cursus probabilistisch ontwerpen en statistiek - betonvereniging 27 september 2005
DESCRIPTION
Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005. Pieter van Gelder TU Delft (Fac. Civiele Techniek). ROC ASA Techniek Scutos Columbuslaan 540 Utrecht. Opbouw cursus. Les 1Kansrekening Les 2 Statistiek - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/1.jpg)
Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek -
Betonvereniging
27 September 2005
Pieter van Gelder
TU Delft (Fac. Civiele Techniek)
ROC ASA Techniek ScutosColumbuslaan 540Utrecht
![Page 2: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/2.jpg)
Opbouw cursus• Les 1 Kansrekening• Les 2 Statistiek• Les 3 Kansrekening, inleiding betrouwbaarheidsanalyse• Les 4 Betrouwbaarheidsanalyse• Les 5 Voorschriftentheorie• Les 6 Beslistheorie, design-by-testing, tijdafhankelijkheid• Les 7 Systemen, case studie
![Page 3: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/3.jpg)
Opzet lesblok 2
• Wat is statistiek ?
• Stochastische variabelen
• Schattingsmethoden voor de verdelingsparameters
• Waarschijnlijkheidspapier
• Bestfit berekeningen
![Page 4: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/4.jpg)
Terugblik op lesblok 1
• Wat is probabilistisch ontwerpen?
• Kans en gebeurtenis
• Systeem faalkansen
![Page 5: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/5.jpg)
Verschil tussen kansrekening en statistiek
• Het woord statistiek is afkomstig van de moderne Latijnse zin statisticum collegium (les over staatszaken), waar het Italiaanse woord statista van af is geleid, wat "staatsman" of "politicus" (vergelijk ons woord status) en het Duitse Statistik, wat oorspronkelijk de analyse van staatsgegevens betekende.
![Page 6: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/6.jpg)
• Statistiek is een tak van wetenschap, onderdeel van de wiskunde. Statistici verzamelen gegevens over een bepaald onderwerp en interpreteren de vergaarde gegevens. Waarschijnlijkheidsrekening of kansrekening is een tak van de wiskunde die gericht is op kansen van gebeurtenissen en verwachtingswaarden.
![Page 7: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/7.jpg)
Statistiek voor de betonconstructeur
![Page 8: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/8.jpg)
Statistiek voor de betontechnoloog
• Beschrijving verhardingsproces middels niet-lineaire regressie (druksterkte als functie van de verhardingstijd (in jaren))
• Variabiliteit in kubusdruksterkte van proefstukken (afhankelijk van water-cement factor, van luchtgehalte, volumieke massa, chloride gehalte, etc)
• Probabilistische formulering van goed- en afkeuringseisen van beton (mu-k.sigma > vereiste karakteristieke druksterkte)
![Page 9: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/9.jpg)
Normale verdeling
-4 -2 0 2 4 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f R(x
)
gemiddelde, indicatie voor ligging standaarddeviatie, indicatie voor spreiding
2
x
2
1
R e21
xf
kansdichtheid
![Page 10: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/10.jpg)
Standaard normale verdeling
• Normaal verdeelde variabele X:•
• Standaard normaal verdeelde variabele u:
• Kansdichtheid: Kansverdeling:
1
0
u
u
tabel
uX XX ofwelX
XXu
2y
2
1
u e2
1yyf
y
u dyyyyF)yU(P
![Page 11: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/11.jpg)
Normale verdeling
• Waarom zo populair?
• Centrale limietstelling:• Som van veel variabelen (met willekeurige
verdelingen) is (bijna) normaal verdeeld.
• Y = X1 + X2 + X3 + X4 + ….
![Page 12: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/12.jpg)
Centrale limietstelling
•
![Page 13: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/13.jpg)
Normale verdeling
-4 -2 0 2 4 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
f R(x
)Normale verdelingen
R
R
R
![Page 14: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/14.jpg)
• Voor onafhankelijke stochasten X en Y geldt dat:
• VAR(X+Y) = VAR(X) + VAR(Y)
• voor de standaardafwijking van de som van 2 stochasten geldt dus de stelling van Pythagoras.
