curso matematicas con geogebra

8/18/2019 Curso Matematicas con GeoGebra

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Universidad Nacional Autónoma de México

FACULTAD DE QUÍMICA

SECRETARÍA DE EXTENSIÓN ACADÉMICA

COORDINACIÓN DE ACTUALIZACIÓN DOCENTE

Curso: Conceptos matemáticos básicos para un mejor acercamiento

al logro de las competencias de los programas de matemáticas

del bachillerato de la UAEM

Las TIC’s I coo herraietas de apoyo para

la construcción de conceptos Matemáticos

Escuché… y olvidé

Vi… y recordé

Hice… y aprendí Adagio Chino

Fechas: 8, 9, 15, 16 y 22 de abril, 2016

Instructor:

Dr. Salvador Moreno Guzmán


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Curso: Conceptos matemáticos básicos para un mejor acercamiento al logro

de las competencias de los programas de matemáticas del bachillerato de la

UAEM

Las TIC’s I como herramientas de apoyo para

la construcción de conceptos Matemáticos

Escuché… y olvidé

Vi… y recordé

Hice… y aprendí Adagio Chino

Objetivo del curso apoyado con el programa GeoGebra

Al finalizar el curso los profesores conocerán las herramientas que proporcionan lasdiferentes interfaces (Vistas) del programa GeoGebra como: la Algebraica, Gráfica, CálculoSimbólico y la Hoja de Cálculo, el propósito es que adquieran las habilidades y destrezas

que les permitan lograr un mejor manejo computacional en diferentes campos de las

matemáticas como la aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, cálculo diferencial e

integral, y que con el apoyo de estos recursos logren diseños didácticos más significativos en

beneficio de los estudiantes.

¿Qué es GeoGebra?

GeoGebra es un software de matemáticas dinámicas para todos los niveles educativos quereúne geometría, álgebra, hoja de cálculo, gráficos, estadística y cálculo en un soloprograma fácil de usar. GeoGebra es también una comunidad en rápida expansión, conmillones de usuarios en casi todos los países. GeoGebra se ha convertido en el proveedorlíder de software de matemática dinámica, apoyando la educación en ciencias, tecnología,ingeniería y matemáticas (STEM: Science Technology Engineering & Mathematics) y lainnovación en la enseñanza y el aprendizaje en todo el mundo.

Datos interesantes

Conectamos geometría, álgebra y hoja de cálculo de forma completamente dinámica

Interfaz muy fácil de usar, a pesar de contar con poderosas herramientas

Herramienta de autoría para crear materiales de aprendizaje interactivos como

páginas web

Disponible en varios idiomas, para nuestros millones de usuarios en todo el mundo

Software de código abierto disponible gratuitamente para usos no comerciales

http://www.geogebra.org/licensehttp://www.geogebra.org/license


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Curso: Coeptos ateátios ásios para u ejor aer camiento al logro de las competencias de los programas de

ateátias del ahillerato de la UAEM

Instructor: Dr. Salvador Moreno Guzmán

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Los datos anteriores se tomaron de la página de GeoGebra cuya dirección es

www.geogebra.org y de la cual se puede bajar el programa para su instalación.

El creador de este software Markus Hohenwarter comenzó su proyecto en 2001 y

actualmente cuenta con un amplio equipo de colaboradores que día a día lo enriquecen más.

La versión 5 cuenta con una interfaz para la tercera dimensión.

Recorrido en el programa GeoGebra

Al abrir el programa GeoGebra aparece la siguiente página mostrando lo siguiente:

1. La barra de herramientas.

2. Los botones que abren los menús.

3. Los botones para deshacer y rehacer.

4. Los botones para abrir la ayuda y las preferencias que proporciona la interfaz.

Figura 1

http://www.geogebra.org/http://www.geogebra.org/http://www.geogebra.org/


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P á g i n 3

5. Siempre que se abre un archivo nuevo en el programa, aparece la ventana de apariencias

que permite abrir cualquiera de las seis vistas.

6. En la barra de entrada es donde se captura la información que se va a operar.

7. En la Vista Algebraica se muestran las expresiones capturadas en la barra de entrada.

8. En la Vista Gráfica se observan las expresiones mostradas en la Vista Algebraica.

9. Se muestra el botón para solicitar la ayuda de comandos.

En seguida se presentan las imágenes donde se muestran las diferentes Vistas del

programa GeoGebra.

