbb mondottaknak, ha 0 <x <

√6, mivel a legkisebb a korlát az n = 0 kezdő esetben van. A koszinusz sora

helyett célszerű az (1− cos) sorát nézni, amelyben akkor csökkenőek a hatványsortagjainak az abszolútértékei, ha

x2n

(2n)!>

x2n+2

(2n+ 2)!azaz x2 < (2n+ 1)(2n+ 2),

ahol a felső becslés legkisebb a kezdő, n = 1 esetben: x2 < 6, tehát ugyanaz ahelyzet, mint a szinusz függvény soránál. Ezek szerint a 0 < x <

√6 intervallum-

ban Leibnitz-típusú a sor, és a bizonyítás elején mondottak szerint a sorok páros éspáratlan közelítő összegei közé esik a határérték, azaz a cos és sin függvény. Mond-hatjuk tehát, hogy ha 0 < x <

√6, akkor fennállnak a következő egyenlőtlenségek:

x2

2!− x4

4!< 1− cosx <

x2

2!és x− x3

3!< sinx < x. (3.16)

A koszinuszfüggvényre vonatkozó egyenlőtlenségben az x helyébe (−x)-et téve nemváltozik semmi, ezért az fennáll 0 < |x| <

√6 esetében is. A másik egyenlőtlenséggel

is ez a helyzet, de ehhez célszerű az egyenlőtlenséget 1−x2 < (sinx)/x < 1 alakbannézni. Ezt a két egyenlőtlenséget használjuk az (5) és (6) bizonyításához. Az(5) igazolásához először is jegyezzük meg, hogy nyilvánvalóan cos 0 = 1, az (3.16)egyenlőtlenségéből pedig cos 2 < 1 − 22/2 + 24/4! = 1 − 2 + 2/3 < 0. A közbülsőpont tétele szerint van olyan t ∈ (0, 2), amelyre cos t = 0. Eszerint nem üres a0 < t : cos t = 0 halmaz, és vegyük a 2 · inf0 < t : cos t = 0 számot, amelyetπ-nek nevezünk. Eszerint cos π

2 = 0. Az ilyen módon egyértelműen meghatározottπ számra: 0 < π < 4, de ez nagyon durva becslés, és később majd pontosabbanmeghatározzuk az értékét. Egyébként a π számot mindig nagy érdeklődés vettekörül, számítógéppel több millió jegy pontosságig kiszámolták az értékét.(6): A (3.16) alatti egyenlőtlenségekből:

x

2− x3

4!<

1− cosxx

<x

2és 1− x2

6<

sinxx

< 1,

ha 0 < |x| <√

6, és így

limx→0

1− cosxx

= limx→0

(x

2− x3

4!

)= lim

x→0

x

2= 0,

limx→0

sinxx

= limx→0

(1− x2

6

)= lim

x→01 = 1.



(7): A (3.16) alatti második egyenlőtlenség x−x3/3! baloldala pozitív, ha 0 < x <√6, ezért ebben az intervallumban sinx > 0. Ezt felhasználva a cos2 π

2 +sin2 π2 = 1

egyenletből sin π2 = 1. A cosπ és sinπ értékek az addíciós formulákból jönnek:

cosπ = cos(π/2 + π/2) = cosπ/2 cosπ/2− sinπ/2 sinπ/2 = − sin2 π/2 = −1,sinπ = sin(π/2 + π/2) = cosπ/2 sinπ/2 + sinπ/2 cosπ/2 = 0.

Az addíciós formulából:

sin(x+ π) = sinx cosπ + cosx sinπ = − sinx,cos(x+ π) = cosx cosπ − sinx sinπ = − cosx.

(8): Az addiciós formulákból:

cos(x+ 2π) = cosx cosπ − sinx sinπ = cosx,sin(x+ 2π) = cosx sinπ + sinx cosπ = sinx.


4. fejezet

Differenciálszámítás

4.1. Definíciók, értelmezések

4.1.1. Bevezetés, definíciókA sebesség fogalma része mindennapi életünknek, hiszen folyamatosan nézzük, hogymilyen sebességgel megy az autónk. Ez a mindennapi fogalom a függvényhatárértékfogalmának az ismeretében érthető meg. Tegyük fel ugyanis, hogy az autó a tidőpontig s(t) utat tesz meg. Ha meg kivánjuk határozni a sebességét — mint azegységnyi időtartamra eső út hosszát — a t időpontban, akkor a következőképpenjárhatunk el: Vesszük a megtett út hosszát a t és (t+h) időpontban: s(t) és s(t+h).Ekkor a h időtartam alatt megtett út (s(t+ h)− s(t)), és az egységnyi időtartamraeső úthossz:

s(t+ h)− s(t)h

.

A probléma szembeötlő: a kiszámolt érték erősen függhet a h időtartam nagyságától,főleg akkor ha a kocsi ezen idő alatt—mondjuk—gyorsul. Érezhetjük, hogy akkorkapjuk a t időpontban a „pillanatnyi” sebességet, ha a h értéke a lehető legkisebb,ami azt jelenti, hogy h-val tartunk a nullához. Ez pedig eddigi tudásunk szerintmegtehető, hiszen csak venni kell a

limh→0

s(t+ h)− s(t)h

határértéket, ami persze nem létezik feltétlenül. A jelen fejezetben a most exponáltfogalmat vezetjük be, és néhány alkalmazását ismerjük meg.

4.1 Definíció. (Differenciahányados)Legyen az f valós függvény értelmezve az x ∈ R pont egy környezetében. Az f függ-vény x pontban vett differenciahányadosának (különbségi hányadosának) mondjuka

h 7→ f(x+ h)− f(x)h

,

leképezést, ahol h 6= 0 szám a 0 olyan környezetében vehető, hogy az f értelmezetta (x+ h) pontban.

A differenciahányadost más formában is szokásos írni. Ha (x + h) helyett az yjelölést vezetjük be, akkor a különségi hányados:

y 7→ f(y)− f(x)y − x

. (4.1)

Az y, (y 6= x) most az x azon környezetéből vehető, ahol az f értelmezett.

130

4.1. DEFINÍCIÓK, ÉRTELMEZÉSEK 131

4.2 Definíció. (Differencálhányados, derivált egy pontban)Legyen az f valós függvény értelmezve az x pont egy környezetében. Az f függvényx pontban vett

h 7→ f(x+ h)− f(x)h

differenciahányadosának a h = 0 helyen vett

limh→0

f(x+ h)− f(x)h

határértékét — ha létezik — az f leképezés x pontban vett differenciálhányadosánakvagy deriváltjának nevezzük és

f ′(x),df(x)dx

,d

dxf(x), Dxf(x), Df(x). (4.2)

jelölések valamelyikét szokás használni. Ha létezik az f ′(x) derivált, akkor az ffüggvényt differenciálhatónak vagy deriválhatónak mondjuk az x helyen.

Ha a (4.1) alatti differenciahányadossal dolgozunk, akkor ennek értelemszerűenaz x helyen kell venni a határértékét, hiszen a h pontosan akkor tart a nullához, haaz y = x+ h az x-hez. Igy összefoglalva a definíció két alakja:

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)h

= limy→x

f(y)− f(x)y − x

.

A definíció szerint az f függvény az x pontnak valamilyen környezetében van értel-mezve, ezért az x pont az f függvény értelmezési tartományának, intervallumnakbelső pontja.

A (4.2) jelölések részben történelmi, tradicionális eredetűek, és mindegyiknekmegvan a maga előnye és hátránya. Egy jelölésnél az a fontos, hogy minél pon-tosabban fejezze ki a a mondanivalót, ami jelenleg: Vedd az f függvény differen-ciálhányadosát az x helyen. A legrégebbi jelölés, ami Newtontól származik az yvagy f(x), és ennek felel meg az f ′(x) jelölés. Első pillantásra teljes informáltságotnyújtó jelölésnek látszik, de van egy hiányossága: nem mondja meg azt, hogy azx (vagy esetleg valami más szerint) kell venni a differenciálhányadost. Ez gondotjelenthet például akkor, ha a függvény az (x − b)2 képlettel adott. Ekkor meg kellmondani, hogy az x vagy b szerint kell venni a differenciálhányadost.

A df(x)dx és a d

dxf(x) jelölésekkel kapcsolatban először is egy fontos figyelmeztetés:Nem szabad a benne szereplő dx illetve df szimbólumokat a d és x illetve a d ésf szorzatának tekinteni, noha valóban annak látszanak. És nem szabad törtkéntsem felfogni, habár formálisan az, csak egyetlen, egyszerűbb elemekre nem bonthatószimbólumnak . A formális eredetük az, hogy a (4.1) differenciahányadost a

∆x .= (x+ h)− x = h és ∆f(x) .= f(x+ ∆x)− f(x)

jelölésekkel azf(x+ ∆x)− f(x)

∆x=

∆f(x)∆x

alakba lehet írni. A határérték vételének a során a közönséges differenciákat jelölő∆f és ∆x szimbólumokból lett a „végtelenül kicsi” df és dx. Ez az indoklás perszeegyáltalában nem pontos, sőt félrevezető is lehet, és emiatt sokan nem szeretik ezta jelölést. A Dxf(x) jelölés egyre népszerűbbé válik.

A következő állítás ekvivalens a differenciálhányados definíciójával, és így akárdefiníció is lehetne. Előnye: néhány bizonyítás egyszerűbb ennek a használatával,mint a megszokott definícióból kiindulva; hátránya: nincs olyan szemléletes tar-talma, mint a differenciahányados limeszének.



4.3 Állítás. (Derivált karakterizációja)Legyen az f függvény értelmezve az x egy U környezetében. Ekkor az f pontosanakkor deriválható az x pontban, ha létezik olyan φ : U → R függvény, amely xpontban folytonos, és

f(y) = f(x) + φ(y)(y − x), ha y eleme a környezetnek,

és ekkor f ′(x) = φ(x).

Bizonyítás. limy→xf(y)−f(x)

y−x = f ′(x) azt jelenti, hogy a

φ(y) =

f(y)−f(x)

y−x , ha y 6= x,

f ′(x), ha y = x.

módon megadott U → R függvény folytonos az x pontban. Ez pedig a 3.23.(1) tételszerint pontosan a bizonyítandó állítás.

A differenciálhatóság — 4.2. definíciója szerint — lokális tulajdonság, és a szo-kásos módon globálissá tehető:

4.4 Definíció. (Nyílt intervallumon deriválható függvény, deriváltfüggvény)Legyen I nyílt intervallum, f : I → R. Ha az f függvény az I intervallum min-den pontjában deriválható, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény deriválható az Iintervallumon. Az eszerint létező

x 7→ f ′(x), I → R

függvényt az f függvény deriváltjának, deriváltfüggvényének nevezzük és az

f ′ : I → R vagy Dxf : I → R

jelölések valamelyikét használjuk.

Hangsúlyozni kell, hogy a deriváltfüggvény — mint általában a függvény —egyetlen objektum. Az f ′(x), x pontban vett derivált pedig egy szám, az f ′ deri-váltfüggvénynek az x pontban felvett értéke.

Némelykor szükségünk lesz a zárt intervallumon való deriválhatóság fogalmárais, és ehhez bevezetjük jobboldali és baloldali derivált fogalmakat, amit a jobboldaliés baloldali határérték fogalmak birtokában könnyen megtehetünk:

4.5 Definíció. (Baloldali és jobboldali deriválhatóság)Legyen az f valós függvény értelmezve az x pont egy jobbololdali [x, x+ δ), (0 < δ)környezetében. Ha a

h 7→ f(x+ h)− f(x)h

, (0 < h)

differenciahányados függvénynek létezik a jobboldali határértéke a nulla helyen, ak-kor az f függvényt az x pontban jobbról deriválhatónak mondjuk, és erre a jobboldalihatárértékre a következő jelölést valamelyikét használjuk.

f ′+(x), D+x f(x).

Hasonlóan definiálható azf ′−(x), D−x f(x)

módok valamelyikével jelölhető baloldali derivált.



4.1. ábra. Harmadfokú polinom és egy görbe

A határérték-fogalomról tanultak szerint, ha a baloldali és jobboldali határérté-kek megegyeznek, akkor létezik a közös értékkel megegyező határérték. Eszerint, haegy helyen a bal- és a jobboldali deriváltak megegyeznek, akkor ott a függvényneklétezik a deriváltja, a közös érték. Szépen látható ez a tény azon a — következőpontban szereplő — példánkon, ahol a függvényt egy negyedkörből és egy vizszintesegyenesből raktuk össze.

Az abszolútérték-függvény példája is mutatja, hogyha léteznek a bal- és jobb-oldali deriváltak egy pontban, de különbözőek, akkor ott a függvény grafikonja„hegyesnek” látszik, nem „sima”, mint a deriválhatósági pontokban.

A 4.4. definíció mintájára megfogalmazhatjuk azt, hogy mit fogunk érteni egyfüggvénynek egy zárt intervallumban való differenciálhatóságán.

4.6 Definíció. (Korlátos és zárt intervallumon való deriválhatóság)Az f : [a, b] → R függvényt deriválhatónak fogjuk mondani az [a, b] intervallumon,ha az (a, b) nyílt intervallumon deriválható, a baloldali a pontban jobbról, a b pontbanpedig balról deriválható.

A következő egyszerű észrevétel azt mutatja, hogy a deriválhatóság erősebb fo-galom (többet követelő) a folytonosság fogalmánál, mert a deriválhatóságból követ-kezik a folytonosság.

4.7 Állítás. (Deriválható függvény folytonossága)Ha az f függvény deriválható egy pontban, akkor ott folytonos is.

Bizonyítás. A differenciahányados (4.1) alakjával számolva azt kapjuk, hogy

f(y)− f(x) =f(y)− f(x)

y − x(y − x) .

Az összeg és szorzat határértékére vonatkozó számolási szabályok felhasználásávala következőhöz jutunk.

limy→x

f(y)− f(x) = limy→x

(f(y)− f(x)) =

= limy→x

f(y)− f(x)y − x

· limy→x

(y − x) = f ′(x) · 0 = 0

tehát f(x) = limy→x f(y). Ez pedig a folytonosság definíciója szerint pontosanazt jelenti, hogy az f függvény folytonos az x helyen.

Az előző állítással ellenkező irányban: A folytonosság nem implikálja (vonjamaga után) a deriválhatóságot ahogyan azt az alábbi példa mutatja.

4.8 Példa.Vizsgáljuk meg az x 7→ |x| abszolútérték-függvényt az x = 0 helyen a deriválhatóságszempontjából.



Az abszolútérték-függvény differenciahányadosa

h 7→ |0 + h| − |0|h

=|h|h,

és ez 1, ha a h pozitív, és −1, ha a h negativ, ezért nyilvánvalóan nincs határértéke.Nézzük meg figyelmesen, milyen az abszolút érték grafikonja az x = 0 helyen (4.2.ábra).

Végül már csak egy igen természetes definíció maradt. Ha egy f függvény de-riválható egy x pontnak valamilyen környezetében (a környezet minden pontjábanderiválható), akkor az f ′ deriváltfüggvény létezik az x pont szóbanforgó környe-zetében, és így felvethető a kérdés: Az f ′ függvény deriválható-e az x-pontban?Hangsúlyoznunk kell, hogy ez csak akkor kérdezhető, ha az f nem csak az x pont-ban, hanem annak egy egész környezetében deriválható. Ha a feltett kérdésre igenlőa válasz, akkor az f ′ függvény x pontban vett deriváltját az f második deriváltjá-nak nevezzük. Ennek a mintájára tetszőleges n-szeres, (n ∈ N) deriválhatóság ésderivált megadható:

4.9 Definíció. (n-szer deriválható függvény)Tegyük fel, hogy az f függvény az x pont valamilyen környezetében (annak min-den pontjában) deriválható. Ha az f ′ függvény deriválható az x pontban, akkorazt mondjuk, hogy az f kétszer deriválható az x pontban, és az f ′ deriváltjának aneve: második derivált, a jelölése pedig: f ′′. Általában: Ha az f (n−1), (n−1)-szeresderivált létezik az x pont egy környezetében, és deriválható az x pontban, akkor a de-riváltját az f függvény n-edik vagy n-ed rendű deriváltjának nevezzük az x pontban,és a következő jelölések valamelyikét használjuk:

f (n)(x),(d

dx

)n

f(x),dnf

dxnf(x), Dn

xf(x).

Vegyük észre, hogy az n-edik derivált definíciója voltaképpen teljes indukció-val történt. Kiindulva az első deriváltból ismételt deriválással jutunk el az n-edikderiválthoz:

Dnxf(x) .= Dx(Dn−1

x f(x)) és D0x(x) = f(x).

Az ilyen megadási módot rekurzív definíciónak mondunk. Ha röviden össze kívánjukfoglalni a definíciót, akkor az indukció első, kiinduló lépése az f ′ létezése az x pontegy környezetében, az indukciós lépés pedig a következő: Az f (n−1) létezik az xpont egy környezetében, és

fn(x) .= (f (n−1))′(x)

vagy ami formálisan különösen szemléletes:(d

dx

)n

f(x) .=d

dx

(d

dx

)(n−1)

f(x).

Meg kell említenünk, hogy hogy az eddigi elnevezésekkel és megállapodásokkalösszhangban lesz az, ha magát az f függvényt a 0-adik deriváltnak nevezzük, amitnéha meg is teszünk. Az n-edik derivált előző, teljes indukción alapuló definíciójá-ban, eszerint a megállapodás szerint az n = 0 is lehet a kiinduló eset.

4.1.2. Példák a derivált közvetlen kiszámolásáraA derivált kiszámolására módszereket fogunk bevezetni, amelyeknek a segítségévelsok függvény deriváltja „mechanikusan” meghatározható. Tanulságos azonban — és



némelykor nem is tehető más — ha deriváltat közvetlenül a definícióból kiindulvaadjuk meg. Ilyenkor a különbségi hányados megadása után határérték meghatáro-zása a feladatunk.

4.10 Példa.Határozzuk meg az x 7→ x3 függvény deriváltját az x helyen.

A differenciahányados átalakítása akkor, amikor az y az x egy környezetébe esik,és y 6= x:

y3 − x3

y − x= y2 + xy + x2 .

A határérték számolása:

limy→x

y3 − x3

y − x= lim

y→x(y2 + xy + x2) = x2 + xx+ x2 = 3x2 .

tehátd

dxx3 = 3x2 ,

amit röviden (x3)′ = 3x2 módon is írhatunk.

4.11 Példa.Határozzuk meg k : x 7→

√1− x2 , úgy is nevezhetnénk: kör (félkör), leképezésnek a

deriváltját egy tetszőleges b ∈ (−1, 1) helyen.

Nyilvánvaló, hogy a k függvény minden b ∈ (−1, 1) pontnak valamilyen környe-zetében definiált, ezért a kérdés értelmes. A b = 1 és b = −1 esetekben nem vethetőfel a feladat, mert az 1 és −1 nem belső pontjai az értelmezési tartománynak. Ké-sőbb majd úgy általánosítjuk a deriváltfogalmat, hogy az ilyen esetekben is lehessenderiváltról beszélni. A különbségihányados függvény a b helyen az

y 7−→√

1− y2 −√

1− b2

y − b, (y 6= b)

függvény. A számlálót és nevezőt(√

1− y2 +√

1− b2)-tel szorozva, és felhasználva

az (u+ v)(u− v) = u2 − v2 azonosságot, a b pont valamilyen hiányos környezetébeeső y mellett helyes az alábbi átalakítás.√

1− y2 −√

1− b2

y − b=

(1− y2)− (1− b2)

(y − b)(√

1− y2 +√

1− b2) =

b2 − y2

(y − b)(√

1− y2 +√

1− b2) =

=(b− y)(b+ y)

(y − b)(√

1− y2 +√

1− b2) = − b+ y√

1− y2 +√

1− b2.

Így pedig az adódik, hogy

limy→b

√1− y2 −

√1− b2

y − b= lim

y→b

(− b+ y√

1− y2 +√

1− b2

)=

= − 2b2√

1− b2= − b√

1− b2,



tehát végül is azt kaptuk, hogy

d

db

√1− b2 = − b√

1− b2,

feltéve, hogy b ∈ (−1, 1).

Ebből az eredményből kiindulva már beláthatjuk azt is, hogy az érintési ponthozhúzott sugár merőleges az érintőre.

4.2. ábra. Abszolútérték, és egy „összetoldott” függvény.

4.12 Példa.Az 4.2. ábra jobboldali részén az alábbi, a [−1, 1] zárt intervallumon értelmezett gfüggvényt ábrázoltuk.

g(x) = √

1− x2 ha −1 5 x < 0,1 ha 0 5 x 5 1.

Deriválható-e a g függvény az x = 0 helyen?

Vegyük észre, hogy a görbét egy negyedkörből és egy vízszintes egyenesből rak-tuk össze (4.2. ábra). Gondosan vegyük figyelembe azt, hogy a függvény a 0-tólbalra illetve jobbra más-más előírással definiált, és nézzük a differenciahányadost a0 helyen (a nulla egy hiányos környezetében értelmezve):

g(0 + h)− g(0)h

=g(h)− 1

h= √

1−h2−1h ha −1 < h < 0

1−1h = 0 ha 0 < h 5 1

.

Eszerint, ha 0 < h 5 1, akkor a differenciahányados értéke nulla, ha pedig −1 5h < 0, akkor megengedett a következő átalakítás elvégzése a nullának egy hiányoskörnyezetében.

√1− h2 − 1

h=

(√1− h2 − 1

) (√1− h2 + 1

)h(√

1− h2 + 1) =

=(1− h2)− 1

h(√

1− h2 + 1) =

−h2

h(√

1− h2 + 1) =

−h√1− h2 + 1

.



A eddigi számolások eredményeinek a felhasználásával azt írhatjuk, hogy a következőu függvény a nulla egy hiányos környezetében megegyezik a differenciahányadosfüggvénnyel.

u(h) =

− h√

1−h2+1ha −1 < h < 0,

0 ha 0 < h < 1,

amelyből az adódik, véve ennek a h = 0 helyettesítési értéket, hogy

limh→0

g(0 + h)− g(0)h

= 0 .

Tehát végül is kiszámoltuk, hogy g′(0) = 0.

4.13 Példa.Határozzuk meg az x 7→ (sin 2x+ x2) függvény deriváltját az x = 0 pontban.

A definíció szerint:

limh→0

(sin 2h+ h2)− (sin 0 + 02)h

= limh→0

sin 2h+ h2

h=

= limh→0

(2sin 2h

2h+ h

)= 2 · lim

h→0

sin 2h2h

+ limh→0

h = 2 · 1 + 0 = 2.

4.14 Példa.Hol deriválható és hol nem az x 7→ |x|, R → R+ függvény?

Az 4.8 példában már láttuk, hogy a nulla helyen nem deriválható a függvény, deaz ábrája alapján (4.2. ábra) azt gondolhatjuk, hogy ezen a helyen kívül nincs baj.Valóban, vegyük először a 0 < x esetet. Ekkor a derivált meghatározása könnyűfeladat:

d

dx|x| = lim

y→x

|y| − |x|y − x

= limy→x

y − x

y − x= 1,

ahol az y értéket olyan közel választottuk az x-hez, hogy az is pozitív legyen. Hapedig x < 0, akkor — olyan közel választva az y számot az x-hez, hogy az is negatívlegyen — azt kapjuk, hogy

d

dx|x| = lim

y→x

|y| − |x|y − x

= limy→x

(−y)− (−x)y − x

= −1.

Ezeket összefoglalva megállapíthatjuk, hogy az abszolútérték-függvény az x = 0hely kivételével deriválható, ezért azt állíthatjuk, hogy az

x 7→ |x|, x ∈ R \ 0függvény (ami az értelmezési tartomány különbözősége miatt nem azonos az abszo-lútérték-függvénnyel) deriválható, és a deriváltja az

s(x) =

1 ha 0 < x−1 ha x < 0

függvény, azaz a sgn függvény, leszűkítve az R \ 0 halmazra.

4.15 Példa.Legyen az f : R → R függvény a következőképpen definiálva.

f(x) .=−2x ha x < 00.5x ha 0 5 x

.

Határozzuk meg a bal- és jobboldali deriváltakat az x = 0 helyen.

A differenciahányados balról −2(0+h)−(−2·0)h = −2h

h = −2, és így a baloldaliderivált −2. Hasonlóan a jobboldalról 0.5(0+h)−0.5·0

h = 0.5hh = 0.5, tehát a jobboldali

derivált 0.5.



4.3. ábra. Az érintő értelmezése.

4.1.3. Érintő és érintőapproximációMár az antik görög korban foglalkoztatta a geometria művelőit az, hogy mit értsenekegy görbe „érintőjén”. A kör esetében elemi geometriai meggondolásokból ismerjük,hogy az érintő merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra, ezért könnyen meg-szerkeszthető. Voltaképpen azonban ezt a jólismert állítást is csak a következőkben— az érintő fogalmának az egzakt megragadása, definiálása után — fogjuk majdpontosan gazolni.

A probléma szemléletes megközelítése közben, a rajzokat látva megfogalmazód-hat bennünk valami olyasmi, hogy az érintőn egy olyan egyenest értsünk, amelyik„ jól simul” a görbéhez az érintkezési pontban. A „jól simul” pontosításával a kö-vetkezőképpen próbálkozhatunk: Olyan szelőit veszük az f függvény gráfjának az(x, f(x)) pontban, amelyeknek a görbével vett másik (x + h, f(x + h)) metszés-pontja valamilyen értelemben közel van az (x, f(x)) ponthoz, és úgy képzelhetjük,hogy ezek a szelők annál jobban megközelítik a keresett „érintőt”, minél közelebbvan az említett két pont a görbén (4.3 ábra).

Azért szemléltetjük kétféle módon is a mondottakat, hogy ezzel is hangsúlyozzukazt a fontos tényt, hogy az (x+ h, f(x+ h)) pont jobbra vagy balra egyaránt eshetaz (x, f(x)) ponttól, aszerint hogy h > 0 vagy h < 0.

4.16 Definíció.Legyen az f függvény deriválható az x pontban. Ekkor az f függvény (x, f(x))pontban vett érintőjének mondjuk azt az egyenest, amely

(1) átmegy az (x, f(x)) ponton, és

(2) az iránytangense az f ′(x) differenciálhányados.

Ezek után már egzaktnak tekinthetjük az érintő fogalmát, és könnyen fel isírhatjuk a szóbanforgó érintő egyenes egyenletét. Ezt az egyszerű, de fontos tényttételben is rögzítjük.

4.17 Állítás. (Érintő egyenlete)Ha az f fügvény deriválható az a pontban, akkor az f leképezés gráfját az (a, f(a))pontban érintő egyenes egyenlete:

y − f(a) = f ′(a) · (x− a).

Bizonyítás. Mint tudjuk, az f ′(a) iránytangensű egyenes egyenletének az általánosalakja

y = f ′(a)x+ b ,

és mivel az egyenesnek át kell mennie az (a, f(a)) ponton, ezért

f(a) = f ′(a)a+ b .



A két utóbbi egyenlőséget kivonva egymásból a b kiesik, és

y − f(a) = f ′(a)(x− a),


Az érintő fogalmával kapcsolatban szemléletesen helyes az a felfogás, hogy azérintő egy olyan egyenes, amelyik az érintési pontban „hozzásimul” a görbéhez. Mosttovább tárgyaljuk ezt a „simulást”. A felvetett gondolat pontos megfogalmazásáhozszükség lesz egy új fogalomra, amit a következő definícióban vezetünk be.

4.18 Definíció. (Kisordó, kisrendű)Ha a g valós leképezés értelmezve van a nulla egy környezetében, és

limh→0

g(h)h

= 0, g(h) = 0,

akkor azt mondjuk, hogy a g leképezés erősebben tart a nullához, mint a h→ h (rö-viden: h) leképezés. Az ilyen g leképezéseket o(h) — olvasva: kis ordó h — módonfogjuk jelölni, és azt is szokásos mondani, hogy a g függvény kisordó (kisrendű) h.

Ez a definíció igen szemléletes szóhasználatot fogalmaz meg. Tartalmának amegértéséhez még egy kis magyarázat: Ha a g(h)/|h| leképezést t(h)-val jelöljük,akkor átrendezve azt kapjuk, hogy g(h) = |h|t(h), ahol a definíció szerint a t(h)függvény a nullához tart, ha a h tart a nullához. Ez azt jelenti, hogy a g függvény— a h nullához tartásával — „sebesebben” tart a nullához, mint maga a h érték,hiszen még egy nullához tartó függvénnyel van szorozva. A „kis ordó” elnevezés arrakíván utalni, hogy az o(h) függvény a nullánál „nagyságrendileg” vagy „lényegesen”kisebb mint a h. A definícióból világos, hogy ez a „kicsiség” limeszben értendő.

Most pedig a kezdeti részletes bevezető magyarázat után pontosan megfogalmaz-zuk az „érintő-approximáció” (érintő-közelítés) tételét, és ezzel nemcsak a fentiekbenvázolt „kicsiben lineáris” gondolatot tesszük precízzé, hanem a deriváltfogalomnakis egy új szemléletet, tartalmat adunk.

4.19 Állítás. (Érintő-approximáció tétel.)Az a ∈ R szám valamilyen környezetében értelmezett f valós függvény pontosanakkor differenciálható az a pontban, ha van olyan α szám, hogy a nulla egy környe-zetében

f(a+ h)− f(a) = αh+ o(h),

és ekkor az α szám megegyezik az f függvénynek az a pontban vett f ′(a) deriváltjával:f(a+ h)− f(a) = f ′(a) · h+ o(h).

Az állítás szemléletesen így fogalmazható: Az f függvény deriválhatósága az apontban azt jelenti, hogy kicsiben lineáris az a pontban. Ahogyan eddig is tettük, ah = y − x választással az f(y)− f(x) különbségre is megfogalmazható az állítás.

Bizonyítás. Az f függvény x helyen vett differenciahányadosának f ′(x)-hez valótartása azt jelenti, hogy a

h→ f(x+ h)− f(x)h

− f ′(x) =f(x+ h)− f(x)− hf ′(x)

h

leképezés a nullához tart, a h nullához tartása mellett, amit úgy is mondhatunk,hogy a leképezést megadó tört számlálója h-val osztva nullához tart, és a nullábannulla. Ez pedig az előző definícióban bevezetett kis ordó terminológiával pontosanazt jelenti, hogy

f(x+ h)− f(x)− hf ′(x) = o(h).



A tétel egyszerű bizonyítása ellenére azért adtunk neki külön nevet, mert rendki-vül fontos jellemzését (karakterizációját) adja a deriválhatóságnak és a deriváltnak.Ennek a karakterizációnak nagyon fontos előnyei vannak, amit majd a többváltozósanalízisnél fogunk tapasztalni, ahol a deriváltfogalmat ezen az értelmezésen keresz-tül tudjuk továbbvinni.

4.1.4. Relatív sebesség, elaszticitásHa egy függvénynek az értékei valamilyen mértékegységben értendők, és úgy szeret-nénk az x helyen vett megváltozását mérni, hogy az ne függjön a mértékegységtől,a differenciahányados (átlagsebesség) helyett más hányadost kell bevezetnünk. Azx független változó relatív megváltozása az x helyen

∆xx

.=(x+ h)− x

x,

a függvény relatív megváltozása pedig

∆ff(x)

.=f(x+ h)− f(x)

f(x).

Ezeknek a hányadosoknak a felírásánál persze fel kell tételeznünk, hogy x 6= 0 ésf(x) 6= 0. Ezek a relatív számok nyilvánvalóan függetlenek az x és f(x) mennyisé-gekre használt mértékegységek megválasztásától. Ezeknek a relatív megváltozások-nak a

h 7→∆ff(x)

∆xx

=f(x+h)−f(x)

f(x)

(x+h)−xx

(4.3)

hányadosát relatív differenciahányadosnak (relatív átlagsebességnek) nevezhetjük.A relatív differenciahányados egyszerűbb alakra is hozható:

∆ff(x)

∆xx

=f(x+h)−f(x)

f(x)

hx

=x

f(x)f(x+ h)− f(x)

h.

Ha az x 6= 0 és f(x) 6= 0 feltételek teljesülnek, és az f függvény deriválható az xhelyen, akkor azonnal meg is határozhatjuk a relatív differenciahányados határér-tékét:

limh→0

∆ff(x)

∆xx

= limh→0

x

f(x)f(x+ h)− f(x)

h=

=x

f(x)limh→0

f(x+ h)− f(x)h

=x

f(x)f ′(x).

Az előző meggondolások eredményére támaszkodva egy új elnevezést vezetünk be:

4.20 Definíció.Legyen az f függvény az x 6= 0 pont egy környezetében definiálva és f(x) 6= 0. Haaz f függvény deriválható az x helyen akkor a (4.3) relatív differenciahányados-nak a h = 0 helyen vett határértékét az f függvény x helyen vett elaszticitásának,rugalmasságának nevezzük, aminek az értéke

x

f(x)f ′(x).


4.2. DIFFERENCIÁLÁS, KALKULUS 141

4.2. Differenciálás, kalkulusEbben a pontban a differenciálhányados kiszámítására szolgáló rendszert, egy „kal-kulust” alakítunk ki. Voltaképpen innen ered az, hogy a bevezető analízist tárgyalókönyveket „differenciálszámítás” néven is szokták emlegetni.

A határértékek számolásánál is láttuk, hogy egy célszerű kalkulus kialakításáhozkét feladatot kell megoldanunk:

1. Bebizonyítjuk a formális szabályokat, amelyek azt adják meg, hogyan viselke-dik a deriválás művelete a függvények közötti műveletekkel — függvényépítésieljárásokkal — szemben.

2. Kiszámoljuk néhány speciális függvény deriváltját. Ezekből felépíthetők azoka függvények, amelyeknek a deriváltját ki tudjuk számolni.

Mint minden rutinszerű emberi tevékenységet, ezt is jogosan hatalmába kerítetteaz automatizálás. Személyi számítógépeken már több olyan program érhető el,amelyek az itt tárgyalt kalkulust kitűnően és rendkívüli gyorsasággal végzik. Ezzelaz itt tárgyaltak „rutin része” egy szintre kerül a numerikus kalkulációval, de ez nemjelenti azt, hogy nem kell megfelelően tudnunk és a számolásban rutint szereznünk.

4.2.1. Formális szabályokA valós függvények fogalmának a bevezetésénél hangsúlyoztuk, hogy a függvényeknagy családja felépítésének az alapköve néhány speciális függvény, és ezekből a for-mális szabályok segítségével építhetjük fel a számunkra legfontosabb függvényeket.Ezért minden, a függvényekre vonatkozó tulajdonság bevezetésénél a legfontosabb:miként viselkedik a tulajdonság a formális szabályokkal szemben:

4.21 Állítás. (Differenciálás formális szabályai)Számszoros deriváltja. Legyen az f deriválható az x pontban és az α tetszőleges

valós szám. Ekkor az αf függvény is deriválható az x pontban, és

(αf)′(x) = αf ′(x).

Összeg deriváltja. Legyen az f és g függvény differenciálható az x pontban. Ekkoraz (f + g) függvény is differenciálható az x pontban, és

(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).

Szorzat deriváltja. Legyen az f és g differenciálható az x pontban. Ekkor az fgszorzatfüggvény is deriválható az x pontban, és

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

Hányados deriváltja. Ha az f és g függvények deriválhatóak az x pontban, ésg(x) 6= 0, akkor az f/g hányadosfüggvény is deriválható az x pontban, és(

f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)(g(x))2

.

Közvetett függvény deriváltja. Ha az f függvény deriválható az x pontban, ag függvény pedig deriválható az f(x) pontban, akkor az g f kompozíciófügg-vény (közvetett függvény) is deriválható az x pontban, és

(g f)′(x) =d

dxg(f(x)) = g′(f(x))f ′(x) (láncszabály).



Inverzfüggvény deriváltja. Tegyük fel, hogy

(a): az f függvény deriválható az x pontban,

(b): f ′(x) 6= 0,

(c): f szigorúan monoton és folytonos az x pont egy környezetében.

Ekkor az f−1 inverzfüggvény deriválható az f(x) pontban, és

(f−1)′(f(x)) =1

f ′(x)=(

1f f ′

)(x).

Bizonyítás. Számszoros deriválása. Az (αf) függvény differenciahányadosa az xhelyen

αf(x+ h)− αf(x)h

= αf(x+ h)− f(x)

h

módon írható, amiből — mivel egy függvény számszorosának a limesze a limeszszámszorosa — azonnal kapjuk, hogy a jobboldal limesze a h = 0 helyen αf ′(x).Emiatt a baloldalnak is van limesze, ami a definíció szerint (αf)′(x).Összeg deriválása. Első bizonyítás. A derivált definícióját használjuk. Véve az(f + g) leképezés differenciahányadosát, egyszerű átalakítással adódik, hogy

(f(x+ h) + g(x+ h))− (f(x) + g(x))h

=f(x+ h)− f(x)

h+g(x+ h)− g(x)

h,

amiből, mivel összeg határértéke az összeadandók határértékeinek az összege, azon-nal kapjuk, hogy a jobboldal határértéke az f ′(x) + g′(x), és így a baloldalnak isvan határértéke, ami a definíció szerint (f + g)′(x).Második bizonyítás a 4.3. állítás segítségével, amely szerint

f(y)− f(x) = (y − x)φ(y) és g(y)− g(x) = (y − x)ψ(y),

ahol a φ és ψ függvények folytonosak az x pontban, és f ′(x) = φ(x) és g′(x) = ψ(x).Ezekből

(f + g)(y)− (f + g)(x) = f(y) + g(y)− f(x)− g(x) == (f(y)− f(x)) + (g(y)− g(x)) == (y − x)φ(y) + (y − x)ψ(y) = (y − x)(φ(x) + ψ(x)).

Mivel folytonos függvények összege is folytonos, ezért a φ + ψ függvény folytonosaz x pontban, ezért a 4.3. állítás szerint az összegfüggvény deriválható, és

(f + g)′(x) = φ(x) + ψ(x) = f ′(x) + g′(x).

Szorzat deriváltja. Első bizonyítás a definícióból kiindulva. Az fg leképezés dif-ferenciahányadosát úgy alakítjuk, hogy az f és g leképezések differenciahányadosaijöjjenek be:

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)h

=

f(x+ h)g(x+ h)− f(x+ h)g(x) + f(x+ h)g(x)− f(x)g(x)h

= f(x+ h)g(x+ h)− g(x)

h+ g(x)

f(x+ h)− f(x)h

.

A jobboldalon az f(x + h) limesze h → 0 mellett f(x), mivel az f függvény de-riválhatósága miatt folytonos az x helyen (4.7. állítás). Alkalmazva a határérték



formális tulajdonságait az adódik, hogy a jobboldal limesze f(x)g′(x) + f ′(x)g(x),ami megegyezik a baloldal — emiatt létező. — limeszével, ami a definíció szerint(fg)′(x).Második bizonyítás a 4.3. állítás segítségével, amely szerint

f(y)− f(x) = (y − x)φ(y) és g(y)− g(x) = (y − x)ψ(y),

ahol a φ és ψ függvények folytonosak az x pontban, és f ′(x) = φ(x) és g′(x) = ψ(x).Ezekből

(fg)(y)− (fg)(x) = f(y)g(y) + f(x)g(x) == f(y)g(y)− f(x)g(y) + f(x)g(y)− f(x)g(y) + f(x)g(x) == g(y)(f(y)− f(x)) + f(x)(g(y)− g(x)) == (y − x)g(y)φ(y) + (y − x)f(x)ψ(y) == (y − x)(g(y)φ(y) + f(x)ψ(y)).

A deriválhatóság miatt a g függvény is folytonos az x helyen, és mivel folytonosfüggvények szorzata és összege is folytonos, ezért az (g(y)φ(y)+f(x)ψ(y)) függvényfolytonos az x helyen, ezért a 4.3. állítás szerint a szorzatfüggvény deriválható, és

(fg)′(x) = g(x)φ(x) + f(x)ψ(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

Tört deriváltja. Először belátjuk, hogy az 1/g leképezés deriválható az x helyen és(1g

)′(x) = − g

′(x)g2(x)

.

Mivel a deriválhatóság miatt a g folytonos az x-nél (4.7. állítás) és g(x) 6= 0, ezértg(x+h) nem nulla, ha a h eléggé kicsi. Ennek a szem előtt tartásával minden eléggékicsi h mellett felírhatjuk az 1/g differenciahányadosát, és megengedett az alábbiátalakítás:

1h

(1

g(x+ h)− 1g(x)

)=g(x)− g(x+ h)hg(x+ h)g(x)

=g(x)− g(x+ h)

h

1g(x+ h)g(x)

.

A jobboldal limesze a határérték formális szabályai szerint számolva −g′(x)/g2(x),ezért a baloldalnak is létezik a limesze, ami a definíció szerint (1/g)′(x).

Rátérve a hányados deriválási szabályának a bizonyítására, a szorzat differenci-álására már igazolt szabály és a reciprok deriváltjára most csinált formula felhasz-nálásával azt kapjuk, hogy(

f

g

)′(x) = f ′(x)

1g(x) + f(x)

(1g

)′(x)

=f ′(x)g(x)

− f(x)g′(x)g2(x)

=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x).

Közvetett fügvény. A 4.3. állítás segítségével bizonyítunk, amely szerint

f(y)− f(x) = (y − x)φ(y) és g(f(y))− g(f(x)) = (f(y)− f(x))ψ(f(y)),

ahol a φ függvény folytonos az x pontban, a ψ pedig az f(x) pontban, és f ′(x) =φ(x) és g′(f(x)) = ψ(f(x)). Ezekből h = g f jelöléssel kapjuk, hogy

h(y)− h(x) = g(f(y))− g(f(x)) = (f(y)− f(x))ψ(f(y)) == (y − x)φ(y)ψ(f(y)).



A deriválhatóság miatt az f függvény is folytonos az x helyen, a g pedig az f(x)helyen. Mivel folytonos függvények kompozíciója és szorzata folytonos, ezért a(φ(y)ψ(f(y))) függvény folytonos az x helyen, ezért a 4.3. állítás szerint az g fkompozíció deriválható az x pontban, és

(g f)′(x) = φ(x)ψ(f(x)) = f ′(x)g′(f(x)).

Az inverz függvény deriválása. Az f ′(x) 6= 0 feltétel miatt az f függvény x helyenvett f(y)−f(x)

y−x differenciahányadosa nemnulla, ha alkalmas pozitív δ számra y ∈(x− δ, x+ δ). Az x azon Ux gömbkörnyezetét, ahol szigorúan monoton az f vegyükolyan kicsinek, hogy része legyen az (x− δ, x+ δ) környezetnek, tehát Ux-ben az xhelyen vett differenciahányados nemnulla.

A szigorú monotonitás és folytonosság miatt az f invertálható az Ux környezet-ben és az inverz is folytonos, azaz f oda-vissza folytonos bijekció az x Ux és az f(x)egy Vf(x) gömbkörnyezete között (3.40. állítás).

A mondott két észrevételt felhasználva a h számot vehetjük olyan kicsinek, hogy(f(x) + h) ∈ Vf(x). Ekkor egyértelműen van olyan y ∈ Ux, hogy f(x) + h =f(y). Így az f−1 függvény differenciahányadosa az f(x) pontban a következőképpenalakítható.

f−1(f(x) + h

)− f−1

(f(x)

)h

=f−1

(f(y)

)− f−1

(f(x)

)h

=

=y − x

f(y)− f(x)=

1f(y)−f(x)

y−x

.

Vegyük észre, hogy az átalakítás megengedett volta az előzőekben mondottak miattteljesül. A mondottak szerint az f−1 folytonos az f(x)-nél, ezért y = f−1(f(x)+h)tart az f−1(f(x)) = x számhoz, ha a h tart a 0-hoz. Így a kiemelt sor jobboldalatart az 1/f ′(x) számhoz, az emiatt konvergens baloldal pedig definíció szerint tartaz (f−1)′(f(x))-hez.

4.2.2. Elemi függvények differenciálásaGondolatmenetünk szerint most az következik, hogy meghatározzuk azoknak a függ-vényeknek a deriváltjait, amelyekből — mint alapelemekből, a formális szabályoksegítségével — a vizsgálataink tárgyát képező függvényeket elő tudjuk állítani. Ezenfüggvények száma mindössze négy függvényre redukálható:

x 7→ 1 (azonosan 1), x 7→ x (azonosság),x 7→ ex (exponenciális), x 7→ sinx (trigonometrikus).

A deriválási szabályokat azonban — praktikus szempontok miatt — a függ-vények bővebb körére készítjük el, és ezzel azt érhetjük el, hogy bizonyos fontosfüggvényeknél nem kell mindig az említett négy alapfüggvényhez visszamennünk.

4.22 Állítás. (Elemi függvények deriváltjai)(1) Az x 7→ c (c állandó) konstans függvény deríváltja minden x ∈ R pontban

nulla.

(2) Az x 7→ xn (n ∈ N) hatványfüggvény az R minden x pontjában deriválható, ésderiváltja nxn−1.

Az x 7→ xn (n ∈ −N) hatványfüggvény az R minden x 6= 0 pontjában derivál-ható, és a deriváltja nxn−1.



(3) A sinx és cosx trigonometrikus függvények minden x ∈ R pontban deriválha-tóak, és

sin′ x = cosx és cos′ x = − sinx.

(4) A tangensfüggvény értelmezési tartománya minden pontjában deriválható:

tan′ x =1

cos2 x= 1 + tan2 x.

(5) Az x 7→ ex exponenciális függvény deriváltja:

(ex)′ = ex,

minden x valós számra.

(6) Az x 7→ log x, (x ∈ R++) logaritmus függvény az értelmezési tartomány min-den pontjában deriválható, mégpedig

(log x)′ =1x.

(7) A trigonometrikus függvények inverzeinek az x helyen vett deriváltjai:

arctan′ x =1

1 + x2, ha x ∈ R és arcsin′ x =

1√1− x2

ha |x| < 1.

Bizonyítás. (1): A konstans függvény esetében a különbségi hányados nulla.(2): Készítsük el a különbségi hányadost, és az ismert azonosság alapján alakítsukát (persze a h 6= 0 feltétel mellett):

(x+ h)n − xn

h=(

(x+ h)− x)(

(x+ h)n−1 + (x+ h)n−2x+ · · ·+ (x+ h)xn−2 + xn−1)

h

= (x+ h)n−1 + (x+ h)n−2x+ · · ·+ (x+ h)xn−2 + xn−1.

A jobboldal h-ban folytonos és a nulla hiányos környezetében megegyezik a baloldalidifferenciahányadossal, ezért a limeszként kapott differenciálhányados megegyezik ajobboldal h = 0 helyen felvett helyettesítési értékével, ami nxn−1.(3): Ismert trigonometrikus azonosság alapján

limh→0

sin(x+ h)− sinxh

= limh→0

2 cos( 2x+h2 ) sin(h

2 )h

=

= limh→0

cos(2x+ h

2) · lim

h→0

sin(h2 )

h2

= cosx · 1.

Az utolsó lépésben a szinusz függvény bevezetésénél már bebizonyított, sin hh → 1,

ha h→ 0, határértéket és a koszinusz függvény folytonosságát használtuk.A cos függvény deriváltjának a meghatározásához a cosx = sin

(π2 − x

)azo-

nosságot és a közvetett függvény deriválási szabályával kapjuk, hogy

cos′ x =d

dxsin(π/2− x) = sin′(π/2− x) · (π/2− x)′ =

= cos(π/2− x) · (−1) = − sinx.



(4): A tan = sin / cos összefüggés alapján, a tört deriválására vonatkozó szabályalkalmazásával adódik, hogy

tan′ x =d

dx

(sinxcosx

)=

sin′ x cosx− sinx cos′ xcos2 x

=

=cosx cosx− sinx(− sinx)

cos2 x=

cos2 x+ sin2 x

cos2 x=

1cos2 x

,

feltéve persze, hogy cosx 6= 0, amit az x 6= (2n+ 1)π2 feltétel biztosít.

(5): Számolva a differenciahányados limeszét:

limh→0

ex+h − ex

h= lim

h→0ex e

h − 1h

= limh→0

ex · limh→0

eh − 1h

= ex · 1 = ex.

A határértékek meghatározásánál felhasználtuk az exponenciális függvény folyto-nosságát és a bevezetésénél belátott limh→0

eh−1h = 1, határértéket.

(6): A log függvény az exponenciális függvény inverze és folytonos. Az inverzfüggvény deriválási szabálya alapján járunk el: Legyen y = lnx azaz x = ey. Ekkor

d

dxlnx =

d

dxln(ey) =

1ddxe

y=

1ey

=1x.

(7): A bizonyítások természetesen az inverzfüggvény deriválására vonatkozó for-mális szabályt használják, valamint azt, hogy a szóban forgó függvényeknek vaninverzük és folytonosak.

Legyen először y = arcsinx azaz x = sin y. Ekkor a sin függvény deriváltjánakaz ismeretében, az inverzfüggvény deriválási szabálya szerint

d

dxarcsinx =

1cos y

∣∣∣∣y=arcsin x

.

A −π/2 < y < π/2 számokra cos y =√

1− sin2 y, ezért a kiemelt sor a következő-képpen folytatható:

=1√

1− sin2 y

∣∣∣∣∣y=arcsinx

= =1√

1− sin2(arcsinx)=

1√1− x2

,

ha |x| < 1.Legyen y = arctanx azaz x = tan y. Ekkor, hasonlóan járva el, mint az előbb:

d

dtarctanx =

1tan′ y

|y=arctan x = cos2 y|y=arctan x =

=1

1 + tan2 y

∣∣∣∣y=arctan x

=1

1 + tan2(arctanx)=

11 + x2

.

Ezzel a tétel összes állítását beláttuk.

A formális szabályok és az előző tétel segítségével minden olyan függvénynekki tudjuk számolni a deriváltját, amelyek a formális szabályok segítségével a spe-ciális függvényekből megkaphatók. Kidolgozott példákat a következő — számolásiszabályokat összefoglaló — pontban adunk.

Az alpont hátralévő részében egy fontos állítást látunk be az elaszticitásra, ame-lyet a 4.4. ábrán szemléltettünk.



4.23 Állítás.Legyen az f pozitív függvény definiálva az 0 < x pont egy környezetében. Ha az fderiválható az x helyen, akkor az x helyen vett elaszticitása megegyezik a

limh→0

ln(f(x+ h))− ln(f(x))ln(x+ h)− lnx

limesszel, amitd ln(f(x))d lnx

módon szokás jelölni.

4.4. ábra. Az elaszticitás, mint differenciahányados limesze.

Bizonyítás. Véve az x = eu jelölést, kétszer alkalmazzuk a közvetett függvényderiválási szabályát:

d ln(f(eu))du

=1

f(eu)(f(eu))′ =

1f(eu)

f ′(eu)eu

amiből az x = ev jelöléssel adódik az eredmény.

4.2.3. Differenciálás összefoglalóA következőkben néhány táblázatban összefoglaljuk azokat a szabályokat, amelyekmemorizálása szükséges a kalkulus alapos elsajátításához. A táblázatok csupánemlékeztetők, és a pontos feltételeket a megfelelő tételek tartalmazzák.

Formális szabályok és speciális függvények deriváltja



(αf)′(x) = αf ′(x)

(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)(fg

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)g2(x)

(f−1)′(f(x)) =1

f ′(x)

(g f)′(x) = g′(f(x))f ′(x)

(xn)′ = nxn−1

ddxx

α = αxα−1

(ex)′ = ex

ln′ x =1x

sin′ x = cosxcos′ x = − sinx

tan′ x =1

cos2 x

cot′ x = − 1sin2 x

A következő táblázatba két olyan speciális függvény deriváltjára emlékeztetünk,amelyek ritkábban fordulnak elő, de igen fontosak lesznek a következő pontban.Voltaképpen nem az a legfontosabb, hogy tudjuk: az arctanx függvény deriváltjaaz 1/(1 + x2), hanem megfordítva: az 1/(1 + x2) függvény az arctanx függvényderiváltja. Ez persze elvileg ugyanaz a tudás, de ebben az irányban kell majdelsősorban használni.

ddx arctanx =

11 + x2

(x ∈ R)

ddx arcsinx =

1√1− x2

, x ∈ (−1, 1)

ddx arccosx =

1√1− x2

, x ∈ (−1, 1)

A táblázat utolsó sorával kapcsolatban megjegyezzük, hogy az arcsin függvényderiváltját határoztuk csak meg a megfelelő tételben, de ettől az arccos függvénycsak állandóban különbözik, ezért az utolsó sor is igazoltnak vehető.

A közvetett függvény deriválási szabálya és a hatvány-, exponenciális- és logaritmus-függvény deriválásával kaphatjuk a következő formulákat, amelyek igen hasznosaka rutinszerű számolásban.

ddx (h(x))n = n(h(x))n−1h′(x)

ddx

(eh(x)

)= h′(x)eh(x)

ddx ln(h(x)) =

h′(x)h(x)

, (0 < h(x))

Most az összefoglaló táblázatok után kidolgozunk néhány feladatot, további meg-oldott feladatok a példatárban találhatók.

4.24 Példa.Adjuk meg az pn(x) = anx

n + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 =

∑ni=0 aix

i polinomderiváltját.



A polinomok deriválása, amennyiben a polinom hatványfüggvények összegekéntadott, rendkívül egyszerű, és inkább csak a formális jelölések megszokásának a ked-véért nézzük meg az általános esetet. Az összeg, számszoros és hatványfüggvényderiválási szabálya alapján:

p′(x) = nanxn−1 + (n− 1)an−1x

n−2 + · · ·+ 2a2x+ a1

=n∑

i=1

iaixi−1.

A polinomok mindig az előbbi példában leírt alakra hozhatók, és ezután elvé-gezhetjük a deriválást, de ne higyjük, hogy ez mindig célszerű, ahogyan a következőfeladatból láthatjuk:

4.25 Példa.Határozzuk meg az f(x) = (2x− 3)4 − 216x polinom deriváltjának a gyökeit.

Ha azt az utat követnénk, hogy elvégezve a hatványozást az előzőekben tárgyaltpolinom alakot állítanánk elő, akkor az f , negyedfokú polinom deriváltja egy har-madfokú polinom lenne, és annak a gyökeit esetleg nehéz meghatározni. Ha viszonta megadott alakot megtartva végezzük el a deriválást, akkor

f ′(x) = 4(2x− 3)4−1(2x− 1)′ − (216x)′ = 8(2x− 3)3 − 216.

A 8(2x− 3)3 − 216 = 0 egyenletből első lépésként (2x− 3)3 = 216/8 = 27, amiből2x− 3 = 3, azaz x = 3.

4.26 Példa.Mutassuk meg, hogy az x 7→ e−x2

függvény n-edik deriváltja hn(x) · e−x2alakú,

ahol a hn n-edfokú polinom, és számoljuk ki az első három polinomot.

Az első derivált alakja valóban az állított formájú, mivel(e−x2

)′= e−x2

(−x2)′ =

−2xe−x2. A feladat bizonyítását teljes indukcióval végezzük el. Az n = 1 esetben

igaz az állítás. Tegyük fel, hogy n-re már tudjuk, hogy (e−x2)(n) = hn(x)e−x2

.Ebből kiindulva megmutatjuk, hogy (n + 1)-re is ilyen alakú a derivált. Véve az(n+ 1)-edik deriváltat azt kapjuk, hogy(

d

dx

)n+1

e−x2=

d

dx

(d

dx

)n

e−x2,

amit az indukciós feltevés szerint folytatva, a szorzat deriválása szerint eljárva akövetkezőképpen számolhatunk tovább:

d

dxhn(x)e−x2

= h′n(x)e−x2+ hn(x)

(e−x2

)′=

= h′n(x)e−x2+ hn(x)(−2xe−x2

) = (h′n(x)− 2xhn(x))e−x2.

Mivel polinom deriváltja polinom, be is láttuk az állítást, hiszen az előző számolásvégét leolvasva azt kapjuk, hogy (e−x2

)(n+1) = hn+1(x)e−x2, ahol a hn+1 polinomot

a következő számolási szabály szerint kapjuk:

hn+1(x) = h′n(x)− 2xhn(x), h0(x) = 1. (4.4)

Ebből látható, hogy ha a hn polinom n-edfokú volt, akkor a hn+1 fokszáma (n+1).Számítsuk ki most az első három polinomot. Az elsőt már az előzőekben meg-határoztuk: h1(x) = −2x. A következők kiszámolásánál használjuk a bebizonyí-tott (4.4) formulát: h2(x) = h′1(x) − 2xh1(x) = (−2x)′ − 2x(−2x) = 4x2 − 2, ésh3(x) = (4x2 − 2)′ − 2x(4x2 − 2) = −8x3 + 12x. Összefoglalóan azt írhatjuk, hogy

h1(x) = −2x, h2(x) = 4x2 − 2, h3(x) = −8x3 + 12x.