![Page 15: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/15.jpg)
Andere verdelingstypen• Verdelingstype = ‘vorm van de verdeling’
• Uniforme verdeling
• Lognormale verdeling•
GumbelverdelingWeibullverdeling
• Gammaverdeling• ….
![Page 16: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/16.jpg)
Uniforme verdeling
fR()
a b
1/(b-a)
oppervlak = totale kans = 1
Gemiddelde = (a+b)/2
Standaarddeviatie = (b-a)/12
![Page 17: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/17.jpg)
Snelle kenmerken
• Gemiddelde• (zwaartepunt)
• Variantie•
• Standaarddeviatie
• Variatiecoefficient
dxxfx XX
dxxfx X2
X2X
X
X
XXV
![Page 18: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/18.jpg)
Lognormale verdeling
0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
X
X
fX()
![Page 19: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/19.jpg)
Lognormale verdeling
x
fx
X : lognormale verdeling
y
fY
Y = ln(X) : normale verdeling
![Page 20: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/20.jpg)
Lognormale verdelingy
fX() : lognormaal
fY(y) : normaal
Als X lognormaal is verdeeld, dan isY = ln(X) normaal verdeeld
y = ln ofwel= exp(y)
![Page 21: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/21.jpg)
Lognormale verdeling• X lognormaal verdeeld Y = ln(X) normaal verdeeld
• Kansdichtheidsfunctie voor X:
• waarin Y en Y parameters van de lognormale verdeling:
Y gemiddelde waarde van Y (dus niet van X !!)
Y standaarddeviatie van Y (dus niet van X !!)
2Y
2Y
YX
2
lnexp
2
1f
0
![Page 22: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/22.jpg)
Lognormale verdeling
• X lognormaal verdeeld Y = ln(X) normaal verdeeld
1)exp(
)exp(
2YXX
2Y2
1YX
2X
2X
Y
2Y2
1XY
1ln
ln
)V1ln( 2X
![Page 23: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/23.jpg)
Lognormale verdeling
• Afgeleide van centrale limietstelling:• Product van veel variabelen met willekeurige
verdelingen is (bijna) lognormaal verdeeld
• dus log y (bijna) normaal verdeeld.
• Definitie: log y normaal y lognormaal
n21
n21
xlog...xlogxlogylog
x...xxy
![Page 24: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/24.jpg)
Asymptotische verdelingen
• Normal
• Lognormal
• Weibull
• Gumbel
...YYYX 321
...*Y*Y*YX 321
,...Y,Y,YminX 321
,...Y,Y,YmaxX 321
![Page 25: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/25.jpg)
Voorbeeld: gumbelverdeling
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 6000
1
2
3
4
5
6
7
8x 10
-3
winddruk (0.5 * rho * U 2pot
) in N/m2
kans
dich
the
id (
m2 /N
)
jaarmaxima Schiphol 1950-2002
Gumbelverdeling
![Page 26: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/26.jpg)
Oefening
• Een variabele R is normaal verdeeld met:• Gemiddelde = 50• Standaarddeviatie = 10
• Bepaal:• a. P(X < 40)• b. P(X > 60)• c. P(40 < x < 60)
![Page 27: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/27.jpg)
Tabel van de cumulatieve standaard normale verdeling
![Page 28: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/28.jpg)
Presenteren van grote datasets• In een histogram
• Op waarschijnlijkheidspapier
![Page 29: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/29.jpg)
Bij een histogram worden de waarnemingen geklassificeerd
• Ordenen van n gegevens
• Aantal klassen:
• Klassen zijn bij voorkeur even breed
5 20 n
![Page 30: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/30.jpg)
Histogram
• Horizontale as verdelen in intervallen
• Kolom plaatsen boven elk interval
• Oppervlak van kolom geeft frequentie aan!