En la vista gráfica es donde se

construyen todos los objetos geométricos

como los puntos, líneas, circunferencias,polígonos, curvas cónicas, gráficas de

funciones de sus derivadas o lugares

geométricos, ya sea en el sistema cartesiano,

isométrico o polar.

También se construyen o se muestran

los gráficos referentes a la probabilidad y

estadística.

Todo esto se puede manipular en

forma dinámica.

Figura 2

Figura 3

La Hoja de Cálculo es parecida a la

de Excel donde la ventaja en esta interfaz es

que se pueden articular las demás Vistas en

forma dinámica.


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P á g i n 4

No queremos pasar por desapercibido uno de los recursos que consideramos más

importante para el aprendizaje de la aritmética y el álgebra por parte del estudiante y que

proporciona el programa GeoGebra en la Vista CAS por lo que se harán una serie de

actividades para conocer la herramientas con que cuenta y adquirir las habilidades y

destrezas en su manejo.

Consideramos que los conocimientos y habilidades adquiridos por los profesores se

reflejarán en la elaboración de mejores materiales que impactarán en el proceso enseñanza-

aprendizaje de los estudiantes.

En esta Vista se pueden manipular en forma

simbólica y diseñar secuencias didácticas para

que los estudiantes lleven un seguimiento paso a

paso para obtener los resultados de las

operaciones realizadas en diferentes camposcomo la aritmética, la geometría, el álgebra a

diferentes niveles, elemental, superior o de

facultad.

En esta Vista se desarrollarán, más adelante,

una serie de actividades en la cual podríamos

desarrollar secuencias didácticas dirigidas a los

estudiantes.

Figura 4

La vista 3D es una interfaz que facilita el

desarrollo de temas que en el pizarrón son

complicados de ilustrar como el álgebra vectorial

o la geometría analítica en tercera dimensión.

Figura 5


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P á g i n 5

En la Vista Probabilidad se puede observar que

el programa cuenta con las principalesdistribuciones de probabilidad y con las de

estadística para el desarrollo de temas como

intervalos de confianza y las pruebas de

hipótesis.

Las gráficas obtenidas se pueden pasar a la

Vista Gráfica.

Estas distribuciones también se pueden construir

directamente desde la Vista Gráfica las cuales se

también se pueden articular con otros objetos

como botones, deslizadores o la Hoja de

Cálculo.

Figura 6

Uno de los botones que más se va a utilizar es el

primero a la izquierda cuya etiqueta es Elige yMueve.

Al dar clic en este botón permite liberar las

herramientas que se estén utilizando y con ello

se puede elegir y mover los objetos que han sido

construidos en la Vista Gráfica.

Figura 7

Al abrir la tercera opción de la barra de menús

permite desplegar las diferentes Vistas, el

teclado virtual, el protocolo de construcción elrecálculo de todos los objetos entre otras

acciones.


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P á g i n 6

Figura 8

En el cuarto botón que abre el menú de

Opciones poco se va a utilizar, quizá solo paracambiar el tamaño de letra de las diferentes

Vistas.

El propósito de mostrar los comandos que

despliega este menú es para tener en cuenta

aquellos que nos podrían ser de utilidad para los

propósitos del curso.

Figura 9

Actividades en la vista CAS

Aritmética

Abre el programa GeoGebra y da clic en el

menú Vista y después en Cálculo Simbólico

(CAS) y desarrolla las siguientes actividades.

Cierra las Vistas Algebraica y Gráfica dando clic

en el botón derecho que se muestra con una x (ver figura 10)

Figura 10

Otra forma es dar clic en el pequeño triángulo

que se observa a la mitad derecha de la imagen

del programa y otro clic en CAS

Figura 11


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P á g i n 7

En la primera línea captura la siguiente expresión

Al terminar de capturar la expresión, si das clic

en el tercer botón se Conserva la entrada , esdecir, escribe en formato algebraico la misma

expresión.

Si das clic en el segundo botón Valor numérico se obtiene el resultado de la operación en forma

decimal, pero si das clic en el primer botón

Evalúa da una evaluación exacta.

En la imagen de la figura 12 se observan los

resultados de estos formatos.

Figura 12

Para borrar uno o más renglones selecciónalos y da clic en el último botón que tiene

parecido al cesto de la basura o con la tecla Suprimir .

Un recurso interesante que se debería de tomar en cuenta en el diseño de secuencias

didácticas es que en la vista CAS se pueden obtener resultados parciales de una operación

donde se involucren varias expresiones algebraicas.