4.27 Példa.Mutassuk meg, hogy

∑nk=1 k

(nk

)= n2n−1.

Ennek a példának első pillantásra semmi köze sincs a deriváláshoz. De a binomi-ális együtthatók szereplése talán felkelti a figyelmünket, hogy a binomiális tételbőlkellene kiindulni. Valóban a binomiális tétel szerint (1 + x)n =

∑nk=0

(nk

)xk. Deri-

váljuk az egyenlőség mindkét oldalát:

n(1 + x)n−1 =n∑

k=1

(n

k

)kxk−1.

Véve ezt a polinomot az x = 1 helyen, azt kapjuk, hogy

n2n−1 =n∑

k=1

k

(n

k

),

ami éppen bizonyítandó volt.

4.28 Példa.Mutassuk meg, hogy a sin(αx) és cos(αx) függvények eleget tesznek az alábbi egyen-letnek f ′′(x) = −α2f(x).

A sin(αx) első deriváltja α cos(αx), és ennek a további deriválásával kapjuk,hogy sin′′(αx) = −α2 sin(αx). Hasonlóan lehet eljárni a cos függvény esetében.

4.29 Állítás.Mutassuk meg, hogy limx→0

log(1+x)x = 1.

Bizonyítás. Mivellog(1 + x)

x=

log(1 + x)− log 1x

,

ezért a tört, aminek a limeszét keressük a log függvény differenciahányadosa azx = 1 helyen. Emiatt a limesz értéke az log függvény 1/x deriváltjának az x = 1helyen vett értéke, azaz 1.

4.2.4. Parciális derivált, teljes differenciál, implicit deriválásEbben a pontban a differenciálszámítással kapcsolatban három témával fogunk fog-lalkozni, de olyan röviden, hogy ez csak a problémák felvetésének nevezhető.

Parciális derivált. Vegyük az x változónak egy olyan függvényét, amelyben egyz változó is szerepel, például: x 7→ xz + x2 − x2z. Ez a függvény voltaképpen a zkülönféle értékei mellett más-más függvénye az x változónak. Hasonló mondható az 7→ xz + x2 − x2z függvényére a z változónak. Ilyen — több változótól függő —függvényeket alaposan fogunk vizsgálni a későbbiekben, és most csak a következőegyszerű észrevételt tesszük. Ha rögzített z érték mellett deriváljuk ezt a függvényt,akkor a d betű helyett a ∂ jelet is szokás használni, és előnyös a Dx jelölés:

d

dx(xz + x2 − x2z) =

∂

∂x(xz + x2 − x2z) = Dx(xz + x2 − x2z) = z + 2x− 2xz.

Hangsúlyozva azt, hogy noha két változó is van, de csak az egyik szerint deriválunk,azt szokás mondani, hogy az x változó szerint parciálisan deriválunk. Az előzőhözhasonlóan a z változó szerinti parciális derivált:

d

dz(xz + x2 − x2z) =

∂

∂z(xz + x2 − x2z) = Dz(xz + x2 − x2z) = x− x2.



Teljes differenciál. Beszélünk egy keveset arról, hogy a „dx” és „df ” szimbólumok,precízzé tehetők, kiépíthető egy teljesen pontos elméletük, és „számolni” lehet velük.Azért hozzuk szóba ezt a fogalmat, mert a mi gyakorlatunkban is hasznos leheta számítások során, de hangsúlyozni kell, hogy — a mi jelenlegi szintünkön —mindig elkerülhetőek, és célszerű is így tenni. Részletes és pontos tárgyalásukra atöbbváltozós függvények elméletében kerül sor. Mivel a deriváltra bevezetett jelölésszerint

df(x)dx

= f ′(x), (4.5)

ezért — elfeledkezve egy pillanatra arról, hogy a dx nem valami algebrai szimbólumamivel számolni lehet — a dx-szel formálisan szorozzunk át a másik oldalra, amivela következő alakot kapjuk

df(x) = f ′(x) dx (4.6)

Ennek az egyenletnek persze így semmi értelme sincs, de ha azt mondjuk, hogy adf(x) szimbólumon definíció szerint azt értjük, hogy venni kell az f deriváltját az xhelyen és mellé kell írni a dx szimbólumot , akkor már korrekt dolog felírni a df(x)-et. Ez a jelölés a deriváltnak az érintő approximáció tételben leírt karakterizációjáraemlékeztet, hiszen aszerint

∆f(x) = f ′(x)∆x+ o(∆x),

és így, a „∆” helyett „d” betűt írva és elhagyva a kis ordót, éppen úgy „ jogosanindokolt eredetű” jelölésnek mondhatjuk, mint a df

dx -et.Az elmondott értelmezéssel a (4.6) úgy is tekinthető, mint egy új jelölés, új

szimbolika a deriváltra. Ezt a fogalmat differenciálnak nevezik.Felírva példaképpen azt az esetet, amikor az f az x 7→ x azonosság függvény,

logikusan x-szel jelölve a függvényt, azt kapjuk, hogy dx = (x)′ · dx = dx, amiarra mutat, hogy a szimbólumunk konzisztens abból a szempontból, hogy az xfüggvényre dx-et ad.

Megnézhetjük, hogy a mostani jelöléssel hogyan írhatók fel a formális szabályok.Vegyük csak az összeg deriváltját: A d(f(x) + g(x)) differenciál a (4.6 szerint az(f(x)+g(x))′ dx szimbólummal azonos, amiből az összeg deriválási szabálya alapján,feltételezve, hogy a dx-szel való „szorzás” disztributív, azt kapjuk, hogy

d(f(x) + g(x)) = (f(x) + g(x))′dx = (f ′(x) + g′(x))dx = f ′(x) dx+ g′(x) dx= df(x) + dg(x),

ami a többi jelöléshez hasonlóan eléggé kifejező. Ebben a gondolatmenetben a dxés df szimbólumokkal való bánásmód egy kicsit hasonló ahhoz, ahogyan az i ima-ginárius egységet kezeljük a normálalaknál. Valójában egy sajátos algebrát lehetnea teljes differenciálokra kiépíteni, amit a többváltozós függvényeknél meg is fogunktenni.

A későbbiekben — megjegyzés-technikai okok miatt — a (4.6) formát mint aderivált egy alternatív jelölését kis mértékben használni fogjuk.

Implicit differenciálás. Erősen bevezető jellegű analízis könyvek is felvetik akövetkezőkben vázolt — a jelenlegi szinten egy megalapozatlan differenciálási mód-szernek mondható — eljárást.

Az eddigiekben y = f(x) módon megadott függvényekkel foglalkoztunk, például:

y =√

1− x2, |x| 5 1. (4.7)

Gyakori eset, hogy az x és y kapcsolata nem ilyen, kifejezett (explicit) módon vanmegadva. Például:

x2 + y2 = 1. (4.8)



Természetesen azonnal látjuk, hogy az utóbbi alak explicitté tehető, és — legalábbis az egyik megoldás esetében — éppen a (4.7)-et kapjuk. A probléma azonbanáltalában nem ilyen egyszerű, például az

x5 + 4x2y2 + y5 = 3

kapcsolatotból nem tudjuk az y változót mint az x függvényét kifejezni. A több-változós függvények vizsgálatánál ezzel a fontos problémával, implicitfüggvény-tételnéven, találkozni fogunk.

A deriválás problémája a következőképpen jön szóba. A (4.7) függvényt márderiváltuk, és láttuk, hogy y′ = −x/

√1− x2. Ha a (4.8) egyenlet mindkét oldalát

teljesen formálisan deriváljuk, feltéve az y = f(x) függést, a következőket kapjuk:

d

dxx2 +

d

dxy2 = 2x+

dy

dx

dy2

dy= 2x+

dy

dx2y = 0.

Ebből a dydx -et kifejezve azt kapjuk, hogy

dy

dx= −x

y= − x√

1− x2,

amit már előzőleg is megadtunk a szóban forgó függvény deriváltjaként.

Foglaljuk össze, hogy mit is tettünk az előzőekben. Az x és y változók közöttegy összefüggést (egy egyenletet) ismerünk. Deriváltuk az egyenletet (mindkét ol-dalát) az x szerint — feltételezve vagy tudva azt, hogy az összefüggés alapján az yderiválható függvénye az x-nek — és azután a derivált egyenletből kifejeztük az yderiváltját.

Ez az eljárás néha rövidebb annál, mintha az y változót mint az x függvényétkifejeznénk, és úgy végeznénk el a deriválást.

A vázolt módon megadott y = f(x) függvényt implicit (nem kifejezett, burkolt)módon megadottnak mondhatjuk, hiszen a tényleges megadáshoz ki kellene fejezniaz y változót az x-szel, ami voltaképpen egy egyenlet megoldását jelenti. Ez utóbbinem mindig egyszerű feladat, sőt algebrailag nem is mindig lehetséges, amit az x5+4x2y2 +y5 = 3 példa is mutat. A használt módszert implicitfüggvény deriválásánaknevezik, és később pontosan és részletesen fogunk foglalkozni a kérdéskörrel.


5. fejezet

Differenciálható függvényekvizsgálata

5.1. Szélsőérték és monotonitásA jelenlegi pontban azt tárgyaljuk, hogy deriváltjaik alapján hogyan tudjuk meg-vizsgálni a differenciálható függvények bizonyos tulajdonságait. Eddig csak egyegyszerű de fontos tételt láttunk a differenciálható függvények viselkedésére: A4.7. állítás azt mondta, hogy differenciálható függvény mindig folytonos. A jelenlegipont fő célja két fontos tulajdonságnak, a monotonitásnak és a szélsőértéknek atanulmányozása.

Az előzőekben már megismertük egy f : A → R függvény (globális) maximu-mának és minimumának a fogalmát; összefoglaló néven: a (globális) szélsőérték(extrémum) fogalmát. Most ezeknek a lokális megfelelőit fogjuk bevezetni:

5.1 Definíció. (Függvény lokális szélsőértéke)Legyen az I intervallum és f : I → R. Az f függvénynek lokális minimuma van azI intervallum egy b pontjában, ha

f(b) 5 f(x), b valamilyen I-re relatív környezetében.

Ha az egyenlőtlenség szigorúan teljesül a b pont valamilyen környezetének mindenpontjában kivéve a b pontot, akkor szigorú lokális minimumról beszélünk. Az f(b)helyettesítési értéket a lokális minimum értékének mondjuk. Hasonló a lokális ma-ximum definíciója. A lokális minimum és maximum közös elnevezése: lokális szé-sőérték, lokális extrémum.

A globális szélsőérték nyilvánvalóan lokális is, de megfordítva nem igaz. A lokálisszélsőérték általában csak valamilyen környezetben globális. A globális minimumnyilvánvalóan egyetlen (ha van), de több helyen is felveheti a függvény. Lokális szél-sőérték viszont több is lehet különböző helyeken. Szigorú minimumot csak egyetlenhelyen vehet fel a függvény, és szigorú lokális minimum esetében a minimum helyalkalmas környezetében csak a lokális minimum helyén veszi fel a minimumát afüggvény. Azonosak mondhatók maximum esetében. Általában nem könnyű eldön-teni azt, hogy egy függvénynek van-e, s ha igen hol van szélsőértéke. Weierstrassnevezetes tétele szerint: korlátos és zárt halmazon értelmezett folytonos valós függ-vény mindig felveszi mind a minimumát mind a maximumát. Ez a tétel azonbancsak a szélsőértékek létezését biztosítja, de nem ad módszert a meghatározásukra.A jelenlegi pont egyik fő célja az, hogy deriválható függvényekre módszert adjunka szélsőértékek kiszámításához.

153

5.1. SZÉLSŐÉRTÉK ÉS MONOTONITÁS 154

Ha az eddig rajzolt ábráinkat nézzük , akkor felfigyelhetünk arra, hogy az ér-telmezési tartomány olyan belső pontjaiban, ahol lokális szélsőérték van, az érintőpárhuzamosnak látszik az x tengellyel, azaz az iránytangense nulla. Ez jó megfigye-lés:

5.2 Állítás. (Differenciálható függvény szélsőértékének szükséges feltétele)Legyen az I intervallum, f : I → R és b belső pontja az I intervallumnak. Ha azf leképezésnek lokális szélsőértéke van a b pontban, és ott az f deriválható, akkorf ′(b) = 0.

Bizonyítás. Lássuk be az állítást a lokális maximum esetére, a minimum esethasonlóan tárgyalható. Ha a b pontban differenciálható az f függvény, és a b pont-ban lokális maximuma van, akkor minden eléggé kicsi abszolútértékű h számraf(b+ h) 5 f(b), azaz átrendezve f(b+ h)− f(b) 5 0. Ebből pedig adódik, hogy

f(b+ h)− f(b)h

5 0, ha 0 < h,

f(b+ h)− f(b)h

= 0, ha h < 0.

feltéve, hogy a h abszolútértéke eléggé kicsi (pontosan: valamilyen δ pozitív számra|h| 5 δ). Ezek szerint az f függvény különbségi hányadosa a nulla környezeté-ben balra nemnegatív, jobbra pedig nempozitív. Ennek a különbségi hányadosnak,a feltevés szerint létező, f ′(b) limesze a differenciálhányados. Ha a differenciahá-nyados limesze pozitív lenne, akkor eléggé kis h értékekre pozitív lenne maga adifferenciahányados is, ahogyan azt a limesz és rendezés kapcsolatánál láttuk. Ezpedig ellentmondana az előzőeknek, tehát a differenciálhányados nem lehet pozitív.Azonos ok miatt nem lehet negatív sem, ezért nulla.

Hangsúlyozni kell, hogy az előző tétel csak szükséges feltételt ad ahhoz, hogyegy pont szélsőérték helye lehessen. Abból, hogy a derivált nulla, még nem követ-kezik feltétlenül, hogy van is ott szélsőérték, amint azt a 5.4. példában látni fogjuk.Ahogyan azonban a következő példa is mutatja, ez a tétel már — kombinálva a3.31. tétellel — lehetőséget nyújt szélsőértékek meghatározásához.

5.3 Példa.Vizsgáljuk meg a

g : x 7→ x+1x, x ∈

[12, 2]

függvényt szélsőérték szempontjából.

Az [1/2, 2] zárt és korlátos intervallumon a szóbanforgó függvény folytonos, ezértvan maximuma és minimuma (3.31. tétel), így van mit keresnünk. A szélsőértékekhelyeinek és értékeinek a meghatározásához a következőképpen járunk el:

1) Megnézzük a g függvényt az intervallum két végpontjában: g(1/2) = 2.5 ésg(2) = 2.5.

2) Megvizsgáljuk a g értékeit az intervallum (1/2, 2) belsejében. Ezt persze nemtehetjük meg úgy, hogy mindenhol kiszámoljuk. Itt segít az előző tétel, ami szerintcsak az olyan x helyeket kell megnézni, ahol g′(x) = 0. Mivel g′(x) = 1− 1

x2 , ezérta derivált nulla helyei: x = 1 és x = −1, amelyekből csak az 1 esik az értelmezésitartományba. Itt megnézve a függvény értékét azt kapjuk, hogy g(1) = 2.

Összevetve az előzőekben kapott értékeket, azt találjuk, hogy maximuma van ag függvénynek az x = 1/2 és x = 2 helyeken, ahol az értéke 2.5, és minimuma vanaz x = 1 helyen, ahol az értéke 2.

Érdemes összefoglalni a példában követett eljárást, mert nagyon általános ese-tekben használható:



Legyen az f függvény deriválható egy (a, b) korlátos intervallumban és az a ésb végpontokban is folytonos. Mivel a deriválhatóságból következik a folytonosság,ezért az f az [a, b] zárt intervallumban folytonos.

1. Észrevesszük, hogy van maximuma is és minimuma is a függvénynek az [a, b]intervallumban 3.31. tétel alapján.

2. Deriváljuk az f függvényt és meghatározzuk a derivált nullahelyeit.

3. Kiszámoljuk a függvény értékeit az intervallum végpontjaiban és a deriváltnulla-helyeinél. Az így kiszámolt értékek között kell keresni a maximumot ésa minimumot.

5.4 Példa.Szélsőértéke van-e az x 7→ x3 függvénynek a nullában?

A válasz nagyon egyszerű: Noha a 3x2 derivált a nulla helyen nulla, ennekellenére sincs szélsőértéke a függvénynek a nullában. Előtte ugyanis negatív, utánapedig pozitív, ezért nem lehet a nulla érték sem minimum sem maximum.

Ez az egyszerű példa nagyon fontos, mert azt mutatja, hogy még ilyen „ jó vi-selkedésű” függvény esetében sem elégséges a tétel feltétele, ezért hangsúlyozni kell:A szükséges feltétel csak a lehetőségét adja meg annak, hogy valahol szélsőértéklehessen. Csak azt mutatja meg, hogy hol kereshetjük az extrémumokat.

Mielőtt a jelen pont fő tételét, aminek a segítségével tovább tudunk lépni afüggvények vizsgálatában, kimondanánk, vetítsük előre a tétel szemléletes tartalmát(5.1. ábra). Ha egy f : [a, b] → R függvénynél vesszük az (a, f(a)) és (b, f(b))pontokon átmenő szelőt, akkor felvethetjük a kérdést, hogy van-e olyan érintője agráfnak az intervallum belsejében, amelyik párhuzamos a szelővel. A válasz — akövetkező tétel szerint — igenlő:

5.1. ábra. A középérték tétel geometriai tartalma.

5.5 Állítás. (Deriválás középértéktétele)Ha az f : [a, b] → R, (a < b) leképezés deriválható az intervallum belsejében ésfolytonos az a és b végpontokban, akkor van olyan ξ pont az intervallum belsejében,hogy

f ′(ξ) =f(b)− f(a)

b− a. (5.1)



Az (5.1) jobboldala az (a, f(a)) és (b, f(b)) pontokon átmenő szelő iránytan-gense. Eszerint a tétel azt állítja, hogy van az intervallum belsejében legalábbegy olyan pont, ahol az f ′(ξ) derivált, az érintő iránytangense, megegyezik a szelőiránytangensével, tehát az érintő párhuzamos a szelővel.

Bizonyítás. Vegyük a

h(x) .=(f(b)− f(a)

)x− (b− a)f(x)

leképezést. A h függvény a 4.7. állítás alapján folytonos az [a, b] zárt intervallumon,és deriválható az intervallum belsejében, mivel ilyen tulajdonságokkal rendelkezőfüggvények számszorosa és összege. Az intervallum végpontjaiban azonos értékeketvesz fel, mert

h(a) = (f(b)− f(a))a− (b− a)f(a) = af(b)− bf(a),h(b) = (f(b)− f(a))b− (b− a)f(b) = af(b)− bf(a).

Ha a h függvény a h(a) = h(b) állandó értéket veszi fel az egész [a, b] intervallumon,akkor az intervallum belsejében állandó, és így a deriváltja nulla. Ezen esetben atétel (5.1) egyenlősége tetszőleges ξ ∈ (a, b) pontra teljesül, hiszen mindkét oldalanulla. Ha pedig a h nem állandó az egész intervallumon, akkor valahol az interval-lumban nagyobb vagy kisebb mint a végpontokban felvett értékek. Ennélfogva ah leképezés a 3.31. tétel szerint létező maximumát vagy minimumát az intervallumvalamilyen ξ belső pontjában veszi fel, ahol a megelőző 5.2. tétel szerint a h′(ξ)derivált nulla.

Összefoglalva az eddigieket azt kaptuk, hogy

h′(ξ) =(f(b)− f(a)

)− (b− a)f ′(ξ) = 0, amelyből f ′(ξ) =

f(b)− f(a)b− a

,

amit bizonyítani akartunk.

A középértéktétel segítségével könnyen bebizonyíthatjuk a differenciálható függ-vények monotonitására és állandó voltára vonatkozó alábbi állítást.

5.6 Állítás. (Differenciálható leképezések állandósága, monotonitása)Legyen az f : [a, b] → R függvény deriválható az intervallum belsejében, és folytonosaz a és b végpontokban is. Ekkor fennállnak a következő állítások.

(1) Az f függvény pontosan akkor monoton növekedő az [a, b] intervallumban, haf ′(x) = 0 minden x ∈ (a, b) pontban.

(2) Az f függvény pontosan akkor monoton fogyó az [a, b] intervallumban, haf ′(x) 5 0 minden x ∈ (a, b) pontban.

(3) Ha f ′(x) = 0 az (a, b) intervallum minden pontjában, akkor az f leképezésállandó az [a, b] intervallumban. Az állítás megfordítása evidens.

(4) Ha a g leképezés is deriválható az (a, b) intervallumban, folytonos a végpontok-ban, és g′(x) = f ′(x) minden x ∈ (a, b) pontban, akkor az f és g függvényekkülönbsége az [a, b] intervallumban állandó.

Az nyilvánvaló, hogy állandó függvény deriváltja nulla, és így (3) és (4) állításokmegfordítása nyilvánvaló.

Bizonyítás. Az állítások mindegyike egyszerű következménye a középértéktétel-nek. Legyen az x < y két tetszőleges pontja az [a, b] intervallumnak. Az f függ-vény folytonos az [x, y] zárt és korlátos intervallumban, belül deriválható, ezért aközépérték-tétel szerint van olyan ξ pont az (x, y) intervallumban, hogy

f ′(ξ)(y − x) = f(y)− f(x). (5.2)



(1): Az állításnak az a fele, hogy monoton növekedő és deriválható leképezésneka deriváltja nemnegatív, azonnal jön abból, hogy ezen esetben a különbségi hánya-dos nemnegatív. A másik irányú állításhoz legyen f ′(ξ) = 0 minden pontjára azintervallumnak. Ekkor (5.2)-ből következik, hogy

f(y)− f(x) = 0, ha x < y,

tehát az f monoton növekedő.(2): Hasonló az előző indokláshoz, vagy következik az előző állításból, ha azt fhelyett a (−f)-re alkalmazzuk.

(3): Ha f ′(ξ) = 0 az intervallum minden pontjában, akkor a (5.2) szerintf(y) − f(x) = 0, és mivel az x és az y tetszőleges volt, ezért ez az f állandóságátjelenti.

Más indoklás: Ha f ′(ξ) = 0, akkor (1) és (2) szerint monoton növekedő és fogyó,tehát állandó.(4): Az előző állítást az f−g függvényre alkalmazva azonnal adódik következmény-ként.

A monotonitáshoz hasonlóan a deriválható függvények szigorú monotonitása isvizsgálható a derivált előjele alapján:

5.7 Állítás. (Deriválható leképezés szigorú monotonitása)Legyen az f : [a, b] → R függvény deriválható az intervallum belsejében és folytonosaz a és b végpontokban is. Ekkor fennállnak a következő állítások.

(i) Ha f ′(x) > 0 minden x ∈ (a, b) pontban, akkor az f függvény szigorúanmonoton növekedő az [a, b] intervallumban.

(2) Ha f ′(x) < 0 minden x ∈ (a, b) pontban, akkor az f függvény szigorúanmonoton fogyó az [a, b] intervallumban.

Az állítások megfordítása itt nem igaz, szigorúan monoton függvény deriváltjanem feltétlenül pozitív. Példaképpen vehetjük az x 7→ x3 függvényt.

Bizonyítás. Az állítások mindegyike egyszerű következménye a középértéktétel-nek. Legyen az x < y két tetszőleges pontja az [a, b] intervallumnak. Az f függ-vény folytonos az [x, y] zárt és korlátos intervallumban, belül deriválható, ezért aközépérték-tétel szerint van olyan ξ pont az (x, y) intervallumban, hogy

f ′(ξ)(y − x) = f(y)− f(x). (5.3)

(1): Ha f ′(ξ) > 0 minden pontjára az intervallumnak, akkor a (5.3)-ből következik,hogy

f(y)− f(x) > 0, x < y,

tehát az f szigorúan monoton növekedő.(2): Hasonló az előző indokláshoz, vagy következik az előző állításból, ha azt az fhelyett a (−f)-re alkalmazzuk.

A szélsőértékek meghatározásához hasznos az alábbi tétel, amely a szükségesfeltételek mellett elégséges feltételeket is ad.

5.8 Állítás. (Deriválható függvény szélsőértéke, elégséges feltétel)Ha az f függvény deriválható a b pontnak egy környezetében, akkor a b pontban

(1) lokális (szigorú) maximuma van, haa b pont egy környezetének a baloldali felében (szigorúan) nő, a jobboldalifelében pedig (szigorúan) csökken, vagy ami ugyanaz:f ′(x) = 0 (f ′(x) > 0) a b egy baloldali környezetében és f ′(x) 5 0 (f ′(x) < 0)egy jobboldali környezetében;



(2) lokális (szigorú) minimuma van, ha

a b pont egy környezetének a baloldali felében (szigorúan) fogy, a jobboldalifelében pedig (szigorúan) nő, vagy ami ugyanaz:

f ′(x) 5 0 (f ′(x) < 0) a b egy baloldali környezetében és f ′(x) = 0 (f ′(x) > 0)egy jobboldali környezetében.

Bizonyítás. (1): Nézzük például a maximum esetét. Nyilvánvaló, hogy ha az fa b pont egy baloldali környezetében nő és egy jobboldali környezetében csökken,akkor a b pontban maximuma van. A 5.6. tétel első két állítása szerint ez pontosanazt jelenti, hogy a b pont egy baloldali környezetében f ′(x) = 0, egy jobboldalikörnyezetében pedig f ′(x) 5 0. Pontosan azonos a bizonyítás a szigorú maximumesetében, csak akkor a 5.7. tételre kell hívatkozni.

A következő tételben a kétszer differenciálható függvények szigorú szélsőértéke-inek a meghatározásához adunk elégséges feltételt.

5.9 Állítás. (Szélsőérték másodrendű elégséges feltételek)Ha az f leképezés kétszer deriválható a b pontban és f ′(b) = 0, akkor

(i) ha f ′′(b) < 0, akkor az f-nek szigorú maximuma van a b helyen;

(ii) ha f ′′(b) > 0, akkor az f-nek szigorú minimuma van a b helyen.

Jegyezzük meg, hogy az f ′(b) = 0 és f ′′(b) = 0 esetben semmit sem tudunkmondani az elégségességről, további feltételek teljesülése nélkül. A magasabb rendűderiváltakra vonatkozó újabb feltételek mellett azonban finomítható lenne a tétel.

Bizonyítás. Vizsgáljuk meg, mondjuk, az f ′′(b) < 0 esetet. Az f ′′(b) < 0 egyen-lőtlenségből és az f ′(b) = 0 egyenlőségből következik, hogy

f ′(b+ h)− f ′(b)h

< 0, azazf ′(b+ h)

h< 0,

ha a |h| eléggé kicsi (van olyan δ pozitív szám, hogy |h| < δ esetében negatív atört). Ebből viszont adódik, hogy

f ′(b+ h) < 0, ha h > 0 és eléggé kicsi,

f ′(b+ h) > 0, ha h < 0 és eléggé kicsi.

Ez utóbbiakból, a 5.7. tétel szerint azt kapjuk, hogy az f függvény a b pont egybaloldali környezetében szigorúan nő, egy jobboldali környezetében pedig szigorúancsökken, ezért nyilvánvalóan szigorú maximuma van a b helyen.

A példatárban sok kidolgozott feladatot találunk a szélsőértékek meghatározá-sára és a monotonitási vizsgálatokra.

Érdekes kérdés: milyen függvények azok, amelyek valamilyen függvény derivált-függvényei. Ellenpéldával igazolható, hogy egy a deriváltfüggvény nem feltétlenülfolytonos, de ennek ellenére mindig igaz a folytonos függvények körében gyakranhasznált közbülsőpont-tétel. Ezt az érdekes, de nem gyakran használt tételt mond-juk most ki:

5.10 Állítás. (Közbülsőpont-tétel a derivált függvényre)Legyen az f függvény deriválható az [a, b] intervallumon. Ekkor az f ′ függvényminden értéket felvesz az f ′(a) és f ′(b) érték között.


5.2. FÜGGVÉNYEK DISZKUSSZIÓJA 159

Bizonyítás. Legyen mondjuk f(a) < f(b), a másik irányú egyenlőtlenség mellettúgyanúgy megy a bizonyítás. Legyen az y egy közbülső érték, azaz f(a) < y <f(b). Vegyük a g(x) .= f(x) − yx függvényt. A g függvény deriválható, hiszenderiválhatóak összege. Mivel g′(a) = f ′(a) − y < 0, ezért valamilyen x1 ∈ (a, b)pontra g(x1) < g(a) (a derivált negatív volta szigorú fogyást jelent az a helyen).Hasonlóan: mivel g′(b) = f ′(b)− y > 0, ezért valamilyen x2 ∈ (a, b) helyen g(x2) >g(b). Eszerint a g függvénynak az [a, b] intervallum belsejében van minimuma, amitWeierstrass tétele miatt a g függvény fel is vesz valamilyen x0 helyen. Ekkor viszonta minimum helyén a deriváltja nulla: g′(x0) = f ′(x0) − y = 0, tehát y = f ′(x0),ahogyan azt a tétel állítja.

5.11 Következmény. (Deriváltfüggvény szakadásai)Legyen az f függvény deriválható az [a, b] intervallumon. Ekkor az f ′ függvényneknincs elsőfajú szakadása, azaz ha egy x ∈ (a, b) pontban létezik valamelyik oldalihatárértéke, akkor megegyezik az f ′(x)-szel.

5.2. Függvények diszkussziójaEnnek a pontnak az a célja, hogy az előző alpontok eredményeit összefoglalva ésrendezve egy alkalmas sémát nyújtson a differenciálható leképezések vizsgálatához.Ennek megfelelően voltaképpen semmi új fogalmat vagy állítást nem tartalmaz.

A számítógépek lehetővé teszik, hogy a függvények gráfjait nagy pontossággalmegjelenítsük és megrajzoltassuk. Igy az ábrákról a lerajzolt függvények tulajdon-ságai szépen leolvashatóak. Nagyszámú szoftvernek egyik erőssége a „grafika”, avizualitás magasszintű kihasználása.

Fltétlenül szükséges, hogy a legfontosabb függvény-típusokról vizuális ismere-teket is szerezzünk. Ezt az is indokolja, hogy az emberi agy tevékenységében aszemlélet, a vizuálitás magasszinten van jelen, nyugodtan lehet mondani, hogy egy„meta-gondolkodás”. Az absztrakt gondolkodás súlyának az elismerése mellett nemszabad lebecsülni a szemléletet jelentőségét.

A függvényvizsgálat (diszkusszió) menetének az egyes lépéseit a következő pon-tokban soroljuk fel. A leírtak általános tanácsok , és ezeket mindig céljainknakmegfelelően kell alkalmazni.

A függvénydiszkusszió menetének a vázlata.

(I) A függvény általános megtekintése során először az értelmezési tartományt ésaz értékkészletet nézzük meg. Ha rendesen adjuk meg a függvényt, akkor azértelmezési tartomány adott, de némelykor ennek a meghatározása is feladat.Ezzel kapcsolatban az alábbiakat célszerű elvégezni.

• Az értelmezési tartomány meghatározása. A legtöbb függvény valami-lyen formulával van megadva, és ekkor a formulák értelmezhetőségéneka körét kell szemügyre venni.

• Az értelmezési tartomány néhány speciális, hangsúlyozott helyén meg-határozzuk a függvény értékeit.

• Az értelmezési tartományon kívül, de ahhoz szorosan kapcsolódva lehet-nek olyan pontok, ahol a függvény nem értelmezett, de a határértékét(vagy valamelyik oldali határértékét) célszerű meghatározni. Ilyen pon-tok gyakorta az intervallum végpontjai, speciálisan például a +∞ és −∞helyek, és a nevezők nulla helyei.



(II) Megnézzük, hogy hol folytonos a függvény. Amennyiben deriválható, akkoreleve igenlő a válasz, és áttérhetünk a következő pontra.

(III) Ha differenciálható a függvény, akkor meghatározzuk az első deriváltját, ésmeghatározzuk annak a gyökeit és a gyökök közötti előjeleit. Ehhez ésszerűszorzattá alakítani a deriváltat.

• Ahol a derivált nemnegatív (pozitív), ott (szigorúan) monoton növekedő,ahol pedig nempozitív (negatív), ott (szigorúan) csökkenő a függvény.

• A belső pontokban csak ott lehet szélsőérték, ahol a derivált nulla. Hanövekedőből fogyóba megy át a függvény, akkor maximuma van, ha pe-dig fogyóból növekedőbe megy át, akkor minimuma. Az extremalitáseldöntéséhez segítséget nyújthat a következőkben kiszámolandó másodikderivált is.

(IV) Amennyiben létezik, kiszámoljuk a második deriváltat is.

• Ekkor lehetőség van további „alaki tulajdonságnak” a konvexitásnak avizsgálatára. Ezt a fogalmat azonban csak a következő fejezetben ismer-jük meg.

• A szélsőértéket rendszerint már a függvény növekedése és fogyása segít-ségével el tudjuk dönteni, de segítségünkre lehet az is, hogy a másodikderivált milyen értéket vesz fel az első derivált nulla helyeinél. Ha amásodik derivált negatív, akkor szigorú maximum van, ha pedig pozitívszigorú minimum.

(V) Az eddigiekben nyert információk felhasználásával, a vizualítás kedvéért fel-vázoljuk a gráfot. Olyan rajzra van szükség, amelyik jól tükrözi a kvalitatívmegállapításokat. Nem a pontos számszerűség a lényeges.

5.2. ábra. Egy diszkussziós séma.

Egy sémát is ajánlunk az előzőek rögzítésére, amit a 5.2. ábrán rajzoltunk meg.A rajz önmagáért beszél, és nem szorul magyarázatra. A példamegoldások soránmi is el fogjuk készíteni.

Most pedig néhány példát dolgozunk ki.



5.12 Példa.Diszkutáljuk a másodfokú polinom által megadott R → R

p(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0

függvényt.

Az a 6= 0 feltételt azért kötöttük ki, hogy valódi másodfokú polinomunk legyen.Az értelmezési tartomány nyilvánvalóan az egész R. A p első deriváltja

p′(x) = 2ax+ b = 2a(x+ b/2a),

amiből a derivált nulla-helye és előjelei azonnal leolvashatók. Két esetet célszerűmegkülönböztetni, aszerint hogy az a pozitív vagy negatív. Vegyük mondjuk apozitív a esetét, a másik eset teljesen azonosan tárgyalható. A derivált negatív, hax < − b

2a , nulla ha x = − b2a , és pozitív ha x > − b

2a . Ennek megfelelően a függvényszigorúan fogy ha x < − b

2a és szigorúan nő ha − b2a < x, és így az x = − b

2a helyenminimuma van. A gráfokat a 5.3. ábrán szemléltettük.

5.3. ábra. Az x 7→ ax2 + bx+ c függvény gráfjai.

5.13 Példa.Diszkutáljuk a

h(x) = ax3 + bx2 + cx+ d (a 6= 0)

harmadfokú polinom által megadott függvényt.

Az értelmezési tartományként nyilvánvalóan az egész számegyenes szóbajöhet.Az első derivált

h′(x) = 3ax2 + 2bx+ c.

Mivel ennek a gyökeit kell meghatároznunk, ezért értelemszerűen három esetet kü-lönböztetünk meg:1) Nincs gyöke a deriváltnak. Ekkor nyilvánvalóan állandó előjelű, és ezért a függ-vény szigorúan növekedő vagy fogyó az egész R-en.2) Egy α gyöke van a deriváltnak. Az α nyilvánvalóan kétszeres gyök, és a derivált

h′(x) = 3a(x− α)2

alakba írható, amiből azonnal látható, hogy az α helytől eltekintve minden helyenpozitív, ha a > 0, és negatív, ha a < 0. Ennek megfelelően a h függvény szigo-rúan fogy vagy nő az a előjele szerint. Az α helyen nulla ugyan a derivált, de ittszélsőérték nincs. Az inflexiós pontban húzott érintő párhuzamos az x tengellyel.



3) Két gyöke van a deriváltnak. Ekkor a deriváltja, mint másodfokú polinom gyök-tényezős alakba írható:

h′(x) = 3a(x− α1)(x− α2),

ahol feltehető, hogy α1 < α2. Ebből leolvasható, hogy a h′ a két gyöknél váltelőjelet. A gyöktényezők előjele a két gyök között ellenkező. A második deriváltegy lineáris függvény, amelynek egy gyöke van, ahol előjelet is vált. Ennek az esetneka diszkussziós sémáját is elkészítettük a 5.4. ábrán, pozitív a együttható mellett.

5.4. ábra. Harmadfokú polinom diszkussziós séma.

A 4.1. ábra egy olyan esetet mutat, amikor egy kétszeres gyök van, nevezetesena nulla. A 5.5. ábrán azokat az eseteket vázoltuk fel, amikor nincs gyök és amikorkét gyök van. Az a együtthatót pozitívnak vettük.

5.5. ábra. Harmadfokú polinomok tipikus gráfjai.

5.14 Példa.Vizsgáljuk meg az R → R+ exponenciális és a R+ → R logaritmusfüggvény alakitulajdonságait.

Az exponenciális függvény mindenhol definiált, és a deriváltjai

exp′ x = ex és exp′′ x = ex,


5.3. MAGASABBRENDŰ APPROXIMÁCIÓK, TAYLOR-FORMULA 163

ezért a válaszok nagyon egyszerűek. Az exponenciális függvény szigorúan monotonnövekedő. A logaritmusfüggvény esetében hívatkozhatunk arra, hogy az exponenci-ális függvény inverze, de közvetlenül is számolhatunk. Most az argumentumok csakpozitív számok lehetnek, és a deriváltak

ln′ x =1x

és ln′′ x = − 1x2,

amelyből azonnal kiolvasható, hogy a logaritmus függvény szigorúan monoton nö-vekedő a pozitív számok halmazán.

5.3. Magasabbrendű approximációk, Taylor-formulaAz érintőapproximáció tételének a tárgyalásakor megvizsgáltuk azt a kérdést, hogymiként lehet egy függvényt lokálisan (kicsiben) egy egyenessel, az érintővel megfele-lően közelíteni. Eszerint, ha f deriválható egy b pontban, akkor a b pont valamilyenkörnyezetében felvett f(x) függvényértékeket jól közelíti az

y = f(b) + f ′(b)(x− b)

egyenlettel megadott egyenes, abban az értelemben, hogy az eltérés kis ordó nagy-ságrendű, vagyis

f(x) = f(b) + f ′(b)(x− b) + o(x− b). (5.4)

Kétszer deriválható f függvény esetében a 5.4 egyenlőségben a o(x − b) kis ordótagot, pontosabban is előállítjuk. Pontosítsuk a feladatot. Feltesszük, hogy azf kétszer deriválható a b pontban. Ebből következik, hogy van olyan környezetea b pontnak, ahol az f ′ létezik, hiszen az f ′′(b) létezéséhez kell az f ′ függvény bpontban vett különbségi-hányadosa. Csak a jobboldali felét nézve a környezetnek,van olyan c > b szám, hogy az f ′ létezik az [b, c] intervallumban, így az f folytonosis a [b, c] intervallumon. Legyen az x egy tetszőleges, de rögzített eleme az (b, c)intervallumnak, ahol a o(b− x) tagot kiszámítjuk. A o(x− b) leképezést az

M · (x− b)2

alakban keressük, ahol az M egy meghatározandó szám, ami feltehetőleg függ az bés x számoktól, és az f függvénytől. Eszerint egy

f(x) = f(b) + f ′(b)(x− b) +M(x− b)2 (5.5)

formájú előállítást szeretnénk találni. Természetesen semmi sem biztosítja előre,hogy találunk ilyen alakú maradéktagot, de ha találunk, akkor megoldottuk a fela-datot. Ez a „fogás” gyakori a matematikában. Vegyük a

g(y) .= f(y) + f ′(y)(x− y) +M(x− y)2 (5.6)

függvényt, amelyik a feltevések szerint folytonos az [b, x] intervallumban, és belül de-riválható, ezért a középértéktétel szerint van olyan ξ szám az (b, x) intervallumban,amelyre

g(x)− g(b)x− b

= g′(ξ). (5.7)

Már nincs más feladatunk, csak ki kell számolnunk ebben az egyenlőségben a tago-kat. (5.5) és (5.6) szerint

g(b) = f(b) + f ′(b)(x− b) +M(x− b)2 = f(x).



Mivel a (5.6) alapján nyílvánvalóan g(x) = f(x), ezért a (5.7) bal oldala nulla, ésígy g′(ξ) = 0. A g′ kiszámolásával

g′(y) = f ′(y) + f ′′(y)(x− y)− f ′(y)− 2M(x− y) = f ′′(y)(x− y)− 2M(x− y),

adódik, amelyből a g′(ξ) = 0 alapján azonnal kapjuk, hogy

f ′′(ξ)(x− ξ)− 2M(x− ξ) = 0, azaz M =f ′′(ξ)

2. (5.8)

Összefoglalva az eddigieket: van olyan b < ξ < x szám, amelyre

f(x) = f(b) + f ′(b)(x− b) +f ′′(ξ)

2(x− b)2. (5.9)

Az előbbi gondolatmenetet természetesen egy alkalmas (c, b), c < b intervallumrais értelemszerűen végrehajthattuk volna. Az eredményt — maradva a b jobboldalikörnyezetében — egy állításban is rögzítjük:

5.15 Állítás. (Elsőrendű Taylor-közelítés)Legyen az f függvény kétszer deriválható az [b, c] intervallumban. Ekkor tetszőlegesx ∈ (b, c) számhoz van olyan ξ ∈ (b, x) szám, hogy

f(x) = f(b) + f ′(b)(x− b) +f ′′(ξ)

2(x− b)2.

Az x 7→ f(b) + f ′(b)(x − b) elsőfokú polinom az f függvény elsőfokú (-rendű,lineáris) Taylor-közelítése a b pontban.

Az eredményt kielégítőnek mondhatjuk, hiszen most már nemcsak azt tudjuk,hogy az f függvénynek a közelítésétől való eltérése (x− b)-vel osztva nullához tart,hanem azt is, hogy az eltérés az (x − b) négyzetével arányos. Lássunk most alkal-mazásként egy példát.

5.16 Példa.Adjuk meg a sin függvény elsőrendű közelítését a 0 helyen. Milyen pontosságú ki-számolását teszi ez lehetővé a szinusz függvénynek az 0.1 helyen?

A sinusz függvény első két deriváltja: sin′ y = cos y és sin′′ y = − sin y, ezérta lineáris közelítés a nullában az alábbi lesz.

sinx = sin 0 + sin′ 0(x− 0) +12

sin′′ ξ(x− 0)2 = x− sin ξ2

x2,

ahol 0 < ξ < x. Az x = 0.1 helyen a hiba értéke nem nagyobb, mint∣∣∣∣ sin ξ2

∣∣∣∣ 0.12 51

200,

tehát a közelítés hibája kisebb mint öt ezred.

Az általános eset vizsgálata előtt vezessünk be néhány elnevezést.

5.17 Definíció. (n-edrendű Taylor-közelítés)Legyen az f függvény n-szer deriválható a b pontban. Az

Tn(b, x) .= f(b) +f ′(b)1!

(x− b) +f ′′(b)

2!(x− b)2 + · · ·+ f (n)(b)

n!(x− b)n

n-edfokú polinomot az f függvény b pontban vett — vagy b pont körül vett, vagyb pontnál lévő — n-edik Taylor-polinomjának, Talor-közelítésének fogjuk mondani.Az

f(x)− Tn(b, x)

különbséget az n-edik Taylor-féle maradéktagnak (hibatagnak) nevezzük.



Az „n-edik” Taylor-polinom helyett szokásos szóhasználat még: n-edrendű vagyn-edfokú Taylor-polinom vagy közelítés. A „b pontban vett” helyett lehet: b pontkörüli, b pontnál lévő, b pontbeli.

Hasznos, ha egy függvényt polinommal tudunk közelíteni. Látni fogjuk, hogya Taylor-polinommal, eléggé általános feltételek mellett jól approximálhatóak lesz-nek a megfelelően sokszor differenciálható függvények. A közelítés pontosságát amaradéktag méri, ezért nem meglepő, hogy erre sokféle előállítást találtak. Mi alegegyszerűbb formát tárgyaljuk csak.

5.18 Állítás. (n-edrendű Taylor-közelítés)Legyen az f függvény (n+ 1)-szer deriválható a [b, c], (b < c) intervallumon. Ekkortetszőleges x ∈ (b, c) számhoz van olyan ξ szám a (b, x) intervallumban, amelyre

f(x) = f(b) +f ′(b)1!

(x− b) +f ′′(b)

2!(x− b)2 + · · ·+

+f (n)(b)n!

(x− b)n +f (n+1)(ξ)(n+ 1)!

(x− b)n+1 =

=n∑

i=0

f (i)(b)i!

(x− b)i +f (n+1)(ξ)(n+ 1)!

(x− b)n+1.

Hangsúlyozottan fontos az az eset, amikor a b szám nulla, ekkor a Taylor-közelítés:

f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)2!

x2 + · · ·+ f (n)(0)n!

xn.

A bizonyításból majd látni lehet, hogy a b < c feltétel nem lényeges, lehetne a bbaloldali környezetében is dolgozni, és ekkor persze az x is kisebb lenne a b-nél.

Bizonyítás. A bizonyítás menete pontosan megegyezik azzal, ahogyan a 5.15. tételtbebizonyítottuk. Legyen M az a szám, amelyre

f(x) =n∑

i=0

f (i)(b)i!

(x− b)i +M(x− b)n+1. (5.10)

A g függvényt a következőképpen definiáljuk:

g(y) .=n∑

i=0

f (i)(y)i!

(x− y)i +M(x− y)n+1. (5.11)

A g függvényre alkalmazható a középértéktétel, amely szerint van olyan ξ ∈ (b, x),hogy

g(x)− g(b)x− b

= g′(ξ) =d

dyg(y)

∣∣∣∣y=ξ

. (5.12)

A g (5.11) definíciója és az M szám megválasztását rögzítő (5.10) egyenlőség alap-ján g(b) = f(x), és egyszerű behelyettesítéssel g(x) = f(x). Emiatt a középértékegyenlőség az egyszerű

g′(ξ) =d

dyg(y)

∣∣∣∣y=ξ

= 0 (5.13)

egyenlőségbe megy át. A következő formulát fogjuk felhasználni, amit a bizonyításvégén számítunk ki.



Fennáll a következő

d

dy

(f(y) +

f ′(y)1!

(x− y) + · · ·

+f (n)(y)n!

(x− y)n

)=f (n+1)(y)

n!(x− y)n,

deriválási formula.

Eszerint a g függvény deriváltja:

g′(y) =f (n+1)(y)

n!(x− y)n − (n+ 1)M(x− y)n,

és így a (5.13) szerint az M a következő egyenletnek tesz eleget

f (n+1)(ξ)n!

(x− ξ)n − (n+ 1)M(x− ξ)n = 0,

amelyből adódik, hogy

M =f (n+1)(ξ)(n+ 1)!

, (5.14)

amivel a tételt be is láttuk.Most már csak a felhasznált differenciálási formula igazolása van hátra, ami

egyszerű számolás-sorozat:

d

dy

(f(y) +

f ′(y)1!

(x− y) + · · ·+ f (n)

(n− 1)!(x− y)n

)=

= f ′(y) +(f ′′(y)

1!(x− y)− f ′(y)

0!

)+

+(f (3)(y)

2!(x− y)2 − f (2)(y)

1!(x− y)

)+ · · ·+

+(f (n)(y)(n− 1)!

(x− y)n−1 − f (n−1)(y)(n− 2)!

(x− y)n−2

)+

+(f (n+1)(y)

n!(x− y)n − f (n)(y)

(n− 1)!(x− y)n−1

)=

=f (n+1)(y)

n!(x− y)n.

Azon észrevétel alapján számoltunk, hogy a deriválás után nyert összeg olyan, hogyami az első helyen szerepel az egyik tag deriváltjában, az a következő tagban má-sodik helyen szerepel negatív előjellel, ezért csak az utolsó pozitív tag marad meg,a többi az összeadásnál kiesik.

5.19 Példa.Adjuk meg az ex függvény n-edik Taylor közelítését a nulla körül, és becsüljük meg,hogy milyen pontossággal tudjuk meghatározni az e szám értékét a 9-edik közelítésből.

Az n-edik közelítést kevés függvénynél tudjuk könnyen kiszámolni, mivel a ma-gasabbrendű deriváltak nagyon bonyolultak lehetnek. A jelen esetben szerencsésekvagyunk, hiszen az ex függvény minden deriváltja is ex, ezért az első feltett kérdésrea válasz: Az ex függvény n-edik Taylor approximációja

1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!.


5.4. ÁLTALÁNOSÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKTÉTEL, L’HOSPITAL-SZABÁLY 167

Az előző tétel szerint van olyan ξ ∈ (a, x), hogy

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ · · ·+ xn

n!+

eξ

(n+ 1)!xn+1.

Ennek az egyenlőségnek a birtokában már tudunk adni egy előállítást az e számra,hiszen az előző szerint az x = 1 helyen

e = 1 +11!

+12!

+ · · ·+ 1n!

+eξ

(n+ 1)!,

ahol a ξ valamilyen, a 0 és 1 között lévő, szám. Az

eξ

(n+ 1)!

hibatag becsléséhez tudjuk, hogy 0 < e < 4, és így az n = 9 esetben kapjuk:

eξ

10!<

e

10!<

410!

< 4/3, 628, 800 < 0.000001,

az e szám értékét tehát egymilliomodnál kisebb hibával adja meg az

1 +11!

+12!

+ · · ·+ 19!

összeg.

5.4. Általánosított középértéktétel, L’Hospital-sza-bály

Ebben az alpontban a deriválás középértéktételének egy általánosítását bizonyítjukbe, és ennek a segítségével egy olyan tételt tárgyalunk, amelyik hatékony eszköztad a határértékek kiszámításához.

A középértéktétel általánosításához a következő gondolatmenettel juthatunk el.A középértéktétel azt állítja, hogy az

f(b)− f(a)b− a

(5.15)

hányados megegyezik az f deriváltjának valamilyen közbülső ξ helyen felvett f ′(ξ)értékével. Vegyük észre, hogy a (5.15) hányados nevezőjében is függvénymegválto-zás van, nevezetesen az x 7→ x függvény b és a helyen vett értékének a különbsége.Emiatt felvetődik a kérdés, hogy tudunk-e valamit mondani az olyan általánosítottkülönbségi hányadosról, amelyik két f és g függvény megváltozásának a hányadosa,azaz

f(b)− f(a)g(b)− g(a)

alakú. A válasz a következő tétel szerint igenlő, és azt állítja, hogy van olyan ξaz (a, b) intervallumban, amelyre a szóbanforgó hányados a f ′(ξ)/g′(ξ) hányados-sal egyezik meg. A megfogalmazás azonban bizonyos óvatosságot igényel, mert ag(b)− g(a) különbség esetleg nulla is lehet, ezért mondjuk ki az állítást „hányados-mentesen”:

5.20 Állítás. (Általánosított középértéktétel)Ha az f , g, [a, b] → R függvények deriválhatóak az intervallum belsejében, és folyto-nosak az a és b végpontokban is, akkor van olyan ξ szám az intervallum belsejében,amelyre (

f(b)− f(a))· g′(ξ) =

(g(b)− g(a)

)· f ′(ξ).



Az általánosított középértéktételt Cauchy-féle középértéktételnek is szokás ne-vezni.

Bizonyítás. A bizonyítás pontosan követi a középértéktétel igazolását. Vegyük akövetkezőképpen definiált h függvényt.

h(t) =(f(b)− f(a)

)· g(t)−

(g(b)− g(a)

)· f(t). (5.16)

Azt fogjuk belátni, hogy van olyan ξ ∈ (a, b) szám, amelyre h′(ξ) = 0. Ha ugyanisez teljesül, akkor a 5.16 deriválásából adódik, hogy

h′(ξ) =(f(b)− f(a)

)· g′(ξ)−

(g(b)− g(a)

)· f ′(ξ) = 0,

ami átrendezve pontosan a tétel állítása. Most pedig belátjuk, hogy létezik a kívánttulajdonságú ξ szám. A h függvény az intervallum két végpontjában azonos értéketvesz fel, hiszen

h(b)− h(a) =(f(b)− f(a)

)· g(b)−

(g(b)− g(a)

)· f(b)

−(f(b)− f(a)

)· g(a) +

(g(b)− g(a)

)· f(a) =

=(f(b)− f(a)

)(g(b)− g(a)

)−(g(b)− g(a)

)(f(b)− f(a)

)= 0.

Ha a h függvény állandó, akkor az (a, b) intervallum minden pontja alkalmas lenneξ pontnak. Ha nem állandó a h, akkor az intervallumon belül kisebb vagy nagyobb,mint az intervallumok (azonos értékű) végpontjaiban, és ezért felveszi az interval-lumon belül a minimumát vagy a maximumát. Véve egy ilyen ξ szélsőértékhelyet,ott a h′(ξ) deriváltnak nullának kell lenni.

Az általánosított középértéktétel egyik haszna az, hogy ennek a segítségével tár-gyalhatjuk a határérték meghatározásának egy hatékony módszerét. A határértékekkiszámításánál gyakori az a helyzet, hogy olyan

f(x)g(x)

törtünk van, amelyre egy b pontban1) mind a számlálónak mind a nevezőnek az értéke (vagy a határértéke) nulla;2) mind a számlálónak mind a nevezőnek a határértéke végtelen.

Egyszerűen szólva: az00

vagy∞∞

„határozatlan”, nem értelmezhető hányadosok valamelyikével találkozunk. Az ilyenesetekre nyújt jó módszert a L’Hospital-szabály:

5.21 Állítás. (L’Hospital-szabály)Tegyük fel, hogy az f és g függvények differenciálhatók az a pontnak egy hiányosjobboldali környezetében, és ott g′(x) 6= 0, továbbá létezik a

limxa

f ′(x)g′(x)

(5.17)

(véges vagy végtelen) limesz. Ekkor igazak a következő állítások.

(1) Halimxa

f(x) = limxa

g(x) = 0, (5.18)

akkorlimxa

f(x)g(x)

= limxa

f ′(x)g′(x)

. (5.19)



(2) Halimxa

|g(x)| = +∞, (5.20)

akkorlimxa

f(x)g(x)

= limxa

f ′(x)g′(x)

. (5.21)

Bizonyítás. Mielőtt a bizonyítást elkezdenénk, jegyezzük meg, hogy az igazolásoksorán azt a feltételt, hogy g′(x) 6= 0 az a pont valamilyen jobboldali környezetében,a következő állítás bizonyításához használjuk fel: Az a pont szóbanforgó jobboldalikörnyezetében lévő x > y pontokra az általánosított középértéktétel

f(x)− f(y)g(x)− g(y)

=f ′(ξ)g′(ξ)

hányados formájában írható fel. Ennek az indoklása: Elegendő azt belátni, hogy anevezők nem lehetnek nullák. A g′(ξ) esetében ez éppen a feltevés. A g(x) − g(y)pedig azért nem lehet nulla, mert ha nulla lenne, akkor alkalmazva a középérték-tételt a g függvényre, a g deriváltja az (y, x) intervallumban valahol nulla lenne,ami ellentmondana a feltevésnek.(1): A bizonyításban két esetet fogunk megkülönböztetni, aszerint hogy a (5.17)limesz véges vagy végtelen.Első eset : limxa

f ′(x)g′(x) = α ∈ R. A kiindulás szerint tetszőleges ε pozitív számhoz

van olyan δ pozitív szám, hogy∣∣∣∣f ′(ξ)g′(ξ)− α

∣∣∣∣ < ε, ha ha ξ ∈ (a, a+ δ). (5.22)

Legyen az x egy tetszőleges rögzített szám az (a, a+δ) intervallumban. Ha az y egytetszőleges szám az (a, x) intervallumban, akkor az általánosított középérték tételszerint van olyan ξ szám, amelyre ξ ∈ (y, x) ⊂ (a, a+ δ) és


=f ′(ξ)g′(ξ)

amelyből a 5.22 szerint ∣∣∣∣f(x)− f(y)g(x)− g(y)

− α

∣∣∣∣ < ε.

Ha az utóbbi egyenlőtlenségben az y értéke tart az a-hoz jobbról, akkor a (5.18)alapján azt kapjuk, hogy∣∣∣∣f(x)

g(x)− α

∣∣∣∣ 5 ε, ha ha x ∈ (a, a+ δ),

amely pontosan a bebizonyítandó (5.19) relációval ekvivalens.