• Kolomhoogte: frequentie / kolombreedte
![Page 31: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/31.jpg)
Histogram
• Boekenprijzen (Euro’s):• 25 45 35 25 30 70
20 45 65 30 40 4035 45 55 35 32 3728 45 49 39 40 6029 34 47 35 45 4935 45 34 28 34 5448 38 32 39 45 58
![Page 32: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/32.jpg)
Histogram
• Aantal klassen: sqrt 42 = 7
• hoogste - laagste = 70 - 20 = 50
• klasse breedte ca. 50 / 7 ca. 7
![Page 33: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/33.jpg)
Histogram 4
• klasse frequentie freq/kb (eenh=5)17,5 - 27,5 3 3/227,5 - 32,5 7 7/132,5 - 37,5 9 9/137,5 - 42,5 6 6/142,5 - 47,5 8 8/147,5 - 57,5 5 5/257,5 - 77,5 4 4/2
![Page 34: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/34.jpg)
Kansdichtheidsfunctie• Frequentie uit histogram wordt genormeerd
naar kans• De verdeling van een discrete stochastische
variabele kun je vastleggen in een zogenoemde kansfunctie van die variabele.
• Als stochastische variabele X is, met de mogelijke uitkomsten x, dan wordt de kansdichtheidsfunctie aangeduid met f(X=x), vaak ook: P(X=x). (P van probability)
![Page 35: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/35.jpg)
Normaal waarschijnlijkheidspapier
• De verticale as is verdeeld van 0% tot 100% op een zodanige wijze, dat de kansdichtheidsfunctie van een normale verdeling een rechte lijn is.
• Zet de data gesorteerd (van klein naar groot) uit tegen i/N+1 waarbij i het volgnummer van de waarneming en N het totaal aantal waarnemingen
![Page 36: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/36.jpg)
![Page 37: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/37.jpg)
Momenten van Random Variables
![Page 38: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/38.jpg)
Methode der Momenten voor het schatten van verdelingsparameters
• D.m.v. gelijkstelling van de verdelings-momenten aan de steekproefmomenten
• Voorbeeld uniforme verdeling (uitwerking op bord)
![Page 39: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/39.jpg)
• Verdelingsfuncties hebben vrije parameters die zodanig gekozen moeten worden, dat ze zo goed mogelijk de data beschrijven (een lijn die z.g.m. het histogram van de data benadert)
• De methode der momenten levert schatters op voor de onbekende parameters in een verdelingsfunctie
![Page 40: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/40.jpg)
Den
sity
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
0.00
000
0.00
010
0.00
020
Bepalen van de kansdichtheidsfunctie op waarnemingen
Drukstekte van 31 beton elementen
druksterkte
= 8621 S = 8194 n = 31
x
![Page 41: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/41.jpg)
Den
sity
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
0.00
000
0.00
010
0.00
020
Kansdichtheidsfunctie 1
![Page 42: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/42.jpg)
Den
sity
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
0.00
000
0.00
010
0.00
020
Kansdichtheidsfunctie 2
![Page 43: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/43.jpg)
Bestfit
• Het programma bestfit bepaalt bij een gegeven dataset (die bijv. ingevoerd kan worden met copy and paste vanuit Excel) van een 20-tal verdelingsfuncties de optimale parameters (d.m.v. een zogenaamde maximum likelihood methode)
![Page 44: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/44.jpg)
Demo Bestfit
• Goodness of fit criteria– Chi Square (in PDF domain)– Kolmogorov (in CDF domain)
![Page 45: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/45.jpg)
pointsdata
1 i
2ii2
measured
)predictedmeasured(
i
BijvoorbeeldP(2 1.3, n = 3) ≈ 73% (af te lezen uit bijgesloten grafiek). De kans dat 2 1.3 met 3 vrijheidsgraden door toeval is 0.73. Dus de data wordt goed beschreven door het model.
![Page 46: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/46.jpg)
Kolmogorov-Smirnov Test
• Het berekent de grootste afstand tussen de doel CDF FX(x) en de geobserveerde CDF, F*(X).
• De test grootheid D2 is:
waarbij X(i) is de i-de grootst geobserveerde waarde is in de steekproef ter lengte n.
