O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

LUZIA DOGANI GARCIA

ORIENTADOR: Profº drº Doherty Andrade

Mandaguari

2010

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LUZIA DOGANI GARCIA

MANDAGUARI

2010

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A ESCOLA

Escola é...

o lugar onde se faz amigos,

não se trata só de prédios, salas, quadros,

programas, horários, conceitos...

Escola é, sobretudo, gente,

gente que trabalha, que estuda,

que se alegra, se conhece, se estima.

O diretor é gente,

o coordenador é gente, o professor é gente,

o aluno é gente, cada funcionário é gente.

E a escola será cada vez melhor

na medida em que cada um

se comporte como colega, amigo, irmão.

Nada de “ilha cercada de gente por todos os

lados”.

Nada de conviver com as pessoas e depois

descobrir que não tem amizade a ninguém

nada de ser como o tijolo que forma a parede,

indiferente, frio, só.

Importante na escola não é só estudar,

Não é só trabalhar,

É também criar laços de amizade,

É criar ambiente de camaradagem,

É conviver, é se “amarrar nela”!

Ora, é lógico...

Numa escola assim vai ser fácil

estudar, trabalhar, crescer,

fazer amigos, educar-se, ser feliz.

Paulo Freire

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Sumário

Introdução..............................................................................................................05 Fundamentação Teórica........................................................................................06 Geometria Euclidiana.............................................................................................08 Precursores das Geometrias Não-Euclidianas......................................................11 Geometria Não-Euclidiana.....................................................................................22 Geometria Hiperbólica...........................................................................................25 Geometria Elíptica..................................................................................................29 Comparando as Geometrias..................................................................................36 Encaminhamento Metodológico.............................................................................38 Atividades Propostas.............................................................................................40 Considerações Finais.............................................................................................55 Referências............................................................................................................58

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Introdução

A função da Escola além de transmitir conteúdos está em socializar os conhecimentos científicos produzidos pela humanidade nas diferentes áreas, levando os alunos a se tornarem cidadãos autônomos, empregando os conhecimentos acadêmicos em suas vidas. Na era tecnológica, as informações e os saberes, estão acessíveis a todos, sejam por meios eletrônicos ou impressos, portanto, o preparo do professor torna-se cada vez mais complexo, com a necessidade de uma reestruturação no processo de ensinar e aprender Matemática. Nesse sentido, a presença das Geometrias no currículo escolar é de grande relevância para a formação do educando, por favorecer o desenvolvimento de um tipo de pensamento que possibilita a compreensão e a representação de modo sistematizado de elementos do cotidiano, contribuindo para o desenvolvimento da capacidade de observar o espaço tridimensional, adquirindo habilidade em resolução de problemas. Cumpre destacar que a Secretaria do Estado do Paraná (SEED) incluiu nas Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná, noções básicas de Geometria Não-euclidianas para o Ensino Médio. No entanto, a Geometria tem tido pouco destaque nas aulas de Matemática e, muitas vezes, confunde-se seu ensino com o das medidas. Deste modo o presente Caderno Pedagógico, apresenta uma nova visão de que a Matemática não é um conjunto de conhecimentos universais e teoricamente definidos, mas sim uma disciplina com saber dinâmico, e em construção. Levando em consideração que a natureza, como a Terra, com sua forma elipsoidal, as montanhas, as ondas do mar, nem tudo é tão regular, faz-se necessário novas formas de compreender o espaço de modo que se construa e sistematiza conceitos de um mundo com diferentes espaços geométricos, possibilitando o desenvolvimento da argumentação, da formulação de conjecturas e do raciocínio dedutivo na prática pedagógica. Este Caderno Pedagógico foi construído, após muita pesquisa, com a abordagem centrada no histórico de cada geometria, contendo textos de fundamentação com as respectivas atividades, envolvendo recursos de materiais manipuláveis e do Software GEOGEBRA, que darão suporte para uma aprendizagem significativa e viável comparando as geometrias nos três espaços uniformes: Espaço Euclidiano, Espaço Esférico e Espaço Hiperbólico. Com o uso da Geometria dinâmica, pretende-se não oferecer apenas a possibilidade de efetuar qualquer construção geométrica de modo mais rápido e preciso do que no ambiente papel e lápis, mas também permitir uma visualização de maneira mais agradável das propriedades e relações geométricas.

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Fundamentação teórica

O Ensino das Geometrias

A Geometria segundo Eves (1992, p.01) surgiu em tempos remotos na

antiguidade e desenvolveu-se conforme necessidade humana. Com o passar do

tempo, ela foi aprimorada para facilitar a resolução de problemas até que se

tornou uma Ciência estudada até os dias de hoje.

As idéias geométricas vistas nas formas da natureza, que aparecem na

vida orgânica e nos objetos produzidos pelas diversas culturas, influenciaram

muito o desenvolvimento humano. Em torno dos anos 300 a C., Euclides

sistematizou o conhecimento geométrico, na obra “ Os Elementos” reunindo todos

os conhecimentos da Geometria que até então se conheciam. Nessa obra, o

conhecimento geométrico é organizado com coesão lógica e concisão de forma,

constituindo a Geometria Euclidiana que engloba tanto a Geometria Plana quanto

a Espacial.

Na primeira metade do século XVII, o conhecimento geométrico passa a ter

nova abordagem com a Geometria Analítica que trouxe uma dinâmica diferente a

Matemática. A Europa passava por uma transição política e econômica onde o

regime capitalista, emergente, requeria das ciências novos conhecimentos no

campo da astronomia e da mecânica. Era preciso que a Matemática resolvesse

cálculos como, por exemplo, de distância entre dois pontos, coordenadas de

pontos que divide um segmento conforme uma razão dada, discussão de curva,

etc. (ALESSANDROV, 1976, p. 225). Por meio da geometria analítica, tais

problemas eram solucionados.

No final do século XVIII e início do século XIX o conhecimento geométrico

teve destaque, com os estudos de Bolyai, Lobachevsky, Riemann e Gauss.

Surgiram as Geometrias Não-euclidianas que trouxeram uma nova maneira de

ver e conceber o conhecimento geométrico. Muitos problemas do cotidiano e do

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mundo científico só são resolvidos pelas Geometrias Não-euclidianas. Um

exemplo são os estudos que resultaram na Teoria da Relatividade, em que a

geometria do espaço, usada por Albert Einstein, foi uma Geometria Não-

euclidiana, de modo que conceitos, como “a luz se propaga ao longo de

geodésicas e a curvatura do espaço é determinada pela natureza da matéria que

o preenche (COURANT & ROBBINS, 2000, p.276), foram fundamentais.

Alguns pesquisadores como Lorenzato (1995), Pavanello (1993) e Kallef

(1998) dão grande destaque ao ensino da Geometria. Demonstram preocupação

com o abandono da Geometria e a forma como ela vem sendo abordada em

alguns livros didáticos e questionam à formação de professores que concluem

seus cursos despreparados para abordar tais conteúdos, sem conhecerem a

beleza da Geometria e não perceberem sua relevância. Esses fatores acabam por

influenciar a formação do estudante. Além disso, o ensino das Geometrias na

grande parte dos currículos é pautado na Geometria Euclidiana, relegando

conceitos de grande valia das Geometrias Não-euclidianas.

Portanto, apesar deste Caderno Pedagógico dar ênfase as Geometrias

Hiperbólica e Esférica, é importante destacar a existência das Geometrias Não

Euclidianas Topológicas, Projetiva e Fractal. Entende-se que a valorização de

definições, as abordagens de enunciados e as demonstrações de seus resultados

são inerentes ao conhecimento geométrico.

Gobbi, Lüdke e Azambuja (2006) ressaltam que o estudo das Geometrias

Não-Euclidianas pode possibilitar discussões importantes sobre a concepção de

verdade, de rigor, de sistema axiomático e reflexões sobre pontos comuns da

Matemática e de outras áreas de conhecimento. Nessa perspectiva, esse

caderno, apresenta abordagens da Geometria Euclidiana e das Geometrias Não-

euclidianas.

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GEOMETRIA EUCLIDIANA

EUCLIDES DE ALEXANDRIA

Sabe-se que Euclides nasceu por volta do ano 325 a.C. e morreu por volta

de 265 a.C., viveu boa parte de sua vida na cidade de Alexandria, no Egito e

trabalhou na famosa biblioteca de Alexandria, fundada por Alexandre, o Grande.