Vamos a simplificar una expresión aritmética pero, antes borramos las expresiones de las

líneas anteriores y capturamos lo siguiente:

√ Para elevar una expresión a cierta potencia oextraer la raíz cuadrada, se puede hacer

desde el teclado virtual pero lo más general es

escribirla a través del acento circunflejo “^” que también viene en el teclado virtual. A

veces conviene insertarlo con el código ASCII

Alt+94 lo cual nos proporciona el símbolo “^”,que a veces es más rápido de obtenerlo.

Figura 13

El teclado virtual despliega más símbolos

dando clic en los botones que se indican en la

figura 13.

Todos estos símbolos pueden insertarse en

los documentos de Word directamente desde

este teclado.


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P á g i n 8

Figura 14

En esta imagen se muestran los resultados

posibles de acuerdo a la acción de losprimeros tres botones.

En la primera línea se tiene la escritura en

formato matemático.

En la segunda el resultado aproximado.

En la tercera la representación la evaluación

exacta.

Figura 15

Pero los resultados parciales se pueden obtener tanto en la aritmética como en el álgebra,

cuestión que es de indudable valor para los estudiantes que pueden hacer un seguimiento

de los desarrollos algorítmicos.

Del ejemplo anterior capturamos la expresión y damos clic en el tercer botón.

1) 4(5-3^2)+√104-12obtenemos

√ Luego damos clic dentro en la segunda parte de la primera línea y regresamos a la primera

para dar otro clic en la expresión que se muestra abajo √ , esto permitecopiar la primera expresión en el segundo renglón sin mayor esfuerzo. Es importante teneren cuenta este proceso porque lo vamos a repetir en cada renglón hasta obtener el resultado

final del ejercicio.

De esta manera podemos determinar los resultados parciales, como a continuación se

desarrolla una de varias posibilidades que se puede seguir.

Seleccionamos 3^2 de la expresión 4(5-3^2)+√140-12 y damos clic en el primer botón, seobtiene 4(5-9)+√140-12, luego copiamos esta expresión al siguiente renglón.

Ahora seleccionamos 4 (5 - 9) + sqrt(140) – 12 luego damos clic en el primer botón, se

obtiene 4 (5 - 9) + 2sqrt(35) – 12, copiamos esta expresión al siguiente renglón de la formaantes mencionada.


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P á g i n 9

Seleccionamos 4 (5 - 9) + 2sqrt(35) – 12 y damos

clic en el primer botón

Se obtiene 4(-4) + 2sqrt(35) – 12 copiamos laexpresión.

Seleccionamos 4(-4) + 2sqrt(35) – 12

Se obtiene -16 + 2sqrt(35) – 12

Se obtiene 2sqrt(35) – 28 copiamos la expresión ydamos Enter para obtener finalmente el resultado

como se muestra en renglón 6

√ Esto es importante para el estudiante porque lepermite comparar lo realizado en lápiz y papel del

desarrollo procesal con el desarrollado en la vista

CAS.

Figura 16

Como siguiente ejercicio vamos a obtener el máximo común divisor (MCD) de tres números

escribimos en la primera línea mc y antes de terminar la palabra se observa que aparece un

menú de opciones para seleccionar, para nuestro caso nuestro caso MCD[ ]

Introducimos la lista de números

MCD[{12,18,24}] damos Enter y da por resultado elnúmero seis, ver figuras 17 y 18.

Es importante tener en cuenta que las listas de

objetos o números deben estar entre paréntesis de

llaves.

Figura 17

GeoGebra cuenta con múltiples comandos para el análisis de números.

La figura 18 muestra lo siguiente:


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P á g i n 1 0

El máximo común divisor de los números {12,18,24} El mínimo común múltiplo de los números {12,18,24} Los factores primos del número 1836.

Si al número 1836 se factoriza dandoclic en el cuarto botón, se obtiene 22*33*17.

Se puede solicitar un número

determinado de dígitos de un número

irracional como pueden ser veinte dígitos del

número π. Se puede preguntar por el número

primo anterior a uno dado o por el siguiente o

si este es primo o no, así como los factores

los números primos de Fermat

Figura 18

Número de Fermat

Un número de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el que formuló einvestigó estos números, es un número natural de la forma:

donde n es natural. De particular interés son los números primos de Fermat.

Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos,3 (n =0), 5 (n =1), 17 (n =2), 257 (n =3) y 65537 (n =4) lo son), pero Leonhard Euler probó que

no era así en 1732. En efecto, al tomar n =5 se obtiene un número compuesto:

4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es primo.

https://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/Treshttps://es.wikipedia.org/wiki/Treshttps://es.wikipedia.org/wiki/Cincohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cincohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cincohttps://es.wikipedia.org/wiki/Diecisietehttps://es.wikipedia.org/wiki/Diecisietehttps://es.wikipedia.org/wiki/Diecisietehttps://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/1732https://es.wikipedia.org/wiki/1732https://es.wikipedia.org/wiki/1732https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_compuestohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_compuestohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_compuestohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_compuestohttps://es.wikipedia.org/wiki/1732https://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Diecisietehttps://es.wikipedia.org/wiki/Cincohttps://es.wikipedia.org/wiki/Treshttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat


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P á g i n 1 1

Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se

conocían en tiempos del propio Fermat, y, a la fecha de enero de 2009 sólo se conoce la

factorización completa de los doce primeros números de Fermat (desde n =0 hasta n =11).

Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:

1. ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?

2. ¿Existen infinitos primos de Fermat?

Tomado de Wikipedia. Se recomienda la lectura completa de este artículo.

Ejercicios

Simplifica las siguientes expresiones

a) – 8 – 3 + 2 = b) – 5 – (4 – 10) + 3(– 7 – 2) =

c) 2 + 4(3 – 7) = d) 7(–3 + 5) – 4(12 –15) + 2(4 – 3) =

e) 32 + 53 = f) 4(32 – 53) + 2(-5)2 =

Simplifica paso a paso las siguientes expresiones:

√ De los siguientes ejercicios determina: El máximo común divisor de los números {6,18,48}.

El mínimo común múltiplo de los números {6,18,48}.

Los factores primos del número 1836.

Si es que 12353 es número primo.

Los números primos, el anterior y el posterior a 12353.

Obtén el número

√ hasta con 30 decimales.

https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_no_resueltos_de_la_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_no_resueltos_de_la_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_no_resueltos_de_la_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_no_resueltos_de_la_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n


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P á g i n 1 2

Álgebra

Operaciones con polinomios

Simplifica la siguiente expresión (x+3)(x-4)+3(x-1)(x+2)

Se hace la captura en el primer renglón y se da

clic en el tercer botón para conservar la entrada

la cual queda así .Posicionamos el cursor del mouse en el segundo

renglón y damos clic en la segunda línea del

primer renglón para copiar la expresión y con el

primer botón simplificamos, quedando

Realiza la siguiente división

Se captura de la siguiente forma

(8x^6-16x^5+6x^4+24x^2+18x-36)/(4x^3+3x)

Se da clic en el tercer botón para verificar que

está bien escrita.

Figura 19

En el siguiente renglón escribimos la palabra div … y nos presenta el menú de opciones,seleccionamos División[ , ] e introducimos enel primer campo el polinomio dividendo y en el segundo el divisor y damos clic en el primer

botón para obtener

{ } En el primer campo se muestra el cociente y en el segundo el residuo

Se recomienda cotejar el resultado con el desarrollo en papel y lápiz.

Realiza la siguiente división Siguiendo los pasos del proceso anterior capturamos División[a^3-b^3, a-b] y damos

clic en el primer botón resultando

{ } Desarrollar el siguiente binomio


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P á g i n 1 3

Capturamos (1/2x-3)^3 y damos clic en el quinto botón (Desarrolla) con lo que se

obtiene

Factoriza el polinomio anteriorSe captura: 1 / 8 x³ - 9 / 4 x² + 27 / 2 x – 27, se clic en el cuarto botón y se obtiene

Ejercicios

Sean p:=x3+2x^2-x y q:=x2-2x+5

Determinar

a) p+q b) p-q c) p*q d) p/q División[ p, q ] e) p2

Solución de ecuaciones

Resuelve la siguiente ecuación

( )

Se captura la expresión 3x+3/4=5(3x-1/2),

Se da clic en el séptimo botón (Resuelve) y se obtiene el resultado

La solución del ejercicio se puede obtener paso

por paso siguiendo las indicaciones que se

muestran en la segunda columna.

Nota importanteLas expresiones de cada renglón se pueden

manipular con el símbolo # acompañado del

número del renglón. Haciendo el seguimiento del

ejercicio anterior se tiene:

Multiplicamos la expresión del renglón 1 (#1) por

4 y damos clic en el primer botón.