)(
)()(*
)(
1
)()(
12
max
max
iX
n
i
iX
in
i
XFn
i
XFXFD
![Page 47: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/47.jpg)
Resume• Bestfit is een pakket waarmee de beste verdelingsfunctie bepaald
kan worden bij een gegeven dataset (van bijv. druksterkten)• De optie ‘stats’ in Bestfit laat de ordening zien op basis van een Chi-
kwadraat en een KS-criterium• Onderschrijdings-, overschrijdings-, en intervalkansen van een
stochast kunnen berekend worden met de uitvoer van Bestfit• Voorbeelden zijn behandeld van de exponentiele, Normale en
Pareto verdeling. Bij de normale verdeling dient een tabel gebruikt te worden, omdat de cumulatieve verdeling niet analytisch beschikbaar is.
• Bij het sommeren van stochasten neemt de standaardafwijking niet-linear toe volgens een wortel functie. Het gevolg hiervan is dat de variatiecoefficient van het gemiddelde fors lager is dan de variatiecoefficient van een enkele stochast. De simulatie met het sinaasappelvoorbeeld liet dit duidelijk zien.
![Page 48: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/48.jpg)
Voer een statistische analyse uit van de volgende datasets (breuktaaiheid)
• 3• 5• 8• 11• 14• 18• 22• 26• 30• 35• 40• 46• 52• 60• 69• 80• 95• 115• 150
40,8
82,7
37,6
26,2
56,2
103,3
35,1
71,2
32,3
48,3
23,9
87,7
90,8
65,9
119,3
19,5
115,5
32,9
64,7
100,5
103,5
45,6
26,8
59,2
74,8
20,2
88,9
31
106,9
22,1
![Page 49: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/49.jpg)
Statistiek van discrete stochasten
![Page 50: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/50.jpg)
Bernoulli-verdeling• Slechts twee uitkomsten mogelijk! De
stochastische variabele X kan dus twee waarden aannemen (1=success of 0=failure).
• Dus ook slechts twee kansen.
• P(X=1) en P(X=0)
• Soms zijn ze gelijk, i.h.a. niet.
![Page 51: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/51.jpg)
Bernoulli-verdeling (vervolg)• Kans op slagen (1) voor rijbewijs gelijk na het
eerste examen = 30%. Kans op niet slagen (0) gelijk na eerste keer = 70%.
• De som van de twee kansen is altijd 1.• De succeskans wordt meestal aangeduid met p.• De kans op geen succes met q (=1-p).
![Page 52: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/52.jpg)
Bernoulli-verdeling (vervolg)
• p+q=1=p (verwachting)2=p.q (variantie) = p.q
![Page 53: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/53.jpg)
Binomiale-kansverdeling • De binomiale-verdeling heeft als kenmerken:
– We doen een vast aantal (n) experimenten– ieder experiment heeft 2 uitkomsten (1 of 0)– Experimenten zijn onafhankelijk– De kans op gunstige uitkomst (p) tijdens alle
experimenten is constant.
• Kortom: een rij van een vast aantal Bernoulli-experimenten. Uitkomsten=aantal successen in een rij
![Page 54: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/54.jpg)
Binomiale-kansverdeling (verv.)
• Formule: P(X=k) =
• n = aantal experimenten • p = kans op succes• q = kans op mislukking = (1-p)• k = waarde die de stochastische variabele
X aanneemt (aantal successen in rij van n Bern.exp.)
knkqpk
n
nbovenk
![Page 55: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/55.jpg)
Binomiale-verdeling (verv.)
• Voorbeeld. Stel een tentamen bestaat uit 10 multiple-gok vragen (met 4 keuzes). Een student kruist de antwoorden volledig willekeurig aan. Hoe groot is de kans op een voldoende?
• Oplossing: P(voldoende)=1-P(onvoldoende)
![Page 56: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/56.jpg)
Binomiale-verdeling (verv.)
• P(onvoldoende)=P(k<=6), waarbij k aantal goed beantwoorde items is.