Foi responsável pela compilação de praticamente toda a matemática

desenvolvida até sua época em uma monumental obra de 13 volumes chamada

“Os Elementos”.

Na obra de Euclides temos 10 axiomas, sendo 5 noções comuns e 5

postulados que pretendiam ser proposições específicas da geometria, sendo que,

ambas deveriam ser aceitas sem contestações. A partir desses axiomas Euclides

deduziu 465 proposições.

Euclides de Alexandria

A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matemática a ser

axiomatizada, depois surgiram os famosos teoremas fundamentais do Cálculo, da

Aritmética e da Álgebra, entre outros.

Os Axiomas de Euclides são:

1. Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.

2. Se quantidades iguais são adicionadas a iguais, os totais são iguais.

3. Se quantidades iguais são subtraídas de iguais, os restos são iguais.

4. Coisas que coincidem um com a outra são iguais.

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5. O todo é maior do que qualquer de suas partes.

Os postulados de Euclides são:

1. Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos à

vontade.

2. Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente.

3. Um círculo pode ser traçado com centro e raio arbitrários.

4. Todos os ângulos retos são iguais.

5. Por um ponto P exterior a uma reta r, consideradas em um mesmo plano,

existe uma única reta paralela à reta r.

Figura que apresenta o Quinto Postulado de Euclides

Por cerca de dois mil anos a obra “Os Elementos” era inquestionável. Tão

famosa que, depois da Bíblia, é o livro de maior número de edições. Talvez seu

sucesso se deva ao fato de a Geometria Euclidiana possuir axiomas com noções

facilmente aceitas pela nossa intuição.

A certa altura da História da Ciência, os matemáticos estimulados pelas

afirmações de alguns filósofos como Kant, começaram a questionar e

argumentaram a ideia da possibilidade da não existência de apenas uma

Geometria. Foi dentro desse raciocínio que renomados matemáticos tentaram

provar o 5º postulado de Euclides por considerarem o menos intuitivo e o de

redação mais complicada. Porém, essa pretensão não foi alcançada, por quanto o

5º postulado não é uma conseqüência lógica dos quatro anteriores. Substituindo-o

criam-se novas Geometrias, tão boas e consistentes quanto a Euclidiana.

As mentes criativas dos matemáticos Bolyai, Lobachevsky, Gauss e

Reimann lançaram com a substituição do postulado das paralelas, dois novos

tipos clássicos de Geometria Não-euclidianas: a Geometria Hiperbólica e

Geometria Elíptica.

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“Na Geometria Hiperbólica, o Postulado de Euclides é substituído pelo que afirma

que, por um ponto dado P, fora de uma reta r, existe mais de uma paralela a esta

reta r, enquanto na Geometria Elíptica postula-se que não existe nenhuma

paralela.” (COUTINHO, 2002, p.36)

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PRECURSORES DAS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS

CLAUDIOS PTOLOMEU

Nasceu em 85 d.C. no Egito e morreu em 165 d.C. em Alexandria. Um dos

matemáticos e astrônomo, que contestou o Quinto Postulado de Euclides a partir

dos quatro primeiros. Escreveu uma importante obra, intitulada “Almagesto”.

Claudios Ptolomeu

PROCLUS DIADOCHUS

Nasceu em 411 d.C. em Constantinopla e morreu em 485 d.C. em Atenas, na

Grécia. Seus escritos tratavam da história e da filosofia da Grécia Antiga.

Escreveu a obra, intitulada “Comentários sobre Euclides” onde, como Ptolomeu,

também critica o Quinto Postulado de Euclides, a partir dos outros quatro

postulados. O erro de Proclus foi o de achar que retas paralelas são

eqüidistantes, o que só ocorre na Geometria Eucliciana.

Proclus Diadochus

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NASIR al - DIN al -TUSI (NASIREDIN)

Nasceu em 18 de fevereiro de 1201 em Tus na Pérsia e morreu em 26 de junho

de 1274 em Kadhimain, Pérsia. Estudou astronomia e tentou provar o Quinto

Postulado de Euclides utilizando uma proposição axiomática, que foi tomada sem

demonstração devido ao seu caráter de auto-evidência. Foi o editor de uma

tradução de “Os Elementos” de Euclides para o árabe.

Nasiredin

JOHN WALLIS

Nasceu em 23 de novembro de 1616 em Ashford na Inglaterra e morreu em 28 de

outubro de 1703 em Oxford na Inglaterra. Escreveu obras sobre secções cônicas,

álgebra e aritmética, entre elas, “Arithmetica Infinitorum”, utilizada por Isaac

Newton em seus estudos. Tentou também demonstrar o Quinto Postulado de

Euclides, a partir dos quatro primeiros, fazendo uso da existência de triângulos

semelhantes e não congruentes. Primeiro matemático a discutir cônicas como

curvas de 2º grau em vez de considerá-las como secções cônicas. Introduziu o

atual símbolo de infinito.

John wallis

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JOHANN HEINRICH LAMBERT

Nasceu em 26 de agosto de 1728 em Mülhausen na França e morreu em 25 de

setembro de 1777 em Berlim na Alemanha. Tentou provar o Quinto Postulado de

Euclides por redução ao absurdo, introduzindo um quadrilátero que possui três

ângulos retos, conhecido hoje como “quadrilátero de Lambert”. Como

conseqüência, deduziu uma série de resultados, destacando como um dos mais

importantes, a dedução de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é

inversamente proporcional à sua área, em uma geometria onde não vale o Quinto

Postulado. Chegou a um dos principais teoremas da Geometria Hiperbólica: “A

área de um triângulo hiperbólico é proporcional à diferença entre π e a soma dos

ângulos internos”.

Johann Lambert

ADRIEN MARIE LEGENDRE

Nasceu em 18 de setembro de 1752 em Paris na França e morreu em 10 de

janeiro de 1833 no mesmo local. Escreveu “Eléments de Géométrie”, tentando

demonstrar o Quinto Postulado a partir dos quatro primeiros, e, admitiu em uma

de suas demonstrações que a partir de um ponto no interior de um ângulo não

degenerado, cuja medida não é superior a 60°, é possível tratar uma reta que

intersecta os dois lados desse ângulo.

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Adrien Legendre

JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS

Nasceu em 30 de abril de 1777 em Brunswick na Alemanha e morreu em 23 de

fevereiro de 1855 em Göttingem, também na Alemanha. Desde cedo, por volta

dos quinze anos, tentou demonstrar o Quinto Postulado, a partir dos quatro

primeiros e convenceu-se de que tal demonstração não era possível. Certamente

foi o primeiro matemático a reconhecer a existência de uma Geometria diferente

da Euclidiana, mas não publicou seus resultados, talvez pelo receio da não

aceitação de uma Geometria diferente da clássica e da contestação da filosofia de

Kant, adotada pela igreja, que coloca o universo como euclidiano, desse modo

Gauss preferiu manter seu status social e não divulgou os resultados de sua

pesquisa. O termo Não-euclidiana é da Gauss.

Johann Gauss

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JÁNOS BOLYAI

Nasceu em 15 de dezembro de 1802 em Kolozsvár na Hungria e morreu em 27

de janeiro de 1860 em Marosvásárhely, também na Hungria. Filho de um amigo

de Gauss, chamado Farkas Bolyai, tentou muito cedo demonstrar o Quinto

Postulado de Euclides e resolver o “Problema das Paralelas”. Convencendo-se da

impossibilidade de tal demonstração, começou a admitir e desenvolver diversos

resultados da Geometria Hiperbólica.

János, em carta ao seu pai Farkas escrevia em 1823:

“Resolvi publicar um trabalho sobre a teoria das paralelas tão logo tenha o

material organizado... O objetivo ainda não foi alcançado, mas tenho feito

descobertas maravilhosas que quase sou esmagado por elas... do nada criei um

universo novo e estranho”.

Em contrapartida, Farkas, que passou a vida inteira tentando provar o postulado

das paralelas, quando soube que seu filho estava absorvido pelo problema,

escreveu-lhe:

“Pelo amor de Deus, eu lhe peço, desista! Tema, tanto isto quanto as

paixões sensuais, porque isso também pode tomar todo seu tempo, e privá-lo de

sua saúde, paz de espírito e felicidade na vida”.