A la expresión de la línea 2 que se escribe con

(#2) le restamos 3 y damos Enter.

Figura 20


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P á g i n 1 4

A #3 le restamos 60x y damos Enter.

Finalmente a #4 lo dividimos entre - 48 y obtenemos el resultado .Resuelve la siguiente ecuación

x2-3x-10=0

1. Capturamos la expresión y damos clic

en el séptimo botón (Resuelve)

2. Se obtiene {x= -2, x= 5} 3. El comando Resuelve que se ejecuta

con el primer botón funciona siempre que la

ecuación polinomial esté en términos de x, si

la expresión cuenta con otras letras no

pregunta respecto a que variable se tiene que

resolver y no proporciona la solución.

4. El comando Soluciones[ ,

] es importante tenerlo en cuentaporque si se tiene diferentes variables en una

ecuación se puede indicar la variable que se

va a despejar.

5. El botón Resuelve solo proporcionasoluciones reales por lo que si se requieren

las demás soluciones se utiliza el comando

SolucionesC[] ejecuta la siguiente

instrucción

SolucionesC[2x^3+3x^2-5x+3=0]

Figura 21 Cuando se tiene que resolver una ecuación con varias variables o parámetros el comando a

utilizar es Soluciones[ , ] o Resuelve[ , ] ydar clic en el primer botón (Evalúa ),

La diferencia está en que el comando Soluciones no muestra la letra que se despeja y el

comando Resuelve sí presenta la igualdad de la letra que se despeja con la igualdad de sutérmino.

Resuelve la siguiente ecuación

ax2+bx+c=0

Resuelve[a*x^2+b*x+c=0, a]

Se debe escribir el símbolo de la multiplicación entre el coeficiente y la variable

Soluciones[a*x^2+b*x+c=0, a]

Ver la imagen de la figura 22.

Resuelve la siguiente ecuación con respecto a t.


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P á g i n 1 6

Solución de sistemas de ecuaciones

Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones

Captura en la primera línea la ecuación

5x + 2y = 3, en la segunda 2x + 3y = -1.

Presiona la tecla Mayúsculas y con el

Mouse selecciona las líneas 1 y 2, deja de

presionar la tecla y da clic en el botón siete

para resolver el sistema de ecuaciones.

La solución se muestra en el renglón 3 con

el siguiente formato {{x=1, y=-1}}.

Hay otras formas de resolver los sistemas

de ecuaciones, pero, se considera que

esta es la más sencilla.

Vamos ahora a desplegar la vista gráfica

para observar el punto solución del

sistema.

Figura 22

En la barra de Menús da clic en Vista y luego en Vista Gráfica, en seguida ajusta la ventanapara que puedas observar las líneas rectas correspondientes a las ecuaciones y su punto

solución.

Ahora da clic en el pequeño círculo que se encuentra abajo del número 1 de la primera línea,

observa la Vista Gráfica, haz lo mismo con el de la línea dos. De esta forma se tiene la

gráfica del sistema de ecuaciones, pero también, observa que el programa asigna los

símbolos “a:=” a la expresión 1 y lo mismo “b:=” a la expresión del segundo renglón,quedando de la siguiente forma:

a:=5x + 2y = 3

b:=2x + 3y = -1

Estas asignaciones nos permiten realizar operaciones de las expresiones manipulando

únicamente los símbolos a y b.

Por ejemplo, resolver el sistema por el método de reducción.

Realizamos las siguientes operaciones:


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P á g i n 1 7

a) En un nuevo renglón introducimos 2a -5b y damos clic en el pequeño círculo obteniendo elsiguiente renglón, c:=2a - 5b y abajo se observa -11y =11

b) Dividimos c entre -11 y damos clic en el primer botón para evaluar, obteniendo y= -1

c) Copiamos la primera expresión en el siguiente renglón y sustituimos y el valor de -1.

d) Resolvemos esta última ecuación dando clic en el botón que está ubicado en la posiciónsiete “Resuelve ” lo cual determina x= 1 y con ello la solución del sistema.

Otra forma de resolver el sistema es con el comando resuelve e introduciendo las

ecuaciones en forma de lista.

La manera de denotar una lista de objetos como ya se dijo antes, es introduciendo las

expresiones entre paréntesis de llaves como se muestra en seguida.

Resuelve[{5x + 2y = 3, 2x + 3y = -1}, {x, y}]

Pulsando el primer botón se tiene la solución, ver la figura 22.