Második eset : limxaf ′(x)g′(x) = +∞. Azzal az esettel, amikor limesz mínusz végtelen,

nem kell külön foglalkoznunk, mert adódik ebből az esetből, ha az f helyett −f -etveszünk. A kiindulás szerint tetszőleges β pozitív számhoz van olyan δ pozitív szám,hogy

f ′(ξ)g′(ξ)

> β, ha ξ ∈ (a, a+ δ). (5.23)

Legyen az x egy tetszőleges rögzített szám az (a, a+δ) intervallumban. Ha az y egytetszőleges szám az (a, x) intervallumban, akkor az általánosított középértéktételszerint van olyan ξ szám, amelyre ξ ∈ (y, x) ⊂ (a, a+ δ) és


=f ′(ξ)g′(ξ)

,



amiből a 5.23 szerintf(x)− f(y)g(x)− g(y)

> β.

Ha az utóbbi relációban az y értéke tart az a-hoz jobbról, akkor a (5.18) alapjánazt kapjuk, hogy

f(x)g(x)

= β, ha ha x ∈ (a, a+ δ),

ami pontosan a bebizonyítandó (5.19) relációval ekvivalens a plusz végtelen határ-érték esetében.

Vegyük észre, hogy a véges és végtelen eseteknek a fenti megkülönböztetése nemfeltétlenül szükségszerű, és egyszerre is tárgyalható lenne. Mindkét esetben egyen-lőtlenséget kell ugyanis kezelni a bizonyítás során (az abszolútértékre vonatkozóegyenlőtlenség két közönséges egyenlőtlenségre bontható). Ez a megjegyzésünk vo-natkozik a következő (második) állítás bizonyítására is.(2): Ennek az állításnak a bizonyítása lényegében véve az előzőekben követettmenet szerint történik, csak az (5.20) feltétel kihasználása egy kicsit nehezebb,mint az (5.18) reláció figyelembevétele volt. A bizonyításban itt is két esetet fogunkmegkülönböztetni, aszerint hogy az 5.17 limesz véges vagy végtelen.Első eset : limxa

f ′(x)g′(x) = α ∈ R. A kiindulás szerint tetszőleges ε pozitív számhoz

van olyan δ pozitív szám, hogy∣∣∣∣f ′(ξ)g′(ξ)− α

∣∣∣∣ < ε, ha ha ξ ∈ (a, a+ δ). (5.24)

Az x és y változók megválasztása most megfordított: Legyen az y egy tetszőlegesrögzített szám az (a, a+ δ) intervallumban. Ha az x egy tetszőleges szám az (a, y)intervallumban, akkor az általánosított középértéktétel szerint van olyan ξ szám,amelyre ξ ∈ (x, y) ⊂ (a, a+ δ) és

f(y)− f(x)g(y)− g(x)

=f ′(ξ)g′(ξ)

,

amelyből az (5.24) szerint∣∣∣∣f(y)− f(x)g(y)− g(x)

− α

∣∣∣∣ < ε, ha a < x < y < a+ δ. (5.25)

Ha ebben az egyenlőtlenségben az a elem valamilyen jobboldali környezetében akülönbségi hányadost az f(x)

g(x) hányadossal tudnánk helyettesíteni, akkor készen islennénk. Ebből a célból kiindulva végezzük el a következő átalakítást:


− f(x)g(x)

=f(y)− f(x)g(y)− g(x)

+f(y)− f(x)− f(y)

g(x)=

=f(y)− f(x)g(y)− g(x)

+f(y)− f(x)

g(x)− f(y)g(x)

=

=(f(y)− f(x)

)( 1g(y)− g(x)

+1

g(x)

)− f(y)g(x)

=

=f(y)− f(x)g(y)− g(x)

g(y)g(x)

− f(y)g(x)

.

Rögzítsük most a belátott azonosságot:


− f(x)g(x)

=f(y)− f(x)g(y)− g(x)

g(y)g(x)

− f(y)g(x)

. (5.26)



Most pedig az (5.25) relációból először is azt olvassuk le, hogy a differenciahányadoskorlátos ha az x és y a leírtak szerint helyezkedik el, hiszen nem nagyobb, mint az|α| + ε szám. Nézzük ezek után az (5.26) azonosságnak a jobb oldalát. Ha az xértéke jobbról tart az a-hoz, akkor az (5.20) alapján az első tag tart a nullához,mert g(y) rögzített, a differenciahányados pedig korlátos. A második tag szinténtart a nullához, ha az x jobbról tart az a-hoz, tehát az

x 7−→(f(y)− f(x)g(y)− g(x)

− f(x)g(x)

)függvény tart a nullához, ha az x jobbról tart az a-hoz. Ez alapján pedig, a (5.25)reláció szerint van olyan (a, a+ δ1) részkörnyezete az (a, a+ δ) környezetnek, hogy∣∣∣∣f(x)

g(x)− α

∣∣∣∣ < 2ε, ha ha x ∈ (a, a+ δ1),

ami pontosan a bebizonyítandó (5.21) relációval ekvivalens.Második eset : limxa

f ′(x)g′(x) = +∞. A kiindulás szerint tetszőleges β pozitív szám-

hoz van olyan δ pozitív szám, hogy

f ′(ξ)g′(ξ)

> β, ha ξ ∈ (a, a+ δ). (5.27)

Legyen az y egy tetszőleges rögzített szám az (a, a+δ) intervallumban. Ha az x egytetszőleges szám az (a, y) intervallumban, akkor az általánosított középérték tételszerint van olyan ξ szám, amelyre

ξ ∈ (x, y) ⊂ (a, a+ δ)

ésf(y)− f(x)g(y)− g(x)

=f ′(ξ)g′(ξ)

amelyből a (5.27) szerint


> β, ha a < x < y < a+ δ. (5.28)

A (5.26) azonosság szerint

f(x)g(x)

=f(y)− f(x)g(y)− g(x)

− f(y)− f(x)g(y)− g(x)

g(y)g(x)

+f(y)g(x)

,

amelybőlf(x)g(x)

=f(y)− f(x)g(y)− g(x)

(1− g(y)

g(x)

)+f(y)g(x)

,

Felhasználva a (5.28) egyenlőtlenséget, a jobboldal a következőképpen becsülhető:az első tag első tényezője nagyobb, mint β, a másik tényező tart az 1-hez, mert ag(y)/g(x) nullához tart, mivel a |g(x)| tart a +∞-hez; a második tag, ahogyan azelőbb már indokoltuk, tart a nullához. Ezek miatt van olyan (a, a+ δ1) részkörnye-zete az (a, a+ δ) környezetnek, amelybe eső x értékekre

f(x)g(x)

> β,

amellyel be is láttuk a tételt.

Az előző tételt jobboldali határértékekre mondtuk ki. Nyilvánvaló a bizonyí-tásokból, hogy megfelelő megváltoztatásokkal, azonos a bizonyítás a baloldali ha-tárértékek esetében is. A jobboldali és baloldali határértékekre kimondott tételekkövetkezményeként megfogalmazhatjuk a határértékekre vonatkozó tételt, mint egy-szerű következményt.



5.22 Állítás. (L’Hospital szabály.)Tegyük fel, hogy az f és g függvények differenciálhatók az a pontnak egy hiányoskörnyezetében, és ott a g′(x) nem 0, továbbá létezik a

limx→a

f ′(x)g′(x)

limesz. Ekkor igazak a következő állítások.

(1) Halimx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0, (5.29)

akkorlimx→a

f(x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

. (5.30)

(2) Halimx→a

|g(x)| = +∞, (5.31)

akkorlimx→a

f(x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

. (5.32)

A pont hátralévő részében példákat csinálunk a L’Hospital szabály alkalmazá-sára. Először kezdjük egy egyszerű példával.

5.23 Példa.Határozzuk meg a következő határértéket.

limx→1

x3 − 3x2 + 2x3 − 4x2 + 3

.

A tört az x = 1 helyen 00 határozatlan alakú. A nevező 3x2 − 8x deriváltja, az

egynél −5, ezért nem nulla az 1 egy környezetében, tehát teljesülnek a L’Hospitalszabály feltételei. A számláló és nevező deriváltjai hányadosának van limesze:

limx→1

3x2 − 6x3x2 − 8x

=35,

ezért a meghatározandó limesz is 3/5.

5.24 Példa.

limx→0

tanx− x

x− sinx= ?

A tört a nulla helyen 00 határozatlan alakú. A nevező deriváltja nem nulla a 0

egy környezetében, ezért a szabály alkalmazható. Először számoljuk ki a számlálóés nevező deriváltjának a hányadosát:

(tanx− x)′

(x− sinx)′=

1cos2 x − 11− cosx

=1− cos2 x

(1− cosx) cos2 x=

1 + cosxcos2 x

.

Ez alapján a keresett limesz:

1 + cosxcos2 x

∣∣∣∣x=0

=21

= 2.

A következőkben két olyan limeszt határozunk meg, amelyik nem tört, de ked-vező tört alakra hozható a logaritmusfüggvény segítségével.



5.25 Példa.Számoljuk ki a következő limeszt.

limx0

(sinx)sin x

A (sinx)sin x függvény a nullában „00” „határozatlan alakú” (megállapodás sze-rint b0 = 1, ha b 6= 0). Ezt jól kezelhető tört alakra hozhatjuk, ha vesszük a logarit-musát, amit megtehetünk, mert a nulla jobboldali környezetében pozitív. Eszerintaz

ln(sinx)sin x = sinx ln(sinx) =ln(sinx)

1sin x

függvény jobboldali limeszét kell meghatározni, amely ∞/∞ alakú. A jobboldalitört nevezőjének a deriváltja a

d

dx

1sinx

= − cosxsin2 x

,

amely nem nulla a 0 egy jobboldali környezetében. A számláló deriváltja pedig

d

dxln(sinx) =

1sinx

sin′ x =cosxsinx

.

A számláló és nevező deriváltjának a hányadosa

−cosxsinx

/cosxsin2 x

= − sinx,

amelynek van jobboldali limesze a nullában, nevezetesen a 0, ezért az ln és expfüggvények folytonossága miatt

limx0

(sinx)sin x = limx0

exp

(ddx ln(sinx)

ddx

1sin x

)= e0 = 1.

5.26 Példa.

limx0

(1 + x)ln x = ?

A függvény logaritmusa

(lnx) ln(1 + x) =ln(1 + x)1/ lnx

.

Most egymásután többször alkalmazzuk a L’Hospital szabályt. (Közben a tételalkalmazhatóságát mindig ellenőrizni kell!)

limx0

ln(1 + x)1/ lnx

= limx0

1/(1 + x)−1/(x ln2 x)

= − limx0

x ln2 x

x+ 1=

= − limx0

ln2 x

1 + 1/x= − lim

x0

(2 lnx)/x−1/x2

= 2 limx0

lnx1/x

= 2 limx0

1/x−1/x2

= 0.

Tehát azt kaptuk, hogy a keresett limesz e0 = 1.


6. fejezet

Antiderivált

A jelen fejezetnek az a célja, hogy a deriválás kalkulusának a megfordítását beve-zessük, és azt bizonyos szintig begyakoroljuk. Ez azt jelenti, hogy adott f függvényesetében meg kell határoznunk az olyan F függvényt vagy függvényeket, amelyek-nek a deriváltja az f . A deriválásnál megtanult szabályok birtokában ez nem látsziknehéz feladatnak, de látni fogjuk, hogy ez lényegesen nehezebb, több ötletességetjelentő kalkulust fog eredményezni. Természetesen felvethető, hogy mire jó ez azantiderivált kalkulus. Az egyik következő — határozott integrállal foglalkozó —fejezet döntően indokolni fogja ezt, de a jelen fejezet utolsó pontjában az differen-ciálegyenletek rövid bevezetésével is alátámasztjuk a kalkulus szükségességét.

6.1. Az antiderivált, határozatlan integrálAz első alpontban definiáljuk az antiderivált fogalmát, a következő három alpontbanpedig módszereket ismerünk meg az antiderivált kiszámítására.

6.1.1. Definíciók, elemi tulajdonságokA 5.6. tétel (4) állítása szerint ha az F és G intervallumon értelmezett , függvényekderiváltja azonos, akkor az F és G függvények különbsége egy állandó (függvény).Ez a megállapítás lehetővé teszi azt, hogy ebben az esetben a deriválás műveletétbizonyos értelemben megfordíthatjuk. A megfordítás nem egyértelmű, hiszen az

x 7→ x2 és x 7→ x2 + 3

függvények deriváltja egyaránt az x 7→ 2x függvény. Azt azonban az említett tételalapján bizonyosan tudjuk, hogy pontosan az x 7→ x2 + c alakú függvények — ahola c tetszőleges állandó — azok, amelyeknek a deriváltja az x 7→ 2x leképezés.

A következőkben lépten-nyomon elő fog fordulni, hogy használjuk a„függvény + constans”

formát, amin — az előzőek szellemében — nyilvánvalóan mindazokat a leképezéseketértjük, amelyek a „függvénytől” valamilyen konstansban különböznek. Másképpenkifejezve az

F + c

azon függvények halmazát fogja jelölni, amelyek az F függvénytől konstansban kü-lönböznek.

Összefoglalva az eddigieket, a deriválás most definiálandó inverz művelete egyfüggvényhez nem egyetlen függvényt, hanem egy olyan függvényhalmazt rendel,amelynek az elemei konstansban különböznek, és egy ilyen halmazt rendszeresen

174

6.1. AZ ANTIDERIVÁLT, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 175

egy F elemével reprezentálunk, amikor az F + c formát írjuk, de nem kétségbeejtő,ha elfeledjük odaírni a c állandót, csak el ne feledjük: a deriválás inverz műveletecsak egy konstanstól eltekintve egyértelmű. Természetesen elérhetnénk azt, hogyegyértelmű legyen a deriválás inverz művelete, ha nem egy függvényt, hanem azegymástól konstansban különböző függvények osztályaiból álló objektumot vennénkaz inverz leképezés értékkészletének.

A következő definícióban az eddig már részletezett fogalmakra elnevezéseket ve-zetünk be:

6.1 Definíció. (Antiderivált, határozatlan integrál)Ha az f : (a, b) → R függvény az F : (a, b) → R függvény deriváltja — pontosabban:deriváltfüggvénye — akkor azt fogjuk mondani, hogy az F függvény egy antideriváltjavagy primitív függvénye az f függvénynek. Az antiderivált függvények összességéneka jelölésére az ∫

f(x) dx,∫dx f(x),

∫f

formák valamelyike a szokásos. Az antideriváltak∫f(x) dx összességét az f függ-

vény határozatlan integráljának mondjuk.

A 5.6. tétel (4) állítása szerint, ha az F (x) egy antideriváltja az f(x)-nek, akkor∫f(x) dx = F (x) + c,

tehát az antideriváltak összessége egy antideriváltból a konstans függvények hozzá-adásával adódnak.

Az antiderivált elnevezés nem szorul indoklásra, hiszen a bevezetett művelet aderiválás megfordítása. A határozatlan integrál elnevezés a következő fejezetbenkapja meg az indoklását, ahol majd látni fogjuk, hogy ez a művelet teszi lehetővéa határozott integrálok kiszámítását. A jelölésnek tradicionális oka van, az „

∫” jel

az „S” betűnek a stilizált alakja arra utal, hogy — amint majd látni fogjuk — ahatározott integrál, bizonyos értelemben a közönséges összegezésnek (szumma) azáltalánosítása.

A jelölések közül az elsőt használjuk leginkább, mert a benne szereplő „dx”szimbólum világosan megmondja: egy x változótól függő leképezés antideriváltjátkell venni. A középső jelölés a leglogikusabb, mivel az antideriválandó függvény eléteszi, a deriválásnál megszokott módon, az utasítást adó szimbólumot, sajnálatosana legkevésbé használatos jelölés.

Az antiderivált-kalkulus felépítése a már megszokott módon, két állításon alap-szik:

1) Megfogalmazzuk a formális szabályokat, amelyek az antiderivált operációnaka függvények közötti műveletekkel kapcsolatos viselkedését írja le.

2) Megadjuk a legfontosabb speciális függvények antideriváltjait.Lássuk először a formális szabályokat:

6.2 Állítás. (Antideriválás formális szabályai)(1) Ha az α 6= 0 tetszőleges szám, és az f : (a, b) → R függvénynek van antideri-

váltja, akkor az αf függvénynek is van, és∫αf(x) dx = α

∫f(x) dx.

(2) Ha az f : (a, b) → R és g : (a, b) → R függvényeknek van antideriváltja, akkoraz összegüknek is van, és∫

(f(x) + g(x)) dx =∫f(x) dx+

∫g(x) dx.



(3) Ha az f és g (a, b) → R, deriválható függvények, és az f ′g függvénynek vanantideriváltja, akkor az fg′ függvénynek is van, és∫

f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)−∫f(x)g′(x) dx.

(4) Ha a g : (a, b) → R függvény deriválható, az f pedig a g függvény g((a, b))(intervallum) értékkészletén deriválható, akkor∫

f ′(g(x))g′(x) dx = f(g(x)).

(5) Ha a g : (a, b) → R függvény deriválható, az f függvény pedig a g függvényg((a, b)

)értékkészletén definiált, és van antideriváltja, akkor az f(g(x))g′(x)

függvénynek is van antideriváltja, és∫f(g(x))g′(x) dx =

∫f(y) dy

∣∣∣∣y=g(x)

.

(6) Ha az előző állítás feltételei mellett a g függvénynek van inverze, akkor∫f(y) dy =

∫f(g(x))g′(x) dx

∣∣∣∣x=g−1(y)

.

A leírt formális szabályok rendre a számmal való szorzás, az összeadás, a szorzásés a közvetett függvény deriválási szabályainak felelnek meg. A közvetett függvényderiválási szabályából három antideriválási szabályt is eredeztettünk ((4)–(6)).

Meg kell vallani, hogy a jelölések zavart okozhatnak az állítás egyenlőségeinek amegértésében, ha nem látjuk pontosan, hogy miről is van szó. Például az∫

αf(x) dx = α

∫f(x) dx, α 6= 0

formula értelemezése: Az egyenlőség mindkét oldalán függvény halmazok állnakés úgy kell érteni, hogy a második függvény halmaz úgy adódik az elsőből, hogyaz elemeit rendre szorozzuk az α számmal. Hasonló értelmezést adunk a többiegyenlőségnek is.

A szorzat deriválási szabályából származó (3) szabályt parciális integrálásnakszokás nevezni. Az (5) és (6) szabályt pedig helyettesítéssel való integrálásnak .

Bizonyítás. Az állítások mindegyike olyan egyenlőség, amelyeknek a bizonyítása— mivel antideriváltak egyenlőségéről van szó — úgy megy, hogy deriváljuk mindkétoldalt, és azt találjuk, hogy mindkét oldal deriváltja azonos.(1): A határozatlan integrál definíciója szerint a baloldal

d

dx

∫αf(x) dx = αf(x),

a jobboldal pedig a szorzat deriválási szabálya és a definíció alapján

d

dx

(α

∫f(x) dx

)= α

d

dx

∫f(x) dx = αf(x).

(2): A definíció szerint a baloldal deriváltja f(x) + g(x), a jobboldal deriválásapedig az összeg deriválásának a formális szabályával:

d

dx

(∫f(x) dx+

∫g(x) dx

)=

d

dx

∫f(x) dx+

d

dx

∫g(x) dx

= f(x) + g(x).



(3): A baloldal deriváltja definíció szerint f ′(x)g(x), a jobboldalé pedig az összegés szorzat deriválási szabálya szerint:

d

dx

(f(x)g(x)−

∫f(x)g′(x) dx

)= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)− f(x)g′(x) = f ′(x)g(x).

(4): A közvetett függvény differenciálási szabályának az evidens következménye.(5): A jobboldal deriváltja, a közvetett függvény deriválási szabálya alapján:

d

dx

(∫f(y) dy

∣∣∣∣y=g(x)

)=

d

dy

(∫f(y) dy

)∣∣∣∣y=g(x)

· ddxg(x) = f(y)g′(x),

ami megegyezik a baloldal x szerinti deriváltjával, az f(g(x))g′(x)-vel, ha az y he-lyére előírás szerint beírjuk a g(x)-et.(6): Azonnal adódik az előző állítás egyenlőségéből, ha az x helyett a g−1(y) értékethelyettesítjük.

A következő tétel speciális függvények antideriváltjait adja meg. Igazolásra nincsis szükség, hiszen csak visszafelé, jobbról balra, kell olvasni a deriválási szabályokat.

6.3 Állítás. (Elemi függvények antideriváltjai)Fennállnak a következő antiderivált formulák.

(1)∫xn dx =

xn+1

n+ 1+ c, ha n ∈ N és x ∈ R.

(2)∫xn dx = xn+1

n+1 + c1, ha n ∈ −N és x ∈ R++,∫xn dx = xn+1

n+1 + c2, ha n ∈ −N és x ∈ −R++.

(3)∫xα dx =

xα+1

α+ 1+ c, ha α 6= −1 és x ∈ R++.

(4)∫ex dx = ex + c, ha x ∈ R.

(5)∫

1x dx = log x+ c1, ha 0 < x,∫1x dx = log(−x) + c2, ha 0 > x.

(6)∫

sinx dx = − cosx+ c, ha x ∈ R.

(7)∫

cosx dx = sinx+ c, ha x ∈ R.

(8)∫

11 + x2

dx = arctanx+ c, ha x ∈ R.

(9)∫

1√1− x2

dx = arcsinx+ c, ha x ∈ (−1, 1).

A (2) állítás leírása nem téves, mivel az első sor esetében az értelmezési tarto-mány a pozitív számok, a másikban pedig a negatív számok. Hasonló mondható az(5) esetre.

Végezetül, mielőtt példákat dolgoznánk ki, a számolási szabályokat táblázatok-ban is összefoglaljuk. A táblázatok emlékeztetők, és a pontos feltételeket a megfelelő



állítások tartalmazzák. A harmadik táblázatban néhány olyan formulát írunk le,amelyek a formális szabályok és a speciális függvények antideriváltjainak az isme-retében könnyen felírhatóak, és hasznosak lehetnek formális számolás esetén.

ANTIDERIVÁLÁS FORMÁLIS SZABÁLYAI

∫αf(x) dx = α ·

∫f(x) dx.∫

(f + g)(x) dx =∫f(x) dx+

∫g(x) dx∫

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−∫f ′(x)g(x) dx∫

f ′(g(x))g′(x) dx = f(g(x))∫f(g(x))g′(x) dx =

∫f(y) dy

∣∣∣∣y=g(x)∫

f(y) dy =∫f(g(x))g′(x) dx

∣∣∣∣x=g−1(y)

SPECIÁLIS FÜGGVÉNYEK ANTIDERIVÁLTJAI

∫1 dx = x+ c∫xn dx =

xn+1

n+ 1+ c∫

xα dx =xα+1

α+ 1+ c∫

ex dx = ex + c∫1xdx = log x+ c∫

sinx dx = − cosx+ c∫cosx dx = sinx+ c∫

11 + x2

dx = arctanx+ c∫1√

1− x2dx = arcsinx+ c

∫h′(x)hn(x) dx =

hn+1(x)n+ 1

+ c, (n 6= −1)∫h′(x)eh(x) dx = eh(x) + c∫h′(x)h(x)

dx = log h(x) + c, (0 < h(x))

A megismert szabályok közül a parciális és helyettesítéssel való integrálás formá-lis szabályainak a használata, megfelelő gyakorlatot igényel. Emiatt ezek gyakorlá-sának két külön pontot szentelünk. Itt csak a közvetlenül megoldható feladatokkalfoglalkozunk.



6.4 Példa.Keressük meg a tangensfüggvény egy antideriváltját.

A tangensfüggvényre: tanx = sin xcos x , ami továbbalakítva a

tanx = −− sinxcosx

, ha cosx > 0 és tanx = − sinx− cosx

, ha cosx < 0

formákba írható, ahol a tört számlálója éppen a nevező deriváltja, ezért egy anti-derivált függvény:

x 7→ − ln cosx, ha cosx > 0 és x 7→ − ln(− cosx), ha cosx < 0.

6.5 Példa.Mi a határozatlan integrálja az x+ 2 sinx cos3 x függvénynek?

Az integrálandó függvény a következő formába alakítható

x+ 2 sinx cos3 x = x− 24(− sinx)4(cosx)3,

ami alapján a második tagnál a harmadik táblázat első sorát használva az adódik,hogy ∫

(x+ 2 sinx cos3 x) dx =x2

2− 1

2cos4 x+ c.

6.6 Példa. ∫sin3 x dx = ?

A sin3 x = sinx(1− cos2 x) = sinx+ 13 (− sinx)3 cos2 x azonosság alapján∫

sin3 x dx =∫

sinx dx+13

∫(− sinx)3 cos2 x dx = − cosx+

13

cos3 x.

6.7 Példa.Mi a határozatlan integrálja az

x 7→ 3x2 + x

x2 + 1

függvénynek?

Az előző példák megoldásában láttuk, hogy a megoldás kulcsa az, hogy ügyesátalakítással olyan alakot hozzunk be, amelyikre a harmadik táblázat valamelyikformulája ráillik. Ez a kulcsa az összes ebben a pontban megoldott és kitűzöttfeladat megoldásának. A jelenlegi esetben — ami egyes racionális törtfüggvényeknéltipikusnak tekinthető — a következő az átalakítás:

3x2 + x

x2 + 1=

3(x2 + 1)− 3 + x

x2 + 1= 3− 3

11 + x2

+12

2xx2 + 1

.

A vizsgált törtet három tagú összegre bontottuk. Az első tag egy antideriváltja a3x, a második tagé −3 arctanx. A harmadik tagban a számláló a nevező deriváltja,ezért egy antiderivált: 1

2 ln(1 + x2). Összefoglalva:∫3x2 + x

x2 + 1dx = 3x− 3 arctanx+

12

ln(1 + x2) + c.



6.1.2. Parciális integrálásBevezetésként emlékeztetünk a parciális integrálás szabályára: Ha az f és g függ-vények deriválhatóak valamilyen intervallumon, és az f(x)g′(x) függvénynek vanantideriváltja, akkor az f ′(x)g(x) függvénynek is van, és∫

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−∫f ′(x)g(x) dx, (6.1)

ahogyan azt a 6.2. tételben láttuk. Gondoljuk meg alaposan, hogy mikor előnyösennek a formális szabálynak a használata. A 6.1. egyenlőség akkor könnyíti meg adolgunkat, ha egyrészt meg tudjuk mondani a g′ függvénynek egy antideriváltját, ag függvényt; másrészt ha az f ′g függvény „egyszerűbb” az fg′ függvénynél. Lássunkelőzetesként néhány tipikus példát az alapgondolat megértésére.

(1) A „polinom ·ex” alakú függvények esetében kedvező a helyzet. Vegyük példáulaz

(x2 + 7)︸︷︷︸f

· ex︸︷︷︸g′

,

függvényt, amelyből az f ′g-re a az

f ′(x)g(x) = 2xex,

alak adódik, amely abban az értelemben egyszerűbb az eredeti formánál, hogya polinom fokszáma eggyel csökkent. Ezt a fogást tovább lehet folytatni, ésismételt lépések után a polinom nulla fokszámú, azaz konstans lesz.

(2) Teljesen azonos a helyzet a „polinom·sinx” alakú függvényeknél, ahol a szinuszfüggvény helyett a koszinusz is szerepelhet.

(3) Bizonyos értelemben eltérő szempont miatt vezet kedvező helyzetre a parciálisintegrálás a „polinom · lnx” forma esetében. Ebben a

polinom︸︷︷︸g′

· lnx︸︷︷︸f

szereposztásban, mivel polinom antideriváltja is polinom, az f ′g alakja polinom·1x lesz, ami egyszerű racionális törtfüggvény, és könnyű mondani antiderivált-ját.

A pont további részében példákat oldunk meg a parciális integrálás módszeréneka bemutatására.

6.8 Példa.Határozzuk meg az

x 7→ (x2 + 7)e−x

függvény határozatlan integrálját.

A szabály alkalmazását — az f és g leképezésekre vonatkozó „szereposztást” (eleinte)— a függvények alá való írásával fejezzük ki.

Felhasználjuk azt, hogy az e−x egy antideriváltja a (−e−x) függvény.∫(x2 + 7)︸︷︷︸

f

· e−x︸︷︷︸g′

dx = (x2 + 7)︸︷︷︸f

· (−e−x)︸︷︷︸g

−∫

2x︸︷︷︸f ′

· (−e−x)︸︷︷︸g

dx =

= (x2 + 7)(−e−x) +∫

2x(−e−x) dx.



A jobboldali integrálra ugyanezt az eljárást folytatjuk tovább:∫2x︸︷︷︸f

· e−x︸︷︷︸g′

dx = 2x︸︷︷︸f

· (−e−x)︸︷︷︸g

−∫

2︸︷︷︸f ′

· (−e−x)︸︷︷︸g

dx =

= 2x(−e−x) + 2∫e−x dx = −2xe−x − 2e−x + c.

Összefoglalva az eddigieket:∫(x2 + 7)e−x dx = −(x2 + 7)e−x − 2xe−x − 2e−x + c

= −(x2 + 2x+ 9)e−x + c.

6.9 Példa. ∫(x7 + 2x2 + 1) lnx dx = ?

Alkalmas szereposztással számolva egyszerűen nyerhető a válasz:∫(x7 + 2x2 + 1)︸︷︷︸

g′

· lnx︸︷︷︸f

dx =

= (x8

8+

2x3

3+ x)︸︷︷︸

g

· lnx︸︷︷︸f

−∫

(x8

8+

2x3

3+ x)︸︷︷︸

g

· 1x︸︷︷︸f ′

dx.

A jobboldali integrál kiszámolása már nagyon egyszerű:∫(x7

8+

2x2

3+ 1) dx =

x8

64+

2x3

9+ x+ c,

amiből végülis azt kapjuk, hogy∫(x7 + 2x2 + 1) lnx dx =

(x8

8+

2x3

3+ x

)lnx− x8

64− 2x3

9− x+ c.

6.10 Példa.Számítsuk ki az x 7→ sin2 x függvény határozatlan integrálját.

Első pillantásra úgy tűnhetne, hogy ez a feladat nem kezelhető a parciális integrálásmódszerével, hiszen nem is szorzat. Ennek ellenére — azzal az észrevétellel, hogya négyzet is szorzat — megoldhatóvá válik a feladat ezen a módon, az alábbiakszerint. ∫

sinx︸︷︷︸f

· sinx︸︷︷︸g′

dx = sinx︸︷︷︸f

· (− cosx)︸︷︷︸g

−∫

cosx︸︷︷︸f ′

· (− cosx)︸︷︷︸g

dx =

= − sinx cosx+∫

cos2 x dx = − sinx cosx+∫

(1− sin2 x) dx

= − sinx cosx+ x−∫

sin2 x dx,



amiből, átrendezéssel az adódik, hogy

2∫

sin2 x dx = − sinx cosx+ x+ c,

tehát ∫sin2 x dx = −1

2sinx cosx+

x

2+ c.

A pontosan gondolkodók észrevehették, hogy egy furcsa dolgot tettünk akkor,amikor az

∫sin2 x dx határozatlan integrált az egyenlőség egyik oldaláról átvittük

a másik oldalára, mivel az nem egyetlen objektum, nem egy függvény, hanem egy-mástól egy konstansban különböző függvények halmaza. Ha alaposabban utánagondolunk, akkor beláthatjuk, hogy ez mégis megengedhető.

A határozatlan integrállal kapcsolatos számolásainknak egyébként van egy ki-tűnő ellenőrzése: deriválni kell az eredményt, és meg kell nézni, hogy az integrálandófüggvényt kapjuk-e meg. Az előző példában hajtsuk végre ezt az ellenőrzést:

d

dx

(−1

2sinx cosx+

x

2

)= 1/2(− cosx cosx− sinx(− sinx)− 1) =

= 1/2(− cos2 x+ sin2 x+ 1) = sin2 x.

6.11 Példa.Adjuk meg az x 7→ x3 exp(−x2) függvény egy antideriváltját.

Ha ebben az esetben abból indulnánk ki, hogy csak az x3 függvényt választhatjukderiváltnak, mert ennek tudjuk csak megmondani egy antideriváltját, az x4/4 függ-vényt, akkor csak megnehezítenénk a dolgunkat. A másik exp(−x2) függvény deri-váltja ugyanis −2x exp(−x2), és így az x5 exp(−x2) függvényt kellene integrálnunk,és ez nem könnyebb, mint a kiinduló feladat. Egy „fantáziadúsabb” látásmódra vanszükség, az alábbiak szerint.∫

x3 exp(−x2) dx = −12

∫x2︸︷︷︸f

· (−2xe−x2)︸︷︷︸

g′

dx =

= −12x2︸︷︷︸f

· e−x2︸︷︷︸g

+12

∫2x︸︷︷︸f ′

· e−x2︸︷︷︸g

dx = −12e−x2

(x2 + 1) + c,

tehát egy antiderivált az x 7→ −(1/2)e−x2(x2 + 1) függvény.


x2

(1 + x)3, −1 < x

függvénynek egy antideriváltját.

A megoldásban az eddigi menetet követjük, de sok más megoldás is lehetséges.∫x2

(1 + x)3dx =

∫x2︸︷︷︸f

· (1 + x)−3︸︷︷︸g′

dx =

= x2︸︷︷︸f

· (1 + x)−2

−2︸︷︷︸g

−∫

2x︸︷︷︸f ′

· (1 + x)−2

−2︸︷︷︸g

dx =



= − x2

2(1 + x)2+∫

x︸︷︷︸f

· (1 + x)−2︸︷︷︸g′

dx =

= − x2

2(1 + x)2+ x︸︷︷︸

f

· (1 + x)−1

−1︸︷︷︸g

−∫

1︸︷︷︸f ′

· (1 + x)−1

−1︸︷︷︸g

dx =

= − x2

2(1 + x)2− x

(1 + x)+∫

(1 + x)−1 dx =

= − x2

2(1 + x)2− x

(1 + x)+ log(1 + x) + c.

A parciális integrálás formális szabálya a szorzat deriválási szabályának a meg-fordítása, de észrevehettük, hogy az alkalmazása lényegesen nehezebb. A lényegeslépés a fentiekben „szereposztásnak” nevezett probléma. Ha ez utóbbit helyesenoldjuk meg, akkor a továbbiak gyakran már „maguktól mennek”.

6.1.3. Helyettesítéssel való integrálásA közvetett függvény deriválási szabályából három szabályt is levezettünk a hatá-rozatlan integrál meghatározására (6.2. (4)–(6) állítás). A legegyszerűbb az alábbiformula ∫

f ′(g(x))g′(x)x = f(g(x)) + c. (6.2)

Ezt a formulát már eddig is sokszor használtuk, amikor az integrálandó függvénybenezt az alakot igyekeztünk felfedezni, vagy átalakítással létrehozni. „Helyettesítésselvaló integrálásnak” főként az idézett tétel (6) formulája alkalmazását szokás nevezni.Eszerint ∫

f(y) dy =∫f(g(x))g′(x)x

∣∣∣∣x = g−1(y)

. (6.3)

Ne feledjük el, hogy itt az alkalmazhatóság feltétele az is, hogy a g függvényneklegyen inverze.

Oldjunk meg most egy feladatot, kétféle módon, nagy részletességgel, abból acélból, hogy annak az alapján a (6.3) formula alkalmazásának nem kevés ötletességetkívánó menetét lerögzíthessük.

6.13 Példa.Keressük meg az

y 7→ y5√y3 + 1


Első megoldás: Szembetűnő, hogy az integrálandó kifejezés sokkal egyszerűbblenne, ha a négyzetgyök helyett egyetlen x változó állna. Ekkor

x =√y3 + 1 és y = 3

√x2 − 1

lenne. Az alkalmazandó formulában szereplő g függvény ezek szerint: y = g(x) =3√x2 − 1. Figyeljünk fel azonban arra, hogy a g függvény x = g−1(y) =

√y3 + 1

inverz függvényéből indultunk ki. Azt választottuk ki először, és a g függvényt csakezután számoltuk ki, kifejezve az y változót.

A g és g−1 függvények megválasztása után az látszik természetesnek, hogy ki-számoljuk az f(g(x)) függvényt és a g′(x) deriváltat, hogy ezek alapján a jobboldali



integrandust felírhassuk. Ebben a megoldásban valóban ezt az utat követjük, detalálni fogunk majd más eljárást is a második megoldásban. A mondottaknak meg-felelően:

f(g(x)) =(

3√x2 − 1

)5 1x.

g′(x) =d

dx3√x2 − 1 =

13(x2 − 1)

13−1 · (2x) =

23x(

3√x2 − 1

)−2

.

Így a jobboldali integrandus:

f(g(x))g′(x) =(

3√x2 − 1

)5 1x·(

23x(

3√x2 − 1

)−2)

=23(x2 − 1

).

Ebből pedig a helyettesítés (6.3) szabálya szerint∫y5√y3 + 1

dy =(

23

∫(x2 − 1) dx

)∣∣∣∣x =

√y3 + 1

=

=23

(x3

3− x+ c

)∣∣∣∣x =

√y3 + 1

=29(y3 + 1)

√y3 + 1− 2

3

√y3 + 1 + c.

Második megoldás: Ezzel a megoldással két szempontra szeretnénk felhívni a fi-gyelmet. Egyrészt arra, hogy többféle helyettesítés is célhoz vezethet; másrésztarra, hogy az f(g(x))g′(x) integrandus (integrálandó függvény) kiszámítására másút is van: Nem hajtjuk végre teljes mértékben az f(g(x)) helyettesítést mindjárt azelején, és nem közvetlenül a g′(x) deriváltat számítjuk ki, hanem a g−1(y) derivált-ját, amelynek — az inverz függvény deriválási szabálya szerint — a reciproka a g′derivált.

Helyettesítsük most az integrálandó kifejezésben a gyök alatti mennyiséget x-szel, azaz x = y3+1. Eszerint y = g(x) = 3

√x− 1. Ha az előző megoldásban követett

úton haladnánk, akkor a g függvényt kellene deriválni, ami — gyökös kifejezéslévén — viszonylag bonyolult. Annál egyszerűbb viszont a g−1 függvény deriválása,hiszen g−1(y) = y3 + 1. Lássunk hozzá ennek megfelelően a baloldali integranduskiszámolásához. Először a x = g−1(y) deriválása:

dx

dy=

d

dy(y3 + 1) = 3y2.

Ezek szerint a baloldali integrandus:

y5

√xg′(x) =

y5

√x

13y2

=13y3

√x

=,

és most már érdemes az y helyére is betenni az y = 3√x− 1 kifejezést, amivel

folytatva az előzőt az következik, hogy

=13x− 1√x

=13(x1/2 − x−1/2

).

A helyettesítés formulája szerint tehát∫y5√y3 + 1

dy =13

∫ (x1/2 − x−1/2

)dx

∣∣∣∣x = y3 + 1

=

=13

(x3/2

3/2− x1/2

1/2+ c

)∣∣∣∣x = y3 + 1

=29(y3 + 1)

√y3 + 1− 2

3

√y3 + 1 + c.



Mielőtt összefoglalnánk az előzőeket, ejtsünk pár szót egy lehetséges jelölésről.Mivel y = g(x) és g′(x) = dg(x)

dx = dydx , ezért a 4.2.4. pontban látottak szerint azt ír-

hatjuk, hogy dg(x) = dy = g′(x)dx. Megjegyzés-technikai szempontokat figyelembevéve a (6.3) helyettesítési szabályban a g′(x)dx formát a következőképpen értelmez-hetjük: A „dy” helyére a dy

dx = g′(x) egyenlőségből formálisan kifejezett ”g′(x)dx”írandó, azaz a helyettesítés

dy = g′(x)dx.

Ha a g helyett a g−1 deriváltját számoljuk ki, akkkor pedig nyilvánvalóan a

dy =1

(g−1)(y)dx

a helyettesítést használjuk.

Részletezzük most, hogy mi az integrálás menete a (6.3) szabály alkalmazásánál:

(1) Az f függvény alakja alapján eldöntjük azt, hogy milyen g(x) függvényt he-lyettesítünk az y helyébe. Erre nincs általános recept, csak az a szempont,hogy a helyettesítés utáni f(g(x)) függvény minél egyszerűbb legyen. Mivelaz f(y) függvény alakja alapján fantáziálunk, ezért nem meglepő, hogy a gfüggvény helyett rendszerint annak az inverzéből indulunk ki.

(2) Az f(g(x))g′(x) szorzat kiszámításánál kétféleképpen is eljárhatunk:(a) Először elvégezzük az f(g(x)) behelyettesítést, majd kiszámoljuk a helyet-tesítéshez szükséges g′(x) derivált függvényt, és a dy helyére a g′(x)dx formáttesszük.(b) A g deriváltja helyett a g−1(y) függvény deriváltját számoljuk ki.Az (a) módszer mindig követhető, a (b) esetben esetleg egyszerűbb a számolás.

(3) Meghatározzuk az∫f(g(x))g′(x) dx határozatlan integrált.

(4) Az előző lépésben kapott kifejezésben az x helyére a g−1(y) formát helyette-sítjük vissza.

6.14 Példa. ∫e2t

e4t + 1dt =?

Szándékosan használtunk más betűt az integrálandó függvénynél, hogy ne feled-jük el: a formula lényegét kell ismerni.

Próbálkozzunk az alábbi helyettesítéssel:

u = e2t, amiből t = (lnu)/2.

A helyettesítéshez szükséges deriválás:

du

dt= 2e2t, azaz dt =

du

2e2t.

Ebből a helyettesített integrandus:

e2t

e4t + 11

2e2t=

12

1e4t + 1

=12

1u2 + 1

.

Ennek az u-szerinti határozatlan integrálja:∫12

1u2 + 1

du =12

arctanu+ c.



Az u = e2t helyettesítéssel kapjuk is a keresett eredményt:∫e2t

e4t + 1dt =

12

arctan(e2t)

+ c.

6.15 Példa.Számoljuk ki az x 7→

√r2 − x2 (0 5 x 5 r) függvény határozatlan integrálját.

Nyilvánvalóan felvetődik bennünk, hogy jó lenne egy olyan helyettesítés, ami melletta gyökjel eltűnne. Az előzőek alapján gondolhatnánk azt, hogy az y =

√r2 − x2

célhoz vezet. Ha azonban végigszámoljuk ezt, akkor azt tapasztaljuk, hogy nemjutunk könnyen integrálható alakhoz.

A most elvégzendő helyettesítés bizonyos értelemben tipikus: ha a gyökjel alatta − x2 típusú kifejezés van, akkor az x helyébe

√a cos t függvényt téve a − x2 =

a− a cos2 t = a(1− cos2 t) = a sin2 t, és így el tudjuk végezni a négyzetgyökvonást(sin t nemnegatív). Ez az ötlet hasonló esetekben gyakorta megoldja a problémát.Hasonlóan alkalmas persze az x = sin t helyettesítés is.

Lássuk ezekután a feladat megoldását. Az x = r cos t helyettesítés esetébent = arccos x

r , ésdx

dt= r(− sin t), azaz dx = −r sin t dt.

Ezek alapján a helyettesítés végrehajtása:∫ √r2 − x2 dx =

∫ √r2 − r2 cos2 t(−r sin t) dt =

= −∫r sin t · r sin t dt = −r2

∫sin2 t dt.

Az sin2 t függvényt már integráltuk a 6.10. példában, ahol azt kaptuk, hogy∫sin2 t dt = −1

2sin t cos t+

t

2+ c = −1

2cos t

√1− cos2 t+

t

2+ c.

A példában kitűzött feladat megoldásához már csak az kell, hogy a t helyére azarccos x

r függvényt helyettesítsük, figyelembe véve azt, hogy cos(arccos xr ) = x

r :∫ √r2 − x2 dx =

r2

2cos t

√1− cos2 t− r2t

2+ c =

=r2

2· xr·

√1−

(1x

)2

−r2 arccos x

r

2+ c =

=x√r2 − x2

2− r2 arccosx/r

2+ c .

6.1.4. Racionális törtfüggvények antideriváltjaFoglalkoztunk már különféle, meglehetősen összetett függvényeknek az integrálásá-val, de még nem beszéltünk a polinomok után a legegyszerűbb függvényosztálynak,a racionális törtfüggvényeknek az antideriválásáról. Teljes általánosságban nemtárgyaljuk a kérdést, csak a másodfokú nevező esetében, de ez már megmutatja akövetendő általános módszer lényegét.

Emlékeztessünk először arra, hogy milyen törtfüggvény integrálok állnak a ren-delkezésünkre: ∫

1xdx = log x+ c, ha 0 < x (6.4)∫

11 + x2

dx = arctanx+ c. (6.5)



Látni fogjuk, hogy ezeknek az integráloknak és a hatványfüggvény integrálási sza-bályának az ismeretében a felvetett problémát jól tudjuk kezelni. Először azt a kétesetet lássuk, amelyekben a (6.4) és (6.5) szabályok egészen közvetlen alkalmazásacélhoz vezet.

6.16 Példa.Számoljuk ki az

x 7→ 1ax+ b

, a > 0, x > − ba


Ilyen integrál kiszámítása már szerepelt az eddigi gyakorlatok között. Az integ-randust figyelmesen megnézve két út kínálkozik: Vagy elvégezzük a t = ax + bhelyettesítést, vagy megfelelően átalakítva észrevesszük azt, hogy mi az antideri-vált. Kövessük most a második utat:∫

1ax+ b

dx =1a

∫a

ax+ bdx.

Az integrandus f ′(x)f(x) alakú, ahol f(x) = ax+ b, és így∫

1ax+ b

dx =1a

ln(ax+ b) + c.


x 7→ 1ax2 + b

, (0 < a, b)

függvény egy antideriváltját.

Ebben az esetben, a változatosság kedvéért, kövessük a helyettesítéssel való in-tegrálás módszerét. Alkalmazzuk a x =

√ba t helyettesítést, és azután a (6.5)

szabályt: ∫1

ax2 + bdx =

∫1

a

((√ba

)2t2)

+ b

·√b

adt =

=1√ab

∫1

t2 + 1dt =

1√ab

arctan t.

A t = (√a/b)x visszahelyettesítéssel kapjuk a végeredményt:∫

1ax2 + b

dx =1√ab

arctan(√

a

bx

). (6.6)

Ha egypolinom

ax2 + bx+ c

alakú függvényt kell integrálni, akkor ezt a törtet maradékos osztással

polinom +lieáris függvényax2 + bx+ c



alakra lehet hozni, és így a feladat a

lieáris függvényax2 + bx+ c

formájú függvény antideriváltjának a kiszámítására redukálódik. A következő fel-adatban megmutatjuk, hogy elérhető a számlálóból a lineáris függvény eltüntetéseis, és így végül is az

1ax2 + bx+ c

integrálása marad csak hátra.

6.18 Példa.Mutassuk meg, hogy egy

αx+ β

ax2 + bx+ c

alakú tört integrálása visszavezethető az

1ax2 + bx+ c

tört integrálására.

Megfelelő algebrai átalakítással elérjük, hogy egy olyan tört jöjjön be, amelyik-nek a számlálója a nevező deriváltja:

αx+ β

ax2 + bx+ c=

(α/(2a)

)(2ax+ b)− (αb)/(2a) + β

ax2 + bx+ c=

=α

2a2ax+ b

ax2 + bx+ c+(β − αb

2a

)1

ax2 + bx+ c.

Az első tag egy antideriváltja a harmadik táblázat megfelelő formulája szerint

α

2aln(ax2 + bx+ c),

és így azt kapjuk, hogy ∫αx+ β

ax2 + bx+ cdx =

=α

2aln(ax2 + bx+ c) +

(β − αb

2a

)∫1

ax2 + bx+ cdx.

Most pedig három tipikus példára bontva megoldjuk a

1ax2 + bx+ c

alakú racionális tört integrálását. A három esetet, a nevező gyökeinek a számaszerint választjuk meg:

• A nevezőnek nincs gyöke.

• A nevezőnek két különböző gyöke van.

• A nevezőnek egy darab, kétszeres gyöke van.



6.19 Példa.Tegyük fel, hogy az ax2 + bx+ c = 0 egyenletnek nincs (valós) gyöke. Számoljuk kiaz

x 7→ 1ax2 + bx+ c

, (a 6= 0)


A megoldás menete: A nevezőt teljes négyzetté egészítjük ki, és azután egylineáris helyettesítéssel visszavezetjük a 6.17. példában tárgyalt esetre. Ennek avégrehajtása — kizárólag a hosszadalmas számolás miatt — egy kicsit nehézkes.Egy konkrét számokkal adott másodfokú nevező esetében a leírt menet általábansokkal egyszerűbb, mint általánosan számolva, ahogyan mi tesszük. Az ax2 + bx+ cformát teljes négyzetté kiegészítve

a

(x+

b

2a

)2

+(c− b2

4a2

),

ahol a második összeadandó pozitív, mert ellenkező esetben lenne gyöke az ax2 +bx+ c = 0 egyenletnek. A keresett integrál eszerint a következőképpen írható:∫

dx

ax2 + bx+ c=∫

dx

a(x+ b

2a

)2+(c− b2

4a

) ,Végrehajtva a t = x + b

2a , x = t − b2a , dx = dt, helyettesítést azt kapjuk,

hogy ∫dx

ax2 + bx+ c=∫

dt

at2 +(c− b2

4a

) .A baloldalon szereplő integrálra azonnal alkalmazható a 6.17. példa (6.6) eredménye,és már csak puszta behelyettesítés van hátra, amit az olvasóra bízunk.

6.20 Példa.Tegyük fel, hogy az ax2 + bx + c = 0 egyenletnek két különböző (valós) gyöke van.Számoljuk ki az

x 7→ 1ax2 + bx+ c

, (a 6= 0)


Ez az eset könnyebben kezelhető, mint az előző. A következő algebrai állításonalapszik a megoldás: Ha az α1 és α2 az ax2 + bx + c két különböző gyöke, akkorvan olyan u és v szám, hogy

1ax2 + bx+ c

=u

x− α1+

v

x− α2. (6.7)

Az u és v számok könnyen meghatározhatók. Ha az x − α1 gyöktényezővel vé-gigszorozzuk a (6.7) egyenőséget, akkor figyelembe véve a polinom gyöktényezősalakját,azt kapjuk, hogy

1a(x− α2)

= u+v

x− α2(x− α1),

amit az x = α1 helyen véve azonnal adódik, hogy

u =1

a(α1 − α2)


6.2. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 190

Teljesen azonos módon kapjuk a v szám értékét. A (6.7) egyenlőség integrálásávala (6.4) szabály szerint∫

dx

ax2 + bx+ c= u · ln(x− α1) + v · ln(x− α2) =

= ln ((x− α1)u · (x− α2)v) ,

ami akkor érvényes, ha a logaritmus argumentumai pozitívak. Ha ez nem teljesül,akkor a megfelelő argumentum negatívjára lesz igaz az állítás.

6.21 Példa.Tegyük fel, hogy az ax2 + bx+ c = 0 egyenletnek egy kétszeres gyöke van. Számoljukki az

x 7→ 1ax2 + bx+ c

, (a 6= 0)


Ez az eset a legegyszerűbb. Ha az α1 a kétszeres gyök, akkor ax2 + bx + c =a(x− α1)2. Ahogyan az előbb is tettük, már csak a∫

dx

ax2 + bx+ c=∫

dx

a(x− α1)2

integrált határozzuk meg, ami azonnal megmondható, mivel a hatvány antideriválásiszabálya alapján felismerhető, hogy egy antiderivált:

−1a

1x− α1

.

A gyakorlatok és feladatok előtt megjegyezzük, hogy a három eljárás menetét ésaz előkerült fogásokat célszerű megjegyezni, a levezetett formulákat sehol se hasz-náljuk.

6.2. DifferenciálegyenletekA fizikai jelenségek tanulmányozásában gyakorta célravezető az, ha a jelenséghezrendelt függvény és annak a deriváltja vagy deriváltjai között, a tapasztalásból —illetőleg a fizika axiómáiból — kiindulva, valamilyen kapcsolatot tudunk megálla-pítani. Két példát említünk, egyet a fizikából és egyet a társadalomtudományokköréből.

Számos fizikai és csillagászati tapasztalat és elmélet birtokában Newton arra amegállapításra jutott, hogy a mechanika egyik alaptörvényének (axiómájának) cél-szerű választani azt, amit így tanultunk meg szavakban: az erő arányos a gyorsulás-sal (F=ma). Ehhez a megfogalmazáshoz szükség volt a gyorsulás pontos fogalmára,amit a mozgás egyenletének a második deriváltjaként értelmezett. Ehhez termé-szetesen fel kellett fedeznie a differenciálszámítást is. Az alapelv működését egyegyszerű példával illusztráljuk.

Mozogjon egy anyagi pont az R egyenessen. Az R egyenesen mozgó (anyagi) ponthelyzetét egy t időpontban az s(t) függvénnyel adjuk meg. A mozgás sebességét a4.1.1. oldalon említettük, és aszerint a sebességet az s′(t) derivált függvény adjameg, a gyorsulását pedig a sebességváltozás sebessége, az s′′(t) második derivált.Jelölje F (t) a t időpontban a pontra ható erőt. Ezzel a jelöléssel, Newton axiómája,(népszerű nevén: „törvénye”) az

F (t) = m · s′′(t)



alakba írható, ahol az m arányossági tényezőt tömegnek nevezték el. Az alapvetőkérdés az, hogy az erő ismeretében meg tudjuk-e mondani, hogy hol helyezkedikel a pont a t időpontban, azaz hogy mi az s függvény. Könnyen tudunk válaszolniabban az esetben, ha az F erőfüggvény azonosan nulla, azaz a pont szabadon mozogaz egyenes mentén. Ebben az esetben s′′(t) = 0, amelyből a 5.6. tétel szerint azs′(t) = c1, ahol a c1 valamilyen állandó. Az említett tétel (4) állítása szerint ebbőlaz adódik, hogy

s(t) = c1t+ c2,

ahol a c2 valamilyen másik állandó. Az előkerült állandóknak igen világos jelentésevan: a c2 azt adja meg, hogy hol tartózkodott a pont a nulla időpontban, a c1pedig azt, hogy mekkora a mozgás sebessége. Ha az F erő állandó, azaz F (t) = aminden t-re, akkor is egyszerű megoldani a feladatot. Ezt a gyakorlatokra hagy-juk. A példában vázolt feladatnak adható lenne közgazdasági tartalom is, hiszen agazdaságban is találhatóak állandó sebességgel változó folyamatok.

Lássunk most egy másik feladatot. Valamely ország népességének a számát at időpontban jelölje az u(t) függvény. Természetesnek látszó előfeltevés az, hogy anépesség növekedésének a sebessége arányos a népesség számával, azaz

u′(t) = αu(t),

ahol az α a növekedés ütemének nevezhető. Eddigi ismereteink alapján tudhatjuk,hogy alkalmas lenne az u(t) = eαt leképezés, hiszen

u′(t) = (eαx)′ = αeαx = αu(t).

Ha alaposabban megnézzük, akkor az előző, kiemelt sorba írt, egyenlet olyan, ame-lyikben a függvény és deriváltfüggvénye szerepelnek. Az ilyen típusú egyenleteketdifferenciálegyenleteknek szokás nevezni. Ezeknek az egyenleteknek a szerepe olyannagy, hogy általánosan elfogadott ez a mondás:

A természet a differenciálegyenletek nyelvén beszél .

A matematikának ez a fejezete igen jelentős, mi azonban csak olyan mértékben fo-gunk foglalkozni vele ebben a fejezetben, hogy az csupán a problémakör felvetésénekfogható fel. A bevezetett antideriválási kalkulus lehetővé teszi, hogy foglalkozunknéhány olyan differenciálegyenlettel, amelyek a közgazdasági oktatásnak már a kez-deti fázisában felhasználásra kerülnek.

Alaposabb definíció nélkül is megérthetjük, hogy milyen egyenletet értünk dif-ferenciálegyenleten: Olyan egyenletet, amelyben egy függvény, a deriváltja és afüggetlen változó között valami „függvénykapcsolat” van megadva. Például:

y(x) = 3y′(x), (y′(x))2 = x4, a(x)y′(x) + b(x)y(x) + c(x) = d(x),

ahol az a, b, c és d valamilyen függvényeket jelölnek.Természetesen számtalan típusú függvénykapcsolat írható fel. Mi néhány olyan

egyszerű kapcsolatot fogunk tanulmányozni, amelyik mellett könnyen megoldhatóa differenciálegyenlet, és törekszünk arra, hogy minél több tartalmat adjunk azegyenleteknek és megoldásaiknak.