Bolyai não mostrou nenhuma indecisão nas suas convicções e publicou, em latim,

o fruto do seu trabalho sob o título “Ciência do Espaço Absoluto” em 1832.

Ao tomar conhecimento do trabalho de János, Gauss disse que elogiar a

publicação de János seria o mesmo que elogiar a si próprio, uma vez que a

maioria dos seus resultados já havia sido descoberto por ele mesmo anos antes.

Tal declaração provocou profundo descontentamento em János, que passou a

cultivar profunda aversão ao “Príncipe da Matemática”.

A cerimônia de seu enterro parecia um ritual de esquecimento. Apenas três

pessoas estiveram presentes e seus restos mortais foram colocados em um

túmulo coletivo sem lápide. O registro de sua morte na igreja dizia apenas: “Sua

vida passou inutilmente”.

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János Bolyai

NIKOLAI IVANOVICH LOBACHEWSKY

Nasceu em 01 de dezembro de 1792 em Nizhny na Rússia e morreu em 24 de

fevereiro de 1856 em Kazen, também na Rússia. Logo no início de seus estudos

se convenceu da impossibilidade de demonstrar o Quinto Postulado de Euclides a

partir dos quatro primeiros, dessa forma, passou a reconhecer a existência de

uma nova Geometria, diferente da Euclidiana, denominada por ele de

Pangeometria ou Geometria Imaginária. Em 1829, publicou em russo um trabalho

sobre suas descobertas, mas foi quase que completamente ignorado pela

comunidade científica russa. Em 1840, em busca de reconhecimento do seu

trabalho, publicou uma versão em alemão, intitulada “Pesquisa Geométrica Sobre

a Teoria das Paralelas”, obra essa que ao ser lida por Gauss deixou-o novamente

surpreso com o fato de Lobachewsky ter descoberto os mesmo resultados seus

de forma independente. Em 1866, dez anos após sua morte, foi publicada uma

versão em francês de seu trabalho. Cronologicamente sua publicação foi a

primeira a admitir a existência de geometria não-euclidiana.

Seu interesse na Geometria Não-euclidiana fez com que Lobachewsky fosse visto

na Rússia como uma pessoa “excêntrica”, sendo atacado em um artigo

humilhante e ignorante publicado no periódico “O Filho da Pátria”. Todos os seus

estudantes o abandonaram e seu funeral, quando era comum serem realizados

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discursos enaltecendo a obra do defunto, nada foi dito sobre o assunto de sua

vida: a geometria não-euclidiana.

Nikolai Lobachewsky

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN

Nasceu em 17 de setembro de 1826 em Breselenz na Alemanha e morreu em 20

de julho de 1866 em Selasca na Itália, antes de completar 40 anos, onde

procurava um clima melhor para curar a tuberculose. Generalizou as Geometrias

Não-euclidianas por meio do conceito de curvaturas, dando origem a Geometria

Elíptica, sobre uma esfera, obtida da negação do Quinto Postulado de Euclides e

à substituição do Segundo Postulado por postulados que permitem que uma reta

seja finita. Riemann introduziu as Geometrias Reimannianas, que foram

posteriormente, utilizadas na Teoria da Relatividade de Albert Einstein em 1906.

Georg Riemann

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EUGENIO BELTRAMI

Nasceu em 16 de novembro de 1835 em Crenoma no Império Austríaco e morreu

em 18 de fevereiro de 1900 em Roma, na Itália. Nesta época, o problema da

consistência dos teoremas de Geometria Hiperbólica ainda não havia sido

resolvido e a preocupação era garantir a impossibilidade de se encontrar, no

futuro, uma contradição lógica dessa teoria, ou seja, um resultado verdadeiro cuja

negação também pudesse ser provada verdadeira. A resolução surgiu mediante a

introdução de modelos euclidianos para a Geometria Hiperbólica (Modelo do

Disco de Klein) e dois modelos para a Geometria Elíptica ( Modelo do Disco

Fechado e Modelo Duplo da Esfera).

Construindo o modelo da pseudo-esfera de Beltrami a partir da tractriz.

Eugenio Beltrami

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FELIX CRISTIAN KLEIN

Nasceu em 25 de abril de 1849 em Düsseldorf na Prússia e morreu em 22 de

junho de 1925 em Göttingen na Alemanha. Eminente geômetra que publicou em

1871 dois artigos onde introduziu um modelo completo para a Geometria

Hiperbólica (Modelo da Divisão de Klein) e dois modelos para a Geometria

Elíptica (Modelo do Disco Fechado e Modelo Duplo da Esfera).

Triângulo elíptico no modelo Modelo duplo da esfera para a Geometria Elíptica.

do disco de Klein.

Cabe ressaltar que os termos “hiperbólica” e “elíptica” para as duas

geometrias, homogêneas, Não-euclidianas foram introduzidas por Klein

Felix Klein

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JULES HENRI POINCARÉ

Nasceu em 29 de abril de 1854 em Nancy na França e morreu em 17 de julho de

1912 em Paris, também na França. Um dos maiores matemáticos de todos os

tempos é considerado detentor de conhecimento profundo de todas as áreas da

matemática. Ao pesquisar grupos de transformações automorfas do plano,

introduziu dois modelos euclidianos para a Geometria Hiperbólica.

Os modelos completos introduzidos por Poincaré são amplamente utilizados no

ensino da Geometria Hiperbólica. Neste modelo, as retas são arcos de círculos

que representa o plano hiperbólico, onde podemos provar que:

Existe um único círculo euclidiano Existe uma única reta euclidiana r As retas são arcos de círculos

C que passa pelos pontos A e B e passando pelos pontos A, B e O perpendiculares ao círculo, que

intercepta o bordo de D ortogonal ao bordo de D representa o plano hiperbólico.

Jules Poincaré

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DAVID HILBERT

Nasceu em 23 de janeiro de 1862 em Königsberg na Prússia e morreu em 14 de

fevereiro de 1943 em Göttingen na Alemanha. Publicou um célebre trabalho,

intitulado “Grundlagen der Geometrie” (Fundamentos da Geometria), em que

coloca a Geometria Euclidiana sobre bases sólidas por meio da substituição dos

cinco Postulados de Euclides por cinco grupos de axiomas: Axioma de Incidência.

Axioma de Ordem, Axioma de Congruência e Axioma das Paralelas.

David Hilbert

Com a publicação de “Fundamentos da Geometria” de Hilbert encerra-se

talvez o mais longo problema em aberto na Matemática, o “Problema das

Paralelas” que, introduzido pelo próprio Euclides resistiu por cerca de 2200 anos.

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GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA

É consenso entre os pesquisadores, que a perfeição dos espaços

geográficos é conseqüência da atividade humana, sendo que, em muitos espaços

onde vivemos nos deparamos com situações que fogem aos conceitos da

geometria plana, portanto, é indispensável mostrar ao educando que um mesmo

problema que envolve conhecimento geométrico, para sua solução, pode

depender de conceitos não apenas da geometria Euclidiana, mas também da

geometria Não-euclidiana.

Segundo as Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica

do Estado do Paraná “almeja-se um ensino de Matemática que possibilite ao

educando análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e

formulação de idéias” e para que isso aconteça os processos de ensinar e

aprender Matemática deve propiciar situações de reflexão, com abordagem

centrada em temas que despertem interesse por conceitos e conteúdos novos.

Acredita-se que as Geometrias Não-euclidianas auxiliam nessa motivação

e interesse, pois apresenta algo que faz parte do espaço em que vivemos mais do

que a Geometria Euclidiana.

Sempre a Geometria tem vindo a racionalizar-se mais e mais, mas o

surpreendente é a sua enorme independência do cérebro humano se a

compararmos com outras áreas da Matemática. Como disse F.W. Bessel em

1830: “enquanto o número é produto exclusivo do nosso espírito, o espaço tem

uma realidade para além do espírito, cujas leis não podemos prescrever

completamente”.

Vimos que a Geometria Euclidiana funciona muito bem em superfícies

planas. Entretanto, quando precisamos considerar distâncias sobre a superfície

da Terra a Geometria de Euclides não funciona. Visto que a Geometria Euclidiana

não é satisfatória para resolver situações-problemas em espaços curvos foi

necessária a colaboração de pesquisadores que marcaram a história da

Matemática e criaram a Geometria de espaços curvos. Basicamente o que esses

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pesquisadores investigaram era o que ocorreria se eles desprezassem o Quinto

Postulado de Euclides e considerassem exatamente o oposto, ou seja, que

através de um ponto C não situado sobre uma dada linha reta AB, pudéssemos

traçar não uma mas duas, e consequentemente um número infinito, de linhas

paralelas a AB.