Ahora para determinar el punto solución, da clic en Vista Gráfica y observa que aparecen losbotones que despliegan las herramientas con los que se puede trabajar en ella. Pulsa el

segundo botón y selecciona la herramienta intersección, después selecciona una por una las

rectas que representan el sistema a resolver y observa que aparece el punto solución. Para

ver la etiqueta y las coordenadas del punto selecciónalo y da clic en el pequeño triángulo que

se encuentra a la izquierda de expresión “Vista Gráfica ” y da clic a la derecha de lapequeña letra A luego presiona en “Nombre y valor ” ver figura 23.

Figura 23


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P á g i n 1 8

Sistemas no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas

Resuelve el siguiente sistema

Realizando los pasos del ejemplo anterior la imagen de tu computadora será similar a la

figura 24.

Figura 24

Resuelve y compara los siguientes sistemas de ecuaciones con las imágenes de las figuras

25 y 26.

a)

b)

Figura 25 Figura 26

Ejercicios

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones


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P á g i n 1 9

a) b) c)

Suma, resta, multiplicación, división composición e inversa de funciones

Sean y Determinar

a) (f+g)(x) b) (f-g)(x) c) (f*g)(x) d) (f/g)(x)

e) f(3) f) f(a) g) g(x+h) h) f(g(x))

i) g(f(x)) j) f-1(x) k) g-1(x)

Nota- El exponente a la -1 en la función determina su reciproco. Para obtener la inversa de la

función es con el comando Inversa[ ] .

Los resultados de estas operaciones se pueden ver en las figuras 27 y 28.

Figura 27 Figura 28

Las gráficas de las funciones resultantes se pueden observar en la vista gráfica dando clic en

el pequeño círculo de la segunda línea de cada renglón.


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P á g i n 2 0

Desigualdades

Resuelve la siguiente desigualdad

x² - 2x - 15 ≤ 0

Captura la expresión y da clic en el séptimo botón (Resuelve).

La respuesta que da el programa es la siguiente {-3 ≤ x ≤ 0}.

Si muestras la gráfica, la primera línea cambia de aspecto mostrando

lista1:=Resuelve[x² - 2x - 15 ≤ 0] y la segunda lista 1: {-3 ≤ x ≤ 5}. Ver figura 29.

Figura 29

Ejercicios

Resuelve la siguientes desigualdades una de valor absoluto y la otra racional.

a) | | b) En la primera desigualdad captura la expresión abs(5-2x)


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P á g i n 2 1

Figura 30 Figura 31

Esto fue un breve recorrido por la vista CAS (Cálculo Simbólico Algebraico).

Vista Gráfica

Aun cuando ya se empezó a utilizar la Vista Gráfica, se va a continuar su exploración con lo

más elemental para lograr una mayor destreza en el uso de sus comandos, lo cual nospermitirá llevar a cabo una mejor elaboración de materiales didácticos enfocados al aula, los

diseños de estos materiales sólo estarían limitados por la dedicación, la imaginación, la

creatividad y el conocimiento de la disciplina.

Gráfica de un puntoSe puede graficar un punto de dos formas

Método 1. A través de la barra de entrada

Los puntos deben designarse con una letra mayúscula seguida de dos puntos o el símbolo

igual y sus coordenadas, por ejemplo: captura en la barra de entrada A:(3,5) y da Enter , o

A=(3,5) y da Enter , el resultado es el mismo.

Para obtener la abscisa de un punto por ejemplo, el punto A=(3,5) se introduce en la barrade entrada x minúscula seguida de A entre paréntesis x(A), esto proporciona en la Vista

Algebraica un parámetro que cambia de valor al mover el punto, para el valor de la ordenada

se hace algo similar y(A).

Observa que en la parte de la izquierda de la Vista Algebraica se lleva un historial de los

objetos construidos, los cuales podemos ocultarlos o mostrarlos dando clic en el pequeño

círculo que está situado a su izquierda.

Otra forma de construir los puntos es dar clic en el segundo botón de la Barra de Menús y

después otro clic en la vista gráfica.¡Importante!Para liberar los botones de las herramientas se debe de dar clic en el primer botón que al

pasar el cursor presenta la etiqueta Elige y Mueve . Otra forma es presionar la tecla Esc .

Funciones

Para construir funciones se puede capturar sólo la parte derecha de la igualdad que esté

escrita en la variable x y el programa la etiqueta con el símbolo f(x) y si se captura unasegunda expresión el programa la etiqueta con el símbolo g(x).