Olyan egyenletek megoldásához már hozzászoktunk, amelyiknek a megoldásaegy szám. Itt most nagyon újszerű eset került elő, mert a differenciálegyenlet egyolyan egyenlet, aminek a megoldása egy függvény, ami „bonyolultabb” objektum,mint egy szám. Az egyenlet fogalmának az az általánosabb szemlélete, amikornem számot, hanem valami más objektumot keresünk megoldásként, még sok másformában előkerül a tanulmányaink során, és érdemes ezt a tágabb egyenletfogalmat— pontosabb definíció nélkül is — megjegyezni.



A legegyszerűbb formájú differenciálegyenlet, amivel foglalkozunk, az

y′(x) = a(x) (6.8)

alakú egyenlet, ahol az a egy függvény. Ilyen feladat megoldására már teljesen felké-szültek vagyunk, hiszen, amennyiben az a(x) függvénynek van A(x) antideriváltja,a megoldás az ∫

a(x) dx = A(x) + c, a c tetszőleges állandó

függvényösszesség tetszőleges eleme. Ebből a függvényhalmazból csak további fel-tétel, megkötés segítségével lehet egyetlen függvényt kiszemelni. A leggyakrabbanhasznált feltétel az , hogy megadjuk azt, hogy a keresendő y függvény milyen bértéket vesz fel valamilyen β helyen: y(β) = b. Ennek a segítségével már meghatá-rozható, hogy mi a c állandó értéke:

y(β) = A(β) + c = b,

amiből c = b−A(β), tehát y = A(x) +(b−A(β)

). A c konstans meghatározásához

megadotty(β) = b (6.9)

egyenletet kezdeti feltételnek vagy kezdeti érték feltételnek szokás nevezni. A (6.8)differenciálegyenlet és a (6.9) kezdeti-érték — megfelelő feltételelek mellett — egyér-telműen meghatározzák a keresett y függvényt.

Most pedig vessük fel az első, ilyen típusú differenciálegyenletre vezető problé-mát.

6.22 Példa.Szeretnénk kitalálni azt, hogy milyen leképezéssel célszerű megadni egy tóban aszennyezettség y(x) mértékét annak a függvényében, hogy mennyi a nyaranta üdü-lők x száma. Feltételezzük, hogy a szennyezettséget bizonyos jól definiált kémiaianyagok mennyiségével lehet mérni.

Először az y(x) függvény közvetlen megadásával próbálkozzunk, amihez nemis kell differenciálegyenletet használnunk. Első pillantásra azt gondolhatjuk, hogykétszer akkora üdülőszám kétszer akkora szennyezettséget eredményez, ami azzal akövetkeztetéssel jár, hogy az y arányos az üdülők x számával, azaz y = mx, ahol azm valamilyen állandó. Ha tudjuk, hogy 10000 üdülőnél a szennyezettség mértéke254 volt, akkor az y(10000) = m10000 = 254 egyenletből m = 0.0254, és így azy = 0.0254x függvény adódnék a felvetett jelenség vizsgálatára.

A kérdés az, hogy megfelelő-e a kapott függvény a jelenség vizsgálatára, vagysem. Erre választ csak a függvénynek a gyakorlattal való szembesítése adhat.Ha több alkalommal meghatároznánk az üdülők számát és a szennyezettséget, ésmegnéznénk, hogy a kapott számok kielégítő pontossággal kielégitik-e a kapottegyenletet, akkor azt tapasztalnánk, hogy az üdülők valamilyen száma mellettmegmért szennyezettségnek az értéke rendre nagyobb lenne annál, mint amit azy(x) = 0.0254x egyenletből kapnánk.

Talán valami probléma lehet azzal a kiinduló hipotézisünkkel, hogy „kétszerannyi üdülő kétszer akkora szennyezettséget eredményez”. Valóban, gondoljunkbele abba, hogy mennyivel növeli egy üdülő belépése a szennyezettséget. Egy üdülőnemcsak közvetlenül szennyez, hanem arra késztet egy kiterjedt infrastruktúra ésszolgáltatási rendszert is, hogy növelje a tó szennyezettségét. Emiatt célszerű egyúj munkahipotézisből kiindulni.



Tételezzük fel, hogy a szennyezettség mértékének az y′(x) megváltozása (sebes-sége) arányos az üdülők x számával, azaz

y′(x) = αx, (6.10)

ahol az α valamilyen arányossági tényező. A (6.10) egyenlet megoldásai

y(x) = αx2

2+ c

alakúak. Ha nulla számú üdülő mellett nulla volt a szennyeződés, akkor y(0) = c,amiből a jelenséget leíró függvény alakja y(x) = α ·x2/2. Az α arányossági tényezőtis meg tudjuk határozni, ha még egy helyen megadjuk a függvény értékét. Hatudjuk, hogy 10000 üdülőnél a szennyezettség mértéke 254 volt, akkor az y(10000) =α108/2 = 254 egyenletből α = 508 · 10−8, és így az

y = 0.00000508x2

függvény adódnék a felvetett jelenség vizsgálatára. Tapasztalati adatok azt mutat-ják, hogy ez a függvény már alkalmas a felvetett probléma megoldására, természe-tesen bizonyos pontossági határok között.

Összegezzük, hogy milyen módszert követtünk a 6.22 példa megoldásánál:

• Arra törekedtünk, hogy a probléma leírására alkalmas függvény megtalálásá-hoz egy differenciálegyenletet írhassunk fel, amit valamilyen helyesnek gon-dolt, „munkahipotézisnek” nevezett elv alapján tettünk meg.

• Ezekután megkerestük az egyenlet általános megoldását, majd a kezdeti értékbirtokában megtaláltuk a jelenség leírására alkalmasnak gondolt függvényt.

• A differenciálegyenlet felírásához feltételezett munkahipotézis helyességénekaz ellenőrzése végett szembesítjük a „valósággal” a kiszámított leíró függ-vényt. Ha az eredmény negatív (ellentmond a tapasztalatnak), akkor újabbmunkahipotézissel próbálkozunk.

Természetesen mi itt csak az elveit vázoljuk a differenciálegyenletek felírásánaka matematikai módszer illusztrációjaként, hiszen nem szaktudományos ismereteketkívánunk nyújtani.

Az előző típusú differenciálegyenlet után most egy más típusú egyenletet oldunkmeg, amit tételben is megfogalmazunk.

6.23 Állítás. (Szétválasztható változójú egyenlet)Ha az (a, b) intervallumban deriválható y = y(x) leképezés kielégíti az

u(y)dy

dx= v(x) (6.11)

differenciálegyenletet, ahol az x 7→ v(x) antideriválható az (a, b) intervallumban, azy 7→ u(y) pedig egy az y((a, b)) értékkészletet tartalmazó nyílt intervallumban, akkor∫

u(y) dy∣∣∣∣y=y(x)

=∫v(x) dx+ c, (6.12)

ahol a c egy tetszőleges állandó.

Az (6.11) alakú differenciálegyenletet szétválaszható változójú differenciálegyen-letnek nevezzük. Az elnevezés oka az, hogy az egyenletben az y és x változóktól valófüggés —- az u(y) és v(x) függvények formájában — a felírás szerint szétválasztható.



Bizonyítás. Mivel tudjuk, hogy pontosan az állandó függvénynek a deriváltja nulla,ezért a (6.12) egyenlőséget igazoljuk, ha megmutatjuk, hogy

d

dx

(∫u(y) dy

∣∣∣∣y=y(x)

−∫v(x) dx

)= 0.

A kijelölt deriválás elvégzésével ezt könnyen beláthatjuk. A határozatlan integráldefiníciója és a közvetett függvény deriválási szabálya alapján:

d

dx

(∫u(y) dy

∣∣∣∣y=y(x)

−∫v(x) dx

)=

=d

dy

∫u(y) dy

∣∣∣∣y=y(x)

· ddxy(x)− d

dx

∫v(x) dx =

= u(y)|y=y(x) · y′(x)− v(x),

ami a (6.11) szerint nulla.

Az előző tétel lehetővé teszi néhány jelentős differenciálegyenlet tanulmányozá-sát. A következő feladatok tétel szintű fontossággal bírnak.

6.24 Példa. (Normális szaporodás növekedési folyamata)Jelöljeegy populáció (valamilyen egyedekből álló összesség) elemeinek a számát y, ami a tidőtől függ. Tegyük fel, hogy a populáció elemei számának a növekedési sebességearányos a populáció tagjainak a számával, azaz az y kielégíti a

dy

dt= αy (6.13)

differenciálegyenletet. Oldjuk meg a differenciálegyenletet az

y(t0) = β (6.14)

kezdeti feltétel mellett, és analizáljuk az így leírt folyamatot.

Mielőtt megoldanánk a feladatot, vegyük szemügyre a normális szaporodási fo-lyamat szaktudományos tartalmát. Sok esetet említhetnénk, amikor a fent leírtmatematikai „modell” valamilyen jelenség vizsgálatában hasznos lehet. Három szak-tudományból vegyünk egy-egy példát:

(1) Ha a populáció leggyakrabban használt jelentésére gondolunk, akkor azonnalegy ország lakosai jutnak az eszünkbe. A demográfiai kutatásokban statisz-tikai módszerekkel meghatározzák, hogy mekkora a lakosság növekedésének asebessége. Így megkapják a (6.13) formulában szereplő α számot. A növekedésüteme persze lehet negatív is, amikor a népesség száma csökken.

(2) A szóbanforgó populáció legyen valamilyen radióaktív anyagból egy adottmennyiség. Az atomfizika szerint a populáció elemei, a rádióaktív atomok,elbomlanak valamennyi idő alatt, amit azon keresztül észlelhetünk, hogy azanyaghalmaz radioaktivitása csökken. Vitatkozhatnánk azon, hogy milyen hi-potézis alapján írjuk le a bomlás folyamatát. Egyik eléggé természetes érvelésaz, hogy ahányszor több atomunk van, annyiszor több az atomok száma növe-kedésének vagy fogyásának a sebessége, amit a (6.13) differenciálegyenlet fejezki. Most, mivel elbomlanak, azaz fogynak az atomok, az α szám negatív.



(3) Ha egy edényben lévő baktériumokat tekintünk, akkor azok — ismereteinkszerint — osztódnak, megkettőződnek. Ez megfelel annak a feltevésnek, hogya megváltozás sebessége arányos a baktériumok számával.

Ha még indokolni akarjuk a feltevés alkalmasságát, akkor a következőt tehet-jük. Ha kis ∆t időszakokat nézünk, akkor eléggé kézenfekvő, hogy a baktéri-umok számának az y(t + ∆t) − y(t) megváltozása arányos a megváltozás ∆tidőtartamával és a baktériumok t időpontban lévő számával, azaz legalábbis„közelítőleg”

y(t+ ∆t)− y(t) = α ·∆t · y(t),

és ígyy(t+ ∆t)− y(t)

∆t= αy(t),

ami — a határátmenetre gondolva (∆t→ 0) — az

y′(t) = αy

differenciálegyenletre vezet.

Még egy észrevételt teszünk a szaporodási folyamatnak az előzőekben leírt konk-rét szaktudományos példái nyomán. Az általunk tanulmányozott matematikai fela-datnak sokféle szaktudományos tartalom adható. Ez azt mutatja, hogy a matema-tikai modellekben való gondolkodás többféle szempontból is előnyös lehet. Egyrésztgazdaságos gondolkodást tesz lehetővé, hiszen egy modell megtanulásával többirá-nyú ismeretre tehetünk szert; másrészt az egyik szaktudományban használt ma-tematiai modell a gondolkodás „analógiákra” való támaszkodásával átvihető másszaktudományokba.

Az itt említett elv komolyan hangsúlyozott módszertani elve a tudományos el-méleteknek, modellek szerkesztésének.

Most pedig lássuk a példában kitűzött differenciálegyenlet megoldását. A (6.23).tétel alkalmazásához írjuk a (6.13) differenciálegyenletet az

1y

dy

dt= α

alakba. A tétel szerint ebből azt kapjuk, hogy teljesül a következő egyenlőség∫dy

ydy

∣∣∣∣y=y(t)

=∫αdt+ c,

amelybőlln y(t) = αt+ c, azaz y(t) = eαt+c.

A (6.14) kezdeti feltétel szerint

y(t0) = eαt0+c = β,

amiből c = lnβ − αt0, és így a keresett megoldást már kiszámolhatjuk:

y(t) = eαt+c = eαt+log β−αt0 = βeα(t−t0).

Az y(t) = βeα(t−t0) megoldást elemezve elmondhatjuk, hogy az egyedek számaigen gyorsan, exponenciális mértékben nő (vagy csökken, ha az α negatív). A nö-vekedés vizsgálata hasznos fogalomhoz vezet, ha a következő kérdésre válaszolunk.



Mennyi idő alatt kétszereződik meg a populáció? Ha egy t1 időpont után keres-sük azt a t2 időpontot, ahol kétszeres a populáció, akkor a következő egyenletbőlindulunk ki

βeα(t2−t0)

βeα(t1−t0)= 2.

Ebből azt kapjuk, hogy a kétszereződéshez szükséges t2 − t1 időtartam:

t2 − t1 =ln 2α.

Az az érdekes eredmény adódott tehát, hogy a megkétszereződés

ln 2α,

időtartama független mind a kiinduló t1 időponttól, mind a kezdeti β populációszámtól.

Ha a radioaktív bomlásra gondolunk, akkor ott csökkenés van, és ezért felezésiidőről szoktak beszélni.

Hozzávetőleges valóságos adatot említve földünk lakossága megkétszereződésé-nek az időtartama negyven év körül van. A fejlett országok növekedési üteme lénye-gesen kisebb, és a föld lakosságának a növekedését elsősorban a szegény országoklakosságának a növekedése adja.

Ez súlyos problémát vet fel, amit már régen felismertek, és egyik felfedezőjénekT. R. Malthus (1766-1834) angol közgaszdásznak a nevével szokták jegyezni. Eddigaz emberiség sikeresen megoldotta ezt a problémát, mert mind az ipari és mezőgaz-dasági termelés, mind az ezek fejlődését lehetővé tevő tudományos kutatás szinténa normális növekedés exponenciális függvénye szerint növekedtek.

A szaporodásnak, növekedésnek még három fajta megközelítésével foglalkozunk.A következő feladatban olyan növekedési modelt vizsgálunk, ahol a növekedés se-bessége nem az egyedek számával, hanem az egyedekből alakítható párok számávalarányos. Ilyen eset fordulhat elő olyan szaporodási kérdéseknél, amikor két egyedtalálkozásától nagyon erősen függ a szaporodás, amikor a párválasztás kritikusannehéz. Például valami olyan állatfaj esetében, ahol a nőstények igen nehezen ta-lálnak maguknak párt. Bizonyos fizikai-kémiai reakciók leírásában szerepelhet méghasonló differenciálegyenlet, ahol a kémiai reakció sebessége két komponens (rea-gens) koncentrációjától függ. Ekkor viszont a párok tagjainak „túlságosan gyakoritalálkozása” robbanáshoz vezethet.

6.25 Példa. (A robbanás egyenlete)Jelölje y az egyedek időtől függő számát egy populációban. Tegyük fel, hogy az egyed-szám növekedésének a sebessége arányos az y2-tel, azaz az y(t) függvény eleget tesza

dy

dt= αy2 (6.15)

differenciálegyenletnek. Keressük meg, és elemezzük a megoldásokat.

A (6.23). tétel alkalmazásához írjuk a (6.15) differenciálegyenletet az

1y2

dy

dt= α


y2

∣∣∣∣y=y(t)

=∫αdt+ c,



amiből− 1y(t)

= αt+ c, azaz y(t) =1

−αt− c.

A megoldásnak nyilvánvalóan pozitívnek kell lennie, ezért csak olyan c konstans jö-het szóba, amelyre −αt−c > 0, azaz −c > αt. A megoldásfüggvény képe hiperbola,amelynek az t = − c

α egyenes a függőleges asszimptotája. E függvény által leírt fo-lyamat kis t értékek mellett lassabban nő, mint az exponenciális függvény, a − c

αponthoz közel viszont a folyamat robbanásszerűen nő, hiszen a függvény határértékea − c

α helyen végtelen. Ez utóbbiból ered a folyamat elnevezése.

6.26 Példa. (Korlátozott normális növekedés egyenlete)Tegyük fel, hogy egy populáció egyedei y számának a növekedési sebessége arányosegy A határesetnek és a pillanatnyi populáció számának az (A − y) különbségével,azaz az y(t) populáció szám kielégíti az alábbi differenciálegyenletet.

dy

dt= α(A− y), (6.16)

ahol t az időt jelöli. Oldjuk meg az egyenletet és analizáljuk a megoldást.


1A− y

dy

dt= α

alakba. A tétel szerint ebből azt kapjuk, hogy teljesül a következő egyenlőség∫1

A− ydy

∣∣∣∣y=y(t)

=∫αdt+ c,

Itt most óvatosan kell eljárnunk, mert az A−y mennyiség negatív és pozitív egyarántlehet, aszerint hogy a folyamat felülről vagy alulról közelíti az A határ-populációszámot.1. eset: Ha A− y > 0, akkor az előző számolás folytatása:

− ln(A− y(t)) = αt+ c, azaz y(t) = A− e−αt−c.

2. eset: Ha A− y < 0, akkor pedig a kiinduló számolás folytatása:

ln(y(t)−A) = −αt+ c, azaz y(t) = A+ e−αt+c.

Ha alaposan megnézzük a két megoldást, akkor azok alakja

y(t) = A+ Ce−αt (6.17)

ahol a C konstans az első esetben −e−c, a második esetben pedig ec.

A kapott függvény görbéjének a viselkedése könnyen leírható. Természetesenfeltételezhetjük, hogy az A növekedési határ pozitív. Három esetet különböztetünkmeg. (Az elmondottakat a differenciálható függvények diszkussziójánál tanultakszerint ellenőrizzük.)

C < 0: Ekkor az y függvény a t = 0 helyen az A+C értéket veszi fel, onnan monotonnövekedőleg, exponenciális mértékben tart az A számhoz, és konkáv.

C > 0: Ekkor a függvény a t = 0 helyen A + C, ettől kezdve monoton fogyóan tartaz A-hoz, konvex.

C = 0: A függvény állandó.



A következő példánkban szereplő növekedési folyamat különösen fontos, sokszorhasznált a közgazdaságtanban. A normális szaporodás esetében feltételeztük, hogya szaporodásnak nincs akadálya, a korlátozott szaporodásnál egy fix határ hely-zethez tartott a populáció száma. Most pedig egy olyan szaporodási folyamatotképzeljünk el, ahol az egyedek szaporodását az élelemért vagy egyéb jószágért foly-tatott versengés gátolja. Ilyen esetben úgy gondolkodhatunk, hogy eleinte olyana helyzet, mintha normális szaporodásról lenne szó, mert kis egyed számnál nemgátolják egymást a szaporodásban. A kezdeti növekedést gyors növekedés követi,majd pedig lassú növekedés áll be, és végül tart egy fix állapothoz. Az ilyen görbékgráfjai egy nagy „S” betűre hasonlítanak, és valóban szokták is ezeket S-görbékneknevezni. Más elnevezés: logisztikus görbe. Ezen heurisztikus bevezetés után lássuka pontos folyamatot.

6.27 Példa.Tegyük fel, hogy egy populáció t időbeli egyedei számának a növekedési sebességearányos az egyedek számának és egy határhelyzetnek és az egyedek száma különbsé-gének a szorzatával. Pontos formális fogalmazással: Az y(t) populációszám elegettesz a következő differenciálegyenletnek:

dy

dt= α(A− y)y. (6.18)

Ennek a differenciálegyenleteknek a megoldásait logisztikus függvényeknek szokásnevezni vagy S-görbéknek. Oldjuk meg az egyenletet és analizáljuk a megoldásokat.

Megjegyezzük, hogy az egyenletben szereplő szorzat azt mutatja, hogy az egyedeky számát és az (A−y) különbséget a folyamatra „függetlenül” ható tényezőknek kép-zeljük el.


1(A− y)y

dy

dt= α


(A− y)y

∣∣∣∣y=y(t)

=∫αdt+ c. (6.19)

A baloldali integrál meghatározásához felhasználjuk a következő azonosságot

1(A− y)y

=1A

(1y

+1

A− y

).

Ennek alapján a (6.19) egyenlőség az alábbi formába írható:

1A

(∫dy

ydy +

∫dy

A− ydy

)∣∣∣∣y=y(t)

= αt+ c.

A baloldali első integrál ln y, mivel az y-ról feltehetjük, hogy pozitív, a másik integrálkiszámításánál gondolni kell arra, hogy az A− y pozitív és negatív egyaránt lehet.Ha A− y > 0, akkor ∫

1A− y

dy = − log(A− y) + c;

ha pedig A− y < 0, akkor∫1

A− ydy = −

∫1

y −Ady = − ln(y −A) + c.



Számoljunk most tovább ezen két eset szerint: Ha (A− y) > 0, akkor

1A

(ln y(t)− ln(A− y(t))

)= αt+ c.

Fejezzük ki ebből az y változót:

ln(

y

A− y

)= αAt+Ac, azaz

y

A− y= eαAt+Ac.

Ebből egyszerű számolással kapjuk, hogy

y =AeαAt+Ac

1 + eαAt+Ac=

A

1 + e−(αAt+Ac)(6.20)

Ha (A− y) < 0, akkor

1A

(ln y(t)− ln(y(t)−A)

)= αt+ c.

Kifejezve az y változót, hasonlóan számolva, mint az előbb azt kapjuk, hogy

y(t) =AeαAt+Ac

eαAt+Ac − 1=

A

1− e−(αAt+Ac).

A következő tételben még egy differenciálegyenlet-típus megoldását határozzukmeg:

6.28 Állítás.Legyenek az u és v függvények valamilyen (a, b) intervallumban definiálva, és tekint-sük az

dy

dx+ u(x) · y = v(x) (6.21)

differenciálegyenletet. Ha az u függvénynek van U antideriváltja, akkor az y függ-vény pontosan akkor elégíti ki a (6.21) differenciálegyenletet, ha

y(x) = e−U(x)

(∫v(x)eU(x) dx+ c

), (6.22)

feltéve, hogy a képletben szereplő antiderivált létezik.

Bizonyítás. Szorozzuk meg a (6.21) differenciálegyenletet az exp(U(x)) sehol semnulla függvénnyel, ahol az U az u egy antideriváltja:

eU(x) dy

dx+ u(x)eU(x) · y = v(x)eU(x). (6.23)

Ezen egyenlet bal oldalán két összeadandó van. Az első összeadandó az eU(x) függ-vénynek és az y függvény deriváltjának a szorzata; a második tag pedig az eU(x)

függvény u(x)eU(x) deriváltjának és az y függvénynek a szorzata. Az elmondottakalapján észrevehetjük, hogy a (6.23) baloldala az eU(x) ·y(x) szorzatnak a deriváltja,tehát azt írhatjuk, hogy

d

dx

(eU(x) · y(x)

)= v(x)eU(x),

amiből — feltéve, hogy a v(x)eU(x) függvénynek van antideriváltja — azt kapjuk,hogy

eU(x)y =∫v(x)eU(x) dx+ c.



Ebben pedig már csak az eU(x) függvénnyel kell osztanunk, hogy hozzájussunk a(6.22) formulához.

A most bevezetett differenciálegyenletre is oldjunk meg egy gazdasági tartalom-mal bíró feladatot.

6.29 Példa.Tegyük fel, hogy egy tevékenység valamilyen t dőpontban y(t) mennyiségű termékethoz létre, ami három formában kerül felhasználásra:

1: Az y termékmennyiség αy, α-hányadát a maga a termelés használja fel. (Gon-doljunk például az energiatermelésre vagy a szénbányászatra.)

2: A termelés növekedési sebességével arányos βy′ termékmennyiséget a termelésnövelésére, korszerűsítésére fordítják.

3: A terméknek az idővel arányos γt mennyisége tiszta kibocsátásként kerül érté-kesítésre.

Írjunk fel ezek alapján differenciálegyenletet az y függvényre, és oldjuk meg.

A kívánt egyenlet a mondottak alapján nyilvánvalóan

y(t) = αy(t) + βy′(t) + γt,

amiből alkalmas rendezéssel az

y′(t) +α− 1β

y(t) = −γβt (6.24)

differenciálegyenletet kapjuk, ami az előző tételben tárgyalt típusú. Az egyszerűbbjelölések kedvéért vezessük be a

δ =α− 1β

és ε = −γβ

(6.25)

rövidítéseket. Ezekkel a jelölésekkel az

y′(t) + δy(t) = εt (6.26)

differenciálegyenletet kell megoldani. A (6.22) formula alapján, mivel a δ antideri-váltja a δt, adódik, hogy

y(t) = e−δt

(∫eδtεt dt+ c

). (6.27)

A jobboldali határozatlan integrált parciális integrálással számolhatjuk ki:∫eδt︸︷︷︸f ′

· t︸︷︷︸g

dt =eδt

δ︸︷︷︸f

· t︸︷︷︸g

−∫

eδt

δ︸︷︷︸f

· 1︸︷︷︸g′

dt =teδt

δ− eδt

δ2.

Ha az itt kapott eredményt behelyettesítjük a (6.27) egyenletbe, akkor

y(t) =εt

δ− ε

δ2+ ce−δt,

amibe a δ és ε definícióját a (6.25) szerint behelyettesítve az eredmény:

y(t) =γ

1− αt+

γβ

(1− α)2+ ce

1−αβ t.

Azonnal látszik, hogy az exponenciális tag miatt a folyamat igen sebesen nő vagyfogy.


7. fejezet

Határozott integrál

A matematikai analízis bevezetésével foglalkozó könyvek gyakori címe: „Bevezetésa differenciál- és integrálszámításba”. A differenciálszámítással és annak a meg-fordításával a határozatlan integrálnak a kiszámításával már foglalkoztunk. Ezzeltúljutottunk a „kalkulus” jellegű témakörök döntő részén. Ebben a fejezetben a ha-tározott integrál fogalmával ismerkedünk meg. A fejezet jórészt elméleti lesz, merta számítási módszerek már rendelkezésünkre állnak.

A határozatlan integrál voltaképpen a deriválás megfordítása, és így sokkal lo-gikusabb az antiderivált szó használata. A határozott integrál az „igazi” integrál-fogalom, és el szokás hagyni a „határozott” jelzőt. Többféle integrálfogalom is van,és mi — a hagyományokat követve — a Riemann nevével jelzett integrálfogalmatvezetjük be.

Az első pontban a Riemann-integrál elméletének az alapjait írjuk le. A másodikpontban a számítási módszereket gyüjtjük egybe, és feladatokat oldunk meg. Aharmadik pontban a Riemann-integrál egy kiterjesztését, az improprius integrálfogalmát tárgyaljuk.

7.1. A Riemann-integrál elméleteA kiinduló geometriai problémánk most a következő. Vegyünk egy f : [a, b] → Rleképezést, és tegyük fel a kérdést: Hogyan tudnánk megalkotni a függvény gra-fikonja és az x tengely közötti terület fogalmát. Szándékosan kerültük annak aszónak a használatát, hogy ki szeretnénk számítani a szóbanforgó területet, mertilyen általános halmaz területét még nem definiáltuk. Éppen a tárgyalandó integ-rálfogalmon keresztül fogjuk megadni a terület fogalmát, ahogyan az érintőt is adifferenciálhányadoson keresztül definiáltuk.

Feltesszük, hogy ismerjük az α és β oldalhosszúságú téglalap területét: α · β.Ebből kiindulva szeretnénk megragadni a görbe alatti terület fogalmát, a következőalapelv szerint: Olyan téglalapokkal töltjük ki a görbe alatti halmazt, amelyeka lehetőségekhez képest nagyon kis részt hagynak lefedetlenül, és egyre finomabblefedést tesznek lehetővé (7.2. ábra).

Az első alpont tartalmazza a Riemann-integrállal kapcsolatos definíciókat ésalapvető bevezető állításokat. A második alpont az integrál legfontosabb tulaj-donságaival foglalkozik, amelyek jórészt arra vonatkoznak, hogy milyen függvényekintegrálhatók. A harmadik alpont a határozott integrál és a deriválás közötti kapcso-latokkal foglalkozik. Itt lesz világossá, hogy mi a „határozatlan integrál” elnevezésoka.

201

7.1. A RIEMANN-INTEGRÁL ELMÉLETE 202

7.1. ábra. Az [a, b] egy felosztása.

7.1.1. A Riemann-integrál definíciójaA határozott integrál definíciójában kiinduló fogalom az intervallumok felosztása:

7.1 Definíció. (Intervallum felosztása)Legyenek az x0, x1, . . ., xn−1 és xn olyan pontjai az [a, b] intervallumnak, hogy

x0 = a, xn = b és x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn.

Ekkor az x0, x1, . . . , xn−1, xn pontok az [a, b] intervallumnak az

[xi, xi+1], i = 0, 1, . . . , n− 1

részintervallumokra való felosztását határozzák meg. A felosztásban szereplő részin-tervallumok hosszának a jelölése:

∆xi = xi+1 − xi, i = 0, 1, . . . , n− 1.

A felosztást megadó x0, x1, . . . , xn pontokat a felosztás osztópontjainak mondjuk.Az [a, b] intervallum felosztásainak az összességét D([a, b])-vel fogjuk jelölni.

A 7.1. ábrán szemléltetünk egy felosztást. A definíció szerint egy felosztástaz osztópontjai határoznak meg. A felosztások tömörebb jelölésére nagy betűketfogunk használni, és ha például az I jelöli az x0, x1, . . ., xn osztópontok általmegadott felosztást, akkor azt írjuk, hogy

I = x0, x1, . . . , xn.

A felosztások D([a, b]) összességén egy relációt definiálunk a következők szerint.

7.2 Definíció. (Felosztások finomsága)Az [a, b] intervallum egy J felosztására azt mondjuk, hogy finomabb, mint az I fel-osztás — jelölésben: I J — ha az I felosztás minden osztópontja osztópontja aJ felosztásnak is. Ha ezen kívül a J felosztásnak van olyan osztópontja, ami nemosztópontja az I felosztásnak, akkor a J szigorúan finomabb mint az I.

7.3 Állítás.Az [a, b] felosztásainak a D([a, b]) összességén a finomság „” relációja parciálisrendezés.

Bizonyítás. Reflexivitás: A definíció szerint nyilvánvalóan I I minden I fel-osztásra. Antiszimmetria: Ha I J és J I, akkor az I minden osztópontjaa J-nek is osztópontja és megfordítva, ezért I = J . Tranzitivitás: Ha I Jés J K, akkor az I minden osztópontja osztópontja a J-nek, de a J mindenosztópontja osztópontja a K-nak is, ezért az I minden osztópontja a K-nak is osz-tópontja, tehát I K.



7.2. ábra. Az integrál közelítő összegek

Az a és b pontok az [a, b] intervallum minden felosztásának osztópontjai, ezértaz a, b felosztásnál minden felosztás finomabb, amit úgy is mondhatunk, hogyaz a, b a legdurvább felosztás. Legfinomabb felosztásról nem beszélhetünk, hiszentetszőleges felosztáshoz hozzávéve még egy osztópontot, finomabb felosztást kapunk.

Ha az I és J két tetszőleges felosztás, akkor könnyű olyan felosztást mondani,amelyik mindkettőnél finomabb: például az a felosztás, amelyiknek az osztópontjaiaz I és J osztópontjainak az egyesítése. Ezt a felosztást az I és J felosztások közösfinomításának fogjuk nevezni.

Most pedig, a görbe alatti terület alsó és felső megközelítéséhez, definiáljuk afelosztásokhoz tartozó közelítő összegeket. A 7.2. ábrán illusztráljuk a háromféleösszeget.

7.4 Definíció. (Alsó és felső közelítő összegek)Legyen az f függvény az [a, b] intervallumon korlátos, és az I .= x0, x1, . . . , xnaz intervallum egy felosztása. Az f függvényhez és az I felosztáshoz a következőközelítő összegeket vezetjük be.

1) Alsó közelítő összeg (röviden: alsó összeg):

s(f, I) .=n∑

i=1

(xi − xi−1) · infx∈[xi−1,xi]

f(x) =n∑

i=1

∆xi−1 · infx∈[xi−1,xi]

f(x).

2) Felső közelítő összeg (röviden: felső összeg):

S(f, I) .=n∑

i=1

(xi − xi−1) · supx∈[xi−1,xi]

f(x) =n∑

i=1

∆xi−1 · supx∈[xi−1,xi]

f(x),

3) Egy közbülső közelítő összeg (röviden: közbülső összeg):

m(f, I) .=n∑

i=1

(xi − xi−1)f(ξi) =n∑

i=1

∆xi−1 · f(ξi), ξi ∈ [a, b].

A definíciók értelmességéhez először is jegyezzük meg, hogy a bennük szereplőalsó és felső határok léteznek, mivel az f függvény korlátos. Hangsúlyozzuk, hogy aközbülső közelítő összeg definíciójában lévő ξi szám tetszőleges az [xi−1, xi] interval-lumban, tehát ilyen m(f, I) összeg — ellentétben az alsó és felső közelítő összegekkel— sok van (ezért írtuk a definícióban az „egy” névelőt).



A közelítő összegek az f és I objektumokon kívül természetesen függenek az[a, b] intervallumtól is, de ezt a jelölésekben nem hangsúlyoztuk, de lesz alkalom,amikor erre is szükség lesz. A következő állításban összefoglaljuk a közelítő összegeklegfontosabb tulajdonságait.

7.5 Állítás. (Közelítő összegek tulajdonságai)A 7.4. definíció jelöléseivel, az integrál közelítő összegeknek a következő tulajdonsá-gai vannak.

(1) Minden I felosztás esetében

s(f, I) ≤ m(f, I) ≤ S(f, I).

(2) Ha az I felosztás finomabb, mint a J felosztás, akkor

s(f, J) ≤ s(f, I) és S(f, J) ≥ S(f, I).

(3) Tetszőleges I és J felosztásokra

s(f, I) ≤ S(f, J).

(4) Az alsó közelítő összegek halmazának van felső, a felső közelítő összegek hal-mazának pedig alsó határa, és

supIs(f, I) ≤ inf

IS(f, I).

A tétel első három állítását célszerű szavakban is megfogalmazni:1) Egy felosztáshoz tartozó alsó és felső közelítő összeg közrefogja a felosztáshoz

tartozó közbülső közelítő összegeket.2) A felosztások finomításával az alsó közelítő összegek monoton nőnek, a felső

közelítő összegek pedig monoton csökkennek.3) Minden alsó közelítő összeg kisebb minden felső közelítő összegnél, a felosz-

tásoktól függetlenül.A (2) tulajdonság — a felosztásokra bevezetett, „” szimbólummal jelölt finom-

ság parciális rendezésével megfogalmazva — így is írható:

I J ⇒ s(f, I) ≤ s(f, J) és I J ⇒ S(f, J) ≤ S(f, I).

Bizonyítás. (1): Mivel az

infx∈[xi−1,xi]

f(x) ≤ f(ξi) ≤ supx∈[xi−1,xi]

f(x)

egyenlőtlenség alapján

infx∈[xi−1,xi]

f(x) ∆xi−1 ≤ f(ξi) ∆xi−1 ≤ supx∈[xi−1,xi]

f(x) ∆xi−1,

ezértn∑

i=1

infx∈[xi−1,xi]

f(x) ∆xi−1 ≤n∑

i=1

f(ξi) ∆xi−1 ≤n∑

i=1

supx∈[xi−1,xi]

f(x) ∆xi−1.

(2): Lássuk először az alsó közelítő összegek esetét. Elégséges azt megmutatnunk,hogy egy új osztópont közbeiktatásával az alsó közelítő összeg növekedik (nem csök-ken), mivel ezen az úton egy felosztásból egy tetszőleges nála finomabb felosztáshozeljuthatunk.



7.3. ábra. Egy osztópont közbeiktatásának a hatása.

Legyen az I .= x0, x1, . . . , xn egy tetszőleges felosztása az [a, b] intervallumnak.Azt a felosztást, amelyik abban különbözik az I felosztástól, hogy van egy új ωosztópontja, amelyre xi−1 < ω < xi, jelöljük J-vel. Ekkor az s(f, I) és s(f, J)összeg csak abban az összeadandóban tér el, amelyikben az új osztópont van (7.3.ábra), mégpedig

s(f, I)− s(f, J) = (xi − xi−1) · infx∈[xi−1,xi]

f(x)−((ω − xi−1) inf

x∈[xi−1,ω]f(x) + (xi − ω) inf

x∈[ω,xi]f(x)

).

Ebből pedig, mivel

infx∈[xi−1,xi]

f(x) ≤ infx∈[xi−1,ω]

f(x) és infx∈[xi−1,xi]

f(x) ≤ infx∈[ω,xi]

f(x)

a következő egyenlőtlenséget kapjuk:

s(f, I)− s(f, J) ≤ (xi − xi−1) infx∈[xi−1,xi]

f(x)−

(ω − xi−1) infx∈[xi−1,xi]

f(x)− (xi − ω) · infx∈[xi−1,xi]

f(x) =

= (xi − xi−1 − (ω − xi−1)− (xi − ω)) · infx∈[xi−1,xi]

f(x) =,

tehát s(f, I) − s(f, J) ≤ 0, azaz s(f, I) ≥ s(f, J). A felső közelítő összegekrevonatkozó megfelelő állítás bizonyítását az olvasóra hagyjuk.(3): Jelöljük L-lel azt a felosztást, amelynek az osztópontjai az I és J felosztásokosztópontjainak az egyesítése (az I és J közös finomítása). Az L felosztás finomabbmind az I mind a J felosztásnál, ezért a jelenlegi tétel már belátott (2) állításaalapján

s(f, I) ≤ s(f, L) és S(f, L) ≤ S(f, J),

Ebből pedig, mivel az (1) állítás szerint s(f, L) ≤ S(f, L), azonnal adódik, hogys(f, I) ≤ S(f, J).(4): Az előbb belátott állítás szerint az alsó közelítő összegek halmaza felülrőlkorlátos, hiszen egy tetszőleges felső közelítő összeg felső korlát, ezért az alsó köze-lítő összegeknek van felső határa. Hasonlóan indokolható az, hogy a felső közelítőösszegeknek van alsó határa. Az állított egyenlőtlenség az alsó és felső határ defi-níciójából azonnal következik.



Induljunk most ki az előbbi tétel (4) és (3) állításából. Ezek szerint az f alsóközelítő öszegeinek a felső határa nem nagyobb, mint a felső közelítő összegek alsóhatára, azaz formálisan:

supIs(f, I) ≤ inf

IS(f, I),

ahol az I az [a, b] egy tetszőleges felosztása. Számunkra az az eset a döntő, amikoregyenlőség van, amit a következő definícióban rögzítünk.

7.6 Definíció.Egy f : [a, b] → R korlátos függvényt (Riemann szerint) integrálhatónak mondunk,ha az alsó közelítő összegek felső határa megegyezik a felső közelítő összegek alsóhatárával. Az egyező értéket az f függvény [a, b] intervallumon vett (Riemann) in-tegráljának mondjuk, és a következőképpen jelöljük:∫ b

a

f(x) dx, vagy∫ b

a

f

Megállapodunk abban, hogy∫ a

a

f(x) dx = 0 és∫ a

b

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx.

Az adott f : [a, b] → R függvényhez két számhalmazt rendeltünk a közelítőösszegekkel:

A.= v : v = s(f, I), az I tetszőleges felosztás,

B.= v : v = S(f, I), az I tetszőleges felosztás.

Az A és B számhalmazok elhelyezkedése a számegyenesen: Az A egy tetszőlegeseleme kisebb a B egy tetszőleges eleménél. Az A-nak van szuprémuma, a B-nekpedig infimuma. Az f pontosan akkor integrálható, ha az A és B halmazok „közé”csak egyetlen szám esik. Ennek a — lényegében véve határérték — fogalomnaka felismerése speciális esetekben, konkrét területek és térfogatok meghatározásánálmár az antik korban megtörtént (Archimedesz).

A jelölés hasonló a határozatlan integrál jelöléséhez, és ennek — mint látnifogjuk — megvan az alapos oka. A határozott integrál jelölésének az eredete azelsődleges, és onnan származik, hogy a közbülső összeg∑

f(ξi)∆xi−1

alakjában a szumma jelből a stilizált görög nagy „S” lett, a ∆xi−1-ből pedig a dx.A következő tételben egyszerű kritériumot adunk egy függvény határozott in-

tegráljának a létezésére:

7.7 Állítás. (Integrálhatóság jellemzése. I.)Egy f : [a, b] → R korlátos függvény pontosan akkor integrálható, ha tetszőleges εpozitív számhoz van olyan

I = x0, x1, . . . , xn

felosztása az [a, b] intervallumnak, hogy

Ω(f, I) .= S(f, I)− s(f, I) =

=n∑

i=1

(xi − xi−1) ·

(sup

x∈[xi−1,xi]

f(x)− infx∈[xi−1,xi]

f(x)

)≤ ε.



A tételben szereplő, Ω(f, I) összeget oszcillációs összegnek szokás nevezni. Azállítás szerint, röviden fogalmazva, az integrálhatóság szükséges és elégséges felté-tele az, hogy az oszcillációs összeg „tetszőlegesen kicsi” (adott ε-nál kisebb) legyenalkalmas felosztás mellett.

Bizonyítás. Ha a tétel feltétele teljesül, akkor az f integrálható: Tetszőleges εpozitív számhoz van olyan I felosztás, amelyre

0 ≤ S(f, I)− s(f, I) ≤ ε.

Eszerint két α ≤ β szám csak akkor eshet az s(f, I) és S(f, I) (az I tetszőlegesfelosztás) számok közé, ha β−α ≤ ε. Ebből pedig — mivel az ε tetszőleges pozitívszám — adódik, hogy α = β, tehát az alsó és felső közelítő összegek közé egyetlenszám eshet, és így az f integrálható.

Ha az f integrálható, akkor teljesül a tétel feltétele: Legyen az ε egy tetszőlegespozitív szám. Mivel csak egy szám esik az alsó és felső közelítő összegek közé, ezértvan olyan s(f, I) alsó és S(f, J) felső közelítő összeg, hogy

S(f, J)− s(f, I) ≤ ε. (7.1)

Az az L felosztás, amelynek az osztópontjai az I és J osztópontjainak az egyesítése,finomabb mindkét felosztásnál, és így a 7.5. (2) állítás felhasználásával

S(f, J)− s(f, I) ≥ S(f, L)− s(f, L),

amiből a (7.1) egyenlőtenség szerint adódik, hogy

S(f, L)− s(f, L) ≤ ε,

tehát az L felosztással teljesül a tétel feltétele.

7.8 Állítás. (Integrálhatóság jellemzése.II.)Az f korlátos függvény pontosan akkor integrálható, ha van olyan A szám, hogytetszőleges ε pozitív számhoz létezik olyan I felosztás, hogy minden ennél finomabbJ felosztásra

A− s(f, J) ≤ ε és S(f, J)−A ≤ ε.

Ekkor az A szám az integrál értéke: A =∫ b

af(x) dx.

Szavakban, röviden: Az alsó közelítő összegek alulról, a felső közelítő összegekpedig felülről előírt pontossággal megközelítik az integrált, ha a felosztás eléggéfinom.

Bizonyítás. Az A szám pontosan akkor felső határa az alsó közelítő összegeknek,ha minden ε pozitív számhoz van olyan I1 felosztás, hogy

0 ≤ A− s(f, I1) ≤ ε.

Hasonlóan járva el van olyan I2 felosztás, hogy

0 ≤ S(f, I1)−A ≤ ε.

Az I1 és I2 felosztások kozös finomítását I-vel jelölve — mivel az 7.5.(2) állításszerint s(f, I1) 5 s(f, I) és S(f, I2) ≤ S(f, I) — kapjuk, hogy

0 ≤ A− s(f, I) ≤ ε és 0 ≤ S(f, I)−A ≤ ε.

Ebből viszont, ugyancsak az 7.5.(2) állítás felhasználásával adódik, hogy

0 ≤ A− s(f, J) ≤ ε és 0 ≤ S(f, J)−A ≤ ε,



ha a J finomabb, mint az I.

A következő pontban a határozott integrál kiszámítására hatékony kalkulustfogunk bevezetni, de a definíció tartalmának és az illusztrációnak a kedvéért mostközvetlen módon is megoldunk három példát.

7.9 Példa.Határozzuk meg az [a, b] intervallumon konstans függvény határozott integrálját.

Legyen a konstans c, és jelölje a függvényt a h. Tetszőleges

I = x0, x1, . . . , xn

felosztás mellett

s(h, I) = S(h, I) =n∑1

c · (xi+1 − xi) = c(xn − x0) = c(b− a),

tehát a h integrálható, és az integrálja c(b− a).

7.10 Példa.Számítsuk ki az x 7→ x függvény határozott integrálját az [0, 1] intervallumon.

A definíció alkalmazásához célravezető, ha a következő In felosztást vesszük,

0,1n,2n, . . . ,

n− 1n

, 1.

Ekkor az alsó közelítő összegek

s(x, In) =n∑

i=1

1n

i− 1n

=1n2

(1 + · · ·+ (n− 1)) =

=1n2

(n− 1)n2

=12− 1

2n.

A felső közelítő összegeket hasonlóan számolhatjuk:

S(x, In) =n∑

i=1

1n

i

n=

=1n2

(1 + · · ·+ n) =1n2

n(n+ 1)2

=12

+12n.

Eszerint Ω(f, In) ≤ 1/n és így a 7.7. állítás miatt az x függvény integrálható, és azintegrál értéke minden n-re az

12− 1

2nés

12

+12n

között keresendő, ami nyilvánvalóan csak az 1/2 lehet.

A következő feladat azért érdekes, mert példát ad olyan korlátos függvényre,amelyik definíciónk szerint nem integrálható.

7.11 Példa.Legyen a g(x) x ∈ [0, 1] függvény értéke egy, ha az x racionális, és kettő, ha azx irracionális. Számoljuk ki az alsó illetve felső közelítő összegek felső illetve alsóhatárát.

Tetszőleges I felosztás mellett egy részintervallumon a függvény infimuma (mini-muma) 1, a szuprémuma (maximuma) pedig 2, mivel minden (valódi) intervallu-mon van mind racionális mind irracionális szám. Emiatt az alsó közelítő összeg arészintervallumok összege, azaz 1, hasonlóan a felső közelítő összeg értéke 2. Emiattaz alsó közelítő összegek felső határa 1, az felső közelítő összegek alsó határa pedig2, és mivel ezek különbözőek, ezért a függvény nem integrálható.



7.1.2. Integrálhatósági tételekEzt az alpontot két erősen összefüggő kérdés vizsgálatára szánjuk. Egyrészt meg-vizsgáljuk, hogyan viselkedik az integrálás a függvényekkel végzett operációkkalszemben, másrészt megnézzük, hogy a függvények milyen körére terjed ki az integ-rálhatóság.

Az első kérdés — az előzőekben már használt elnevezésünk szerint — az integ-rálás formális szabályait jelenti. Ennek keretében először is belátjuk, hogy egy [a, b]intervallumon integrálható függvények összessége vektortér. Ehhez szükségünk lesza következő egyszerű állításra, aminek a bebizonyítását az olvasóra bízzuk.

7.12 Állítás.Legyenek az f és g az [a, b] intervallumon integrálható függvények. Ekkor tetszőlegesL felosztásra

s(f, L) + s(g, L) ≤ s(f + g, L) és S(f, L) + S(g, L) ≥ S(f + g, L).

Ha a λ egy szám:

λs(f, L) = s(λf, L) és λS(f, L) = S(λf, L) ha λ > 0,λs(f, L) = −S(λf, L) és λS(f, L) = −s(λf, L) ha λ < 0.

7.13 Állítás. (Összeg és számszoros integrálhatósága)Legyenek f és g az [a, b] intervallumon integrálható függvények, és a λ tetszőlegesvalós szám. Ekkor az f + g és λf függvények is integrálhatóak, és

(1)∫ b

a

[f(x) + g(x)

]dx =

∫ b

a

f(x) dx+∫ b

a

g(x) dx,

(2)∫ b

a

λf(x) dx = λ ·∫ b

a

f(x) dx.

Bizonyítás. (1): Mivel az f és g függvények integrálhatóak, ezért — a 7.8. ál-lítás szerint — adott ε pozitív számhoz van olyan I felosztás, hogy minden ennélfinomabb L felosztásra∫ b

a

f(x) dx− s(f, L) ≤ ε/2 és S(f, L)−∫ b

a

f(x) dx ≤ ε/2. (7.2)

Hasonlóan, van olyan J felosztás, hogy minden ennél finomabb L felosztásra∫ b

a

g(x) dx− s(f, L) ≤ ε/2 és S(f, L)−∫ b

a

g(x) dx ≤ ε/2. (7.3)

Ezek szerint az (7.2) és (7.3) egyenlőtlenségek teljesülnek, ha az L finomabb, mint azI és J felosztások közös finomítása, és így a megfelelő egyenlőtlenségek összeadásávalazt kapjuk, hogy∫ b

a

f(x) dx+∫ b

a

g(x) dx−[s(f, L) + s(g, L)

]≤ ε,

és

S(f, L) + S(g, L)−

[∫ b

a

f(x) dx+∫ b

a

g(x) dx

]≤ ε,

ha az L finomabb, mint az I és J felosztások közös finomítása. Ezekből pedig,figyelembe véve, hogy

s(f, L) + s(g, L) ≤ s(f + g, L) és S(f, L) + S(g, L) ≥ S(f + g, L)



(az előző állítás) azt kapjuk, hogy∫ b

a

f(x) dx+∫ b

a

g(x) dx− s(f + g, L) ≤ ε,

és

S(f + g, L)−

[∫ b

a

f(x) dx+∫ b

a

g(x) dx

]≤ ε,

ha az L felosztás finomabb, mint az I és J közös finomítása. Ez pedig a 7.8. állításszerint éppen azt jelenti, hogy az (f + g) integrálható és az integrálja∫ b

a

f(x) dx+∫ b

a

g(x) dx.

(2): Ha a λ szám nulla, akkor nyilvánvalóan igaz az állítás, ezért a továbbiakbanfeltesszük, hogy λ 6= 0. Mivel az f integrálható, ezért adott ε pozitív számhoz vanolyan I felosztás, hogy∫ b

a

f(x) dx− s(f, L) ≤ ε

|λ|és S(f, L)−

∫ b

a

f(x) dx ≤ ε

|λ|,

minden az I-nél finomabb L felosztásra. Ezeket az egyenlőtlenségeket a |λ| pozitívszámmal szorozva az adódik, hogy

|λ|∫ b

a

f(x) dx− |λ|s(f, L) ≤ ε és |λ|S(f, L)− |λ|∫ b

a

f(x) dx ≤ ε.

Tovább alakítva, aszerint hogy a λ milyen előjelű, figyelembe véve, hogy

λs(f, L) = s(λf, L) és λS(f, L) = S(λf, L) ha λ > 0,

ésλs(f, L) = −S(λf, L) és λS(f, L) = −s(λf, L) ha λ < 0,

(az előző állítás) a következőképpen számolhatunk tovább:λ > 0:

λ

∫ b

a

f(x) dx− s(λf, L) ≤ ε és S(λf, L)− λ

∫ b

a

f(x) dx ≤ ε

és ebből már következik (7.8. állítás), hogy

λ

∫ b

a

f(x) dx =∫ b

a

λf(x) dx,

ha a λ pozitív.λ < 0:

−λ∫ b

a

f(x) dx+ S(λf, L) ≤ ε és − s(λf, L) + λ

∫ b

a

f(x) dx ≤ ε

és ez az előző esethez hasonlóan azt jelenti, hogy

λ

∫ b

a

f(x) dx =∫ b

a

λf(x) dx,

ha a λ negatív.

A következő két tételben a folytonos illetve a monoton függvények integrálha-tóságát bizonyítjuk be. Láttuk, hogy differenciálható leképezés folytonos, de meg-fordítva általában nem igaz. Az integrálhatóság viszont enyhébb megkötést jelenta függvényre, mint a folytonosság.



7.14 Állítás. (Folytonos függvény integrálhatósága)Ha az f : [a, b] → R függvény folytonos, akkor integrálható is az [a, b] intervallumon.

Bizonyítás. Először is jegyezzük meg, hogy egy zárt intervallumon folytonos függ-vény korlátos, mivel felveszi a maximumát és minimumát (3.31. tétel). A bizonyí-tásban a 7.7. integrálási kritériumot fogjuk használni.

Legyen az ε egy adott pozitív szám. Mivel zárt intervallumon folytonos függvényegyszersmind egyenletesen folytonos (3.37. tétel), ezért az ε/(b−a) pozitív számhozvan olyan δ pozitív szám, hogy

|f(x)− f(y)| ≤ ε

b− a, ha |x− y| ≤ δ. (7.4)

Legyen az I = x0, x1, . . . , xn egy olyan felosztás — mondjuk az egyenlőközűfelosztás — amelyben a részintervallumok hosszának a maximuma kisebb, mint δ.Ekkor (7.4) miatt

supx∈[xi−1,x1]

f(x)− infx∈[xi−1,x1]

f(x) ≤ ε

b− a,

és így a 7.7. tételben szereplő Ω(f, I) oszcillációs összegre a következőket írhatjuk

Ω(f, I) = S(f, I)− s(f, I) =

=n∑

i=1

(xi − xi−1)

(sup

x∈[xi−1,xi]


f(x)

)≤

=n∑

i=1

(xi − xi−1)ε

b− a= (b− a)

ε

b− a= ε,

amivel be is láttuk az f integrálhatóságát.

Egy monoton leképezés nem szükségképpen folytonos, de már a monotonitás isbiztosítja az integrálhatóságot.

7.15 Állítás. (Monoton függvény integrálhatósága)Ha az f : [a, b] → R leképezés monoton, akkor integrálható az [a, b] intervallumon.

Bizonyítás. Legyen az f függvény mondjuk monoton növekedő. Ekkor előszöris korlátos, mivel f(a) ≤ f(x) ≤ f(b). Feltehető, hogy f(a) < f(b), mivel ellen-kező esetben az állandó függvény integrálásáról lenne szó, amiről egy példában márláttuk, hogy integrálható, de adódik az előző tételből is, hiszen folytonos függvény.

Az integrálhatóság bizonyításához legyen az ε egy tetszőleges pozitív szám, ésaz I egy olyan felosztás, amelyben a részintervallumok hossza kisebb, mint

ε

f(b)− f(a), (f(a) < f(b)).

Az f egy [xi, xi+1] részintervallumon — monoton növekedése miatt — az xi-nél felveszi a minimumát, az xi+1-nél pedig a maximumát, ezért az oszcillációs összeg:

Ω(f, I) = S(f, I)− s(f, I) =

=n∑

i=1

(xi − xi−1)

(sup

x∈[xi−1,xi]


f(x)

)=

=n∑

i=1

(xi − xi−1)(f(xi)− f(xi−1)

)≤

n∑i=1

ε

f(b)− f(a)(f(xi)− f(xi−1)

)=



=ε

f(b)− f(a)·

n∑i=1

(f(xi)− f(xi−1)

)=

ε

f(b)− f(a)[f(b)− f(a)] = ε,

amivel be is láttuk az állítást.

A következő állítás röviden szólva: Ha az f integrálható és a g folytonos, ak-kor a g(f(x)) közvetett függvény is integrálható. Ha speciálisan f(x) = x, akkorg(f(x)) = g(x), és így a folytonos függvény integrálhatóságát kapjuk, ezért ez azállítás a folytonos függvény integrálhatóságát kimondó tétel általánosításaként fog-ható fel.

7.16 Állítás. (Közvetett függvény integrálhatósága)Legyen az f integrálható az [a, b] intervallumon, a g pedig egy [c, d] ⊇ f([a, b]) inter-vallumon definiált folytonos függvény. Ekkor a gf összetett függvény is integrálhatóaz [a, b] intervallumon.

Bizonyítás. A 7.7. állítást fogjuk kiindulópontnak venni. Eszerint azt kell belátni,hogy adott ε pozitív számhoz van olyan

I = x0, x1, . . . , xn

felosztás, amelyre

Ω(g f, I) =n∑

i=1

(xi − xi−1)

(sup

x∈[xi−1,xi]

g(f(x))− infx∈[xi−1,xi]

g(f(x))

)≤ ε. (7.5)

A bizonyítás vázlata: Ahhoz, hogy ezt az egyenlőséget belássuk, az összeg tagjaitkét csoportra osztjuk:

Ω(g f, I) = Ω1 + Ω2.