Após muitos estudos os matemáticos não encontraram contradições no

Quinto Postulado, mais ainda, eles descobriram que tinha uma nova e elegante

geometria com várias características interessantes e únicas. Essa nova geometria

em uma região pequena do espaço era praticamente Euclidiana, mas em grandes

regiões as duas eram essencialmente diferentes.

Tanto Gauss quanto Lobachewski não se limitaram aos aspectos

matemáticos, mas começaram a pensar como essa nova geometria poderia estar

relacionada com o mundo físico.

Ao contrário da Geometria Euclidiana, as geometrias que estamos agora

relacionando são definidas sobre superfície de uma esfera ou de um hiperbolóide.

Vamos tentar explicar melhor o que é uma Geometria Não-euclidiana.

Suponha que a Terra seja perfeitamente esférica e que ela é habitada por “seres

planos”, criaturas que têm apenas duas dimensões e que não percebem o sentido

de “altura”. (ON, artigo, p.3).

O método usado por estas criaturas para identificar “linhas retas” como sendo as

linhas de mais curta distância entre dois pontos consiste em estender linhas

através da superfície conectando dois pontos quaisquer. Para essas criaturas

essa linha parece ser uma reta à medida que elas se movem ao longo delas uma

vez que as direções de chegada ou de partida dessas criaturas em qualquer

ponto sobre a linha têm ângulo zero entre elas.

Com esta definição os “seres planos” encontram que todas as linhas retas se

interceptam e que se movendo ao longo de qualquer linha reta eles finalmente

retornam ao seu ponto de partida.

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Segundo Coutinho (2001, p.21) o astrônomo Dr. Igor Ariamatar em suas

palestras, explicando se o espaço em que vivemos é ou não euclidiano, se

divertia com charadas e problemas como o que segue. “Se envolvermos a Terra,

supostamente esférica e perfeitamente lisa, por uma corda de comprimento 30m

maior do que sua circunferência , iremos, é claro, obter uma folga entre a

superfície do planeta e a corda. Esta folga se for mantida a mesma em toda a

extensão da circunferência, daria para passar um elefante ou só teria chance um

bicho não maior do que uma formiga?”

Fonte: Convite às Geometrias Não-Euclidianas - Lazaro Coutinho - Pág. 21

Seja C o comprimento da circunferência da Terra e R o seu raio, então:

C= 2 R (1)

Se a corda é 30m maior do que C escreve-se:

C + 30 m = 2 (R + x), ou

C + 30 = 2 R + 2 x (2),

onde x é o correspondente aumento do raio, ou o valor procurado da folga.

Subtraindo (1) de (2), resulta: 2 x = 30 ou seja x 4,8m.

Folga suficiente para passar um elefante.

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GEOMETRIA HIPERBÓLICA

Esta Geometria foi desenvolvida independentemente, por Nicolai

Lobachewsky e, quase simultaneamente, por János Bolyai.

A Geometria Euclidiana e a Geometria Hiperbólica diferem não somente

em conteúdo, mas também no modo em que foram construídas. Enquanto a

primeira foi desenvolvida a partir da percepção tátil e visual e posteriormente

axiomatizada, a segunda foi desenvolvida a partir da axiomatização e

posteriormente é que foram desenvolvidos modelos matemáticos para sua

percepção tátil e visual.

O principal axioma que faz com se perceba a existência de uma geometria

distinta da geometria euclidiana, é o axioma hiperbólico. Nessa Geometria o

postulado das paralelas é substituído pelo postulado de Lobachewsky, que diz:

“Na Geometria Hiperbólica existe uma reta L1 e um ponto P não pertencente

a L1, tal que existem duas retas distintas L2 e L3 que passam por P e são

paralelas a L1. Na superfície da pseudo-esfera, encontra-se a possibilidade da

afirmação do Postulado de Lobachewsky.

Nesta figura, pode-se visualizar e compreender melhor que por um ponto P fora de uma reta L1, passam duas paralelas L2 e L3.

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Com a preocupação de provar a existência de um modelo real, que

satisfizesse o axioma hiperbólico, os matemáticos construíram modelos que não

deixam dúvidas de sua existência.

O primeiro a apresentar em modelo plano para esta geometria foi Felix Klein que

trata de um círculo no plano euclidiano, e é considerado apenas o interior do

círculo. As retas desse plano são cordas do círculo excluindo suas extremidades.

Para completar o modelo, é preciso que as retas tenham uma extensão infinita

dentro de uma área finita. Assim, na figura abaixo, dada a reta AB e o ponto P

fora dela, as retas DP e EP são paralelas a AB; as infinitas retas que passam por

P e situadas no interior do ângulo são as retas não-secantes.

Figura que representa o modelo de Klein.

Segundo (COUTINHO, 2001, p. 44), o matemático Henry Poincaré criou o

seu modelo, que difere do de Klein no que diz respeito às retas, onde, as retas

são arcos de círculos perpendiculares ao círculo, que representa o plano

hiperbólico. Na figura abaixo, pode se visualizar o conhecido disco de Poincaré,

onde duas retas são paralelas somente se elas não tiverem ponto em comum.

Esta figura está planificada e mostra as retas a e b paralelas.

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O quadro abaixo elaborado por (CABARITI, 2004, p.61) facilita ao

entendimento dos principais objetos do plano hiperbólico.

OBJETO HIPERBÓLICO INTERPRETAÇÃO EUCLIDIANA

PLANO Interior de uma circunferência euclidiana.

PONTO Ponto interior ao horizonte.

RETA Diâmetro do horizonte e arcos de circunferência

ortogonais ao horizonte.

Na gravura de Escher, feita em 1959, é possível observar as geodésicas

que formam triângulos e quadriláteros hiperbólicos, como propostos no disco de

Poincaré

Fonte: www.seara.ufc.br

28

A Geometria Hiperbólica é a geometria das geodésicas sobre superfície

negativa. Assim, trabalhando com esta Geometria é possível perceber elementos

diferentes dos apresentados na Geometria Euclidiana e estabelecer novas

relações com o mundo.

Destacando algumas propriedades da geometria hiperbólica, temos:

A soma dos ângulos internos de um triângulo é menor que dois retos.

A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é

menor que 360°.

Uma reta é dividida em duas partes por um ponto.

As retas paralelas nunca são eqüidistantes.

Duas retas distintas perpendiculares a uma terceira são paralelas.

Dois triângulos com ângulos correspondentes iguais são congruentes.

29

GEOMETRIA ELÍPTICA

Após a Geometria Hiperbólica, surgiu a possibilidade de novas geometrias;

foi então que o matemático alemão Riemann criou a Geometria Elíptica.

Modelos da Geometria Elíptica incluem a Geometria Projetiva, a Geometria

Estereográfica e a Geometria Hiperesférica, mas veremos neste Caderno

Pedagógico a Geometria Esférica, conhecida também como Geometria

Riemanniana.

Georg Friedrich Riemann abriu um grande campo para novos estudos,

criando um novo universo geométrico, que contribuiu para a resolução de

problemas fundamentais como os da Teoria da Relatividade.

O universo é considerado finito e ilimitado tendo o espaço uma curvatura

constante positiva, que corresponde ao espaço de Riemann, portanto, a

Geometria Euclidiana, por si só não pode interpretar todos os elementos da

natureza.

Para consolidação da Geometria Elíptica, Riemann interpretou o plano

como a superfície de uma esfera e uma reta como o círculo máximo de uma

esfera ou geodésicas, desconsiderando que a reta é infinita, mas considerando-a

ilimitada.

Exemplos de Geodésicas

30

Após estudos e em oposição ao Quinto Postulado de Euclides, Riemann

estabeleceu segundo (COUTINHO, 2001, p.73) como um de seus postulados que:

“Quaisquer duas retas em um plano têm um ponto de encontro”.

Ainda segundo Coutinho, uma maneira de interpretar o postulado acima

seria pensar na superfície esférica, onde “retas” seriam os círculos máximos ou

geodésicas da superfície esférica. Nessa superfície, quaisquer dois círculos

máximos se interceptam, aliás, em mais de um ponto. Evita-se esse

inconveniente considerado idênticos os dois pontos de intersecção.