• P(k=1)=(10boven1).0,251.0,759 = 0,1877
• P(k=2)=(10boven2).0,252.0,758 = 0,2816
• P(k=0)=0,056
![Page 57: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/57.jpg)
Binomiale-verdeling (verv.)• P(k=3)= 0,24• P(k=4)= 0,146• P(k=5)= 0,058• P(k=6)= 0,020• P(k=7)= 0,003
• P(voldoende)=1-(0,056+0,1877+0,2816+0,24+0,146+0,058+0,02)= 1-0,9893= 0,0107 (1%)
![Page 58: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/58.jpg)
Binomiale-verdeling (verv.)
• Vaak wordt in tabellen gebruik gemaakt van de gecumuleerde waarde.– P(X<=0) = 0,056– P(X<=1) = 0,056+0,1877=0,2437– P(X<=2) = 0,2437+0,2816=0,5253– P(X<=3) = 0,5253+0,24=0,7653– P(X<=4) = 0,7653+0,146=0,9113– enzovoorts.
![Page 59: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/59.jpg)
Binomiale-verdeling (verv.)
• Voordeel cumulatieve tabel; je leest de waarde gelijk af.
= n.p (verwachting)2 = n.p.q (variantie)=n.p.q (standaarddeviatie)
![Page 60: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/60.jpg)
Geometrische-verdeling• Hierbij gaat het (weer) om een rij Bernoulli-
experimenten. Elk experiment heeft (weer) dezelfde kans op succes (p).
• Er worden telkens zoveel experimenten uitgevoerd tot er een succes is. Dit variabele aantal experimenten is hier de stochastische variabele (N)
• {S, FS, FFS, FFFS, FFFFS, enz.)• n =1, 2, 3, 4, 5,
![Page 61: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/61.jpg)
Geometrische-verdeling (verv.)
• P(N=n)=p.qn-1
= 1/p (verwachting)2 = q/p2 (variantie)
![Page 62: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/62.jpg)
Discrete kansverdelingen
• Reeds behandeld:– discrete uniforme verdeling– Bernoulli-verdeling– binomiale verdeling– geometrische verdeling
• Nog te behandelen:– Poisson-verdeling– logaritmische verdeling
![Page 63: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/63.jpg)
Nu eerst een aantal computer simulaties
• http://probability.ca/jeff/java/utday/
• http://www.math.uah.edu/stat/
• http://www.stat.duke.edu/sites/java.html
• http://www.mste.uiuc.edu/reese/birthday/
• http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html
![Page 64: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/64.jpg)
• Discrete uniforme verdeling– Stochast X; uitkomstenverzameling:{1,2,3,...,N}
• P(X=x) = 1/N; E(X) = =(N+1)/2; 2 = (N2 - 1)/12
• Bernoulli-verdeling– Stochast I; uitkomstenverzameling: {0,1}
• P(I=0) = q = 1- p; P(I=1) = p; E(I)= = p; 2 = pq• Binomiale verdeling: Bin(n,p)
– Stochast B; uitkomstenverz.: k = {0,1,2,...,n}• P(B=k)= (n boven k)pkqn-k; E(B) = = n p; 2 = n pq
• Geometrische verdeling– Stochast N; uitkomstenverz.: n = {1,2,3,...}
• P(N=n)= pqn-1; E(N) = = 1/p; 2 = q/p2
![Page 65: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/65.jpg)
Samenvatting van het voorafgaande
• N-aselector (zuivere munt, dobbelsteen)
• Bernoulli-experiment of alternatief (Bernoulli-trial): 2 uitkomsten; 2 kansen.
• Binomiale verdeling: geeft de kans op k successen in een rij van n Bernoulli-trials.Er geldt: 0 < k < n
• Geometrische verdeling: geeft de kans op succes na pas n Bernoulli-trials, (n=1,2,3,...)
![Page 66: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/66.jpg)
Samenvatting van het voorafgaande
N-aselector
Bernoulli-experiment
binomiale verdeling
geometrischeverdeling
![Page 67: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/67.jpg)
De Poisson-verdeling
![Page 68: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/68.jpg)
Poisson-verdeling
• Genoemd naar één van de pioniers op het gebied van de theorie van de kansrekeningSiméon Dénis Poisson (1781-1840)
– Definitie:• Beschouw R={0, 1, 2, 3, ... }; laat een vast getal
>0 zijn. De onderstaande waarden voor p(n) zijn de kansen van de Poissonverdeling met parameter
p en
nn
n
!