Por ejemplo, de la expresión f(x) = 2x+1 captura únicamente 2x+1 y da Enter , se obtiene f(x)= 2x+1 y su gráfica. Si después de la función g(x) = x2+x, se captura x2+x el programa

escribe g(x) = x2+x. Lo más recomendable es capturar la relación completa con la letra que

uno le indique al programa.

Ahora para optimizar el tiempo y la explicación vamos a articular las diferentes vistas que

nos proporciona el programa.


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Iniciamos con un nuevo archivo abriendo la ventana Archivo de la barra de herramientas ydando clic en Nuevo el programa abre una ventana de dialogo preguntando si deseamosguardar lo anterior, se acepta o no, según sea el caso.

Gráficas de una función, su derivada y la articulación con la tabla de valores

En las actividades que siguen se va a realizar la gráfica de una función en la Vista Gráfica y

en la Hoja de Cálculo se efectuarán las actividades necesarias para construir una tabla devalores que contengan las coordenadas de los puntos, los valores de la derivada y su

conversión al ángulo de la pendiente de la recta tangente.

Para ello se realizarán las siguientes actividades:

Vista algebraica

Abre un nuevo archivo

En la barra de entrada introduce la función f(x)=-x 2 +4x Para obtener la derivada de f(x), en la barra de entrada captura la palabra Derivada y

observa que aparecen varios comandos a elegir como:

Derivada[ ], Derivada[ ], Derivada[ , ],Derivada[ , ], etc.

Elige la primera y en captura f y da enter.

Vista Hoja de Cálculo

En Vista damos clic en la segunda opción Hoja de Cálculo El programa nos presenta una hoja similar a la de Excel que se manipula de igual

forma.

La información se puede capturar de diferentes formas, desde la barra de entrada,

dando clic en f x lo cual abre una barra de entrada que indica la celda que estamos

activando y otra más grande para capturar la información que se va a manipular.

Si la información se escribe entre comillas el programa lo considera texto y sino como

las operaciones a realizar.

Vamos a desarrollar una práctica para adquirir habilidad en el manejo de la Hoja de Cálculo

Actividades para construir la tabla de valores

En la columna A vamos a introducir una sucesión de valores por ejemplo, en A1 elnúmero 1 y en la celda A2 el número 2.

Selecciona con el teclado o con el mouse las dos celdas y arrastra el Mouse hasta la

fila 10. Observa que se muestra una sucesión de 10 números que van de uno en uno.

Borra los números y haz algo similar pon el número 1 en la primera celda y el 3 en A2 selecciona las dos primeras celdas y arrastra hasta la línea que desees y suelta el

mouse.

Te darás cuenta que puedes construir sucesiones de números de acuerdo a tus

requerimientos.


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Practica otras opciones por ejemplo empezar con número negativo.

Ahora vamos a construir un ambiente donde se articulen las vistas: algebraica, gráfica, la

tabla de valores de una función y su deriva, el ángulo de sus pendientes y la hoja de cálculo.

ActividadesAbrir un archivo nuevoMostrar las vistas: algebraica, gráfica y la hoja de cálculo

En la barra de entrada capturar la función f(x) = -x2+4x y dar Enter .Ajustamos la vista gráfica de la función alejándola o acercándola con el Scroll (la ruedita que

está entre los dos botones del mouse) y centramos al presionar una de las teclas

mayúsculas o Ctrl y arrastrando el mouse.

En la tecla de entrada escribimos Derivada[f] y damos Enter. En la hoja de cálculo

En la primera línea escribimos entre comillas para que el programa lo tome como texto

En A1: “x”, en B1: “f(x)”, en C1: “f´(x)” y en D1: θ.Construir la lista de números de la primera columna.

Escribimos en la celda B2: f(A2) y arrastramos el mouse hasta B11.

En C2: f´(A2) podemos obtener el acento que indica la derivada de f en el teclado virtual.

Escribimos en D2: arctan(f’(C2))Para que los valores de θ aparezcan en grados damos clic con el botón derecho en la VistaGráfica o en Opciones de Hoja de Cálculo y en el último botón “Preferencias- Avanzado” , ydamos clic en Ángulos en grados como resultado de las trigonométricas inversas .

Construcción de la tabla de valoresSelecciona las dos primeras columnas y con el botón derecho del mouse da clic para abrir la

ventana de dialogo y nuevamente da clic en Crea y luego en Tabla de la misma forma creala lista de puntos.Borra la tabla y selecciona las columnas a tu gusto y crea la tabla de valores.