Considerando o postulado de Riemann, verifica-se que:

Quaisquer duas retas em um plano têm um ponto de encontro.

É possível perceber que, na superfície esférica, duas circunferências máximas

ou duas geodésicas se interceptam num ponto.

31

Dados dois pontos sobre a esfera, pode-se encontrar infinitas retas

que possuem esses pontos que são chamados de Pólo.

Duas circunferências máximas que passam pelos Pólos, interceptam

uma outra circunferência máxima oposta aos Pólos, formando um

ângulo de 90°.

O ângulo sobre a esfera é chamado de ângulo esférico, sendo que

suas medidas são calculadas pelas tangentes e as geodésicas que

passam pelo ponto de intersecção; podendo ser medidos em graus

ou em radianos.

32

Um triângulo esférico é formado pelos segmentos de arcos que unem

os três pontos não pertencentes a uma mesma circunferência

máxima.

Enquanto na Geometria Euclidiana dois pontos determinam uma reta, na

Geometria Esférica, dois pontos determinam geodésicas. Na Geometria

Euclidiana, temos segmentos de reta, e na Geometria Esférica temos arco da

geodésica.

O triângulo esférico é formado pelos arcos de círculos máximos que unem

3 pontos distintos, dois a dois. Os lados dos triângulos esféricos são medidos

em graus ou radianos.

Assim como nos triângulos planos, os triângulos esféricos possuem três

alturas, três bissetrizes, três medianas e podem ser classificados de acordo

com as medidas dos seus lados ou de seus ângulos.

Segundo (COUTINHO, 2001, p.86) os triângulos esféricos classificam-se:

Quanto aos ângulos:

- Retângulo – um ângulo reto;

- Birretângulo – dois ângulos retos;

33

- Trirretângulo – três ângulos retos.

Quanto aos lados:

- Retilátero – um lado medindo 90°;

- Birretilátero – dois lados medindo 90° cada um;

- Trirretilátero – cada um dos lados medindo 90°.

Convém notar que, se um triângulo esférico é trirretângulo, sê-lo-á também

trirretilátero e, reciprocamente, ou seja, trata-se de um triângulo que cobre

exatamente a oitava parte da superfície esférica.

A união de três pontos A, B e C distintos pertencentes a uma mesma

circunferência máxima formam um triângulo esférico cuja soma podem variar

de 189° a 900°, onde:

Se o triângulo ocupar metade da esfera a soma dos ângulos internos

variam entre 180° < α + β+ γ < 540°

Se o triângulo ocupar quase toda a área da esfera a soma dos ângulos

internos variam entre 540° < α+ β+ γ< 900°.

Na figura abaixo, observa-se a superfície esférica dividida em triângulos, onde:

34

- O ponto A, encontro das geodésicas, é o vértice de 8 triângulos, portanto

cada ângulo mede 8

360 = 45° ;

- O ponto B é o vértice de 4 triângulos, portanto cada ângulo mede 4

360= 90°;

- O ponto C é o vértice de 6 triângulos, portanto cada ângulo mede 6

360= 60°.

Para cálculo da área de um triângulo esférico temos:

α + β + γ = π + k . A ou seja: A = k

)(

Destacando algumas propriedades da geometria elíptica temos:

A soma dos ângulos internos de um triângulo é maior do que dois retos.

A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é maior

que 360°.

A área da superfície esférica de raio unitário é 720°.

O plano é uma superfície esférica, e a reta uma geodésica, ou

circunferência de círculo máximo.

Duas retas distintas perpendiculares a uma terceira se interceptam.

35

Círculos máximos nunca são paralelos.

Um arco de círculo máximo é o caminho mais curto entre dois pontos, é

finito, se interceptam em dois pontos e têm dois centros que são os pólos.

Dois triângulos com ângulos correspondentes iguais são congruentes.

Dois círculos máximos têm sempre dois pontos em comum e se forem

perpendiculares, formam oito ângulos retos dividindo a esfera em quatro

regiões finitas.

Com essa nova Geometria é possível um novo entendimento do

nosso espaço, pois permite desenvolver atividades relacionadas ao espaço

esférico fazendo comparações com o espaço plano e seus elementos

permitem uma associação com o globo terrestre, estabelecendo relações

entre a disciplina da Matemática e a da Geografia.

36

COMPARANDO AS GEOMETRIAS

As Geometrias que estamos apresentando neste Caderno Pedagógico são

definidas sobre as superfícies: plana, esférica ou de um hiperbolóide.

As figuras abaixo mostram essas três geometrias e observa-se que:

A curvatura é negativa – triângulo hiperbólico. A soma dos seus ângulos

internos é menor que a soma de dois retos e a área é proporcional à

diferença da soma dos ângulos.

A curvatura é zero – Triângulo plano. A soma dos ângulos internos é igual

a 180°.

A curvatura é positiva – Triângulo esférico. A soma dos ângulos internos

é maior que a soma de dois retos e área é proporcional ao excesso da

soma dos ângulos.

Uma maneira prática pela qual podemos distinguir essas três geometrias

pode ser a seguinte:

- pegue uma folha de papel e coloque-a sobre uma superfície plana. Observe que

o papel irá cobrir a superfície suavemente. Isso indica que a área do papel é igual

à área que você pretende cobrir.

37

- pegue outra folha de papel idêntica a primeira e coloque-a sobre uma superfície

esférica. Observe que para cobrir a superfície próxima a qualquer ponto sobre ela

terá que permitir que surjam vincos no papel. Isso indica que a área do papel é

maior que a área que você está tentando cobrir.

- pegue outra folha de papel, também idêntica as anteriores e coloque sobre uma

superfície hiperbolóide (ex. cela do cavalo). Observe que o papel será insuficiente

para cobrir a superfície próxima a qualquer ponto sobre ela. Isso indica o inverso,

ou seja, que a área do papel é menor que a área que você está tentando cobrir.

A tabela abaixo mostra claramente os principais pontos de comparação entre

essa três Geometrias.

EUCLIDIANA ELÍPTICA HIPERBÓLICA

Através de um ponto

dado podemos traçar

somente uma paralela a

uma linha reta.

Através de um ponto dado

não podemos traçar

nenhuma paralela a um

ponto dado.

Através de um ponto

dado podemos traçar

mais de uma paralela a

uma linha reta.

A soma dos ângulos

interiores de um triângulo

é igual a dois ângulos

retos

A soma dos ângulos

interiores de um triângulo

é maior do que dois

ângulos retos.

A soma dos ângulos

interiores de um triângulo

é menor do que dois

ângulos retos.

A circunferência de um

círculo é igual a vezes

o seu diâmetro

A circunferência de um

círculo é menor que

vezes o seu diâmetro.

A circunferência de um

círculo é maior que

vezes o seu diâmetro.

A soma dos ângulos

interiores de qualquer

quadrilátero é igual a

360°

A soma dos ângulos

interiores de qualquer

quadrilátero é maior que

360°

A soma dos ângulos

interiores de qualquer

quadrilátero é menor que

360°

38

ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

Introdução

O propósito deste Caderno Pedagógico é selecionar dentre os conteúdos

propostos nas Diretrizes Curriculares do Ensino Médio o conteúdo de Geometria e

apresentar atividades que relacionam a Geometria Euclidiana com a Geometria

Não-euclidiana, atividades estas que serão desenvolvidas durante a intervenção

pedagógica na escola.

Metodologia

Sabendo que os conteúdos destas Geometrias são amplos e complexos e

devido ao curto prazo que o PDE disponibiliza para a intervenção pedagógica, as

atividades apresentadas neste caderno serão relacionadas apenas à Geometria

Euclidiana Plana e as Geometrias Não-euclidianas Hiperbólica e Elíptica.

As atividades estão em grau de dificuldades que possam ser aplicadas

conforme proposto no Projeto, aos alunos do 2º ano do Ensino Médio do Colégio

Estadual José Luiz Gori – Ensino Fundamental e Médio, do município de

Mandaguari, Núcleo de Maringá tendo como professora regente de sala, eu, Luzia

Dogani Garcia.

Para uma melhor interação entre os conteúdos, neste momento não será

possível a articulação com outros conteúdos do currículo, pois as atividades serão

propostas em forma de oficinas e aplicadas em grupos, utilizando Materiais

Manipuláveis e o Software Geogebra.