Az Ω1-be azok az tagok tartoznak, ahol az f értékei „kevéssé” térnek el egymástólaz [xi−1, xi] intervallumon. Ekkor a tagok megfelelően kicsik lesznek a g folytonos-sága miatt (úgy mint a folytonos függvény integrálhatóságának a bizonyításában).Az Ω2-be pedig azok a tagok tartoznak, amelyekre az előbbi nem teljesül. Ez azösszeg azért lesz kicsi, mert az f integrálhatósága miatt kicsi lesz a benne szereplőrészintervallumok összhossza.

Mivel egy korlátos és zárt intervallumon folytonos függvény egy szersmind egyen-letesen is folytonos, ezért tetszőleges ε1 pozitív számhoz van olyan δ pozitív szám,hogy

|g(u)− g(v)| < ε1, ha |u− v| < δ. (7.6)

Ennek az alapján az (7.5) alatt szereplő összegnek azon tagjait, ahol

|f(x)− f(y)| < δ, ha x, y ∈ [xi−1, xi]

vegyük bele az Ω1 összegbe. Erre (7.6) miatt a következő becslés adható:

Ω1 ≤n∑

i=1

(xi − xi−1)ε1 = (b− a)ε1. (7.7)

Az Ω összeg azon tagjainak az összegét, amelyek nem esnek be az Ω1 összegbe, azazahol az

|f(x)− f(y)| < δ, ha x, y ∈ [xi−1, xi]

feltétel nem teljesül, nevezzük Ω2-nek. Megmutatjuk, hogy ez is megfelelően ki-csi lesz, mivel kicsi lesz a benne szereplő részintervallumok összhossza. Mivel



az f függvény integrálható, ezért tetszőleges ε2 pozitív számhoz van olyan I =x0, x1, . . . , xn felosztás, hogy

Ω(f, I) =n∑

i=1

(xi − xi−1)

(sup

x∈[xi−1,xi]


f(x)

)< ε2. (7.8)

Az ε2 nyilvánvalóan nagyobb azon tagok összegénél is, amelyekben az f

e(f, [xi−1, xi]).= sup

x∈[xi−1,xi]


f(x)

eltérése nagyobb, mint az előző lépésben szerepelő δ szám, azaz∑e(f,xi−1,xi])≥δ

(xi − xi−1) · e(f, [xi−1, x1]) ≤ ε2,

amibőlδ ·

∑e(f,xi−1,xi])≥δ

(xi − xi−1) 5 ε2.

Ebből pedig azt kaptuk, hogy az Ω2 összeg tagjaiban szereplő részintervallumokhosszának az összege nem nagyobb, mint (ε2/δ), ezért — K-val jelölve az g függvényegy korlátját az [c, d] intervallumon, ami g f -nek is korlátja — azt kaptuk, hogy

Ω2 ≤ε2δ· 2K. (7.9)

A (7.7) és (7.9) egyenlőtlenségekből azt kapjuk, hogy

Ω(g f, I) = Ω1 + Ω2 ≤ ε1 · (b− a) +2ε2Kδ

. (7.10)

Ahogyan a bizonyítás elején kezdtük, az (7.5) egyenlőtlenséget szeretnénk tetsző-leges 0 < ε esetére biztosítani: Ω(g f, I) ≤ ε. Ezt elérhetjük, ha az előzőekbentetszőleges ε1 és ε2 számokat úgy választjuk meg, hogy az (7.10) jobboldala ε le-gyen. Nem nehéz látni, hogy alkalmas a választásunk ha a következőképpen járunkel:1) Először is vesszük az

ε1 =ε

2(b− a)számhoz azt a δ pozitív számot, amelyre fennáll a (7.6), és így az utána mondottakszerint

Ω1 ≤ ε1(b− a) = ε/2.

2) Másodszorra a rögzített δ szám mellett vesszük az

ε2 =εδ

4Kpozitív számot, amire van olyan I felosztás, hogy teljesül az (7.8) egyenlőtlenség.Ebből a (7.9) egyenlőtlenség szerint adódik, hogy

Ω2 ≤ε2δ· 2K = ε/2.

Végülis azt kapjuk, hogy Ω = Ω1 + Ω2 ≤ ε/2 + ε/2 = ε.

Az előző bizonyítás alapgondolata voltaképpen egyszerű. Az ε−δ-technika al-kalmazása teszi csak nehézzé. Az említett technika ugyan az igazolás, és nem atartalmi, érdemi megközelítés eszköze, de a pontos bizonyításhoz elkerülhetetlen.Ha egy matematikus egy ilyen tételt vizsgál, akkor először „elképzeli” a bizonyításgondolatát, és utána — a pontosság kedvéért — „kiepszilonozza”. Erre a ponto-sításra feltétlenül szükség van egy korrekt bizonyításban, mert ennek a híján nemnehéz hibát elkövetni.



7.17 Állítás. (Részintervallumon vett integrálok)(1) Ha az f és g függvények integrálhatóak az [a, b] intervallumon, akkor az f · g

szorzat is integrálható.

(2) Ha az f integrálható az [a, b] intervallumon, és [c, d] ⊆ [a, b], akkor az f int-regrálható a [c, d] intervallumon is, és∫ d

c

f(x) dx =∫ b

a

f(x) · χ[c,d](x) dx,

ahol a χ[c,d] az [c, d] karakterisztikus függvénye.

(3) Ha a ≤ c ≤ b és az f integrálható az [a, b] intervallumon, akkor∫ b

a

f(x) dx =∫ c

a

f(x) dx+∫ b

c

f(x) dx.

(4) Ha az f függvény integrálható az [a, b] intervallumon, akkor az |f | függvény isintegrálható, és ∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)| dx.

Bizonyítás. (1): A bizonyítás alapja a következő azonosság

fg =(f + g)2 − (f − g)2

4. (7.11)

Ebből az összegfüggvény és közvetett függvény integrálására vonatkozó tételek alap-ján (7.13. és 7.16. állítások) csak le kell olvasni a bizonyítást a következők szerint:Az összeg integrálhatósága alapján az (f+g) és (f−g) függvények integrálhatók. Aközvetett függvény integrálhatóságára vonatkozó tétel szerint egy integrálható függ-vény négyzete is integrálható, hiszen az x → x2 folytonos függvénybe kell betenniaz integrálható függvényt, ezért az (f + g)2 és (f − g)2 függvények integrálhatók.Ismét az összeg és számmal szorzott integrálhatóságát használva azonnal kapjuk,hogy az (7.11) jobboldala, és így az fg baloldal is integrálható.(2): Az [c, d] intervallum χ[c,d] karakterisztikus függvénye integrálható az [a, b]intervallumon, hiszen minden — a c és d pontokat tartalmazó — alsó és felső közelítőösszeg értéke (d − c), ezért a jelen tétel (1) állítása szerint az f · χ[c,d] szorzat isintegrálható.

Az állítás másik felének a bizonyításához először is egyezzünk meg abban, hogyegy felosztásnál az indexben jelöljük azt, hogy milyen intervallumra vonatkozik a fel-osztás, amire természetesen a közelítő összeget is vesszük. Egy felosztás értelemsze-rűen leszűkíthető egy olyan részintervallumra, amelyiknek a végpontjai osztópontjaia felosztásnak.

A 7.8. tétel szerint, adott ε pozitív számhoz van olyan I[a,b] felosztás, hogy∫ b

a

f(x) · χ[c,d](x) dx− s(f · χ[c,d], I[a,b]

)< ε,

S(f · χ[c,d], I[a,b]

)−∫ b

a

f(x) · χ[c,d](x) dx < ε.

Jelöljük J-vel azt a felosztást, amit úgy kapunk, hogy az I felosztás osztópontjai-hoz hozzávesszük a c és d pontokat, amennyiben nem voltak osztópontok. Az előző



egyenlőtlenségek fennállnak az J felosztásra is, mert az új osztópontok közbeikta-tásával az alsó közelítő összegek nőnek a felső közelítő összegek pedig csökkennek.Az integrálandó függvény nulla a [c, d] intervallumon kívül, ezért

s(f · χ[c,d], J[a,b]

)= s

(f, J[c,d]

)S(f · χ[c,d], J[a,b]

)= S

(f, J[c,d]

),

ezért az előző egyenlőtlenségekből azt kapjuk, hogy∫ b

a

f(x) · χ[c,d](x) dx− s(f, J[c,d]

)< ε

és

S(f, J[c,d]

)−∫ b

a

f(x) · χ[c,d](x) dx < ε.

Ezek pedig azt jelentik, hogy∫ b

a

f(x) · χ[c,d](x) dx =∫ d

c

f(x) dx,

amit bizonyítani kellett.(3): Az előző tétel szerint az f · χ[a,c] és f · χ[c,b] függvények integrálhatóak, ezértaz összegfüggvény integrálhatósága és a (2) alapján adódik, hogy∫ b

a

f(x) dx =∫ b

a

(f · χ[a,c] + f · χ[c,b]

)=

=∫ b

a

f · χ[a,c] dx+∫ b

a

f · χ[c,b] dx =∫ c

a

f(x) dx+∫ b

c

f(x) dx.

(4): Ha az x 7→ |x| folytonos függvénybe betesszük az f integrálható függvényt,akkor az x 7→ |f(x)| összetett függvény integrálható a 7.16. állítás szerint.

Mivel f(x) ≤ |f(x)| minden x ∈ [a, b] pontra, ezért s(f, I) ≤ s(|f |, I) mindenI felosztásra, következésképpen az alsó közelítő összegek felső határai – az előbbmondottak szerint létező integrálok — szintén ilyen viszonyban vannak, azaz∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

|f(x)| dx.

Ezt az egyenlőtlenséget a −f függvényre alkalmazva adódik, hogy

−∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

|f(x)| dx,

és ezzel kaptuk az állítást.

Kézenfekvő kérdés, hogy miként lehetne a Riemann értelemben integrálhatófüggvényeket jellemezni. Az alpont hátralévő részében ezt mondjuk el, bizonyításnélkül.

A valós számok egy S részhalmazát nullamértékűnek mondjuk, ha tetszőlegesε pozitív számhoz van olyan A1, A2, . . . , An, . . . legfeljebb megszámlálhatóan sokintervallum, amelyik lefedi az S halmazt, azaz

S ⊆+∞⋃i=1

Ai,

és ezek hosszúságainak az (sor)összege kisebb mint ε. Egyszerűen belátható, hogyminden legfeljebb megszámlálhatóan sok elemből álló halmaz nulla mértékű (6.feladat). Így például a racionális számok összessége is nulla mértékű. Ezzel afogalommal megfogalmazható a Riemann integrálhatóságnak egy kritériuma:



7.18 Állítás. (Lebesgue-kritérium)Egy f : [a, b] → R függvény pontosan akkor integrálható, ha korlátos és egy nullamértékű halmaztól eltekintve folytonos.

Ez a tétel azt mutatja, hogy a folytonosság „lényegében véve” a Riemann integ-rálhatóság feltétele. A Lebesgue-tételt most nem bizonyítjuk be.

Az előzőekben döntő szerepet játszott a felosztások finomsága. Úgy gondolhat-juk,hogy eléggé finom felosztás mellett a felosztás részintervallumai nagyon kicsi-nyek, ezért a finomság valamilyen értelemben való mérésére alkalmas a

max1≤i≤n

(xi − xi−1) (7.12)

szám, a részintervallumok hosszának a maximuma. A finomságnak ez a mérőszámátel is nevezzük.

7.19 Definíció. (Felosztás finomságának a mérése)A (7.12) egyenlőség által meghatározott számot φ(I)-vel jelöljük, és azt mondjuk,hogy az I felosztás φ(I) finomságú. Ha valamely δ pozitív számra φ(I) 5 δ, akkorazt mondjuk, hogy az I felosztás finomsága δ-nál jobb.

Nyilvánvaló, hogy a φ(I) finomságot mérő szám finomabb felosztásra kisebb,azaz

I J =⇒ φ(I) ≥ φ(J).

Megfordítva azonban nem igaz, könnyen lehet olyan L és K felosztást mondani,hogy φ(L) ≤ φ(K), de az L nem finomabb a K-nál (Feladatok).

A most bevezetett finomsági mérőszámmal jól jellemezhetőaz integrálnak a kö-zelítő összegekkel való megközelítése és az integrálhatóság, ahogyan azt a következőtételekben állítjuk.

7.20 Állítás.Az f korlátos függvény pontosan akkor integrálható, ha tetszőleges ε pozitív számhozvan olyan δ pozitív szám, hogy∫ b

a

f(x) dx− s(f, I) ≤ ε, és S(f, I)−∫ b

a

f(x) dx ≤ ε,

amennyiben az I = x0, x1, . . . , xn felosztás φ(I) finomsági mérőszámára

φ(I) = max1≤i≤n

|xi − xi−1| ≤ δ (7.13)

Bizonyítás. Az állítás egyik irányát könnyű indokolni: Ha a tételben leírt egyenlőt-lenségek teljesülnek, akkor az első egyenlőtlenséghez a másodikat hozzáadva adódik,hogy

S(f, I)− s(f, I) ≤ 2ε,

ezért — mivel az ε pozitív szám tetszőleges — az alsó és felső közelítő összegek közécsak egyetlen szám eshet, és így az f integrálható.

Az állítás másik iránya bizonyításának a menete voltaképpen igen természetes,de a leírása — az ε−δ-technika miatt — hosszadalmasabb. Tegyük hát fel, hogy azf integrálható, és legyen adott egy ε pozitív szám.1. lépés. Van olyan I felosztás, amelyikre∫ b

a

f(x) dx− s(f, I) ≤ ε/2. (7.14)



Mivel az alsó összeg „finomabb” relációra monoton növő, ezért ez igaz marad akkoris, amikor az I-nél finomabb felosztást veszünk. Az I felosztás osztópontjainak aszámát jelöljük n-nel.2. lépés. A tételben szereplő δ > 0 számot úgy választjuk meg, hogy kielégítse azalábbi két feltételt:

(i) δ ≤ ε4Kn , ahol a K szám az f függvény egy korlátja: |f(x)| ≤ K.

(ii) A δ határozottan kisebb, mint az I felosztás legkisebb részintervalluma.

3. lépés. Vegyünk most egy tetszőleges olyan J felosztást, amelynek a leghosszabbrészintervalluma kisebb, mint a δ. Az I és J felosztások L közös finomítására, a(7.14) és az azt követő megjegyzés alapján∫ b

a

f(x) dx− s(f, L) ≤ ε/2. (7.15)

4. lépés. Megmutatjuk, hogy

s(f, L)− s(f, J) ≤ ε/2. (7.16)

Ha az J és L felosztásokhoz tartozó összegeket nézzük, akkor nyilvánvaló, hogy azok-nál a részintervallumoknál, amelyek közösek a két felosztásban, azonos tag szerepelaz összegekben. Emiatt az eltérés vizsgálatánál csak azokat a részintervallumokatkell néznünk, amelyek nem azonosak az L és J-ben. Az L az I és J közös finomí-tása, és (ii) szerint a J felosztás egy részintervallumába legfeljebb egy osztópontjaeshet az I-nek, ezért az L-ben csak úgy keletkezhet olyan részintervallum, amelyiknem részintervalluma a J-nek, hogy az I egy osztópontja a J egy részintervallumátkét intervallumra bontja. (Ehhez az is kell, hogy J egy részintervallumába ne essékI-nek több osztópontja. Ezt azonban biztosítja (ii) és φ(J) 5 δ.)

Nézzük most meg azt, hogy egy ilyen eset milyen eltérést adhat az s(f, J) éss(f, L) között. Legyen a J-nek egy olyan részintervalluma az [u, v], amibe az I-nekegy w pontja esik bele. Ekkor az s(f, J) és s(f, L) összegek megfelelő tagjainak a(nemnegatív) különbsége

(v − u) · infx∈[u,v]

f(x)−(

(w − u) · infx∈[u,w]

f(x) + (v − w) · infx∈[w,v]

f(x))≤

(v − u)K + (w − u)K + (v − w)K = 2(v − u)K ≤ 2δK ≤ ε

2n,

ahol az utolsó lépésnél figyelembe vettük a δ számra tett (ii) kikötést.Olyan típusú intervallum, amelyben a most említett eltérés lehet legfeljebb n

számú van (az I osztópontjainak a száma), ezért az s(f, J) és s(f, L) összegekeltérése legfeljebb ε/2, amivel be is láttuk a (7.16) egyenlőtlenséget.5. lépés. A (7.14) egyenlőtlenséghez hozzáadva az (7.15) egyenlőtlenséget, aztkapjuk, hogy ∫ b

a

f(x) dx− s(f, J) ≤ ε.

Az állítás felső összegekre vonatkozó része hasonlóan igazolható.

A bizonyításban azt mutattuk meg, hogy az s(f, I) alsó közelítő összeg adott εpontossággal megközelíti az alsó összegek felső határát, ha a φ(I) finomsági mérő-szám eléggé kicsi (kisebb mint valamilyen δ pozitív szám). Hasonló állítás igaz afelső közelítő összegek alsó határára is.

A 7.20 állítás szerint az integrál előírt pontossággal approximálható közelítőösszeggel, ha a felosztás leghosszabb részintervallumának a hossza megfelelően kicsi.



Ez alkalmas az integrál közvetlen kiszámolására, és hasznos numerikus, közelítőszámításoknál is, mivel alkalmasan egyszerű felosztásokat tudunk választani. Aleggyakrabban használt felosztást el is nevezzük:

7.21 Definíció. (Ekvidisztans, egyenlőközű felosztás)Az [a, b] intervallumnak azon En felosztását, amelynek az osztópontjai

a, a+b− a

n, a+ 2

b− a

n, . . . , a+ (n− 1)

b− a

n, b,

egyenlőközű (ekvidisztans) felosztásnak fogjuk mondani.

7.22 Állítás. (Integrálközelítő összeg ekvidisztans felosztásra)Ha az f függvény integrálható az [a, b] intervallumon, akkor az En ekvidisztansfelosztásokra:

s(f,En) →∫ b

a

f(x) dx, ha n→ 0.

7.1.3. A határozott integrál és a differenciálásEbben az alpontban a határozott integrálnak és a differenciál- és antidifferenciál-számításnak a kapcsolatát fogjuk megvizsgálni.

A következő tétel lehetőséget ad arra, hogy az antiderivált (határozatlan integ-rál) segítségével kiszámoljuk a határozott integrált. Emiatt ez a tétel, az eddigirészből, a definíciók után talán a leghangsúlyosabb tudnivaló.

7.23 Állítás. (Alaptétel, Newton-Leibnitz tétel)Legyen az f függvény integrálható az [a, b] intervallumon, és tegyük fel, hogy vanolyan F függvény, amely

1. folytonos az [a, b] zárt intervallumon,

2. antideriváltja az f függvénynek az (a, b) nyílt intervallumon, azaz

F ′(x) = f(x), x ∈ (a, b);

Ekkor ∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a), (7.17)

ahol az F (b)− F (a) különbségre az [F (x)]ba = [F ]ba jelölés is szokásos.

Az f függvény egy F antideriváltja F =∫f(x) dx + c alakú, és így — ha a

Newton-Lebnitz-tétel feltételei teljesülnek — azt írhatjuk, hogy∫ b

a

f(x) dx = [F ]ba =[∫

f(x) dx+ c

]b

a

.

Ez szépen megmagyarázza azt, hogy miért is nevezik az antideriváltak halmazáthatározatlan integrálnak. Hangsúlyozni kell azonban, hogy a mondottak csak akkorigazak, ha a Newton-Leibnitz-tétel feltételei teljesülnek. Mivel deriválható függvényegyszersmind folytonos is, ezért az F függvényre tett két feltételt maga után vonja akövetkező, erősebb de egyetlen feltétel, amely a megoldandó feladatok döntő részé-ben teljesülni fog: Az F antideriváltja az f függvénynek egy olyan intervallumban,amely az [a, b] intervallum a belsejébe esik.



Bizonyítás. Mivel az f integrálható az [a, b] intervallumon, ezért elégséges aztmegmutatnunk, hogy tetszőleges

I = x0, x1, . . . , xn

felosztáshoz van olyan m(f, I) közbülső közelítő összeg, amelyikre

m(f, I) = F (b)− F (a).

Ekkor ugyanis a közelítő összegek csak az F (b) − F (a) különbséget közelíthetik,tehát ez az integrál értéke. Alkalmazzuk a differenciálszámítás középértéktételét azF függvényre az [xi−1, xi] intervallumon. Ezt megtehetjük, mert az F folytonosezeken az intervallumokon, és deriválható az intervallumok belsejében. Eszerintminden i-re van olyan ξi ∈ (xi−1, xi), amelyre

F (xi)− F (xi−1) = (xi − xi−1) · f(ξi).

Ennek a felhasználásával egy közbülső közelítő összeg a következőképpen számol-ható:

m(f, I) =n∑

i=1

(xi − xi−1) · f(ξi) =n∑

i=1

[F (xi)− F (xi−1)

]=

= F (xn)− F (x0) = F (b)− F (a),

és ezzel be is láttuk a tételt.

7.24 Állítás. (Integrálszámítás első középértéktétele)Legyen az f és g függvény integrálható az [a, b] intervallumon.

(1) Ha f(x) ≤ g(x), minden x ∈ [a, b] pontra, akkor∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

g(x) dx.

(2) (b− a) · infx∈[a,b]

f(x) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤ (b− a) · supx∈[a,b]

f(x).

(3) Ha az f folytonos, akkor van olyan ξ ∈ [a, b] pont, amelyre∫ b

a

f(x) dx = f(ξ) · (b− a).

Az első állítás röviden: Nagyobb függvény integrálja is nagyobb (azonos interval-lumon). ♣ Ez valahogyan nem illik egybe. Az integrál tulajdonságokat másképpenkellene rendezni. Kell még: véges sok pont nem változtat ...

A középértéktétel állítása igen szemléletes, mert azt állítja, hogy van olyan ξ helyaz intervallum belsejében, hogy az [a, b] alapú és f(ξ) magasságú téglalap területemegegyezik az f gráfja alatti területtel, ahogyan azt az 7.4. ábrán illusztráljuk.Bizonyítás. (1): Az f ≤ g feltétel miatt s(f, I) ≤ s(g, I) minden I felosztásra,ezért ugyanez igaz a felső határukra is, azaz∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

g(x) dx.

(2): Ha az előző egyenlőtlenségben a g függvényt a supx∈[a,b] f(x) értékű konstansfüggvénynek vesszük, akkor∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

[sup

t∈[a,b]

f(t)

]dx = (b− a) · sup

t∈[a,b]

f(t).



7.4. ábra. Az integrálszámítás 1. középértéktétele.

Hasonlóan adódik az egyenlőtlenség másik fele.(3): Feltehetjük, hogy a < b, mert az a = b esetben nyilvánvaló az állítás. A(2) pont egyenlősége átrendezve, annak a figyelembe vételével, hogy egy folytonosfüggvény felveszi a minimumát és maximumát:

minx∈[a,b]

f(x) ≤ 1b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤ maxx∈[a,b]

f(x).

Bolzano tétele szerint az f folytonos függvény felveszi a (minimuma és maximuma)közötti 1

b−a

∫ b

af(x) dx értéket valamilyen ξ helyen, azaz

f(ξ) =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx,

ami bizonyítandó volt.

A következő tételek előtt bevezetünk egy fogalmat:

7.25 Definíció. (Integrálfüggvény)Legyen az f függvény integrálható az [a, b] intervallumon. Az

x 7−→∫ x

a

f(t) dt, x ∈ [a, b]

függvényt az f egy integrálfüggvényének mondjuk.

A definícióban szereplő függvény a 7.17. (2) tétel szerint létezik. Az integrál-függvény két fontos tulajdonságát tartalmazza a következő tétel.

7.26 Állítás. (Az integrálfüggvény folytonossága és deriválhatósága)Legyen az f függvény integrálható az [a, b] intervallumon.

(1) Az

x 7−→∫ x

a

f(x) dx

integrálfüggvény folytonos az [a, b] intervallumon.



(2) Ha az f függvény folytonos egy x ∈ [a, b] pontban, akkor ott az integrálfüggvé-nye deriválható, és

d

dx

∫ x

a

f(t) dt = f(x).

Az első állítás röviden: Tetszőleges integrálható függvény integrálfüggvénye foly-tonos, a második állítás pedig: Folytonos függvény integrálfüggvénye a függvénynekegy antideriváltja. Ebből következik, hogy folytonos integrálandó függvény esetébenteljesülnek a Newton-Leibnitz-tétel feltételei.

Bizonyítás. (1): Jelöljük az f integrál függvényét F -fel, és az f egy korlátjátK-val. Ha a ≤ x ≤ y ≤ b, akkor az

F (y)− F (x) =∫ y

a

f(t) dt−∫ x

a

f(t) dt =

(∫ x

a

f(t) dt+∫ y

x

f(t) dt)−∫ x

a

f(t) dt =∫ y

x

f(t) dt

azonosságból, az 7.24. (1) állítást felhasználva kapjuk, hogy

|F (y)− F (x)| =∣∣∣∣∫ y

x

f(t) dt∣∣∣∣ ≤ ∫ y

x

|f(t)| dt ≤ K · (y − x),

tehát az F L-folytonos.(2): Az (1) állítás bizonyításához hasonlóan az

F (v)− F (u) =∫ v

u

f(t) dt, u < v, u, v ∈ [a, b]

azonosságból indulunk ki. Ebből — az (v−u)f(x) =∫ v

uf(x) dt egyenlőséget kivonva

és utána (v − u)-vel osztva — kapjuk az

F (v)− F (u)v − u

− f(x) =1

v − u

∫ v

u

(f(t)− f(x)) dt,

azonosságot, amelyből∣∣∣∣F (v)− F (u)v − u

− f(x)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1

v − u

∫ v

u

(f(t)− f(x)) dt∣∣∣∣ . (7.18)

Tegyük fel most, hogy x ∈ [u, v]. Mivel f folytonos az x pontban, ezért tetszőlegesadott ε pozitív számhoz van olyan δ pozitív szám, hogy az [u, v] intervallum mindent1 és t2 pontjára

|f(t1)− f(t2)| < ε, ha |v − u| < δ, (7.19)

hiszen az x pontban való folytonosság miatt van olyan δ, hogy

|f(t)− f(x)| 5 ε, ha |t− x| 5 δ/2 és t ∈ [a, b].

Az (??) egyenlőtlenség miatt az (7.18) azonosság baloldalán lévő integrá legfeljebb(v − u)ε, és így az azonosságból azonnal kapjuk, hogy∣∣∣∣F (v)− F (u)

v − u− f(x)

∣∣∣∣ 5 ε, ha x ∈ [u, v] és 0 < v − u < δ.

Ebből pedig már csak ki kell olvasni az eredményt: ha az u helyébe x-et írunk,akkor azt kapjuk, hogy az F jobboldali deriváltja az x helyen f(x), ha pedig a vhelyébe írunk x-et, akkor az adódik, hogy az F baloldali deriváltja f(x).


7.2. HATÁROZOTT INTEGRÁL FELADATOK 222

7.2. Határozott integrál feladatokA határozott integrálnak az előző pontban felépített elméletére támaszkodva, mosta határozott integrálok kiszámítására koncentrálunk. Az első alpontban a legfon-tosabb számolási szabályokat rögzítjük, a másodikban pedig néhány olyan fela-datot vizsgálunk meg, amelyekre a határozott integrál elmélete alkalmazható. Apont jellegéből adódóan lényegében véve új tételt alig tartalmaz, csak a számolásokszempontjából aktualizáljuk vagy újrafogalmazzuk az elméletileg már bebizonyítottállításokat.

7.2.1. Integrálszámítás szabályai, példákA határozott integrál kiszámolásához a legalapvetőbb kiindulásunk természetesena Newton-Leibnitz-szabály, és ennek megfelelően a számítási eljárások magja egyantiderivált meghatározása.

Most pedig az antiderivált kiszámolása két legfontosabb módszerének a parciálisintegrálásnak és a helyettesítésnek a szabályait fogalmazzuk át határozott integ-rálra. Ezek nélkül az átfogalmazások nélkül is lehet persze alkalmazni a Newton-Leibnitz-szabályt, de a számolás menetét esetleg lerövidíthetjük a következő tételeksegítségével.

7.27 Állítás. (Parciális integrálás)Ha az f , g és az f ′, g′ deriváltjaik integrálhatóak az [a, b] intervallumon, továbbá azfg′ és f ′g függvények kielégítik a Newton-Leibnitz-tétel feltételeit, akkor∫ b

a

f ′(x)g(x) dx = [f(x)g(x)]ba −∫ b

a

f(x)g′(x)dx.

Bizonyítás. A 7.17. (1) tétel szerint az integrálhatóságra tett feltételek biztosítják,hogy az f ′g és fg′ függvények is integrálhatóak. Mivel létezik antideriváltjuk is,ezért alkalmazható a Newton-Leibnitz szabály:[∫

f ′(x)g(x) dx]b

a

=[f(x)g(x)−

∫f(x)g′(x) dx

]b

a

,

amiből ∫ b

a

f ′(x)g(x) dx = [f(x)g(x)]ba −∫ b

a

f(x)g′(x)dx.

Itt felhasználtuk azt, hogy az[∫f(x) dx

]b

a

=∫ b

a

f(x) dx

egyenlőséget. Ez megengedett, ha a Newton-Leibnitz szabály feltételei teljesülnek,azaz létezik az antiderivált és a határozott integrál is.

7.28 Példa.Számítsuk ki az ∫ 2

0

xex dx

integrált.



Azonnal látható, hogy teljesülnek a Newton-Leibnitz szabály feltételei, és ígyparciális integrálással∫ 2

1

xex dx = [xex]21 −∫ 2

1

ex dx = [(x− 1)ex]21 = e2.

7.29 Állítás. (Helyettesítéssel való integrálás)Ha az f és g függvényre teljesülnek a helyettesítéssel való integrálás (6.2. tétel (5)–(6) állítás) feltételei, és az f függvény integrálható az [a, b], az f(g(x))g′(x) pedig a[g−1(a), g−1(b)

]intervallumon, akkor∫ b

a

f(x) dx =∫ g−1(b)

g−1(a)

f(g(t))g′(t) dt.

Bizonyítás. A 6.2. (6) állítás formulájából kiindulva

[∫f(y) dy

]b

a

=

[∫f(g(x))g′(x) dx

∣∣∣∣x=g−1(y)

]b

a

,

amiből ∫ b

a

f(x) dx =∫ g−1(b)

g−1(a)

f(g(t))g′(t) dt.

7.30 Példa.Határozzuk meg az ∫ 2

1

e1x

x2dx

integrált.

Az 1/x helyébe jónak látszik t-t helyettesíteni, ezért a tétel jelöléseivel:

x = g(t) =1t, t = g−1(x) =

1x

ésdx

dt= − 1

t2

és g−1(1) = 1 és g−1(2) = 1/2. Ezek felhasználásával írhatjuk, hogy∫ 2

1

e1x

x2dx =

∫ 1/2

1

t2et · (− 1t2dt) = −

∫ 1/2

1

et dt = [−et]1/21 = e−

√e.

Most pedig egy példán keresztül megmutatjuk, hogy a határozott integrál eléggéerős eszköz arra, hogy segítségével speciális függvényeinket bevezethessük. Feled-kezzünk el egy pillanara arról, hogy már ismerjük a logaritmusfüggvényt, és most ahatárározott integrál segítségével pontosan vezessük be. Tekintsük az

Φ(x) .=∫ x

1

1tdt

függvényt. Az integrál létezését az biztosítja, hogy az t 7→ 1/t függvény folytonos.Vizsgáljuk most meg a Φ függvény tulajdonságait:1) Φ(1) = 0.



2) A Φ szigorúan monoton növekedő, mivel ha x1 < x2, akkor a

Φ(x2)− Φ(x1) =∫ x2

x1

1tdt

különbség pozitív, mert az integrandus pozitív és folytonos.

3)d

dxφ(x) = 1/x, mivel az integrandus folytonos.

4) A φ eleget tesz a következő függvényegyenletnek

φ(x1x2) = φ(x1) + φ(x2).

Ennek az igazolása: Először is nyilvánvalóan∫ x1x2

1

1tdt =

∫ x1

1

1tdt+

∫ x1x2

x1

1tdt.

A jobboldali összeg második tagjában t = u/x1 helyettesítést hajtva végre:∫ x1x2

1

1tdt =

∫ x1

1

1tdt+

∫ x2

1

1udu,

amivel az állítást beláttuk. Most már pontosan definiálhatnánk az x 7→ lnx függ-vényt az

lnx .=∫ x

1

1tdt.

módon. A logaritmus tulajdonságait az előbb beláttuk, és az exponenciális függ-vény a logaritmus inverzeként adódnék. Az itt elmondottak részletezése megoldanáe két fontos függvény pontos bevezetését, de mi a hatványsorral való megadást vá-lasztottuk, amelynek sok előnye van, például jó a trigonometrikus függvényekre is,és alkalmas a szóbanforgó függvények komplex- és mártixváltozós bevezetésére is.

7.2.2. Néhány határozott integrálhoz vezető feladatA határozott integrál bevezetését a függvény görbéje alatti terület meghatározá-sának a felvetésével kezdtük, és így ez tekinthető számunkra a legközvetlenebb,magyarázatot nem igénylő feladatnak. Példaképpen számoljuk ki az ellipszis terü-letét.

7.31 Példa. (Az ellipszis területe)Számítsuk ki az

(x, y) :x2

a2+y2

b2≤ 1

ellipszis területét.

A szóbanforgó ellipszis „felső jobboldali felének” az egyenlete:

y =b

a

√a2 − x2, x ∈ [0, a],

és egy negyed-ellipszis területe:∫ a

0

b

a

√a2 − x2 dx =

b

a

∫ a

0

√a2 − x2 dx.

Az antiderivált helyettesítéssel való kiszámolásánál láttuk, hogy a jelenlegi függ-vény esetében az x = a sin t helyettesítés alkalmas:

x(t) = x = a sin t, t(x) = t = arcsinx

aésdx

dt= a cos t,



és ha az x a 0 és a között változik akkor a t a 0 és π/2 között változik, ezért ahelyettesítés szabálya szerint∫ a

0

√a2 − x2 dx =

∫ π/2

0

√a2 − a2 sin2 t · a cos t dt = a2 ·

∫ π/2

0

cos2 t dt.

A jobboldali integrál kiszámolásához használjuk most fel a

cos2 t =1 + cos 2t

2

azonosságot, és ennek megfelelően folytatva:

a2 ·∫ π/2

0

cos2 t dt = a2 ·∫ π/2

0

1 + cos 2t2

dt = a2 ·[t

2+

sin 2t4

]π2

0

=a2π

4,

és ebből az ellipszis területe abπ.

Most pedig olyan speciális testek térfogatát fogjuk kiszámolni, amelyek úgynyerhetők, hogy egy függvény görbéjét az x tengely körül, egy intervallum felettmegforgatjuk.

A köbtartalom-számítással általában nem foglalkozunk, ahogyan a terület szá-mítását is csak abban a speciális esetben vizsgáltuk, amikor egy görbe „alatti” hal-mazról volt szó. Ebben az esetben úgy jártunk el, hogy — ismertnek tételezve atéglalapok területére vonatkozó egyszerű képletet — a görbe alatti halmazt tégla-lapokkal fedtük le, és végül is a határozott integrállal definiáltuk a területét.

Hasonlóan járunk el a térfogatszámításnál is. Ne feledjük el, hogy a térfogatnem valamai „adott fizikai létező”, hanem mi definiáljuk, természetesen a térfogatintuitív fogalmához elvárható módon. Ez a „definíció” voltaképpen egy, a térfogatfo-galomra megkövetelt axiómarendszer lehetne, és utána már bizonyíthatnánk, hogyannak megfelel az általunk adott formula. Megjegyezzük, hogy a térfogatfogalommegragadásának több — lényegesen különböző — módja van.

Most — a forgástestek térfogatának a meghatározásánál — ismertnek tesszükfel a henger, mint legegyszerűbb forgástest köbtartalmára vonatkozó képletet. Ahengerek ugyanazt a szerepet fogják játszani a forgástestnél, mint a téglalapokjátszottak a görbe alatti területnél.

7.5. ábra. Forgástest térfogata.

Forgassuk meg az f : [a, b] → R+ függvény gráfját az x tengely körülm és legyen

a = x0 < x1 < . . . < xn = b



az [a, b] intervallumnak egy felosztása. Vegyük azokat a hi, i = 1, 2, . . . , n hengere-ket, amelyeknek a magassága (xi − xi−1), az alapja pedig az

infx∈[xi−1,xi]

f(x)

sugarú körlemez. E hi henger térfogata:

(xi − xi−1) · π(

infx∈[xi−1,xi]

f(x))2

= π(xi − xi−1) · infx∈[xi−1−xi]

f2(x),

és az összegük:

πn∑

i=1

(xi − xi−1) · infx∈[xi,xi+1]

f2(x). (7.20)

Hasonlóan az (xi−1 − xi) magasságú és

supx∈[xi−1,xi]

f(x)

sugarú körlemez alapú, Hi, i = 1, 2, · · · , n hengerek térfogatának az összege:

πn∑

i=1

(xi − xi−1) · supx∈[xi−1,xi]

f2(x). (7.21)

A hi hengerek a forgatással kapott testen belül vannak, ezért joggal gondolhatunkarra, hogy a térfogatát definiáló szám az (7.20) összegnél nem kisebb számok közöttkeresendő. A Hi hengerek egyesítése pedig tartalmazza a forgástestet, ezért a térfo-gataik (7.21) összege a forgástest keresett térfogatánál nem kisebb. Összefoglalva:A (7.20) és (7.21) összegek között keresendő a forgástest térfogatát megadó szám. Aszóban forgó két összeg az π · f2 függvény alsó illetve felső közelítő összege. Az alsóilletve felső összegek halmaza közé egyetlen szám — az f2-nek az [a, b] intervallumonvett határozott integrálja – esik, ezért indokolt az alábbi definíció.

7.32 Definíció. (Forgástest térfogata)Ha az f : [a, b] → R+ függvény négyzete integrálható az [a, b] intervallumon, akkoraz f függvény görbéjének az x tengely körüli megforgatásával nyert test térfogatát a

π ·∫ b

a

f2(x) dx

integrállal definiáljuk.

7.33 Példa.Számoljuk ki az a és b tengelyekkel bíró ellipszisnek az x tengely körüli megforgatá-sával kapott test térfogatát.

Az origó középpontú a és b tengelyű ellipszis „felső felének” az egyenlete:

y =b

a

√a2 − x2,

ezért a forgástest térfogata

π ·∫ a

−a

b2

a2(a2 − x2) dx =

πb2

a2

[a2x− x3

3

]a

−a

=4πab2

3.

Ha a = b, akkor az a sugarú gömb térfogatát kapjuk.



7.6. ábra. Görbe ívhossza.

A következő határozott integrál számítására vezető feladat is geometriai kér-dés megoldásában segít. Olyan görbék ívhosszúságával fogunk foglalkozni, amelyekfüggvény gráfjaként nyerhetők.

Legyen f : [a, b] → R, és I = x0, x1, . . . , xn az [a, b] intervallum egy tetszőlegesfelosztása. Az f görbéjének az(

xi−1, f(xi−1) és(xi, f(xi)

), i = 1, 2, . . . , n

pontjait összekötő szakaszokból álló törtvonal hossza, a Pithagorasz-tétel felhasz-nálásával (7.6. ábra):

a(f, I) .=n∑

i=1

√(xi − xi−1)2 +

(f(xi)− f(xi−1)

)2. (7.22)

Az f függvény által megadott görbe ívhosszának egy természetes definícióját talál-hatjuk meg, ha a törtvonal hosszát megfelelően alakítjuk tovább. Tegyük fel mostazt is, hogy az f függvény deriválható. A differenciálszámítás középértéktétele alap-ján van olyan ξi ∈ (xi−1, xi), hogy

f(xi)− f(xi−1) = f ′(ξi) · (xi − xi−1),

és ezzel a törtvonal (7.22) hossza a következőképpen írható:

a(f, I) =n∑

i=1

√(xi − xi−1)2 + (f ′(ξi))

2 (xi − xi−1)2 =

=n∑

i=1

√1 + (f ′(ξi))

2 · (xi − xi−1).

Erről az összegről felismerhetjük, hogy az egy közbülső közelítő összege az√

1 + (f ′)2függvénynek az adott felosztás mellett, és így

s(√

1 + (f ′)2, I)

5 a(I, f) = m(√

1 + (f ′)2, I) 5 S(√

1 + (f ′)2, I).

Ebből azonnal adódik, hogy az a(I, f) törtvonal-hosszúság a felosztás finomításávaltetszőleges pontossággal megközelíti az∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx


7.3. IMPROPRIUS INTEGRÁLOK 228

integrált, feltéve, hogy azx→

√1 + (f ′(x))2

függvény integrálható. Ezek szerint megfelelően indokolt a következő definíció.

7.34 Definíció. (Görbe ívhossza)Legyen az f : [a, b] → R függvény deriválható, és az

√1 + (f ′)2 függvény integrálható

az [a, b] intervallumon. Ekkor az f függvény gráfjának (görbéjének) az ívhosszát az∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx

integrállal definiáljuk.

7.35 Példa. (Kör kerülete)Számítsuk ki az r sugarú kör kerületét.

Az y =√r2 − x2, 0 ≤ x ≤ 1 negyedkör ívének a hosszúságát számoljuk ki. Mivel

y′ = −x/√r2 − x2, ezért az ívhosszat megadó integrál:

∫ r

0

√1 +

(−x√r2 − x2

)2

dx =∫ r

0

√r2

r2 − x2dx.

Alkalmazva ax = r sin t, dx = r cos t dt

helyettesítést, t 0-tól a π/2-ig változik, ha x a 0-tól az r-ig megy, ezért azt ívhosszatmegadó integrál: ∫ π

2

0

1cos t

(r cos t) dt =∫ π

2

0

r dt =rπ

2.

amiből adódik a teljes körív hosszára az ismert 2rπ formula.

Megjegyezzük, hogy az ívhossz kiszámolásánál szereplő, integrálandó függvényeléggé bonyolult lehet. Nagyon természetes feladat lenne például az ellipszis ív-hosszának a kiszámítása, de ekkor nehéz problémába ütközünk, abban az értelem-ben, hogy az integrálandó függvénynek az „elemi függvényeinkből felépíthető” függ-vények körében nincs antideriváltja. Nem vonatkozik persze az állításunk a körre,mint speciális ellipszisre.

Nagyon fontos alkalmazása a határozott integrálnak a tömegnek a sűrűségfügg-vényből való kiszámolása. Ha egy f : R → R+ nemnegatív függvényünk van,amelynek az f(x) értéke a végtelen húr x pontbeli sűrűségét adja meg, akkor a c ésd pontok közötti tömeget az ∫ d

c

f(x) dx

határozott integrállal adhatjuk meg. Az indoklás az előzőekhez hasonló.

7.3. Improprius integrálokA fejezet elején bevezettük a Riemann-integrál fogalmát. Ezzel a függvények egybizonyos összessége Riemann-integrálható lett. A matematika tipikus problémája:hogyan lehet olyan integrálfogalmat bevezetni, amely mellett több függvény leszintegrálható. Ez nem új típusú törekvés, hiszen a valós számok bevezetését is ilyenok motiválta: több szakaszt akartunk mérni, mint racionális számokkal lehetett.

Ebben a pontban egy olyan integrálfogalmat definiálunk, amely a Riemann-integrál egy általánosítása: az improprius Riemann-integrált . Az első alpontban a



szükséges definíciókat, tételeket írjuk le, és néhány egyszerű példát oldunk meg.Amásodik alpontban egy olyan limeszformulát bizonyítunk be, amelynek a bizonyí-tása közönséges integrál felhasználásával történik, és kiszámítunk egy nevezetesimproprius integrált. A harmadik alpontban két olyan függvényt vezetünk be azimproprius integrál segítségével, amelyeknek fontos szerepe van a valószínűségelmé-letben.

7.3.1. Improprius integrálokAz előzőekben vizsgált integrálfogalom korlátos intervallumon értelmezett korlátosfüggvényre vonatkozott. Most úgy általánosítjuk az integrálfogalmat, hogy meg-próbáljuk elejteni a korlátossági feltételeket. A korlátossági feltételek sérülésének akövetkező formáival fogunk foglalkozni:

(I) nem korlátosak a függvények az intervallum valamelyik végpontjának a kör-nyezetében (vagy egyéb „bajuk” van ott);

(II) nem korlátos az intervallum, amin integrálni akarunk.

A két esettel egyszerre foglalkozhatnánk, de a könnyebb megértés érdekében részle-tesebbek leszünk. Az (I) esettel kezdjük. Korlátos intervallum esetében előfordul-hat, hogy egy függvény az intervallum valamelyik végpontjának a környezeteibennem korlátos, például az x 7→ 1/x2 függvény a [0, 1] intervallum 0 pontjának sem-milyen környezetében sem korlátos. Olyan esetekkel is fogunk foglalkozni, amikoraz intervallum valamelyik (vagy mindkét) végpontja „problémás” pont. Ilyen függ-vények egy alkalmas összességére definiáljuk most a Riemann-integrál egy általá-nosítását, kezdve az intervallum jobboldali végpontjával:

7.36 Definíció. (Improprius (Riemann-) integrál)Legyen az f függvény integrálható minden

[a, b− ε], 0 < ε < b− a

intervallumon. Ha a

limtb

∫ t

a

f(x) dx

(véges) határérték létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f improprius módon integrál-ható az [a, b] intervallumon, és az improprius (Riemann) integrálja a létező határ-érték. A jelölés a közönséges Riemann-integrállal azonos, azaz∫ b

a

f(x) dx .= limta

∫ t

a

f(x) dx.

Az improprius integrál határértékkel van definiálva, ezért hagyományosan azt

szokták mondani, hogy „az∫ b

a

f(x) dx improprius integrál konvergens”. Mivel a

(közönséges) integrál is — lényegében véve — határértékkel van értelmezve, ezértannál is élhetnénk az utóbbi szóhasználattal, de ott nem szokás. A hagyományoselnevezések, sajnos nem mindig logikusak és következetesek. Mi előnyben részesít-jük az „az f impropriusan integrálható az [a, b] intervallumon” szóhasználatot, amijobban megfelel annak az elgondolásnak, hogy az improprius Riemann-integrál aközönséges Riemann-integrál egy általánosítása.

Mielőtt definiálnánk azt az esetet, amikor az intervallum másik, (vagy mindkét)végpontjában szinguláris (nem „jó viselkedésű”) a függvény, jegyezzük meg, hogy ajelölés zavaró addig, amig nem látjuk be azt, hogy a bevezetett új integrálfogalomvalóban a Riemann-integrál fogalmának a kiterjesztése.



7.37 Állítás. (Integrálható függvény impropriusan integrálható)Ha az f integrálható az [a, b] intervallumon, akkor impropriusan is integrálható, ésa két integrál értéke megegyezik.

Bizonyítás. Az f függvény

F (t) =∫ t

a

f(x) dx,

integrálfüggvénye folytonos az [a, b] intervallumon, ezért az improprius integrál lé-tezik és az értéke:

limt→b

F (t) = F (b) =∫ b

a

f(x) dx,

ahol a jobboldali integrál most (közönséges) integrált jelöl.

A jobboldali végponthoz hasonló az eljárás a baloldali végpont esetében. Lássukmindjárt azt az esetet, amikor mindkét végpontot egyszerre vesszük figyelembe.

7.38 Definíció. (Improprius integrál)Legyen az f függvény integrálható az (a, b) intervallum minden zárt részintervallu-mán, és c ∈ (a, b) egy tetszőleges de rögzített pont. Az f függvényt impropriusanintegrálhatónak mondjuk az [a, b] intervallumon, ha léteznek a

limta

∫ c

t

dx és limsb

∫ b

c

f(x) dx

(véges) határértékek, és az f improprius integráljának értéke a két limesz összege.Az improprius integrál jelölése megegyezik a közönséges integrál jelölésével.

A definíció helyességéhez be kellene látni, hogy a definíció független a c pontválasztásától. Ezt az egyszerű feladatot az olvasóra bízzuk. Ez a definíció termé-szetesen tartalmazza a megelőző definíciót is, és csak a fokozatos bevezetés, a jobbmegértés kedvéért kezdtük az egyik végponttal. A 7.37. állítás itt is szóról-szórakimondható, tehát az improprius (Riemann) integrál a Riemann-integrál általáno-sítása egy bővebb függvényosztályra.

7.39 Példa.Mutassuk meg, hogy ∫ 1

0

dx

xc=

11−c ha c < 1+∞ ha c ≥ 1.

A definíció szerint ∫ 1

0

1xcdx = lim

α0

∫ 1

α

1xcdx = lim

α0

[x1−c

1− c

]1α

,

ha c 6= 1, ezért folytatva a számolást∫ 1

0

1xcdx =

11− c

− limα0

(α1−c

1− c

).

Ha (1 − c) > 0, akkor a limesz 0, ha pedig (1 − c) < 0, akkor +∞. A c = 1 esetetkell még megnéznünk. Ekkor∫ 1

0

dx

x= lim

α0

∫ 1

α

dx

x= lim

α0[lnx]1α = − lim

α0lnx = +∞,




Mivel most egy új integrálfogalmat vezettünk be, ezért fel kell tenni a kérdést,hogy mi a helyzet az integrálás formális szabályaival, és egyéb tulajdonságaival. Errea kérdésre azután térünk vissza, miután a korlátlan intervallumokon való impropriusintegrált is definiáltuk. Ezért most terjesszük ki az integrálfogalmat nem korlátosintervallumokra:

7.40 Definíció. (Improprius integrál)Ha az f függvény integrálható minden [a, β], a ≤ β intervallumon és létezik az

limβ→+∞

∫ β

a

f(x) dx

(véges) határérték, akkor az f függvényt impropriusan integrálhatónak mondjuk az[a,+∞) korlátlan intervallumon, és az integrálja az előző határérték. A jelölés:∫ +∞

a

f(x) dx.

Ha a definícióban szereplő limesz létezik, akkor azt is mondjuk, hogy „az imp-roprius integrál konvergens”. Hasonló a balról korlátlan intervallumon vett integráldefiníciója. A jobbról és balról korlátlan intervallumon, azaz az R-en definiáljukmég az improprius integrál fogalmát:

7.41 Definíció. (Improprius integrál)Legyen az f függvény integrálható minden

[α, β], α, β ∈ R

intervallumon és legyen a c egy tetszőleges de rögzített szám. Ha a

limt→−∞

∫ c

t

f(x) dx és lims→+∞

∫ s

c

f(x) dx

(véges) határértékek léteznek, akkor azt mondjuk, hogy az f impropriusan integrál-ható a (−∞,+∞) korlátlan intervallumon, és az integrálja az előző két határértékösszege, a jelölés pedig: ∫ +∞

−∞f(x) dx.

Könnyű igazolni, hogy a definció független a c megválasztásától, tehát a definíciókorrekt.

Természetes, hogy még sokféle esetre definiálhatnánk az improprius integrált.Például elő is fog fordulni olyan eset, mikor az (a,+∞) minden zárt intervallumábanintegrálható a függvény és az [a,+∞) intervallumra kell értelmezni az impropriusintegrálját. Ez az eddigiek ismeretében nem okozhat problémát.


∫ +∞0

xe−x dx integrál értékét.

A 7.40. definíció szerint∫ +∞

0

xe−x dx = limβ→+∞

∫ β

0

xe−x dx,

számoljuk ki ezért a limesz mögötti integrált. Parciális integrálással∫xe−x dx = x(−e−x)−

∫(−e−x) dx = −xe−x − e−x + c = −(x+ 1)e−x + c,



ezért ∫ β

0

f(x) dx = [−(x+ 1)e−x]β0 = −(β + 1)e−β + 1.

Ebből pedig

limβ→+∞

(−(β + 1)e−β + 1

)= − lim

β→+∞(1 + β)e−β + 1 = 0 + 1,

tehát az integrál értéke 1.

7.43 Példa.Számoljuk ki az x 7→ 1/x, 1 ≤ x görbe alatti területet és az x tengely körüli megfor-gatásával nyert forgástest térfogatát.

A görbe alatti területhez:

limβ→+∞

∫ β

1

dx

x= lim

β→+∞[lnx]β1 = lim

β→+∞lnβ = +∞.

Így az x → 1/x függvény definíciónk szerint nem integrálható impropriusan az[1,+∞) intervallumon, de annyit mondhatunk az előző limesz alapján, hogy a szó-ban forgó görbe alatti terület nem korlátos, vagy az sem rossz szóhasználat, hogyvégtelen. A forgástest térfogata viszont már konvergens improprius integrál lesz:

limβ→+∞

π

∫ β

1

dx

x2dx = π lim

β→+∞

∫ β

1

dx

x2dx =

= π limβ→∞

[− 1x

]β1 == π limβ→+∞

(1β

+ 1)

= π − limβ→∞

1β

= π.

Meglepő, hogy a szóbanforgó forgástest — egy „végtelen tölcsér” — köbtartalmavéges, annak ellenére, hogy a megforgatott görbe alatti terület nem korlátos (vég-telen).

7.44 Példa.Mutassuk meg, hogy ∫ ∞

1

dx

xc=

1c−1 ha c > 1+∞ ha c ≤ 1.

A definíció szerint∫ +∞

1

dx

xcdx = lim

α→+∞

∫ α

1

dx

xcdx = lim

α→+∞

[x1−c

1− c

]α

1

,

ha c 6= 1, ezért folytatva a számolást

= limα→+∞

(α1−c

1− c

)− 1

1− c.

Ha (1 − c) < 0, akkor a legutóbbi limesz 0, ha pedig (1 − c) > 0, akkor +∞. Ac = 1 esetet kell még megnéznünk. Ekkor∫ +∞

1

dx

xdx = lim

α→+∞

∫ α

1

dx

xdx = lim

α→+∞[lnx]α1 = +∞,


A formális szabályokra vonatkozó 7.13. állítás szóról szóra fennáll impropriusanintegrálható függvényekre is. Például jobbról korlátlan intervallum esetében:



7.45 Állítás.Legyenek f és g az [a,+∞) intervallumon impropriusan integrálható függvények,és λ tetszőleges valós szám. Ekkor az f + g és λf függvények is impropriusanintegrálhatóak, és

(1)∫ +∞

a

[f(x) + g(x)

]dx =

∫ +∞a

f(x) dx+∫ +∞

ag(x) dx,

(2)∫ +∞

aλf(x) dx = λ ·

∫ +∞a

f(x) dx.

Bizonyítás. Az állítások a közönséges integrálra vonatkozó 7.13. tételből, és ahatárérték formális szabályaiból adódnak. Lássuk például az összeg impropriusintegrálhatóságának a szabályát:

limα→+∞

∫ α

a

(f(x) + g(x)

)dx = lim

α→+∞

(∫ α

a

f(x) dx+∫ α

a

g(x) dx)

=

limα→+∞

∫ α

a

f(x) dx+ limα→+∞

+∫ α

a

g(x) dx =∫ +∞

a

f(x) dx+∫ +∞

a

g(x) dx,

amit bizonyítani kellett.

Az 7.17. tételben leírt, formális szabályoknak tekinthető állítások közül a har-madik teljesül, azaz ha a ≤ c és az f impropriusan integrálható az [a +∞) inter-vallumon, akkor ∫ +∞

a

f(x) dx =∫ c

a

f(x) dx+∫ +∞

c

f(x) dx.

Hangsúlyos megjegyzés, hogy a szóban forgó tétel negyedik állítása nem igaz, abbanaz értelemben, hogy az f improprius integrálhatóságából nem következik feltétlenülaz |f | abszolút értékének az improprius integrálhatósága (7.52. példa). Ha azonbanaz f és |f | függvények is impropriusan integrálhatóak, akkor∫ +∞

a

f(x) dx ≤∫ ∞

a

|f(x)| dx.

A bizonyítás a 7.17. tétel (4) állításából határátmenettel adódik.Improprius integráloknál gyakori az, hogy nem tudjuk meghatározni az integrál

értékét, de szükségünk van arra, hogy tudjuk: létezik-e egyáltalán az integrál. Akövetkező tételek erre a problémára adnak egy választ. A két típusú impropriusintegrálnak megfelelően két konvergencia-kritériumot (létezést) mondunk ki.