( , , ,...) 0 1 2
![Page 69: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/69.jpg)
Poisson-verdeling
• p(0)=exp(-)
• p(1)=exp(-).1/1!= .exp(-)
• p(2)=exp(-). /2!
• p(3)=exp(-). /3!
• p(4)=exp(-). /4!
• ...
p en
nn
n
!
( , , ,...) 0 1 2
![Page 70: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/70.jpg)
Poisson-verdeling
• Wat is de betekenis van n in pn of p(n) ?
• Wat is de betekenis van de parameter ?Men spreekt overigens van de Poisson()-verdeling, ook wel korter: Pois()-verdeling
p en
nn
n
!
( , , ,...) 0 1 2
![Page 71: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/71.jpg)
Poisson-verdeling (vervolg)
• Het is een ‘technische’ zaak om verwachting en variantie te berekenen van een Poisson()-verdeelde stochast. Stel V is Poisson()-verdeeld. Er geldt dan:
• P(V=k)=exp(-).k/k! (k=0, 1, 2, 3, ...)
p en
nn
n
!
( , , ,...) 0 1 2n k
![Page 72: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/72.jpg)
Poisson-verdeling
• Het blijkt dat:
– E(V) = – 2 =
» Het is misschien niet zo slim om de parameter te noemen, of juist wel?
» Vaak zie je
p en
nn
n
!
( , , ,...) 0 1 2
![Page 73: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/73.jpg)
Poisson-verdeling
• Vandaar:
p en
nn
n
!
( , , ,...) 0 1 2
P V k ek
kk
( )!
( , . . . ; )
,
0 1 2 0
2
, ,
![Page 74: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/74.jpg)
Poisson-verdeling
• Wat is nu de betekenis van de parameter in verband met de grootheid die Poisson()-verdeeld is, i.v.m. de stochast of kansvariabele dus ?
• We bekijken nu wat voorbeelden van Poisson-verdeelde kansvariabelen.
![Page 75: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/75.jpg)
Poisson-verdeling (vervolg)
• Voorbeelden– het aantal moleculen van de soort X in een bepaald
volumedeel van met X verontreinigde vloeistof;– het aantal vaste deeltjes in een vast gekozen
volumedeel van de atmosfeer;– het aantal registraties in een Geiger-Muller-teller
gedurende een vast gekozen tijdsinterval;– het aantal windhozen in Nederland dat vergezeld gaat
met aanzienlijke schade per tijdvak van bijvoorbeeld 20 jaar;
![Page 76: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/76.jpg)
Poisson-verdeling (vervolg)
• Voorbeelden (vervolg)
– het aantal zetfouten per pagina van een boek;– het aantal klanten per tijdseenheid aan een loket;– het aantal weeffouten per oppervlakte-eenheid van een rol textiel;– het aantal schepen dat per uur de Rotterdamse haven
binnenvaart;– het aantal passerende auto's per minuut op een bepaald punt van
een autosnelweg;– het aantal universeelmeters dat per maand defect raakt op een
bepaald practicum.
![Page 77: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/77.jpg)
Poisson-verdeling (vervolg)
• Globaal geldt: Poisson-verdeling is een model voor het optreden van ‘zeldzame’ verschijnselen.
• Toelichting op het begrip 'zelden'. Als het bijvoorbeeld gaat om verschijnselen in de tijd, dan wordt met 'zelden' bedoeld:– de tijdsduur van het verschijnsel is klein t.o.v.
de spanne tijds tussen twee opeenvolgende verschijnselen.
![Page 78: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/78.jpg)
Poisson-verdeling (vervolg)
• Toelichting op het begrip 'zelden'. Als het bijvoorbeeld gaat om exemplaren in een volume, dan wordt met 'zelden' bedoeld:– dat het exemplaar zelf een klein volume
inneemt ten opzichte van het gemiddelde volume dat aan elk exemplaar ter beschikking staat. Het aantal exemplaren behoeft beslist niet klein te zijn.