O Software Geogebra é um instrumento de Matemática Dinâmica, gratuito

e disponível na internet, que possibilita desenvolver atividades de geometria e

álgebra. Tem uma interface de fácil acesso e não requer conhecimentos prévios

de informática, o estudante é quem determina o que vai ser executado na tela.

Entre os Softwares citados no Projeto, neste trabalho as atividades serão

construídas no Geogebra pelo fato de ser o único software instalado nos

39

computadores dos laboratórios de informática das Escolas Públicas do Estado do

Paraná.

A opção em utilizar Materiais Manipuláveis é por acreditar que o seu

manuseio favorece a participação ativa dos alunos na construção do seu próprio

conhecimento levando a aquisição de uma maior confiança em expressar e

elaborar argumentos pertinentes à ação.

As atividades da Geometria Plana e das Geometrias Não-Euclidianas estão

relacionadas paralelamente para que os alunos tenham ferramentas que

contribuam para a melhor compreensão e comparação entre seus conceitos

fazendo articulações entre as duas.

Com o propósito de tornar claros conceitos até então confusos, este

trabalho apresenta a contribuição que os ambientes em Geometria Dinâmica

podem trazer à superação de dificuldades. Através de sessões de trabalhos

realizados com os alunos onde as estratégias apresentadas evidenciam uma

nova abordagem ao ensino e aprendizado da Geometria, serão feitas conjeturas a

partir da experimentação, corrigidas e refinadas a partir do feedback oferecido

pelo ambiente, até que propriedades estáveis sob a ação de movimento de

desenho se estabeleçam, surgindo então naturalmente o processo de

argumentação e dedução.

As questões as quais vamos nos deter aqui são: os processos de formação

do conceito de objeto geométrico entre o experimental e o abstrato, onde

evidencia-se o quanto softwares com recursos de “desenho em movimento”

podem ser ferramentas ideais na superação das dificuldades.

40

ATIVIDADES PROPOSTAS

ATIVIDADE 1 – GEOMETRIA EUCLIDIANA – PLANA

Matemática Dinâmica – Construindo no GEOGEBRA

Conteúdo: Classificação de triângulos quanto aos lados.

Desenvolvimento: Para que os alunos se familiarizem com o software Geogebra

vamos iniciar com atividades em nível de dificuldade considerado fácil.

Construa utilizando o programa Geogebra os seguintes triângulos:

a) Triângulo Eqüilátero: Para construirmos um triângulo eqüilátero, temos em

mente que todos os seus lados são congruentes. Existe uma ferramenta chamada

polígono regular, que nos permite construir triângulos equiláteros com a medida

dos lados que desejarmos.

Passos: - Na barra de ferramentas, clique no botão polígonos; em seguida em

polígonos regulares. Após isto, indique dois pontos quaisquer que serão o

comprimento do lado do triângulo; depois aparecerá uma janela solicitando o

número de lado do polígono. Digite 3, e veja que um triângulo aparecerá na janela

do Geogebra.

Espera-se que com esta atividade os alunos percebam, observando a

janela de álgebra, que todos os lados do polígono possuem o mesmo

comprimento.

b) Triângulo Isósceles: Pela definição de triângulos isósceles, temos que dois de

seus três lados são congruentes.

Passos:- Construa um segmento de reta definido por dois pontos (A e B);

utilizando a barra de ferramenta ponto médio, encontre o ponto médio deste

segmento; após isso construa uma reta perpendicular ao segmento que você

construiu, cruzando justamente no ponto médio da reta; marque um ponto (C) em

41

qualquer lugar desta reta perpendicular; trace segmentos de retas unindo o ponto

A com C e o ponto B com C.

Espera-se que com esta atividade os alunos percebam, que todo triângulo

que for construído utilizando como vértice os extremos do segmento, e um ponto

qualquer na reta perpendicular ao segmento será um triângulo isósceles.

c) Triângulo escaleno: Pela definição de triângulo escaleno, temos que todos os

seus comprimentos são distintos.

Passos:- Na barra ferramenta clique no botão polígono e, em seguida clique na

tela o seu primeiro ponto, clique o segundo ponto a uma certa distância, em

seguida o terceiro a uma distância diferente da anterior e volte ao ponto de partida

Espera-se que com esta atividade os alunos observem a janela de álgebra

e percebam que os lados desse triângulo possuem medidas distintas.

ATIVIDADE 2 – GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

Matemática Dinâmica – Software Geogebra.

Conteúdo – Polígonos.

Construa com auxílio do Geogebra as seguintes figuras geométricas.

a) Retângulo: Usando a ferramenta polígono na barra de ferramenta do

Geogebra, e se orientando pela malha quadriculada indicamos os vértices do

polígono, assim construindo a figura. Observe um exemplo.

42

b) Quadrado: Usando a barra de ferramenta polígono e se orientando pela malha

quadriculada indicamos os vértices do quadrado, onde temos de ter certo

cuidado, pois a medida do comprimento de cada segmento é a mesma. Observe

um exemplo.

d) Circunferência: O conjunto de todos os pontos que distam de um ponto

central é chamado de circunferência. O Geogebra nos possibilita construir uma

circunferência usando a ferramenta círculo, definido pelo centro e um dos seus

pontos, que nos permite estipular o valor para o raio. Observe um exemplo.

43

e) Polígonos: Sabemos que existem figuras com número grande de lados. O

Geogebra nos possibilita fazer figuras com (n) número de lados. Veja os

exemplos e em seguida construa outras figuras.

f) Polígonos regulares: Polígonos regulares são figuras que possuem todos os

lados e ângulos congruentes. Para construí-los no Geogebra é muito simples.

Passos: Clique na barra de ferramenta polígono e em seguida clique em polígono

regular. Após isto, você deverá indicar dois pontos quaisquer. Em seguida uma

janela será automaticamente aberta solicitando o número de lados de seu

polígono; após ter escolhido tal número, o seu polígono será desenhado na tela

do Geogebra.

A seguir temos exemplos de polígono de 5 e de 8 lados. Observe-os e construa

outros polígonos regulares com total de lados a seu critério de escolha.

44

Espera-se que com esta atividade os alunos observem a janela de álgebra

e generalizem que em polígonos regulares todos os lados possuem o mesmo

comprimento, e mais ainda, que todos os ângulos destes polígonos são

congruentes.

Atividade 3 – Geometria Euclidiana – Plana

Matemática Dinâmica – Software Geogebra

Conteúdo: Área de figuras geométricas.

A área de uma figura geométrica é a região interior desta, onde por algumas

fórmulas podemos facilmente calculá-las. Contudo, existem figuras com muitos

lados, onde seria complicado calcular sua área através de fórmulas. O Geogebra

nos possibilita, através da sua ferramenta área, calcular estes valores.

Primeiramente desenhamos a figura do polígono desejado. Após tê-lo desenhado,

vamos calcular sua área. Na barra de ferramenta, nas opções relativas a ângulo

observe que existirá uma opção chamada área, clique nesta opção e logo após

clique sobre o polígono. Logo você verificará que um número aparecerá próximo à

figura, este número é a área da figura.

45

Veja abaixo um exemplo.

Agora desenhe uma circunferência de raio 4, com centro em (1,1), um quadrado

de lado 6 e um polígono qualquer de 7 lados. Determine a área de cada figura.

ATIVIDADE 4 – GEOMETRIA EUCLIDIANA - PLANA

Material manipulável: régua, transferidor, tesoura, cola, lápis de cor e papel sulfite.

Conteúdo: Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo.

Desenvolvimento:

- Desenhar um triângulo eqüilátero qualquer.

- Marcar os três ângulos internos e medir seus valores

- Somar os ângulos e anotar o resultado obtido

- Colorir os ângulos e em seguida recortar o contorno do triângulo e dividi-lo em

três partes de maneira que em cada parte fique um ângulo.

- Juntar as partes, colar sobre uma linha reta de um sulfite unindo os três ângulos.

- Anotar que tipo de ângulo formou e qual sua medida em graus.

- Repetir a atividade com um triângulo isósceles qualquer.

- Repetir a atividade com um triângulo escaleno qualquer.

46

- Qual o resultado obtido?

Nesta atividade, espera-se que os alunos generalizem que a soma dos

ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, independente de sua forma e

tamanho.

ATIVIDADE 5 – GEOMETRIA ELÍPTICA

Material Manipulável: transferidor de papel e balão de ar .