7.46 Állítás. (Cauchy-kritérium)Legyen f függvény integrálható minden [a, β], (a ≤ β) intervallumon. Ekkor az∫ +∞

a

f(x) dx

improprius integrál pontosan akkor létezik (konvergál), ha tetszőleges ε pozitív szám-hoz van olyan p szám, hogy∣∣∣∣∫ t2

t1

f(x) dx∣∣∣∣ ≤ ε, ha p ≤ t1, t2,

Bizonyítás. Egyszerű következménye a 3.21. függvények konvergenciájára vonat-kozó Cauchy kritériumnak. Vegyük az

F (t) .=∫ t

a

f(x) dx, a ≤ t



integrálfüggvényt. Az említett tétel szerint az F függvénynek pontosan akkor vanvéges határértéke a plusz végtelenben, ha tetszőleges ε pozitív számhoz van olyanp szám, hogy

|F (t2)− F (t1)| ≤ ε ha p ≤ t1, t2,

amelyből az

|F (t2)− F (t1)| =∣∣∣∣∫ t2

t1

f(x) dx∣∣∣∣

egyenlőség miatt következik is az állítás.

7.47 Állítás. (Cauchy-kritérium)Legyen az f függvény integrálható minden

[a+ ε, b], 0 < ε < b− a

intervallumon. Az ∫ b

a

f(x) dx = limta

∫ b

t

f(x) dx

improprius integrál pontosan akkor létezik és véges, ha minden ε pozitív számhozvan olyan δ pozitív szám, hogy∣∣∣∣∫ u2

u1

f(x) dx∣∣∣∣ ≤ ε, ha u1, u2 ∈ (a, a+ δ).

A bizonyítás pontosan azonos az előző állítás igazolásával, csak a véges helyenvett függvény határértékére vonatkozó Cauchy kritériumot kell használnunk.

Az elmondott tételek mindegyike értelemszerűen igaz a definiált improprius in-tegráltípusok mindegyikére.

Az előző két kritérium és a 7.44. és 7.39. példa alapján egyszerű eszközt adunkarra, hogy az improprius integrál létezését beláthassuk.

7.48 Állítás. (Összehasonlító kritérium)Legyen a ∈ R++ és f függvény integrálható minden [a, β], (a ≤ β) intervallumon.Ha minden eléggé nagy x-re

|f(x)| ≤ állandó · 1xc,

valamilyen c > 1 számra, akkor az ∫ +∞

a

f(x) dx

improprius integrál létezik és véges.

Bizonyítás. A 7.46. állításban leírt kritériumot alkalmazzuk, figyelembe véve azt,hogy egy függvény abszolútértékének az integrálja nagyobb mint a függvény integ-rálja és nagyobb függvény integrálja is nagyobb:∣∣∣∣∫ t2

t1

f(x) dx∣∣∣∣ ≤ ∫ t2

t1

|f(x)| dx ≤ állandó ·∫ t2

t1

1xcdx =

= állandó ·[x1−c

1− c

]t2

t1

= állandó · 1c− 1

(t1−c1 − t1−c

2

)≤ állandó · t1−c

1 .

A jobboldal tetszőleges ε pozitív számnál kisebb, ha t1 megfelelően nagy, tehátteljesül a 7.46. kritérium.

Az előzőhöz teljesen hasonló módon kapható a következő állítás.



7.49 Állítás. (Összehasonlító kritérium)Legyen az f függvény integrálható minden [ε, b], 0 < ε < b. intervallumon. Haminden, a nullához jobbról eléggé közeli x-re

|f(x)| ≤ állandó · 1xc,

valamilyen 0 < c < 1 számra, akkor az∫ b

0f(x) dx improprius integrál létezik és

véges.

7.50 Példa.Mutassuk meg, hogy létezik és véges az∫ +∞

−∞xne−x2

dx

improprius integrál, ahol az n tetszőleges rögzített pozitív szám.

Elég a nullától a plusz végtelenig vett integrállal foglalkozni, mert a mínuszvégtelentől a nulláig vett integrál hasonlóan kezelhető. Mivel

limx→+∞

e−x2

xn+2= 0

minden n pozitív számra, ezért xne−x2korlátos a pozitív félegyenesen, és így

xne−x2≤ állandó · 1

x2,

ha az x eléggé nagy. A 7.49. alapján be is láttuk az állítást.

7.51 Példa.Mutassuk meg, hogy az ∫ +∞

1

sinxx2

dx és∫ +∞

1

cosxx2

dx

improprius integrálok léteznek.

Az előző példa megoldásához hasonlóan az∣∣∣∣ sinxx2

∣∣∣∣ ≤ 1x2

és∣∣∣cosxx2

∣∣∣ ≤ 1x2

egyenlőtlenségekből adódik az állítás.

7.52 Példa.Lássuk be, hogy az ∫ +∞

1

sinxx

dx

improprius integrál értéke létezik, de az∫ +∞

1

∣∣∣∣ sinxx∣∣∣∣ dx

imroprius integrál nem létezik.



Ez a példa azt mutatja, egy függvény improprius integrálhatóságából nem kö-vetkezik abszolútértékének az improprius integrálhatósága, a közönséges Riemann-integrál ezen fontos tulajdonsága tehát nincs meg az improprius integrálnak.

Először lássuk be a felatban a konvergenciát. Parciális integrálással azt kapjuk,hogy ∫ α

1

sinxx

dx = [− 1x

cosx]α1 +∫ α

1

cosxx2

dx.

Ebből ∫ +∞

1

sinxx

dx = cos 1 +∫ +∞

1

cosxx2

dx.

A jobboldalon szerepelő integrál konvergenciáját az előző példában beláttuk. Amásik integrál végtelenségéhez először is jegyezzük meg, hogy∫ +∞

1

∣∣∣∣ sinxx∣∣∣∣ dx ≥ ∫ +∞

1

sin2 x

xdx,

és a jobboldali integrál végtelen voltát látjuk be. Egy ismert trigonometriai azonos-ságot használva azt kapjuk, hogy∫ α

1

sin2 x

xdx =

∫ α

1

1− cos 2x2x

dx = [(1/2) lnx]α1 −∫ α

1

cos 2x2x

dx.

A jobboldali első tag a plusz végtelenhez tart, ha α tart a plusz végtelenhez, ajobboldali integrál értéke pedig a megelőző példához hasonló módon látható módonkonvergens.

7.53 Példa.Mutassuk meg, hogy az ∫ +∞

0

tx−1e−t dt

improprius integrál konvergens minden pozitív x értékre.

A konvergencia vizsgálatánál egyrészt a jobbról korlátlan intervallumra, más-részt arra kell figyelnünk, hogy ha x − 1 < 0, akkor a nulla környezetében nemkorlátos az integrandus. Legyen a b egy tetszőleges, de rögzített pozitív szám.

Lássuk először a korlátlan intervallum problémáját. Mivel

limt→+∞

tx+1e−t = 0,

ezért van olyan c állandó, hogy b 5 t esetében tx−1e−t ≤ c · 1x2 , és így a 7.48. tétel

alapján létezik az ∫ +∞

b

tx−1e−t dt

improprius integrál. Legyen most 0 < x < 1. Ekkor a nulla egy környezetében

tx−1e−t ≤ tx−1 =1

t1−x,

amelyből — (1− x) > 0 miatt — a 7.49. tétel szerint következik az∫ b

0

tx−1e−t dt

improprius integrál létezése.



7.3.2. Wallis-formulákEbben az alpontban két nevezetes formulát fogunk bizonyítani. A kimondásukbannem szerepel a határozott integrál fogalma, de a bizonyítás lényegében véve ha-tározott integrálok kiszámításával történik. Az első formula segítségével ki fogjukszámolni a valószinűségelméletben fontos szerepet játszó

∫∞−∞ e−x2

dx határozott in-tegrált. Ez utóbbi kiszámítására a következő alpontban még egy módszert adunk,ezért választani lehet a kettő között.A tétel rövid kimondása érdekében bevezetünk egy elnevezést:

7.54 Definíció. (Szemifaktoriális)Legyen n ∈ N, és vezessük be a következő jelöléseket:

(2n)!! .= 2 · 4 · · · · .(2n− 2) · (2n)

és(2n+ 1)!! .= 3 · 5 · · · · · (2n− 1) · (2n+ 1).

Ezekre a jelölésekre a szemifaktoriális elnevezés szokásos.

7.55 Állítás. (Wallis-formula I.)Fennáll a következő límesz reláció

π

2= lim

n→∞

12n+ 1

[(2n)!!]2

[(2n− 1)!!]2.

A limesz a következő alakba is írható:

π

2= lim

n→∞(2n+ 1)

[(2n)!!]2

[(2n+ 1)!!]2.

A Wallis-formula elméleti érdekessége, hogy limeszként előállítja a π számot, gya-korlatilag pedig azért érdekes, mert sok más formula előállításában felhasználható.

Bizonyítás. A bizonyítás magja a következő két integrálformula:∫ π/2

0

sin2n x dx =(2n− 1)!!

(2n)!!· π

2, (7.23)∫ π/2

0

sin(2n+1) x dx =(2n)!!

(2n+ 1)!!. (7.24)

Először ezeket látjuk be. Legyen k ∈ Z+, és vezessük be a következő jelölést:

Wk =∫ π/2

0

sink x dx.

Ha k > 2, akkor a következőképpen járhatunk el:

Wk =∫ π/2

0

(1− cos2 x) sink−2 dx =

= Wk−2 −∫ π/2

0

cos2 x sink−2 dx. (7.25)



Az integrált parciális integrálással alakítjuk tovább:∫ π/2

0

cos2 x · sink−2 x dx =∫ π/2

0

cosx sink−2︸︷︷︸f ′

cosx︸︷︷︸g

dx =

=

[sink−1 x

k − 1cosx

]π/2

0

−∫ π/2

0

sink−1 x

k − 1︸︷︷︸f ′

− sinx︸︷︷︸ dx =

=1

k − 1

∫ π/2

0

sink dx =1

k − 1Wk.

A számolás eredményét a (7.25) formulába helyettesítve:

Wk = Wk−2 −1

k − 1Wk,

amelyből átrendezéssel Wk-ra a következő rekurzív formulát kapjuk:

Wk =k − 1k

·Wk−2. (7.26)

Ebből a páratlan esetben

W2n+1 =(2n)!!

(2n+ 1)!!·W1,

páros esetben pedig

W2n =(2n− 1)!!

(2n)!!·W0.

Mivel W0 = π/2 és W1 = 1, azonnal megkapjuk a (7.23) és (7.24) formulákat.Most pedig lássuk a Wallis-formula igazolását. A (7.23) és (7.24) egyenlőségek

megfelelő oldalait egymással elosztva kapjuk, hogy∫ π/2

0sin2n x dx∫ π/2

0sin2n+1 x dx

=(2n−1)!!(2n)!!

(2n)!!(2n+1)!!

π

2=

[(2n− 1)!!]2

[(2n)!!]2(2n+ 1)

π

2,

amelybőlπ

2=

∫ π/2

0sin2n x dx∫ π/2

0sin2n+1 x dx

· [(2n)!!]2

[(2n− 1)!!]21

2n+ 1.

Megmutatjuk, hogy az itt szereplő két integrál hányadosa tart az 1-hez, ha n tarta végtelenhez. Ha 0 < x < π/2, akkor 0 < sinx < 1, ezért

0 <∫ π/2

0

sin2n+1 x dx 5∫ π/2

0

sin2n x dx 5∫ π/2

0

sin2n−1 x dx.

Osszuk végig ezt az egyenlőtlenség sorozatot a baloldali integrállal, figyelembe véveazt, hogy (7.26) alapján∫ π/2

0

sin2n+1 x dx =2n

2n+ 1

∫ π/2

0

sin2n−1 x dx

kapjuk, hogy

1 5

∫ π/2

0sin2n x dx∫ π/2

0sin2n+1 x dx

52n+ 1

2n= 1 +

12n,

amelyből következik, hogy az integrálok hányadosa tart az 1-hez, ha az n tart avégtelenhez, és ezzel be is láttuk az első Wallis-formulát.



7.56 Állítás. (Wallis-formula II.)Fennáll a következő limeszformula:

√π = lim

n→∞

(n!)2 · 22n

(2n)! ·√n.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ebből a formulából láthatjuk, hogy milyen vi-szonyban van az n! és (2n)! a „végtelen felé”.

Bizonyítás. Mivel limn→∞(2n)/(2n + 1) = 1, ezért az első Wallis formula —kiemelve a formulában (2n)2/(2n+ 1)-et — így is írható:

π

2= lim

n→∞

[(2n− 2)!!]2

[(2n− 1)!!]2· (2n).

Vonjuk négyzetgyököt, és azután szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt a (2n−2)!! számmal:√

π

2= lim

n→∞

[(2n− 2)!!]2

(2n− 1)!! · (2n− 2)!!·√

2n == limn→∞

22 · 42 · · · · · (2n)2

(2n)!·√

2n2n

=

= limn→∞

(22 · 12)(22 · 22) · · · (22 · n2)(2n)! ·

√2n

= limn→∞

22n(n!)2

(2n)!√

2n,

ami igazolandó volt.

A következő állításban szereplő határozott integrált nem tudjuk kiszámolni azona módon, hogy kiszámoljuk az antideriváltat. Az antiderivált létezik ugyan, de be-látható, hogy a megismert elemi függvények segítségével nem adható meg testmű-veletekkel felépített (véges) formulával.

7.57 Állítás. (Az∫∞−∞ e−x2

dx integrál kiszámolása)

∫ ∞

−∞e−x2

dx =√π.

Bizonyítás. A kiszámítandó improprius integrál konvergenciáját az előző alpont-ban példaként beláttuk. Először jegyezzük meg, hogy az e−x2

függvény párosságamiatt ∫ ∞

−∞e−x2

dx = 2 ·∫ ∞

0

e−x2dx,

ezért elégséges azt megmutatnunk, hogy∫ ∞

0

e−x2dx =

√π

2. (7.27)

Legyen

Gn.=∫ ∞

0

xne−x2dx. (7.28)

Észrevehetjük, hogy ezen integrálok közül a G1 könnyen kiszámolható:

G1 = −12

∫ ∞

0

(−2x)e−x2dx = −1

2

[e−x2

]∞0

=12.

A Gn integrálokra az n = 2 esetben parciális integrálással könnyen levezethetünkegy rekurzív formulát:

Gn = −12

∫ ∞

0

xn−1 · ((−2x)e−x2) dx =

= −12

(xn−1e−x2

)∞0

+12

∫ ∞

0

(n− 1)xn−2e−x2dx =

n− 12

Gn−2,



tehát fennáll a következő rekurzió

Gn =n− 1

2Gn−2, 2 5 n. (7.29)

Ez a rekurzió módot ad arra, hogy beláthassuk a következő formulákat, figyelembevéve azt is, hogy G1 = 1/2:

G2m =(2m− 1)!!

2m−1·G0, (7.30)

G2m−1 =(2m− 2)!!

2m−1·G1 =

(2m− 2)!!2m

· 12. (7.31)

Láthatjuk, hogy a Gm integrálok közül csak a G0 kiszámolása, azaz a tétel iga-zolása van hátra. Szellemes, hogy ezt az összes többi Gm kiszámolásával érjükel. A Gm integrálok között egy egyenlőtlenséget láthatunk be a Cauchy-Schwartz-egyenlőtlenség (Hölder-egyenlőtlenség a p = 2 esetben) segítségével:

Gn =∫ ∞

0

xn−1

2 e−x22︸︷︷︸

f

·xn+1

2 e−x22︸︷︷︸

g

5

5

∫ ∞

0

xn−1e−x2︸︷︷︸f2

dx

1/2

·

∫ ∞

0

xn+1e−x2︸︷︷︸g2

dx

1/2

=

=√Gn−1 ·

√Gn+1,

tehát beláttuk, hogyG2

n 5 Gn−1 ·Gn+1. (7.32)A (7.29) rekurziós formula és ezen egyenlőtlenség felhasználásával újabb egyenlőtlen-séget láthatunk be. A (7.32) egyenlőtlenség jobboldalán lévő Gn+1-re alkalmazzukaz említett rekurziót:

G2n 5 Gn−1 ·Gn+1 = Gn−1 ·

n

2Gn−1 =

n

2G2

n−1,

amelyből átrendezéssel kapjuk, hogy

G2n−1 =

2nG2

n. (7.33)

A (7.32) egyenlőtlenségben (2m)-et írva az n helyébe G22m 5 G2m−1 · G2m+1 adó-

dik, a (7.33)-ben pedig (2m + 1)-et téve az n helyébe azt kapjuk, hogy G22m =

22m+1G

22m+1. Ezeket az egyenlőtlenségeket egy sorba írva kapjuk, hogy

22m+ 1

G22m+1 5 G2

2m 5 G2m−1 ·G2m+1. (7.34)

Ha most a (7.30) és (7.31) formulák szerint helyettesítünk a Gn-ek helyébe, akkora következőképpen alakulnak az egyenlőtlenségek:

22m+ 1

((2m)!!

2m· 12

)2

5

((2m− 1)!!

2m

)2

·G20 5

(2m− 2)!!2m−1

12· (2m)!!

2m

12.

Ebből egyszerű átosztással és rendezéssel kapjuk, hogy

12·(

(2m)!!(2m+ 1)!!

)2

(2m+ 1) 5 G20 5

12

((2m)!!

(2m+ 1)!!

)2

(2m+ 1)2m+ 1

2m.

Az egyenlőtlenség két oldala a Wallis-formula szerint tart a π/4-hez, ezért a közbülsőtagra adódik, hogy

G0 =√π

2,

ami pontosan az állítás.



7.3.3. A gamma- és bétafüggvényEbben a pontban két olyan függvényt vezetünk be, és vizsgálunk, amelyek elsősor-ban a valószínűségelméletben kerülnek felhasználásra. Az első függvényt fontosságamiatt célszerű elemi függvényeink közé felvenni.

7.58 Definíció. (Euler-féle Γ-függvény)Legyen 0 < x. Az

x 7→∫ ∞

0

tx−1e−t dt

módon definiált (R+ → R+) függvényt Euler-féle Γ-függvénynek — röviden: Γ-függvénynek — fogjuk mondani, és Γ fogja jelölni.

Az definícióban szereplő improprius integrál konvergenciáját az 7.53. feladatbanigazoltuk, és a következő tételben néhány fontos tulajdonságát látjuk be:

7.59 Állítás. (A Γ-függvény elemi tulajdonságai)A Γ-függvény rendelkezik a következő tulajdonságokkal.

(1) Minden pozitív x számra Γ(x+ 1) = x · Γ(x).

(2) Ha n ∈ N, akkor Γ(n+ 1) = n!.

(3) A Γ függvény logaritmusa konvex a (0,∞) intervallumban.

A (3) állítás szerint a Γ-függvény a faktoriális általánosításának tekinthető.

Bizonyítás. (1): Parciális integrálással kapjuk, hogy

Γ(x+ 1) =∫ ∞

0

txe−t dt = [−txe−t]∞0 + x

∫ ∞

0

tx−1e−t dt = xΓ(x).

(2): Az (1) rekurzió alapján

Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n(n− 1)Γ(n− 1) = · · · = (n(n− 1) · · · 1)∫ ∞

0

e−t dt = n!

(3): A Hölder-egyenlőtlenséget fogjuk alkalmazni, ezért a konvex kombináció együtt-hatóit 1/p és 1/q formában vesszük, ahol

1p

+1q

= 1 és 1 < p, q.

Legyen az x és y szám pozitív és alkalmazzuk a Hölder-egyenlőtlenséget:

Γ(x

p+y

q

)=

∫ ∞

0

txp + y

q−1e−t dt =

=∫ ∞

0

tx/p−1/pe−t/p︸︷︷︸f

· ty/q−1/qe−t/q︸︷︷︸g

dx 5

=

∫ ∞

0

tx−1e−t︸︷︷︸fp

dt

1/p

·

∫ ∞

0

ty−1e−t︸︷︷︸gq

dt

1/q

=

= [Γ(x)]1p · [Γ(y)]

1q .

Véve az előző formula sorozat elejének és végének a logaritmusát kapjuk, hogy

log[Γ(x

p+y

q

)]5

log(Γ(x))p

+log(Γ(y))

q,



amely éppen a konvexitás egyenlőtlensége a log Γ függvényre.

Szép és hasznos állítás: az előző állítás (1)–(3) állításait csak a Γ-függvény tel-jesíti:

7.60 Állítás. (Függvényegyenlete és logkonvexitása meghatározza a Γ-függényt)Ha egy f : R+ → R+, pozitív helyeken pozitív függvény rendelkezik a következőtulajdonságokkal, akkor f = Γ.

(1) Minden pozitív x-re f(x+ 1) = x · f(x).

(2) f(1) = 1.

(3) Az f logkonvex, azaz az x 7→ log(f(x)) függvény konvex a (0,∞) intervallu-mon.

Bizonyítás. Azt mutatjuk meg, hogy ha egy f függvény kielégíti a tétel felté-teleit, akkor egyértelműen meghatározott. Ebből már adódik az állítás, hiszen aΓ-függvény kielégíti a feltételeket, tehát szükségképpen f = Γ.

Az (1) és (2) szerint elégséges belátni azt, hogy az f egyértelműen meghatározotta (0, 1) intervallumban. Ha az f logaritmusát φ-vel jelöljük, és vesszük az (1)logaritmusát, azt kapjuk, hogy

φ(x+ 1) = φ(x) + log(x). (7.35)

Alkalmazzuk ezt a rekurziót a φ(x+ n+ 1)-re:

φ((x+ n) + 1) = φ(x+ n) + log(x+ n) = φ((x+ n− 1) + 1) + log(x+ n) == φ(x+ n− 1) + log(x+ n− 1) + log(x+ n) = · · · == φ(x) + log(x) + log(x+ 1) + · · ·+ log(x+ n) == φ(x) + log[x(x+ 1) · · · (x+ n)],

tehátφ(n+ 1 + x) = φ(x) + log[x(x+ 1) · · · (x+ n)]. (7.36)

A φ függvény konvexitása miatt a

t 7→ φ(n+ 1 + t)− φ(n+ 1)t

,

(n+ 1) helynél vett különbségi hányados monoton növekedő, természetesen olyan tértékekre, amelyekre a φ argumentumai pozitívak. Ebből a monotonitásból pedig,véve a t = −1, t = x és t = 1, (−1 < x < 1) értékeket (itt használtuk ki, hogy0 < x < 1), kapjuk, hogy

φ(n)− φ(n+ 1)−1

5φ(n+ 1 + x)− φ(n+ 1)

x5φ(n+ 2)− φ(n+ 1)

1,

amelyben a két szélső tagra (7.35) szerint a következőket írhatjuk:

log n 5φ(n+ 1 + x)− φ(n+ 1)

x5 log(n+ 1).

Ezt x-szel szorozva és balról nullára rendezve:

0 5 φ(n+ 1 + x)− φ(n+ 1)− x log(n) 5 x log(

1 +1n

).



A középső tagban a φ(n+1+x) helyére a (7.35) szerinti kifejezést, a φ(n+1) helyérepedig az (1) és (2) feltétel szerint adódó log(n!) értéket beírva:

0 5 φ(x) + log[x(x+ 1) · · · (x+ n)]− log(n!)− x log(n) 5 x log(

1 +1n

).

azaz0 5 φ(x)− log

(n! · nx

x(x+ 1) · · · (x+ n)

)5 x log

(1 +

1n

).

A jobboldali kifejezés tart a nullához, ha n tart a végtelenhez, ezért adódik, hogy

φ(x) = limn→∞

log(

n!nx

x(x+ 1) · · · (x+ n)

).

Eszerint az f függvény a (0, 1) intervallumban — és így az (1) feltétel szerint mindenpozitív értékre — egyértelműen meghatározott:

f(x) = limn→∞

n!nx

x(x+ 1) · · · (x+ n).

A bizonyításban szereplő előző limesz érdekes és hasznos előállítást ad a Γ-függvényre, ezért külön állításban is megfogalmazzuk.

7.61 Állítás.Ha az x pozitív valós szám, akkor

Γ(x) = limn→∞

n! · nx

x(x+ 1) · · · (x+ n).

Bizonyítás. A 0 < x < 1 esetben a bizonyítás utolsó egyenlőségével egyezik megaz állítás, erről az esetről pedig a függvényegyenlet segítségével át lehet vinni tet-szőleges x ∈ R++ számra.

7.62 Definíció. (Bétafüggvény)Legyenek az x és y pozitív számok. A

B(x, y) .=∫ 1

0

tx−1(1− t)y−1 dt

módon definiált függvényt bétafüggvénynek nevezzük.

A definiáló integrál improprius, ha x < 1 vagy y < 1, mivel ekkor az 1 illetve 0helyek környezetében korlátlan az integrálandó függvény. A konvergencia bizonyí-tását a gyakorlatokra hagyjuk.

7.63 Állítás. (A gamma- és bétafüggvények tulajdonságai)Legyenek az x és y pozitív számok. Ekkor igazak a következő állítások.

(a) B(x+ 1, y) = xx+yB(x, y).

(b) Az x 7→ log(B(x, y)) függvény, minden rögzített y mellett konvex.

(c) B(x, y) =Γ(x)Γ(y)Γ(x+ y)

.



A (c) formula szerint a bétafüggvénynek is van kombinatorikai tartalma: a bi-nomiális együttható reciproka általánosításának tekinthető, hiszen

B(n+ 1,m+ 1) =n!m!

(n+m)!=

1(n+m

n

) .Bizonyítás. (a): A Γ-függvény rekurziós formulájához hasonlóan most is parciálisintegrálás vezet a célhoz:

B(x+ 1, y) =∫ 1

0

tx(1− t)y−1 dt =∫ 1

0

(t

1− t

)x

︸︷︷︸u

(1− t)x+y−1︸︷︷︸v′

dt =

=[(

t

1− t

)x(− (1− t)x+y

x+ y

)]10

−∫ 1

0

x

(t

1− t

)x−1 (1− t) + t

(1− t)2

(− (1− t)x+y

x+ y

)dt =

=x

x+ y

∫ 1

0

tx−1(1− t)y−1 dt =x

x+ yB(x, y).

(b): vegyük azx1

p+x2

q,

1p

+1q

= 1 és 1 < p, q

konvex kombinációt, és most is — ahogyan a Γ-függvénynél tettük — alkalmazzuka Hölder-egyenlőtlenséget:

B

(x1

p+x2

q, y

)=

∫ 1

0

tx1p +

x2q −1(1− t)y−1 dt

=∫ 1

0

tx1p −

1p (1− t)

y−1p︸︷︷︸

f

tx2q −

1q (1− t)

y−1q︸︷︷︸

g

dt 5

5

∫ 1

0

tx1−1(1− t)y−1︸︷︷︸fp

dt

1/q

·

∫ 1

0

tx2−1(1− t)y−1︸︷︷︸gq

dt

1/p

= [B(x1, y)]1/p · [B(x2, y)]1/q.

A számolássorozat elejének és végének a logaritmusát véve adódik az állítás.(c): A bizonyítandó formulából a Γ(x)-et kifejezve:

Γ(x) =Γ(x+ y)

Γ(y)·B(x, y).

Emiatt elégséges azt látnunk, hogy az

f(x) .=Γ(x+ y)

Γ(y)·B(x, y),

módon definiált függvény megegyezik a Γ-függvénnyel. Az y változót tetszőleges,de rögzített számnak vesszük. A bizonyításhoz megmutatjuk, hogy az f függvénykielégíti a 7.60. állítás (1)–(3) feltételeit, és így megegyezik a Γ-függvénnyel:



(1) f(x + 1) = xf(x): A már belátott (a) állítást és a Γ-függvényre vonatkozórekurziót használjuk fel:

f(x+ 1) =Γ(x+ y + 1)

Γ(y)B(x+ 1, y) =

=(x+ y)Γ(x+ y)

Γ(y)x

x+ yB(x, y) = xf(x).

2) f(1) = 1: Egyszerű számolás.3) A log f konvex: Az f függvény

log(f(x)) = log(Γ(x+ y))− log(Γ(y)) + log(B(x, y))

logaritmusában három összeadandó szerepel. Az első konvex a Γ-függvény logarit-musának a konvexsége miatt. A második tag állandó és így konvex. A harmadik tagkonvex a már belátott (b) állítás miatt. Mivel konvex függvények összege is konvex,ezért az f kielégíti a kívánt feltételeket, és így megegyezik a gammafüggvénnyel.

A feladatok között megtalálhatjuk az egyszer már kiszámolt nevezetes∫ ∞

−∞e−x2

dx =√π

integrálformula igazolását. Az itt adott bizonyítás egyszerűbb, mint az előző al-pontban látott.


8. fejezet

Valós-valós konvex függvények

8.1. Affin és konvex kombináció, szakasz

8.1.1. AlapfogalmakA valós egyenes egy α pontját — azaz az α valós számot — a következőképpen isfelfoghatjuk. Az R valós egyenes 1 pontja kitüntetett szerepben, rögzítve van, ésekkor az α ∈ R szám azt mondja meg, hogy mivel kell szorozni az 1-et, hogy azα ponthoz jussunk. Az 1 helyett persze tetszőleges, másik, nemnulla számot is vá-laszthatunk volna kitüntettnek, és a mondott elven adhatnánk meg a valós egyenespontjait. A legegyszerűbb természetesen az 1-et választani a „skála” egységének.

Másképpen is megadhatjuk az R egyenes pontjait. Ha egy helyett két külön-böző u és v pontot rögzítünk, akkor látni fogjuk, hogy λu + (1 − λ)v alakban isegyértelműen megadhatjuk a valós egyenes pontjait. Ez a megadási mód bizonyosesetekben célszerűbb. Ezt a megadási módot vezetjük most be, és lássuk először azelnevezéseket:

8.1 Definíció. (Valós számok affin és konvex kombinációja)Két u, v ∈ R szám affin kombinációjának mondjuk az

x = λ1u+ λ2v, λ1, λ2 ∈ R és λ1 + λ2 = 1.

módon kapott x számot. A λ1 és λ2 számokat a kombináció együtthatóinak mond-juk. Ha a λ1 és λ2 együtthatók nemnegatívak, akkor az affin kombinációt konvexkombinációnak mondjuk.

Az x = λ1u+ λ2v alak helyett gyakorta az x = λ1u+ (1− λ1)v alak használatacélszerű, amely abból a szempontból előnyösebb, hogy nem kell külön mondanunka λ1 + λ2 = 1 feltevést. Hasonlóan a konvex kombináció leggyakoribb megadása:

x = λu+ (1− λ)v, λ ∈ [0, 1].

A következő állítás szerint minden valós szám egyértelműen adható meg két, külön-böző valós szám affin kombinációjaként:

8.2 Állítás. (A valós egyenes pontjainak a megadása affin kombinációval)Legyen az u < v két tetszőleges, de rögzített valós szám, és x ∈ R tetszőleges szám.Ekkor igazak a következők.

(1) Tetszőleges x valós szám egyértelműen írható fel

x = λu+ (1− λ)v,

246

8.1. AFFIN ÉS KONVEX KOMBINÁCIÓ, SZAKASZ 247

affin kombinációként. Pontosan megadva az együtthatókat:

x =v − x

v − uu+

x− u

v − uv. (8.1)

(2) Az u < v pontok három részre osztják az R egyenest, és az affin kombinációegyütthatóiból leolvasható, hogy hová esik az x szám:

x 5 u, ha 1 5 λ,u 5 x 5 v, ha 0 5 λ 5 1,v 5 x, ha λ 5 0.

Bizonyítás. (1): A kívánt előállítás létezését és egyértelműségét egyszerre igazol-juk azzal, hogy az x = λu+ (1− λ)v egyenletből kiszámítjuk a λ számot:

x = λu+ (1− λ)v =⇒ x− u = (1− λ)(v − u) =⇒ λ =v − x

v − u.

Ennek megfelelően az x affin kombinációként való előállítása:

x =v − x

v − uu+

x− u

v − uv,

feltéve, hogy u 6= v.(2): Az u < v pontok három részre osztják az R valós egyenest. Az affin előállításegyütthatóiból könnyen leolvasható, hogy melyik részbe esik az x szám:

1) Az x 5 u pontosan akkor áll fenn, ha 1− λ = (x− u)/(v − u) 5 0.2) Az u 5 x 5 v pontosan akkor áll fenn, ha 1 − λ = (x − u)/(v − u) = 0 és

λ = (v − x)/(v − u) = 0.3) Az x = v pontosan akkor áll fenn, ha λ = (v − x)/(v − u) 5 0.

Konvex kombináció esetében — fontossága miatt — újra megfogalmazzuk a 8.2.állítás ide tartozó részét:

8.3 Állítás. (Szakasz, konvex kombináció)Az [u, v], (u 5 v) zárt intervallum (szakasz) tetszőleges x pontja egyértelműen írhatófel

x = λu+ (1− λ)v, λ ∈ [0, 1]

formában. Az x pontot az u és v pontok λ és (1 − λ) súlyokkal vett konvex kom-binációjának vagy súlyozott számtani közepének mondjuk. A konvex kombinációegyütthatóinak pontos értéke:

x =v − x

v − uu+

x− u

v − uv. (8.2)

Gyakorta előfordul, hogy a (8.2) formulát használnunk kell, ezért — habár bár-mikor gyorsan meghatározható — feltétlenül érdemes megjegyezni a képzési szabá-lyát: Ha a < c < b, akkor a c pont a és b pontokkal való kifejezésében a súlyokolyan törtek, amelyben a nevező az [a, b] intervallum hossza, a számlálók pedig a[c, b] illetve az [a, c] intervallum hossza, amit a 8.1. ábrán szemléltetünk.

A konvex kombinációnak fizikai értelmezés adható — ahonnan a „súlyozott” szóis ered — amely más esetekben is használható: ha az u illetve v pontokba λ illetve(1−λ) tömegű anyagi pontokat képzelünk, akkor a súlypontjukat az x = λu+(1−λ)vkonvex kombináció adja meg.

A konvex kombináció fogalmát kettő helyett véges sok számra is általánosíthat-juk, de ekkor már nincs szó egyértelműségről.


8.2. KONVEX ÉS KONKÁV FÜGGVÉNY FOGALMA 248

8.1. ábra. Affin és konvex kombináció együtthatói

8.4 Definíció. (Konvex kombináció, számtani közép)Legyenek az x1, x2, . . . , xn tetszőleges számok. Legyenek továbbá

λ1, λ2, . . . , λn ∈ [0, 1] és λ1 + λ2 + · · ·+ λn = 1.

Ekkor a

λ1x1 + λ2x2 + · · ·+ λnxn =n∑

i=1

λixi

módon definiált számot az xi, i = 1, . . . , n számok λi, i = 1, . . . , n súlyokkal vettkonvex kombinációjának vagy súlyozott számtani közepének nevezzük.

Abban az esetben, ha mindegyik súly azonos, azaz 1/n, akkor a már ismert

x1 + x2 + · · ·+ xn

n

számtani közepet kapjuk, amit az x1, x2, . . ., xn számok átlagának is mondanak.Egy egyszerű észrevétel a súlyozott számtani közép nagyságára:

8.5 Állítás. (Súlyozott számtani közép, minimum és maximum)Tetszőleges x1, x2, . . . , xn számok tetszőleges, λi ∈ [0, 1], i = 1, . . . , n,

∑ni=1 λi = 1

súlyokkal vett∑n

i=1 λixi, súlyozott számtani közepe a számok minimuma és maxi-muma közé esik, azaz

min1≤i≤n

xi ≤n∑

i=1

λixi ≤ max1≤i≤n

xi.

Bizonyítás. A következő két egyszerű egyenlőtlenség adja az eredményt:n∑

i=1

λixi 5n∑

i=1

λi

(max

15i5nxi

)= max

1≤i5nxi ·

n∑i=1

λi = max1≤i5n

xi,

n∑i=1

λixi =n∑

i=1

λi

(min

15i5nxi

)= min

15i5nxi ·

n∑i=1

λi = min1≤i≤n

xi.

8.2. Konvex és konkáv függvény fogalma

8.2.1. Definíciók8.6 Definíció. (Affin függvény az R egyenesen)

Az f : R → R függvényt affinnak mondjuk, ha

f(λξ + (1− λ)η) = λf(ξ) + (1− λ)f(η), minden λ, ξ, η ∈ R számokra,

amit úgy mondunk, hogy az f őrzi az affin kombinációt.

A feladatok között részletezzük, hogy az affin függvény x 7→ mx+ b alakú, azaza jólismert egyenes.



8.7 Definíció. (Konvex függvény, konkáv függvény)Legyen az f függvény egy I intervallumon értelmezett. Ha minden x1, x2 ∈ I pon-tokra és λ ∈ [0, 1] számra

f(λx1 + (1− λ)x2) 5 λf(x1) + (1− λ)f(x2) (8.3)

akkor az f függvényt konvexnek mondjuk. Ha a (8.3) egyenlőtlenség minden x1, x2 ∈I és λ ∈ [0, 1] esetén fordított irányban teljesül, akkor konkávnak mondjuk a függ-vényt. Ha a definícióban szereplő egyenlőtlenség szigorúan teljesül, kivéve az

x1 = x2, vagy λ = 1 vagy 0

eseteket, akkor szigorú konvexitásról illetve konkávitásról beszélünk.

A konkáv függvény tipikus ábráját a 8.2.rajzunk illusztrálja. Az f : I → Rfüggvény pontosan akkor konvex, ha (−f) konkáv.

8.2. ábra. Konvex és konkáv függvény.

A konvex függvény definícióját összekapcsolva a szakasz pontjainak a 8.3. állí-tásban lévő megadásával megfogalmazhatunk egy nagyon egszerű állítást, amelynekalaplemma nevet adunk, mert a tárgyalás során a leggyakrabban használt segédesz-közök egyike lesz:

8.8 Lemma. (Alaplemma)Legyen az I intervallum. Ekkor az f : I → R függvény pontosan akkor konvex, haminden a < c < b pontjára az I intervallumnak

f(c) 5b− c

b− af(a) +

c− a

b− af(b).

Bizonyítás. Mivel a 8.3. állítás szerint a c konvex előállítása:

c =b− c

b− aa+

c− a

b− ab,

ezért a konvexitás definíciójából azonnal adódik az eredmény.

8.2.2. Konvex függvény geometriai definíciójaEgy valós függvény gráfja az R2 sík részhalmaza, ezért az ábrázolások kedvéérteggyel magasabb dimenzióba kell lépnünk. A konvex függvények ábrázolásánál agráfnál hasznosabb a kövekező fogalom használata:

8.9 Definíció. (Valós függvény epigráfja)Legyen az I intervallum, és f : I → R. Ekkor az R2 sík

(x, α) ∈ R : f(x) 5 α

részhalmazát az f függvény epigráfjának (gráffeletti halmaznak)hívjuk, és az epi(f)jelölést fogjuk használni. Hasonló a hypográf: hip(f) .= (x, α) ∈ R2 : f(x) = αdefiníciója.

A fogalmat a [0, 2π] intervallumon értelmezett sin függvény epigráfjával szemlél-tetjük a 8.3.(a) ábrán. Az epigráf hasznosságának a megismeréséhez be kell vezetniaz R2 síkon is a konvex kombináció és konvex halmaz fogalmát. Ezzel a kérdésselkésőbb — általánosabb körülmények között — részletesen foglalkozni fogunk, ezértitt csak nagyvonalúan beszélünk a kérdésről.



8.3. ábra. Függvények epigráfja.

8.10 Definíció. (Konvex kombináció az R2 síkon)Az R2 sík x és y vektora konvex kombinációjának nevezzünk egy

λx+ (1− λ)y, λ ∈ [0, 1]

alakú vektort. A konvex kombinációk

z ∈ R2 : z = λx+ (1− λ)y, λ ∈ [0, 1]

összességét az x és y pontokat összekötő szakasznak mondjuk.

A konvex kombináció nagyon szemléletes fogalom: a sík x és y pontjait összekötőegyenes darab (szakasz) egy pontja.

8.11 Definíció. (Konvex halmaz az R2 síkon)Az R2 sík egy C részhalmazát konvexnek mondjuk, ha két pontjával együtt azoktetszőleges konvex kombinációját is tartalmazza, formálisan:

x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] =⇒ λx+ (1− λ)y ∈ C.

Más szavakkal: Ha az x és y pont elem a C halmaznak, akkor a két pontot összekötőszakasz is része a C halmaznak. Rajzolgatva szemléletet alkothatunk magunknaka konvex halmazokról. Érdekes, hogy az R egyenes esetében a konvex halmaz fo-galma egybeesett a az intervallum fogalmával, most pedig az R2 síkon nagyon eltérőalakzatok konvex halmazok: példál konvex egy körlemez, egy háromszög, egy há-romszög elvéve a csúcspontjait, vagy az R+ × R+ térnegyed, stb.. A 8.3.(b) ábránszemléltetjük a fogalmat.

A síkon vett konvex kombináció segítségével a konvex függvénynek egy szemlé-letes jellemzését adhatjuk meg, amit egy újabb definíciónak is tekinthetünk:

8.12 Állítás. (Konvex függvény epigráfja konvex halmaz)Legyen az I intervallum és f : I → R. Az f függvény pontosan akkor konvex, ha azepigráfja konvex.

Konkáv függvényre hasonló állítás igaz: az f függvény pontosan akkor konkáv, haa hipográfja (a gráf alatti halmaz) konvex.

Bizonyítás. Először belátjuk, hogy konvex függvény epigráfja konvex. Legyenehhez λ ∈ [0, 1] és (x, α), (y, β) ∈ epi(f), azaz f(x) 5 α és f(y) 5 β. Szorozvaaz egyenlőtlenségeket a λ illetve (1− λ) számokkal és összedva, kapjuk, hogy

λf(x) + (1 + λ)f(y) 5 λα+ (1− λ)β,

amelyet — mivel az f konvex — így folytathatunk:

f(λx+ (1 + λ)y) 5 λf(x) + (1 + λ)f(y) 5 λα+ (1− λ)β,

és így f(λx+(1+λ)y) 5 λα+(1−λ)β, tehát (λx+(1+λ)y, λα+(1−λ)β) ∈ epi(f),ami azt jelenti, hogy az epi(f) halmaz konvex.

Most pedig lássuk be, hogy az epigráf konvexitásából következik a függvénykonvexitása. Legyen ehhez x, y ∈ I és λ ∈ [0, 1]. Az (x, f(x)) és (y, f(y)) pontok



nyilvánvalóan elemei az f epigráfjának, és így a konvexitás miatt eleme a konvexkombinációjuk is:

λ(x, f(x))+(1−λ)(y, f(y)) ∈ epi(f), azaz (λx+(1−λ)y, λf(x)+(1−λ)f(y)) ∈ epi(f).

Ez viszont azt jelenti, hogy f(λx + (1 − λ)y) 5 λf(x) + (1 − λ)f(y), tehát az ffüggvény konvex.

A 8.12. állítás szerint a függvények konvexitásának a fogalmát visszavezettükhalmazok konvexitására. Később ez általánosan használt, eredményes eszköz lesz,most azonban csak arra használtuk, hogy más oldalról is lássuk a konvex függvényfogalmát.

Konkáv halmaz nincs, habár a nemkonvex halmazt néha konkávnak mondják, deez nem helyes szóhasználat. Emlékeztetünk ugyanis arra, hogy a konkáv függvénynem azt jelentette, hogy nem-konvex, hanem azt,hogy a negatívja konvex.

8.2.3. Konvex függvények jellemzéseiNagyon fontos jellemzése a konvex függvényeknek az monotonitási kritérium:

8.13 Állítás. (Monotonitási kritérium)Legyenf az I intervallumon definiált függvény. Az f pontosan akkor konvex, haminden x ∈ I ponthoz tartozó

y 7−→ f(y)− f(x)y − x

, x, y ∈ I r x

differenciahányados leképezés monoton növekedő.

Más, szokott formában írva a különbségi hányadost, a tétel azt állítja, hogy a

h 7−→ f(x+ h)− f(x)h

, x, x+ h ∈ I és h 6= 0

függvény monotonitása az f függvény konvexitásával ekvivalens.

Bizonyítás. Először azt látjuk be, hogy konvex függvény esetén a különbségi há-nyados monoton növekedő. Jelölje a differencia hányadost

D(x; y) .=f(y)− f(x)

y − x.

A monotonitás azt jelenti, hogy

a < b⇒ f(a)− f(x)a− x

5f(b)− f(x)

b− x.

A bizonyításban csak az jelent gondot, hogy több esetet kell megkülönböztetnünk,aszerint, hogy hol helyezkednek el az u és v pontok az x ponthoz képest. Legyenehhez

u < v < x < z < w.

Minden lehetséges elhelyezkedést tartalmaznak a

1) D(x;u) 5 D(x; v), 2) D(x; v) 5 D(x; z), 3) D(x; z) < D(x;w)

esetek. Az egyenlőtlenségek igazolása egyforma módon, a 8.8. alaplemma felhasz-nálásával történik. Mindössze azt kell tennünk, hogy az alaplemma egyenlőtlenségétalkalmas módon át kell rendeznünk, vagy az 1)–3) egyenlőtlenségeket rendezzük át



az alaplemma egyenlőtlenségébe. A lényeg az, hogy ezek azonos átalakításokkaltörténjenek.1) Írjuk fel az alaplemma egyenlőtlenségét az u < v < x pontokra:

f(v) 5x− v

x− uf(u) +

v − u

x− uf(x),

amelyből (x−u)f(v) 5 (x− v)f(u)+ (v−u)f(x). Ezt pedig az f(x) együtthatóját((x− u)− (x− v)) alakba írva a következőképpen rendezhetjük:

(x− u)(f(v)− f(x)) 5 (x− v)(f(u)− f(x)),

amelyből — végigosztva a (x− v) · (x− u) pozitív számmal — kapjuk, hogy

f(v)− f(x)x− v

5f(u)− f(x)

x− u, amelyből

f(v)− f(x)v − x

=f(u)− f(x)

u− x,

amit be kellett látnunk.2) Írjuk fel az alaplemma egyenlőtlenségét az v < x < z pontokra:

f(x) 5z − x

z − vf(v) +

x− v

z − vf(z),

amelyből (z− v)f(x) 5 (z−x)f(v)+ (x− v)f(z). Az f(x) együtthatóját ((z−x)+(x − v)) alakba írva ezt a következőképpen rendezhetjük: (z − x)(f(x) − f(v)) 5(x− v)(f(z)− f(x)). Végigosztva a (z− x) · (x− v) pozitív számmal, kapjuk, hogy

f(x)− f(v)x− v

5f(z)− f(x)

z − x, amelyből

f(v)− f(x)v − x

5f(z)− f(x)

z − x.

3) Írjuk fel az alaplemma egyenlőtlenségét az x < z < w pontokra:

f(z) 5w − z

w − xf(x) +

z − x

w − zf(w),

amelyből (w − x)f(z) 5 (w − z)f(x) + (z − x)f(w). Az f(x) együtthatóját ((w −x)− (z − x)) alakba írva a következőképpen rendezhetjük:

(w − x)(f(z)− f(x)) 5 (z − x)(f(w)− f(x)),

amelyből — végigosztva a (w − x)(z − x) pozitív számmal — kapjuk, hogy

f(z)− f(x)z − x

5f(w)− f(x)

w − x.

Az állítás azon része, hogy a differencia-hányados monotonitásából következik a kon-vexitás, nagyon egyszerű. Az 1)-3) állítások bármelyikéből következik az f konvexi-tása, hiszen mindegyik esetben az alaplemma egyenlőtlenségét — amely ekvivalensa függvény konvexitásával — rendeztük át azonos átalakításokkal a monotonitásiegyenlőtlenségekké.

A bizonyítás hosszú volta senkit se csapjon be, mert az eljárás mindhárom eset-ben azonos volt, és csak az én részletezési hóbortom miatt ilyen hosszú. Rövidebbbizonyíás kellene.


8.3. KONVEX FÜGGVÉNYEK ELEMI TULAJDONSÁGAI 253

8.3. Konvex függvények elemi tulajdonságai

8.3.1. Konvex függvények korlátossága és L-folytonossága8.14 Állítás. (Konvex függvény korlátossága)

Ha egy f : [a, b] → R függvény konvex, akkor korlátos.

Bizonyítás. A felülről való korlátosság: Ha az x tetszőleges pontja az [a, b] inter-vallumnak, akkor van olyan 0 ≤ λ ≤ 1, hogy x = λa+ (1− λ)b, és így a konvexitásszerint

f(x) = f(λa+ (1− λ)b) ≤ λf(a) + (1− λ)f(b) ≤ maxf(a), f(b),

tehát az M .= maxf(a), f(b) felső korlát az f értékeire.Az alulról való korlátosság: Az [a, b] intervallum tetszőleges x pontjához van

olyan t szám, hogy x = a+b2 + t. A konvexitás felhasználásával:

f

(a+ b

2

)= f

[12

(a+ b

2+ t

)+

12

(a+ b

2− t

)]≤ 1

2f

(a+ b

2+ t

)+

12f

(a+ b

2− t

)=

12f(x) +

12f

(a+ b

2− t

),

amelyből

f(x) = 2 · f(a+ b

2

)− f

(a+ b

2− t

)≥ 2 · f

(a+ b

2

)−M,

ahol az M a bizonyítás első felében megadott felső korlátja az f -nek. Eszerint az

m.= 2 · f

(a+ b

2

)−M

szám egy alsó korlát.

8.15 Állítás. (Konvex függvény L-folytonossága)Legyen az f konvex függvény az I intervallumon, és [a, b] része az I belsejének.Ekkor van olyan C szám, hogy

|f(x)− f(y)| 5 C · |x− y|, ha x, y ∈ [a, b],

azaz f Lipschitz-folytonos az [a, b] intervallumban.

Másképpen fogalmazva: Konvex függvény L-folytonos minden olyan korlátosés zárt intervallumban, amely része értelmezési tartománya belsejének. Az L-folytonosság természetesen maga után vonja a folytonosságot.

Bizonyítás. Első bizonyítás. Legyen az ε pozitív szám olyan kicsi, hogy [a −ε, b + ε] ⊆ I, és legyen a < x < y < b. Írjuk fel az alaplemma egyenlőtlenségéta− ε < x < y és x < y < b+ ε pontokra:

f(x) 5y − x

y − a+ εf(a− ε) +

x− a+ ε

y − a+ εf(y),

f(y) 5b+ ε− y

b+ ε− xf(x) +

y − x

b+ ε− xf(b+ ε).



Ezeket átrendezve kapjuk, hogy

f(x)− f(y) 5y − x

y − a+ ε(f(a− ε)− f(y)),

f(y)− f(x) 5y − x

b+ ε− x(f(b+ ε)− f(x)).

A jobboldalon lévő törtekre:

y − x

y − a+ ε5|y − x|ε

ésy − x

b+ ε− x5|y − x|ε

.

Ezeket felhasználva —M -mel illetvem-mel jelölve az f egy felső illetve alsó korlátjátaz [a− ε, b+ ε] intervallumon — kapjuk, hogy

f(x)− f(y) 5y − x

y − a+ ε(f(a− ε)− f(y)) 5

|y − x|ε

(M −m),

f(y)− f(x) 5y − x

b+ ε− x(f(b+ ε)− f(x)) 5

|y − x|ε

(M −m).

Ezekből pedig

|f(x)− f(y)| 5 M −m

ε· |y − x|,

ami igazolandó volt.Második bizonyítás. Ez a bizonyítás csak a folytonosságot igazolja az L-ség helyett,de átalakítható úgy, hogy a tételt is igazolja. Legyen c ∈ (a, b) egy tetszőlegesrögzített pont. Láttuk, hogy az c pontban vett

x→ f(x)− f(c)x− c

különbségi hányados monoton növekedő, ezért — ha a < x < b és x 6= c — akkor

f(a)− f(c)a− c

5f(x)− f(c)

x− c5f(b)− f(c)

b− c.

Ebből pedig ∣∣∣∣f(x)− f(c)x− c

∣∣∣∣ 5 max∣∣∣∣f(b)− f(c)

b− c

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣f(a)− f(c)a− c

∣∣∣∣ ,amelyből kapjuk, hogy f(x)− f(c)| 5 K · |x− c|, ahol K a jobboldali maximumotjelöli, tehát az f folytonos a c pontban.

Az előző bizonyítás voltaképpen egy erősebb tételt tartalmaz, ahhoz azonbankét új fogalom kell:

8.16 Definíció. (Függvénycsalád egyenletes L-folytonossága)Legyen az I intervallum és az F halmaz pedig I → R függvények egy családja. Aztmondjuk, hogy az F függvénycsalád egyenletesen L-folytonos — röviden: egyenlete-sen L — ha van olyan K szám, hogy

∀f ∈ F, x, y ∈ I |f(x)− f(y)| 5 K · |x− y|.

Az egyenletesség azt jelenti, hogy az F függvényhalmaz elemei olyan L-folytonosfüggvények, amelyekre az L-folytonosságban szereplő konstans minden függvényreazonosnak vehető.



8.17 Definíció. (Függvénycsalád egyenletes korlátossága)Legyen az I intervallum és az F I → R függvények egy családja. Azt mondjuk, hogyaz F függvénycsalád egyenletesen korlátos, ha van olyan K szám, hogy

∀f ∈ F, x ∈ I |f(x)| 5 K.

8.18 Állítás. (Konvex függvények családjának egyenletes L-folytonossága)Legyen F az I intervallumon definiált konvex függvények egy olyan családja, amelyegyenletesen korlátos minden, az I intervallum belsejében lévő korlátos és zárt in-tervallumon. Ekkor az F család minden olyan korlátos és zárt intervallumon, amelyaz I belsejébe eseik egyenletesen L-folytonos, azaz van olyan C szám, hogy

∀f ∈ F x ∈ [a, b] |f(x)− f(y)| 5 C · |x− y|.

Bizonyítás. Legyen az ε > 0 szám olyan kicsi, hogy [a− ε, b+ ε] ⊆ int(I). A tételfeltételei szerint van olyan K szám, hogy

∀x ∈ [a− ε, b+ ε] |f(x)| 5 K.

Most kapcsolódjunk az 8.15. állítás első bizonyításához. Ott azt kaptuk, hogykonvex f függvény esetében

∀x, y ∈ [a, b] |f(x)− f(y)| 5 M −m

ε· |y − x|,

ahol m az f függvény egy alsó korlátja, a M pedig egy felső korlátja az [a− ε, b+ ε]intervallumon. A jelen esetben az M = K és m = −K nyilván megfelelő választásminden f ∈ F esetében, tehát fennáll a következő állítás

∀f ∈ F, x, y ∈ [a, b] |f(x)− f(y)| 5 K · |x− y|,

azaz az F függvénycsalád egyenletesen L-es az [a, b] intervallumon.

8.3.2. Konvex függvények és deriválásElőször emlékeztetünk az egyoldali deriváltakra, és azoknak az egyoldali folytonos-ságal való kapcsolatára.

8.19 Definíció. (Egyoldali deriváltak)Egy I intervallumon értelmezett f függvény baloldali illetve jobboldali deriváltját azx ∈ I helyen a következőképpen értelmezzük

f ′−(x) .= limyx

f(y)− f(x)y − x

,

f ′+(x) .= limyx

f(y)− f(x)y − x

,

feltéve, hogy a szóbanforgó véges limeszek léteznek. A y x helyett az y → x− 0,a y x helyett pedig az y → x+ 0 jelölés is szokásos.

8.20 Állítás. (Egyoldali deriváltak és folytonosság)Ha az I intervallumon definiált függvénynek az x ∈ I pontban létezik a baloldali(jobboldali) deriváltja, akkor az f az x pontban balról (jobbról) folytonos.

Bizonyítás. Ha az f balról deriválható az x pontban, akkor az (f(y)−f(x))/(y−x)különbségi hányados baloldali limesze az f ′−(x) baloldali derivált, és így az ε pozitívszámhoz van olyan δ pozitív szám, amelyre∣∣∣∣f(y)− f(x)

y − x− f ′−(x)

∣∣∣∣ < ε, azaz |f(y)− f(x)− f ′−(x)(y − x)| < ε|y − x|,



ha 0 < y − x < δ, amelyből

|f(y)− f(x)| < |f ′−(x)| · |y − x|+ ε|y − x|, ha 0 < y − x < δ,

ami azt jelenti, hogy az f az x pontban balról L-folytonos.

Konvex függvényeknek az értelmezési intervallum belsejében mindig léteznek abaloldali és jobboldali deriváltjai:

8.21 Állítás. (Konvex függvény bal- és jobboldali deriváltja)Legyen az f függvény konvex az I intervallumon. Ekkor

(1) Az I intervallum minden x belső pontjában léteznek az f ′−(x) illetve f ′+(x)baloldali illetve jobbaldali deriváltak, mégpedig

f ′−(x) = supy<x

f(y)− f(x)y − x

és f ′+(x) = infz>x

f(z)− f(x)z − x

, ha x ∈ int(I),

ésf ′−(x) 5 f ′+(x), ha x ∈ int(I).