![Page 79: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/79.jpg)
Klassiek voorbeeld (Bortkiewicz 1898)
• Uit 200 jaarverslagen van 10 Pruisische cavaleriekorpsen over een periode van 20 jaar blijken de onderstaande aantallen ongelukken met dodelijke afloop tengevolge van de trap van een paard per jaar te volgen.
k aantal keer rel.freq.theorie kicks0 109 0.545 0.544 01 65 0.325 0.331 652 22 0.110 0.101 443 3 0.015 0.021 94 1 + 0.005 + 0.003 + 4 + 200 1 1 122 gemiddeld aantal trappen per jaar = 122/200=0.61
![Page 80: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/80.jpg)
Klassiek voorbeeld (Bortkiewicz 1898)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 1 2 3 4
Observed
Theory
=0.61
k=0, 1, 2, 3, 4,...
p(k)=exp(-0.61).(0.61)k
k!k
p(k)
![Page 81: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/81.jpg)
Poisson-verdeling
• Vraagstukken– Laat X een Poissonverdeling hebben met
parameter 6.6. Bereken:• P(X < 5)• P(1 < X < 3)• P(X > 7)
– Bereken en teken de staafdiagrammen van Poissonverdelingen met resp. = 0.5, 1, 2 en 5.
– Merk je iets op ?
![Page 82: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/82.jpg)
De logaritmische verdeling
![Page 83: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/83.jpg)
De logaritmische verdeling en de wet van Benford
• De wet van Benford:In veel ‘natuurlijke’ getallenverzamelingen bezitten de eerste cijfers van de getallen een aflopende verdeling die begint met ongeveer 30% voor het cijfer 1, ca. 18% voor het cijfer 2, en zo verder tot ongeveer 5% voor het cijfer 9.Frank Benford
(1883 - 1948)
![Page 84: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/84.jpg)
twee vragen dringen zich op
• Wat is een ‘natuurlijke’ getallenverzameling?
• Hoe groot zijn die kansen voor het optreden van de eerste cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 dan wel ?
– NB: Het gaat om het eerste cijfer (van links naar rechts gaande) dat ongelijk is aan nul; d.w.z. het meest significante cijfer.
![Page 85: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/85.jpg)
de antwoorden
• verzamelingen fundamentele natuurconstanten
• getallen in kranteartikelen• oppervlakten van meren en rivieren• lengten van telefoongesprekken• helderheidsverdelingen van sterren• tegoeden op bankrekeningen• grootten in bytes van
printbestanden
• de logaritmische verdeling
![Page 86: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/86.jpg)
De logaritmische verdeling
• Uitkomstenverzameling: {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
• kansen:
• Opgave: Toon zelf aan dat de som van deze negen kansen gelijk is aan 1.
pi
iii
10 1log ; = 1,2, ... ,8,9
![Page 87: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/87.jpg)
Paginagrote advertentie van ah in de dagbladen van 12 juli 2004
• Geteld– cijfer 1 42.2 %– cijfer 2 16.5 %– cijfer 3 9.1 %– cijfer 4 5.5 %– cijfer 5 7.3 %– cijfer 6 8.3 %– cijfer 7 3.7 %– cijfer 8 3.7 %– cijfer 9 3.7 %
• Theoretisch verwacht– cijfer 1 30.0 %– cijfer 2 17.6 %– cijfer 3 12.5 %– cijfer 4 9.7 %– cijfer 5 7.9 %– cijfer 6 6.7 %– cijfer 7 5.8 %– cijfer 8 5.1 %– cijfer 9 4.58%
![Page 88: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/88.jpg)
logaritmische verdeling vergeleken met geometrische verdeling
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
logaritmischgeometrisch
![Page 89: Cursus Probabilistisch Ontwerpen en Statistiek - Betonvereniging 27 September 2005](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070412/568149f3550346895db72293/html5/thumbnails/89.jpg)
logaritmische verdeling
• Vraagstuk – Bereken verwachting en variantie van een
logaritmisch verdeelde stochast.– Teken een geometrische en een
logaritmische verdeling met dezelfde verwachting in een en dezelfde figuur.