Conteúdo: Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo

Para a realização desta tarefa vamos usar uma charada.

Um urso saiu de sua casa e caminhou 100 km para o Sul. Depois virou ao

Oeste e caminhou por mais 100 km. Então virou novamente e caminhou por mais

100 km ao Norte. Qual não foi a sua surpresa quando descobriu que voltara

novamente a sua casa. Qual a cor do urso? (LAMPARELI, 1975, p.21) .

Desenvolvimento:

- Esboce em uma folha o trajeto

percorrido pelo urso.

- Foi possível o urso chegar ao mesmo

lugar após uma caminhada como a

descrita acima?

Fonte: www.planobeta.com...autor: Marcos Morais

- Esboce agora em uma bola o trajeto do urso.

47

- Foi possível o urso chegar ao mesmo lugar na superfície esférica? Agora é

possível definir a cor do urso?

- Construa em folha separada um transferidor de papel, recorte-o e use-o para

medir os ângulos do desenho do triângulo na bola de plástico.

- Some os ângulos obtidos. Qual o resultado?

- Faça triângulos de vários tamanhos em balões de ar, use o transferidor de papel

e meça seus ângulos adicionando em seguida seus valores.

- Compare os resultados.

- Qual sua conclusão?

- É possível determinar o terceiro ângulo deste triângulo conhecendo os outros

dois? Justifique.

Nesta atividade, espera-se que os alunos percebam que na Geometria

Euclidiana, não é possível o urso chegar em casa e para resolver situações

problemas como essa é que surgiu as Geometrias Não-euclidianas. Espera-se

também que os alunos concluam que na superfície esférica a soma das medidas

dos ângulos internos de qualquer triângulo será maior que 180°.

ATIVIDADE 6 – GEOMETRIA HIPERBÓLICA

Material Manipulável: Cornetas de brinquedo e transferidor de papel.

Conteúdo: Soma dos ângulos internos de um triângulo.

Desenvolvimento:

- Desenhe na região hiperbolóide da corneta um triângulo qualquer.

- Com o auxilio do transferidor de papel meça seus ângulos, anote seus valores e

em seguida adicione-os.

48

- Repita o procedimento com desenhos maiores e menores que o primeiro.

- Quais os resultados obtidos?

- Generalize.

ATIVIDADE 7 – GEOMETRIA ELÍPTICA

Material Manipulável: Laranjas tomadas como representação de uma esfera.

Conteúdo: Raio, diâmetro e círculos máximos

Desenvolvimento:

- Fatiar algumas laranjas no sentido contrário aos gomos.

- Fatiar uma laranja o mais próximo possível do meio.

- Foi possível visualizar a circunferência máxima?

- Se resolvêssemos fatiar a esfera que figuras encontraríamos?

Sistematize o que é raio, o que é diâmetro e o que é círculo máximo.

49

ATIVIDADE 8 – GEOMETRIA ELÍPTICA

Material Manipulável: Bola de isopor, alfinete, barbante e transferidor de papel.

Conteúdo: Perpendicularismo e classificação de triângulos.

Desenvolvimento:

- Com auxílio de alfinetes e barbante represente um círculo máximo em uma bola

de isopor.

- Represente outro círculo máximo perpendicular ao primeiro.

- Represente um terceiro círculo máximo, perpendicular aos dois já construídos.

- Quantos triângulos ficaram determinados pelas três circunferências máximas?

- Quanto mede cada ângulo desses triângulos?

- Qual a soma dos ângulos internos de cada um desses triângulos?

- Como é classificado esse triângulo esférico de acordo com seus ângulos e

lados?

Espera-se que com esta atividade os alunos relembrem conceitos de

perpendicularismo e assimilem conceitos de classificação de triângulos quanto

aos lados e quanto aos ângulos.

50

ATIVIDADE 9 - GEOMETRIA PLANA

Matemática Dinâmica Software Geogebra

Conteúdo: Soma dos ângulos internos de um triângulo.

Desenvolvimento:

- Construa um triângulo ABC qualquer

- Meça seus ângulos

- Usando o “Campo de Entrada, calcule soma dos seus ângulos internos.

- Observe qual o resultado obtido.

- Movimente os vértices do triângulo de modo que o mesmo aumente e diminua

de tamanho e vá observando o que acontece com o resultado.

- Será possível determinar a medida do ângulo interno de um triângulo a partir da

medida de dois internos dados? Como?

ATIVIDADE 10 – GEOMETRIA HIPERBÓLICA

Matemática Dinâmica – Software Geogebra

51

Conteúdo: Soma dos ângulos internos de um triângulo

Desenvolvimento:

- Para a realização desta atividade é necessário a construção das quatro macros

seguintes que auxiliarão a construção de geodésicas.

1- Construir uma reta perpendicular a uma reta hiperbólica dada por um ponto

dado;

2- Construir um segmento hiperbólico por um ponto dado;

3- Construir um ponto médio de um segmento hiperbólico dado;

4- Calcular a distância hiperbólica entre dois pontos dados.

- Construa um triângulo na geometria hiperbólica ABC qualquer e meça seus

ângulos.

- Usando o campo de “Entrada” na janela de álgebra, some os seus ângulos

internos.

- Qual o resultado obtido?

- Movimente os vértices do triângulo, de modo que ele aumente e depois diminua.

O resultado da soma dos ângulos se altera?

- Que conclusão é possível tirar?

- È possível determinar o terceiro ângulo deste triângulo conhecendo os outros

dois? Justifique?

52

Nesta atividade, com os movimentos da figura que o software possibilita, espera-

se, que os alunos generalizem que a soma dos ângulos internos de qualquer

triângulo hiperbólico independente do seu tamanho será sempre menor que 180°.

ATIVIDADE 12 – GEOMETRIA ELIPTICA

Matemática Dinâmica – Software Geogebra

Conteúdo: Soma dos ângulos internos de um triângulo

Desenvolvimento:

Seguir o mesmo procedimento da atividade 10, construindo agora um triângulo

elíptico.

Nesta atividade, com o movimento da figura que o software possibilita, espera-se,

que os alunos generalizem que a soma dos ângulos internos de qualquer

triângulo elíptico será sempre maior que 180° e menor que 900°.

53

ATIVIDADE 11 – GEOMETRIA PLANA E HIPERBÓLICA

Matemática Dinâmica Software Geogebra

Conteúdo: Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero.

Desenvolvimento:

- Construa um círculo e construa nele um polígono de quatro lados.

- Construa outro círculo e por meio das geodésicas construa um quadrilátero

hiperbólico.

- Meça os ângulos de cada uma das figuras.

- Usando o “Campo de Entrada”, calcule a soma dos ângulos internos de cada

figura.

- Qual o resultado obtido?

- Movimente cada figura e verifique o que acontece com a soma dos ângulos.

- Generalize.

Com esta atividade espera-se que os alunos percebam que a soma dos

ângulos internos de um quadrilátero na geometria plana será sempre 360° e na

Geometria Hiperbólica será sempre menor que 360°.

54

ATIVIDADE 11 – COMPARANDO AS GEOMETRIAS

Material Manipulável – Corneta, bola de isopor e fita adesiva colorida.

Usando a parte hiperbólica da corneta e fatiando a bola de isopor como mostra a

figura, construir um material em que se possa visualizar os três espaços: plano,

hiperbólico e elíptico.

Com auxilio da fita adesiva, desenhar um triângulo em cada espaço.

Com auxilio de um transferidor de papel medir e anotar cada ângulo.

Calcular a soma das medidas dos ângulos de cada triângulo e comparar.

Com a construção desse material o aluno

poderá comparar e fixar o conceito de que a

soma dos ângulos internos de um triângulo

será:

- no espaço plano igual a 180° .

- no espaço hiperbólico menor que 180°.

- no espaço elíptico maior que 180°.

Com a realização dessas atividades os alunos poderão perceber as regularidades

quando ocorrem transformações nas figuras, fazendo conjecturas e

generalizações entre as Geometrias Plana, Elíptica e Hiperbólica.

55

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Em Geometria, uma das questões centrais, trata de direcionar a

aprendizagem para que, ao final da resolução de cada atividade, o aluno seja

capaz de saber por seus próprios meios se o resultado que obteve é razoável ou

absurdo, se o caminho utilizado foi correto ou não, se o argumento de seu colega

é consistente ou contraditório, para que ao longo da sua caminhada escolar possa

aprender a praticar ações cada vez mais complexas, com maior autonomia e

maior grau de sociabilidade.