(2) Az f ′− : int(I) → R és f ′+ : int(I) → R baloldali illetve jobboldali derivált-függvények monoton növekedőek. Ha az f szigorúan konvex, akkor a bal- ésjobboldali deriváltfüggvények szigorúan monoton növekedőek.

(3) Legyen a, b ∈ I és a < b. Ekkor

f ′+(a) 5f(b)− f(a)

b− a5 f ′−(b).

(4) Az f ′− és f ′+ baloldali illetve jobboldali deriváltfüggvények balról illetve jobbrólfolytonosak az intervallum belsejében, azaz

limxw

f ′+(x) = f ′+(w) és limxw

f ′−(x) = f ′−(w).

(5) Az intervallum w belső pontjaiban fennállnak a következő limeszrelációk:

limxw

f ′+(x) = f ′−(w) és limxw

f ′−(x) = f ′+(w).

Ha az I — mondjuk balról zárt [a, b) intervallum — akkor az a végpontban islétezik az f ′+(a) jobboldali derivált, abban az általános értelemben, hogy ekkor asuprémum értéke végtelen is lehet. Hasonlót lehet mondani a másik oldali végpontesetében. Ha a végpontokban vett megfelelő derivált véges, akkor a tétel állításaimegfelelő formában érvényben maradnak.

Bizonyítás. (1): A monotonitási kritérium (8.13. állítás) szerint a

y 7−→ f(y)− f(x)y − x

differenciahányados monoton növekedő, ezért tetszőleges x ∈ int(I) pontban létezikmind a baloldali f ′−(x), mind a jobboldali f ′+(x) határértéke, mégpedig

f ′−(x) = supy<x

f(y)− f(x)y − x

és f ′+(x) = infz>x

f(z)− f(x)z − x

.



Az f ′−(x) 5 f ′+(x) egyenlőtlenség abból adódik, hogy a monotonitási kritériumszerint, ha y < x < z, akkor

f(y)− f(x)y − x

5f(z)− f(x)

z − x,

ezértf ′−(x) = sup

y<x

f(y)− f(x)y − x

5 infx<z

f(z)− f(x)z − y

= f ′+(x).

(2): Lássuk az állítást, mondjuk az f+ jobboldali derivált esetében, a baloldalideriváltra hasonló a bizonyítás. Ha x < y, akkor — a monotonitási kritériumszerint — tetszőleges x < u < y számokra

f(x)− f(u)x− u

5f(y)− f(u)

y − u,

amelyből

f ′+(x) = infu:x<u<y

f(x)− f(u)x− u

5 supu:x<u<y

f(y)− f(u)y − u

= f ′−(y).

Figyelembe véve az (1)-ben belátott f ′−(y) 5 f ′+(y) egyenlőtlenséget, az előző adja,hogy

f ′+(x) 5 f ′−(y) 5 f ′+(y).

(3): Legyenek a < y < b és a < z < b az I intervallum pontjai. Ekkor a monotoni-tási egyenlőtlenség szerint

f(y)− f(a)y − a

5f(b)− f(a)

b− a=f(a)− f(b)

a− b5f(z)− f(b)

z − b=f(b)− f(z)

b− z,

és így — véve az infimumot y-ban és szuprémumot z-ben — kapjuk, hogy

infy:y>a

f(y)− f(a)y − a

5f(b)− f(a)

b− a5 sup

z:z<b

f(b)− f(z)b− z

.

Ebből pedig a már belátott (1) szerint kapjuk, hogy f ′+(a) 5 f(b)−f(a)b−a 5 f ′−(b).

(4): Vegyük először az f+ függvény jobboldali folytonosságát, a limxw f′+(x) =

f ′+(w) limeszrelációt, az f− baloldali folytonossága esetében hasonlóan kell eljárni.Legyen w < x < y. Az (1) állítás szerint

f ′+(x) = infz>x

f(z)− f(x)z − x

,

ezért f ′+(x) 5 f(y)−f(x)y−x . Ebből pedig — mivel f ′+ monotonitása miatt létezik a

limxw f′+(x) limesz és az f konvexsége miatt folytonos — kapjuk a következőt:

limxw

f ′+(x) 5 limxw

f(y)− f(x)y − x

=f(y)− f(w)

y − w.

Az egyenlőtlenség baloldala független az y-tól, és így a jobboldalon limeszt vehetünky-ban:

limxw

f ′+(x) 5 limyw

f(y)− f(w)y − w

= f ′+(w).

Azt kaptuk tehát, hogy limxw f′+(x) 5 f ′+(w). Az ellenkező irányú egyenlőtlenség

könnyen adódik: az f ′+ monoton növekedése miatt f ′+(w) 5 f ′+(x), és így f ′+(w) 5limxw f

′+(x), tehát f ′+(w) = limxw f

′+(x).



(5): Lássuk be — mondjuk — első limeszrelációt, a másik hasonlóan megy. Legyeny < x < w. Az (1) állítás szerint

f ′+(x) = infy:y>x

f(y)− f(x)y − x

,

ezért f ′+(x) 5 f(y)−f(x)y−x . Ebből pedig — mivel az f ′+ monotonitása miatt létezik a

limxw f′+(x) limesz és f folytonos — kapjuk a következőt:

limxw

f ′+(x) 5 limsw

f(y)− f(x)y − x

=f(y)− f(w)

y − w.

Az egyenlőtlenség baloldala független az y-tól, és így a jobboldalon limeszt vehetünky-ban:

limxw

f ′+(x) 5 limyw

f(y)− f(w)y − w

= f ′−(w).

Azt kaptuk tehát, hogy limxw f′+(x) 5 f ′−(w). Az ellenkező irányú egyenlőtlenség

könnyebben adódik: (1) és az f ′− monoton növekedése miatt f ′+(x) = f ′−(x) =f ′−(w), tehát f ′+(x) = f ′−(w). Ebből pedig — mivel az f ′+ monotonitása miattlétezik a limxw f

′+(x) limesz — kapjuk, hogy

limxw

f ′+(x) = limxw

f ′+(x),

tehát f ′−(w) = limxw f′+(x).

Második bizonyítás az (5)-re: (4) alapján f ′− balról folytonosa w pontban, tehátf ′−(w) = limxw f

′−(x). Másrészt (1) és (2) alapján x < w esetében

f ′−(x) 5 f ′+(x) 5 f ′−(w),

és így a rendőrelv miatt limxw f′−(x) = f ′−(w).

8.22 Állítás. (Konvex függvény deriválhatósága)Legyen f konvex az I intervallumon, és jelölje E ⊆ I azt a halmazt, amelynek apontjaiban az f nem deriválható.

(1) Az E halmaz legfeljebb megszámlálható.

(2) Az f ′ deriváltfüggvény folytonos az I r E halmazon.

Bizonyítás. (1): Első bizonyítás. A 8.21.(5) állítás szerint f ′+(w) = f ′−(w)pontosan akkor teljesül, ha f ′+ balról folytonos w-ben, és mivel a 8.21.(3) állításszerint jobbról folytonos, ezért

f ′+(w) = f ′−(w) ⇐⇒ f ′+ folytonos a w pontban.

Az f ′+ monotonitása miatt a szakadási helyeinek a számossága legfeljebb megszám-lálható, ezért megszámlálható sok pontot tartalmazó E ⊆ I részhalmaztól eltekintveaz f ′+ és f ′− függvények megegyeznek, tehát az f ′ létezik.

Második bizonyítás. Az intervallum minden x pontjához, ahol az f nem diffe-renciálható, vegyünk egy f ′−(x) < cx < f ′+(x) racionális számot. Ha x < y olyanpontok, ahol az f nem differenciálható, akkor az egyoldali deriváltak közötti egyen-lőtlenség és a monotonitások miatt

f ′−(x) < cx < f ′+(x) 5 f ′−(y) < cy < f ′+(y),

tehát külünböző x és y számokhoz különböző cx és cy racionális számok tartoznak, ésígy azon pontok számossága, ahol az f nem deriválható legfeljebb megszámlálhatóanvégtelen.(2): A 8.21.(4)(5) állítások szerint az f ′(w) = f ′+(w) = f ′−(w) függvény az E hal-mazon mindkét oldalról folytonos (mert az egyik balról, a másik jobbról folytonos).



8.3.3. Konvex függvények integrál-előállításaDöntő segédtétel az integrállal adott kritériumokhoz:

8.23 Állítás. (Konvex függvény egyoldali deriváltjainak az integrálja)Legyen az f : (a, b) → R konvex függvény. Ekkor minden c, x ∈ (a, b) pontra

f(x)− f(c) =∫ x

c

f ′+(t) dt =∫ x

c

f ′−(t) dt.

Bizonyítás. Legyen c = x0 < x1 < · · · < xn = x egy felosztása a [c, x] interval-lumnak (ha x < c hasonlóan megy a bizonyítás). Ekkor a monotonitási tétel illetveaz abból következő egyoldalú deriváltakra vonatkozó tétel szerint:

f ′−(xk−1) 5 f ′+(xk−1) 5f(xk)− f(xk−1)

xk − xk−15 f ′−(xk) 5 f ′+(xk),

minden 1 5 k 5 n index esetében. Egyszerű átrendezéssel:

f ′−(xk−1)(xk − xk−1) 5 f ′+(xk−1)(xk − xk−1) 5

5 f(xk)− f(xk−1) 5 f ′−(xk)(xk − xk−1) 5 f ′+(xk)(xk − xk−1).

Ebből összegezéssel kapjuk, hogy

n∑i=1

f ′−(xk−1)(xk − xk−1) 5n∑

i=1

f ′+(xk−1)(xk − xk−1) 5

5n∑

i=1

(f(xk)− f(xk−1)) 5n∑

i=1

f ′−(xk)(xk − xk−1) 5n∑

i=1

f ′+(xk)(xk − xk−1).

A középső összeg f(xn)−f(x0) = f(x)−f(c), a többi összeg pedig — mivel monotonfüggvényekről van szó — az f ′− és f ′+ függvények alsó illetve felső közelítő összege,és így az integrálhatósági tételek miatt:

f(x)− f(c) =∫ x

c

f ′+(t) dt =∫ x

c

f ′−(t) dt.

8.24 Állítás. (Konvex függvény mint monoton függvény integrálja)Az f : (a, b) → R függvény pontosan akkor (szigorúan) konvex ha van olyan g :(a, b) → R (szigorúan) növekedő függvény és egy c ∈ (a, b) pont, amelyekre

∀x ∈ (a, b) f(x) = f(c) +∫ x

c

g(t) dt.

Bizonyítás. Legyen először az f (szigorúan) konvex. Ekkor az 8.21.(2) állításszerint az f ′+ jobboldali derivált (szigorúan) monoton növekedő, és az 8.23. állításszerint

f(x)− f(c) =∫ x

c

f ′+(t) dt

tehát a g = f ′+ függvénnyel fennáll a tétel állítása. A tétel állítása másik irányáhozazt kell megmutatnunk, hogy (szigorúan) monoton g függvény esetében az

f(x) = f(c) +∫ x

c

g(t) dt



módon megadott függvény (szigorúan) konvex. Legyen ehhez α, β > 0, α + β = 1,x, y ∈ [a, b] és x < y. Ekkor

αf(x) + βf(y)− f(αx+ βy) = α(f(x)− f(αx+ βy)) + β(f(y)− f(αx+ βy))

= −α∫ αx+βy

x

g(t) dt+ β

∫ y

αx+βy

g(t) dt.

A jobboldalon — a g függvény monotonitása miatt — az integrálok egyszerűenbecsülhetők, és így a folytatás:

= −α((αx+ βy)− x)g(αx+ βy) + β(y − (αx+ βy))g(αx+ βy) =g(αx+ βy) · ((β(y − (αx+ βy))− (α(αx+ βy)− x))) = g(αx+ βy) · 0 = 0,

tehát αf(x)+βf(y)−f(αx+βy) = 0, azaz az f konvex. Ha a g szigorúan monoton,akkor az integrálok becslései is szigorúak, ahonnan az f szigorú konvexitása adódik.

A differenciálható konvex függvényekkel foglalkozó pontban szerepel a követ-kező két állítás, és csak azért említjük meg őket itt is, hogy lássuk: az előző tételfelhasználásával mennyire egyszerű az igazolásuk.

8.25 Következmény. (Differenciálható függvény konvexitása)Legyen az f : (a, b) → R differenciálható függvény. Ekkor f pontosan akkor (szigorú-an) konvex az (a, b) intervallumon, ha az f ′ derivált (szigorúan) monoton növekedő.

Bizonyítás. Legyen először az f (szigorúan) konvex. Ekkor az 8.21.(2) állításszerint az f ′ = f ′+ = f ′− deriváltfüggvény (szigorúan) monoton növekedő.

Az állítás másik iránya: Ha f ′ (szigorúan) monoton növő, akkor az Alaptételszerint, valamilyen rögzített c ∈ [a, b] számra

f(x)− f(c) =∫ x

c

f ′(t) dt, x ∈ [a, b],

és így a 8.24. tétel szerint az f (szigorúan) konvex.

8.26 Következmény. (Kétszer deriválható függvény konvexitása)Legyen az f : (a, b) → R kétszer deriválható. Ekkor az f függvény pontosan akkorkonvex, ha f ′′(x) = 0 az (a, b) intervallumon. Ha f ′(x) > 0 az (a, b) intervallumon,akkor az f szigorúan konvex.

A szigorú konvexitás esetében nem olyan teljes az állítás, mint a konvexitásesetében. Nem igaz ugyanis az, hogy a szigorú konvexitás implikálja a másodikderivált pozitivitását.

Bizonyítás. Differenciálható függvény monotonitásának a kritériumából: az f ′

pontosan akkor monoton növő, ha az f ′′ nemnegatív. Ebből pedig az előző állításszerint: az f pontosan akkor konvex, ha az f ′′ nemnegatív.

A derivált pozitivitásából következik a függvény szigorú monotonitása, ezért azf ′′ pozitivitásából következik az f ′ szigorú monotonitása, és így az f szigorú konve-xitása. A szigorú monotonitásból azonban nem következik a derivált pozitivitása,ezért nincs itt „szükséges és elégséges” állítás.

8.27 Példa. (Szigorúan konvex, de második derivált nem pozitív)Vegyük az f : x 7→ x4 függvényt a (−1, 1) intervallumon. Az f szigorúan konvex,de f ′(x) nem teljesül az egész intervallumon, mivel f ′′(0) = 0.



8.4. ábra. Támaszegyenesek a körhöz és az abszolútérték függvényhez

8.3.4. TámaszegyenesekKonvex függvény esetére általánosítható az érintőfogalom. Nézzük ehhez az x 7→ |x|konvex függvényt. Ennek a függvénynek — a differenciálszámításnál bevezetett mó-don van érintője az R++ félegyenes minden pontjában, mégpedig az y = x egyenes.Hasonlóan az −R++ negatív helyeken is van érintője: az y = −x egyenes. Az x = 0pontban viszont — a differenciálszámításban tárgyalt értelemben — nincs érintője,hiszen ott nem is deriválható. Mégis azt mondhatjuk, hogy itt is van „érintő”, sőttöbb is, például az y = x, az y = x/2, y = −x/2, stb. egyenesek (8.4. ábra).ezt a fogalmat fogjuk most „támaszegyenes” néven bevezetni. Geometriai nyelvethasználva:

Legyen f az I intervallumon értelmezett konvex függvény. Azt mondjuk, hogyegy (x, y) ∈ R2 pont az f gráfja alatt van, ha y 5 f(x). Az R2 sík egy egyenesét— egy affin függvény gráfját — az f függvény gráfja (x0, f(x0)) pontban vett tá-maszegyenesének nevezzük, ha a gráf (x0, f(x0)) pontja illeszkedik az egyenesre, azegyenes többi pontja pedig az f gráfja alatt van. Ezt fogalmazzuk meg formálisab-ban a következő definícióban:

8.28 Definíció. (Függvény alatti pont, támaszegyenes)Legyen f az I intervallumon értelmezett konvex függvény. Azt mondjuk, hogy egy(x, y) ∈ R2 pont az f gráfja alatt — röviden a függvény alatt — van, ha y 5 f(x).Az (x0, f(x0)) ponton átmenő A(x) .= m(x − x0) + f(x0) affin függvény (egyenes)támasztja az f gráfját az x0 pontban, ha A(x) 5 f(x) az I intervallum mindenpontjára.

8.29 Állítás. (Konvex függvény támaszegyenesei)Legyen f : (a, b) → R. Ekkor igazak a következők.

(1) Ha az f függvény konvex és x0 ∈ (a, b), akkor az

A(x) = m(x− x0) + f(x0), m ∈ [f ′−(x0), f ′+(x0)]

affin függvények mindegyike támasztó az x0 pontban. Megfordítva, ha az

A(x) = k(x− x0) + f(x0),

támaszegyenes az x0 pontban, akkor k ∈ [f ′−(x0), f ′+(x0)].

(2) Ha az f függvénynek minden x0 ∈ (a, b) pontban van támaszegyenese, akkoraz f függvény konvex az (a, b) intervallumon.

Bizonyítás. (1): Legyen m ∈ [f ′−(x0), f ′+(x0)]. A 8.21.(1) állítás alapján, hax1 < x0 < x2, akkor

f(x1)− f(x0)x1 − x0

5 m 5f(x2)− f(x0)

x2 − x0,



amelyből

f(x1)− f(x0) = m(x1 − x0) és f(x2)− f(x0) = m(x2 − x0).

Ez pedig azt jelenti, hogy az f(x)− f(x0) = m(x−x0) egyenlőtlenség fennáll akkoris, ha x < x0, vagy ha x0 < x, tehát minden x ∈ (a, b) pontra, és így

∀x ∈ (a, b) f(x)− f(x0) = m(x− x0), azaz f(x) = f(x0) +m(x− x0).

Eszerint az A(x) .= f(x0)+m(x−x0) affin függvény — amely átmegy az (x0, f(x0))ponton — a függvény alatt marad az (a, b) intervallumban, tehát az A függvénytámasztja az f függvény gráfját az x0 pontban.

Az állítás másik irányának az igazolásához legyen A(x) = k(x − x0) + f(x0)támaszegyenes az x0 pontban, azaz

∀x ∈ (a, b) f(x) = k(x− x0) + f(x0).

Legyen x1 < x0 < x2. Ekkor — figyelembe véve azt, hogy (x2 − x0) pozitív — akiemelt sorból átrendezéssel kapjuk, hogy k 5 f(x2)−f(x0)

x2−x0. Hasonlóan — figyelembe

véve azt, hogy (x1 − x0) negatív — kapjuk, hogy f(x1)−f(x0)x1−x0

5 k. Összefoglalva:minden x1 < x0 < x2 pontra

f(x1)− f(x0)x1 − x0

5 k 5f(x2)− f(x0)

x2 − x0.

Véve itt a baloldalon az x1 x0, jobboldalon pedig az x2 x0 határátmeneteketkapjuk, hogy

f ′−(x0) 5 k 5 f ′+(x0),

ahogyan állítottuk.(2): Legyen x, y ∈ (a, b), λ ∈ (0, 1) és xλ = λx + (1 − λ)y. Ha az A(x) =f(xλ) +m(x− xλ) támasztó az xλ pontban, akkor

f(xλ) = A(xλ) = λA(x) + (1− λ)A(y) 5 λf(x) + (1− λ)f(y),

azaz f konvex.

Ha egy x0 pontban deriválható a konvex függvény, akkor ott egyetlen támaszegyenesvan, ami megegyezik az érintővel. Ezt fogalmazzuk meg a következő állításban:

8.30 Állítás. (Deriválható konvex függvény támaszegyenesei)Legyen az f : (a, b) → R konvex függvény. Ekkor az f pontosan akkor deriválhatóaz x0 pontban, ha egyetlen támaszegyenese van az x0 pontban, és ekkor

A(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

a támaszegyenes.

Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy csak egyetlen támaszegyenes van az x0 pont-ban. Az 8.29.(1) állítás szerint tetszőleges m ∈ [f ′−(x0), f ′+(x0)] szám lehet az affinfüggvény iránytangense, és így — mivel a feltevés szerint csak egyetlen támaszegye-nes van — az [f ′−(x0), f ′+(x0)] intervallum egyetlen pont, azaz a jobb és baloldalideriváltak megegyeznek, tehát a függvény deriválható: f ′(x0) = f ′−(x0) = f ′+(x0).

Legyen most az f konvex függvény differenciálható az x0 pontban. Mivel az8.29.(1) állítás szerint tetszőleges A(x) = k(x−x0)+f(x0) támaszfüggvény esetébenk ∈ [f ′−(x0), f ′+(x0)], és a deriválhatóság miatt [f ′−(x0), f ′+(x0)] = [f ′(x0), f ′(x0)],tehát egyetlen támaszegyenes van, amelynek az iránytangense f ′(x0).


8.4. MŰVELETEK KONVEX FÜGGVÉNYEKKEL 263

Láttuk, hogy a támaszegyenes az érintőfogalom általánosítása. Az x0 pontbanvett érintő iránytangense az x0 ponban vett f ′(x0) derivált, a támaszfüggvényekiránytangensei pedig az [f ′−(x0), f ′+(x0)] intervallum elemei lehetnek. Ez jogosanveti fel a gondolatot: a deriváltfogalmat általánosítani lehet úgy, hogy egy pontbantöbb deriváltértéket — a támaszfüggvények lehetséges iránytangenseit — engedjükmeg:

8.31 Definíció. (Konvex függvény szubderiváltja)Legyen az f konvex függvény az I intervallumban, és x0 tetszőleges belső pontja azI intervallumnak. Az f függvény x0 pontban vett szubderiváltjának — jelölésben:∂f(x0) — mondjuk az [f ′−(x0), f ′+(x0)] intervallumot.

A 8.29.(1) állítás szerint ∂f(x0) nem más, mint az x0 pontban támasztó egye-nesek meredekségeinek az összessége. A 8.30. állítás szerint, az f függvény ponto-san akkor deriválható, ha a szubderivált egyetlen pontból álló halmaz: ∂f(x0) =f ′(x0). A szubderiváltnak ugyanúgy megvan a maga kalkulusa, mint a derivált-nak. Később ezt részletesen meg fogjuk ismerni, most megelégedtünk a definícióval.

8.4. Műveletek konvex függvényekkelAz előző alpontokban azt néztük, hogy milyen tulajdonságai vannak az egyes konvexfüggvényeknek. Most pedig azt nézzük meg, hogy a konvex függvények összességemilyen. Ez lényegében azt jelenti, hogy a konvex függvények közötti műveleteket,operációkat vizsgáljuk.

8.32 Állítás. (Konvex függvények kúptere)Az I intervallumon értelmezett konvex függvények összessége kúptér, amin azt ért-jük, hogy

(1) Zárt az összeadásra nézve: ha f, g : I → R konvexek, akkor konvex az f + gösszegfüggvény is.

(2) Nemnegatív számmal való szorzásra nézve zárt: ha f konvex és 0 5 α, akkorkonvex a αf függvény is.

Bizonyítás. (1): Az f és g függvények konvexitását jelentő két f(λx+(1−λ)y) 5λf(x) + (1 − λ)f(y) és g(λx + (1 − λ)y) 5 λg(x) + (1 − λ)g(y) egyenlőtlenségetösszeadva adódik, hogy

(f + g)(λx+ (1− λ)y) 5 λ(f + g)(x) + (1− λ)(f + g)(y).

(2): Az f -re vonatkozó definíció szerinti egyenlőtlenségetegy α nemnegatív számmalmegszorozva a

(αf)(λx+ (1− λ)y) 5 λ(αf)(x) + (1− λ)(αf)(y)

egyenlőtleséget kapjuk, tehát az αf függvény is konvex.

8.33 Állítás. (Konvex függvények kompozíciója)Legyen I, J intervallum, és g : I → R konvex függvény. Ekkor fennállnak a követ-kezők:

(1) Ha az A : J → R affin függvény és A(J) ⊆ I, akkor a g A függvény konvex.

(2) Ha az f : J → R konvex, monoton növekedő függvény és és Ran(g) ⊆ J , akkoraz f g függvény konvex.



Bizonyítás. (1): Legyen λ ∈ (0, 1). Egyszerű számolással:

f(A(λx+ (1− λ)y)) = f(m(λA(x) + (1− λ)A(y)) 5

5 λf(A(x)) + (1− λ)f(A(y)).

(2): Legyen x, y ∈ I és λ ∈ (0, 1). Egyszerű számolással, kihasználva az f és gfüggvényekre tett megkötéseket:

f(g(λx+ (1− λ)y)) 5 f(λg(x) + (1− λ)g(y)) 5 λf(g(x)) + (1− λ)f(g(y)).

8.34 Állítás. (Konvex függvények szorzata)Legyenek az f, g : I → R+ konvex és monoton növekedő függvények. Ekkor az f · gszorzatfüggvény is konvex és monoton növekedő.

Bizonyítás. Két monoton növekedő nemnegatív függvény szorzata is nyilvánvalóanmonoton növekedő és nemnegatív, ezért csak a szorzat konvexitását kell igazolnunk.Legyen x < y az I intervallum pontja és α ∈ (0, 1), és jelölje a szorzatfüggvényt h.Az f és g függvények konvexitásából:

h(αx+ (1− α)y) = f(αx+ (1− α)y) · g(αx+ (1− α)y) 5

5 [αf(x) + (1− α)f(y)] · [αg(x) + (1− α)g(y)] =

= α2f(x)g(x) + α(1− α)[f(x)g(y) + f(y)g(x)] + (1− α)2f(y)g(y).

Az utolsó forma középső tagjára f(x)g(y) + f(y)g(x) 5 f(x)g(x) + f(y)g(y), mivelátrendezve azt kapjuk, hogy

[f(x)g(x) + f(y)g(y)]− [f(x)g(y) + f(y)g(x)] = [f(x)− f(y)] · [g(x)− g(y)]

amely pedig nemnegatív az f és g monotonitása miatt. Eszerint az egyenlőtlenségszerint a megelőző számolás így folytatható:

h(αx+(1−α)y) 5 α2f(x)g(x)+α(1−α)[f(x)g(x)+f(y)g(y)]+(1−α)2f(y)g(y) =

= [α2 + α(1− α)]f(x)g(x) + [(1− α)2 + α(1− α)]f(y)g(y) == αf(x)g(x) + (1− α)f(y)g(y) = αh(x) + (1− α)h(y).

8.35 Állítás. (Konvex függvények szuprémuma, felső burkolója)Legyen F az I intervallumon értelmezett konvex függvények egy családja. Legyen

G(x) .= supf∈F

f(x), x ∈ I.

Ekkor azon pontok összessége, ahol a G függvény véges, egy J ⊆ I intervallum, ésa G : J → R függvény — az F függvénycsalád felső burkolója — konvex.

Bizonyítás. Legyen x, y ∈ I és λ ∈ (0, 1). Ekkor az f ∈ F függvények konvexitásátés a szuprémum operáció szubadditivitását és pozitív homogenitását felhasnálva:

G(λx+ (1− λ)y) = supf∈F

f(λx+ (1− λ)y) 5 supf∈F

[λf(x) + (1− λ)f(y)]

5 λ supf∈F

f(x) + (1− λ) supf∈F

f(y) = λG(x) + (1− λ)G(y).

Ha valamilyen x helyen λ supf∈F f(x) = ∞, akkor az x érték nem eleme az Gfelső burkoló értelmezési tartományának. Ha az x és y helyeken nem végtelen a



mefelelő szuprémum — azaz elemei a G értelmezési tartományának — akkor akonvex kombinációjuk is eleme az értelmezési tartománynak, hiszen az

G(λx+ (1− λ)y) 5 λG(x) + (1− λ)G(y)

egyenlőtlenség szerint, ha G(x) és G(y) végesek, akkor az G(λx+(1−λ)y) is véges.Eszerint a felső burkoló értelmezési tartománya intervallum.

8.36 Állítás. (Pozitív konkáv függvény reciproka konvex)Legyen f az I intervallumon definiált pozitív konkáv függvény. Ekkor az 1/f recip-roka konvex.

Nagyon érdekes, hogy a szimmetria miatt teljes joggal várható „Pozitív konvexfüggvény reciproka konkáv.” állítás nem igaz: az e−x pozitív és konvex függvény ex

reciproka szigorúan konvex, tehát nem konkáv.

Bizonyítás. Legyen α ∈ [0, 1] és x, y az értelmezési tartomány két pontja. Az 1/fkonvexitásához az

α1

f(x)+ (1− α)

1f(y)

− 1f(αx+ (1− α)y)

különbség nemnegativitását kell igazolni. A pozitív közös nevezővel végigszorozva,a következő kifejezés nemnegativitását kell igazolni:

B.= αf(y) · f(αx+ (1− α)y) + (1− α)f(x) · f(αx+ (1− α)y)− f(x)f(y).

Az f konkávitása miatt az f(αx+(1−α)y) helyett a nemnagyobb αf(x)+(1−α)f(y)kifejezést téve:

B = αf(y)(αf(x) + (1− α)f(y))+

(1− α)f(x)(αf(x) + (1− α)f(y))− f(x)f(y) = α(1− α)(f(x)− f(y))2,

amely nyilván nemnegatív.

8.37 Állítás. (Konvex függvények sorozatának a konvergenciája)Legyen az fn : I → R, (n = 1, 2, . . . , n, . . .) konvex függvények egy sorozata. Tegyükfel, hogy az fn sorozat (pontonként) tart az f : I → R függvényhez. Ekkor fennállnaka következők:

(1) Az f limeszfüggvény is konvex.

(2) Az fn konvergenciája egyenletes az I intervallum belsejében lévő minden kor-látos és zárt intervallumon.

Bizonyítás. (1): Legyen x, y ∈ I és λ ∈ (0, 1). Ekkor

f(λx+ (1− λ)y) = limn→∞

fn(λx+ (1− λ)y) 5 limn→∞

[λfn(x) + (1− λ)f(y)]

= λ limn→∞

fn(x) + (1− λ) limn→∞

fn(y)

= λf(x) + (1− λ)f(y).

(2): Legyen [a, b] ⊆ int(I) és c ∈ (a, b). Először megmutatjuk, hogy az fn sorozategyenletesen korlátos az [a, b] intervallumon. Legyen ehhez

α.= sup

nfn(a), β

.= supnfn(b) és γ .= inf

nfn(c).



A szuprémumok és infimum végessége abból következik, hogy a konvergens f(a),etc. sorozatok konvergenciájuk miatt korlátosak. Vegyük azon L1, L2, L3 affinfüggvényeket, amelyekre

L1(a) = α, L1(b) = β, L2(a) = α, L2(c) = γ, és L3(c) = γ, L3(b) = β.

Ilyen függvények — két ponton átmenő egyenesek — a jólismert elemi módon ad-hatók meg. Ezen affin függvények segítségével korlátok közé foghatjuk az fn(x)(x ∈ [a, b]) sorozatot. Felső korlát az L1-gyel adható. Ha x = λa+ (1− λ)b tetsző-leges pont az [a, b]-ben, akkor

fn(x) 5 λfn(a) + (1− λ)fn(b) 5 λα+ (1− λ)β = λL1(a) + (1− λ)L1(b) = L1(x).

Az alulról való korlátozást pedig az L2 és L3 függvényekkel adhatjuk meg. Hax ∈ (a, c), akkor

c = λx+ (1− λ)b, amelyből x =1λc+

λ− 1λ

b, (λ ∈ (0, 1)).

Ebben az esetben az L3 alulról korlátoz az alábbiak szerint:

L3(c) = γ 5 fn(c) 5 λfn(x) + (1− λ)fn(b) 5 λfn(x) + (1− λ)β == λfn(x) + (1− λ)L3(b),

amelyből átrendezéssel kapjuk, hogy

fn(x) =1λL3(c) +

λ− 1λ

L3(b) = L3

(1λc+

λ− 1λ

b

)= L3(x).

Hasonlóan adódik, hogy x ∈ [c, b] esetében fn(x) = L2(x). Összefoglalva:

∀n∀x ∈ [a, b] minL2(x), L3(x) 5 fn(x) 5 L1(x),

és — mivel a három affin függvény korlátos az [a, b] intervallumon — azt kaptuk,hogy az fn sorozat egyenletesen korlátos az [a, b] intervallumon, tehát van olyan Kkorlát, hogy

|fn(x)| 5 K, x ∈ [a, b].

Ezzel beláttuk, hogy fn függvénysorozat egyenletesen korlátos minden korlátos észárt [a, b] részintervallumán az I intervallumnak. Most pedig alkalmazva a 8.18.állítást kapjuk, hogy az fn sorozat egyenletesen L-es minden az I belsejében lévőkorlátos és zárt intervallumon. Eszerint tetszőleges korlátos és zárt [a, b] intervallumesetén van olyan C korlát, hogy

∀n ∈ N, x, y ∈ [a, b] |fn(x)− fn(y)| 5 C · |x− y|.

Az egyenletes konvergencia igazolása most már egyszerű. Legyen ehhez ε tetszőlegespozitív szám, és az [a, b] intervallumnak vegyük egy olyan E felosztását, amelyneklegnagyobb részintervalluma is kisebb, mint ε/(3C). Mivel az E-nek véges sokpontja van, ezért az fn függvénysorozat konvergenciája miatt van olyan N szám,hogy

|fn(z)− fm(z)| 5 ε/3, ha z ∈ E és n,m > N.

Az E választása miatt tetszőleges x ∈ [a, b] ponthoz van olyan z ∈ E, hogy |x−z| <ε/(3C). Ennek és az előző kiemelt sornak az alapján a következőket írhatjuk

|fn(x)− fm(x)| = |(fn(x)− fn(z)) + (fn(z)− fm(z)) + (fm(z)− fm(x))|5 |fn(x)− fn(z)|︸︷︷︸

5C|x−z|

+ |fn(z)− fm(z)|︸︷︷︸5ε/3

+ |fm(z)− fm(x)|︸︷︷︸C|x−z|

5

5 C · ε/(3C) + ε/3 + C · ε/(3C) = ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε.

Tehát minden x ∈ [a, b] pontra |fn(x)−fm(x)| 5 ε, ha n,m = N , ami pontosan aztmondja, hogy teljesül az egyenletes konvergencia Cauchy-kritériuma.


8.5. DIFFERENCIÁLHATÓ KONVEX ÉS FÜGGVÉNYEK 267

8.5. Differenciálható konvex és függvényekFüggvények konvex voltának a vizsgálata differenciálható esetben könnyen elvégez-hető, ami egyben a differenciálszámítás „erejét” is mutatja, és ez az alpont részeminden bevezető analízisnek.

8.38 Állítás. (Egyszer deriválható függvény konvexitása)Legyen az f leképezés az [a, b] intervallum belsejében deriválható, és az egész inter-vallumon folytonos. Ekkor igazak a következők.

(1) Az f függvény pontosan akkor (szigorúan) konvex az [a, b] intervallumon, haaz f ′ deriváltfüggvény (szigorúan) monoton növekedő az (, b) intervallumon.

(2) Az f függvény pontosan akkor (szigorúan) konkáv az [a, b] intervallumon, haaz f ′ deriváltfüggvény (szigorúan) monoton növekedő az (a, b) intervallumon.

Bizonyítás. (1): Igazoljuk először a tételnek azt a — gyakorlatilag fontosabb —részét, hogy a derivált monotonitásából következik a függvény konvexitása. Eztnyilvánvalóan belátjuk, ha megmutatjuk, hogy a

λf(x) + (1− λ)f(y)− f(λx+ (1− λ)y), λ ∈ (0, 1)

kifejezés pontosan akkor (pozitív) nemnegatív, ha az f ′ (szigorúan) monoton. Egy-szerű átalakítással:

λf(x) + (1− λ)f(y)− f(λx+ (1− λ)y) =

= λ(f(x)− f(λx+ (1− λ)y)

)+ (1− λ)

(f(y)− f(λx+ (1− λ)y)

). (8.4)

A bizonyítás gondolata egyszerű: a jobboldali két különbséget a középértéktételfelhasználásával a derivált közbülső értékével adjuk meg. Eszerint van olyan ξ1 ésξ2, hogy

x < ξ1 < λx+ (1− λ)y és λx+ (1− λ)y < ξ2 < y,

azaz egybe írvax < ξ1 < λx+ (1− λ)y < ξ2 < y., (8.5)

amelyekre

f(λx+ (1− λ)y)− f(x) = f ′(ξ1)(1− λ)(y − x),f(y)− f(λx+ (1− λ)y) = f ′(ξ2) · λ(y − x),

ahol a jobboldalak kiszámolásánál felhasználtuk azt, hogy

λx+ (1− λ)y − x = (1− λ)(y − x) és y −(λx+ (1− λ)y

)= λ(y − x).

A középértéktételből nyert (8.6) és (8.6) egyenlőségek felhasználásával kapjuk, hogy

λf(x) + (1− λ)f(y)− f(λx+ (1− λ)y) == λ

(f(x)− f(λx+ (1− λ)y)

)+ (1− λ)

(f(y)− f(λx+ (1− λ)y)

)=

= −λ(1− λ)f ′(ξ1)(y − x) + λ(1− λ)f ′(ξ2)(y − x) == λ(1− λ)(y − x)

(f ′(ξ2)− f ′(ξ1)

).

Ebből viszont azonnal látható, hogy a kifejezés előjelét az (f ′(ξ2) − f ′(ξ1)) adjameg, amely (pozitív) nemnegatív, ha az f ′ (szigorúan) monoton, mivel (8.5) szerintξ1 < ξ2.

Annak a bizonyítása, hogy a függvény (szigorú) konvexitásából következik aderivált függvény monotonitása, a differenciahányados monotonitása alapján megy.


8.5. DIFFERENCIÁLHATÓ KONVEX ÉS FÜGGVÉNYEK 268

Legyen x1 < x2. Ekkor az f deriválhatóságából és a monotonitási kritériumbólkapjuk, hogy

f ′(x1) = infv>x1

f(v)− f(x1)v − x1

és f ′(x2) = infu<x2

f(x2)− f(u)x2 − u

,

és így ismét a monotonitási kritériumból kapjuk, hogy

f ′(x1) 5f(x2)− f(x1)

x2 − x15 f ′(x2),

ahol szigorú egyenlőtlenség van, ha a differenciahányadosok között is szigorú egyen-lőtlenség van (szigorú monotonitás), ami a szigorú konvexitással ekvivalens.

8.39 Állítás. (Kétszer deriválható függvény konvexitása)Legyen az f leképezés az [a, b] intervallum belsejében kétszer deriválható, és az egészintervallumon folytonos.

(1) Ha az f ′′ második derivált (pozitív) nemnegatív az (a, b) intervallumban, akkoraz f függvény (szigorúan) konvex az [a, b] intervallumon.

(2) Ha az f ′′ második derivált (negatív) nempozitív az (a, b) intervallumban, akkoraz f függvény (szigorúan) konvex az [a, b] intervallumon.

Hangsúlyozni kell, hogy most nem igaz az állítás megfordítása, azaz a konvexi-tásból általában nem következik a második derivált nemnegativitása.

Bizonyítás. Az 8.38. és 5.6. tételek alapján nyilvánvaló.

Fontos szerepük van azoknak a pontoknak, ahol a függvény konvexből konkávbamegy át, vagy megfordítva, ezért el is nevezzük:

8.40 Definíció. (Inflexiós pont)Ha egy f függvény az x pont valamilyen baloldali környezetében konkáv és valamilyenjobboldali környezetében konvex, vagy megfordítva, akkor az x pontot az f függvényinflexiós pontjának mondjuk.

Egyszer illetve kétszer deriválható függvény esetében sokszor eldönthetjük, hogyvalamely pont inflexiós pont-e, a következő tétel segítségével.

8.41 Állítás. (Deriválható függvények inflexiós pontja)Az inflexiós pont meghatározására lehetőséget adnak a következő állítások.

(a) Ha az f deriválható az x környezetében, és az f ′ monotonitást vált az x pont-ban (növekedőből fogyóba vagy fogyóból növekedőbe megy át), akkor az x pontinflexiós pont.

(b) Ha az f kétszer deriválható az x pont egy környezetében, és az f ′′ másodikderivált előjelet vált (pozitívból negatívba vagy negatívból pozitívba megy át),akkor az x inflexiós pont.

Bizonyítás. Közvetlen következménye a 8.38. és 8.39. tételeknek.


8.6. KONVEX FÜGGVÉNYEK ÉS SZÉLSŐÉRTÉKEK 269

8.6. Konvex függvények és szélsőértékekA közgazdaságtan kiinduló elve az, hogy egyének (individuumok), illetve objektu-mok (vállalatok és egyéb intézmények) — összefoglaló néven: a gazdaság szereplői— döntenek, választanak. Emiatt nagy szerepe van az optimum vizsgálatának, ami— valamilyen értelemben a döntés mozgatója. Az optimum viszont szoros kapcso-latban van a konvexitás gondolatával, ahogyan az a következőkben mondottakbólis látható lesz. Az itt mondottak nagyon egyszerűek lesznek, mondhatnánk: „szem-mel láthatóak”, de az állításokat későbbi általános és mélyebb ismeretek előképénekcélszerű tekinteni.

8.42 Állítás. (Konvex függvény maximuma kompakt intervallumon)Legyen az f : [a, b] → R konvex függvény. Ekkor az f függvény az intervallum avagy b végpontjában felveszi maximumát az intervallumon, és csak ott, ha szigorúankonvex.

Bizonyítás. Az [a, b] intervallum pontjai x = αa + (1 − α)b, (α ∈ [0, 1]) alakbanírhatók fel, és az f konvexitása miatt

f(x) = f(αa+ (1− α)b) 5 αf(a) + (1− α)f(b)5 [α+ (1− α)] ·maxf(a), f(b) = maxf(a), f(b),

tehát a függvény maximuma az f(a) vagy f(b) érték. Ha szigorú konvexitás van,akkor egy x belső pont esetében az egyik helyen szigorú egyenlőtlenség áll fenn,tehát az f nem lehet x-ben maximális.

8.43 Állítás. (Konvex függvény lokális minimuma egyben globális is)Legyen az I intervallum és f : I → R konvex függvény. Tegyük fel, hogy az ffüggvénynek lokális minimuma van az I intervallum x0 pontjában. Ekkor igazak akövetkezők:

(1) Az f(x0) globális minimum is, azaz f(x0) = minx∈I f(x).

(2) Ha x0 ∈ int(I), akkor 0 ∈ ∂f(x0), azaz f ′−(x0) 5 0 5 f ′+(x0).

Vegyük észre a (2) érdekességét, mert szép általánosítása konvex függvényreannak a tételnek, hogy ha deriválható függvénynek belső pontban minimuma van,akkor ott a derivált nulla.

Bizonyítás. (1): Legyen a b lokális minimumhely, b < x egy pontja az értelmezésitartománynak, és y olyan pont, amelyre b < y < x és y olyan közel van a b-hez,hogy f(b) 5 f(y). Ekkor a b pontban vett különbségi hányadosra alkalmazva amonotonitási tételt:

f(y)− f(b)y − b

5f(x)− f(b)

x− b,

Mivel b < y és f(b) 5 f(y) miatt a baloldal nemnegatív, ezért a jobboldal is az,és a nevező pozitivitása miatt 0 5 f(x) − f(b), azaz f(x) = f(b). Ha x < bpontot vennénk, akkor hasonlóan adódnék, hogy f(b) 5 f(x), tehát az f(b) globálisminimum.(2): Legyen u < x0 < v. A most belátott (1) miatt az x0 globális minimum is, ésígy f(u), f(v) = 0. A monotonitási tétel szerint

f(u)− f(x0)u− x0

5f(v)− f(x0)

v − x0.


8.6. KONVEX FÜGGVÉNYEK ÉS SZÉLSŐÉRTÉKEK 270

Mivel az f(x0) minimális, ezért a számlálók nemnegatívak, a baloldali nevező ne-gatív, a jobboldali pozitív, ezért a baloldal nempozitív, a jobboldal nemnegatív,tehát

f(u)− f(x0)u− x0

5 0 5f(v)− f(x0)

v − x0.

Véve baloldalon a szuprémumot u : u < x0 halmazon, jobboldalon pedig azinfimumot a v : v > x0 halmazon, a 8.21.(1) állítás szerint kapjuk, hogy

f ′−(x0) 5 0 5 f ′+(x0),


A gyakorlatban nagyon sokszor fordul elő, hogy az a halmaz, amelyen a szélső-értéket keressük, konvex. Emiatt fontos a következő, egyszerű állítás:

8.44 Állítás. (Konvex függvény nívóhalmazai)Legyen az f konvex függvény az I intervallumon. Ekkor igazak a következők:

(1) Az x ∈ I : f(x) 5 α nívóhalma minden α szám mellett konvex, azaz inter-vallum (esetleg üres).

(2) Az x ∈ I : f(x) 5 α nemüres nívóhalmazok vagy minden α valós számmellett korlátosak vagy minden α mellett korlátlanok.

Bizonyítás. (1): Ha az α számhoz tartozó nívóhalmaz üres, akkor nincs mitbizonyítani. Ha pedig nemüres, akkor legyen x, y ∈ u ∈ I : f(u) 5 α és λ ∈ (0, 1).Ekkor f(x) 5 α és f(y) 5 α. Szorozzuk meg ezt a két egyenlőtlenséget λ-val és(1− λ)-val, majd adjuk össze:

λf(x) + (1− λ)f(y) 5 λα+ (1− λ)α = α0.

Ebből pedig az f konvexitása miatt f(λx + (1 − λ)y) 5 α, tehát λx + (1 − λ)y ∈u ∈ I : f(u) 5 α. A nívóhalmaz tehát konvex halmaz, azaz intervallum.(1): Vezessük be a következő jelölést: L(α) .= x ∈ I : f(x) 5 α. Tegyükfel, hogy L(β) korlátlan, amely azt jelenti — mivel az (1) szerint intervallum —hogy tartalmaz egy jobbra vagy balra mutató félegyenest. Vegyük—mondjuk—ajobbra mutató félegyenes esetét, azaz ha x ∈ L(β), akkor minden t nemnegatív valósszámra x+ t ∈ L(β). Megmutatjuk, hogy ekkor minden nemüres L(α) nívóhalmaztartalmaz egy jobbra mutató félegyenest. Ha β < α, akkor az állítás nyilvánvaló,hiszen L(β) ⊆ L(α), legyen ezért α < β, és ekkor persze L(α) ⊆ L(β). Mivel L(α)nemüres, vehetjük egy x0 ∈ L(α) ⊆ L(β) elemét, és legyen t egy tetszőleges pozitívszám. Ha λ ∈ (0, 1), akkor

f(x0 + t) = f [λx0 + (1− λ)(x0 + t/(1− λ)] 5 λf(x0) + (1− λ)f(x0 + t/(1− λ)).

A feltevés miatt x0 + t/(1− λ) ∈ L(β) és x0 ∈ L(α), ezért az előző kiemelt sorból:

f(x0 + t) 5 λα+ (1− λ)β.

Mivel a baloldal λ-tól független, és a λ→ 1 határátmenet mellett a jobboldal α-hoztart, azt kapjuk, hogy f(x0 + t) 5 α, tehát az L(α) is tartalmaz egy jobbra mutatófélegyenest.


8.7. KONVEX FÜGGVÉNYEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK 271

8.7. Konvex függvények és egyenlőtlenségek

8.7.1. Jensen-egyenlőtlenségA következő tétel azt állítja, hogy két tagú konvex kombináció helyett tetszőlegesszámú tagot tartalmazó kombinációt is vehetünk a konvex (konkáv) függvényeknél.

8.45 Állítás. (Jensen-egyenlőtlenség)Ha egy f leképezés konvex egy [a, b] intervallumon, akkor az intervallum tetszőlegesx1, x2, . . ., xn elemeinek a tetszőleges konvex kombinációjára fennáll az

f(n∑

i=1

λixi) ≤n∑

i=1

λif(xi)

egyenlőtlenség.

Bizonyítás. Teljes indukcióval bizonyítjuk. Kezdő lépés az n = 2 eset, amikor azállítás a konvex függvény definíciójával egyezik meg.Indukciós lépés: Tegyük fel most, hogy fennáll az egyenlőtlenség (n − 1)-nél nemnagyobb tagszámú konvex kombináció mellett. Ebből belátjuk, hogy igaz n tagúkonvex kombinációra is. Ha egy n tagú konvex kombinációban valamelyik súlynulla, akkor arra az indukciós feltevés szerint igaz az egyenlőtlenség, hiszen ekkormondható, hogy legfeljebb (n − 1) tagja van a kombinációnak, amelyre a feltevésszerint igaz az egyenlőtlenség. Legyen ezért a λ1, λ2, . . . , λn súlyok mindegyikepozitív. Vegyük az f függvénynek az értékét egy ilyen kombinációnál és végezzünkel egy olyan célszerű átalakítást, amelyikkel kevesebb tagú konvex kombinációkathozunk be:

f(λ1x1 + · · ·+ λnxn) == f

(λ1x1 + (1− λ1)

(λ2

1− λ1x2 + · · ·+ λn

1− λ1xn

)).

Amint látható, az átalakítással az értük el, hogy az f argumentumában egy két tagúkonvex kombinációt alakítottunk ki, az λ1 és (1−λ1) együtthatókkal. A kombinációmásodik tagja az

λ2

1− λ1x2 +

λ3

1− λ1x3 + · · ·+ λn

1− λ1xn

maga is egy (n− 1) tagú konvex kombináció, mivel

λ2

1− λ1+ · · ·+ λn

1− λ1=

11− λ1

(λ2 + · · ·+ λn) =1

1− λ1(1− λ1) = 1.

Folytassuk most már az utóbbiak figyelembevételével az előbb elkezdett egyenlőtlen-séget, felhasználva azt, hogy fennáll az egyenlőtlenség kettőre és minden (n− 1)-nélnem nagyobb tagszámú konvex kombinációra:

f(λ1x1 + (1− λ1)(

λ2

1− λ1x2 + · · ·+ λn

1− λ1xn

)) 5

5 λ1f(x1)(1− λ1)f(

λ2

1− λ1x2 + · · ·+ λn

1− λ1xn

)5

5 λ1f(x1) + (1− λ1)(

λ2

1− λ1f(x2) + · · ·+ λn

1− λ1f(xn)

)=

= λ1f(x1) + λ2f(x2) + · · ·+ λnf(xn),

ami pontosan azt adja, hogy n-re is teljesül az egyenlőtlenség.



8.7.2. Közepek8.46 Definíció. (Számtani, mértani és harmonikus közép)

Legyenek α1, . . ., αn, x1, . . ., xn, pozitív számok, és α1 + · · ·+ αn = 1. Ekkor az

α1x1 + · · ·+ αnxn, xα11 · · ·xαn

n , és1

α1/x1 + · · ·+ αn/xn

kifejezésket rendre az x1, . . ., xn számok α1, . . ., αn súlyokkal vett számtani, mértaniilletve harmonikus közepének nevezzük.

Ha az αi súlyok mind az 1/n értéket veszik fel, akkor a közepek rendre:

x1 + · · ·+ xn

n, (x1 · · ·xn)1/n és

n

1/x1 + · · ·+ 1/xn.

Ekkor — logikusan — elhagyjuk a „súlyozott” szót a megnevezésből. Megjegyezzükazonban, hogy az általános esetben sokszor elhagyják a „súlyozott” szót, és az semmigondot sem okoz.

8.47 Állítás. (Számtani, mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség)Legyenek α1, . . ., αn, x1, . . ., xn, pozitív számok, és α1 + · · · + αn = 1. Ekkor asúlyozott számtani, mértani és hamonikus közép között a következő eyenlőtlenségekállnak fenn:

1α1/x1 + · · ·+ αn/xn

5 α1x1 + · · ·+ αnxn 5 xα11 · · ·xαn

n .

Ezen egyenlőtleségek bármelyikében pontosan akkor áll fenn egyenlőség, ha x1 =· · · = xn.

A most kimondott egyenlőtlenégeket az αi = 1/n esetben már beláttuk a valósszámokat tárgyaló fejezetben, illetőleg a hozzá tartozó feladatok között. Az akkoradott elemi bizonyítás szellemes, most pedig az általánosabb tételt könnyebb — ésbizonyos értelemben „ötlettelenebb” — módon látjuk be: differenciálással eldöntjükegy függvény konvexitását, és azután felírjuk a Jensen-egyenlőtlenséget. Ez a mód-szer azért lehet ötlettelenebb, mert van egy erős eszközünk: a differenciálszámítás.

Bizonyítás. Lássuk először a számtani és mértani közep közötti egyenlőlenség iga-zolását. A logaritmusfüggvény szigorúan konkáv, mivel az 1/x első deriváltja szigo-rúan monoton fogyó. Ekkor viszont a Jensen egyenlőtlenség szerint (8.45 tétel):

log(α1x1 + · · ·+ αnxn) ≥ α1 log x1 + · · ·+ αn log xn,

amit rendezve az

log(α1x1 + · · ·+ αnxn) ≥ log(xα11 · · ·xαn

n )

egyenlőtlenséghez jutunk. A logaritmusfüggvény inverze — az exp(x) = ex függény— szigorúan monoton növekedő, ezért az előző kiemelt sorból az

α1x1 + · · ·+ αnxn = exp(log(α1x1 + · · ·+ αnxn)) ≥ exp(xα11 · · ·xαn

n ) = xα11 · · ·xαn

n

egyenlőtlenséget kapjuk, ami bizonyítandó volt. A logaritmusfüggvény szigorú kon-kávitása és az exponenciális függvény szigorú növekedése miatt egyenlőség csak ak-kor lehet, ha x1 = . . . = xn.

A harmonikus és mértani közép közötti egyenlőtlenség igazolásához alkalmaz-zuk a mértani és számtani közép közötti egyenlőtlenséget az 1/xi számokra, az αi

súlyokkal: (1x1

)α

1

· · ·(

1xn

)α

n

5 α1x−11 + · · ·+ αnx

−1n .



Véve ennek a reciprokát az

xα11 · · ·xαn

n =(α1x

−11 + · · ·+ αnx

−1n

)−1,

egyenlőtlenség adódik, ami bizonyítandó volt.

A számtani, mértani és harmonikus közép általánosításaként bevezetjük a sú-lyozott hatványközepek fogalmát:

8.48 Definíció. (Hatványközepek)Legyenek α1, . . ., αn, x1, . . ., xn pozitív számok, α1 + · · ·+αn = 1 és β 6= 0. Ekkoraz

Mβ(x, α) .=(α1x

β1 + · · ·+ αnx

βn

)1/β

kifejezést az x1, . . ., xn számok α1, . . ., αn súlyokkal vett β-adik hatványközepének— röviden: közepének — nevezzük.

Ha speciálisan β = 1, akkor a súlyozott számtani közepet, ha pedig β = −1,akkor a harmonikus közepet kapjuk. A mértani közép beillesztése a hatványközepekközé a következő állítás alapján történik:

8.49 Állítás. (Mértani közép, mint hatványközepek limesze)A 8.48. definíció jelöléseit használva, ha a β szám tart a nullához, akkor a súlyozottközép tart a mértani középhez:

limβ→0

(α1x

β1 + · · ·+ αnx

βn

)1/β

= xα11 · · ·xαn

n .

Bizonyítás. Az Mβ(x, α) közép logaritmusa a következőképpen alakítható:

logMβ(x, α) =1β

log(α1x

β1 + · · ·+ αnx

βn

)=

=log(α1x

β1 + · · ·+ αnx

βn

)− log

(α1x

01 + · · ·+ αnx

0n

)β

.

Itt a jobboldal a β 7→ log(α1x

β1 + · · ·+ αnx

βn

)függvény különbségi hányadosa a 0

pontban, és így ha β → 0, akkor a limesze:(d

dβlog(α1x

β1 + · · ·+ αnx

βn

))|β=0

=

(α1(log x1)x

β1 + · · ·+ αn(log xn)xβ

n

α1xβ1 + · · ·+ αnx

βn

)β=0

=α1 log x1 + · · ·+ αn log xn

α1 + · · ·+ αn= log(xα1

1 · · ·xαnn ),

és ezzel azt kaptuk, hogy

limβ→0

logMβ(x, α) = log(xα11 · · ·xαn

n ),

amivel beláttuk az állítást.

