curso de funcioenes matematicas
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Funciones MatematicasTRANSCRIPT
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CURSO PROPEDUTICO DE MATEMTICAS
Cinvestav-Guadalajara
Ral ErnestoGonzlez Torres
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FUNCIONES
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ContenidoDefinicin de funcin. Igualdad de funcionesFunciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversas
Funciones compuestas
Operaciones binarias
Operaciones conmutativas y asociativas
Elemento neutro e inversos
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FuncionesSea f: A B una relacin.Decimos que f es una funcin de A a B si y slo sipara cada xA hay un solo yB tal que xfy.
Observemos que:De acuerdo a la definicin dada, si f: A B es una funcin, entonces Dom(f) = A; esto es, cada elemento del primer conjunto A debe tener un asociado, mediante f, del segundo conjunto B.
Como en cada caso, y es nico para x, lo denotamos por f(x).
La Grfica de una funcin f: A B es el conjuntoGr(f) = { (x, y)AB| y = f(x) }.
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FuncionesEn trminos de parejas ordenadas, decimos que una relacin R: A B definida mediante su grfica, es una funcin si satisface dos condiciones:i) Dom(R) = A. yii) si (a, b), (a, c)Gr(R), entonces b = c.
Consideremos la relacin R: A B definida por la matriz:
EJEMPLO:
R
1 0 0 0 01 0 0 0 00 1 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
M :=
Como hay un 1 en cada fila de la matriz, cada elemento de A se relaciona con un elemento de B, y como no hay ms que un 1 en cada fila de MR , solamente hay un elemento de B asociado a cada elemento de A,.Por tanto, R es una funcin de A en B.
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EJEMPLO:Encontremos el dominio de la funcin real g definida por la frmula
Dibujo de la grfica de g
x 1g(x):= x+1Tenemos que
x 1x+1 x 1 0x+1
(x < 1 x 1).
Por lo tanto,Dom(g) = (, 1) [1, ).
g(x)
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Funcin inyectiva
EJEMPLOS:
Sea f: A B una funcin.Decimos que f es una funcin inyectiva (o uno-a-uno) si y slo si (x1)(x2)( x1 x2 f(x1) f(x2) ).
Corolario: f: A B es una funcin inyectiva si y slo si(x1)(x2)( f(x1) = f(x2) x1 = x2 ).
1. La funcin valor absoluto no es una funcin inyectiva, porque,como contraejemplo, se tiene quesi x1 = 1 y x2 = 1, entonces se cumple que x1 x2 , perof(x1) = f(1):= |1|= 1 = |1|:= f(1) = f(x2).
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Sea : la funcin que asigna a cada letra la letra siguiente en el orden alfabtico.
2.
Entonces g es una funcin inyectiva.
Esta funcin es inyectiva.4.
Sea g: {0} {1} definida por la regla
1g(x):= 1x
(Prubelo!)
3. Sea A un conjunto no vaco.La funcin identidad en A se denota por A y se define por la regla A(a):= a, para todo aA.
Sea el abecedario.
Cul es su dominio? Es inyectiva?
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Funcin sobreyectiva
EJEMPLOS:
Sea f: A B una funcin.Decimos que f es una funcin sobreyectiva (o sobre) si y slo si
Im(f) = B, es decir, para cada yB existe xA tal que y = f(x) ).
es una funcin inyectiva.
Vimos que la funcin g: {0} {1}definida por la regla 1g(x):= 1x
Podemos probar que tambin es una funcin sobreyectiva
1.
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La funcin identidad A en cualquier conjunto A es sobreyectiva
.
2.
3. Sea A un conjunto no vaco. Entonces no existe una funcin sobreyectiva de A en P(A).Demostracin:Supongamos que, por el contrario, s existe una funcin f: A P(A) tal que f es sobreyectiva.Consideremos el subconjunto
B:= { aA | af(a) }.Como f es sobreyectiva, existe bA tal que f(b) = B.
Se cumple que bB?Pregunta:Como obtenemos una contradiccin, debemos concluir que no existe tal funcin sobreyectiva f.
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Funcin biyectivaSea f: A B una funcin.Decimos que f es una funcin biyectiva (o una correspondencia biunvoca) si y slo si
f es una funcin inyectiva y sobreyectiva.EJEMPLOS:
1. La funcin identidad A en cualquier conjunto no vaco A es una funcin biyectiva.
2. Si A y B son dos conjuntos finitos, entonces existe una funcin biyectiva entre A y B si y slo si A yB tienen el mismo nmero de elementos.Luego, no existe una funcin biyectiva entre un conjunto finito y cualquiera de sus subconjuntos propios.
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Pero esto no ocurre as con los conjuntos infinitos.Por ejemplo, el conjunto de los nmeros enteros pares es un subconjunto propio de y la funcinf: definida por la regla f(n):= 2n
es una funcin biyectiva!