Para conseguir prender a atenção dos alunos, é necessário esquecer a

aula tradicional, aquela em que determinado conteúdo é apresentado no quadro

negro, explicado e, em seguida, memorizado por meio da resolução de uma

bateria de exercícios baseados em exemplos dados.

Nada mais empolgante para os jovens do que serem desafiados. Por isso

nada de apresentar questões apenas para verificar se os conteúdos foram

fixados. Ensinar Geometria requer do professor um esforço para que as

atividades selecionadas contribuam para o desenvolvimento intelectual do aluno,

estimulem a criatividade, a intuição e a capacidade de análise.

O enfrentamento das situações que o aluno terá pela frente no

prosseguimento de seus estudos, no trabalho e no exercício da cidadania, requer

mais do que informações, exigindo a mobilização de conhecimentos e

habilidades. Isso não significa que os exercícios do tipo: “calcule...”, “resolva...”,

devam ser eliminados, pois eles cumprem a função do aprendizado de técnicas e

propriedades, mas não são suficientes para que possa conduzir o aluno à

construção de conceitos matemáticos. Se o professor insistir em cumprir

programas extensos, com conteúdos fragmentados e sem significado,

transmitindo-os de uma única maneira a alunos cujo papel se restringe a ouvir e

repetir, sem dúvida as competências propostas pelo MEC e descrita nos PCNEM

(Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio) estarão fora do

alcance.

56

A avaliação do aluno deve ser repensada, assumindo a função de cooperar

no avanço de sua aprendizagem e na construção de seu saber guiando o

professor no sentido de fazer intervenções que permitam ao aluno avançar

sempre. Não existe processo avaliativo sem o recolhimento de dados para serem

analisados; daí a importância dos instrumentos de avaliação, sua escolha e seus

critérios de uso. Sabendo que o importante é que a avaliação forneça dados que

possibilitem ao professor compreender o que foi aprendido ou não, o que,

certamente, gerará dados valiosos sobre os alunos e o processo de ensino, o

aproveitamento na implementação deste material, dará maior ênfase a

capacidade de síntese adquirida do que a memorização de conteúdos.

Com o objetivo de que os alunos desenvolvam habilidades de raciocínio

lógico, esse caderno pedagógico, traz diversas atividades que proporcionam a

reflexão, permitindo que sejam feitas relações entre as três Geometrias – Plana,

Hiperbólica e Elíptica – desafiando-os a generalizar novos conceitos. Essas

atividades priorizam o uso de material manipulável e do software Geogebra por

verificar a falta de habilidade dos alunos com números em consequência de um

ensino mecanizado, sem significado e da ausência de um trabalho efetivo com

cálculo mental e estimativa em todos os níveis escolares. Cabe a escola levar o

aluno a dominar, minimamente, as tecnologias presentes em sua realidade e este

papel não está sendo cumprido.

A utilização de material manipulável e das tecnologias humaniza e atualiza

as aulas, permite ao aluno ganhar mais confiança para buscar novas experiências

de aprendizagem, auxilia no gerenciamento do tempo e das ações de ensino e

favorece a retomada de conceitos.

A aplicação das atividades é variável. Dependerá do interesse dos alunos

pelo tema proposto, do modo de se trabalhar, que não deve ser rígido, pois as

exigências de cada momento orientarão a forma de cada etapa do trabalho. No

entanto, isso não significa que o professor deva assumir uma atitude

espontaneísta na condução do trabalho. É importante que haja um planejamento

do que vai ser feito a cada dia, do preparo do material necessário para cada

atividade e da disponibilidade do laboratório de informática.

57

Durante o desenvolvimento das atividades, é conveniente que o professor

observe os alunos trabalhando. A fim de conhecer suas áreas de interesse e

desenvolver estratégias para auxiliar cada um a avançar no que demonstrar ter

maior dificuldade.

Experiências em sala de aula mostraram que os recursos didáticos quando

assertivamente empregados contribuem positivamente nos processos de ensinar

e aprender, melhorando a prática pedagógica do professor e provocando uma

postura diferente dos alunos que demonstram maior interesse e participação nas

aulas.

A participação no Programa de Desenvolvimento Educacional nos dá uma

oportunidade de crescimento pessoal e profissional, pois propicia a busca de

conhecimentos teóricos e práticos para fundamentar o nosso fazer pedagógico.

Com certeza a partir desse projeto minha prática pedagógica não será a mesma,

pois o conhecimento nos torna diferente e não será possível mais ensinar

matemática de forma mecânica conhecendo outros meios de se realizar uma

aprendizagem significativa.

Finalizando não poderia deixar de agradecer as orientações do Professor

Dr. Doherty Andrade, sua dedicação e atenção nos encaminhamentos,

partilhando as experiências e os conhecimentos que possui. Aos meus familiares,

pelo amor e dedicação, pelo apoio e incentivo. Enfim, a todos que, de uma

maneira ou outra, contribuíram para que este trabalho se concretizasse.

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REFERÊNCIAS

ALEKSANDROV, A. D. et al. La Matemática: su contenido, métodos y

significado. 2. Ed. Madrid: Alianza Editorial, 1976.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretária da Educação Média e Tecnológica.

Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio: ciências da natureza,

matemática e suas tecnologias. Basília: MEC; SEMTEC, 2002.

CABARITI, Eliane. Geometria Hiperbólica: uma proposta didática em

ambiente informatizado. Dissertação (Programa de Pós Graduação em

Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São

Paulo, 2004. 181f.

COUTINHO, Lázaro. Convite às Geometrias Não-Euclidianas. Rio de Janeiro:

Editora Interciência, 2001.

COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O que é Matemática? Traduzido por

Adalberto da Silva Brito. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2000. p. 621.

ESCHER, M. C. Gravuras e Desenhos, Traduzido por Maria Odete Gonçalves –

Koller – 1959.

EUCLIDES. Os Elementos. Tradução: Irineu Bicudo. 1ª Ed. São Paulo: Editora

Unesp, 2009.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução: Hygino H.

Domingues: Editora Unicamp, 2007.

GOBBI, Luciane; LÜDKE, Helena Maria e AZAMBUJA, Marília Schimidt de.

Tópicos da Geometria Hiperbólica com o Cabri-Géomètre//. Rio Grande do

Sul, 2006. Anais. IX Encontro Gaúcho de Educação Matemática. Disponível no

site http://ccet.usc.br/eventos /outros/egem/minicursos/mc63, acesso em

15/02/2010.

59

KALEFF, Ana Maria M. R. Vendo e entendendo poliedros: do desenho ao

cálculo do volume através de quebra-cabeças geométricos e outros

materiais concretos. Niterói: Ed.UFF, 1998.

LAMPARELI, L.C. Matemática para 1° Grau. 3 ed. São Paulo: Edart, 1975.

LORENZATO, S. Por que não ensinar geometria? Educação Matemática em

Revista, Sociedade Brasileira de Educação Matemática SBEM – p.4-13, Ano

III, nº 4 – 1º sem. 1995.

PARANÁ. Conselho Estadual de Educação. Diretrizes Curriculares da Rede

Pública de Educação Básica do Estado do Paraná: Matemática. Curitiba:

SEED, 2006 a.

PAVANELLO, Regina Maria. O abandono do ensino da Geometria: uma visão

histórica. Dissertação (Mestrado em Educação) – Unicamp, Campinas, 1989.

164 f.

SOFTWARE GEOGEBRA. Disponível em:>http://www.geogebra.org>. Acesso em

05 nov. 2009.

SITES/FIGURAS

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminário/escher/bibliorafia.html,

acesso em fevereiro 2010.

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminário/alice/geometria_ne.htm,

acesso em fevereiro 2010.

http://www.miniweb.com.br/ciências/artigos/a_geometria_dos_espaços-

curvos.pdf. (ON – Observatório Nacional) acesso em março 2010.

http://www.planobeta.com/?s=ursos&search=pesquisar, Autor: Marcos Morais,

acesso em abril 2010.

www.seara.ufc.br/.../hiperbólica5.htm, acesso em fevereiro 2010.

60

www.atractor.pt/.../matemática, acesso em fevereiro de 2010.

www.cep.if.usp.br/.../cap03/graf-geome_espaço, acesso em fevereiro de 2010.