A β = ∞, β = −∞ „szélső” estekben is tudjuk a hatványközepeket határértékkelértelmezni a kövekező állítás alapján:



8.50 Állítás. (A maximum és minimum mint hatványközepek limesze)A 8.48. definíció jelöléseit használva, igazak a következők:

limβ→∞

(α1x

β1 + · · ·+ αnx

βn

)1/β

= maxx1, . . . , xn

limβ→−∞

(α1x

β1 + · · ·+ αnx

βn

)1/β

= minx1, . . . , xn

Bizonyítás. Feltehetjük, hogy az xi számok különbözőek, mert ellenkező esetben azazonos xβ

i hatványokat összeadva egy kevesebb tagból álló hatványközepet kapunk,és arra mondanánk el a bizonyítást. Legyen xi0 = max15i5n xi. Vegyük a következőátalakítást:

(α1x

β1 + · · ·+ αnx

βn

)1/β

= xi0(αi0)1/β ·

(α1

αi0

(x1

xi0

)β

+ ·+ αn

αi0

(xn

xi0

)β)1/β

.

Az xi/xi0 tört 1, ha i = i0 és egynél kisebb más esetben. Emiatt — ha β tarta végtelenbe — az összeg tagjai tartanak a nullához, eltekintve az i0-adik tagtól,amely 1, tehát az összeg 1-hez tart. Az 1/β kitevő nullához tartása nem változtatezen, és így (α0)1/β → 1 miatt

limβ→∞

Mβ(x, α) = xi0 · 1 = xi0 ,

ami bizonyítandó volt. A mínusz végtelenbe való tartás esete hasonlóan megy.

A 8.49. és 8.50. állítások lehetővé teszik, hogy a nulla- és végtelen rendű hat-ványközepeket definiálhassuk:

8.51 Definíció. (Mínusz végtelen, nulla- és végtelen rendű hatványközepek)A 8.49. állítás alapján a nulladik hatványközepet

M0(x, α) .= xα11 · · · · · xαn

n ,

módon definiáljuk, és súlyozott mértani középnek mondjuk. A mínusz végtelen il-letve plusz végtelen rendű (súlyozott) hatványközepek értelezése a 8.50. állításratámaszkodva:

M−∞(x, α) .= minx1, . . . , xn,M∞(x, α) .= maxx1, . . . , xn.

Ezen definíció alapján, ha hatványközepet mondunk, akkor abba beleértjük amost definiált három közepet is.

A A 8.49. és 8.50. állítások szerint az Mβ függvény folytonos a nullában, ésbizonyos értelemben a minusz és plusz végtelenben is, hiszen ezeken a helyeken ahatárértékkel értelmeztük a függvényt. A közepek közötti egyenlőtlenségek fő tétele:

8.52 Állítás. (A hatványközepek monoton növekedése)A 8.48. és 8.51. definíciók jelöléseit használva, rögzített x1, . . ., xn és α1, . . .,αn számok mellett, a kiterjesztett valós számokból a valós számokba menő β 7→Mβ(x, α) függvény szigorúan növekedő, ha az xi számok nem mind azonosak, illetveállandó, ha x1 = · · · = xn.

Ha speciálisan a β = −1, 0, 1 helyekre alkalmazzuk a függvényt, akkor

M−1(x, α) 5 M0(x, α) 5 M1(x, α),



amely a már megismert harmonikus, mértani és számtani közép közötti egyenlőt-lenség. Eszerint azt mondhatjuk, hogy ez a tétel a közepek közötti egyenlőtlenségekfő tétele.

Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy az

F (t) .=

(α1xt1 + . . .+ αnx

tn)1/t, ha 0 6= t,

xα11 · · · · · xαn

n , ha t = 0

függvény szigorú monoton növekedő, ha az xi számok nem mind egyeznek meg.Először a t 6= 0 esetet vizsgáljuk. Logaritmust véve:

t log(F (t)) = (α1xt1 + . . .+ αnx

tn),

és ezt deriválva

log(F (t)) + tF ′(t)F (t)

=α1x

t1 log x1 + . . .+ αnx

tn log xn

α1xt1 + . . .+ αnxt

n

adódik. Mivel az F függvény pozitív, ezért az F ′ derivált előjelvizsgálatával ekviva-lens a t2 F ′(t)

F (t) előjelvizsgálata, ha t 6= 0. Emiatt ezt számoljuk ki az előző deriváltból.Az egyszerűbb írás kedvéért a számolás során az α1x

t1+. . .+αnx

tn kifejezést jelöljük

B-vel:

t2F ′(t)F (t)

= tα1x

t1 log x1 + . . .+ αnx

tn log xn

B− t log(F (t))

= tα1x

t1 log x1 + . . .+ αnx

tn log xn

B− logB.

Ebből pedig t2 F ′(t)F (t) B = α1x

t1 log xt

1 + . . .+ αnxtn log xt

n −B logB, amit részletesenkiírva kaptuk, hogy

t2F ′(t)F (t)

(α1xt1 + . . .+ αnx

tn) = α1x

t1 log xt

1 + . . .+ αnxtn log xt

n

− (α1xt1 + . . .+ αnx

tn) log(α1x

t1 + . . .+ αnx

tn).

Vixsgáljuk most meg a jobboldalt. Az y 7→ y log y függvény második deriváltja1/y, ezért szigorúan konvex a pozitív számokon. Így pedig a Jensen-egyenlőtlenségszerint

α1y1 log y1 + . . .+ αnyn log yn > (α1y1 + . . .+ αnyn) log(α1y1 + . . .+ αnyn),

tehát az

α1y1 log y1 + . . .+ αnyn log yn − (α1y1 + . . .+ αnyn) log(α1y1 + . . .+ αnyn)

különbség a pozitív, és így

t2F ′(t)F (t)

(α1xt1 + . . .+ αnx

tn) > 0.

Ebből pedig adódik, hogy nemnulla t értékekre a F ′(t) derivált pozitív.A t = 0 eset vizsgálata van még hátra. Az F pozitív függvény deriváltja pontosan

akkor pozitív, ha a logF (t) függvény F ′(t)/F (t) deriváltja pozitív, és az utóbbitegyszerűbb kiszámolni. A logF függvény 0-ban vett deriváltját a következő limeszadja:

limt→0

1/t log(α1xt1 + . . .+ αnx

tn)− log xα1

1 · · ·xαnn

t

= limt→0

log(α1xt1 + . . .+ αnx

tn)− t log xα1

1 · · ·xαnn

t2.



A nevező és számláló 0-ban nulla, így teljesülnek a L’Hospital-szabály feltételei,ezért a limesz a deriváltak hányadosának a limeszével egyezik meg:

limt→0

(α1xt1 log x1 + . . .+ αnx

tn log xn)/(α1x

t1 + . . .+ αnx

tn)− log xα1

1 · · ·xαnn

2t

= limt→0

α1xt1 log x1 + . . .+ αnx

tn log xn − (α1x

t1 + . . .+ αnx

tn) log xα1

1 · · ·xαnn

2t(α1xt1 + . . .+ αnxt

n).

A t = 0 helyen a tört ismét 0/0 alakú, és teljesülnek a L’Hospital-szabály feltételei,ezért ismét deriváljuk a számlálót és nevezőt. A számláló illetve a nevező deriváltjai:

α1xt1(log x1)2 + . . .+ αnx

tn(log xn)2

− (α1xt1 log x1 + . . .+ αnx

tn log xn) log xα1

1 · · ·xαnn ,

illetve2(α1x

t1 + . . .+ αnx

tn)) + 2t(α1x

t1 log x1 + . . .+ αnx

tn log xn).

A nevező értéke nullánál 2, a számláló pedig

α1(log x1)2 + . . .+ αn(log xn)2 − (log xα11 · · ·xαn

n )2 (8.6)

Azt már láttuk, hogy pozitív t-re szigorúan nő az F közép, ezért ha az yi számokpozitívak és nem mind azonosak, akkor

(α1y21 + · · ·+ αny

2n)1/2 > α1y1 + · · ·+ αnyn.

Ez az egyenlőtlenség tetszőleges előjelű yi számokra is fennáll, hiszen

|α1y1 + · · ·+ αnyn| 5 α1|y1|+ · · ·+ αn|yn| < (α1|y1|2 + · · ·+ αn|yn|2)1/2

= (α1y21 + · · ·+ αny

2n)1/2.

az egyenlőtlenség mindkét oldalát négyzetre emelve:

(α1y1 + · · ·+ αnyn)2 < α1y21 + · · ·+ αny

2n.

Az yi = log xi beírásával, kapjuk:

(α1 log x1 + · · ·+ αn log xn)2 < α1(log x1)2 + · · ·+ αn(log xn)2,

amely pontosan azt mondja, hogy az (8.6) számláló pozitív, tehát az F ′(0) előjeleis pozitív, ha az xi számok nem mind azonosak.

8.7.3. A Hölder–, Minkowski– és Cauchy–egyenlőtlenségekA következő egyenlőtlenség a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség azn = 2 esetben, történeti okok és a következőkben megismerendő alkalmazás miattazonban mégis külön nevet visel:

8.53 Állítás. (Young-egyenlőtlenség)Legyen a p és q két olyan pozitív szám, amelyekre 1

p + 1q = 1. Ekkor tetszőleges x

és y pozitív számokra fennáll az

xy ≤ xp

p+yq

q

egyenlőtlenség, és pontosan akkor van egyelőség, ha xp = yq.



Bizonyítás. Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget azx1 = xp, x2 = yq számokra és az α1 = 1/p, α2 = 1/q súlyokra:

xp

p+yq

q≥ (xp)

1p · (xq)

1q = xy.

Egyenlőség a mértani és számtani közép közötti egyenlőtlenségben pontosan akkorvan, ha xp = yq.

8.54 Állítás. (Hölder-egyenlőtlenség)Legyenek p és q olyan pozitív számok, amelyekre 1

p + 1q = 1. Ekkor tetszőleges

x1, x2, . . . , xn és y1, y2, . . . , yn

nemnegatív számok mellett fennáll a következő egyenlőtlenség

n∑i=1

xiyi 5

(n∑

i=1

xpi

) 1p(

n∑i=1

yqi

) 1q

.

Egyenlőség pontosan akkor van, ha van olyan µ és ν szám, hogy nem mindkettőnulla, továbbá µxp

i = νyqi , minden i indexre.

Bizonyítás. Ha x1 = · · · = xn = 0 vagy y1 = · · · = yn = 0, akkor az állításnyilvánvaló, tegyük fel ezért, hogy ezen esetek nem állnak fenn. Alkalmazzuk aYoung–egyenlőtlenséget (8.53. állítás) az

xi(∑nj=1 x

pj

) 1p

ésyi(∑n

j=1 yqj

) 1q

, i = 1, . . . , n

számokra, majd összegezzük az egyenlőtlenségeket az i szerint:n∑

i=1

xi(∑nj=1 x

pj

) 1p

· yi(∑nj=1 y

qj

) 1q

51p

n∑i=1

xpi∑n

j=1 xpj

+1q

n∑i=1

yqi∑n

j=1 yqj

=1p

∑ni=1 x

pi∑n

j=1 xpj

+1q

∑ni=1 y

qi∑n

j=1 yqj

=1p

+1q

= 1.

A számolássorozat elejét és végét nézve, beláttuk, hogy∑ni=1 xiyi(∑n

j=1 xpj

) 1p

(∑n

i=1 yqi )

1q

5 1, azazn∑

i=1

xiyi 5

(n∑

i=1

xpi

) 1p(

n∑i=1

yqi

) 1q

.

Egyenlőség — a Young-egyenlőtlenség egyenlőségi feltétele szerint — ha

xpi∑n

i=1 xpi

=yq

i∑ni=1 y

qi

, i = 1, . . . , n.

Eszerint van olyan µ és ν, amelyekre µxpi = νyq

i . Megfordítva, ha van két ilyenszám, akkor könnyen láthatóan egyenlőség van a Hölder-egyenlőtlenségben.

8.55 Következmény. (Cauchy-Shwarz-egyenlőtlenség)Legyenek x1, . . ., xn és y1, . . ., yn valós számok. Ekkor fennáll az

x1y1 + · · ·+ xnyn 5 (x21 + · · ·+ x2

n)1/2 · (y21 + · · ·+ y2

n)1/2

egyenlőtlenség. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha van olyan µ és ν nem minda kettő nulla szám, hogy µxi = νyi, minden i-re.



Bizonyítás. Első bizonyítás. A Hölder-egyenlőtlenség p = q = 2 speciális esete.Egyenlőtlenség akkor van, ha µx2

i = νy2i , ami az állítás feltételével ekvivalens.

Második bizonyítás. Közvetlenül igazoljuk egy nevezetes „trükk” segítségével. Néz-zük az

h(t) .=n∑

i=1

(xi + tyi)2 =n∑

i=1

(x2i + 2xiyit+ y2

i ) =n∑

i=1

x2i + 2t

n∑i=1

xiyi + t2n∑

i=1

y2i

függvényt. Ha∑

i y2i = 0, akkor az állítás nyilvánvaló. Ha pedig

∑i y

2i > 0, akkor

a h függvény t-ben másodfokú polinom, amely nemnegatív és így a diszkriminánsanempozitív: (

2n∑

i=1

xiyi

)2

− 4

(n∑

i=1

x2i

)(n∑

i=1

y2i

)5 0,

amelyből átrendezéssel kapjuk, hogy(n∑

i=1

xiyi

)2

5

(n∑

i=1

x2i

)(n∑

i=1

y2i

),

és ezzel beláttuk az egyenlőtlenséget. Egyenlőség akkor van, ha a diszkriminánsnulla, és ekkor egyetlen t0 (kétszeres) gyöke van a h másodfokú polinomnak. Erre at0 értékre nulla a h függvény, amely pontosan akkor teljesül, ha minden (xi + t0yi)2

összeadandó nulla, azaz ha xi = −t0yi minden i-re.

8.56 Állítás. (Minkowski-egyenlőtlenség)Legyenek x1, . . ., xn és y1, . . ., yn nemnegatív számok, és 1 5 p. Ekkor fennáll az(

n∑i=1

(xi + yi)p

)1/p

5

(n∑

i=1

xpi

)1/p

+

(n∑

i=1

ypi

)1/p

egyenlőtlenség.

Bizonyítás. Első bizonyítás. Közvetlenül konvexitási meggondolással bizonyítunk.Az xp függvény konvex a nemnegatív számokon, ha 1 5 p. Vezessük be az

a.=

(n∑

i=1

xpi

)1/p

és b =

(n∑

i=1

ypi

)1/p

jelöléseket, és használjuk az xp konvexitását:(xi + yi

a+ b

)p

=(

a

a+ b

xi

a+

b

a+ b

yi

b

)p

5a

a+ b

(xi

a

)p

+b

a+ b

(yi

b

)p

.

Összegezve ezen egyenlőtlenségeket a i-re, kapjuk hogyn∑

i=1

(xi + yi

a+ b

)p

5n∑

i=1

a

a+ b

(xi

a

)p

+n∑

i=1

b

a+ b

(yi

b

)p

=a

a+ b

∑ni=1 x

pi

ap+

b

a+ b

∑ni=1 y

pi

bp=

a

a+ b+

b

a+ b= 1.

amelyből

n∑i=1

(xi + yi)p 5 (a+ b)p =

( n∑i=1

xpi

)1/p

+

(n∑

i=1

ypi

)1/pp

,


8.8. KVÁZIKONVEX ÉS KVÁZIKONKÁV FÜGGVÉNYEK 279

azaz (n∑

i=1

(xi + yi)p

)1/p

5

(n∑

i=1

xpi

)1/p

+

(n∑

i=1

ypi

)1/p

.

Második bizonyítás. A Hölder-egyenlőtlenség segítségével igazoljuk. Végezzük el akövetkező átalakításokat:

n∑i=1

(xi + yi)p =n∑

i=1

(xi + yi)(xi + yi)p−1 =n∑

i=1

xi(xi + yi)p−1 +n∑

i=1

yi(xi + yi)p−1.

A jobboldalon lévő két összeg mindegyikére alkalmazva a Hölder-egyenlőtlenséget,a következőképpen folytathatjuk a kiemelt sort:

5

(n∑

i=1

xpi

)1/p

·

(n∑

i=1

(xi + yi)(p−1)q

)1/q

+

(n∑

i=1

ypi

)1/p

·

(n∑

i=1

(xi + yi)(p−1)q

)1/q

=

=

( n∑i=1

xpi

)1/p

+

(n∑

i=1

ypi

)1/p ·

(n∑

i=1

(xi + yi)(p−1)q

)1/q

.

Az 1/p+ 1/q = 1 egyenletből (p− 1)q = p, és így az eddigieket összefoglalva:

n∑i=1

(xi + yi)p 5

( n∑i=1

xpi

)1/p

+

(n∑

i=1

ypi

)1/p ·

(n∑

i=1

(xi + yi)p

)1/q

.

Átosztva a jobboldali második tényezővel a baloldalon a(n∑

i=1

(xi + yi)p

)1−1/q

=

(n∑

i=1

(xi + yi)p

)1/p

,

kifejezés adódik, és így a következőt kaptuk:(n∑

i=1

(xi + yi)p

)1/p

5

(n∑

i=1

xpi

)1/p

+

(n∑

i=1

ypi

)1/p

,

ami éppen a Minkowski-egyenlőtlenség.

8.8. Kvázikonvex és kvázikonkáv függvényekA konvexitás tulajdonságának többirányú általánosítása imeretes. Ezeknek az ál-talánosításoknak leggyakoribb oka: a konvex függvény valamilyen tulajdonságánaka megőrzése enyhébb feltételek mellett. A közgazdaságtanban a kvázikonvex illetvekvázikonkáv függvények alkalmazása teljesen általános.

8.8.1. Definíciók, alaptulajdonságokBevezetünk egy általánosan használt jelölést:

8.57 Jelölés. (Függvény alsó és felső nívóhalmazai)Legyen f egy intervallumon értelmezett függvény. Az

L(f ;α) .= x ∈ X : f(x) 5 α = f−1(−∞, α]), α ∈ R,U(f ;α) .= x ∈ X : f(x) = α = f−1([α,∞)), α ∈ R

halmazokat az f függvény alsó illetve felső nívóhalmazának fogjuk nevezni.



A konvex függvényeknél láttuk, hogy az L(f, α) alsó nívóhalmazok konvexek,ha az f konvex. A nívóhalmazok konvexitása annyira fontos kérdés, hogy azokat afüggvényeket, amelyekre az alsó nívóhalmazok konvexek külön el is nevezzük. Ezeka függvények a konvex függvények egy általánosítását adják.

8.58 Definíció. (Kvázikonvex és kvázikonkáv függvény)Legyen az I intervallum és f : I → R. Az f függvényt kvázikonvexnek mondjuk, haaz

L(f ;α) = x ∈ C : f(x) 5 αalsó nívóhalmazok minden α mellett konvexek. Hasonlóan: az f : I → R függvénytkvázikonkávnak mondjuk, ha az

U(f ;α) = x ∈ C : g(x) = α

felső nívóhalmazok minden α mellett konvexek.

8.59 Példa. (Példák kvázikonvex függényre)A következő függvények kvázikonvexek:

1) Teszőleges intervallumon definiált monoton függvények.2) Az e−x2

függvény az x = −1/√

2 pontig konvex, az x = −1/√

2 és x = 1/√

2között konkáv, az x = 1/

√2 ponttól kezdve pedig ismét konvex. Nyilván kvázikonkáv,

de nem kvázikonvex.

Konvex függvények az értelmezési tartomány belsejében folytonosak, a kvázi-konvexitásból viszont nem következik a folytonosság. Erre példa lehet tetszőlegesszakadásos monoton függvény, például a sgn(x).

Nyilvánvaló, hogy ha az f kvázikonvex, akkor a −f negatívja kvázikonkáv, ésmegfordítva, tehát olyan viszony van közöttük, mint a konvex és konkáv függvényekközött. Emiatt elégséges az egyik tulajdonsággal — mondjuk a kvázikonvexitással— foglalkozni. A kövekező tételek voltaképpen szinte mind a kvázikonvex függvénye-ket jellemzik. Először egy olyan jellemzést vesszünk, amely gyakorta definíciókéntis szolgál:

8.60 Állítás. (Kvázikonvex és kvázikonkáv függvény jellemzése)Legyen I intervallum, és f : I → R. Az f függvény pontosan akkor kvázikonvex, ha

∀x1, x2 ∈ I, α ∈ [0, 1] f(αx1 + (1− α2)x2) 5 maxf(x1), f(x2).

Hasonlóan: az f függvény pontosan akkor kvázikonkáv, ha

∀x1, x2 ∈ I, α ∈ [0, 1] f(αx1 + (1− α2)x2) = minf(x1), f(x2).

Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy az f kvázikonvex a 8.58. definíció szerint. Mi-vel az L(f ;maxf(x1), f(x2)) halmaz konvex és x1, x2 ∈ L(f ;maxf(x1), f(x2)),ezért

x1 + (1− λ)x2 ∈ L(f ;maxf(x1, f(x2)), (λ ∈ [0, 1]),

azazf(λx1 + (1− λ)x2) 5 maxf(x1), f(x2).

Az állítás másik irányának az igazolásához tegyük fel, hogy teljesül az utóbbi egyen-lőtlenség, és ebből belátjuk, hogy a L(f, α), (α ∈ R) nívóhalmaz konvex. Hax1, x2 ∈ L(f ;α), azaz f(x1) 5 α és f(x2) 5 α, akkor a feltett egyenlőtlenségszerint

f(λx1 + (1− λ)x2) 55 max(x1), f(x2) 5 α,

tehát λx1 + (1 − λ)x2 ∈ L(f ;α). A kvázikonkávitásra vonatkozó állítás hasonlóanadódik.



8.8.2. Kvázikonvex és monoton függvények8.61 Állítás. (Kvázikonvex és monoton függvények)

Legyen az I intervallum és f : I → R. Az f függvény pontosan akkor kvázikonvex,ha van olyan I1, I2 egymástkövető, diszjunkt intervallum, hogy I = I1 ∪ I2, és az fmonoton fogyó az I1 és monoton növő az I2 intervallumon.

Bizonyítás. Legyen először az I1 és I2 a feltételeit kielégítő két intervallum (azegyik esetleg üres is lehet). A bizonyítás könnyűnek tetszik, de elmondani nemolyan rövid, és ezt szokás az olvasóra bízni, mert kényelmetlen leírni. Ha bevezetjüka tárgyalásba a −∞ és ∞ értékekét, akkor egyszerűbbé válik a beszéd. Legyen

f1(x) =f(x) ha x ∈ I1,−∞ ha x ∈ I2

és f2(x) =f(x) ha x ∈ I2,−∞ ha x ∈ I1.

Ekkor az f1 és f2 függvények monotonok, f = f1 ∨ f2 és

x ∈ I : f(x) 5 α = x ∈ I : f1(x) 5 α és f2(x) 5 α == x ∈ I : f1(x) 5 α ∩ x ∈ I : f2(x) 5 α.

Itt pedig a jobboldali metszetben lévő két halmaz az f1 és f2 monotonitása miattkonvex, és így a metszetük is konvex.

Az állítás másik irányának az igazolása kicsit nehezebb csak. Legyen most az ffüggvény kvázikonvex, és definiáljuk a következő halmazokat:

I1.= x ∈ I : ∃y ∈ I x < y és f(y) < f(x),

I2.= I r I1.

Megmutatjuk, hogy I1 és I2 az állításban szereplő intervallumok. A bizonyítás akövetkező két észrevételen nyugszik:

x ∈ I1, z ∈ I és z < x =⇒ f(x) 5 f(z),x ∈ I2, z ∈ I és x < z =⇒ f(x) 5 f(z).

Az első észrevétel indoklása: A feltétel szerint van olyan x < y, hogy f(y) < f(x).Ha a következménnyel ellentétben f(x) > f(z) lenne, akkor összegezve

z < x < y és f(y) < f(x), f(z) < f(x),

és így nem teljesülne az, hogy f(x) 5 maxf(y), f(z) a [z, y] intervallumban lévőx pontokra. A második észrevétel indoklása egyszerűbb: Ha a következménnyelellentétben f(x) > f(z) lenne, akkor ez az x < z észrevétellel együtt pontosan aztjelentené, hogy x ∈ I1, ellentétben az x ∈ I2 feltétellel. Most pedig belátjuk, hogyaz I1 intervallum, és azon az f monoton fogyó. Legyen ehhez x ∈ I1, azaz van olyanx < y, hogy f(y) < f(x). Ha z < x, akkor az első észrevétel szerint f(x) 5 f(z), ésígy összefoglalva:

z < x < y és f(y) < f(x) 5 f(z),

tehát z ∈ I1, és f(x) 5 f(z). Eszerint az f monoton fogyó minden I ∩z : z < x ⊆I1, (x ∈ I1) intervallumon, és így az I1 intervallumon is, mivel az I1 minden pontjabenne van a szóbanforgó intervallumok valamelyikében valamilyen x esetében. AzI2 = I r I1 miatt pedig I2 az előbb mondott intervallumok komplementereinek —amelyek szintén egymást tartalmazó intervallumok — a metszete, tehát intervallum.Az f monoton növekedése az I2 intervallumon: ha x < y az I2 intervallum pontjai,akkor a második észrevétel szerint f(x) 5 f(y).



8.62 Állítás. (Szigorúan kvázionvex függvények alakja)Legyen J intervalluma, és f : J → R. Az f függvény pontosan akkor szigorúan kvá-zikonvex, ha van olyan J1, J0 és J2 egymás után következő és diszjunkt intervallum,amelyek uniója a J , és az f szigorúan fogy az J1 intervallumon, állandó az J0-ánés szigorúan nő az J2 intervallumon.

Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy vannak olyan J1, J0, J2 intervallumok, ame-lyekre teljesül a tétel feltétele. Az J1 ∪ J0 és J2 intervallumok teljesítik az 8.61.állítás feltételeit, ezért az f függvény kvázikonvex. Azt kell még látnunk, hogy szi-gorúan kvázikonvex. Ha x1 < z < x2 — azaz a z szigorúan az x1 és x2 között van— akkor a kvázikonvexitás miatt

f(z) 5 maxf(x1), f(x2),

és már csak azt kell látnunk, hogy ha a maximum az egyik helyen vétetik fel —mondjuk: f(x1) < f(x2) — akkor szigorú az egyenlőtlenség. Ezt, sajnos, csakesetszétvlasztással tudom: Ha x1, x2 eleme az J1 vagy J2 intervallumnak, akkor aszigorú monotonitás adja az eredményt. Ha pedig x1 ∈ J1 és x2 ∈ J0, akkor haz ∈ J1, a szigorú monotonitás, ha pedig z ∈ J0, akkor amiatt, hogy az állandó értékkisebb, mint az J1-en felvett értékek: f(z) < f(x1). Az x1 ∈ J0 és x2 ∈ J2 hasonlóanmegy. Az az eset pedig, amikor x1 ∈ J1 és x2 ∈ J2, három eset megnézésével megy:z ∈ J1, z ∈ J0, z ∈ J2.

A bizonyításban felhasználjuk az 8.61. állítást és annak a bizonyítását is. Legyenα.= infx∈J f(x), és

J0.= x ∈ J : f(x) 5 α, (8.7)

J1.= I1 r J0, (8.8)

J2.= I2 r J0, (8.9)

ahol az I1 és I2 az 8.61. állítás bizonyításában definiált halmazokat jelöli. A J0

konvex, mivel az f kvázikonvex, tehát intervallum. A J1 intervallum volta: meg-mutatjuk, hogy ha [x, y] x, y ∈ J1 egy intervallum, akkor [x, y] ⊆ I1 és [x, y]∩ J0 =,és így [x, y] ⊆ J1, tehát a J1 intervallum. A J1 ⊆ I1 miatt ugyanis [x, y] ⊆ I1,hiszen az I1 intervallum. Ebből pedig — az I1-en való monoton fogyás miatt —f(z) = f(y) > α, ha (z 5 y), azaz [x, y] ∩ J0 =. A J1 intervallumon való szigorúcsőkkenés indoklása: a fogyás J1 ⊆ I1 miatt nyilvánvaló, a szigorúság pedig abbólkövetkezik, hogy nem lehet lokális minimuma, mivel az globális is lenne, azt pedig— ha van — a J0 intervallumon éri el. A J2 intervallum volta és az ott való szigorúnövekedés hasonlóan látható.

8.8.3. Kvázikonvex függvény és szélsőértékekKonvex függvénynek minden lokális minimuma egyben globális minimum is. Kvá-zikonvexitás esetében nem igaz az állítás:

8.63 Példa. (Kvázikonvex függvény, amelynek lokális szélsőértéke nem globális)Vegyük az

f(x) =

0 ha −∞ 5 x 5 −1−√

1− x2 ha −1 5 x 5 10 ha 0 5 x 5 ∞

R → R függvényt. Az f kvázikonvex függvénynek lokális minimuma a nulla a(−∞,−1) és (1,∞) intervallumok minden pontjában, lokális minimum −1 a 0 pont-ban.


8.9. LOGKONVEX ÉS LOGKONKÁV FÜGGVÉNYEK 283

Szigorú lokális minimum esetében viszont már igaz az állítás:

8.64 Állítás. (Kvázikonvex függvény szigorú lokális minimuma globális)Legyen I intervallum, és f : I → R kvázikonvex függvény. Ha az f függvénynek vanszigorú lokális minimuma, akkor az globális minimum is.

Bizonyítás. Legyen az x ∈ I szigorú lokális minimum. Ez azt jelenti. hogy vanolyan környezete az x pontnak, hogy minden abba eső x 6= x pontra f(x) < f(x).Megmutatjuk, hogy ezzel ellentmondásra jutunk, ha az x nem lenne szigorú globálisminimum. Ha az x nem lenne szigorú globális minimum, akkor lenne olyan x ∈ C,x 6= x, hogy f(x) 5 f(x). A kvázikonvexitás miatt

f(λx+ (1− λ)x) 5 maxf(x), f(x) = f(x), ha λ ∈ [0, 1].

Ebből pedig — mivel az

z = (λx+ (1− λ)x) : λ ∈ [0, 1]

szakasz belemetsz az x pont tetszőleges környezetébe — következik, hogy az x tet-szőleges környezetében van olyan pontja, ahol az f értéke nem nagyobb, mint azf(x), ellentétben az x szigorú lokális minimumhely voltával.

8.9. Logkonvex és logkonkáv függvényekA logkonvex függvények fogalma — amely a konvexségnél erősebb — a Γ-függvénymiatt indokolt. A logaritmikusan konkáv függvényfogalomnak pedig sok döntésel-méleti alkalmazása van.

8.9.1. Logaritmikusan konvex függvény8.65 Definíció. (Logaritmikusan konvex függvény)

Egy I intervallumon értelmezett, pozitív f függvényt logaritmikusan konvexnek —röviden: logkonvexnek — mondunk, ha az x 7→ log f(x) függvény konvex az I inter-vallumon.

Az f logkonvexitása azt jelenti, hogy

log(f(αx+ (1− α)y)) 5 α log f(x) + (1− α) log f(y) = log(f(x))α)(f(y))1−α.

Mivel u = elog u és az exponenciális függvény szigorúan monoton, ezért ez azzalekvivalens, hogy

f(αx+ (1− α)y) 5 (f(x))α(f(y))1−α, α ∈ (0, 1). (8.10)

A logkonvexitás definíciójának ezt a formáját is gyakran használjuk.Fontos látnunk, hogy a logkonvexitás erősebb tulajdonság, mint a konvexség,

azaz a logkonvexségből következik a konvexség: Monoton konvex függvénybe kon-vex függvényt téve, a 8.33. állítás szerint, konvex függvényt kapunk, ezért az expfüggvénybe téve a log f függvény, az f függvény kapjuk, tehát logkonvex függvényegyszersmindt konvex is.

A logaritmikusan konvex függvények tulajdonságai — általában — egyszerűenkövetkeznek a konvex függvények tulajdonságaiból. Például: Abból, hogy konvexfüggvények összege konvex, következik, hogy az f és g logkonvex függvényekre:log f + log g konvex, azaz log fg konvex, tehát logkonvex függvények szorzata islogkonvex. A feladatok között további feladatot találhatunk a logkonvex függvényektulajdonságaira vonatkozólag. A logkonvex függvényeknek egy szép tulajdonsága akövetkező:


8.9. LOGKONVEX ÉS LOGKONKÁV FÜGGVÉNYEK 284

8.66 Állítás. (Logaritmikusan konvex függvények összege)Legyenek a f : I → R és g : I → R logkonvex függvények. Ekkor az fg szorzatfügg-vény és az (f + g) összegfüggvény is logkonvex.

Bizonyítás. A szorzatfüggvény logkonvexiását már láttuk az állítás előtt. Azösszegfüggvény logkonvexitásához legyen x, y ∈ I és α ∈ (0, 1). A definícióvalekvivalens (8.10) egyenlőtlenség alapján

(f + g)(αx+ (1− α)y) = f(αx+ (1− α)y) + g(αx+ (1− α)y)5 (f(x))α(f(y))1−α + (g(x))α(g(y))1−α.

Mivel (f + g)α(x)(f + g)1−α = (f(x) + g(x))α · (f(y) + g(y))1−α, ezért elégségesbebizonyítani az

(f(x))α(f(y))1−α + (g(x))α(g(y))1−α 5 (f(x) + g(x))α · (f(y) + g(y))1−α (8.11)

egyenlőtlenséget. A pozitív jobboldallal átosztva ezzel ekvivalens egyenlőtlenség:

(f(x))α(f(y))1−α + (g(x))α(g(y))1−α

(f(x) + g(x))α · (f(y) + g(y))1−α5 1.

Ennek a belátásához a baloldal a következő alakba írható:(f(x)

f(x) + g(x)

)α(f(y)

f(y) + g(y)

)1−α

+(

g(x)f(x) + g(x)

)α(g(y)

f(y) + g(y)

)1−α

.

Alkalmazva ezen összeg midkét tagjára a számtani és mértani közép közötti egyen-lőtlenséget, kapjuk, hogy kisebb-egyenlő, mint

α

(f(x)

f(x) + g(x)

)+ (1− α)

(f(y)

f(y) + g(y)

)+ α

(g(x)

f(x) + g(x)

)+ (1− α)

(g(y)

f(y) + g(y)

)= α+ (1− α) = 1,

és ezzel beláttuk az (8.11) egyenlőtlenséget.

8.9.2. Logaritmikusan konkáv függvény8.67 Definíció. (Logaritmikusan konkáv függvény)

Legyen az I intervallum és f : I → R++. Az f függvényt logaritmikusan konkávnak— röviden logkonkávnak — mondjuk, ha a log f függvény konkáv.


Tárgymutató

1/(1 + x2)antiderivált, 177

1/xantiderivált, 177

Dxf(x), 131[F (x)]ba, 218N, 1Q, 10Q+, 10Q++, 10R, 12R-ben sűrű, 13R+, 12R++, 12Z, 2Z+, 2Zm, 63Z++, 2R, 17cos, 120

antiderivált, 177derivált, 144

expderivált, 144

ddx , 131log

derivált, 144π, 124sin, 120

antiderivált, 177derivált, 144

tanderivált, 144

ε−δ-technika, 97e, 120ex, 121

derivált, 144f ′, 131n-edik derivált, 134n-edrendű Taylor-közelítés, 164, 165o(x), 139xn

derivált, 144összeadás

az R2 síkon, 26vektoroké, 29

összegsoré, 82

összegezhetősor, 82

összehasonlító kritériumsorok, 84

állandó függvényderivált, 156

általánosított középérték-tétel, 167átrendezés

sor, 90érintő, 138

egyenlete, 138érintő-approximáció tétel, 139értékkészlet

sorozatoké, 63

a robbanásos szaporodás, 196Abel-kritérium, 88abszolút

konvergencia, 83abszolút érték, 22

komplex számé, 53tulajdonságai, 22

abszolút konvergenciakonvergencia, 83

abszolút konvergens sorokCauchy-szorzat, 94

abszolut konvergenciasor, 83

affinfüggvény, 248kombináció, 246

affin függvény, 248affin kombináció, 246alaplemma

konvex függvény, 249algebra alaptétele, 60algebrai egyenlet, 60algebrai művelet, 4algebrai struktúra, 4algebrai szám, 43

285

TÁRGYMUTATÓ 286

algebrai számok számossága, 43alsó burkoló:függvényeké, 32alsó határ, 11, 18alsó integrál közelítő összegek, 203alsó korlát, 11alulról korlátos

függvény, 40halmaz, 11

antideriválásformális szabályok, 175

antiderivált, 1751/(1 + x2), 1771/x, 177cos, 177elemi függvények, 177exp, 177hatvány, 177sin, 177

archimédeszi-tulajdonság, 12asszociatív, 4asszociatívitás

sor, 89asszociativitás, 4azonos nagyságrend kritérium, 86

bal- és jobboldali határérték egyenlősége,98

baloldali derivált, 132, 255konvex függvény, 256

baloldali határérték, 97balról folytonos, 105balról való folytonosság, 105belső pont, 25Bolzano-tétel, 110, 111Bolzano-Weeierstrass, 75

Cantor-tulajdonság, 14Cauchy-kritérium, 102, 103

egyenletes konvergenciára, 117függvény határérték, 102függvényre végtelenben, 103sorokra, 82

Cauchy-sorozat, 78Cauchy-szorzat

abszolút konvergens sorok, 94sorok, 92

Caucy-kritérium sorozatra, 79csökkenő függvény, 40csoport, 5

kommutatív, 5

deriváhatón-szer, 134

deriválás formális szabályai, 141

deriválhatófolytonos, 133konkáv függvény, 267konvex függvény, 267nyílt intervallumban, 132zárt intervallumon, 133

deriválható függvény folytonos, 133deriválható konkáv függvény, 267deriválható konvex függvény, 267derivált, 131

cos, 144exp, 144log, 144sin, 144tan, 144ex, 144n-edik, 134xn, 144állandó függvény, 156baloldali, 132, 255egy pontban, 131egyoldali, 255elemi függvények, 144függvény, 132formális szabályok, 141jobboldali, 132, 255konstans függvény, 144lokális szélsőérték, 154monotonitás, 156szigorú monotonitás, 157zárt intervallumon, 133

derivált függvény, 132deriváltfüggvény

közbülső pont, 158differenciálegyenlet, 191differenciálhányados, 131

monotonitás, 156differenciálszámítás középértéktétele, 155differenciahányados, 130

monoton növő, 251diffrenciálás formális szabályai, 141Dirichlet tétele, 43disztributivitás, 8divergens

sor, 82sorozat, 64

egész rész, 13egész számok, 2egy transzcendens szám, 46együtthatók

konvex kombinációban, 248egyenes

támasz, 261


TÁRGYMUTATÓ 287

egyenlőtlenségHölder, 277harmonikus-mértani, 272hatványközepek, 274Minkowski, 278számtani-mértani, 272Young, 276

egyenletesfolytonosság, 111konvergencia, 117

egyenletes folytonosság, 111egyenletes folytonosság tétele, 111egyenletes konvergencia, 117

Cauchy-kritérium, 117egyenletes limesz

folytonos függvénysorozat, 118egyenletesen korlátos, 255

függvénycsalád, 255egyenletesen L, 254

függvénycsalád, 254konvex függvénycsalád, 255

egyoldali derivált, 255folytonosság, 255konvex függvény, 256

egységgyökök, 58elégséges feltétel

szélsőérték, 157előjel függvény, 34elaszticitás, 140, 147

logaritmikus skála, 147elemi függvények

deriváltjai, 144elemi függvények deriváltjai, 144Elsőfokú Taylor-közelítés, 164elsőrendű közelítés, 164epigráf, 249

konvex függvényé, 250euklideszi norma, 22exponenciális függvény, 120, 162

tulajdonságok, 121extrémum

lokális, 153

függvénycos, 120sin, 120affin, 248alulról korlátos, 40deriválható, 131derivált függvénye, 132differenciálható, 131diszkusszió, 159epigráfja, 249exponenciális, 120

felülről korlátos, 40folytonos, 104határértéke, 96hatvány, 123implicit, 152infimuma, 41karakterisztikus, 31konkáv, 249konvex, 249korlátos, 40kvázikonkáv, 280kvázikonvex, 280logaritmikusan konkáv, 284logaritmikusan konvex, 283logaritmus, 123logkonkáv, 284logkonvex, 283maximuma, 41minimuma, 41monoton, 40monoton fogyó, 40monoton növő, 40racionális tört, 35szakadása, 113szigorúan monoton, 40szuprémuma, 41trigonometrikus, 124véges határérték, 96végtelen határérték, 101valós, 30valós értékű, 30valós változós, 30vizsgálat, 159

függvény és sorozathatárérték, 98

függvény határértékCauchy-kritérium, 102formális szabályok, 99rendezés, 98

függvény határértéke végtelenben, 100függvény infimuma, 41függvény maximum, 41függvény minimum, 41függvény szuprémuma, 41függvénycsalád

egyenletesen korlátos, 255egyenletesen L, 254

függvénycsalád egyenletesen korlátos, 255függvénycsalád egyenletesen L, 254függvények burkolói, 32függvényre végtelenben

Cauchy-kritérium, 103függvénysor konvergencia

pontonként, 116


TÁRGYMUTATÓ 288

függvénysor konvergencia pontonként, 116függvénysorozat konvergencia

pontonként, 116félcsoport, 5

kommutatív, 5felülről korlátos

függvény, 40felezési idő, 196felosztás osztópontjai, 202felosztások közös finomítása, 203felső burkoló:függvényeké, 32felső határ, 11, 18felső integrál közelítő összegek, 203felső korlát, 11felsőhatár-tulajdonság, 12feltételesen konvergens

sor, 84feltételesen konvergens sor, 84finomsági mérőszám, finomság, 216fixpont, 111

folytonos függvényé, 111fogyó függvény, 40folosztások finomsága, 202folytonos

balról, 105konvex függvény, 253

folytonos függvény, 104maximum, 109minimum, 109

folytonos függvény fixpontja, 111folytonos függvények

alaptételek, 109folytonos függvénysorozat

egyenletes limesz, 118folytonosság

egyenletes, 111formális szabályok, 106globális, 106jobbról, 105karakterizációk, 104lokális, 104polinom, 108racionális törtfüggvény, 108rendezéssel megadott függvények, 109

folytonosság karakterizációi, 104forgastest terfogat, 226formális szabályok

antiderivált, 175deriválás, 141differenciálás, 141függvény határérték, 99folytonosság, 106véges határértékekre, 67végtelen határérték, 100, 101

végtelen limesz, 69formális tulajdonságok

limeszinferior, 77limeszszuperior, 77

gömbkörnyezetrelatív, 24végtelené, 26valós számé, 23

globálisfolytonosság, 106

globális deriválhatóság, 132globális folytonosság, 106gorbe ivhossza, 228gráf alatti pont, 261gyökök multiplicitása, 60gyökkritérium, 85

sor, 85gyöktényező, 60gyűrű, 8

Hölder-egyenlőtlenség, 277hányadoskritérium, 85

sor, 85halmaz

konvex, 250korlátos, 12

halmaz alulról korlátos, 11halmaz felülről korlátos, 11harmadfokú polinom, 161harmonikus közép, 272haromszög egyenlőtlenség, 53határérték

baloldali, 97egyértelműség, 64függvény és sorozat, 98függvényé, 96hatványfüggvény, 101jobboldali, 97monoton függvény, 112sorozaté, 64

határérték formális szabályok, 99határérték formális szabályok végtelen-

ben, 100határozatlan integrál, 175hatvány

antiderivált, 177hatványfüggvény, 123

határérték, 101hatványközép, 273

nulla rendű, 274súlyozott, 273végtelen rendű, 274


TÁRGYMUTATÓ 289

helyettesítéssel való integrálás, 175, 176,183

hiányoskörnyezet, 25

hiányos gömbkörnyezetrelatív, 25

hiányos környezetrelatív, 25

imaginárius rész, 51implicit függvény, 152improprius integrál, 229–231improprius konv krit, 233, 234infimum, 12

függvényé, 41művelet, 10

inflexiós pont, 268injektívitás

monotonitás, 115integrál

határozatlan, 175integrál függvény, 220integrálás

helyettesítéssel, 175, 183parciális, 175

integrálható momoton függvény, 211integral fv folyt, 220integral fv. deriv., 221integralhato folytonos, 211integralhato kompozotio, 212integralhato szorzat, stb., 214intervallum

belső pontok, 25korlátlan, 20korlátos, 20nyílt, 20zárt, 20

intervallum belseje, 25intervallum felosztás, 202intervallumon vett Riemann integrál, 206intgrálható, 206intgrálható fv. VS, 209inverz

monoton függvényé, 114inverz függvény

monotonitás, 40inverzelem, 4iránytangens, 138

Jensen-egyenlőtlenség, 271jobboldali derivált, 132, 255

konvex függvény, 256jobboldali határérték, 97

jobbról nyílt és balról zárt intervallum,20

jobbról való folytonosság, 105

környezethiányos, 25pontozott, 25relatív, 24valós számé, 23

középβ-adik, 273harmonikus, 272hatvány, 273mértani, 272súlyozott, 272, 273számtani, 246, 272

középérték tétel, 155deriválás, 155

középérték-tételáltalánosított, 167

közbülső integrál közelítő összegek, 203közbülső pont tétel, 110közbülsőpont

derivált, 158közelítés

racionális számmal, 45közvetett függvény, 31különbségi hányados, 130kétszer deriválható

konkáv függvény, 268konvex függvény, 268

kétszer deriválható konkáv függvény, 268kétszer deriválható konvex függvény, 268karakterisztikus függvény, 31kezdeti érték, 192kis ordó, 139kiterjesztett valós

R, 17kiterjesztett valós szám, 17kolátosság

konvex függvény, 253kombináció

affin, 246konvex, 246–248

kommutativitás, 4sor, 90

komplex sík, 51komplex szám

abszolútértéke, 53konjugált, 51trigonometrikus alak, 55

komplex szám konjugáltja, 51komplex számok, 48

normál alak, 50


TÁRGYMUTATÓ 290

komplex számok abszolútértéke, 53komplex számok gyöke, 57komplex számok normálalak, 50komplex számok trigonometrikus alakja,

55komplex számsík, 51kompozíció

konvex függvényeké, 263konjugált

komplex szám, 51konkáv

reciproka, 265konkáv függvény, 249

deriválható, 267kétszer deriválható, 268

konstans függvényderivált, 144

konstans polinom, 35kontinuum számosság, 41konvergencia

abszolút, 83abszolút konvergencia, 83egyenletes, 117korlátosság, 65mértani sor, 85monoton sorozaté, 73pontonként, 116

konvergenssor, 82sorozat, 64

konvergens sortagja, 83

konvergens sorok szorzata, 93konvex

függvény, 249halmaz, 250kombináció, 246, 247

konvex függvény, 249összeg, 263alaplemma, 249baloldali derivált, 256deriválható, 267egyoldali derivált, 256epigráfja, 250folytonossága, 253jobboldali derivált, 256kétszer deriválható, 268kúptér, 263korlátosság, 253műveletek, 263monotonitási kritérium, 251reciprok, 265szubderivált, 263támaszegyenesei, 261

konvex függvény szubderiváltja, 263konvex függvénycsalád

egyenletesen L, 255konvex függvények

kompozíciója, 263nívóhalmazai, 270szorzata, 264

konvex függvények összege, 263konvex függvények kúptere, 263konvex halmaz

síkon, 250konvex kombináció, 246, 248

R2-ben, 250a síkon, 250szakasz, 246

korlátlanintervallum, 20

korlátlan intervallum, 20korlátos

függvény, 40intervallum, 20

korlátos függvény, 40korlátos halmaz, 12korlátos intervallum, 20korlátosság

konvergencia, 65korlátozott normális növekedés, 197kritérium

összehasonlító, 84azonos nagyságrend, 86Cauchy, 82gyök-, 85hányados, 85

kvázikonkávfüggvény, 280

kvázikonvexfügggény, 280

kvázikonvex függvény, 280

L’Hospital-szabály, 168, 172Leibnitz-típusú sor, 87Lesgue tetel intra, 216limesz

sorozaté, 64limesz inferior

sorozaté, 75limesz szuperior

sorozaté, 75limeszinferior

formális tulajdonságok, 77limeszszuperior

formális tulajdonságok, 77lineáris algebra, 29lineáris differenciálegyenlet, 199


TÁRGYMUTATÓ 291

lineáris közelítés, 164Liouville tétele, 45logaritmikus skála

elaszticitás, 147logaritmikusan konkáv

függvény, 284logaritmikusan konkáv függvény, 284logaritmikusan konvex

függvény, 283logaritmus függvény, 123, 162

tulajdonságok, 123logisztikus függvény, 198logisztikus görbe, 198logkonkáv

függvény, 284logkonkáv függvény, 284logkonvex

függvény, 283logkonvex függvények összege, 284lokális

extrémum, 153folytonosság, 104maximum, 153minimum, 153szélsőérték, 153

lokális extrémumderivált, 154

lokális maximum, 153lokális minimum, 153lokális szélsőérték, 153

derivált, 154

másodfokú polinom, 161mértani

sor, 85mértani közép, 272mértani sor, 85

konvergencia, 85mértani-harmonikus közép közötti egyen-

lőtlenség, 272művelet, 4

asszociatív, 4infimum, 10inverzelemes, 4kommutatív, 4maximum, 10minimum, 10szuprémum, 10

műveletek az R2 síkon, 26maximum, 10

függvényé, 41lokális, 153művelet, 10

megkétszereződési idő, 196

minimum, 10függvényé, 41lokális, 153művelet, 10

Minkowskiegyenlőtlensége, 278

Minkowski-egyenlőtlenség, 278monoid, 5

kommutatív, 5monoton

függvény, 40sorozat, 72

monoton függvény, 40határérték, 112injektív, 115

monoton függvény határérték, 112monoton függvény inverze, 114, 115monoton függvény szakadási helyei, 113monoton fogyó

sorozat, 72monoton fogyó

függvény, 40monoton növő

függvény, 40sorozat, 72

monoton sorozatkonvergens, 73

monotonitásderivált, 156differenciálhányados, 156injektivitás, 115inverz függvény, 40

monotonitási kritériumkonvex függvény, 251

nívóhalmazkonvex függvényé, 270

negatív rész függvény, 34nemnegatív tagú sor, 84Newton-Lebnitz tétel, 218normális növekedés, 194normális szaporodás, 194nulla polinom, 36nulla vektor, 29nullarendű

hatványközép, 274nyílt intervallum, 20

parciális integrálás, 175, 176, 180polár koordináták, 55polinóm-racionális törtfüggvény folytonos-

ság, 108polinom, 35

folytonosság, 108


TÁRGYMUTATÓ 292

polinom értékei és együtthatói, 37polinom együttható, 35polinom egyenlet, 60polinom fokszáma, 35polinom gyöke, 36polinom gyökei, 36polinom gyöktényezős alakja, 60polinomok, 35polinomok azonossága, 36pont

belső, 25gráf alatti, 261inflexiós, 268

pontozottkörnyezet, 25

pontozott környezetrelatív, 25

pozitív rész függvény, 33primitív függvény, 175

részletösszegesornak, 81

részsorozat, 64racionális

szám, 2, 10racionális szám, 10racionális számok

számossága, 41racionális törtfüggvény, 35

folytonos, 108relatív

átlagsebesség, 140differenciálhányados, 140differenciahányados, 140gömbkörnyezet, 24hiányos gömbkörnyezet, 25környezet, 24megváltozás, 140pontozott gömbkörnyezet, 25

relatív gömbkörnyezet, 24relatív hiányos gömbkörnyezet, 25relatív hiányos környezet, 25relatív környezet, 24relatív pontozott gömbkörnyezet, 25relatív pontozott környezet, 25rendezés

határérték, 98rendezésre teljes test, 12rendezéssel megadott függvények

folytonosság, 109rendezett

test, 9rendezett test, 9reprodukáló elem, 4

Riemann integrál, 206rugalmasság, 140

S-görbe, 198súlyok

konvex kombinációban, 248súlyozott hatványközép, 273súlyozott számtani közép, 246–248sűrű

a valós számok között, 13skalár, 29skalárral való szorzás, 29sor

összege, 82összegezhető, 82átrendezés, 90abszolút konvergens, 83asszociatív, 89azonos nagyságrend kritérium, 86Cauchy-kritérium, 82divergens, 82feltételesen konvergens, 84gyökkritérium, 85hányadoskritérium, 85kommutatív, 90konvergens, 82Leibnitz-típusú sor, 87mértani, 85nemnegatív tagú, 84részletösszege, 81szeletei, 81szummábilis, 82szummációja, 82

sorokösszehasonlító kritérium, 84Ábel-kritérium, 88Cauchy-szorzat, 92valós, 81

sorok Cauchy-szorzata, 92sorozat

értékkészlete, 63Cauchy, 78Cauchy-kritérium, 79divergens, 64határértéke, 64konvergens, 64limesz inferiorja, 75limesz szuperiorja, 75limesze, 64monoton, 72monoton fogyó, 72monoton növő, 72monoton részsorozata, 75torlódási pontja, 76


TÁRGYMUTATÓ 293

sorozat értékkészlete, 63sorozat divergenciája, 64sorozat határértéke, 64sorozat konvergenciája, 64sorozat limesze, 64sorozatok, 63

végtelen határértéke, 66végtelen limesze, 66

sorozatok értékkészlete, 63sorozatok végtelen határértéke, 66sorozatok végtelen limesze, 66struktúra, 3, 4

reprodukáló elemes, 4sup, 11szám

algebrai, 43egész, 2racionális, 10természetes, 1, 2transzcendens, 43valós, 12

számmal való szorzás, 28számosság

kontinuum, 41számtani közép, 246, 248, 272

súlyozott, 246–248számtani-mértani közép közötti egyenlőt-

lenség, 272szélsőérték

elégséges feltétel, 157lokális, 153másodrendű feltételek, 158

szétválasztható változójú differenciálegyen-let, 193

szakadásfüggvényé, 113

szakadási helyek, 113szakasz, 246, 247

konvex kombináció, 246szeletei

sornak, 81szeparáció

valós számok, 24szeparációs tuladonság, 24szigorú lokális extrémum, 153szigorú lokális minimum, 153szigorú lokális szélsőérték, 153szigorú monotonitás

derivált, 157szigorúan csökkenő függvény, 40szigorúan fogyó függvény, 40szigorúan konkáv függvény, 249szigorúan konvex függvény, 249

szigorúan monoton és folytonos függvényinverze, 114

szigorúan monoton függvény, 40szigorúan monoton függvény inverze, 40szigorúan növekedő függvény, 40szorzata

konvex függvényeknek, 264szubderivált, 263

konvex függvény, 263szummábilis

sor, 82szummáció

soré, 82szuprémum, 11

függvényé, 41művelet, 10

törtrész, 13támaszegyenes, 261távolság

valós számoké, 22tétel

Bolzano-Weierstrass, 75Dirichlet, 43Liouville, 45

Taylor-formula, 164Taylor-közelítés, 164Taylor-polinom, 164, 165teljes indukció, 2természetes

szám, 2természetes alapú logaritmus alapszáma,

120természetes szám, 1test, 8

rendezett, 9teljes, 12

torlódási pontsorozaté, 76

transzcendens függvények, 120transzcendens szám, 43

példa, 46trigonometrikus alak

komplex számé, 55trigonometrikus függvények, 124

tulajdonságok, 124

véges határértékfüggvény, 96formális szabályai, 67

végtelengömbkörnyezetei, 26

végtelen összegezés cseréje, 119végtelen határérték


TÁRGYMUTATÓ 294

függvény, 101formális szabály, 101formális szabályok, 69, 100sorozatoké, 66

végtelen limeszformális szabályok, 69sorozatoké, 66

végtelen rendűhatványközép, 274

valóssorok, 81sorozatok, 63

valós értékű függvény, 30valós értékű függvények

vektortere, 32valós együtthatójú polinomok, 35valós függvény, 30valós függvények összege, 31valós függvények hányadosa, 31valós függvények kompozíciója, 31valós függvények szorzása számmal, 31valós függvények szorzata, 31valós rész, 51valós sorok, 81valós sorozatok, 63valós szám

egész része, 13gömbkörnyezete, 23környezete, 23kiterjesztett, 17törtrésze, 13

valós számok, 12sorozatai, 63szeparáció, 24

valós számok távolsága, 22tulajdonságok, 23

valós változós függvény, 30vektor, 29

számmal való szorzása, 28vektor összeadás, 26vektor kivonás, 27vektor negatívja, 29vektor számmal való szorzása, 29vektor számmal való szorzása., 28vektorok összeadása, 29Vektortér

valós értékű függvényeké, 32vektortér, 29

elemi tulajdonságok, 29vektortér elemi tulajdonságai, 29versengő szaporodás, 198

Weierstrass-kritérium, 118Weierstrass-tétel, 109, 111

Young–egyenlőtlenség, 276

zárt intervallum, 20zárt intervallumon való deriválhatóság,

133


dancs - analizis i

Documents