Si R es una funcin y R 1 es la relacin recproca de R, qu condiciones debe cumplir R para que R 1 sea una funcin de B a A? Observando cuidadosamente los diagramas siguientes, en los cuales R 1 no es una funcin,
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R es sobreyectiva pero no es inyectiva
R es inyectiva pero no es sobreyectiva
nos vemos tentados a concluir que para que R 1 sea una funcin de B a A es necesario y suficiente que f sea una funcin biyectiva.Este hecho lo establece el teorema siguiente:
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Teorema: Sea f: A B una funcin.Sea R 1: B A la relacin inversa de f.R 1 es una funcin de B a A si y slo si f es una funcin biyectiva.
Demostracin: (Ejercicio!)
Cuando f es una funcin biyectiva tambin decimos que es una funcin invertible, porque su relacin inversa R 1 es una funcin, denotamos a R 1 por f 1 (lemosla efe inversa) y la llamamos la funcin inversa de f.
Si conocemos la grfica de f, podemos dibujar directamente la grfica de f 1 mediante una reflexin en el plano cartesiano con respecto a la recta y = x.
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EJEMPLOS:1. La inversa de la funcin identidad A (en cualquier
conjunto no vaco A) es la misma funcin identidad.2. La inversa de la funcin g: {0} {1}
definida por la regla 1g(x):= 1xes la funcin g 1: {1} {0}cuya regla es 1 1g (x):= x+1
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Funcin compuestaLema: Sean f: A B y g: B C funciones.
Entonces la relacin compuesta de f y g es una funcin.
Demostracin: (Ejercicio!)
La funcin compuesta de f y g se denota por gf, ya que si cC tal que gf asocia c al elemento a de A, entonces, como muestra la figura, c = g(f(a)).
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Podemos definir la funcin compuesta de f y g sin requerir que el codominio de f sea igual al dominio de g, y exigiendo, de manera un poco ms general, que
Im(f) Dom(g). Esto nos puede ser de utilidad, por ejemplo, cuando trabajamos con funciones reales que han sido definidas slo mediante sus reglas.si f y g son dos funciones que han sido definidas mediante sus reglas (o frmulas), el dominio de la funcin compuesta gf es el conjunto Dom(gf) = { xDom(f) | f(x)Dom(g) }.
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Consideremos las funciones reales f y g definidas por las reglas siguientes:
EJEMPLO:
Observamos que Im(f) = [0, ) y Dom(g) = (3, ). Como Im(f) Dom(g), gf no se puede definir directamente.
gf: (12, ) , tal que gf(x):= g(f(x)) =
f(x):= x 3 y1g(x):=x 3
Sin embargo, si restringimos el dominio de f al conjunto A:= (12, ), entonces, podemos definirgf as:
1g( x 3) =x 3 3
Cul conjunto es Im(gf)?
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Igualdad de funcionesSean f: A B y g: A B funciones.Decimos que f es igual a g y escribimos f = g si y slo si
f(x) = g(x), para todo xA.
Observemos que, de acuerdo a este criterio, slo tiene sentido considerar la posibilidad de que f y g sean iguales si tienen el mismo dominio y el mismo codominio.
A continuacin se presentan algunos teoremas bsicos relativos a la composicin de funciones:
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AsociatividadTeorema: Sean f: A B, g: B C y h: C D
funciones. Entoncesh(gf) = (hg)f.
Demostracin:Demostracin: (Ejercicio)
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El rol de la funcin identidadTeorema : Sea f: A B una funcin.
Sean A e B las funciones identidad en A y B, respectivamente.i. fA = f y Bf = f.ii. Si f es invertible, entonces
f 1f = A y ff 1 = B.Demostracin:Demostracin: (Ejercicio)
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Qu condiciones deben satisfacer las funciones f y g para que la funcin compuesta sea inyectiva, sobreyectiva o biyectiva? El Teorema siguiente nos provee de condiciones suficientes para que esto ocurra.Teorema : Sean f: A B y g: B C funciones.
i. Si f y g son funciones inyectivas, entonces gf es una funcin inyectiva.
ii. Si f y g son funciones sobreyectivas,entonces gf es una funcin sobreyectiva.
iii. Si f y g son funciones biyectivas,entonces gf es una funcin biyectiva.
Demostracin: (Ejercicio!)
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Las proposiciones recprocas de las implicaciones dadas en el Teorema anterior no son verdaderas en general.Mostrmoslo mediante contraejemplos usando las funciones descritas en la figura siguiente:
gf es inyectiva, pero g no es inyectiva, puesto queg(b2) = g(b3) = c2
gf es sobreyectiva, pero f no lo es, porque b3Im(f). gf que es biyectiva, pero ni f ni g son biyectivas.
EJEMPLO:
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Teorema : Sean f: A B y g: B C funciones.i. Si gf es funcin inyectiva, entonces
f es funcin inyectiva.ii. Si gf es funcin sobreyectiva, entonces
g es funcin sobreyectiva.Demostracin: (Ejercicio!)
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Teorema: Sean f: A B y g: B C funciones invertibles. Entoncesgf: A C es funcin invertible y adems
(gf)1 = f1g1.Demostracin: (Ejercicio!)
Invertibilidad de la composicin
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EJERCICIOS:1. Sean f: A B y g: B A funciones.
Demuestre quesi gf = A y fg = B , entonces f es invertible y g = f 1 .
2. Sean f: A B, g: B A y h: B A funciones. Demuestre quesi gf = A y fh = B , entonces g = h.
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