Da clic en la tabla y observa que se presentan las opciones para dar formato y color al texto,

color al fondo y a los puntos de la gráfica.

Te debe quedar algo parecido a la siguiente figura.


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Figura 32

Deslizadores

Se pueden resaltar en las diferentes vistas los puntos de interés como: los que contienen las

raíces, los máximos o mínimos locales o globales las concavidades etc. Esto va a depender

de tu diseño didáctico para lograr una mejor compresión de los conceptos matemáticos en

juego. Ver figura. 33

Se puede crear un deslizador de diferentes

formas, un de ellas es, abrir el menú del

penúltimo botón de la barra de herramientas

y dar clic en deslizador, luego llevar el cursor

a la Vista Gráfica y dar clic en el lugar que

nos parezca apropiado. Esto hace aparecer

una ventana de dialogo para indicar el

nombre vamos a dejarlo con el nombre que

aparece n le damos clic en Entero y comovalor Mín: -5 y como Máx: 5 y finalmente enAplicar

Figura 33

Como se puedes observar el parámetro que llamamos n puede variar en unidades deángulo, se puede poner en forma vertical u horizontal y se puede ajustar la velocidad para

animarlo y también se le puede asignar la propiedad para que sea aleatorio el valor que

aparezca.


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Figura 34

Para controlar el valor inicial de la tabla desde el deslizador, seleccionamos la celda A2 y

escribimos n damos Enter y en la celda A3 escribimos A2+1 y damos Enter.

Desplaza el deslizador y observa el cambio de los valores en la Vista Gráfica y en la tabla.

Coordenadas polares

Gráfica de puntos y ecuaciones en coordenadas polares

Abrimos el menú de la Vista Gráfica dando clic al botón derecho del mouse y otro en la

última opción que corresponde a Vista Gráfica (ver figura ), esto abre la ventana depreferencias (ver figura ) y damos clics en Cuadrícula , Cuadrícula visible y en Tipo decuadrícula en la opción Polar .

Figura 35 Figura 36


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Para graficar punto y lugares geométricos, en la barra de entrada se escribe como entre

paréntesis circulares como en el sistema cartesiano pero en lugar de coma para separar las

coordenadas se pone punto y coma.

Grafica los siguientes puntos:

A(3, 45°) y B(-2, 120°)En la Barra de Entrada se captura la letra mayúscula dos puntos y las coordenadas

A:(3; 45°) y B:(-2; 120°)

También, la letra mayúscula el signo de igualdad y las coordenadas.

A=(3; 45°) y B=(-2; 120°)

Gráfica de lugares geométricos

Para las gráficas de lugares geométricos se recomienda, primero, construir un deslizador

para variar el ángulo o argumento y escribir en la barra de entrada (; )Por ejemplo para graficar la espiral de Arquímedes

Se construye el deslizador para variar el ángulo.

En la barra de entrada se introduce (θ; θ). Se da clic en la última opción del cuarto botón que corresponde a Lugar

Geométrico . Se seleccionan el punto así construido con el punto del deslizador y esta acción hace

que se muestre la gráfica de la espiral.

Figura 37


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Para construir las cónicas se puede utilizar la expresión donde e representa laexcentricidad

Figura 38 Figura 39

Si e =0 la cónica es una circunferencia Si e =1 la cónica es una parábola

Figura 40 Figura 41

Si e 1 la cónica es una hipérbola


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Bibliografía

Direcciones electrónicas

http://www.geogebra.org/ . Contiene 209291 materiales libres e interactivos (19/05/2015).https://www.youtube.com/watch?v=kGyyHDntpYs

https://www.youtube.com/watch?v=G3I-LRy7D8Y&spfreload=10

Estas son algunas de las innumerables direcciones que puedes encontrar en Internet sobre

la construcción de conceptos matemáticos..
http://www.geogebra.org/http://www.geogebra.org/https://www.youtube.com/watch?v=kGyyHDntpYshttps://www.youtube.com/watch?v=kGyyHDntpYshttps://www.youtube.com/watch?v=G3I-LRy7D8Y&spfreload=10https://www.youtube.com/watch?v=G3I-LRy7D8Y&spfreload=10https://www.youtube.com/watch?v=G3I-LRy7D8Y&spfreload=10https://www.youtube.com/watch?v=kGyyHDntpYshttp://www.geogebra.org/

curso matematicas con geogebra

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